八下数学第十章函数思维导图

前面我们学习了平面直角坐标系的知识，那同学们能写出这个坐标系图中各点的坐标吗？小芬说，老师，我能， a 点的坐标是二六， b 点的坐标是五四， 低点的坐标是二四，低点的坐标是二一。嗯，小分知识掌握的不错哦！老师最喜欢画轴对称的图案了，所以老师先把坐标系中的四个点连接起来，组成一面小旗。接着分别以 x 轴和 y 轴为对称轴， 画出了关于 x 轴对称和关于 y 轴对称的轴对称图案。那同学们知道这两个图案标的点的坐标又是多少吗？阿道说，我知道 a 的坐标是二负六， b 的坐标是五负四， c 的坐 标是二负四，第一的坐标是二负一。小只说， a 二的坐标是负二六， b 二的坐标是负五四， c 二的坐标是负二四，第二个坐标是负二一。嗯，同学们真棒！ 接下来我们来看看关于 x 轴对称的图案对应点的坐标有什么特点。 同学们看，通过对比能发现， a 点和 a 一点的横坐标相同，纵坐标是相反数，其他对应点的坐标也有这样的特点。那就说明关于 x 轴对称的两个点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数哦！ 再来看看关于歪轴对称的图案对应点的坐标有怎样的特点？列出来后，能发现 a 点和 a 二点 的纵坐标相同，横坐标却是相反数了。对比其他对应点的坐标也能发现这样的特点。那也就说明关于歪轴对称的两个点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数哦！ 同学们看这条鱼，它是由平面直角坐标细内的点零零五四三零五一五负一三零四负三零零， 依次连接得到图案。假如将个点的横坐标保持不变，纵坐标分别成负一，那依次连接这些点，你们觉得会得到怎样的图案呢？ 我们来看看。横坐标保持不变，纵坐标乘负一，那么个点的坐标就变为，零零五负四三零五负一五一 一三零四三零零。与原来的坐标相比，横坐标相同，纵坐标变为相反数了。依次连接起来后得到的图案也是一条鱼。 通过观察能发现，这条鱼与原图案是关于 x 轴对称的图案对称了，那么对应的点也就会对称了，那也就是说，横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称， 假如是将这条鱼的各个点的纵坐标保持不变，横坐标分别成负一，然后连接起来，又会得到怎样的图案呢？ 纵坐标保持不变，横坐标乘负一，那么个点的坐标就变成，零零负四负三零负一负 负一负三零负四负三零零。与原来的坐标相比，纵坐标相同，横坐标变为相反数了。得到的图案也能发现是与原图案关于歪轴对称的 对应的点，也关于歪轴对称，那就说明纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点。关于歪轴对称了。 简单总结一下，一、关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。二、关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。 三、横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称。四、纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点。关于 y 轴对称，观看完整版课程，关注花花老师。

今天我们来分享一次函数与方程啊，综合题，我们来看一下题给了我们一条直线 l 一， 解析式含 m 的 一个参数 交，这个重轴 a 点给了我们直线二啊，也有一个参数， k 交 x 轴点 b， 两条直线啊，两条直线交与焦点是 d。 第一位，让我们求直线焦点 d 的 坐标啊，求 d 点 d 的 坐标，我们只需要连立啊，这两条直线 y 一 y 二，因为他的 x 和 y 既在这条直线上，也在这条直线上，也就是 x 满足他，也满足他， 所以我们只需要连立这两个解析式就行了。但是我们再连立，需要把解析式的 k 求出，把 m 求出，那我们来看，当 x 等于零，我们的 y 呢？ y 轴交点就是 m， 那 在这里， a 点的坐标就是 y 轴交点已经给了我们零到六，所以它是 y 等于负的四分之三， x 加六。那在这里一样的，我们把点 b 的 坐标带入进去，负二到零 啊，负二到零，也就是零等于负二， k 加一，这样的话，我们这个 k 是 等于二分之一，也就 y 等于啊，二分之一， 二分之一， x 加一。好，拿到了两个解式，我们去连立，连立起来，也就是二分之一的 x 加一，等于负的四分之三， x 加六。这样我们去解一下啊， 左右两边同时乘以四加四等于负三， x 加二十四，呃，移过去五， x 等于二十， x 等于四， x 等于四 啊，带入带入任意一个方程啊， y 四等于三， y 等于三，所以我们的点 d 的 坐标就是四等三啊。这第一问我们就解决了， 我们再看第二位，让我们求三角形 a、 b、 d 的 面积，我们观察图像可以发现三角形 a、 b、 d 这个三角形，它有两个小三角形组成， 哎，也就是这个三角形和这个三角形，那我们就可以用割补法的这一部分，底乘以高以这个为底啊， 以 a、 c 为底，高呢，是不是就是啊？ o、 b， 同样呢，这边是 a、 c 为底，高呢，就应该是啊， 高就应该是这一部分。 图是这么画的，高是这一部分 啊。所以大三角形 s 三角形 a、 b、 d 等于小的三角形 a、 c、 b 加上小的三角形 a、 c、 d， 那 我们 点 c 的 坐标，现在没有告诉我们，需要求点 c 的 坐标。点 c 在 直线啊，是直线与 y 轴的交点啊，所以点 c 的 坐标交点 零。逗一，也就这一段是一，这段一呢， a、 c 这段是二分之一的 a， c 乘以， a， c 乘以，实际上就是一个 x b x b 加上二分之一也是 a、 c 乘以 啊。这一段是 x d x x d 啊，加绝对值 a， c， 这是六，这是一，这一段就是五，所以二分之一乘以五，再乘以。哎，这是二负二，二加上二分之一乘以五 啊。点 d 的 坐标我们第一位已经求出来了，横坐标是四，也就乘以四，所以我们这是五加上啊，十应该等于十五， 所以第二问我们也解决了，然后跟第三问根据图像直接写出， y 一 大于 y 二是取之范围。那 y 一 大于 y 二的时候，是不是 y 一 始终在直线 y 二的上面上半部分啊？在图像当中，我们观察到 y 一 在 y 二的上半部分，一定是在也就是地点的左侧，所有的 y 一 啊，都在 y 二的上部，也就是当 x， 当 x 小于四小于四， x 小 于四。好，希望这个题对你有帮助。

八下数学最难的一次函数十五大题型全部吃透，逆袭班级前三数形结合一、面积问题题型一，坐标与线段的互换题型二，求纵坐标的绝对值二、平行转换 三等线段问题四、全等与一次函数 十、依次函数与面积问题完整版评论领取。

八下数学最难的一次函数，八大题型全部吃透，稳进班级前三。一次函数的应用，八大提醒提醒一，分配方案问题提醒二，最大利润提醒三，行程 提醒四，工程问题提醒五，调用问题体积问题。完整电子版分享！

这是一道一次函数啊，求解析式的一道题，题目很简单，对于一次函数， y 等于 k， x 加 b， 告诉我们，当 x 在 四和一范围时，那么 y 在 三和六， 则让我们求这个函数的解析式。那么我们从函数的解析式我们知道啊， 只要有两点，我们就可以两点坐标，我们就可以解除解析式，那现在他给的是我们两个范围，那这样的在平面直角坐标系里也就相当于什么呢？ 我们 x 说在这这个区间内啊，在这个区间内， y 呢？ y 可能在这个区间内啊，所以我们得到的在图像上，也就是啊，这么一个区间 啊，我们的函数图像这个题，我们要结合图像， 也就是我们解析式，有可能我们的这个一次函数的图像，有可能是这样，也有可能呢啊，也有可能呢，是这样， 也就是说我们要分类讨论一下，也就是当我们的 k， 因为 k 决定了是向上还是向下，当 k 大 于零啊， k 大 于零时，则有我们是谁呢？ 可以大于零，图像是这样的，向上的，也就是 x 越大， y 越大， y 会随着 x 的 啊增大而增大，那我们直接选用啊，说 x 最小的时候， y 也就最小， x 最大的时候， y 也就最大， 对吧？也就是 x 等于一， y 呢，就等于负三， x 等于四， y 呢就等于六，这样我们就拿到了两个两点的坐标，把这两点的坐标带到我们解析式啊，就会得到啊，三 三三等于 k 加 b， 然后六六等于四， k 加 b 啊，这样我们啊， 做一下结，也就能得到。我们一二减一，二四减一，四，也就三， k 等于三， k 呢，就等于一， k 等于一呢，我们就拿到了 b 等于二 啊。所以我们的解式， y 等于 x 加二，这就是我们的第一种情况， y 等于 x 加二， 好，当我们的这个 k 呢？那么另一种情况，也就是当我们的这个，当 k 小 于零，小于零，我们的图像呢，是这么走的啊， x 随着 x 的 增加， y 的 值越来越小，也就是 当 x 啊，则 x 等于一时，我们的 y 呢，等于六，也就是 x 小， y 是 最大的， x 越大呢， x 等于四的时候呢？ y 它等于三，这样同样的我们会得到啊。代入到解析式，六等于 k 加 b， 三等于四，四 k 加 b， 同样的我们再去做一些几，也就是三， k 等于负三就是 k 呢，等于负一， k 等于负一，呃，这个 b 呢，就等于七，这样我们就得到了 第二个解，意思 y 等于啊，负 x 加七。 好，希望这个题对你有帮助。

大家晚上好，在直播的最后这个时间里呢，给大家小介绍我们今天讲解的内容，今天讲解的是第十九章一次函数，在这里我们会学到的有函数的定义，还有一次函数的他那个定义解释是还有我们的那个选择方案。 好，带着大家的话就是熟悉的一段我们这个书本的例题， 书本讲解完以后呢，就到我们示威导图的讲解。好，有我们这是函数的话，他那些定义的意义，意义，还有函数图像啊，他有个步骤列表，还有描点，还有连线， 还有我们的几个方法，有列表法，解释四法，还有我们的图上法，各个函数那些图上的他的 记忆图，还有我们的那个函数与一次一元，一次方程跟那个不等式的它的关系来解决。 四位导图讲解完毕以后呢，就到我们基础过关时时期的训练。好，在这里的话我们主要是 想想了一下选择题，这里的话有第七题的话，这个比较有意思，在这里的话我们要去跨这个图啊，然后就是根据这个含义的话，先把椅子的图上跨出来，然后再去找我们的那个条件。 还有第八题这里的话，他他会给一个数据的话，我们去找一下其实有四种的那个情况，这里我们这是挑选的话，其中只有图上只有一种是符合的。好，今天的讲解就到这里，感谢大家的收听。

八下数学最难的一次函数十六大题型，寒假吃透逆袭班级前三！八下数学寒假预习一次函数十六大必考点及例题。考点一，一次函数的概念。 考点二，判断一次函数的图像。考点三，根据一次函数的性质求参数。考点五，确定一次函数经过的象限 考点七，根据一次函数的性质比较函数数值大小。考点八，根据一次函数的性质比较自变量大小。考点十一、一次函数的平移完整版分享！

