咱们这个视频来说一下有关函数的表示。由上一节课我们知道,有解析式可以表示函数与自变量之间的关系,例如像路程与时间的关系,用途和表格也可以表示函数和自变量之间的关系,例如潮水高度与时间的关系, 与年利率与存款期限的关系。我们表示函数的时候,要根据具体情况去选择合适的方法。像有些问题中的函数关系很难用解析式来表示,但是我们可以用图来直观的反映。 所以说对于能用解析式来表示的函数关系,如果也能用画图来表示的话,就会使函数关系更加直观。例如我们举一个例子啊,正方形的面积 s 与边长 x 的 函数解析式为 s 等于 x 的 平方。 根据问题的实际意义可知,自变量 x 的 取之范围为 x 大 于零,因为我们的正方形的边长永远是大于零的嘛。 我们还可以通过在平面直角坐标系中画图的方式来表示 s 与 x 的 关系。那么接下来我们怎么才可以将这个函数解析式向 s 等于 x 的 平方对应到画图呢? 我们可以这样来做啊,我们优先找一个表格,在表格中填上依次对应的数,这样这个他给我们写好了。当 x 等于零点二五,因为零点五乘零点五等于零点二五吗? 当 x 等于一的时候, s 等于一,一的平方还是一?那我们继续往后写, x 等于一点五,一点五的平方是多少呢?是二点二五,当 x 等于二的时候,二的平方就是四。 当 x 等于二点五的时候,二点五的平方就是六点二五,当 x 等于三的时候, s 就 等于九,当 x 等于三点五的时候,三点五的平方啊,等于十二点二五,四的平方是十六,这样我们就完成了。 当我们把这些数值填好之后,我们就可以在平面直角坐标系中画出我们表中各对数值所对应的点, 用平滑的曲线依次连接这些点,所得到的这个曲线中的每一个点都能代表 x 值与 s 的 一种对应关系。例如在这幅图之中啊,一起来看一看啊,当 x 在 这里等于二的时候, s 呢,所对应的值就是四,这样我们就描述出了一个点,我们来看黄方框中的内容啊,四变量 x 的 一个确定的值与它所对应的唯一的函数值 s, 是 否确定了一个点 x x 呢?当然是的,没有问题,因为我们知道函数的定义就是表示两个量之间的关系, 同时呢,一个确定的自变量 x 只有一个唯一确定的值,也就是 s 与它对应,所以说没有问题,刚好就确定了一个点,这个点就是 x s。 但是我们自然而然的就会发现一个问题,像我们表示 x 与 s 对 应关系的点其实是有无数个的, 但是我们这个表格是不是只能画出有限个点呢?我们不可能画出所有的点,那么怎么来解决这个问题呢?在这里说了,我们实际上只能描出其中的有限个点,其他点怎么办呢?通过想象就可以把其他点的位置也描述出来, 这样我们就通过画图的方式来把这个函数表达出来了。来看后面的内容, 一般的对于一个函数,如果把自变量与函数的每一个对应值都作为点的横纵坐标,那么那么坐标平面内由这些点所组成的图形就是这个函数的图像, 在我们上面这个图就是我们 s 等于 x 方的图像了,长这个样子。最后我们还要关注这个蓝色的点,用空心圆圈表示不在曲线上的点。看这里啊, 我们写的是空心圆圈,因为我们说了这个 x 的 取值范围是他必须是大于零的,大于零意味着他不包括零,我们在零这里一定要画一个空心圆圈, 还有一个重要的点就是要用平滑的曲线连出画的点,因为如果你画的不平滑的话,那么我们的这个图就会非常的丑,也不能很明确的表示出其他各点的位置了。 好,接下来我们来看例,在下列式子中, y 是 x 的 函数,画出这些函数的图像,并且通过图像观察函数和自变量之间的关系。 我们来看,这里给出了两个函数式,一个是 y 等于 x 加零点五,一个是 y 等于 x 分 之三,注意这个 x 可有取值范围了,是 x 大 于零,我们依次来看。首先来看第一个, 从式子 y 等于 x 加零点五,可以看出, x 取任意实数时,这个式子它都是有意义的,所以说先说 x 的 取值范围是全体实数。 接下来我们再往后看,我们现在知道了函数的解析式,接下来我们就要用函数图像把函数解析式表示出来,而连接函数图像与解析式的关键点是什么呢?就是列表,接下来我们开始列表, 从 x 的 取值范围中选取出一些数值,计算出 y 的 对应数值,计算并填写表格中的空格。 当 x 等于负二的时候, y 的 值是多少?记住,就是我们对这个 y 等于 x 加零点五的这个式子。将 x 等于负二依次代入,当 x 等于负二的时候,那 y 不 就等于负二加上零点五了吗?等于负的一点五。 往后看,当 x 等于一的时候, y 不 就等于一加上零点五吗?得数是一点五, x 等于二的时候, y 呢,就等于二点五了。这样我们把表格填好之后,在平面直角坐标系中依次把我们这几个点描出来。首先先看这一个点,一个是负二,负一点五,负二是这里所对应的值是负一点五, 好对应好下一个点是负一,负零点五,找到负一,这个点对应负零点五,也对应好了。接下来另外三个点,依次是零零点五和一一点五以及二二点五。 描出这五个点之后,用平滑的直线连接这五个点,连出的这个直线,我们就将它看作这个函数的图像表示。从函数 y 等于 x 加零点五的图像中可以看出,直线从左到右是上升的, 及当 x 由小变大的时候, y 随之增大。这样我们就通过画图的方式,更直观的表示出了这个函数之间自变量和函数之间的关系。 我们来看看第二个式子是 y 等于 x 分 之三, x 大 于零, x 的 取值范围是全体正实数。从 x 的 取值范围中选出一些数值,算出 y 的 对应值。什么列表?注意啊,先写 x 的 取值范围是全体实数, 再在 x 的 取值范围中选出一些数值,算出 y 的 对应值。我们首先注意啊, x 的 取值范围是全体正实数,因为 x 大 于零啊。接下来我们就需要在 x 大 于零的范围里找到一些点。 