六年级图形找规律12种解题方法

六年级上学期最后一个单元，我们学了数与形，他会给我们呢四五个图，让我们去找每个图里面这些点数和编号有什么关系？那图形里面呢，我们主要是要来观察它的结构，可以从上下来看，左右看或者整体来看。那我们来看一下例题， 第一个图呢有一个点，第二个图呢拼成了这个五边形，我们可以看做一个房子，他用到了五个点。第三个图形呢，看成两个房子，他用到了九个点。第四个图形呢是三个房子，用到了十三个点， 他最重要的地方呢，就是找准这些点的个数和编号的关系，所以我们编号要对好。第一个图形用到了一个。第二个图形，这个图形呢我们从上下来看，那上面呢被分成了一个点，下面呢分出来四个点。 第三个图还是上下看，最上面呢有一个点，底下呢分成了两层，每层呢有四个。 第四个图最上面是一个点，下面是一个四，两个四，三个四，那我们把它写出来 好，写到这个结构之后呢，我们发现一二这两个式子和三四它的结构还不是完全一样的，我们先把它组成相同的结构，那这里的四我们就可以把它看成四乘一，上面的一呢也就是加上零，这个零我们就可以把它看成 四乘以零。好，写到了这里之后，发现四个图形里面他点数和编号的关系，我们的结构是相同的，那我们来找一下不变的部分和变化的一个数字， 很容易可以看见这里面的一加上四乘以谁，这部分是不变的，变的只有后面四的倍数零一二三，所以呢，我们找第十个图的时候就可以知道，他肯定前面也是一个点，加上四的倍数， 那这个四的倍数跟编号什么关系呢？一的第一个图的时候是零，第二个图的时候是一，第三个图的时候是二， 每一个倍数都会比前面的编号少一，那这里是第十个图，少一的话出来就是九，我们把这个结果算一下， 是三十七。好，第十个图形需要用到的点数就知道了。最后我们再来看一下，那第 n 个图形的时候需要多少个点呢？最上面的第一个点还是存在的四的倍数， 接着写下来最后的这个倍数找一，所以呢，有第 n 个图形少一，就是 n 减一， 我们把式子括号打开，最后画成了四， n 减三。好，说明了第 n 个图形我们就算出来了，它需要四 n 减三个点。那你有其他什么角度吗？在评论区告诉我，我们下期见。

好，我们一起来看一下这道题，观察下面点阵图的规律。第六幅点阵图中有几个点？第 n 幅点阵图中有几个点呢？首先这道题给我们提供了一二三、四幅点阵图，也就是说如果只有前面这个空，我是不是根据它的规律，给它把 接下来的图给他画一下，是不是就可以了？我画第五幅，再画第六幅，是不是总能画出他的点数？但是他问我第 n 幅，那怎么办呢？那我就要想方设法推出他的公式，这样子我才能知道第 n 幅点正图中有几个点。那我们首先来观察一下，第一幅有几个点， 是不是六个？第二幅是在六个的基础上是不是加了这三个，所以是九个？好，那第三幅是不是又是在第二幅的基础上又加了三个，所以是 十二个。那紧接着第四幅，那就应该也是加三个，那就是十五个。第五幅呢？也是加三个，那就是十八个点。那第六幅呢？十八加三，那就是二十一个点，所以第六幅点阵图中应该是二十一个点。好，那现在第 n 幅点阵图当中有几个点呢？那势必我们要推导出一个公式， 然后跟他的序号有什么关系呢？我们能推导出乘法和加法类的公式是有哪些啊？ 可以是序号乘六，可以是序号乘五加一，可以是需要乘四加二、乘三、加三、乘二、加四、 乘一加五。好，为什么老师要通过序号一以及它的点数来这么推导呢？因为在六年级阶段数与形的学习当中，我们基本上比较复杂一点的，要么是乘加组合，要么是乘减组合，要么是平方组合，所以我们从乘加的角度出发，如果这里我们还找不到规律，那我们就只能从 乘减组合来试试看，因为显而易见，他不是平方的规律吗？好，那我们这是通过第一幅点阵图来推导出的可能的公式，我们来看第二个，那序号二对应九个，满足乘六吗？不满足。那到底满足乘几呢？哎，你会发现他满足乘三加三，二乘三等于六，六加三等于九。 好，第二幅符合，那我们来看第三幅是不是也符合？第三幅序号为三，他是十二个点，那我们看一下，三乘三等于九，九加三等于十二。哎，依次第四幅，我们看一下是不是还是一样？第四幅，四乘三等于十二，十二，再加三等于十五，基本上我们就能确定 公式是不是乘三加三。那第 n 幅呢？那就是 n 乘三加三个点， n 乘三加三，那最终应该是三 n 加三个点。好，那么这道题你学会了吗？

