郑州数学一模第9题怎么写

本周最重要的高三模拟考就是刚结束的郑州的本届高三一模整体难度比较友好，结合高三一轮复习后的质量检测需求，基础题、中档题与难题基础分布合理， 计算量适中。其中最亮眼的就是第十四填空压轴题，一道较为创新的外接球问题。在二轮复习开启之际， 大家都可以用这套模拟性检测下一轮复习的真实水平。单选择题、前五题均为基础送分题，侧重核心概念、基本公式的直接应用，思路简单明了。第六到八题难度略有提升， 其中第八题比较常规，统一变量求导即可。但不知道郑州的考生发现没，算完后这道题是有问题的，是道错题多。选择题整体难度适中，分别聚焦数列性质、概率、独立事件、抛物线。综合性质的考察需要考生对知识点有清晰的辨析能力和综合理解能力， 部分选项需结合定义、推导或排除错误答案。其中第十一题实际很简单，是指老虎题，抛物线交半径二级结论直接可秒杀填空题里压轴。第十四题是全卷创新度较好， 最亮眼的一道题，向明白相对位置关系，这题便迎刃而解。其他题中，第十六题是解三角形与向量结合的优质基础题， 不熟悉的同学可能会卡一下，基于需要重点说的就是压轴的两道大题。第十八题是很常规的面积最值问题，纯检验基础计算能力。第十九题又是同构导数题，但这题的第三问的设问方式还是较为新颖的，也是全卷最有区分度的一题，很值得做。

每天一道好题，为高考加油！今天我分享的是二零二六年郑州一模的第十八题，这是个圆锥曲线解答题。 呃，第一问比较简单，是方程是 x 方比四加 y 方得一。我们从第二问开始讲解。 首先我们把这个图画一下，一个椭圆，然后呢，左顶点是 a， 下顶点是 b， p 是 椭圆上在第一象限的一点， p、 b 与 x 轴交于点 c， p， a 与 y 轴交于点 d。 第一小问，四边形 a、 b、 c、 d 面积为定值。我们来看一下，把这个连上 a、 b、 c、 d 这个面积为定值。这个怎么分析呢？ 这个图形啊，首先我们想一想，它是一个什么样图形呢？它是由 p 点引起的连出来的图形，显然你这个 p 点要动的话，这里边 c 点和 d 点会动的，所以这个四边形它不是一个固定的四边形，它是不稳定的， 那么四边形的面积为定值。我们要证明这个成立是不是得表达出这个四边形的面积？那四边形的面积，这是个什么四边形呢？ 他要是平行四边形或者梯形，我们都有固定的公式，但这是个什么四边形？显然 p 点动起来的话，这个四边形它是不确定的，不一定是是平行四边形或者梯形。 但是这里边啊，我们看有一个什么特征，这里边就是这个 a、 c 这个对角线和这个 b、 d 这个对角线，它是互相垂直的， 这个对角线要互相垂直的话，那么我们就可以利用对角线垂直来表达三角形，表达四边形的面积。 也就是说，你比方说我可以把这个四边形分割成 a、 c、 d 的 面积和 a、 b、 c 的 面积，这两个面积和就是四边形面积，而这两个三角形又可以把都把这个 a、 c 作为底，一个就是 o、 d 的 面， o、 d 为高啊。你看啊，四边形 a、 b、 c、 d， 我写一下，它等于三角形 a、 c、 d 的 面积，加上三角形 a、 b、 c 的 面积，那么 a、 c、 d 的 面积，我可以把它表达成 a、 c 乘以什么呢？乘以这个 o、 d， 因为 o、 d 就是 高 三角形 abc 的 面积，我还可以把 a、 c 作为底儿， o、 b 作为高，所以我们把这个面积相加的话，都有 a、 c， 我 就可以把 a、 c 提出去，里边就变成了 o、 d 加 o b， 这个 o、 d 加 o、 b 又等于什么呢？正好等于 b、 d， 所以 这里边就是二分之一， a、 c 乘 b、 d， 所以 这个对角线互相垂直的四边形，它的面积就等于对角线乘积的一半。 好，这个道理要明白的话，这个题就很好解决了。所以我只需要求出 a、 c 的 长和 b、 d 的 长，而这个 c 点和 d 点是两个动点，所以我只需要求出 c 点和 d 点的坐标。 c 点和 d 点和什么有关？显然和 p 点因为 p 点引起运动，导致 c 点 d 点在运动。好，我们下边来写一下。这时候啊，这个题我们就可以设 p 点为 x， 零外零来表达出这个 d 点和 c 点作表， 其中这个 a 点呢是负二零，这个 b 点呢是零负一。好，我们先表达 ap 这个直线方程， ap 斜率是 y 零减零，比乘 x 零减负，二加二， 那外用点斜式 y 减零等于 k 倍的，这就是 k 乘以 x 减负，二加二，这样的话，我令这个里边的 x 得零，我就可以得到 d 点的纵坐标， x 得零的话，这个纵坐标就是二倍的 y 零比上 x 零加二。 同理，我在求 b p 这个直线方程。 b p 这个直线呢，就是 y 斜率是先找出来 y 零减负， e 就是 加 e 比乘 x 零减零，那这个直线显然是过呃，纵解句是有是负 e， 所以 就直接写成写解式， y 等于 k， x 加 b， b 就是 负 e， 我们要找 c 点坐标， c 点呢，是横，那个中坐标得零。找横坐标中坐标得零的话，也就是这个 y 要得零，那么把负一移过来，就变成变成 e， 把这个再除过去，所以横坐标就是 x 零比成 y， 零加 e。 好。有了 c 点、 d 点的坐标，那么 a、 c 和 b、 d 我 们就可以表达了，我们就直接写吧。这个四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，它就等于二分之一。 a c 乘 b d， a c 乘 b d， a c 是 什么呢？就是 c 点的横坐标减去 a 点的横坐标， c 点的横坐标是 x 零比上 y 零加一。 a 点横坐标是负二减负二就是加二。 b、 d 呢，就是 d 点的纵坐标，就是 x 零加比乘外零加一，减去 b 点 b 点的纵坐标减负一，加一。好，我们下面整理一下， 先把它通分一下。第一个是 y 零加一，上面是 x 零加上二倍的 y 零加一，就是加二。 y 零加二。后边那个式子分母是， 哎，我写错了吧？啊，我写错了，第一个，这个 a、 c 是 错对的啊。 b d b d 我 这个这个这个坐标抄错了。这个 d 点的纵坐标是二， y 零比上 x 零加二。 好，那么我们把这个，哎，这个就是二， y 零比上 x 零加二，上面是二， y 零加上 x 零加二，通分一下就是它。 好，我们下面继续计算，我们怎么算出来这是个定值呢？上面那个先看下边吧，下边是 y 零加一乘以 x 零加二，这两个我就直接乘开吧，那就是 x 零， y 零 加上一个， x 零加上一个二， y 零一乘二得二。下面上面呢，你仔细观察一下， x 零加 y 二， y 零加二加二，显然这是一个三项的完全平方， 三项 a 加 b 加 c 的 完全平方，我们直接打开就行，就等于 a 方加 b 方加 c 方加二， a b 加二， a c 加二 b c， 这个公式应该都熟吧，所以上面这个展开就是 x 零方加四， y 零方再加个四， 下面算交叉项。二乘 x 零乘二就是二，就是四。 x 零加上二乘 x 零乘二，外零就是四， x 零外零再加上二倍的乘外零，再乘二就是八倍的外零。所以上面展开以后就是这样六项， 这样六项跟下面的四项怎么约分消掉呢？这里边别忘了屁点在哪，屁点在椭圆上，屁点在椭圆上的话，屁点的坐标就满足这个椭圆方程。 椭圆方程呢，我们就可以看到这个 x 零方比四加外零得一，那么就是 x 零方加四外零方，它就应该得四的， 所以我们看上面正好有这样一个十字，所以把它换成四就可以了。好，我们继续往下写，放个黑笔，下面这个别动，我们这个没法算了。 x 零外零加上 x 零加二，外零再加二， 上面这个 x 零方加外零方等于四。我们先看后边这个，后边有个四， x 零外零加上四， x 零加八外零，这是消不掉的，前面这个是四，再加个四，这个就是加上个八， 我们看一下上下这两个式子都变成四项了，显然上边是下边的四倍，所以四倍哎，就消掉了，再乘个二分之一，所以这个面积就是二。好了，这就是四边形面积是个定值。 我们再看第二小问，求三角形 p、 c、 d 面积的最大值， 这两问都是跟面积有关，第一问求四边形面积，第二问求三角形的面积，那这个三角形面积我要求最大值，那首先肯定得把面积给表达出来吧？怎么表达这个面积呢？ 二分之一底乘高不行，因为你看 p 点动的话，你这个 c、 d 边和 pc 边 p d 边都在变，你这个高也不固定，所以这个三角形面积肯定不能直接表达。那怎么办？ 我们可以想象一下，我们刚才证明了这个是四边形，它的面积是个定值，而这个三角小三角形和这个大三角形是不是将来和这个四边形都有点关联呢？显然这个小三角形是由这个大三角形减去这个四边形就行了吧， 对吧？所以我们只需要求出 a、 b， 呃， p a、 b 的 面积减去这个四边形的面积，这个是二啊，那不就是小三角形的面积吗？也就意味着小三角形面积最大，只需要这个大三角形就行了。而这个大三角形，它这个边是固定的 啊，这个边有个固定的，所以只需要求 p 点到这个边的距离表达出来，那最大值是不是就能表达了？好，我们下面就求三角形 p、 a、 b 的 面积，而这个三角形 p、 a、 b 又怎么表达这个事呢？ 哎，我地没地方写了，我不往下换张图了，我把上面擦掉啊，把上面擦掉。 这个三角形 p a、 b 的 面积，我们首先需要求出 a、 b 的 这个距离， a、 b 是 多少呢？我们先把 a、 b 方程求出来吧。 a b 的 直线方程啊，我先求一下啊，为啥求直线方程，一会再说。 这就是 x 比负二加上 y 比负一，用截距式等于一，也就是 x 加二， y 加二等于零，这就是直线 a、 b 的 方程。 求直线 ab 的 方程是因为我将来要表达三点形面积的话，我得表达这个杠， p 点到这个线的距离， p 点到这个线的距离，这个杠就得用点到线的距离公式，所以得找到这个直线。 我下边就直接写吧，点 p 到直线 ab 的 距离啊，点 p 到直线 ab 的 距离， 嗯，距离啊，我就可以用去 p 点的坐标来表达。这个距离呢，就是 x 零加二， y 零加二的绝对值，比上根号加 a 方加 b 方就是根号。 好了，我们再求一下 ab 的 这个弦长， ab 的 弦长是多少呢？两点的距离正好一个二，一个 e， 这个是二，这个是 e， 所以 这个距离就是根号五。 好，这样的话，三角形 p a、 b 的 面积我就表达出来了，就是二分之一， a b 乘以这个 d， 嗯，乘以这个 d 等于多少呢？这一乘的话，刚好正好消掉，就是二分之一位的 x 零加二， y 零加二等于绝对值。 好了，看到这里边我们怎么办呢？这里边还得说一下，因为这个 p 点在第一项键，实际上这个 p 点的横坐标、纵坐标都是大于零的，所以这个绝对值我们就可以直接去掉了，实际上就是二分之一倍的。哎，它， 那么我要表达三角形面积就已经表达出来了，就是它，它面积最大的话，这个三角形 p、 c、 d 的 面积就最大，因为这块面积是个定值， 那他的最大值又怎么办呢？这里边既有 x 零，又有外零，是双变量，这时候你看这个 x 零外零这个双变量是有一个关系的，就是满足那个椭圆方程，也就是 x 零方加四外零方，它是等于四的， 你瞅瞅 x 零方四外零方， x 零二外零什么关系？你要把它看成 a， 这个看成 b， 那 不就是 a 放加 b 放吗？ a 加 b 与 a 方加 b 方用什么不等式，用什么建立关系呢？就是我们常用的那个基本不等式。好，我写一下，常用的基本不等式有个不等式链，是吧？那么就有二分之 a 加 b 的 完全平方，它是小于等于二分之 a 方加 b 方的， 我想这个大家都应该知道吧。那么这个 a 加 b 的 话，往两边开放，那么二分之 a 加 b 是 不是小于等于根号下二分之 a 放加 b 放呢？ 二分之，那么这个 a 加 b， a 加 b 是 不是小于把二乘过去就是刚好二倍的根号下 a 放加 b 放呢？ 所以这样的话，这个 x 零加二外零就小于等于多少呢？小于等于根号二倍的啊，根号下 x 零放加四外零放， 对不对？再加上个二， x 零放加四外零放，这个是得四的呀，根号四就是二啊，所以这个就是，哎，这，这就是等号的往下， 所以这个十字就等于二分之一倍的这个二倍。根号二加二，也就是根号二加一小八分之一乘进去，所以这个三角形的最大面积的最大值就是根号二加一， 三角形面积最大。那么我们要求的三角形呢？是 p、 c、 d 的 面积，它就等于大三角形 p、 a、 b 的 面积减去，四边形 a、 b、 c、 d 的 面积减二， 所以这个最大值就小于等于根号二加一减二，也就是根号二减一，这就是三角形 p、 c、 d 的 最大值，面积的最大值。好了，今天咱就讲到这里。

