数学几何模型风筝模型人工湖

好，大家好，我们看一下这道题。如图，母公园的外轮廓是四边形 a、 b、 c、 d。 被对角线 a、 c、 b、 d 分 成四部分，其中呢，三角形 b、 o、 c 的 面积是两平方千米， 三角形 c、 o、 d 的 面积是三平方千米，三角形 c、 三角形 a、 o、 b 的 面积是一平方千米。如果公园有大小为六点 九平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？我们看一下，这是一个是 公园，是一个是四边形，四边形呢，还告诉我们的当中，哎，三角形 b、 o、 c 的 三角形 c、 o、 b 以及三角形 a、 o、 b 的 面积，那我们要求出来 a、 o、 d 的 面积就可以了，因为 求出 a、 o、 d 之后，那四边形 a、 b、 c、 d 的 总面积就可以求出来，那我们拿出总面积的话，那再减去一个 六点九平方千米的陆地，那就是一个人工弧的面积。好，那我们把过程写一下，那我们根据方格模型，那三角形 b、 o、 c 的 面积乘上三角形 a、 o、 d 的 面积，就等于三角形 a、 o、 b 的 面积，再乘个三角形 c、 o、 d 的 面积， 三角形 a、 o、 b 的 面积和三角形 c、 o、 d 的 面积已经告诉我们了，所以说 a、 o、 d 的 面积我们就能求出来，它就等于二分之三，也就是一点五平方千米。好，那么这样的话，四边形的总面积我们就能求出来了吧， 那四边形的总面积呢，就等于这四个三角形的面积和，那么就等于二加三加一，加上一点五，就等于七点五平方千米，那人工湖的面积，人工湖的面积就等于这个总面积七点五，再减去这个 陆地面积六点九平方千米，所以说他就等于七点五，减去六点九，等于六零点六平方千米。好，这道题的答案呢？就是零点六平方千米。

九岁精通奥数第一集风筝模型这是一个四边形，连接它的两条对角线就可以得到四个三角形，依然需要发挥你的想象力，看像不像风筝，所以就叫风筝模型。 风筝模型主要研究的是这四个三角形面积的关系，把它们分别记成 s 一、 s 二、 s 三和 s 四，那这四个面积有什么关系呢？咱们先来看上面两个三角形， 它俩是等高三角形，所以面积之比就等于底边的比，也就是 s 一 比 s 二等于 bo， 比 o d。 再看下面两个三角形，也是等高的，所以面积比也等于底边的比，也就是 s 三比 s 四就等于 bo 比 o d。 擦亮你的双眼，仔细观察一下，这俩都等于 b o 比 o d， 那 它俩也是相等的，也就是说， s 一 比 s 二就等于 s 三比 s 四，这就是四边形中这四个面积的比例关系，也是风筝模型的重要结论。 进一步地利用交叉相乘，咱们还可以得到， s 一 乘 s 四就等于 s 二乘 s 三。 在图上来看的话，就是这两个对折的面积相乘，就等于这两个对折的面积相乘。比如 s 一 是六， s 二是十， s 三是九，那 s 四等于多少呢？刚才说了，六乘 s 四就等于十乘九，算一下 s 四就等于十五。搞定 刚才这个结论说的是这四个小三角形的面积关系，那大三角形和大三角形之间有没有关系呢？当然有， 这俩面积的比就等于 b o 比 o d， 由此我们可以得到， b o 比 o d 就 等于六比十，也就是三比五。 再看左边的大三角形，总面积是六加九，得十五，而右边的大三角形总面积是十加十五得二十五，所以左边三角形 a、 d、 c 的 面积就等于十五比二，十五也等于三比五，所以这俩是相等的。 也就是说，左边儿三角形的面积比上，右边儿三角形的面积也等于 b、 o 比 o、 d。 类似的，上方三角形的面积比上下方三角形的面积就等于 a、 o 比 o、 c。 好 了，以上就是方正模型的两个结论，现在问题来了，在这个图里有三块儿面积一致，那剩下这块儿面积是多少呢？

