鱼对称轴又美丽又整洁还又好看

那轴对称这一章节呢，老师会分为七个部分去讲解，这四个呢，属于是这一章必备的一个基础知识，那稍微进阶一些的就是应用轴对称思想的将军印码最值模型以及 构造等腰三角形或等边三角形进行解析的一些技巧，那同学们也可以跳转到相应位置进行查漏补缺。 如果说一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的话，那么这个图形就是轴对称图形，我们管这条直线叫做它的对称轴，我们也说，哎，这个图形关于这条直线是对称的，那 那我们可以看到这些呢，是常见的轴对称图形。首先第一个是等腰三角形，很显然，如果我们沿着这条直线把它进行翻折的话，那么左右两个部分就可以完全重合，所以说等腰三角形，它就是一个轴对称图形， 这条直线就是它的对称轴，所以它有一条对称轴。好，我们再看等边三角形，它既可以沿着这条直线翻折重叠，也可以沿着这条直线翻折重叠， 也可以沿着这条直线翻折重叠，对吧？所以说等边三角形，它也是一个轴对称图形，而且它有三条对称轴。再看长方形，它可以沿着这条直线折叠，左右两边重合，也可以沿着这条直线折叠，上下重合。 最长方形也是一个轴对称图形，它有两条对称轴，那正方形呢，也可以有这两条对称轴，那同时呢，正方形沿着对角线折叠也能够重合，所以说正方形也是轴对称图形，有四条对称轴， 那菱形呢，很明显也是轴对称图形，可以有这样或这样两条对称轴啊，对吧？那同学们注意看这个平行四边形，它是不是一个轴对称图形呢？ 你能不能找到一条直线沿着这条直线折叠，那么直线两旁的部分能够完全重合的能不能找到？ 你会发现找不到的，比如你这样子去换，哎，你会发现左右两部分不是完全重合的，那再比如你也可以这样去换，是完全重合的吗？不是吧，一个往这，一个往这不完全重合，所以你会发现平行四边形，它压根就不是一个轴对称图形。那圆呢？ 哎，圆他肯定是一个轴对称图形吧，而且他有无数条对称轴，因为啊，只要经过这个圆的圆心的直线， 都可以把这个圆分成相等的两个部分，所以说圆可以有无数条对角线。那如果说像这样有两个图形把其中一个图形沿着某一条直线折叠，如果说他能够与另一个图形完全重合， 那么像这样的情况就叫做两个图形。关于这条直线成轴对称，那这条直线就叫做对称轴。把图形进行折叠之后，能够重合的对应点叫做对称点。比如在这里我们可以说三角形 abc 和三角形 a 片 b 片 c 是 关于直线 l 对 称的， 其中点 a 和 a 撇，点 b 和点 b 撇，点 c 和点 c 撇是三组对称点。好，那我们看一下这两个概念，轴对称图形和关于某直线成轴对称，它俩的区别和关联。首先区别在于轴对称图形，它本身就是一个图形， 是针对一个图形而言的，它的对称轴呢，不一定只有一条，像刚才我们看到了，正方形有四条对称轴，圆呢，更是有无数条对称轴，对吧？但是如果说关于某直线成轴对称，那就是指两个图形的位置关系，是对称的关系， 而且肯定是只有一条对称轴的。那么共同点呢，就是他俩都是轴对称的，沿着这个对称轴折叠的话，左右两部分都是可以重合的，而且呢，其实他俩之间可以互相转化的。 比如说，你把一个轴对称图形啊，沿着对称轴分成两个图形，那我们就可以说这两个小三角形是关于这条直线 l 成轴对称的。再比如，你把两个成轴对称的图形看成一个整体， 这个图形就是一个轴对称图形。好了，那么我们就着眼于共同点，来探究一下轴对称有什么样的性质。哎，我们刚才说了，轴对称其实就是沿对称轴折叠的话，左右两部分可以完全重合， 那么可以重合意味着什么？是不是说明两个图形它的形状还有大小都是相同的呀？哎，这个说法是不是很熟悉？两个图形形状大小都相同，那么这两个图形就是全等的吗？所以说轴对称的第一条性质就出来了， 关于对称轴对称的两个图形，它是全等的。比如在这里，三角形 a、 b、 c 和三角形 a 片 b 片 c， 关于直线 l 是 对称的，那么这两个三角形就是全等的。那全等之后呢，就有对应边，对应角都相等， 也就是 ab 等于 a 撇 b 撇 a， c 等于 a 撇 c 撇 b， c 也等于 b 撇 c 撇，那角 a 呢，也等于角 a 撇，角 b 也等于角 b 撇，角 c 也等于角 c 撇。好，接着看。如果我们在一个图形上任取一点，比如点 a， 那么我们都可以在与它对称的另一个图形当中找到它的对应点，也就是 a 撇。那么连接上 a、 a 撇交这个对称轴于点 p， 那 你会看到啊，这个 pa 和 pa 撇应该是相等的， 而且呢， a、 a 撇应该是垂直于这个直线 l 的， 那换句话说，其实就是这个直线 l， 它垂直于 a a 撇，并且平分 a、 a 撇。 那么像这样的直线，我们就叫做垂直平分线好了。同理呢，你可以把点 b 和它的对称点 b 片给它连起来， 也可以把点 c 和它的对称点 c 片给它连起来。你也能够发现，这个直线 l， 它垂直于 b b 片和 c c 片，并且呢，又平 平分 b、 b 片儿和 c c 片儿，也就是这个直线摇它同时也是 b、 b 片儿和 c、 c 片儿的垂直平分线。那么由此我们就可以得到轴对称的第二条性质，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。好，那么记住，轴对称的两条性质 如图呢，四边形，它是左右成轴对称的，而且其中角 b、 a、 d 是 一百五十度，角 b 是 四十度，让我们去求的呢，是角 b、 c、 d 的 度数。那这道题啊，很多同学眼疾手快就选择了 b 选项一百五十度，这是错的， 为什么呢？你看这个四边形，它确实是轴对称图形没错，但它是左右成轴对称， 这个角 b 和角 d 是 对应角，所以角 d 它也是四十度没错，但是角 a 和角 c 它不是对应角啊，我们求角 c 应该怎么求？ 应该是四边形内角和三百六十度减去这个角 a 一 百五十度，再减去这个角 b 四十度再减去这个角 d 四十度得多少度？应该是一百三十度，选择的是一个 a 选项。 这道题掉坑里的同学下次一定要注意看是关于哪一条直线成轴对称。 咱们前面学过什么叫做垂直平分线呀，哎，其实就是垂直于这条线段，并且 平分这条线段的直线，就叫做这条线段的垂直平分线。比如在这里，这个直线 l， 它经过线段 a、 b 的 中点点 c， 也就是 a c， 它等于 b c， 并且呢，它又垂直于线段 a、 b， 所以说直线摇，它就是线段 a、 b 的 垂直平分线。用几何语言可以这样描述，由垂直和中点可得垂直平分线。那垂直平分线有一个性质，就是垂直平分线上的点到它所垂直平分的这条线段的两端的距离是 相等的。比如你在这个直线 l 上面取一个点 d， 连接上这个线段的两个端点点 a 和点 b， 那 么所得到的这两条线段 a、 d 和 b d 应该是相等的。那这个性质是怎么来的呢？非常简单啊，用两个三角形全等就可以轻松证明。 你看，首先点 c， 它是 ab 的 中点，所以说 a、 c 和 bc 是 相等的一组边等。而且由于垂直， 这两个角呢，都是九十度角，是相等的一组角等。再有呢，有一个公共边，所以呢，根据边角边边角边可得两个三角形全等， 那全等之后，对应边相等，就有 a、 d 等于 b d 了。那不管你在这个垂直平分线上取的是哪个点，你随便取点连接这个线段的两段 都可得，这个距离是相等的。那么在解析的时候，这个性质也是非常好用，像这道题就可以用刚才垂直平分线的性质迅速秒杀来。题目中说这个 d e， 它是 ab 的 垂直平分线， 而 g f 是 a c 的 垂直平分线，那又告诉我们呢， bc 它等于十，而 g e 它等于二，要么求的是三角形 a g e 的 周长。哎，那也就是 a g 啊，加上 g e， 再加上这个 a e， 三条边长的和了。那我们看一下啊，我们知道这个点 e， 它在 a b 的 垂直平分线上， 所以说根据垂直平分线上一点到线段，两段距离相等，我们可得这个 a e， 它是等于 b e 的， 所以我们可以用 b e 来替代这个 a e。 那 再看 这个点 g， 它又在 a c 的 垂直平分线上。所以说点 g 到 a c 两段的距离是相等的，也就是 ag 等于 c g， 那 我们用 c g 来替代 ag， 那 现在就是 c g 加 g e 加上 b e 了。好，那我们看一下， c g 呢，是这一段， g e 呢是这一段，而 b e 呢，是这一段。 这三段相加，相当于是一段 b g 和三段 g e 以及一段 c e， 那 也就是一整段 b c 和两段重复的 g e。 好， 所以就是 b c 加上二倍的 g e， 也就是十，加上 四，也就等于十四了。这道题答案应该是十四了。这道题答案呢，包括两个方面， 一个是去证明一个点它在垂直平分线上，另一方面呢，就是证明一条直线或线段是某一条线段的垂直平分线，那这两个呢，是不一样的。好，我们先看这个点在垂直平分线上怎么证明， 这个其实很简单，就是我们垂直平分线的性质定律的逆定律，也就是说呀，到线段的两个端点的距离相等的这个点它就在这条线段的垂直平分线上，由这个 a、 c， 它等于 bc， 我 们可以直接得到这个点 c， 它就在 ab 的 垂直平分线上。好，那怎么证明这个东西它是成立的呢？来，我们看一下，也是通过全等去证明， 咱们可以在 a、 b 上面取它的中点点 d， 那 么就有 a、 d 是 等于 b、 d 的。 哎，这是我们取的啊，这是我们设定的条件。