为什么说郑州一模是高考的风向标？因为它的每一道难题有一定概率在暗示高考的考察方向。今天我们就拆解这份让高三学生又爱又恨的二零二六郑州一模数学卷，看它到底藏了哪些你必须掌握的题型和思维。咱们不贪多， 只讲好题。拆解四个维度考点破题方法，高考怎么考？你现在该怎么做？试题拆解第五题，函数性质综合题考点，函数对称性轴对称加中心对称周期性、奇偶性综合判断。破题方法， u f x 加二等于 f x 的 对称轴为 x 等于一， u f 二 x 减一为其函数的对称中心为零点五零联合推出，周期为四， 带入特殊值，即得 f 三等于零。高考考察形式，此类题常以抽象函数形式出现，考察逻辑链的构建能力，一般出现在单选或填空押注。复习建议，整理对称性、周期性的推导链条，熟记常见结论，如两个对称性，可推周期性。第八题， 立体几何最值几何题考点，几何题表面积最值实际问题见摩。破题方法，列出表面基公式 s 等于四，派二平方加两派 r h。 体积公式 v 等于四三派二立方加派二平方 h 消去 h 的 v 二、求导找集指点。高考考察形式，常作为应用题出现，考察数学建模与导数应用，属于中档解答题。复习建议，强化定表面积求体积最值模型，掌握消元求导的通法。第十六题， 写三角形加向量综合体考点，三角横等变换正弦定向量重心性质面积公式破题方法，由 tan tan c 等于 tan b 加 tan c 加一退出 a 等于派四，用正弦定理结合大边对大角确定。 c。 第二问，直接利用重心性质分割面积。 高考考察形式，解，三角形是必考题，常与项链面积结合，属于中档解答题，步骤分明。复习建议，牢记重心分面积比为一，一比一，并熟练三角公式的变形与边角转化。第十九题，函数零点与数列综合压轴题 考点，函数零点存在性导数研究单调性对数与指数转化等差数列构造。破题方法，前两位用导数求切线确定零点个数。 第三问，通过 g x 等于 f e 的 x 次方，建立零点对应关系，尝试构造等差，最终推出矛盾高考考察形式，压轴题常见函数零点加参数讨论加数列或不等式综合题，思维链调长区分度高。复习建议，掌握零点存在定理 与导数单调性结合的基本讨论框架。对于零点、乘等差类问题，要敢于设未知数列方程找矛盾。刷题建议，如果你的分数在九十分以下，必刷题号。第一到六题，选择题基础部分第九题， 数列基础第十二题，填空基础第十五题，统计回归第十六题，解三角形第一问，刷题重点，这些题包含复数集合、数列、三角函数统计等基础模块，务必做到零失误，放弃压轴题， 把时间用在会作诞易错的题上。如果你的分数在九十到一百二十分，必刷题号。除压轴题外的所有题目，尤其要攻克第七、一八题，中档选择第十题，概率综合第十四题 例题，几何结面第十七题例题，几何间隙第十八题，椭圆第一、二问，刷题重点训练速度和准确率，中档题不能丢分。第十九题，函数压轴， 争取拿下第一问求切线。第二问，零点范围理解思路即可。如果你的分数在一百二十分以上，必刷题号整套试卷，但重点在于第十一题抛物线性质探讨。第十四题，洁面最值分析。第十八题，第二问，面积最值证明。第十九题，函数与数列综合刷题重点 不再满足于做对，要追求通法。例如第十九题，即使最终矛盾不存在，也要完整经历设零点列方程，找关系，推矛盾的逻辑链条。这类题是冲刺一百四十加的关键。你是哪个分数段？在评论区留下你的目标分数， 我会针对性地推荐重点题型。如果这份拆解对你有帮助，请点赞、收藏、转发给一起战斗的同学！

五分钟彻底学会一个高中数列！今天张老师通过一道题，教会大家一个模型，我们来共同看方法，不要看答案。好，这是二零年河南一模的考题，我们来看啊！第九题，已知数列 a 满足这个条件，然后的话问你正确选项。其实这种题在高考卷里边，一般情况下会考成解答题， 对我们高二的期末考试帮助非常大。来看一下教材啊，我们在教材里边学数列，我们学了几个？学了两个，我们学了一个等差数列，学了一个等比数列。等差数列和等比的区别是什么呢？如果一个数列从第二项写后一项去掉前一项，等于同一个常数， 我们称之为等差。所以等差竖列满足的是什么？后减前等于长，那如果等比竖列的话，他满足的是什么？后一项等于常数乘上一个前项。所以为什么有同学会说，张老师，我上课能听懂，我不会做题啊，其实还是没听懂，哈哈，来，我们来看这个条件啊。 这个条件张老师问大家，我是套一啊，还是套二啊？我怎么去套？用教材， 我们来看一下啊。在教材里边后减前，他俩的系数都是一，你是一，我也是一，他的系数是一，他有一个常数，所以在这里边我们套的时候怎么去套？ 看系数，系数一样了，我们去找等差数列的系数不一样的话，我们去找等比，我们来看在这里边系数一样吗？不一样，为啥呢？因为我们把它稍微一个项啊，变成了 a n 加一等于负的 a n 加上一个三乘以二的 n 次方，也就是在这里边我要对比的话， 这个长处是谁是负一，所以套谁肯定是套二，但是套二的话，你会发现这一部分比较多余。怎么办呢？双向配平，家里有小宝的大宝，小宝，你是不是得公平对待？ 所以在这里边我们给它配平，它相当于是 a n 加一，给它加个内容，等于谁？等于一个负一倍的 a n 也同样加上一个，那么这个时候我把它看成新数列的后一项负一，新数列的前一项， 那后边的话，这个位置是二的 n 四方，我们要保证它们的角标一致，所以这个位置我可以加个谁，我给它加一个 long 的 倍的 二的 n 加一次方，那同位置取相等，那这个位置就是 lamb 的 被的二的 n 次方，然后让这个式子和一的条件完全一模一样，我们把这个式子打开，它相对是 a n 加一，就等于 负的 a n 减去一个 lamb 的 被的二的 n 次方，减去一个 lamb 的 被的二的 n 加一，那么这一部分对应的谁对应的是 三？乘上一个二的 n 次方，我们来合并一下同一项啊，给他提出来一个二的 n 次方，那它是谁？负 lamb 的， 它是负二， lamb 的， 它俩取相等，所以 lamb 的 取几。在这里边 lamb 的 取到负一，那如果 lamb 的 取负一的话，那么这个位置相当于是 减去，这个位置相当于是减去。换句话说，在这里边我可以得到谁，我可以得到 a n 减去一个二的 n 次方，是一个公比为负一的等比竖列，等比竖列 是不是出结论了？所以等比竖列出结论呢？接下来我们就可以求特殊向量公式了，所以在这里边 a n 就 等于好，在这里边注意啊，它是个复合竖列，来吧，我们先不移一下，一步一步写吧， 它是一个复合数列，我们说第 n 项永远是括号里边内容，首项是这里边的 n， 取一 a 一， 题目告诉你是一，所以首项是 a 一， 减去个二是不是负一？首项乘以 q 的 n 减一次方，那相当于是负一的 n 次方。 所以在这里边我要找的 a n 就 等于二的 n 次方，加上一个负一的 n 次方，那如果在这里边，我要求这个竖列的和我们说这个二的 n 次方是一个什么？等比竖列。负一的 n 次方是什么？等比竖列。所以在求和的时候，如果说 等比加上一个等比，我们用什么方法？我们用分组求和，各自求各自的，谁都不要干扰谁，你求你的，我求我的，是不是啊？这是整个这道题的思路，所以你看，从整个考题的思路里边哈， 他最终还是紧扣的是教材。所以高二的小学，所以高二的同学们，我们在期末考试扣谁？扣教材？扣教材里边的什么？ 扣教材里边的模型，千万不要做一道题，做一道题，题海里边去游泳，它不好提分。哈，好。这个题的思路我们就讲解到这里，一模卷对高考的指导意义是非常非常好的。哈，好，那题目我们就讲到这。

点评一下郑州高三试一检的数学试卷啊。先说结论，这张试卷呢，对尖子生来说比较友好，对中等生和差生来说呢，不友好。具体原因呢，有以下几点，第一个简单题不简单，你看第四题就开始考了，二十元十三题呢，看似是二项式定律，实际上是排列组合。 然后十六题呢，用到了探底 a 探底 b 探底 c 等于探底 a 加探底 b 探底 c 的 结论。并且第二分钟呢，又跟重心的这种向量形式相结合，那这些导致的结果就是，对水平一般的中等生和不太好的同学来说，这些本可以得分的送分题，现在可能没有那么轻易得分了。 第二个就是难题，不难。第七题跟送分题啊没什么区别。第八题呢，导数跟立体几何结合，难度也一般。然后十一题直接抛物线交半径的公式， 这就是秒杀了十四题呢，常规的外接球和洁面问题，像正四面体的外接球啊，相关的参数都是要会背会默写的，整体呢也没什么计算难度。十八题解析几何，猛一看挺新的，仔细一看就是，呃，直接设 p 点坐标算就行了，就是计算量确实会有点大， 要有耐心啊。然后解析几何的最后一小问，直接用参数方程解释最方便。嗯，当然也可以用这一个呃，找切线这个方式。 十九题的最后一问作为压轴题，保持这个该有的难度啊。总的来说呢，这张试卷啊，思维量不大，但是区分度是有的，它的区分度就是体现在简单题不简单上，把那种只会简单套路题的同学呢排除在外了。除了十八题的证明部分计算量稍大之外，别的都还好。大多数题啊，都属于中等题 呃，数学备考的过程中，掌握好通法，扎实基础还是非常重要的一件事。希望同学们呢，根据考试的情况做好总结和调整，看自己的备考思路和考试的要求是否符合，如果偏差较大的话，就赶紧调整方向。

郑州的一模啊，说一下最后一题的最后一问啊，说的不错呃， g x 与 f x 一 共四个零点啊，很显然， g x 与 f x 有 只对同共的特征啊， 于是啊，我们可以把 f x 的 零点设成 x 一 x 二啊，于是 g x 啊，只对同轨一下，可以改成 f e 的 x 三次方， f e 的 x 四方啊。于是 x 一 二三四构建出来一种等式啊，如果调整顺序之后，还能够成等差数列。 呃，我们可以假设一下， x 一 是小于 x 二的啊，那么这个时候 x 三呢啊，是等于 log， x 一 肯定小于 x 一， x 四等于劳力， x 二肯定也小于 x 二啊，那这个时候，我们可以很确定， x 二呢，永远都是最大的。然后呢， x 三呢，永远都是最小的，但是 x 一 和 x 四啊，不确定大小，所以大概有两种情况。但是不管是哪一种， 呃，我们都一定有 x 二减 x 一 等于 x 三减 x 四啊，刚好 x 三 啊和 x 四啊，又可以根据指定同步改成 long x 一 和 long x 二啊，所以得到了这样一种等式啊，那这个时候，那么很自然的啊，要从原式啊。然后呢，调整过来，原来的这个 f x 一 f x 二等于零，调整过来，对吧，能够得到 a 等于二。也就是说啊，这两种情况如果能成立的话啊，必然有一个。是啊，必然是 a 等于二的时候，这个时候就只需要去做一件事，看 a 等于二的时候是否能乘，等它缩短就可以了。 然后呢，再去看 f x 的 零点，因为毕竟啊，没有参数了，根据零点存在定理，我们可以很轻易的找到 x 一 和 x 二的取值范围，所以也就推出了 x 三和 x 四的取值范围啊， 嗯，相对大小啊，就彻底的啊，确定下来了，如果存在的话，那么只有可能是这种大小情况。 然后接下来啊，想去写一个等长中项，你 x 一 加 x 二，那么很显然要等于二倍的 x 四啊，然后呢， x 三加 x 四要等于二倍的 x 一 啊，这个时候 x 三 x 四啊，啊，根据 x 一 x 二的关系，全部换成 x x 二，得到这种式的。 嗯，那么很显然啊，我们再化解一下，你看，根据最后一行，最后一行 l x 一 加 l x 二 啊，然后本来呢，它是要等于二 x 一 的，但是根据第一行和第二行啊，又可以等于 x 加 x 二减二啊，所以我们呢，得到了一个 x 一 等于 x 二减四， 但是啊，我们在上面在判的时候，已经判出来， x 二一定是小于四的， x 二如果减四，那么必然 x 二减四小于零，对吧？那么这个时候，那你 x 一 小于零肯定是不对的， x 一 上面的范围是在这的，对吧？矛盾，矛盾就不存在啊。

