盐城小吴老师是教什么的

高等数学上期末救命课的第三课，间断点与间间线，你放心，跑不了。间断点一个题，间间线一个题，可能就是计算量大小的问题。好，我们先看一下间断点，先看一下间断点的几何意义。什么叫间断？间断就是不连续。我们画一个图帮大家理解一下。一个函数在一个点处连续，指的是这个函数在这个点处， 它连起来了，就是可以怎么理解呢？就是你比如说这个函数呢，在这个点处它是连续的，可以理解成这个点，以及这个点左右两次的另外两个点，这三个点 他连在一起了，从定义上讲，这样理解是不对的，但是从考试层面上讲，这样理解呢，有助于快速入门，能懂意思吗？好，什么叫连续？一个函数在一个点处连续可以理解成这个函数在这个点以及左右两个点，这三个点他连在一起了，然后中间这个点就是在这个点处的 函数值，而左边这个点呢，可以理解成左极限，右边这个点呢，可以理解成右极限。这三个点连在一起的意思就是这三个点处的值是相等的， 所以呢，我们才说连续的冲要条件是左极限等于右极限，等于函数值。那什么叫间断？显然嘛，这三个点没有连在一起，而这三个点没有连在一起。他具体有几种不能连的方式？我们说总共有四种。第一种，那你看 左边这个点在这里，右边这个点在这里，中间这个点没了，他有可能去别的地方了，他也有可能直接就没了。那你说他连连下来了，那没有吧，这个地方断开了吧？哎，间断，这种间断点称为可去间断点。然后第二种呢？ 左边这个点在这里，右边这个点在上面，两个点他没有挨在一起，他是不是也没有连在一起啊？哎，这种间断点跳上去了吧，称为跳跃间断点，而可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。除此之外呢，还有两种。第三种，左边这个点还在这个位置，但是右边这个点右边没有点，右边这个图像直接奔着正无穷或者负无穷去了， 这样也可以。你右边这个极限是不存在，我们说极限存在，就是他等于一个场数，你现在右极限等于无穷大，我们就说右极限不存在，那这三个点右边这个点都没有了，他肯定是断开的，那这种间断点称为无穷间断点。第四种情况，左边这个点依然在原地，但是右边这个点 它极限也不存在，右极限吧，它也不存在，只是呢，它并没有往无穷大跑，它是来回震荡，但是永远不会和这个点挨在一起，就跟心电图一样，核磁共振一样。所以呢，我们称为震荡间断点。无穷间断点和震荡间断点统称为第二类间断点，这个就是间断点的四种类型，当然间断点应该怎样去求好，我们看一下 二、判断方法，我怎么判断这个间断点？它是一模一样的，没有任何的区别。 判断极限是否存在，判断间断点类型求渐近线。我们用的都是同样一个表，那这样的话，你只需要把这个表写在做，把这个表记住。哎，我们就可以做这三种题了，减少你的工作量，我是专业的。好，我们往下走。如果他想让我判断一个点，比如说 a 这个点是一个函数的什么间断点， 那么他其实就是让我计算一个极限，他就是让我算一下 x 趋近于 a 的 时候，这个 f x 的 极限，而这个极限怎么算 a？ 我 们首先需要 看一下他需不需要分左右，如果这个极限他不需要分左右，并且你算出来是个常数，不需要分左右，算出来是个常数，意思就是如果你强行给他分左右，那么左右极限都会是这个常数，能懂意思吗？所以就没有必要分了，就不分了，是这个意思。所以说如果不需要分左右，算出来是个常数， 这个时候他是四种间断点当中哪一种应该是第一种？左右是左右，有一个往无穷大跑了，震荡有一个左右，有一个， 他算出来是个寸无穷或者口寸无穷。所以说你只要这个极限不需要分左右，算出来这个场数，说明你就算分了左右左右极限也都是一个相等的场数，他应该是第一种，也就是可去间断点，而如果不需要分左右，算出来是个无穷大呢？哎。无穷间断点，如果不需要分左右，算出来他是个寸无穷或者口寸无穷的，那就说明 你这个左右两个极限他都是这样来回震荡的一种情况，那么他依然是算作震荡间断点的，所以说这种情况称为震荡间断点。你搞清楚这个震他怎么写？他不是地震的震，他是核磁共振的震，有规律的 上下震动是用这个震的，那如果这个极限需要分左右，那你就分成左右去计算两个极限。如果你发现左极限是个常数，右极限也是也是个常数，并且两个常数还相等。 你要想一下这四个表它是哪一种情况？它是第一种左极限，右极限相等，说明左右两个点挨在一起啊，所以说这种情况下称为可去间断点。那么第二种情况呢？左极限是个常数，右极限也是个常数，两个极限不相等， 左边是个常数，右边也是个常数，肯定不是第二类，因为第二类的话，左右至少有一个。你看，往无穷大跑，森无穷，口森无穷，这都叫极限？不存在，它一定不是第二类，它一定是一个常数，右边也是个常数，但是两个点没挨在一起，说明两个极限它不相等。那么这种情况下， 这个间断点应该是打得好，跳跃间断点。第三种情况，如果左右极限至少有一个，算出来是无穷大呢？哎，结果是无穷间断点，那如果左右极限至少算出来一个森无穷或者口森无穷呢？应该是正荡间断点。好，再过一下可去是第几类的？第一类的无穷是第几类的？ 第二类的。这个表就在下面吗？能听吗？我再带你记一下这个结论哈。正荡第几类的？第二类的跳跃第一类的无穷，第二类的正荡第二类的。好，讲完了我们开始做题。看一第一种题型，就直接给你一个点，问你这个点是什么间断点， 也就是已知点判类型。比如说我问你 x 等于三，它是这个函数的什么间断点？他问我三是这个函数的什么间断点？就等同于问我 x 趋向于三的时候这个函数的极限吧， 你算一下这个极限。好，我们这个表就可以了。好， x 趋向于三， f 的 极限，先看它需不需要分左右，它不需要分左右，因为你代数之后没有出现 e 的 无穷大， arc 贪婪无穷大， arc 口贪婪无穷大，还有零的绝对值， 也没有分段函数的分段点处的极限，所以说这个极限不需要分左右，不需要分左右。你要确定这个表一定是用上面这个表的。好，我就只需要算这一个极限，它就等于。但这个题呢，分子可因式分解，但是我不，我直接落笔答分母求导是个一，分子呢，求导是二 x 减一这个极。 这个极限应该是等于五的吧，不需要分左右，算出来是个常数。这个间断点是，答了好，可去间断点，如果是填空题的话，填可去， 填第一类，或者是填第一类可去都可以。当然呢，具体填什么你可以问一下上课听讲比较认真的同学，你问一下他，你老师上课讲的时候，他说填哪一种，那你就填哪一种，但如果是个选择题的话，选哪一个都可以，懂意思吧。好，紧接着看一个稍微难一点的。我问你一下，零是 e 的 x 分 之一的什么间断点？ 他问我零是这个函数的什么间断点？就等同于让我算一下 x 趋向于零这个函数的极限。那我们首先第一件事情需要判断一下这个极限需不需要分左右，你把这个趋向带进去，有没有发现有 零分之一，这是一个无穷大， e 的 无穷大，出现了 e 的 无穷大，所以这个极限应该是需要分左右的，所以说这个表我们应该是用下半部分的好，分左右就分成左右去计算两个极限，左极限呢，直接把零负带进去，零负分之一，结果是负无穷， e 的 负无穷应该是 零，而右极限把零正带进去，应该是 e 的 零正分之一，零正分之一是正无穷，而 e 的 正无穷结果还是正无穷。但极限最后的这个结果，不管是正无穷还是负无穷，都可以简单的写一个无穷大，那么这样的话，他应该是哪种情况？左右极限是至少有一个 为无穷，所以说这个间断点应该是打得好无穷间断点。而又因为无穷间断点是第二类的，所以说这个填空题可以填无穷， 可以填第二类，也可以填第二类无穷。这个是间断点的第一种题型，直接让你判断一个点，他是什么间断点，然后呢？第二种题型呢？是他不给你点，需要自己找点， 先找点再判刑。当然到底要找哪些点？找无定义点，简单来说就是分母为零的点，我们期末考试不会考的太深，所以说你就只记住，如果间断点需要找点的话，你就直接找分母为零的点。好，我们举一个例子，我问你这个函数它的可去间断点有几个？这种题怎么做？ 就是先找点，找到他的所有的间断点，然后分别去判断，判断完之后看一下有几个可去间断点就可以了。这种题特别讨厌，计算量非常的大。好，首先我们要先找点，然后再分别去判断类型。怎么找点？找分母为零的点，而这个分母 他为零的时候，有没有发现 x 等于零，分母是个零，同时 x 等于正负二， x 等于正负三等等等等，你 x 等于正负八，他都是分母为零的点。所以说呢，这个题呢，他的间断点有无数个， 那我怎么办？我不至于每个点每个点的讨论吗？他有无数个点，哎，我要是一个点一个点的讨论的话，我讨论到死，我都讨论不完呀。那怎么办？我告诉你，他其实不需要全部讨论。你看这个分子， 这个题在各大高校的期末考试题里，这个题出现的频率非常高，他很重要。你好好听这个题，我把分子音式分解了，然后分解完之后，你有没有发现这个间断点零，这个点，还有正负一，这两个点总共是三个点，这三个点处你要判断类型，不是要算极限吗？这个极限他都会形成一个零比零， 因为不管是 x 等于零，还是 x 等于正负一，这个极限分子它都是个零，分母也是个零。零比零型极限。我们的方法是等价代换和洛比达，它具体最终能算出来几我不确定，我需要算，但是除了这三个点之外，剩余的点有没有发现？你要计算极限的时候，这个 分子它都不是零，但是分母是个零。你想一下，这个极限分子它不是个零，分母是个零，一个非零的一个常数比上零，结果是多少呀？结果是无穷大。所以说 除了这三个点之外的所有的点，你就算算极限的话，这个极限一定是无穷大，而极限是无穷大，那么这个计算点应该是无穷间断点，所以呢，我们会发现 x 等于正负二，正负三，正负四，正负八，正负一百，全都是无穷间断点。人家问的是可去， 所以呢，我们只需要判断零一和负一这三个点。好，先看一下 x 等于零，那我要判断一下零是什么间断点，是不是要求一下 x 趋向于零的时候这个函数的极限？这个极限应该是肾 p x 分 之分子直接给他因式分解了，计算极限的过程当中，当然可因式分解也当然可以约分好，计算这个极限的时候呢，要小心一点，这个这个他两个的极限都是非零常数，并且这个常数和剩余所有部分是不是乘除的关系，那么这个时候这个常数可以先算出极限，结果提到极限号的外面 非零常数吧，所以说这个极限是个一，这个极限是个一，它也可以直接提出去，提出去之后一就不写了，这个极限就变成一个肾派 x 分 之 x 分 母肾框框可不可以等价乘这个框框？我们说是可以的， x 去零的时候，这个框框是不是个零？是，当然可以等价乘 派 x， 等价乘派 x 之后，两个 x 消掉极限，结果是个派分之一，那不需要分左右算出来是个常数，这个间断点应该是一个可去间断点。好，有一个了，还有两个，一个是正一，一个是负一。我们先看一这个点， 我想判断一下负一它是什么间断点，其实就是要求一下 x 趋向于负一的时候这个极限吧。我直接把分子因子分解了，分子因子因子分解之后，因为这样的话有非零常数，是不是可以提出去？好， 分母是个零，这玩意不能提。剩派 x， 分 子，分子的话，这是个非零常数，这个是不是也是呀？它俩合在一起是不是个负二？你把这个负二提出去，分子就剩了一个一加 x， 好， 分母能不能等价乘 pi x， 我 们说不能，为什么？ x 趋向于负一的时候，你这个框框它好像是趋向于负派的，它不是零，所以分母 千万不要等价代换。那不能等价代换怎么办？落必打呀，分子求导是个一，落一次就好了。分母求导应该是口乘派， x， 再额外的乘上一个派，那把负一带进去，这里有一个口乘负派，口乘负派是多少？我也不知道，不知道就画图嘛。而我们说口乘的图像应该是 这样的，那这样的话呢？这个零就是负的二分之派，这个点是负派吧。那很明显，口乘负派好像是打得好，负一的，这个是个负一， 所以说后面这个极限就变成了负的派分之一，应该是负二，再乘上一个负的派分之一，那结果应该是派分之二的，不需要分左右算出来是个常数，所以它也是一个可去间断点，非常好。