嘿，大家好，我们今天来学习第二十三章关于一次函数的小节。这一节课的内容我们包括对于一次函数知识的复习，其中包括五道复习巩固，然后四道综合应用以及一道拓展探索。 讲完这节题之后咱们搞定。首先咱们来看这一单元的知识点有什么。第一个是我们从实际问题出发，引入了数学模型。引入了什么数学模型呢？就是咱们一次函数的内容， y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零。 通过学习依次函数的图像和性质来研究数形结合，而我们依次函数通过计算求解，又可以和依次函数问题的解建立联系，通过依次函数问题的解，进而推得我们求解实际问题的答案。 接下来呢，往后看一看，回顾与思考。在本章中啊，我们从具体的问题出发，先从这个运动变化规律的特征，将它抽象到我们一次函数的概念，给出了表示方法， 用图像数形结合继续研究一次函数的性质，最后用一次函数分析和解决了一些实际的问题。这一块我们所画横线的具体内容我们一会在做题的过程中就可以看到了啊。 我们来看依次函数 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零是一类最基本的函数，它表示的是一个变量随着另一个变量均匀变化的规律，而这个叫做正比例。函数 y 等于 k， x， 其中 k 不 等于零。是依次函数中比较特殊的一个。 一次函数的图像是一条直线，利用图像可以直观的分析函数 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零的增减性。通过观察我们就可以发现，在 k 大 于零的时候，图像是从左往右逐渐上升的， 所对应的自变量 x 和 y 的 变化就是 y 随着 x 的 增大而增大，当 k 小 于零的时候，图像从左到右就是下降的了。 函数之外随自变量 x 的 增大而减小是这个意思。而我们在这里又说了运用图像研究函数的方法，体现了我们数形结合的思想。 好，接下来我们来带着这些问题复习一下本章的全部内容。第一个长什么样的函数是一次函数？刚才我们已经说了是 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 和 b 都为常数，就是我们已经知道的数，这个 k 还不等于零。满足这样的式子，它是一次函数。 那什么样的函数是正比例函数呢？首先我们知道正比例函数是比较特殊的一次函数，也就是满足 y 等于 k， x， 其中 k 不 等于零，还 k 还为常数，满足这样的函数，它才叫正比例函数了。其实就是对于这个一次函数来说，把 b 等于零就可以推得是正比例函数了。 然后往后看正比例函数的图像有什么特点。首先我们知道正比例函数的图像就是它是一条经过原点的直线， 这个一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像是什么样子的？怎样画一次函数的图像？首先我先解决后面这个问题，这个问题比较好解决，怎样画一次函数的图像啊？我们在这个一次函数的解析式中找两个点， 然后把这两个点连接之后再连线就可以了。在连线的过程中啊，要注意自变量 x 的 取值范围，好在解决上面的这个就是 y 等于 k， x 加 b， 它的图像是什么样的性质？咱们先说，如果说 k 大 于零的话，那这个函数图像是 从左往右是上升的，也就是 y 随 x 的 增大而增大，当 k 小 于零的时候，从左往右是下降的，也就是说 y 随 x 的 减小而减小， 这是我们 k 对 于这个函数图像的影响。而这个 b 对 于函数图像的影响是什么呢？如果说这个 b 大 于零，那么函数向上平移，如果说 b 小 于零，那这个函数就是往下平移，这是我们这个 k 和 b 对 于这个函数图像的影响啊。第三节， 常数 k 对 于这个函数图像有什么影响呢？其实就是我们刚才说的这一串，写到这里回答这个问题也可以就是 k 大 于零的时候，这个函数是升的， k 小 于零的时候，这个函数是减的。然后我们看第四个， 由一个不平行于坐标轴的已知直线，要找出它对应一次函数的这个解析式。如果能怎么求，由此体会到形和数的变化啊。我们把过程写到这里，这里会比较宽敞一点啊。 第一步，我们既然说知道已知直线，找出它所对应的一次函数解析式，不就让我们求解析式吗？ 要求解析式，我们肯定要用待定系数法，先把函数解析式设出来。函数解析式长啥样呢？因为说了是一次函数嘛，咱们就把一次函数的通式写出来， y 等于 k， x 加 b， 其中呢 k 不 等于零。第二步，我们要求这个一次函数解析式，也就是要求这个解析式中的 k 和 b， 那么怎么求 k 和 b 呢？把我们已知的两个点代入，代入，我们就会得到关于 k 和 b 的 二元一次方程组啊。得到了我们这个方程组之后，下一步就是解这个方程组，然后就可以得到具体的 k 和 b 的 值了。 第四步，我们要求这个函数解析式，我们就可以根据 k 和 b， 我 们刚才已经算出来了， 根据 k 和 b 的 取值，带入我们已经设好的和所设的这个函数解析式，就可以写出这个一次函数的解析式了。 写出结论这么说就可以啊，第五题和第六题我们都可以在题目中进行看，第五题我们重点看这个。二十三章第三节，看我的视频也好，看书也好，这是他们之间的关系， 指一次函数和一元一次方程在什么情况下是可以相互转化的？一次函数与一元一次不等式在什么图像上可以发现他们的关系？ 一次函数与二元一次方程组在图像中就是他们的焦点，又有什么新的关系啊？可以看二十三章第三节这一块内容。 然后第六题举例说明利用一次函数解决实际问题的过程。我们后面的所有题都在为这道题举例，在这里呢，我着重提出一个点，就是尤其是需要做到从实际问题将它抽象到一次函数的这个能力， 是需要通过不间断的做题和对知识的感悟去理解的，因为好多时候你可能看不出来这个题中啊，什么是函数，什么是自变量，什么是常量，什么是变量，需要你自己去体会，去感悟啊， 这是我们的这一单元的知识概念方面的内容，我们来看一下夫妻巩固，找一找练习题怎么做啊？王芳现有一千五百块钱的存款，他计划呀，今年以后三年里，每月都存五十块钱， 说存款总金额 y 随时间 x 的 变化而变化，写出 y。 关于 x 的 函数解析式，我们可以找到这道题中的函数和自变量是什么？ y 是 函数时间 x， 这个是自变量，我们就得想办法用 x 来表示 y 就 可以了。 怎么表示呢？原来有一千五百块钱，每个月存多少存五十，存了多少个月呀？ x 个月加上五十 x 就 可以了啊。注意这个 x 他 不说了吗？今后三年每月， 所以说 x 肯定是大于等于零的，还得小于等于一年是十二个月，三年一共就是三十六个月， 所以说 x 大 于等于零，小于等于三十六，这是他今后三年的存款总金额随着时间变化的函数解析式啊。接下来我们来看第二题，判断下面各个点是否在这个直线 y 等于二， x 加六之上，并且求出这个直线与坐标轴的交点坐标。 首先我们先来看看这几个点是否在这个直线之上，如果这个点在这个直线之上，那么这个点的 x 和 y 带进去一定满足于这个函数解析式。 所以说第一个我们就是把 x 等于负五带进去，看看他是不是等于他锁定了 y 负四二乘负五等于负十，加上六等于负四，没有问题啊，对，他在这个直线之上。 第二个呢，就把 x 等于负七带进去，二乘以负七，再加上六，二乘负七是负十四再加上六，那就是负八，我们发现负八和这个二十不相等，所以说他不在这个直线之上。 第三个，把 x 等于负二分之七，带进去等于二乘以负的二分之七，再加上六， 二乘负的二分之七呢，就是负七，再加上六等于负一。负一和我们的这个一不相等，所以说它不在这个直线之上。最后一个 y 等于二乘以三分之二再加六， 这个二乘三分之二，它等于三分之四，直接带六就可以了，三分之四可以写成一又三分之一，加六放一块，那就是七又三分之一了，没有问题，和这个刚好相等。 所以说第四个这个点在这个直线之上。找好了这几个点是否在这个直线之上，我们接下来得求这条直线与坐标轴的交点坐标。我们知道坐标轴有两个，一个是 x 轴，一个是 y 轴。 在 x 轴上，所有点的坐标 y 都等于零，所以说把 y 等于零，带入到我们的这个解析式之中。所以说二 x 等于负六， x 等于负三。 这是我们的第一题，就是与 x 轴的交警坐标横坐标是负三，纵坐标是零，所以说交警坐标就是负三。零看一看 y 轴， 如果说这个点在 y 轴，那么它的所有 x 横坐标都为零，而这个 x 等于零，带入到这个直线里面， y 等于六，所以说它的交警坐标是零六。这样我们就写完了第二题。 接下来我们来看一下第三题，问这个直线经过第几项线？我们刚才说了这个直线呢，是 y 等于 k， x 加 b， 其中这个 k 影响这个函数是上升的还是下降的？我们发现这个 k 等于负的三分之二，它是下降的。这个 b 影响这个函数是向上平移还是向下平移？首先我们看这个 b 是 二分之一代令，所以说是向上平移， 向上平移还下降，所以说长这个样呗，他过第几象限？一二四过这三个象限。我们可以观察到 y 随 x 增大而减小。同样的道理，这个 k 是 大于零的， b 呢，等于负二，它是小于零的，这不是 b 吗？ 所以说这个函数它就是一个上涨趋势，但是向下平移的一个意思，函数向下平移长这事上涨趋势吗？它此时过的是一三四， y 随 x 增大而增大，这是我们的第三题。接下来我们来看第四题啊， 根据下面的条件，分别确定函数 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。首先第一个啊，我们说 y 与 x 成正比例，那么它满足的解析式一定是 y 等于 k， x 还过这个点，所以说把五到六带入， 带入到哪个式子呢？ y 等于 k， x 之中，我们只要把 k 求出来就行了。 y 带六， x 带五六等于五 k， 那 k 就 等于五分之六， 所以说呢， y 就 等于五分之六 x， 这是我们的第一问，这个比较简单，看一下，打第二问也不难说，这条直线呢，经过这两个点，那就把这两个点带进去去求解这个二元一次方程组就可以了。 第一个是三六， x 带三， y 带六六等于三， k 加 b。 后面呢， x 和 x 带二分之一， y 等于负二分之一，负二分之一等于二分之一 k， 再加上 b， 求解就行了。这个怎么求解啊？ 其实我们在草稿纸上写一下吧，这是二式，我们试着拿这个一式减二式来试一试。这是草稿纸一式减二式。那等式的左面就是六减去负的二分之一，等式的右面就是三 k 加 b 减去括号二分之一 k 加 b。 处理一下啊，六减去负二分之一，那就是六加二分之一，六加二分之一，那其中这个六我们可以写上二分之十二，通算吗？结束之后呢？整体就应该等于二分之十三。那看看等式的右边啊， 三 k 加上 b 减去二分之一 k， 因为这加了括号，所以说就是减 b， 减 b 加 b 就 没了。三 k 减二分之一 k， 三 k 可以 写成二分之六 k， 二分之六 k 减二分之一 k， 那 就是二分之五 k。 二分之五 k， 它等于二分之十三，那就好说了，等式两边同时乘二呗，十三等于五 k， 那 k 呢？等于五分之十三。搞定，我们再把 k 等于五分之十三带入到任何一个式子里。像这里我们就接着写过程啊， 就可以直接得到这个五 k 等于十三， k 等于五分之十三。接下来把 k 等于五分之十三带入到一个式子里就行了。 我们像假设我们带入到一之中看一看啊，那六呢？就等于三乘以五分之十三，加上 b， 那 六等于三乘五分之十三，那可就是五分之三十九加 b， 那 b 就 一定等于六。六是五分之三十，减去五分之三十九，那么 b 一定等于负的五分之九。 好，我们此时就既找到了这个 k 的 值是五分之十三，又找到了 b 的 值是负的五分之九，都带进去就可以了， y 不 等于 k， x 加 b 吗？ k 带五分之十三， x 加 b 就是 减去五分之九，这是我们的函数解析式啊。 接下来我们来看第五题，这个就是一次函数与不等式的关系了。首先第一问， y 大 于零， y 大 于零，那好说了，因为 y 大 于零，所以说我们就可以把三 x 减五，我们就可以把三 x 减十五替换成 y， y 大 于零，三 x 减五一定是大于零的，所以说三 x 一定大于十五， x 一定大于五。 后面这个 y 小 于零呢？那就是三 x 减十五小于零，三 x 小 于十五， x 小 于五，通过解不等式就可以写出来了啊， 或者说也可以通过 y 等于三 x 减十五的图像来去解决。我们可以找两个点，分别是 x 取零， y 取负十五，还有就是 x 如果取五的话， y 就 等于零，把这两个点带进去， 一个是五零啊，大概是这个位置，还有一个是零负十五，大概在这个位置，一连线就可以了啊，就可以找到 y 什么时候大于零啊？已知这个点是五，那肯定是 x 比五大的时候它就大于零啊， 那什么时候小于零呢？那还是啊，在五之下就是小于零的了，通过图像也可以解决这个问题啊。 我们来看一下综合运用第六题啊，说有一个快递的收费标准，说不超过一千克的物体啊， 咱们付十三块钱，超出一千克之后，每增加一千克要两块钱。找出记出 x 千克的物体的快递费为外元写 y。 关于 x 的 函数解析式， 我们就可以发现，此时啊自变量是 x， 函数值是 y， 用 x 来表示 y 是 我们现在要做的。我们发现此时 x 是 什么呀？为大于一的整数，所以说他不可能花十三块钱，因为 x 永远大于一， 总会有超过一千克的部分。那么我先怎么写啊？如果你超过一千克的部分，我肯定分成两部分，一部分是不超过一千克的部分，还有一部分是超出一千克的部分。不超出一千克的部分要花多少钱？十三块钱呢？那超出一千克的部分有多多沉呢？ 总共是 x 千克，减去最开始的一千克，这就是超出一千克的部分。这么多千克的数量，一千克要加多少钱？快递费要加两块，所以说前面再乘个二就行了。 接下来呢，我们化简就行了，十三加上二， x 减二等于二 x 加上十一。注意 x 大 于一，且为整数。这样我们就把这个外关于 x 的 函数解析式搞定了。 接下来是第七题，我们得通过这个图来解决这些问题。我们观察一下这个图啊，这个图的横坐标是时间 t， 纵坐标是路程 y， 行驶路程 y 和时间 t 之间的关系如图所示。根据图像来回答下列问题啊，一个 a b 两地之间的路程是什么？我们可以看啊，假骑自行车，以骑摩托车，相同路线都是起始点是 a 点是 b 点， 那结束点不就是他俩停的这个位置吗？其实也都是一样的， a 点到最后结束的 b 点，他们之间的路程就是这么多，也就是八十千米。 出发较早的是谁啊？当然是甲了，甲在时间为零的时候他就出发了，比乙早多少个小时？零到三小时之间就早三个小时。到达较早的是谁？谁先停的呀？是乙先停的，乙在五小时，乙在五小时的时候就停了， 那比甲停的时候早几个小时？八减五，早三个小时。到达较早的是乙，我们就得算算甲乙的速度了。速度我们就取平均速度，用总路程除以总时间就行了。 甲的速度，甲一共跑了八十千米，用时多长时间？零到八小时之间，用了八个小时， 所以说他的速度就是十千米每小时，你的速度呢？他也是走了八十千米，那注意 他走了多长时间？从三小时到五小时就一小段，这一小段是几个小时？是两个小时，因为五减三等于二，八十除以二等于四十千米每小时，这个就是你的速度啊。 问了乙在距离 a、 d 多少千米处追上了甲，此时甲行驶了多少个小时？也就是说问这个点的横动坐标，既然说问这个点的横动坐标，我们就跑不了。将实际问题转化为我们的一次函数问题， 只要我们把甲乙两个函数的这个一次函数给他列出来，找到他们之间的关系就行了。 那求啥射啥，我们先射出来啊，射乙出发 x 小 时之后，一般来说我们都射自变量，自变量好算追上甲，甲的行驶的时间是多少，因为啊，说了乙出发，也就是说从乙从这个点出发追上甲到这个位置，它是经过了 x 小 时， 那甲的行驶时间就得加上甲提前跑的这三个小时，所以说甲的行驶时间应该是 x 加三小时。继续说，我们把甲的行驶时间设出来了，还可以把甲的路程设出来，因为我们也得求甲行驶了多少个小时，通过小时推路程也可以啊。 假路程为十乘以 x 加三千米，十不就是它的速度吗？速度乘以时间等于路程，那乙的路程呢？这个好说，因为乙的速度是四十千米每小时， 我设的是出发 x 小 时之后追上甲，所以说他此时跑的路程啊，就是速度四十乘以 x 千米。我们来列式说了甲此时和乙行驶的路程相等，我们就可以通过路程相等来列式的。甲的路程是十倍的， x 加三， 乙的路程是多少？是四十 x， 找到它们相等的 x 就 行了解方程，十 x 加上三十等于四十 x， 把十 x 减到这面去，就变成三十 x 等于三十，那 x 肯定就等于一了呀。我就可以知道，乙出发一小时之后就追上了甲， 那此时乙的路程是多少？因为就走了一个小时，所以说乙的路程是四十乘以一等于四十千米，乙就跑了四十千米就追上了甲了，此时甲行驶了多长时间呢？也就是说在三小时的基础上，再加了这个一小时就可以了，等于四小时搞定。这是我们的第七题， 接下来我们来看第八题。一个有进水管和出水管的一个容器，刚开始的四分钟啊，咱们只进不出，随后的八分钟之内，既进水又出水。我们知道每分钟的进水量和出水量是两个常数，也就是说进水量和出水量是不变的。 容器中的水量 y 和时间 x 的 关系如图所示。在 x 大 于等于零，小于等于四的时候，咱们要求这个函数解析式，这个好求啊， 我们还是发现它是一个一次函数，找到两个点就行了，它横过零零，还有四到二十这两个点，发现它还是一个正比例函数，因为过原点呢，不需要平移。设出来， y 等于 k， x， 其中的 k 不 等于零， 那好说了，零零不用带，只带四二十就行了。二十等于 k， x 二十等于零，零不用带，因为带了也没有意义， 两边都乘零，那不就是零等于零了吗？我们只需要带这个四和二十就行了。二十等于四 k， 那 么 k 呢？一定等于五，那 y 等于五 x， 其中注意它自变量 x 有 取值范围， 就是 x 大 于等于零，小于等于四，这是我们的第一问，第二问，当 x 大 于四小于等于十二的时候，求 y 关于 x 的 解析式，那还是过两个点呢，那肯定过四到二十 还过，等于十二的时候，那就是十二到三十。把函数解析式设出来， y 等于 k， x 加 b， 其中的 k 不 等于零。为了和上面保持区分呢，所以此时我们 k 取 k 一 就可以了啊。然后带入这两个点求解方程就行了。首先我们带四二十，二十等于四倍的 k 一 加上 b， 带第二个三十等于十二， k 一 加上 b 一 十二是。然后在这里减方程就可以了啊，咱们拿二式减一式就可以了。 等式的左边呢，就是三十减二十等于十，等式的右边是十二 k 一 减去四 k 一， 那还剩下八 k 一， b 和 b 就 减完了。算出来 k 等于八分之十还没完，可以约分上下约个二等于四分之五， 那反过来把 k 等于四分之五，再带到任何一个式子里，像我们在这写一下过程啊， 等 k 一 等于四分之五，将 k 一 等于四分之五带入。假设我们带入到一中啊，就可以发现，二十等于四乘以四分之五，加上 b 四乘四分之五等于五，那 b 一定就等于十五了。那写出解是 y 等于四小于等于十二就可以了。 第三，问问每分钟进出水各多少升，我们可以知道进水多少升，我可以找到 把这块涂一下，进水多少升。好说呀，因为我们可以发现前四分钟他不只进水吗？四分钟进了多少升的水啊？二十升的水，所以说我直接就可以标出来水量，每分钟就是拿二十除以四就行了， 等于五升，每分钟他就进五升。麻烦的是这一块，这一块既有进水又出水，所以说此时才不一样，咱们就把这个出水射出来， 射每分钟出水 a 升。射出来之后，我们就可以找到一些事情了，咱们只发现四到十二之间呢，他们一共是八分钟， 八分钟进了多少升水，减去出去的多少升水，就等于我这块差了多少升水，这是我们的关系，经过这个关系我们再来做题就可以了。 我们知道五，我们知道四到十二，一共是八分钟，八分钟进了多少升水呢？每分钟是五升水，八乘五吗？ 这是进水量减去出水量还是八分钟每分钟出多少升水呢？出 a 升水减去八 a 等于多少？三十减二十，这是他们变化的水量。 那五乘八等于四十，减去八 a 就 等于三十，那就是十八， a 呢，就等于三十，可以算出来， a 呢等于八分之三十，还可以约分， 那么 a 等于上下同时约二吧，约二就是四分之十五， a 等于四分之十五，应该就搞定了。每分钟出水是四分之十五。升号是我们的第九题。第九题可能比较麻烦，仔细读一读啊。 有甲乙两家体育用品商店，用同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球，其中乒乓球拍我们每副定价三十块钱， 乒乓球每盒是五块钱。现在两家店开展不一样的促销活动，在假店呢，是买一副球拍赠一盒乒乓球，以店甭管你买啥，咱们都打九折。现在我说了一个班呢，需要买四副球拍，乒乓球呢，不知道，就说他不少于四盒就行了。 看一下第一个啊，一个班要买 x 和乒乓球，他不说不知道多少盒吗？我先给他设出来，在甲店付款的金额为外甲元，在乙店付款的金额为外乙元。我们得写出外甲和外乙与自变量乒乓球和数 x 之间的关系就可以了。 想一想怎么做啊？先写写外甲吧，他是买一副球拍赠一盒乒乓球，已知我们就买了四副球拍，所以说他买球拍的价格就是四，就是三十乘三，就是三十乘四。因为买了四副球拍嘛，一副球拍是三十， 买了多少个乒乓球呢？是 x 盒， x 乘以五，这是他买兵乓球的钱， 但是他说了我便宜啊，我买一个球拍赠一盒兵乓球。所以说我实际购买的兵乓球的数量并不是 x， 而是 x 减四，因为我前四盒兵乓球他是不要钱的，是买那个是买球拍赠的， 把这个一次函数化简就行了，三十乘四是一百二十，加上五 x 减去四五，二十 化简完之后，我们会发现它等于五 x 加上一百啊，此时 x 肯定是大于等于四的，我们自变量有取之范围，因为他说了乒乓球的和数不少于四，和吗？把外移写出来， 万一可能比较好写啊。我们知道买了四副兵乓球趴，那就是三十乘四，不管买兵乓球趴还是兵乓球，都是打九折，再乘以零点九，这是买趴的钱，再加上买球的钱就是五 x 乘以零点九， 三十乘四乘零点九。这个可以，咱们先算三十乘零点九，那就是三乘九，三九二十七，二十七乘四是一百零八，再算前面五乘零点九是四点五，四点五 x 加上一百零八 x 大 于等于四，这样我们就把第一问搞定了。 买这个班分别在甲店和乙店买的兵乓球和乒乓球拍，还有付款金额，他们之间的关系我们都写好了。 接下来我们来看第二个购买几盒乒乓球时，在两家商店的付款金额一样，如果付款金额一样，那肯定就是外甲等于外乙啊。 算一算，外甲是五 x 加上一百，外乙是四点五 x 加上一百零八，五 x 减四点五 x 还剩零点五 x 等于一百零八减一百吗？ 是八 x 就 等于等式，两边同时乘二就行了，因为二乘零点五等于一，这样就把 x 前面系数变成一了，就可以省略不写 八乘二等于十六。所以说我们可以发现啊，在买十六盒兵乓球的时候，两家商店的付款金额是一样的，如何根据购买兵乓球的数量选择在哪家商店购买？那咱们就算算呗。 如果外甲大于外乙，也就是说外乙便宜的时候，代入外甲是五 x 加一百， 外移呢是四点五 x 加上一百零八，把这个不等式解出来就行了，还是四点还是五 x 减四点五 x 等于零点五 x 等于一百零八，减一百等于八，但是中间的符号变成大于号了啊， x 大 于十六，所以说在大于十六盒的时候，咱们在乙店买，因为乙店买便宜，那么外甲小于外乙的时候，咱们还是列一样的式子，这时就是小于了。小于四点五 x 加上一百零八， 还是解这个方程解完之后呢？是 x 小 于十六，但是我们还要注意啊， x 有 自己的取值范围，是 x 大 于等于四，小于十六的时候， 咱们去甲电购买，甲电便宜，这样我们就搞定了第三题啊，接下来我们来看第十题，这是托管探索，这道题难度会大一点，比较复杂，说了 a 城啊有二百吨肥料，这都标好了， b 城呢有三百吨肥料，现在咱们得把 ab 城的肥料分别往 c、 d 城来运 来看啊， a 城往 c、 d 两箱运肥料的费用分别是二十元一吨和五十元一吨。 也就是说 a 城往 c 城运，它是二十元每吨，往这个 d 城运是二十五元每吨，这么走是二十五元每吨。 b 城往 c 乡和 d 乡运， 分别是十五块钱一吨和二十四块钱一吨。现在说了 c 箱需要二百四十吨， d 箱需要二百六十吨，问怎样调运可以使总运费最少？我们可以看这个表就行了，我们可以看这个图就行了，把题目中的信息都标到这里了。 那想想我们可以发现，这道题其实现在非常的麻烦，有四种方式可以进行运输，要肥料的地方还是两个地儿， 所以说很复杂，我们得找他们的关系。有没有一种方式，我可以只射出一个量，通过这一个量把这四个量都表示出来就好做了。其实是可以的，因为我们需要的总肥料数，每个地方需要的总肥料数是固定的。 如果像假设我们 d 箱有二百六十吨肥料， a 箱运了一部分，那剩下一部分一定是 b 箱给它运的，因为 c， 因为 d 箱只有 a 城和 b 城这俩地才可以给它运肥料。我们就先设一个呗， 设 a 往 c 运的肥料为 x 吨，如果说 a 城往 c 城运的肥料为 x 吨，那么 a 城往 d 城 运的肥料一定就是二百减 x 吨，因为我 a 城总共就是二百吨肥料，往 c 城运了 x 吨，剩下的我肯定就得往 d 城运，为什么呢？因为我 a 城什么都不剩啊。我们发现 a 城 b 城有的肥料不就是二百吨和三百吨吗？摞一块是五百吨， c 箱和 d 箱需要的是二百六十吨和二百四十吨，也需要五百吨。也就是说把 a 城和 b 城所有的肥料都往 c 箱和 d 箱去运。 这样关于 a 城运的肥料我们就说出来了，那再看看 b 城吧， b 城如果往 c 箱，咱们运多少？ c 箱我就要二百四十吨， a 乘已经给了 x 吨了，那 b 乘一定就是运的是二百四十减 x 吨。你看 c 箱我只能有 a 乘和 b 乘两个地往那运，其中 a 乘已经占了 x 吨了，那剩下的一定全是 b 乘运的， 那么反之， b 往 d 运是多少？其实就是 b 总共 d 总共需要二百六十吨，减去我们 a 乘运的二百减 x 就 可以了。这个咱们得略微化解一下啊， 二百六十减二百加 x， 那 就等于六十加上 x， 所以 说 b 往 d 运应该是六十加上 x， 这样我们就都射出来了， 问我们总运费最少，那总运费我们设为外呗，我用红笔标出来啊， a 往 c 运，咱们是二十块钱每吨， a 往 d 运是二十五块钱每吨， b 往 c 运是十五块钱一吨， d 往 d 运是二十四元一吨。往后看啊， 把总运费设出来，总运费不就是这四种方式运费的和吗？ a 往 c 运，那就是二十元一吨运了 x 吨， a 往 d 运，那就是二十五元一吨，运了二百减 x 吨， 再继续 b 往 c 约，就是十五乘以二百四十减 x， 再加上最后一个二十四乘以六十，加上 x， 慢慢计算就行了。第一个二十 x 加上二十五乘二百等于五千减去二十五 x， 再加上十五乘以二百四十，十五乘以二百四十。我想想啊， 该怎么算？等于三千六减去十五 x， 再加上二十四乘六十等于幺四四零，再加上二十四 x。 行，咱们合并同类项， 第一个是个二十四 x， 后面就是减二十五，那就是负五 x， 负五 x 再减十五 x， 那就是负二十 x， 再加上二十四 x， 还剩下四 x， 然后五千加三千六等于八千六，八千六，再加上一千四，八千六加一千四刚好等于一万一万，后面这还有个四十呢，再加上一万零四十，这是我们总运费， 我们还得知道啊，我们运的 x 也有它的取值范围，因为我不可能运负数啊。所以说我就还得再解一下， x 肯定是大于等于零的，这个 x 大 于等于零，这个二百减 x 还得大于零， 这个二百减 x 还得大于等于零，这个二百四十减 x 也得大于等于零。最后一个是六十，加上 x 也得大于等于零，还得先把这个自变量 x 的 取值范围算出来。第一个可以推出来， x 大 于等于零，这个没啥问题。第二可以推出来， x 是 小于等于二百的。 第三个可以推出来， x 小 于等于二百四十。最后一个我们可以推出来， x 是 大于等于负六十，然后找到它们相交的一个区间，像第一个 x 大 于等于零，我们画一个竖轴，像这个点是零， x 大 于等于零，不就是这一块吗？ 第二个 x 小 于等于二百，是这一块。下一个。第三个是 x 小 于等于二百四十这一块。最后一个是 x 大 于等于负六十。 发现这四个都相交的部分是哪一部分？就是这一部分中间的这一部分。所以说最后我们就可以推出来自变量 x 的 取值范围，就是 x 小 于等于二百大于等于零。大家也可以用这种竖轴的方式来去解决这种很多个 x 的 范围的问题啊。 找到 x 的 范围是 x 大 于等于零，小于等于二百，我们还可以发现这个函数长这个样，其中的 k， 其中 k 它等于四 四，是大于零的，所以说此时 y 随 x 增大而增大。搞定，如果 y 随 x 增大而增大，那么 x 在 这个范围内肯定是零最小，二百最大。咱们取总运费最小的时候， 那就是 x 等于零的时候， y 取最小值，那此时 y 就 等于四乘零，加上幺零零四零，不就是把 x 等于零带到这个函数式里吗？ 那四乘零等于零，那就等于幺幺零四零。所以说此时运费最小的钱就是一万零四十元。当然这道题没有问啊，只是说怎样调运可以使运费最少。那怎样调运呢？我们就把这个 x 等于零带入到上面的市子里。 我直接把宗上写到这啊，因为后面可能没地写了， a 往 c 一 吨都不运， a 往 d 运多少啊？ 二百减零就运二百吨， b 往 c 运多少吨？运二百四十减零，运二百四十吨， b 往 d 运，运六十加 x， x 等于零嘛， b 往 d 运六十吨，只有这么运，运费才是最少的啊。 这样我们就把这道题解决完了。后面是综合实践，音乐与数学，这个还是老样子啊，大家可以看看书，去找一下他们之间蕴藏的一些知识。这一章我们就说到这里，后面内容是这一块的内容叫做数据的分析， 会在难度上略微比我们之前学的函数和一次函数简单一点。好，咱们今天的课就到此结束了，关于一次函数也就讲到这里，下一个视频咱们来讲一下第二十四章有关数据分析的内容，大家再见。