材料关联性的作文题，很多同学都非常害怕，这次河南郑州一我就考到了，我们来看题目，材料一，咬文嚼字编辑部发布二零二五年十大流行语， 从从容容、游刃有余，匆匆忙忙、连滚带爬位列其中，他道出了当代人理想生活状态与现实的落差。 材料二，中国人的生命智慧可体现为三重功夫，做加法，涵养心性，习得技能，以厚植生命根基。做减法，清心寡欲，褪去负累，让生命回归轻盈。 做接法，拥抱外界，与人共乐，与物共渝，收获生活的圆融自得。这是一道典型的材料关系型作文。一般来说，两则或者多则，材料之间从来都不是简单的拼接，而是存在着清晰又深刻的内在逻辑的呼应。 郑重一抹的这道题，我们就先来找一找材料之间的关系来看。材料一，选自咬文嚼字发布的二零二五十大流行语，这组的对照就格外的耐人寻味。 从从容容、游刃有余和匆匆忙忙、连滚带爬这个对照绝对不是简单的情绪化夸张，是一个非常精准的现实生活的概括。 从容游刃有余指向的是一种理想化的生活状态。我们的生活有节奏，行动有余地，人对时间、对生活本身有着绝对的掌控权。 而匆匆忙忙、连滚带爬就道出了另外的一种生存的现实困境。每个人都在被时间追赶着，被目标推动着，走在效率和评价体系当中不断不断的加速，却越来越失去了对生活的掌控感。 流星雨之所以能够成为流行，这是因为他说出了我们时代的集体经验，每一个人都渴望从容，却被不断提速的现代生活裹挟着前进，这不是一个个人的问题，而是一种现实性的生存困境。 那么问题就来了，从容游刃有余，究竟靠什么来获得呢？材料二就是在回答这个问题 来看材料二，他非常明确的告诉我们了，从从容，容绝对不是自然降临的，也不是简单的把角度放慢就可以，真正的从容是一种需要长期修炼的生命状态。 中国的传统生命智慧就把这种修炼方式概括为了三个办法，加法、减法、接法。这个生活建议更是一种完整的生命的方法论，他从内而外，从立身到处世，层层展开。我们先来讲加法， 这里的加法一定要澄清一点，他不是简单的去堆砌一些东西，而是筑生命的根基， 涵养心性是助精神根基，习的技能是助能力根基。加法的本质就是叫做为学日益，就是让生命有厚度，有支撑，去对抗我们现代生活当中普遍存在的一种空心化的状态。 为什么现代人如此匆忙，有一个很重要的原因就是在于内在贫乏。因为能力不足，面对变化就很容易慌乱，因为心性不稳，面对评价就非常容易被外人牵着走。 所以你会发现，那些学业基础非常扎实的同学，往往能够沉着的硬考，那些专业能力过硬的人，现实的压力根本很难击垮他。 所以从容就不是偶然的，而是长期积累的结果。这里又不得不提到苏东坡了，他在黄州的经历恰恰说明了这一点， 试图受挫，身处荒僻之地，他却在那段时间里面钻研美食，研究文学，学习佛法。正是这种不断为生命做加法的状态，让他在困境之中仍然能够写下也无风雨也无情的从容之词。 但仅仅有加法远不足以支撑我们真正的从容，于是材料二进一步的提出了减法。减法并不是消极的退让，而是一种高度清醒的生命的选择，这里的关键词在于清理，卸载尘埃。 在现代生活当中，一个非常突出的现象是，我们的人生意正在不断的被外包，分数、薪资、流量、标签逐渐替代了我们对自我价值的内在的判断。人被不断的符号化，被量化，却越来越难以被真正的理解。 那么减法的意义就是在于把我们人生的解释权重新收回到自己的手中。当我们不被分数完全去定义学习的价值，不被薪资完全定义成功的标准，不被流量完全定义我们存在的意义，生命就有了它应有的厚度。 庄子讲虚是生，白就是屋子如果塞得太满，光是进不来的。所以只有做减法，清心寡欲，生命才能重新获得那些沉迷和轻盈。 减去虚荣，留下真实，减去抱怨，留下行动，让我们的生命由重转轻，我们的步伐自然的也就从容了起来。但是生命的智慧决不止步于此，还有第三重功夫，叫做接法。 接法什么意思？不是简单意义上的搞社交，他要解决的是这个小我如何重新的安放在世界之中的问题。 现代社会当中有一个核心的矛盾就是每个人都很忙，却彼此格局，每个人都在线，却精神孤独。然而人并不是一座孤岛，如果只顾低头赶路，切断与世界的连接，就极具容易陷入一种孤立无援甚至自我封闭的状态。 接法，就是在重建我们的生命共同体的意识，让我们与自然联结，让人去重新感受生命的节律。与他人联结，让人确认彼此的存在。在与生活去联结，让意义重新生长。 所谓独乐乐不如众乐乐，当个人的小我能够汇入更大的世界，生命才能够真正的获得它的回响。 讲到这里，这道题的核心利益相信同学们已经完全的理解了，这是在高速运转的时代背景之下，个体运用加法、减法、接法的生活智慧去化解生活的混乱，真正的走向从容与自得。 最后，我还想把话题回到我们高三同学的身上，从某种意义上来说，高三本身就是人生必经的加减接法的阶段， 我们在书山题海中厚植根基，这是无法回避的现实。但与此同时，我们也需要学会在压力中适度的做减法，减去对分数的偏执，回归对知识的敬意。 在竞争中做接法，学会合作，学会链接，学会与世界去保持一层真实的关系。 生命也是充满了泥泞，但节奏、方法仍然可以由我们自己选择和掌握。愿我们都能在生活的长路上，走出一条真真从从容容、游刃有余的人生之路。关注小佳，为你解读更多的高考作文题！