然后，哎，我们还有一个间断点，就是一这个点，那我们想判断一下一是什么间断点，其实就是要看一下 x 去向一的时候， 这个函数的极限好，还是先把非零常数先提出去， x 去向一，分母是零，这个不能提分子，分子把一带进去，照样是个一，这是个二，它的一乘是个二，而且它和剩余所有部分是不是乘数的关系？是，那二就可以提出去，分子剩了一个一减 x 怎么办？落笔打 x 去向它，只要分子分母求到都好，求的话，连想都不用想，直接落就可以了。分子求到是个负一，分母求到是口剩派 x 再乘上一个派，把一带进去，这里有一个口剩派。口剩派是多少嘞？看一下图， 这个点是二分之派，这个点是派对吧？口算派是个负一，所以说这个时候这个口算派是个负一，那还有个负一，消掉这个极限，是个派分之一，所以前面还有个二，结果应该是 派分之二，不需要分左右算出来这个长数，所以这个间断点应该是一个可去间断点，总共有几个？可去有三个，所以说这个函数是间断点呢？零，正负一全是可去，除了这三个点之外，正负二，正负三，正负四，正负五，全都是无穷间断点。好，继续我们看一下 渐近线，首先我们需要考虑一下什么叫渐近线，所谓的渐近线呢，就是图像无限的往一条直线去靠近，但是永远不相交。你比如说我们之前讲过的一个函数， y 等于 r 摊正 x， 有 没有发现这个函数图像往两边往右的时候，它会无限的靠近于 y 等于二分之派这条线，但是永远不会相交。往左边走的时候，就是 x 往负无穷跑的时候，这个函数就会无限的靠近于负的二分之派，但是永远不会相交。所以说像这两条线就是两条渐近线，而渐近线呢，总共有三种。我们先看一下一渐近线的类型， 这个图像呢，是 y 等于 x 分 之一，在第一象限的这半，只有没有发现 y 等于 x 分 之一的图像，它有两条近点线，一条在这里，它好像也是无限的往这条直线去靠近，但是永远不会相交吧，这条直线的表达是应该是 y 等于零的这种渐近线水平的嘛，所以我们称为水平渐近线。同时有没有发现他还往一条直线去靠近，就是这条线，当 x 从右侧往零跑的时候，这个函数他会无限的往这条 x 等于零这条直线的去靠近。当然呢，这条渐近线是垂直的，所以呢，我们叫它垂直渐近线。 当然呢，有一些老师，他讲的是牵直线进线，到底叫什么？你还得问一下你同学，你的老师到底讲的是垂直还是牵直线，两种说法都行啊，对吧？你，你拿一个铅球拴，拴了一根绳子，让它往下坠，这不就是个和它很像吗？对吧？垂直和牵直都是没有问题的。当然除了这两种之外，还有一种叫做斜渐近线，你比如说 这条线，有没有发现他是往 y 等于 x 无限的靠近，但永远不会相交的。然后呢，斜渐近线我们就不画图了，我们先看一下渐近线应该怎么去求 我们先看一下水平渐近线。首先呢，是水平渐近线的定义，我们是用一个极限定义的，就是如果 x 呢趋向无穷大，你这个 f 的 极限呢，是个 a， 这个 a 是 个常数，这个 a 不 能是无穷大，他必须得是个常数，零也可以，一也可以，反正不能是无穷大。那么只要这个极限是个 a， 我 们就说 y 等于 a， 它是一条 水平渐近线，我们可以通过图像来理解一下嘛，对吧？你比如说 ar 贪正 x 的 图像，当 x 往正无穷跑的时候， ar 贪正 x 的 极限是不是二分之派？也就是说，当 x 趋向于正无穷的时候，你这个函数会往二分之派跑，那 y 等于 二分之派，它就是一条水平渐近线。当然呢，如果他给我一个函数，我怎么样求这个函数的水平渐近线呢？你记住，我现在想求一个函数的水平渐近线，就等同于 让我求 x 趋向于无穷大这个函数的极限，而这个极限怎么算？你记不记得那个表？我把这个表拿过来，这个表呢？咱一点都不懂。 好，我算这个极限，是不是首先要看他需不需要分左右？如果他不需要分左右，算出来是个常数，那说明，比如说这个常数是 a 的 话，说明 y 等于 a， 它就是一条水平接近线。如果是无穷大的话，没有甚无穷，口甚无穷没有。 如果这个极限他需要分左右，那我就分成左右，一个正无穷，一个负无穷，算两个极限吧。好，如果第一种情况，如果是左极限等于右极限，并且都等于一个长数，比如说这个长数是 a 的 话，那么 y 等于 a， 它就是一条水平渐近线。 如果呢，左极限是个长数，比如说这个长数呢，是 a 一， 右极限呢，也是个长数，比如说这个长数是 a 二，但是两个长数不相等。如果放在极限存在性那里，他应该是极限不存在。如果放在间断点那里，他应该是 跳跃间断点。如果放在渐近线这里，那它太牛了，它会出两条渐近线，一个是 y 等于 a 一， 还有一条是 y 等于 a 二。所以呢，我们水平渐近线它的一个计算的原则就是， 你这个极限总共能算出来多少个场数，它就有几条水平渐近线。那好，我考你一个问题，如果左右极限至少有一个为无穷大的话，那么它有没有水平渐近线？答，不一定。因为如果你左右极限都是无穷大，那它确实没出来场数它就没有。但是如果 它左极限是个无穷大，完了，右极限是个常数，那你说它有没有？有，那 y 等于 a， 是 不是就是一条水平渐近线？ 那剩下道理一样的，如果，如果左极限是个常数，完了，右极限是无穷大，那是不是算出来的常数？我们说原则就是你只要算出来常数，它就有水平渐近线。所以说，如果左极限是无穷大，右极限是个常数，那 y 等于 a， 依然是一条水平渐近线，我们就给一个哈 y 等于我们给一个你考的概率最大的一种题。 三 x 减去两倍的 x， 再比上二 x 加上口三 x。 我 想让你求一下这个函数的水平极限，那我需要求这个函数的水平极限，就相当于让我算一下 x 趋向无穷大这个函数的极限吧。你把无穷大带进去，这个极限是个无穷比无穷。我们说无穷比无穷型极限，方法是抓大头，删掉小的，保留分子分母最大的。你想一下， 这里是个无穷大，这里是个甚无穷。无穷无穷是不是在正负一之间来回正荡的？那前面是个无穷大，后面他乘了个二，那就在正负二之间来回正，他是不是太小了？你别管他正到哪里他都太小了，所以这个可以直接把他忽略不计，太小了，分母 同理，口乘把它删掉，它太小了，不用管它，所以最终结果就剩下它了。 x 约掉，结果是个二分之三，我是不是算出来是个常数呀？所以说 y 等于二分之三，它就是一条水平渐近线。 问你个问题啊，如果你在算这个极限的时候，你需要分左右，结果左极限算出来是个一，右极限算出来是个负一。我说如果，那么这种情况下，我有几条水平接近线？打得好两条，一条是 y 等于一，还有一条是 y 等于负一， 两条能听懂吗？好，下面我们再看一下垂直渐近线。什么叫垂直渐近线？我们还是画一个图呢，来理解一下。比如说这这里呢有一条线，这条线呢是 x 等于一吧。那如果有一个函数，它无限的往这条直线去靠近，那永远不相交的话，那么这个 x 等于一，是不就是这个函数的一条垂直渐近线？你看这个垂直渐近线，它指的是不是当 x 往一跑的时候，我这个函数图像得是无穷大，那么这个时候 x 等于一，是不是我的一条垂直径径线？所以说垂直径径线的定义是，当 x 往一个点跑的时候，你这个函数极限它是个无穷大，那么 x 等于 a， 它就是一条垂直直径线， 你考虑一下它的几何意义，能懂吗？好，紧接着我们看一下方法，我怎么求垂直渐近线，它和水平不太一样，你的水平渐近线，你直接让 x 去向无穷大，求这个极限就可以了。但是因为垂直渐近线它指的是 x 往一个点去跑的时候，你这个函数的极限得等于无穷大。所以呢，你要求垂直渐近线的话，你得先把这个点找到，而这个点 第一步你要先找一下这个点，这个点怎么找呢？跟间断点是一样的方法，找无定义点，也就是分母为零的点，其他点先不用考虑，期末考试不会考到这么多的，就找分母为零的点。然后紧接着第二步，你要判断一下你找的这个点， 它到底是不是垂直渐近线。比如说，第一步你找点，你找到了 x 等于 a 这个点，我怎么判断它是不是垂直渐近线？就是算一下 x 接近于 a f 的 极限，而这个极限怎么算？是不又回到了刚才那个表，这个表它出来，我们需要看一下这个极限需不需要分左右，如果这个极限需要不需要分左右，你算出来是个常数。我问你， 它是不是垂直渐近线？不是，为什么呀？你的垂直渐近线是往 x 往这个点跑的时候，你这个函数它就往无穷大跑，就这个函数极限得是个无穷大。我才是垂直渐近线，但是你只要算出来是个长数。我可不是，但是这个是， 你算出来无穷大了，说明它就是垂直渐近线。谁呀？谁是啊？ x 等于 a 吧？ x， 你 看 x 等于 a， 它是 垂直接近线吧。好，如果算出来是个森无穷或者口森无穷呢？你森无穷？口森无穷，他可不是无穷大，他是在正负一之间来回正的，能懂吗？啊？如果需要分左右，完了，左右极限是个常数，这个肯定不行，因为我得算出来是个无穷大嘛。所以说第三种情况下是可以的。所以呢， 垂直渐近线它的原则呢？跟水平渐近线不太一样。你水平渐近线的原则是算出来几个场数就有几条水平渐近线，而你垂直渐近线呢，是你只要算出无穷大，它才是。就是不管你需不需要分左右，你就算是分左右，你得至少算出来一个无穷大，它才是 垂直渐近线。好，我们看一下例二，我让你求一下垂直渐近线，我们就给一个题， y 等于 x 的 平方减一分之， x 的 平方减 x， 再减去个二。好，我先给它因子分解一下，因为我要找分母为零的点嘛。 好，分母呢，是 x 加一乘 x 减一，这是一个平方差公式，分子呢？十字相乘法是 x 减二，再乘上一个 x 加一，这个时候你可不要把它约掉哈。你只有在计算的时候，就你一会要算这个极限了。你在算的时候，你在计算的时候，你可以约分，你可以化减，但是函数 你，你是分解是可以的，你约分是不行的，对吧？你要把它约掉之后，这个函数就不一样了。你原来这个函数它定义域 x 是 不能是负一的吧？呃，不能是一的吧？ 哎，等等，等一下，如果把它约掉之后，你原来这个函数的定义域 x 是 不能是负一的，但是你只要约掉之后，它剩下了 x 减一，分之 x 加二，你这个函数它的定义域 x 就 可以是一了。所以只要约分之后，这个函数就不一样了。所以函数不要约分，能懂吗？ 那我要求它的垂直渐近线，我是不是得先找，先找点？先找什么点的？找分母为零的点。分母为零的点有两个，一个是负一，一个是一。那我想看一下负一和一，它是不是垂直渐近线？ 我想看一下负一是不是？我就得求一下 x 趋向于负一这个函数的极限，你现在在计算，所以你才能约分。把它约掉之后，这个极限就剩下了， x 减一分之， x 减二，你把负一带进去，分母是个负二，分子是个负三，结果是个二分之三。好，负一它是不是垂直径径线？不是，你算出来无穷大了吗？你没算出来，所以它不是垂直径径线。还有一个 x 等于一，那我想看一下 x 等于一，它是不是一条 垂直渐近线？那就是要求一下这个极限好，还是可以约分，还是可以把它约掉，约掉之后，这个极限就变成了，变成了它，然后你代数之后，它并不是个未知数，它可以直接代数出结果。一带进去，分子是个负一，分母是个零，这个结果是无穷大，算出来了吧。所以说一它就是一条垂直线， x 等于一，它 是一条垂直线。你看这条垂直的线，它的表达式是 x 等于一个常数。你不要写错， 水平渐近线是一条水平的线，它的表达式是，比如说这个点是个三的话，那表达式是 y 等于一个常数。好，最后我们看一下斜渐近线，斜渐近线是一条斜着的直线嘛，而我们说斜着的直线，它的一般式是不是 y 等于 k， x 加 b。 所以 说求斜渐近线，其实就是求这个 k， 然后再求这个 b 的， 而这个 k 怎么求？记住，求 k 就是 除以 x， 求一个极限，求出来这个极限就是这个 k， 而这个 b 怎么求？就是让这个函数减去 k x， 把这个函数超过来，减去 k 倍的 x， 求这个极限。当这两个极限都存在的时候， k 和 b 都有了，我才有 斜渐近线。如果这个 b 算出来是个无穷大，它不存在吧？那这个 b 不 存在，那不就说明斜渐近线没有吧？所以你要记住，只有当这个 k 和 b 你 都能算出来是个常数的时候，我才能有斜渐近线。我们举一个例子，你比如说让你求一下 f， x 呢？等于 x 的 平方减去三 x， 加上二分之两倍的 x 三次方。我让你求一下这个函数的斜极限线，就是让我求 k 和 b。 好， 这个 k 怎么求？就是拿这个函数和 x 做个除法，求这个极限，也就等于 x 趋向无穷大，他除以 x 之后， 分子这个 x 三次方是可以约掉一个，剩下 x 一个平方，而这个极限无穷比。无穷抓大头，删掉小的，保留大的，结果应该是二的。 好，这个 k 求出来之后呢？我们求一下这个这个 b， 这个 b 怎么求？哎呀，就是拿这个函数减去 k x 嘛，拿一下这个函数，让它减一个 k， x， 求一下这个极限，也就等于 x 趋向无穷大，这个函数把它拿下来。然后呢，再减去，再减去 k x， k 是 个二吧，减去二 x， 你 只需要算这个极限就可以了。好， 自己通分一下算极限，能通分则通分能化，成分式则化成分式能有理化，则有理化。这就是算极限的一些思维定式，能懂吗？通分完之后呢，这个极限应该是 x 方减去三 x 加二分之六 x 方，再减去个四 x， 还是一个无穷比，无穷抓大头分子把这个删掉，分母把这个删掉，这个极限是个六，而 k 和 b 是 不都存在， 你都算出来是个常数了呀？所以说它有没有斜进线？答案是有的，并且斜进线是谁？就是 y 等于 k x 加 b 的。 以上就是我们间断点和间断线的所有类型，我们下期视频再见。

