二次函数思维导图九下平移

一遇到二次函数的图像变换问题呢，有些同学就蒙圈了啊，平移，对称，旋转，傻傻分不清楚，选填的基础题丢分，非常可惜。 那上个视频呢，三老师带大家去解决了平移问题，今天呢，我们就来解决一下对称问题，对称问题呢，他同样有口诀。好，口诀是什么呢？ 关于谁谁不变，关于原点，都改变，这两个对称，这两个字可以不要啊。同学们，好，关于谁谁不变，关于原点都改变，这样更顺一些。好吧，同学们，那这个口诀到底是怎么去用的？二次函数的一般式给大家讲解一下啊？关于谁谁不变，关于原点都改变。首先，如果说人家让你求关于 x 轴对称的， 关于谁，关于 s 轴，对不对？那说明关于 x 轴， x 就 要不变，不能说谁都不变啊。 x 不 变， y 要怎么着？ y 要变成它的相反数， y 的 相反数是谁？是负 y 对 不对？所以同学们，如果让你去求关于 y 轴对称的函数解析式的时候， x 不 变， y 变成相反数，那就是负 y， 其他的全部不变，对不对？全部不变啊，哎，负 y 呢，就等于 a， s 方加 b， x 加 c， 好， 那这个式子就是你通过关于 s 轴对称得到的式子，单式对慢， 答案可不能写成这个啊，那所以我们整理一下就得到哎， y 呢，就等于负 a， s 方减 b， x 减 c。 好， 同学们，这是我们关于 s 轴对称的。那接下来如果说让你去求关于 y 轴对称的函数解析式的时候，怎么去做好，还是同样的道理嘛？ 那关于 y 轴， y 不 变， x 要怎么着？ x 要变成它的相反数，对吧？好，同学们，那 x 变成它的相反数，哎，我就这样去写了。啊， y 不 变吗？不是 a x， 哎，见到 x 了啊， x 变成它的相反数，把 x 换成负 x， 其他不变，全部照抄。好，是不是这样一个式子，好，接下来继续往后走，加 b， b 也不变啊， x 要变成它的相反数，负 x， 好， 最后一项没有 x， 好， 那我就照抄。所以，对面我关于 y 轴对称的函数解析式，是不就是 y 等于 a 倍的负 x 括号的平方加 b 倍的乘以负 x 再加 c， 对 不对？好，那再整理一下， 负 x 括号的平方是不是仍然是 x 的 方，对吧？所以 y 就 等于 a 倍的 x 方减 b， x 再加上 c， 所以， 哎，是不是就得到了这个式子， 对吧，同学们，好，这是关于 y 的 对称，那如果说让我们去求关于圆点对称的函数解析式，应该怎么去做呢？好，关于圆点，怎么着都改变，对不对？好，那就是 x 和 y 都变成它的相反数，同学们，那我们就来写一下了啊，首先， y 要变成负 y， 对 吧？然后 x 也要变成负 x， 那 是不是就得到了这样的一个式子，负 x 方，然后加 b， 哎，又遇到 x 了， x 要变成它的相反数，好，然后呢？再加上 c， 好，所以，对吧？来，我们再来整理一下啊！整理一下，首先我先把后面的整理完全，等于 a 倍的 x 方减 b， x 加 c， 对 吧？好，然后，哎，再把 y 前面的符号给消掉，对不对？两边同时乘以负一，所以我就得到了 y 就 等于负 a， x 方加 b， x 减 c， 对 吧，对吧？好，这是这样的一个式子啊，这是我们关于原点对称的函数解析式，也求出来了，哎，是不就是这个式子？到这里呢，老师就带大家把 关于 x 轴对称，关于 y 轴对称以及关于圆点对称的式子解析式全部都搞清楚了啊。首先见到这类题目，先想我们的口诀，关于谁，谁不变，关于圆点，都改变，对吧？好，关于 x 轴，那就是 x 不 变，把 y 变成相反数，所以我们就得到了负 y 呢，就等于二 x 方 加三， x 加一。好，那整理一下，是不是得到了 y 就 等于负二 x 方减三 x， 建议，对吧？哎，就得到这样一个式子啊，那其实这道题目就解决了，好，弟们，那接下来呢，老师再给大家拓展一下啊，如果说这个题目让你去求关于外轴以及关于原点 对称的函数解析式，应该怎么去算呢？好，我们来看一下，这是关于 x 轴的，如果说让你去求关于 y 轴以及关于原点对称的函数解析式，应该怎么去做？