高一数学对数函数零点

函数零点问题绝对是高中数学的重灾区，但更是你们提分的黄金区，看似他千变万化，实则万变不离其宗。 那这节课咱一节课把零点的七大题型给大家讲的明明白白的，让你跟别人拉开更大的差异好不好？好好，那么零点一共是三个大的考向，七大题型哪三个大的考向呢？第一个， 首先大家得知道零点的概念是什么，以及零点的存在定力， 这两个就可以考你两个题型，待会说。第二个叫做零点的区间分布问题。第三个，跟零点有关的个数问题，那个数里面比如说可能会牵扯到第一个，哎，让你去求个数啊， 对吧？或者说我已知个数，这都是你大家应该见到过的吧？已知个数，我让你给我求个字母 a 啊，字母 b 啊，字母 c 求差问题。第三个，超级重点，也是难点，叫什么 复合型的一些问题，复合函数零点问题，对吧？最后一个就是零点的一些综合最值问题，那七大题型在哪里？我们一个一个看， 第一个，零点概念，第二个存在定力，第三个，区间分布，第四个，第五个，第六个，第七个，一个一个把它往后过，这是我们今天的重点好不好？好好，先来说第一个 叫做题型一，跟零点概念有关的问题。我先问大家什么叫零点？复习一下， 说白了他有几个等价，把这几个等价植入到你脑海里就可以了。第一个，零点等价于方程的根， 等价于图像，你所研究的这个图像 与 x 轴交点得啥？横坐标，对了，零点不是点，零点是横坐标， 横坐标，同时你发现这几个等价让你把题做不出来，还可以继续对它进行转化，可以把它转化成你所 familiar， 就是 你所熟悉的 两个函数图像焦点问题，图像的焦点， 你要把这几个等价深深的根植于你的脑海里面，这是零点问题，不断的在转化的过程中，我们要用到的。比如说第一个比较简单的题目来了，我让你给我求， 求什么？求一 x 乘以 line x 等于一，求这个方程的根， 求方程的根，你会求吗？或者我就直接给你说，让你求它的零点，有几个不是零点问题吗？概念是吧？求方程的根，方程的根，直接解，不会解， 那怎么办？转化，转化成图像与 x 轴交点的横坐标，这个 是吧？是的，图像，或者把 e 挪过去，整个函数图像与 x 轴交点，你会画它吗？不会，你不会画它的图像。 那怎么办呢？继续转化，转化成你所熟悉的两个函数图像的焦点，你所熟悉的是 e x 和 line x， 你 俩先成一块，是必须让它分开，是的。来，把一个搞过来，把 line 搞过来，还是把 ex 搞过来？搞谁把 e 的 搞谁搞？ e x 等于 e x 分 之一，它可以写成一分之一 x， 我 可以看成这个叫做 y 一， 这个叫做 y 二，我所熟悉的两个函数图像的交点问题， 就等价于方程的根吗？对不对？他这里求根，比如说求根的个数，你给我求一下这个根的个数有几个？ 嗯， line x 图像长这样，一分之一 x 图像长这样，你俩交点一共有一个，这个交点的横坐标 x， 使得咱俩相等，就是我方程的根， 对吧？他，你看这个根，你如果函数两边能解出来，我们一般都解出来了，如果解不出来，他不就不会让你求根了，就是根的个数问题了，是吧？是的，有几个？ 一个一个根就完了。这是第一个零点的几个等价以及概念的一些考察，没有问题吧？没有。好，接下来我们来看第二个叫零点存在定力是怎么考察大家的？那在看他的题型之前，第一件事复习一下什么叫零点存在定力， 还记得吗？记得，胡老师用大白话给你讲一下，把它翻译成通俗易懂的语言。首先他说有一根函数 是连续不断的，这个函数中间没有断开， ok， ok。 比如说举个例子，这个函数，那么我要研究的是 a 到 b 这一段，我如果发现啊， fa 和 f b 的 值乘以小于零了，我就说在你俩之间一定是存在至少一个零点的， 至少一个零点这个事大家能理解吗？你想啊， a 的 y 值和 b 的 y 值小于零一乘，说明他俩 y 值怎么了？ 相异异号吗？异号，一个 y 值从正的要到负的，或者从负的到正的必然要经过 x 轴吗？图像必然要与 x 轴相交，那你必然至少有一个零点存在吧？对，起码有一个吧，这叫零点存在定律。 我们来看一下在题目中一般怎么考察大家的，他会是有些关键词出现的，比如说题目说，哎呀，有唯一零点， 对吧？或者题目说有零点，或者说存在零点，至少有一个零点，这都是零点存在。这里的考察，你现在识别题型，好吧，好，来看题。研究的是二次函数，在某个区间上有唯一零点，这个二次函数 先模拟图像吗？能画图的把图先大概画出来，是吧？二次函数开口朝上，嗯，他的典型的特征。对称轴是不是还可以求出来来？对称轴是几，能求就求吗？负则二分之 b 等于应该是一。 ok， 题目说在二到三上，那二到三肯定是在对称轴的右边了吧？那你想二到三内有唯一零点，你跟我说把二三放哪去？二在二放到这来，三能放到这吗？不行吧，三必须得放到 这里来，是吧？你俩之间是不是才有唯一零点？对，所以我怎么去保证呢？来告诉我， 在二是负的，三是正 f 二的值必须得小于零，同时 f 三的值大于零，去交集同时满足， 行不行？行，来，把二往金带，把二往金带，所以说这是 b， b 小 于零，同时把三往金带。 九减六是三加 b 大 于零，所以说 b 大 于负三，这两个结果取交集，所以说 b 属于负三到零，这就零点存在定力考察的题型。 零点昨天定要考察大家，在你们考试中其实不会考，很难考的，你更难的题型是在我们后面的题目当中，咱们一个一个带着大家往下讲，好不好？好，来，我们接下来看第二个考法，叫做区间分布，是怎么考你的 题型三，区间分布问题，区间分布问题，只需要大家抓住这几个字就可以了，只要你在考试的过程中叫做端点值一号， 那题目一般怎么考你呢？比如说这道入门级的题目，他说，哎呀，这个函数在下列区间中一定包含零点的，是哪个区间就哪一个区间，至少有我这个函数中的一个零点吗？包含我零点了， 核心就是端点值一号。什么意思呢？就是我把这个区间带入选项去给他验证， 只要保证这两个值带进去的 y 值是一号的，说明你俩之间就有零点，就有零点。那如果带进去是同号的，那不一定吗？我就看 b 选项 排除答案就可以了。对，这是这种问题的做法，叫端点值一号，会了没有？会了，那就很简单，我带大家做一遍吧。比如说我第一个把二分之一带进去， f 二分之一往前带， 这是多少？六？六加一是七，减去四分之一是四分之二十七。你不知道他是谁无所谓，你想算也可以算，反正他是一个正值。 我用的是一号吗？对不对？来，我再带一下 f 一， f 一 的往直往进带三减一加一，你不算出来无所谓，你是一个正正的，所以没用， 是吧？对，你看这是正正，那这个是不是正了？对，判断二分之三就可以了。 f 二分之三来往进带二分之三分之三。 嗯，二分之三分之三，几二二减去四分之九加一，二加一， 这肯定是个正值吧。哎，他肯定是一个正值，那你得到的 y 值也是一个正值，该下一个了，是吧？是的， f 二的值往进一带应该是二分之三减四加一， 这俩加起来是二分之五吧？对，这是二分之八吗？对，是吧？所以这是一个负值，一正一负 有零点，那你俩之间存在零点。因此本道题目答案选的是 c， 这是区间分布问题的入门级考法。 咱们今天讲的这几种呢，只是个开胃菜，在我们考试当中真正拉开差距的是更复杂的、更刁钻的其他的一些问法和考法。那胡老师把每一种都给大家配套了同类型题目的专项训练。嗯，你听会了不代表你会了，一定要去做刻意练习。

ok， 那 么我们今天继续接着去看我们函数零点综合题型的一个总结，其中题型考的是我们的嵌套函数的零点问题，那这种问题出现一般都在我们的填空或者选择的压轴题，他的这个做题思路会比较复杂， 需要用到两次函数零点的判断，因为他复合了一个函数，所以呢，今天老师结合这两道题目，把我们嵌套函数的零点的做题步骤以及 应该注意到的点给大家讲清楚。首先我们去看这类题目要做的零点问题，我们上个视频已经讲过了，它的做题方法非常简单，就是画图，那我们先把这个题目的图像给它画出来，那么我们画出了这道题目的图像，它长这样，那我们要注意，在做这种零点问题的时候，画图一定要去把题目中的 对应的点特殊点，包括特殊点的值的 y 值一定要给它标出来，这样的话，为了我们方便后面的判断，那对这种嵌套问题，我们的做法第一个肯定是换元，我们令我们复合的这部分等于一个 t， 也就是说令 f i 等于 t 的 话，所以呢，原函数零点是变成了 f t 等于一个 a， 有 五个零点五个根，那也就是说我们 f t 等于 a， 是 不是要有五个零点，就说这两个函数，一个是 y 等于 a， 一个是 y 等于 f t， 它们两个是不是要五个焦点才行？那现在呢，我们画出了 f x 图像，要画出 f t 的 图像的话，非常简单，我们只需要让变成 t 就 可以了， 那它的自变量变成 t， 所以 这个图像自然就变成了 f t 的 图像，那我们发现了 f t 等于 a， 要有五个焦点，那是不可能的， 你发现它最多有一、二三三个焦点。我们的 t 等于 f x， 让 t 等于 f x 的 时候，画完圆之后，我们此时要做的就是观察 f t 等于 a 有 五个根的 a 的 值范围。 那现在第一种情况，假设我们的 a 是 大于三时， a 大 于三的时候，我们不妨去画一下 a 的 值， a 在 这个地方，那我们发现它与 f t 是 不是最多有两个焦点。也就是说圆函数的话，当 y 等于三的时候，我们对应的这个 x 我 们可以算出来。把三带入到第一个式子中，让它等于三，那我们算出来 lo in x 绝对值等于一，那 x 绝对值等于一，那 x 要么等于正一，要么内负一等于负一的时候，我们发现它对的这块的值是不是应该是一个 e 分 之一，然后呢，对应这块的值应该是一个 e， 所以呢，我们知道了 t 一 跟 t 二的一个大小，那就是当 a 等于三时，我们的 f t 等于 a 有 两解，这两解分别是 t 一 和 t 二。 那此时我们知道了 t 一 它是大于零并且小于一分之一的，我们的 t 二呢，等于大于一的，这我们同时再去判断一下我们的 t 的 这样一个 所对的 x 就 可以了。那判断 t 所对的 x， 那 非常简单，我们只需要把这个图再给它画一遍，那么此时我们只需要把 x 的 t 给它变成 x 即可。因为我们知道了 f x 等于 t， 我 要算出来 x 的 值才是这个函数的零点。所以呢，我们定 f x 等于 t 一， t 一 是零到一分之一的，那我们画一个零到一分之一的值，我们看一下它与 f x 有 几个交点，那就是几个 x 的 根了。那此时的话呢，我们画出来这个是 y 等于一个 t 一 t， 它是零到一分之一之间的，它比 e 小。 所以呢，我们画出来这样一个图像， y 等于 t 一， 它与 f x 的 交点，我们发现它只有一个 x 根，也就是说 x 有 e， x 有 e 解，再去画 f x 等于 t 二， f 等于 t 二， t 二的话，它是大于 e 的， e 是 一个比 e 大 的值，那就是说，我们画出来一个 y 等于比 e 大 的值，比 e 大 的，它有可能有三个根，有可能有两个根，那也就是说，我们推出来，你看，我们随便画一个三个根的，就假设 e 在 这个地方， y 等于一个 t 二， t 二比 e 大， 如果它在这个地方，它对应的 x 根是不是只有三个了？一个、两个、三个，那所以加上我 f x 跟 t e 的 这个一个 x 是 不是一共四个减？如果呢，你的 t 二在这个地方， t 二如果是大于三，那也就是说我们观察一下它有多少个根了？ t 二如果大于三，你发现它是不是有两个根， 两个根，一个是这个，一个是这个，有 x 的 焦点，所以呢，再加上 f x 等于 t 的 一个根，是不是一共有三个解？那也就是说它不管怎么样，它都不可能有五个解的啊？所以呢， f x 等于 t 二，我们推出来 x 有 三解或两解，所以呢，我们推出来此时的情况是不是就舍去了？那就是说 f x 呢？等于 f， f f 等于 a 的 话，是最多有三解或三解或四解，两个加起来就行，有三或四解直接舍去了，这是 a 大 于三的时候， a 大 于三的时候，分析清楚之后我们再去看，同理我们再去看。当 a 如果是大于二， 小于等于三，当 a 如果是大于二，小于等于三的时候，我们可以把这个 a 给它画出来，也在第一个图像中去判断一下这个图像 a 是 不是跑到下面来了？那你发现了，此时的话它有几个 t， 是 不是有三个 t， 把原来这个擦掉，此时它有三个 t， 能把三个 t 标出来，那也就是说这有一个 t t 一， 这有一个 t t 二，这有一个 t t 三，把原来的给它擦掉。当 a 在 它们之间的时候，我们说了这个 f t 等于 a， 是 不是有三节 t 一、 t 二、 t 三，也是 t 一、 t 二、 t 三，并且呢，我们可以得到 t 一、 t 二、 t 三的一个趋势范围，那也就是说我们的 t 一 它是在负一到零之间的， 我们的 t 二它是在一分之一到一之间的。