十八班正弦函数

巫山草海我一。

今天我们来说一下正弦型函数解析式的求法。总结规律，正弦型函数的解析式求法，其中第一个字母正符 a 的确定， a 等于二分之 y 的最大值减 y 的最小值， b 等于二分之 y 的最大值加 y 的最小值。二、 omega 的确定。 由于周期等于二派除以欧米格，所以欧米格等于二派除以周期 t， 而周期需要我们从图向上观察。所得好。第一个结论，相邻的对称轴是半个周期， 相邻的两个对称中心之间是半个周期，相邻的一个对称轴和一个对称中心 之间是四分之一周期三， five 确定，优先代入最值点进行求解。好，我们具体来看一道题，如图所示。求解析式，从图中可以明显确定大 a 等于二， 由于最高点的横坐标是三分之派，相邻的对称中心的横坐标是十二分之七派，所以四分之一周期就等于他俩的叉解出周期为派。进一步 omega 二， 这样我们就得到了解析式， y 等于二倍 sine 二 x 加法，那从图像上我们看到最高点的坐标是三分之派二，所以代入解析 是解得 five。 因为 five 的绝对值小于二分之派，所以对 k 负值。我们得到 five 值是负六分之派，所以解析式是 y 等于二倍塞引二 x 减六分之派。 大家注意步骤的写写法。好，接下来再来看第二题。第二题如图所示。求解析式， 那由图像我们发现最大值是一，纵坐标的最小值是负二，由于一和负二不是互为相反负，所以我们认为图像沿着 widow 进行平移， 那根据之前总结的结论，大 a 就等于最大值减最小值的一半，小 b 就等于最大值加 最小值的一半。而周期我们观察到十二分之七派和十二分之十三派正好是相邻的两个对称中心的横坐标，所以二分之一周期就等于他俩的叉进一步解除 omex 二。 到这里我们就得到了正正弦型函数的解析式为 y 等于二分之三，晒二 x 加 f 再减二分之一。 那么对于 fi 的确定，我们说要优先带入最直点，可是从这个图像上他没有给出最高点和最低点的横坐标，那么我们不难算出 十二分之七派和十二分之十三派的终点就是最低点的横坐标，所以根据终点坐标公式，我们 算得此时的最低点是六分之五派负二，所以把这个最值点带入解析式。囚犯 好解得 five 之后，因为 five 的范围是绝对值小于二分之派，所以对 k 负值解得 five 为负。六分之派解析势可求。 那么接下来我们再来看第三题。第三题没有给出图像，但是用文字叙述的方法给出了最大值四，最小值零，周期是二分之派。图像过点零一， 那么我们仍然需要确定大 a 是最大值减最小值除二，大 b 是最大值加最小值除二。 那么由于周期给出二分之派，所以 omega 就等于四。那接下来我们的解析式就得到了二倍赛四， x 加赛括号后再加二。 由于图像上并没有给出特殊值的动作，就是最高点和最低点的图坐标，那么题中只给出这一个点的坐标，没有办法，我们也只能带他了，所以带进去得到了 saying fi 是负二分之一，而根据条件中 fi 的绝对值小于派，那么也就是 fi 的范围是副派到派开局键。我们应该知道这样的角 fi 应该有两个，一个是负六分之派或者负六分之五派， 所以根据条件我们的 five 得到两个值，那么解析式应该也是两个。

各位同学好，今天我给大家开始要讲函数的图像了，那么正弦图像和余弦图像正，余弦图像好，我看正弦图像，正弦图像我们画一个坐标轴，以零零为开始，然后往上画， 那么标准的图的话，我们会画的比较高耸一点，因为方便作图。那么我们说零零开始到二拍，豆零结束， 那左边呢？也是可以画的，那么我们一般是画一个半，那这边呢？是副拍豆零， 你说我的周期是二拍，然后呢，他有四个转折，从零点到最高点， 最高点再到零点，零点再到最低点再到零点做一个周期，所以呢，他每个间隔，因为周期是四拍，每四个一个间隔，那就四分之二分之拍。 比如说零后面是按拍，按拍之后是拍，拍之后是按三拍，然后再是二拍，这是我们的图像正选图像，那么余选图像怎么画呢？我们是以零一 开头，注意了，我们在零一的时候已经达到了三 x， cosx 有 个最大值是一，最小值是负一，在零一的时候已经达到最高点了，如果你下后面就要走下坡路了，哎，空下来 左边也是一样的，一样，这个是零一点，那这里就是二拍到一点，这是我们的 鱼选图像，那么也一样，每个转折位就是从最高点到零点是二分拍，所以这个点坐标是二分之拍到零，所以这是鱼选图像，我们要认识一下正鱼选图像。好，我们再来看看具体题，这个函数 在上面有两个不同的点，好，两个不同的点，零点，零点的话，就是让函数 f x 等于 cos x 减 a 等于零， 所以呢，就导致 cos x 等于 a， 要有两个解，所以 零点方程问题，零点问题变成方程，方程又变成函数，就相当于是 y 等于 cos x 与 y 等于 a， 这两个图像啊，都有两个交点， 没错吧？好，我们注意这个题目是 y 等于 cos x， cos x 放在这里了，但是它要求是怎么样？是在负三分之拍到二分之拍之间，好，我们找到负三分之拍在这里， 那么到二分之拍在这里。好，我们就相当于只看这中间的图像， 他要与 y 等于 a， 注意 y 等于 a， 不是 y 等于 x， y 等于 x。 过圆点的一个直线就是我们说的正比函数， y 等于 a 是 画横线的， a 是 参数，比如我们 a 是 等于二的话，那是这么一个线， 你看这个线和我们的图像有两个焦点吗？没有。好，我们 y 等于一，有一个焦点 还是不满足，那么我现在用虚线啊，后面，哎，你看，这样就恰好有两个焦点，一个焦点在这里，一个焦点在这里，那么我们看，我们再画在这个位置， 好，我们画个图， 我们把我们的满足条件的图像画这么画，用蓝色的线 把它标示出来呀，你现在看它的焦点呢，只有这一个，所以这有个临界位置就是 y 呀，我们的 a 呀，要比 e 要小，对吧？那么它的临界线在哪里呀？在这个位置 啊，这样的时候呢，注意它是十点啊，所以这个时候恰好有两个交点，所以呢，我们就要算出这个点，就是，也就是 cos 负三分之拍， 它等于多少？那 cos 负三分之拍，因为 cos 呢，它是偶函数啊，这个要先背一下，所以这符号呢，是消失掉， 就等于二分之一，所以 a 要夹在二分之一到一之间，那么能不能等于二分之一呢？可以，但是能不等一呢？不可以，等一的话是没有两个交点的，所以答案选择的是 c 选项。好，这是我们这个题， 我们来到第二题，这个题目呢，是个当务员问题，当务员就用当务员的思维去想象哈。那么首先呢，我们这个角，阿法的初始始边为 x 正半轴，这个是绘法了啊，就以交点为 a 点，你说这个角为阿法。 然后呢，我们要求出这个图像的大致图像，那么我们必须要求出 y 等于 alpha 这个的函数解释是怎么样的？好，那么我们看看，我逆时针加 alpha 去拍，那么新的角逆时针是加着 alpha 加上 alpha 去拍， 我要求的是 b q 的 长度， b q 的 长度它已经暗示我们了，是 y 是 不是 b q 的 长度，其实就是我们的注意长度啊，其实就是 p b 点的纵坐标， 没错吧，再加一个绝对值，所以我们要求 b 点的重坐标就可以了啊，在我们的之前讲过啊，就是我们中边的问题，就是 y b 比上 r 等于 sine 法， 就是你的重坐标比上半径是等于三亚法，那现在呢，我们要看一下啊，所以 y b 呢， 这个 alpha 是 指它对应的角，那么现在半径呢，已经说了是单位圆是一，所以 y b 就 直接等于三引 alpha 加上二分之一拍， 没毛病吧？所以那个 alpha 是 泛指啊，泛指那个角。那现在我们的 b 点对应的角呢？是 alpha 加上二分之一拍，那么根据诱导公式，三引 alpha 加二分之一拍等于 cosine alpha， 所以呢，我们的这个数值啊，就等于 cos 和 off 的 绝对值，而且我们的 alpha 属于 零到拍，那现在就简单了，我们的减式是 y 等于 cos 和 alpha 的 绝对值，那么我们的 cos 和 alpha， 它在零到拍的画法， 这就是我们 cosine x 在 零到拍的方法。加那个绝对值的话，我们讲函数的人讲的很清楚了，凡是整体加绝对值，只要把小的小的零的部分往上怎么样翻折就可以了， 所以它图像是下面擦掉长个这样子的，这是凹着拍啊，所以我们如图，哪个是符合的呀？ b 选项是符合的，所以答案就选 b。 这道题比较巧妙，就是你还要把它的解释怎么样啊，给我求出来。那么还是用的单位元 和中边的点的问题，就要想到那个公式了，就 y， b 比上 r 等于 sine f， x 比 r 就 等于 cos f 平行 f 等于 y 比 x。 第三题下条图像与图中曲线一致的是，这就考了刚才我们的那个绝对值的问题了， 那我们来看一下啊。三 e x 本身是这么画的，它的周期是二拍，但是加了绝对值之后呢， 它是长这样子的，那么它的周期变成什么？除了一半就等于拍了。 cos x 亦是如此， 它本来长这样子的，然后呢，加完全加垂直，把下面 x 轴下面的往上翻折，它的周期也变成了原来的什么一半。所以呢，我们要注意，三 x 周期是二拍，它的加角的值就是拍了。好，我们看这个题目， 很明显这个有个二分之一在在这里，也就是说它一定过零到二分之一点，所以我就把 a 和 c 排除了， 因为 a 和 c 三零啊，是等于零的，它不等于二分之一，所以答案选择 b 和 d。 好， 那么我们来看一下 b 选项， b 选项原本它的周期是二拍，如果没有觉得值，有，有觉得值的话，就是什么就是拍， 而这个周期你发现没有，恰好是拍，所以答案就选择 b， 我们就不能选 d 了。这道题还有一个排除之后呢，我们可以把三 x 绝对值的人啊，三 x 绝对值长这啊，如左图，如这个的处事啊，然后我们再往上移二分这个单位，我们发现也能得到 b 选项，就是你自己画了啊，就是绝对值怎么画？ 第四题， 第四题考的是这个我们标准的这个负函数，也就是我们的 f x 等于 a， sine or m x 加 f 加 b 的 图像怎么画？ 当然这个题目呢，它是一个呃，不要你画它，这是给个表给你。那么我们画这个题目啊，都是把这个看一个整体写在这个位置， 然后让它等于零，因为我们画五个关键点叫五点画，先画零，二的拍，拍二的三拍和什么和二拍这五个数字，对吧？然后，然后呢？哦，这个等于零的时候， 当然我们看的是这个解，是因为后面没有加 b， 这里没有加 b， 你 看这个等于零的时候，那么 a 就 等于零， a 乘零就等于零，如果这个整体等于二，你拍三，二，你拍等于一，所以呢，我们就得到的是 a， 那 这里写的 a 是 等于几啊？四，所以我们得出第一个数据，就 a 等于四。好， 然后呢，以此类推发这个数值，然后呢，我们让这个整体 omega x 加 pi 啊，等于零的时候，得出了结果， x 等于六分的 pi， 那 么第二个信息给到你，什么是 omega？ x 加上 pi， 如果等于我们的 pi 的 话，它的结局是三分之二 pi， 那这样我就可以根据这两个式子啊，你了解这个意思，那么这里是六分之拍， omega 加 five 等于零，这里是三分之二拍， omega 加 five 要等于拍，那我可以把这两个式子的边啊相减， 那就得到了二分就拍， omega 就 等于拍了， omega 就 等于二，所以我们先要搞定 omega 的 值是多少是二，所以我把我们的 b 和 d 排除， 那么然后把 omega 等于二，随便带在哪个式子在这个式子啊， find 呢，就等于负的三分之拍，所以答案就选择 a， 这是方法。这个方法，第二个方法呢，我们看从第一个关键点，这是第二个关键点，这是第三个关键点，我们知道一，我们总共五关键点，间距就是一个周期， 那么你看一到三个关键点，他卷积是二对不对？所以他占了半个周期，所以半个周期就等于三分之二排，减掉我们的六分排， 那这种思维会更更快一点，就不用写那个了。所以周期就等于我们的拍，拍周期就等于二拍除以 omega， 所以 omega 啦，就等于二，能得到，这是二。然后呢，你要知道这个数字是什么意思，就是当 x 等于六分之拍时， 二 x 加 y 就 要等于零，所以把 x 等于六分之一带进去。好，我们来进入第五道题之前呢，我们来讲一个问题，就是图像的，就是我们的解解我们的方程问题，比如说，比如说我们三 x 等于二分之一，那 x 应该等于多少？那老师六分之一， 因为三十三就等于二分之一嘛？对，我们只能说 x 等于二分之一，但是三 x 等于二分之一，不能推出 x 只能等于六个，它有很多别的值，对不对？所以呢，我们现在就说到就是解 不等式解方程问题，那么我们一般都是采取图像法。好，我们画一个正弦图像， 我们一般都是画一个半。好，那现在要注意了，我们知道 凡是四分之拍的，跟四分子结合在一起的，那么它的正弦值和余弦值呢？都是等于二分之二， 当然是我的六分之拍，三分之拍有关的，当然就是说是三十度的整数倍，但不是九十度整数倍的角啊。我们要注意，他的证券值值可能是对应两个值，一个是二分之一，一个是二，你刚好三。那我们又知道刚好三是等于一点七三二， 他的一半呢？是零点八几，反正就是非常接近一一个一的数字。好，那么现在问题来了，我们把这个是零，是不是这个是二分之拍？ 他们中间的差值是什么？是九十度是吧？那么如果我们把它分为三等分，因为九十度分，三等分就是一个是三十度， 一个是六十度，那我们知道三十度他对应的值啊，还是六十度的值。要么就有两个，一个是二分之一，一个是二分之什么刚好三？很明显，这个点的纵坐标 就是在最高点也是一的一半的位置，而这个位置点呢，他的纵坐标是非常接近一，所以我们就立马得到他是二分之什么刚好三啊？比如说我们要算一个三分之二排 三分之二牌是在九十的基础上再加上一个三十度，所以我们一定要画标准的，那么你画的标准就是取他的三等分这个位置，那你就会发现他是一个非常接近的数字，所以我们立马就得到他的数值是等于二分之什么高三。 好，首先我们了解这个概念，第二个我们了解三以 x 等于二分之一，我们就可以变成 y 等于三以 x 与 y 等于二分之一的交点问题，那 y 等于二分之一，我们是画在这个一半的位置， 很明显，那么在零到二拍之间呢？它是有两个解的，一个这个，一个这个， 那么我就得到我们的 x 的 值啊，是等于六分之拍是一种，是吧？那么还可以等于哪个角啊？ 这个角，这个角对应的也是二分之一，很明显他是在拍的基础上往左移三十度，因为移三十度他就对应的是二分之一，移六十度就是对应的二分之三，所以我很明显他更靠近于我们的拍一点，所以另外一个角是六分之什么五拍， 然后再加上什么二 k 拍，为什么要加二 k 拍呢？因为啊，它不只是零到二拍，是有那两个解的，如果我们把范围的任何角的话，就是零六个拍加二 k 拍和六个五拍加二 k 拍 好，完成好。然后呢，我们如果每次都画图也挺麻烦的，是不是？好，我们再教大家一个方法，如果你的三 x 等于等于的是一个正值啊，二分之一啊，或者二分之二啊，或者二分之三 是正值啊，那我们可以直接写 x 等于六分之拍是一个，那我们要去一个口诀，两角互补，它的正弦值是相等的，所以六分之拍是等于二分之几，那六分之五拍呢，也是等于二分之几，然后你再加上二 k 拍，这里也加上二 k 拍， 如果等于二分之三加上二 k 拍， x 等于三分之二拍，加二 k 拍也行。 如果老师你说等于负值怎么办呢？负值的话，你就还还是老老实实画这个图就行了，所以我们这就是我们的画这个求这个题目的一个 啊，解方程的一个标准，过程用通过图像就来搞定啊。那么 cos 等于 x， 然后再被公式 cos， x 五等于二分之一，那么你写 x 等于三分之拍和负三分之拍加上二 k 拍， 那么因为余弦它是个偶函数，你经过它图像也知道它是个偶函数。如果正的三分之 pi 等于二分之几，那负的三分之 pi 呢？也等于二分之几，然后再加上二 k pi。 好。也就是说如果三 x 如果等于非一负一零的方程，我们通过画图可以得到， 如果三 x 等于一，那我们被 x 等于二，我们就拍加上二可以拍 等于负一。哪个角的负一啊？是负啊，我们就拍再加上什么。 ok， 拍等于零呢？注意是三零等于零，但是经过图像你会发现它是每格 拍有一个点，所以我们是零加 k 拍。那么解方程的规则是什么啊？就是找到零到拍里面找到一个角，零到二拍，一个周期找到一个角，然后再加二 k 拍，但是有一个三 x 零， 本来是也是在零到二拍找的，找的值是零加 k， 二 k 拍和拍加二 k 拍，但是呢，它综合在一起就是 k 拍，好吧，或者是我们找到哎，零的时候，每隔拍有一个，所以要加 k 拍。 