那么现在你看就有 a、 c 等于 b、 c， a、 d 等于 b、 d 和一个公共边，那就有边边边全等，那全等之后，你就有对应角相等，也就是这两个角它是相等的，那么这个平角里边两个角相等， 那一个角就是九十度，所以这个 c、 d 就是 垂直于 a、 b 的。 那么现在根据垂直平分线的定义，哎，经过这个线段 a、 b 的 中点，并且垂直于这条线段 a、 b 的 这条直线就是线段 a、 b 的 垂直平分线，所以说点 c 就 在 a、 b 的 垂直平分线上。好，那么证明了这个判定之后，哎，咱们就可以直接用了啊， 直接看到这个 a、 c 等于 b、 c， 那 么就可以得知这个点 c， 它就在线段 a、 b 的 垂直平分线上。好，那怎么证明一条直线或线段是某一线段的垂直平分线呢？有两个方法啊，来，我们分别用一道例题来感受一下这两种不同的证明方法。 好，首先这道题啊告诉你， ab 等于 ac， 而且 mb 等于 mc， 让你证明直线 am 是 线段 bc 的 垂直平分线，那这道题很显然应该用第一个方法，对吧？也就证明两个点都在线段的垂直平分线上来。首先我们根据 a、 b 等于 a c 可以 直接得到这个点 a 在 bc 的 垂直平分线上，那再根据这个 mb， 它也等于 mc， 那 我们就得到这个点 m， 它也在 bc 的 垂直平分线上。所以现在就有两个点，点 a 和点 m 都在 bc 的 垂直平分线上。所以说，哎，直线 am 就是 线段 bc 的 垂直平分线，那我们再看一下这道题，点 d 是 bc 的 终点，就有 b， d 等于 c d， 而且 d、 e 垂直平分 ac， 还有呢，就是点 f 是 ab 的 终点，那么 af 又等于 bf， 让我们证明的是 df 是 ab 的 垂直平分线， 那这道题就要用到第二个证明方法了，也就直接证明这个 d、 f 所在直线是线段 a、 b 的 垂直平分线。那怎么证明呢？ 来我们看啊，首先根据这个 d、 f 垂直平分 a、 c， 我 们可以直接连接这个 d a， 那 么根据垂直平分线的性质，点 d 到线段两段的距离应该是相等的，也就是 a、 d 等于 c d， 那 么又由于 cd 等于 b d， a d 就 又等于 b d 了。那现在我们看一下，哎，这两个三角形当中， a、 d 和 b、 d 相等，又由于点 f 是 ab， 中点 a， f 和 b f 也相等，再有一个公共边 d、 f， 所以 这两个三角形有边边边全等， 那全等之后，对应角相等，就有这两个角，它都是九十度平分一百八十度嘛。那么就有 d， f， 它垂直于 ab， 那 么根据啊，点 f， 它是 b a 的 中点，而且 d、 f 它又垂直于 ab， 所以呢，根据我们垂直平分线的定义，哎，经过这个线段的中点，并且垂直于这个线段的直线， 就是这个线段的垂直平分线，可得 d、 f， 它就是线段 a、 b 的 垂直平分线。那同学们，这两种方法你都清楚了吗？那么咱们复习一下。像这样性质定律和判定定律互为逆定律的还有一条线，就是角平分线，对吧？ 那如果说点 p 在 线段 a、 b 的 角平分线上的这个角平分线上的这个点 p 到角两边的距离相等， 也就是哎，过点 p 往角两边做垂线的话，这个 d、 p 和 p e 应该是相等的。那反过来说，如果我们已知哎有一个点 p， 它到角两边的距离相等，那么就可以判定这个点，它就在线段 a、 b 的 角平分线上。再补充一个小知识， 如果说三角形三条边的垂直平分线相交于一点的话，那么这个点就叫做三角形的外心。那复习一下，哎，前面我们学过三角形的重心是三角形三条边的 中线的焦点，那三角形的内心呢，就是三角形三个角的角平分线的焦点，回心呢，就是三角形三条高线的焦点。 首先什么叫等腰三角形？我们都知道有两边相等的三角形，就是等腰三角形，那这两个相等的边就叫做 腰，而另一条边 b、 c 就 叫做底边，那等腰三角形的三个角也有名字，两个腰的夹角叫做底角。那么等腰三角形呢，它有两个性质， 第一个呢，就是等腰三角形的两个底角是相等的，简称呢，叫做等边对等角， 也就是两个相等边的对边，也是相等的角。那第二个性质呢，就是等腰三角形，底边上的中线，还有高，还有顶角的角平分线，都是同一条线，是重合的，简称三线合一。比如说你在 b、 c 上面取它的中点点 d， 那 么连接上 a、 d， 它就是三角形 a、 b、 c 的 中线。那由于三角形 a、 b、 c， 它是等腰三角形， 那么这个 a、 d 它就同时也是高线，也是角平分线。那我们来证明一下这两个性质。首先第一条性质，底角相等，那角相等当然就是由全等来证明了。哎，我们可以先取一下这个三角形 a、 b、 c 的 中点点 d， 再做它的高线 a、 d。 那么现在啊，你看这两个小三角形，由于点、 d 我 们取得是 b、 c 的 中点，所以呢， b、 d 和 c、 d 是 相等的，而且它本身是一个等腰三角形，它的腰长应该是相等的，也就是 ab 等于 ac， 并且它俩有一个公共边 a、 d， 所以 说这两个小三角形是边、 边边全等的，那全等之后，对应角相等，这个角 b 和角 c 两个 d 角就是相等的了。那不仅是如此，这两个角也是对应相等的，这两个角呢，也是对应相等的。那么这两个角相等的话，就意味着这个 a、 d 同时也是角 b、 a、 c 顶角的角平分线，而这两个角相等的话，那么它俩平分一个一百八十度，每个角都是九十度，所以就有 a、 d 垂直于 b、 c， 那 么这个 a、 d， 它就是三角形 a、 b、 c 的 高线了。所以第二个性质，三线合一也得正了。那其实呢，这个中线和高线还有角平分线，它们仨呢，是 之二推一的，我们刚才是先设置了中线哎，从而又推出了顶角角平分线和高线。那如果我们一开始啊，先过点 a 做 b、 c 的 垂线，那么你也可以证明这两个三角形全等， 从而得到对应角，对应边相等得到角平分线以及中线。哎，你做这个角 b、 a、 c 的 角平分线，你也可以判定这两个三角形全等，从而得到对应角相等，并且对应边相等，得到高线和中线。同学们明白了吗？ 所以说这两个性质啊，用数学语言我们可以这样去描述。那我们来看一下怎么去判定一个三角形是等腰三角形呢？首先根据等腰三角形的定义，我们知道 只要有两边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。那再根据等腰三角形两个底角相等的性质，我们可以推出只要有两个角相等，那么这个三角形它就是等腰三角形，简称等角对等， 也就是有两个角相等，我们得等腰，从而得到腰长相等。那我们再看，根据三线合一的性质，我们也可以推出一个等腰三角形的判定方法哎，只要知道这三线当中的两个，那我们就可以间接的得到这个三角形是等腰三角形。 那这个之其二得等腰是怎么得的呢？来我们看一下，比如说我们知道这个 a、 d 是 角平分线和垂线， 那么我们怎么知道这个三角形 a、 b、 c， 它一定是等腰三角形呢？当然是根据两边三角形全等了，来你看一下，角一等于角二，并且 a、 d 是 公共边， 并且呢由于垂直，这两个角都是九十度，是相等的，所以就根据角边角角边角可得它俩全等了，那全等之后肯定有对应边相等， a、 b 等于 a、 c 了，所以它就是一个等腰三角形。那你再看这， 如果你知道这个 a、 d 是 垂线和中线，那也是一样啊， a、 d 是 一个公共边，有一组边的 b、 d 和 c、 d 相等两组边的，并且之间的 甲角相等都是九十度，所以边角边边角边全等全等，对应边相等 ab 等于 ac， 所以 它就是一个等腰三角形。那第三个呢？同学们可以自己试着去推理一下怎么得到这个三角形，它是等腰三角形。那总结一下等腰三角形的三个判定方法， 其中前两个啊，两边相等或者两个角相等，这个都可以直接判定等腰三角形。那第三个 知道角平分线和垂线和中线这三个之中的两个得等腰，这个呢，就需要去证明一下是间接得到等腰三角形的。好，那我们来看一下这道题能不能用等腰三角形的相关知识点来解析来。题目中说三角形 a、 b、 c 里边 a、 a、 b 和 a、 c 是 相等的。哎，这是一个等腰三角形，又告诉你 a、 e 是 垂直于 bc 的， 那这就想象到等腰三角形的三线合一了，这个 a、 e 它既是高线，也是角平分线，同时也是中线。好，接着再看 以 a、 c 为腰，向右作等腰直角三角形，那么连接 b、 d 交 a、 e 于点 f， 让我们证明 角 a、 d、 b， 哎，这个角我们标为角一，等于角 a、 c、 f 这个角标为角二，要证明角一等于角二。好，那我们看，首先根据等边对等角，我们可以得到什么呀？来，你看 这个 a b 等于 a、 c 是 吧？而且呢，这个 a c 又等于谁？ a c 又等于 a d， 因为这是一个等腰直角三角形，所以说这三条边呢，都是相等的，那其中根据 ab 等于 ad， 首先我们可以得到 这个角一和这个角是相等的，我们令它为角三，那角一和角三相等，那么要想证明角一和角二相等，我们只要证明角二和角三相等就可以了。 你看它俩看着很像，而根据这个 a、 b 等于 a、 c 这对等边，我们又得到这个大角和这个大角应该是相等的。那么其实你看 这个角三，它就相当于我们刚才的这个大角 a、 b、 c 里边儿减去这个角 f、 b、 e， 对 吧？好，那么这个角二呢，它就相当于大角 a、 c、 b 里边儿减去这个角 f、 c、 e， 那 这里边它俩是相等的， 我们找代证明这两个角相等，也就这两个角相等就可以了。