今天我们要讲的数学几何模型是方正模型，之前咱已经学过了。长方形中的面积关系，实际上，在一般四边形中，也有一种特殊的面积关系。例如在这个四边形里，两条对角线把它切成四个小三角形。 假设这四个小三角形分别是等高三角形，所以 b、 o 比 o、 d 是 它们的面积比 s 一 比 s 二。 而下面这俩三角形也是等高三角形，所以 b、 o 比 o、 d 也是它俩的面积比 s 三比 s 四。哎，左边这俩相等，那右边这俩当然也相等了，于是 s 一 比 s 二就等于 s 三比 s 四， 这就是一般四边形中的比例关系。有了这个关系，只要能知道图中三个三角形的面积，就可以求出最后一个三角形的面积了。 比如在这个图里，已知其中三个的面积分别是八、六十二，那根据这个结论，就有八比六等于十二比 s 四。接下来要求它，那就得用到交叉相乘了，也就是八乘 s 四等于六，乘十二等于七十二， 因此 s 四就等于七十二，除以八算一算等于九。这个图形一般被称为方正模型， 不信你看，很常见的一种方程吧。在方程模型里，除了刚才这个结论之外，还有一个结论也很重要。回到图里， b、 o 比 o、 d 等于上面两个三角形的面积比八比六，也就是四比三， 而左边俩三角形的面积之合是二十，右边俩三角形的面积之合是十五。不难发现，二十比十五也等于四比三， 这说明 b、 o 比 o、 d 就 等于左右两个三角形的面积比。有了这个结论，就可以在方程里把面积比转换为线段比了。 举个例子来说，如果告诉你 abc 的 面积是七十， a、 d、 c 的 面积是五十，而 o、 d 的 长为十，问你 b、 o 有 多长？ 那根据这个结论就有两线段的长度比等于两三角形的面积比，也就是 bo 比十就等于七十比，五十算一算 bo 就 得十四。 ok， 来总结一下 方正模型里有两个重要结论，第一个结论就是 s 一 比 s 二等于 s， 三比 s 四。第二个结论就是 bo 比 o、 d 等于左右两三角形的面积比。

小学奥数动画第一集风筝模型风筝模型这是一个四边形，连接他的两条对角线就可以得到四个三角形，依然需要发挥你的想象力，看像不像风筝，所以就叫风筝模型。 风筝模型主要研究的是这四个三角形面积的关系，把它们分别记成 s 一、 s 二、 s 三和 s 四，那这四个面积有什么关系呢？咱们先来看上面两个三角形， 它俩是等高三角形，所以面积之比就等于底边的比，也就是 s 一 比 s 二等于 b o 比 o d。 再看下面两个三角形，也是等高的，所以面积比也等于底边的比，也就是 s 三比 s 四就等于 b o 比 o d。 擦亮你的双眼，仔细观察一下，这俩都等于 b o 比 o d， 那 它俩也是相等的， 也就是说， s 一 比 s 二就等于 s 三比 s 四，这就是四边形中这四个面积的比例关系，也是风筝模型的重要结论。进一步的利用交叉相乘，咱们还可以得到， s 一 乘 s 四就等于 s 二乘 s 三。 在图上来看的话，就是这两个对着的面积相乘，就等于这两个对着的面积相乘。比如 s 一 是六， s 二是十， s 三是九，那 s 四等于多少呢？ 刚才说了，六乘 s 四就等于十乘九，算一下 s 四就等于十五。搞定， 刚才这个结论说的是这四个小三角形的面积关系，那大三角形和大三角形之间有没有关系呢？当然有， 这俩面积的比就等于 b o 比 o d， 由此我们可以得到， b o 比 o d 就 等于六比十，也就是三比五。再看左边的大三角形，总面积是十加十五得二十五， 所以左边三角形 a、 b、 c 的 面积比上右边三角形 a、 d、 c 的 面积就等于十五，比二十五，也等于三比五，所以这俩是相等的。 也就是说，左边三角形的面积比上右边三角形的面积也等于 bo 比 o、 d。 类似的，上方三角形的面积比上下方三角形的面积就等于 a、 o 比 o、 c。 好 了，以上就是方正模型的两个结论，现在问题来了，在这个图里有三块面积一致，那剩下这块面积是多少呢？

