26.1.1反比例函数板书设计

今天我们一起来学习反比例函数的概念。一般的形容 y 等于 x 分 之 k 的 函数，我们把它叫做反比例函数。这里我们特别注意 k 是 常数，并且最主要的 k 是 不等于零的， 那我们其中的 x 是 自变量， y 是 我们的函数，自变量 x 的 取之范围是不等于零的一切实数，因为我们知道当 x 作为分母的时候，它一定是不等于零的，所以这里要求 x 不 等于零。 那接下来有两个需要注意的，我们的反比例函数解析式含有其他两种形式，第一种是 y 等于 k 倍的 x 的 负一次方，其实就是 x 分 之一等于 x 的 负一次方。呃，这个我们 注意。然后接下来这里的 k 依然是怎么样为常数，并且不等于零，而且它有第二种形式。这里我们其实可以很简单的理解，就是 x 我 们可以把它怎么样乘到左边来，就会变成 x， y 等于 k， 或者说两边同时乘以 x 都可以，那这个时候就能得到我们的两个变量 x y， 它的乘积是一个常数 k， 当然 k 依然是不等于零的。那第二个需要注意的就是反比例函数 y 等于 x 分 之 k 中的 x， y 乘反比例， 无论变量 x y 怎么变化，它的乘积也就是 k 的 值始终与 x y 的 积怎么样相等，并且都为常数。这里我们习惯上称 k 为我们的比例系数。 那我们的反比例关系其实就是什么呢？如果 x y 等于 k， 那 么 x y 这两个量成反比例的关系。这里的 x y 可以 代表多项式或者单项式都可以用。那接下来概念我们会来来看一个例子，已知我们的呃， 有这样十二个函数，然后我们说这里面 y 是 x 的 反比例函数的有哪些？我们一一对应看一下。那对于第一个来说，我们看一下它的形式，是不是 y 等于稍微给它简单的变形一下， 它是负的三分之一倍的 x， 这其实是我们前面学过的什么函数呀？ y 等于 k， x， 它是一个什么正比例函数才对，所以我们的第一个是不对的。 第二个这里出现了一个什么？出现了常数。一，你看我们的形式里头，反比函数直接就是 y 等于什么 x 分 之 k 没有常数，所以第二个也不是我们的反比函数。 第三个很明显，这里我们知道 y 是 不是可以把它变成什么 x 分 之负二，这里的 k 是 不是等于负二，同时它不等于零，所以我们的第三个它就是我们的什么 反比例函数。接下来看一下我们的第四个，第四个和我们的第二个同时都出现了常数，这是一个问题，那当然了含出现了一个问题，就是出现了什么 x 的 平方，也就是函数出现了二次，所以它依然也不是我们的反比例函数。 第五个，这里我们看一下，它可以把它变成什么呢？ y 等于 x 分 之什么？ 负的四分之三，这里一负的四分之三就是我们的 k， 同时它是不等于零的，所以第五个是我们的什么反比例函数。第六个我们来看一下， 因为我们可以把它写成 x， y 等于 k 的 形式，所以第六个 k 它就等于二分之一，不等于零，所以第六个也是我们的反比例函数， 所以这里三五六都是，那再往后看一下第七个，这里出现了什么？ x 的 平方分之一，它其实是我们的 x 的 负二次方，而不是负一次方，所以第七个不是分类函数。那第八个，这里出现了什么？ x 减一，它其实是我们的什么？ y 等于 x 减一，是不是是我们的依次函数的形式， x 加 b 的 形式？那第九个，我们看一下， 这里它给的是 y 和 x 的 什么商等于二，那我们知道必须要求它的乘积为常数才行，所以第九个肯定是不对的，而且 我们也可以把它变成，把 x 乘到右边来，就变成了 y 等于二 x， 所以 它依然是一个正比例函数，而不是我们的反比例函数。 那第十个我们来看一下我们的 y 等于什么？ x 减一分之三，这里的分母它不是 x， 而是出现了什么了，分母出现了 x 减一， 分母出现了 x 减一，就和我们的定义是不符合的了，所以我们的第十个依然不是反比函数。