三角函数读法及发音

一秒纠正你曾读错的三角函数，正弦函数三余弦函数两个音节重音应该在第一个音节上读作 cosine。 千万不要读成 cos 或者是 cosine 哦。正切函数应该读成 tangent， 那么余切函数三个音节重音应该在第二个音节上读作 co tangent， 试试你读对了吗？

三角函数从入门到精通，今天胡老师当着大家所有人的面，挑战七天，带大家吃头糖，讲完糖行不行？行，今天咱们先从上帝视角带你们梳理清楚整个三角函数，我们核心要抓哪些重点， 帮你把体系先建立起来， ok 吗？ ok， 好， 咱们三角函数注意啊，一共是从三大方向去攻克它， 第一大方向就是我们最近在讲的跟基础概念有关的东西，基础概念是三角函数的地基，是所有你后续学习的基础。那到底抓啥？ 第一个叫啥？叫任意角，非常好，弧度制 你得知道呀，从初中到高中，我们的角度的定义发生了改变和拓展，怎么拓展？为什么要拓展？对吧？拓展出来之后出现了什么角？正角、负角和菱角都是怎么被定义的？ 包括弧度值，为什么要产生弧度值？怎么快速去计算扇形的面积，扇形的周长，包括这里常见的二级结论， 你只要但凡用点心，这里都能够学的很好，考试不会丢分的。这第一个，第二个关键在于三角函数的定义， 包括三角函数线，三角函数线， 你这里搞不明白你后续要学的一切的公式，就只能死记硬背了，对吧？甚至有的公式你背过了，你不会用，所以这里打好地基是很重要的。 这搞不清楚诱导公式就是死记硬背吗？是不是知道好给诱导公式打下了坚实的基础啊？第一个是概念的方向，第二个九大组必会的公式，一定要 熟练推导，而且要知道他们之间的关系，闭上眼睛咔呲咔呲咔呲都能写出来，每一组公式之间，哎呀，他们之间有什么联系，有什么进阶的关系？你把这些能搞定，你的体系不就出来了吗？是吧？ 九大组公式，除了诱导公式之外，除了同角关系之外，剩余的七个 对应到教材里面的什么位置，三角横等变换。我专门要说一下他为什么，因为很多老师是按照教材的顺序去讲的，把这之后了，而有的老师会提前讲他 为什么要提前讲，为我们后面学三角函数其他的图像做铺垫，所以我们在后面给大家讲课的过程中，也会把整个公式全放一个体系里面给你讲透的，你后面学图像问题才能够游刃有余好不好？好好，第三个大的方向， 三大图像写清楚啊，三大图像六个性质，你看我们三角函数都学了啥？就是这些， 包括图像的一些变换，这是你理解三角函数的关键，也是我们考试的重点。 那么每一个图像我们都怎么去研究它的？来把当年研究函数的 那些点在这里重新再研究一遍。我们函数里面当年都研究了什么？想一想，定义域，定义域，值域，再研究一遍，每个图像都这么研究一遍。 第二个叫什么值域？还有什么单调性，基偶性，还有呢？哎呀，这写不下了，怎么办呢？写这 周期性，还有什么对称性，对称性全选一遍，那我这得怎么考呢？ 定域考你复合函数，定域的问题，直域怎么考？你注意。哎呀，给你加一个区间， 这都是考试要考的。有区间的指域怎么求？哎，我无区间的指域怎么求？哎，我二次有关的指域怎么求？给你范围，让你去求一些参数方向， 而且考试经常会考大家去大题考大题，考某一问下一个单调性，单调性怎么考？你一模一样的给区间，无区间考二次考，求餐 下一个基友性教材里面我们学到的是哎呀三考三具备基友性的，但是考试考你的是正弦型。 乍一看，哎呦没有什么鸡偶性问题，怎么变成鸡，怎么变成藕？不要死记硬背哦，它的本质是诱导公式，所以我刚才说你前面搞不明白，你往后面去学，你发现学不到根上 还有下一个什么性质？周期性，简单的周期，大家都会带一个公式，关键是你要能拉开差距，考你什么周期？考你一些给绝对值带周期，让你求周期的 还考你什么？考你一些变态的周期问题。那函数你根本就不认识，还考你什么？还考你一些动态周期问题。 求 omega 也是高考考试的重点，连续考了很多年了， 在我们同步当中考大题也考小题，大家不用怕周期，这里我们都有对应的方法和大招，后面都会讲到对称性，简单的让你求对称轴，求对称中心对吧？已知对称轴，求参。已知对称对称中心，求参。我刚说的这些都是基本功， 你要想跟别人拉开差距，那这里就会考到，除了基础的之外，他会结合咱们函数前面讲过的抽象函数的表达式去考你， 所以你前面的基本功如果没有打好，你这里可能有点难度，前面基本功打得好，这里是轻松拿捏的。当然还有最后一个问题，其实专门说一下什么问题？零点问题。 期末考试在大题当中经常和复合函数综合在一块，考你一个最后一道题，那高考当中是以小题为主了。胡老师根据我们历年的考试，把三角函数给大家拆解成了期末必会的， 期末必会的， 从基础概念到整个进阶的综合，从图像变换到每一个性质的考法，手把手带着大家一个一个去攻克这些题型，跟着胡老师学员整个系列，那么三角函数这个模块妥妥充一百三，没有任何问题。 大家可以留三角函数，我把对应的同类型的题目安排给大家拿走打印，跟着老婆的课学起来好不好？好好。