首先关于 y 轴，关于谁谁不变，关于 y 轴， y 不 变，对不对？那就把 x 变成相反数，所以呢，我就得到了 y 就 等于二 负 x， 括号的方加三乘以负 x 加一，一定不要跳步啊，对面不要跳步，因为一跳步就容易出错啊。然后呢，我们整理一下，是不是就得到了 y 呢？就应该等于二 x 方减三， x 加一。 好，这是关于 y 轴。那如果说让你求关于原点对称的函数解析式呢？好，关于原点都改变，对吧？那 x 和 y 都要变成它的相反数，那负 y 呢？就应该等于二倍的好， 负 x 块的方加三乘以负 x， 再加上一。好，那再整理一下，其实又变成什么了？同学们，首先还是啊，负 y 应该等于二 x 方减三， x 加一，然后呢，再整理一下， y 就 等于负二 x 方 加三 x 减一。好，哎，我们就得到了这样的一个式子啊，这就是关于 x 轴，关于 y 轴以及关于圆点对称的三个解析式，分别是一二三这三个式子。今天的这道题目你学会了吗？学会的同学可以把口诀打在评论区，我是思南老师，专注拆解中考难题。

今天主要是讲二函数的图像的平移，那我们平移的口诀是左加右减自变量 上加下减常数项。 首先 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c。 自变量指的就是 x， 常数项说的就是 c。 我 们左右平移，左加右减，第一个就是向左移，比如说我们移 m 个单位，向左移 m 的 单位，那我们的自变量 x 就 变成了左。什么左加就变成 x 加 m， 表达式就变成 y 等于 a 倍的 x 加 m 的 方，加上 b 倍的 x 加 m， 括号再加 c。 好。 第二种，向右移 m 的 单位， 那我们的自变量 x 左加右减右减，就变成 x 减 m， 那 我们抛线的表达式就变成 y 等于 a 倍的 x 减 m 的 方，加上 b 倍的 x 减 m， 括号加 c。 第三和四，我们这有点写不下了，一块写就是向上以 m 的 单位，以 m 的 单位或向下以 m 的 单位， 那么我们的 c 长数向 c 就 变成了上加 c 加 m， 然后这个 c 变成了 c 减 m。 再举两例子啊，一个函数 y 等于 x 的 方， 嗯，加二， x 减三。那么如果我们向右移，向右移四个单位， 那么我们的 x 变量 x 就 左加右减，就变成 x 减四了，那我们的表达式就变成了 y 等于 x， 要变成 x 减四，那就是 x 减四的方，加上二倍的 x 减四，括号再减三。再把它化简一下，我们就能偏移后的表达式就出来了。 如果是向左的话，如果是向左移，这边的 x 就 变成了 x 加。比如说向左移三个单位，就是 x 加三。

大家好，今天我们继续来讲二次函数的图像变换，就二次函数在经过图像变换以后，平移、对称、旋转，那么他的简介式又是怎样去改变呢？这节课就是我们讲的主要内容了，那来看一下吧，主要分三个方面，二次函数就是抛物线的平移、对称和旋转。 那么平移呢？其实是最简单的，平移的话，实际上你想做对这个二次函数解决式的平移问题，你只需要记住八个字就行了。左加右减，上加下减， 这个左右平移肯定影响的是 x， 对不对？那上下影响肯定影响的是什么？上下平移肯定影响的是 y 啊，所以说记住这八个字就够了。那这八个字我先说怎么用，然后再说怎么理解怎么用呢？二和三已经告诉你了， 上加下减，那咱们就看这个上加下减吧。看啊，上下平移的话，你想一下原来的二次函数，他平移之前的话， 没事就长这个样子。那你说平移之后呢？比如说我向上平移了五个单位，如果说我向上平移五个单位，那实际上所有的这个横都要不变吧，你原来是在这个位置的向上平移五个单位，形状是不变的， 那所有的横坐标不改变，但是所有对应的纵坐标要加五个单位，所以说就是向上拼五个单位，那我就到后边加一个五，那向下拼五个单位，那就后边减一个五不就行吗？这就是上加下减。这个还是很好理解的，其实很多同学他不理解的是什么呢？ 不理解就是这个左加右减，左加右减。