亳州九年级数学几何题

从现在开始我们就开始讲九年级，呃，中考模拟卷了，相当于就是什么意思呢？就是相当于在元旦左右的时候，我们其实中考数学就学， 学完了就学完了，如果你们学校没学到，或者是你们有个别方个别一些知识点没学到的话，可能你们老师可能留在后面为铺路，所以从其实从元旦开始啊，我们就可以做一些中考卷了模拟卷了。嗯，我会在我的这个 b 站账号上会上传一些很免费的一些好的卷子给大家讲解， 希望大家一键三连，或者是呃，可以关注，可以加一下我的个人微信，我的个人微信，呃，首先你要备注来意啊，我们这个可是公益的，你要问问题的，问问问题的话也是可以免费的。好吧， 所以今今天我们就开始讲这个亳州市九年级第一次模考就是这个卷子，我不知道大家有没有亳州人啊，有没有做过这个卷子的。首先我自己是完美的，所以我会把完美的卷子基本上都讲了，好吧，好，首先第一，第一个， 第一个，我给我先把图给大家画好了，大家看一下，在初中三角三角函数中，我们只要用两个特殊三角形，但是在初中三，初中三角函数中，有时在 r 的 三角形中， 都在 r 的 三角形中，所以分别对应的是什么？这个是特殊的锐角直角三角形，这个是特殊的东角直角三角形，所以你看我们用三角形构造是方便我们记忆，不方便我们错，我们只需要记住一个最简单的东西，比如说你看这里面我们引入三十度等于二分之一， 只要记住一个，我们勾到特殊的三角形，就是这个三角形，这个不就是右角、右角的直角三角形吗？就一个三度也有六十度，因为我们高中学过勾定理，不对，我初中学过勾定理对不对？八年级学的是不是 a 方 加 b 方等于 c 方，其中这个 a 方代表的是直角边，这个是 b 方，也代表斜边，这个 c 带方代表斜边，这我就不多说了。好吧，我再给大家表在这里。 好，我们假如说我们只知道了三十、三十、三十三十度等于二分之一，我给大家讲，因为初中大家研究的都是直角三角形，所以勾到直角三角形看三十三十度，三十三度是不等于，这等于二分之一，那三十三十度等于什么？三十三十度是不是等于？呃，我们先从三十三英来看，三英是不是等于对边？ 呃，比例变不对？比斜变好，你看三十三十度，这三十三度角对不对？这是不是对变？这是不是斜变？所以这样能记住三十三度等于三分之，那这个，所以我们构造出来的三角形有什么作用呢？所以它的作用是什么？ 它的作用是什么呢？它的作用就是我们能用三角形推出来更多的东西。比如说三角六十度 等于什么？三、六十度是不是这个角是不是等于二分之根三，那同理考察一，三十度， 考察三度等于什么？是不等零边比上斜边是不是根号三比上二，那同理，考察六十度等于什么？是不是二分之一？所以我们利用了这个第三角形，就是啊锐角 r d 三角形，我们就可以知道这么多信息， 同样，同样弹琴的脚也可以做，所以这个，这个，这个三角形就是为了解决三十度和六十度的三角形中，你用这样例子去记三角函数是不会记错的，然后你每见到一次，你退一次，保证你用到的一定正确的。好吧， 那么我们同理，我们是不是可以退出来？什么？弹琴三十度？弹琴弹琴角等于什么？弹琴角是不是等于对边？比对边比上邻边。 呃，所以是不是对边？你看这个三角角，角是不是在这里？对边是不是一，另边是不是三，所以是不是根三分之一，根三分之一，我们由理化解，是不是三分之根上三啊？ 好，同理，我们弹力六十度等什么？弹力六十度是不是等于斜边比上？也不是，弹力六十度属于这个角，这个角是不是等于对边比上零边，上面零。好像写错了， 你看这个零啊，我语文不太好，不好意思啊。等于什么？是不是等于根号？这些等于根号，等于根号三，所以我们用利用第三角形我们就完整记住了。这个。呃，乘乘三角函数的是三十度，六十度，第二个角是更简单的叫，呃， 等腰 r t 三角形，等腰 r t 三角形就是等腰这三角形，我写的简单点，等腰 r t 三角形，这个角就帮我们我记住了。呃，四十五度，这个特殊的角，你看我们举个，等腰 r t 三角形 画的有点丑，不要介意啊。嗯，这个是四十五度，对不对？这个也是四十五度，所以我们把它每一边都设为一，是最简单的一，一根二，这是根二怎么来的？是不勾定你啊，对吧？所以三根四十五度等于什么？ 三根四十五度是不是等于对边比上斜边是不是等于根二分之一？要化化解一下是不是二分之二？同理考差 a 四十五度等于什么？考差 a 四十五度是不是也等于？ 呃，邻边比上斜边是不是跟二分之一是不是等于二分之二啊？那同底它的四十五度是不是也等于这个角呀？是不是等于呃， 对边比上邻边是不是一比一等于一啊？你看，通过这两个特殊三角形中，如果你觉得老师我说你说记不住，那你就把这两三行记住。备注，如果你觉得还有问题的话， 嗯，那你就可以硬背，但是我不建议硬背，数学要学灵活点，如果什么东西都靠硬背的话，那你你的路比较窄。好吧， 就是大家可以通过这两个三角形就把初中三角函数的所有值都记住了，同样再帮你复习下购物定律， 或者是理解更好的图形应用。所以我们看下第一题，如果你如果你能自己课下能总结到这一步的话，那第一题是不是特别简单？首先我们看拿到三十度角，我们是不是想到是不是想到三十度角，我们可以怎么解呢？求中三十度是不是等于三十三十度？ 比方考察一三十度对不对？还可以怎么解？你算也可以妙解，不要硬，不要想着去算。你看他既然让我就，那我首先知道三十三度等于等于二分之一，所以我这是一，这是三十度角，这是二，那同样固定一二方根号三。所以弹力三十度等于什么？弹力三十度是不是等于 弹力三十度？这个角的，这个角的，呃，对边比较零面，是不是一比上根三是不是三分之？根号三， 对吧？我可以，你可以去记忆你，你就可能有些学生觉得我这样写太麻烦，这不是第一题吗？这么简单。但是这个思想很重要，包括以后你到高中的时候自己推倒他自己震，不要相信太多技巧，你得保证你对，才能保证你的准确度，好吗？所以第一题就选 c 没问题吧？ 好，我们看下第二题，第二题是不是测算值啊？像这种反比例函数，大家已经记住了，反比例函数图像大家一定要去注意。如果正常的反比例函数是什么样的，是不是 y 等于 k， x 不 对， x 分 之 k， 它是不是这样的， 对不对？那现在它这个带符号了，是不是带符号了？所以它的图像变成什么样了？ 它同样就变成这样了？就蓝的部分。所以我们看一下， 当我 m， 当我 y， 这这个这个点是 x， y 啊，这叫作些，对吧？当 y 等于负负五的时候， y 等于负五的时候，是不是在这一部分？ 回答我 y 不 对，不对？不对， y 等于负五的时候，不好意思，那是 x 等于负五， y 等于负五，是完全在这部分。首先在这部分， x 是 正的，是负的， x 不 等于 m 吗？在这部分， x 是 正，就在第四项线一二三四，这是不？第四项线，在第四项线， x 是 正的，是负的， x 一定是正的，对不对？所以我们上来就把什么，我们上来就把 a， c 排除掉， 没问题吧？是不是上来就把 a 跟 c 排除掉，然后我们再代入，我们再再代入，不就 b 个 d 选吗？代入代入，当 y 等于负五的时候，负五是不是等于负 x， 分 子负十五，所以从你一下就看出来 x 等于什么。 