数学，三角函数里的这些符号到底怎么读？这是一个英语图，我经常收到的评论和私信问题，所以今天我请来了我的兄弟数学图。 先说他，也就是他的缩写，这是个开音节单词，末尾一不发音，而字母 i 发本来的音，所以整个词读作 sign， 而他实际上就是嗓音前加了个前缀扣，写作这样，所以读这个词，只要把嗓音前面读出前缀扣就可以了。口嗓音，请注意，他在英文中的读法是重音在第一个音节，而不是咱们大多数人读的扩散音。 下一对也和刚才有点像，他就是 tangent， 他就是 cotagent。 但是注意这次有个不同， cotagent 有三个音节，重音在 倒数第二个，也就是中间这个 tangent 还有一个不同，那就是 tangent 不光是三角函数上常用的，在英语日常用语中也有一席之地。有个短语叫 go off on a tangent， 或者 go off at a tangent， 直接翻译就是从一条切线走开，你能猜到是啥意思吗？ 其实很形象，从切线离开，意思就是不再顺着原来的轨迹走了。那不就是离题了，偏离原来思路了吗？比如， while explaining the best way to cook carrots i went off on a tangent to talk about the weather。 当我在说明怎么烹饪胡萝卜最好吃时，突然开始谈论起了天机。看出来了吧，我这么做就是典型的 going up on a tangent 偏离主题。想想看你生活中的老师、同学、老 老板、同事，甚至你自己是不是经常干这种事啊？好，再看最后一对， second 也有人读 second， 所以这个字读 cosicant 或 cosicant。 注意这里 s 后面的 e 发音是 e 而不是 a， 所以不是 second 和口 second。 出于求生欲，我要说明一下哈。以上是英文世界三角函数的读法，仅供与外国人交流使用，请不要拿着这个去纠正他人，尤其是你数学老师的读音， 咱们学数学的时候，专注于数学本身就好。当然，如果你把这个视频转发给数学老师，想必他不会介意的。

三角函数和的变换，一个视频全搞定，无论是二位角公式，降米公式，还是两角和差公式，我都给你们整理好了搞笑的口诀，那我们开始上课吧！ 我们先来看到第一个提醒哈，两角和差公式非常的简单，一定要熟记我的口诀，对于正弦公式来说，它是非常正义昂然的， 所以说，只要是正号展开，他还是正的，他不改变，我是负号展开我还是负的，我不改变，我不搞那些花架子。而对于他的口诀来说嘞，我们撒野阿尔法加贝塔，记住了，帅哥加哥帅！如果是撒野阿尔法减贝塔，这是帅哥减哥帅。 而对于弦公式来说，他就很多余了，他就非常的邪魅一笑了，所以他的符号展开绝对是不一样的，他就要反着来哈，你是正派，那我就是反派。所以说这里的正号展开是符号，这里的符号展开是正号。所以 cosine arvonne 贝塔，他对应的口诀是 哥哥减嫂嫂，而 cosine alpha 减倍，它对应的是哥哥加嫂嫂。咱们再来看到正接公式，它是不是由正弦和余弦组装得到的，所以说它是一正一斜的，咱们的分子展开来哎，保持符号不变，而咱们的分母展开来，它就要变符号了， 同理，这里是加号，咱们的分子展开也是加号，同理，咱们的分母就是负号的，而此时哈，我们怎么去记公式呢？ tangent alpha 减贝塔，咱们的分子是 tangent 减 tangent， 咱们的分布是一加 tangent 乘 tangent， 而咱们 tangent alpha 加倍呢，咱们的分子就是 tangent 加 tangent， 咱们的分母呢，就是一减 tangent 乘 tangent， 我 们就全部记住了哈，大家不要着急记笔记哈，这里的口诀呢，以及后续的口诀题型我都整理好了，大家一定要领取了，之后呢，多复盘几次，点击我的主页这里去撩就可以领取了。 我们来看到第一个题目哈，已知撒眼乘撒眼等于三倍， cosine 乘撒眼则不用看，我们先把左边全部给它展开，撒眼放在这保持不动，这里是撒眼减，所以它变成了帅哥减哥帅，帅的话，这里就是二分之根号三乘哥 杰哥帅，这个样子非常的简单，然后右边来是等于三克，然后再乘上，这里是相加，所以是帅哥加哥帅，帅哥哥的话就是二分之二，三加哥帅，好这个样子的， 我们再继续来跟大家说一下哈，你在做选填的时候呢，一定要记得化简，我们把三以内写成是 s， 把 cosine 写成是 c， 这样你就可以节省很多时间。我们把左边展开哈，就是二分之根号三倍 s c， 再减去二分之一倍 s 方，等于右边的 二分之三倍，根号三的 s c， 再加上二分之三倍的 c 方，哈，就这个样子。然后呢，我们去化解一下，就会得到根号三倍 s c 再加上 c 方，它是等于负二分之一的， 然后此时哈，你看，我们要求的是一个二倍角，所以呢，我们是肯定要把这两个东西给它画成二倍角的。 而咱们 s c 怎么化成二倍呢？是不是我在这乘一个二就可以了呀？乘一个二嘞，它就可以化成咱们的撒眼二 alpha 了，对不对？ 