哎呀，前五题开卷一分钟必须把它拿下，不拿下就离九八五不远。嗯，比较远了。这都是扯犊子啊，我发现现在的试卷他喜欢在前六题里面给你使个绊子。 这一套是二六届到目前为止我觉得最像高考题的一套模拟题。郑州一模十五题。贪点 b， 贪点 c 等于贪点 b 加 c 加一，这很显然就是一个。这个 摊挺 b 加 c 嘛，等于摊挺 b 加上摊挺 c， 比上一减摊挺 b 摊挺 c 啊，加快速度啊，已经有四十分钟了。快， 那显然是等于负一的。是等于负一的，那么就推到了什么？推到了贪停派减 a 是 不是等于负一？于是 a 就 等于四分之派， 是不是 a 等于四分之派， a 等于四分之派？以后接下来我们就可以求到 c 用于正弦，那这 c 除以上 c 是 不是就等于 a 除以上 a 就推出上引 c 是 等于 c 乘以上引 a 比上 a， 上引 a 是 二分之根二，二分之根二是二分之多少三倍根二除以根六， 等于二分之根三。呃，根二，根二就是二倍的根三啊。啊？二分之根三，对，所以角 c 是 等于多少？ 是不是等于三分之派或者三分之二派呀？但是他一个是一个三角形啊，这里是四十五度啊。所以说他取不到三分之二派啊。如果三分之二派，他两个核相加就已经超过一百八了， 所以角 c 是 三分之派。那么我们来看第二位，这是第一位。第二位， 这不是一个非条件吗？三角形 a b c 是 个锐角三角形，这里不是个非条件呢。好，它告诉我们这个三角形内部存在一点啊，内部是我们自己翻译的啊， a b c n a n b n c 的 向量之和等于零，那很显然就是一个重心嘛，重心的焦点嘛。 那这里就是个， 你看这个题目他又出的比较好，为什么说他反复的说他像高考题呢？你看我们在考三角形里面有没有把向量结合起来算一个小的面积？没有算过吧， 这个时候如果你心理素质不好，又被卡了一下，又蒙了，是不是这个问题又蒙了，实际上你会很快的发现，你一旦发现他是重心的话， 你只需要求这个大的三角形的面积就完了呀，因为这个小的三角形是和它成比例关系，它底是一样的嘛，你看坐高坐高， 它底都是 bc， 它的高的比是不是一比三？所以这个小面积实际上是整个大三角形 a b c 的 面积的三分之一。所以这里我就不不算了啊，因为上面的正弦的角全部都搞出来了，所以说 nbc 实际上是等于三分之一倍的 s 三角形 a b c 的。 你看这里，这个题目你说出的好不好啊？这题目好就是好，在这里， 好，这是第十五题啊，第十六题概率题还是不讲，第十七题也不讲。为什么呢？因为这个， 这个很简单的一个模型矩形，然后你只需要注意这个写向量的时候这个笔直就可以了，注意他的笔直就可以了，慢点写，因为这里间隙，没有什么必要去讲他的几何法。 好，我们来看第十八题，十八题第一问是根三，二分之一，显然就是四分之 x 的 平方，四分之 x 的 平方加外方嘛， 它这个解析是没有卡里啊。好，我们把这个图大概画一下。 好，他说左顶点是 a， 下顶点是 b， 在 第一象限有个 p， 然后连接 b、 p 和 ab 和 ap， 然后交 b， p， 交 x 轴于 c 点，交 y 轴于 d 点。 然后第一问是正啊，四、四边形 a、 b、 c、 d 的 面积为定值。第二个求 p c、 d 的 最大值， p、 c、 d 的 最大值。定值，如果求出它是定值，求它的最大值，是不是求 p a、 b 的 最大值啊？这个题目应该也不算很难，是一个很常规的题啊。 那接下来我们就需要做操作了。那 p 点我设 p 点为 x 零， y 零，是不是 d 点和 c 点的坐标马上就可以搞出来了？ b 点和 c 啊， d 点和 c 点的坐标搞出来，然后这个四边形的对角线垂直，那么它的面积就是二分之一，乘以它的对角线相乘，也就说最后落角是要落到 c 和 d 的 坐标就完了。好了， c、 d 的 坐标很好求用斜率嘛， 那么 p、 k 的 斜率是等于 y 零比上 x 零加二，这里慢点搞啊。然后这里 d、 d 是 y， d 啊，比上 x 零零减负二，所以 y、 d 就 可以求出来了。 y、 d 是 等于两倍的 y 零，比上 x 零加二。那同样的道理，那 c 点的坐标也可以算出来，那么 p、 p、 b 的 坐标是 y 零加一，比上 x 零等于多少？ 这 y 是 零嘛？零一是 x， c 是 这个意思吧？ x c， x c 减零嘛， 所以求出来 x c 是 等于 y 零加一，然后乘以 x 啊，分之 x， 那 么 s 四边形就是等于二分之一倍的外地，外地加一嘛，因为是 b、 d 的 长度就是两倍的外零加上 x 零加二， 分之 x 零加二，然后 ac ac 是 等于 x 零加上两倍的外零加二， 然后除以。呃，外零加一。哎，这个分子是一个完全平方式啊，看到没有，所以就是等于二分之一倍的 x 零加乘以外零加一， 然后上面就是等于 x 零加上二， y 零的平方加上四倍的 x 零加上两倍的 y 零加四， 然后上面化简，就是等于二分之乘以 x 零加二，乘以 y 加一。下面，哎，这里你看你有消消的地方了，因为第一个这里打开是不是就是等于 x 零的平方加四？外零的平方，它在这个椭圆上不等于四吗？ 就是等于四加上四倍的 x 零，外零加上四倍的 x 零加上八倍的外零加四， 同时提取一个四，就是等于两倍的 x 零加二，然后后面是 y 零加一，这里就是四加四。二加上 x 零， y 加上 x 零加二， y 零， 这不就是下面这个值吗？因此分解。所以说它定值就是二啊，这里你看到没有，所以它定值就是二， 当它定值是第二二的以后，这后面内容就好算了呀。所以这题目比较简单啊。所以说 s 三角形 p c、 d 是 不是等于 s 三角形 p a、 b 减去二，所以说你只要算 p a、 b 的 最大值就好了。 然后 p a、 b 是 多少？ ab 是， 这里是一，这里是负一，这里是负二，那么 ab 的 值是不是等于根五啊？接下来算高啊，算高的话，那很简单呐， 就是点到直线的距离公式嘛。那 l、 a、 b 的 直线方程是多少呢？ x 负二啊，加上 y 负一等于多少？等于零呐？ 呃，是等于多少的，看一下。呃，是等于是等于一哦，这里哦等于一，所以这里左右两边同时乘以二， 乘以二的话，就是负 x 减二， y 等于二，是这个意思吧？ x 等于零， y 等于负一啊， y 等于零，是 x 等于负二。对，所以这个 p 点到 ab 的 距离是不是等于根五？ 然后剩下的是多少？剩下是不是二加两倍的 y 零加 x 零呢？就是这个东西。嗯， 然后 x 零和 y 零都是正的，所以说直接把绝对值可以去掉， x 零加上两倍的 y 零加二，然后减二，那根五就去掉了。于是接下来你就用那个用，用三角换圆呐。 那 x 等于两倍的 cosine theta， 这 y 是 等于 cosine theta 的。 theta 是 属于零到二分之 pi， 因为它在第一象限嘛，所以就等于。就等于多少？是等于二分之 两倍的 cosine theta 加上两倍的 cosine theta。 下面的减二就是减一嘛， 是不是这个意思？那就是等于根二倍的 sin theta 加四分之 pi 减一，所以最大值是多少？最大值就是根二减一啊。当 theta 等于四分之四分之 pi 的 时候，取，等啊，四分之 pi 可以 取得到啊。 好，这是第十八题，所以这题目也比较简单，但是呢，就是需要快， 然后快中有慢，要要注意，要每一个思路都你看都很流畅，实际上没有多大难度。好，我们看最后一题， 他说已知 f x 是 对数，有直线有对数。第一问，当 a 等于一的时候， 这个不想做，不想做了，这个等于一，所以说 f x 是 等于幺幺， x 减二， x 加二求切线，那我求它的导 是等于 x 分 之一减二，所以 f 一 撇是等于负一的， 所以它的方程是 y 等于负一的， x 减一加上 f 一， f 一 是零， 是不是？所以最后写成一般式就是 x 加 y 减一等于零，这是它的切线方程。第二位， 第二问，你若 f x 有 两个零点，求 a 的 时数。第一步，你看看它能不能它的这个定域是 x 大 于零。第二步，你看它能不能分叉，分叉的话，你看洛以 x 加二， 洛以加加，洛以 x 加二，它有可能会等于零，所以，而且分叉以后，你 去求导探索它的图形不太好搞，所以说干脆直直接来吧。所以 f 撇 x 就是 等于 x 分 之 a 啊，减二。实际上这个求导也很简单，你看到没有，就是 a 减二 x a 减二 x， 怎么说呢，这 x 是 大于零的，这个上面的单调递减。如果说啊，如果说什么？ 如果说是因为负 x 是 小于零的，如果 a 小 于等于零，那第一步你看， 如果 a 小 于等于零，那么 f 撇 x 是 不是小于零，那么 f x 是 不是单调递减？它不存在两个根呐，所以 a 一定是大于零的，那么大于零的话， 分子是一个单调递减，所以说它一定有零点，是不是 x 等于二分之 a 啊？所以说是零到二分之 a 的 时候， f x 是 大于零，那么 f x 单调递增， 当二分之 a 到正无穷的时候，那 f x 单调递减，这个时候你看这个画图啊， 虽然说这个题目简单，但是每一步你要想清楚，你把它单调性弄清楚以后，最后你还得画图之前，你还要考虑他的极致， 就是 x 区域临阵的时候，你要看他到底是个什么样子。你并不是说啊，他是单调递增，你就从负无穷开始单调递增，有可能是从一单调递增，有可能是从第二开始单调递增。所以说你画图，你怎么都要去思考到这一步。 好，你单调递减的时候，他是不是能单调递减到负无穷，或者是最后他只能单调 到无穷趋近于正零？这是我们经常会遇到的问题，是不是？所以你要考虑，你不管这个题目是简单还是难，但是你总得去考虑这个问题。 好，我们看一下这个 f x 当 x 趋正零的时候，他是什么？ 他是个富无穷，他是一个正数，他是富无穷，富无穷他肯定是富无穷，后面我可以省略，不管他了呀，是不是？所以说第二问，他，这个图像实际上我们可以画出来了，他是一个富无穷到 二分之一啊，二分之 a， 这里取到极大值，然后你要看他的这个正无穷的时候，正无穷这里是大的，然后这里是负的，这里是常数，我不管他这里有一个常数了，什么常数啊？ 就是这个落引值，他一定是表比这个二 x 要慢的，这是我的大概想法，因为我要求 a 的 范围嘛，所以这里我们就只需要去讨论 f 二分之 a 大 于零就好了。 那么 f 二分之 a 是 不是等于等价于 a 乘以洛以二分之 a 减 a 加 a， 是 不是加 a 啊？要大于零， 就是二分之 a 大 于一分之一，所以，所以 a 是 大于一分之二的，因为 a 大 于零，所以最终的第二问就是 a 是 大于一分之二的 啊， 这里我节约时间，我就，我就快点讲啊。好，第三问， 第三问，他说 g x 等于什么？ a 的 x 减两倍的 e x 加 a， 你 仔细观察它的形式，你会发现一个问题，发现一个问题是 g x 实际上是等于 f 的 e x 的， 这个你能明白吗？是不是也就是说实际上是等价于 f x 与 f e x 有 四个 不同的零点， 是这个意思吧？ 好，我直接令 f x 为 x 一 x 二，这里为 x 三 x 四。而且我令它， 因为无所谓嘛，因为它你这个大小，它两个值无所谓嘛。是不是这个意思？我直接念 x 一 大于 x 二是 f x 的 根，那么 x 三大于 x 四是 f e x 的 根。所以在这里你看 我们发现什么？发现实际上 ex 三是大于 ex 的 e x 三和 e x 四是 f x 的 根。你如果换元的话，所以你就会发现 x 一 等于 e 的 x 三次方， x 二等于 e 的 x 的 四次方，是不是这个意思？ 因为它们我念 x 三大于 x 四嘛，所以我把这个整体还原。那么 e x 三就是 f x 的 根嘛， e x 四也是 f x f x 的 根嘛？ 然后他们两个因为这个指数是单调递增的，所以 x 三大于 x 四，推出一 x 三大于一 x 四，那不是 x 一 等于一一 x 三吗？好，他说是否存在根使四个零点顺序成等差数的？好，你又得想了。 现在我们探索出来的 x 一 大于 x 二， x 三大于 x 四，然后又有这个等式，那这个等差数的到底怎么放呢？ 是不是？我知道呢？我知道这里是 x 二，这里是 x 一。 那么我有两种可能性，第一种是这里放什么？ 这里放什么？这里放 x 三，这里放 x 四。第二种可能性是 x 一 x 二在前面， x 四 x 三在后面， 是不是这个意思？好，接下来我们分析，接下来我们分析 我如果 x 一 x 二在这个后面，这个当然我讲的时候是已经设计好了啊，已经已经已经大概的思考过了，所以说我就快点讲 ex 三 ex 四，他要他们成等差数列， 说明 e x， 这里是 e 的 x 三次方， e 的 x 四次方，你要 e x 三减 e x 四等于 x 三减 x 四，这不可能啊，为什么？好，我们写一下， 我们这第二种情况在这里啊，我们翻个页嘛。好吧，我们重新建一个。也就是说第三问里面，我们第一种情况是 x 二 x 一， 我们讨论的是 x 三 x 四，其中 e 的 x 三是等于 x 一 的，那 e 的 x 四是等于 x 二的， 这里嘛，是不是因为这里换算把它换算出来了嘛？好，我先思考它，假设就是这样子摆着的，那么说明什么？ 说明什么啊？我只讨论是这个讨论是第二种， x 四 x 三，这里是 x 二 x 一， 这是这样讨论更简单一些， 如果它们是这样子摆着的，那么是不是它其中有一个必要条件是 x 一 减 x 二要等于 x 三减 x 四啊？ 那 x 三 x 四，我们把它换算一下，是不是就等于 e 的 x 三减 e 的 x 四啊？把 x 一 x 二换一下嘛？那为什么不相等呢？我前后两边同时除以 x 三减 x 四， 你会发现什么？你会发现后，前面这里是 e， 后面表示的是 e x 上面的任意两点大于零的两点的斜率，你看它是永远大于一的呀， 因为三 x 三 x 四，它是大于零的呀。啊，不对啊，不对不对不对不对， 所以这一种情况不成立，因为这里是常数，那的 e 的 x 三呢？ x 四这两个斜率怎么可能为一呢？ 只有在这里同为一点的时候才为一啊， x 三 x 四它不可能相等啊，懂这个意思没有？所以这种排列要舍掉，所以只能留下来。这一个排列 就是 x 三在 x 一 和 x 二的中间， x 四在最小。接下来思考了， x 三 x 是 在这里不好搞，那么换一下， 那么我们就用 x 一 和 x 二来表示吧。好吧，所以最终的排列是， x 是 诺言 x 二， 然后是 x 二，这里是，这里是多少？是不是诺言 x 一， 这里是不是 x 一？ 所以说最后如果要是它是等差数列，一定是这样子摆摆着的，那接下来我们就要用等差数列的重要条件去验证呢？那是不是里面有 x 一 减洛弦 x 一， 是不是要等于 x 二减洛弦 x 二， 同时还要什么？同时同时还要什么你？因为你这里只是它的必要条件之一啊，这两个相相差是一样的，你还要中间的，其他的也要一样啊。 所以两倍的洛弦 x 一 是不是等于 x 一 加 x 二啊？那同时呢？两倍的 x 二是不是等于要洛弦 x 一 加上洛弦 x 二， 是不是这个意思？嗯，是不是这个意思？嗯，好，我们来看一下。这里， 这里我们带到原式里面看一下带到原式这里，那因为 x 一 x 二是 f x 的 这个值，所以说有 a 倍的洛弦 x 一 减去两倍的 x 一 加上二 a 是 等于 a 倍的洛弦 x 二减去两倍的 x 二加上二 a 的。 所以说你第一个必要条件，我们是不是就可以直接推出来 a 等于二啊，你根据这个式子对比一下， a 就 要等于二啊，对不对？那接下来呢？ 接下来我们把这两个式子合并一下，合并一下，我看一下啊， 合并一下， 因为你是它的重要条件呢，我必须要验证它呀，是不是？那 怎么验证呢？实际上洛隐 x 一， 如果求出来 a 等于二，那么它的解析式是不是 f x 等于两倍的洛隐 x 减去二， x 加四， 所以说可以推出来洛以 x 是 等于 x 减二的， 是不是这个意思？是不是这个意思？那么实际上这个条件我们用起来好用吗？ 两边同时乘以的话，两倍，两倍。 呃，哎，这里不好，不好去处理啊，这里我们带到这个事实里面看一下，好吧，因为我知道 l 诺言 x 等于 x 减二，那么是不是等于诺 x 二减二？ x 二，这里是 x 一 减二，这里是 x 一 啊， 是不是重新排列？是这样的，是不是？是不是这个意思？ 那么是不是就可以推出来它其中有一个必要条件是两倍的 x 二实际上是等于 x 一 加 x 二要减四的？我这里这里看比较麻烦，因为我把这里换，换成，换了以后再重新 看一下，这里就推出来 x 二是等于 x 一 减四的呀。 啊，你把它带到里面也是一样的，你用这个带到里面，最后得到的也是这个， 然后于是到了这里怎么怎么处理呢？你看这个图，你看这个图二，当 a 等于二的时候，这里它是 x 等于一的时候，取到极值点， 于是我们就得到了什么，于是我们是不是就得到了实际上 x 二是小于一，小于 x 一 大于零的，是这个意思吧？ 是不是啊？因为 x 是， 因为那 a 等于二的时候， a 等于二的时候，这里是 x 等于一取到极值，所以这里是 x 二，这里是 x 一， 那然后这里 x 二又等于 x 一 减四，那么是不是可以推出来 x 一 是属于四到五的呀？那 f x 一 是不是要小于 f 四的？因为单调递减嘛，在大于一，一到正无穷， 那 f 四，显然这里是一个负数啊，两倍的洛隐四减四，那小于零呢？所以最后就不存在。这里啊，不存在 啊，这里不，不仔细的讲了啊，大家仔细的去回味一下，所以最后这里不存在。 我们总是要去验证。你看这这个题目最核心的是什么？是一个验证的思想，因为你用这个表示出 这个等差数列，他并不是这四个数乘等差数列的冲要条件，他只是他的必要条件，所以你还得用其他的两个条件去验证他是否冲。要你看，你验证的过程中，你就发现了问题不存在。 明白这个道理，因为你仔细的再再回味一下，你说 x e 减诺言 x e 等于 x 二减诺言 x 二，它显然不是冲压。我举个例子，这里是一，这里是三，这是一百，这里是一百零二，它是等差吗？那肯定不是嘛，对吧？ 所以最终的验证是这题的关键。 好，这道试卷讲到这里。