好，看一下我们高等数学上期末救命课的第八课，不定积分。那我们在正式的开始讲积分之前，先问大家一个问题， x 方的导数是谁瞧不起谁呢？二 x， 对 吧？好，我再问 谁求导是二 x？ 你 听明白我的问题，我现在告诉你，二 x 它是求导之后的一个式子。我问你，它求导之前长什么样子？ 也就是到底是谁的导数等于二 x 瞧不起谁呢？不是 x 的 平方吗？好，你确定吗？你想一下， x 方的平方加一，他求导是不是二 x， 他 求导是不是 x 的 平方的导数再加上一的导数， x 平方的导数呢？是个二 x， 那 一的导数是个零，那他求导之后是不是依然是二 x？ 不 止如此， x 的 平方减一， 求导之后是不是也是二 x？ 那 甚至 x 的 平方加六，求导之后是不是也是二 x？ 所以呢，你会发现一个问题，导数的结果一定是唯一的。但是如果我告诉你，他求导之后是二 x， 那 他求导之前结果好像不唯一，好像有无数个。你发现了吗？就是 x 的 平方，以及你给 x 的 平方后面加减一个常数， 导数都是二 x。 所以呢，二 x 求导之前，它应该有无数种结果，而每一种它都有一个名字，叫做一个圆函数，它求导之前的这个函数叫做圆函数。一个函数呢，应该有无数个圆函数，我们把这无数个圆函数统称为二 x 的 不定积分，记作二 x 的 不定积分， 它结果是多少？你有没有发现，二 x 的 所有的圆函数，它都是 x 的 平方，再加减一个常数吧。换句话说，只要是 x 的 平方后面随便的加减一个常数， 它都是二 x 的 原函数，那么我们可以把所有的原函数统一的写为 x 的 平方，再加上任意常数 c， 这个 c 它是有名字的，人家叫做任意常数， 而 x 的 平方加 c 这个东西，自然就可以表示所有原函数，也就是二 x 的 不定积分。而我们要想把一个函数的积分算出来，首先需要两个小工具。你还记得我们在求导那里 也讲过，两个小工具，一个是导数的四则运算法子，还有一个是导数的公式，而积分这里呢，一样也是四则运算法子和积分公式。我们先看一下他的第一个小工具，积分的四则运算法子，积分的四则运算法子呢？他不比导数，导数呢，加减乘除都有，但是积分 只有加减，我们说框框加减三角的不定积分，他就等于框框的不定积分，还有一个 k 倍的框框的不定积分，这个倍数可以提出去，变成 k 倍的 单独对框框的积分，其他的就没有了。两个式子相乘的积分没有这个公式，两个式子相处的积分也没有这个公式， 只有加减，还有倍数。那你比如说这个，不要记这个不定积分，根据积分的四则运算法则，他应该可以拆成三个不定积分，而拆成三个不定积分之后，我们说积分的倍数可以提出去，那么这三个积分各自可以把他们的倍数提出去，变成 这个样子。那再往后走，这个积分等于谁？这个积分等于谁，而这个积分他又等于谁？所以你会发现我们只有四则应用法则，是没办法把这个积分彻底算出来的，所以呢，还需要第二个小工具，积分的公式。好，我们带着大家呢，重新写一下，也就相当于做了一个代位。好，首先第一个公式，常数的不定积分，不要着急，常数的倒数是谁？ a， 它是一个常数，它的倒数应该是零的，而它的不定积分是谁？你要先搞明白一个不定积分的构成，它的构成一定是先写一个圆函数，再加上一个 c 的， 而这个圆函数就是这个东西，它求导之前的样子，而 a 求导之前长什么样子，换句话说，谁求导之后 是一个常数 a 打得好，应该是 a 倍的 x， 这个就是 a 的 一个圆函数，然后在此基础上再加上一个任意常数 c， 这个就是不定积分。特别的你看一下这个是谁， 这个积分号里面没有写东西，没有写东西默认是一的，而谁求导之后是一呢？应该是 x， 也就是说一求导之前应该是 x， 但是因为它是一个不定积分，所以后面要加上一个任意常数 c。 好， 第二组，密函数的不定积分， x 的 a 次方的不定积分。好，现在我们先考虑一个问题，谁求导之后是 x 的 a， 次方应该是 a 加一分之一，被的 x 的 a 加一次方。我们说密函数求导的话，是不是次密往前扔，然后次密减一，所以它的导数 应该是前面 a 加一分之一，这个是倍数，不要管，只是对它求导，那么它求导应该是次密往前扔，然后呢，再给次密 减去个一，也就是 a 次方，然后这两个呢，可以约掉，所以说它的导数就是 x 的 a 次方，换句话说， x 的 a 次方的原函数就是它，然后在此基础上加上一个 c， 这个就是不定积分的公式。而记忆的方法呢，就是次密加一，取倒数放前面。 你比如说 x 三次方的不定积分，这是个密函数，而密函数的公式呢，是次密加一四次方，然后呢，把这个四取倒数放前面， 这个就是密函数的积分公式。特别的 x 的 不定积分应该是二分之一， x 的 平方，再加上一个 c， 这个特别重要，要直接记住。好，继续。还记得导数那里有两种函数，需要先转化成密函数之后再求导，而积分这里是一样的， 有两种函数需要转化成密函数之后再积分，分别是根号和倒数。如果这个题呢，让我算一下。 n 次根号下 x 的 m 次方， 他的不定积分的话，我们是没法直接求的，必须先把它转化成密函数，然后用一下密函数的积分公式，次密加一，取倒数放前面，次密加一，然后呢，给他取倒数放前面，再加上一个 c。 同理，倒数是一样的， x 的 a 次方分之一的不定积分，他就是 x 的 负 a 次方，而 x 的 负 a 次方呢，也是一个密函数。那密函数的积分公式呢？是给次密加一，然后取倒数放前面。特别的，有几个比较重要需要直接当公式呢？是给次密加一，然后取倒数放前面。特别的有几个比较重要需要直接当公式呢？是根号， x 应该是 x 的 二分之一次方， 它是个密函数，那么积分应该是给次密加一，然后呢再取倒数放前面，二分之一加一呢，是二分之三的，然后取倒数放前面。所以说根 x， 它的不定积分应该是三分之二倍的 x 的 二分之三次方再加上一个 c， 然后第二个 x 的 平方分之一的不定积分。直接记住， 等于负的 x 分 之一再加 c。 第三个根 x 分 之一的不定积分，谁求导是根 x 分 之一啊？我们说根号 x 的 导数 应该是两倍的根号 x 分 之一，那么两边同时乘上一个二，那两倍的根 x 的 导数自然就是根号 x 分 之一。所以说根 x 分 之一，它的不定积分就等于两倍的根 x， 再加上一个 碎了。好，第三组公式， x 分 之一的不定积分。按照第二组公式，倒数应该是先转化成密函数，之后再求积分。但是 这个公式的 a 是 不能取一的，因为如果 a 取一的时候，它是 x 分 之一，那这里分母就变成了零，我们说分母是不能为零的，所以当 a 取一的时候呢？这个公式是不成立的。那如果 a 取一，也就是 x 分 之一，它的不定积分是谁呢？应该是 lon x 的 绝对值，再加上一个 c。 好， 第四个 e 的 i 克斯特方，它的不定积分。谁求导是 e 的 i 克斯特方呢？哎，应该是它自己 再加上一个 c。 第五个 a 的 i 克斯特方，它的不定积分应该是 a 的 i 克斯特方，它的导数应该是 a 的 x 方。再乘一个 long a， 是 吧？那谁求导是，它应该是要再除一个 long a 就 可以了，继续。第七个乘 x 的 不定积分，它可不是口乘 x， 口乘 x 的 导数是负的乘，所以要额外的填一个符号。乘 x 的 不定积分应该是负的口乘 x。 那 第八个口乘 x 的 不定积分呢？等于乘 x 加 c。 继续。不好意思，这个序号乱了哈，这是第六个，第七个，第八个贪婪它 x 的 不定积分等于负的 lowen 口剩的绝对值，再加上一个 c 对 应的口贪婪它 x 的 不定积分等于正的 lowen 剩 x 的 绝对值加上一个 c。 还记得我们有一个导数公式是贪婪它 x 的 导数 等于 second 方 x， 所以 说谁求导之后是 second 方，应该是贪正的，那 second 方的原函数是谁，就是他求导之前是谁，应该是贪正。所以说 second 方 x 的 不定积分，它原函数就是贪正 x， 然后再加上一个 c 就 可以了。然后和它对应的 cosine 的 方 x 的 不定积分应该是等于负的口摊正的 x 再加上一个 c。 继续，第十个 second x， 它的不定积分应该是等于零绝对值 second x 加上摊正的 x 绝对值加上一个 c， 对 应的 cosine x 的 不定积分和它长得很像， 应该是零 cosine x 减去口摊正 x， 再加上一个 c。 当然这个公式呢，可以把符号提出去，就是可以把这里写成一个加，这里给上一个符号，这两个公式都可以。然后第十一个 一加 x 方分之一的不定积分，谁求倒之后是一加 x 方分之一应该是 ark 摊正 x， 也就是说一加 x 方分之一，求倒之前应该是 ark 摊正 x， 再加上一个 c。 第十二个 谁求倒之后是根号下一减 x 方分之一答，应该是阿克森 x， 也就是根号下一减 x 方分之一，求倒之前就是阿克森 x， 再加上一个 c。 掌握这十二个就可以了。下面我们做几个题，先看一下。第一个，我要你计算这个不定积分，首先我们肯定是需要先用一下四则运算法子，先把它打开它，加它，减它的不定积 分，再加上第二项根号 x 分 之三的不定积分，再减去口乘 x 的 不定积分。紧接着倍数 可以提出去，所以第一个积分把二提出去变成了他，然后第二个积分呢，可以把这个三提出去变成他。第三个积分没有倍数，那么下面要想把这三个小积分算出来，应该得上积分公式。好， x 三次方的积分是谁？ 这是密函数吧，密函数的积分应该是给次密加一，取倒数放前面，然后第二个根号 x 分 之的不定积分，直接记住两倍的根 x， 然后口乘 x 的 不定积分呢， 是正的 x， 所以 最终结果就变成了二分之一倍的 x 的 四次方，加上六倍的根 x， 再减去一个 x。 但是不要忘了，不定积分计算完之后，一定要在后面再整体加上一个 c。 好， 下面我们给上一个注，积分计算的三个基本原则。首先第一个基本的原则就是积分呢，能拆则拆，我们举个例子， 如果这个积分它是 a 倍的 b 加减 c， 让我求它的不定积分。不定积分里面这个符号叫做被积函数，也就是被积函数。有没有发现它好像可以拆开它是不是可以写成 a、 b， 然后再加减 a、 c 的 不定积分？而我们说不定积分的四则应用法则说啊，它加减它的不定积分，就可以写成 a、 b 的 不定积分，再加减 a， c 的 不定积分。好，第二个原则，如果这个积分有倍数的话，这个倍数能提 得题。比如呢，我们举一个例子，我要你计算一下这个不定积分，有没有发现被积函数可以拆开，它的相乘是 x 的 三次方，然后呢，再加上它的相乘是四倍的 e 的 x 这角积分能拆则拆，而拆完之后呢？哎，有没有发现有一个四倍的倍数能提则提，然后前面 x 三次方的不定积分， 应该是给次密加一，取倒数放前面四分之一倍的 x 的 四次方。