如图，一张桌子坐六个人，第一张桌子坐了六个人， 接着两张桌子拼在一起，三张桌子拼在一起，照这样的做法，六张桌子坐多少？那我们来看这样的坐有怎样的规律？ 第一张桌子坐了六个人，那第二张桌子大家数一下，看坐了多少人？十个人。第三张桌子呢？坐了十四个人，哎，发现什么？ 一张桌子是六个人，增加一张桌子只增加了四个人，来十到十四也是增加了四个人， 每多一张桌子多四个人。如果我们把增加的这四个人给他圈出来，每一张桌子的四个人圈出来，你发现什么？ 哎，第一张桌子我们也给他圈起来这四个人，我们发现这两头两端 不管几张桌子，这两端都是几个人，两个人，那么这六个人我们是不是就可以分成二加四？ 那这两张桌子这两个人拿出来还剩下几个四，两个四，两张桌子就两个四，来三张桌子同样的两端的两个人拿出来就变成了四乘三，三个四。 所以如果是 n 张桌子这样抬起来，两端还是两个人，那有几张桌子中间就有几个四，所以它就变成二加四 n。 那 我们得到一个结论就是不管多少张桌子都是二两端的人数加在桌子乘四。现在六张桌子， 按照这样的规律，头尾两端两个人，加上每一张桌子中间四个人，那就四乘六，结果等于二十六个人，所以按这样的规律， 六张桌子可以坐二十六个人，那现在一共有四十二个人，他坐几张桌子呢？我们把头尾的这两个人拿出来，所以四十二拿出头尾的两个人，那 里面剩下多少个四呢？就有多少张桌子，剩下十个四，所以得到十张桌子这样的规律你明白吗？

这道题直接求，显然神仙来了也没招，除非他打开某包某帮。因为都是不规则图形，所以首先想到容池原理，所谓容池原理没什么技巧，说白了就是规则图形面积之间打打杀杀，最后胜利者就是答案。所以第一步找规则图形，标上字母， 把每个单块面积标上序号。图中有大扇形 a、 b、 c， 它的面积等于一号，加二号，加三号。还有大扇形 b、 c、 d， 它的面积等于二号，加三号加四号。还有正方形 a、 b、 c、 d， 它的面积等于一号，加二号，加三号，加四号加五号。还有一个半圆，面积为二号。 把两个大扇形的面积加在一起，再减去正方形的面积，看看还剩下什么？ 还剩下二号加三号，减去五号。我们要求的面积差显然就是三号减五号，而这里作差后还多个二号， 而二号正好就是小半圆的面积，所以再减去小半圆的面积，自然就可以得到要求的面积差，所以可以得到面积差，就等于大扇形 a、 b、 c 的 面积加大扇形 b、 c、 d 的 面积， 再减去正方形 abcd 的 面积，再减去二号小半圆的面积。正方形的边长为三十。所有规则图形的面积都可以通过三十求出来，答案就是一百五十九点七五平方厘米。