首先先找的是零点五,零点五所对应的点,就是将 x 等于零点五带入 y 等于 x 分 之三之中, 那 y 等于 x 分 之三就是三除以零点五,那就是三除以二分之一呗。把这个比号看做除号,除以一个数, 零点五我就看作二分之一,那三除以一个数就乘一个数倒数啊,三除以二就变成了三乘二啊。等于六来这个式子等于六,那 x 取五, y 等于多少?计算后等于零点六, x 等于六呢? y 的 值计算之后等于零点五,这些就搞定了。 把表列好之后,就是在平面直角坐标系中描出表中所对应的点。 首先先说 x 取零点五的时候, y 的 值是六,在这里画的不太值啊,这里找到六啊。 x 取一的时候, y 的 值取三,在这里找好, x 取二的时候, y 的 值是一点五,也是依次找好。 后面找好点之后,我们用平滑的曲线连接出这个点,我们就将函数 y 等于 x 分 之三,其中 x 大 于零的图像描出来了。 通过图像我们可以看出,函数与自变量之间的关系就是曲线从左向右下降,即当 x 由小变大的时候, y 是 随之减小的,这不 x 由小变大吗?从一一直变到六,一直在往越来越大的地方变, 而 y 呢,所对应的函数值是越来越小的,我们找到他们的关系了。我们来看归纳中的内容,用描点法画函数图像的一般步骤是如图所示的,第一步先列表,第二步是描点,第三步是连线。 来仔细看一看,什么是列表啊?表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。 哎,就是说,我们先拥有一个函数的解析式,再通过解析式中取不同自变量的值,算它其对应的函数值。 再通过自变量和函数,以自变量的值为横坐标,函数值为纵坐标,描出表格中数值所对应的各个点, 按照横坐标由小到大的顺序,把所描述的各点用平滑的曲线连接起来,这样我们就把函数图像画好了。 接下来我们来看一下练习题。首先来看第一题,画出函数 y 等于二, x 减一的图像,我们我们先把这个数的自变量的取值范围写出来, x 的 取值范围为全体实数,再列表格。一般来说,我们取五个点就可以了啊。 我们像 x 取负二,负一,零一还有二,找找他们所对应的 y 的 值。当 x 取负二的时候,负二乘二,那就等于负四,负四减一等于负五。 当 x 取得负一的时候,那负二乘负一,那就剩负二了。负二减一嘛,等于负三, x 去零的时候,那 y 的 值二乘零等于零,零减一等于负一。 x 去一的时候, y 的 值是一, x 去二的时候, y 的 值是三。接下来我们直接画图就可以了啊, 记得在画图的过程中记得用尺子来画啊。把 x 等于负二这个负二的点标出来,他所对应的纵坐标的值为负五,把负五也标好一连线啊,这个点就是负二负五了。当 x 取负一的时候, y 的 值是负三啊,负三大概在这个位置, 当 x 取零的时候, y 的 值取负一大概在这个位置。 x 取一, y 的 值是正一, x 取二, y 的 值是三。用平滑的曲线连接就可以了,当然这没有连太好,同学们在画图的时候一定要用尺子啊,把这个点是等于负一标出来,这样我们就将函数 y 的 圆 x 减一的图像画出来了。 接下来看第二问,判断点 a 点 b 点 c 是 否在这个函数的图像之上。记住啊,如果 abc 他 们在这个函数图像之上,那么 abc 这三个点已满足于这个函数的解析式, 那么我们只需要把 abc 的 横动坐标带进去,看看他满不满足这个函数解析式就行了。来看看验证一下 a 选项啊。当 y 等于负四的时候, x 就是 二乘以负的二点五, 再减一算,算得数是多少啊?二乘以负的二点五等于负五,负五减一,那得负六啊,那负六跟负四它能一样吗?它不能,一样,负六不等于负四,所以说 a 点是不在这个函数图像上的。来看看 b 点啊,注意,它此时 y 等于三, 那么二乘以 x 等于一,一减一,得数是一,它和三相等吗?也不相等啊,所以说它也不在这个函数的图像之上。再看看 c 啊, c 点说了,它的 y 是 四, 二乘以 x 等于二点五,再减一,二乘二点五等于五,五减一等于四没有问题,所以说 c 点在函数的图像之上。接下来我们来看第二问,要求我们画出函数 y 等于 x 方加一的图像。我们可以观察到啊, 此时 x 的 取值范围为全体实数,它什么数都可以取,没有任何的判定。那么接下来我们就需要找几个点啊,还是找五个点? x 取负二,取负一, 取零,取一取二,找到它们所对应的 y 的 值。当 x 取负二的时候,负二的平方是四,四加一等于五, y 等于五, x 取得负一的时候, y 等于二。我们依次往后写好。接下来我们 把表格中所带有的点描在这个图像之上,然后用平滑的曲线连接这几个点。好,我们此时就将函数 y 等于 x 方加一的图像画出来了。 接下来我们来解决第二问啊,当 x 小 于零的时候,看 y 和 x 的 对应关系。我们可以观察到啊, y 是 随着 x 的 增大而减小的。那当 x 大 于零的时候呢? y 和 x 的 对应关系又是什么呢? 我们可以观察到啊,当 x 越来越大的时候, y 的 值会越来越大的。所以说,当 x 大 于零的时候, y 随 x 的 增大而增大。 接下来我们来看后面的内容啊,这是一个思考题。像这幅图中是自动测温仪记录的图像, 它反映了北京的春季某天气的气温。我们用大写的 t 来表示,随时间,我们用小写的 t 变化而变化。我们可以从图中得到一些信息。从图中我们可以看到啊,气温 t 随时间 t 的 变化而变化。 对于时间 t 的 每一个确定的值,气温 t 都有唯一确定的值与其对应。所以我们可以观察到,气温 t 是 时间 t 的 函数,这两个量之间是有关系的。 从图像中我们可以看到啊,在一天中,凌晨四点的气温是最低的啊,因为在这个点吧,气温是最低的,因为他处于这个函数图像的最低点。