时间在哪里二下数学教案

小朋友们大家好，欢迎来到江苏省名师空中课堂，我是来自苏州市象城区圆河小学的周老师。今天呀，和我一起来的还有两位小朋友，我们有请。 大家好，我是小狮子帅帅，我今年七岁。大家好，我是小斑马周周，我今年四岁，欢迎两位小朋友下面播放一首歌曲，我们一起来欣赏。 歌曲中提到很多我们熟悉的场景，荡秋千，黑板，教室等等。今天呀，老师和大家一起来找童年，找找小朋友们的童年。 瞧，老师，这里有四幅画，谁来找找看，童年在哪里呀？ 嗯，我看四幅画里的小朋友都是古代的小朋友，他们脸蛋圆圆的，小脸粉嫩粉嫩的，真是太可爱了。还有他们的发型， 头上都是一个个小辫子，真好玩。 老师老师，我还发现他们衣服的颜色有红色、黄色、蓝色、 黑色，真的好鲜艳啊。第四幅上那个穿着红肚兜的男孩正坐在椅子上认真的看书，他真好学。 两位小朋友真细心。我们仔细的再来看这一幅清代的欢天喜地， 数数看，画面上一共有几个小朋友，一二 三四五六，一共有六个小朋友。中国人很喜欢数字六六六，大顺，数字六呀代表着吉祥。 你再仔细看看小朋友们穿的衣服，有什么发现吗？ 左边的这个小朋友穿着蓝色的衣服，红色的裤子，旁边的小朋友 衣服是粉红色的，里面还有红内衣。他旁边那个男孩的衣服是黄色的，腰间系着大红色丝带，中间那个在往地上征求的男孩，他的衣服也是蓝色的， 粉红色的裤子，大红色的腰带。右边两个小朋友，其中一个穿的是黑色上衣，里面是大红色的内衣， 另一个身上穿着大红色上衣，蓝色裤子，这些颜色让我想到了过年的景象，好欢乐的感觉， 帅帅，你真棒！被你发现了这幅画的奥秘了。这幅画中呀，色彩鲜艳，画家在画一幅纹理的线条中，曲线用的不多，更多的是直线或者弧线，显得画面干净利落。 仔细看看这些小朋友在做什么呢？他们在院子里玩球，有的把球往天上抛，有的在往地上扔，还有的小朋友拿着球在聊天， 看上去他们玩的好开心啊。古代的小朋友也玩球，他们玩的这种球呀，叫腾球，长得和足球有点像，但是腾球和足球的玩法不同，是像踢毽子一样的。 再来仔细看看他们的小脸，注意小朋友们的表情。 六个小朋友的脸蛋圆圆的，红扑扑的，看上去粉嫩粉嫩的， 眉毛的形状像一轮弯月，栩栩如生，像洋娃娃一样，太可爱了。 还有他们的嘴角往上翘，一看呀，就是玩的很开心，他们呀，肯定是一群好朋友。 周周，你真会观察画家呀，把这些小朋友画的栩栩如生。而且你们看这六个小朋友呀，画家画的都是侧面，他们的眼睛和眉毛非常的传神， 线条很流畅。再看看院子里还有什么呀，院子的周围还有花和树， 这是山茶花，这是大槐树，下面还有灵芝，这些植物有着健康、吉祥、长寿的寓意。 其实呀，刚才我们欣赏的那四幅作品中，都是用棉花的形式来表现的， 从今天欣赏的棉花作品中，我们可以发现，画面的色彩非常鲜艳，人物造型夸张，表情生动，而且都有着美好的寓意。 我们家里面过年的时候都会贴上这样的画呢，不仅可以给家里增添过年的气氛，而且还会带来好运哦。 瞧，再来看看这两幅作品，他们和刚才的年画一样吗？ 不一样，哪里不一样呢？ 这两幅画的颜色没有那么鲜艳了，右边这幅画两个小女孩，感觉像照片一样， 画家画的好逼真啊。左边的这一幅，虽然光线很暗，但是人们的表情画的很清楚。 这两幅画呀，多是油画，我们一起来仔细欣赏。左边的这一幅，在战斗中成长，小眼睛看仔细，画面中画家画了几个人物呢？ 前面有两个，后面还有两个，一共画了四个人。再看看他们周围的环境，猜猜看他们是扛着枪在哪里呀？ 周围有很多玉米杆子，他们应该是在农田里。 他们的嘴角上扬，露出了白白的牙齿，可以看出他们是很开心的。从他们扛着枪，脸上开心的表情，我们还能发现什么呢？ 从他们开心的笑，很放松的样子，可以看出，他们应该是打仗归来，而且还是打了胜仗，应该是凯旋而归。 我们再来看老兵和小战士，哪一个是这幅作品的主角呢？ 我觉得是小战士，你从哪里看出来的呀？为什么是小战士呢？ 我们看这两个人的衣服，很明显小战士用了亮的白色，老兵的衣服颜色很暗，通过明暗对比，我一下子就知道小战士是主角了。 在新中国成立前夕，我们中国呀经历了解放战争和抗日战争，我们来看看这幅作品中到底描写的是哪个世界的作品呢？