数学初三测量高度的方法思维导图

天。

高度为多少 x？ 人的高度为多少 y 啊？这两个羊角，就我们刚才讲的一个是阿尔法，一个什么贝塔，是不是这样的啊？那下面我们怎么计算这个 x 它的高度啊？ 哎，不对不对不对，好，我来标个键啊， a b 就是 拿拿塔的高度减去人的身高就是 x， x 减 y， 再用泰尼达泰尼达比特等于等于 x 减 y 除以 b、 c， 所以 我们可以求出 b、 c 等于 x 减 y 除以泰尼达比特。 然后在直角三角形 a、 b、 d 中，泰尼达阿尔法等于 x 减 y 除以 b、 d， 所以 b、 d 等于 x 减 y 除以泰尼达阿尔法。 然后呢？然后那个放的就是 b e 加 b c 的 一个 cd 啊，很好啊，接下来他刚才找大家有没有见过啊？ 首先我们要把哪个求开 b、 c， 然后把哪求开？ b g， 为什么？那 b、 g 减去哪一个 b、 c 等于什么？ c d、 c、 d 的 高度就是我们刚才参量出的 ab 的 怎么样？高度是一样的吧？啊，那它 b、 g 怎么求？在直角三角形当中 a、 b、 d 中是不是这样的？那 b、 g 应该就等于什么？ a、 b 除以贪心是什么？二八，那同理可知，那 b、 c 应该等于什么？ a、 b 除以什么？贪心被他，那他们一减就在哪一个 c、 d， 那 其中 a、 b 就 等于 x 减哪一个 y， 是 不是这样的啊？这样我们就可以求助关于外用可不可以求来？ 可以，可不可以求来？可以可以啊，那这样我们就可以求来关于 x 的 一个什么方程啊？那下面我们来看一下啊，可写成什么？你看 是不是读到一个方程啊？这个方程就是这样列出来，那我们能否根据这个方程能解决我们生活中一些实际的问题呢？那下面我们请看一个题目， 如图，某数项兴趣小组想测量一棵树 c d 的 怎么样高度，它们现在点。

接下来我们看一下题型二，然后呢，是求测量高度的问题啊啊，这是一个实际应用的问题， 得不得说了一大堆啊。 ab 这块给了一百米角， bc 也给了六十度，然后 a、 d 在 b、 d 听到的比于晚了多少？十七分，照这个晚是怎么去分析啊？ 晚了十七分之二秒，然后声音在空气中传播的速度是三四零。那好，那就说明什么意思呢？说明 a 到 c 的 距离比 b 到 c 的 距离就多了这么多，他俩做乘积嘛 啊，速度乘以时间得到的，是不是就是我这一块多的距离，那多的距离这一块有了，那他俩之间就有联系了。你比如说我 ac 设为 x， 那 你 bc 就是 x 减去十七分之二乘以三百四十呗， 对不对？这块不就有这个信息了吗？有了这个信息之后，那你看在三角形 a、 b、 c 中我就可以。什么呢？我就可以通过余弦定理啊，这个角得六十度啊，三条边的关系也也都有了，那我就可以通过余弦定理去求谁求这里的 x， x 求完之后， a、 c 长度有了，然后呢，再视角转移到 a、 h、 c 这个三角形中，那么 a、 h、 c 这个三角形，你看这个角能求是不是四十五度，然后你 a、 d 这块垂直上面的三十，所以这个角 h 也能求啊，这不就六十度吗？很明显啊， 那六十度有了啊，六十度对的， a、 c 这条边长我有了， h、 c， 这是我想求的，他对的这个角也有了，哎，再通过一个正弦定律，你看这个题不就解决了吗？所以这就是他的一个分析啊。那好，那我们现在去写，你说解 干什么呢？我们可以射嘛？射 a c 等于多少？ x 米，则那这里的 bc 就 多少了。说明是 x 减去十七分之二，乘上一个三四零 啊，最终算完之后应该是 x 减去四十，哎，米，这是不是应该是我的这个一个方法？那在三角形 abc 中由谁啊？由余弦定里 由余弦定里可得得一个什么事情啊？那就说这块是一百，这块是 x， 这块就是 x 减四十，括号 y 的 平方应该等于谁啊？ x 方加上一百的平方，减去二乘， x 乘上一百，再乘上一个 cosine， 多少度？是不是六十度？