今天我们来分享一个一次函数动点最值的一道题，我们来读一下题，如图，直线啊，给了我们解析式，与 x y 轴分别交于 a 点和 b 点啊，这两个交点，这个直线 c 点 d 啊，点 c 点 d 分 别为线段啊，中点，中 点，点 p 是 o a 上一动点，也就是 p 是 动点啊， p 在 这个 o a 上是运动的， 那么当 p c 加 p d 的 最小值时啊， p p c 加 p d， 也就这条线段和这条线段 最小值时，让我们求出这个点 p 的 坐标，那首先我们就要找到这两个线段加起最小值是一种什么情况啊？在这个图像当中，一个定点，一个定点，是不是 和我们的将军印码是一样的，对吧？啊？将军在这到河再到营地 这个点选一个点，那这样我们直接把点 d 做关于这条和 x 轴的对称点啊， d 撇 d 撇点，那什么时候最短呢？对吧？一定 是啊， c d 撇点连线，那这一点，这就是我们要找的这个点啊， 知道了这个我们能找到了最小值，下一步就是我们去找这一点， 那通过我们这条直线啊，这两个焦点给了，给了我们这个焦点，我们先把这两个焦点拿到，也就是当 x 等于零， x 等于零， b 是 等于零到四， 是吧。我们解析式，当 x 等于零， y 等于四，所以点 b 的 坐标拿到，当 y 等于零， x 应该是负八啊，负八都零好，点 a 的 坐标拿到，有了 a b， 那 就相当于我们知道了这一段， 这一段，这段是四啊， o a 这一段，这是八 啊，那有了啊，点 d 是 中点，那么 o d 呢？ o d 就是 二 啊。关于 x 轴的对称点，点 d 撇这一段，它不也是二吗？所以我们点 d 撇的坐标也能拿到啊，也就是零负二。 那有了，你看 a 点的坐标啊， a 点的坐标， b 点的坐标，我们也能拿到点 c 的 坐标， 点 c 的 坐标，这里需要我们用一个钟点坐标公式啊，也就是啊，横坐标 x b 啊，减去 呃这个 x， a 加上 x b 除以二，重坐标 y， a 加上 y， b 除以二，这个就是我们点 c 的 坐标，点 c 的 坐标，也就是横坐标应该是负四重坐标应该就是二啊，所以点 c 的 坐标负四。 go 二好，有了我们这个 点 c 的 坐标，有了我们点 d 的 坐标，我们是不是可以求出啊？ c d 所在直线的解析式，我们可以设 c d 所在直线解析式， y 等于 k， x 加 b， 将点 c 点 b 带进来，带到解析式里，也就是 r 等于负 四， k 加 b， 负二等于负二，等于 b 能解除，我们的 b 是 等于负二， b 是 等于负二， k 应该是等于 呃，负一啊，负一，所以我们 c d 所在直线， y 等于 呃，负 x 减二，这就是 cd 所在直线，那 cd 所在直线与 x 轴这一个交点，不就是我们点 p 的 坐标 是吧？也就是当我们的当 y 等于零时，我们的 x 啊， y 等于零， x 应该是等于一个负方，所以点 p 的 坐标， 这应该是负二等于零，所以答案负二等于零啊，这是一次函数与将军印满模型结合的啊，综合综合题，希望对你有帮助。