那你看一下，根据等腰三角形三线合一，由于这个 a、 e， 它是 b、 c 边上的高，它同时也是 b、 c 的 中线，那么 中点加垂值得什么？垂直平分线嘛？所以说这条直线就是 b、 c 的 垂直平分线。那么根据垂直平分线的性质， 垂直平分线上的点 f， 它到线段两端的距离相等，所以说这个 b、 f 和 c f 也是一对等 边，那么又有等边对等角，这两个角呢？它也是相等的啦。那现在一组相等角分别减去另一组相等角，得到的这组角也是相等的， 也就是角三等于角二，那么我们就证明了角一又等于角二了，所以这道题呢就 ok 了。 我们知道三条边都相等的三角形就是等边三角形，那其实等边三角形它是特殊的等腰三角形，比如给出一个等腰三角形，我们就知道腰长是相等的，那 如果底边也相等的话，就得到这个三角形，它就是三条边都相等的等边三角形了。所以说等腰三角形它具有的性质等边三角形它都有，那我们来看一下等边三角形的性质。第一个是三条边都相等，这个我们知道。第二个就是 三个内角都相等，我们可以联想到等腰三角形的第一个性质，也就是等边对等角。那你看等边三角形当中，这组等边所对的这组角应该是等角， 这组等边所对的这组角应该是相等的，这组等边所对的这组角也是等角，所以三个角都相等啊，那么三角形内角和是一百八十度， 三个角都相等的话，每个角都是六十度了。那么第三个性质就是三线合一，也就是高线、中线、角、平分线全部都是重合的，那等腰三角形里边只有一条这样的线，但是等边三角形里边你可以找到三条，也就是这样一条， 这样一条以及这样一条。哎，所以说等边三角形里边有三组的三线合一，那么如果分别沿着这三条线进行翻折的话，那你会发现这条线的两旁是可以完全重合的，所以说等边三角形它是一个轴对称图形，这三条线都是它的对称轴。 那接着看我们如何去判定一个三角形是等边三角形呢？首先根据定义，三条边相等的三角形，它就是等边三角形，用几何语言我们可以直接这样表示，哎，三条边相等，就是等边三角形。 那再就是根据我们的第二条性质，等边三角形的三个角都相等，我们看到三个角都相等的三角形，它就是等边三角形。哎，我们可以这样表示，三个角等得等边。好，那么这是利用边去判定，这是利用角去判定。还有一种判定方法是结合了边和角去判定的方法， 让我们看一下，根据我们等边三角形，它是特殊的等腰三角形，它就是 等边三角形。比如这个三角形，它是等腰三角形，也就是 a b 等于 a c。 等腰三角形，它有两种角，一个是顶角，还有一个是底角， 对吧？那么有两种情况，要么是顶角等于六十度，要么就是底角等于六十度。那分别来看一下。首先如果顶角这个角是六十度的话，那三角形里边剩下这俩角是不是一百八十度减六十度，也就是一百二十度啊， 合起来是一百二十度。而等腰三角形等边对等角，角 b 和角 c 相等，所以平分一百二十度，每个角都是六十度，从而可得这个三角形，它就是等边三角形了。 好，那么如果底角是六十度呢？比如这个角 b 是 六十度，那么更是有等腰三角形，等边对等角，这个角 c 也是六十度， 那么剩下一个角，也就是一百八十度，减去六十度，再减去六十度，为六十度了，三个角都相等，它就是一个等边三角形了。好，那么总结一下等边三角形的三种判定方法， 第一种，三条边都相等，第二种，三个角都相等，那第三种，两条边相等，也就是等腰，并且再加上一个角是六十度，就可以得到等边三角形了。来，同学们，我们再来看一个在直角三角形里边特别好用的一个性质定律。在 直角三角形里边，你一旦看到有一个锐角，它是三十度，那么你就要知道这个三十度角所对的直角边一定是斜边的一半。比如说告诉你啊，这个三角形 a、 b、 c 里边角 a 是 三十度，并且斜边 ab 等于四，那你知不知道这个 bc 等于多少？ 等于二嘛？斜边的一半。好，咱们可以证明一下这个定力啊，你把这个三角形 a、 b、 c 给它翻折过去，那么你会发现这整个三角形 a、 b、 d， 它是一个等边三角形， 因为你翻折过来嘛，这三十度，这也是三十度，而 a、 b 又等于 a、 d， 是 吧？翻折对应边对应角都相等，那 那么根据有一个角是六十度的等腰三角形是等边三角形，我们可得这个三角形 a、 b、 d 就是 等边三角形。那又由于 a、 c、 b， 它是一个直角，也就是 a、 c 垂直于 b、 d， 那 么根据等边三角形三线合一，这个 a、 c 同时也是中线，所以说 b、 c 和 c、 d 是 相等的，也就是 b、 c， 它等于二分之一的 b、 d， 又由于这个三角形是一个等边三角形，三条边都相等，那么二分之一 b、 d 也就相当于二分之一的 a、 b， 你 看是不是正比完成了？哎，这个三十度所对的直角边等于斜边的一半吗？其实就是利用了等边三角形的性质和判定 好，那我们看一下这道题能不能综合运用刚才的等边三角形的一些知识点来解决好。题目中说三角形 a、 b、 c， 它是一个等边三角形，而 b、 d 垂直于 a、 c， a、 e 垂直于 b、 c。 那 么两个问题，一个是要我们证明三角形 c、 d、 e 是 等边三角形，第二个是告诉我们 a、 u 等于十二，让我们去求这个 o、 e 的 长度。好，一个一个来先证明这是等边，怎么证明呢？ 首先，通过这个大三角形是等边三角形，我们可以轻松得到这个角 c， 它是一个六十度，那么根据我们第三个判定方法，有一个角是六十度的等腰三角形，它是一个 等边三角形，那我们只要再证明这个三角形里边的有两边相等就可以了。那怎么证明呢？这有两个垂直啊。那么根据等边三角形有三组三线合一， 这个 b、 d 和 a、 e 是 高线的，同时也是中线，所以说，哎，这个 a、 d 和 c、 d 相等， c、 e 和 b、 e 相等，而且由于这是等边三角形，三条边都应该是相等的，那么 a、 c 等于 b、 c， 而且 c、 d 等于二分之一的 a， c、 c、 e 等于二分之一的 bc， 所以 c、 d 和 c、 e 应该是相等的，那么两条边相等，这就是一个等腰，再加上一个角是六十度，这就是一个等边三角形。得正啦。 好，再看第二题，我们可以把这个 o、 c 给它连接起来，那么你看这个 b、 d， 它又垂直于 a、 c 又平分 a、 c， 所以 它是一个 a、 c 的 垂直平分线，那么点 o 在 垂直平分线上，所以它到 a、 c 两段的距离是相等的，也就是这个 a o 等于十二， c o 也等于十二。而同理 这个 a e 也是垂直于 bc， 并且平分 bc 的， 所以它是 bc 的 垂直平分线，点 o 它又在这条垂直平分线上，所以说点 o 到 bc 两段的距离又相等， b o 也等于 oc 等于十二。 那现在你看我们已经知道的线段长和我们要求的线段 o e 在 同一个三角形里边了，而且这是一个直角三角形，而且这个角它还是三十度，为什么等腰三角形三线合一，这个同时也是角平分线嘛，平分六十度不就是 三十度嘛。那现在就可以利用直角三角形三十度锐角对边的长度应该是斜边长度的一半，得到 o e 应该等于二分之一的 o b 为六了。 接下来就是我们轴对称这一章节非常重要，考频非常高的将军印码模型，它的核心思想就是轴对称。这里边常考的几种题型我已经全部给你整理好了，我们一个一个来看。那么首先咱们先了解一下什么题目当中考察你的是将军印码模型呢？来看题干， 当你看到这道题让你求的是多条线段之合的最值啊，最大值，最小值，那么这道题八九不离十，肯定是将军印码问题了。那比如说啊，让你求出 p a 加上 p b 的 最小值，其中这个点 p 它是个动点，点 a 和点 b 它是个定点， 那么这个问题它肯定就是将军印码问题，而且这是其中最基本的两定一动模型。还有更多的，比如说一定两动啊，两定两动啊，还 有什么造桥选址，将军六马线段叉最值问题等等。不用慌，这条视频呢，都会讲到，那么将军嘛，这么多类型啊，它其实核心原理就是这两条，一个呢是两点之间线段最短，比如说呀，有几条线段首尾相连，那么我们就看两个端点， 如果两个端点都是定点，那么我们根据两个定点之间应该是什么最短线段最短，直接连接上两端，哎，这个距离应该是最短的。第二个呢，就是垂线段最短，什么意思？ 假如说，哎，有几条线段首尾相接，我们看两端点是一个洞点一个定点，比如说这里是一个定点，而这里是一个洞点，那这个洞点在这条直线上面移动，那此时这几条线段的和如何才能取最小呢？哎，应该是 直线外一个定点到这条直线的最短距离问题，也就是过这个定点往这个直线上面做垂线，这个垂线段它一定是最短的。那 到底应该怎么去做？将军马问题，咱们其实就是三步走，第一步就是找出其中的定点，那第二步就是做对称， 第三步就是看两端点判断应该怎么去找最小值。那咱们结合具体问题来体会一下来。首先我们来看第一个最简单的两定点动模型，也就是有一个动点 p 和两个定点 a 和 b， 那 此时你看啊，这个动点 p 在 直线上面运动，而两个定点呢，在这条直线的两侧， 那么现在要你求的是 p a 加 p b 这两条动线段的最小值，那你看啊，随着这个动点 p 移动，这两条线段也会跟着变，对吧？比如点 p 在 这，那么两条线段就是这样，比如点 p 在 这，那就是这样。 哎，什么时候两条线段之合最小呢？你看它俩都是定点，对吧？所以根据两点之间线段最短，我们直接连接两端点，当 a a、 p b 三点共线的时候，这个 p a 加 p b 应该是最短的，那如果点 p， 它还是在这条直线上移动，但是 a b 两个定点都在直线的同一侧，那这种情况，这两条线段的最小值该怎么去找啊？