我们来看看他们的帽子， 小战士军帽中间是两粒纽扣，和抗日战争时期的军帽一样，所以我猜画家画的是抗日战争时期的情景。 周周，你观察的真仔细，现在请你试着用一句话来给大家总结一下吧！ 好呀，在农田里，小战士和老兵，他们脸上带着笑容，扛着枪凯旋而归，你总结的真棒！同学们，试着向家人和朋友也来说一说吧！ 同学们，每次提到考试这个词，在我们的记忆中印象都很深刻，到考试你会紧张吗？ 我最怕考试了，每到考试我就紧张的吃不下东西。我们来看看画中的小朋友考试时候的样子吧， 看看他们是怎样参加考试的呀？一共有几组小朋友呢？ 我来数数，一二三啊，一共有三组。画面中小朋友们都在做考卷，你有什么新发现吗？ 他们的课桌椅是黑色的，没有我们的桌椅看着鲜艳明亮。画面中小朋友们都在认真的做试卷，看他们的表情应该也是很紧张的。 但是画面中有个红衣服的小女孩，在这些人中间有些特别，只有他的手放在桌子下面再擦，和别的同学不一样。 再来看老师，老师在画面的哪里呢？老师在最高的地方。 画中黑色的桌椅，孩子们的神情都表现了考试紧张的气氛。这个擦手的小女孩打破了画面中千篇一律的考试姿势，让画面一下子生动起来了。 老师站在画面的最高点，一下子打破了画面单调的节奏，让布局更合理了。孩子们，我们再来看看这幅作品， 这些小朋友盘坐在毯子上，低着头，你们看他们在做什么呀？ 这些小朋友低着头，手中都拿着笔，好像在本子上记着东西，所以他们应该是在认真的学习。 你真善于观察这幅画呀，是画家于月川在五十年代画的，那是他随着部队来到了西藏， 那时正是西藏推翻农奴制度，农奴呀，获得了人身自由。这些孩子呢，正是农奴们的孩子，他们有了学习的机会。 画家描绘的正是孩子们盘坐的毯子上认真学文化的情景。 老师，老师，我有个问题，这幅画怎么只有小朋友，周围背景什么都没有，一片空白，画家，是不是还没有画完呀？ 你的问题提得很好，画家呀，并不是没有画完，这两幅作品呢，都是用国画的表现形式来创作的，在国画中这叫留白。 再来看这些小朋友的坐姿，形成一个造型，大家看像不像字母 s 型构图， 这样的画面呀，显得更加的生动，富有空间感。 画面中七个在认真学习的孩子形成了一个整体，画家并没有突出某一个，而是利用七个孩子专注学习的场景为我们描，给了认真的学习氛围。 老师，和他们相比，我们生活的幸福多了， 以后我也要刻苦学习，珍惜现在的美好时光。 真棒，孩子们，我们要好好学习，将来把我们祖国建设强大。孩子们，我们来看这幅作品，这两个小朋友，他们在做什么呀？ 仔细看看他们的衣服，可以看出小朋友穿的衣服比较厚。再来猜猜看他们是在什么季节呢？ 我看到两个小朋友一身厚厚的衣服，头上还戴了个帽子，应该画的是冬天 这两个小朋友的脸蛋，圆嘟嘟的，脸上洋溢着笑容。 再来看看他们的姿势，姐姐抱着弟弟，请大家按下暂停键，和你的家人也来试着做一做这个姿势吧， 感受一下姐姐抱着弟弟在做什么呢？两个小朋友好像在太阳底下晒太阳，从他们胖嘟嘟的脸蛋和舒展的姿势，他们很幸福。 这幅作品叫冬日的阳光，它的造型非常圆润，表现的正是姐弟两在阳光下感受温暖的情景。 课后请你选择自己喜欢的作品，把这些作品的表现形式，他们的故事，还有你的发现，讲给你的家人朋友来听听。 今天我们的课就上到这里，下节课我们将走进我们的童年，请你准备好这些工具，收集一下童年美好回忆的照片。 下节课我们将进行创作，我们的童年。今天的课就上到这里，小朋友们再见！

今天我们来聊一下这个初中数学的函数，就是一次函数，反比函数，还有这个二次函数，很多同学在学到这个函数的时候，就感觉这个数学开始变难了，是不是？然后这个成绩开始有分化， 那么函数到底难在哪里？又该怎么学？今天呢，用几分钟的时间给大家简单的讲一下吧。首先第一关就是一次函数，虽然说一次函数是最简单的，但他依然是很多孩子遇到的第一个思维的坎。那难在哪里呢？ 难在数形结合。哎，以前我们去解方程的时候就是算数，现在我们又发现一个式子，它对应条直线了，我们得在这个算数和这个图形之间来回切换，这个 k 和 b 不 再是字母。 k 呢？代表这个什么？斜度和方向， b 呢？代表这个直线在哪？和这个 y 轴交点。学一次函数，你首先要过的关就是说看见式子，要想图像，看见图像要想式子， 很多同学丢分就丢在这里，他只能做题干直接问的。