如果是非这个的数值的话，你要记住它 x 是 有两个值，一个值是，然后再加上 for， 都是加二 k 开搞定。好吧，这是我们的这个题的概念，那么当这呢？ x 呢？等一个数值呢？ 它就比较简单，因为正切图像，我们来画一下正切图像，正切图像叫三点两线，其实画两线 一点就可以了，因为当 x， 它是三， x 除以 cos 乘以 x， 所以 cos 乘以 x 是 不能等于零的，所以 x 不 能等于 of 去拍和 for 去拍， 然后它是一个单调递增的，那么它的周期就是拍，然后以此往后面延， 它的周期是拍，然后呢，它是奇函数，是正确图像，所以当前 x 等于一，它在它的一个周期里面只能找到一个，那当前 x 等于一，那 x 只能等于四个去拍，然后再加上 k 拍，因为每隔拍有一个，所以加 k 拍，所以正确的， 正确的。呃，求解。正确，基本上不用画图，比如说当前 x 等于负，根号三， 那 x 应该等于哪个角的正值等于负的根号三呢？我们首先看到三分之一块的正值等于根号三，那负三分之一块，因为它是奇函数， 再加上 k 拍就可以了，他不需要画图，直接写方程就可以了，所以这是解我们的方程的一个概念。导，听了刚才那个问题，我们就来可以看到第五题了，第五题 又是零点 x， 零是这个方程的零点。首先呢，我们知道 f x 向右移发一个单位 能得到 g x 就 等于三 x 加上六分之拍，那反之我这里变，这里应该是向左平移发一个档位，所以我们的 f x 就 等于三 x 加六分之拍，再加 f x 的 解释，这是 g x 解释好，它告诉我们 x 零剩下一个零点，所以 f x 减七 x 等于零的几，一个解一个解哈，就是一个零点，不是说它的解，所以 x 就 等于什么零，所以他想表达就是 f 零等于积零，就这么简单， 所以绕一点点，所以 f 零带进去就是三引六分之拍，加 f 要等于三引六分之拍。好， 那么除以两个三异相等，不代表这个角一定是相等，是不是？所以呢，我们就能知道，这个就不要用两个 f 三异相等来理解了，三异六呢，等于二分之一。那么回到刚才那个问题了， 那么一个角的正弦值等于二分之一，我们刚刚说如果三角值等于正值，我们直接背一下就可以了，就这个角一定有两个解，一个是哪个角的正弦值，正弦值等于二分之一啊，就是六分之一拍，但是你要加上什么二 k 拍， 那么以及呢，它的补角，因为正弦看补角，它的补角就是六分之五拍，所以我的发的值呢，有两个，一个是等于二 k 拍， 一个是等于三分之二拍，加上二 k 拍，这两组解都可以，所以 five 的 值有无数个， 但是现在问的是 five 的 最小值，你看啊，当该等于零的时候，不满足这一组啊，该等于零就是零嘛，然后是二拍，所以它如果等于这一部分的话，它的最小值是二拍， 那这里 k 等于零，因为只有 k 等于零才是正值。又发现一张大脸是三分之二拍以及三分之二拍，再加上二拍，很明显这一组值里面只有 five 等于三分之二拍才能行， 才是最小值。所以答案选择什么？ c 就是 我们先要了解解方程的核心思维，以后不要看到两个三异相等，就是角一定要相等，而是用解方程的思维。 第六题，这个函数 第六题， f x 图像和这个图像在这个交于 a、 b、 c 三点，看到两个图像交于几个点的时候，我们反应一就是什么入手，什么就是画图， 第二个就是怎么样啊？焦点问题就是解方程， 那很明显三引拍 x 啊，这个图啊和 cos 拍 x 这个图啊，就有点难画了，所以我们就转到第二个思维解方程。你不要求焦点吗？那我就算三引拍 x 等于 cos 拍 x， 求焦点就是连立方成， 哎， sine 等于 cosine， 我 们讲上一次内容就知道了啊，就是一定要变成正切，就碰到的 pi x 一定要等于几啊？一 三以拍 x 等于一。那么啊，那老师啊，这个到这一步的话，有个问题，就是你除了 cos 以拍 x， cos 拍 x 等于零怎么办呢？注意， cos 拍 x 等于零，那么三以拍 x， 它一定等于正负一，它两个就不可能相等了，所以我们单以拍 x 等于一没毛病。 那刚刚讲了，正切的话，你愿意画图也好，不画图也行，因为正切就简单，就是找出特殊值。哪个讲的正切值等于一啊，我们就说拍 x 等于四分之拍，然后你在最后加个 k 拍就可以了。正切解方程， 当你的 x 零要等于某个数值的话，那么就找到那 x 零有一个值了，再加二 k 拍就行了，所以呢，我们的 x 就 等于四分之一， 加上 k 对 k 属于任何整数。好，那证明他有无数个解，对不对？包括哪些呀？四分之一啊，对吧？ 然后呢？ k 等于一的时候就四分之五， k 等于负一的时候是负四分之三，然后呢，往两边扩散，他有无数个解，但是我们只要他在负一到几啊，负一到二上的解，负一到二， 那么就是这三个数字。好，所以我们就可以得到第一个点，坐标是负四，不是三。逗，把它带到其中任何一个就可以了，就是 sign。 负四不是三拍， 那么就是负四分之三，那么这个讲过，它是奇函数，所以变成负三乘以四分之三拍，而四乘的对应的补角是什么？四分之拍，所以我们得到是负的二分之二。第二个点，过程就是四分之一，然后三乘以四分之一拍，就是二分之二， 第三个点就四分之五，四分之五带进去就三，四分之五拍。第三个角减，减拍前加负号，就是前面的知识二，所以是负的二分之根号。二，所以我们得到这三个点， 三个点坐标都出来了，那我们要求它的面积，那么我们稍微画个图，负四分之三的时候在这里，四分之一的时候是这里， c 在 这里，很明显，我们要求这个面积， 那就以 a c 的 长作，为什么？作为我们的底， a c 有 多长啊？ 因为它重坐标是相同的横相减，所以它的长度是四十五减，四十三减，负三就等于二，那么高呢？高其实就是 b 和 a 的 什么重坐标的差值，也就是 我们的高就等于二分之高，二减掉负二，这个也就是根号二，所以根据三角形面积是底乘高，再乘二分之一，所以得到是根号二选 c。 如果这道题你用第一个思维去画图的思维，你去求焦点就比较麻烦了。好吧，所以应该是解方程的思维。方程，那肯自然要讲一下不等式了，不等式应该如何解 好？首先呢，我们看一下不等式一般伴随的要么解不等式，要么是定域的问题。这个函数的定域，我们看函数的定域，要满足第一根号里面的数要大一点零，但是当你作为分母了，所以满足 cos x 要大于零。 第二， f 二 x 就 二 x 也要在定义域内，所以二 x 要小于四拍，要大于什么二拍？所以下面就得到 x 的 呢？啊，是小于二拍大于拍， 叫你要满足 x 要在拍到二拍之间，而在 cos x 又要代零。好，那我画出余弦图像， 我们只要画出零到二拍之间的，那实际上只要画出拍，拍在这里啊，二拍在这里，在拍到二拍之间，它的 cosine 值又要大于零，那么这个点很明显就是二三拍， 所以呢，它的共同解集就是交集，就是二五三拍倒拍，所以它定义域是二五三拍，倒拍就是解不等式，就是画图。 第八题，三 x 要大于我们 cos x 的 值，它有两个方法，法一呢，就是解不等式， 那比较麻烦。法二呢，就是画图， 因为三 x 也好， cosx 觉得值好，它画图还是蛮简单的，我们用画图法来解决问题。三 x 是 过零零点， 只要画零到二拍就可以了。那 cosx 我 为了区编开来哈，我把 cosx 给画一个蓝色的图， 它过零一点，先画 cosx， 然后把小零的往上，怎么样啊？翻折，那这边就不要了， 那很明显三 x 要大于 cos x 的 值，就是三 x 图像要在上面，红色在蓝色的上面的， 红色在蓝色上面的，仅此这里这个位置。好，那这个位置很明显呢，根据我们的三 x 啊，要等于 cos x， 因为开始 cos x 开始还没有变嘛， 那就得到之后我们的 t x 等于，是吗？等于一啊，到了直接写了三 x 等于 cos x， 在 离到二等拍之间就四等拍， 那么我们会发现这个是我们对准轴，是二等拍，对不对？那这个点呢，肯定是关于二等拍怎么对称，所以另外一个点就是什么四分之三拍， if 则写三 x 是 等于负 cos x， 那么就是我们的 x 减四等三拍满足，所以答案就选择什么 a 选项。