第十一个， 这里我们看一下，我们能得到 y 等于 x 分 之 a 减五，很明显这里的 k 就 等于 a 减五，同时它这儿给了一个条件， a 不 等于五，所以 a 减五，也就是不等于零的，所以第十一个是 第十二个，我们来看一下，它得到的是 y 等于 k 倍的 x 的 负一次方，很明显符合我们的其中的一个变形，对不对？ y 等于 k 倍的 x 的 负一次方，以及 x y 等于 k， 这个都能满足，所以我们的 第十二个 y 等于二倍的 x 的 负一次方，它也是我们的反比函数，那我们这道题就先学习到这里，后续如果有需要一对一的，我们可以私信了解。

我主要从以下四个方面做一个简单的反馈，第一个就是内容和内容的解析， 第二个是目标和目标分析，第三个教学问题的诊断，第四个板块教学过程的设计。 呃，本节课第一个是选自北师大九年级上册的章奇史课， 那么这节课为什么起的课题是反比例函数的图像与性质呢？因为它不仅是这一章的一个起始课，而且是在后面的过程中也探究了函数的图像性质，那么所以这节课我主要探讨的是张起始课的上法。 那么现在看教学内容的解析，我主要从两个方面，第一个上下位知识的这段关系。第二个，数学的思想方法。 首先第一个我们上下位的关系是我们在八年级上册北师大教材啊，在八年级的上册已经学习了平面直角坐标系，还有一次函数， 那么现在我们现在这个阶段的话，学习的主要学今天要研究的就是反比例函数的概念与反比例函数图像的画法及反比例函数图像的性质。 那么第三个的话，通过以上的话，我们对后面研究函数与方程的之间的关系，也为后期学习新的内容二次函数作为铺垫。 在思想方法这一块，主要一个属性，结合我们本节课的学习知识的形成过程，由表达式或者解析式到作图，再由作图到性质，充分体现数与形的关系， 由形到形，由数到形的转化的过程。第二个在这过程中体现转化的属于思想。第三个主要体现特殊与一般的关系。 我们首先言从特例抽象出反比函数的概念，有反比例函数概念，我们具体研究具体的实力，再到特殊，然后有特殊的研究反比函数，再再到一般研究一般的反比例函数的性质。 那么作为章奇课的话，那么这一课按每十道课本的话，第一课时是完成反比例函数的概念， 那么今天我设计这节课的话，是作为一个单元在建构，是以单元教学的角度来思考这个问题， 那么第一课时主要完成反比例函数整张的知识课程的体系的建构， 那么从这个角度来说的话，我们是先认识一棵树，还是我们先了解整片森林？基于我我所在班级的学情的考虑，我选择的是我们一起来了解这片森林 好。第二个板块目标的分析目标的分析这一课的教学目标总共有四点，第一点知道反比例函数的图像是双曲线，第二个会用描点法 画反比例函数的图像与性质。第四个会令反比例函数图像的性质解决相关的问题。 比如在这一块的话，我这节课所涉及内容的话，比如说研究 y 等于 x 分 之六的图像，那么后续再研究 y 等于负的 x 分 之六图像，它也是一个运用反比例函数图像的性质来相对应的迁移的解决问题的方式。 那么目标解析的话，主要有四个内容的一体现。第一个的话就是理解反比例函数自变量的取值范围， 那么不包括原点或逼近于坐标轴，他的正负性对自变量的正负性对函数的趋势或性质的影响。第二个主要的过程就是经历作图比较，讨论，最后归纳， 通过图像画图来研究反比例函数的图像。第三个就是从研究的数学思想方法，刚才前面谈到了。第四个就是在探讨反比例函数图像的过程中，加深孩子们互相的合作，交流 好。第三个板块问题的诊断，这一块的话主要有三部分内容，第一个认真难点的分析， 第二个教学支持的条件，第三个教学重难点及突破。首先我们一起来看第一个认知重难点的分析，这块主要有两个内容，第一个就是这两只曲线非连续的 怎么突破，第二个就是画图像，那么画图像的话，本节课我设计的孩子的总共 分几组的话，画的是两个图像，待会我再去详细的说。