好，再加上这个倍数。不要管，它的不定积分应该是 e 的 艾克斯方，然后再整体加上一个 c， 这个就是我们的原则。三、计算过程不加 c， 最后整体加个 c。 这就是为什么刚才这个积分拆成两个之后，我在计算他的不定积分的时候，我并没有给他加 c， 我 在计算他的不定积分的时候呢，也没有给这个结果加上一个 c， 而是把他们的积分都算完之后，后面整体加了一个 c， 能看懂吗？好，什么叫最后？ 最后？并不是只单纯的最后一步，而是当你在计算一个积分的时候，你算着算着发现你的积分号没有了，你积分号没有之后，你要去化解这个结果的，能懂吗？但是你的最后一步就是积分号消失的那一步，我们举个例子，这个例子你不要记，比如说这个不定积分，我们说积分的原则是能拆则拆，倍数能提则提。好，首先这个积分呢？ 它可以拆开，是吧？它俩相乘的不定积分，再加上它俩相乘的不定积分，就是 x 的 不定积分，那么再往后走，这个很明显我们是会的。 x 的 不定积分是不是二分之一 x 的 平方，所以结果就是前面这个积分再加上二分之一 x 的 平方后，问你一个问题，这一步要不要加 c？ 答，不要，为什么？因为我们还有原则三，计算过程是不要加 c 的， 最后一步你再整体加上一个 c， 什么叫最后一步？就积分号消失的时候，你再加上一个 c， 而这一步他可不是最后一步，你前面这个老六你还没有算呢，他有积分号，这一步积分号并没有消失，所以他并不是最后一步，你这里是不能加 c 的， 能懂意思吗？所以呢，下面你要把前面这个老六给他算出来，比如说他算出来是条狗， 然后再加上二分之 x 的 平方，那这一步有没有发现，从这一步到这一步，积分号突然就没有了，没有了说明他就是最后一步，你再加上一个 c， 当然我们有可能后面要继续把这个结果呢，化简一下，合并一下同一项，那再往下走，并不是在计算积分，而是在化简，你就一直把这个 c 带着就可以了，能懂意思吗？那现在有一个问题，这个积分怎么做？ 有没有发现你不会，所以呢，我们只有四则算法，则加积分公式呢？是不够的，需要额外的补充。积分法四个方法，首先第一个凑微分法，第二个分布积分法，第三个是第二类换元法当中的 根式代换，简称根代。第四个三角代换，简称三角代。那么下面我先看一下第一个积分法，凑微分法。好，先看一组预备知识，我们这个预备知识的名字呢？叫做微分的三个运算规律。什么叫微分呢？ d 框框就是微分， d 框框指的就是框框的微分，你比如说 d 口乘 x， 它指的就是口乘 x 的 微分。好，微分的第一个运算规律叫做拿进求圆，拿出求导。什么叫拿进求圆，拿出求导呀？就是 d 框框这个东西， d 的 右边我们称为里面， d 的 左边我们称为外面，能懂吗？好， d 框框，它这个结果就等于框框的导数再加一个 d x， 你 看一下这个公式，它从左边 到右边，就是从这里到这里，他相当于干了一件什么事情，他相当于把这个框框拿出去了吧，而拿出去有没有发现他变成了导数，这个叫做拿出求导。也就是说你从地的里面，也就是地的外面，也就是地的左边就是你，你把一个柿子 从地的右边拿到左边，我们是需要求导的，然后你再拿着这个柿子从右往左看，就是从这一步到这一步，他是不是相当于把这个外面这个东西给他拿进去了？而拿进去有没有发现 它可不是框框一撇了，它变成框框了，也就相当于求了一个圆函数，这个叫做拿进求圆。也就是你把一个东西在 d 的 外面拿到 d 的 里面，我们是需要求圆函数的。 我们举个例子，你比如说 x 的 平方 d， x， 我 想把这个平方拿到 d 的 里面去，就是拿到 d 的 右边去，它不能直接拿过去，你不能直接我，我直接写成 d， x 方，不可以。你要是想把它拿到 d 的 里面去，你得求圆函数，而 x 的 平方，它的圆函数就是，谁求到之后是 x 的 平方呢？应该是 三分之一倍的 x 的 三次方，这个公式才是对的。你再比如说 d 根号 x， 我 想把这个根号 x 呢拿出去，你拿出去，你不能平白无故的就把它拿出去，这样是不对的，它俩是不相等的， 拿出去你得求导，所以它结果并不是直接拿出去，而是拿出去之后，你得给他求个导。而根号 x 的 导数，我们让大家记过，应该是两倍的根 x 分 之一，这个公式才是对的。好，以下 这几个公式需要直接记住，你总共需要记住七个，你就算是记不住，你也得对它足够熟练，能懂吗？ sin x d x， 我 想把这个 sin x 拿到 d 的 里面去，我们说得求元函数，而 sin x 的 元函数呢，是负的口乘 x， 而口乘 x， 我 想把它拿到 d 的 里面去，会变成它的元函数。我们说口乘 x 的 元函数 应该是肾 x。 好， 继续。肾 a x d x， 我 想把它拿到 d 的 里面去。肾 a x， 它的原函数是谁就是谁，求导之后是肾 a x， 这个 a 是 个常数，谁求导之后是它呢？应该是负的 a 分 之一倍的口肾 a x， 那 同理。口肾 a x d x， 我 想把它拿到 d 的 里面去，它会变成谁呢？ 它会变成口肾 a x 的 原函数。废话，我知道，我就是问你，它原函数是谁？哎，它原函数可不是简单的肾 a x 求导，它用的是肾框框的 导数的模板，而乘框框的导数呢，是口乘框框再额外的乘上一个框框的导数，所以说乘 a x 的 导数应该是口乘 a x， 再乘上一个 a， x 的 导数是个 a， 它会多一个 a， 所以呢，你要乘以一个 a 分 之一，把它多出来的 a 呢？给它消掉。 那 e 的 x 四次方，我想把 e 的 x 四次方的原函数就是 e 的 x 四次方。好，那我问你， e 的 x 四次方， 我想把它拿到 d 的 里面去，它的原函数是谁？答，应该是 a 分 之一倍的 e 的 x 次方，那 e 的 负 x 次方 d x， 我 想把它拿到 d 的 里面去， 它的原函数是谁呢？哎，应该是负的 e 的 负的 x 次方，这样才对。所以呢，把一个东西拿到 d 的 里面去，你不能直接拿的，你要求它的原函数好，这个是我们微分算的第一个规律。好，第二个规律，你考虑一下这个问题， 这个不用记哈，你看懂就行。 d x 的 平方是谁？我想把平方拿出去，得求导吧，所以结果应该是 x 的 平方的导数再加一个 d x， 而 x 方的导数呢，是二 x， 所以 它俩是相等的。你再比如说 d x 方加一， 它是谁？它就是 x 方加一的导数，再加一个 d x 吧，你把它拿出去，它要求导的，而 x 方加一的导数，它还是二 x， 有 没有发现它俩相等，然后它俩相等，然后没有完，它俩也相等，那它俩呢？ 哎，应该也是相等的。好，我们看一下微分的第二个规律， d 的 里面可以随意的加减长数，也就是 d 框框这个东西，框框这个位置叫做 d 的 里面，能懂吗？而 d 的 里面，它可以随便的加减一个长数，并且保证和原式相等，他们是相等的。我们举个例子，你比如说 x d x， 我 想把这个 x 拿到 d 的 里面去，得先求圆函数吧，而 x 的 圆函数，那么都知道应该是二分之一倍的 x 的 平方，而拿进去之后， d 的 里面就变成二分之一 x 的 平方，我可以随便的给它加减一个长数，我加上一个三行不行，我减去个四行不行，没有任何的问题，能懂意思吧？ 好，这个呢，是我们微分的第二个运算规律。好，最后一个 d 的 里面呢，就是 d 的 这个右边，可以随便的加减长数， 你不管怎么加减乘数，它跟原原来这个式子是相等的，但是虽然 d 的 里面可以乘上一个长数，但是你乘了长数之后，它跟原来可就不相等了。所以呢，我们需要在外面再乘以它的倒数，然后保证相等。你就比如说 d 框框这个东西，我想在 d 的 里面给它乘上一个长数，比如说，哎，我想乘上一个 k， 但是你乘上 k 之后，它俩就不相等了，所以呢，要额外的在外面再乘上一个 k 分 之一，这样的话它俩能抵消掉，才能保证和原式相等。我们还是给大家举个例子，你比如说 x d x， 我 想把这个 x 拿进去，得求圆函数，而 x 的 圆函数呢，是二分之一 x 的 平方。好，然后我想把这个二分之一呢给它干掉，我怎么干？我可以在 d 的 里面给它乘上一个二，只是你不能平白无故的乘一个二，它俩是不相等的，所以说外面还要再乘上一个二分之一的，那这样的话，这个二和二分之一可以抵消掉，结果就变成了二分之一倍的 d x 的 平方，能看懂吧？其实从这一步到这一步，你也可以看成是我直接把这个倍数 提出来了，你看，我直接把这个倍数提出来了，这样理解也是可以的。好吧，好，我们学习了微分的运算规律之后，问大家一个问题，甚 x 的 不定积分是谁？ 刚讲过的公式，它结果是不是负的口乘 x 再加上一个 c？ 啊？好，继续乘二， x 的 不定积分是谁？他等不等于负的口乘二 x 再加上一个 c？ 答，不对的。所以你会发现只有积分公式好像是不太够的。所以呢，继续我们看一下积分公式。积分模板是不用单独记的，你只要记住积分公式，积分模板自然可以推出来， 它就是积分公式里的所有的 x 全部都换成框框，就可以得到我的积分的模板。我们拿几个重要的给大家举个例子，你比如说密函数的积分 x 的 a 次方，它的不定积分应该是给次密 加一，然后呢，取倒数放前面，然后再加上一个 c， 这个是积分公式。而由积分公式要想改成积分模板，就是把所有的 x 全都改成框框。好，我问你一个问题，这个积分公式 它总共有几个地方有 x， 换句话说，它总共有几个 x， 在 这个公式当中，它总共出现了几个 x 呢？你要敢说两个，我就杀了你。这是不是还有一个？所以由它推出来的积分的模板应该是，你把这个 x 全都改成框框，应该是框框的 a 次方 d 框框，结果呢，等于 a 加一分之一倍的 框框的 a 加一次方，再加上一个 c。 那 特别的，你还记得我让你记过几个公式？ x 平方的 x 平方分之一的不定积分 是不是负的？ x 分 之一再加 c， 然后根号 x 分 之一，它的不定积分是不是应该是等于两倍的根号 x 加 c， 这个我是让你当成公式记住的，那这样的话，由这两个公式我就可以推出来两个模板，你把 x 全部都改成 框框，你会得到框框的平方分之一， d 框框，它就等于框框分之一，然后呢，再加上一个 c， 然后第二个公式改成模板之后，应该是长成这个样子，但是要注意 d 的 后面，它也得变成框框。好。第二个公式，我们说 x 分 之一的不定积分是不是 l n x 再加上一个 c， 那 由它推出来的一个模板就是框框分之一， d 框框 就等于，不好意思，有个绝对值哈，就等于 l n 框框的绝对值，再加上一个 c， 它就是把所有的这个 x 全部都改成了框框而已。那你再比如 e 的 框框次方， d 框框是谁，它就等于 e 的 框框次方再加上一个 c， 那 e 加框框的平方分之一 d 框框呢？我们说 e 加 x 方分之一，它的不定积分是不是二可摊成 x， 那 你把 x 全都改成框框，就会得到我们的积分模板后面就不写了，所有的积分公式都可以对应的推出一个积分模板。好，下面有了这些预备知识之后， 我们就可以正式的开始讲凑微分了。首先我拿到一个积分之后，什么时候可以用凑微分这个方法去做，也就是它的适用的范围。我们说凑微分的适用范围呢？是首先它的被积函数 是两个式子相乘没完，并且你把这两个式子其中的一个拿到 d 的 后面去，也就是你把其中一方拿到 d 的 里面去之后，它会变成另一方。 什么意思？你比如说我们举个例子吧，你比如说这个不定积分一加 x 方分之一被的阿克贪占的 x， 你 看一下这个不定积分，我好像知道一加 x 方分之的原函数吧，它原函数是不是阿克贪占的 x， 那 么它拿到 d 的 里面去之后，我们说拿进求圆，拿进去之后，你的被积函数就剩下了阿克贪占的 x， 而你把这个一加 x 方分之一拿进去之后，它会变成阿克贪占的 x， 这个就叫做将其中一方拿到 d 的 里面去，就会变成另外一方。 它俩一样啊，或者是另外一方的一部分。我们还是举个例子，你比如说被积函数呢？