明心数学教学方法

六百分钟带你通关明星数学，我们来看一下明星数学形成专题里面的一个例题， 先读题。有五位探险家计划横穿沙漠，他们每人驾驶一辆吉普车， 每辆车最多可携带供一辆车行驶三百一十五千米的汽油。显然五个人不可能共同穿越沙漠， 于是他们计划在保证其余车完全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠。当然实现这一计划需要几辆车相互借用汽油，那么问 穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠？这就是著名的吉普车问题。我们来画一个简图，假设这一条路就是从起点到穿越沙漠之间的最远的一条距离，那么在这里面一共有五辆车，我们分别标为 a 辆车、 b 辆车、 c 辆车、 d 辆车和 e 辆车。我们现在知道在这里面，我们其中会有四辆车去不断的给其中一辆车去进行补给，比如说在这个 m 点处，我们进行第一次补给， 也就是说 a 现在要行驶到这一段 b 也要行驶到这一段 c。 同样的道理， d 也是一样，我们现在牺牲掉最后一辆车，让最后一辆车去给他们补给。那要补给到一个什么样的状态才能让这个 a 跑得更远呢？那当然在这里他需要是一个满格的状态，相当于满血复活。 同样 b、 c、 d 在 这一点也都是满点，那分的是谁？分的就是这个 e， 那 这对于这个 e 来说，它本身携带了三百一十五千米的汽油，不仅仅要支撑它跑到这一点，同时也要保证它给每个人分完汽油之后，它自己是能够回来的， 所以它会给这里补满，同时给 c 也补满，给 d 也补满，但是要保证自己要回来。 那这个时候来观察一下，把 e 的 汽油平均分成了几份给他补一份，一份两份，三份四份，五份、六份。 也就是说在这里面 e 的 汽油要平均分成六份，把三百一十五平均分成六份，分给每一个人，那么在这里面每个人要分的是五十二点五千。 也就是说在这个时候，此时你的 e 已经走了，把它 pass 掉了，剩下的 a、 b、 c、 d 它们又满血复活了， 那接下来它们再继续走。假设走到这一点 n 点之后，我现在选择牺牲掉 d、 d 去给所有的人读几。 那对于 a 来说，我从这到这是满格状态，从这到这我也要补成满格，从这到这也要补充满格。 e 同样也是行驶到这之后，要分别给 a、 b、 c 去补给，同时还要满足 d 也要保证自己能回来。 那我们来观察一下，光 e 自己就消耗掉了自己三份的汽油，同时一、二、三又补给了三份，依然是把三百一十五平均分成了六份，那此时在 n 点， a 处于满血状态， b 处于满血状态， c 依然处于满血状态，这时 d 已经牺牲掉了。我们再来看看，在第三个补给站，比如说这个地方是 q， 那 么此时 a 要行驶到 q， b 要行驶到 q， c 也要行驶到 q， 这个时候我们就准备牺牲掉 c 了。观察一下， c 不 光要在这里给 a 补满，也要在这里给 b 补满，那同时还要保证自己能回去。 也就是说我们把 c 的 汽油也平均分成了一、二、三、四、五、六，那每一段还是五十二点五千米，那我们来看看，那这个时候如果要保证 a 走到这里依然是满血状态， b 得陪着他到这， 并且要保证他自己也是能够回去的，我们来看一下，那对于 b 来说，这是消耗其中的一份，两份，三份，四份，五份，六份，依然是六份，所以在这里 b 也牺牲掉了，那么此时 a 他 就属于一个满血复合的状态， 那我们想一下，每一段都是一个五十二点五千米，他总共是被补给了四段， 此时在这一点是满油状态，所以他自己的油还能够支撑他去走三百一十五千米， 我们就用五十二点五乘四，再加上三百一十五千米，最终五百二十五千米就是这辆车 a 在 其他四个人帮助补给的情况下，所能穿越的最远距离。