八夏华时的大宝啊，寒假的时候我掐耳根的告诉你，我说这个一定要预习函数这章，哎，就不听，怎么样，是不开学了？我发现最近不少家长开始私信我了，咋回事呢？说这个孩子函数这章完了，上课又蒙圈了，又听不懂了。还有就是咱家报课的宝子， 那玩意我明明都给你们记了啊，就这知识点，尤其咱们在刚学这个函数图像这块，不得学那个平面照坐标系吗？ 哎，咱这块咱说四个象线，啥特点呢？你是角平分线上啊，还是说什么平移啊，对吧？我这注意这块写的明白的，那你咋就不看呢？你找这题没有？对， 书本上确实没有这个知识点，我给你拓展了，完了你也不看，你说你那做题能做上吗？对吧？呃，咱们函数这章吧，确实是不太好学就有的大宝吧，他就是听课他都得听好几遍啊，确实是这样式的，就是不好学 啊，不好学，但是咱也得学呀，对吧？你说我这给你记老知识点，你倒给我背一背呀，你说什么特点？是不是咱们还给大家讲课的时候，我也给你们拓展这个题了？你倒往心里边，你这这 记点啊，你做一做，你是真不做你也不听啊。啊，我再次强调一下，咱报课大宝啊，就咱安道老师给大家函数这块，我记着这题，这都给你们写的多详细了啊，那课你就反复听呗，对不对？ 这块吧，的确是不好学，但不好学咱也得耐下性子，咱也得学啊，宝们，把那个课吧好好听一听，听不懂咱可以反复的听啊，最近啥问题？就是课也不想听，哎，咱也就是不想学，完了上课吧。又听不懂，你说你咋整吧？

今天我们来分享一个一次函数与几何面积的一道例题。我们先来读一下题，如图，把二 t 三角形 abc 放在平面直角坐标 c 当中，点 b 的 坐标一斗一，点 c 的 坐标五斗一角 abc 等于九十度， ac 等于四倍，根号二， 将三角形 a、 b、 c 沿 y 轴向下平移啊，当点 a 落在直线， y 等于七分之四， x 减二上时，线段 a、 c 少过的面积是多少？ 那我们整个三角形依据提议要向下平移，使我们的点 a 落到啊这个直线上，那所有的三角形啊，是不是应该这样？哎， 平移，也就是这是 a 撇， b 撇， c 撇，那么 a、 c 扫过的面积 a 到了，这 c 到了，这，它扫过的面积就应该是这一部分 啊，这一部分啊，这一部分，我们看它平移，这应该是一个平行四边形， 在条件当中给我们的点 b 的 坐标一到一，点 c 的 坐标五到一重坐标相等，说明我们的这个 b， c 是 平行 x 轴，那么角 b 这这个角又是一个九十度，说明 ab 又是平行于 y 轴。哇，给了我们 a， c 是 四倍根号二， 我们 bc 的 边可以求出来横坐标啊，五减一，它是式，根据勾股定律，我们可以求出 ab， ab 的 长应该也是式， ab 是 式， 它又是啊，一到一，也就是 b， b 到点一的距离就是一，所以点 a 的 坐标我们也能拿到，点 a 的 坐标就是一到四加一五 啊，有了点 a 的 这个坐标好，我们可以 a 撇， a 撇， a 撇的横坐标应该也是一，因为它是 向下平移，所以我们直接把一带入，带入这个直线，得到了 y 等于七分之四减二啊，也就等于 七分之负的，负的七分之十，负的七分之十，所以 a 点 a 撇的坐标，我们应该是一到负的七分之十。 有了这个坐标，有了点 a 的 坐标，我们的 a a 撇是不是就等于五？减去五，减去负的七分之十， 等于应该是七分之三十五，七分之四十五 啊，也就是说这个长度我们拿到了这个少过的面积，不就是可以啊？以 a a 撇为底，那这个平行四边形的高呢？是不是就是 b c， b c 是 四啊，所以少过的面积把它 啊乘以四，得到了我们七分之呃，一百八十，这个七分之一百八十， 这就是我们的答案。好，希望这个题对你有帮助。

今天我们来分享一次函数的一个区间问题啊，我们来读一下题，平，在平面直角坐标系当中有一个点 p 的 坐标，横坐标 m 加一，重坐标 m 减一， 让我们判断这个点 p 是 否在直线啊。一次函数 y 等于 x 减二上，第一问非常简单，只需要我们把横坐标带入进来，也就是 y 等于 m 加一，减二啊，最后等于 m 减一啊，和我们的中轴标相等了，所以点 p 在 我们的这个 y 等于 x 减二的直线上。 那主要我们来看这个第二问啊，给了我们一个图像，依次函数 y 等于负二分之一， x 加三，这个图像和 x 轴、 y 轴分别交于 a、 b 两点。 点 p 如果在这个三角形内部求 m 的 曲值范围，那我们来看啊，点 p， 如果在这个 三角形内部，那点 p 就 应该满足它的横坐标，横坐标在这么一个区间，它的纵坐标一定要小于这个直线，也就在这直线下方啊，同时大于，大于这个大于零， 那 x 它的横坐标横坐标是 m 加一啊，也就是横坐标 m 加一 啊。我们拿到点 a 呀，先把 a 点的坐标拿到 a 点，也就是 y 等于零， y 等于零， x 等于六，所以点 a 的 坐标六度零，也就是第一个要我们要满足 m 加一，要小于六， 大于零，也就是横坐标要在这个区间内啊，要在这个区间内，那重坐标要在这个直线以下，在这个 x 轴以上，那重坐标重坐标，也就是 m 减一啊， m 减一， m 减一，一样的要大于零， 大一点要小于谁呢啊？小于重坐标一定要小于这个直线以下，那这个直线又是什么表达？这个直线 y 啊，是等于负的，也就等于负负的二分之一 x 加三 啊，要小于这一部分，所以通过一个不等式组，我们可以确定 m 的 范围啊，我来解一下，第一个就是 m 应该小于五，大于负一， 呃，第二个啊，我们把这个同时乘以二，消掉一个二，二分之一啊，也就是二 m 减二小于， 呃，负 x 加六啊，大于零，这里的 x， 我 们还是可以用这个 m 加一换掉的啊。 m 加一也就是负的 m 减一加六啊，小于二 m 减二大于零， 我们在左右两边再加二，消掉一个二加二。哎，到这写啊，也就是二小于二 m 啊，小于加二负 m 啊，八加七啊，所以 m 大 于这个就是一 啊，小于这个 m。 呃，等式的，这边我们可以拆拆过来看啊，它应该小于三分之七，三分之七啊，综合一下 啊，我们 m 的 区间在三分之七和一，这个在五和啊，综合一下，所以我们取到的值取到 m 的 范围就是一到三分之七啊。希望这个题对你有帮助。

今天我们来分享一个一次函数与几何图形的一个例题，如图，一次函数 y 等于负四分之三， x 加三的图像分别与 x、 y 轴交于 ab 两点， 以线段 ab 啊，在 ab 为边，你说这条边， 在第一项线内做一个等腰直角三角形， a、 b c 也就这个啊，它是一个等腰直角，那么角 b 也就是这个角，是一个直角， 让我们求点 c 的 坐标，在这里啊，我们以前学过啊，这是一个等腰直角，在这里我们可以直接套用一个模型，也就是一线三垂直的模型 啊。假设我们做一条垂线，过点心做 x 轴的一条垂线，这个时候我们看这就是一个一线三垂直的模型，那么告诉我们， ab 是 x 轴 y 轴的一个交点， 那我们可以把焦点坐标求出来，当 x 等于零啊， y 是 等于三的，也就是 b 点的坐标零到三，当 y 等于零， x 等于四的， a 点的坐标啊，就是四到零， 哎，这样我们就得到了 b， o b 是 三， o a 呢，就是四， 我们去做一线三垂直，这个角一加上，角二是九十度，那么角一加角三也是九十度，所以角二等于角三啊，有边有边有角，那么同样的 角二加角四是等于九十度，角一等于角四，所以这两个三角形呢，全等，全等，全等以后，我们 a e 应该等于 o， b 是 三啊，这个 c 就等于 o a， 这是四，这是三，这是四，那么我们这一段 o e 就是 七啊， o e 是 七，这是四，所以我们点 c 的 坐标啊，七斗四 啊，这是利用了我们这个一次函数，结合了我们一线三等角，一线三垂直的一个几何模型， 得到了点 c 的 坐标啊， c 都是啊。希望这个例题对你有帮助。