大家好，今天我们继续学习五大模型，今天呢我们学风筝模型，下面我们看一下风筝模型是什么？ 如图，四边形 a， b， c， d 对 角线 a， c， b， d 交于 e， 把这个四边形呢分成了四部分，我们用 s 一、 s 二、 s 三、 s 四表示这个四个部分的面积，我们得到了结论， s 一 比上 s 二等于 s， 四比上 s 三等于 s 一 加上 s， 四比上 s 二加上 s 三等于 d， e 比上 b e， 我 们看前面 s 一 比上 s 二，我们前面学到等高乘以 s 一 比上 s 二就等于 d 一 比上 b e， s 四比上 s 三也是 d 一 比上 b， 那 么 s 一 加上 s， 四比上 s 二加上 s 三也等于 d 一 比上 b 一， 这是怎么回事？我们推导一下， 我们两边同乘以 s 二，就得到 s 一 等于 s 二乘以 b 一 比上 b 一， 这个 s 四两边同乘以 s 三， s 四就等于 d e 比上 b， e 乘以 s 三，那我们把 s 一 加上 s 四，我们看等于什么呀？对， 就等于 s 二乘以 d e 比上 b e 加上 s 三乘以 d e 比上 b e。 把 d e 和 b e 提取共音式， 就等于括号 d e 乘以 b e 乘以括号 s 二加上 s 三，在两边同除以 s 二加上 s 三， 我们就得到了 s 一 加上 s 四比上 s 二加上 s 三等于 d， e 比上 b e。 啊，同理可以证明啊， s 一 比上 s 四等于 s 二比上 s 三等于 a， e 比上 ec。 上面这两个部分相加，比上下两个部分相加，也等于 a e 比上 ec， 同理可以证明。通过这个一式，我们还可以得到一个结论，就是对角这两个三角形的面积，它们相乘积是相等的，我们看 s 一 比乘以 s 三等于 s 二乘以 s 四， 这就是我们方程的结论。下面我们看方程的，我们在实际解析中是怎么应用的？ 我们看这个例题，正方形 a、 b a 一 b 一 c 一 d， 它的面积是一， 这和 k 是 这两条边的中点，我们要求这两条线分割的四个图形的面积分别是多少。那我们看根据已知条件，我们能知道哪些个图形的面积。 我们三角形 a 一 这 d 一 的面积是知道的，因为它是中点，看一下它是正方形一半的一半。三角形 a 一 b 一 k 的 面积我们也是能够知道的。 我们看我们知道这两个条件能求出这个四个图形的面积吗？如果求不出来呢？我们就想办法要加辅助线。 你看如果我们连接 j、 k 和 k、 d 一， 我们会得到什么图形呢？对，得到了一个四边形和三角形， 我们看这个三角形的面积还是可以求出来的。这个四边形我们看它像什么呀？像我们刚学过的风筝模型， 我们风筝模型得的结论是，这个面积比等于它这个线段的比。 那三角形 a、 e、 j、 k 的 面积我们能求出来吗？这是中点， 那三角形 a 一 j、 k 就是 三角形 a 一 b 一 k 的 一半，那三角形 a 一、 k、 d 一 的面积我们同样可以求到，它是这个正方形的一半。我们先把式则列出来， 得到了这个三角形的面积和这个 a 一、 k、 d 一 的面积。那我们还能得出什么结论呢？ 这两个三角形的面积比就等于线段 j、 l 比上 l、 d 一， 让我们看一下它得多少，就是 j、 l 比上 l、 d 一， 它是一比四， 那我们看我们知道这个大三角形 a、 a 一 这 d 一 的面积，又知道这个线段底边那个比，那这个小三角形和这个 a 一、 l、 d 一 的面积比是一比四，那这个小三角形的面积是不是可以求出来？ 对，我们把数字看一下，它们的面积是一比四，那小三角形就占这个 a 一、 g、 d 一 的五分之一，那我们就可以求出这个小三角形 a 一、 g、 l 的 面积。 我们知道这个小三角形的面积，又知道这个大三角形的面积就是 a 一、 l、 d、 e 的 面积， 你也可以用它占它的五分之四，直接求出来 a、 e、 l、 d、 e 的 面积。把十字列出来，我们看上面这两个三角形的面积我们求出来了，那下面这两个四边形的面积我们是不是就好办了？ 这个 a 一、 b 一 k 的 面积我们是知道的，是可以求出来的，它减去这个小三角形就等于四边形 j、 l、 k、 b 一 的面积， 这个式子给它求出来，那我们看这个四边形 l、 k、 c、 e、 d、 e 的 面积，就等于这个梯形的面积，减去这个三角形 a、 e、 l、 d、 e 的 面积，或者是正方形的面积，减去刚才我们求出这三个部分的面， 这两种方法都可以求出来，我们就可以列式子给它计算出来。好了，我们通过用方正模型就解决了这个问题。我们第一步呢是先根据已知条件，看看哪些图形的面积可以求出来， 如果达不到我们的目的呢？我们就要加辅助线，把这个未知的图形变成我们熟悉的图形，三角形还有四边形，这个四边形是一个风筝模型，我们就用风筝模型，我们学到了知识，解决了这个问题。 上面呢？这是一个公众号，这个公众号里有风筝模型的习题，有兴趣的同学可以做一下。 这是我的课程内容，包含了 bc 的 大部分的知识点。呃，同学们可以系统的学习。