是口乘 x， 再乘上一个 e 的 乘 x， 那 这个时候口乘 x 原函数我好像知道，那么把它拿到 d 的 里面去之后，会变成它的原函数，被积函数 就剩下了 e 的 乘 x 四方。因为你不是把它拿进去了吗？拿进去被积函数就没有它了吗？拿进去之后，它的原函数应该是乘 x， 这个就叫做将其中一方拿到 d 的 里面去之后，它会变成 另外一方的一部分，或者是另一方一部分的常数倍。我们还是举个例子，你比如说他让我计算 x 乘以一的 x 方次方的不定积分，我们好像知道 x 的 原函数，那你把它拿到 d 的 里面去之后， 它的原函数是不是二分之一 x 的 平方？那你看你将其中一方拿到 d 的 里面去之后，它会变成另外一方一部分的常数倍，二分之一倍吧，那么如果这个条件满足的话，说明这个积分它是可以用 凑一分的，那凑一分具体应该怎么操作，我们看一下方法。分三步，首先第一步，将其中一方拿到 d 的 里面，那到底把谁拿到 d 的 里面？我们说你知道谁的原函数，你就把谁拿进去。好，紧接着第二步， 将原函数彻底凑成被积函数的某一部分，但是它具体怎么样才能彻底的凑成被积函数的某一部分呢？我们用的是给大家讲过的微分的运算规律，就是对于一个微分而言呢，它这个 d 的 里面首先可以随意的加减一个常数， 然后第二个运算呢，是 d 的 里面可以乘上一个常数，但是不要忘了，你要是想在 d 的 里面乘上一个常数的话，你得在外面再乘以它的倒数，保证相等才行。也就是说你想把 d 的 里面彻底凑成倍积函数的某一部分呢？你只有两种运算，一个呢是加减常数，另外一个呢是乘以常数。然后紧接着第三步，你把这个框框画出来之后， 确定一下它到底用的是哪一个积分模板。所以呢，凑一分的题呢，其实就分三步拿凑，然后确定模板。好，我们看一下例题，先看一下第一个题，我让你计算一下 x 乘以 e 的 x 方加三的不定积分。我们说凑一分就分三步，首先第一步 是拿，你要把其中一方拿到 d 的 里面去，好，我拿谁，你知道谁的原函数你拿谁？ e 的 x 方次方加三，你看这个东西，你知道它原函数是什么？你不知道，但是你知道 x 的 吧？现在我们第一步把这个 x 拿到 d 的 里面去，它就会变成二分之一 x 的 平方， 这是第一步拿，拿完之后紧接着第二步凑，你要通过加减乘除、乘以乘除两个运算，把 d 的 里面彻底的凑成被积函数的某一部分。好问大家一个问题，在加减乘除、乘以常数这两个运算的加持下，你最多能把 d 的 里面变成被积函数的哪一部分？ 应该是可以变成 x 的 平方加三吧，所以你看好我具体怎么凑。 e 的 x 方加三，然后 d 我 首先在 d 的 里面呢，我先乘上一个二，我乘以二之后，这个二分之一是不是消掉了？ 但是呢，你不能平白无故的乘上一个二，你得再从外面乘上一个二分之一，把它消掉，然后紧接着我们说 d 的 里面可以随意的加减乘除，我可以加上一个三，那这样的话，我就通过加减乘除乘除，把 d 的 里面已经彻底凑成了被积函数的某一部分。然后紧接着第三步 画一下框框，凑一下模板，画框框的时候呢，你先把 d 的 里面给我框出来，然后在背记函数中找到和它一样的部分，这个就是我要的框框，而 e 的 框框四方， d 框框结果是不是 e 的 框框四方？然后呢，再整体加上一个 c 就 可以了。那再比如说第二个，好，三步走，首先第一步 先拿你把谁拿到 d 的 里面去 x 方吗？它原函数是不是应该是三分之一倍的 x 的 三次方？然后紧接着第二步 要凑，要通过加减乘除，乘以乘除，把 d 的 里面彻底的凑成倍积函数的某一部分。好，你最多能把它变成谁？你能把这个口算给凑出来吗？你凑不出来的，因为你只能用两种算法，加减乘除乘以常数，那这样的话，你最多就可以把 d 的 里面凑成这个式子， 发现了吗？好，具体怎么凑？首先你得先把这个倍数的凑出来，这三分之一倍的，而这是两倍的，所以呢， d 的 里面你得给它乘上一个六。好， d 的 里面呢？我先乘上一个六，但是不能平白无故的乘一个六，你得在外面再给个六分之一，把这个六给他抵消掉，这样的话才能保证这两个式相等， 懂吗？好，紧接着这个结果就变成了 d 后面应该是两倍的 x 的 三次方。然后紧接着我们说 d 的 后面呢，可以随意加减一个常数，我减去个一，这个式不变吧，不变的话，哎，现在我就已经把 d 的 后面彻底的凑成了被积函数的某一部分了，你把它给我框出来，那这样的话，我们就可以用口乘筐筐 d 筐筐这个模板，结果应该是乘筐筐筐，再 加上一个 c， 所以 结果应该是六分之一倍的乘筐筐，再加上一个任意常数 c。 你 再比如说第三个，我让你计算一下 e 的 x 四方， 然后呢，再乘上一个根号下四减去三倍的 e 的 a 和四方，你看一下这个不定积分。好，首先第一步先拿你把谁拿到 d 的 里面去，很明显是个 e 吧，这个 e 它的原函数就是它自己拿进去之后，你通过加减乘除，乘以乘除。我问你个问题，你能不能把这个根号给凑出来？ 你凑不出来，你最多能把根号里面的这个式子给凑出来吧。好，怎么凑？你得先乘上一个负三，然后呢，再加上一个四，所以呢，我首先在 d 的 里面先给他乘上一个负三， 当然呢，如果你要是在 d 的 里面乘上了一个数，你需要在外面再乘上这个数的倒数，保证和原式相等。然后紧接着我们再给 d 的 里面呢，再加上一个四，加减长数随意，这个式子都不会变，能懂吗？那这样的话，我们就可以把 d 的 里面彻底的凑成了被积函数的某一个部分了。然后紧接着把框框画出来，上一个模板，他用的应该是 根号框框 d 框框。这个模板好，它等于谁？我忘记了，忘记了，没有关系，现场推。我们说积分的模板是全都是由积分公式推过来的，如果是根号 x 的 话，它的不定积分应该是等于根号 x 呢，应该是 x 二分之一四方，它的不定积分应该是指数 次密这个地方加一是二分之三，然后呢，取倒数放前面三分之二倍的 x， 二分之三次方加 c， 那 对应的你就可以推出一个模板，把 x 全都改成框框，这个就是他。而右边把 x 改成框框，就是三分之二倍的框框的二分之三次方，再加上一个 c。 所以呢，这个结果应该是负的，三分之一倍的是整个积分的倍数，你不要把它漏了。然后呢，再乘以 这个结果，应该是三分之二倍的框框的二分之三次方，然后再加上一个任意常数 c。 好， 下面我们给上一个注，若被积函数只有一个函数的时候，也就是说这个不定积分的，它的被积函数 a 只有一个式子，那么这个时候如果要用凑一分的话， 我们就可以把第一步给省略掉，也就是凑的这一步。什么意思？我们举个例子，你比如说第四个题，我要你算一下口算二 x 减一的不定积分，有没有发现背积函数就一个式子？这个时候第一步，第一步不是凑，第一步是哪，第一步你就可以省略掉了，直接到第二步凑好，通过加减乘除，乘以乘除，你把 d 的 里面彻底的凑成背积函数的某一部分，你能凑成谁？ 你能把这个口算凑出来吗？你是不是只能凑出这个二 x 减一啊？所以说我们的方法应该是通过凑一分，把 d 的 里面凑成 x 减一，那这样的话，我不就可以用口寸筐筐地筐筐这个模板了吗？好，怎么凑得？先乘上一个二，然后外面给上一个二分之一，保证跟原式相等，然后呢？再减去个一加减长数，这个一定跟原式相等，能懂吗？然后这样的话，口寸筐筐地筐筐，我们说口寸筐筐地筐筐的不定积分，应该是等于乘筐筐 再加上一个 c， 把这个 c 加给整体就可以了。那以上就是我们的第一个积分的方法，错位分法。好，给大家举个例子，这个例子不用记，你看一下这个 x e 的 x 方式方，你看这个不定积分用什么方法？我们说好像可以用错位分，你是不是可以把 x 拿到 d 的 里面去，这个不要记，变成 e 的 x 方，然后 d 二分之一倍的 x 方，而这个二分之一倍的是不是可以穿到最外面去？写成二分之一倍的 e 的 x 方， d x 方，我就可以用 e 的 框框次方 d 框框这个模板了吧？好，如果这个积分我变成这个样子，那你看，如果你要是还要用凑一分的话，你把它俩谁拿到 d 的 里面去，好像都行，因为你都知道原函数，那这个时候你就试一下，我先把这个 x 拿到后面去， 这个积分就变成了这个样子，那我再试一下，我再把 e 拿到后面去，我们说它的原函数就等于它本身。好， 第一步，拿到后面去，紧致着。第二步，通过加减乘除，乘以乘除，你要把 d 的 里面彻底的凑成被积函数的某一部分。好，你看一下这里，如果你要是把 x 拿到后面去，那这样的话，你是不是需要通过加减乘除乘以常数，把 d 的 里面彻底的凑成被积函数的某一部分， 你能凑出来吗？你凑不出来，你能把这个 x 凑出来吗？你要是想把 x 凑出来，你得开个根号吧，我们说没有在 d 的 里面开根号这个操作，你只能加减乘除乘以常数，所以这样的话，你根本就没办法把 d 的 里面彻底的凑成被积函数的某一部分。那第二种呢？你被积函数只剩了一个 x， 你 能通过加减乘除乘以常数，你把这个 e 的 x 变成 x 吗？你变不成，所以说这个积分 凑一分我就做不出来，那这样的话，我们需要看一下第二个积分法，也就是分布积分法。好，首先呢是分布积分法，它的适用范围，首先分布积分法的第一个要求呢是你的被积函数，它得是两个函数相乘，并且 你还记得凑一分它的适用范围吗？我们说凑一分的适用范围呢，是被积函数是两个东西相乘，并且将其中一方拿到 d 的 里面去之后，它可以变成另一方的一部分，或者是 另一方一部分的常数倍吧。而什么时候用分布积分，就是你把双方任何一方拿到后面去之后，他都不能变成另一方或者另一方的一部分，那么这个时候凑一分就用不了了，凑一分用不了，我们就用分布积分。好，紧接着看一下分布积分， 它做题的步骤分两步，首先第一步反对密三指靠后凑微分，这个反呢，它指的是反三角函数，对指的是对数函数，比较常见的是 lo、 n、 x 密指的是密函数 x、 a 次方三指的是三角函数，指指的是指数函数，常见的是 e 的 x 次方。而反对密三指靠后凑微分的意思呢，就是 你的背积函数是两部分相乘构成，然后呢，这两个成分，比如说一个是对数函数，一个是三角函数，而反对面三指是不是三角函数要靠后一些？那么这个时候呢，我们要把这个三角函数拿到后面去凑一份，就是这个三角函数，这个三角 它的位置靠后一点的话，我们就要把它拿到后面去，拿到地的里面去凑一分，你比如它原函数我可以凑成五星，那第一步我就做完了，紧接着到第二步上一下分布积分的公式，分布积分的公式是这样的，你第一步是不是已经把这个积分化成了这个样子，而紧接着它就等于两个东西相乘， 它俩相乘，再减去两个东西交换位置，你现在这个积分跟这个积分是相等的，我们方法是它俩相乘，减去交换位置，我还没交换呢哈，交换位置的意思是 这个五星和这个框框交换一下位置，框框进去五星出来，而且是直接交换，然后紧接着你再把这个框框拿出来，你现在拿出来的话，我们说你要是想把一个东西从 d 的 里面拿出来，你是不是得求导，所以变成框框的导数 d x， 而这个就会变成一个新的积分，而这个新的积分你就会做了。 所以说什么叫分布积分？他这个部是部分的部，就是你这个积分本身太复杂，我做不了，做不了怎么办呢？我先积出来一部分，我再剩下另外一部分，我分成两部分去积分，这叫分布积分。然后我们看一下列二分布积分。好多给几个题，先看一下，第一个 x 乘以口乘 x d x， 你 可以试一下凑一分，你不管把谁拿到 d 的 里面去，它都不可能变成被积函数的某一部分，它变不成，变不成说明凑一分做不了，做不了你就分布积分。而分布积分呢？分两步，首先第一步反对逆，三次靠后凑一分，这个它是一个逆函数，而这个它是一个 三角函数，反对密三指谁靠后，反对密三三靠后。所以我们的方法是把这个三角函数拿到 d 的 里面去搓一分，那密函数就剩在了被积函数这里，那口乘 x 拿进去就变成乘 x， 这是我的第一步，反对密三指靠后搓一分，然后紧接着上分布积分的公式，公式是这样的， 它就等于两个东西相乘，然后再减去两个东西交换位置，它和它交换一下乘出来，然后 x 进去， 那你会得到一个新的积分，这个新的积分你肯定是会的，那结果应该是 x 乘以乘 x， 再减去乘 x 的 原函数，应该是负的口乘 x， 然后再从后面整体的加上一个 c 就 可以了。