而这个 c 方嘞，我们就要用降幂公式了，给它化成是二分之一加科撒眼二 alpha 了哈，所以这里就是二分之一加上二分之科撒眼二 alpha 等于负二分之一的好，我们再去整理一下 二分之根号，三倍三眼二反，再加上二分之一倍科三眼二反等于负一的好。此时我们写成塞科加科塞塞眼课，这是科的话，也就是咱们的六分之一选 a 选项。 我们来看到二倍角公式哈，他是最最最畅考的，没有之一。首先是三眼二反，他没有什么花折，他就等于二倍塞扩 两个帅哥哈。但如果是 cosine 二法，他的花招可多，他花招最多，他有三个花枝，首先呢，是最大的花枝，这 cosine 方减去三眼方，所以他是在沟通什么？沟通一个一次方和咱们的二次方之间的一个非常重要的桥梁。 同时嘞，咱们的 cosine 方和三眼方还可以继续再去写，因为 cosine 方他加三眼方，他是不是等于一的呀？ 所以如果说咱们把三衍方写成是一减科三衍方，它就会变成二倍科三衍方减一了。而同理，我们把科三衍方写成是一减三衍方的话，那么它就会变成什么呢？它就会变成一个一减二倍三衍方呢？我建议大家不要直接推哈，直接背 怎么背嘞哈？首先科三衍方减三衍方是非常常背的，而后面这两个东西怎么背嘞？你思考一下， 我们的科三眼和科三眼，它是一个宗族的对不对？那么肯定我在搞平方的时候，肯定是科三眼在前的，而三眼它是不同宗族的，那么我在搞这个展开的时候，它肯定是靠后的， 所以说它们在结构上就有对称性，一个是二倍方减一，一个是一减二倍方，就给大家记住了。我们再来看最后一个 tangent 的 阿尔法，它是更简单的哈， 因为你给它直接拆成是 tangent 的 alpha 加 alpha， 然后呢，咱们的分子还是正好就是 tangent 的 alpha 加 tangent alpha， 一 直二倍 tangent alpha， 而咱们的分母嘞是一减了，减什么呢？ tangent 的 alpha 乘 tangent alpha 一 直是 tangent 方二法，就给它记住了。 我们看到这道题哈，已知 cosine theta 等于负五分之三，它又告诉了 c 塔角的范围，一定是为了让你求出来， sine theta 为多少呢？为五分之四，然后呢，它在二分之 pi 到 pi 之间，所以 sine theta 它肯定是大于零的，所以我们求对了，我们再看后一句话， sine 二 sine theta 加四分之 pi 肯定是要给它展开的，对吧？ sine 加它展开是什么？帅哥加哥帅，也就是帅 哥加哥帅的这个样子的。所以你看我这儿要求的是什么？求的是一个撒野二 c 塔和一个科撒野二 c 塔， 而撒野二 c 塔它等于多少呢？它是不是等于二倍帅哥的，对吧？也就是等于二乘上负五分之三，乘上一个五分之四的，而这里的科三以二 c 塔嘞，你怎么求啊？ 非常的简单，你可以写成是科塞也方减三也方，你也可以写成是二倍科塞也方减一的，也可以写成是一减二倍三也方的哈，给大家求出来。所以最后答案呢，它是等于负五十分之三十一倍根号二的。 我们来看到降倍公式哈，它其实是我们刚才二倍角公式的一个延伸，为什么呢？因为科塞也二法，它是不等于二倍科塞也方减一的， 而它又等于咱们的一减二倍 sine 方阿尔法的。那你来看第一个十字，我如果说把一给它搞过去，则此时来二倍 cosine 方阿尔法，它是不等于 cosine 二阿尔法加一等，而此时 cosine 方阿尔法，它是不就等于二分之一加 cosine 阿尔法了，对吧？ 而咱们这一个式子嘞，我们就可以写成是二倍 sine 方二法，它是等于一减 cosine 二法的，而 cosine 方二法，它就等于二分之一减 cosine 二法的。那怎么去记忆嘞？其实非常非常的简单。 怎么做呢？就是你想哈，我的降倍公式是跟我的二倍角公式对应的，那它背后的大 boss 一定是 cosine 二法。先记住了， 然后你再举呗，我一个对称过来是二分之一加，一个对称过来是二分之一减，这里就填上了个大 boss 就 可以了。而谁是加谁是减呢？那加肯定是同宗族的呗。我的 cosine 方二法和 cosine 二法， 我们俩是同宗族的呀，肯定是一加，而咱们的三也和 cosine 它是不对负的，所以它是一减就记住了。我们来看这道题啊， cosine 方，那马上就用咱们的向量公式， 它就会变成什么二分之一加，科撒眼里面这一坨重上一个二，就是二倍的四分之 pi 减 alpha 的。 好，我们给大家展开一下，这是二分之一加，科撒眼里面就是二分之 pi 减 alpha 的。 哎，这个东西是什么呀？由诱导公式哈，它就会变成 sin 阿尔法，就是二分之一加 sin 阿尔法，所以它就等于右边的五分之三的，此时你解出来咱们的 sin 阿尔法来，它就是等于五分之一的 over 了。 我们来看到第四个题型哈，给值求实，很多老师在这里讲的太难了，其实非常的简单哈，只要他给你什么值，你当成整体去做，你就避免了说，哎，我先给他展开，我也给他合起来，你多此一举干什么呢？