六百分钟带你通关明星数学，我们来看一下明星数学上的这道例题，甲乙两地相距三点六千米，我们记住，但凡拿到这种题的时候，先把单位画出来，因为我们通过底下上去扫一眼，就能看到他的单位是不统一的。 两条狗从甲乙两地同时相向奔跑，每分钟分别跑四百五十米和三百五十米， 他们相向跑一分钟后，同时掉头背向跑两分钟，又掉头相向跑三分钟，再掉头背向跑四分钟，这样不停的跑，直到相遇为止。问，从出发到相遇需要几分钟？那拿到这种题，你的思路是什么呢？ 想想，也就是说，如果在这里面，我们脑海里构一个草图，这条路上开始来回的跑， 刚开始跑这么多，跑这么多，从这里之后再掉头往反向再跑这么多，再跑这么多，我们观察一下，是不是这个时候他们是相遇的对不对？是不是偶数次看基数次是相遇，偶数次反而离得越来越远了？ 那么这个题的思路是什么？他一定是要找规律，看看在这个题里面，他们行驶的规律，行驶的轨迹是什么。 那么做这种题，苏老师给大家教一个方法，就是列表法。那如何去列呢？我们来看看。从这里开始，我们把他的掉头次数标上，最终我们要求的是他们之间的距离，我们把两个狗之间的距离也标上。 通过看这个图，在第一次的时候，两条狗分别在甲乙两地，第一分钟两条狗相向奔跑，这个时候掉头的次数，其实原始的状态是零，他们两个之间的距离是三点六千米，换算成米就是三千六百米， 这是在没有掉头的情况下，第一次准备掉头了。那这个时候他们之间的距离是多少？这个地方是四百五十，这个地方是三百五十，那也就是说每跑一分钟，他们两个的距离是不是缩短了四百五十加三百五十，也就是八百， 那本来是三百六十，那么此时本来是三千六百，那么减少了八百。此时这一段的距离是不是就是三千六？减去八百他就是二千八百米。 那第二二分钟之后，他们背向跑两分钟，那么也就是说在原有的基础上又增加了这一段和这一段的距离， 在三千六的基础上，在三千六的基础上增加了八百。所以第二次掉头他就变成了四千四百。那我们再来找规律。第三次掉头在他的基础上要减少八百，就变成了二千。 第四次掉头在他的基础上又增加了八百，变成了一千二百。第五次掉头在二千的基础上又减少了八百，变成了一千二百。 第六次在五千二百的基础上增加八百，增加八百之后他就变成了六千。第七次是在一千二百的基础上又减少了八百，就变成了四百。 那第八次我们是在六千的基础上加上了八百，就变成了六千八百。那第九次要在四百的基础上减去八百四百减了八百，那就相当于负四百了。 那这个时候我们可以判断出在这个地方他们两个是一定相遇了的。那他到底走了多长时间？我们来看看。一共走了第一次是一个一分钟，一分钟加上两分钟，加上三分钟，加上四分钟， 加上五分钟，加上六分钟，加上七分钟，加上八分钟，那这个九分钟我们要不要加？ 那当然是一定要加的，但是这个时候你想一想，在这里面我们是不是只还付了个四百？ 所以是不是少走了一分钟？是八百，那四百是不是就是零点五分钟？所以在这里面我们要再减去多算的零点五分钟，最终算出来的结果就是四十四点五分钟。

六百分钟带你通关明星数学，我们来看一下明星数学的这道行程问题。甲乙两人在一条长为三十米的直路上来回跑， 甲的速度是每秒一米，乙的速度是每秒零点六米，如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了十分钟之后，共相遇了几次？当你看到这个题的时候，你的第一思路是什么？ 你想一想，在这里面是来回跑步，也就是说从 a d 到 b d， 再从 b d 到 a d 这种折反跑，想想是不是我们这个要考虑的是它的周期问题， 那既然是周期问题，两种量的周期问题，那也就是说在这里面我们要牵扯到最小公倍数了，你的思路是这样吗？那我们带着这样的思路来看一下这个题。 首先在这个题里面，他问了的是十分钟之后共相遇了几次，那么又回到刚开始的问题上，对于十分钟来说，他是一个相对来说比较长的时间，我们不可能说把这十分钟全部去拆开，去剖析他们两个共相遇多少次， 那这个时候就要找到他们的公倍数，那是谁的公倍数呢？难道是他们速度的公倍数吗？当然不是，一定是找到他们时间之间的公倍数。我们来看一下， 整体上这条路是长三十米，甲的速度是每秒一米，那么甲如果从头跑到尾，他的时间是多少呢？这就是我想求的 t 甲 t 甲是用三十直接去除以一，他就是三十秒， 甲跑完一个全程是三十秒，那我们来看一下，对于乙来说，他跑完一个全程用三十去除以零点六，求出来的是五十秒， 打跑一个全程是三十秒，一跑一个全程是五十秒，那么也就是说三十跟五十的最小公倍数是一百五十秒， 我们只要分析出这一百五十秒的周期，他们会相遇几次？十分钟，也就是六百秒，那这六百秒之内，他会相遇多少次，是不是就迎刃而解了？ 那我们来看一下做这种题，给大家分享一个非常实用的小技巧。图叫做流卡图，今天苏老师就给大家教一下如何去画一个流卡图。 首先先画一条线，这条线表示的是甲，这条线表示的是乙，我们来看看，那对于甲来说，甲从头跑到尾，他是会有一个三十秒的时间，我们来分一下，这个地方是三十秒，接下来当他返回的时候，这个地方就是六十秒， 再是同样的距离，这个地方就是九十秒，再来一段这样的距离，他就是一百二十秒，那最后再来一段这样的距离， 他就是一百五十秒。做这种题的时候先瞄点，瞄完点之后再去连线。我们来看一下，从甲从出发到这里三十秒，这是他的第一段路程，这是他返回到起点的路程， 这是他又来到第二个端点的路程，接下来继续返回，在这整个路程中，我们的甲一共跑了五个，那我们来再看一下乙，对于乙来说，他每跑一个全程是五十秒，那么就在靠近六十的地方，这里是五十， 那他在意往返又是一个五十，所以这里是一百，最终回到这里的一百五。我们现在开始连线，通过画图我们显而易见，当甲根乙有焦点的地方就是他们两个相遇了，那我们来看一下，一二三 四五，也就是在这一百五十秒里面，他们会有五次相遇，那么全程是六百秒， 六百里面有几个一百五十呢？用六百除以一百五十，也就是有四个，一百五十就是一个周期，我们会有五次相遇，那么四个周期四乘五就等于二十，当他们跑了十分钟之后，一共是相遇了二十次，这就是有用的流卡图。