第二个就是教学支持的条件， 根据本节课教材内容的特点，为了更好的、直观的、形象的突出教学的重点、难点与突破，我采取的是网络画本，由张锦中院是他及他团队开发的超级画板。后续的现在 以网络来做图，网络以通过来网页来做做网络画板为平台绘制反比例函数的图像，同时辅以点跟踪的手段，通过动态的演示观察相应的数值的变化，研究图像变化的趋势。 第二个就是为孩子们准备了这个坐标纸。本节课的教学的重点，第有总共有三个，第一个构建反比例函数的概念，第二块的话，反比例函数的图像与 反比例函数的图像的特征的归纳，以及反比例函数的图像性质。最后一个简单引入反比例函数 k 的 几何意义，这是教学的重点，那么教学的难点的话，第一个由使类归到反比例函数的本质属性深层概念，那么在这一块的话，以本十道教材为主， 那么是以生活中的实力来引入，那么我们到底引入是以生活中的实力引入，还是以从数学的角度来引入的话，根据学情来判断，如果学生的能力能达到抽象的话，尽可能的以 数学的角度来引入反比函数概念，因为孩子已经在初三，这是我个人的思考啊。第二个反比例函数，同样的画法去探究反比例函数的性质的归纳于总结。

尊敬的各位专家，各位老师，大家好， 我是来自云南省楚雄第一中学的石慧芬，今天我展示的课题是本市大版九年级上册第六章反比例函数六点二反比例函数的图像与性质。第二课时， 下面我将从这五个方面对本节课进行解读。 本课时是在第一课时绘画反比例函数图像的基础上，探索反比例函数的性质，所以教学目标是能根大于零 y 等于 x 分 之 k， 在 每一个象限内都具有这个性质吗？不具有。为什么？ 谁帮我回答一下？好，李丽颖，嗯，因为现在 k 大 于零时呢，每个函数图像都是从左到右呈下降趋势，所以都是 y 随 x 增大而减小。非常好，请坐，是吧？ 那现在谁帮我总结一下 k 大 于零函数 y 等于 x 分 之 k 的 分解性？那就你继续吧，你刚刚不是回答了吗？嗯， 非常好，请坐。当然，我们还可以从图像来看，从左到右下降，然后他的回答是正确的，是吧？我们还要不等式表示，是吧？朋友们，好，你们记一下。 那老师又发现了一个问题，你看负一负六一六这两个点 在 y 等于 x 分 之六这个函数的图像上吧。对，那同学们，从负一到一 x 值如何变化增大，那从负六到六 y 的 值呢？增大也在增大， 那和我们得到的这个结论矛盾了呀，这是为什么？ 来王飘，就是他没有矛盾，因为这个是在每一项线内，这个点负一负六是在那个，呃，第三项线，而一六是在第一项线，所以他们不在同一项线内，所以就会矛盾。 非常好，请坐。对的，就是这个意思，咱们图像是留两只曲线是吧？是，那他是断开的。那么当点不在同一项线线的时候，我们 就不能用分拣心来看大小是吧？所以我们讨论分拣心的时候，一定要保证是在每一项线内， 可以吗？嗯，那刚刚我们是讨论 k 大 于零是吧？对，还有 小于零还 k 小 于零是吧？好，不错，那同学们类比前面的探究办法，带着下面的问题自行探究，然后小组再自己合作交流一下，把 k 小 于零时函数的分解性探究出来。好吧， 那前后桌八个同学同意一下你们的结论。 那你要不要求彼此的美色？两个双曲线是吧？两条双曲线 好好回来。那刚刚查了三组呢，还是相对比较流畅的，我们请同学帮我们展示一下，要不就好。注意一点， 图像从左到右呈上升趋势，是不是要确定在每一项线内？嗯啊， 随着 x 的 增大， y y 也是 x 图的增大而增大，嗯，不错。然后用不等式来表示呢？是当 x c 小 于 x r 的 时候， y 也小于 y r。 嗯，不错，同学们和他答案统一没？ 好，很好，请坐。那我们继续看一下一个小视频，看看确实是不是如此。 