十四时,也就是下午两点的 气温是最高,有多少度呢?是八摄氏度啊,能描过来,从零时到四时,气温呈下降状态,也就是说温度随时间的增长而下降,从四时到十四时,气温呈上升状态,而十四时到二十四时,气温又呈下降状态, 先降再升再降。通过图像我们可以很明确的看出时间和气温的变化规律。第三个就是我们可以从这个图中发现的一些有趣的事。 第三个就是我们可以从这个图像中观察到这一天中任意时刻的气温大约是多少都可以看出来啊。我们接着利用图像来解决一些问题来看。例二,如图所示,李明家食堂、图书馆都在同一条直线之上哎,一条直线之上, 李明从家去食堂吃早饭,再去图书馆查资料,然后回家。这幅图,图中反映了李明离家的距离 y 和时间 x 的 对应关系, 这个应该写错了,这应该是李明啊,不是小明。来看,第一问,食堂离李明家有多远?而李明从家到食堂用了多长时间?我们来看啊,李明从家的位置距离是零吗?所对应的 y 就是 零, 他还在家呢,开始走走走走走走去到食堂,到这个位置,到食堂了,在食堂吃早饭, 早饭的过程中,他是不动的呀,从这个点开始出发去图书馆走走走走,又走了一些距离,在图书馆的量同时他是不动的。查完资料了,好,从这个点之后开始回家,从这个图中我们就可以观察到他的过程, 那我们来回答一下第一个问题,食堂离李明家有多远?李明是从原点 o 开始走了多远才到的食堂啊?这个点是食堂吧?多远?零点六千米。问,李明从家到食堂用了多长时间呢?多长时间?我们得看横坐标啊, 从零到八用了八分钟。第二问,李明吃早餐用了多长时间?我们刚才描述了这个过程,在这个点到这个点,这中间的距离是我在食堂吃早餐的时间,时间是多少啊? 二十五和八,所以说二十五到八一共多长时间?拿二十五减八等于十七分钟,他吃饭吃了十七分钟。第三问,问,食堂离图书馆有多远? 哪是哪是食堂,哪又是图书馆呢?他这块距离就是说在零点六的,也就是说在零点六千米的这个距离里, 是食堂走了这么长的距离,他才到了图书馆,所以说这么长的距离就是零点六到零点八之间的距离,那就是食堂和图书馆的距离了 有多远呢?我们拿零点八减去零点六等于零点二千米。第二问,李明从食堂到图书馆用了多长时间?不就是走了我刚才画红线的这一部分吗? 时,时间时间看红坐标,二十五分钟到二十八分钟。我,所以说我们拿二十八减去二十五等于三分钟,李明从食堂到图书馆用了三分钟。 接下来看,李明查资料用了多长时间啊?这一部分是他查资料的时间呢?是拿五十八减去二十八就可以了啊, 五十八减去二十八,格数是三十单位十分钟。第五问,问,图书馆离李明家有多远?哪是图书馆?这是图书馆呢, 这个位置是李明家呀。李明家到图书馆不就是零到零点八的距离吗?所以说距离是零点八千米。最后问我们 图像中的最后一部分,就是李明从图书馆回家的平均速度,此时既没问我距离,也没问我时间,而问了我们一个速度。速度和距离和时间有什么关系呢?其实速度是等于路程除以时间的, 这是等于 s、 b、 t。 是 我们在物理中描述速度方式,在数学中不用写啊,我们只需要把平均速度表示出来就行了。 从图书馆回家,先找路程,路程是多远?就是零点八千米。第一个我们刚才已经回答了啊,零点八千米除以时间是多长时间?六十八到五十八呀, 那就是拿六十八减去五十八,零点八除以六十八减五十八等于十,那就是零点零八。单位要注意啊,是拿千米比上分钟搞定了。 其实我们在物理之中啊,这个单位也是这么出来了。像我在这里以物理为例啊, v 等于 s、 b、 t, 像路程我们是两千米,物理中是不是得写两千米啊?时间是多少啊?时间是一小时, 那他的速度就是两千米每小时。我们在物理中不止要除以数和数之间相处,二除以一得单位和单位之间也得相处。千米除以小时,那就是千米每小时。 物理中是这么写的,那数学中呢?你也可以这么写单位啊,他不就路程是零点八千米,千米除以他的此时可就是分钟了。千米除以分钟,我们就写千米每分钟就可以了啊。 来看后面的是初上给的解答过程,同学们课后也可以自行去查看啊。接下来我们来看探究啊, 要求我们发挥自己的想象,构建合适的问题,情景是变量之间的函数关系,可以向这两幅图的图像之中来表示希望。我们来看探究的第一个啊,随便来想一想啊, 是横坐标是分钟,纵坐标是米,也就说横坐标是走了多长时间,纵坐标是走多少米?那我们来看看吧, 就像可以从这幅图中可以描述一个老年人遛弯的一个想法啊,像老年人从家在这里出来溜达溜达,溜达,溜达,溜达多长时间呢?溜达二十分钟, 溜达了多少米啊?九百米,到哪呢?位置上,我们想想他到哪呢?其实假如说他就到了一个公园, 他见到公园之后,一刻不停,立马往回走,走了多少米啊?还是九百米啊?因为他家到公园走了九百米,回去还得走九百米。走了多长时间?还是四十减二十,走了二十分钟, 这样就可以描述出一个场景了啊。那第二幅图我们可以怎么表示呢?还是一个老年人从家开始去一个公园吧,还是去公园走了多长时间?零到二十啊,走了二十分钟,走了多远呢?九百米啊,从零到九百,走了九百米。继续 他这块时间平了不动了,说明他干啥了?对,聊天聊了多长时间?三十减二十,聊了十分钟。聊完天之后,一看表,太晚了,我得回家了, 所以说此时他只花了十五分钟就溜达回家了。十五分钟,溜达多少米呢?还是九百米啊?此时因为就在公园聊天啊,溜达了九百米搞定, 这样就可以构建一个合适的问题情景啊。当然,大家还是可以构建很多有意思的情景,如果你构建出了这个情景,欢迎你发在弹幕或者评论区里,可以和大家一起探讨一下啊。 接着我们往后看看练习题啊。首先来看第一题,园林队在某公园进行绿化,中间休息了一段时间,已知绿化面积 s 与工作时间 t 的 函数关系,图像如图所示。来,我们想办法通过这个图来和我们现实生活构建联系啊。 