那么法一呢，就麻烦一点，就是 cos 等 于 x 属于零到二分之拍的时候啊， cos 是 一个什么值啊？正值 就是大于 cos x， 那 x 属于二分之拍，到二分之三拍的时候， cos x， 就是 在二三象限吧，二三象限 cos x 是 负的，负数的角值等于它的相反数，你要写成这样， 然后呢，二三拍到拍之二拍之间的时候，又是三 x 大 于 cos x， 然后一一一解，那么你要发现答案选择吗？选择 a， 但是没有画图来的好。刚才做的题目呢，我们发现一个特点都是在有就是零到二拍啊，之间呢，就是在一个周期里面，所以我们就不用加上什么 k 拍二 k 拍了，但是呢， 这里是任意角，就 x 为任意值的时候，我们就跟刚才就麻烦一点点哈，解不等式，我们看怎么做。 首先呢，这个函数定域啊，因为定域我们就要知道这是个对数，对数里面的数就是两倍的三 x 平方 x 减掉五个三 x 加上二， 它一定要大于零，所以很明显的，这是一个十字相乘法，一二负二负一，所以写成三 x 减掉二，乘以两倍的三 x 减掉一，要大于零。 好，那是我们一定要注意三 x 的 有界性。用解不等式解方程的时候啊，三 x 永远夹在负一到一之间，所以三 x 减二呢，一定是一个什么数， 所以三 x 减二一定是个小于零的数，非常重要，所以两个数，哎，这两个相乘以大零，所以两边的三 x 啊，减一一定要怎么样啊？我们要小于零， 所以呢，我们的三 x 呢，就要小于我们的二分之一，或者直接我们无视这个式子，我们要了解就开始，不， 不管它，这是个约二字不等式，不等式，我们要大于，这是大于号吗？这大于大的，小于小的，所以就三 x 要小于二分之一，或者三 x 要大于二。但是我们的三 x 大 于二是不成立的，所以我们就折取三 x 等于什么？小于二分之一。 好，所以你要解的就三 x 小 于二分之一，那么之前我讲过三 x 等于二分之一，就实写 x 等于什么？我们的六分之拍加二 k 拍和六分之五加二 k 拍，如果小于怎么办呢？那我我们还是画图在零到， 那么这个是另一角，我们就画稍微多一点点， 注意是画一个 y 等于三 x 小 于 y 等于二分之一，所以我画一个 y 等于二分之一的线， 是你小于的话，就是在这个线的什么三 x 小 于二分之一，在这个线的下方，很明显我们发现在它的下方的点呢，有有很多，是不是啊？ 那么连续性好，那么我们看看啊，如果我们还是取零到二拍，从这里开始 到这里结束，那么就有两段，一个是这一段，一个是这一段，但是呢，我们要注意解不等式的问题啊，一定只能用一个，就说我们如果写的话，应该是六零到六分之拍， 并上这个点是六分之五拍到二拍，那这样写了就不好了，因为我必须要用，你看他的结果是什么，只有一个，一个连续期间啊，所以呢，我们就是不从零开始，你看啊，我要这个线的下方，那我们可以从 我们把这往这边挪一下啊，从二分之拍开始到二分之五拍结束，在这个范围内，又在这个线的下方，看到没有，是这段图像， 那这段图像是连续的，那我们就可以说这个点，注意是二分之一，我们说了，刚才说了走台阶问题，这是什么？ 这是我们的拍，这是我们的二拍，从零到二分之一，很明显你一看就知道他只占了三分之一的基础，所以是拍减六分之拍，也就是六分之五拍，所以一个零件值是六分之五拍，这里就是二拍， 加上六拍要走三分之一个路程，就在六分之十三拍，所以呢，你要小于二分之一，所以你的 x 应该要大于六分之五拍，小于六分之什么十三拍， 那么只是在这一段，如果你反应另一个，你就要记住加上二 k 拍就可以了，所以加上二 k 拍 可以属于整数。答案呢，就是我们的六分之五拍到我们的六分之十三拍，再加上二可以拍。哎，老师，这里没有这个选项啊，可以，因为我们不是取了这个吗？其实我们也可以从这里开始到这里结束， 那我们就不要避免写了，我们就要在这个计数上，如果没有选项，我们就在这个计数上减二拍，这里也减二拍就可以了， 那么这个减二拍是负六分之七拍，这个减二拍就六分拍，所以你写负六分之七拍到六分拍也是行的，看你个人喜欢啊，个人喜欢，所以答案就选择什么。 c 很 简单，所以要解我们的方程还是不等式，解方程非要简单，简单一点我们就要对那个公式，如果实在是等于负值的话，我们记不住，我们就画图， 那么解不等式了，就一定要画图，就找到连续的一个区间，满足条件在一个周期里面 啊，然后呢就加上二 k 拍就行了。第十题，刚才我们一直提到定义，定义，定义的话，我们以前学的定义就是什么根号偶字方根里面的数要大于等于零，然后分母分是分母不等零 是吧，以及对数的真数要大于零，已知零分之密底数 x 啊，零字方 x 不 等零，我们是这四种，可能现在我们学了正弦余弦图像了，就多多加一个，就是正切 三 x， 它的 x 是 不能等于二分之拍加 k 拍，那么为什么？因为它是 cos 三 x 分 之三 x， 因为 cos 等于零的时候啊。我们注意，我们刚才讲过等于正负一和零的时候啊，就直接去求就可以了，哪个找到正确值等于零啊，是 of 的 牌。 然后呢，注意，只有解方程里面只有什么零点等于零的时候才是加 k 拍上全是加二 k 拍，所以呢，我们的 x 等于零，那 x 等于二的拍加 k 拍，所以它的，但是它是不能等于零，所以看到正弦一定要想到 x 不 能等于二的拍，加 k 拍好。这个函数呢，要跟 x 等于拍没有交点，那么跟竖线没有交点其实就是指它在 x 等于拍处啊，是没有意义的， 因为函数的性质在 x 等于一个数值的时候，要么有一个交点，因为没有交点，没有交点就没有意义。 好，所以我们看就是求它定义的意思，含蓄的表达求定义，当然求定义就是 x 减 five 是 不能等于我们的 of 去拍加上 k 拍的，所以 x 是 不能等于 of 去拍加 five 加上 k 拍的， 那么它也它没有焦点，也是说 x 不 能等于拍，这么一拍就是 of 去拍，加 five 加 k 拍就一定要 是这个方程的是吗？一个解就等可以等于拍了，所以 find 的 值就等于二分之拍减 k 拍，所以 k 是 属于任何整数的 好，那么现在 find 又是要大于等零，所以当 k 等于零的时候就是二分 之三拍，以此类推，也可能等于负的等于我们的正一的时候就是等于负的二倍拍， 但是因为 five 的 值要怎么样啊，要大于等于零，所以它的最小值就是 of 牌。答案选择 c， 这考察的是我们的正切的定域问题。

没事的，爸会好的。 如果青春里有人把所有选择的结果和遗憾提前告诉你，你会怎么做？ 你看见没？

我们来介绍一个高智商学习嗯，正弦波与声音之间转换的一个网站，在这个网站中，你可以大家可以体验到 弦的振动是如何产生正弦波的和正弦波的三个参数，正伏，频率和相位是如何影响声音的听感的，还有如何通过不同的三角波的组合来形成不同的乐器音色。那么这里面还可以进行两个小实验，第一个实验是可以将声音 将比如说像歌曲乐器的声音或者人声可以分解为三角函数喔来表示。 第二个活动中，嗯，体验者可以通过调整三角函数的一些参数来实现音色的转换，比如说可以将你的将 a 同学的音色调整成 b， b 同学，好，现在我们来体验一下，开始解锁 好，我们可以看到嗯，声音是对连续信号的离散采集，在计算中，计算机中我们用离散的虚列来储存声音信号，当我们采集的点足够密的时候，它就会更加真实地还原原始声音信号。 就像这样，我们可以看到踩点呢由细到密的变化。那么我们还可以观察正弦的三个参数对于正弦波对应的声波的变化影响。比如我们可以播放这样一个参数，这样一个正弦波的声音。 我们来播放一下这个正弦波的声音，我们可以通过调整正负，比如我把正负调小，发现，哎，这个声音变小了， 我们把正负调大。好，这个声音变大了，那说明声音会 a， 会影响正负。当然我们还可以来看频率对声音的影响，频率越低，声音越低沉，频率越高，声音越尖锐。好，还可以看向位对声音的影响，好，向位会改变声音的始位置， 然后还可以看到击波与斜波，比如说一个正弦的声音是由很多个正弦波组合而成的，我们可以播放合成音，好，这是一个合成音，那现在我们来增加他的播的就是不同的震动频率，比如说多瑞好，我们来播放 好，更高的频率比较刺耳了，我们就不播放了。当然还可以体验不同的乐器，比如说知听长笛、单簧管，还可以我们来分解音乐，比如说我们选一首歌曲片段， 好，我们可以听到歌的声音，然后我们来看一看一首音乐是怎么被分解成三角波的。 好，所以这首歌它对应的波形是长这个样子的，当然了这个波形比较复杂，因为因为一首真正的音乐，它包含了各种乐器背景和人声的合唱。好， 当然了我们也有也有配套的 ppt， 我 们也有配套的 ppt， 比如说我们可以看到 可以用配套的 ppt 来和同学们讲解声音和郑贤波之间的关系。