hello， 大家好，这节课给大家分享的是六年级上册数学数学广角中数与形其中的图形变化规律。我们来看一下这一个题。 摆一个三角形需要用三根小棒，摆两个三角形需要五根小棒，摆三个三角形需要用七根小棒，摆四个三角形需要九根小棒， 他说照这样摆五个三角形需要多少根小棒？摆六个三角形需要多少根小棒？那么我们来看一下，因为我们三角形是不是有三条边，所以我们摆一个三角形需要用三根小棒，这个三也就是一乘三，那我们数与形 既然要找规律，那么我们一定要把这个数字和图形结合起来，把我们图形转化成我们的数字。那我们继续来看第二个，第二个他说摆两个三角形需要用五根小棒， 哎，按道理来说，一个三角形是三根小棒，那两个三角形应该用二乘三根小棒，但是在这里呢，我们可以发现，我们两个三角形的时候，他有一个公共边，也就是说我们有一个重合的小棒， 这个时候我们两个三角形有一个重合的小棒，那么我们就要用二乘三减去这个重合的一，那二乘三等于六，六减一就等于五 那三个三角形，三个三角形应该是三乘三根小棒，但是我们有两个边，它是重合了的，所以我们要减去二，那四个三角形有多少根重合的小棒呢？我们观察图形就会发现 四根三角形，四个三角形有三根重合的小棒，那么我们就要减去三，那现在 摆五个三角形，那按道理来说，那我们就需要五乘三根小棒，但是我们五个三角形应该有多少根重合的呢？那我们看一下， 一个三角形的时候没有重合的，两个三角形的时候有一个重合的，三个三角形有两个重合的，四个三角形有三个重合的，那五个三角形就应该有四个重合的，那就是五乘三减四就可以了。三五十五，十五减四就等于十一， 好，那六个三角形那就是六乘三减五个重合的，那就应该是三六十八，十八减二五就等于十三。好，那么我们来看看第 n 个图形的时候，那我们就需要用 n 乘三根小棒， 但是我们有多少根重合的呢？五个图形四根重合，六个图形五个重合，那 n 个图形就应该有 n 减一个重合，那就应该等于三。 n 减 n 加一，也就等于二 n 加一，所以当 n 个图形的时候，应该用二 n 加一个小棒，那么我们来验证一下，我们找到这个规律对吗？当 n 等于一的时候，那就是二乘一加一就等于三，所以我们一个 的时候是对的，那么我们再来验证一个，三个的时候，他对吗？三个的时候就是二乘三加一，也就是六加一 是不就等于七，所以也是对的。那么我们再来验证一个，六的时候对吗？六的时候应该是六乘二加一，十二加一是不是等于十三？所以我们找到的这个规律呢？是对的， 所以以后当你找到规律之后，一定要进行验证，那么我们现在来把这个题给他填上去，照这样计算，摆五个图形需要十一根小棒， 摆六个图形需要十三根小棒，照这样摆下去，摆二十个图形，就需要把 n 代做二十就可以了，那就是二乘二十加一，那就应该等于四十一根小棒。 好，他说把 n 个三角形需要用多少根小棒？用含着 n 的 式子，那我们，我们直接把我们找到的二 n 加一这个规律写下来就可以了，你听懂了吗？今天的分享就到此结束。

图形看上去并不复杂，感觉到自己一定能够做的出，但搞来搞去设了诸多的规律，依旧推不出，那么怎么办？这时候记住找寻垂直和直角，图形简单时推不出垂直和直角，也许就是破题点。那么具体怎么做？我们来看几道例题 好，第一道题正确率只有百分之四十五，大家看题干的图形是不很简单啊，但是想了诸多，找了面，找了点，找了取之关系，找了箭头关系，是不半天都搞不定啊。这时候考虑垂直和直角一看，每个图形都有垂直关系，都有垂直关系， 所以我们的选项是不是也必定要有垂直关系？选哪个？ d 选项好？来看下一个好，我们来看看分类的图形，只有百分之四十二的准确率。各位，图形看上去简单，但我们搞半天没搞定怎么办？看垂直或直角好，有垂直关系的，一有垂直，三有垂直， 五有垂直，所以一三、五是不是有垂直关系。选择 c 选项，图形简单，搞不定造型垂直或直角。 来下道题下道题，大家来看看好图形好像也不算难，一个方框里面有线段是哪点是哪面，是哪线，是哪一笔画是不都没搞定啊？这时候记得垂直和直角。来，我们来看看第一个图形有垂直好，但是几个直角，两个直角。 第二个图形是不是有几个直角？有三个直角好，问号处空一个。接下来看这个图形有一二三四五五个直角，所以基本数 d， 中间这个图形是不四个直角，再确定。看最后个图形有几个直角，一二三四五 六有六个直角，所以中间确定四个直角，选择 b 好， 记得图形简单，但我们推不出。那么通常考虑的就是垂直和直角关系，大家学会没有？

大家好，今天我给大家带来了一道求不规则图形面积的题，大家是不是一看到这种题就头大呢？别怕一个个无法难题变成送分题。我们先来看一下图片 涂色部分是一个不规的图形，我们知道它所在的这个正方形，它的边长是四厘米，我们可以使用勾股法把这个不规的图形让它变成规的图形，我们知道它的边长是四厘米，我们可以先将它每一条边都平均分成两份， 那么做完之后它就是这个样子，我们先来看这一部分，它围绕中心点可以旋转到这里来，为什么呢？因为它的边长是四厘米，那么这里就是四， 除以二等于二厘米，所以它的一半就是二厘米，那么这里也是二厘米， 所以这空白部分和这里的涂色部分他的面积是一样的，旋转过去他就把这里空白部分填满了，那么这一部分也可以通过旋转到这空白部分。 之后，我们再来看一下，旋转完之后呢，它就变成了一个长方形，那么它现在的宽是二，长是四，那么求长方形的面积，我们可以用它的长乘宽，也就是四乘二等于八平方厘米。 求未知图形的题，使用根部法是不是很简单？你们学会了吗？