刚开始构建绿化,自然而啥也没干呢,我就干了零,继续往后走了一会。干了多长时间呢?工作表是一个小时, 干了多大面积呢?总坐标六十平方米,休息了就到我们第一湾了。休息前园林队多长时间工作了一小时啊,这不一小时吗?绿化面积搞定了多少?搞定了六十,问,中间休息了多长时间呢?这不从两小时到一小时之间吗? 为什么能看出他休息了?因为他啥也没干呢?工作的绿化面积一点没增加,所以说他这一个小时之内啊,也一定是休息的啊。二减一等于一小时。第三问,休息后园林队。第三问,休息后园林队每小时完成的绿化面积是多少啊? 看看问,我们每小时完成的绿化面积,不就得用他完成的绿化面积的和除以我用了多少小时吗?他在休息之后干了多大的面积啊?一百六减六十,他就干了这么多面积,用了多长时间? 两小时到四小时,用四减二,用四减二算出得数就行了。那休息后的时间用了多长时间? 四减二就可以了,一百六十减六十是一百四减二十二,得数就是五十平方米,每小时就干了五十平方米。 因为这道题他问的是每小时完成的绿化面积是多少,所以说是五十平方米。他如果说问你园林队在休息之后的工作效率是多少, 可能你就得写五十平方米每小时了啊。因为他问的题目不一样,所以说他的单位也不一样。接下来我们往后看看。第二问啊,这是某一天北京和上海气温随时间变化的图像。 问,在这一天之内啊,北京和上海何时气温是相同的?也就是说我们看这两条线在哪两? 也就是说我们看这两条线什么时候相交啊?这个点相交了,这一个点相交了,问的是时间,那么这几个点分别锁定的时间是多少呢?是七点 在这个点吧,七点以及十二点以及这个点是四点。第二个,北上海在哪段时间比北京的气温高?我们先来看看哪一段是上海,略微描一下。好,也就是说我画红线的部分是上海的。 那他在哪段时间内比北京气温高呢?其实是七点到十二点,这一段时间内,他是比北京气温高的。还有哪一段啊?十四点到二十四点,在哪段时间比北京的气温低呢? 其实也就是这个零点到七点之间,以及十二点到十四点之间。这是我们第二份的内容。 第三问,问,你还能从函数图像中得到哪些信息呢?即使我们发现北京和上海这两个城市的气温随时间的变化趋势是差不多的,他们每城市的气温最高的时候差不多都出现在三十左右。 这是我们从函数图像中得到的一些信息,还可能得到一些其他的信息啊,大家可以自行去观察。接下来我们来看看第三个,如图,构建问题情境,使其中变量之间的函数关系可以用图中的 图像来表示啊,这个我们可以随便想一个呗,这样有一个初中生,他出门了,出门走到离家多远的地方啊?在离家一千米的地方,一个什么地方呢?也是公园吧,突然想起来坏了,我上学没带书包, 所以说怎么办,我得往家跑啊,跑了六分钟就到家了,这跑的够快了,六分钟到家了。跑了多少米呢?跑了一千米到家了,到家之后拿了书包,太累了, 我再慢慢的再去,再回去上学吧。又走了一千米,他此时不着急了,我拿书包了呀,走了十八减六十二分钟,走了一千米, 继续到公园,我接着上学去。至于他往后再走多远到学校,那我们就不用管了,我们只需要构建一个这样的问题情境就可以了啊。 由上面的内容啊,可以知道,写出函数解析式或者列表格,画函数图像都可以表示出具体的函数。这三种表示函数的方法分别成为解析法、列表法和图像。 接下来我们来回答思考题之中的问题,你认为三种表示函数的方法各有什么优点?我们可以一起来想一想啊。首先咱先说解析函数解析式啊,可以简单明了的 准确的反映出整个变化过程中自变量和函数的关系,而我们来看后面一个啊,列表法, 它是一目了然的,我们把表格都列出来了,很多个点我们都可以表示出来啊,都表中已有自变量的每一个值,可以直接得出相应的函数值。 继续来看图像,它可以直观形象的表示出函数的关系。好,这是我们道题之中三种表示函数的方法中的优点。那么对于一个具体的函数问题啊,我们应该选择适当的方法表示其中的函数关系。 有时未全面的认识问题,我们不一定只使用解析法,还可以加上列表法,还可以加上图像法啊, 像我们看一下第三种的内容啊,有一个水库,他的水位在最近五小时之内持续上涨, 像我们在这个表中啊,用了列表法了,记录了五小时内六个时间点内的水位高度,其中 t 表示时间外表水位高度。第一问,在平面直角坐标系中描出上面图中数据所对应的点, 这些点是否在同一条直线上?你能发现水位变化的规律吗?这里我们描好了,将这六个点依次描在这个平面直角坐标系上, 找到这个水位变化的规律,发现这六个点确实是在一条直线之上的,可以发现每小时水位都上升零点三,你看刚开始是三米,第二次一个小时之后是三点三米,然后三点六,三点九,四点二,四点五。由此可以猜想, 如果画出五小时之内的其他时刻,相等于等于二点五小时的时候,他水位及其所对应的点应该也在这一条直线之上,就说在这个时间之内啊,水位是始终以同一速度均匀上升的, 这样我们就把第一问解决了,接下来看第二问,水位高度 y 是 不是时间 t 的 函数啊?如果是的话,请写出函数的解析式,并且画出这个函数的图像。这个函数可以表示水位的变化规律吗? 我们来看,由于这个水位啊,在五小时之内持续上涨,所以说时间 t 就是 横坐标,每一个确定的值,水位值都有唯一的值与之对应, 所以说 y 是 t 的 函数,开始时呢,水位高度为三米以后,每小时水位上升零点三米,那函数我们就这样表示出来了, 最开始是三米,第一个小时的时候上升一个零点三,第二个小时不就得上升两个零点三吗?所以说这是表示数据中的一个函数,它表示 t 小 时水位高度 y 为零点三, t 加三米, 他的图像呢?我在这个图纸中啊,点 a 零三到点 b 五四点五之间的线段 a b。 如果在这五小时之内啊,水位一直匀速上升,升速为零点三米每小时,那么这个函数啊,就精确的表示了这种变化规律,就是说在是在这五小时之内, 水位的升速有些变化,但是由于每小时水位上升零点三米是确定的,所以说这个函数啊,也可以近似的表示出水的变化规律。