那再比如第二个题，我要你算一下 x 乘以一的负二 x 的 不定积分。我们说首先第一步反对密三指靠后凑一分，这个是密函数， 这个是指数函数，那反对密三指是不是指数函数靠后，所以你要把它拿到 d 的 里面去凑一分，那它的原函数是谁？ 我们讲过的 e 的 a x 四次方，它的原函数是不是应该是 a 分 之一 e 的 a x 四次方，这个 a 不 就是负二吗？拿到里面去之后呢？变成负的二分之一倍的 e 的 负二 x 四次方，没问题吗？那这样的话， 你这个积分就变成了，这里有一个函数，这里还有一个函数，直接上分布积分的公式，结果就是它俩相乘，是负的二分之一倍的 x， 再乘以 e 的 负二 x， 这个就它俩相乘，再减去 交换位置，这个到 x 这里来，然后这个 x 到他这里去，就变成了。你看，我先把这个拿出去，应该是负的二分之一的负二 x， 然后呢 d， 我 再把 x 拿进去 d x， 它是直接交换，它并不能用拿进球员拿出球倒，因为这是一个公式，这是一个模板，你要直接把它颠倒一下，能懂意思吗？直接颠倒照抄即可。 然后这个时候呢？哎，这个积分你肯定是会的。首先它有个倍数，这个倍数是不是可以提出去？我们说积分运算的三个原则，能拆则拆，倍数能提则提吧，把它提出去，负二分之一，提出去，又变成了负的正正的 二分之一。好，紧接着那你就算一下这个积分就可以了，这个积分没有这个积分的公式的，我们好像得凑一分吧。好，怎么凑？直接在 d 的 里面 乘上一个负二就可以了。那你不能平白无故的乘一个负二吧，你再给个负的二分之一，那这样的话，这个蓝色这个积分他就变成了负的二分之一倍了。 e 的 框框次方， d 框框，结果就是 e 的 框框次方再加上一个 c， 那 这样的话，原式也就等于把前面抄过来，然后再加上二分之一倍的 二分之一倍的这个积分，这个积分是不是负的二分之一倍的 e 的 负二 x， 然后这个加 c 不 用写给他，你只要在后面整体的加上一个 c 就 行，然后整理一下，结果就变成了前面这一堆，然后它的相乘是负的四分之一，减去四分之一倍的 e 的 负二 x， 再加上一个 c。 其实从这一步到这一步呢，也没有必要凑一分，因为我们记过 e 的 ax 四方，它的原函数是不是就是 a 分 之一倍的 e 的 ax 四方，而它的不定积分就是原函数，再加上一个 c。 直接上公式也可以，都行，随便。大家好，再举两个例子，第三个 x 的 平方乘上一个 sin x， 它的不定积分， 我们说反对密三只靠后凑一分，这个是密，这个是三。反对密三三靠后，所以把三拿到后面凑一分，乘 x 的 原函数是不是应该是负的口乘 x？ 好， 然后第一步凑就凑完了。紧接着第二步上分布积分的公式，它要相乘，减去交换位置，它要相乘的是负的 x 的 平方乘一个口乘 x， 再减去交换位置。 负的口乘拿到这里来， x 方拿进去，也就是负的口乘给它拿到背奇函数这里，然后 x 方拿到微分里面，那这样的话，你再把它导出来，也就变成了负的正，加上 口乘 x d， x 方把 x 方拿出来求导的，对吧？求导是二 x d x。 从这一步到这一步，我用的是不定积分的公式，我直接把它颠倒就可以了。而从这一步到这一步，我用的是微分的运算性质，我要把它拿出来，我得求导，能听懂吗？好，紧接着这个积分你就会算了，这个积分怎么算？ 好像还得分步积分吧？当然呢，为了方便，我先把这个二倍给他提出来，二倍提出去之后，你前面是密函数，应该是三角函数在后面，所以拿到后面 错一分，它的原函数应该是 sin x， 然后紧接着要对这个函数再用分布，它应该就等于前面不用动，加上两倍，这个两倍是这个积分整体的，所以就要带上一个括号。好，它也就等于 它的相乘，然后减去交换位置，它俩交换一下，位置就变成了 sin x d x。 好， 那么现在这个时候这个东西我就会了。 sin x 的 原函数应该是负的 口乘 x， 那 这样的话，这个结果应该就变成了，前面都照抄，后面的是 x 乘 x， 然后呢，负负得正，加上口乘 x， 这里不要加 c， 在 后面整体给它加上一个 c 即可，能看懂吗？这个题就很复杂了，两次分布积分。好，给你一个更复杂的看一下。第四个，我要你算一下 e 的 x 四方乘以一个口乘 x， 它的不定积分，你可以先试一下，它肯定没法用错一分，你不管把它俩谁打到后面去，它都不可能变成另外一方的一部分。那么这个时候我就要用分布积分，那么这个时候呢，我就要用分布积分，那分布积分的话，我们的方法是反对密三指靠后，错一分，前面是个指，后面是个三， 反对密三指指靠后。所以呢，你要把这个指数函数拿到 d 的 里面去凑一分，它原函数就是 e 的 x 和它自己。然后呢，这第一步先凑，紧，接着第二步直接上我们的分布积分的公式，结果是它的相乘 e 的 x， 四四方乘以一个口乘 x， 再减去交换位置 e 的 x 四四方出来，口乘进去，直接直接进去，直接超过去就可以了。好，然后继续等于这个积分， 你要把这个导出来，然后再算一下这个新的积分就可以了。前面照抄，把口乘拿出来的话，我们说口乘 x 的 导数是不是应该是负的乘 x d x？ 这个题这样做有点简单了，你在这里给我乘上一个二，就是给这个口乘 x 变成口乘二 x， 这样的话可能会麻烦一些。 好，给这个口乘 x， 给它变成口乘二 x， 那 这样的话，从这一步往后走，口乘二 x 的 导数是谁？符合函数求导吧。你口乘筐筐的导数应该是等于负的乘筐筐，再额外的乘上一个筐筐的导数，所以说你再把它拿出来的话， 它应该是会变成 e 的 x 方，它导数应该是负的乘筐筐，然后再乘以筐筐的导数，是不是出来一个二？好，有个二倍的， 有这个二倍的话，这个计算量就大了，我们不讲太简单的题哈。好，然后再往后怎么走呢？我拿到了一个新的积分吧，这个积分反正就学过两种方法，要么凑一分，要么分布，你试一下凑一分行不行？ 很明显不行，因为这个积分跟原式当中这个积分它俩是一个模式的。能懂我意思吗？这还是要分布的，那分布前面是个指数函数，后面是个三角函数，反面三指指数靠后，那就凑一分，那结果应该是等于前面都照抄。这里呢应该是 c 二 x， 然后呢，把 e 拿进去， 原函数还是他自己？然后还是继续上分布积分的公式，你小心一点，这个二是给整体的，所以呢，这里要带着一个括号，他的相乘，然后减去交换位置，这个跟这个这两个位置换一下。好，这里是一的 x 方，然后后面呢是 x 二 x， 紧接着你要把这个函数导出来，变成一个新的积分，那这个积分就变成了 x 框框的导数，应该是口 x 框框，然后再乘上一个框框的导数，他多出来一个二吧， 把括号打开，括号都打开，它会变成这里应该是减去四倍的这个积分。然后怎么做？你会发现这里又出来一个积分，而这个积分好像又得分布积分，如果你要再对它分布积分的话，你知道结果是什么？结果是 你看一下这个，它跟原式是一模一样的，所以你要再对它分布积分的话，你会把刚才这一堆再重新写一遍，然后再出来这个东西，所以你根本就没法往后坐。那接下来怎么办？ 像这种情况呢？我们称为积分在线，就是当被积函数，它是三角函数和指数函数，它俩相乘的时候，这个时候这个积分它一定会出现积分在线。那你看好这个结果是不是我算的它，也就是说原式当中问的我这个积分，它现在我算了半天，我发现它等于这个东西。好，你拿下来， 他俩相等，而我要求的是谁，我要求的是他，而我在计算的过程当中出现了积分在线，他重新出现了，那么这个时候我的方法是把它拿到左边去，你左边是一倍的，这里有一个负四倍的，移过去，有没有发现左边就变成了五倍的，我要求的这个 不定积分，而右边就剩下了，没有问题吗？好，紧接着你要求的可不是五倍的，你要求的是一倍的，所以再往下走，把这个五除过去即可。好，这个就是我们第二个积分法，分布积分法。好，紧接着我们看一下第四个积分的方法。第二类换元法当中的根式代换，简称 根代。好，首先呢我们还是要先讲一下根代的适用范围，它的适用范围呢还是比较明确的，就是被积函数 他含有根号，并且根号里面没有 x 的 平方，那么这个时候我就可以用 根代。好，紧接着我们看一下根式代换，他的做题的步骤分三步，首先第一步呢，换元就是直接令背机函数的这个根号直接令他为 t， 然后换元之后，紧接着你要反解一下 x， 然后呢再求一下 d x， 就是 你会解出来这个 x 它等于什么？什么 t， 然后这个 d x 呢？它会等于什么？什么 d t。 这第一步换元，紧接着第二步， 你把换元的结果带入这个积分，并计算算一个新的不定积分，你这个不定积分呢，他首先有一个被积函数，其次他后面有一个 d x， 你 换元的时候，你要把被积函数里的所有的 x 全部都换成 t， 然后再把这个 d x 化成什么什么 d t， 那这样的话，你会得到一个关于 t 的 一个不定积分，然后你计算一下这个新的不定积分即可。但是呢，这样还没有完，因为人家原式当中的这个积分呢，是一个关于 x 的 积分，你现在换元之后变成 t 了，一个关于 x 的 积分，你算出来结果全是 t， 这个不合适，所以他会多出来一步， 就是带回。第二类换元不定积分都有这一步带回，包括一会讲到的三角换元也需要带回，而所谓的带回就是你要把这个 t 全都换回成 x 的 形式。好了，我们还是得讲题， 看下第三根带，我们给四个题，足够让你熟练的好看一下。第一个，有没有发现这个不定积分，他的背记函数里面，这个函数叫背记函数，你要记他吗？叫背记函数，他有根号这个东西，有根号怎么办？先看一下根号里面有没有平方，根号里面就一个 x， 没有平方，没有平方， 那我们就用根带，而根带呢，分三步，首先第一步先换元，开篇直接令这个根号等于 t， 你 原式当中这个根号长什么样子，你就令它为 t。 然后紧接着你要求两个东西，一个是 x， 一个是 d x x 怎么反解？两边平方就可以了。好，两边平方的话，左边是 x， 右边是个 t 方，紧接着我们需要求一下 d x d x 怎么求？就是对这个式子两边取个微分，它不是 x 等于 t 方吧？那你两边同时取个微分，就是给个 d 之后这个等式依然成立，而右边就会形成 d 框框这个东西，而 d 框框结果是应该是 框框的导数加一个 d x， 但是要小心，这里加的不是 d x， 是 d t。 我 们说 d 框框呢，它等于框框的导数加 d x， 这个 d x， 这个尾锥，你要看一下这个框框它用的是什么字母，如果它用的是 t， 那 这个尾锥你就不能写 d x， 你 得写 d t。 所以这个尾锥到底加谁？你得看一下这个框框里它用的什么字母，而这个地方它这个框框人家用的是 t， 所以 说这个尾锥你得写 dt， 能懂吗？而 t 方的导数呢，是二 t， 所以 说你会发现 dx 最终求出来，它应该是等于二 t d t 的。 然后这第一步先换元，紧接着第二步把你得到的 x 跟 d x 全部带进去，那这个积分它就变成了首先被积函数，你不是令这个跟 x 等于 t 了吗？它就变成一加 t 分 之一，然后 d x， 它可不是直接换成 d t 的， 这是为什么？在第一步 我要反解一下这个 d x 和 d t 的 关系，你看，我就是为了背机函数，要想把 x 换掉很容易，我直接换就可以了。但是后面这个尾缀，这个 d x， 你 不能平白无故的直接改成 d t 的， 你得找一下 d x 和 d t 的 关系，这个关系就在第一步找到了，你这个 d x 是 不等于二 t d t， 那 你就直接把它 拿过来就行。好，那这样的话就结果把这个倍数二提出去，然后背积函数剩一个一加 t， 分 之 t d t。 好， 这个积分怎么做？我们方法是分子加一个一，减一个一，这个没有变吧？没有变的话在这里把这个积分拆开，拆开之后等于两倍的， 前面是个一，后面是一加 t 分 之一。好， d t。 我 们说积分的原则，计算原则，是不是能拆则拆啊？前面应该是一的不定积分，减去，后面 是一加 t 分 之一的不定积分。