好，大家好，我是少年智者大东老师啊，负责大家六年级的数学学习，那么今天给大家带来的是一道我们第八单元的数学广角中的术语型的一道题，叫找规律啊，那么找规律这一道题啊，我们说了，上 是我们高中有一个叫数学规范法的要学，下至我们一年级是不是就开始学找规律了？那么中间的我们作为六年级的同学，对于找规律这种题目呢，也是需要足够的了解的，那我们看一下这道题目啊，首先他说画两个正方形能得到四个直角三角形， 三个正方形能得到八个三角形，那么问四个正方形能得到多少个直角三角形呢？那么第一空显然是问我们什么，问我们直角三角形的数量对不对？那注意啊，同学们一定不要被自己的惯性思维蒙蔽了头脑啊，有很多同学，比如说前面一题问三角形，后面一题问什么 正方形啊，很多同学就掉入这个坑里面去了啊，好，那我们看一下这个正方形中有几个三角形呢？ 哎，第一个没有三角形是不是？所以是零个？那么第二个图形中，题目中也告诉我们了是四个。 第三个图形有多少个，题目中也告诉我们了有多少个啊？八个，哎，前面都很简单，甚至都不用我们数对不对，题目中告诉我们具体的数据了是吧？好，那么最后一个呢，我们稍微数一下好不好，一二三四五六七八九十十一十二， 同学们也可以数一下，看一下老师有没有数错啊，哎，肯定是没有错的啊，哎，这一共有十二个，对吧？那其实我们可以看一下这个题目，其实规律也很好找，是吧？因为这题比较简单，当然了，我们先把答案填上去啊，然后我们再看一下第二空，第二空，首先我们看一下他问的是不是三角形， 不然就会犯我刚才说的那个错误了啊，哎，他问的是直角三角形的数量，对吧？那我们这一题一样的啊，我们就可以用第一空的一些结论呢，我们第一空这个地方图形是不是数好了，对吧？这样问我们直接找就行了。当然这题比较简单啊，我要说的是我们这个第八单元，主要就是竖形之间要转换，比如这一题 图，我们要画 n 个图的话，是不是很难画呀？这个时候我们就要把图形转化成竖列的形式，这样我们找规律起来是不是更加的方便与简单呀？好，那我们同学们接下来我们就把这个图形给转换成竖列吧。 好，第一个还有个小陷阱啊，就是它说的这个 n， 好，这第 n 个是，那么第一个是从这个图算还是从这个图算啊？有的题目比较狡猾，他会画四个图，然后实际上他从这个图还是算第一个图的啊，那这一题是不是这样狡猾的呢？我们看一下 正方形的数量，哎，所以正方形从哪开始，哪个时候就开始了，第一个图是不是就有一个正方形呢？所以我们第一个图就是我们的序号一了，好，那么第一个图有零个三角形，我们用红色的笔吧。 第二个图有四个，好，第三个图我们这换一种写法啊。 好，你们知道老师为什么这样写吗？非常好，因为我们这个地方 数图形的时候，一定要知道它是变化的还是不变的，这四个三角形我们会发现一直存在，从来不变，对不对？所以这四个呢，我们就写在前面，就不要变了。 那后面这四个三角形是新加入的哎，所以我们就写个加四，对不对？所以第四个序号我们该怎么写啊？你们想一下。哎，非常好 哎，写成四加四，加四的形式对不对？好，那因为这个过程 我们只能写在右边了，是吧？位置不够了。好，那最后第 n 个序号，哎，我们应该写作怎么样写呢？好，那要写 n 个序号，我们肯定要把前面怎么样啊？总结一个规律，找规律，至少要总结三项啊。 零我们不好写，那我们就从第二个开始写吧，他有一个四，对吧？我们可以写作四乘一， 这个有几个四啊？两个四，所以我们写作四乘二，最后一个写作四乘三，所以上面一个，大家想一下该怎么写？哎，我们可以写成为了工整性，我们写成四乘零，是不是很好啊？好，那么我们最后一个 n， 我 们应该写成四乘几呢？ 大家观察一下，哎，聪明的你肯定发现了，对不对？序号和四之间的个数的规律，序号为二个数只有一， 第三张图有两个四，第四张图有三个四，所以第 n 张图就有多少个 n 减一个四，我们发现序号的数量总比四的数量多一个，是不是？所以我们最后写成这样的形式了，当然我们要 d 等式，把它展开。 好，这里面两个都要乘进来啊，很多同学喜欢这个地方，符号写错啊，所以最后应该有四 n 减四个。 但这道题看了老师讲了很久啊，实际上你们可能做题的时候可能一两分钟就做出来了，对不对？但是注意一定要验算啊，特别是这个， 你们不妨把 n 等于一和 n 等于二带入进去，看一下跟我们这个实际的图，哎，是不是有出入啊，如果没有出入，那说明，哎，你很可能是对的，对吧，有出入呢，就赶快改就完了。 那么今天这道题呢，我们就讲到这了，后面老师会给大家带来更多的啊，有关于找规律的一些啊，比较有趣的题目，或者说是难一点的题目，对吧，大家敬请期待！