你去整理，整理完之后你就可以写解得 这里的 x 等于一个具体的数值了。这个我就不给你解了，你自己去解，解完我直接给你答案了。解得之后 x 应该得多少？四百二来说 ac 得四百二了，那 ac 得四百二，我们现在视角再转移到哪啊？在三角形 a h c 中是不转移到这个三角形中啊？那你 a c 等于多少？是不是四百二十米？ 然后呢？你角 a h， a c 等于谁啊？是不是三十加上一个十五等于四十五度，然后角谁啊？ c h 呀？ c h a， 这等于谁呢？是不等于九十？减去一个三十度就等于谁啊？六十度啊，这块是九十啊，这块是三十啊，所以说你角一次就等于六十度了， 对吧？那由什么？由正弦定力啊，是不是就能能够得到信息了？那由谁啊？由 c h 比上一个谁啊？肾 角 h a c 就 应该等于谁啊？等于 a c 比上角 c h， 是 这个吗？那然后你代代数，代数之后呢？你 c h 不知道咱想求的除以谁啊？除以一个 c 四十五度就应该等于 a c， a c 是 不是在第一位中？咱，咱刚才啊，不是第一位，咱刚求 a c 的， 这不这呢是不等于四百二，比上一个 c 多少？ c 六十，那解得 c h 是 不是又出来了啊？解完之后也是把答案直接给你讲，等于一百四十倍的根号六。哎，这可以了，最终你答一下，就故这个什么弹射高度为为多少？一百四十倍的根号六米就完事了。 所以你看，通过这个题就很明确，或者说很有一个这种深深的体会，就是我们把实际问题转移到什么呢？我们的数学这个角度去解决的 啊，这就相当于是一个建模的过程，所以深刻的去理解一下啊，这种这种感觉会给你带来很大帮助的。这就是本期视频，我们下期视频再见。

从曹冲称象到数学测量，小朋友们，你听说过曹冲称象的故事吗？在很久很久以前的三国时代，曹操收到了一份神奇的礼物，一头小山般巨大的象， 这么庞大的大象，该怎么知道它有多重呢？曹操有一个聪明的儿子曹冲，他把大象请到了一艘大木船上， 船身缓缓的沉了下去。曹冲不慌不忙，让人在船帮与水面相平的地方刻下了一道清晰的刻痕。接着大象被牵回了岸上， 曹冲又让人们将一块又一块的石头搬上船，船又开始下沉，直到水面稳稳的停在了那道河口上。曹冲笑着说，看现在这些石头的总质量就等于我们大象的计量了。 善于思考，你有没有想过，为什么大象的质量等于石头质量呢？答案就藏在船上的刻痕上。当大象站在船上时，大象的质量使得船下沉至刻痕处。 当石头的质量累积到让船下沉到相同的刻痕时，就意味着大象的质量与这些石头质量相等了。 这艘带有刻痕的船仿佛是一座桥梁，将大象的质量和石头的质量连接起来，建立起相等的关系。 这个故事反映了等量的等量相等这一数学原理。曹冲称象的故事在今天依旧璀璨夺目，但不同时代有不同的方法。在时光长河中，称量技术与工具随之代浪潮不断前行。 回顾中国农业社会，储物横铜还权是战国时期的称量工具，秦八金铜权是秦始皇统一全国后统一的标准度量衡器具。 西汉时期的汉三军铁拳对之后的度量衡制度产生了深刻影响。再往后，宋代等称的精巧，民勤感称的成熟，尽显称量历史与发展之美。 那么当代的我们是如何测量物体的质量呢？随着改革开放以来国际化贸易的深入，我国陆续加入了国际计量局等国际组织计量标准，也开启了与国际深度交轨的新征程。 从此，克、千克、吨这些国际通用质量单位逐渐融入我们的生活，成为日常称量的常用之选。今天就让我们来认识克千克吨 质量的认知。从我们以前研究程度，人民币的单位一样都是属于对量的研究，所以我们也将从单位、关系、工具以及应用这四个维度逐渐展开。那么一克、一千克、一吨到底是多重呢？ 小朋友们，找一枚一角硬币掂一掂，你就能感受到一克的手感。你还能联想到更多这样大约是一克的物品吗？比如黑金针、塑料瓶盖或者一粒黄豆。可以看出克适用于计量较轻物品的质量， 例如一盒 mm 巧克力豆的质量大约是一百克。在这好奇，我们称上显示着一个新的质量单位，千克 为什么表示人的体重不用克呢？