一旦说题目要求，需要你通过这个图像反过来推断这个 k 和 b 的 符号和或者它们的值，或者结合这个实际的行程问题啦，收费问题啦，就转不了弯了。那怎么学呢？一次函数 核心就两个字，画图。哎，每遇到道题，哪怕说题目没有要求，你要养成这个习惯，就是在这个草稿纸上随手画出这个草图，把斜率 k 截去 b 和图像这个 陡缓升降上下彻底的捆绑在一起，形成这个条件反射。然后就是第二关反比函数， 反比函数的难度他就又上了一个台阶，难在哪里？难在这个反比例关系的抽象性，和他那个就是双曲线的一个独特性，他的变化不是均匀的，他和一次函数，一次函数是变化是均匀的，但是反比例函数他的增大是 不均匀的，对吧？更重要的是，他的图像是两只曲线，而且无限接近坐标轴，但是永远不相交。这个就引出了函数的一个直观状的概念，叫渐近线， 这对于理解函数的趋势和边界是直观重要的。然后考题也经常是结合这个几何图形，比如说矩形面积问题来考，为什么这么考？因为 k 的 几何意义，它的面积不变性本身就比较巧妙， 考的也就这个点。那怎么学呢？就抓住它的不变性，哎，反比例函数图像上的任意一点，像这个坐标轴做两条垂线的时候，围城的矩形面积永远是 k 的 绝对值， 你把这个核心的性质吃透，同时呢，要习惯它的图像不是直线了啊，要学会分析每一条曲线上随着 x 的 增大，这个 y 是 如何具体变化的。 最后呢，就是二次函数，二次函数是初中函数部分的极大重置啊，也是中考压轴题的这个绝对的主角，他为什么最难？因为他一个二次函数里面打包了太多东西了。首先第一个 图像比较复杂，对吧？这个抛物线有开口方向啊，有顶点，有对称轴，有，还有这个什么与这个坐标轴的交点。第二呢，它的性质也非常多，比如说最值问题，比如说这个增减性，比如说个对称性，那每一个性质都可以生成很多种题。 第三个就是综合性和深度也变强了，它可以和一元二次方程，哎，还可以这个不等式，甚至说是几何动态问题进行无缝连接， 特别是这个动点问题和这个存在性问题，需要同学们同时运用这个代数计算和几何直观，哎，还要进行分类讨论， 对思维的综合的能力要求是比较高的。那怎么学呢？必须建立一条抛物线，一套坐标系的整体认知。学习的时候要像这个什么简抛一样，把一般式、顶点式、焦点式这三种表达式如何转化的每种形式能够看出什么性质， 比如说这个顶点式能够直接看出顶点和对称轴，这些东西你要弄得清清楚楚，你要烂熟于心。看到一般式，你要立刻想到，哎，这个抛物线与 x 的 交点， 看到这个不等式，你要立刻想到这个函数图像在这个 s 轴的上方或者下方的部分，哎，等等等等一句话，一定要把这个基础知识牢牢的掌握住。 总之呢，学习函数没有捷径，其实不仅学函数，所有的数学问题，所有的学科的学习都没有捷径可以走，一定要踏实。我一再强调说，一定要踏实，把最基础的最简单的概念性质 掌握住，然后你才有能力去往更高的难度去走，好不好？然后呢，去各种题型见一见，学会总结啊，把中档题先 拿下，然后再去做一些比较复杂的压轴题，就一步一步来，一步一个台阶，这个第一个台阶你们迈不过去，你就不要再往上个台阶走好不好？加油吧！

同学们好，老师好，请坐！请朋友们看大屏幕 钟表转动，时光伴卫星，绕地科技赞！地球自转，昼夜更，四季轮回乾坤转。 这四幅动画所展示的变化现象有什么特点？同学们讨论交流一下。 好，第一组的同学，你来回答一下啊，我认为有一定的周期性，有一定的周期性啊，他是周而复始的变化。好，请坐， 这四个现象都是周而复始的变化，我们称这种变化为周期变化。今天来学习第一节内容，周期变化， 同学们，你们能说出自然界当中的一些周期现象吗？你们在一起交流。 好，第二组的来，这位女同学，你来回答一下，四季轮回，日出日落。哦，非常好，好，请坐好，你来回答一下 地球的自转和绕太阳的东转，嗯，很好，请坐好。那我们来看看。老师在这里面啊，也准备了一些 周期现象，同学们体会。自然现象当中呢，日出日落，月圆月缺，四季交替，潮起潮落，偏体运动，刚才有同学已经提到了， 那我们来看看天文历法，公历，农历、星期历，还有二十四节气，对吧？朋友们，星期一，星期二，又叫周一，周二一直到周六周日，是不是？