等于三就是 m 等于三，加 d 选 b。 好 吧，不要记住，这题我就讲的快一点， 就这种题就是，呃，你为我为什么让你拍出呢？就有些题啊，他会比较复杂，所以有些你最好是选择题吗？还是拍出法做比较稳妥一点，对吧？你万一看错了，你万一进到括号选 a 怎么办？我问问你是不是小细节， 不要觉得很很多学生问我题的时候都说，哎，老师我又忘看了一个符号，我问你，上来为什么不确定好你选什么样的，你再去选呢，对吧？这都小技巧好吧，看第三题，第三题这一题记住了，像这样的题，它就是汉字，所以你要画个图，什么叫黄金分割点？黄金分割点我们是不是知道是不是二分之根号 哦，无加 e 对 不对？所以你看我们画个图，假设 a， 这是 a， 这是 b， 可以 吧。那同样 ab 等于二，我就不写了，他说 c， 它有方形分隔点，我们我这啥这点是 c， 他 说 ac， ac 大 于 bc， 所以 我们知道如果 ac 大 于 bc， 又是方位分隔点的话，那是说明什么？说明 ac 啊，比上 bc 是不是等于二分之根号五加一，这是不是黄金分割点定义啊？假如你要不知道黄金分割点定义的话，我建议你回复课本，课本上有的，好吧。然后我们要求什么？我们求 ac 的 长，因为 ac 大 于 bc， 所以 我们是不是可以射，我们是不是可以射，我们怎么射呢？我们要求谁，我就射谁，所以我令 x 等于 ac， a， c 等于 x， 所以 这点是 x， 那 这里面是多少呢？你说老师我设为 y， 那 我说你是笨蛋，为什么那题目中还有条件没给到了，是不是题目中还有个 a b 等于二没用到呢？所以大家你设变量的时候，你一定要想到题目中条件你是否用到了，如果没用到，我是不是要 再去题目中找？所以你看这两条箭是不都用到了，然后我是不是要用到第几个条件了？所以如果条件没有到，说明你有可能错了，或者是大概率就错了。好吧，所以这点就是设为这点其实就是二分之 x 了。那通理不就解这个方程组吗？对不对？是不是解解 x 比上二减 x 等于二分之根号五加一，你解就解出来了， x 等于根，五减一好吗？就选 a。 所以前三题啊，是非常基础的，是非常基础的，其实你我讲的可能会很多，但是你自己做的时候你一定要小心，这种题是不应该错的。好吧，这就是前三题给大家补充的知识比较多，大家希希望大家就是，呃，可以理解。好吧，我们看第四题， 像第四题这个题的时候，你怎么确保你做对？记住了画图，记住了画图。首先我们看一下它要将求 y 和 y 的 关系，那我是不是可以求出来，是不是可以比较对吧？首先我们看一下 y 等于 a x， 那 y 等于 a， x 方 a 大 于零，说明它开口向哪，是不是开口向上， 是不是开口向上，然后它过哪一点是必过零零点，当 x， 零零零零零零零，所以这个图像就是 y 等于 y 等于 a， x 吗？用 a 大 于零，对不对？好，我们看点它是负五。首先你要找到负五是在哪半轴，负五是在呃 y， x 的 负半轴，对不对？这是 x， 这都是 x 啊，后面是 y， 所以 我们比较 y 值， b 等于负一，是 b， 是 不是在这点，这点，这，这个 x 的 负一，所以这点是 b 点，对不对？那这点是 a 点，对不对？是不是负五？那你用肉眼一看就知道了，那 y 一 一定大于 y 啊，对不对？ y 走在正半轴，是不是都在正半轴？你 y 一 y 二是不是都在正半轴？这这这一竖线是不是 y 一， 这一竖线是不是 y？ 二，你在做正半轴，所以你 y 一定大于 y， 所以 这题选 c， 你看简不简单？你可能还能跟，还跟他算。我跟你讲了初中数学，你你，你能算的算？当然不能，不要算的话根本就不需要算。好吧，你看这样你就是不是很快就算出来了，你算，有可能算错，是不是？算，是不是有可能算错？好吧，这就是第四题，大家应该没问题吧？ 好，我们看下第五题，大家读题是一方面，你看，我带大家读题，他说在这网格中，呃，记住了，看第一个重要条件点是 d p 平行于 d p 平行于 d p 平行于 bc， 好， 这平行。然后他说，呃 b， 则 b p 等于多少？ b p 等于多少？好，这个这个点到这的时候，大家会想到什么呢？他说他平行于他，那这想说明什么呢？ 想说明什么呢？所以大家一定要对条件已经敏感。你平常在课下练习的时候，你可能，可能你平时老是讲的话对不对，怎么怎么样，但你一定要对条件敏感。他说 d p 啊， 平行于 bc， 同理，说明，说明你，你这三角形它们共变，它也共变，你说说明这三角形干嘛呢？所以有这表格，这是一个条件，在有表格中，这个图像中，这两个条件一二，就可以说明什么， 就可以说明三角形 a、 p、 d 啊，平行于三角形 abc， 有 没有问题？一定是错的，怎么能？三角形怎么能平行呢？所以这是相，相似啊，是相似，我写错了，相似。 好，既然有相似的，我们是不是要求什么？是不求相似比对不对？是不找相似比，相似比， 那找相当比。你要知道找谁最简单，是不是找占格子，单位格子最短的最简单呀。你看 ad 占几？ ad 占三， ad 占 ac 占几？ ac 占五， 对不对？所以说你现在要求的是什么？你要求的 b p， 那 你 b p 是 什么？那你 b p 是 求不出来的。为什么？ 我虽然说三角形 a、 b p 啊，相似于三角形 a、 b、 c 啊，但你 b、 b 只是这一部分，我只能说 ap 和 ab 相似，所以我要先求出来 ap 和 ab， 然后再进行，再去反着求，对不对？ 对不对？好，首先我们第一次见，我们先把相等比，接下来相等比是不是等于 a、 d 比上 a、 c 没问题吧？那我我我， p 点在哪？键上是不是等于 ap？ 比上 ab 等于几？ ab 等于几？ ab 是 不是三格子？ ab， ab 是 不是？是不是？呃，五分之三， 可以吧？可以吧。那我怎么去算 ab 呢？我怎么去算 ab 呢？ 你看，你明显就知道了。你看我，你以为我是单位格子呀？我就很好算。你这个格子和这个格子，这不是 a b 吗？所以你看这是二，这是四，二，二的平方等于几？四四的平方十六十六等于根号二十，根号二十等于什么？根号二十是不是等于四乘以五，四乘以五， 这样算是不是麻烦了呀？是不是麻烦了？ 那我们看看。其实我感觉这样算其实也还行吧。那我们看看有没有更好的方法。 首先我们要明确目标，明确什么目标？我们要求的 b p 是 不是？ b p 等于什么？ b p 是 不是等于 ab 减 ab 对 不对？ 所以我们该去怎么求我们的那个？ 所以我给大家讲，如果，如果是我做的话，我觉得最好的方法就是你看，最好的方法就是你先用这个角，就这个角求出的 ab， 对 不对？是不是求出的 ab？ 你 看这是二，这是四，所以 ab 它是不是要这个格子是不是交叉形？所以这个是二分之根和五，所以你看我们是不是减，减出来 ab 是 不是等于二分之根号五，对不对？那我 ab， a b 和 a p 是 不是有有有这个相似的关系啊？所以 a p 比上 a b 是 不是等于五分之根号三，那同样，那同样，那这个 a b 是 不是出来了？ a b 是 不是等于二分之根号五？我们带进去，所以 a p 啊？呃，等于什么？等于五分之根号三乘以什么？ 五分之根号三乘以二分之根号五，没问题吧？五分之根号三乘以二分之根号五，是不是？是不是五分之六倍的？五分之六倍的根号五，这是不是 a p 啊？那我说 b p 等于什么？你看我们目标找到了 b p， b p 是 不是等于 啊？ a b 减去 a p 是 不是等于二分之根号五？减去五分之六倍的根号五是不是等于五分之十？减去五分之六？只有五分之四倍的根号五没问题吧？是不是全解出来了？五分之五分之四倍根号五是不是选 d 啊？这节， 好吧，这是比较比较。呃，简单的方法了，就是大家一定要要对题目条件敏感，然后去算的时候，因为单位格子我们我们可以哐利用到什么勾定，你没问题吧？ 好，这就是前五题啊，这五题对于你如果你想考一百二的话，这五题是不该错，不应该错的，好吧，就非常前一局差不多除到我讲的话，其实这五题其实你口算，嗯，你算的话，其实你应该也在十分钟左右就做完了。好吧， 好，我们看下第六题， 像第第六题这个题，我们要知道它是不是开始平移啊， 所以我们要对平移的条件进行敏感，可以吧？我们一步一步来，首先他说这个图像是由这个图像进行平移而来的，它的定的坐标是 这个定，定型坐标应该是他的定型坐标。读题一定不要读错了，因为你明显的你看出来他就算他带进他的跟我们也不相等啊，所以他又不可能是他的定型坐标，所以我们一步一步来， 所以你看，首先第六题第一步 y 是 不是等于负二 x 方，对不对？他说他由他平移而来，他由他平移而来，我怎么才能进行让他平移而来？他顶点坐标，我是不是有顶点式啊？顶点式是什么样子大家想起来没有？顶点式是什么样子？ 你看顶点式，它既然用点子表，我们是不是写成顶点式？顶点式是不是 y 等于什么？ a 位的 x， 这是加一的平方呗，让我干嘛？是不是减三？ 这是不是顶点？坐标顶点？是啊，所以我们要开始拼一，所以刚开始怎么拼音呢？首先我怎么去得到 x 加一？先变最复杂的先怎么变成 x 加一，所以肯定是向左加右减，上加下减，对不对？所以向左移一个单位，向左移一个单位，变成什么？ y 等于负二倍的 x 加一的平方，好吧，然后呢？然后再向哪移？你要得到减三啊，对不对？所以你减三，你是此时不是在变量了，是不是向下移啊？ 向下移几个单位，是不是三个单位？是不是变成 y 等于负二， x 加一的平方减三，它你算的什么？是不算 a， b， c， b， c 是 不是他们的分别的系数？所以把它展开把展开会吧。这个展开是什么平方式？是不是半径平方式？是不是 x 方加上 r， x 加一，然后减 减三，你加上过后就变成了负二， x 放减去四， x 减五，对不对？所以这样就比较系数法，是不是 a 等于负二呀， b 等于负四啊， c 等于负五呀，所以 abc 相加四加五，负九，负九加负十 e 好 吗？ 这题就选 a， 没问题吧，兄弟们，我的同同学们。好吧，这就选 a。 好， 看下第几题，这几题应该是有图的啊，我应该图没没拷贝过来。稍等一下哦，我们拷贝下图。 好，这是第几题图啊？我们读下题，我们读下题。 它说 a、 b， c 中 a b a， b， a， b 等于八， bc， bc 等于角， b 等于三十度，要考察一 c， 考察一 c 等于五分之三， 考察一 c 等于五分之三。呃，这个对考察一 c 如果对高中学生同学来说的话，肯定有阴影的展开了，或者是考察一 c， 其实大家都知道是等于三十六度还是五十四度，我记得， 好吧，大家如果你不知道怎么办？如果你不知道怎么办？记住了，在我们初中数学中，我们用到的所有三角函数公式都是在直角三角形中构造的，所以我们拿到这个题第一线，我们要想我们怎么去构造直角三角形，大家能懂我意思吗？ 所以就是在我们这个初衷领域上，就，所以记住我这句话，初衷只在 r t 三角形中去研究三角函数， 所以我们拿到这个题第一时间就想到怎么勾到直角三角形，好吧，就是我们的思路，所以我们勾到直角三角形怎么勾到？一般我们是用它高来勾到直角三角形，那你看这里面我怎么勾到高呢？ 你，你同时保证这两个角在同在两两个三角形中不就可以了吗？所以我这一点要做辅助线，我做 a、 d 垂直于 b、 c， 可以 吧？那同这样，我为什么要这样做到这样是不是得到三个三角形呢？对不对？好， 嗯，这，所以我把这张三角形交直角标一下。好，此时我们在这个三角形中解一下，他说 a、 b 等于八角， b 等于多少？我不知道三十三度角对应的三十度对应的它是不是它的二分之一啊？所以同理，这个这个边是不是四， 假如你不知道的话，假如你不知道的话，假如你不知道这个性质的话，你是不是也可以证明啊？你说 a d 等于什么？你算了，我一步一步解啊， 因为我我不知道这个听课这个课的有有有同学比较差的，如果比较差的话，你可以听我慢慢讲，你看，首先我们知道三十三度等于什么？三十三度是不是等于 ad 比上 ab， 是 不是对变比上斜变？那所以 ad 等于什么？ ad 是 不是等于 ab 乘以三零三十度， a b 是 八，三三都是二分之一，所以正好是不是四啊？所以是不是跟一个男的接的是一样的呀？对吧？在交叉运中，三度数对应的边就是斜边的半，好吧，所以这边是四，那这边是四能说明什么？ 这面是四是什么？其实这面是四的时候，我们想要听不懂条件，他说你看这两条线我们是不是都用到了，所以这个条件还是是不是没用到？所以你看这个 cos， cos 等于什么？ cosc， 首先我们知道 cosc 等于什么？ cosc 是 不是等于零变比上斜变，所以是不是 c d cd 比上什么？ cd 比上 a c 没问题吧？这个点是不是 cd cd 比上 a c 啊？好吧，让我们求的什么？让我们求的是 bc 的 长 让我们求的是 bc 的 长，怎么办？怎么办？好，我跟你讲，你不要着急，不要着急，你看它是不是等于五分之三？ 好，那我能不能舍呀？我是不是可以舍我舍 cd 啊？为三 x， 我设 c d 啊，为三 x 设 a c 啊，为五 x， 可以 吧？所以在这个，这个，这个三角形是不是也这条三角形啊？对吧？所以这点是三 x， 这是五 x， 你 证明这三角形啊？我勾股定律是不是勾股定律是不是三 x 的 平方加上四的平方等于五 x 的 平方呀？ 这是括号呀，一定要带括号，不带括号是错的啊。所以你，你明显能看出来这是勾，标准的勾零是不是三四五啊？所以 x 等于一，所以是不是三四五，所以这，这点是不是三？那 bc 等于什么？ bc 等于什么？ bc 是 不是等于 b d 加上 c d 啊？ 那 b d 怎么求？ c d 是 不是三啊？那加 b d， b d 怎么求？是不勾定的啊。八四三，或者是用三角，三角形那个，呃，勾定的是，呃，那个叫什么？三角函数也可以，可以吧。是不是八的平方减去四的平方。八平方是多少？六十四，六十四减十六等于多少？六十四减十六是不是四十八？四十八是不等于 十六乘以三，所以是不是四倍根三，所以是不是三加四倍根三呀？好吧，你都可以。或者是你说老师我不相信公不定。你公不定是最笨的方法，是最简单的方法。