我不管三七二十一，我就去令这一坨整体为 t 呀， 则此时我的 alpha， 它就等于 t 减六分之八，而题目给的条件，它就变成了三点 t， 它等于三分之根号二的。 那么后面这一坨我要求的 cosine r 减三分之二牌怎么办嘞？我们先把 r 法替换掉，替换成 t 减六分之派，再减去三分之二牌，给它展开，变成 cosine r t 减三分之派， 减三分之二牌，这里就会变成什么减派呀，对吧？我减去一个派了之后，你就会发现，哎，再由右导公式，它是不是变成负 cosine r t 了呀？ 然后呢，我们有的是 sine t 等于这么多，那我肯定是由 sine 的 二倍角公式，也就是一减二倍 sine 方 t 呀，所以里边儿就是一减二，乘上三分之二的平方也是九分之二的，所以最后算出来是负九分之五的 over。 我们来看到第五个题型哈，给值求角其实也非常的简单，只是要去判断这个角的范围。已知 cosine alpha 为这么多， gamma alpha 加 beta 为这么多，然后呢？ alpha 和 beta 都是在零到二分之派之间求角 beta 的 值，这个应该怎么做嘞？你就直接写成 gamma beta 等于三眼阿尔法加贝塔，你肯定要把题目条件都给用上，对不对？阿尔法加贝塔，我再减去一个阿尔法不就可以了吗？我这里是塞减，那就变成了帅哥减哥帅，也是帅哥 减哥帅。那我们来观察一下啊。哎，这一个是已知的，是十四分之五倍根号三的，而这里科三阿尔法也是已知的，是七分之一的， 而这里来我们是不知道的。而这个三眼阿尔法来，我们是可以求出来的，因为我们的阿尔法是在零到二分之外之间，则此时来三眼阿尔法，它就等于根号下一减科三眼方阿尔法哈算出来嘞，它就是等于 七分之四倍根号三的，算出来了。那我们再来看科三眼阿尔法加贝塔怎么做嘞？有同学说，唐老师直接用根号下一减三眼方阿尔法加贝塔就可以了。 行，宝贝，为什么？因为我们的阿尔法贝塔都是在零到二分之二之间，则阿尔法加贝塔它是在零到派之间的， 则此时我算出来科三也阿尔法加贝塔，它可能是正的，也可能是负的，所以在这还需要去判别它究竟是正是负。哎，那我应该怎么去判别啊？其实非常的简单， 大家看哈，我们的 sine alpha 加 beta， 它是不是等于十四分之五倍根号三等，而咱们的 sine alpha， 它是等于多少嘞？是等于七分之四倍根号三等，其实也就是十四分之八倍根号三等。 你就会发现不对呀，我加上一个角之后，我反而 sine 值变小了， 什么意思呀？什么意思？我们来画一下 sine 的 图哈，然后呢？我们 sine x， 它在零到派上是这样一个图像的，我们可以确定的是，我们的 alpha 角肯定是在这里的， 对不对？然后我们呢，我们的 alpha 加倍，它可能是在对称轴的左边，也可能是在对称轴的右边，如果说它在对称轴的左边，那么 alpha 加倍它在这里，则此时 sine alpha 加倍，它是肯定要大于 sine alpha 的， 因为在对称轴的左边，它是单调递增的，对不对？但 此时出现了大逆转，我们的撒眼阿尔法加贝塔，它是小于撒眼阿尔法的，就说明啊，它其实已经跑到哪里了，跑到这里去了，它甚至比这个对过来还要更小啊， 对吧？所以你就可以说明，咱们的阿尔法加贝塔，它肯定是在二分之派到咱们的派之间的， 那么 cosine 算出来就一定是个不止不扣的负数啊，对吧？所以在这呢，我们就怎么去写，我们就直接写成 cosine alpha 加贝塔，它就应该是等于根号下一减 cosine alpha 加贝塔的平方的，但是外面还要再加一个负号哈，所以你算出来它是等于负十四分之十一的，好，带进去一下哈，最后的答案呢，它就是等于负十四分之十一的， 所以给值求角，它的关键因素在哪里？在你要去确定这个角的范围，我最后算出来到底是正还是负，这个是需要商量的。 那我们最后是不是得到了三倍，它是等于二分之根号三的，又因为 beta 它是在零到二分之派之间，所以 beta 它肯定就等于什么呢？等于三分之派了。 over。 我们来看到辅助角公式哈，这一个函数化成这样一坨东西怎么化嘞？这里有二倍角，这里有一个一倍角，肯定是要把一倍角用降倍公式换成二倍角的。 我们后面这一坨哈写成什么？是不是二分之一加二分之一加什么大 boss， 就是 cos 二 x 的， 对吧？然后呢，我们前面保持不动，后面来写成是一加 cos 二 x 的。 好，这两坨东西我放在一块儿， 也就是根号三倍撒也二 x， 再加上克萨尔 x 加一等。此时我提一个什么出来，提一个根号下这个的平方就是三，这一个一的平方就是一等，所以提的是根号四也是二出来。提一个二出来之后嘞，里面还剩下 三也二 x 乘上二分之，根号三，再加上科三也二 x 乘上二分之一，再加一个一等，所以里边就是塞科加科塞塞克，这里是克，也就是咱们的六分之 pad。 然后呢，再加上一个一，最后呢，就已经写成这样一个形式了，它适用于做大题的时候。 如果你还想查看更多的数学解例程序，以及更多的数学题分方法，一定要点击我们的主页这里群哦。