重点来了，今天我们正式来讲三角函数领域最核心的知识，我们正弦函数的图像的性质，那么大家拿做好笔记，跟着老师一起上课， ok， 同学们，那么我们学正弦函数，顾名思义，正弦，正弦嘛，它是由我们的正弦塞 引导出来的函数 y， y 等于 sin x， 那 么这个 sin 呢？是什么意思呢？老师在刚讲三角函数定义的时候，就给大家强调过，什么叫 sin， 什么叫 cosine， 大家的思维要往哪方面靠呢？要往平面直角坐标系上的横纵上去靠， 准确点说，要往我们单位圆里的坐标的横纵坐标上靠，那么 sin 就 应该是纵向的坐标， cosine 就是 横向的坐标， 那么也就是说，随着角的变化，他的纵坐标在单位圆上有什么样的变化呢？哎，就是这样的一个函数，我们要去学习，所以说大家学习函数一定要明白他怎么来的，以及他的图像的细节。那么老师带大家一起来画三角函数的正弦函数的图像。大家来看， 我们在画图之前，我们必须得有一个单位圆，大家来看，必须得有一个单位圆啊啊，老师随手画一个圆，大家用圆规好好打出一个圆来， ok， 那 么我们可以把这个横给他延长延长一些，然后呢，我们的纵坐标呢，可以在这 y x， 也就是我们的平面直角坐标系圆点在这啊，在这在这，我们的图像往右画，但是呢，我们借助这个圆去画，这个圆是单位圆，边长是一，半径是一。 ok， 那么我们 x 扮演了一个自变量，也就是这里边的角的自变量，那么他的起点应该是零，从零开始，沿着逆时针方向为正去旋转，对不对？那么从零增加到九十，增加到一百八，增加到二百七，增加到三百六，在这旋转。那么图像是什么样呢？我们关注的是什么来的？大家想关注的是 纵坐标，哎，大家注意， side 就是 纵坐标，那么我们以后要学鱼线函数呢，那我们的重点就是横坐标，大家注意一定要明白这个点，那么请问大家起点这个点的纵坐标是多少呢？ ok， 这个点众坐标，谁都知道，他应该等零，所以说零对应的众坐标是零，他过圆点，第一个零是指横坐标的零，也就是这个角就是零，那么零度对应的众坐标是零，也就是他的正弦值的零，大家能明白吧？零度对应的正弦值的零，也就是三点零的零啊。继续我们往上抬， 大家看我抬到某一个点的时候，他的纵坐标是不是在变大呀？对不对？所以这个图像很明显是增函数在上升，那么怎么个上升法呢？大家跟上他在这走，我们学过物理更好了，这个走的什么运动呢？这个叫匀速圆周运动， ok 吧？匀速圆周运动有什么？有角速度？ omega， 它以一个均匀的 omega 在 这，它不快，不，它不，不是嗖，哎，变慢了，嗖，变慢了，不是这样跑的，它是均匀的在这跑。大家想象时钟，时钟给它反过来，时钟再转，均匀的再转， ok 吧？那么大家想均匀的再转，我们把这一套给它平分成三个系列， 哎，相当于一个披萨，我给它切成三等份啊，切成十二等份啊，这个，这四分之一份切成三个等份，那么大家说这一个多少度？ 是不是应该三十度啊？对不对？三十度，三十度，三十度，那么从他转圈的角度来讲，是不是路程是一样的，对不对？这个路程和这个路程和这路程一样，那么速度还一样，路程还一样，说明时间是一样的。大家想横坐标是什么？横坐标我们就可以给他想象成一个时间 不同的时间，他的纵坐标的位置的图，对不对？那么一个时间他来到了这啊，又来一个时间，他来到了 这，又来一个时间，他来到了饼，哎，大家看这个图是不是应该这样式的？有时候老师你这图为啥不是直的呢？为什么是一个这样的弯曲的呢？ 大家看啊，同样的时间，他的嘚了 y 也是 y 值的变化，一样吗？他的 y 值变化了这些， y 值变化了这些， y 值变化了这些。 那么大家都学过三十度的正弦是多少？三十度算正弦，是不是二分之一啊？大家看二分，这是不是一啊？二分之一是不是占一的一半啊？对不对？所以说这个点是二分之一，也就是三分之一的时间走了二分之一的路程， 大家看这就是三角函数正弦函数的特点，一定要学会。再走三分之一的时间，他又走了一个路程，那么这个路程还有那么多吗？注意，没有那么多了， 六十度的正弦是二分之根号三，那大家注意二分之根号三，约等于多少呢？约等于这个是一点七除以二，约到一点七除以二，零点八六左右，零点八五，零点八六点，对吧？零点八六几， 那么零点八六还没到一呢，对不对？也就是说这个从零点五走到零点八六，这个长度他并没有这么长度，那么大，他变小了，所以这个图像是这么走的，大家看能理解吧？那么第三个时间呢？从零点八六变成一就走了，这么不点 走了零点一几，对不对？所以说他是有个大中小的一个变化，同理，那怎么上来的他就得怎么下去， 下来，下来是不是有一百二，一百五、一百八呀，对不对？所以说下来大家看，又来一个时间，走到了二分之二，又来个时间，走到了二分之一，又来个时间走到了零，大家看上上上下下，对不对？ 那么下边也是一样的，我们把这个线都给他延长出去，这个应该是二百一十度，这个应该是二百四十度，这是二百七十度，这个呢？应该是三百三，这个呢？应该是三百二百七，三百三百三，对不对？那么他下来从这往下来负二分之一，对不对？这不正二分之一吗？这不负二分之一吗？都是对称的，大家注意。来，再来一个，再来一个，我们把横轴标伸长， 把横着不要伸长， ok， 两个、三个、四个、五个、六个。第一个来到了负二分之一，负二分之一，大家看啊，负二分之一，老师在这画出来，负二分之根号三。哎，老师搁这画出来 啊，负一啊，老师说这个手画可能是存在的一点小误差，大家去感受，你们可以用格尺去挡啊，自己争取画出一个完整的图像来。负二分之一，负二分之三，负一也就二百七十度，二分之三派对应负二分之三，那么这个呢？应该是三分之四派，这个是六分之七派，派六分之五派， 三分之二派，二分之派，三分之派，六分之派，他们分别对应哪个点？大家都要把它记住来，这个往上来，哎，这个是负二分之二三，这应该是三分之五派， 哎，再往这来应该是这个角，应该是这个角了吧？刚才三分之五派在这，这个应该是这个角了，负二分之一，这个角六分之十。一派最后回上来二派，大家看一个完整的正弦图像出现在你的眼前， 那当然了，他还可以继续转，所以说这边图像还可以继续延伸，他可以往回转，这边图像也可以延伸，所以说这个图像是一个无限的延展的图像。但是老师画出来了一个圆，出现的一个图像，也就是一个周期，一个周期 啊，我们管这个叫最小正周期，最小正周期等于二派，大家看周期函数最小正周期，二派在零到二派上一个完整的周期，我们可以清晰的感受到正弦函数的一个一些特点，比如有最大值一，谁对应的呢？最大值 是二分之派，那如果我们带上周期呢？就是加上二 k 派对应的来看，最小值是不是二分之三派？最小值是二分之三派加二 k 派对应的。那么我们往这边延展的时候，我们会发现它过圆点，所以它是一个奇函数 积函数，那么他在，他在这二分之派就用最大值，那这边的最小值应该负二分之派，对不对？所以说这个上是增的，这上是减的，所以说他是一增一减，一增一减，一共是二派，所以说它的增区间长度是派， 减区间长度也是派，所以说这就是单调性、基调性以及最大值、最小值以及一些零点。那么大家注意，零点老师也写上零点， 得零的点都有哪些呢？零派、二派、三派，所以说我们写成 k 派啊等等。那么所以说我们对于正弦函数，老师觉得这些东西都是附属产品，不是很重要，我们要自己独立的将这些二分之一、二分之二、三一下降上升这些点位把它掌握好。