你说老师我不相信公不定怎么办？那那那 b d 不 就等于什么？ b d 是 不是等于 ab 乘以？考察 a 啊， 三十度对不对？是不是等于八乘以二分之根号三是不是也等于四倍根三？都可以都可以啊，都可以，看你怎么选择好吧， 快的话是这种，慢的话就这种购物能力好。这题就选三加四倍刚好三选 b 没问题吧。就是前七题，前七题，这都是比较基础的好吧。然后看第八题，你看悦悦同学，他一看那第几题，他就说老师不对，第八题。老。老师，这怎么图像这么复杂。你不要你，你不要你不要你不要那个紧张，我们一步一步看， 先读题，它说 d、 e 是 它的 a、 b 的 重点，连接 b， e 连接 b， b、 e、 c、 d 交点为 f， 则下面正确错误，下面正确错误的是什么？它只让我证明错了，所以我们看一下， 所以我们看一下， 稍等下我回下信息啊。 嗯，就是我觉得如果同学们如果做这种题的话，其实我觉得你可以先跳，你可以先跳，其实这种题很复杂，他既然能证明错了，说明你 a、 b、 c、 d 是 不是都要， 都要给他就是呃，去排除。所以我觉得如果你，如果你是个比较聪明学生，其实这样的题你可以先跳，把把填空题，不对把选择题，就是全部做完过后再来看这题也是可以的，因为他这一题和第十题是一模一样的， 他和 d、 c、 d 都是一模一样的，就是考验你能不能一个一个退，能不能一个一个退。好吧，那我们看一下，我，大家看一下，就是如果我跟你讲，我先给大家做一顺序，那如果大家想做的话，我给大家一步一步解释。好，我们看出现看 a。 首先我们找到三角形 c、 e、 f 是 什么？ c、 e、 f 是 不是这个三角形，他说他等于他三分之一， 它等于它三分之一，它等于它三分之一。首先我们想一下，我们该怎么去看，我们该怎么去看？ 首先我们看一下 e 是 什么？我不知道大家能不能分清，其实 f 是 重点，大家能看出来吗？首先 e 是 它的重点对不对？ e 是 a、 c 的 重点， f 是 什么？ f 其实是重心， 我现在有点就不太理解初中有没有学这个重心？所以，所以重心是什么？什么？中线，所以三角形中线，就把三角形分分为三个，三个全等的三角形， 嗯，大家学过中线没有？中线的重心，重心的性质，重心性质。我我我，因为我不确定大家学没学，没学过，所以我给大家也讲吧，我给大家讲一下。首先这这题就有几个结论，如果大家学过的话，大家能听懂，没学过的话有可能是高中的东西，我记不太清了。 结论一就是中线的性质。中线的性质， 中线有什么性质？中线有什么性质？假如说你在这在本题中，我 d 点和 e 点是不是都是中中点？ 所以，我，我，所以我， c、 d 啊，还有这个 b、 e 啊，都是什么三角形的？三角形的什么中线？有中心连接的断点的叫中线。 中线啊，好，这是前两个性质。第三个就比较重要的就是引入到两个中线，两个中线相交于一点， 相交于一点就是中线。 好，这是，这是中线的性质。然后我们看下重点的性质。重点的性质好不好？我们看下重点的性质， 不对，中线的性质。中线性质简单。二、 重心性质。 首先我们要知道三角形中三条中线相交于一点，就要重，就是重心。首先我们知道什么叫重心， 两条中线相交于一点，就是这样，其实两条中线代表三条中线是一样一模一样的，就是三角形中 三条中线交于一点， 所以它交于一点过，它们就有性质了。比如说我给大家举个例子，我给大家给大家补个图，假如 b 和 c 点有一个有个中线 a、 e、 d、 f、 g， 假如是 g 点好不好？我们连接 a a f 过 g 点，你看这个 f 点是不明显的，也是他的这个重心的焦点，所以他们就有彼此的，就有性质，就是 cf 思想型重心， cf 比上什么？形成比例吧。 cf 比上 f d 啊，就是一文折， 那么 b f 比上 f， e 也是 c f， 我 标错了，是二，这是二，同理， a f 比上 f g 也是二， 就是他们性质。就我不知道你们学校老师讲没讲过这些性质，如果没讲过的话，你可能听我讲也能听懂，就是我讲的就是 稍微细一点吧，我怕有些人他没听过过这些东西。好吧，然后这一题让我们干什么呢？是不是比较面积乘比例啊？是不是比较面积乘比例啊？首先面积乘比例我大家一定要记住面积啊， 乘比例其实是研究什么？其实是研究什么？记住了，面积乘比例大部分研究的是你的底边的比，什么意思呢？你看，我们看，记住了，找这个条件叫同底同高。 你看，首先我们知道三角形面积是什么？三角形面积是不是二分之一底乘高 对不对？如果我面积有有比，是不是相当于就相当于他的他的底边有比，如果我高有比，是不是也相当于他这个？ 呃，面积也有比，所以大家已经记住了。如果让你研究面积乘比例这个图像呢？就是这个这个样子题的话，其实就是研究，让你看看能不能找到同底和同高， 可以吧？好，我们看一下。所以此时我们来看 a b c， d， 我 因为刚开始我讲这个怕，我怕这个东西是高中的知识，我觉得高中他有学重心，初中我现在考纲里面有没有重心我也不太清楚，因为主要是带高中的。好，我们看一下 c、 c、 e、 f 是 这个变对不对？ abc 这个变， 如果你这个就是什么？这就是中线，把它的三角形啊，面积啊分成三个相等的部分。所以如果你学习中线重心这一点的话，其实 a 就 明显是对的，就是 c、 e、 f， 它的面积啊，就是三角形 a、 b、 c 的 这个三分之一。 就这个题可能出的，我感觉有可能有点超纲，超纲了吧，我觉得初中生他可能并没有了解这么了解过这个。嗯，重心 好，我们看下，我们看下这个 b 选项， b 选项是 d， b， e， d， b， e 在 哪？ d， b， e 是 这个，是不是这个三角形对不对？和 a、 b， c， a， b， c， 所以 我可以从相似，相似来看，是不是可以从相似来看？ 那相似相似比，相似比面积比是什么？面积比是不是相似比的平方大家记得吗？不知道大家记不记得面积比，刚才那种，刚才那种看法，刚才这种是同理，很好看，这种是相似比，如果可以相似的话，面积比等于相似比的平方 好，我们看一下。呃， d， b， d， e， b， 我 们看一下 d， 首先我们看一下 d， b 是 不是等于二分之一？ abc 问题吧， d、 e 是 不是又平行于 abc， 说明三角形 d、 b、 e 与三角形 abc 相似的，别看它那有点不相似，但它俩其实就相似的，对不对？是不是平行跟我们刚才讲的一样，是不是平行相似啊？所以它们是相似的，所以三角形 d、 b、 e 相与三角形 a、 c， a， b、 c 相似。 好吧，相似比多少？相似比是不是一眼就看出来？是不是是用 d、 b、 d、 b、 d、 b 和这个 a、 d、 a、 b 进行比啊？ c 是 不是 d、 b 比上 a、 b 是不是二分之一啊？这是不是相似比啊？那面积比是不是相似比平方啊？是不是四分之一啊？所以这题就这个 b 就 错了， b 是 四分之一，所以这题选 b， 正常做题就做到这就可以了。然后我们再往下看，我们再往下看， 我们再往下看，他说 a、 d、 e， a， d， e 在 哪？ a、 d、 e 在 这， 呃，是三角形 a、 b、 c 的 二分之一，其实这也是性质，这叫中位三角形，它是个中位三角形，或者是，嗯，它是个中位三角形，这个 c 是 什么？ c 应该表示的是周长吧，其实它 a、 a、 a、 d、 e 啊，它和它的比是多少大家知道吗？ 记住了，是面积比的话，是肯定是相似比的平方，所以如果它俩如果这几个 c 分 s， 三角形 a、 d、 e 啊，一三角形 s， 三角形 abc， 它们的这个 这个比就是面积比，面积比，大家记住了，面积比就是相似的平方，它们相似比是不是二分之一， 没问题吧？他们是不相似，他们相似能看出来吧？相似过后，他们比是不是二分之一啊？所以他的相，他的这个面积比啊，是他的相似比的平方是四分之一，他的周长比就是他相似比，周长比就相似比就是二分之一， 好吧， c 也是对的，所以大家这一题就给大家串下知识点，如果你不懂不理解的话，你可以多听两遍，或者是搁评论区，或者是加我微信问我，好吧， 三角形 b、 d、 f、 b、 d、 f 是 不是这个三角形 b、 d、 f 和三角形 c、 e、 f 相等，这是很明显相等，对不对？为什么？我们说下为什么？ 我们说下为什么，但大家接下来思考一下为什么？大家接下来思考一下为什么？ 大家想想一下为什么？这个能不能用我们这个我给大家提示一下，能不能用我们这第三个结论就找比方说，同理同高，同理同高，他既然是重心了，他是不是？既然是重心了，说明你什么？ 他既然是正心了，说明 b、 f 啊，就等于 c、 f， 这个也是正心的性质，没问题吧？那么他们底，他们共用高，他们是不共用，高低又相等， 底相等，共用高是不是就面积相等？因为面积等于什么？ s 等于什么？二分之一底乘高底相等，共用高，高是一样的，底相等的，所以三角形面积是不是相等？ 所以我建议大家这样的题，你你你见到一次你就记了一次，把这个题啊，写，写到你的这个本子上，你把我写的一个结论啊，写这些小小小点，假如你不理解了，你多推多去推，你不要相信什么结论，记住了，能推，推出来是自己的才最重要的，特别出中学，好吧，第八题就选 b， 好 吧， 第九题没地方讲了，我们把第九题考 p 到下一面，好吧，稍等我一下，大家正好再回顾一下这个第八题。 其实第九题考的是高中的知识，这种题就叫创新题，就是出题人啊，这种题叫创新题， 出题人给你提前铺垫一下高中的知识，看你能不能硬过来。假如这题你硬不过来的话，我跟你讲，这题硬不过来的话，就说明你思维不够发散，我来看下这题怎么思维发散。 首先你第一时间就看到了这个角等于二分之二等于二，你想到三角有什么知道三角形为二分之二的？假如你不知道，你不知道怎么办？是不是用我们刚才讲的我们第一题讲的方法，你把两三角都画出来， 一二根三，这是不是三十度？还有这个等腰三，只要等腰，只要三角形，是不是四十五度？四十五度，你一看到根二，记住了，在三元函数中，如果出现根二，一定是四十五度，如果出现根三，一定是这个三角形，出现根三一定是这个三角形，如果出现根二，一定是这三角形。所以你看杂音四十五度能多少？你一看 这是不是一？一跟二，这是不是等于二分？正好等于二分之二。所以什么说明？说明二被他呀？就等于四十五度，那说明被他是不是等于二十二点五度， 对吧？他又给我半角公式了，不好意思，我就说的是高中的内容，这个公式是半角公式，如果你不知道的话，你看弹力的被他等于什么？弹力的被他等于什么？大家想一下，弹力被他等于什么 大家肯定不知道，因为这搞笑的东西大家肯定都不可能知道，所以你不知道的话，你是不是得往题目上找？你是不是得往题目上找？你是不是得往题目上找？ 大家看一下，他说贪听呢，他那给我这个角有什么意义呢？可我这条件我怎么没有呢？所以大家到这一步不会求的话，大家一定想到这一步画红线，这一步怎么用？这一步怎么用？ 大家看你是不是要求 tony 贝塔是不是等于 tony 四十五？ tony 二十二点五度啊？对不对？那这一步怎么用呢？你看 tony 二十二点五，我感觉怎么来的？是不是能四十五度出来？所以 tony 的 二分之二 f 其实就是什么？就是 假如我把他，我因为我求求我把他带进去，那我二十二点五度等于二分之二法，他说 r 等于几？ r 是 不是正好等于四十五度？就给你考一个等量变换，看你能不能理解。很抽象，就高中的东西放到初中来，这种创新题就是考验你思维够不够发散，所以他就等于什么？ 你看带我们带第一公式可不可以？第一公式是不是三因四十五度比上一加上靠三因四十五度，三因四五度靠三四五度是不是等于都等于二分之二？是二分之二比上一加上二分之二，一加二分之二等于多少？是不是二分之根号二加二比上二分之二， 没问题吧？对这个进行化简一下，这个会化简吗？这个应该可以化简啊，应该等于根号二减一，应该没问题啊。 就带入到这个公式里面，就比较抽象的一题，就是把高中内容放到初中来讲，还是比较基础的，其实其实比较基础好吧，这个就选括号减，应该选选 d 啊，大家可以验证验证一下试试，可以吧？

好，来看一道九上期末的考试题啊，是一道与圆有关的几何题，题目给了我们一个等腰三角形 abc， 它的顶角是四十五度的，然后圆 o 是 它的外接圆，并且 bc 的 弧长也告诉我们了。 接着 p 点在射线 bc 上运动， b， p 的 长度等于 m， 而且 m 是 有一个范围的， 然后把 o p 绕着 o 点逆时针旋转四十五度， q 点在射线 o d 上，但具体在哪不知道，我们就先随便点一个吧。然后连接 p q， 它的长度等于 n。 好， 第一问，让我们求圆 o 的 半径，那既然要求半径，我们得先把半径画出来吧， 所以我们连接 o b 和 o c， 因为同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以角 b o c 是 等于九十度的， 这个时候 bc 它刚好是四分之一个圆周，所以根据题目给的这个弧长，是很容易就能算出来半径是等于根号二的。 好，再来看第二问，他说 m 和 n 满足这样一个关系，然后当 p 点运动的时候， q 点也会跟着运动， g q 一 q 二是 q 点的两个位置，最后让我们探求直线 q 一、 q 二和圆 o 的 位置关系。 读完题目之后，是不是感觉有一点烧脑啊， m 和 n 的 关系是还不知道是个啥呢，又来了两个 q 一 和 q 二，关键是现在 q 点在哪还不知道呢，所以很多同学会感到无从下手啊。 但其实呢，它就是一个纸老虎，也就猛一看挺吓人的，因为你只要稍加理解一下，就会发现这个什么直线 q 一 q 二，它不就是 q 点的运动轨迹吗？而且题目还明白的告诉我们了，轨迹就是个直线， 但由于主动点 p 的 轨迹也是直线，所以我相信大家应该都会往瓜豆的方向上去想，毕竟我也讲了那么多次了嘛。也就是说 o q 它肯定和 o p 之间存在着固定的数量关系，要不然它的轨迹不可能是直线。 然后我们再来看这个 m n 的 关系式，他的左边是一个单个的 n 方，右边呢，看着有点像完全平方式，所以我们可以尝试去把它配方一下，之后，你就会惊奇的发现，哎，这怎么看着有点像勾股定律呢？ 如果你再回想到刚才第一问球的半径，以及 m 这个莫名其妙的取之范围，我相信你肯定会想到点什么东西的。 如果我们过 o 点往下做个垂线的话，那 o 一 b 一 和 c 一 就都等于一了，这个时候一 p 的 长度就等于 m 减一，所以根据勾股定律， o p 方也等于 m 减一方加一。 好，到了这一步，我相信大家应该都会豁然开朗的，因为这个时候我们得出了 p q 是 等于 o p 的， 又因为角 p o q 是 四十五度的，所以三角形 p o q 它其实是一个等腰直角三角形。 那接下来应该不用我多废话了吧，因为这个模型大家都见过无数次了，其实也犯不着用刮斗那么高级的东西，就用一线三垂直就可以了， 全等之后就能得到三角形 f c q 是 等腰直角三角形，又因为角 o c b 是 四十五度的，所以这个角 o c q 它是九十度的，所以说这个直线和圆 o 的 位置关系是相切，你学会了吗？