零基础速通三角函数本节课我们直击高一上重点内容，三角函数的概念与定义。温馨提示，本节课过于基础，学霸可以直接划走主播今天只带想提分但基础差的同学，只要你想学，什么时候都不晚。这节课来跟他去讲一下三角函数的概念与定。 我们说三角函数在高中是摆在一个直角坐标系当中去研究的，我们首先把一个角把它给找到，你看这是中边，这是 r 法角，对吧？那我怎么样去定义三角函数呢？首先我们知道由于在这个直角坐标系当中，它的中边肯定是会过某个 点的，而这个点屁，我们可以把它定义成 x， y， 好， 那我把垂直边把它给做出来之后，这一段边的长度恰好代表的是就是这 p 点的纵坐标 y 打横代表的是不就是这个 p 点的横坐标 x， 我 们用勾股定律是不根号下的 x 方加 y 方，那么我把这一段定义成 r， r 是 等于根号下的 x 方加上 y 方的。好，那么我我们有这样的定义的时候，那我怎么样去算 sine？ cosine 可得整数，我要去算 sine。 r 法是对比斜是吧？我们写出来是不是 y 比上什么呢？斜边就是根号下的 x 方加 y 方，我们都知道这是等于 r 吧，所以我们写下应该是等于 r 分 之 y 口算，写出来应该是等于零比斜，那写出来是不是 x 除以啊？那么 tan 减法是对比零吧，也就是说 y 可 x 做一个比值，所以我就可以得到这是 y 比上 x。 那 么在这里一定要保证一个点就是它的斜边啊，肯定是个正数才可以啊，我们以前学过三角函数，在初中是不是都是正数？在高中它是可正可负 负的，那问题就是这个三眼拉法是正是负，你可以发现它是受什么控制，它是不是受它的， y 就是 它的纵坐标控制， y 是 正的，那整个式子很明显是正的，因为我没有加绝对值嘛。 y 是 负的，那整个式子是不是就负的？对 于口塞来说，它是受 x 控制， x 是 正的，口塞 alpha 就是 正的， x 是 负的，口塞 alpha 是 不是就是负的？那最后我们再来看一下天枕，天枕受什么控制，你可以看到它是不是受到 x 和 y， 它之间的比值的关系，换句话说，它们同号就意味着它是正数，同号比一下就变成正数， 一号比一下其实就是负数。所以在这里我们就可以得到一个结论，如果我们要去研究三角函数的正负应该怎么去研究？首先我们可以分四个象限，第一象限我们可以发现三是正还是负， x 和 y 和 x， y 是 不是都是正数？所以第一象限三样勾三样跟 ten 是 不是都是正数？好，那我们来看一下第二象限。第二象限当中三样很明显是个正数，而我们知道此时它的 x 是 不是应该是个负数， 所以我们就可以得到口算就变成负数，而由于是一号，所以看成写下来应该也是个负数吧。那么接下来我们一起来看到第三象限， y 是 不是小于零， x 是 不是也小于零？所以对于这两个来说， sin 跟 cosine 是 不是都是负数？而由于它们是同号，所以 y 比上 x， 最终得到的是不是还是一个正数？ tan 写下来应该也是个正数？好，我们来看一下我们的第四象限， y 应该是小于零， x 是 大于零的，所以 tan 是 个负数， cosine 是 个正数，而由于它们是一号， tan 是 不是也是个负数？ 那么这就是我们对于高中来说三角函数的一个最基本的定义。好，那接下来我们来看一些相关的题型啊。他说如果 sin alpha 是 正数， tan 乘 alpha 是 小于零，他要问角 a 的 中边位于多少项向量？ sin alpha 大 于零，大于零是不是要么是一项线，要么是二项线？摊选 alpha 小 于零是不？要么是二项线，要么是四项线，对吧？最终上所述就是，如果他们同时成立，他应该在第几项线？很明显答案选的是 b。 我们再来看到下一个问题，他说如果 sine 的 绝对值比上 sine x 是 等于负一的话，则角 x 它所在的象限应该是多少？如果我想要比值等于负一的话，那么是不是就意味着 sine x 它必定是小于零？ 由于我现在知道 sine x 是 小于零，它等于负一，那么就意味着角 x 它应该是在第几象限，它是不是应该是在第三或者是第四象限？因为我们知道 sin x 它是在第三或是第四象限的时候是个负数，对吧？所以我们这道题目就很简单，把它给找到，学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。苦练十年，不如名师指点！每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