好，接下来怎么办？前面我可以直接积出来，我们之前讲的公式是不是一的不定积分就等于 x 加 z 呀？但是人家这里用的是 t 这个字母，所以说你把这个 x 改成 t， 你 这个结果得写 t， 能懂吗？你得看人家用的是什么字母，所以它等于 t。 好， 结果应该是等于两倍的， 前面应该是个 t， 而后面怎么办？这里不要加 c 哈，不定积分每一个小部分，你不要加 c， 就 整体后面加一个 c 就 可以了。好，这个怎么办？这要凑一分的，我可以在 d 的 后面呢，我加上一个 e， 它就会形成框框分之 d 框框这个模板， 而框框分之 d 框框是不是零框框的绝对值？然后呢，最后整体加 c 即可，但是还没有完。人家原式是不是关于 x 的 一个积分？你算了半天，算出来一个关于 t 的 这件事情不合适吧？好像不太合适。所以呢，你要多写一步，就是带回好，带回绝对不是说直接把这个 t 换成 x。 不是 的，你要找一下 t 和 x 的 关系， 它 t 不是 等于根号 x 吗？好，带回 t 等于根号 x， 你 会得到原式应该就等于两倍的，直接 把这个 t 换成根号 x 即可。这里有一个细节，我这里没加绝对值，因为你这个根 x 肯定会大于等于零，他加上一个一肯定是个正的，所以这里呢，没有必要加绝对值，加一个括号就可以了。 好吧，好，继续看一下第二个题，我要你算一下这个不定积分。首先我们拿到这个不定积分之后，有没有发现背积函数它是有根号这个东西的，并且根号里面他没有 x 的 平方吧？那这个时候我们选择的方法应该是根带，而根带呢，分成三步。首先第一步，开篇直接令这个根号等于 t， 你题目当中这个背积函数的这个根号长成什么样子，你就令他为 t。 然后紧接着你要反解 x， 并且要求一下 d x 和 d t 的 关系， x 怎么反解？好像是要两边平方的吧。两边平方左边是他，右边是 t 方，你再把 e 移过去， e 的 x 方是等于加 t 方，而紧接着两边同时取一个 lo n， 因为我们说 lo n， e 的 框框次方就等于框框嘛，那这样的话，左边就等于 x， 而右边呢，就是 lo， n， e 加上 t 方。然后紧接着 我要求一下 dx 和 dt 的 关系。怎么求？通过这个式子，你不是把 x 反解出来了吗？两边同时取一个 d， 这个式子依然成立。左边就是 d x， 右边是 d 框框， d 框框的话，应该是框框的导数， 再加一个 d t， 这个框框用的是 t 这个字母，你这个尾缀就得加 d t， 所以呢，我就解出来，这个 d x 应该是等于一加 t 方分之二 t d t 的。 然后紧接着到第二步，把 x 和 d x 全都带进去，得到一个关于 t 的 不定积分，它就等于被积函数，你不是令它为 t 了吗？所以被积函数就是 t 分 之一，而这个 d x 就变成了一加 t 方分之二 t d t 中间是个乘法的关系，那这样的话呢，可以把这个倍数二提出去，然后紧接着这个 t 可以 消掉，那背积函数就剩了一个一加 t 方分之一 d t 了。那一加 t 方分之一这个公式我好像记过，它是不是就是 ark 摊正 t， 再加上一个 c， 你 这得写 t 哈，因为你这个积分是关于 t 的， 这个字母你就得你结果你就得写 t， 然后紧接着你就要带回。好。第三步，带回，因为这个 t 呢，它不是等于根号下 e 的 x 方减一嘛，所以这样的话，原式 应该就变成了两倍的二，可摊着呢，直接把这个替换成根号下 e 的 x， 四次方减 e。 好。 第三个，要你算一下这个积分，好，这个积分怎么办？首先被积还是有根号，根号里面没有平方，一定是根代，但是根代的话，你令谁为替？你 令他为替还是令他为替？你要明白我为什么要根代？我根式代换的目的是为了去根号的。你看一下我们刚才做过的这两个题， 原体当中都有根号，我做不出来，所以呢，我令这个根号等于 t， 我 得到一个关于 t 的 一个新的积分，它就没有根号了，没有根号我就可以做了。你再看一下第二个题，原式当中有根号我做不出来，我换原令这个根号等于 t， 之后，我得到一个关于 t 的 一个积分，它就没有根号了，我就可以做了。所以说根式代换的目的，它其实就是把这个根号去掉。但是你看一下第三个题， 你令他为 t， 这个根号你去不掉，而如果你令他为 t 呢？那这个根号你就去不了了，那怎么办？所以这个题需要给一个注，把这个注放在这个题的上面，如果这个积分呢？他 a 次根号下 x 和 b 次根号下 x， 如果同时出现， 我还是要跟带的，但是我现在的目的是把这两个根号都去掉，我怎么换元，我才能把这两个根号都去掉？打得好，我的方法是令 a、 b 的 最小公倍数次根号等于 t， 那 为什么要这样换元呢？没有为什么，因为这样换元的话，你可以把两个根号都去掉。那这里根号左上角没有写数字的话，他这个地方默认是个二，能懂吗？所以说三二，一个是 a， 一个是 b， 所以 你要令谁为 t？ 你 要令二和三的最小公倍数六吧。所以这个题你要令 六次根号下 x 等于 t， 那 这样的话，不要着急求一下 x， 求一下 d x， 那 两边同时给个六次方 x 应该是 t 的 六次方，两边再同时取个微分 d d， 左边是 d x 吧，右边是不是 d 的 t 的 六次方？ 把它拿出来，要求导它导数应该是六倍的 t 的 五次方。加一个尾锥，这个尾锥加 d t， 因为右边它是用的 t 这个字母，所以说你会得到 d x 应该是 六倍的 t 的 五次方 d t， 然后呢，原式它就变成了。哎，一加上这个是谁？这个我也不知道，你不是 x 解出来是个 t 的 六次方吗？那它不就变成了三次根号下 t 的 六次方，而这个是不是 t 的 三分之六的平方，对吧？好， t 的 平方再乘以这个呢？根号下 x x 不是 t 的 六次方吗？而这个是不是 t 的 三次方 分之一，然后六倍的 t 的 五次方 d t 再往下走的话，倍数提出去，然后呢，一加 t 方，这可以约分的 这个六提出去了，这俩可以约分。约完之后，这里剩一个 t 方，是吧？放到分子上 t 方 d t， 这个积分怎么做？哎，这个积分分子加减一，给它拆开，加一减一给它拆开，拆开之后结果就等于六倍的。你前面 分子分母一样，不就可以约分吗？然后减去一加 t 方分之一 d t。 我 跳一步了哈，这个结果应该是六倍的一的元素，可不是 x， 它是 t， 因为你这个积分用的是 t 这个字母，然后再减去 一加 t 方，分之。有公式的 r 摊正 t， 然后整体加上一个 c 就 可以，不要忘了带回。好，你这个 t 应该是等于六次根号下 x 的， 所以说原式最终这个结果就写成六倍的六次根号下 x， 再减去 r， 摊正它。 六次根号下 x， 然后再加上一个 c。 好， 根号我们先暂时讲到这里，那么最后看一下最后一个积分的方法，三角代换好，有没有发现刚才根式代换有一个步骤叫做带回，其实呢，第二类换元法，他都是有带回这个步骤的，这里旁边写上两个字，虚带回。不好意思，三个字 你需要带回。第二类还原法，分成根带和三角带，目的都是去根号的，都需要带回。所以说呢，我们最后一个积分的方法，三角代换他也是需要带回的，而且三角代换的带回极其的复杂，所以呢，在开始讲他之前，我先问大家两个问题哦，第一个问题， 这个不用记，两倍的乘 t 等于 x， 我 想问你 t 是 多少？好，我不管你会不会摊正的 t 是 多少， 如果这两个东西你会求的话，你把进度条往后拉，如果这两个东西你不会求的话，我教给你先看一下。一预备知识，就是，我已知 x 呢，等于 a 倍的乘 t 或者是 x 呢？等于 a 倍的摊正的 t 或者是 x 呢，等于 a 倍的 second t。 我 已知这个东西，我让你求 t， 以及 我要你求 t 的 其他三角函数值。怎么求？首先求 t， 它用的是公式，我给你一组公式，阿克森 肾框框就等于框框，同理，阿克口肾口肾框框也等于框框，阿克贪整贪整的框框，他也等于框框。三个公式什么时候成立？这个条件你不需要管，在三角带这里，你可以大胆的用，能听懂吗？ 好，那已知这个东西我怎么求 t 的 其他三角函数值呢？我用的方法叫做还原直角三角形。什么叫还原直角三角形呢？就是第一步呢，你需要画一个直角三角形， 一定要画一个直角三角形啊，然后呢，上面这个角你写成 t， 那 么这个时候呢，你需要通过已知的三角函数值还原出这个直角三角形的两条边，然后呢，再通过勾股定力 还原出第三条边，然后这样的话，你就可以求 t 的 其他的三角函数值了。你有可能看不懂，我给你举个例子，那在举例子之前，这个叫做小吴一号，这个叫做小吴二号， 一会呢，我会提到这个小吴一号，小吴二号，你要定位到这个地方。好，我们举个例子，给大家解释一下，这一堆到底是什么意思啊？例如，如果我告诉你两倍的乘 t 等于 x， 我 想求 t， 我 怎么求 小吴一号吧，我要用公式，用用这个公式吧。好，首先你先两边同时除以一个二，然后两边再同时取一个阿克森，两边同时取某个函数，这个等式是不变的。那左边阿克森森 t， 根据公式他就等于 t， 而右边呢，阿克森 二分之 x， 我 就求出来了，一定要先把这个二除走，你两边要是从这个地方就两边同时取了阿克森的话，你阿克森两倍的森 t， 我 可不知道等于多少，我知道的是阿克森森 t 等于 t， 能懂我的意思吗？ 啊？他用的是第一个公式是吧？好，紧接着我们再看一个题，第二个，我已知森 t 呢，等于二分之 x， 而你求贪婪的 t 或者口森 t， 你 求谁都一样，你求关于 t 的 任何一个三角函数值，我都会求的。我的方法，小吴二号， 还原直角三角形。首先第一步，先画一个直角三角形。好，先画一个直角三角形，然后上面这个角呢写成是 t， 然后紧接着你看好，紧接着通过已知的三角函数值还原起两条边。你已知的是谁？已知的是 c t 等于二分之 x 吗？我们说 c t 应该是对边比斜边， 对边比斜边是 x 比二，那不就说明对边是 x， 斜边是二吗？这个就是根据已知的三角函数值还原出这个直角三角形的两条边，然后再 根据勾股定律还原出第三条边。我们说斜边的平方减去一条直角边的平方，应该是等另外一条直角边的平方的，所以说这条直角边应该是根号下他的平方减他的平方，根号下四减 x 方，那他的三条边都知道了。那么关于这个角的任何一个三角函数值，我不就都会了吗？你盘整的 t 是 不对边比零边呢？它的对 边是 x， 零边是根号下四减 x 方，那你斜边是个二吗？没问题吗？如果他问我 second 的 t 是 多少， 那 second t 我 也不知道它是哪条变哪条变，但是你 second t 是 不是口乘 t 分 之一啊？你口乘是它，你口乘分之一不是倒数吗？所以它这个结果就等于你给口乘 t 取个倒数就可以了，没问题吗？当然了，你见到的具体的题目，他不会直接这么给你，他会给你 x 等于两倍的乘 t， 你怎么办？你没有发现他俩是一样的。我首先得先知道一个三角函数值到底是谁，我才能解出这个直角三角形的两条边吧？所以说你首先得把这个二除过去，得到他，那我才能知道 x 和二分别是哪条边比哪条边，我才能还原出这个直角三角形。好，以上就是我们给大家准备的预备知识。好，紧接着看一下括号二，他的适用范 围就是什么情况下我要用这个方法。三角代换的适用范围呢？是被积函数， 他含有根号这个东西，并且根号里面他有 x 的 平方，如果有根号，根号里面没有平方，是不是根代？如果有根号，根号里面有平方，三角代。好，紧接着我们看一下做题步骤， 也是分三步，首先第一步先换元，然后第二步带入并计算最后一步带回。有没有发现他和根代是一样的？第一步换元，第二步带入并计算，第三步带回。好换元。怎么换根代呢？是令根号下是令 x 等于 t， 而三角代换的是令 x 等于他。总共有三种情况， 要么 a 倍的乘 t， 要么 a 倍的贪婪的 t， 要么 a 倍的 second 的 t， 然后一样的画圆。之后呢，你要求一下 d x， x 就 不用求了 x， 这不知道吗？