我还是先说怎么来用，用的话很简单，左加右减，左加右减，如果什么？如果他向左平移 k 个单位，如果是向左平移 k 个单位的话，按理来说你这个 x 应该减小啊，那为什么就变成了加呢？现在肯定你的疑问在这，你先 记住这个口诀，我再告诉你怎么理解。口诀的话，就这样，左加右减，如果是向左平也可以，单位他反而是每一个位置的 x 啊，每一个位置的 x， 他都要变成什么？都要变成 x 加 k， 向右平移抛物线呢？反而变成了 x 减 k 了哦，他怎么反过来了？向右这个 x 不是应该变大变成 x 加 k 吗？ 你错了，同学们，实际上我们这八个字到了高中以后啊，应该理解成什么？应该继承是左加右减，上减下加，都应该是怎么样的？都应该是反过来的，为什么是反过来的 来？我们还是举刚才那样一个例子， ax 方加 bx 加 c， 向下平移了五个单位，向下平移五个单位的话，按刚才那种写法，应该是等于什么？等于 ax 方加 bx 加 c， 然后再减五，对不对？但是 减五一如果一到左边的话，就变成了加五，同学们看好了啊，我为了作为区分这两个节目，第二个抛物线的函数只能写成外篇， 请告诉我画圈这两个逻辑位置一样吗？画圈这两个逻辑位置是完全等价的，那既然这两个画圈的逻辑位置一样的话，不就相当于外等于外片加五，那外片就也就是平移之后的函数值怎么样了？相当于原来的函数值，这个外减去五，减去五不就是向下平五个单位，所以 大家一定要记住了啊，实际上上加下减应该继承上减下加，这是高中通用的，对于所有的这结局是还有平面坐标系里头的 方程都是成立的。好，那你记住这一点，以后的话，那剩下的问题就很简单了，那来做几道练习题吧。向下平一个单位，左加右减，上加下减，向下平一个 单位，不就是 y 等于 x 方加二再减一吗？那最终的话算什么呀？这个题我们直接选 c 不就结束了吗？对吧？选 c， 然后看第二个题，这个第二个题的话是什么？他说是向左平移两个单位， 左加右减啊，原来是 x 左加变成了 x 加二，所有位置都得变成 x 加二的平方。那，那你说应该选什么？那当然是选 a 了，然后就做完了，看来记住口诀就够了，等于平移变化。那第三个题呢？ 第三个题是这么说的，他说先向下平移两个单位，那就写成 y 等于 x 加一库的平方减二吧。向下不就是减二吗？然后再向右向右的话，所有的 x 要变成什么？左加右减要变成 x 减一，也就是说原来画圈这个位置要变成 x 减一了，所以呢，最终就变成 了 x 减一再加一，那不就是 x 方减二吗？所以这个第三题应该选什么？那应该选四 d 才对呢？那继续来看后边这两个题，第四题的话是这么说的，他可不是平移这个抛物线了。 平移的是什么？平移的是坐标轴，同学们要注意这样一个相对的变化了啊，如果 x 轴怎么样？他说 x 轴向上平移两个单位， 那 x 轴向上便宜了两个单位，那其实不相当于什么？相当于解析，是相对来说向下便宜了 两个单位吗？这是相对运动啊。所以这道题他说把 x 轴外轴向上向右平移两个单位，实际上他相当于把外等于二 x 方这样一个原来的后线向下向左平移两个单位，那接下来不就很简单了吗？向下平移两个单位是二 x 方，然后减二，向 左平两个单位变成什么？左加右减 x 加二，括这个平方减二。所以说这个括号四应该选什么？选二 b， 然后不就结束了吗？继续看最后一个题，这个第五个题目我还是这样说的， 斜着平移，这是桂林中考的原体啊。他说把 y 等于 x 方，沿着 y 等于 x 的话，这样是最简单的正比例函数了。他跟 x 轴正方向的夹角是四十五度，那既然是四十五度的话，你沿着他平移了两个单位，原来他的顶点坐标是零多少零吧？ 哎，那沿着他向右上平移了两个单位以后，他这个 a 点坐标也就是新的顶点应该是什么呀？哎，你沿着他平移跟好二个单位，不就相当于向右平移一个单位，再向上平移一个单位吗？过 a 点做了一个等腰直角三角形 abo。 啊，那我懂了，向右平移一个单 位，那不就变成了 x 减一库这个平方吗？向上再平一个单位，那就再加上一。