没错，就像表示更长的长度用大的长度单位一样， 表示更重的质量也有相应的质量单位。当物体很重时，用克数单位不方便，所以我们就把一千个一克合在一起，组成一个更大的质量单位。一千克用来计量较重物品的质量， 你可以双手抱起一大瓶矿泉水来感受一千克表示的质量。你还能点想到更多这样大约是一千克的物品吗？你可能想到了一部笔记本电脑，一本汉语指点。生活中还有更多用到千克做单位的例子。比如初中生，他哥哥的体重大约是五十千克。 那么大象的质量还用千克吗？大象显然是比人重的多的动物，理应用到更大的计量单位。数学家们也考虑到这一点， 因此将一千个一千克组合在一起，定义一个更大的计量单位。吨。当计量很重的物品或大宗物品质量时，通常用吨来做单位。 一辆小型家用轿车的质量大约就是一吨。一吨是一个巨人单位，他大到我抱不起来，你抱不起来，甚至爸爸也抱不起来。你能联想到更多这样大约是一吨的物品吗？动物园里一头成年犀牛或成年河马大约是一吨。 四十个三年级小朋友的体重大约是一吨。草丛称象故事中的大象大约有五吨重呢。 在认识克、千克吨的过程中，相信你已经摸索出他们三者之间的关系了。如同长度单位和技术单位一样，质量单位克千克吨的进率关系也是。在实进制体积下。 千克在克的前面多了一个千字，代表克与千克间的间距是一千。一千克等于一千克，而千克与吨间的间距也是一千。一千千克等于一吨，你能推理出克和吨之间的间距吗？一千乘以一千等于 这个大数，等到我们四年级就会读了。哎，善于思考的你可能已经想到了课和听课这两个相邻的这样单位之间的进率并不是十，而是一千呀！这岂不是与时进之矛盾？ 实际上并非如此，其实比课更大的项链单位应该依次是十克、百克，然后才到千克。但是考虑到十克、百克并不实用，所以我们在日常中没有这种说法。相信这样你就更能理解为什么课与千克间的间距是一千了。 就像长度是长度单位的累加一样，物体的质量本质是物体包含质量单位的个数。想要知道一个物体包含多少个质量单位，这就需要用到称量工具。 随着时代的发展，现在社会的称量工具越来越方便了，我们可以根据使用场景选择合适的工具。例如实验室里最常用的是托盘天平厨房或菜市场里常用盘秤称量面粉、鸡蛋、蔬菜水果的质量。 而电子秤对聪明的懒人更友好，直接把具体的质量告诉你。废品回收站常用棒秤称量废铁最酷的当属电子汽车秤，货车驶过专属通道的瞬间， 系统屏幕便能叮的显示出质量数据，活像给货车办了张数字体检报告，掌握了质量单位及他们间的关系，了解了测量工具的使用方法和应用场景。这意味着我们可以做什么呢？ 当你再看到五百克时，便知道这是质量数据。当你想粗略了解数学课本有多重时，便懂得借助我们熟知的参照物的质量颠一颠做估计。 当你还想进一步了解它的准确质量，便会选择合适的测量工具，通过纸质或者读数来获得测量信息。 可是建安十三年没有如当下般便捷的质量单位和工具，那艘悠悠漂浮的船宛如一架天平，以浩渺的水波为秤盘基座， 沉稳如山的大象恰似放置在天平一端的物体。而那一次次添加的石块，则宛如精心较准的砝码，端坐在天平的另一端。而船身的刻痕，便是大象质量与石块质量这一对等量的最好印证。 年风六岁的曹冲撞穿了困局，巧妙地借助了水的浮力，把撑大象这个天大难题转化成了撑石头这个我们擅长解决的小问题。 愿观看视频的每一个小朋友，都能像曹冲一样，成为生活中充满智慧、勇气和自信的小小探索家。 以上就是关于课千课吨的全部内容，我是青岛中学殷雨熙更多精彩内容，欢迎关注视频号，一图一世界，图说数学。