八下数学最难的一次函数吃透，成绩稳进前。三题型，一题型二题型三题型四题型五题型六题型七。

上个视频咱们说的是有关一次函数的概念，这个视频咱们来过一下，有关一次函数的图像和性质。为了更好的借助函数认识运动变化的现象，咱们就需要研究函数的性质， 研究函数的性质，我们就可以更好的刻画运动变化现象的变化规律。那咱们这节课主要就是来看一看怎么来画一次函数的图像和性质。我们从特殊的一次函数正比例函数开始研究图像和性质。咱们首先就看一下第一吧，它出下列正比例函数的图像 像，第一问有两个，第二问也有两个。咱们先画第一问的说， y 等于二 x 的 自变量， x 可以 为任意实数，先把 x 的 取之范围画出来， 然后再找出 y 与 x 的 几组对应值，你看这里找到了五个。咱们刚开始的时候说，我们一般是找五到七个，找五到七个量，描着五到七个点，用平滑的曲线一连就搞定了。 那么往后再来看，在平面直角坐标系中描出我们刚才这个表中的值为坐标的点，再把这些点连接出来，就可以得到一条过圆点。第三，第一象限的直线，那就是函数 y 等于二 x 的 图像。 同样的道理，我们也可以得到函数 y 等于三分之一 x 的 图像，看就是这个样，其实就是由上面那个表格开始连点画图找出来的这样的图像。这个图像之后再来研究啊， 画 y 等于负的一点五 x 的 图像，找出了这五个点，然后得到了一条经过原点和第二、四相近的图像，它就是 y 等于负一点五 x 图像。同样的道理，我们也可以得到 y 等于负四， x 的 图像是这样两个， 我们仔细研究研究这两个图像的共同点是什么啊？首先来看上面这个图像是 y 等于二 x 和 y 等于三分之一 x， 我们会发现这两个函数它都是一次函数中的正比例函数，两个函数的区别就是这个 k 不 同，一个 k 是 二，一个 k 是 三分之一。首先来看看 k 等于二， k 等于二等于，说他这个曲线他的是上涨速度非常快，比 k 等于三分之一上涨速度快，而且他们都是从左往右 y 随 x 的 增大而增大的。这是我们关于 y 等于二， x 和 y 等于三分之一 x 这两个图像的这两个图像， 这两个函数图像的观察。而且也可以看到这两个图像它都是经过原点第三和第一象限的直线。 我们再看看刚才说的这个 y 等于负四， x 和 y 等于负一点五 x 这两个函数呢，我们会发现它的 k 全部都是负的，也就是说 y 随 x 的 增大而不断减小，他们在减小的过程中啊，我们会发现 k 是 负四的时候， 他减小的速度更快。你看他从负一开始往下减，减到正一的时候，就已经远比这个负一点五减的要快了。负一点五减到这个点的时候，他得得二的时候才能减下来。 所以说呀，这个 k 越小，所以说我们就知道 k 越小，他减的速度就越快。再结合起来，这个 y 等于二， x 和 y 等于三分之一 x， 就 可以发现， k 越大， 它增的速度就越快。这两个前面还要加一个前提， k 越小，减的速度越快的前提是它 k 得小于零啊。后面 k 越大，增的速度就越快，它的前提是 k 得在大于零的时候。这是我们观察到的啊！ 往后看书上的分析，以上四个函数的图像都是我们经过 y 等于二， x 和 y 等于三分之一 x 的 图像，它是经过第三项线和第一项线的，从左向右上升， y 等于负一点五， x 和 y 等于负四， x 图像是经过第二、四象限的，从左往上下降。这和我们刚才观察到的是一样的啊。 往后说，一般的正比例函数 y 等于 k x， 其中 k 是 常数，且 k 不 等于零，它的函数图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线， y 等于 k， x。 当 k x 大 于零的时候，也就是说从这里开始就需要你记住了， y 等于 k， x 经过第三象限。第一象限从左往右是上升的，即 y 随 x 的 增大而增大， 这是第一句话。第二句话，当 k 小 于零时，直线 y 等于 k， x 经过第二、四象限，从左往右是下降的，即 y 随 x 的 增大而减小。 一定要结合图像去理解，硬背是背不下来的啊！在这里可能有的同学会忘记，哪个象限是二，哪个象限是三，哪个象限是四，在这里说一下啊， 这个象限，也就是说，在这一块，他是第一象限，在这一块是第二象限，在这一块，这是第三象限。最后这一块，这是第四象限啊。记住就好，解决黄框中的问题， 由正比例函数的解集式可以说明他的函数 y 随自变量的增大而增大，或者随着 x 增大而减小的道理吗？其实道理就是我们通过这个图啊，道理就是这句话，这句话就回答了这个黄框中的问题啊， 也就是从这个函数图像的图像中直接观察就可以观察到了。我们往后看啊，看后面关于思考 由正比例函数的图像是一条直线，可以想到画正比例函数图像的简单方法吗？这是一个好问题。我们已知我们现在画这个函数都是找五到七个点描点，画图用平滑的曲线嘎达，一连是这么连的，那有没有更好的方法呢？ 其实是有的，因为我们知道正比例的函数图像永远都是一条直线，我们刚才已经画了四个正比例的函数图像了，他们都是一条直线。 那么我怎么样可以用更少的点确定一条直线呢？是两点确定一条直线，而正比例函数 y 等于 k， x， 其中 k 不 等于零的图像又是经过原点的直线， 所以说只要确定我们正比例函数图像上的一点，就可以画出正比例函数图像。一般的我们取一 k 这个特殊点，那另外一个点呢？看看哪个好取就取哪个，咱们就着这个例子啊，一块来找一找， 看一看练习题啊，取一 k 这个点，另一个点取什么？一般咱们取零零，取这两个点，咱们来试一试啊。 首先 y 等于二分之三， x， 咱们取两个点，分别是零零，还有把 x 等于一带进去， x 等于一了，一乘以二分之三，那不就等于 y 了吗？ y 就 等于二分之三了， 所以说他必过两个点，一个是零零，另一个是一到二分之三。那接下来的任务就是画一条平面直角坐标系，把横中坐标画出来，横是 x， 纵是 y， 找到这两个点，零零这个点搁这呢， 一二分之三这个点，我们假设这个点是一啊，这个点是二分之三点。好了，这两条直线一连两点，确定一条直线吗？一连延长搞定。这就是我们第一问的函数图像。 第二个我们还是找两个点，一个是零零，另外一个点让 x 取一，一乘以负六， y 就 等于负六了。 所以说另一个点就是一到负六，咱们还是画一个平面直角坐标系横纵坐标，找好 x 和 y， 一个零零在这里，还有一个是一负六，一在这，负六呢，随便找一个点 在这里，两个点一连一延长，这就搞定了。一般找这两个点，直接两两点，一连直接延长，一画图就行了。 第二题是这个，给我们两个特殊的点，说在这个函数图像之上，是比较 m 和 n 的 大小，那咱们一块来研究吧。我们刚才说了，总结出它的规律，当 k 小 于零的时候啊， k 小 于零，说明这个函数一定是减小数，怎么说 y 随着 x 的 增大而减小，那 x 越大， y 反而就越小，有 m。 我 们这两个式子有 x， x 一个是二，一个是负三，我们知道二肯定是大于负三的， x 大， y 反而越小。 x 为二的时候，它所对应的 y 的 值不就是 m 吗？ 为负三的时候，他所对应的 y 的 值就是 n 了， x 越大， y 反而越小，所以说填小于号，这么说就可以了，这是我们的练习题。接下来我们来看看这个例二啊，得画这个一次函数的图像和性质， 给出我们要画的这两个函数图像，一个是给出我们要画的这两个函数，一个是 y 等于负三 x， 还有一个是 y 等于负三 x 加一画图就可以了。 在画图的时候，我们看这个题，还是让我们先用画图的方式描点就可，我还是让我们用描点画图的方式去解析。 x 等于负一，分别带入这两个式子里啊，带这里面，那不就等于三吗？这里面就是在三的基础上再加一个一就行了。三加一是四，负，负零点五呢？那就是负三乘以负零点五，得数是二分之三，底下把二分之三加一就行了。是二分之五， 这面 x 是 零点五，零点五乘以负三，那就是负的二分之三，底下再加个一，那就是负二分之一。搞定，我们瞄点用平滑的曲线相连画出来是这个样的，剩下我们就得观察呀，这俩图像我能观察出什么东西呢？记住这个图像，我观察一下底下的这个探求的内容。 首先这两个函数的图像形状都是什么？往上看是两条直线，所以说都是直线就行了，并且倾斜程度是相同的。这不嘛，两个都这么写， 所以说倾斜程度是相同的。其中的函数 y 等于负三， x 图像，它是经过原点的。另一个函数图像与 y 轴交于哪个点呢？看看 一个函数图像，这是 y 等于负三 x， 它交于原点。另一个函数图像与 y 交哪个点？交这个点，这个点是什么？是零一。那么我们由这两个点的平移，是不是可以推广到这两条直线的平移啊？ 我们这个 y 等于负三， x 加一这条直线是不是就是把 y 等于负三 x， 这条直线每个点都往上平移一个，这样就可以变出来了。 所以说呢， y 等于负三 x 加一，可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移一个单位长度得到的。 后面得出了他们的这个道理，其实就是描述一下就行了。我在这里可以这样描述啊，将横坐标相同的点，其中直线 y 等于负三 x 加一， 比 y 等于负三 x 的 纵坐标都大，同样的数都大一，所以说我们就可以认为，将 y 等于负三 x 的 图像向上平移一个单位，就可以得到 y 等于负三 x 加一的图像了。是，这样就可以描述好他们的道理了。 接下来我们联系一下上面的结果可不可以通，可不可以从我们这个特殊的直线，一个是 y 等于负三 x， 一个是 y 等于负三 x 加一，这两个特殊的图像能不能推广到任意的一个意思函数 y 等于 k x 加 b 的 图像和 y 等于 k x 这两个图像之间的关系呢？ 其实按照我们刚才的这个话术再说一遍就行了。也就是说， y 等于 k x 加 b 的 图像是一条经过零 b 的 直线， 这个零 b 是 好说的啊，就是把 x 取零， y 呢，直接就等于 b 了，因为 k x 这项直接不就没有了吗？ 且和直线 y 等于 k x， 其中 k 不 等于零是平行的。这样就找出来了啊，一个是 y 等于 k x 加 b， 它横过零 b 还是直线， 而且呢，它和这个直线因为这个 k 相同，所以说这些程度相同，那么就和这两条，那么就和 y 等于 k x 这条直线就平行了。接下来我们往后看啊，比较这个一次函数和这个正比例函数的解析式， 这句话非常重要啊，一定要记住，这是这两个解析式的关系。意思还是 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零，它的图像可以由 y 等于 k， x 平移 b 的 绝对值和长度单位。 为什么说 b 得加绝对值啊？因为我们不知道这个 b 是 大于零还是小于零。这不就说了吗？如果 b 大 于零的时候，那它就是往上平移， b 小 于零的时候，它就是往下平移，而往上平移、往下平移，我们可以用平移多少个单位长度，也就是 b 的 绝对值和单位长度就行了。 假设有一个直线， y 等于二， x 向向哪平移？没说，我就说他平移了两个单位长度。你可能会想向上平移，向下平移，向左平移，向右平移，但都说不好，我们不知道是向左还是向右，向上还是向下， 向左向右我们暂时不研究，我们先研究向上向下。所以说我在这里写一个横向平移，就像这个问题， y 等于二， x 横向平移两个单位长度，所以说你肯定能写出两个，一个是 y 等于二， x 加二， 这是往上平移，还可能是 y 等于二， x 减二。不要忘记分类讨论啊，注意，横向平移有可能是加二，向下平移就是减二，是这个意思。 往后看啊，一次函数 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零，它的图像也是一条直线，我们管它称作 y 等于 k， x 加 b。 好， 我们学会了这个道理之后，再来看看。例三，一个是二 x 减一，一个是负零点五， x 加一，我们可以观察到这两个函数图像都是一次函数，已知一次函数的图像，它都是直线，所以说只要能确定两个点就能画出来了。 我们还是取 x 等于零， x 等于一，这两个函数的对应值找到了，找到之后我们就一画就可以了，画出这样的两个， 这是一种画法，就我们取一个函数的两个点吧。第二种画法还可以这么画，因为我们刚才说了，函数是可以平移的，我们发现我们要画的这两个直线，一个是 y 等于二， x 加一，还有一个直线是 y 等于负零点五， x 加一， 他都是由最基础的两个直线平移而得到的。一个是 y 等于二 x， 一个是 y 等于负零点五， x 将 y 等于二 x 向上平一个单位长度，不就是我们要画的 y 等于二， x 加一了吗？那，那往后推， y 等于负零点五， x 加一，就是 y 等于负零点五， x 往上平移一个就可以得到，也可以用平移的画法啊， 也可以用这个取两个点的画法好。画完直线之后，我们再研究啊，画出这样的四个函数图像， 观察这些直线，总结它们从左到右上升或者下降的规律。从这里再去联想依次函数解析式中 k 的 正负对函数图像的影响，进而归纳出依次函数的性质。 咱们先画个图，先把 x 轴和 y 轴画好，先画 y 等于 x 加一。我们知道啊，他肯定过一个点， 让 x 取零， y 就 取一，还过哪个点？我们让这个 y 取零，也就是说零等于 x 加一嘛，那 x 就 等于负一了，也不是负一都是零，负一零在这了，零一在这了。相连一画，这是 y 等于 x 加一， 再画 y 等于负， x 减一，他肯定过哪个点呢？我们把 x 等于零带进去， x 等于零，那零加一， y 就 得一了。 把那个 y 等于零带进去，零等于负， x 加一，那 x 肯定是等于一了呀。所以说一都是零，零一这个点是这咱就不再取了。一零这个点在这，就说两点之间连一条直线一画，这就是 y 等于负， x 加一。 往后继续研究，这个 y 等于二， x 加一，咱们再换个颜色，取哪个点呢？还是 x 取零， y 取零啊？ x 取零，那二乘零加一， y 就 得一了，那这个 y 取零呢？ y 取零，零等于二， x 加一， 那么这个 x 就 一定等于负的二分之一啊。负二分之一，负二分之一，零在这中间这个点找到 还有一个零一在这，这么一连就行了。连好之后，标这个绿色的是 y 等于二， x 加一。最后一个咱们拿黄色来说，是 y 等于负二， x 加一，还是 x 取零， y 取什么？ y 还是得一。还有一个点是 x 取一， 还有一个点是 y 去零， x 去几， y 等于零，零等于负二， x 加一，那么 x 就 等于二分之一。所以说过二分之一，零 在这个点找二分之一，零还是这个点，你得标出来它的函数。图像是 y 等于负二， x 加一。咱们仔细再来研究啊，这几个图像，他们由左到右上升或者下降的规律，咱们可以发现啊， 这个红色和绿色都是从左到右越来越升高的。而这两个直线有一个共同的特征， 就是说他的 k 是 一，这个 k 是 二， k 大 于零的时候，从左到右还是图像是上升的， 那看看这个蓝色图像和这个黄色图像，一个 k 是 负二，一个 k 是 负一，那么就可以说，他这甭管是负二还是负一，他不就是 k 小 于零吗？ k 如果小于零的话，那他就是从左到右下降。观察前面依次函数的图像，可以发现规律，如果 k 是 大于零的，那么 y 等于 k， x 加 b， 这个图像一定从左到右往上走的，当 k 小 于零的时候，那他一定从左往右往下走的。 得到的这样两个关键的性背下来啊，当 k 大 于零时， y 随 x 的 增大而增大。当 k 小 于零时， y 随 x 的 增大而减小。这个黄筱路的内容就告诉我们了， 先通过观察发现图像或者图形的规律，再根据这些规律得到关于变化数值大小的性质。这种数形结合的研究方法在数学学习中是很重要的。好，我们接下来往后看啊，这个练习的内容说了， 直线 y 等于二， x 减三与 x 轴的焦点坐标是多少？这个研究呗，焦点坐标我们知道啊， 函数是有 x 轴和 y 轴的啊，这是 x 轴一个，还有一个轴是 y 轴。说了与 x 轴的焦点坐标，我们知道整个 x 轴上的所有点都有一个共同特征，就是这个轴上的所有点 y 都为零。 那这道题问我们与 x 轴的交点，互而言之，就是让我们把 y 等于零带入到这个直线方程中，然后求出来的 x 就是 我们的 x 轴交点坐标的横坐标、纵坐标不都是零吗？直接一写就好了，然后求解这个方程， y 等于零等于二， x 减三，那么二 x 就 等于三了， x 等于二分之三，所以说第一个得数是二分之三。与 y 轴的交点，我们还是观察这个函数图像啊。与 y， 我 们还是观察这个平面直角坐标系与 y 轴交点坐标 y 轴所有点都有一个共同特征，就是 x 等于零，那把 x 等于零带入方程就行了。 