然后呢，我们的 t 三是不是在一到一之间的？让我们同理再去判断 f x 分 别等于 t 一、 t 二、 t 三的根的个数是不是就可以了？那假设我们的 f x 等于 t 一， 我们分析它它它有几个解是不是就可以了？ 那就是说在第二个图形中去判断了，把原来的给它擦掉。在第二个图形中去判断，我们把原来的擦掉之后，去判断一下它有几个根就可以了。那也就是说我们得到了啊， t 一 t 一 是负一到零的，那我们先把 t 一 画出来，负一到零的 t 一 画到这个地方， f i 等于 t 一 的话，是不是只有一个根？那我们推出来有异解，异解在这个地方， x 一， 当 x 二，当 t 二是一分之一到一，那 f x 等于 t 二，我再画一个一分之一到一之间的 t 二，将它长这样， y 等于 t 二，你发现它是不是也只有异解 x 二有异解，当 t 三在一到一之间， f x 等于 t 三， t 三呢？我们画一到一之间的话，那也就是说他要有五个解的话，必须此时是不是有三个解才能满足情况？你看这种情况是可以的，对吧？那满足三种情况，我们必须要有一下线，怎么样？我们只取满足三个情况，有三个这种情况，他有三个根的情况。比如说我们画出来，他是不是一定要与原函数有三个交点才可以？那 假设满足三个交点，我们观察下这个 t 的 范围， y 等于 t 三，这是对应的是 x 三，你看他有三个 x 三， x 四、 x 五，这样的话，是不是刚好满足条件它就握根了？那满足这个条件的话，那也就是说我们 y 等于 t 三，必须要与我们 f x 三个交点，那也就是说它必须比我们这个值要大，必须把比二大，并且呢比上面这个三的值是不是要小？所以呢，它可以等于三，等于三有三个交点，那所以它必须要大于 二，那此时我们的 t 三要与 f x 有 三个交点，我们的 t 三必须要大于二才可以，并且呢要小于等于 e， 那 也就是说我们的 a 是 要大于 f 二，并且要小于等于 f e 才可以。因为我们的 a 是 等于 f t 的， 这样我们把需要把它带进去弄会得到我们的 a 的 取值范围，就是 a 大 于捞引二加二小于等于三，所以呢，我们 a 的 取值范围就是捞引二加二到三的 b 区间。然后呢，其他情况呢，我们可以去分类讨论一下，按照我们刚才所讲的这个方法， 发现了他只有这一种情况满足题，所以我们最终结果就是捞以二加二到三之间。 ok， 这个就是我们欠套零点所考察的一个方法，需要我们把两个图像画出来，分别去把一个 t 当做自变量，或者把 t 当做这个 y 转换成图像焦点进行求解就可以了。 ok， 我 们来看一下这道题，这道题目已知 f x 等于它，并且呢，让我们算方程 f f x 等于二，这明显是一个嵌套的一个函数，让我们算它所有根之积等于多少。同样呢，我们先用画图把它的图像给它画出来。 ok， 首先我们画出来 f x 图像，那首第一步也是一样，我们先去换元，令我们 f x 等于一个 t， 那 所以这个方程等于二的根就可以变成了 f t 等于二的 根。我们可以先求出 t 的 所有值，再画一个图，令它的极变量变成 x， 把 x 的 值给它求出来就可以了，这就是说欠道函数它的一个解体的方法。所以呢，我先把这块的 x 变成一个 t， 我 们先观察一下， 那就是说我们的 f t 要等于二，此时这个图像是不是自然就变成 f t 图像 f t 等于二的话，我需要去画一个 y 等于 f t 与 y 等于二的一个焦点，我们观察一下 t 的 去值， 也就是说画一个 y 等于二的曲值，假设呢，它在这个地方， y 等于二， t 等于多少？不妨我们算一下，它是不是有两个焦点，明显的一个，两个焦点，一个是 t 一， 一个是 t 二，那 t 一 的范围，我们大概可以去算一下它的值， t 一 呢，大概在这个地方，那也就是说，令我们的这个 log 以二为底， x 绝对值等于一个二，我们就可以算出来了。所以此时的话，我们会得到的是 log 绝对值，以二为底， x 对 数等于一个二，此时我们算出来 x 一 等于我们的 t 一， 那这应该是 t 了，那它的变量是 t， 所以呢，我们的 t 一 等于负二的话是四分之一， t 二等于正二呢，应该是一个四，所以呢，得到了 t 一， 在这个地方四分之一， t 二在这个地方等于一个四。 ok， 那 接着我们再去画，也就是说 t 一 t 二分别就是这个方程的 f t 等于二的两个根，所以此时我们把它对应的 x 根求出来就不可以了。 第一个根呢，就是 f x 要等于 t 一， 我们解出来所有的 x 就是 这个方程的根。第二也是这样， f x 等于 t 二，我们解出来所有的 x 也是这个方程的根，两个加起来就是所有的根了。 ok 啊，那现在呢，我们再去把这个 图像画一遍，并且呢，让它的自变量变成 x 就 可以了。比如说我们画出来这个图像，我们此时让它的自变量变成 x 就 可以了， 它这边 x， 那 就 f i 等于 t 一， t 一， 我们刚算了，是不是等于四分之一了？把四分之一写到这儿， t 二，我们也刚算了，是不是等于个四了？我们把四写到这 儿，那问题就变得非常简单了呀，那就是说 f i 等于四分之一，解出来的所有 x 就是 这个方程的根。 f x 如果等于一个四，解出来的所有 x 也是这个方程的根，那我们只需要去把所有 x 给它标出来就可以了。 f i 等于四分之一的时候，我们画一个 y 等于四分之一与它交点， 你发现在四分之一的时候，歪定四分之一时候，它是不是有四个 x 四个根？所以把四分之一往第一个式子中一带，那也就是说我们让负的 a 平方减去二， x 是 不是等于四分之一？我们得到了两个根，得到了这两个根，我们算出来， 因为他让我们算，所以根之积，所以在这我们不必要去算出来它的根，我们只需要根据伟大定律是不是就可以了？我们知道了，这肯定有一个 x 一， 这肯定有一个 x 二，并且呢， x 一 乘 x 二，我们是可以知道的，我们用一个什么韦达定律是不是就可以了？等于一个 a 分 之 c， a 分 之 c 刚好是四分之一。同理，我们接着去往下看，这是不是也有两个根？ x 三和 x 四， 那就是说它是绝对值对数的这样一个形式。我们知道 s 三乘 s 一定是等于一的，在这你发现我们的 x 三乘 x 四等于一，那这个是谁的根？这个是不是就是我们绝对值绕二为底？ x 绝对值等于一个四分之一的时候，我们可以把这两个解出来。你的 x 三 x 相乘肯定是等于一的，因为它是 翻折上去的，翻折变化即为定，此时是不是已经得到四个零点了？现在呢，我们再去观察 f x 等于四的时候啊，这是我们的第一种情况，第一种情况等于四分之一的时候，第二种情况 f x 等于四的时候呢，我们去带一下，看他有几个根，那么 y 零四，话说 y 零四画出来，他是长这样，长这长这个样子， y 零四的话，明显与你的 f x 只有两个根。我们画出了 x 五 x 六， x 五在这一块， x 六是不是在这一块？那你发现 x 五 x 五乘 x 六是不是也等于一？因为它也是关于我这个绝对值对准住翻折上去的，取同样的 y， 它的 x 所有的乘积都等于一，所以呢，我们知道绕以二为底， x 位数如果等于一个四的话，我们解出来的 x 五乘以 x 六是刚好也等于一， 所以我们就得到了这个 f x 所有的 g x 一 乘以 x， 二乘以 x， 四乘以 x 五乘以 x 六，就等于 四分之一。乘以一乘以一等于四分之一，所以它的积就等于四分之一就可以了。那这个题目如果人家幻想问我们这个方程有几个零点，我们是也可以判断出来它是有六个零点，这个就是我们这种题目的做题方法啊，希望大家下去认真总结。 ok， 我 们的 第五个就是我们函数零点的只对变化，那我们先看第一个题，他说 x 零是他的一个唯一零点，所以呢，我们直接去使用 f x 零等于零， 把它带进去呢，也就是说我们会得到 e 的 x 零分之一，减去一个 x 零的平方，乘以 lo in x 零等于零，那相当于是我们已经有了这个方程，让我们算的是 e 的 x 分 之一乘以 lo in x 零的值等于多少？这样的话呢，我们只需要进行一个化简就可以了。 所以呢，我们会得到的是 e 的 s 零分之一就等于 s 零平方乘以 lo in s 零，我们两边同除 s 零的话，会得到 s 零分之一。乘以 e 的 s 零分之一就等于 s 零。乘以 lo in s 零，这时我们只需要去凑一个同 相同的类型，其实我们只需要去同构一下就可以了，同构我们需要把这个 x 零变成 e 的 捞引 x 零。乘以捞引 x 零，这边呢，则变成了 e 的 x 零分之一乘以 x 零分之一。也就是说，我们会得到的这样一个函数，只需要令这个函数等于 我们的 g x 等于一个 e 的 x 方乘以 x 就 可以了，因为它是一个单调递增的这样一个函数，所以这个式子我们就可以写成 g x 零分之一等于 j 捞引 x 零，它是单调递增的话，只需要让它的磁变量 x 零分之一等于捞引 x 零即可。 所以呢，我们两边取个对数就可以了，那就是 e 的 捞引 e 的 x 零分之一等于一个 e 的 x 零等于 x 零，所以原式就变成了 x 零。乘以一个 x 零分之一等于一，这个就是我们的第二种函数的零点指定互换，需要去构造一个函数进行求解。 ok， 那 么第二个我们可以留作练习，我们可以告诉你答案，他的答案是一个，这个题答案是一个三， 这样下去可以当做练习进行处理。最后一个就是我们二次型复合函数的零点问题，这个做题方法也比较固定，那也就是说我们能因式分解，先因式分解，再数形结合，再画图，让我们再去画图进行求解，根据我们刚才的嵌套函数，零点进行求解就可以了。那首先我们需要去把这个题目的图像画出来， ok， 我 们先画出来了 f x 图像，那现在呢，我们的做法就是先因式分解，那就是说 y 的 零点，也就是说我们的 f x 零方减去三倍的 f x， 再加上二等于零的方程的根。所以呢，我们可以先去令 t 等于 f x， 所以 这个方程就变成了 t 方减三， t 加二等于零。此事的话呢，我们可以因式分解，那变成了 t 减二，乘以个 t 减一等于零， 减二减一，所以呢，我们得到了 t 一 是不是等于个二， t 二是不是等于个一？那跟刚才一样，那也就是说 t 一 等于二， t 二等于一，所对应的所有的 s 都是它的根，那也就是说我们可以得到 t 一 等于二， f x 等于 t 一 等于二的所有的 x， 就是 这个方程的根了。我们通过这个原理的话，我们画一个 y 等于二的图像与 f x 进行交点就可以了。 y 等二的话，发现有几个交点啊？是有几个 x， 原值对应是三个 x 一 x 二 x 三，所以呢，我们推出来这个是不是根三个根，然后同理呢，我们再去判断 f x 等于 t 二， f i 等于 t 二， t 二是一，那 f x 等于一的时候，我们再去画一个根， 当 y 等于一的时候，刚好在这个地方能发现它有也有三个根， x 三 x 四 x 五在这 x 六是不是在这？这，所以也有三个根对应的它的零点个数是不是三加三是不是等于六个根，所以它零点个数是六个零点，这个跟我们刚才的复合型 嵌套函数零点算法是一模一样的。我们先要进行一个因子分解，通过因子分解把它转换成 f x 与 t 的 这样一个关系，这样的话呢，我们再根据图像画出对应的 t 与 f x 图像的交点，交点有几个对应的 x， 那 它就方程就有几个对应的根。 ok， 大家下去可以拿这道题进行一个练习，它含餐也是一样。那么我们这个视频就讲到这里，这个视频讲的几种方法都比较复杂，所以下去一定要去认真去 求解，把我们这一块的内容进行总结。 ok， 至此我们零点的所有内容已经完全部结束了，后面我们继续更新三角函数部分内容有问题同学欢迎在评论区跟老师进行交流，那么我们下个视频再见。