那还是把这个两个端点连起来吗？ 肯定不是吧，你要是这样连的话，关 p 啥事啊？ p 它只能在这个直线上移动嘛？那怎么办？这时候呢，就得用到一个方法，叫做做对称。 还记得吗？刚才我们的三步走，首先先找定点，那它俩都是定点，随便选一个，比如点 b， 那 第二步就是做对称，也就是做定点 b。 关于动点 p 所在直线的对称点，也就是 b 撇，那做完对称之后呢，我们可以把这个对称点和动点 p 给它连起来， 那么根据轴对称的性质，它俩应该是相等的， p b 和 p b 撇应该是相等的。 那么我们原本求 p a 加 p b 这两条线段最小值的问题呢，就转化成了求 p a 加上 p b 片这两条线段求最小值的问题了。那求它俩相加之和最小，不就是这个情况吗？直接两点之间线段最短，连接上两段点，当 a p 和 b 片三点共线的时候，此时 p a 加 p b 片是最短的，也就是 p a 加 p b 最短。总结一下，在两定一动形的将军马模型里边，如果说两个定点在不同侧， 在异侧，那这个时候只要连接两端点就是最小值，根据两点之间线段最短，那如果两个定点在同一侧的时候，我们就要先做对称，然后再连接两端点，得最小值。 第二个我们再看一定两动模型，那这个模型我们直接结合具体的题目来看来，一定两动啊，这里的点 p， 它是一个定点，点 m 和点 n 是 两个动点。 好看一下题目条件说角 a o b， 这个角是三十度，然后呢， o p 等于三啊，这条线段它等于三，要我们求的是三角形 p m n 周长的最小值， 那么也就是求这三条线段之合的最小值，也就是 p m 啊，加上 m n， 再加上 p n 这三条线段之合的最小值。那怎么解题呢？还是一样三步走。首先第一步先找定点， 也就是我们的点 p， 那 第二步就是做对称，做这个定点，关于动点所在直线的对称点，那我们看到这道题里边有 m n 两个动点，那怎么办？哎，就做两次对称就可以了。首先先做定点 p， 关于动点 m 所在的 o a 的 对称点为 p 片儿啊，再做这个定点 p， 关于动点 n 所在的 o b 的 对称点为 p 两片儿。 再连接上这个 p 撇 m 和 p 两撇 n， 那 根据轴对称，这个 p m 和 p 撇 m 应该是相等的，而 p n 和 p 两撇 n 也应该是相等的。那现在你看我们原本要求的这三条线段值和最小，是不是转移了？ 哎，这条线段转移到这儿，这条线段它转移到这儿，那就变成了求这三条线段之合最小了，对吧？也就是求 p 撇儿 m 啊，加上 m n， 你 看 m n 没变是吧？还是这个 m n 再加上 p 两撇儿 n 这三条线段之合最小值的问题了。那么现在这三条线段是不是首尾相接了？我们就直接进行第三步，看两个端点，我们看到点屁撇和点屁两撇是定点还是动点啊？ 哎，点屁是定点，那么它的对称点也都是定点，所以说呢，两端点为定点，我们直接两点之间线段最短，连接两端点，这就是最小值，那么最小值也就是屁撇 p 两片。那么这道题只要求出这个 p 片 p 两片，这个线段长就可以了，但是我们可以找一下三角形 p m n 周长最小的位置在哪？ 哎，咱们是 p 片点 m 点 n 还有 p 两片，那么四点共线的时候取得最小值，所以说，哎，最小的时候 m n 在 这两点， 那么此时三角形 p m n 应该是长这样的。那接下来呢？我们结合题目条件来求一下这个最小值。 p 片 p 两片，那首先我们可以连接一下 o p 片和 o p 两片这两条线段，那么根据轴对称的性质，这个 o p 片和 o p 两片都等于中间，这个 o p 没错吧，而且这两条线段也相等，这两条线段也相等，那么这两个三角形应该是全等的，这两个三角形也是全等的，而且都是对称型的，全等。那么你看，哎，这个角它是三十度吧， 那么我们可以把它分为 alpha 角和 beta 角，现在就是 alpha 加 beta 为三十度。而你看，既然它俩全等，对应角相等，这个也是个 alpha， 它俩全等，对应角相等，这也是个 beta。 那 现在你看，这整个角 是由两个阿尔法和两个贝塔构成的，我们知道一个阿尔法一个贝塔是三十度，那两个阿尔法两个贝塔不就是六十度了吗？好，那么这个角是六十度，而且呢，这个 o p 片和 o p 两片是不都等于 o p， 所以 你看两边相等，并且中间夹角是六十度，这整个三角形它是一个等边三角形，所以说我们要求的这个 p 片 p 两片也和这三条线段都相等，那题目告诉我们 o p 等于三，所以说屁片屁两片也等于三，最小值呢，就为三了。这道题你明白了吗？接下来我们来看两定两动模型，也是结合具体的例题来看，那么两定两动应该是两个定点，两个动点，是吧？那我们来找一下。 哎，题目说在矩形 a、 b、 c、 d 当中， c d 它等于八， a d 等于四，那么点 e 呢？是 c、 d 的 中点哎， a、 f 呢，等于一 p、 q 分 别是在 a、 b 和 b、 c 边上移动的，所以说它俩就是那两个动点了。要我们求的是这个四边形 e、 f、 p、 q 的 周长的最小值，那周长的最小值也就是这四条边长之和的最小值了呗， 也就是 e f， 哎，加上这个 f q， 再加上 p q， 再加上 e p 这四条线段之隔的最小值。好，那么其中我们看一下啊，点 p 和点 q 是 两个动点，那么两个定点在哪呢？肯定是 e f 了吧？ 那为啥呢？你看啊， c、 d 它是一个定长，对吧？等于八，那其中这个点 e 是 这个定长的中点，所以呢，点 e 它是一个定点， 而点 f 呢，这个 a、 d 它又是一个定长，为四，其中 a f 等于一，所以说点 f 的 位置也是定的好，那么既然它俩都是定点，以这两条定点为端点的这个线段 e f， 它肯定是一个 定线段了，它的长度应该是固定不变的，我们可以求出来，你看点 e 是 c d 中点，所以 d e 它就等于四，而 d f 呢，应该是四，减去一为三， 那么在这个直角三角形当中，斜边 e f 根据勾股定律，三四五，对吧？所以说 e f 它等于一个定长为五，那现在我们就只需要求出剩下三条边长之和的最小值就可以了，也就是 这三条线段，那么这三条线段之和最小怎么求？还是三步走啊？首先去找定点，也就是我们的点 e 和点 f， 那 第二步就是做对称，那么咱们可以先把这个定点 e 关于动点 p 所在直线去做对称，是不是特别好做？ 因为这本身就是一个直角，对吧？那么延长出去，使得这个 c e 撇等于 c， e 等于四，这就是对称点 e 撇， 那么再连接上 p e 撇的话，这个 p e 撇，它就等于 p e， 再做这个定点 f， 关于动点 q 所在直线 a b 的 对称点也很好做。 延长 fa， 这是一个直角，所以延长 fa 到 f 撇的位置，使得 a f 撇和 a f 相等，那么此时这个 f 撇就是对称点了。再连接上 f 撇 q， 那 此时根据轴对称的性质，这两条线段又是相等的，那么我们原本要求的是 这三条线段之合的最小值，那么通过轴对称，我们进行了线段的转移之后，哎，这条线段转移到了这儿，这条线段转移到了这儿，那么现在我们要求的是 它加它，再加它这三条线段之合的最小值了，也就是变成了，哎，这个 f 撇 q 啊，加上 p q 不 动啊，然后再加上这个 e 撇 p 这三条线段之合的最小值， 这三条线段现在是首尾相接的。那么第三步，我们看两个端点， e 撇和 f 撇都是定点的对称点，所以也是定点，那么两个定点之间应该是 线段最短，所以我们直接连接两端点，这个 e 撇 f 撇啊，就是最小值了。那么要求它呢，也很简单，你看它是一个直角三角形的斜边，那么两个直角边知不知道啊？哎，这个是等于 五的对吧？整体等于五，这块呢，整体等于十二，那么根据勾股定律，斜边等于十三。 好，那么最后别忘了最小值啊，还要包括这个原来的定长五，所以呢，应该是五，加上十三，最终最小值应该等于 十八了。两定两动模型你学会了吗？接下来我们继续看一定两动加上垂线段最短的类型来看。题目说在直角三角形 a、 b、 c 当中， bc 等于四，而 角 c a b 这个角是三十度，那么点 d 和点 p 分 别在 a b 和 a c 边上面移动，所以它俩呢，是两个动点。那么让我们求的是 p b 加上 p、 d 这两条线段之合的最小值，那还是三步走。首先第一步干嘛找定点，那这三个字母里边 p、 b、 d 啊，这三点当中哪个是定点，对吧？那只能是点 b 了啊，为什么它是定点呢？ 你看这个 b、 c 是 一个定长为四，那么点 b 它肯定是一个确定的定点了。那第二步就是做定点，关于动点所在直线的对称点，那咱们有两个动点怎么做对称呢？来，你看啊，这个点 b 它和动点 d 是 在同一条直线上的， 那这个时候你怎么做点 b 关于它所在直线的对称点呀？做不了，对吧？那我们就只能做点 b 关于动点 p 所在的 a c 的 对称点了啊，这个能做， 那么现在我们把这个对称点 b 片和点 p 给它连起来的话，根据轴对称的性质就有 p b 片等于 p b， 那 么这条线段转移到这儿，我们要求的它俩线段之和最小，就转化为了 它俩线段之合求最小的问题。那接下来第三步就是去看两个端点定最小值。那么很多同学呢，一般会习惯直接把两个端点给他连起来就是最小值，那这道题里边这样的做法是对的吗？ 