所以这个第五题还是挺简单的，直接选 c 就结束了。选 c 啊， 那好了，学完了平移变换，接下来我们要学什么？对称变换，这对称变换还是挺麻烦的，比平移变换要麻烦的多，我们来看最简单的，其实我们在初一的时候已经接触过什么了？已经接触过某一个点，关于 x 轴对称，或者说关于外轴对称，关于原点对称了。 你如果说原来的坐标是 a 的和 b， 如果说这个点关于 x 轴对称的话，其实有一个口诀，除异的时候，关于 x 对称， x 不变，关于 y 对称 y 不变，关于圆点对称， x y 都改变。那 实际上这个口诀的意思指的就是，如果你这个点是关于 x 路对称的话，这横坐标是不变的，纵坐标直接变成复笔。那我知道了呀，那原来 的话，你看原来他这个结义是怎么样？原来他这个结义是 y 等于 ax 方加 bx 加 c， 那假设这个 xy 是在这样原来的抛物线上。 关于 x 对称，以后 x 不变，那所有的外都变成负外不就可以了吗？所以实际上我们第一步应该先干嘛呢？应该先变成负外，所有的 x 不变啊， a， x 光加 b， x 加 c， 最后再整理成一般式，那不就长这个样子吗？ 好了，这是一般式的变化过程，那对于顶点式实际上也一样的呀，顶点式。记住了，关于 x 对称，横坐标 x 是不变的， 所以说我们只需要把外变成什么？把外变成负外，最终就变成了 a 倍的 x 减 h， 然后再加上 k 整理成什么？你把这个负号移到右边去，左右两边成负一，你看又变成这样一个顶点式了。哦，原来如此啊，那 继续来看关于这个外轴对称吧。关于外轴对称，一样啊，原来的点的坐标是什么？如果说原来点的坐标我们是 xy， 那关于外轴对称以后就变成了负 xy 了，这个是很容易理解，初一你就懂， 那接下来他这个解析式也一样啊，解析式上所有的点不就都可以用这个 x 外表出来吗？记住， x 要变成负 x， 所以我们第一步是 y 就不用变了，所有的 x 这个位置都要先变成什么？先变成负 x， 那在经过处理以后就变成最终这样一个一般式的情况了，就是他这个理解了吧，那包括最后这样一个情况，如果你换成顶点式是一样的呀， 原来我的坐标是 xy， 后来关于外轴对称以后变成了负 xy， 那 y 是不变的，但是所有的 x 要变成负 x， 最终你自己变一下就变出来了，我就不详细说了。那关于圆点 都改变，你现在应该清楚了吧？如果说原来这个 x y 是这个 y 等于 ax 方加 bxc 上的点， 关于圆点对称以后，他对称点的坐标不就是负 x 负 y 吗？所以说所有位置的 x 和 y 都要变成原来的相反数，原来的 y 变成了负 y 了，原来的所有的 x 都要变成负 x， 然后再加必备的 fux， 再加 c， 经过整理整理成这样一种形式，最后不就做出来了吗？那对于这样一个一般是我就不详细讲了，你肯定是懂的。 那接下来我们拓展一个比较难的东西，这一部分的话，如果对于中考，实际上你不讲的话也是可以的，但是呢，我还是要稍微拓展一下，对不对？万一你想参加这个高中的自主招生呢？对不对？就初中生，高中自主招生还是用不到的。 什么叫关于 mn 点对称呢？其实很容易理解，同学们看了我这个对称中心是 m 多号 n 吧。那关于他对称的话，好说，我先来一个点对称啊，就是说 xy 呢，指的是这个抛物线上的任何一个点。 那你既然对称的话，原来的 a 点对称到了 a 一的位置是不是？那对应到 a 一的位置的话，那你说 a 一的坐标应该怎么写？很多时候呢，这同学们就不会写了，那其实很好写，假设 a 一点的坐标什么呀？记住啊， x y 是一致的， m n 是一致的，但是 这个 a 一点的坐标我们需要求我们不妨假设 a 一点的坐标是 a。 都好比那你利用终点公式不就行了？同学们，中间这个 m 点终点公式是什么？ 二分之 a 加上 x 等于 m 吧，然后同理，二分之什么？二分之 y 加上 b 等于 n 吧。哎呦，原来这个题这么简单。所以事实上他的对称点的坐标我们 直接写成什么形式？我们直接把它写成二 m 减 x， 二 n 减 y 的形式就是一个钟点工是出来的，所以应该理解了吧。