接下来我们来看第三问啊, 如果说这种上涨规律再持续两个小时,这两个小时之后,水位的高度为多少米?再持续两小时,那现在已经五个小时了,再持续两小时,不就是七个小时吗?七个小时怎么着? 所以说呀, t 等于五加二等于七小时,我们的函数一式式 y 等于零点三, t 加三呢? 那 t 我 取几啊?就带七啊,把七带进去,算出得数是五点一,那么把函数的图像向右延伸到 t 等于七十,所对应的位置,也可以看出它水面的高度大概是五点一米啊, 从这幅图中啊,我们可以看到啊,上来我们用的是列表法,用解析式法把它的规律找出来了,再利用函数的图像法把这个规律直观的表示出来, 体现出了有些函数的不同表示方法之间是可以进行转化的。接下来我们来看看练习题。第一题,用列表法和解析法表示 n 边形的内角和 m。 关于边数 n 的 函数, 我们先把表列出来,先把边数 n 找出来,内角和是 m, 我 在这里就不画表格了啊,最小的 n 边形,那得是三边形啊,三角形吗?内角和是一百八十度,下一个四边形,内角和是三百六十度。 五边形呢,那是五百四十度,往后我就不写了,我不可能一直写这么多呀。 n 边形,它的内角和度数是 n 减二乘以一百八十度。这个我们之前已经学过了啊, 我们用解析式表示出来,其实这个就是我们的解析式啊,我们解析式也是通过总结这个 n 边形它的表中的规律找出来的啊, n 等于等于 n 减二乘以一百八十度的啊。 第二问用看第二题啊,第二题要用解集式法和图像法表示等边三角形的周长 c, 关于边长 a 的 函数在此时啊,我们要注意,我们要自己用图像法画图了,在这里呢,我们要仔细来说一下啊,画图像,刚才我们提到了, 一共是三步,分别是列表、描点和连线。在这里我要提出一些注意点啊,第一列表的时候,我们只需要描述出它的数字就可以了, 也就是说我可以不带单位,不带单位不意味着你的单位不统一啊,你单位也得统一,但是这几道题没有考察到啊。描点这个比较好说,一定要描的准就行了啊, 别太离谱就行。连线呢,注意要用平滑的曲线,描的好看一点,但是我们在描点和连线之间呢,要有一个注意,我们需要在平面直角坐标系上进行描点连线。在平面直角坐标系包括什么呀? 你得把横轴和纵轴描述清楚了吧。同时呢,横轴纵轴描述清楚之后,我们还得把函数解析式写在函数的周围,这个别忘了, 这是我们的注意点。接下来我们带着这个注意点来解决问题。第一个啊,我们先把解析式描述出来啊,等边三角形,它的周长就是它三条边长,长度还一样,那 c 就 等于三 a 搞定。 但是别忘了,这个式子我还得有自变量, a 的 取值范围, a 永远是大于零的啊,所以说在这里不要忘记啊,之前我得写解析式,解析式中 一定得带自变量取值范围,如果说你带了自变量取值范围,你在瞄点的时候才不会忘记,不会忘记什么呀, 空心圆呢,也就是说你不取这个点的时候,你得瞄空心圆呢,这样你才不会缺某个点落某个点,导致你在考试做题的时候图画的不标准,不规范啊, 还是把解析式搞定。接下来我们来瞄点画图点一般瞄几个呀?为了保证它的精确啊,最少你得瞄五个, 一般来说你秒五到七个就差不多了。所以说秒点秒这么多,那咱们这里啊,那就秒五个就行了啊,表格一定要一定要好好画啊,拿尺子画画,画齐了画直了。我在这里呢,因为不太方便,我就不拿尺子画了啊。 自变量放前面,函数放后面,自变量取一二三四五,取五个就行了啊,所对应的周长三六九十二十五。在平面直角坐标系上画图,平面直角坐标系中 x 轴所对应的是自变量 a。 这道题中 a 没有单位啊,咱就只写一个 a 就 行了啊。纵坐标,也就是说函数轴所对应的值是 c, 依次找点啊,一二三四, 但是位置比较小,在这里就差不多点一点就行了。一所对应的点是三二,所对应的点是六,三所对应的点是九,四所对应点是十二五,所对应的点是十五,以此相连就行。但是问题来了, 我取零的时候是多少呢?注意, a 不 能取零,但是我们得大概估计一下 a 如果取零,也就是说这个边长 a 无限小的时候,周长得多少也得无限小,所以说那边长 a 是 零的时候,周长也得是零,但是我们又取不到零。空心圆呐, 在这描一个空心圆,待会这描太大了,然后用平滑的直线连接,这就是我们的函数。接下来我们来看第二问啊,有一条小船呢,沿直线向码头匀速前进, 在零分钟、两分钟,四分钟、六分钟的时候,测得了小船与码头的距离是二百米,一百五十米,一百米,五十米。 问,小船与码头的距离, s 是 时间 t 的 函数吗?当然是啊,没有问题。因为我们会发现啊,任意一个自变量 t 都有一个唯一确定的 s 与之相对应,所以说没有问题,是函数图形如果是行,写出解析式, 那么怎么写解析式呢?我们还是把表格画出来,通过表格来找出这四个时间和四个距离。他们之间有什么关系啊? 第一个是 t, 第二个是 s, t 呢是零二四六,发现他们每一个都相差二 s 呢,是二百、一百五十,一百五十。发现啊, 每一个 t 都相邻二,每一个 s 都差五十,那 s 就 等于在二百的基础上,每过两个 t, 我 就少五十,就是减去五十。 但是五十乘 t 对 吗?不对呀, t 我是 一个一个走的。那很简单呢,我们就算每一个 t 走多远呗,那就是二分之五十啊。这不嘛,两分钟走五十,那一分钟不就走二分之五十吗?化简一下等于二百,减去二十五 t, 因为五十除以二等于二十五嘛, 我们画还是图像平面质量,坐标系横坐标,我们写自变量就是 t, 纵坐标,我们写函数是 s, 在 t 等于零的时候, s 所对应的值是二百, t 等于二的时候, s 所对应的值是一百。 t 等于六的时候呢,所对应的值是五十。用平滑的曲线连接。连到哪呢? 