你只需要求一下 d x， 你 给我解出来这个 d x 等于什么什么 d t， 然后呢，你再代入并计算，最后第三步带回，就是你把这个 t 你 带回成 x 的 形式。那么下面 我们得看一下换元究竟是哪种换元，然后再看一下带回他究竟怎么带回。三角带换的难点从来都不是计算他，计算就是一个普通的计算他，难点在于第一步你到底怎么换元，然后尤其是第三步，你究竟怎么带回？我们先看一下 注意他的换元的方法，我直接给你个表，如果他这个根号里面的是 a 方减 x 方，那我的方法是令 x 等于 a 倍的剩 t， 那 为什么将换元呢？我说过第二类换元法，不管是根带还是三角带，他的目的都是为了去根号的。那为什么这个时候我要令 x 等于 a 倍的剩 t， 因为你把它带进去之后， 里面就会变成根号下 a 方减去 a 方剩 t， 你 把 a 方提出来，把根号里面把 a 方提出来呢？括号里面就剩了一减乘方，而一减乘方是不是口乘方， 它就会变成 a 倍的口乘 t， 这个根号就可以去掉，不用加绝对值，你放心哈，它这个 t 呢，自带一个范围，保证它是个正的。所以说三角代换这里你不要加绝对值，你懂吗？那同理，如果根号里面 是 a 方加 x 方，或者是 x 方加一方，就是一样的，我的方法是令 x 等于 a 倍的贪整的 t， 如果是根号下里面呢？是 x 方减 a 方，我的方法是令 x 等于 a 倍的 second t。 这个你先截个图，我们先放一下， 我们先讲注二，我们一会通过做题讲这个逻辑，好吧，好，看一下注二，带回的方法。三角代换怎么带回？一定要先处理两个敏感成分，处理完之后 再带回哪两个敏感成分？第一个敏感成分是你最终算出来的这个积分结果，他必须都是 t 或者是剩 t， 口剩 t 等等等等，他不能是二 t， 你 比如说如果剩二 t， 你 就带回不了，那怎么办？二倍角公式变成两倍的剩 t， 口剩 t， 那 如果你积分结果有一个口剩二 t 怎么办呢？把它变成口剩方 t， 再减去剩方 t 二倍角公式，好，这是第一个敏感成分，第二个敏感成分，你的代换的式子，你要把它化成剩 t 或者口剩 t， 或者贪整的 t 等于什么什么 x 的 形式。当然了，具体怎么操作，我们通过题目来讲，你先记住先处理好两个敏感成分之后再带回。带回通过谁带回？通过这个带换式子带回？你第一步不是先令什么什么什么等于 t 了吗？你通过那个带换式子 去带回，而带回的时候呢，你最终的积分结果他就两种成分，第一种成分他是 t 单独的式子，你比如说什么 t 二 t 三 t 四 t 方等等等等。 那么这个时候我怎么带回？我用小吴一号。然后呢，你的积分结果的第二个成分就是关于 t 的 三角函数，什么剩 t， 口剩 t， 贪婪的 t 等等等等。那 t 的 三角函数怎么带回？哎，小吴二号，预备知识里面都讲过好吗？我们直接做题 好看一下例次，三角代换。先看一下第一个题，我让你算一下根号下一减 x 方的不定积分。首先第一步先换元吧，怎么换元？我们就三种情况，你这个根号里面就三种情况，你说它是哪一种？ 我拿下来给你对比一下，你说他是哪一种？他好像是第一种吧，而且这个 a 他 不是取成了一嘛，所以说我应该是要令 x 等于一倍的乘 t。 然后紧接着你要求一下 d x。 我 们讲过的你的第一步，换元之后，你要紧接着求一下 d x 和 d t 的 关系。好回来 d x 两边同时取个微分嘛，就是口乘 t d t， 然后紧接着第二步带入并计算。这一步没什么特别的，你把这个 x 带进去，你的原式应该是等于根号下一减去剩方，那么 d x 呢？是口剩 t d t， 所以呢，我为什么将换元？因为我要去掉根号一减剩方是不是口剩方？根号下口剩方就是口剩吧，所以被积函数就变成了口剩方 t 不要加绝对值啊。 d t 好，口乘方 t 怎么积分？乘方和口乘方，它两个积分都得用降密扩角公式。我们说乘方应该是等于二分之一减去口乘二 t 的， 而口乘方呢，它等于二分之一加口乘 t， 所以 说这个积分 倍积函数是二分之一加上口乘二 t， 然后 d t 在 这里拆开，前面是谁？前面是二分之一。二分之一可以直接积出来吧。一个常数，它的不定积分就等于常数乘以 t， 它用的是 t。 然后呢，再加上后面是不是剩了一个二分之一倍的口乘二 t 的 不定积分？这一步是不是要加 c？ 不要加 c， 他 只要有积分号，你就没有做完，你没做完你就不要加 c。 好， 这个积分怎么办？ a 打得好，凑一分，然后走的话，结果应该是二分之一倍的 t， 再加上一个 口乘二 t d 后面是不是得乘以一个二？那前面是不是得乘以一个二分之一？他还有个二分之一吗？一乘就四分之。好，那这样的话，口乘哐哐 d 哐，结果应该是乘哐哐加 c 吧，最后整体加个 c 就 可以了。好，第二步我就算完了。紧接着第三步，我要带回。还记得带回的时候， 我要先处理两个敏感成分吧。哪两个敏感成分？首先积分结果，关于 t 的 三角函数，不能是二倍的 t， 只能是一倍的 t， 他 是三 t， 怎么办？用一下二倍角公式，他等于两倍的乘 t， 口乘 t， 所以 这个结果呢，要多写一步，你让它等于二分之一 t， 然后再加上一个二分之一倍的乘 t， 口乘 t， 再加上一个 c， 这个是第一个敏感成分。第二个敏感成分，你的代换的式子必须是乘 t 或者口乘 t， 或者贪婪的 t 等于什么？ x， 它是吧？它是，这不乘 t 等于 x 吗？所以这个不敏感，你把这个处理好就可以了。好，处理好敏感成分之后，紧接着你就要带回。带回的时候我说过， 你的积分结果就只有两个成分，一个是关于 t 自己的式子，一个是关于 t 的 三角函数，它两个带回的方法是不一样的。嗯， 拿下来，首先带回一定是通过带换式子带回的，你的带换的式子在哪里？在这里吧。是不是 x 等于乘 t， x 等于乘 t， 那 么这个时候关于 t 的 式子，这个是不是就是关于 t 的 式子？他得用小吴一号带回，就是那个三组公式，我通过带换的式子，我两边同时取一个阿克森，我会解得这个 t 他 应该是等于阿克 乘 x 的， 我就可以把 t 还原成了 x， 我 就可以直接带进去了。而关于 t 的 三角函数，怎么带回呢？我们的方法是小五二号还原直角三角形吧，根据已知的三角函数值，还原出一个直角三角形， 直接画一个直角三角形，上面这个角写成 t， 然后根据已知的三角函数值，你可以还原出这个直角三角形的两条边。你乘 t 是 x 比一，他应该是对边比斜边，那说明对边是 x， 斜边是一，那再根据勾股定力还原出第三条边， 一减去 x 的 平方。关于 t 的 三条边都出来之后，那么关于 t 的 所有的三角函数值你就都会了。你解一下乘题，再解一下口乘 t 好， 乘 t 应该是等于对边比斜边，对边比斜边 x 比一，那就是 x。 好， 口乘 t 就 等于，其实乘 t， 这里有吗？好，口乘 t 就 等于零边比斜边，零边是根号，下一减 x 方比上斜边是个一比一，我就不写了，那么这样的话，哎，我就可以带回了。所以说圆是 应该是等于二分之一倍的 t， t， 他 是 x 乘 x 好， 再加上二分之一倍的乘 t 乘口乘 t， 乘 t 是 x 乘以，口乘 t 是 根号，下一减去 x 的 平方， 然后再整体加上一个 c。 好， 紧接着我们看一下第二个题，好，首先发现有根号，根号里面有平方，所以一定是三角代换，那三角代换我到底怎么换元？还是回来看一下这个表，我表呢？我表在这里，你对照着这个表， 你告诉我他是哪一种情况？他好像是第一种吧，第一种的话，他这个 a 取的是谁？他 a a 取的可不是九哈， a 方是九， a 是 三，这个 a 是 取正的那个 a 取三。所以你应该是要令 x 等于三倍的乘 t 的。 为什么要这样换元？因为我可以把根号去掉，不要着急。还记得吗？第一步，换元之后要紧接着求一下 d x， 然后带入元式，应该是等于这里呢，应该是九倍的乘方 t， 然后你把它带到根号里面去，你根号里面应该就变成了 根号下九减去它的平方，是不是九倍的乘方呀？而根号里面呢，可以提一个九，那应该是九倍的一减去乘方，而一减乘方是不是口乘方，它就会变成九倍的口乘方。所以我为什么要将换元里面 就可以变成它，那么它最终换元之后就可以变成三倍的口乘 t d t， 那 这样的话呢，首先它俩可以约掉，约掉之后呢， 把倍数提出去，那被积函数就剩了一个乘方分之一，乘方分之一应该是口 second 的 方，而口 second 它的不定积分有公式的， 你可以查一下，应该是负的口摊正的，再加上一个 c。 好， 积完之后呢，需要带回，带回，不要着急带回，你要先处理一下敏感成分，敏感成分你要看一下积分结果和带换的式子。首先积 分的式子你给我写成乘 t 或者口乘 t， 或者乘 t 等于什么？是 x， 所以 你可以先把这个代换的式子写成乘 t 等于三分之 x， 处理完敏感成分之后你再带回，带回的时候他这个积分结果只有 t 了。三角函数，所以说我们应该用不到那个小吴一号，你只能用到小吴二号，就是还原一下直角三角形，好画一个直角三角形， 上面这个角呢写成 t， 根据已知的三角函数还原出直角三角形的两条边。剩 t 是 对边比斜边是吧？对边是 x， 斜边是三，那这个直角边应该是根号下九减 x 的 平方，那这样的话，口摊正 t 应该是等于，它是应该等于贪婪的七分之一啊，而贪婪的 t 呢，是对边比零边去倒数之后呢，是零边比对边，所以说圆是 应该是等于负的九分之一倍的口贪婪的 t 是 不是 x 分 之根号下九减去 x 的 平方，再加上一个 c 就 可以了。好，紧接着我们再做一个。第三个，我要你计算一下这个不定积分。好，首先根号里面有平方，所以一定是三角代换，那三角代换第一步，换圆的时候你要怎么换圆？那你看啊，它是哪一种？ 第三种吧， a 取一吧，所以应该是要令 x 等于一倍的 second t。 好， 直接令 x 等于一倍的 second t。 那 紧接着求一下 d x 应该是 second t 导数是不是 second t 乘它这个 t 加一个尾缀 d t 好 带进去。原式它应该会等于这里是 second t， 再乘以这里 second 的 方减一是谁？ second 的 方 减一，结果应该是贪整的方的，那一加贪整的方呢？那不就是把这个减一移过去吗？结果等于 second 的 方。 这两个公式要记住是你带进去之后，这里是 second 的 方，减一是贪整的方。开根号，哎，贪整的 t 分 之一 d x 直接把 d x 拿过来，你会发现，完了我约没了，我约没了之后，完了被积函数剩了一个一，那结果好像就是 t 再加上一个 c， 然后你要带回， 对吧？带回之前先处理敏感成分，首先结果它没什么敏感的，但是带换式子敏感，我说过你带换的式子是不是只能是肾 t 或者口肾 t 或者贪婪的 t 等于什么？是 max， 它不是，它是 second 的 t， 你 千万不要觉得我们讲过阿克肾肾 t 等于 t， 完了，我，我就猜一个公式，完了，我，这个对吧？我，我就直接猜一个阿克 second second 的 t 等于 t， 这样行不行？这公式有，但是你不能用，他要想成立的话，这个题 t 满足不了，所以你不能用这个公式。我们小吴一号就给了三组公式，你就只能用那三组其中的一个，那怎么办？你要处理一下这个敏感成分呀。怎么处理呢？ 因为 second t 等于 x， 所以 你要处理成 third t 或者口 third t 或者贪婪的 t 等于什么 x， 而这个 second t 它是不是口剩分之一， 对吧？两边取倒数，你会得到口乘 t， 应该是 x 分 之一的，我要这个东西，那我要反求这个 t 的 话，我可以两边同时取一个阿克口乘，这样才行，所以原式应该是等于这个 t 呢？是阿克口乘 x 分 之一，阿克口乘 x 分 之一，再加上一个 任意常数 c， 千万千万不要两边同时取一个阿克 second t， 不 可以这样，能懂吗？好，我们的不定积分呢？暂时先讲到这里，我们下期视频。