那第一步我们应该怎么办呀？哎呦，那第一步剩下我就不多说了吧，原来他的顶点坐标是 h 多少 k？ 后来关于这个 m 点和 n 点对称以后，他这个新的顶点坐标变成了什么了？新的顶点坐标不就变成了二 m 减去 h， 二 n 减去 k 吗？这是新的顶点坐标。 原来如果你这个抛物线开口向上的话，关于某一个点对称，原来是开口向上，那后来不就开口向下了吗？关于 m 点对称， 所以呢，原来二项系数只是开口向上，那后来就得变成开口向下，变成了复位了，剩下的就不多说了，所以了解这一点就够了啊，这一点是非常重要的，当然也是非常难的，如果你想参加自主招生考试的话， 接下来我们还是要练几个题，科二，先看第一题啊，关于 x 轴对称怎么样？关于 x 对称， x 不变吧，那 y 的话就变成原来的相反数了， 但是你写上这种形式显然不得分，咱们要画成一般式的形式是不是？那一般式的话，我就直接写了， y 等于 x 方减二， x 减三。哎呦，写完了，那关于外出对称呢？关于外出对称，外部变，但是所有的 x 这个位置呢，都要变成负 x， 那经过处理以后就变成了什么？ y 等于 x 放负二， x 减一，结束了看跨三，那这个跨三的话，说的是后线外衣 啊，我们仔细来读一下这个括号三，这个括号三有点绕，他这个括号三指的是什么呢？指的是 y 一和 y 二是关于 y 轴对称，这个 y 二和 y 三是关于 x 这个对称。那首先我们画三个点就行了啊， a 点，关于 y 轴对称完了以后 后，这不就变成了 a 一点吗？那 a 一点关于 s 轴对称以后，就变成 a 二点，显然呢，有对称性，这个 a 二和这个原来的 a 点是关于圆点对称的。那我懂了， 实际上啊，他这个外一于外三，这两个抛物线呢，他就是关于圆点对称。那关于圆点对称，我们都改变不就行了吗？那原来这个外的位置要改成什么？改成负外，原来的 x 都要改成负外 x， 他就相当于关于圆点对称吗？ 但是写成这个形式就行了吗？不行，我们要整理成一般式的形式。那整理成一般式的话，就变成了 y 等于什么？等于负 ax 方，然后加 bx 减 c， 那这个题的话，他区分这个 y 一 y 二 y 三，那咱们就写成这个 y 一等于负 ax 方加 bx 减 c， 就结束了，这是第三个，继续 往后坐啊。这个第四题的话，还有第五题，这第四题这么说的，你看人家是关于 x 等于负一这条直线对称的，其实一样。同学们， 我们假设这个点 a x， y 呢？是谁上边的一个点呀？指的是这个 y 等于 x 方减二， x 加三，原来抛物线上的一个点， 那这个 a 点的话，你既然坐标是 x y， 他关于谁对称？他说是关于 x 等于负一对称，关键是这个对称点的坐标， a 点的坐标怎么写？ 仍然是终点公式啊，对不对？ a 点和 a 点， a 一点和 a 点，他的终点一定是负。那好说，负二减 x， 动作标是一样的呀。所以说我这个第四题，在做的过程中， y 不用变，但是所有的 x 都必须写成负二减 x 的平方， 懂了吧？都写成负二加 x。 好，剩下呢，就不多说了，负二加 x 加三，那经过处理之后啊，最终结果的话，你自己画一下吧。应该是 y 等于 x 方加六， x 加十一，计算过程你自己来了， 看第五题，你看一道比一道难。他说在平面这道坐标系中，抛物线。关于圆点啊，关于圆点中心对称， 关于圆点中心对称的话，好说，我只需要把所有的 y 写成什么？写成负 y， 把所有的 x 都写成负 x 不就行了呀？那当然要整理成一般式了。 最终整理成一般是是 y 等于负 x 方加 x 加二，然后这道题呢，就结束了。那么终于到了最后一部分了，抛物线的旋转变换。实际上初中要考察这个抛物线旋转变换的，他只会考察旋转一百八十度的情况。为什么呢？ 因为你想啊，一条抛物线，比如说最简单的抛物线是 y 等于 x 方吧。如果你绕着这个圆点就是顶点， 顺时针旋转了九十度的话，你这个开口向右，开口向右还是函数吗？他就不是函数了，一个 x 对应两个 y 就不是函数。