哎，草率了啊，我们一定要先看两端点是定点还是动点，那咱们看一下 b 撇它作为定点 b 的 对称点，它是一个定点没错，但是你看点 d， 我 们说了它是一个 动点，哎，它在这个 a b 边上移动，所以说你看当两个端点是一个定点，一个动点的时候，应该怎么办？应该做垂线得最小，而不是连两端。因为现在这个问题啊，是 重点所在直线外的一点 b 撇到这条直线的最短距离问题，所以说应该根据垂线段最短，我们过定点 b 撇往这个直线上做垂线，哎，此时啊，这个线段才是最短距离， 那我们来求一下这个最小值。首先在直角三角形当中，我们知道这个角是三十度，所以呢，它就是一个三十、六十、九十的一个特殊直角三角形，三边之比为一比二比根号三，那么这个 bc 等于四的话， ab 就 等于四，乘上根号三，也就是四倍的根号三，那根据轴对称的性质，这个 ab 片和 ab 应该是相等的，所以它也等于四倍根号三啊。又由于 这个角啊跟这个角应该是对称的，所以说它也是三十度，那么两个三十度拼起来，这整个角它就是一个六十度，所以你看这个直角三角形啊，它是不是也是一个 三十、六十、九十的特殊角三角形，那三边之笔也是一笔二笔根号三，那么根据比例关系就可以求出它的长度了。哎，我们给四倍的根号三除以二，然后再乘上根号三，也就是得六好，那么这道题最小值就得六 好。那么到这里我相信你已经掌握了将军驿马模型的基本解析步骤了，都是三步走，首先先找出定点，那第二步就是做定点，关于动点所在直线的对称点，那做对称的意义其实就是根据轴对称的性质进行线段的 转化，从而使得所求线段首尾相接。那首尾相接之后，第三步就是看端点，如果两个端点都是 点的话，根据两点之间线段最短，我们之间连接两端就是最小值，那么如果两个端点是一动一定的话，根据垂线段最短，我们做垂线就可以得到最小值。所以一定要搞清楚情况到底是什么样的， 绝对不要一刀切全部都连两段。那么前四个模型呢，都可以用这个方法去解决，但是后两个模型造桥选址和将军六毛模型这两种类型就有一点不一样了，咱们一起来看。 我们先看造桥选址模型，什么叫做造桥选址呢？就是说 a b 两个村庄在河的两边， 那么两个村庄的位置应该是固定不动的吧，所以说点 a 和点 b 它俩是定点，河的两岸呢，它是平行的，这个 l 一 和 l 二是平行的。那我们要探讨的呢，就是如何在 a b 这两个村庄之间修出一条 最短的路啊？他说包括桥，桥的长度是固定不变的，也就是求这个 a 到河岸 m， 然后再过桥，然后呢，再从河岸 n 到 b 村庄， 哎，这三条线段之合求最小，那其中我们要格外注意桥的长度固定不变。这个条件什么意思呢？ 就说你这个桥修在哪，现在还不确定，我们要看修在哪使得这个路径最短。但是你不管修在哪，这个桥的长度啊，是固定不变的。哎，你比如说 m 在 这， 那么这个 n 他 也得在这个位置， m n 他 是不变的，而且都是和河的两岸去垂直的。那如果 n 点在这，那么此时 m 点啊，他也得在这个位置，此时 m n 还是不变，而且都垂直于河的两岸。 那么此时啊，像这样的动点啊，我们就叫做连动点，也就是点 n 和点 m 是 同时一起去移动的，这就叫连动点。 好，那么既然这个 m n 的 长度是固定不变的，咱们就不需要把它考虑进去了。我们在求最小值的时候，只要求出 a m 和 b n 的 这两条线段之合的最小值就好了，然后再加上 m n 的 值，哎，就可以了啊。 那我们看要求这两条线段之隔到最小值，你会发现一个特点，就是他俩不是首尾相接的，是隔开的。 哎，咱们前面都必须要达到首尾相接的状态，才能去看两个端点，决定如何确定最小值，对吧？所以咱们得先想办法把这两条线段呀给接到一块去。那怎么弄呢？ 哎，就要用到一个平移的思想，也就是将其中一个定点进行平移，去构造出平行四边形来。你看啊，比如说先取一个定点 b 进行平移， 那么我们这个 m n 的 长度它不是固定不变的吗？那我们就把这个 b 点啊，也向这个 m n 的 方向，也就是向上去平移 m n 这么长的位置，那么现在这个 b b 片和 m n 它俩是不是 平行且相等的呀？所以现在如果把这个 b 片 m 也给它连起来，那么这个四边形它就是一个平行四边形。 因为一组对边平行且相等嘛，那既然它是一个平行四边形，这个 b n 和 b 片 m 是 不是应该相等啊？对边相等，所以说它俩是相等的，这条线段就转移到这去了。哎，现在你看，哎，两条线段是不是首尾相接了，这 这个最小值啊，它就变成了求 am 加上 b 撇 m 这两条线段之合的最小值的问题了。那它俩的最小值能不能找啊？这不就是两定一动模型吗？咱们的第一个模型，那两个定点在动点的 e 侧，所以我们可以直接根据两点之间线段最短，我们直接连接上两端点，这就是最小值。好，那么求出了这个部分的最小值为 a b 条，再加上我们的定长 m n， 就 可以求出我们这个最短的路的长度了，那么最短路径具体在哪呢？我们可以找一下啊，我们是 a 和 m 啊，以及 b 这三点共线的时候取最小，对吧？所以说取最小值的时候，点 m 它得在这儿的话，点 n 它也得在这儿，所以说，哎， a m， 然后到 m n， 然后再到 b n， 这就是最短路径了。好，咱们再看将军六马模型，也是差不多的思路哎，说将军从 a 处出发， 带马儿去河边喝水，那么他沿着河岸去走一段距离 m n， 最后喝饱之后回到军营 b 处。那么问我们将军如何走的话，这个路径是最短的， 那也就是让我们求出 a 到 m， m 到 n， n 到 b 这三段距离之和的最小值了。那同样我们要抓住一个关键，就是沿着河岸走一段的这个距离， m n 它是固定不变的，因为我们规定啊，这个码 它每走这么一段距离，它就喝饱了。你假如说它从这开始喝，那么它走到这之后，从这开始喝，喝了这么一段 啊，也就合饱了，所以它就回去了。所以啊，这个 m n 这个距离它是不变的。所以说此时 m n 这两个动点也是连动点， m n 是 定长，那还是一样，咱们先不考虑这个定长 m n， 先求出这个 a m 以及 b n 这两条线段之和的最小值，再把这个固定的定长加上就可以了。好，那么求这两条线段之和的最小值，能不能求？ 你看他俩还是隔开的，还是得想办法把它们凑一块去。那还是什么呀？还是平移，我们找出一个定点，比如说我们选定点 a 去进行平移，怎么平移呢？还是一样的方法啊， 沿着这个 m n 的 这个方向，沿着这个方向向右啊，平移 m n 这么一段长，那么到这个 a 撇点的位置， 此时呢，这个 a a 撇和 m n 它俩应该是平行且相等的，那么把 a 撇 n 给它连起来，这个四边形也是一个平行四边形，所以说 am 和 a 撇 n 是 相等的，它转移到这儿， 所以说求它俩线段之和最小，就变成了求它俩线段之和最小之。那这回你看一下现在是什么情况，两个定点在动点所在直线的同一侧， 哎，第一个模型里边的同侧形，那先怎么办？先做对称，然后再连两段，是吧？那么我们先做定点 a 撇，关于动点所在直线的对称，点 a 两撇，然后呢，把这个 a 两撇 n 给它连起来，根据轴对称， 这个线段，它又转移到这来了，所以现在我们要求的是这两条线段之和的最小值，这回就能直接连两端得最小了。我们要求的最短路径的长度就是 a 两撇 b 啊，再加上这个定长 m n 就 可以了。那么这个最短路径具体是怎么走的呢？来我们看，当点 b 和点 n 以及点 a 两撇三点共线的时候，这两条线段取得最小值， 所以说，哎，最短路径的时候，点 n 它得在这儿，那么根据这个 m n 它是个定长，我们就可以确定 m 的 位置了，对吧？大概取这么一段长，点 m 大 概在这儿，哎，所以说呀，现在最短路径就是 从 a 出发到点 m， 然后从 m 到 n， 然后再到 n 到 b， 这就是最短路径了。 那总结一下，其实呢，这两个类型就是比前面的要多出来一个步骤，就是什么呀？就是平移，我们利用平移把所求线段接到一块之后，哎，就跟前面的模型一样了，那我们来练习一道题目，具体看一下这个模型该怎么使用。来，题目告诉我们 正方形 a、 b、 c、 d 的 边长等于四，还告诉我们点 e 和点 f 在 对角线上面移动，它俩是动点，而且 e f 它等于二，是一个定长。 那么要我们求的是三角形 b， e、 f 周长的最小值，也就是求这三条线段之合的最小值。那我们先判断一下应该使用哪个模型，哎，首先呢，从这个定点 b 出发，哎，这是个正方形，长度是定的，所以点 b 它肯定是一个定点 啊。那么从定点 b 出发到这个动点 e 的 位置，然后呢，走一段固定的距离到动点 e 的 位置，然后呢走一段固定的距离到定点 b， 这是一个将军六马模型，对吧？哎，从这出发到河岸喝水喝了一段之后回去。那将军六马模型里边，我们要抓住一个关键，就是这个 e、 f， 它是一个定长，所以点 e 和点 f 是 联动点，那么我们要求的 b b， e 加上 e f 加上 b f 这三条线段之和的最小值，我们只要先研究 b e 和 b f 这两条线段之和最小值，再把这个定长 e、 f 加上就可以了。好，那么求这两条线段之和的最小值怎么求？先进行什么 平移，我们把这个定点 b 沿着这个 e、 f 的 方向去平移，而且呢，这个平移的长度应该是 e f 的 长，也就是二。 好，那么到这里是 b 撇点，此时这两条线段是平行且相等的，那么连接上 b 撇 f 这个四边形是一个平行四边形，那么 b e 和 b 撇 f 是 相等的，它转移到这儿，所以说现在我们要求的就是 b f 加上 b 撇 f 这两条线段之和的最小值，那么求这两条线段之和的最小值。