今天我们来学习一道解直角三角形的综合应用类的题目啊，那么对于这种题目呢，我们都知道解直角三角形实际上就是我们的三角函数，对吧？三角函数的应用，那对于三角函数来说，我们目前只需要大家掌握到几个比较特殊的三角函数值，还有就是每一个三角函数 sine， cosine， 还有我们的探解体， 它究竟等于我们的什么边比什么边就可以了，对吧？好，我们现在来看一下这道题目。先审题，他说某班同学想测量一教学楼 ab 的 高度， 如图，大楼前有一段斜坡， bc， 已知 bc 的 长为八米。好，我们现在这标一下， bc 是 八米， 它的坡度 i 等于一比根号三。那么注意，看到坡度 i， 我 们要想到它其实是属于我们的哪一个三角函数值啊？ 是不是最后的它其实是我们的探间体，对吧？因此我们能知道这个地方啊，如果要把这个坡度用起来，所以这道题唯一不变辅助线是肯定需要的啊，王老师，这里把它画成实线啊，虚线不太好画。 那么假设咱们的这个点是 e 点。好，那现在我们就能知道坡度 i 等于一比根号三，也就是探间题角 b、 c、 e， 它是等于我们的一比根号三的就行了，对吧？ ok， 这是坡度。接下来继续。它说再离点 c 点，再离 c 点三十米的 d 处。 ok， 这个地方有一个三十米，这个地方是八米， 然后侧得教学楼顶高 a 的 阳角为三十七度阳角，注意是向上看，对吧？因此这个角是我们的三十七度。好， 继续。他说，则教学楼 a、 b 的 高度约为多长？你看这个地方要让我们来算 a b， 是 不是就跟我们的 b c e 和 a 大 e 这两个直角三角形是有关系的了，是不是？那我们刚刚知道坡度角、探解体角 b c、 e 等于一笔刚好三。 对于这个图上来说，你看探间体角 b c、 d 是 等于谁比谁呀？是不应该等于我们的 b e 来比上 c e， 那 它们也就等于我们的一比上 根号三，对吧？也就是我们的三分之根号三。那么请问大家，我们的哪一个探间体值，哪一个正切值是等于三分之根号三的呀？哪一个角度？哎，对了，是三十度的角，所以在这个地方我们能够知道啊， 这个 time 题角 b c e， 它就该等于三十度。那么在三十度的直角三角形里面很特殊啊，三十度所对应的直角边是斜边的一半，因此 b e 我 们是能算出来它一定等于四米， 那么这个地方竟然告诉了我们大 c 的 长度，如果我能求出 c e 的 长度，你看我这个时候 a e 是 不是就可以用三十七度的这个角的三角函数值，我们把它给表示出来了，是不是？所以这个地方根据这个三十度，我还能把我的 c e 给求出来，是不是？那你看， 对于三十度的这个角来说， c e 是 它的邻边， bc 是 斜边，跟哪个三角函数值有关？ cosine 对 吧？ 所以在这个地方我们能知道 cosine 三十度，它是等于 c e 来比上我们的 bc， 而 bc 体干中告诉了，所以这个地方的 c e， 它就该等于 bc， 乘 cosine 三十度 也就等于我们的四倍根号三， bc 是 八，这个 cosine 三十度是二分之根号三，所以四倍根号三嘛，是不是？ ok， 那 现在我们的大 e 是 不是就可以用我们的这个式子给它表示出来了？所以现在大 e 从图中来看，它是等于大 c 加上 c e 的， 那它也就等于我们的三十加四倍根号三。我这里就不带单位了啊，注意，如果你写的时候应该把大括号带上单位米是吧？好，那现在我们的大 e 这一段换一个颜色，我们给它标注一下啊。 现在大 e 这一段我们已经表示出来了，那只要我们能把 a e 这一段表示出来，是不是就能够求出我们的 ab 的 值了，对不对？所以现在转化成了我们的三角形 a， 大 e 里面要求 a e 的 值，那么注意， 我们已经知道了，角是三十七度的角，那这个 a e 和大 e 是 不是分别是它的对边和邻边？那跟对边邻边相关的是不是就是我们的正切，也就是探见体的那个值？所以我们能知道探见体 三十七度，从图中来看，它是等于我们的 a e 来比上大 e 的， 所以要求的 a e 啊，其实就是我们的 a b 加上四加上 b e 嘛，它就该等于大 e 来乘看见体三十七度， 那我们把数据带进去啊，那就变成了 a b 加四，等于大 e 是 三十加四倍根号三 来乘。探间题三十七度，题干中是告诉了我们的啊，注意，如果记不住不是特殊角的，那一般题干中会告诉我们对应的数据，那再乘这个零点七五就可以了。 