那么每周的课程表是一样的，对吧？那你到周一上午的第一节课上的是 同一门课，对不对？他也是呈现周期变化的。那我们再来看看生物现象，候鸟迁移，脉搏跳动，试一下脉搏他的跳动是不是有规律的开花结果，动物繁衍，比如说三月， 什么花开呀？桃花，八月，桂花，十二月呢？梅花，对不对？那我们都知道，很显然它是有周期性。那这些都是什么周期现象？ 那同学们再来交流一下，那这些周期现象有什么特点呢？在一起交流， 用语言描述一下猪皮现象的特点吗？ 好，这一组的同学来，你来说，会重复，会重复，对吧？那每年三月桃花开，每年都是三月，那时隔多长时间？ 时隔一年会重复出现，对不对？那就是说他的共同现象是乘客每隔相同的时间都会重复出现什么相同的现象，对吧？那这种现象我们称为是周期现象， 相同间隔重复出现，那同学们周期现象与我们数学有什么联系呢？我们来看一看。水车的是一组，请大家自己阅读文字， p 点到水面的距离设为 y， 对 不对？好， 假设水车匀速转动且转动一周的时间，为什么 t？ 思考第一个问题，每经过时间 t， 大家来看看 p 点怎么样了呢？观察一下， 到了时间 t 了， p 点又回来了，回到原来的位置，再观察 y， y 每经过时间器， y 是 不是一个值，那就会取 同一个值，或者是相同的值，对不对？对，好，那我们再来看看 y 随着时间的变化是什么变化？周期变化， 那而且我们来看一下变量 y， y 在 不在变？在，在变， t 是 不是也在变？是，那两个变量之间呈现什么关系呢？我们想一想，那 y 也是关于 t 的 什么关系？ 函数关系，函数关系，是不是能不能确定是函数关系？再来看，我让他停下来， 那刚才水车是不是转了一段时间？是，停下来以后，那是不是对应一个时间？比如说是三秒， 那 y 的 值有没有定下来？定下来到第五秒的时候会不会产生另一个 y 的 值？会，那也就是对于每一个 t 的 取值， y 都会有唯一的值，与之怎么样对应？那这是什么关系？函数关系，那又有周期变化，又是 函数关系，因此呢，周期，哎，我们可以乘 y 是 关于 t 的 周期函数。 朋友们，我们来看一看我们有没有具体的周期函数。首先来看一下，这是 y 等于 x 的 取整，那取整是啥意思呢？一点五的取整是多少？ 一，零点五的取整呢？零，那我们来看看 x 大 于等于零小于一的时候， x 的 取整是 大于等于零小于一的时候， x 的 取整是零。 x 大 于等于一小于二的时候， x 的 取整是一，那因此我们首先要把这个函数给它分成什么左开右闭的区间， 而且左右都是相邻的，什么两个整数对不对？那么刚才大家也说了， x 属于零到一的时候取整是零，一到二的时候取整是一，对吧？那好，我们把它分成若干段以后，是不是可以画出它的图像了？哎，我们来看一下它的图像 像不像上楼梯呀？对不对？对，好，那么零到一的时候零，一到二的时候一，二到三的时候二，等等，对不对？好，我们再来看一看，由此函数生成了这样一个函数，大家来看什么函数？ f， x 等于负一的 x 取整自密对不对？那么同学们发现 x 的 取整在什么位置？指数位置对不对？对，那么当这个指数为基数的时候， 那负一的极数是多少？负一，负一对不对？那 x 的 取整要是偶数的时候呢？一，那，因此我们来看一下， 那 x 取整是一负一，负三的时候，那么这个函数的函数值都是什么？负一负一，而设偶数的时候，它的函数值都是一，那我们再来看看图像就会变成这样， 对不对？对，那我们再来看看这个图像 f x 等于负一的 x 取整数密有什么特点呢？我们再观察， 我们把他用这些竖线给隔开，你会发现被隔开的每一小段，好，你来说都是一样的，也就是形状是一样的，但是位置可以一样，位置不一样，对吧？好，请坐。很好啊， 那我们就看一看，它的特征是 f x 在 负一到一，这是左 b 右开，一到三，三到五等等，两端无限延伸，你会发现图像的形状相同，但是什么不同？位置不同， 对不对？好，那我们再来看一看，还能看出来什么特征？ 大家来看这里面负三对应的函数值是多少？负一对应的函数值是多少？还有一对应函数值是多少？还有三对应函数值是多少？ 