所以初中的话是不会研究旋转九十度的情况，只会研究旋转一百八十度。 只要你旋转一百八十度，不就相当于什么？哎呀，我相当于绕某一个点对称变换不就行吗？原来是开口向上，那后来绕某个点旋转一百八十度，不就相当于开口向下了？所以咱其实刚才已经讲过了，绕某个点对称嘛。 那接下来我们直接再练两道题就行了。这个第一题的话说的是把二次函数绕远点。哎呦，二次函数绕远点，旋转一百八十度，不就相当于关远点对称吗？你把外写成负外，所有的 x 都要写成负二 x 啊。那最终呢？啊，最终呢？你还要整理成一般式才行。我整理了一下，你们看对不对啊？ y 等于负二， x 方减四， x 减三，这就结束了， 看第二题吧，绕着他的顶点旋转了一百八十度，既然出现顶点的话，我们需要化成这个顶点式，顶点式啊，就是配方配上完全平方， 请同学们告诉我，前两项应该凑一个多少能够凑出完全平方的展开式啊？一半的平方，那不就是六的平方三十六吗？ 所以相当于把这个五十六写成了三十六加二十，那其实化成顶点式就相当于 x 减六的平方加上二十，也就是说原来他这个顶点坐标，我们一看就看出来是六多和二十了。那你绕着顶点来转的话，原来开口肯定向上啊，比如说这个顶点坐标呢？我们写成点 a， 这是顶点 坐标，你到了顶点选上一百八十吨呢，不就是说开口向下，顶点的是不变的，但是开口变成了向下了， 开口向下的话，你原来开口等于几？等于一，他这个二项系数开口向上，那开口向下不就变成了负一吗？ 那顶点坐标还是那样，那我就知道了，所以说最后这个结局是，那就是负的 x 减六再加上二十就结束了，行了吧？那写成这个样子就没问题的啊。最后写成一般是写顶点是都是得分的，但是千万不要写成焦点，是因为不是所有的抛物线都跟 x 都有焦点的，咱上节课已经提过了， 那最后的最后我还是要给大家留一个作业的啊，这个作业我大概说一下思路，你们自己写完，嗯，最后答案也是要给你展示一下的，但是你一定要自己独立完成以后，最后再来对这个答案。他这个题目是这么说的，他说如图啊，抛物线是 长这个样子啊， x 方加 bx， 然后加二分之九，然后交于点 a， 然后他说什么呢？他说呀，这个与过点 a 平行 x 轴的直线相较于点 b， 图中就能看出来吗？ 然后这个抛物线的顶点点 c 呢？是在 ob 上的啊，实际上就指的原来这个抛物线指的是这条抛物线，这个理解吧。然后点 c 呢？在这样一个 ob 上， 那么接下来怎么说？他说对称轴与 x 轴相交于点地好了吗？对称轴与 x 轴相交于点，对称轴是多少？负 b 除二 a。 那这道题不就是啊，负 b 除二就完了吗？ 那又怎么说？他说平移抛物线，但是平移之后，平移前后，请大家告诉我，抛物线的开口大小会改变吗？他只是改变了抛物线的位置而已，并没有改变抛物线的开口大小。形状是没有变化的啊，平移变化呢？ 那么使其经过点 a 和点 d， 其实点 a 坐标非常好求，点 a 坐标不就是原来这个抛物线跟外路焦点零都好，二分之九就很快求出来了。 那关键还要求一下什么？还要求一下点 c 坐标，这思路详细我就不多说了，那对于原来你得求一下这个小 b 等于多少吧， 好，求出小币来以后，那这个点 d 点 d 能总得再求一下吧？点 d 点 a， 最后带入你平移之后的 x 方加 m， x 再加 n 里头就可以把 m n 求出来，然后解决室就求出来了。 接下来我把答案展示一下，你自己独立完成以后才来对这个答案啊。最终结果的话是 y 等于 x 方减二分之九， x 再加二分之九。这个题一开始的话，对于初学者来说并不简单的啊，自己算一算。那这节课我们就讲到这了，分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见。