还剩零点四大题型，十分钟带你快速搞定，尤其是最后一个题型，一定会出成高一高三的压轴题。那我们开始上课了， 我们来看到第二个题型哈，二分法，就其实这个点呢，他不会在高考考，但是呢，他会在高一的时候考，给大家详细的讲一讲， 根据已给的数据，在精确度为零点一的要求下，这个方程的一个近次解可以为多少？而先要把这个方程给它转化成零点型问题，也就是三的 x 方减 x 减四等于零的，也就是这样一个方程，它的零点问题哈， 那么对于这样一个方程，你首先第一步你要去确定它的区间是不是一点五到一点七五之间。 好，我们去另一个 f x， 它是等于三 x 光减 x 减四，现在转化成去求 f x 的 零点问题， 那么我们先要去带这两个端点值为多少？ f 一 点五哈，大家去带一下，带进去呢，它是约等于负零点 三零四，它是小于零的，而此时 f 一 点七五，它带进去，它是约等于咱们的一点零八九是大于零的。 ok， 那 咱们的零点肯定是在一点五到一点七五之间的，但是我的精确度要求是零点一，精确度是什么意思嘞？这是我的区间长度啊，它是不能超过这个精确度的， 这里的区间长度一点七五减一点五，他是等于零点二五的，他明显要大于零点一，所以说你要继续去换。 第二步就是说我要去把这个区间给他一分为二，我去寻找他们俩的中点二分之一点五，加上一点七五，哈，算出来就是等于一点六二五的， 那么下一步我们就是要去看 f， 一 点六二五，它算出来等于多少？它约等于零点三三六。哎，它是大于零的，那么你就可以再去缩范围，我们这里是小于零，这里是大于零，则我们的零点一定是在一点五到一点六二五之间的， 但是你看他的区间长度是多少？是不是减了之后等于零点一二五？ ok， 他 又是干什么的？他又是大于零点一的，所以不行，我还要继续去缩小这个区间长度，所以第三步我继续去缩小，找他们俩的中间点，也就是二分之一点五，加上一点六二五哈， 算出来嘞，它是等于一点五六二五的。好，我们再去带一下 f， 一 点五六二五带进去，算出来它是约等于零点零零二五的，它又是大于零的， 那你感情好哈，我们再来看一下区间长度，就是我现在的零点缩小了，肯定是在这一段和这一段区间，因为一个小于零，一个大于零，对不对？所以零点肯定是在 一点五到一点五六二五之间的，那么此时我看一下它的区间长度，算出来来是等于零点零六二五的，它明显小于零点一了，所以说我们就可以近似在这个区间之内， 那么零点你取在这个区间之内的都是 ok 的。 那我们来看一下 a、 b、 c、 d 选项哈，是不是可以选咱们的？

为什么你的数形结合只会瞎画，一遇到函数零点就乱猜？因为你没有一把解码它的万能钥匙。 马老师告诉你，这类题看似很难，实则简单掌握图像和消元，瞬间看穿所有分段函数。本期视频我们来去说明一个对数函数的零点问题，他经常呢会放在单选压轴，看似很难，但只要我们抓住两点，即可轻松破解。 第一点，我们把函数图像画好，第二点，我们找到 x 一 x 二， x 三 x 四的关系即可。好，那所以我们首先呢来去把函数图像画好。那首先他说在 x 小 于等于二的时候，是一个 log， 以二为底 x， 然后加一个绝对值， 大于二的时候是一个二次函数。好，那我们就画一个图像，在 x 小 于等于二的时候，是一个对数绝对值，所以在 x 等于二的时候呢？那这个函数值呢？实际上是一个一嘛？ 然后这个对数函数呢，又会横经过一斗零，所以我们画上来，然后在整体加绝对值函数 x 轴下方的，翻到 x 轴的上方。 好，这就是 x 小 于等于二时候的函数图像。在 x 大 于二的时候，是一个二次函数对称轴， x 是 等于四的， 那么在 x 等于二的时候，我们代入算一下，四减去十六，再加上十四，那么就是二嘛，是取不到的一个情况，在 x 等于四的时候，代入是负十六，再加上十四是负二。 好，所以我们现在把函数图像画好了，那这个 f x 等于 k 有 四个根，那就是两个函数图像的交点， k 就是 y 等于 k 一 条水平的直线， x 一 到 x 四，它是依次变大的，所以这个根我们标注在图像上。 显然 x 三 x 四是关于 x 等于四轴对称，所以很明显， x 三加上 x 四应该等于二乘以四等于八。 x 一 和 x 二什么关系？也就是 log 以二为底， x 一 的绝对值是等于 log 以二为底 x 二的绝对值。 那很显然， x 一 这个地方，它是由 x 轴的下方翻到上面去的，也就是负的。 log 以二为底 x 一， 那就等于 log 以二为底 x 二。然后我们一项计算一下，零就等于 log 以二为底 x 一 加上 log 以二为底 x 二。 根据对数的加法运算，也就是 log 以二为底 x 一 x 二是等于零的，所以 x 一 和 x 二的乘积就是一。好，我们把这个 x 一 x 二等于一单独的写出来。 最后呢，我们要求的这个取值范围啊，你看 x 三加上 x 四，我们知道是八，那就是八倍的 x 一 加上 x 二， 要求取值范围， x 一 和 x 二存在乘积是一这样的关系，所以我们求取值范围只需要去转化成单变量的函数问题，所以就等于 八乘以 x 二分之一，再加上 x 二，哎，这是一个对勾函数，对不对？所以我们回看 f， x 等于 k， 它有四个根，那这个 k 值是不是就只能在零到一这个区间进行一个变化？ 所以相对应的， x 二就只能在一到二进行变化， x 二的范围是属于一到二，而 x 二分之一加上 x 二，在一到二上是单调递增的。 当 x 二等于一的时候是十六，当 x 二等于二的时候呢，就是八乘以二分之五，也就是二十，所以最后的结果是十六到二十。左开右闭，选择 c 选项，这个问题还是比较简单的，接下来我们看一个变式 好，根据刚才的经验，我们解决这类问题就注意两点，第一，一定要先画图像，然后呢我们再去确定这四个根的关系。好，那我们就先来画函数图像，在 x 大 于零的时候是 log x， 然后再加上一个一，那么也就是 对数函数向上平一个单位，那就会经过呢十分之一到零，那然后呢加绝对值，我们就会把 x 轴下方的去翻到 x 轴的上方去， 整个 x 大 于零的图像就变成了它，那么与 x 轴的交点呢？是十分之一，但 x 小 于零的时候是一个对勾函数，再加上四向上平四个单位， 那 x 加上 x 分 之一呢？它在 x 等于负一的时候，会取到一个最大值是负二，再加上四呢？那就是取到最大值是二。 f x 等于 a， 有 四个不同的十根。好，那这个 a 这条线它就只能在零到二内进行一个变化，对吧？所以 a 选项是错误的，零小于 a 小 于二，我们把这四个根依次标注在图像上， b 选项说 x 四减去 x 一， 那这两个是在两个函数图像上，他们的关系呢？我们就只能知道什么 x 一 它是比负一要小的，而 x 四呢，是比十分之一要大， 那所以 x 四减去 x 一， 它必然要大于十分之一减负一， 所以刚好是十分之一。呃，十分之十一，所以 b 选项是正确的嘛？ c 选项 x 三和 x 四，那么我们是按照什么逻辑来去分析？是这个解析式 log x 三加一的绝对值是等于 log x 四加一的绝对值吗？ 好， x 三加一的绝对值它是怎么来的？它其实是从 x 轴的下方会翻到上方来嘛，所以说它要取一个符号，也就是负的 log x 三 减一就会等于 log x 四再加一。所以呢，我们就会得到 log x 三加上 log x 四是等于负二的， 所以 log x 三 x 四就会等于 log 一 百分之一，那么 x 三乘以 x 四等于一百分之一， c 选项正确， 那 d 选项是不是就有点范畴了？这 x 一 和 x 二，它又不是一个二次函数的两个根，那它没有对称性对不对？所以我们把它去写出来， x 一 加上 x 一 分之一，再加上四是等于 a， x 二加上 x 二分之一，再加上四等于 a， 这两个式子的结构是相同的嘛，所以 x 一 和 x 二呢，就应该是 x 加上 x 分 之一加四等于 a 这个方程的两根， 那么这个式子我们就可以对它进行一个变形，两边同时乘一个 x， x 平方加上一加上四， x 等于 a x， 所以 x 方 再加上四减 a 乘以 x 再加一等于零。所以呢，我们就会得到 x 一 加上 x 二是等于 a 减四，而 x 一 乘以 x 二等于一。所以在这面变式当中，这个同解方程是需要大家注意的。 那么 d 选项当中，这个式子我们就可以通分嘛，也就是 x 一 的平方， x 二的平方分之 x 一 方加上 x 二方，就等于 分母上是一，分子上是 x 一 加上 x 二的平方，再减去两倍的 x 一， x 二就是减去二。 好， x 一 加 x 二就是 a 减四嘛，所以整个这个式子就是 a 减四的平方，再减去二，而 a 的 范围是不是在 a 选项当中得到了？是零到二对不对？ 那这个关于 a 的 表达式，它是一个二次函数，对称轴是四，你 a 的 范围是零到二，所以当 a 等于零的时候，就会取到最大值是十四，当 a 等于二的时候，就会取到最小值是二，那么是一个开区间， d 选项是正确的。 总结一下这类零点的问题，一定要先画好图像，然后与一个图像的两个焦点呢？这两个 焦点是存在关系，我们既可以通过二次函数，可以通过对数函数，也可以通过同解方程来去找到他们的关系，从而进行一个消元。求范围关注，我用正确的方法搞懂数学。

我们今天来讲到比较简单的函数的零点问题，像这道题呢，它是个对数函数的形式，他让你求零点吗？ 他这道题，这道题他让你求零点，那像这种情况求零点，那就是让 f x 等于零，函数 y 等于以 a 为底，一的对数，它的值就是零。然后呢，我们先给大家看一下定律，对于这个部分真数， x 方减四， x 加三， 他是需要大于零的。我们解一下， x 减一，乘上 x 减三，要大于零的，解的一个是一和一个三，然后我们把一这三穿针引线穿过来，大于零就去两边的，就是 x 小 于一或 x 大 于三。然后下一步呢，我们就求这个值就行了，这个值解得的 x 值必须是在定域里面，不然就是不对的。那 f x 是 不等于以二为底， x 方减四， x 加三，那让这一部分 真数位置是不是让他等于一就可以行了？ x 减四， x 加三等于一，那就是 x 方减四， x 加二等于零。像这种不是很好求的，不好求的，我们就可以用求根公式，公式公式是什么呢？就等于 x 等于二， a 分 之，负 b 加减，根号下， b 方减去四 a c， 然后看下这道题的 a 是 不是一， b 是 负四，对吧？ c 的 话是二， 那么二 a 分 之，我们代入进去，过程你们就自己写吧。 x， 结果就是二加减根号下二。我们可以最后验证一下，二加根号二是 约等于三点四几的，它是大于三的，然后那一减根号二，它是约等于零点五几的， 它是小于的。所以说符合定律，最终函数零点就是以 x 等于，最终就是 x 等于二加根号和 x 等于二减根号。好，拜拜啦，有什么问题可以留言哈。

函数零点问题绝对是高中数学的重灾区，但更是你们提分的黄金区，看似他千变万化，实则万变不离其宗。 那这节课咱一节课把零点的七大题型给大家讲的明明白白的，让你跟别人拉开更大的差异好不好？好好，那么零点一共是三个大的考向，七大题型， 哪三个大的考项呢？第一个，首先大家得知道零点的概念是什么， 以及零点的存在定力，这两个就可以考你两个题型，待会说。第二个叫做零点的区间 分布问题。第三个，跟零点有关的个数问题，那个数里面比如说可能会牵扯到第一个，哎，让你去求个数啊， 对吧？或者说我已知个数，这都是你大家应该见到过的吧？已知个数，我让你给我求个字母 a 啊，字母 b 啊，字母 c 求差问题。第三个，超级重点，也是难点，叫什么 复合型的一些问题，复合函数零点问题，对吧？最后一个就是零点的一些综合最值问题， 那七大题型在哪里？我们一个一看，第一个，零点概念，第二个存在定力，第三个区间分布，第四个，第五个，第六个，第七个，一个一个把它往后过，这是我们今天的重点好不好？好好，先来说第一个 叫做题型一，跟零点概念有关的问题。我先问大家，什么叫零点知道吗？不知道什么是零点，复习一下， 说白了它有几个等价，把这几个等价植入到你脑海里就可以了。第一个，零点等价于方程的根， 等价于图像，你所研究的这个图像 与 x 轴交点得啥？横坐标，对了，零点不是点，零点是横坐标， 横坐标。同时你发现这几个等价让你把题做不出来，还可以继续对它进行转化，可以把它转化成你所 familiar， 就是 你所熟悉的 两个函数图像焦点问题。你要把这几个等价 深深地根植于你的脑海里面，这是零点问题，不断地在转化的过程中，我们要用到的。比如说，第一个比较简单的题目来了，我让你给我求， 求什么？求一， x 乘以 line x 等于一，求这个方程的根， 求方程的根，你会求吗？或者我就直接给你说，让你求它的零点，有几个不是零点问题吗？概念是吧？求方程的根，方程的根，直接解，不会解。 那怎么办？转化，转化成图像与 x 轴交点的横坐标，这个 是吧？是的，图像，或者把 e 挪过去，整个函数图像与 x 轴交点，你会画它吗？不会，你不会画它的图像。 那怎么办呢？继续转化，转化成你所熟悉的两个函数图像的焦点，你所熟悉的是 e x 和 long x， 你 俩先成一块，是必须让它分开。是的，来，把一个搞过来，把 long 搞过来，还是把 ex 搞过来？搞谁 e x 搞谁？搞 e x。 line x 等于 e x 分 之一，它可以写成一分之一 x， 我 可以看成这个叫做 y 一， 这个叫做 y 二，我所熟悉的两个函数图像的交点问题， 就等价于方程的根吗？对不对？他那里求根，比如说求根的个数，你给我求一下，这个根的个数有几个？ 嗯， line x 图像长这样，一分之一 x 图像长这样，你俩交点一共有一个，这个交点的横坐标 x， 使得咱俩相等，就是我方程的根， 对吧？