x 等于零，那 y 就 等于二乘零减三，那就等于负三，所以说与 y 轴的交点坐标、横坐标都是零，纵坐标一个负三就搞定了。 经过第几象限，这个我们就得考虑一下呗。我们现在已经知道了，这是一个一次函数， 一次函数是一条直线，而两点确定一条直线，把这俩点标出来，与 x 的 向量坐标，一个是二分之三，零，就这个点与 y 的 向量坐标就是零。负三在这了。两点一连看看呗，他是过第几项线呢？这是第一项线，这是第二项线， 第三项线，第四项线，他就过一、三、四这三个象限啊。再看 y 随 x 增大，而怎么着？ x 从左到右越来越大， y 呢？也越来越大，不从下往上走的嘛。所以说 y 随 x 的 增大而增大。这是我们练习题的第一问，第二问分别在同一平面，第二问分别在同一平面直角坐标系中 画出来一、二。这个小球中三个函数图像有什么关系？就是说我们得把这三个函数图像画出来。这三个函数图像 可以观察到他们有一个共同的特征，他们都是在 y 等于 x 这个函数图像的基础上。这是向下平移的一个单位，这是向上平移的一个单位，所以说我们一画就可以了， 先画出 y 等于 x 这个函数图像，我们取啊，这个点它是横过的，还有一个点呢，是 x 取一， y 还是得一取一，一就可以了， 取好点之后连点呗，零零。还有一个点是在这一连，这就是 y 等于 x 开始平移电话，这个 y 等于 x 加一吧，这是往上平移的，原先过零零，那现在不就过零一了吗？ 另一个点 x 取一，另一个点 y 取零吧， y 取零， x 去几啊？ y 等于零， x 就 得得负一了，因为负一加一才等于零吗？还过零一这个点一连就好了，零一，这是负一零一连线， 这个就是 y 等于 x 加一，底下这个 y 等于 x 减一，这么一画，他肯定过这个点，这个点是一零还过这个零负一。这个点要画好之后，找一下他们图像的关系啊，他们都是由 y 等于 x， 可能是向上， 也有可能是向下进行平移来得出来的。来看看第二个这个图像有什么特征啊？ 依次发现他们都是一个一次函数，如果他是一次函数的话，那么我们知道他的函数肯定都是一个直线。还是取两个点，分别是 x 取零和 y 取零。去找第一个函数，当 x 取零的时候， y 不 就等于零减一吗？所以说零负一， y 去零的时候， y 等于零，零等于负二分之一， x 减一，挪过来负二分之一， x 就 等于一等式，两边同时乘二，负 x 等于一，乘二等于二，然后再把前面的这个符号挪过去， x 等于负二， 所以说过的点是负二零，这个也是一样。我们先把他们的点依次求出来， x 取零， y 等于零减一，不就是负一吗？当 y 取零的时候，零等于负 x 减一，那把这个负 x 挪到等式的左边来， 负 x， x 等于负一，所以说他的点坐标就是负一，零，最后一个 x 取零，那 y 不 就是负二乘零还是零，零减一，得负一， 然后外去零，外去零就是零等于二， x 减一啊，等于负二， x 减一， 然后把这个负二 x 挪到等式的左边来，二 x 等于负一，那 x 就 好说了，等于负二分之一，所以说他必过的点是负二分之一，都是零。我们还是画这个图，依次找，一个是零负一，一个是负二，零 零负一在这了，负二零在哪？在这一连，这个函数就是 y 等于负二分之一， x 减一。来看下一个函数啊， 这个负 x 减一，它 b 过哪个点？ b 过零，负一就是这个点，还过哪个点？负一零这个点，我们取的是负二，那负一肯定就在这 两点之间。一连线搞定，这是 y 等于负 x 减一，继续是这个 y 等于负二， x 减一，咱们再换个颜色，过零，负一，还过负二分之一，零，那接着接着负二分之一， 例，这个直线是 y 等于负二， x 减一。画完了这三条直线之后，我们可以观察一下这三个图像有什么关系。其实很简单，我们发现这三个图像都过这一个点，所以说写出来就行了啊。 y 等于负二分之一， x 减一， y 等于负 x 减 y 等于负二， x 减一，均相交于点，这个点是零负一。画好之后，我们就搞定了这个第二题，接下来来看第三题啊。 已知一次，函数 y 等于四， x 加七，当这个 x 大 于二的时候，利用函数的性质求函数值 y 的 取值范围。这上面说了，我们函数的性质是什么？ 函数的性质就是当自变量变的时候，函数值也随着它的变化而变化。所以说问我们 x 的 值变化的时候， y 的 值的变化，我们也一定可以通过 x 的 变化而求出来。 那怎么求呢？我们看看啊，他不说了吗？ x 大 于二，但是我们这道题得求四 x 加七啊。四 x 加七，我先把四 x 凑出来， x 大 于二，那四 x 肯定就是大于八，因为二四得八嘛。那四 x 加七呢？四 x 加七大于十五， 然后把四 x 加七用 y 替换出来， y 大 于十五，这是我们第三题啊，接下来我们来看第四题， 难度又升级了。已知一个一次函数图像过这两个点，你刚刚才我们不说了吗？两个点就可以确定一次函数图像，那现在我们就给你两个点，能不能反求一次函数的解析式呢？ 当然可以看黄黄中啊，因为这个图像过这两个点，所以说这两个点一定是满足解析式的， 这样我们不就数形结合了吗？由图像来反推解析式，既然说这两点坐标必然满足解析式， 所以说我们只要把解析式设出来，这不说了吗？要求 y 等于 k， x 加 b 的 解析式，关键就是求出 k 和 b 的 值，然后我们根据已知条件，列出关于 k 和 b 的 二元一次方程组，求解出 k 和 b 就 行了。 但是问题来了，我现在还不知道这个解析式长嘛样啊。所以说我们第一步得先设出来，设 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零，这个条件非常重要，一定要写，因为如果你不写，那么就会得到一个神奇的事情， 当 k 等于零的时候， k x 这一项永远为零啊。那 y 等于 b， b 是 什么数？ b 是 一个常数，我们假设这个 b 等于一， 那就是 y 等于一，那这个函数他并不是一个一次函数。首先他只有一个函数值，没有一个自变量。其次，你看他画完之后， y 得一， y 得一， x 值，不管为什么时候他都得一，你画出来的是一条这样的直线。 所以说他不满足于我们一次函数啊，他就压根就不是一次函数。好，我们回到这道题，我们把解析式设出来之后，再把这两个点带入二带 x， 负四带 y， 这个也是啊，负三带 x， 十一带 y， 带完之后就得这个样，这不吗？第一个式子二和负四， y 带负四，这个二呢，带 x， x 就是 二。二 k 加 b， 后面也是一样的去解这个方程组， 这个方程组解的时候呢，可以关注这样的这个方程解的时候可以这么解。第一个先看看啊。首先两个未知数，我们看看有哪两个未知数，它的系数是一样的， 像这个 k， 它的系数是二，这个 k， 它的系数是负三。后面的我，我们会发现它的系数 b 的 系数是一个是一，另一个还是一， 前面还都是正的。所以说我们假设第一个式子为一式，第二个式子为二式，你只要两个式子一减就行了。我们拿二式减一式，等式的右边咱先减，那不十一减四吗？他不是十一减去，不是十一减四，是十一减去负四， 这是等式的右面，等式的左面也得减二是前面是负三 k 加 b， 后面的减去，我们得加括号。二 k 加 b 处理一下，负三 k 加 b 减去二 k， 然后是减 b 等于十一减去负四，那就十一加四得十五。 处理一下，负三 k 和负二 k 摞一块，那就是负五， k 加 b 没了，得十五。等式两面同时乘以负五分之一，记得加括号啊， 这两项摞一块，他不得一吗？所以说 k 就 等于十五，乘以负五分之一，五和五消了，这还剩下一个三，前面还有个符号，所以说 k 等于负三，把 k 等于负三呢，再代入到一式也行，代入到二式也行。我们先把 k 等于负三代入一式吧。 如果 k 等于负三的话，那这个二 k 就是 负六。负六加 b 等于负四，那 b 呢？一定等于负四。负六挪到等式的右面去，那就是加六，那就等于二，所以说 k 等于负三， b 等于二，这是这么解出来的啊。 像例四这样，先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数， 从而得出函数解析式的方法。我们管它叫做待定系数法。什么叫待定呢？不就是不知道这两个系数吗？所以说我给他就随便设一个，再通过我们已知的 x 和 y 来求出我们之前定的这个系数啊。 由于一次函数 y 等于 k， x 加 b 中有 k 和 b 两个待定系数，因此用待定系数法需要根据两个条件列出二元一次方程组，其中呢，我们把 k 和 b 看作未知数， 解方程组之后，就可以确切的写出一次函数的解析式。我们来看一下啊，由例三例四这两个题推一下思路。首先先把函数解析式给列出来，长这个样， 选取满足条件的两个定点，画出这个一次函数的直线，这是由函数解析式去推图像，可以这么推， 那怎么由图像来返回这个解析式呢？我们先把这个图像找出来，找出图像之后，我们还是选出两个定点，有可能是如果在做题中，有可能是你自己选的选的比较好算的，也有可能是题目中直接给你的两个点， 再把这两个点带入到这个函数解析式之中，就可以求解出我们这个函数解析式了。这个思路就体现了我们数形结合，像这个函数解析式，这个就是数，这个就是行，数形结合就可以更好的去解决问题。接下来我们来看一下例五啊， 一位记者坐一辆汽车往三百六十千米外的乡村进行采访，其中呢，前一部分为高速公路，后一部分为普通公路。汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速直线行驶，分别以某一速度匀速行驶。 这个图呢，是我们汽车行驶的路程和时间的关系。那我们来看第一问啊，求这个汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的 函数解析式， 通过看这个图我们就会发现，它好像走高速公路和走普通公路速度是不一样的， 为什么能看出的速度不一样？因为前面就这个零到两小时之间和二到三小时之间，我们可以看到这两条直线他的倾斜程度是不一样的。 所以说这就是我们说的问题中，汽车行驶的速度并不是固定不变的，他和行驶的时间范围有关，当 x 在 零到二之间的时候，汽车的行驶速度较快，因为他走的是高速公路， 当 x 大 于二的时候，他的行驶速度较慢，因为他走的普通公路。那所以说我们去求解这个函数解析式的时候，应该在这两个自变量的取值范围之内进行讨论求解。 我们先来看啊，当 x 是 属于零到二之间的时候，函数图像过两个点，过哪两过哪两个点呢？分别是圆点，也就是零，零还过哪个点？过 a 这个点， a 这个点的坐标横坐标是二， 纵坐标是一百八。我们来求解，因为我们发现啊，这个第一问中行驶的路程外，关于时间 x 的 函数解析式， 他是有两部分，所以说两部分的方程一定是不一样的，所以说我们在设直线方程的时候有有研究， 就是说设函数的解析式，哎， y 等于 k 一， x 加 b。 看看啊，我应该不用加 b 了，因为他是过原点的一个意思函数，所以说他是一个正比例函数，正比例函数我们这个 b 永远为零，所以说不用写加 b 了， 直接设成 y 等于 k， e x 就 行了啊，颜色我再换回来啊，我们把这两个点带进去就行了啊，分别是带零、零， 那 x 等于零的时候， y 得零啊，零等于零，直接一写就行了。还有一个是 y 是 一百八十， x 是 二，那就是二， k 一 就可以解出来 k 一 等于多少，把一百八十除以二， k 一 就等于九十了，搞定，如果 k 一 是九十的话，那这个方程就是 y 等于九十 x。 注意此时的这个自变量有取之范围就是 x 小 于等于二， 大于等于零，在零到二的范围内，我们就把它函数的解析式求解出来了。那后面这部分我就得求当 x 大 于二的时候，他的解析式是什么样的？我在这里写吧。 x 大 于二 还是图像过哪个点呢？过这个点还过这个 a 点是二到一百八十，还过哪个点还过这个点？这个 b b 的 横坐标是三点五，纵坐标是二百七，就是三点五到二百七十。 我们还是把这个方程说出来，我们会发现此时我好像不能判断这个新的函数到底过不过原点，如果不知道过不过原点，那我在设几级数的时候，就将它设成正常的一次函数，就不把它设成正比例函数了。 和刚才这个 k 一 x 要区分掉， y 等于 k 二， x 加上 b 二就可以了，然后把这两个点带进去就行了。一个 y 取一百八十， x 带二，那就是二倍的 k 二加上 b 二，后面这个 y 带二百七十， x 就是 三点五倍的 k 二加上 b 二去解这个方程就行了。 呃，我把底下这块涂掉，把底下这块写写到这里，我们把第一个式子写作一式，第二个式子写作二式。我们还是按照我们刚才的先看这两个未知数，谁的未知数前面的系数是一样的， 我们会发现这个 b 二前面的系数都是一，所以说咱们就以 b 二为基础进行减就行了。咱们拿二式去减一式，先减等式的左边，左边是二百七十，减去一百八十，右面呢？拿这个二式，这个三点五 k 二加上 b 二， 减去上面的这个二 k 二加 b 二大括号左边二百七十减去一百八十，还剩下九十。右面呢？ 三点五， k 二减去二 k 二，那就是一点五 k 二，这个 b 二减去 b 二，那没了。所以说 k 二就等于九十除以一点五，这个九十除以一点五，我们可以这么算，一点五我们写成二分之三就等于九十乘以三 十，三十乘二等于六十，所以说 k 二就算出来了，等于六十，我们再把 k 二带到任意一个方程就行了。 k 二等于六十，如果我们假设我们往一式里带吧，那就是一百八十等于二乘以 k 二，二乘以六十，再加上 b 二，那 b 二一定就等于一百八十，我再减去这个二乘六十，减去一百二十，也等于六十，写出结果就行了。 结果是这么写的啊，在考试的时候过程写这样就可以了啊，解这个方程组得得数，所以说就可以写出，当 x 大 于二的时候，函数的解析式是 y 等于六十， x 加六十， 还要综上一下，因为说是分段函数吗？前一部分是这个样的，后一部分是这个样，说明白就可以了啊。后面说了，记者出发后多长时间才能到采访地啊？ 那咱们就想想多长时间才能到三百六十千米，这个从图中就可以看到，我取三百六十的时候，这不就到了吗？那具体得数是多少不知道，我得通过带入我们的方程去求解。带入到哪个方程呢？ 肯定是我们后面那个方程啊，因为我们这个方程的前后两边是不一样的，一个是 x 在 零到二区间内，一个是 x 大 于二的区间内，在刚才这个图中，我们明显的看出，当 y 等于三百六十的时候，所对应的 x 值肯定远大于二，所以说看过程怎么写啊？ 由图像可知，当 y 等于三百六十的时候， x 大 于。先把图像说出来，因为说出这个之后，你就知道我们得把，我们得把这个 y 带哪个函数， 所以说把 y 带到第二个函数， y 等于六十， x 加六十，所以说求解就行了，把六十挪过去，那就是三百等于六十， x x 就 得五了。 那么再写一个答话答，记者在出发五小时后到达采访地就搞定了。这个啊，有二中的解答。可以确定一中自变量的取值范围吗？当然可以，因为我们发现 x 是 自变量，他是大于等于零的，这个没问题。后面说 x 大 于二， 那大于二，我总是大于二，肯定不能无限的往后大，因为我到了一个地，我到目的地之后我就停了，所以说最长时间走多长时间就是五个小时，所以说 x 大 于等于零，小于等于五，这是最终 x 的 取值范围。 好，我们接下来来看练习题啊，改了这个一次函数的两个点，一个是负一，一让求解析式， 还是啊，先把这个函数解析式设出来，注意啊，把 k 不 等于零一定写到旁边啊，因为如果 k 等于零的话，它就不是个一次函数了，因该函数过这两个点，一五和负一一，所以说我就可以代入一个 y 取五， x 就 等于一， 一 k 加 b， 后面呢， y 取一 x 就是 负一，那就是负 k 加 b， 这个是二十。咱们再来算， 我们发现啊，这两个式子中当然可以相减，也可以相加，因为这个 k 前面是一，这个 k 前面是负一，只要把其中一个未知数消掉，这是我们的目的，所以说一式加二式就行了。 这个等式的左边是五，五加一等于六啊，两个 k， 一个加 k， 一个减， k 不 就没了吗？等于二 b， 那 b 就 等于三。 将 b 等于三，带入任意一个方程带入一吧，那五等于 k 加三，那 k 就 等于二。所以说最后解出答案，解得方程， b 等于三， k 等于二。 那么这个一次函数的解析式就是 y 等于二， x 加三。第二题也是一样的啊，我在前面这些过程就不说了，就是说设这个函数的解析式为 y 等于 k， x 加 b， 其中呢， k 不 等于零， 因为这个函数啊，过两个点，一个是九零，还有一个是二十四到二十，所以说代入分别是零等于九， k 加 b， 还有一个就是二十，是等于二十四， k 加 b 的 去求解这个方程，这是二十，然后我们拿二十减去一十，就可以得到二十是等于十五 k 的， 算出 k 是 等于三分之四的。 