好，大家好，今天为大家带来的是三角函数，呃，我们的三个，三个图像，第一个图像正弦函数图像，也就我们的 sin 图像，那么做图像的时候，我们这里面 啊需要呃，知道，就是我们会从底以下几个方面来为大家啊讲解。第一个就是我们这个五点画图法，那么五点画图法就是关键的点，这个零二分之派，派二派啊，这一个函数里面的这五个关键点， 那我们的散移零度呢？就等于零二分之 pi 呢？等于一， pi 呢？等于零二分之三， pi 呢？等于负一二， pi 呢？又回到零了，这个是我们通过那个散移值等于 y 比上一个根号下的 x 方加 y 方 求出来，当我们这个半径 r v 分 母为一的时候，它就等于我们的 y 值从这个单位圆里面出来的。用这我们这个点，这四个点坐标就是零到一， 一逗零零逗一，负一逗零，零逗负一啊，通过这四个点它带出来的。好，那接下来我们的图像，图像的话，我们 send 的 图像呢？因为我们刚才已经把它特殊值给它画出来了， 所以我们这个 send 的 图像呢，我们这个等于零的时候就是零。 好，这就我们的右边，然后继续左边，好，就长这样，那么在这里画个图，零二分之派派二分之三派 二派负的二分之派负派。好，我们大概就标这么多，我们这个这就是我们的 y 等于 sine x 的 图像，那么这个图像呢，我们需要记住什么呢？记住它的很多信息，比方说周期啊，对称轴啊，对称中心啊等等等等等等。 我们接下来来看一下，第一个他说他的值域，那么值域的话呢，我们从这来看，我们这个最大值呢？我们三角函数最大值呢，它的取值呢？就是几呢？最大值就是一，那么最小值呢？ 我们就是负一，所以我们这个取值范围呢，就是负一到一， 我们在这边再画一个啊，我每出现一次，我们画一次， 好把我们这几个特殊的坐标给标出来就行了。这边是负的二分之派，这个点呢是二分之派，这个点呢是派， 这个点呢是二分之三派这个点呢是二派，好，足够了。第一个他说什么时候取得最大值，那最大值就是我们这个 a 点这个位置，这就最大值吗？这很明显他写了二分之派， 但是我们的最大值并不是只有这一个，他后面还有一个要加一个二 k 派。二 k 派的意思就是你加二派、加四派、加六派都可以，或者减二派、减四派、减六派都可以取到最大值，那么最大值就是一，当然等于负的二分之派的时候， 他就我们的最小值，你再加个二 k 派，所以他最小值就是负一，那么他现在问你增区间，增区间我们就从最低点到最高点，所以就是负的二分之派。 我们这个一般我们这个地方呢都写上等号啊，这个增和区都给他带上整号。虽然我们一个点不影响单调性，但是，但是我们这个呢，因为他能取到，所以大多数都会给这个等号给带上 负二分之派到二分之派，然后接着左右两边各加二 k 派，因为加二 k 派的原因就是因为它有多个单调递增区间，所以它是从几到增大到几呢？从负一增大到一，那么减函数呢？就从一减小到负一，那就是二 k 派加上二分之派， 一直减小到二分之三派加上二 k 派。好，这是我们的单调性，我们现在写这些呢，都需要你背啊。然后接着就是我们的对称轴和对称中心， 这次我们简单画一下啊，你呢也可以多画几次。 好，那么这个呢，就是我们的对称轴二分之二，这个呢也是我们的对称轴二分之三派，因为这还有个派， 这有个零，这有个二派。好，我们从这来观察，很明显我们的对称轴呢，就是二分之派，二分之三派，而且它是一个直线，它是一个数值的，那这整条线啊，都叫二分之派，所以我们这个数值呢，就是 x 等于二分之派加 k 派， 对称中心呢，它是一个点，所以就是负的二门派。你看看负二，呃，不是负二门派，就是零派，二派、三派这种数，所以它就是 k 派，然后外置呢就是零，所以 k 派都零，这是我们的对称轴。 然后这里面呢，我们记住第六个，第六个我们还有个一个是周期周期呢，我们发现三角函数，它的周期就是每经过二派式循环，所以它周期是二派啊。然后我们继续， 我们刚刚把这几个重要信息都写完了，我们这里面的定义域呢，它没有写定义域，但定义域呢，我们能看出来定义域呢是属于 r 的。 好，那我们现在再拐回来，我们现在讲了对称轴、对称中心、单增单减区间，一个最大的最小值，还有它这个简单图像啊， 就这多。然后接下来我们来以呃两道题目他们两个来为例子，来看我们到底会考什么？那么第一个碰到这种 题目的时候，第一个就是直域，直域的话就是我们记着三角函数，我们 sin， 不 管是 sin 还是 cos， 只要他没给我们这个取值范围，我们三角函数的取值范围永远都是正负一，也就说负一到一，最小的负一，最大的正一，那再乘个三倍呢？所以它就是负三到三。那同样道理， 这个呢，我们负一到一乘二倍就是负二到二，但你后面又减了个一，那负二减一呢，就等于负三，二减一呢就等于一，这就我们的值域好。第二步，他说取得最小值时，首先我们先默公式啊， 我们取到最小值的时候，我们这种就是后面我们算了，不管是增区间、减区间、对称轴等等等等什么，我们通通都是干什么呢？通通都选择了换元的思路。也就说我们把括号里边这个东西拎成 t t 就 等于二 x 加上三分之派，那么我们这个函数呢，就变成一个 sin t 了， 那么我们的 sin t 的 它的最小值什么时候取得最小值啊？我们是你看什么时候取得最小值啊？我们再画一下， 哎，我发现这个是负的二分之派上是不是取了最小值，所以说我们这个就等于负的二分之派，但是别忘了加上二 k 派，然后把这个 x 给它解出来就行了。那两个 x 就 等于个， 嗯，负的六分之五派加上一个二 k 派，那我们这个 x 我 们就解出来了，除以二嘛， x 就 等于负的十二分之五派加上一个 k 派。 从同样道理往右边，右边的话，你这还是散一样，那他什么？他说什么时候取得最小值，那依旧是等于负的二分之派加上 k 派。我不管里面塞了什么，我这个式子这个整体值都是等于他，我们只需要把一个给解出来就行了。那负的二分之派加上六分派，就等于负的三分之派加上二 k 派， 我们这个 x 就是 负的三分之派加上二 k 派。继续单调递增区间，那么单调递增区间呢？我们从这个地方来看呢，就是负的二分之派到二分之派， 也就是说我们这里面呢，就是二 x 加上三分之派，嗯，就是我们的 t， 它呢就应该是负的二分之派到二分之派，这就我们的增区间，然后两边各加二 k 派，接着我们把这个 x 给它解出来就行了。 两个 x， 二分之派减三分之派就等于六分之五派，负的 我们再把 x 除掉，那最终结果六分之派除以二就等于十二分之派加上一个 k 派。负六分之五派除以二就等于负的十二分之五派。 再来一个 k 派。好，这就是我们的单调递增区间。那右边是减单调递减区间，刚才说了，不管里面塞什么，我们都是放圆了，那 t 就 等于 x 减去六分之派，它的单调递减区间，那么我们就等于个二分之派加上一个二 k 派。 写反了，这边是二分之派到二分之三派。啊 啊，这个单调递增和单调递减区间，这个我们其实，呃，有，有一个坑，对，有一个坑，我们这点要求呢？不只如果我们在算单调性的时候啊，在算单调时候，我们来往前面看看。算这个单调性的时候，我们有一个要求，就要求就是必须要让 x， x 的 系数为正， x 的 系数为正， 如果它是负的话，你先把它变成正的再说，那我们再去算它单调递增单调递减区间，因为它这个里面有一个同呃，有一个同增异减的问题，而且还有一个奇偶性的问题，它参数比较多，比较麻烦。 所以一般比方说我们现在先问了一个 y 等于 sine 负 x， 问它的单调性，我们第一步先把这个负二个去提出来，那就是负的三 x， 如果我们问的是 y， 等于，比方说考三 x， 嗯，四分之派减去 x 这样一个函数，我问他他的单调递减区间，我们第一步就是先利用我们的 cosine 函数的性质，那四分之派减 x 就 等于 x 减去四分之派， 为什么呢？因为我们在前面诱导公式学了它的 cosine 负 x 就 等于 cosine x， 这样的话，先把它变成正的，然后我们再去求它单调递减区间啊，或者单调递增区间。 咱们拐回来，我们继续来看我们这个判断单调递减区间，那么就套了公式嘛。那么这个 x 一 解一下就出来，那二分之三派加上六分之派，就等于二分之三，就等于六分之九。一下六分之十，那就三分之五派， 二分之派加上六二分之派加上六分之派啊，那就等于三分之二派。 好，这就我们的最终答案，这是我们的单调递减区间啊。好，我们继续往后。 接下来他说在某一个具体的区间内的单调递减区间，那么在这个具体区间内呢？我们刚才呢，因为单调递减区间或者单调递增区间它都带着字母 k， 所以说他是有无数个，现在他给你把这个范围缩小了，让你求具体的某一个，那我们第一步呢，还是先把他这无数个这个单调区间，单调这个区间给他求出来。