他，你看这个根，你如果函数两边能解出来，我们一般都解出来了，如果解不出来，他不就不会让你求根了，就是根的个数问题了，是吧？是的，有几个 一个根就完了。这是第一个零点的几个等价以及概念的一些考察，没有问题吧？没有。好，接下来我们来看第二个叫零点存在定力，是怎么考察大家的？那在看他的题型之前，第一件事复习一下什么叫零点存在定力， 还记得吗？记得，胡老师用大白话给你讲一下，把它翻译成通俗易懂的语言语言，首先他说有一根函数 是连续不断的，这个函数中间没有断开， ok， ok。 比如说举个例子，这个函数，那么我要研究的是 a 到 b 这一段，我如果发现啊， fa 和 f b 的 值乘完小于零了，我就说在你俩之间一定是存在至少一个零点的， 至少一个零点这个事大家能理解吗？你想啊， a 的 y 值和 b 的 y 值小于零一乘，说明他俩 y 值怎么了？ 异，异号吗？异号，一个 y 值从正的要到负的，或者从负的到正的必然要经过 x 轴吗？图像必然要与 x 轴相交，那你必然至少有一个零点存在吧？对，起码有一个吧，这叫零点存在定律。 我们来看一下在题目中一般怎么考察大家的，他会是有些关键词出现的，比如说题目说，哎呀，有唯一零点， 对吧？或者题目说有零点，或者说存在零点，至少有一个零点，这都是零点存在。这里的考察，你现在识别题型，好吧，好，来看题。 研究的是二次函数在某个区间上有唯一零点，这个二次函数 先模拟图像吗？能画图的把图像大概画出来，是吧？二次函数开口朝上，嗯，它的典型的特征。对称轴是不是还可以求出来来？对称轴是几，能求就求吗？二 a 分 之， b 应该是一。 ok， 题目说在二到三上，那二到三肯定是在对称轴的右边了吧？那你想二到三内有唯一零点，你跟我说把二三放哪去？二在二放到这来，三能放到这吗？ 不行吧，三必须得放到这里来，是吧？知道你俩之间是不是才有唯一零点？对，所以我怎么去保证呢？来告诉我， f 二的值必须得小于零，同时 f 三的值大于零，去交集，同时满足， 行不行？行，来，把二往进带，把二往进带。所以说这是 b， b 小 于零，同时把三往进带。 九减六是三加 b 大 于零，所以说 b 大 于负三，这两个结果取交集，所以说 b 属于负三到零，这就零点存在定力考察的题型。 零点昨天定要考察大家，在你们考试中其实不会考，很难考的，你更难的题型是在我们后面的题目当中，咱们一个一个带着大家往下讲好不好？好，题型三，区间分布问题，区间分布问题，只需要大家抓住 这几个字就可以了。只要你在考试的过程中叫做端点值一号， 那题目一般怎么考你呢？比如说这道入门级的题目，他说，哎呀，这个函数在下列区间中一定包含零点的，是哪个区间就哪一个区间，至少有我这个函数中的一个零点吗？包含我零点了， 核心就是端点值一号，什么意思呢？就是我把这个区间带入选项去给他验证， 只要保证这两个值带进去的 y 值是一号的，说明你俩之间就有零点，就有零点，那如果带进是同号的，那不一定吗？我就看 b 选项 排除答案就可以了。对，这是这种问题的做法，叫端点值一号，会了没有？会了，那就很简单，我带大家做一遍吧。比如说我第一个把二分之一带进去， f 二分之一往前带， 这是多少？六？六加一是七，减去四分之一是你不知道他是谁，无所谓，你想算也可以算，反正他是一个正值。 我要的是一号嘛，对不对？来，我再带一下 f 一 f 一 的往直往进带，三减一加一，你不算出来无所谓，你是一个正正的，所以没用， 是吧？对，你看这是正正，那这个是不是正了？对，判断二分之三就可以了。 f 二分之三来往进带，二分之三分之三。 嗯，二，二分之三分之三几二二减去四分之九加一， 这肯定是个正值吧。哎，他肯定是一个正值，那你得到的白值也是一个正值，该下一个了，是吧？知道 f 二的值，往进一带应该是二分之三减四加一， 这俩加起来是二分之五吧，这是二分之八吗？对，是吧？所以这是一个负值，一正一负 有零点，那你俩之间存在零点。因此本道题目答案选的是 c， 这是区间分布问题的入门级考法， 整个这里一共会考大家十种考法，那就是也是大家考试阵中拉开差距的啊，更刁钻的，更复杂的几种考法。那么胡老师呢，全部给大家配套了同类型题目的辨识训练和解题技巧，所以大家可以去留一下 零点，胡老师把对应的题目全都给大家安排好，抓紧时间拿走打印训练起来吧，行不行？行，好，下课。

同学们好，欢迎来到周志伟的高中数学课堂，今天我们学习高一必修一第四章第五节函数的应用。我们来看本节的常考题型。 本节的常考题型有五种，第一种是零点的求解，第二种是零点的个数问题，第三种是零点分布问题，第四种是二分法与零点近似值问题， 第五种是函数模型及其应用问题。那我把本节所有的例题汇总在这里，我希望大家自己先思考一下，自己先做做题目，然后再来听我的解析。这是本节的例题汇总。一，这是本节的例题汇 总。三，这是本节的例题汇总。四、 好，我们来看第一种题型叫零点的求解。零点的求解有两种方法，第一种是解方程，我要求 f x 的 零点，我就是求出 f x 等于零的指数根， 那第二种方法是图像法，对于 f x 来说， f x 的 零点就是 f x 与 x 轴交点的红坐标，因为 f x 与 x 轴交点就是 x 零， 这个 x 零，这个点满足 f x 等于零，那对于 f x 减 g x 来说，那 f x 减 g x 的 零点就是 f x 减 g x 与 x 轴交点的横坐标 把这个焦点也是满足 f x 减 g x 等于零的，那有的时候 f x 减 g x 与 x 轴焦点的红坐标不太好求，那 f x 减 g x 等于零，这个方程也不太好解，那这时候我们就要转化了， 我们来看，我现在要求的是 f x 减 g x 等于零，它的实数根，那我把它一个项就得到 f x 等于 g x， 那我再念 y 一 等于 f x， 我 再念 y 二等于 g x， 我 分别画出 y 一 和 y 二的图像，我们随便画一下，假设图像的焦点是 x y， 那 图像的焦点可能不止一个，那这个焦点 x y 就 满足 y 一 等于 y 二吧，因为它是 y 一 和 y 二的焦点， 那 y 一 又等于 f x， 那 y 二又等于 g x， 那 我等量代换。我就知道这个焦点也是满足 f x 等于 g x 的， 也就是满足 f x 减 g x 等于零，所以这个焦点的红坐标 x 就是 f x 减 g x 的 零点。那这样我们就把求 f x 减 g x 的 零点转化成了求 f x 图像与 g x 图像交点横坐标的问题。 好，这个原理这个本质同学们一定要掌握。那你求零点的时候，同学们要注意，对于分段函数，我们要分段讨论。那同时我们要注意函数定域问题。好，我们来看具体的题目。第一道题让你求函数 f x 的 零点， 那我就假设 f x 等于零，也就是 log x 平方减二等于 log x log 是 一个单调递增的函数，所以 x 平方减二就等于 x， 但同时 x 平方减二是增数，所以 x 平方减二要大于零，那这里的 x 也是增数，所以 x 也要大于零。那有这三个式子，我就能解出来 x 等于二。这道题要注意定域问题。 好，下一题求函数 f x 的 零点。 f x 此时是分段函数，分段函数我们要分段来讨论。 当 x 大 于零的时候，那我念 f x 等于零，就是 x 乘 log in x 减二要等于零，此时 x 是 不可能等于零的，所以 log in x 减二就要等于零，所以 x 减二就等于一，所以 x 等于三。 那当 x 小 于等于零的时候，我念 f x 等于零，那我就得到了二 x 平方减三， x 减二等于零， 也就是二 x 加一乘以 x 减二要等于零，那因为 x 是 小于零的，所以 x 减二是不可能等于零了，所以就二 x 加一要等于零，所以 x 等于负二分之一。 因此这个分段函数 f x 就 有两个零点，一个是 x 等于三，一个是 x 等于负二分之一。 好，这道题要注意分段函数分段讨论好下一题。求函数 f x 等于二的 x 方，加 x 减一，它的零点，那我令 f x 等于零，也就是二的 x 方加上 x 减一等于零。 我们发现直接解这个方程是很难解的，那我们对这个方程进行变形一项得到二的 x 方等于一减 x， 那 我令 y 一 等于二的 x 方，令 y 二等于一减 x， 那 我再画出 y 一 和 y 的 图像， y 一 等于二的 x 方，这个好画， y 二等于一减 x， 那这里就是一。所以我们很容易得出 y 一 和 y 的 交点就是零一，所以 f x 零点就是这个焦点的红坐标，就是 x 等于零。 第二种题型是零点个数问题，主要有三种考法，第一种是考你零点的个数， 零点的个数我们可以用解方程的方法，就是把所有的根，所有的零点都求出来，我们数一数就知道有几个零点了。 那第二个方法就是图像法，我们看 f x 跟 x 轴有几个交点，或者看 f x 跟 g x 有 几个交点。那第三种方法就是用函数性质，利用函数单调性、基有性、对称性，我来判断它有几个交点。 那第二个问题就是方程根的问题。对于 f x 减 g， x 等于零这个方程根的个数问题，我们要转化成求 y 一 等于 f x 和 y 二等于 g x 这两个图像交点的个数问题，也就是图像法，或者叫图像交点法。 那第三个问题就是已知零点个数，让我们求参数。好，我们来看题目。第一道题让你求函数 f x 等于 x 平方减一，乘以根号 x 平方减四，它的零点的个数，那对于这道题，我们可以直接把所有的零点都求出来，我们令 f x 等于零， 我们就得到 x 平方减一等于零。或根号 x 平方减四等于零，那由 x 平方减一等于零，我们就能得到 x 等于正负一， 那由 x 平方减四等于零，我们就能得到 x 等于正负二。这时候粗心的同学就选了第四个零点，细心的同学能看到根号 x 平方减四，被开方数 x 平方减四要大于等于零， 那因此我就把 x 等于正负一排除掉了，那它的零点就是 x 等于正负二。所以这道题答案就是 b 两个零点。好，下一题，在函数 f x 的 定义域内，零点有几个？ f x 定义域是 x 大 于负一，且 x 不 等于零，那我就令 f x 等于零， 那我就得到 loing 括号 x 加一，减掉 x 分 之一等于零，那这个方程是很难解的，那我在移项就得到 loing 括号 x 加一等于 x 分 之一， 我令 y 一 等于 lo in 括号 x 加一，令 y 二等于 x 分 之一，那接下来我来画 y 一 和 y 二的图像， 那对于 y 一， 我是先画 lo in x 图像，然后再把这个图像向左平移一个单位，这就是 y 一， 那 y 一 是永远接近但到不了 x 等于负一这条线吧， 那 y 二是 x 分 之一，那 x 分 之一，图像就是这样。 那么在 x 大 于负一，且 x 不 对零这个定域内， y 一 和 y 二的交点就有两个，所以函数 f x 的 零点就是两个。 下一题，已知函数 f x 等于 x 平方减 a， x 加 b， 有 两个零点。判断函数 g x 等于负 b， x 平方加 a， x 减一，它的零点个数 f x 有 两个零点，所以对于 f x 来说，它的判别式，我们假设它是代代一等于 负， a 括号平方减四， b 要大于零，也就是 a 平方减四， b 大 于零，那对于 g x 来说，它的二次项系数是未知的，所以我们要对二次项系数进行分类讨论。 当负 b 等于零的时候，那 g x 就 等于 ax 减一，这是第一种情况，那 b 等于零， a 平方减四， b 大 于零，那我就能得到 a 不 等于零。所以我们由 g x 等于零，我们就能得到 x 等于 a 分 之一。 也就是说，当负 b 等于零的时候，此时 g x 只有一个零点。那第二种情况，如果负 b 不 等于零，那 g x 就是 一个二次函数，那对于 g x 来说， 它的判别是，我们叫 that 等于 a 平方减四，乘以负， b 乘以负一，等于 a 平方减四， b， 它是大于零的，那此时 g x 就 有两个零点。所以最后大家记得总结一下，当负 b 等于零的时候， g x 只有一个零点。当负 b 不 等于零的时候， g x 有 两个零点。 下一题，已知函数 f x， 它是一个分段函数，若 m 大 于零，且 f x 等于 b， 有 三个不同的实数根，求 m 的 绝对范围。我们来画 f x 图像，当 x 小 于等于 m 的 时候， 那 f x 等于绝对值 x。 我 们假设绝对值 x 与 x 等于 m， 这条直线的交点就是 a， 那当 x 大 于 m 的 时候，我们对这个 r 函数进行一个配方，就得到 x 减 m， 括号平方加四 m 减 m 平方，它是开口向上的抛物线对称轴是 x 等于 m， 最低点是四 m 减 m 平方， 它图像大概就是这样。