咱们还是老样子啊，将这个 k 等于三分之四，再带入这个一式中，缩减到 b 等于负十二， 最后结果 y 等于三分之四， x 减十二。这是我们第二题具体计算过程，大家可以根据我这个过程自己再去尝试计算一下啊。第三题，这是应用题了啊， 一个乘客乘坐某航空公司飞机的时候，购买了经济舱机票，这个图呢，是他所托运的行李的费用， y 与行李的质量 x 的 关系，问这个乘客可以免费托运行李的最大质量是多少？那想一想吧， 我们要想求这个免费托运行李的最大质量，就得找这个 y 为零的时候 x 为多少， 那 y 等于零的时候 x 为多少。这个点我不知道，我看不出来，图像中没给，那么我们就得把这个函数，我们就得把这个函数的解析式求出来就行了。 怎么求呢？先给他设出来，设行李费用 y 与质量 x 的 函数解析式。 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零， 正常写，因为这个函数我们过两个点，我们可以看出来，分别是这个二十五、九十，还有这个点是三十，一百八十，我们代入，代入到这个函数解析式之中，那就是二十五， k 加 b 等于九十， 再带一个三十一百八，那就是三十 k 加上 b 等于一百八十，多解就可以了 解得得数， k 等于十八， b 呢等于负三百六十。解析过程还是和刚才一样啊，我们用加减相减法， 把这两个未知数只要消掉一个，另一个就出来了，再把算出来的那一个的得数再带入到这个式子也行，这个式子也行，再带入到任一个式子中，就可以把第二个未知数求出来。是这么做的啊， 那有了这两个式子，我们就可以把函数解析式给表达出来， y 等于十八， x 减去三百六十。问什么问？我可以免费托运的最大质量，那也就是说 就是让我们求当 y 等于零的时候， x 等于多少，再把 y 等于零带入零等于十八， x 减三百六十， 那十八 x 就 等于三百六十， x 等于二十。所以说写答话，所以免费托运的行李最大质量为二十千克。好，往后走啊，这个题题二十三点二，首先来看复习巩固啊。 一辆列车以九十千米每小时的速度匀速前进，它的行驶路程 s。 关于这个行驶时间 t 的 函数解析式，并且画出这个函数图像看一看啊， 咱先把解析式画出来，然后再画函数图像，找到自变量和函数值，自变量是行驶时间 t， 函数值是这个路程 s， 接下来用自变量表示出这个函数值就可以了。自变量是 t， 那 s 就 等于多少 t 呢？ 速度乘以时间才等于路程了，速度是九十，这个时间是 t 啊，这么写出来就可以了，但是咱们要注意啊，我们在这里自变量它的取出范围时间 t 永远是比零大的，大于等于零就可以了。 接下来我们把函数图像画出来，但是我们发现这是一个函数正比例函数，我们取两个点，当 t 等于零的时候， s 就 等于零， 当 s 等于零的时候，不是我们得取两个点，我们一般取这个自变量为零和自变量为一的时候，当 t 等于零和 t 等于一的时候， s 等于零， t 等于一的时候，那 s 等于九十。这两个点分别是零、零和一到九十。画平面直角坐标系，在上面找点就可以了，这是 x， 这是 y， 零，零是原点。还有一个是一九十，一连就可以了。注意，我们要连 t 大 于等于零的部分，也就是说只能连这一部分， 不能往下延长，因为往下延长 t 就 小于零了，就不在这个范围区间里了啊，我们继续往下看看这个第二题啊， 这个 y 等于负五， x 的 图像经过第几象限，经过哪个点和哪个点？ y 算 x 增还是怎么着？咱把这个函数图像画出来，根据这个图像来去说就可以了，比之前咱们说的那个 g 要强很多啊。 y 等于负 x， 就是 让 x 等于零和 x 等于一，找 y 的 值就行了。找到这两个点， x 等于零的时候， y 等于零， x 等于一的时候， y 等于负五，所以说它过两个点，分别是零零和一对负五， 零零在这了，负五在哪了呢？负五在这一负五，所以说点在这。画完图像就这个样了， 说这个图像经过第几项线，一二三四经过的是第二项线和第四项线，经过哪两个点呢？分别是零零， x 取零吗？还有哪个点？ x 取一的时候， y 等于负五，一负五和零零吗？ y 随 x 的 增大， x 增大， y 是 减小的。接下来我们来看第三题，第三题分别画出下列函数的图像。首先来看第一个， y 等于四， x， 它是一个一次函数图像，一次函数图像取两个点就行了，一个是 x 等于零，一个是 x 等于一， x 等于零， x 等于一的时候， y 等于四。过两个点分别是零零和一四，把这两个点画出来就可以了。一四，这是 y 等于四， x 加一，你当然也可以通过将 y 等于四 x 进行平移也可以得到。还有一个也是取两个点吧， x 等于零， x 等于一， x 等于零的时候，他过哪个点是 y 等于一， x 等于一的时候， y 就 等于五了，他必过的两个点是零一，还有一五，零一在这了，一五在这了，一连就行了。 也是可以发现这个红色的 y 等于四， x 加一，他就是这个蓝色往上拼一个单位吗？ 后面这个 y 等于负四， x 加一和 y 等于负四， x 减一，其实这个负四 x 加一，就是把这个负四 x 减一，向上拼两个单位嘛。 但是我们还是说咱们把取点可能更好画一点， x 等于零和 x 等于一的这两种情况， x 等于零， y 等于一， x 等于一的时候， y 等于负三，第一个他必过零一，还有必过零负三啊，找这两个点，一个是零一，一个是一，负三， 零一在这了。还有一个一负三，这是一底下，这个是负三在这了，这两个点一连，这就是 y 等于负四， x 加一，咱们再找这个 y 等于负四， x 减一，还是 x 等于零， x 等于一，这两个情况， x 等 x 等于零的时候， y 等于负一， x 等于一的时候， y 等于负五。过两个点，一个是零，一个是负一，还有一个是一，一个是负五，零负一在这了，一负五在这了，连这两个点就可以了啊。 这是 y 等于负四， x 减一，这样就把图像画出来了啊。我们看第四题，如图，求图中直线所对应的函数解析式。还是我们可以发现这个函数图像过了两个点，我能看出来，一个是这个点，这个点是零六， 还过这个点，这个点是负三零。把这个函数解析式设出来就可以了。设函数解析式为 y 等于 k， x 加 b， 其中这个 k 不 为零。一定要写啊，因为这两个函数过这两个点，过零六，还有负三零，我们把这两个点代入就行了， y 带六， x 带零，那那六直接就等于 b 了，因为 k x 这一项就没了。负三零， y 带零， x 带负三，那就是负三 k 加 b， 这样我们直接对第二个式子求解就行了，因为 b 等于六嘛，零等于负，三 k 加六， 然后把负三 k 挪到等式的左边来，那就是三 k 等于六 k， 它得等于二 k 等于二， b 等于六，那 y 就 等于二， x 加六啊。当然，我们在这里顺手写一下，写一下方乘最后结果吧，点个解得解得 b 等于六， k 等于二，直接写方程解析式就是 y 等于二， x 加六就可以了。 是我们的第五题。已知这个一次函数图像经过这两个点，前面这些套话就不说了，得把这个解歧式设出来，设 y 等于 k， x 加 b 啊， k 不 等于零。 后面呢，咱们继续写这个函数的解歧式，因为过两个点吧，把两个点代入就行了，九等于负，四 k 加 b， 还有一个是四等于六， k 加 b， 然后代入求解就行了。指这个是二式，我们拿这个二式去减去这个一式就行了。先减等式的左边，四减九等于四减九等于负五， 这面是六 k 加 b， 减去括号，负四 k 加 b， 那 负五就等于六 k 加 b 减去负四 k， 那 就是加上四 k 减 b 减 b 减 b 就 没了。六 k 加四 k 就是 十 k， 它等于负五，那么 k 呢？就等于负的二分之一，然后把 k 等于负二分之一，再带入上面任意一个式子就行，算出来 b 等于七。最后解析式是 y 等于负二分之一， x 加七， 然后再画函数图像就可以了。还是啊，这是一个一次函数，一次函数，我们只取两个点就行了， x 取零和 x 取一， x 取零的时候， y 等于七， x 取一的时候， y 是 等于负二分之一加七的。将七行通分，七是二分之十四，减去二分之一，等于二分之十三，过这两个点一画图就行了。零七在这了，一，二分之十三在这了， 二分之十三一定是比这个七小的啊，在这一连一画就可以了啊。看第三问，判断二五是否在这个一次函数图像之上。如果说二五在这个一次图像之上，那么二五一定是满足于这个一次函数的解析式的。 所以说我们把这个 x 等于二代入，看看代入之后，这个 y 是 不是得五就行了。解析式长这个样， y 等于负二分之一， x 加七，那 y 呢？就等于负二分之一乘以二加上七，负二分之一 乘二，那就等于负一。负一加七等于六六，跟这个五它并不相等，不等于五，所以说不在这一次函数图像之上，这样就搞定了啊。 接下来我们来看这个第六题。第六题将一次函数图像向上平移两个单位长度，那不就是 y 等于负二， x 加一，往上平移就是加加，那就是负二， x 加三，这是往上平移啊， 往下平移呢，那就是 y 等于负二， x 加一，在它的基础上减三嘛，那就等于负二， x 减二。好，这是我们的第六题，找到了第七题，说了有三个点，都是这个直线上的点， 比较外一、外二、外三。我们可以观察到啊，这个直线是一个一次函数，一次函数中这个 k 是 等于负十三，负十三小于零， y 随 x 的 增大而减小，这道题跟 b 一 点关系都没有，所以说不用考虑 b 啊， 只要通过 y 和 x 的 关系就行了。 y 随 x 增大而减小，那我只要比较这几个哪个 x 大， 哪个 x 小 就行了。看这个啊，负三是最小的， 小于负一点三小于二，负三所对应的负三所对应的函数值是 y。 二、负一点三所对应的函数值是 y。 三， y 随 x 增大而减小，也就是说 x 越大， y 反而越小。所以说咱们应该是这样的， 这样就找到了 y 一 y 二 y 三的大小关系啊。咱们来看看第八题啊，这个题怎么做？当 b 大 于零的时候，这个函数图像经过哪几个象限？ b 大 于零，就是将 y 等于 x 这个函数图像往上平移。想一想啊， y 等于 x 这个函数图像长这个样，如果将它往上平移，那平移完之后就长这个样了。肯定过第几项线？一、二、三，过第四，一、二、三项线。看啊。第二个，当 b 小 于零的时候， y 等于负 x 加 b 经过哪几个图， 经过哪几个象来看第二个，当 b 小 于零时， y 等于负 x 加 b 经过哪几个象限？还是啊，画一个平面直角坐标系，因为 b 小 于零，所以而前面这个负是 k 是 小于零的。 k 小 于零的时候， y 随 x 的 增大而减小，所以说是减的。长这个样就是 y 等于负 x 将他的基础上往下平移，平移完之后不得长这个样吗？或第几象限呢？二三四，这三个象限。第三个，我们发现这个 k 是 第三个，我们发现他，此时 b 确定了，要求我们找这个 k， 如果 k 是 大于零的，那 y 随 x 增大而增大， 在外随 x 增大而增大的前提下，还往上平移，那不就得长这个样吗？那他就是过一二三项线。最后一个，当 k 小 a 零的时候，首先我们知道啊，他是往上平移，因为是加一嘛， 而且他还是外随 x 的 增大而减小的，减小还加一长这个样。过第几项线？一二四，过这几个项线。这是我们的第八题，接下来我们来看第九题。 第九题，某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，居民每月应缴水费外是用水量 x 的 函数，如图所示， 分别求出当 x 在 零到十五和 x 大 于十五的这两个范围内。关于 x 的 函数解析式。首先来看第一个啊， 当这个 x 小 于等于十五，大于等于零的时候，我们会发现这个函数他过这两个点。咱们先把函数解析式设出来， y 等于 k 一 x， 因为他是过原点的，过原点的他就是正比例函数啊，所以说不用写 b 了， y 等于 k， x， k 不 等于零就行了。 过哪两个点呢？因为这个直线过零，零因为原点吗？零零还过这个十五六十，所以说满足两个解析式，分别是零等于零，还有一个就是六十等于十五， k 一 求解出来 k 一 的值是四，那么他就满足解析式， y 等于四 x。 第二个解析式还是啊， 先把范围写出来， x 大 于十五，把这个解析式设出来， y 等于 k 二， x 加上 b 二，其中 k 二不等于零。过哪两个点呢？过这个点和这个点，第一个点是十五六十，第二个点是二十九十，所以说代入就行了， 六十等于十五， k 二加上 b 二，九十等于二十， k 二加上 求减方程，这个方程是一号方程，这个方程是二号方程。我们拿这个二式减去一式就行了。先解等式的左边九十减六十得三十，等式的右面二十减去十五，那就是五倍的 k 二， b 二都减没了，所以说 k 二就等于六， 把 k 二等于六带入到一式之中，那六十等于十五乘以 k 二是六，再加上 b 二， 那么 b 二一定就等于六十。减去十五乘六十五乘六是九十，所以说 b 二就等于负三十，那这个方程长啥样？ y 等于六， x 减三十，因为我们算出来， k 二是六， b 二是负三十。 搞定了，后面当然还要写一个综上所述啊， 我写到这里吧。综上，当 x 小 于等于十五，大于等于零的时候， 它满足于这样的解析式， y 等于四 x， 当 x 大 于十五的时候，它满足于哪样的解析式呢？六 x 减三十。好，这是我们的第一问，接下来我们来看第二个啊，说了月用水吨数是九吨，应缴纳多少元的水费，我们可以观察到啊， 当他的月入水量，我们可以观察到，他的月用水量是九吨，九吨在这一块里了， x 在 零到十五之间，所以说咱们得带第一个方程， y 等于四乘九，等于三十六啊，所以说应缴纳水费三十六元，说某月缴纳水费一百零二元，一百零二元，看 y， y 的 一百零二肯定是 x 在 大于十五的时候，所以说咱们得带第二个式子啊。 那么一百零二，因为 y 所对应的就是水费嘛，等于六， x 减三十，把三十挪过去，六 x 等于一百三十二，那么 x 等于多少呢？一百三十二除以六，得数是二十二， 这个月用水的吨数就是二十二吨。后面再补答话就可以了。第十题，已知 y 与 x 加 b 成正比例之 y 与 x 加 b 正比例关系，给出了我们过的两个点，让我们求外关于 x 函数解析式， 因为 y 与 x 加 b 成正比例关系，那么 y 一定就等于 k 倍的 x 加 b， 因为与谁成正比例关系，谁前面加个 k 就 满足于这样的式子。但是后面我们别忘了， k 不 等于零， 过哪两个点呢？因为啊，函数过负三零啊，这不 x 等于负三， y 等于零吗？还过二负十这两个点。所以说我们可以代入，一个是负三零， 那就是零等于 k 倍的负三加 b。 另一个式子，负十和二 k 倍的二加 b， 看看我们此时应该怎么做啊。 这两个式子，我们先将它拆开吧。第一个式子是零等于负三 k 加上 kb。 第二个式子是负十等于二 k 加上 kb， 这是一式，这是二式。我们看这面啊，这是二式， 我们拿这个二式减去一式吧，等式的左边就是，剩什么呀，负十减零还得负十。 等式的右边就是二 k 加上 kb 减去，因为减负三嘛，那就是加三 k 加上 kb 就是 减 kb 啊，减完了负十等于五 k 呢，很容易就可以算出来， k 等于负二， k 等于负二，把 k 等于负二带入到任意一个市里。我们假设啊，带入到一市里面， k 等于负二，那么 b 就 等于三，因为不管 k 得什么值，要想让这个式子它得零，那负三加 b 一定得等于零，那么满足 y， 关于 x 解，其式就是 y 等于负二倍的 x 加三，将它化简，等于负二 x 减六， 这是 y 关于 x 的 解析式是负二 x 减六。接下来我们来看第二问，若 y 这个函数值的取值范围是这么多，求 x 的 取值范围， 那么 y 是 小于二大于负四的，它还等于负二 x 减六，所以说负二 x 减六，它是小于二大于负四的。 此时啊，咱们就来解这个不等式组，把这个不等式分成两部分，一个是负四小于负二 x 减六，还有一个是负二 x 减六，是小于二， 依次来解啊。第一个负二 x 减六，它是大于负四的，那把这个负六挪过去，那他就得是大于负四加六，大于二 x 负 x 等式的不等号不用发生改变， 两边同时除以二，负 x 大 于一，那此时我们得两边除以负一了。除以负一等式的不等式的，这个不等号就得发生改变。 x 小 于负一。 第二个式子也是一样的，负二 x 小 于，把负六挪过去小于八，那么再除以二，负 x 小 于四， x 就是 大于负四。所以说 x 取之范围就是 x 小 于负一，大于负四。 后面这个信息技术与应用还是老样子，大家可以自己去探索。下个视频我们来讲解一下第二十三章第三节依次函数与方程组和不等式之间的关系。