对应的函数值都是负一，那也就是说 f 负三， f 负一， f 一 还有 f 三都相等，对不对？好，我们再在另一个位置上去，那么这个我们认为是负一点五， 这个是零点五，这个是二点五，二点五，这个是四点五，那么在这些点数的函数值都是几一，那我们认为这些点数的函数值相等，那我们发现它的间隔都是多少？ 两两个间隔都是二，那你用一个式子来描述我们刚才的特征，能描述出来吗？也就是说每增加二的整数倍，函数值是不变的，用一个式子描述，怎么描述 来？这个同学，你来说一下， f x 等于 f x 加 f x 等于什么？ f x 加，大家说他说的对不对？ f x 加二等于 f x。 好， 请坐好。 那同学们，它的代数式描述是 f x 加二等于 f x， 好， 我们再来看看这个取整函数能不能再生成另一个函数，这个函数 f x 等于 x 减去 x 的 取整。同学们， 那这个要想画出它的图像，你依然得写出它的解析式，对不对？那你能告诉我 x 在 零到一的时候，它的解析式是什么吗？ x 是 零到一的时候， x 减去 x 的 取整，来看一看 x 零到一， x 非零到一的时候， x 的 取整是零，那 x 减去 x 的 取整， x 就是 x， 也就是 y 等于 x， 对， 是不是？是，那它的图像是。 我们来看一看他的图像应该是这样，对不对？对。那么在其他部分我们来看看 x 的 取整是一的时候，那就是 x 减一， x 的 取整是二的时候，就是 x 减二，对不对？对，那么我们来看看在这一段上的图像 跟一到二上面的图像有什么关系？让同学们来看一下一到二上面它要的解析是什么？ x 减一，那我们从 x 到 x 减一是怎样变化的？ 从图像平移的角度来考虑， x 到 x 减一是向右平移一个单位， 对吧？那你再来看看 x 属于二到三的时候，它是什么？ x 减二，对吧？那就可以由 x 向右平移两个单位， 那因此我们会发现其他的部分图像都可以由零到一这一小段平移若干个单位得到，对不对？请看大屏幕啊。 那这个图像我们就形成了比刚才一样，比这一样，我们来探究它的两个图像的性质，那我们也是把它折开， 那这个时候你会发现它在每个小区间上的形状相同，位置不同，对不对？我们再来看看取一些特殊的点。 同学们，我们假如说这是 f 负的四点五好不好？那这第二个点是什么？负的三点五，负的二点五等等，他的间隔是多少？ 一间隔是以对应的函数值相等，是不是？也就是用语言来描述，对任意的一个实数 x 每增加一的 整数倍，其函数值保持什么不变？那这个我们想一想，是不是也可以用一个代数式来描述啊？那用什么？大家一起说 f x 加一等于 f x， 哎， f x 加一等于 f x 是 不是好？这两个函数有没有共同的特征啊？ 有没有？来看这个数字就能看出来，一个是 f x 加二等于 f x， 一个是什么？ f x 加一。那因此我们可以写成 f x 加 t 等于 f x， 对 吧？思考一下，交流一下，再加上哪些条件才能形成周期函数的定义？那这个 f x 加 t 等于 f x 是 它的核心条件，对吧？嗯， 那么我们加上什么条件才能形成函数的周期函数的定义？朋友们讨论一下。 这一组讨论的很激烈，来，这位同学，你来说一下，你觉得还需要加上哪些条件？ t 为非零场所哦， t 也是非零的，嗯，然后呢？ 然后 s 加 t 要属于在 x 的 取值范围内，在定义域内，是不是？那 x 也得取字定义域，那就是 任意的 x 属于我们定义域设为 d 好 不好？任意的 x 属于 d， 对 吧？那你刚才说存在一个 非零常数 t， 我 就存在 t 不 等于零吧，好不好？那还得要求什么 x 加 t 也属于什么 d， 且满足 f x 加 t 等于什么 f x， 我 们就称函数 f x 每周期函数 t， 每函数 f x 的 周期周期。好，请坐。很好， 让同学们把这个定义读两遍好不好？大声读啊，一一一一一二三。 哎呀， 好，这些辅助条件，因为你所有的字边上的取值都要带来，所以保证这个函数值有，是不是？所以要加上一个辅助值。但是刚才同学提出来说，这个得是非零，为什么得要非零常数 t 呢？ 那个女同学，你来说一下，要是您的话就没有意义了，就 f x 等于 f x， 哎，对， f x 等于 f x， 是 不是任何函数都可以做到？