五年级奥数动画风筝模型风筝模型，这是一个四边形，连接他的两条对角线就可以得到四个三角形，依然需要发挥你的想象力，看像不像风筝，所以就叫风筝模型。 风筝模型主要研究的是这四个三角形面积的关系，把它们分别记成 s 一、 s 二、 s 三和 s 四，那这四个面积有什么关系呢？ 咱们先来看上面两个三角形，它俩是等高三角形，所以面积之比就等于底边的比，也就是 s 一 比 s 二等于 b o 比 o d。 再看下面两个三角形，也是等高的，所以面积比也等于底边的比，也就是 s 三比 s 四就等于 b o 比 o d。 擦亮你的双眼，仔细观察一下，这俩都等于 b o 比 o d， 那 它俩也是相等的，也就是说， s 一 比 s 二就等于 s 三比 s 四，这就是四边形中这四个面积的比例关系，也是方程的重要结论。 进一步呢，利用交叉相乘，咱们还可以得到 s 一 乘 s 四就等于 s 二乘 s 三。 在图上来看的话，就是这两个对着的面积相乘，就等于这两个对着的面积相乘。比如 s 一 是六， s 二是十， s 三是九，那 s 四等于多少呢？刚才说了，六乘 s 四就等于十乘九，算一下 s 四就等于十五。搞定， 刚才这个结论说的是这四个小三角形的面积关系，那大三角形和大三角形之间有没有关系呢？当然有， 这俩面积的比就等于 b o 比 o d， 由此我们可以得到， b o 比 o d 就 等于六比十，也就是三比五。 再看左边的大三角形，总面积是六加九，得十五，而右边的大三角形总面积是十加十五，得二十五，所以左边三角形 a、 d、 c 的 面积就等于十五比二十五，也等于三比五，所以这俩是相等的。 也就是说，左边三角形的面积比上右边三角形的面积也等于 b、 o 比 o、 d。 类似的，上方三角形的面积比上下方三角形的面积就等于 a、 o 比 oc。 好 了，以上就是方程模型的两个结论。

这个视频我们学习风筝模型的特点，风筝模型是存在任意四边形中的面积比例关系。看图， 四边形 a、 b、 c、 d 被分成了四部分，面积分别设为 s 一、 s 二、 s 三、 s 四。根据等高模型的特点，三角形的高相等时，面积比等于对应底边的比。我们可以看到， s 一 比上 s 二就等于它们对应的底边 a、 o 比上 oc， s 三比上 s 四也是对应底边 a、 o 比上 o、 c。 这样我们就得出 s 一 比上 s 二就等于 s 三比上 s 四。 同理， s 一 比 s 三等于 bo 比 o d， s 二比 s 等于 bo 比 o、 d， 他 们就可以得出 s 一 比 s 三就等于 s 二比 s。 再看三角形 abc 和三角形 a、 d、 c， 它们的底边都是 a、 c， 所以 它们的面积比就是它们高的比，所以就得出 s 一 加 s 二比上 s 三加 s 四就等于 bo 比 o、 d。 同理， s 一 加 s 三比上 s 二加 s 四就等于 a、 o 比 o、 c。 这些风筝模型的特点一定要记牢。