同学们好，我们来看一下这次异模填空题的亚洲题，第十四题， 嗯，给了一个冷场位根号三的正四面体，然后在这里我们读到哪说到哪，好吧，正四面体我们怎么画？现在我们一定要养成一个好习惯，好吧，我们画正四面体的时候，一定要放到正方题里面画， 你放到正方题里面画正四面体，这个问题会好处理很多，你分析起来也会很方便，好吧，在这里苏老师是不是就放到这个正方题里面画了，对吧？也就是左边这张图，我在这个正方题里面找到了这个正四面体， 然后这正四面体的棱长为根号三，对吧？然后他说 a e 向量 a， e 等于三分之一向量 e b， 然后在这里我们一定要注意这个向量的方向，好吧，在这里 e 是 不是就是靠近 a 的 四等分点，对不对？线段 a b 里面靠近 a 的 四等分点，然后过点 e 做求 o 的 结面，这里 o 是 外接球， 那现在做求欧的结面，其实你要想象图图形的话，是不其实就比较复杂了，但是他后面给了这个结面的面积，结面的面积给了是不就意味着这个结面的半径给了，对吧？那现在我们是不是就可以画这张图了？大家看一下 这个大的这个求欧就是这个正四面体的外接球，然后这个结面我们是不是可以单独的表示出来？ 我们其实并不知道这个洁面具体和这个四边形的四面体的相对位置是啥，对吧？其实我们也不需要关系那么那么多，但只要我们把这个图给做出来，这个两个面之间的位置关系，我们就可以很清晰的表达了， 它给了这个结面的面积为十六分之十三 pi， 那 我们是不是可以顺手把这个结面的半径给算一下，对吧？根据 s 等于 pi r 方，在这里苏老师算出来了， r 等于四分之根号十三，也就是这里的 o 撇 n， 对 吧？这里的 o 撇 n 是 不就等于四分之根号十三？ 好，那现在这个图一做，大家想好处在哪？这个直线 o e 和这个结面所成的角，我们是不是就很好表示了？大家想一下，如果要不画这张图的话，你要在这个正四面体的基础上再去套这个圆， 那其实这个相对关系就很难找准确了，对不对？你画图就会复杂很多，但是我们在考虑这种面与面之间的关系，我们只需要把这两个面给找到就行了，所以苏老师在这里画的第二个图。 好，那现在我们来想一下，我们为了知道这个结面，为了知道这个 o e 与结面所成的角正弦之后，我们需要知道哪些信息？首先我们先要搞明白这里的点 e， 它一定是这个结面上 不在圆周上的一点，对不对？这个 e 肯定不是圆上的点，大家得先想明白这个事情， e 绝对不要把它当成这个圆上的点，它是过点 e 做了一个结面。好，那现在大家再想一下， 那口是不是就构造出来了一个直角三角形？这里所谓的 o e 与结面所成的角的正弦值是不是？我在这里标的 c t， 也就是角 o e o 撇儿没问题吧？角 o e o 撇儿是不是就是这个角？ 好，那现在想一下，我们要算 sine theta 需要知道哪些信息？我们需要知道对边和斜边，也就是 o 撇儿 o 和 o e。 好， 那现在问题又回归到了求这两个线段的长度上，对不对？一步一步地简化问题，好，想一下这个 o 撇儿 o 和 o e 该怎么求？ 我们先来想一下这个 o 撇 o o 撇 o 还是比较简单的，为什么 o 撇 o 简单？对于 o 撇 o， 我 们是不可以把它放到这个直角三角形里面，对不对？这个上面这个小 r 我是 知道的，长度，然后这个大 r 的 长度我也知道，那是不是用勾股定律简简单单一算，这里的 o 撇 o 我是 不就可以表示出来？没问题吧？ 这就是简单一个勾股定律的应用，计算过程我就不带给大家说了。然后在这里有一个小细节，我们算这个 o n， 也就是这个外接球的半径，有没有什么简单的方法？ 在这里苏老师用了一个小的二级结论，对于这个正四面体的外接球半径，我们有一个公式， r 等于四分之根号六 a， a 指的什么？ a 指就是这个正四面体的冷场，正四面体每每一个冷冷场是不是相等，对吧？所以他又有这个小的二阶结论，对于正四面体来说，外接球的球心等于四分之根号六倍的冷场。 在这里苏老师就直接用这个二阶导算了，还希望同学们能够熟练掌握。好吧，就算，就算，你考试之后忘了找这个，没想没想到，咱是不是在这个 图形里面构造一个直角三角形？是不是其实也能把这里的 o a， o b 或者 o c 随便找一个算出来，这是不？实际上就是这个外接球的半径了，对吧？也可以，但只不过这个运算量稍微有点大， 但我们用这个二一结论其实就一步秒了。然后后面就是比较常规的这勾股定律了，我们是 o p l 是 不表示出来了？好， o p l 表示出来了，现接下来还缺啥？是不？还缺这个斜边，也就是这里的 o e 好， o e 又该怎么算？我们知道 o p l 了， o e 又该怎么算？ 好？那现在其实我们又得回到这个左边这个图形里面，对不对？又回到这个左边这个图形里面算 o e 就 比较简单了，大家看一下我们是不是 e， 是 不是有特殊的这种位置关系？现在这四等分点这个关系我们到现在还没用过呢，对不对？那这里的 o e 我 们是不是就可以放到这个直角三角形 e m o 里面？ 我这里粉色标注的这个直角三角形 o e， 我 们是不是可以放到这个小直角三角形边？求解，对不对？因为 o m 我 们我们能算，然后 me 我 们也能算四分之棱长，所以这个 o e 再用一个勾股定律是不是也能表示出来，对不对？好，这里的 o m 是 不是就是先把这个正方体的棱长给表示出来？ 那这个正方体的棱长的一半是不就是 o m 了，对吧？所以在这里苏老师就直接表示了，好吧， o m 最后算出来结果是四分之根号六，然后你知道 m e 是 四分之棱长，再简简单单的用勾固定里算出来 o e 等于四分之三， 你现在到这这个问题就非常简单，对吧？三个 c， 它是不就是 o p r o 比上这个 o e， 最后计算出来结果是三分之根号五。 其实这道题这个难度也并不说特别大，主要就是一个思路转换，只要同学们能把这两张图给做出来看这个问题就会简单很多，难点就在于怎么会想到构造这两张图，对吧？ 在这里苏老师最开始是不强调这个点，我们之后只要碰到这种做四面题相关的题，四面题相关这种计算，我们是把它套到这个 正方体里面，是最简单的，对吧？这是其实是我们处理这个绝大多数这种集合体的思路，是不是尽量把它套到一个正方体或者长方体里面，再去处理 这个问题就会简单很多，对吧？无论是算面积也好，还是算体积也好，还是算各种角度也好，你处理起来就很直观很方便了。这是一个细节，然后第二个细节，对于这种球界面的问题，我们是不是单独再拎一个球出来，对吧？大家想这个，这上面这个小 小圆，这个圆 o 撇，我其实就这么随手一画，对不对？它其实相对于这个正四面体的具体的位置关系，我也没有扣太细， 但是只要我能够确定它的半径，我就能够在这个大的外界球里面把这个小圆给表示出来，然后再研究这个圆和圆之间的位置关系，再应用垂径定律，该算的长度是不是都能算，对吧？问题又简单了很多，所以到最后就转换成了这种边和边的这种计算计算问题了。 而且你现在这张图一换，这里所谓的这个 sine theta 是 不是也很好找了，对吧？这种直线 o e 与该截面所成的角我们就非常好表示了，你就没有必要在这个左边图形上再去讨缘，再去再去找这个角了，问题就简单很多了。好吧，这就是这道题一个具体的思路， 然后关于这苏老师这份笔记，这个同想要的同学也可以后台随时私信，好吧，苏老师都是可以免费发给大家的。好，今天这道题的讲解就到这里结束，然后我们在后面两个视频会更新这次一模 的最后两道大题，第十八题圆锥曲线的大题和第十九题导数的大题，谢谢大家的观看。