还能不能往下走啊?我不能到哪头,之后我又回去吧。所以说我们的图像得画到这,画到这的时候就提示我们了,我不能到哪头,之后我又回去吧,所以说我们的图像得画到哪头,之后我又回去吧。所以说我们的图像得画吗?不能了,为什么不能啊? t 他 得有自己的取值范围,所以说我还得带自变量的取值范围, 那 t 的 取值范围是多少呢?第三问就让我们求了,小船到达码头用了多长时间?我在这个时间之后我船就靠码头了,我不走了。所以说,第三问就是求这个 t 什么时候小船到达码头啊? s 等于零的时候啊, 也就是说二百减去二十五 t, 他 得等于零解这个方程,二十五 t 等于二百 t 呢,等于八。所以说呀, 小船到达码头用了八分钟。这是我们的第三问。咱们接着来往后看啊,看后面题型内容的复习巩固。第一题,画出下列函数的图像,我们还是啊,先画表格, x 取负二,负一,零一二就可以了, 找一找他们所对应的 y 啊。当 x 等于负二的时候, y 等于负一, x 取负一的时候, y 等于负零点五, x 取零的时候, y 等于零。 x 取一的时候, y 等于零点五,取二的时候等于一啊。把函数图像画出来,注意啊,倒好,它自变量 x 的 取值范围,注意啊,标好 x 的 取值范围,画表格,横坐标是自变量,纵坐标是函数值。负二对负一, 负一对负,零点五,零对零一对一,点五,二对一。哎,这么一连就可以了啊,都取得到,没有取不到的,所以说不用画空心圆啊。第二个还是啊,把取值范围画出来是 x 大 于零,把表格画出来 x y 既然 x 大 于零,那 x 咱们就取点好取的数呗。 x 取一, y 等于负三, x 取三, y 等于负一, x 取六, y 等于负的二分之一, x 取九, y 等于负的三分之一, x 取十二, y 等于负的四分之一。好像是越来越大的啊。 画图平面,只要坐标系横坐标是 x, 纵坐标是 y, 零不能取。 那我们从一开始取一所对应的值是负三,三所对应的值是负一,就是六所对应的负二分之一,负三分之一,负四分之一。哎,发现它好像是有这么一个规律的平滑的曲线相连 图像长这个样啊。第二个,下列各曲线中表示 y 是 x 的 函数。这道题又考我们函数了,是使每一个字变量都有一个唯一确定的 y 与它对应。像第一个函数,任何一个 x 只有一个 y 与它对应,没问题啊。对啊, 第二个,任何一个 x 都有一个 y 与它对应,没有问题。第三个也没问题,任一个 x 都有一个唯一确定的 y。 第四个有毛病了, 我在这取一个点,这好家伙了,我这取一个 x, 一个点,俩点,三点这么多点和他对应,那他能啥数吗?不能啊,所以说这是第二题啊。 接下来我们来看第三题啊。这是一个漏壶,是古代的计时器,壶内壁呢度 在它的内部呈一定量的水,水从湖下的小孔中往外露出,人们根据湖中水面的位置来计算时间,用 x 表示漏水时间,外表示湖底到水面的高度,也就是说外表是这个的高度。随随着水的越来越少啊,那这个 y 也会越来越小。 问,下列图像中哪个表示 y 与 x 的 对应关系啊?来看第一个啊, x 是 时间,时间越来越长,水越来越多,那你漏啥呀?你不越,那你得越来越少吗?所以说至少得是 x 越大,它 y 的 越小,至少得是这个图像的呀。所以说第一个不行啊。 问题来了,第二个和第三个都是随着时间的增多, y 变小,但是变化的速度是不一样的, 要哪个呢?既然说是漏壶,不考虑水量变化对压力的影响,还说他是计时器,如果我们按三的话,咋时间是先过得很快,再过得很慢呗?这肯定不对啊。所以说,这道题啊,我们选第二个啊。 接下来我们来看第四题。已知啊,刘伟家体育场、文具店在同一条直线之上,他构建了一个数学模型,刘伟从家开始跑步,去体育场,体育场锻炼, 锻炼之后呢,又走到文具店去买笔散步回家,就是这样的一个过程啊, x 表示时间, y 表示刘伟离家的距离。第一个啊,问体育场离刘伟家有多远?先从家跑步去体育馆,跑了多少米, 他就跑了多少米,体育场就离刘伟家有多远有多远呢?二点五千米,刘伟从家到体育馆用了多长时间?多长时间?看红坐标,从零到十五,他就走了十五分钟。第二个体育场离文具店有多远?他在体育场锻炼,锻炼之后等于说他往回走去文具店, 那这段距离就是体育场和文具店的距离,怎么算呢?拿二点五千米减去一点五千米就是了。 最后是一千米,问刘伟停留了多长时间?他在这段时间内不动了,拿横坐标的六十五减去横坐标的四十五等等于二十分钟,在文具店就待了二十分钟,最后从文具店回家的平均速度。 速度是用路程除以时间。路程是多远?一点五到零啊,那路程就是一点五,时间是多少?一百减去六十五,那就是一点五。除以一百减六十五是三十五。我们就会发现, 完了这俩除不开,除不开,我怎么除不开?怎么办呢?写分数就可以了啊,先把这个十五,先把这个一点五变成十五,那就是十五除以三百五。十分式的分子和分母同时乘除一个相同的数,分数的大小不变, 上下同乘十,再同时约五呗,上面约五是三,下面约五是七十七十分之三,再把单位写上是千米每分钟,这是我们的第四题。 好,接下来咱们来看综合运用的第五题。某铅球运动员在出手高度、出手速度等条件相同的情况下,出手就在一定范围内。与掷出铅球的最远距离的数据如下图所示,咱们来看看问题是什么啊? 第一个就是既出手角度为 x 度,至出距离最远为 y, 问, y 是 x 的 函数吗?为什么?首先我们来看啊,每射出手角度为 x 度啊,最远距离为 y, 每一个 x 都有一个确定的 y 与值对应,所以说我们就说 y 是 x 的 函数, 也就是说每一个出手角度 x 都能找到唯一确定的最远距离 y, 所以 说 y 是 x 的 函数。好,我们来看第二题啊,从表格中的数据来看,随着出手角度的增大,最远距离如何变化? 出手角度越来越大,最远距离也在逐渐增加。