大家好，今天我来讲第三个抽屉原理三，数学夏令营组织二百二十五名学生去游览 a、 b、 c、 d 四个景点，规定每人最少去一处，最多去两处游览。 问，至少有几名同学游览的地方完全相同，那这里一共有几个抽屉呢？ 肯定得分两类。第一个是去一处，肯定只有四个， a、 b、 c、 d， 那 去两处， a 加 b， a 加 c， a 加 d， b 加 c， b 加 d 和 c 加 d， 那 一共有四加六，等于十处。也就是说十个抽屉，十个抽屉，把二百二十五放进去，肯定等于二十二个于五名， 那我这五名也得平均分，他说的是至少，所以我还是得平均分，所以用二十二加一等于二三，也就是说 至少有二三名同学游览的地方是完全相同的。我这二百二十五个人平均分到这十处，把 这所有人假设成苹果，把所有的地方假设成抽屉，我把二十二、二百二十五个苹果平均分到抽屉里面，每个抽屉可以放二十二个，余下五个，那我五个， 我这个得到的也就是抽屉王。那我不能把这五个全部放进去，因为他说的是至少有多少名同学嘛，所以再把这五个平均分，把这五个 可以分给 a、 b、 c、 d 和 a 加 b， 那 我这也是得到了最少有几名同学去的地方完全相同，所以至少有二十三名同学去的地方完全相同的。

六百分钟带你通关明星数学，今天我们来处理一下明星数学形成问题中的课后作业， 我们来看一下挑战奥数的第十一题。从披萨店到我家的路上，每隔四百五十米就有一个信号灯， 灯的颜色总是按照绿三十五秒，黄五秒，红三十五秒这样的顺序重复的变换着。 饼店的小伙子一直是以每小时五十四千米的速度骑摩托车去送饼，他的运气特别好，信号灯总是在他临到的那一瞬间变绿， 使他能够顺利的通过。当他原路返回时，如果也能那么巧，在临到的那一瞬间赶上绿灯的话，他驾驶的摩托车的最快的速度是每小时多少千米？ 拿到这个题我们先怎么办？一定要先观察这这道题里面有很多的地方都是有单位的，有米有千米有秒，那么在这里面第一步一定要先换算单位， 五十四千米每小时，它等于多少米每秒呢？用五万四千除以三千六算出来的是十五米每秒。 换算完单位之后，我们会发现它会有绿灯三十五秒，黄灯五秒，红灯三十五秒这样的顺序重复的变换着。对于这样有时间，并且是重复变换，下一步怎么思考呢？ 是不是一定要找到它的周期对不对？那它的周期是多少？它的绿灯是三十五秒，黄灯是五秒，再加上红灯三十五秒，也就是说在这里面七十五秒是一个周期。 如果刚到达这个地方的时候，灯是正好是绿灯，那么为了顺利的通过，下一次在红灯亮之前，应该在整个过程中，从四百五十米的地方，往后他是要行驶七十五秒才正好可以到达下一个轮回绿灯亮的地方， 这个地方大家可以理解，那所以我们来看看四百五十米就是他的整个路程，他的速度是十五米每秒，用四百五十除以十五，他是三十秒。 从第一个红绿灯到第二个红绿灯之间四百五十米的距离，我要行驶三十秒，那么我们来看看整个红绿灯的周期是七十五秒，从其中的一个到另外一个顺利通过，经历了三十秒，那么我们差了多少秒？ 是不是用七十五减去三十，是不是等于四十五秒？每隔四百五十米的时候，我们是不是就要到达下一个红绿灯，那到达下一个红绿灯给我们能够休息的时间，也就是四十五秒，所以说 从一个红绿灯到另外一个红绿灯，每隔四百五十米，那在这四百五十米里面，我们就有四十五秒的时间去充分准备，所以我用四百五十再去除以四十五， 这个时候就能算出我的速度，我只要以十米每秒的速度通过，那我就能保证在下一个绿灯亮起之时通过。那这时候提问的是他驾驶摩托车最快的速度是每小时多少千米， 那这个时候我们要进行单位换算，十米每秒他就等于三十六千米每小时，这就是我们最终的速度。