我们假设这个最低点是 b， 那 a 点的坐标就是 m m， b 点的坐标就是 m。 四 m 减 m 平方，那 a 点和 b 点都是沿着 x 等于 m 这条线上下移动的， 也就是说， b 点有可能在 a 点的上方，那 b 点也有可能跟 a 点重合， 那 b 点也有可能在 a 点的下方。那题目中说 f x 等于 b， 有 三个不同的实数根，那 f、 x 图像我已经画出来了，那接下来我来画 y r 等于 b 它的图像， 它的图像是一条和 x 轴平行的直线， y 二等于 b， 那 由图我们可以很容易地知道，只有当 b 点在 a 点的下方， 也就是 x 大 于 m 的 时候，抛物线图像是蓝色的这一部分，这个时候 y 二等于 b 和 f x 才有可能会有三个焦点，也就是说 f x 等于 b， 此时才有可能有三个不同的指数根。所以四 m 减 m 平方，就是 b 点的纵坐标，要小于 a 点的纵坐标 m。 但是同时我要保证 m 大 于零，那我由这两个不等式我就可以解出来 m 大 于三， 这就是我们要求的 m 的 取值范围。好，这道题就是把方程根的问题转化成了图像焦点问题，同学们一定要掌握这种方法。 第三种题型叫零点的区间分布问题。对于这类题目啊，我们通常无法通过解方程来得到零点的具体的数字，那我们通常用零点存在定理和图像法来解析。那对于零点存在定理，我们要注意，第一点，连续。 第二点， f a f b e 号，也就是 f a 乘 f b 小 于零。那第三点呢？在满足连续和 e 号这两个条件的前提下，我再加上单调递增或者单调递减，我就能确定唯一的零点了吧。 那图像法还是跟前面讲的一样，我们把 f x 的 零点问题转化成 f x 减， g x 的 零点问题转化成 f x 和 g x 的 零点问题 来。我们看题目函数 f x 有 一个零点所在的区间是我们来看 f x 解析式，它的定义域是 x 不 等于负一， 也就是说在 x 小 于负一的时候和 x 大 于负一的时候，它是两段连续的区间。那正好 a、 b、 c、 d 四个选项都是在 x 大 于负一这个区间内。我们来看 f 负一 f 一 是没有意义的，那我们先放着不管，我们看 f 零等于一的零减一字方减掉零加一分之二减一等于一分之一减三， e 是 二点几，那 e 分 之一肯定是小于一的，所以 e 分 之一减三肯定是小于零的，那 f 一 就等于 e 的 一减一次方减掉二，比上一加一减一等于 负一，那负一是小于零的，那 f 二等于 e 的 二减一次方减掉二。比上二加一减一等于 e 减 三分之五，那 e 是 二点七，三分之五是一点六六。所以 e 减三分之五是大于零的， 那 f 三就等于一的三减一次方减掉三加一分之二减一等于一的平方减一点五，肯定是大于零的，那由此我们知道 f 一 乘以 f 二是小于零的， 那因此有一个零点所在区间就是一到二。那我们再回过头来看， a 在 负一到零这个区间内，那因为 f 负一是没有意义的。我怎么判断负一到零这个区间内有没有零点呢？我们用单调性的方法， 那 x 加一分之二是单调递增的， 那 e 的 x 减一字方，再减一，它是单调递增的，那 f x 就是 这两个函数的和， 那它也是单调递增的。增加增为增，那 f 零是小于零的，所以负一到零这个区间内，它的函数值都是小于零的，所以在负一到零这个区间内是没有零点的。 好，下一题，若 f x 等于二分之一的 x， 四方减， log 以二为底， x 对 数与函数 g x 等于二分之一的 x， 四方减， log 以二分之一为底， x 对 数， 它们的零点分别是 x 一 和 x 二， x 一 乘以 x 二所在的区间是哪一个？好，我们假设 f x 等于零，那就得到了二分之一的 x， 四方等于 log 以二为底， x 对 数。 我们假设 g x 等于零，我们就得到了二分之一的 x 方等于 log 以二分之一为底， x 对 数。所以接下来我们要把零点问题转化成图像焦点问题。 我们假设 y 一 等于二分之一的 x 方，假设 y 二等于 log， 以二为底， x 对 数。假设 y 三等于 log 以二分之一为底， x 对 数， 那 y 一 和 y 的 焦点就是 x 一， 那 y 一 和 y 三的焦点就是 x 二。那接下来我们画 y 一、 y 二、 y 三的图像， 这个点是一，这里就是 x 一， 这里是 x r， 那 我们用图像初步可以判定 x 一 是大于一的，那 x r 是 小于一大于零的。 那现在题目要我们判定 x 一 乘以 x r， x c 乘以 x r， 直接判断，我没法判断，那我们就判断 log 以二为底， x 一 乘以 x 二，它的对数。为什么要判断 log 以二为底呢？因为 y 二是 log 压为底的， y 三是 log 压分之一为底的对数，它也可以转换成 log 压为底的对数，那 log 以二为底，括 x 一 乘 x 二， 就等于 log 压为底， x 一 加上 log 压为底， x 二，它就等于 log 以二为底， x 一 减掉 log 以二分之一为底， x 二对数。 因为 x 一 是 y 一 和 y 二交点的横坐标，所以 log 压为底， x 一 就等于 二分之一的 x c 字方，那因为 x r 是 y 一 和 y 三交点的横坐标，所以 log 压分之一为底， x r 就 等于二分之一的 x r 字方，那中间还是减号， 那 x 一 是大于一大于 x 二大于零的，所以二分之一的 x 一 次方是小于二分之一的 x 二次方的， 所以二分之一的 x 一 次方减二分之一的 x 二次方是小于零的，也就是 log 以二为底， x 一 乘以 x 二括号，它是小于零，是 log 以二为底一的对数， 所以 x 一 x 二小于一，那 x 一 x 二都是正数，所以 x 一 乘以 x 二又大于零。所以这道题答案是选 a 零到一之间。 所以这道题考察我们把零点问题转化成图像焦点问题，考察我们单调性比较大小的问题，还考察我们转化的思想。 x 乘以 x r 的 区间范围直接求求不出来，我们先求它的对数， 把它对数的区间范围求出来，然后再还原成 x 一 乘以 x 二的区间范围，这就是转化的思想。下一题，若方程 x 平方减二， a x 加四等于零，两个不相等的实数根均大于一，求实数 a 的 取得范围。 那我们画图，对称轴是 x 等于 a， 它要求两个实数根都大于一，那这里是一。那么看，要求这个方程有两个不相等实数根，所以 data 要大于零， 两个实数根都要大于一，所以对称轴 a 肯定要在一的右侧，所以 a 要大于一。 那如何保证两个根都大于一呢？那在一到 a 之间，函数是单调递减的，所以如果 f 一 是大于零的，那它的两个实数根就是大于一的，那么我们就有 负二， a 扩大平方减十六要大于零， a 要大于一， f 一 是一减二， a 加四要大于零， 那由这个不等式组我们能解出来， a 小 于二分之五大于二。 下一题，若函数 y 等于绝对值， ln 绝对值 x 减一，加上 x 平方减二， x 所有零点之和是多少？我们令 y 等于零，我们就得到了 绝对值 ln 绝对值 x 减一，等于 r， x 减 x 平方。我们令 y e 等于绝对值， ln 绝对值 x 减一， 令 y r 等于 r， x 减 x 平方。来，我们画图，我们先画 y 一 的图像，我们先画 loin x， 再画 loin x 减一， 就是把 ln x 向右平移一个单位，接着再画 ln 绝对值 x 减一，怎么画？就是画 ln x 减一。关于直线 x 等于一对称的图像，这个对称的图像 和原来的 loin x 减一的图像，两个合在一起，就是 loin 绝对值 x 减一的图像，然后再画绝对值 loin 绝对值 x 减一， 它的图像怎么画？它的图像？就是把此时 loin 绝对值 x 减一，函数值为负的部分，沿着 x 轴翻折，变成函数值为正的， 我们标个蓝色，此时标蓝色的部分就是绝对值零，绝对值 x 减一，那我们再画 y r， 也就是 r， x 减 x 平方。哎，这个好画，对正轴是 x 等于一两个零点，分别是零和 r。 此时啊，有我的图像就能看出函数有四个零点，但是有的同学他画的图是两个零点，我们来看一下他怎么画的。 那这就是有些同学画出图像，从这个图像中我们看到只有两个零点，那到底是两个零点还是四个零点呢？这时候我们就要判断了，这一步非常关键， 因为这两个图像都是关于 x 等于一对称的，所以我们只看一段，我们看零到一这一段，我们取 x 等于二分之一。 如果在 x 等于二分之一处，这个绝对值零，它的函数值要比二次函数函数值大，那在二分之一到一这个区间上就没有零点了。那在零到二分之一这个区间上，还有可能存在零点，那我们就要接着判断。 但是如果此时这个绝对值零，这个函数值要比 r 次函数的函数值要小，那么在二分之一到一处，肯定还是存在一个零点的 好，那我们就来比较 x 等于二分之一时，函数值大小。对于 y 一 来说，当 x 等于二分之一时，它的函数值等于绝对值零。二分之一减一 等于绝对值小于二分之一就等于小于二。对于 y、 r 来说，当 x 等于二分之一时，它的函数值就等于二。乘以二分之一减四 分之一等于四分之三等于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于小于 四分之三次方，那现在我就要比较 r 和 e 的 四分之三次方它的大小。 e 的 四分之三次方等于 e 的 三次方再开四次方，那 r 等于十六开四次方，那现在我就要比较十六跟 e 的 三次方的大小， 那 e 是 二点七八二八，省略我把它取小一点，我就取二点七，那 e 的 三次方，我就约等于二点七的三次方等于十九点六八三。 所以十六是小于 e 的 三次方的，那 e 的 三次方实际肯定比十九点六八三还要大， 所以十六开四次方，就小与 e 的 三次方再开四次方，也就是 r 是 小与 e 的 四分之三次方的。也就是此时 y 一 是小与 y 二的。 也就是说此时抛物线在这个绝对值 lawing 这个函数的上方，那么因此在零到一这个开区间上，还有一个零点 x 三， 那相应的，在一到二上还有个零点 x 四，那 x 三和 x 四也是关于 x 等于一对称的，那么这个函数 y 就 有四个零点， 其中两个是零和二，还有两个是 x 三 x 四， 零和二是关于 x 等于一对称的。 x 三和 x 四也是关于 x 等于一对称的，那零加二等于二，那 x 三加 x 四也是等于二的。 因为 x 三和 x 四是关于 x 等于一对称的，所以它领的和就是二，那么四个零点的和就是二加二等于四，所以这道题答案选 d 好。这道题考选择题难度稍微小点，因为选项中有 d x 等于四这个选项，那细心的同学就会想到是两个零点还是四个零点。如果这道题出填空题，那难度就比较大了，因为很容易画错图，画成这样只有两个零点， 同学们想不到会有四个零点，想不到要去判断，那就得到了错误的答案。 好，这道题值得同学们再去思考一遍。第四种题型叫二分法，与零点近似值，常考的是二分法的原理和二分法的步骤。 二分法的原理是零点存在定力，所以使用二分法要满足零点存在定力的条件，那第一个条件就是连续，第二个条件就是零点两侧函数值一号，也就是 f a 乘以 f b 小 于零， 那这里的连续，同学们要注意一下，并不是指整个定域连续，而是指零点附近的区间连续。给大家画个图， 比如说这个函数，它的图像在整个定域内是间断的，不是连续的，但是它在零点附近的区间， 比如说这里的区间 a 到 b， 它是连续的，而且这个零点左右两侧的函数值也是一号的，所以就可以使用二分法求零点近似值。 那 r 分 法的步骤概括起来就是，区间一分为二，逐步 b 进零点，这里的 b 进意思就是区间长度要小于精确度，也就是 a 减 b 绝对值，也就是 a 减 b 的 长度，它要小于 epsilon。 那这也是判断二分法求的结果是否符合提议的标准。好，我们看题目，下列函数中能用二分法求零点的是，我们看 a y 等于三， x 减一，它的图像是这样的，那在零点两侧，函数值是一号的，而且这个函数是连续的。那 b y 等于 x 平方减 x 加一，那就等于 x 减一，括号平方，它图像是这样的，那在零点左右两侧，函数值都是正的，所以不能用二分法。那 c 它图像是这样的，在零点左右两侧，函数值一号，而且这个函数是连续的。 d， d 是 把 e 的 x 换成图像，向下平移两个单位， 那在零点左右两侧，函数值一号，而且这个函数是连续的，所以 d 能用二分法求零点。所以这道题答案是 a c d 多选题啊。 下一题，根据下列数值，用二分法求函数 f x 在 一到二上的零点近似值，精确度是零点一。 我们来看啊， f 一 小于零， f 二大于零，所以零点 c 此时肯定是在一到二之间。