h 函数的平移是九下数学的重难点，很多孩子对 h 函数平移的这类题目 都很头疼，今天任老师通过一道视频带你彻底掌握，我们一起来看，将抛物线 y 等于 x 平方减六， x 加五， 向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到抛物线的表达式，为什么？首先我们来观察这个表达式和选项的表达式，它不是一种形式， 这个是一般式，这个是顶点式，所以我们首先先把这个一般式给它画成顶点式，好，我们来画一下， y 等于 x 平方减六 x， 对 吧？那么配方的时候我们要加什么？一次相系数一半的平方，那么这里的系数是负六，一半就是负三的平方， 加完之后立刻不要犹豫把它减掉，减的是九啊，要不然到最后老师我最后再减，那就肯定会忘了，然后把后面的加五给它抄上去，下来我们整理一下， 他就变成了 x 减三，括号的平方，那么减九加五合并之后变成了减四。好，那么现在我们来观察 这个时候他和他就是同一种形式的表达式了。那么接下来再想象我们的平移规律是什么？是左，对吧？加右减，上 加下减，好，那么左加右减是变谁的？是变 x 的 上加下减，其实变的是我们的常数向 c， 对 吧？好，我们来用一下，那么 y 就 等于括号，看它是 向上，对吧？然后右呢？是在后面，注意这个顺序啊，是右一，我们是左加右减，所以我给 x 是 什么呀？减一，然后再把我们家这个减三给他抄上来，变成了这样子，然后减四，好，反过头来再看什么上二，就直接给这个表达式的后面怎么样加二， 接下来整理变成了 x 减四，括号的平方负四加二合并之后是减二好，我们来对比选项是 b， 好， 我们来总结一下啊，对二次函数的平移问题，首先我们先把问题中的表达式和 选项的表达是给它统一的形式，然后再根据平移规律左加右减，上加下减进行来变形。这道题你学会了吗？

同学你好，今天我们来学习二次函数图像的平移规律的应用。我们先来回顾一下相关的知识点。抛物线 y 等于 a， s 方向上平移 k 个单位，如果 k 是 大于零呢？那么得到的相应的函数关系式是， y 等于 a， s 方加 k。 如果这条抛物线向右平移 h 个单位长度 h 如果大于零，则得到相应的函数关系式为， y 等于 a 倍的括号内 x 减 h， 括号 y 平方。继续将这条抛物线向上平移，则会得到相应的函数关系式 y 的 a 倍的括号 x 减 h 的 平方加太。我们观察到平移后的图像形状、大小，开口方向不变，只有位置改变。 我们来看具体的应用。第一类，已知图像平移的方向和距离。求平移后的新函数。第一， 加二，次函数 y 等于负二， x 方加四， x 加六，它的图像向左平移一个单位长度， 再向下平移两个单位长度。求平移后的解析式。我们首先把已知的函数配成顶点式，这样得到顶点的坐标负一八， 然后根据平移规律左移加下移减。我可以这样进行变形，那么左移一个单位 加一，在字面量这个地方下移两个单位长度，那在这个地方函数值减二。整理一下就可以得到 平移后的抛物线的解析式为， y 等于负二， x 方加六。一般来说，先将已知函数化为顶点式，再根据平移规律进行变化，然后化简。第二类， 已知坐标轴移动的方向和距离。抛物线不动，求新函数。第二，已知 y 等于二， x 方的图像是抛物线，若抛物线不动，把 x 轴外轴分别向上向右平移两个单位长度， 那么在新的坐标系下，抛物线的解析式为选项四个。那这样题又该怎么做呢？我们看一下，如果抛物线不动，把 x 轴和 y 轴分别向上向右平移两个单位长度， 相当于将该抛物线在原坐标系内向再向左平移两个单位长度。由此可得该抛物线在平移后得到的解析式为， y 等于二倍的括号内 x 加二，括号 y 平方减二，那么由此得到答案是 b。 那 此类题目 将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向移动，记向下向左平两个单位长度。注意换位思考，逆向思维。 让我们来看第三类，已知原函数和平移的方向及距离。第四， 将抛物线外点 x 方减六 s 加四。如何移动才能得到抛物线外点 x 方呢？我们来想一下。原函数可以化成顶点式，可以得到顶点坐标是三负五。新函数由外点 x 方之顶点坐标是零零。 观察两个顶点坐标有什么变化，我们发现由三到零，顶点肯定是向左移动，由负五到零，顶点肯定是向上移动。