九年级上学期的期末考试，你可别忘了还有这样的一个单元，它是我们九上第一章的特殊的平行四边形。这里面呢，期中考试是我们重点，但是在期末考试的时候，还是会出到我们一个大题的证明里面。我们来看一下例题， 知道了一个角 c 是 直角， a， d 等于 b， d 说明点， d 是 个中点，我们把中点加出一下 过点 d， 做了 ab 的 垂线交 bc 于点 e， 也就说明这个地方是垂直的。过点 a 呢，还做了个平行 交 e d 的 延长线一点 f。 上面这么多字，其实主要告诉我们几个条件， d， e、 f 三个点是共线的， e、 f 这条直线呢，其实是 ab 的 垂直平分线，我们来写一下证明过程。 题目里条件的字数比较多，我们不想全抄下来，那我们就写个由提之。 可以知道的是， e、 f 会垂直平分 ab， a f 就 会等于 b f， 还有点 e 到线段的端点距离也相等，所以这里也出来一组， a， e 等于 b e。 接下来还有个条件我们还没有用，已知 a f 和 b e 是 平行的，我们在图里面把这组平行标一下， 平行可以推出内错角，同旁内角或者同位角，说明我们接下来条件跟角有关。 从上面这一步我们就接着也得出角的结论。那么两个等腰上的形可以知道，我们标一下底角相等，角一肯定等于角二， 这里呢，角三跟角四也会相等，所以把条件先给他写下来。有了这个条件，我们就可以和平行里面的三线八角等腿找上共同的关系。那么我们先把条件平行的条件写下来， a、 f 会平行于 b e， 这组平行线跟我们刚才标的角一、角二、角三、角四有什么关系呢？从这里可以看见出来了内错角角一等于角四， 那我们就可以等量代换，说明角一跟角三也是相等的，加上刚才上面还有一个垂直平分线，那么这里就出现了一个等腰三角形， a e 会等于 af。 其实这四条边都是相等的， 在书写过程里面很容易扣分的一个地方在于孩子写的时候会把这些顶点的名字写错，尤其出现了 e 跟 f， 经常有孩子会多一个横少一个横，那么这种情况扣分就特别不值得。做题的时候呢，一边写一边回头去验一下你的条件，不要把名字写错了。最后我们就出来了四条边相等的四边形是菱形，所以菱形的结论就推出来了。 好，这就是我们整道题完整的过程，希望能帮你这一次证明题拿个好成绩。

各位同学和家长，今天我们讲解九年级数学如何利用相似三角形的性质来解决题目。我们的寒假一摸数学课程会结合近三年的中考专题，专题突破相似三角形。首先大家暂停读题， 由题目可知，求的是三角形 b、 f 和 abc 的 周长比以及面积。 关于两个三角形的周长比和面积比，我们很容易能想到相似三角形的性质。相似三角形的性质是这样说的，如果两个三角形相似，那这两个三角形的中线比、高线比、角平分线比以及周长比都等于他们的相似比。 两个三角形的面积等于它们相似的平方，那我们只需要求证两个三角形相似即可，然后找到它们的相似比。那两个三角形相似呢？由题目可知，三角形 a、 b、 c 呢，是一个正三角形。 正三角形我们很容易联想到的是三个角相等，三条边相等，符合三线合一。 如果两个三角形相似，说明里边这个 d、 e、 f 这个小的三角形也应该是一个等边三角形， 那我们就容易联想到八年一学的关于等边三角形的判定。等边三角形的判定呢，一共是三个，其中第一个是证明每个角度是六十度相等，第二个呢，证明三边相等。 第三个呢，证明一个角是六十度的等腰三角形就是一个等边三角形。有这个题，我们可以知道，题目当中有大量的关于角度的已知条件，所以我们可以从角度去突破 角 b 这个角是六十度，由于这是垂直，所以这个角就是三十度， 那这个地方也是直角九十度，所以我们知道这个角应该是六十度。 同样的道理，我们也可以求出这个角也是六十度。具体来说一下，角 c 是 六十，这个角是三十，所以这个角一定是六十。由此我们得到了原来里边这个 e、 f 是 一个等边三角形。 既然他是一个等边三角形，那两个三角形就是相似的，所以他们的周长比就等于他们的相似，我们只需要求出两个三角形的相似。 由于题目中没有具体给我们编程条件，我们可以假设这里面出现了直角三角形。这个直角三角形是我们初中非常常见的含有三十度和六十度的直角三角形。我们可以假设 b、 d 是 一， 那 b、 f 就是 二， b、 f 就是 根三。因为这样的三角形，它们的三边是一比二比根三。接下来我们还需要解决的是 三角形 a、 b、 c 里面的一条边， b、 f 是 二，我们只需要求出 a、 f 的 长度就可以了。那有的同学说，老师 a、 f 和 b、 d 它俩相等的，那它俩为什么相等呢？ 说到两条线段相同，我们很容易想到八年级的全等三角形。如果我们能证明两个小的直角三角形是全等的，那我们就可以说明 a、 f 和 b、 d 是 相同的。我们具体来看一下 两个小的三角形，如果它们像全等的话，看一下有哪些已知条件。首先都有六十度角， b 是 六十度角， a 也是六十度，有两个六十度的角。 同时由于里边这个三角形是一个等边三角形，所以 d、 f 和 e、 f 是 相等的，而且它们都含有直角九度， 那我们可以用 a、 a、 s 来证明两个三角形是全等的，两个三角形全等了，那 af 和 b、 d 就 相等了，可以证明 af 等于 b、 d， 这样的话，我们就找到了三角形 a、 b、 c 的 边长， a、 b 就 等于二加一等于三， 所以三角形 d、 e、 f 和 a、 b、 c 两个三角形的周长比就等于它们的相似度，也就是等于 a 三、 b 三， 那他们的面积之比呢？面积之比就等于他们周长比的平方，也就是相似的平方等于一比三。 其实我们还可以求出，因为这有三个直角三角形，每个小的直角三角形应该是这个大的三角形 abc 的 九分之二， 我们可以试一下。由于小三角形和大三角形，也就是里边这个小的等边三角形和外边这个大的等边三角形，它们的面积是一比三， 里边这个是一份，大的面积是三份，那剩下的这三个小直角三角形，它的面积值可应该是两份。由于这三个小直角三角形应该都是一样的，所以这一个三角形就应该是二除以三，三分之二份。 所以我们就知道了，我们用三分之二份比上大三角形 a、 b、 c 是 三份， 就应该等于九分之二，所以这一个小的直角三角形面积应该是这个大的等边三角形面积的九分之二。总结一下这道题目， 当我们在做题的时候，发现了一些两个三角形周长比，或者面积比，或者是中线、高线角平分线的比的时候，我们一定要联想到相似三角形性质，把它们转换成相似比进行解决。 想求相似比，那就需要证明两根形全等，所以最终还要转换成两根形相似的判定。 这道题就讲到这，认为对你有帮助的同学请点赞关注，并把这个视频推荐给有需要的同学，谢谢大家！