同学们好，我是董老师。今天我们来讲脚的概念的推广，那在初中我们已经学过了，零度到三百六十度的角，包含了里面的锐角、直角、钝角、平角、周角。 那我们初中脚的定义同学们还能回忆起来吗？那么初中脚的定义是这样的， 有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角。那我们初中的定义就是有两条射线组成的几何图形叫做角。那这两条射线的组成的一个角度的大小，我们发现只能是表示为一个正的角， 而且只能是在零度到三百六十度之间。那我们初中学的这个零度到 三百六十度角显然是不够用的，那怎么办呢？我们需要一种新的定义来定义角，那在生活中，比如说这里面拧紧螺丝的时候，需要将扳手顺时针方向旋转，松螺丝的时候需要逆时针旋转， 可以旋转一圈，也可以旋转多圈。这么多种现象里面都需要对脚的概念进行推广，因为我们的脚不够用了。 好，我们来看角的定义，如图，平面内一条射线 oa 绕着他的端点 o 按箭头方向旋转到中指位置 ob 形成角 f， 其中点 o 是角 f 的顶点。射线 oa 是角 f 的始边。射线 ob 是角 f 的 中边。那我们在数学上规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针旋转的角叫做负角。 因此我们的一个钟表，他的旋转方向都是一个顺时针法旋转，他得到的一个角都是负角。 那如果一条射线是没有转动呢？那么我们就称这个角形成了一个零角，这样零角的死边和中边是重合的，他关键是没有旋转。所以如果阿尔法是零角，那么我们称为阿尔法是零度。 如果一个角的中边沿逆时针或线顺时针方向旋转三百六十度整数倍，那么所得心角的中边与圆角的中边， 他是重合的，因此一个脚任意旋转三百六十度整数倍，他还是会与原来的那条边重合。 通过对角的概念的推广，我们应该知道角是包含的正角、负角和菱角啊。一般情况下，我们角 f 和角 f 都可以，简直为 f， 以后我们表示的时候不会专门写角 f， 直接利用 f 来表示这个角， 那正面来稍微总结一下，任意角，这里面包含正角、负角和菱角，他们是根据脚的旋转方向和旋转量得到的， 那正脚是按逆时针旋转，副脚是按顺时针方向旋转，菱角是没有旋转，因此得到了一个正脚、负脚和菱角。 那为了进一步研究角的需要，我们常常需要在直角坐标系里面来讨论角。我们正面规定，如果角的顶点与圆点重合，角的死边与按轴的恢复半轴重合，那么对任意一个 角，角的中边落在第几象线，那么我们就说这个角为第几象线角。因此这里面我们提到了一个象线角的概念。象线角的概念， 关键是找出他的一个中边是落在第几项线，当然有的角他可能 没有落在象限里面，他如果落在坐标轴上，那么我们就称这个角不属于任何象限，他不属于象限角。比如九十度，一百八十度，二百七十度，这些角都不是 象线角，那么我们来思考这么一个问题，判断三十度与三百九十度、负三百三十度，他们角的中边是落在第几象线呢？ 那这三个角的中边有什么特点呢？很容易知道，三十度他是落在第一项线，因此他是第一项线角三百九十度。三百九十度，我们知道先相当于像一个 逆时针方向旋转三百九十度，那我们知道转一圈是三百六十度，因此如果从这里面转，转完一圈再转三十度，他相当于六十落道 第一上线。而且为我们会发现三十度和三百九十度他们的中边是重合的。那副 三百三十度是什么意思呢？负三百三十度相当于从顶角开始顺时针旋转三百三十度正好也是旋转到与三十度的中边是一致的，他正好也是落在第一上线。 因此我们发现三十度和三百九十度、负三百三十度三个角都是第一下线角，而且他们的中边重合。 那从上一例题我们可以看出，三百九十度和负三百三十度的角，他们的中边以三十度角的中边是相同的，那我们可以找出什么规律呢？中边相同的角有什么特点呢？好， 我们这边发现三百九十度和负三百三十度都可以表示出零度到三百六十度的一个角与 k 个周角的和，其中 k 为整数。 比如三百九十度，他其实就是一个周角加上三十度。同理，负三百三十度是等于三十度减去一个周角。 我们发现三百九十度和负三百三十度都可以表示为一个三十度的角和一个周角的和，其中三百九十度是一个三十度加上一个周角，负三百三十度是一个三十度角减去一个周角。 所以我们正面如果是集合 s 是北塔，北塔是等于三十度加三百六十度乘以 k， k 属于 z。 那么我们发现三百九十度和负三百三十度的角都是 s 的元素。而且可以看出，所有与三十度角中边相同的角，包含三十度都是集合 s 的元素。有双三十度、三百九十度、负三百三十度、七百五十度 都是集合 s 里面的元素。反过来集合 s 的元素都与三十度的角中边相同。因此正面我们总结说，中边相同的角有什么特点 啊？一般所有与角阿尔法中边相同的角，连同角阿尔法在内，可以构成一个集合。这个集合 s 可以写成北塔是等于阿尔法加上三百六十度乘以 k， 其中 k 为整数， 即任何一个与角 f 中边相同的角，都可以表示成角 f 与一个周角的整数倍的和。反过来，东边 相同的角有无数多个，他们相差三百六十度的整数倍。咱们正面必须要注意，中边相同的角是不一定相等的。 比如刚刚说了，三百九十度和三十度他们是中边相同，但是他不相等，但相等的角中边一定是相同的。这个需要注意一点。我们看例题一判断下列角是属于第几项线， 那负七十度相当于是顺时针旋转，七十度会落在第四项线，因此他是在第四项线角。 