但是一到二的区间长度呢，是等于一的， 它是大于零点一的，所以我们要把一到二这个区间一分为二，那一到二的终点就是一点五。 f 一 点五，题目中告诉我们了，它是负的，零点一，二五，它是小于零的。 f 一 点五小于零， f 二大于零，所以零点 c 此时是在一点五到二之间的， 那区间长度就是一点五减二的，绝对值等于零点五。零点五还是大于零点一的，所以不符合题目要求。 那我们继续把区间 b 分 为二，那一点五和二的中点是一点七五，那 f 一 点七五，题目中告诉我们了，是一点一零九三七五，它是大于零的。 f 一 点七五大于零， f 一 点五小于零，所以此时零点 c 肯定是在一点五到一点七五之间，但是此时区间长度等于绝对值，一点五减一点七五 等于零点二五，零点二五还是大于零点一的，所以不符合题目要求。那我们继续把区间一分为二，一点五到一点七五，他的的终点是一点六二五 啊。 f 一 点六二五，题目都告诉我们了，它是大于零的。 f 一 点六二五大于零， f 一 点五小于零，所以零点肯定是在一点五到一点六二五之间， 那此时区间长度是绝对值一点五减一点六二五等于零点一二五，零点一二五还是大于零点一的，所以不符合题目要求。那我们再把一点五到一点六二五这个区间一分为二， 那它等的终点就是一点五六二五，题目就告诉我们了，它是大于零的， 那 f 一 点五小于零， f 一 点五六二五大于零，所以零点 c 肯定是在一点五到一点五六二五之间， 此时区间长度是一点五减一点五六二五，它的绝对值 等于零点零六二五，它是小于零点一的，区间长度小于精确度，所以符合题目要求。那我就可以取一点五到一点五六二五之间的任意一个数作为零点净四值，那为了方便，可以取一点五或者一点五六二五， 那这道题的答案就是 d， 一 点五六二五。好，这就是二分法的步骤的一个考察。 下一题，已知函数 f x， 它的零点 x 零位于区间， k 到 k 加一上，那 k 是 整数。 第一个让你求 k 的 值，那第二小题有二分法，在满足精确度要求的条件下，可以径直认为 f x 零点可以取 k 加零点五到 k 加零点六的每一个值，是求 x 零乘以零，根号 x 零的取值范围。好，我们看第一小题， 我们令 f x 等于零，那我们就能得到小于 x 等于六减二 x， 那 我们画出小于 x 跟六减二 x， 它的图像，这里是一，这里是三， 那有这个图像，我就知道零点是在一二三之间的，那我就把 x 等于一， x 等于二， x 等于三。代入 f x 的 奇奇式中，我们来算一下， f 一 等于 零，一加上二减六等于负四，它是小于零的。 f 二等于 law in 二加上四减六等于 law in 二减二，它也是小于零的。 那 f 三等于 law in 三加上六减六等于 law in 三， law in 三是大于零的， 所以零点就在二到三这个区间范围内。那题目中说零点 x 零位于区间， k 到 k 加一上 k 属于整数，所以 k 就 等于二。那第二小题， x 零是 f x 的 零点，所以 x 零满足 f x 零等于零， 也就是 lawing x 零等于六减二倍 x 零，所以二分之一 lawing x 零等于三减 x 零， 那二分之一 lawing x 零就等于 lawing 根号 x 零等于三减 x 零， 所以 x 零乘以零，根号 x 零等于三倍的 x 零减 x 零的平方， x 零是属于 k 是 二，那就是二点五 到二点六这个区间内的，那我令 g x 零等于三， x 零减 x 零的平方， 那 x 零乘以根号 l x 零的取值范围。这个问题就转化成了求 g x 零在 x 零属于二点五到二点六这个区间内，它的取值范围，而 g x 零是个二次函数，我们来画一下它的图像， 两个零点是零三，那对称轴就是一点五，那 g x 零在二点五到二点六这个区间内，它是单调递减的， 所以三乘以二点五，减二点五的平方就等于一点二五， 那三乘以二点六减二点六的平方就等于一点零四。 所以 g x 零的取值范围就是一点零四到一点二五， 也就是 x 零乘以零零，根号 x 零的取值范围是一点零四到一点二五，那一点零四和一点二五这两个数值都是取不到的。所以同学们在求值的时候，不要在这里写上最大值，不要在这里写上最小值的符号了， 取得到才能叫最大值、最小值，而这两个点取不到，只能叫区间端点或者叫取值范围。 好，这道题再给同学们拓展一下，如果第一小题求 k 的 值的时候，题目中明确告诉我们不允许用图像法求解，那我们该怎么解呢？这时候啊，我们就要考虑单调性了。 f x 等于零， x 加二 x 减六，零 x 是 单调递增的，二 x 减六也是单调递增的，所以 f x 就是 单调递增的， 连续且单调递增，而且异号，所以只有一个零点就是二到三，所以这个二到三就是题目中的 k 到 k 加一，所以 k 等于二。 好，同学们你会了吗？接下来我们看第五种题型，叫函数模型及其应用， 主要会考两个点，第一点是让你比较大小，这里会把逆函数、指数函数、对数函数混合在一起比较大小，那这时候就没有什么特殊的口诀或者特殊的规律了，那同学们要用图像法，用特殊值，用中间值来辅助我们比较大小。 那第二种题型就是函数模型的应用题。对于函数模型应用题，我们有四个步骤，第一步要分析已知 处理题目中已经知道的数据，我们可以画一些散点图啊等等。那第二步就是确定函数，要选择正确的函数模型，概括出函数关系。 那第三步是推理计算，对函数关系进行计算，得到函数解析式，并检验解析式是否合理。那第四步就是解决问题，就是用我们得到解析式去解决题目中提出的问题。 看这道题，若 x 大 于二小于四，比较二的 x 次方和 log 压为 x 和 x 平方的大小关系。 x 在 二到四之间，我们取个特殊值， x 等于三，那二的 x 次方就等于二的三次方等于八，那 x 平方就等于三的平方等于九，所以 x 平方是大于二的 x 次方的， 那 a 和 c 就 排除掉了。接下来我们看 b 和 d， b 和 d 已经告诉我 x 平方是最大的，那接下来我就要比较 r 的 x 方和 log 压为 d， x 的 大小，我们来画图， r 的 x 方是这样的啊， log 压为 d， x 是这样的，它俩是关于 y 等于 x 对 称的这两函数我们都很熟，那 r 的 x 方是大于 log y 等于 x 的， 所以这道题选 b。 下一题要制作一个容积是四立方米，高为一米的无盖长方体容器，已知容器的底面造价是每平方米二十元，侧面造价是每平方米十元，则该容器的最低造价是多少？ 我们先来画个长方体容器，容器是四立方米，高为一米， 所以底面积就是四平方米。我们假设底面的长是 x 米，那宽就是四，比上 x 米 好。我们来看容积的底面造价，底面是四平方米，每平方米造价二十元。 我们再来看侧面，这个长方体有四个侧面，其中正对我们这个侧面和他的对面面积是一样的，左边这个侧面和右边这个侧面面积是一样的。我们来看正对我们这个侧面和他的对面，他们的面积就是 x 乘以一，再乘以二，有两个是吧？再加上左边这个侧面和右边这个侧面面积就是 x 分 之四乘以一，再乘以二，那总的侧面面积我们求出来了，那侧面的造价是每平方米十元，那就再乘以十。整理一下，我们得到八十加上 x， 分 之八十加上二十 x， 其中 x 是 大于零的， 那它是大于等于八十，加上二倍根号 x 分 之八十乘以二十 x， 那 就等于一百六十元。那当前仅当 八十比上 x 等于二十 x， 也就是 x 等于二的时候，等号乘以。 最后记得答一下，当底面的长是两米，宽是两米，也就是底面是一个正方形的时候，造价最低，最低造价是一百六十元。 下一题，某商家售卖 a 和 b 两种新产品，并为新产品投入营销费用，以下是前几个月投入营销费用与所获利润之间的关系，若下个月商家准备投入十二万元的营销费用，请问如何分配才能使利润最大化？结果保留一位小数。 我们先来看 a 产品，我们画它的散点图，那我们把所有的散点连接成一条顺滑的线， 那我们此时选二次函数作为模型，我们假设 y 一 就等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 那 a 是 不等于零的，那我们从六个散点中选三个点带进去来求 abc 的 值，那在选点的时候我们要注意，我们要尽量分散选点，尽量不要选太集中的点，比如这里尽量不要选一二三，也不要选四五六， 那第二点要尽量不取端点，也不取那些偏离较大的点。好，那在这里我们选 二四、五三个点把它带进去，我们来看一下，那就是一点三九等于 a 乘以二加上 b 乘以二加上 c， 那二等于 a 乘以四的平方，加上 b 乘以四加 c， 那 一点八四等于 a 乘以五的平方，加上 b 乘以五加上 c， 那解这个三元一次方程，我们就得到 a 等于负零点一六， b 等于一点二四， c 等于负零点四六。 那题目要求结果保留一位小数，那我在计算的时候，我们就保留两位小数， 所以 y 一 就等于负零点一六， x 平方加上一点二四， x 减零点四六。 接下来我们再看 b 产品，我们来画一下散点图，那我们再把散点图连接成一条平滑的线， 此时我们取直线模型，我们假设 y 二等于 k， x 加 b， 那 k 不 等于零，我们带两个点进去求 k 和 b 的 值，我们带二和五这两个点， 那就得到零点五一等于 k 乘以二加上 b， 一点二六等于 k 乘以五，加上 b， 那 我们可以解得 k 等于零点二五， b 等于零点零一， 那 b 是 零点零一，我们可以忽略不计了，我们就取 b 等于零，那我们就得到 y 二等于零点二五 x， 那下一个月总的营销投入是十二万元。我们假设 a 产品投入 m 万元，那 b 产品的投入就是十二减 m 万元，所以下个月的利润就是 y 一 加上 y 二等于负零点一六， m 的 平方 加上一点二四， m 减零点四六加上 零点二五，乘以十二减 m。 整理一下，我们就得到 负零点一六 m 平方加上零点九 m 加上二点五四， 那这是一个开口向下的抛物线，所以它最大值就是四分之 c i c 减 b 平方，那四乘以负零点一六， 四乘以负零点一六，再乘以二点五四，再减零点九九的平方等于四点一 万元。那在哪一点处取得最大值呢？在对称轴处取得最大值， 那 m 就 等于负的二， a 分 之 b 二乘以负零点一六，分之零点九九等于三点一 万元。所以十二减 m 就 等于十二减三点一等于八点九 万元。最后大家要总结一下，当 a 产品投入三点一万元， b 产品投入八点九万元营销费用的时候，下个月利润最高，最高利润是四点一万元。 好，下一题。某工厂改良工艺前排放的废气中污染物含量是 r 零等于两毫克每平方米，首次改良工艺后排放废气中污染物含量是 r 一 等于一点九四毫克每平方米。 已知 n 次改良工艺后排放废气中污染物含量。 r n 符合函数模型，符合这个函数模型， 那 n 表示改良工艺次数。第一个问题，求解该函数模型。第二个问题，要将排放废弃中污染物含量控制在不超过零点零八毫克每平方米，需要改良多少次工艺？ 好这道题的函数模型呢？它是给我们的，像刚刚那道题，它就没有给我们模型，让我们自己去求模型。那这道题既然给我们函数模型了，那我们就令 n 等于一， 那么就得到二，一等于二，零减二，零减二，一乘以五的零点五加 p 字方。 到这一步，不要急着带数字，我们先来一个项，二一减二，零等于，我们把这个符号挪到括号里面， 等于二，一减二，零乘以五的零点五加 p 次方。 那二一减二，零是不等于零的，所以等号左右两边的二一减二，零约分约掉了，那就是一等于五的零点五加 p 次方。所以零点五加 p 等于零， 那我们就得到 p 等于负零点五，所以，而 n 就 等于二减二减一点九四乘以五的零点五， n 减零点五次方。也就是 r， n 等于二减掉零点零六乘以五的零点五， n 减零点五次方。 这就是这个函数模型的解析式。那第二小题要排放废弃中污染物含量控制在不超过零点零八毫克每平方米， 那就是二减零点零六乘以五的零点五， n 减零点五要小于等于零点零八， 那所以零点零六乘以五的零点五。 n 减零点五要大于等于一点九二， 也就是五的零点五。 n 减零点五要大于等于一点九二比上零点零六等于三十二， 那 log 是 单调递增的函数，所以两边算对数，就是 log 以五为底，零点五 n 减零点五就大于等于 log 三十二， 也就是零点五。 n 减零点五要大于等于 log 三十二比上 log 五， 所以 n 减一也要大于等于二倍。 log 三十二比上 log 五，那 n 就 大于等于二倍。 log 三十二比上 log 五再加一， 那等于二倍。 log 三十二是 log 二的五次方， log 五是 log 十除以二， log 十除以二，就等于 log 十减 log 二，然后再加一等于二乘以 五倍， log 二比上一减 log 二，再加一，那把 log 二等于零点三带进去，我就能算出来它等于 五点二八。所以需要改良六次工艺，才能使污染物含量控制在不超过零点零八毫克每平方米。好，本节课内容就到此结束，我们下节课再见！