现在这是个什么问题啊？ 两个定点 b 和 b 撇在动点所在直线的同一侧，这就是一动两定模型的同侧。行了，那怎么解啊？找定点做对称，看两段是吧？首先找定点，它俩是定点，那我们选一个去做对称，哎，那你看点 b， 关于这个 a、 c 的 对称点是不是很好找？ 不就是点 d 吗？对，正方形的两条对角线是互相垂直并且互相平分的，所以说这个点 d 的 对称点就是点 d， 那 么连接上这个 d、 f 啊，现在根据轴对称，这个 d f 和 e f 就是 相等的，那么问题就又转化了，就变成了 b 撇 f 加上 d f 这两条线段之合到最小值的问题了。那第三步就是看两个端点啊，点 d 和点 b 撇都是定点，那么直接连接两端点为最小值。所以说现在要想求出这个 d、 b 撇，怎么求啊？ 来，同学们，这个三角形 b、 b 撇 d， 它其实呢是一个直角三角形，为什么呢？你看啊，首先这个 b、 b 撇和 e、 f 是 不是平行的？ 哎，我们平移过来的嘛，沿着这个方向平移过来的，所以它俩平行，而这是对角线，它和这个对角线 b、 d 是 互相垂直的，所以说 e、 f 也是垂直于 这个 b、 d 的， 那它俩平行，它垂直于它的同时也会垂直于它，对吧？所以说这个 b d 同时也垂直于 b b 撇儿， 那么这就是一个直角了。好了，那么在直角三角形当中，这个直角边等于二，而这个直角边呢，它作为正方形的对角线，边长等于四的情况下，这个对角线应该是四倍的根号二， 所以呢，根据勾股定律就可以求出斜边 b 盘 d 了，也就是等于根号下这个二的平方加上四倍根号二的平方，然后呢，再加上后边这个 e f， 这个 e f 等于多少啊？等于二，这个别忘了加上计算一下这个式子，就可以得出最小值了。那么最后呢，我们来看一下将军密码模型当中的线段差的最值问题。比如像这道例题，题目告诉我们 ab 等于 ac 等于十 ac 的 垂直平分线分别交 abac 于 m n 两点， 那点 p 呢？就在这个垂直平分线上面移动，是一个动点，还告诉我们三角形 b m c 这个三角形的周长是十八，让我们求的是 p a 减去 p b 的 绝对值的最大值。那我们来解读一下，首先为什么要套绝对值呢？ 哎，同学们，绝对值它有一个性质，就是非负性，对吧？那 p a 和 p b 这两条线段我们不知道谁大谁小，那假如说 p a 比 p b 小 的话，小减大它是不是变成负数了呀？ 但是套上绝对值就没有这个烦恼了，套上绝对值之后，你不管谁大谁小，得的是正还是负，最终结果都是他俩的差值是个正的， 对吧？那线段差的最大值怎么去求呀？咱们前面做的都是线段和的最小值的问题，那咱们先学习一下，来，我们看线段差最值问题里边的四种类型，分别是线段差的最大值问题，同侧行、异侧行 以及线段差的最小值问题。同侧形和异侧形，那咱们先按顺序看啊，先看一下，如果两个定点 a 和 b 在 动点 p 所在直线的同一侧， 那我们求两条动线段之差的最大值，应该怎么去求呢？来我们思考一下，关于两条线段之差，能不能想到一些不等关系原理呀？来，咱们比如说可以把这个 a b 给它连起来， 那么我们就得到了一个三角形 p a b， 那 么在这个三角形里边 p a 减 p b， 它就是什么意思啊？就是两边之差， 那么想到了吗？三角形两边之差应该小于第三边，所以说 p a 减去 p b 就是 小于 ab 的， 那能不能等于 ab 呢？来，我们如果把这个 b a 给它延长啊，当点 p 在 这儿的时候，你看一下 p b 减 pa 是 不是刚好就是等于 a b 的 呀？所以说是可以取等号的。那现在你看一下这个式子， 它要不就是小于 a b， 要不就是等于 a b， 那 要想求最大值，不就是取等号的时候了吗？所以说啊，当点 b、 点 a、 点 p， 三点共线的时候，这个线段差取到最大值，而且最大值为多少等于 a b， 也就是这两个定点之间的距离了。 那么如果两个定点在这条直线的不同侧，那这个时候呢，就要比同侧的情况要多一个步骤了，就是做对称，我们选一个定点去做对称，比如选这个点 a 做点 a， 关于动点所在直线的对称点 a 片连接上 p， a 片根据轴对称，哎，它俩是相等的，那现在求它俩线段之差最大的问题，就转移成了求它俩线段之差最大的问题。那么就和这个同侧的情况一样了，也是在点 b、 点 a 片 和点 p 三点共线的时候，此时取得线段差最大，原理也是一样的，那么这个时候最大值就是 a 撇 b 了。好，那么如果要求这个线段差的最小值，应该是怎么去求呢？那你看啊，我们说这个绝对值，它有一个什么性质，叫做非负性， 所以说它要么是正数，要么是零，所以最小最小就是零了，对吧？那什么时候取零啊？当 pa 等于 pb 的 时候取零呗。那什么时候可以使得 pa 等于 pb， 就 需要利用到垂直平分线的性质了，我们可以连接上 ab， 然后呢做这个 ab 的 垂直平分线，垂直平分线，也就是把这个 ab 的 垂直于 ab 的 这样一条直线，那垂直平分线有一个性质就是， 哎， a b 的 垂直平分线上，一点到线段 a b 的 两个端点的距离应该是相等的，所以说当点 p 在 a b 的 垂直平分线上的时候， 这个 p 到 a 的 距离， p 到 b 的 距离是相等的，所以此时 p a p b 相等的话啊，相差等于零，所以此时，哎，线段差取最小。 如果两个定点在异侧的话呢，也是一样，咱们连接上 ab， 做这个线段 ab 的 垂直平分线，那么当点 p 在 垂直平分线上的时候啊，它到点 a 到点 b 的 距离都相等， 那么 pa 等于 pa， 线段差为零最小。那我们可以用一句话来总结线段差最值问题，就是共线时最大，中垂线上时最小。首先共线时最大，也就是说当两个定点和一个动点在同一条直线上的时候， 此时两条线段之差取最大值，最大值就是两个定点之间的距离 a b， 那 中垂线呢，就是垂直平分线，是一个东西，那我们只要找出两个定点，然后呢，画出以这两个定点为端点的线段的 垂直平分线。那么当这个动点 p 在 垂直平分线上的时候，此时啊，这个线段差取得最小值 为零啊，因为此时 p a 和 p b 它俩是相等的，所以相减得零。那么再复习一下，线段差呢，是共线时最大，中垂线上时最小。好，回到题目来看一下，现在你能做出来吗？来看一下，我们求的是 线段差的最大值，所以说呢，应该是共线时最大。好，那咱们再看一下啊，这个动点在这两个定点呢，在动点的一侧，所以咱们还得走一步叫什么叫做对称啊？那做完对称之后，找共线的情况 好，那么咱们做谁的对称点呢？两个定点谁的对称点比较好做呢？应该是点 a 吧，为啥呢？因为题目中说呀，这个点 p， 他 在 a a c 的 垂直平分线上，这条直线是 a c 的 垂直平分线，那也就是它垂直于 a c， 并且平分 a c， 所以 我们一下就能够确定点 a 的 对称点，就是点 c 连接上 pc， 根据轴对称或者是垂直平分线的性质， pa 和 pc 应该是相等的，那么我们要求到 pa 和 pb 这两条线段之差的最大值，就变成了求 pc 和 pb 这两条线段之差的最大值的问题了， 两个定点都在动点所在直线的同一侧，要想让他们仨贡献，咱们得延长一下了，对吧？咱们把 c b 延长，那当点 p 在 这里的时候， p b c 三点就是贡献的，此时取得最大值为这个 b c 了，对吧？ 那 b c 怎么求呢？来咱们看一下题目条件说，三角形 b m c， 这个三角形周长等于十八， 那么也就是 c m 加上 b m 再加上 bc， 它等于十八。好，那么还知道什么呢？就是 ab 等于 ac 等于十，哎，它俩等于十。那咱们观察一下，根据垂直平分线上一点到线段两端的距离相等， 这个 a m 和 c m 也是相等的，对吧？那么 ab 它等于十，它是由 a m 和 b m 组成的， 而 a m 和 c m 又相等，所以呢， b m 和 c m 相加，是不是也等于 a b 等于十啊？所以说现在，哎，它俩相加等于十，那么十加上 b c 等于十八，所以就可以求出 b c， 它等于八了。 接下来我们来看一下怎么去构造一个等腰三角形，从而利用等腰三角形的一些性质来帮助解题。那么构造等腰三角形常见方法有这四种。首先，当题目当中有角平分线， 并且呢，你还看到这个被平分的角的其中一边和角平分线之间有一条线段，它平行于这个另一条边， 也就是这个 d e， 它平行于 o b， 那 么你就可以得到这个三角形 o d e， 它就是一个等腰三角形，为什么呀？根据平行，我们可以得到内错角相等，所以这两个角是相等的，而 o c 又平分角 a o b， 所以 说这两个角它也是相等的， 那么转移一下，这两个角也是相等的，那么一个三角形，两个角相等，它就是一个等腰三角形，就有 o d 等于 d、 e 了。那我们来用一下这个技巧。这道题告诉你， b f 平分角 abc， c f 平分角 a， c b 两个角平分线， 还告诉你了这个 d e 平行于 bc， 并且过点 f， 那 这个时候你要马上反应过来， 这两个三角形它都是等腰三角形，所以有 b d 等于 d f， 而且 e f 等于 c e。 好， 那这道题还告诉我们， b d 加 c e 等于九，也就是这两条线段相加之和等于九，让我们去求的呢？是 d e 的 长，这不就直接出来了吗？ 