那九百四十五度呢？他是第几项线角呢？九百四十五度。根据咱们刚刚说的，我们可以把九百四十五度写成一个角，加上一个周角的整数倍，或者这样来理解，九 九百四十五减去三百六十度的整数倍。我们发现九百四十五减去七百二十度算，九百四十五减去七百二十度是等于二百二十五度。 别说九百四十五度，他的一个中边跟二百二十五度的中边是一样的，那二百二十五度是落在第三象线，因此我们可以求出九百四十五度是落在第三象线，他是第三象线角。 这个相当于将九百四十五度减去或加上三百六十度的整数倍，他们的中边还是一样的。同理，我们看第三个九百五十度，负九百五十度十二分，他的中边落在第几项线呢？那 此时我们可以加上三百六十的整数倍，比如负九百五十度十二分，可以加上一千零八十度， 因此他是跟一百二十九度四十八分的中边是相同的。而一百二十九度四十八分，他正好是落在第二象线，因此负九百五十度十二分，他是落在第二象线，他是为第二象线角。 因此我们判断角是属于第几项线。如果他直接绝对是在三百六十度以内，我们可以直接通过旋转得到。 如果他的脚特别大或特别小，我们此时可以减去三百六十度或加上三百六十度的整数倍，再来判断他的一个脚的向线问题。一条 在平面直角坐标系中，我们需要写出中边落在 x 轴上的角的集合，或者中边落在 y 轴上的角的集合。我们先来看第一个那中边落在 x 轴上的角的集合该如何表示呢？ 这里面我们知道零度肯定是在 x 轴上，还有一百八十度也是落在 x 轴上，接着是三百六十度也是落在 x 轴上，那我们能够发现什么规律呢？我们从这里面写出来， 因为落在 so 上的角有很多，我们这里面就列出一些来，他分别有负一百八十度、零度、一百八十度，三百六十度，五百四十度。因此落在 so 上的角的结合可以表示为 s 是等于北塔，北塔是等于一百八十度乘以 k， k 属于 z， 这是相当于找规律。我们发现每个角之间是相差了一百八十度，因此我们可以表示为一百八十度乘以 k 的形式。 那第二个，写出中边落在歪轴上的角的集合该如何表示呢？我们也可以类似的做法。落在歪轴上的角有哪些呢？分别有负九十度，然后呢是九十度， 接着是二百七十度，再接着是四百五十度，一直往后写。那么这些角都可以写成哪哪种形式呢？我们发现每两个角之间是相差一百八十度，因此落在歪轴上的角的角，它可以写 是一百八十 k 加上九十度的形式。你说落在 y 轴上的角，他的形式就应该是 bana 等于九十度加一百八十度乘以 k， 那以后落在其他直线的情况，我们也是可以找出类似的规律来的。通过找出一些特殊角，然后呢总结出规律，我们就可以得到他的一个角的集合是什么样的。一直三 写出以六十度角中边相同的角度结合 s， 并把 s 中适合负三百六十度 小于等于白塔小于七百二十度的元素白塔写出来，那这里面我们还是比较容易写的。银行 s， 因为他的一个角是六十度，因此他可以写成白塔。白塔是等于六十度， 加上三百六十度等于 k， 其中 k 属于 z， 但因为北塔要落在负三百六十度到七百二十度之间，我们发现如果令 k 等于零六十度肯定是可以的。 k 等于六十度， k 等于一是四百二十度， k 等于也是可以的， k 等二，此时 k 的二就会得到是七百八十度不符合题，那 k 等于负一呢？ k 等于负一，我们发现 他是六十度，减去三百六十度是负三百度，负三百度符合题，那 k 等法就会小于负三百六十度是不符合题的。因此这里面集合 s 就写成这样，他的一个满足题的北塔 是六十度，四百二十度，还有负三百度。我们继续来这看一下这个思考交流。 已知角 r 法为锐条，那么角 f 的中边有角， r 法加一百八十度， r 法减一百八十度，一百八十度减 r 法，他们的中边的几何关系分别是什么？ 如果这个角是任意的角呢？他们又有什么样的关系呢？我们这里边来看一下。小 r 为锐角的情况下，因为 r 是落在第一上线， 他的中边与阿尔法加一百八十度有什么特点呢？比如我们这里面不妨假设叫阿尔法是在这，那阿尔法加一百八十度，怎么才能得到阿尔法加一百八十度呢？因为我们根据角的定义来，角是由旋转 转得到，加一百八十度相当于上逆时针旋转一百八十度，所以当脚 r 法逆时针旋转一百八十度，一百八十度正好是一个平角，所以正面得到一个。 而法加一百八十度，我们发现两个角的中边正好在同一直线，而且是相反的两个方向，因此我们正面可以得出角而法和角。而法加一百八十度，他们的中边几何关系是正好关于圆点对称。 好，这是第一个。那那个阿尔法减一百八十度和阿尔法之间有何关系呢？我们也是利用刚刚的旋转阿尔法减一百八十度，相当于将阿尔法顺时针旋转一百八十度。顺时针旋转一百八十度，正 好跟阿尔法加一百八十度是一致的。因此我们可以得出阿尔法和阿尔法加一百八十度，他们的中边是关于圆点对称。阿尔法与阿尔法减一百八十度，他们的中边也是关于圆点对称。 所以呢，前面两个关系总结为 f 与 f 加减一百八十度，都是关于圆点对称的，他们中边是关于圆点对称的， 不是前面两个。