这个题目其实像这类题求零点的，这类题呢，咱们都是有固定套路的，他说他的零点零点是不是就是让 log 以二分之一为底的 x， 然后 x 减它等于零啊？ 所以这就是这个相当于是一个方程解它来，那这个解到有几个解？是不是就这样？那你看牛老师我会解的方程吗？当然不会，所以这会我们就需要把它构造成函数，那如果 x 等于 log 以二分之一为底的 x 的 话， 那你看是不是就相当于变成这个函数 y 等于它和这个函数 y 等于它，它们两个函数图像的交点就是这个方程的解，这不就是利用了竖形结合的这种想法吗？ 所以呢，你接下来你就画了个一二分之一的 x， 二分之一的 x 是 不是就是一个过一零的一个向下的这个这个点，这种图像，而 y 点 x 是 不是就是这种感觉？你很明显能看到，这是它的渐近线，是一直到 y 轴的，这个是往这走的，所以只有一个焦点，变成焦点应该在区间零到一之间， 对吧？所以只有一个，这就出来了，所以这种题都是一样的啊。 ok， 那 同样道理，你看像第二题也是一样，也是在画，因为你不知道怎么办呢？我们只会画 e 的 x， 所以呢，就让它等于零，那就得到什么呀？ e 的 x 方是不是应该等于二减 x？ 二减 x， 那 你画一等 x 呢？一等 x 怎么画？是不是就这么画的，对吧？然后二减 x 呢？是不是就这么画的？这焦点是不是就在某个区域，对吧？那不就出来了吗？这不。

同学们大家好，今天咱们来看一道有关函数零点的问题。首先这道题说了阿尔法贝塔分别为 f s 和 g s 的 零点，最后求斜值了，首先咱们要把零点要去给它干啥表达出来，或者找到关系。 咱们来看看 f s 如果要求零点的话，是不是你要利用 f s 要等零了，然后就会得到谁 二的 x 方加 s 减五等于零，其实就是二的 x 方等于谁五减 x 就是 这个指数函数与这个一次函数的交点就是零减。然后你要算 g x 零点的话，你肯定也要令 g x 等于零，你又得到了谁， 这个对手函数等于谁五减 x。 但这个对手函数的话是以八为底 s 三次方的数，你可以给八和 s 三次方变成以二为底 s 的 数， 也就是说他的零点就是这个一次函数五减 s 与以二为抵 s 对 手的交点。大家现在可以发现这个二的次方与这个以二为抵 s 的 对手是不是就反函数，是不是关于 y 等于 s 对 称？ 所以此时咱们可以把这个图像来画画来看一看。比如说二的 s 方的图像是这个样子，对手函数图像是这个样子，然后 y 等于 x， 它是在这了。 也就是说现在我只要画个五减 s 出来，与他两个有交点，与这两曲线的交点就是他的零点啊。而且大家很容易发现， fs 零点就一个， gs 零点就一个，这个大家也需要去观察，你不能说你做一就随便做了一个就完了，也许他还有两个三个了，因为什么了？因为这个 fs 这个函数增函数啊， gs 也是个增函数啊，增函数最多一个零点嘛。 所以这个时候大家来看看五减 x 这个函数，其实就是 y 等于五减 x， 它其实就是由谁 y 等于负 x， 怎么样 向上移动两个单位而来的。大家首先要明白， y 等于负 x 这条直线其实是和你这个 y 的 x 是 干啥的？垂直的，你把它向上去移动，其实依然保持垂直关系， 这一定要明白。所以这个时候他与他交的这个点，与 f s 与这个二 s 交的点，和这个对手交的点，其实他这两个点完全连线，和这个 y x 是 对称的，是完全对称的， 对称就意味着连线垂直于 y x， 这就是 y x 的 直线，他的终点也在这个 y x 上面，如果不对称，你也没有这种关系。所以此时咱就会发现一些事情， 这个交的是 r 法，这个交的是贝塔，这个交的是算是 r 法。有没有发现这个 r 法加贝塔应该等于这个点， 而这个点就是我标红色的点吧，等于这个点的横坐标的二倍。那这个点怎么来算呢？是不是它就是由 y 等于 x 和谁 y 等于五减 x 连累解得的 那连的？如果解得的话，咱们可以解出来 s 是 谁二分之五， y 是 二分之五，其实咱们很容易得到这个阿尔法加贝塔就是谁二 x 嘛，这个中点横坐标的二倍就是五， 阿尔法加贝塔咱们有了。既然阿尔法加贝塔有了，咱们得看一下这个题，让咱们算什么了？ 那咱们算什么了？他是不是要算二的 r 法次方加上他了？大家现在已经知道了，由刚刚他定他为零之后，因为你说了零点是谁，你的零点是二，是这个 r 法，所以二的 r 法次方是等于五减 r 法。 同理，你这个是谁以二为底贝塔就等于五减贝塔。大家有没有发现你要求的二的 r 法次方加上以二为底贝塔的对手， 他是不是等于五减 r 法加上谁五减贝塔。哎，此时等于十减去 r 法加贝塔，是不是十减五？答案是五， 所以这道题咱们就结束了。其实这道题他给的也很巧合，如果这道题后边他两个函数后面加的都不是 s 减五的话，比如说来个二 x 加谁减谁，像这些的话，就相当于这道题有可能你通过这样办法很难再去观察出来了，得通过其他代换走出来。 好，这道题其实咱们来一看，结合就受行结合，再利用代换关系做出来，想直接求他所需要的这两个相加不容易，但是代换成其他量题变得比较容易了。好，这道题咱们就说到这。

大家好，我是超越老师，从这个视频我们开始讲函数的零点啊，函数的零点考的比较多啊，尤其是压轴的选择填空点，他不是一个点的坐标，他是这个函数或者这个这个方程 与 x 轴的焦点的横坐标啊。第一个就是什么时候他有零点点，我们前面能画出图像的，只要有一个有焦点，那个就是他零点除了这个以外，有的我们画不出来的，我们有概念叫什么？他只要在 a 和 b 这个范围内是连续的，就是 他的那个图像没有断，满足这个 fa 的 值和 f b 的 值，他的那个 符号是反的，这两个相乘小于零，那么他在这个中间至少存在一个零点，这第一个叫存在性啊，存在性，第一个你可以用这个去判断，也可以用我们前面学过的我能画的图像，他都交相交了，他不就一定有吗？对不对？这第一个啊，第二个就是什么 存在唯一啊？我们讲一下存在唯一就是如果他在 a 和 b 满足这个完了，他又单调递增或者单调递减，那么我们就说他存在，而且是唯一一个。第三个很重要的，你既然存在，我们就要求出来啊，怎么去求？ f x 等于多少啊？然后让他等于零去把它解出来。 但是在这个里面有一个问题，就是如果说我们见过那几个，咱们好说都能求，关键是有几个你没见过的，比如说 题目中让你求 log， log 以二为底， x 对 数和这个加上一个 x 减三等于零，你会发现这个你是不是求不了了？看到没有？所以我们在求这个零点的时候，他有两个方法，第一个就是直接法啊，第一个就直接法啊，直接可以给他求出来。第二个就是 你在做的时候，你发现这个函数我好像解不出来，图像我也画不出来，看到没有？是不是图像也画不出来，也解不出来？但是怎么样？我发现这个我如果把它分成两个，我是能解的， 分成两两部分，这个时候我们就要把这个函数怎么样拆成两个啊？拆成两个叫就以它为底小于这个是不是负 x 加上三，这个时候你就怎么样各画各的函数图像啊，各画各的函数图像，然后让他怎么样 让它相交，那个交点就是我们答案。这个直接法就是我们画出图像之后与 x 的 交点，在做的时候往往是这两种情况啊，尤其是这种情况， 难题你想肯定就是他嘛，对不对？除了这个以外，还有啊，我们前面视频讲了，一个就两个相乘，两个相乘，他一般是考大一等于零或者小一等于零的时候，这个他虽然不是说零点，但是他是他的那个曲值范围，是以这些与 x 的 交点这些零点作为分界点去分类讨论的。 这个也是一类啊，也是很重要的，我们是各画各的，第一个就是求出他的点啊，求他点我们直接画图啊，你可以看一下，第一个就直接画图啊，我就直接画在这上面啊，这个简单， 你看，首先这有定域是二的 x 啊，你先画出二的 x， 二的 x 翅膀是不是在这画了一就结束了？看到没有？这个点是一，这呢是二，然后他向下平移了两个单位，平移两个单位的话，间接性要跟着他一起走，这就是负二， 这是负二，然后这个点是不是刚好在这个点上？是不是就这样的？这点是一，然后这是零，看到没有？然后这是第一个啊，然后第二个，我们看一下，这个是 log 以二为叠的，对数就在上面啊，是不是大概这样的？然后他向上怎么样？向上平了两个单位，所以他是 是不是不是这样的？看到没有？而且这段画圆圈看到没有，所以它是不是只有一个零点啊？就是 x 等于一就做出来了啊？我们再看这个，这个有点像刚才我们举那个例子啊，你可以通过图像去判断它怎么样 唯一存在零点啊，比如说我们令它等于零，你看没令它等于零的话，就是 log log x 等于负 x 加三，对不对？你把这两个图像一画， 是不是这样的？然后他大概这是一啊，他大概这样是不是可以证明他是存在唯一零点，但是他现在不是让你证明他是一个还是两个，他是怎么样？ 他让你求区间，那我们就一个一个算，根据这个图是不是知道他是唯一存在的？如果你没有画这个图还可以怎么样？用单调性啊？这是真函数，这也真函数，所以他就是单调递增。然后我们去找刚才那种 是不左右你这个题，你找的话一般都是从 c 开始找，听见没有？你看前面两个一般不选，对不对？试一下，你看 f 二自己算算啊。 f 二那就是落个，落个二，然后减去一，这个一看就是负的，因为落个二小于小于零，然后看一下 f 三啊， f 三 他是等于落个三，这是大于零的，一看就选 c， 看到没有？下一个题，这个好像跟它上面一样了，不好意思啊，再看这个啊，这个也是一样的，画图啊，他后面摘了个尾巴， 看到没有？那我们仍然可以先不管它等于零，然后算出 f x 等于负二，等于二分之一。这个题有两个思路，一个思路就是什么？就是我把这个移过去，就把它后面给他，尾巴给他，每个都给他加上，但是我们怎么样？一般都是什么呀？像我这样啊，就是 把这个移到另一边去，然后让他成为两个函数的焦点，这个函数叫做 y， 等于二分之一，就是一个直线，叫常数函数，这个就是这个函数。图像啊，我们来画一下啊，画一下这个图像，你要很熟练啊，你看大于零是这样的，然后他折了一下，看到没有，所以就这样， 然后这边是二分之一，然后这边是不是这样的，这边一取等号看没就做出来了，然后二分之一，焦点一看是不是三个，是不是选 d。 讲到这个地方，我们有一个很重要的知识点，你要知道啊，就是这两个焦点，他是这个 log 函数折上去的，他有特点啊， 他有特点，这个叫 x 一， 这个叫什么 x 二，这个 x 一 乘以 x 二，它是等于一的，你要把它记下来啊，这边就是，你看它是 log 二， x 一， 是不是就是这个它等于二分之一，看到没有？然后再看这个嘞，它是 log 以 二为底， x 二是不？这这个是 x 啊，这是 x 一， 然后加绝对值，然后等于二分之一，看到没有，这个时候，因为它本来这个 x 一 对应的函数值，它应该是负的，所以这要加个符号。看到没有，它是负的， 然后洛哥以二为底， x 一， 它等于二分之一，这个时候因为这两个相等吗？所以这两个相等，这两个相等就会得到洛哥二的 x 二等于负的，洛哥以二为底， x 一， 然后你把它移一下向，那就是洛哥以二为底， x 一， x 二，加上洛哥以二为底， x 一 等于零，然后两个合在一起，就是洛哥以二为底， x 一 乘以 x 二，它等于零， 所以 x 一 乘以 x， 它等于二的零，次方等于一。这个要你记下来啊，这个经常考下一个啊，下一个就更复杂了。看到没有，我们一起看，仍然是画图啊。首先这个你要知道啊，它是周期函数的意思啊，我们仍然去画图啊，把零到一的表达式给他画出来， 零到一开是不是这样？这样的，然后是偶函数，它不是对称的吗？是不是直接就关于 y 轴对称啊，是不是这样的？然后这是一，然后这是负一，看到没有，下一个是不是就三，你看没有，是不是这样的，然后这样， 然后再下一个是不是就是五，然后再这样啊，然后下一个是七，然后这样看他的样子，要算好几个啊，我们多画几个好看，这个答案要画好几个，然后九，然后这是第一步啊，另一边我们就不算了啊，再看这个嘞， 这个他说他是零点，那不就等于零吗？等于零。我们前面讲过，你看 f x 减去一个 log log， 然后这边是绝对值 x， 对 不对？这是一个 f x 啊，他的图你是画不出来的，所以你要怎么样？他等于你给他拆成两个啊，就会得到 f x 等于 log 绝对值 x， 看到没有？这个 log 绝对值 x 图像怎么画呀？这个 log log 绝对值 x， 他是不是先画出他大于零的部分啊？我们只要是 x 加的绝对就先画大于零的部分，后半部分就怎么样，另外一部分就给他折过去就可以了啊，所以他是这样的， 看到没有？