他俩相加等于九，他等于他，他等于他，那么替换一下，就是他俩相加也等于九，也就是整个第一，他等于九了，那继续看第二种构造方法也是跟角平分线有关。 哎，我们看到有角平分线，并且我们看到由角的其中一边向这个中间的角平分线上做了垂线，那么这个时候你就要想到把这个 e、 d 给它延长啊，与这个 o b 相交于点 f， 那 这个时候由于它是延长过来的，这也是垂直， 那现在就是由被平分的这个角的两边往这个中间的角平分线做了垂线，那这个时候这个三角形 o e、 f， 它也是一个等腰， 你看这是角平分线，所以这两个角相等，而这里是垂直，所以两个角都是九十度是相等的。 而且这两个三角形还有一个公共边 o d， 所以 这两个三角形角边角全等， 那全等之后，对应边 o e 和 o f 就 相等了，那么两个边相等的三角形，它就是等边三角形。同时这个 o、 d 啊，它是高线、中线、角平分线，三线合一。 好，那么看一道题目，角 a、 c、 b， 这是九十度，而且 a、 c 等于 bc， 这是一个等腰直角三角形， 而 a、 d 呢，是这个角 b、 a、 c 的 角平分线，那么就有这两个角相等。那过点 b 做这个 a、 d 的 垂线，交 a、 d 的 延长线与点 e， 这是一个垂直，那么 b、 e 等于四的情况下，要我们去求出这个线段 a、 d 的 长是多少？那这道题我们看到有角平分线，而且还有往角平分线上做垂线，那么我们就要想到把这个 b、 e 给它延长，并与这个 a、 c 的 延长线交于点 f 吧。 那么这个时候角平分线加上垂中间，我们可得这个三角形 a、 b、 f 是 一个等腰三角形，那么构造出等腰三角形之后，就可以利用等腰三角形的三线合一。这个 a、 e， 它既是角平分线，也是高线，同时也是中线， 所以呢， e、 f 等于 b， e 应该等于四。那接下来再看，已经知道的是 b、 f 要求的是 a、 d， 但是它俩看起来好像没有什么特殊的关系哎，那么像这样，要想把看起来没有什么特殊的位置关系的两条线段联系起来，最好的方法应该是 找出全等关系，从而推出对应边相等。那么要想让它俩相等，你看一下哪两个三角形全等啊？应该是三角形 a、 c、 d 和三角形 b、 c、 f 吧。那怎么证明它俩全等？首先我们已经知道的是 a、 c 和 b、 c 这两条边相等，题目中告诉我们了， 还有就是这是九十度，这也是九十度，因为延长出来的嘛。那么现在其实我们已经知道了一组边等和一组角等，只要再得到这组角等，哎，或者是这组边等就行了， 但是你看 c d 等于 c f， 好 像没法证明，那我们看一下这两个角怎么相等来，你会看到有一个八字模型，看见了吗？就是这样一个八字模型， 这两个三角形里边有对顶角相等，而且这两个角都是九十度，那么剩下的这个角一定也是相等的，所以说加上最后一个角等，也就是角 d a c 等于角 f b c， 这样就可以根据角边角判定全等了。好，那么它俩全等之后就有对应边， a d 等于 b f， 那 么 a d 就 等于八了。 来第三种构造方法，就是利用垂直平分线的性质，我们照垂直平分线上的点到线段，两段的距离相等，也就是这里是 a c 等于 b c， 那 么这个三角形 c a b， 它就是一个等腰三角形了。那看一下这道题，告诉你，角 a 是 一百零五度， 这条线呢是 a c 的 垂直平分线，而且 a b 加上 b e， 它等于 bc， 那 么要我们求的是角 b 的 度数。 哎，那这道题既然要我们去求角，那我们就要得根据已知条件，尽量的去推和角相关的条件，那我们先看，哎，根据垂直平分线我们可以做什么？ 我们直接把这个 a e 连接起来，就有 a e 等于 c e， 那 么这个三角形 a c e 就是 一个等腰三角形，那么就可以利用等腰三角形的性质，等边对等角，这两个角就是相等的，那么我们可以令这两个角分别为 r 法角。好，再看 a b 加 b e 等于 bc， 而这个 bc 你 看它相当于是 b e 加 c e， 那我们用 b e 加 c e 把这个 b c 替换一下的话，你看这个等式就可以把 b e 同时消去，那就是 a b 和 c e 相等，也就是这两条线段相等， 而这条线段又和这条线段相等，那么它俩呢，也是相等的，所以这里也是一个等腰。利用等边对等角，这两个角呢，也是相等的，而你还会发现，这个角啊，它还和这两个角有点关系， 什么关系啊？哎，这个角它刚好是三角形 a、 c、 e 的 一个外角，那外角度数应该是与它不相邻的两个内角之合，所以这个角它就是二倍的二法， 那角 b 它也是二倍的阿尔法。好，那现在你看整个三角形里边角 a 是 一百零五度角， b 是 二阿尔法。 哎，这里角 c 是 阿尔法，那么相加内角和应该是一百八十度，所以说，哎，三倍的阿尔法，它应该等于七十五度，一个阿尔法就等于二十五度了， 那么我们要求的角 b 是 两个二法，也就是五十度。好，那么最后一种构造等腰三角形的方法，就是利用二倍角， 也就是当我们看到一个三角形里边一个内角是另一个内角的二倍的这样的关系，那我们就可以用这样四种思路去构造等腰三角形， 也就是分大角、背小角，内做双等腰和外做双等腰，我们一个个看，首先分大角，就是把这个大的二倍角给它拆成两个相等的小角，也就是做这个角臂的角平分线，那么这个时候这两个角都是二法， 所以现在这个三角形 b、 c、 d 里边两个角都是 alpha 是 相等的，那么它就是一个等腰三角形，那背小角就是把这个 alpha 角在旁边再给它复制一份，那整个不就是二 alpha 了吗？ 那么延长 b、 a 和这条边交于点 d 所形成的这个三角形 b、 c、 d， 这个时候就是两个角相等的等腰三角形，所以就有 b、 d 等于 cd 啦。 那内做双等腰是怎么做的呢？就直接在这个 b、 c 上面取一点 d， 使得 a、 d 等于 ab。 那 么首先三角形 a、 b、 d， 它就是一个等腰，那么等边对等角，它也是阿尔法，而这个角 哎，它又是三角形 a、 c、 d 的 外角，那么根据外角定律，它的度数应该等于这俩角之和，而这是阿尔法，这是阿尔法，那这就是阿尔法了。所以俩角相等，这个三角形 a、 c、 d， 它也是一个等腰三角形， 那么整个三角形 a、 b、 c 内部就有两个等腰三角形，这就是内坐双等腰。那什么叫外坐双等腰呢？来我们把这个 c、 b 给它延长，延长到哪呢？就使得这个延长出来的 b、 d 它等于 a、 b， 那 么连接上 a、 d 的 话，这个 a、 b、 d 它就是一个等腰三角形。那么再根据等边对等角，这两个角呢，就是相等的， 而这个二阿尔法角啊，是这个三角形的一个外角，那外角等于与它不相邻的两个内角之合，而这两个内角又相等，所以它俩分别是阿尔法。 那现在你看，不仅这个三角形是等腰三角形，而且这个角和这个角也相等，所以大三角形 a、 d、 c， 它也是一个等腰三角形，叫做外作双等腰。 那么怎么去构造等边三角形解析呢？有三种思路，一个是做平行线去得到等边三角形，一种呢，就是见到三十度或六十度的时候，我们根据截长补短的辅助线思路构造等边三角形。 那第三种就是利用一个等边三角形构造出另一个共顶点的等边三角形，从而得到手拉手全等。解题好，那么一个一个看，那第一个呢？其实就是如果你已经知道有一个等边三角形， 那么你只要做一条与这个三角形任意一边平行的线段交另外两边于两点，那么你得到一个新的三角形，它肯定也是等边三角形。为什么呢？你看它俩平行嘛，那么就有同位角相等，它俩也相等， 那这个三角形是等边，所以每个角都是六十度，它俩是六十度角， a 也是六十度，而它等于它是六十度，它等于它也是六十度，所以你看这个 a、 d、 e， 它也是每个内角都是相等的，所以它也是一个等边三角形。 那你不管做平行于等边三角形哪条边的线段，都可以得到这个等边三角形来。比如这道题告诉你三角形 abc 它是一个等边，还告诉你 e、 f 和 f、 d 相等，让你证明 a、 d 和 c、 e 相等。 哎，那么这道题你怎么做？你可以直接过等边三角形 a、 b 边上的点 d 做与 b、 c 平行的线段交 a、 c 与点 g， 那 么现在这个三角形 a、 d、 g， 它也是一个等边，那现在你看 这两个三角形全等，不就可以随便正了吗？你看啊，首先 d f 和 e f 是 相等的，而且呢，这有一组对顶角，而且你还可以再找到根据平行这个内错角相等，所以三角形 d、 f、 g 和三角形 efc 它俩是全等的，那么就有对应边 c、 e 和 d g 是 相等的，而我们要证明的是 a d 和 c e 相等，那这是一个等边啊， d g 和 a d 肯定相等，所以呢，就是 a、 d 和 c e 相等。 那如果我们在题目中看到六十度角，也要想办法构造等边三角形来解题，怎么构造呢？哎，我们知道等边三角形的第三种判定方法是有一个角是六十度角的，等腰三角形是等边三角形，所以我们可以找出两边相等就可以了。那怎么找呢？ 就是根据截长补短的方法。首先截长，就是在这个六十度角的两边当中取较长的一边，在这个长边当中取一段长啊，使得这段长等于短边，那不就有两边相等，就是一个等腰了吗？再加上六十度角， 这个三角形 c、 d、 e 就是 一个等边三角形了。那补短呢，就是把两边当中较短的这个边延长出去，使它和长边一样长，也就是 d e 等于 a d， 那 么连接上 a e 的 话，这个三角形 a， d， e 就是 等边三角形。 