那周期函数不就没有特征了吗？对吧？好，很好 啊，善于从反面就好，是吧？ t 为什么不能等于零？哎，我让 t 等于零，发现所有函数都可以做到 s x 等于 f x， 对 不对？好，所以呢，周期就没有特点？ 好，那这是我们学的周期定义，周期函数的定义。好，我们来回顾一下前两个函数，它的周期是什么？第一个函数的周期是二，第二个函数的周期是一一。 那我们再来思考，这两个函数还有其他周期吗？有，还有啊，有什么呢？比如说第一个函数还有什么四，还有四六六八，就不用负数， 负数行不行？行，行，那负啊，负四四等等，是吧？那当然，第二个函数呢？ 有没有？有什么二行不行，三行不行？往左说，负一负二，负三，负四等等，是不是？那我们来看一下 这个第一个函数，我们让这个大家观察一下这个动画来，这个函数的图像往哪推了？往右推几个单位，两个单位，再来看看，往右推几个单位，四个单位来看，往左去了， 在这里往左推几个单位，两个来，再推四个单位，是吧？那这个是不是函数的平移啊？是，对吧？那要是往右推两个单位就变成了 f x 减了， 对不对？再往右推四个单位的时候，它就是变成了 f x 减四，左加右减来， 那往左推就变成了 f x 加和 f x 加四，因此我们会发现 f x 乘以 f x 减二， f x 减四， f x 加二， f x 加四，等等，对不对？那我们就可以看出来，它可以写成 f x 等于 f x 加上什么， ok， 对 吧？然后呢？ k 数也 z， 而且 k 不 能等于零，为啥零不能作为周期啊？因此我们从这里面可以看到，它的周期可以取二 k， k 取非零整数就可以了， 对不对？好，同理，大家说对于这个函数我们会有什么？大家看一下， 没有。 f x 等于 f x 加一， f x 加二， f x 减一， f x 减二，等等，对不对？对，那用一个式来描述是 f x 乘以 f x 加 k， k 除以 z， 且 k 等于零， 那这个说明七等于 k， 对 不对？哎，就是周期是 k， k 是 非零整数就可以了，是不是？那通过这两个例子， 我们能不能再把这个问题归纳一下，这个有一个周期是二的时候，那么二的非零整数倍就是它的周期，是吧？有一个周期是一的时候，一的非零整数倍就是它的周期，对不对？对，那如果它原来有一个 t 呢？ t， 如果 t 是 它的一个周期，则说明什么？ t 的 非零中位位都是它的周期？于是我们形成了一个结论， f x 的 什么一个周期 为 t， 对 吧？则 k t t 有 什么？ k 有 什么要求？所以为然后，且且 k 不 等于零，也是它的什么主气？ 那既然有那么多周期，同学们，你能够感觉到哪个周期最好用 t t 是 吧？嗯？哎，那么我们刚才那两个函数里边，第一函数里边的谁？二，第二函数里边的一，为什么它们最好呢？因为它们可以生成其他周期， 你不是在他前面乘一个 k 就 可以了。 k 是 非零整数是吧？那假如说第一个函数，你说他的周期是四的话，你乘以非零整数，你只能得到四的非零整数倍，对吧？那二 还有六你得不到，但二六是不是它的周期呢？是。因此我们引入一个非常好的周期，叫什么周期？最小正周期，对不对？顾名思义，明白读上两遍最小正周期的概念， 那紧接着就有一个问题了， 是不是所有的周期函数都存在最小正周期呢？思考交流一下好不好？看这个小狗先能说出来吗？ 先回答，是还是不是？是不是所有函数都有最小正负极呢？不是，是吧？好，那这一组的哈，这一组的这个同学，你来说一下， f x 等于一， f x 等于一，是吧？ f x 等于一， 他是没有最小正周期的，是不是？为什么？他是一条直线，他是一条直线，然后他要是往左移，往右移， 无论是多少都会和他自身重合，你移零点一个单位也会和他重合，零点零一也可以，零点零零一也可以。换句话说， f 零点零零一 加上 x 等于 f x， 是 吧？那么你再小都可以，他就没有最小正数器。好，请坐啊，这个同学说的非常好，给点掌声。好吧， 好，同学们，我们来看一看。求这个函数的周期，观察它的定义域是什么？嗯， 定音域是什么呀？是自然数级，对不对？对，哎，是自然数级，我们刚才那两个函数的定音域都是十数级，对不对？