这样的，但是你两个图像在一起，你要稍微准一点，你看他过这个点是不是这样的，然后这样去拿，这个时候你要去看这个是一看没有，你想你当 y 等于的时候小于零，不要考虑啊。当 y 等于 等于一的时候，你看这个数要填多少？这个填是不是填十呀？所以他要经过十和一看，没有是不经过十和一啊，这这个地方是十一，是不经过十和一这个点，然后他是这样 这样过去的，看到没有？这个时候十一这个点肯定不行，因为十和一他刚好是过一十一这个点就不会相交，所以你去数一下那一二三四五六七八九是不是九个点啊？然后根据什么对称性啊？对称性他折过去另一边我们就不画了，是不是一模一样的？ 所以答案选什么？选十八。我们再接着看下面一个题啊，这个题他是让你求三个焦点，让你求参数的范围了，看到没有？前面我们都可以直接画。这个是怎么样？说明有一个函数可以动，你看这个就是 一个什么上下平的一一函数，你看 y 等于 y 等于二分之一 x 加上 m， 说明他是跟这个是平移，上下平移的，看到没有？所以这个题他有两个方，一个就是我把这个函数图像给他画出来，然后去跟这个函数来相交，这个函数图像小于零的时候是一个 这样的啊，哦，不对，他是 k 小 于零啊，抱歉啊，是不是？是不是大概这样的，然后大于零的话，他是一个二乘数，然后对成轴口算一下，是不是刚好等于一开口又向下，是不是这样的？ 看到没有？这个时候你如果把这个二分之一 x 加上 m， 他 是个直线，这样上下来移动的话，看到没有？你看这样是不是相交，是不是一个点？这初中学过的，往下走， 这这个地方现在是两个点，往下走是不是一个点？你如果往上走超过这个点了，是不是就是一个点啊？你刚好过这个点，是不是就是两个点啊？中间的是不是刚好就三个点？看到没有？那这个点怎么去算？ 是不是利用这两个方程连累的时候得它等于零哦？去连累就是二分之一 x 加上 m 等于这个负 x 平方加上二 x 等于。然后你去一下向啊，这个得它等于零，就可以把这个地方给他算出来， 算出来之后就是那个理解点啊，然后再把这个点就零零这个点带进去，就可以把这个 m 这个点给他算出来啊。零零不能取，然后另一个点也不能取啊，但这个地方有没有更好的办法？有， 就是你算得它你还多麻烦啊？如果是什么呀？如果没有这个 x 多好，看到没？这个没有 x 它是一个横线，多好，我就不用算得它了，所以怎么样？我可以用这个 f x 等于这个 f x 减去二分之一 x， 看到没有？所以我把 f x 图像给他 表达，现在写出来这个减他，他就是负的二分之五 x， 然后这边呢是负 x 平方，然后再加上一个二分之三 x， 这个时候你再去怎么样画图就会好画很多啊？自己画一画啊，还是图形都还是差不多的，看到没有？ 然后这个这个对称轴变掉，对称轴变成负的正的四分之三啊，然后画出来是长这样的，这个时候他就是什么，就这个 f x 等于 m， 他 是一个横线了。所以你只要求到那个最上面那个点就可以了啊，把这个四分之三带进去算出来就可以了啊。

高一数学呢，今天是我们函数零点的最后一节课，我们主要来说一下它比较特殊类型的这种比大小，还有我们前面提过一嘴的就是二次函数型的这种根的分布问题， 我们先来看比大小，它也是三个数，再比大小，但是这三个数呢，跟我们前面只对结构那种比大小是不一样的，因为它强调了这三个数它是零点， 而我们观察前面这三个函数结构，它是有，它是有点这种铜构的味道的。 你看这个 f x 和这个 h x， 它们都是个啊，后面加的都是一个 x， 都是这个正比例函数 y 等 x 前面呢是一个指数结构，一个是对数结构，而我们的 g x 和 h x， 它们 log 三 x 啊，对数结构是一模一样的， 那我们再根据零点的定义，它是让它们分别等零之后的横坐标， 而这种函数我在等零的时候我也不会解，那我按照前面整个的习惯，如果不会解，我们就会就会把它移项变成两个函数，所以我们分别令它们等零。 经过移项之后，我会得到这样一个式子，这个是三 x 等于负 x， 然后第二个 乘零，那么它是 log， 三 x 等于负二。第三个 一项之后是 log， 三 x 等于负 x， 那 么它们分别对应的零点。也就是从图像上来看，我如果画两个函数的话，就是它们的交点的横坐标分别是 a、 b、 c， 那么我们现在就去分别做出来它们的图，去看一下这些焦点的横坐标能不能区分出来它的左右关系。 首先画三 x 指数函数，它过零斗一，如果 x 等二，那么三的平方已经是九了，所以它这个点其实已经很高了，我们本身没有把它给画出来，那就大概吧， 是本身我们的三 x， 还有一个是 y 等负 x， y 等负 x， 那 么是我们平分二次象限的这个 这个正比例函数。 y 等负 x， 你 看它俩的交点已经出来了一个，它俩交点是谁啊？是 a， 所以 这个位置呢，就是 a， 我 们再画这个 log 三， 这是我们的对数， 这是 log 三 x 对 数函数，那么它与 y 等负 x 的 交点是 c 啊， c 在 这里 的是我们的 c， 最后一个是 y 等负二 这条线， 那么很显然它俩交点在这儿呢，这个是 b， 你 只要把图画出来，这个大小关系一眼就看出来了， a b， c 逐渐地增大，因为往右就是增大，所以这个答案应该是 a 最小 b， 这是一种啊特殊结构的比大小，基本上你一看零点这个字眼，它如果出出个比大小，就是这种思路。 我们再来说根的分布，这个题呢，我们上节课已经见过了，当时用的是分离参变量来解的答案呢，好像是 b 零到一，那如果我们用根的分布来解它，其实是一种输赢结合 一个一元二次函数，我们把它变成方程，在你求零点的时候就是一个方程，那么他说零到二上有两个零点，就是有两个根，我们如果展展现到图中之后，就是这个样子的， 零是这里，然后二是这里。开口呢，这个是定死的，是向上的。我们如果强化有两个零点，就是与 x 轴有两个交点，那么这个图应该是这个样子的 啊，太丑了， 滑笔了， 这样它就会有两个 x 一 和 x 二那么根的分布啊。我们画出来图之后，其实主要去思考这几个方面，一个是开口，一个是对称轴， 也就是我们的负的二， a 分 之 b 它们的范围。还有一个是端点值，就是你给我的这个区间端点值，它有没有正负的区别？在图中去展现的 还有一个就是 delta， delta 来控制与 x 轴的交点啊， 我们把这个东西啊，不是啊，这四个每个都需要考虑，它是具体题来分析的。我们这个题的话，首先它的开口是不用管的，因为开口是死的，定死的必然是开口向上。然后它的对称轴的话，你看 它的 b 是 个负二，所以对准轴也是定死的，你也不用管。那就说明我只需要去思考它的 delta 和端点值就可以了。我们这个图画的展现的就是零对应的这个函数值和二对应的函数值，它必须是正的， 因为图中展现的就是这样的，你看这是零对应的函数值，这边是二对应的函数值， 都是在上方的嘛， x 轴上方都是都是大于零的，而 delta 肯定是大于零，那我们就把这两个要求变成不等式就可以了。不是 f 零，它就等于 a 要大于零， f 二 等于也是 a， 也是大于零。 f 二代入之后是四减四加一嘛。最后一个 delta， 它是 b 方减 c a c b 方是四减四乘 a 要干嘛呢？答案，零。我们把这个不等式解出来，取它的这个公共部分就是交集就可以了。你下面这个解之后，不就是 a 小 于一吗？ a 小 一，然后大零，所以大零小一，结果还是 b 选项，这叫根的分布，它主要来应对了什么呀？就是我们这种二次函数型的这种零点或者方程的根， 它有时候求参数范围，你通过分离参参变量，其实不好操作，你就可以用这套输赢结合的思想来解。 我们再看它具体的一个题，你看这个结构，它是一个方程的根嘛？ 你这个 m 是 参参数，如果想分的话就不好分，它需要以 m 来重新合并，然后再移项，再除乘除， 你估计还得讨论一下，就很麻烦，那就不要去想着分离参变量了，我们直接通过根的分布来解，比如在第一个 你这个结构，首先把它设为一个函数，设为一个函数之后，它的开口其实是定死的，开口必然是上，就不用管了。但它的对称轴和 delta 结构都是不确定的， 所以我们如果先把它这些量给写出来， 它的对准轴应该是 x， 等于负的二 a 分 之 b， 那 就是负的 m 减一就是一，减 m， 然后单调单调 b 方是四 m 减一的，平方减四 a c 四乘二， m 加六。然后又化简一下， 前面是四 m 的 平方减八 m 加四减，后面是减八 m 减四六，二十四 m 方减十六 m， 然后这个地方是减二十，这是我们的 delta。 那 么下面我们可以看啊，它的第一问是什么？有两个根，但是要求是一个比二大，一个比二小。如果你要画它的图的话，开口是定死的， 那么就是类似于我们这边的第三个图，就是 m， 这个地方啊，正好是二，这地方是二，这样一画，正好在二的两侧有两个焦点，一个比二大，一个比二小。 我们从图中来看的话啊， delta 首先要大于零，那么对准手位置，像这种情况，它的对准手位置就不用考虑了， 只需要满足端点，因为端点的话，也就是 f 二的值必须是负的，所以你的第一问它对应的不等式组就应该是 delta 要大于零， 就是四 m 方减十，六， m 减二十要大于零。还有一个就是我们的端点值 f 二 f 二红利贷就是四，然后加上 这是二，二的话是二，再乘二变成四，四 m 减四加二 m 加六要小于零， 我们把这两个不等式解了就可以了。而下面这一种也是有两个根，这两个根一个介于零和一，一个介于一和四， 那么你如果画他的图的话，那就是这样的， 零一先找到，然后一四，比如这边是四，那么开口还是死的，那我图画出来之后是这个样子的。 从这可以看，它主要依赖的就是我们 端点值，零对的值，一对的值，然后四对的值还有 delta， 所以呢，它应该对的也是 delta 大 于零，然后 f 零是正的，在上面 也就是二 m 加六要大于零，一对的值是负的，所以应该是 f 一 往里代入变成一，呃，加二 m 减二， 然后加二 m 加六，它要小一点，然后四断点值是正的， f 四 f 四是十六，这是二四八加八 m 减八 加二 m 加六大于。我们同样把这个不等式组给解了就可以了。有这一系列课程就叫根的分布， 但它有它的局限性，它只能针对我们的二次函数勾形的。那我们学所有的图像这种零点问题，图像然后根的分布，它极大成的这种题啊，就是这种题， 最开始有个分段函数，后面有一个 f x 嵌套的啊，它是嵌套的二次函数结构，它说有六个零点啊，你的一元二次方程最多只有两个根，那怎么出来六个呀？这个问题呢？ 你就要换元，你把这个 f x 换成 t， 换成 t 之后你会明白，我其实解了两个根，一个 t， 一个 t 二。只不过啊，这个 t 一 和这个 f x 本身再连累的时候， 它会出来三个，而 t 二和这 f x 在 连累的时候，它也会出来三个。三加三就是六，你这个 t 一 和 t 二范围，那通过 f x 的 图就可以看出来， 最终可以演化为根的分布问题。这是我们啊，在高一阶段啊，就这个阶段基本上压轴体型， 但是呢，一两句话讲不明白，你们可以独立解的，就可以去自己解一下，如果独立也不会解，那无所谓，反正它就是一个压轴题，不影响你整个基础基础体系的建立啊。

函数零点四大题型，十分钟带你快速搞定，尤其是最后一个题型，一定会出成高一高三的压轴题。四节课的讲义和课后型题我都整理好了，大家一定要先领取再听课，点击我的主页这里群聊，添加真人助教就可以领取。那我们开始上课啦！ 我们来看到第三个题型哈，利用零点去确定参数的方位，已知一个函数，它在区间内存在零点。 ok， 我 们来观察一下这个函数，首先第一坨，它是单调递增的， 其次第二坨 x 方，它在零到正无穷上肯定也是单调递增的，所以说两个单调递增的它加在一块，肯定整体上都是单调递增的，这个常数不改变单调性哈。 那么此时嘞，我一个单调递增的函数，他说在咱们的一二上存在零点，他问 m 的 取值范围为多少？那么此时是不是有 f 一 一定是小零的， f 二它一定是大于零的就可以了哈，我们 f 一 算出来，它是等于 log 二一也就是等于零的，再加上一个一，再加上一个 m， 它小于零，解出来来，我们的 m 就 小于负一。第二个 f 二它是等于 log 二二也就等于一的， 再加上四，再加上 m， 它是大于零的，也就是 m 它是大于负五的。综合起来，咱们的 m 是 在负五到负一之间的，选谁呢？是不是选 b 选项啊？ 然后再给大家补充一下哈，如果说这个函数它是单调的，但是你不知道是单调增还是单调减，题目它没有告诉你，那么它在一二上存在零点， 这时候嘞，只要使得 f 一 乘上 f 二，它小零就可以了，这说这两个值啊？它是异号的，那么我就不管说它是竖着穿下去，还是说上面穿下去都是可以的，它都是会存在零点的，哈。