那第三个一百八十度减 r， 他们的关系是什么样的呢？我们也可以 先令 r 法为十度，那么我们发现一百八十度减 r 法则是一百七十度。十度和一百七十度，我们可以在左边 系里面体现出来，这是十度，那这边就是一百七十度，这个角是一百七十度，我们发现这个角也是等于十度。这两个角，也就是说 r 和一百八十度减 r， 他们的中间是歪于歪轴对称的。 那到底，那我们只是找出一个角十度，如果角为二十度呢？而法为二十度呢？三十度呢？会不会有一样的关系呢？我们这里面其实也是可以推出来的。首先啊，法为略角，怎么得到负而法呢？ 两个角，我们发现如果角 f 为锐角，它相当于是逆时针旋转，一个绝对是阿尔法度。负而法那相当于他是顺时针旋转，绝对是阿尔法度。因此这两个角其实关于 x 和对称 这两个角，关于 s 轴对称，那负二反怎么得到一百八十度呢？相当于在旋转只需要旋转一百八十度，不管是顺还是逆， 只需要旋转一百八十度即可，因此他会得到一百八十五减而法那正而法和负而法，他是关于 x 轴对称的两个角， 这是 r 法，这边是副 r 法，将副 r 法顺时针或者说逆时针都可以，因为这一百八十度啊，你可以按照他的定义来直接来逆时针吧。逆时针旋转，那正好是得到圈里面， 正面是一百八十度，因此我们发现这两个中边，这两个中边他们是关于歪轴对称的，因此第三个关系就是 r 法与一百八十度减 r 法，他们的中边是不安于 y 轴对称的，这是我们的一个最终结果。 那如果以后遇到其他的角度怎么办呢？我们也是可以根据旋转对称来找出他们的一个结合关系。好，我们进行一下课堂小结，那这里面我们主要是学了三个知识点，第一个脚的定义是什么？第二，如何判断脚是第几项线？ 第三，中边相同的角度集合该如何表示？主要是这三个问题。好，我们进行一个课堂练习， 一只角 r 法为负一百三十度，则角 f 的中边落在第几项线，那 r 法等于负一百三十度，相当于这个角按顺时针旋转了一百三十， 他其实是落在第三象线的，因此这边是第三象线。第二与负四百五十七度角中边相同的角的集合是多少？那我们 与他中间相同的角可以写成是 s， s 是等于北塔，北塔等于负四百五十七度加上三百六十度乘以 k， k 属于 z。 当然我们一般不会利用 负四百七十五度来表示，我们可以将负四百五十七度继续转化，我们可以加上 三百六十度的两倍，也说负四百五十七度加上七百二十度，他们的中边还是一样的。因此只需这个角就可以转化为 s 是等于白塔，白塔是等于二百六十三度加 k 三百六十度，其中二百六十三度是负四百五十七度加七百二十度得来的。因此他们的中边相同的角度结合，就可以表示为这样的 第三，如果角 f 为锐角，那么 k 乘以一百八十度加 f， 他所在的象限是多少？ 正面我们需要分类讨论，比如我们假如零 k 等于零的话，我们只此时发会发现 k 乘一百八十度加法，他是落在第一上线。如果可以等于一呢？那么我们会发现一百八十度再加上一个锐角，此时相当于一百八十度继续 历史的旋转，一个锐角他会落在第三项线，那此时在就是 k 等于二的时候，他其实相当于跟 k 等于零的时候是一 一样的。所以呢，我们这里面有两种情况，可以乘以一百八十度加 r 法，他是可能在第一项线或第三项线的。这是第三个题。 第四个点写出中边与直线 y 等于 x 重合的角，他们的角的集合是多少呢？我们可以跟前面的，也可以找出规律来。那这里面怎么找规律呢？ y 等于 x， 他刚开始有一个四十五，他相当于是一根直线。 最简单的直线如果中间是落在这条上，他这个角正好是四十五度。如果落在这条上呢？那此时就是一百三十五， 那此时就是二百二十五，因此他可能是四十五度，也可能是二百二十五度。 继续旋转右旋转一百八十度，所以他还可能是四百零五度。继续再旋转一百八十度，他还可能是五百八十五度。 那这些角之间有什么特点呢？我们发现他可以写成是四十五度加一百八十度的整数倍，因此第四个他的一个角可以表示为 s， s 是等于白塔，白塔等于四十五度加 k 乘以一百八十度，其中 k 属于 z。 好，这是第四个。第五个。时针走了一小时二十分钟，那么分针转过的角度是多少？ 那么我们清楚，时针如果走了一个小时，那么分针相当于转了一圈，再走了二十分钟，相当又转过了三分之一圈。因此 一小时二十分钟，分针是转过了三分之四圈，那一圈是三百六十度，因此是三分之四乘以三百六十度，因此是等于四百八十度。但是这个题如果直接填四百八十度的话，此题答案是错的，为何呢？ 因为我们在高中学过，顺时针旋转得到是负角，历时针得旋转得到是正角，那正面肯定是顺时针旋转，因此转过的角度应该是负。四百八十度。 好，这是第五个第六个脚，北塔是第四象线脚则一百八十度减，北塔是第几象线脚？根据我们刚刚那个思考题可以知道，北塔和一百八十度减北塔是关于歪轴对称的角，而北塔第四象线 关于歪手就会到第三上线，因此证明是第三上线角，这是第六题。好，那我们今天所学的就是一个角的概念的推广，希望同学们能够获得有用的知识。