乘这个零点七五，所以这个地方几个方程，那我们的 a b 算出来，它大概是约等于我们的注意啊，根号三，它告诉了我们啊，根号三通常情况下它是约等于一点七三二的 一点七三二，这个是需要我们大家记得啊，根号三大概约等于一点七三二，那这道题需要我们精确到零点一米嘛？是不是？所以你直接用那个一点七三来进行计算是不就可以了，对吧？那最后我们这个 a b 的 值算出来约等于二十三点七米，所以这道题选择答案 b 选项。好了，我们来总结一下这个题啊，那么对于这个题来说，首先第一，根据题干告诉的坡度角，我们是不是能把我们的 c e 和 b e 给表示出来，是吧？能给算出来，那要让我们求的 a b， 那 肯定跟这个 出数值的这个 a e 这一条边有关系嘛？是不是？所以我们要想办法把这个 a e 想办法给它表示出来，那题干中告诉的数据是跟我们下面横着的这一条直角边相关的，那我们就去算横着的直角边相关的值就可以了嘛，是不是？ ok， 那 这道题同学们学会了吗？

一百一百两米啊，两米，两米就两米啊，这两米啊，这跳远不？这个时候尺子跟地面是形成了一个直角三角形，它的垂直于地面的长度是一百零二厘米，而另外一条直角边是一百三十三厘米，这个时候 所有的影子都呈相似三角形，所以说我们只需要找两个直角边的关系就好，不是。一百零二比一百三十三， 刚开始大家通过相似这个我们计算出来这根杆子的长度是多少？二百七十六，两百七十六，那实际测量呢？二百七十七，二，二百七十二，那其实还是有一点点误差哈，零点零四，这个误差的话，你们觉得是来自于什么地方？来自于太阳，太阳在移动，就是尺子七点， 太阳一动，啥意思呢？就会产生一开始的相三角形可能跟我们一开跟之后三角形完全是相似的。对啊，所以的话你们在测量的时候应该在同一时间测量，对吧？你不能去等，因为我们这个测量的时候啊，过程当中耗费了起码有这个好几分钟。 然后的话还有一个是什么原因呢？可能这杆子就使得筋度不够。对，筋度不够，这个也是，所以我们下个阶段要改进更为准确的杆子的长度。好，再见，同志们，拜拜。

现实生活中测量物体的高度， 特别像旗杆、高楼、大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识来解决问题。 那会利用到什么样的仪器和怎样利用三角函数的方法来测高的？我们一起来了解下吧。 第一步，测量阳角或辅角首先，我们需要先自制一个侧脚仪，它由肚盘、纤垂和枝干组成。是这样的，制作是需要注意枝干的中心线、纤垂线和肚盘的零度刻度线重合，否则测出的角 角度就不准确喽。肚盘的顶线、 pq 与枝干的中心线、千垂线、零度刻度线要互相垂直，并且肚盘有一个旋转中心，是千垂线与 pq 的焦点。当肚盘转动时，千垂线始终垂直向下。 侧脚仪准备好了之后，把侧脚仪的枝干竖直插入地面，使枝干的中心线、牵垂线和肚盘的零度刻度线重合， 这是肚盘的顶线。 pq 在水平位置上，接着转到肚盘，使肚盘的直径对准较高目标 m， 记下此时铅垂线所指的度数及角 bca， 那么这个角 bca 的度数就是较高目标的阳角。根据这个图形，我们不难发现，角 bca 加角 bc b 等于九十度，角 mce 加角 ecb 等于九十度。角 bca 和角 mce 都是角 ecb 的余角，根据同角的余角相等，因此角 bca 等于角 mce， 那么我们只要读出角 bca 的度数，也就能读出羊角 mce 的度数了。这里角 bca 等于三十度，因此角 mce 也就等于三十度。 测量浮角和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量浮角时转动肚盘的直径是对准低处的目标的 转动结束后记下此时铅垂线所指的度数。同样，根据同角的与角相等的原理，铅垂线所指的度数就是低处的浮角了。第二步，测出底部 可以到达的物体的高度。