好，看一下第五题，第五题也是一个常考的一个题，我们在氧还原反应的时候学的这一个反应，初中的时候很多同学都已经遇见过，是吧？呃，对炸学校非常这个有执念，所以很多同学就是想这个治炸药哈， 这个炸药黑火药呢？它这个威力并不是很大，我们到学有机的时候学的有一个威力比它还要大的哈，啊， 然后用到正确的地方的时候就可以造福人类啊。他这个他是很明显是一个牙还原反应。分析一下，画完架这个是零价，这个是负二价，这个是正五价，然后这个是零价。呃，他两个画完架都是升高的， 那硫的化学价是升高的，氮的化学价也是升高的，哎，你要想算得失电子的时候，哎，我要把这两个的失去电子总数都要给它算出来啊。这个，这两个是得电子，得电子总数都要给它算出来，这才能算出来。转移电子数。 算两个和算一个肯定是算一个，相对来说比较简单一点。我们看一下碳，碳的化学价，它从零价到正四价，化学价是升高的啊，化学价是升高的啊，这两个是降低的啊，这两个不是升高了，这两个是降低的了。 硫的价是降低的，然后氮的价也是降低的，它是升高的。哎，你看升高的只有一个，所以一个就更好算，这个是零价到正四价，所以你一个碳又是失去，哎，四个电子，那如果是三个碳呢？ 那就是十二个电子，那三个碳对应的是三个二氧化碳，对吧？ 那三个氧化碳对应的是一个氮气啊。看 a 选项，十二克的碳十二中所含的质子数。哎，这是正确的啊，一个碳里面有多少个质子呢？ 它俩之间的一个比例关系就是一比六，哎，刚好十二克它是 n， 一 是等于一摩尔，那质子数一比六，那就是 n， 二就等于六摩尔，六摩尔就是六 n a 啊， 所以这个是正确的。 b。 选项，每生成二点八克的氮气所转移的电子数是多少？哎，二点八克好像是。呃，零点一摩尔啊，是不是零点一摩尔？那，所以他转移的电子数是一点二摩尔，哎，所以也是正确的。一点二摩尔，一点二 a 啊。 c。 选项，十一点二升的二氧化碳，一看就是错的，为啥他没有标况啊，你咋算出来他是，呃，那个叫什么？ 呃，是零点五摩尔啊，所以这个不正确哈，他没有说标况哈，得水量一升零点一摩尔每升的啊，这个溶液中它的数目是小于它，哎，正确的哈，因为硫二负离子在水溶液中会发生水解，易水解，会产生。 呃，鎏金根，还有这个气氧根啊，所以这个也是正确的。错误的就是 c。 选项， 第六题，第六题考察到我们课本上比较常见的了。第一个，滤器和水发生反应啊，这很明显磁力酸是不能拆的，所以是错误的。二氧化碳通过到水中，它压根没有配平啊，它应该是三一二一嘛，是不是 c 群一样金属钠与硫酸铜发生反应，我们说钠与其他物质发生反应的时候有酸，酸，有碱 啊，无酸呢，水优先是不是？那现在有没有酸啊？有水啊，对不对？硫酸铜里面是 c u s o 四，它没有酸，只有水，那先与水反而产生嵌化钠，再产生嵌化铜啊，所以这个不正确，那正确的就只能是 d 了。 猴式质检法工艺，吸出这个晶体吸出这个晶体应该是一个碳酸氢钠啊，那就是饱和的食盐水往里面先通入氨气，这是第一步，先通入氨气，再通入二氧化碳。通入氨气的目的是提高二氧化碳的溶解量 啊，然后产生这个晶体，然后这个物质呢？呃，它是一个溶液啊，不能成为这个晶体啊。人家没有说离子方程正正确啊。这个，这个不写成离子方程也是正确的啊。人家没有说是吧。所以答案选德啊。 看第七题下列有关物质用途解释。正确的是，你看我们的二氧化硫是呃，学的时间可能会比较长的，有些学校复习的比较快，他可能是刚开学没有多长时间就把这个金属和非金属复习完了啊。这是我，这一次我们的考试范围比较靠前。 二氧化硫，做纸张的一个漂白剂。二氧化硫能够与这个有， 呃，某些有色物质生成不稳定的，哎，这是一个加合法应吗？是吧。生成无色的化合物，这个是正确的。不稳定，它不稳定，加热颜色就回来了，所以 a 就 正确了。 b 选项错在哪呢？维生素 c 做抗氧化。抗氧化，那不就是， 那就是呃，氧气或者说其他的氧化物，想把这个食物给氧化掉，但是这个维生素 c 呢？那不把它给氧化掉，不想让这个氧化剂把食物给氧化掉怎么办？那就是氧化他自身 啊，所以这个氧维生素 c 起了这个还原剂作用啊。所以不是氧化性啊，基型一致嘛。 c 选项，小苏打，小苏打是碳酸氢钠， n n h n a h c o 三碳酸氢钠嘛， 他单独做这个糕点的一个蓬松剂，碳酸钠与酸反而反应，放出大量的二氧化碳，那这个就直接就错了吗？是不是？然后 b 得选项，草酸，做衣物的除锈剂 啊，做衣物的除锈剂，那利用的它这个酸性能够与锈反而反应吗？锈，铁锈啊，是不是就是这个东西？铁锈 是吧，它俩能够发生反应，一个酸性，一个是碱性氧化物是吧？这个草酸钾，哎，这个是草酸钾是吧？啊？草酸钾，它不是草酸啊，草酸钾是显什么硬质呢？ 草酸钾是显碱性啊， ph 值是大于七的，它以水碱显碱性，我们要的是酸，那所以这直接就不正确了，因为我们要的是酸嘛，是吧。 然后看第八题，下列微粒相应条件下一定能够大量共存的，而且考察离子共存的澄清不代表没有颜色哈。然后这里说的无色才证明是没有颜色的哈，那这些很明显他俩就直接出现反应了，出现沉淀了，所以不行哈。 然后看这个 b 型液，呃，浓盐水与高锰酸钾制绿剂之后的溶液，他的产物不就是他们几个吗？对不对？他的产物不就是他们几个吗？所以这个是可以大量共存的呀，是不是啊？ 所以这题是不是就选 b 了啊？然后看这个 d， c 选项， c 选项，氢离子比上氢氧根 a 等于十的负五次方，那就说明氢离子浓度小，所以在这个是请碱性偏值大于七，我们让它与一定相比哈， 让它与一进行相比，如果是大于一，那就是氢的浓度大，显酸性，如果是小于一，那就是显碱性啊，你不用考虑太多啊，多少次方多少次方我还在算一下，没有必要啊， 来，这个消息好看，这个碱性环境下，你弱碱根肯定不能啊，它弱碱根肯定是不能和氢氧根大量共存的呀，所以这个错的很明显啊。 然后看这个 d 型啊，投入少量的二氧化碳，那这个七氧化碳就过量的，那你后面再给他加一个七氧根试试 是不是？那你碳酸氢根和七氧根它俩是不能共存的呀，对不对？然后再和钙离子会生成碳的钙沉淀的，对吧？你这个不正确啊。 好看。第九题，神舟十二号返回，巴拉巴拉说了一大堆，然后有 x、 y、 z、 r 和 q 五种短周期的元素原子序数依次增大， 然后 x、 y 的 最高正价与最低负价单数之和为零。那我们最常见的就是碳和硅，是吧？啊，它是因因为最高正四和负四 代而合之，合为零。还有没有？大家很容易忽略一个，就是清正一和负一是吧？呃，从哪个地方可以看出来哈？大家有下面有一个十三题， 下面有一个十三题，你看这个里给你出现了清负，是吧？所以大家应该是能够感觉到有一个是负一架哈， 那这个就是青了，那这个就是碳了是吧？呃，然后也有告诉你， r 的 最层电子数是电子层数的三倍，那就是有可能是二六的结构 啊，有可能是二六的结构，电子层数是二吗？然后最层电子数是三吗？是六，是它的三倍，有没有？有没有可能是二八九啊， 你看电层数是三，然后最层电子数是九，也满足他这个要求，但是我们没有这种情况吧，所以只能是他是氧， 那碳和氧中间就只能是氮，对吧？然后 q 呢？既能够与酸强酸发生反应，又能与强碱发生反应，这不就是两性的吗？我们学的两性的最常见的不就是氢氧化铝吗？哎，这个谁啊？氧化物又是氧化铝呢？氧化铝，所以这个 q 是 铝啊， x 与 r 形成的化合物只有一种，那那不就是水，还有过氧化氢，这不就错了吗？ 简单，氢化物的稳定性，稳定性是一个化学性质，它跟这个如果是个分子型的话，它是给与 公加键的强度有关系的啊。来看 y 是 谁？ y 是 c h 四最简单的嘛。说氢化物一定要说最简单啊，然后 z 是 氮，那就是 n n h 三氨气， 然后 r r 是 水， h o 水，那就看原子半径了，那半径碳的它是要大于氮的，要大于氧的啊，那所以它的稳定性，稳定性谁强谁弱呀，就水的会更强啊。所以正确答案选 b 型。你看，其实很简单哈， 说氧化物的时候呢，最要说最高价，最高价含氧酸的酸性，那 y 对 应的是， y 对 应的是碳酸的， 是不是？ y 对， 那是碳酸，然后这个 z z z 是 碳，那硝酸呢？那硝酸是属于强酸的呀，所以证明念错了。 然后这个物质与铁粉，呃，高温下剧烈发生反应，生成 q， 生成这个铝单质和氧化铁，那肯定不正确啊，你这个铁怎么去把这个活泼的铝给它制出来呢？你这就错了啊，反了，应该是 铝粉和氧化铁发生反应，铝热剂吗？这个才对哈。啊，看第十题，实验室用氢气和这个物质和这个锈单质，然后致被无水的，无水的这个锈化氢啊，我们原来讲过一种方法，就是 蓝挥发性的致易挥发性的，哎，锈化氢，我们可以用这个锈化钠固体和 这个农林酸在加热条件下，哎，制备去化氢是吧？这个是难挥发致易挥发性的一个酸啊，那下来说法中错误的是， 呃， k 装置中 s 是 作用，是平衡加强，哎，是液体水逆流下，这个是正确的，起到一个横压的作用，相当于是一个横压管了啊，然后这个 b l 装置发生反应的化学方程是它，那整个过程中只有它这一个是这个发生装置吧， 是吧，那所以它就是正确的，那就是产生的嘛，产生锈化精的后面都都是除杂的啊。前面的这个是储水的，然后这个是它俩混合的，混合变成气态挥发到这里面来，然后发生这个反应。 c 选项 m 装置利用红磷去还原除去混合气体中的它，这个对不对？红磷，红磷不是磷吗？ 啊？磷，我们见过这个磷和氧气发生反应，就是和氧化剂发生反应是吧？哎，可以发生反应，产生无氧化磷，然后这个磷和另外一个氧化器锈单质，哎，也是可以发生反应的，可以把它给除去了啊，这个是没问题的啊， 德行呀。 n 装置干燥管中充入的物质可以为这个东西它具备的是谁啊？它具备的不是无水的这个玩意吗？是吧？锈化氢它是一个酸性气体啊， 是不是它是一个酸性气体，你怎么能用碱性氧化物呢？它俩会发生反应啊。所以这个是错误的答案。选 du 啊，你看这个题并不难啊。