六百分钟带你通关明星数学，今天我们来看一下明星数学形成问题里的一道例题。 甲乙两地相距六千米， a 从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分行八十米，这就是前一半的平均速度， 后一半时间平均每分钟行七十米，后一半时间的平均速度。那么他走后一半的路程比走前一半的路程多用了多长时间？ 那在这里面我们来先看一下，甲乙两地相距是六千米，首先一定要进行单位换算，六千米就等于六千米， 那我们再看他走后一半的路程与前一半的路程，那总路程是六千，那么一半的路程用六千去除以二， 六千除以二等于三千米，这三千就是前一半的路程以及后一半的路程。这个题中一定要明确的是，前一半的时间不一定走了前一半的路程，当然前一半的路程也不一定消耗了前一半的时间。所以在这个题里面，我们要巧用一下平均数的一个技巧。 在这里面， a 从甲 d 到乙 d 如果用平均速度去走的话，它的时间与原来所用的时间是相同的，那平均速度该如何计算呢？用前一半的平均速度加上后一半的平均速度，再除以二， 所得的这个七十五米每分钟就是整个全程的平均速度。这道题里面我们已经知道了路程是六千，平均速度是七十五，那时间应该如何去求呢？用路程除以速度，用六千除以七十五， 所得的时间等于八十分钟，这个八十分钟就是全程所需要的时间。 那么我们来再看一下， a 走前一半的路程用了多长时间呢？前一半的路程是三千，他的平均速度是八十，所以我用三千去除以八十等于三十七点五分钟， 三十七点五分钟就是前一半路程所用的时间。那么后一半路程所用的时间呢？我们直接用八十减去三十七点五， 求出来的四十二点五分钟就是后一半路程所用的时间。现在题目问的是后一半的路程比前一半路程多用了多长时间，我们直接用四十二点五减去等于五分钟即为所求。

列个数是 a、 b、 c、 d， 这个四位数是，所以这个四位数的反序数就是 d、 c、 b， a， 它等于一个对称的数，并且是一个五位数，就是 e、 f、 g、 f、 e， 这里是加啊。 开始我们只知道一，我们最先能知道的就是一，他等于一，为什么呢？假设 a 和 d 他都是九，那最多也只能等于十八，那前面再进个一，最多也只能等于十九，所以一他不可能超过一， 它只能是一啊，它是一。 a 加 d， 它已经等于十一了，所以我们要让 a、 b、 c、 d 这个数最大，越高的数位是不是小越大？所以说 a， 它只能等于九。 通根据 a 等于九退出， d 等于二，因为 a 加 d， 它等于十一，然后十一减九，它就等于二。好，继续看 f， 我先编一下，看得更清楚一点 嘿， f 它有两种情况，为什么？第一种， f 等于一，因为我们已经知道， a 加 d， 它等于十一，那 f 如果在 g 不进微的情况下， f 就等于 一。第二种， f 等于二，你看，如果这前面进了一，那 f， 它就得等于二。一个一个分析，分析完了，结果就出来了。 在 f， 它等于二十，会怎么样？标好， f 等于二， 那也就代表着前面这个 g 它进位了，前面这个 g 进位了， b 加 c， c 加 b， 这这个都是一样的， b 加 c， 它肯定是一个十几， 然后呢， b 加 c， 它就等于二，但是前面它被禁了一个一，所以 b 加 c， 我们知道了，它等于十一， 这时呢， b 要最大，因为 a、 b、 c、 d 越靠前的数位，它就等于大，所以 b 等于八， c 等于三，那这个三位数就是 九、八、三、二。第二种情况， f 等于一， f 等于一十，它代表着不进位，对不对？不进位 g， 它不会进位的。 f， 也就是说 c 加 b， 它不会进位，而 d 加 a， 它等于 e， 这个一，它已经向前进一位了，所以 b 加上 c， 它只能等于一个数，零。你知道这是 b 等于零， c 也等于零了。 所以这个两位数是九零零二。好，这是比较结果，九八三二，他是大于九零零二的。答案是九八三二，是这个最大的四位数。