你看同学们在第四项线 x 增大， y 上升是不是也在增大？是，再看第二项线就更明显了， 红线代表 x 在 增大，然后蓝线在上升，代表 y 在 增大，确实如此，是吧？不错， 那在第二项线也满足这个不等式吗？满不满足？满足满足吧，好记好留心来， 就这样，从最大六上上升趋势。嗯，然后 y 随 x 值的增大而增大。嗯，在每一项链内也具有和 y 等于 x 分 之负六类似的性质。什么性质？就是 y 随 x 的 增大而增大。在每一项链内，嗯 啊，图像都曾做到有一种上升趋势。嗯，那第三个问题我要问。也就是说你，你也是发现了此时这几个函数图像，它对应的函数表达是 k 值的， k 值的小于小于零，是吧？那对任意的 k 小 于零函数 y 等于 x， x 分 之 k 依然满足这个性质吗？ 为什么？因为在每一项链的指向都从左到右上升啊，然后就 y 都 是 x 的 增大而增大，非常好。请坐，是这样吗？是这样。嗯，那谁帮我总结一下 k 小 于 k 小 于零时函数的分解性。万一当 k 小 于零时，在每一项链。

上课坐直起，立 一二，乘风破浪，迎难而上，向老师问好。老师您好！同学们好，请坐！我们一起来欣赏一段视频。 这是一座古老的城市，正在开始新的生活。 新的生活是推门而出的自由，是毫无杂念的纯粹，是不再遥远的乡愁， 是新型的朋友圈。 公园城市，让生活更美好。同学们，其实绿道骑行已经成为了市民的一种低碳生活新风尚，你们有去体验吗？ 六老师，计划去骑行二十公里，那我骑行的时间 t 与速度 v 就 应该满足 t 等于 v 分 之二十，这就是一个反比例函数。而生活中处处都有数学，你还能再举一些现实生活中应用反比例函数的例子吗？ 陈浩然，请你来说。我之前去游泳馆的时候，我发现游泳池换水时，若水量一定，那排水时间就是排水速度的反比例函数，很好，请坐。还有吗？ 王思凯，请你来。当我们去超市买水果的时候，总价一定时，水果的单价和数量成反比，很好，请坐！还有吗？ 陈克宇，请你来说。通过上物理课，我发现我们在闭合电路的时候呢，电压 u 一定的时候，电流强度暗示电阻 r 的 反比例函数很好，请坐，那也就是 i 等于 r 分 之 u。 同学们都非常善于用数学的眼光来观察生活，刚刚你们举的这些例子都是反比例函数，那他们的变化规律又是怎样的呢？又有什么共性呢？这就是我们本节课所要研究的内容。 类比一次函数的学习，我们先来研究函数的图像，那到底反比例函数的图像是怎样的呢？我们不妨先结合表达式一起来猜猜看。 对于反比例函数， y 等于 x， 分 之 k， k 不 等于零，这里就隐含了自变量， x 不 等于零， 它反映在图像上就是与 y 头不相交，很好。同样的，这里的 k 也不等于零，所以 y 也就不等于零，反映到图像上就是与 x 头不相交，很好。 既然图像与坐标轴都不相交，那图像分布在哪呢？你能尝试画出它的图像吗？开始画图之前，我们先来回顾一下一字函数图像的画图步骤， 它们分别是列表、描眼、连线。 接下来，同学们就请你结合一次函数的画图经验，写一个你喜欢的反比例函数猜想并尝试画出它的图像。请开始。 ok， i'm going to show you how to do it？ 嗯，可能跟八千 k 比 就是说的是就这个东西吗？他那个没在一条线上，所以说 很好，同学们都已经完成了，请放下。刚刚老师在巡视的过程中收集了这样的几位同学的图像，我们一起来看看。 哎，他们都用的同样的画图步骤，可是画出来的图像的形状却是不一样的呢，是因为他们选的表达式不同吗？不是。 那接下来我们就借助这几位同学画的图，一起来回顾一下画图课程中值得注意的地方，找到反比例函数的图像，我们一起来看第一幅图，图一反映的主要问题是什么呢？ 好，王新柱，请你来说。嗯，我觉得呢，他这个图像延长了过后，就与坐标轴有了交点，然后就不符合。