好，同学们好，我们来看一下第十八题，这个圆锥曲线的问题。其实这道题整体呢，难度并不算特别大，但是由于这份卷子前面这个小题难度有点大，对吧？所以同学们坐到这可能没什么时间了，心态也稍微有点慌了， 那现在呢，我们来好好看一下这道题。给了个椭圆，然后过某个点，然后给了这个焦点的坐标，然后问你这个第一问，问椭圆的标准方程，那第一问还是非常简单的，对吧？ 两个式子解 a 方和 b 方，先把这电子坐标带进去，得到 a 方分之三，加上 b 方分之四分之一等于一，然后这个焦点坐标是不是就相当于给了 c， 那 c 方知道是三，那 a 方等于 b 方加 c 方。第二个式子又得到简简单单解出来， a 方等于四， b 方等于一，那第一问就没啥说了，主要来看一下第二问。 第二问这个给了一个椭圆的左顶点 a， 下顶点 b， 然后 p 是 椭圆，在 c 是 第一项线上的点，然后直线 p， b 与 x 轴相交于点 c， p， a 与 y 轴相交于点 d。 大家看一下图，是不就是苏老师画这个图了，对吧？左下角画这张图， 然后这个第二问，第一小问问你，让你正这个四边形 a、 b、 c、 d 的 面积为定值， 那大家看一下这图我们已经画出来了， a、 b 一 c、 d 一 连 a， b， c、 d 的 面积，我们该怎么表示？首先这个四边形 a、 b、 c、 d， 它是一个不规则的四边形对不对？但是这个平面直角坐标系已经完美的帮我们分割好了，这个图形对不对？刚刚好把它分成四个 直角三角形，对吧？那所以我们面对这种四个直角三角形，对吧？那所以我们面对这种四个直角三角形，它的面积是不是有一种算法， 这个二分之一对角线乘积对不对？这实际上他的这个应用范围是不是就是对角线相互垂直的四边形，我们是不是就可以用这种面积的算法，对吧？二分之一对角线的乘积，这个还是非常好挣的，苏老师在这就不跟大家说了。好吧， 那现在这个问题就转化成了这个求 a c 的 长度和 d b 的 长度，我们用这个点 p 的 坐标把这个点 d 点 c 给表示一下，然后 a、 c、 b、 d 是 不是也都表示出来了？然后感觉还是个比较常规的这种运算问题， 那我们来看一下。首先我们先把这个 p 点坐标给表示出来，那就用 x 零 y 零来表示，然后在这里稍微远近一点，毕竟他说的是第一项线上点嘛。所以我们在这里规定一下 x 零的和 y 零的范围， x 零属于零到二， y 零属于零到一。 好，那因为 p 在 椭圆 c 上，那所以是不是就有四分之 x 零方加上 y 零方等于一，然后就得到了这个式子？ x 零方和四 y 零方是一个定值关系，我们现在在这放着，到后面可能化简过程中会用到，好吧，那现在 p 点坐标我们表示出来了，那么直线 a p 是 不是我们就可以用这个斜截式来表示了，对不对？斜率可以表示，然后过定点 负二等于零，然后所以这个直线还是非常好表示的，这都是非常简单的问题，对吧？直线 b p 的 方程是不是也就这么表示了？然后再令 x 等于零？另外一点零，我们是得到了 d 点的坐标和 c 点的坐标，没有任何问题吧？好，那得到 d 点坐标， c 点坐标，我们是不就 可以把这个 a、 c 的 长度和 b、 d 的 长度给表示出来了，对不对？ a、 c 的 长度，那就用 c 点坐标减掉 c 点横坐标，减掉 a 点的横横坐标，对吧？那就是 这个 c 点横坐标减掉一个负二，也就是加二。最后化简出来是这个结果， y 零分， y 零加一分至 x 零加二， y 零加二，然后 b、 d 的 作坐标。同样的方法，我们用这 d 点的纵坐标减掉 b 点的纵坐标， 表示出来这个 b、 d 的 长度，最后是 x 零加二分之 x 零加二， y 零加二，那发现这个分母是分子，是不是长得一样，对吧？ 那所以这里的这个四边形的面积，我们是不是就用最开始提到的公式，二分之一对角线的乘积，二分之一对角线乘积，那到这其实也没有动任何脑子，对不对？这道题做到这其实没动任何脑子，一直都是在硬算，一直都是在硬算， 那现在到这感觉没有什么特别好处理思路，那就把它撑开呗，对不对？把它撑开，撑开之后其实是有信心化解的。为啥有信心化解？大家想撑开之后，虽虽然出现了一个三项的平方，但其实三项的平方还是非常好表示，对不对？ 就是 a 方加 b 方加 c 方加二， a， b 加二， a， c 加二 b c， 我 们就按照这公式把它打开，打开之后我们发现可以有一个 x 零方加四 y 零方，对不对？ x 零方加四 y 零方是不是刚刚刚刚提到了它是一个定值，对不对？ x 零方加上四 y 零方，刚刚提到它是一个定值， 等于四，那我们再把四给带进去，发现这个式子可以提取共因式，对不对？它式就提成了四倍的一大坨东西，除以两倍的一模一样的另一大坨东西，对吧？最后化解完之后，结果为二，简简单单一个月份。 所以其实这个第二问，第一小问，这个没什么技术含量，就是就是做预算，纯粹做预算，但确实还是考察一些计算预算的这个基本功的。放给平时大家做可能会觉得很简单，但考试的时候 伴随着这个考试的心态紧张，然后再加上这个时间的问题，所以大家做起来可能错误率就会比较大。但实际上这个第一问确实是没有任何技术含量的，就是纯算、硬算，对吧？好，我们来看一下这个最后一小问， 最后一小问他让我们表示三角形 p、 c、 d 面积的最大值，三角形 p c、 d 面积最大值，那这个 p c、 d 我 们该怎么表示？ 像这种题，我们是不是一定得回去看看前面让你做的那些别的小问，这肯定是有铺垫的对不对？大家想这个第一小问是不是让我们算了这个四边形 a、 b、 c、 d 的 面积为定值？大家想一下这第一小问我们求证出来结果。第二小问能不能用到 p、 c、 d 面积？ 这个 c、 d 这个长度，我们其实理论上可以表示对不对？但是这个 p 到这个 c、 d 的 距离理论上也可以表示，但大家想这样硬算的话，这运算量是不是有点夸张了，对不对？运算量确实有点夸张了，但是我们转换一下思路， p c、 d 我 们可不可以看成三角形 pa b？ sorry， 三角形 pa b 减掉我们刚刚算过的这个定值，是不是就是中间这个红色的这一小块？ 这是不是就是三角形 p c、 d？ 所以 我们是不只需要把这个三角形 p a、 b 面积的最大值给表示出来就行了，对吧？那三角形 p a、 b 的 面积， 它的最值其实还是比较简单的，我们比较常规的思路，大家想一下， ab 它是定值，而且 ab 它定点距离也是定值，那实际上它问的就是 p 到这个 a b 距离的最大值吗？对不对？ p 到 a b 距离的最大值到。这其实我们就有非常多种解法了，三角换元也可以，然后我们求这个这个切线方程是不是也可以？这个 p 到 a b 距离最远的时候，是不就是我们找一个相切的 直线，然后这里的 l 它的斜率和 a b 相同，对不对？然后我们再用这个椭圆的这个切线方程，把这个我这条虚线 l 给表示出来，是不也就 ok 了，对吧？ 所以这方法其实非常多的，但在这呢，苏老师到后面会展示一个比较不一样的方法，也是大家考试可能想不到的方法，但其实运用到这道题来说非常简单。好，我们来看一下这个具体的做题流程。首先我们先搞清楚这个 d， 也就是这个 p 到 ab 的 距离，我们得先表示出来，对不对？那我们要表示出来这个 p 到 ab 的 距离，我们是不是必须得，必须得把这个直线 ab 给表示出来，对吧？那所以我们在这里把这个直线 ab 的 方程给表示出来， l a b， 那 l a b 表示出来之后，那这个 p 到直线 a b 的 距离，我们是不是就很好表示了，对吧？ p 到直线 a a b 的 距离是不是就很好表示了？就带这个距离距离的公式， 那最后可以表示成根号五分之 x 零加上二， y 零加二的绝对值，在这里这个分母的根号五还没有这个分母有理化。因为想到后面有可能约的约掉，所以大家在做这种这个运算时候，也可以留意一下这个这种小细节啊，运算时候可以会有可能会加快我们这个运算速度， 因为这毕竟是不是我们最终的一个运算结果嘛，就没有必要特别着急做这种有理化的处理，这种复杂的这种根号有可能到后面是可以约掉的。然后这里的 s 三角形 p a b 我 们是不是就可以表示了？它是不是就是二分之一底乘高，底就是 ab， 高就是这个 p 到 ab 的 距离， 然后在这里我们是发现根号五约掉了， ab 就是 根号五，对吧？所以最后是不就表示到这份上了，是不就表示成二分之一 x 零加二 y 加二的绝对值了，对不对？好在这重点来了，同学们重点来了， 苏老师在这里用的方法比较巧妙，大家想一下，这里面变量是不是就是 x 零加上二 y 零？那我们是不是在做这个第二问的第一小问之后，用到过一个定值关系， x 零方加上四， y 零方等于 四，对吧？ x 零方加上四， y 零方等于四，那大家想这两个东西怎么串到一块？ 这是不是就是这个加和与这个平方和的关系啊？对不对？我们的平方和是定值，所以我们是不是就可以用这个不等式链里面的一个结论，我们均值不等式的一个结论， 二分之 a 加 b， 它是不是小于等于根号下二分之 a 方加 b 方取当？条件就不说了，当前进当 a 等于 b 式取当，对不对？大家想这个式子是不就完美构造这个和与平方和之间的关系？ 那现在对于这道题来说，这所谓的 a 和 b 是 不是就是 x 零和二外零？平方和是不是定值？那所以我是不是就可以直接用了？那所以这里的 a 加 b， 它是不是就小于等于根号下二倍的 a 方加 b 方？所以到这这个式子怎么来的，同学们看懂了吗？ 针对这个 x 零加上二外零，我是不是直接就小于等于根号下二倍的 x 零方加上 这个二 y 零，整体的平方，也就是四 y 零方，对吧？然后 x 零方加上四 y 零方，它是一个定值，我是不是就直接代值就 ok 了，对不对？直接代值就 ok 了，这个运算量是不是就几乎没有了，对不对？如果同学们能反应过来这个式子可以用的话，是不是运算量基本上就没有了？ 但其实这并不是这道题的一个通法，或者是常规方法。通法和常规方法还是我刚刚讲过的啊，还是我刚刚讲过的，要么求切线，要么三角还原。这里的 x 和 y 零我们是不是都可以用三角换元把它给表示出来，对吧？ 要么就是比较常规的这个求这个切线，求这个切线，因为这其实是同学们最好理解的一个思路，对不对？距离的最大值对吧？距离最大值，那肯定是这个直线斜率相同，切相切的时候，对吧？ 好，那常规方法，这个苏老师就不带着大家再继续算了，好吧，就不带着大家继续算了，大家可以这个看完视频之后自己再动手算一下，然后主要呢就是想跟大家介绍一点不一样的方法，对吧？也想让大家看视频有点收获。这个方法可能就是大家平时不太能想到的， 这其实对于我们这个基本不等式部分，同学们还是得做一个复习巩固，对吧？不要只停留在这个二分之这个 a 加 b 和根号 a b 的 关系， 这个不等式链的拓展，同学们也可以再复习，复习有些时候还是挺好用的，好吧。然后取等条件，那就是 x 零等于二， y 零的时候取等，然后解出来 x 等于二， y 零等于根号二，完全符合题， 它是不是符合这个我们最开始设定的 x 零和 y 零的范围，对不对？题目是不是规定了 x 零和 y 零， x 零都 y 零，它应该是第一象限的点的坐标，对吧？第一象限点的坐标。 那先把这个事情搞明白之后，最后就是做个流程了， s 三角形 p、 c、 d， 它是不是就可以表示成 s 三角形 p、 a、 b 减掉那个定值 a、 b、 c、 d 的 面积，对吧？也就是根号二加一，再减掉一个二，最后答案就是根号二减一了，所以这就是这道题一个完整的答题过程。 好，这个视频的讲解就到这里结束。好，苏老师，下一个视频就带来我们的这张卷子压轴题、导数题的讲解。