那他现在要求单调递减嘛？我们的单调递减区间是二分之派到二分之三派， 刚刚算过，然后两边各加二 k 派，接着呢我们把这个 x 改去掉，那这是六分之九减去六分之二，六分之七， 这边是六分之呃，六分之三，这边是六分之二一减六分之派， 现在除个二，那十二分之七派加上 k 派，十二分之派， k 派。好，所以我们单到递减区间呢？单对我们这个连，那么我写到这一步之后呢，我们现在需要对它进行赋值啊，你看我们这个给定的范围呢，是负的，负的二分之派到派 啊，就我们在这个树上随便画一个，当我们 x， k 等于零的时候呢，你看当我们 k 等于我们这个画的时候呢？一般来说应该先先不画它啊，我们先画这个啊， k 等于零， k 等于零的话，我们就是十二分之派 到十二分之七派。哎，你发现它刚好在这里头，对我们这个负二分之派呢和这个派呢？是在这个的， 然后接着刚我们 k 等于一的时候， k 等于一的时候，我们这个前面这样就是 k 派加十二分之派，那就是说他就是 k 派，就是派，加上十二分之派很明显超出去，所以这个里面就没有了。当我们 k 等于负一的时候呢，我们这个呢，就是负派加上十二分之派， 这个也比负二分之派这十二分之六要要小的多。这边呢，我们就是十二分之七加上负派，那就等于十二分之 五，十二分之七减去，减去 pi 嘛，就等于负的十二分之五，而我们负二分之 pi 是 十二分之六，所以它还在它里面含着，所以说我们这里面我们求差，我们的单调递减区间呢，就是有两段，这段是这段也是 这是 k 等于零的时候，我们解差一个单调递减，那个是 k 等于负一的时候，我们解差一个单调递减区间，那最终结果我们这个单调递减区间呢，我们就是负的二分之 pi 到负的十二分之五 pi， 那第二段呢？我们就是十二分之派 到十二分之七派。好，这就我们的第一个，那同样道理。第二个我们还是先把它单调递增区间解出来，我们单调递增区间呢，依旧是 sine， sine 就是 二分之派到负的二分之派到二分之派， 两边各加个二 k 派，接着把这个六分之派移过去，那这个就变成三分之二派，这边呢就变成一个负的三分之派， 还有一个二 k 派。好，这是我们的在这里面的答案。那接着他题目说的是负二分之派到这个啊，负二分之派到这个二派，我们看我们当 k 等于零的时候，我们这个就是负的三分之派和三分之二派， 那我 k 等于负一的时候呢？ k 等于二， k 等于负一，那么负的，呃，三分之二，三分之二减去个三，呃，减去个二派就等于负的三分之四派，这个就是负的三分之四个派 啊。这边呢就是二派，负二派，再减个三分之派，这个有点多了，我们现在是最小的是负的二分之派，负二分之派很明显是在这个位置， 然后 k 等于一的时候呢，当我们 k 值等于一， k 值等于一，我们往里面带，我们就是二派减三分之派，二派减三分之派，就等于， 就这样写吧，二派减去三分之派，然后我，我现在要画到二派啊，我给的区间是不是到二派？那从这里你就可以看到我们是有两份的， 这两个都可以满足，都是我们的单调递增区间，因为我们解方程解的就单调递增，所以我们这最终结果就是负的三分之派到三分之二派是个增，那么二派减三分之派，二派就是三分之六，减去三分之一就等于三分之五派，所以三分之五到二派 也是一个单调递增，所以它有两个单调递增区间。好，我们接下来我们继续，这是我们判断的第四个。第五个就是如果让我们求对称轴了，求对称轴我们依旧是直接带公式， 把这里面这个东西想成一个整体。我们 sin 的 函数对称轴呢？我们再来画一下， sin 是 长这样的，我看这个是对称轴，这个是对称轴，这些就是二分之派， 然后再加上一个 k 派，我们就可以把这个 x 给解出来了，那么我们的两个 x， 我 们就等于个二分之派，减去三分之派，就等于六分之派加上一个 k 派，那所以说 x 值，我们对称轴 x 值就等于除以二嘛？六分之派就等于十二分之派加上二分之 k 派， 那我们这个 k 呢，属于 z 对 称中心，对称中心呢，我们就是这个值呢，它就等于，我看看啊，等于 k 派啊，我们三角函数对称中心就是 k 派散值， 所以它等于 k 派，然后我们这个外值呢，就是零，那把 x 给解出来，那么两个 x， 我 们就等于 k 派，减去一个三分之派，那再除以一个二，那这个 x 值呢，就等于个二分之 k 派，减去一个六分之派。逗个零，好，这就是我们的 对称中心。那同样道理，我们这个呢，也是一样，那就 x 减去六分之派，我就要等于个二分之派加上一个 k 派， 那我们就解出来， x 就 等于，呃，三分之二派加上一个 k 派，好，所以我们的对称轴呢， x 就 等于三分之二派加上一个 k 派，那对称中心呢？就是 x 减去六分之派，我就要等一个 k 派，那这个好写， x 就 等于 六分之派加上 k 派，但我们这个外值呢，就不是零啊，我们算出来是这个值是零，那你零再减去个一呢？你就等于负一了啊，所以我们对称中心外值就是负一，这我们算对称轴和对称中心的时候的一个思路。 我们再继续，他说让我们判断判断是对准轴还是对准中心，这个时候呢，我们就干什么呢？把他把这个选项给带入，我们判断的时候都是从把选项带入，我们这个呢，是从中间劈开了啊， 就是这六，左边这六个呢，是对应的是这个函数啊，右边这六个呢，是对应的是这个第二个函数，它还是跟前面一样，我们就是左右，左右两边都是劈开的啊，这是两，这是两两个类型的题。 那么第一个，它要验证对称轴，那么把三分之派带入三分之派。一带入之后，我们就发现我这个两个 x 加上三分之派，我们就等于派。我们来看一下我们这个三角函数， 我们的派是在这个位置，显然它是一个往中心的靠拢的，而不是轴，所以它不对。那六分之派，那六分之派二， x 加上 三分之派，那六分之派乘以二就等于六分之二，那就三分之派。三分之派加三分之派就等于三分之二派。显然也不可能，三分之二派更不是什么特殊数。 第三个，那就是我直接成了二了，那就负的六分之五加上三分之派，我就等于负的二分之派。哎，负二分之派是不是我们最值？是的，所以这个是我们的对称轴， 再在下面，下面呢，我们就带成就是派了。派很明显是我们的对称中心嘛，派都零，所以第一个满足负六分之派，负六分之派再加三分之派等于零。好，零都零，零都零，是不是？ 哎，零到六也是我们的对称中心。负十二分之派乘以二，负的六分之派，再加上三分之派，我就等于六分之派。这个是不是这个先来不是？好，我们继续看右边的， 右边也是一样，那三分之二派给它代入三分之二派。我们现在是要算 x 减去六分之派，这就是六分之四，减去六分之派就等于六分之三，也就等于二分之派。 二分之派是不是我们对应轴呀？是的，你看我这个左边这个图像，就这个二分之派是对应轴，所以说他就对了。六分之派减六分之派就等于零， 那么这个零，这个 t 等于零， t 等于 t 呢？我们就是令 t 等于 x 减去六分之派，反正每次只要这里面有塞东西了，我们都是令 t 等于它了啊。 那令 t 等于它的话，你这个 t 等于零了，现在是它零的话，你看零是我们往那个可偏中心嘛，中心对称那一点，所以它不对。十二分之五，那我们的 t 呢？就等于十二分之五减去六十二减去十二分之二，就等于负的十二分之七， 那十二分之七显然也没有啥特点，所以说他也啥都不是。第二个三分之二派，那我们这个 t 呢？就等于三分之二派，减去个六分之派，三分之二就是六分之四，那就等于六分之三，也就等于二分之派。那么 t 的 二分之派，我们发现它这个对称什么呀？对称轴，这是一个轴， 这个数，它不是中心，所以它也不对。六分之派减六分之派，我们 t 呢，就等于零，而零是什么呢？零刚好就对成中心，而我们这个值等于零，他又减了个一，所以我们这个对成中心，其实就是零都六分之派都负一，所以这个是对的啊，这个是个中心， 负三分之派，载入负的三分之派，减去六分之派，就等于负的二分之派，那么 t 就 等于负二分派， t 等于负二分派。关键负二分派是我们的一个对称轴呀，你现在在求中心呀，所以也不对，所以这就是我们这个判断对称轴和对称中心的方法啊， 好，你再往后看，那么下面呢，我们第七个呢，就是我们求直域了，直域的话是我们在这个里面呢，相对来说啊，比较复杂一点点的， 那么求值一的问题呢？