同学们，今天我们看一下反比例中 k 的 几何意义。大家好，我是只会讲解思路的学长。老师好，我们来看一下题。看这，这个是一次函数， 也是正比例函数 y 等于负 x 这条线，然后呢，这条是双曲线，这个是 y 等于负 x， 因为它是小于零，所以是在第二和第四项线相交于 a、 b 两点 过点， ab 呢，分别做它的垂线，这个我们看的很清楚，垂足分别为 c、 d， 则 a、 c、 b、 d 的 面积求这一个面积。 那么同学们，这两个函数都知道，所以我们第一种方法肯定是可以连立方程组， y 等于负 x， y 等于负 x 分 之四。好，我们求出来就是负 x 等于负的 x 分 之四，所以这可以推出两边同乘以负的，我们约掉， 然再乘以 x， 所以 x 的 平方等于四，所以 x 一 等于二， x 二等于负二，那么对应的 y 一 呢？把它四除，负四除以二就等于负二， 所以这边呢，挖二就等于二，所以我们知道这个点的坐标对应的他的象限，所以这里是负二 逗二，所以 a 点呢，是负二逗二，然后这个点呢，是二逗，负二好，知道坐标，那我们求面积，平行是平行面积吗？简单， b 乘以高底就是二呗，高呢，这里是二，这里也是二，所以是四，所以面积为八。这是我们用用一些代数的方式，连立方程组求出坐标的方式去求的这一题。那么第二种呢？我们知道 k 的 几何意义， 随便一点 p， 然后我们知道它的面积就会等于 它的面积，就会等于 k 的 绝对值。为什么要加加绝对值呢？如果它是二次项线， k 就是 负的，它是面积永远是正的， 所以我们加它的绝对值，那么这一题如果我们把这里画下来，我们知道这个三角形跟它是全等的，所以我们进行添凑一下， 第一个把这个三角形移过这边来，那么这里就是一个 a 点的一个矩形的面积，这个矩形面积也就是 s 矩形是等于 a 的 绝对值的，所以这边就是 负四的绝对值，这个面积就等于四。同理下面的也是可以这样去移，把这个多出来的移到这边来，这个矩形 也是四，所以加起来也等于八。所以这题不管你用一般的代数的方式求出点坐标去求面积，或者直接进行平移后， 用 k 的 几何意义去做这一题都是可以的，而且也比较简单，同学们这题跟上了吗？

九上数学常考几何模型全部背熟，逆袭班级前三。中考常考的几何模型面积相关模型相似三角形常见模型、 角平分线常见模型全等三角形常见模型完整版。

我们看一题两个反比例函数中 k 的 几何意义的用法，大家好，我是只会讲解思路的学道老师。平行于 y 轴，也就是这里是平行的，然后交于这两个反比例函数，分别是这一个和这个为 ab 两点 告诉我们 c 是 动点，这个 c 是 动点，则三角形 a、 b c 的 面积， a、 b、 c 的 面积。那么这里考几个知识点呢？第一个就是拉窗帘的知识，什么叫做拉窗帘呢？ 拉窗帘就是这个 c 点，不管在哪个位置，只要两个平行线，这个 ab 是 固定的，然后 c 点在上面，不管在哪个位置，它们组成的面积都是相等的，因为 等底同底等高，对的，平行间平行线之间的距离都是相等的，所以它的高也是相等的，这就是这一个，所以我们这个 c 呢，会移到哪里去呢？肯定会移到这里来， 对吧？因为我们知道这一个面积是等于二分之一 k 一 的，所以我们一起写一下三角形 a、 b、 c 的 面积呢？其实这个就会等于三角形 a、 o、 h 的 面积加上 s， 三角形 b、 o、 h 的 面积，就这两个加上上面的面积，我们看一下 a、 o、 h 就 会等于二分之一 k 一 的绝对值，再加上二分之一的，这个就是 k 二的绝对值，对吧？ 所以我们再来看一下这里去绝对值了，他就会等于，因为 k 一 是大于零，所以是二分之一 k 一， 这个呢， k 二是负的，所以去绝对值是等于负的二分之一 k 二，所以这一题的答案应该是选 b 的， 这一题选 b。 然后我们呢，其实也可以去想一想，如果这里你看 k 二是负的， 负的减去一个正的，他肯定是小于零，面积不可能小于零，所以这两个是错的。我们马上就可以知道这两个答案中的选一个，然后通过分批我们知道是这一个， 所以这里考察拉窗帘，然后在两个反比例函数中 k 的 几何意义的用法，所以这题就选 b。

今天我们讲一下垂径定理，圆中学的第一个重要的定理，垂径定理。垂径定理内容主要说垂直于弦的直径平分弦平分弦所对的两条弧。 那么这条文字语言去翻译成咱们在卷面上或者你在写题的过程中需要写的几何内容的话，应该是因为我的 a b 是 直径 a b， 这条直径和圆中的某一条弦垂直，那么我们能得到的是这条弦被直径所平分，也就是如图中显示的 c e 和 d e 应该是相等的，同时它平分了这条弦所对的两条弧。 我们能知道圆中的一条弦是不是对应的有它的 u 弧和对应的是略弧，那么这两条弦都应该被我的直径所平分，也就是表示成为弧 a c 等于弧 a d， 弧 c b 等于弧 d b， 对 吗？那么这条结论的时候我们学过它的推论，那我们能知道垂经历里本身是具备知二推三的，对吗？也就是说这五条结论任意给我两条，我呢是推出其他三条结论的。

最近我们蒙中初三的孩子基本上都是对语言这一张学习有点迷糊，这一张中考是必考一个大题的选择填空也会涉及到占的分数并不算少，所以 刘老师整理了一些关于语言的练习题，包括基础练习和重难点突破的训练，里面有例题和练习，能够达到标准的举一反三，还有关于语言的性质和概念的练习巩固， 另外与圆的位置有关练习，与圆的计算和证明有关练习，这些都有。最后还有一个专题是圆这一张最近几年中考和模考的真题。另外我会把解析版一起分享给大家，如果做题没有思路的时候，可以对照解析看，找思路，学方法。关注一下，点个赞，免费分享给大家！