所以说我们在这里写一下我们的发现就可以了。 好,这是我们的第五题。接下来我们来看第六题。某种固定的理财产品的年化收益为百分之二点七五,存入一万块钱作为本金,如果理财期间每年产生的利息不计入本金,重复计算利息。 求,本息和 y, y 呢?是本金和利息的和啊。关于所存年数 x 的 函数解析式。好,我们来把解析式列一下啊, 就是问,本息和吗? y 等于本金,本金就一万块钱,再加上利息,利息就是本金乘以利率是百分之二点七五,再乘以所存的年数 x 啊。化简之后,我们可以这样写啊, 就是一万加上二百七十五 x。 好, 并且计算存期为四年时的本息和,那 x 等于四,代入就可以了。 y 等于一万,加上二百七十五乘四, 算一下得数等于一万一千一百元。接下来我们来看第七题。正方形的边长为三,若边长增加 x, 则面积增加 y。 求外,关于 x 的 解析式,并且用表格的形式表示出,当 x 等于一二三四是 y 的 值啊, 那咱们算算吧,面积增加的 y 是 不是就等于现有的新面积是三,加上 x, 这是新的正方形的边长,他的平方就是新的正方形的面积吗?再减去原来的面积,原来的面积不就是三吗? 三个平方。那简单化解一下啊。第一个是一个完全平方公式,三三得九,再加上二三得六六 x 再加上 x 双减去三三得九, 等于呢? x 方加上六 x 啊,这是我们的解析式。接下来呢,我们列表格就可以了。 x y, 当 x 等于一二三四的时候,看 y 的 值啊, x 等于一,那一的平方还是一?一加六等于七, x 等于二呢? 四加上十二等于十六, x 等于三,那就是九加上十八等于二十七, x 等于四十六,加上二十四等于四十。好,这是我们第七题,接下来让我们来看第八题。现在有甲乙两辆车沿直路同向行驶,同向两个人都往一个方向走啊, 车速分别是二十米每秒和二十五米每秒。现在假车在乙车前面五百米处,我来标一下啊,像这里是一个假车,这是车, 假车车速是二十米每秒,乙车车速是二十五米每秒,现在这两个车之间的距离是五百米,要求我们用函数解析式和图像来表示出 y 与 x 的 关系。 那我距离不就是甲走的距离减去乙走的距离,中间再加上隔的这五百米不就好了吗?那算算相距的距离外,就是甲走的,甲走的距离就是二十米每秒,速度乘以时间的, 但是他比乙啊,先跑五百米,所以说这是甲一共走的路程, 乙走的路程呢?他就是老老实实的从这个原点开始走,减去乙的速度,减去乙跑了多远? 乙是二十五米每秒,他跑的也是 x 秒,简单计算一下,等于五百,减去二十,减二十五等于减五 x, 这是他们的对应关系。好,写完解析式之后啊,我们不要忘记啊,把这个 x 的 取值范围写到旁边, 零小于等于 x 小 于等于一百啊。接下来我们用图像来表示他们的关系,用图像先画表格, x 取多少, y 又得多少啊。 我们让 x 取零开始我们尽量差不多的数来找啊,而且尽量保证好算二十四十、六十八十,取正数就可以了啊。 我们开始把 x 的 取值依次来写,尽量使每两个 x 之间的取值差是一样的啊。从零开始,取一个二十五, 取一个五十,取一个七十五,再取一个一百,刚好五个啊。取零的时候哇,五百减去零乘五,那还能五百。 这二十五的时候得数是三百七十五,继续二百五十,然后是一百二十五,最后是零。依次画表格,先画出平面直角坐标系,横坐标是 x, 纵坐标是 y, 相距的距离单位是米, x 单位是秒, 依次来写,当 x 等于零的时候, y 对 应的是三百七十五,依次来找啊, 五十的时候就剩下二百五十了,七十五的时候是一百二十五,最后一百的时候是零,然后顺次划下来就可以了。这是我们第八题的内容。好,接下来我们来看第九题。甲乙两辆汽车从 a 城出发去往 b 城, 行驶过程中,两车离开 a 城,行驶的路程 y 与时间 t 的 对应关系如图所示。问,从 a 城到 b 城,甲乙两车各行驶了多少米?我们发现横坐标是时间,纵坐标是路程, 他们两车之间行驶的距离是一样的,因为我们都是从零这个点行驶到三百千米这个点,所以说各行驶了三百千米。第二问,哪辆车先出发呀?当然是假车,假车五点就出发了。 假车先出发,哪辆车先到的 b 城啊,就说谁先到的这个三百千米啊,是以车先到 b 城。第三问问甲乙两车的平均速度是多少啊?平均速度就是用路程除以时间吗?先算假车,他的路程是三百千米, 他的时间呢?五点到练,一共是五个小时,所以说得数是六十千米每小时。你车呢?他也走了三百千米,他用了多长时间?六点出发,九点到,他就用了三个小时, 得数是一百千米每小时。第四个是一个可以自主拓展的题啊,还可以从中得到哪些信息啊? 可以说甲乙两车在七点半的时候相遇,当然也还可以得出其他问题啊,大家也可以自己在弹幕和评论区里去分享一下啊。 这就是我们关于第二十二章第二节的全部内容了啊,后面还有一些关于数学活动,还是老样子,大家可以自己去观察去做一下。下个视频,我们来讲一下关于本章的小节。