好，同学们好，我们来看一下这个单选择题的最后一道题，第八题给了一个题目背景，主要说它想采用一种胶囊型结构，中间部分为圆柱体，左右两端均为半圆形方头，那这个图我们可以大概画一下，对吧？ 苏老师，大概画个草图，不要嫌我画的丑，好吧。 先表示一下这个圆柱体，然后上面一个半圆，下面一个半圆， 就是这种胶囊的形状，对吧？然后说这个底面半径和这个半球的半径均为 r， 那 就是这段长度是 r， 然后储液罐外表面积为定值 s， 那 这个外表面积我们能怎么表示？大家想一下，是不是就是这个圆柱的侧面积，再加上两个这个半球的这个表面积，那就是实际上就是一个一整个球的表面积嘛？ 那就是一个圆柱侧面积加一个球的表面积，可以表示为定值 s， 然后问你这个储液管体积 v 取最大值是 r 等于多少？那么先把这个定值 s 给表示一下吧。来想一下 s 能怎么表示？那 s， 那 就先是一个球的表面积，那就是四排 r 方， 然后再加上一个圆柱的侧面积，那圆柱的侧面积我们要表示的话，是不是还缺一个高，对吧？我们还缺一个高 h， 那 么就先用字母 h 来表示一下，那就是 二派 r 再乘上 h， 没问题吧？这就是 s 目前一个初步的表示了。好，那现在来看一下它，想让我们求这个 v 的 最大值，那我们来看一下这个 v 能怎么表示？ 这里这里的这个体积 v 实际上就是圆柱的体积再加上一个球的体积，对吧？还是比较好表示的。那圆柱的体积，那就是底面积乘高， pi r 方 乘上 h， 然后再加上一个球的体积，那就是三分之四 pi r 的 三次方， 好，那现在这个 h 是 一个变量未知数，对不对？那现在我们是不是已经有一个关于 h 的 关系了，对不对？这里的 s 是 题目给的条件，是个定值， r 也是定值， pi 也是定值，那么所以这里的 h 我 们是可以表示出来的 h 我 们是不是就可以表示成 s， 减掉四派而放，然后再除以一个二派而 没问题吧？那么所以这里 v 的 表达式里面，这里面的 h 我 们是不是就可以整体代换了，对吧？然后大家想，我把 h 代完之后，这个式子是不是实际上就是一个关于 r 的 函数了，对吧？那所以我在这里用这个 vr 来表示， 就想表达这里的体积 v， 它实际上是一个关于 r 的 函数，对吧？那它就是 pi 方再乘上这个 s， 减掉四 pi r 方 除以二 pi r， 然后再加上三分之四 pi r 的 三次方，没问题吧？ 那化简整理一下这个运算的过程，苏老师就不给大家展示了，好吧，我就直接说最后结果化简完之后，那就是负的三分之二 pi r 的 三次方加上二分之 s 乘 r， 那 这毕竟是一个关于 r 的 函数，我们还是得考虑一下定义域的问题，好吧，那现在这个 r， 嗯，虽然它的上限我没有办法确定，但起码我们能够确定它肯定是个正数，对吧？起码是个正数，那所以我们就先标上 r 大 于零，这一定要养成这样一个随时标定义域的好习惯， 那现在来看一下这个 v 的 最值，那现在这是一个三次函数，那么就只能用导数的知识来求解了，对吧？那我们就算一下它的这个导函数，然后再研究它的这个单调性，对吧？研究一下它极致的情况，大概就是这样一个思路，其实还是比较常规的，那我们来动手操作一下，那先求一下它导函数， 这个导函数还是比较简单的，那就是负二派而方再加上二分之 s， 没问题吧？那这是它导函数了，那现在把它导函数表示出来之后，那就得想这个导函数什么时候为零，也就是它这个单调性变化的节点，对不对？其实这个导函数图像我们还是比较好判断出来的，我们可以大概在旁边先画个槽图， 这其实就是一个开口向下的二次函数嘛，还是非常好表示的。苏老师就画在这里 开口向下的二次函数，但是我们只要而大于零的部分，所以它 暂时是长成这样的，对吧？那这两个根的正负其实我们不太确定，但其实对数字比较敏感，同学肯定是能够确定这两个根是一正一负的，对吧？我们算完再再标，那现在我们就正常令 这个 v r 的 导等于零，那我们来算一下这个啊，这个也是比较好好运算的，对吧？令这这个导函数为零，那就一个项，再把这个二派给除过去，最后再开根，我是不是就可以得到 r 等于正的根号下 s 除以四派， 没问题吧？是不是就等于正的根号下 s 除以四派了？二必须得大于零，好吧，不要忘了二是大于零的，那所以我们就可以标出来这个点，就是根号下 s 除以四派。 那现在它导函数的图像其实就是我红色可能标的这样一小段，对吧？可能就是我红色标的这样一小段， 小于零的部分是取不到的，小于零的部分是取不到的。严谨一点，我这里不要空心从零开始。那现在它导函数的图像我们研究明白了，那这这个函数的单调性实际上就非常简单了，对不对？ 所以这个 vr 它是不是肯定在零的根号线 s 除以四派 单调递增，对吧？导函数是大于零的，然后在根号下 s 除以四派，到正无穷 是单调递减的。在这苏老师就不单独标这个，因为导函数大于零，所以单调递增这一步了，毕竟不是解答题，这就只是一个选这个选择题，对吧？大家能看明白就好，那现在把这个单调性也就明白了，那我们是不是就清楚这个 v 的 最值，这肯定就是 v 根号下 s 除以四 pi， 对 不对？它的最大值， 好，那这个事情也就明白了，其实我们这道题答案也就出来了，对吧？他没有问你这个 v 的 最大值具体是多少，他只是问你当 v 取最大值是 r 等于多少，那其实就是根号下 s 除以四 pi， 最后答案选 c， 好吧，那这就是一个比较常规的做题流程了。但是同学们，其实这道题有一点点小 bug， bug 在 哪？大家对这个根号下 s 除以四派， 看到这个数字有没有什么想法？大家想一下这个球体的表面积是怎么表示的？大家想一下球体的表面积是怎么表示的？其实这道题我们最开始就有一步秒杀的方法， 当然这其实也不能叫秒删，主要是因为这道题确实出的不太严谨。大家想一下这个所谓的胶囊型结构，它的这个体积想取最大值，那只可能是中间的这个整个圆柱体部分压缩为零的时候， 就相当于中间这个圆柱体部分消失了，它直接就变成一个球了，就是这个意思， 只有这会它的体积才是最大，那所以这道题其实我们就直接秒了，那我们能搞清楚这会体积最大，那不就直接得出来了？这个 v 它是不是就等于三分之四 pi r 的 三次方，对吧？但是这里其实没有问这个 v 具体是多少，其实没有问 v 具体是多少，它问的是这里的 r， 那我们知道它的外表面积为定值 s， 那 这会儿这所谓的定值 s 其实不就是四，不就是四派二方吗？大家想一下， s 等于四派二方，那么这会儿的 r 不 就是根号线 s 除以四 pi， 是 不是我们所谓的这种单选压轴，这不也一步就秒了吗？对吧？ 其实主要还是因为这道题确实出的不太严谨，因为当 s 等于，因为当 r 等于根号下 s 除以四派的时候，其实它就不是所谓的这个胶囊性结构了，对吧？不是所谓的胶囊性结构，它直接就变成球体， 那这就是这道题一个小 bug， 但是我们正常流程做也是能正常做完的，好吧，大家考试那种紧张的状态可能不会一下子想到那么多，所以我们就正常的这种导数的逻辑去把这道题很常规的处理完，最后答案也不会有任何问题的，咱就直接选就好了，好吧？ 这就是这个单选择题第八题的讲解，那么下一个视频苏老师将会带来填空题的最后一道第十一题的讲解。

在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊性结构，中间部分呢为圆柱体，左右两端均为半球形风头， 圆柱底面半径和半球半径呢均为 r。 二、已知储液罐外表面积为定值 s， 当储液罐的体积 v 取到最大值的时候啊，那么我们的 r 应该等于多少？ 那么首先呢，我们来表达一下它这个 s 啊，好，也就是说它的表面筋呢，是由两个部分组成的，首先呢就是两头的这个半球拼在一起呢，是整个球体，所以就是四 pi r 的 平方，再加上中间呢是一个圆柱啊，那么这个圆柱呢啊，它的长呢，就是这个圆的周长，所以说是二 pi r 有 一个量是不知道的，就是这个圆柱有多长，对吧？所以说我们给他讲述一下啊，就是 h， 好，后面出现了体积啊，我们也把体积呢给它表达一下，同样的它也有两个部分组成，另一个部分呢，就是啊，这个球体啊，三分之四 pi r 的 三次方，加上中间的这个圆柱体啊，那么就是底面积 pi r 平方再乘以我们的 h 啊，好，我们根据题干呢，就得到了这两个式子，那么最后呢，他说当 v 达到最大值的时候呢， r 等于多少？那么在这里面呢，他是没有这个 h 的 啊，所以说这应该是在提示我们呢，把下面这个式子里面的 h 呢，用上面的式子给它换掉， 那我们在换的时候呢，当然你可以写 h 等于什么什么，但是这里呢我们多观察一下呢，这个 pi r h 呢，可以整体的代换啊，所以说在第一个式子当中， pi r h 呢，它就可以等于二分之 s 啊，减去二 pi r 的 平方。 好，现在我们把整个式子呢，给它换到下面的这个啊体积当中去，那么就有三分之四 pi r 的 三次方加上啊，那么要注意了，下面是多了一个 r， r 乘进去就是二分之 s r 减去二 pi r 的 三次方，对，这个式子呢，简单的整理一下啊，那么就是负的三分之二 pi r 的 三次方加上二分之 s 啊 r， 现在他说当这个式子取到最大值的时候，我们的 r 等于多少？那么这里的最大值呢，你就看谁是变量啊，那么很显然呢，它是关于 r 的 一个三次函数啊，所以这里呢，我们要想到的要去求导啊，所以说他的导数呢，就等于三乘过来，那么就是负二 pi r 的 平方啊，加上二分之 s， 这显然呢，它是一个开口向下的一个二次函数啊，那么什么时候达到这个最值呢，也是显而易见的啊，也就是说，当我们的 r 平方 等于啊，那么把二派给他除过去，就是四派分之 s， 也就是说当 r 呢，等于根号下四派分之 s 的 时候呢啊，我们的 v 呢，达到了这个最大值， 所以说最后呢，我们选择了 c 答案啊，那么所以这种问题呢，它实际上它是很简单的，你根据题干的要求呢，他要什么呢？你表达什么啊？中间如果出现了未知的变量呢，我们用等式呢给它换掉就可以了。

其实是圆的第二定义， 第一定义是点的平面内照一个定点距离等于定长的点的集合就是个圆，对吧？这是圆的第一定义。第二定义来，平面内有两个定点啊，满足什么条件呢？ p a 比上谁呢？ p b e 如果等于 number， 但是 number 一定不等于谁。你如果等于一的话，啥东西？垂直平分线？只要不等一，那么这个动点 p 的 轨迹一定是个圆。我们非常关心的是 圆的圆心和半径，那么这个圆心在哪啊？和这个 a b 有 关系吗？啊？两种情况， b 种情况，当蓝幕的大一的时候，圆心在线段 a b 的 延长线上。 第二个，当蓝幕的大零小一的时候，圆心在 线段 b a 的 延长线。来吧，现在我们就以这个题为例， 来复习一下阿式圆。为什么要复习？我查一个资料，原来阿式圆是初中的内容，是不是？初中的内容？咋不是？是的，又开始打官司啊，初中老师又没讲是不是。确实是，我只问一下初中老师讲过的一些什么， 一个两个就两，两个吗？来看一下他在哪？哈， ab 多长？告诉我 四四，既然，那么在多少这里？所以圆形一定在三个 ab 的 延长线上呢？我能不能在 ab 这个直线上找到两点满足这个条件呢？开始。第一个，根二是吧？嗯，这是 p， 就是 ap， 这是 ap， 比上 p b 等于根二，是不是找到了原上的第一个点？对，同理， 我们找第二个吧。 p 二， p 二 a 比上 p 二 b 也得谁根二，能找到吗？一定有，只说这个比例不太好找， 因为他是谁根二。既然这个圆心在 ab 的 延长线上，现在我又在圆上时候找到了两点， p 一 p 二的什么就是终点，什么就是圆心，终点是圆心，这个点就是谁？ c p 一 p 二的中点就是 c， 现在我把这个圆画出来啊， 这就是 r 是 圆什么？他说当三角形 p b 的 面积怎么最大的时候，那很明显 p 点在是最高处，你就到这吧，过 c 点做一条直线和它垂直，是不是和这个圆交一点 p， 此时让你求一下 p a 乘谁？ p a， p a 乘 p b 等于多少？乘 p b 中点 m 的 话，那么将来它就等于 pm 方，怎么着？ 减去 am 方， ab 多长四？ am 是 二，是不是减四？最近来只需要求一下 pm 方就行了， pm 方又等于谁嘞？是不是这样算去 pm 方就等于 mc 的 平方，再加上是不是 pc 的 方，最后再减四就可以。好，我们来算一下 pc 怎么计算 pc 呢？我们家里的比例啊，它是它比它是根二，我设小，我设它是 x， 这是谁？根二 x， 那么将来的根二 x 加上 x 等于几？此时之的 x 其实就等于根二加一分之几四分子分母同时乘以根二减一分母为零化，结果变成了 四倍的根二，那么 x 有 了。我们看一下此时的这块算是 pc， 这块长度有了，是不是才能决定是整个的直径才能出来？主要我设置个 p 二 b， 对 吧？ m 比上 m 等于多少根二，所以 m 多少好， m 就 等于四，除以根二怎么样啊？结果分母有理化，四倍的根二怎么样啊？加好 m 出来了啊， x 有 了， m 有 了。我们来看一下此时的 p c 等于多少？ pc 是 不是恰好是 p 一 p 二距离的一半？ p c 出来了，继续看 mc， mc 这个距离等于谁？注意看啊，好简单。四非常好。 bc 是 四，我要的是 mc， mc 就 等于四，加谁二多少六。好了，可以写了。 mc 多少？三十六三十六。 pc 发多少？三十二三十二。再减几。答案是多少？六十四，六十八。减四多少？六十四。

你也总结的是点，总结方法也很简单，就是，哎，这个概念是啥啊？这个公式怎样推出来的？这个公式有什么用？ 这些东西有啥特点？有啥性质，性质这些用它写，然后自己理顺，如果是理不顺，然后考试当中或者你作习当中指定有磕磕绊绊的情况，甚至都做不出来， 那这时候如果做题当中出现这个科科班班就回，回到这个知识上，看课本啊，看课本上综合应用，自己去练习，自己加强练习。练习之后嘞，然后总结这个知识，然后把它给连成一个串啊，连串之后这个知识脑子里边已经有这个网络了，你在考试的时候就有思路了啊， 比如说走到这一步往下走，不知道了，我想想上一步以前我知识点的总结的时候，这个题对应的知识点上一步是啥，然后下一下一个这个知识是啥，你自动的就会联系了啊，这是大脑给你在加工，所以这个是最重要的啊。 然后如果有条件，还是建议去找专门老师辅导辅导，说说方法啊，讲讲这个学习的窍门， 然后嘞，带着他往前学一些比较重要的专题，通过专题去总结，比如说函数啦，比如说这个平面几何啦，把这东西弄清楚，弄明白，课下自己再练，练完之后嘞，返回给老师，老师再有针对性的再给你讲解。