我们这里面分几个步骤，第一个步骤，先换元令， t 等于二， x 加上三分之派，求出 t 的 取得范围， 我的 x 等于负的三分之派乘以二就等于负三分之二，再加上三分之派就等于负的三分之派，也就说你要把这个负三之派给我带入，再把三分之派给我带入，那么三分之派乘以二等于三分之派等于派， 这我们第一步 t 的 取得方法就是负的三分之派到派，这是我们的第一步，这个变完之后呢，此时我们这个 y 呢，我们就变成什么呢？我们就变成三倍的 sin t 了， 变成这样了，那我们这个，那我们这个时候呢就可以来看我们的图像了，三倍的 sin t， 我 们 sin 的 t 的 图像呢是长这样的， 他说负三分之派，这是负的二分之派，那么负的三分之派大概就在这个位置，二分之派是九十度，三分之派才六十度啊，所以他说负六十度一直到派派的位置是在这，所以说这个黑色的线就是我们这个函数的图像线， 他先让我们求值域，那么这个最大值是不是就是一，因为我画的这是 y 等于三呀？题啊，最大就是一，这个呢是负的三分之二，三分之二就六十度，三以六十度等于二分之根号三，他现在在下面，所以负的二分之根号三， 那么最终结果我们又成了三倍吗？负二分，之根号三乘以三倍，负的二分之三倍。根号三，一乘以三倍，得到三。哎，这就是我们这个第一个题的直域。 好，第二个题先换元令， t 等于 x 减去六分之派，属于那负派给带进去，负派减六分之派，负的六分之 七派零减去，零减去，它就等于负的六分之派。好，现在我们求出来 t 的 范围了，那么我们这个函数图，函数呢？我们就变成了一个两倍的 sine t 减一。 好，那么 sine t 的 话，我们又回到我们这个最原始的呃，图像了，又是这样的 哦，我们这个是负的多，我们给符号多画一点黑色的线。负六分之七，这是负派，那六分之七就稍微多一点点，就在这个位置，大概负的六分之派，那大概就在这个位置， 所以我们这个最终结果要了它，就要了这一点点。那从这里面我们来看，它的最小值呢？很明显就是负一，因为我画的这个是 sin t 的 图像啊， sin t 它最大值就是一，最小值负一，那么最大值的话，我们就跑到这个了，这个就是负的六分之七。 负六幺七派，其实就比派负派要多了一个三十度，所以说我们这就是对应三三十度的值。三三十度等于二分之一，所以这个值就对应二分之一，那所以说我们就得到三幺七的取值，就是属于二。呃，负一到二分之一， 那三幺七有了，我们这里面是两倍的三幺七啊， 那它就属于那负一乘以二就等于负二，负二再减一就等于负三，那么二分之一乘以二就等于一，一减一就等于零，所以它直域呢就是 负三到零。好，那接下来我们就继续，我们再练，再以再练习一道题目，从这一道题目我们再来回顾一下我们刚刚学的。啊，那我们这个，我们现在学的是 sine 的 图像 向量图像，我们是长这样的，这是三 e t 的 图像。 好，就画到这了，它让我们求单调递增区间，那么求单调递增区间第一件事呢？我们就是什么呢？ 我们就是令 t 就 等于二 x 减去六分之派，那我们这个三 e t 的 单调递增区间呢？是负的二分之派到二分之派，所以它应该等于负的二分之派到二分之派，然后两边各加二 k 派， 那我们现在继续，往后我们给这个 x 给它解出来，那么两个 x 就 小于等于，这是六分之三加一，六分之四，三分之二派加上二 k 派。 这边呢，就是它加上它。呃，六分之三，那就是六分之，那就三分之派了。负的三分之派 二 k 派，我们再除个二，三分之一个派加上一个 k 派，负的那三分之一再除二就等于六了，负的六分之派加上一个 k 派。 好，所以我们这个单调递增区间呢，我们就是 k 派减六分之派 到三分之派加 k 派。啊，这就第一个。 那么第二问呢，就是我们还是整体整体值等于我们的公式，我们对称轴的公式呢，是二分之派加 k 派，当然你写个放之派加 k 派，二分之三派加 k 派也都可以，只不过我们更多的时候我们都是以二分之派加 k 派为主 用这个，所以我们这里面就是这个整体值，等于二分二， x 减去六分之派，我们就等于二分之派加 k 派，那么我们的两个 x， 我 们就等于二分之派，就等于六分之三，再加六分之一，六分之四，那就是三分之二派， 所以我们再把二除掉， x 就 等于三分之派加上一个二分之 k 派。 所以我们这个对称轴呢？对称轴，我们对称轴都是写 x 等于等于什么啊？我们是带要带着 x 的 三分之派加上 k 派。 好，对称中心，对称中心，我们直接在这解了，对称中心的话，我们就多少都是零，这就是二分 x 减去六分之派，我们等于个 k 派，它都零，那么这个 x 呢？ 就等于六分之派加上 k 派。好，那所以我们对准中心除以二，六分之派，除以二，就等于十二分之派加上一个二分之 k 派，那外置呢？就是到零最后一个值域，算值域的话，我们说了，还是先求这个整体值嘛。好，先令 t， 那 t 就 等于个 二， x 减去六分之派，它就属于把 x 负二派代入负二乘以二就等于负的派，再减六分之派，就等于六分之七派。零代入零减去它就等于负的六分之派。好，这是我们的 t， 那 么 t 的 话，我们这个 sin 图像呢， 这个是这样的，右边这边是左边是这样的， 那么三就是负的六分之七，这点呢是负派，所以负六分之七，大家就在这，负的六分之派就在这，所以最小值， 所以我们最小值呢，是在这个位置取到最小值，依旧是负一，最大值是负六分之七。负六分之七就是比派多了个三十度，所以它就是三十度，但三十度我们就等于二分之一，这个我们是减的是三 e t 啊，它前面还有个负二倍呢， 我们这个负二呢，再乘以负二，我们这二分之一再乘以负二呢？它最终结果就变成一个负一了。负一乘以负二呢，最终结果就变成一个二，所以我们的值域就是负一到二 啊，这个是我们的答案，这个是我们的答案。所以这就我们解它的对称轴啊、对称中心啊，然后解它的值域啊等等一些思路啊，都是通过换元来解的好。

在研究三角函数图像时，通常用弧度值来表示角，记作 x， 也就是自变量。用 y 来表示函数值，也就是因变量，所以就可以用 y 等于 sin 来表示正弦函数。 接下来我就教教你用单位圆来画一画 y 等于 sin 函数图像。先在直角坐标系中随便画一个单位圆， 从这个焦点开始，把圆平均分成十二等分，显然这些线所对应的弧度就是零，六分之派，三分之派，二分之派等等等等，一直到回到这里就是二派。 你已经学过，正弦值就对应单位圆中的纵坐标，所以当 x 等于零时，所对应的函数值就是零。显然图像抵过圆点， 当 x 等于六分之派时，所对应的函数值就是这么多，显然这个点一定在函数图像上。当 x 等于三分之派时，所对应的函数值就是这么多，显然这个点也在函数图像上。 像这样，你就把所有的 x 都标在坐标轴上，然后依次找到它们所对应的函数值，描出这些点，再把这些点用光滑的曲线连接起来，就得到了正弦函数在零到二派上的图像了。用同样的方法，你也可以把二派到四派之间的图像画出来。 不难发现，其实就是在重复这段图像。用单位元来看，就是正着多转了一圈，如果反方向多转一圈，就是左边的图像了，其实也是在重复这一段图像，两边依次画下去，你就得到了 y 等于三分之 c 在 r 分 的图像。 从图上可以发现有五个关键的点，零、零二分之派，一派零，二分之，三派负一，还有二派零。以后再画图，你就用这五个点描一描就成图像。画好了，再来看看这个图像有什么性质， 瞪眼就能看出。定义域就是全体实数，周期就是二派。再瞪眼一次，图像夹在这两个性之间，显然值域就是负一到一。现在弄明白了它的性质，出道题考考你，函数 y 等于 sin， 在 三分之派到派上的值域是多少呢？ 要弄清楚在这一段上的值域，看看图像就一目了然了。三分值派到派显然是这一段图像最大值就是一，最小值就是零，所以值域就是零到一。 ok， 搞定。 看来以后让你求正弦函数在某段区间内的值域，你就利用图像找找最值就行。 好了，就讲这么多，总结一下，这个视频我就给你讲了，正弦函数的图像长得非常妩媚，就是一条以二派为周期的波浪线。定义域是全体实数，值域是负一到一。另外，如果要求某段区间的值域，就用图像来找最值。