那比如这道题里边，我们碰到角 a， d， e 和角 abc 这俩角都是六十度，那我们就要想到截长补短，构造等边三角形，那么往哪构造呢？来我们继续看这道题啊。 说 d e 呢，它交 a、 b、 c 的 外角平分线于点 e， 也就是这个 b e， 它平分角 a、 b、 f， 要我们证明的是三角形 a、 d、 e 是 等边三角形， 哎，那我们可以知道这个三角形 a、 d、 e 也就是这个六十度所在的这个三角形，它本来就是等边三角形，只是代证明， 所以我们可以试着根据这个六十度角来截长补短，构造等边三角形。好，那么这个六十度角的两边 b、 d 是 短边， ab 是 长边，那如果使用截长的思路，我们可以在这个 ab 上面取出这么一段 b、 g， 哎，使得这个 b、 g 和 b、 d 相等，那么连接上 d、 g 的 话，哎，这就是一个等边三角形，那么 b、 d 和 d、 e 也是相等的。那如果我们能够证明这两条线段所在的两个三角形全等，也就是三角形 a、 d、 e 和三角形 e、 d、 b 全等， 那么我们就可以得到对应边相等， a、 d 和 d、 e 相等，那两条边相等和这个角是六十度，这个三角形不就是等边三角形了吗？同学们可以自己去证明一下。好，那么最后咱们回顾一下手拉手模型，咱们学过了，只要满足等线段共顶点和等 顶角，那么就可以进行手拉手，从而得到全等以及拉手线相等。举例来说，如果两个三角形它都是等边三角形，那么就由 a、 b 和 a、 c 相等， a、 d 和 a、 e 也相等，那它俩这样拼在一块就有共顶点点 a， 而这个角是六十度，这个角也是六十度，就有等顶角，那么就满足了手拉手模型的条件。我一般管这组较短的等线段叫做小手，管这组较长的等线段叫做大手，那么左手和左手拉起来，右手和右手拉起来， 手拉手模型就构造完成了，那现在就有这两个三角形是全等的，因为这是一组等线段，这也是一组等线段，所以这两个三角形里边已经有两组边等了，再加上啊，这是六十度，这也是六十度。所以你把这个中间的角再加上的话， 这整个角和这整个角也是相等的，那么就有边角边，边角边全等， 全等之后呢，就有对应边相等，那么这个拉手线 b、 d 和 c、 e 也是相等的。那如果两个三角形是这样相接的，有重合部分，那也是一样的，连接上左手和右手，可得这两个三角形全等，从而对应边相等，拉手线也相等。 那么如果两个等边三角形相接，并且有 a、 c、 e 三点共线，那就更加特殊一点了。这个时候除了一些基本的结论之外，还会有一些更多的结论。那我们先来看一下， 首先三角形 a、 c、 d 和三角形 b、 c、 e 全等还是有的，因为这个线段相等，这个线段也相等，还有这是六十度，这也是六十度，加上中间这个角的话，这个大角也是相等的，所以边角边它俩全等， 全等之后，拉手线相等。前两个结论我们已经非常熟悉了，那我们再看一下第三个结论，角 a、 o、 b， 哎，也就是这个两个拉手线之间的夹角，他说是六十度， 那怎么来的呢？来我们看这里呢，有一个八字模型，那这两个三角形里边有对顶角相等，而且根据我们的第一个全等，这个角和这个角属于是对应角，应该是相等的， 那么剩下的这个角和这个角也应该是相等的，而这个角呢，它又是等边三角形的一个内角，为六十度，所以它也是六十度。 所以说拉手线之间的夹角，它就是等顶角的度数为六十度。那如果现在是两个等腰直角三角形拼接的话，那么这两个拉手线的夹角就是 九十度，因为等顶角是九十度。那接着看第四个结论，三角形 a、 c、 p 和三角形 b、 c、 q 全等，那证明一下。首先我们根据这个第一个全等，刚才说了，这两个角是对应角，是相等的， 而且呢，这两个三角形还有一个蓝边是等线段也是相等的。那我们再看，哎，这是六十度，这是不是也是六十度啊？ 所以现在你看这个三角形 a、 c、 p 里面角边角，这里边角、边角得它俩是全等的。 那全等之后就有第五条结论， a、 p 和 b、 q 相等，也就是这条线段和这条线段是 相等的。来继续第六条结论，说三角形 c、 d、 p 和三角形 c、 e、 q 是 全等的，那怎么证明呢？和刚才是类似的证明思路。首先你会看到这两个三角形里边的这一组角是什么角呢？ 哎，就是第一个全等里边的对应角应该是相等的。那还有就是这个红边 c、 d 和 c、 e 属于是小手等线段，所以它俩是相等的。 那再有就是这是六十度，这也是六十度，所以根据角边角角边角可得全等，那全等之后就有 p、 d 等于 q、 e， 也就是这组对应边是相等的。好，那我们再看第八条，说三角形 p、 q、 c， 也就是这个三角形，它是一个等边三角形，那这个结论它就又和第六条结论有关系了。由于这个三角形和这个三角形是全等的， 那么就有这组对应边，它也是相等的。那么这个三角形当中有两条边是相等的，是一个等腰，而且这个角它又是六十度， 所以这个三角形它就是一个等边三角形啦。好，那继续第九条说 p q 和这个 a、 e 是 平行的，那我们看这是一个等边吧，所以这个角它就是六十度吧，而这个角呢，它也是六十度吧，因为它是一个等边三角形的内角， 而它俩属于是什么角内错角相等，所以 p q 平行于 a、 e 得正好。那最后一个结论就是 c o 平分角 a o、 e。 好， 那我们看一下怎么证明这个 c o 是 角 a、 o、 e 的 角平分线呢？ 回想一下角平分线的判定，也就是到这个角的两边的距离相等的，这个点就在这个角的角平分线上， 那就要画辅助线了，过这个点 c 往这条边上做垂线，再往这条边上做垂线，垂足分别为 m 和 n， 那 么只要这个距离相等，这个点 c 就 在角平分线上了。 那么怎么证明呢？那你看这两条线段，你会发现它俩分别是三角形 a、 c、 d 和三角形 b、 c、 e 为底边的两条高， 而这两个三角形我们已经证明了它俩是全等的。那么根据全等三角形对应边上的高相等，我们可得这两条线段就是相等的，那么点 c 就 在角 a、 o、 e 的 角平分线上了， 所以说连接上点 o 和点 c， c o 就是 角平分线，那这十个结论就都证明完成了，同学们可以自己去再去理一理， 那最后我们再练一下这道题，那么像这道题一样，只给你一个等边三角形，没有给出你完整的手拉手模型结构，这个时候你也要能够构造出和这个等边共顶点的等边三角形，从而得到手拉手全等来解题。那我们看一下 这道题，说三角形 a、 b、 c， 它是等边三角形，而角 a、 b、 p， 这是六十度，要证明 pa， 它等于 pa 加 pc。 好， 那怎么构造另一个等边？哎，看到六十度角了，那么就可以截长补短构造等边了。那截长的话，就是在这个长边 a、 p 上面 截取一段，使得这一段等于短边 p、 b， 那 么再连接上 b、 d 这个三角形 p、 b、 d 就是 等边三角形。 那么现在这个 p、 b 和 b、 d， 它是一组小手等线段，而 b、 c 和 ab 是 一组大手等线段，它们有公共的顶点点 b， 那 这个角是六十度，这个角也是六十度，是一组等顶角，符合手拉手模型，那么就有三角形 a、 b、 d 和三角形 c、 b、 p， 它俩是全等的。 好，全等之后就由 a、 d 和 c、 p 相等，那现在其实就已经证明完成了 pa， 它是由 a、 d 和 p d 组成的，那这里边 a、 d 和 p c 相等，而且这个 p、 d 和 p b 它俩也相等，所以可不就相等了吗？ 好，同学们，以上就是我们第三章轴对称的全部内容，内容很多，题也很多，一定要自己再去整理一下，那最后别忘了关注小七老师，带你一起学数学！

海参到处都是，在海底懒洋洋的蠕动，小蜜蜂的身影遍布山间，他们在勤劳的工作。西沙群岛的海里，一半是水，一半是鱼，他饿的能吞下一头牛。这座海滨小城真是又美丽又整洁， 妈妈做的早餐真是又美味又营养。小新安岭一年四季景色诱人，是一座美丽的大花园，也是一座巨大的宝库。微笑是沟通的桥梁，也是温暖的传递。 小鹿在溪边散步，他们有的俯下身子喝水，有的侧着脑袋欣赏自己映在水里的影子。荷花开了，有的绽开了笑脸，有的含苞欲放。

来复习轴对称图形和对称轴。如果把一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合， 这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴，注意是完全重合。 长方形、正方形等腰三角形、等腰梯形等边三角形、圆都是轴对称图形。 长方形由二条对称轴，正方形由四条对称轴等腰三角形由一条对称轴。等边三角形有三条对称轴，等腰梯形有一条对称轴。圆有无数条对称轴。 注意，平行四边形不是轴对称图形，因此没有对称轴。

今天复习重点句子仿写海参，到处都是，在海底懒洋洋的蠕动。拟人句，小蜜蜂的身影布满山间，他们在勤劳的工作。向日葵长得满地都是，面向太阳公公做运动。 西沙群岛的海里，一半是水，一半是鱼。夸张句，他饿的能吞下一头牛。广场安静的空气像被按了静音键。 这座海滨小城真是又美丽又整洁，又什么又什么。今天的天气又晴朗又暖和，适合出门。 妈妈做的早餐真是又美味又营养。小新安岭一年四季景色诱人，是一座美丽的大花园，也是一座巨大的宝库，是什么也是什么。微笑是沟通的桥梁，也是温暖的传递。妈妈是家里的厨师，也是我亲密的朋友。 小鹿在溪边散步，他们有的俯下身子喝水，有的侧着脑袋欣赏自己印在水里的影子。有的有的荷花开了，有的绽开了笑脸，有的含苞欲放。公园里人真多，有的在跑步，有的在打太极。