听说你小学奥数强的可怕，来一道六年级的奥数题，如图，正八边形的面积为一百，那么阴影部分的面积为多少？ 本题来自于二零二四年希望杯全国数学邀请赛六年级，这是一道几何题，主要考察学生的把不规则图形变为规则图形的能力，活跃脑子，拒绝变傻。我们来看看如何解题。 我们先观察这个不规则图形，画出辅助线，这样我们就把不规则图形变为三个规则图形。 我们给大家编上编号，我们可以发现三角形一等于三角形二，长方形三等于长方形四，我们进行割补， 我们可以得到阴影部分面积就等于正八边形中间长方形面积，也就是中间蓝色长方形面积的一半。 中间长方形面积为正八边形面积的一半。这个我们在前面的视频当中已经证明过了，是通过画出正八边形八分之一个三角形来进行证明的。 那么阴影部分面积即为正八边形面积的四分之一，也就是为一百除以四等于二十五。

昨天有一个同学问我一道关于找规律的题，咱们就集体来讲一下啊。找规律的题呢，我建议大家就是养成一个习惯，标序号。 那这道题呢？序号已经标好了，所以省了一个事啊。首先，第一个图我重新再写一下吧，第一个图呢，有一个一，呃，这个没什么说的必要了。第二个图，第二个图呢，跟第一个图相比，它是多了很多二，多了外面这一圈的二， 对吧？很明显他是多了八个二啊，所以呢，他跟第一个图相比，就相当于加上八个二， 于是呢，他就算出来等于十七，对吧？那为什么是八个二呢？这个有点像以前学的一个东西，叫做空心方阵，因为每一边有三个二，每一边都一样有三个二。 呃，总共有四个边，那么就三四十二，但是有四个顶点的地方是重复的，所以就是三四十二，再减掉四，所以多了八个二啊，是这么算出来的。好。那么第三个图，第三个图呢，是在第二个图的基础上又多了很多的三， 对吧？多了一圈的三，那么这一圈的三有多少个呢？很明显就一边是五个，一边五个四，边四五二十二十，减掉四，所以是十六，因此它相当于又多了十六个三， 所以呢，算出来等于六十五。好，那么按照这个规律呢，我们来看一下第四幅图。我没有第四幅图可以看啊，只能自己推理啊。那么第四幅图很明显就属于外面肯定又多上一圈的漆 啊，不是多了一圈的七啊，多了一圈的四，对不对？那么多了多少个四呢？呃，每一条边绝对是七个，对吧？因为往后发展的话，就是都是基数吗？七个四七二十八，二十八减四二十四，所以他肯定是多了二十四个四， 二十四个四，那就是九十六，于是他就要加上九十六，等于一百六十一，好，这是第四幅图，然后第五幅图的话，那是在他的基础上又多了很多的五，多了多少个五呢？这个咱们就不多说了，多了三十二个五， 算法都一模一样的，多了三十二个五，三十二个五，一百六，一百六，加上去等于三百二十一，好，那么第六幅图，第六幅图呢？多了很多的六，多了四十个六， 四十个六啊，四十六就二百四，加二百四上去等于五百六十一，好，第七幅图，第七幅图加二百四上去等于五百六十一，好，第七幅图，第七幅图在它的基础上又多了很多七，多了四十八个七， 好，这个算完之后呢，刚好等于八百九十七啊，八百九十七，所以呢，他问 n 等于几？那么 n 等于七就没有了 啊。至于这个图后面第四幅、第五幅、第六幅，为什么是这个样子？大家自己，呃，根据刚刚前面咱们讲的，可以进行一下推理啊，如果你觉得想的有点困难的话，没有完全学过，呃，那个， 呃，空心方正的话，那么可能自己需要多画一下图，找一找这个感觉。