对，是十数级。 好，那同学们来看一下这个题怎么做呢？求它的周期。 那首先我想问一下大家，负一的 n 次方有什么特点？ 哎呦喂，哎呦喂，是一 f 一， f 一 是多少？那我们来想一想，那 f 零是多少？ f 零是八， f 一 呢六六， f 二呢？ f 三呢六？哎，规律出来了没有？什么呀，八六八六八六这些数字可以直接列出来，列出来以后，你能看出来它的周期了吗？ 是不是啊？是，那我们来看，第一个数是八，第三个数是八，第五个数肯定也是八了，是，对吧？那就是说 f 零等于 f 二， 对吧？等于 f 四等于 f 六，是不是？ f 一 等于 f 三等于 f 五等等。那就说明 f 个 f 又怎么样？加二等于什么？ f， 因此它的周期是二。那我们可以用定义验证一下吗？ 怎么验证？同学们，动手啊，就在你的草稿纸上验证 一下 好了。同学们，验证出来了没有？这怎么验证的？直接计算一下 f， 是 吗？ f 加二。好，同学们， f 加二等于什么？ 等于七，加上负一的负一的 n 加二等于七，加上负一的 n 乘以负一的二乘以负一的二乘以，它就等于七。加上负一的 n， 它就等于 f n， 是不是？是哎，这就是他的验证过程吗？对不对？那我们同学再来思考一下，咱刚才是摆出来发现 m 等于二，又用定义进行什么验证，咱能不能直接求呢？ 咱能不能直接求呢？那我们来看刚才这个定义是什么？任意的 x 属于 b， 存在什么系数等于零， x 加 t 怎么样？属于 b 对 不对？那么 f x 加 t 还得等于 f x， 我 直接利用这个能不能求？来，我们来看看解法。二 同学们，那就射或者是任意的 n 属于 d， d 吗？那我们 d 是 谁？ d 水自然受激是不是？是，那 a 存在什么？存在？ t 不 得影零，别使了， a 加 t， 所以 自然受激是不是？那好，那我们这里面对 t 有 什么要求？大家看一下。 a 加 t 也得在自然数集里边。好，你来说，因为 a 它本来是一个自然数集里的。对，你要是 a 加 t 也在自然数集里，那么 t 它也是在自然数集里头， t 也在自然数集里边， t 还不等于零，大家说它对不对？对，那我问你， t 能不能取负整数， 那你就取一个试试呗。嗯，可能取负整数。好，那么我们这个是不是任意的 an 是， an 要是零的时候，那 t 要是负整数， an 加 t 就是 一个负整数，负整数还在里边吗？不在了，所以这个同学说的非常好，给他掌声好吗？ 那刚才这个同学说了， t 也在自然数以内，且 t 不 等于零，那干脆就让 t 属于什么就可以了，正整数对不对？那自然数以内又不等于零，那不就 t 属于正整数级吗？那么还要满足什么？ f n 加 t 等于 f， n 加 t 等于 f， n 加 t 是 什么？ 七加七加七加上负一负一的 n 加七，然后他给他拆开，是七加上什么？ 负一的 n 乘以乘以负一的 t 乘完了，他就等于右边是七加上什么负一的 n 次方得等于多少一？哎，负一的 t 次方他等于一 啊。同学们想一想，除以的 t 次方等于一了， t 又得是正整数，那现在他的 t 次方等于一，那 t 现在得取什么数？偶数，正偶数正偶数怎么减？ t 等于二 k k， 所以 t 它就等于二 k k 属于正整数是不是？是，那你看看，我是通过定义可以把它所有的周期一网打尽 是不是？哎，一往大进。好，那么这是用定义来解他的周期。好，同学们准备好草稿纸，一组合作啊。第二两题进行抢答啊。第三题我们要在纸上做啊。哎， 第一题哪一组举手。好，你再说。是哦，他是周期变化是吧，能说出来周期吗？ 转一圈，分针转一圈分针转一圈啊，一小时很好，对不对？好，请坐啊。第二题哪一组举手。 后面的啊，抓紧时间啊。 好，咱们这一组这个同学来说一下你觉得他六是不是他的主题？六是他的主题。确定啊？不是的，为什么呀？呃，他取六 不是他的最小面积，不是他最小面积，大家觉得他说的对不对？我们来想一想。好，这位同学先坐下再考虑一下啊。好，你来说一下 这个，这个，这个函数不是以六为周期的周期。嗯，不是以六为周期的，是吧？他有没有主机？没有主机。为啥？ 我们这个地方周期函数是要求什么样的？ x 是 一个 x 还是任意的？任意的 x 都有 f x 加六等于 f x， 它仅仅只有一个什么数三，对不对？好，请坐好。那同学们，第三题 第一问能不能直接说出答案多少二？第一问是二是吧？那第二问，大家来看看 他的解析式，让你写了，抓紧时间哦，小组合作。好吧， 那我们提示一下啊，听到没？你一个周期内的能不能写出来？比如说负一到一能不能写出来？ 那负一到一要是写出来了，那一到三和负一到一内的图像有什么关联呢？ 直接向右平移两个单位是不是？那如果是负三到负一，很显然可以向左平移两个单位，对不对？好，那同学们，写出来了没有啊？ 你到黑板上写一下，直接写出来就行。 那，那零到一的还是零到一？零， 这是 y 零，那负一到零负两，那负一到一可不可以负零开开， 这有一个就行了，你写的好看，好了，同学们，写出来了没有？好，来看一下这个同学写的对还是不对？ 这个二 k 减一到什么？二 k 加一，它是 f x 等于 x 减二 k， 那 我们先看看等于零，说看等于零它的区间是什么？负一到一，负一到一，负一到一， f x 等于 x 绝对值。来看图，它写的对不对？ 对对对不对？对，对了吧？对，那么我们再来看一到三，一到三，相当于这个负一到一，像哪拼？一， 向右平移几个单位，两个单位，向右平移两个单位，那就变成了 x 减几的绝对值，减二的绝对值。那好，我们来看看负一啊，一到三的时候，它应该取多少来 开局多少？一开局一的时候，这是几一一，这是几三？那这个呢？ x 减二等于多少，对不对？对，是吧？那我们就来往左看啊，往左看一个区间，负三到负一的时候是开局几的时候 负三到负一的时候开取多少负一好？开取负一的时候来看看，对不对啊？开取负一的时候，这个地方是负三，这个是到什么负一？然后这是 x 加二， 那 x 绝对值向左平移两个单位，是不是？ x 加二绝对值？是，那正好啊，对不对？好，这个同学写的很好，但是有没有什么瑕疵呢？ 当我们写分段函数的时候，要做到什么呢？段与段之间要连上去吧，能不能重叠？不能重叠，大家来看看它有没有重叠？有，有，它负一到一是 b 区间， 然后一到三也是 b 区间，对不对？那怎么办呢？改成开区间吗？还是改成半开半闭？哎，半开半闭可以做到不丑不漏， 那直接改成半开半闭就可以了啊。这个同学整体写的非常好，给他掌声， 那么同学们他一下就把这个写出来是很厉害的。我们应该先写一段一段，然后再把它归纳在一起， 是不是？那么先写一段一段，再把它归纳在一起，那 f x 它是等于，然后来个包， x 大 于等于负一小于一的时候是 x 的 绝对值，是不是？然后这个 x 大 于等于负三小于负一的时候，它是什么？ x 加二的绝对值，不是吗？那么这个下面是 x 大 于等于一小于三的时候，它是什么？ x 减二的绝对值，它这两段写不了，对吧？然后再把它并到一起来，是不是？哎，他写的非常漂亮。好，我出一个思考题，同学们，你觉得这个函数的 图像与我们书上立二的图像有没有重叠的部分？看一下，就是我们刚才讲的立二有没有重叠的部分？你比如说哪一部分是一样的？零到一，零到一是不是一样？还有呢？ 二到三是不一样，还有呢？四到五往左说呢？二到三 负二到负一，然后再往左说一个，就是负四到负三，这些是一样的，是吧？那这些段可不可以用 f x 等于 x 减去 x 去整去表示， 对不对？那这些段不可以用 f x 等于 x 减去 x 去整，就表示吗？那剩下的段能不能用它变换出来？这个我们课下交流好不好？哎，好，自己课下交流一下。好，那么我们来看看今天我们所学的内容， 生活中的周而复始的变化，对吧？我们出现了什么？周期函数，对吧？水车运动出现周期函数， 那我们呢？函数最典型的特点就是相逢间隔，重复出现，对不对？好，那我们来看看，如果用抽象表达式去表达数学的语言，那就是 f x 加 t 等于什么？ f x， 那就形成了周期函数的定义，对吧？我们数学是源于生活，对吧？我们用生活的语言来描述，然后用图形来观察，最后形成我们的数学语言，也就形成了今天所说的周期函数的定义， 对不对？好，今天的作业，同学们课本打开啊，第六题是第三页，齐齐一杠一， a 组一二三，前六题是教材，第四页齐齐一杠一。记住第一好下课。