一次函数之前，我们没有任何的接触，所以非常抽象，老师帮我们总结了非常重要的一次函数知识点，关于 y 等于 k， x 加 b 的 图像和性质。在这里面主要学习 kb 的 取值范围 对图像的影响以及增减性。第一， k 大 于零，图像 y、 c、 x 增大而增大， k 小 于零，图像 y、 c、 x 增大而减小，与其具体位置无关。第二， 过象限。只要 k 大 于零，图像都经过一、三象限，同样， k 小 于零，经过观察图像，发现都经过二、四象限。 现在看 b 对 图像的影响。 b 是 一次函数图像与 y 轴的交点。首先看 b 大 于零，与 y 轴交于正半轴， b 等于零过原点， b 小 于零，与 y 轴交于负半轴。 所以这样我们再结合 k， 就 能找到具体函数图像经过的象限了。 k 大 于零，图像经过一、三象限。 b 大 于零，与 y 轴交于正半轴，所以图像经过一、二、三象限。同理， b 等于零，经过原点，这叫正比例， 所以 b 等于零，那么只有 k， 所以 经过一、三象限， k 大 于零， b 小 于零，图像经过一、三，与 y 轴交于负半轴，所以经过一、三、四象限。用刚才老师总结的方法， k 小 于零，图像经过二、四象限， b 大 于零，以 y 轴交于正半轴，所以经过一、二、四象限。 b 等于零，经过原点，所以经过二、四象限。 b 小 于零， k 小 于零， k 小 于零，经过二、四象限，同时以 y 轴交于负半轴，所以经过的是二、三、四象限。 老师帮我们总结了一次函数当中 k、 b 对 于图像经过象限以及增减性的影响。希望大家把这个表格记下来并背下去非常重要的知识点，以便于我们解题的时候直接套用。