解一题得一法，今天给大家分享一道九年级的反比例函数的典型题目， 好，下面我们来看一下，如图， a 是 这个双曲线上的一点啊， b 呢是另外一条双曲线上的点， 然后我们的 a、 b 它又垂直于 x 轴啊，垂直于 x 轴好， m 呢是 y 轴上的一点连接， m a m b 要求三角形 m、 a、 b 的 面积啊，要求三角形 m、 a、 b 的 面积 好，那么这个题目啊，他其实不难，但是呢，哎，你要用到我们的这一个反比例函数当中， k 值的几何意义啊， k 值的几何意义， 只要是把这一个哎能够理解清楚了，那做这个题目就非常简单啊，做这个非常简单。好，那我们看一下该怎么样去解答。 首先第一步呢，我们需要对这个三角形 a、 b、 m 的 这个进行一个转化，因为这个 m 它是个不确定的点，对吧？那这个时候呢，我们就把它转化到一个确定的点上来，那肯定很明显，我们就选择把它转化到这一个 o 点这里来，我们就连接这一个 a、 o， 还有一个 b o 好， 连了之后，那我们就可以很容易发现，这个三角形 m、 a、 b 的 面积就可以等于三角形 o、 a、 b 的 面积，因为它们等底等高啊，等底等高好转化到这里来之后，那这个时候我们再来看我们要求的这一个面积是不是，你看这一个就是这个三角形的面积， 它是不是又可以等于三角形 a、 c、 o 的 面积减去三角形 b、 c、 o 的 面积啊？ 好，我们把刚才这样一个转化的哎过程写一下啊，过程写一下，那就是第一步，我们把三角形 m、 a、 b 的 面积转化为三角形这一个 a、 b、 o， 然后再进一步的转化为三角形 a、 c、 o， 减去三角形 b， c、 o。 好，那么这两个三角形的面积该怎么求呢？那这个时候就用到我们刚才说的 k 值的几何意义。我们知道在反比例函数上，任取一个点往坐标轴做垂线，然后再连接这个点跟这一个坐标原点，就可以得到一个直角三角形， 就像我上面这两个都是直角三角形，那这个时候呢，我们这个直角三角形的面积啊，这个直角三角形的面积，它应该是等于二分之一的 k 的 角对值 啊，为什么是这样的呢？哎，我们来看一下简要的来理解一下这个过程，比如说 a c o 啊， a c o 的 面积，它的底就是 c o， 那 这个时候我们看一下 c o 的 长度是不是就是 a 点的横坐标的几对值啊？ 那我们可以在这里写一个负的 x a， 对 吧？负的 x a， 那 么 a c 嘞，也就是说这个三角形的高就是 y a 啊，就是 y a 好， 底乘以高，再除以二， 那么是不是就可以得到这个三角形的面积等于负的二分之一的 x， a 乘以 y， 而这个 x 乘以 y， 根据解析式，我们的 x 乘以 y 不 就等于 k 吗？因为我们的 y 等于 x 分 之 k 啊， y 等于 x 分 之 k 的 这个解析式当中， 我们可以推导出我们的 x， y 就是 等于 k 吗？啊，当然我们要考虑这个点的位置，所以在这个地方我们要加上一个极对值啊，因为面积的话，它是没有负的啊，没有负的 好，那么把这个理解清楚了，我们再直接来套用计算就很简单了，我们看一下 a、 c、 o 的 面积，那它就应该是等于二分之一乘以一十六了， 然后再减去 b、 c、 o 的 面积，就是二分之一乘以六啊，乘以六，那这样一来，所以等于八，减去三就等于五，所以这个面积。哎，这个题目呢，我们就选 c 答案啊，就选 c 答案。 好，这就是这一个题目。好，我们归类一下方法啊，其实它的核心就是考察的 k 值的几何意义，哎，再就是这里用到了一个面积转化，等面积转化，等底等高。 好，我们的核心还是要理解这一个 k 的 几何意义，它是怎么来的啊？就是通过数形结合来理解啊。好，这个题目今天我们就分享到这里。

当一个知识点真正学透的时候，大家题自然就变简单了。很多同学遇见这种需要做辅助线倒角问题的时候，总是做不出来。那今天毕老师就给大家讲一道九年级这一期咱们的期末考试题，看看我们是如何了解。说，在四边形 a、 b、 c、 d 中，嗯， 角 a、 b、 c 这个角等于角 a、 d， b 这个角等于四十五度啊，你得四十五，我也得 四十五。好，再来说，角 b、 d、 c 等于九十，嘿，这边还得九十。最后问我们谁啊？ b， a、 c 这个角，问它等于多少度？各位，这个问题该如何解决呢？ 其实非常简单，比如说，你要是系统跟 b 老师学过圆这个知识点的话，老 b 最后会给大家讲到什么？讲到四点 共圆问题。什么叫四点共圆呢？其实常见的就是你圆周角定里逆运用啊，说，我如果在一个圆上，哎，同一条弦所对同侧的圆周角是不是就得相等啊？ 那倒过来呀，假设有一个八字这样的两个角相等了，那倒回来这四个点就怎么样长在同一个圆上啊？同样道理，圆周角定里还告诉我们说，我圆内接四边形对角怎么样啊？ 互补吧。哎，那各位倒过来，如果一个四边形对角已经互补了，这四个点肯定怎么样长在同一个圆上，这就是咱们简单版的四点共圆。好吧，哦，你要是知道四点共圆这道题，不就了解了吗？大家，我这九十，你四十五，所以我这大角得多少吧？ 是不是一百三十五，你是一百三十五，我这是四十五，咱们一共得几吧？加在一起是不是一百八？一百八就意味着咱两个互补，对角互补，所以四点哦共圆。于是乎 我所有这些点，它就长在哦同一个圆上。毕老师说清楚了吗？那既然在同一个圆上哦，再用一下另外一个圆周角定里，你刚刚是你俩互补来的是不是？我这回干嘛？我这会同弦所对， 同侧圆周角相等，因为你得九十，所以这得九十。所以这道题 b、 a、 c 直接口算九十度。但是 各位同学做一个解答题，你这么写一分你都得不来。所以老毕还得教大家写过程。那说四选公务员的过程该怎么写呢？因为他分析的逻辑跟别的完全不一样，是吧？这么分析太简单了，那过程大家记住四个字，以后 老师想给你扣分都难。凡是四点共圆，皆用二次相似。画家说四点共圆，学校不教也不让用，对吗？相似，你总教过我吧？哦，你总让我用吧，那我用两次相似就可以了。那怎么样两次相似把这个问题解决掉呢？你看 咱这道题，之所以四点共圆，不是因为你得四十五，我得幺三五吗？咱们对角互补吗？对角互补怎么照相似啊？非常简单呢啊，相似得有角相等啊，咱是互补，但是 我这延长一下子，你这个角得一百三十五，我外角是不是就得四十五了？四十五跟你这个四十五是不是就相等啊？我跟这边再延长一下，各位，一个反 a 字不就来了吗？也就是说，这个大白 跟这个小白，咱们有个公共角 m， 还有个四十五度角相等，是不是啊？所以第一个相似三角形 m、 a、 d 这个小家伙啊，它就相似于三角形 m c b 这个大家伙，是这个道理吧？好，那这样相似以后，我是不是就得到对应边乘比例啊？啊？那就是 m a 比 md 来了啊，比上 md， 它就等于这边 啊， mc 比上对应的 mb 吧， mc 比 mb 啊。大家都知道相似对应边乘比例的时候，我可以竖着找三角形吗？你两个围成一个三角形，你两个围成一个三角形，哎，我还可以怎么样 横着找三角形，这才叫学偷。 ok 啊，那 m a 和 mc 我 围成了一个，谁啊？ m a 和 mc 就是 这个黄色三角形，对吗？好，再来， 那我这边 m b 和 m d 呢？啊？ m b 在 这， m d 在 这，它是不是又围成了一个这个红色三角形啊？红跟黄 相似。这道题的第二组相似是不是就来了啊？没有地表示不写了啊。但是相似以后，对应角相等，大家帮我找到，说，我这个红色三角形哪个角我知道， 各位，哎，你这一角是不是得九十啊？所以我这个角是不是得九十啊？九十度，我知道你得九十度，那我这黄色三角形对角这边是不是得九十啊？你得九十，人家问这边，这边还剩九十呗。所以二次相似必减四点共圆。 到时说清楚了吗？把一个东西拿过来，就能分析，并且能写出来完美的过程，这才是把一个知识点真正学透了。所以大家孩子为什么丢分，只因为一句话，他还没学透。