所以由此我们可以得到平移的情况是这样的，由原来的抛线 先向左平移三个单位长度，再向上平移五个单位长度，或者是先向上平移五个单位长度，再向左平移三个单位长度，就可以得到抛物线 y 等于 x 方。 第四类，利用图像平移规律和平移性质求几何图形的面积。例四，如图，两条抛物线 y 一 等于负二分之一， x 方减一与分别经过点 负二零二零且平行与外轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为四个选项。 我们发现这个图形并不是规则的几何图形，要求它的面积。我们一般用割补法，我们发现已知中的二次项的系数是一样的，所以这两个抛物线形状是完全相同的，那么就可以看成 第一条抛物线向下平移两个单位长度之后得到第二条抛物线。如果我过这个点和 零负三这个点分别做两条直线和 x 轴平行，则上面围成的这个拱形的面积和下面围成的这个拱形的面积由平移可以知道，应该是相等的， s 一 等于 s 二， 那么要求的阴影部分的面积就可以转化成下面的白色的 s 二 和这两个小的阴影部分的面积之合，也就是一个长方形的面积，则这个长方形的面积长是四，宽是二，面积就是八，所以答案是 a。 好， 我们来看练习一，将抛物线外的三个方 向上平移三个单位长度，再向左平移两个单位长度，那么得到的抛物线的解析式为 a、 b、 c、 d 四个选项。那么根据平移规律，左移加上移减，在自变量 x 处进行变化，确定平移后的解析式，所以 答案就是 a。 我 们看练习题二，抛物线 y 等于 x 方加 b， x 加 c， 先向右平移两个单位长度，再向下平移三个单位长度，所得图像的函数解析式为， y 等于括号内 x 减一，括号外平方减四，则 b、 c 的 值为多少？ 这样的题如何做呢？已知函数解析式是有待定系数，那么平移后的函数解析式是已知的 逆向思维，由 y 等于 x 减一，括号的平方减四到 y 等于 x 方加 b， x 加 c， 如何变化？左移二，上移三，所以我可以这样变形， y 等于 x 减一加二，括号的平方 减四加三，然后化简就得到 y 等于 x 方加二， x。 对 照解析式，其中的 b 就 等于二， c 就 等于零，答案就是 b。 像这样的题目，由 已知的函数关系式，然后反向移动，就可以得到这一个待定的函数关系式。 我们来看练习题三。如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 等于二分之一， x 方经过平移得到抛物线 y 等于二分之一， x 方减二 x， 其对称轴于两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为多少？我们发现这个图形 也不是规则图形，同样我们要用割补法来求，因为这两条抛物线是可以经过互相平移得到，所以图像的大小、形状、开口方向都一样。我首先求出平移后的抛物线的顶点 二负二，那么它的对称轴就有了，是 x 等于二，过这个点做一条平行于 x 轴的直线。由抛物线的对称性可知， s 一 这一部分面积和这一部分应该是相等的。再由平移的性质可知， s 三应该和 s 二相等，所以 s 一 和 s 三是相等的。那么由此要求的阴影部分的面积 就转化为 s 一 加这一小块实际上就是这个中间的四边形的面积。而这个四边形我们发现 零点都不要由零零到二负二，那么这段的长应该是二，这段长也是二，所以整个正方形的边长就是二，面积就是 四，答案就是 b。 好， 我们来总结一下本节课的内容。首先，我们学习了已知图像平移的方向和距离，求平移后的新函数的第一种类型。第二种类型， 已知坐标轴移动的方向和距离，抛线不动，求新函数。第三种类型，已知原函数和平移后的新函数，求图像平移的方向及距离。第四种， 利用图像平移规律和平移性质求几何图形的面积。在做这些题目时，要注意树形结合、逆向思维以及转化思想的应用。好，这节课就讲到这里，谢谢你的观看，再见！