底部可以到达就是在地面上可以无障碍的直接侧的侧点与背侧物体底部之间的距离， 比如这里 na 这段线段就是底部可以到达的距离。要测的物体 mn 的高度，首先在测点 a 处安置侧脚仪，根据第一步测得 m 的阳角， nce 等于三十度，接着测 a 到物体底部 n 的水平距离， an 等于一百二十米， 量出侧角移的高度， ac 等于两米。根据这些信息就能求出物体 mn 的高度了。 在 rt 三角形 m e， c 中叫 m c， e 等于三十度， a， n 等于 e， c 等于一百二十米，所以 tendon 叫 m c， e 等于 m e。 除以 e c， 其 m e 等于 tendon 角 mc 一乘一， c 等于一百二十乘三分之。根号三等于四十倍，根号三米。 又因为 n 一等于 a， c 等于两米，所以 m n 等于 m 一加 e， n 等于四十倍，根号三加二米。这就是测出底部可以到达的物体高度的原理。那如何测量底部不可以到达的物体高度呢？ 所谓底部不可以到达，就是在地面上不可直接侧的侧点与背侧物体的底部之间的距离的。 比如测量一个高峰的高度，中间的距离层层阻碍，没有办法直接测出侧脚仪与山峰之间的距离。同样在侧点 a 处安置侧脚仪，侧得 m 的阳角角， mce 等于阿尔法。接着在侧点 a 与物体 之间的 b 处也安置一个测脚仪， ab 与 n 都在同一直线上，也测到 m 的阳角角。 md 一等于贝塔。角度测完了，测长度， ac 等于 bd 等于 a， 侧点 ab 之间的距离是 b。 根据直角三角形的边角关系，在 r t 三角形 m， e， c 中角 m c， e 等于 arfa， 则 tangent arfa 等于 m e 除以 e， c， e， c 等于 m， e 除以 tangent arfa。 在 rt 三角形 m， e， d 中角 m d， e 等于贝塔，则 tendrin 贝塔等于 m， e 除以 e， d， e， d 等于 m， e 除以 tangent 贝塔。根据 c， d 等于 a， b 等于 b， 且 c d 等于 e， c 减 e， d 等于 b， 所以 m e 除以 tangerine r 法减去 m， e 除以 贝塔等于 b， m e 等于 b 除以 tangent arf。 分之一减贪准贝塔分之一的差等于 b 乘 tangent arfa 乘单准贝塔除以 tanger 贝塔减 tangerine arf 的叉。最后用 m e 加 e n 的距离就是 m n 的高度了， 这就是利用三角函数侧高的方法。步骤总结下，首先需要准备侧脚仪，通过侧脚仪测出倾斜角的度数，接着分为底部可以到达的物体和底部不可以到达的物体的高度，来测量底部可以到达的物体，利用一个侧脚仪即可。 底部不可以到达的物体的高度则需要通过两个侧脚仪测出的羊角，再通过三角函数的知识来把高计算出来。 来看一道题目吧。在一次活动中，阿道 站在距离旗杆底部 b 处六米的 d 处，仰望旗杆顶端 a 侧的羊角为六十度，眼睛离地面的距离一低为一点五米。同学们能帮阿道求出旗杆 ab 的高度吗？结果精确到零点一米，根号三约等于一点七三二。 先来分析一下题目，根据题目中的意思可知，四边形 b、 c、 e、 d 是矩形，所以 b、 c 等于 d、 e。 然后在 r、 t 三角形 a、 c、 e 中，根据 tendon 角 a， e， c 等于 a、 c 除以 e、 c， 这样就可以求出 a、 c 的长了。 因此，因为 b、 d 等于 c 一等于六米，角 a、 e、 c 等于六十度，所以 a、 c 等于 c 一乘 tend 六十度等于六乘，根号三约等于六乘一点七三二约等于十点四米。最后求得 ab 等于 ac 加第一等于十点四，加一点五等于十一点九米，因此阿道仰望的这根旗杆的高度约为十一点九米。 好了，同学们，我们本节课堂到这里就结束了，利用三角函数侧高，大家都学会了吗？观看完整版课程，关注花花老师！