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前面我们学习了平面直角坐标系的知识,那同学们能写出这个坐标系图中各点的坐标吗?小芬说,老师,我能, a 点的坐标是二六, b 点的坐标是五四, 低点的坐标是二四,低点的坐标是二一。嗯,小分知识掌握的不错哦!老师最喜欢画轴对称的图案了,所以老师先把坐标系中的四个点连接起来,组成一面小旗。接着分别以 x 轴和 y 轴为对称轴, 画出了关于 x 轴对称和关于 y 轴对称的轴对称图案。那同学们知道这两个图案标的点的坐标又是多少吗?阿道说,我知道 a 的坐标是二负六, b 的坐标是五负四, c 的坐 标是二负四,第一的坐标是二负一。小只说, a 二的坐标是负二六, b 二的坐标是负五四, c 二的坐标是负二四,第二个坐标是负二一。嗯,同学们真棒! 接下来我们来看看关于 x 轴对称的图案对应点的坐标有什么特点。 同学们看,通过对比能发现, a 点和 a 一点的横坐标相同,纵坐标是相反数,其他对应点的坐标也有这样的特点。那就说明关于 x 轴对称的两个点的坐标横坐标相同,纵坐标互为相反数哦! 再来看看关于歪轴对称的图案对应点的坐标有怎样的特点?列出来后,能发现 a 点和 a 二点 的纵坐标相同,横坐标却是相反数了。对比其他对应点的坐标也能发现这样的特点。那也就说明关于歪轴对称的两个点的坐标纵坐标相同,横坐标互为相反数哦! 同学们看这条鱼,它是由平面直角坐标细内的点零零五四三零五一五负一三零四负三零零, 依次连接得到图案。假如将个点的横坐标保持不变,纵坐标分别成负一,那依次连接这些点,你们觉得会得到怎样的图案呢? 我们来看看。横坐标保持不变,纵坐标乘负一,那么个点的坐标就变为,零零五负四三零五负一五一 一三零四三零零。与原来的坐标相比,横坐标相同,纵坐标变为相反数了。依次连接起来后得到的图案也是一条鱼。 通过观察能发现,这条鱼与原图案是关于 x 轴对称的图案对称了,那么对应的点也就会对称了,那也就是说,横坐标相同,纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称, 假如是将这条鱼的各个点的纵坐标保持不变,横坐标分别成负一,然后连接起来,又会得到怎样的图案呢? 纵坐标保持不变,横坐标乘负一,那么个点的坐标就变成,零零负四负三零负一负 负一负三零负四负三零零。与原来的坐标相比,纵坐标相同,横坐标变为相反数了。得到的图案也能发现是与原图案关于歪轴对称的 对应的点,也关于歪轴对称,那就说明纵坐标相同,横坐标互为相反数的两个点。关于歪轴对称了。 简单总结一下,一、关于 x 轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。二、关于 y 轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。 三、横坐标相同,纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称。四、纵坐标相同,横坐标互为相反数的两个点。关于 y 轴对称,观看完整版课程,关注花花老师。

今天我们来分享一次函数与方程啊,综合题,我们来看一下题给了我们一条直线 l 一, 解析式含 m 的 一个参数 交,这个重轴 a 点给了我们直线二啊,也有一个参数, k 交 x 轴点 b, 两条直线啊,两条直线交与焦点是 d。 第一位,让我们求直线焦点 d 的 坐标啊,求 d 点 d 的 坐标,我们只需要连立啊,这两条直线 y 一 y 二,因为他的 x 和 y 既在这条直线上,也在这条直线上,也就是 x 满足他,也满足他, 所以我们只需要连立这两个解析式就行了。但是我们再连立,需要把解析式的 k 求出,把 m 求出,那我们来看,当 x 等于零,我们的 y 呢? y 轴交点就是 m, 那 在这里, a 点的坐标就是 y 轴交点已经给了我们零到六,所以它是 y 等于负的四分之三, x 加六。那在这里一样的,我们把点 b 的 坐标带入进去,负二到零 啊,负二到零,也就是零等于负二, k 加一,这样的话,我们这个 k 是 等于二分之一,也就 y 等于啊,二分之一, 二分之一, x 加一。好,拿到了两个解式,我们去连立,连立起来,也就是二分之一的 x 加一,等于负的四分之三, x 加六。这样我们去解一下啊, 左右两边同时乘以四加四等于负三, x 加二十四,呃,移过去五, x 等于二十, x 等于四, x 等于四 啊,带入带入任意一个方程啊, y 四等于三, y 等于三,所以我们的点 d 的 坐标就是四等三啊。这第一问我们就解决了, 我们再看第二位,让我们求三角形 a、 b、 d 的 面积,我们观察图像可以发现三角形 a、 b、 d 这个三角形,它有两个小三角形组成, 哎,也就是这个三角形和这个三角形,那我们就可以用割补法的这一部分,底乘以高以这个为底啊, 以 a、 c 为底,高呢,是不是就是啊? o、 b, 同样呢,这边是 a、 c 为底,高呢,就应该是啊, 高就应该是这一部分。 图是这么画的,高是这一部分 啊。所以大三角形 s 三角形 a、 b、 d 等于小的三角形 a、 c、 b 加上小的三角形 a、 c、 d, 那 我们 点 c 的 坐标,现在没有告诉我们,需要求点 c 的 坐标。点 c 在 直线啊,是直线与 y 轴的交点啊,所以点 c 的 坐标交点 零。逗一,也就这一段是一,这段一呢, a、 c 这段是二分之一的 a, c 乘以, a, c 乘以,实际上就是一个 x b x b 加上二分之一也是 a、 c 乘以 啊。这一段是 x d x x d 啊,加绝对值 a, c, 这是六,这是一,这一段就是五,所以二分之一乘以五,再乘以。哎,这是二负二,二加上二分之一乘以五 啊。点 d 的 坐标我们第一位已经求出来了,横坐标是四,也就乘以四,所以我们这是五加上啊,十应该等于十五, 所以第二问我们也解决了,然后跟第三问根据图像直接写出, y 一 大于 y 二是取之范围。那 y 一 大于 y 二的时候,是不是 y 一 始终在直线 y 二的上面上半部分啊?在图像当中,我们观察到 y 一 在 y 二的上半部分,一定是在也就是地点的左侧,所有的 y 一 啊,都在 y 二的上部,也就是当 x, 当 x 小于四小于四, x 小 于四。好,希望这个题对你有帮助。

八下数学最难的一次函数十五大题型全部吃透,逆袭班级前三数形结合一、面积问题题型一,坐标与线段的互换题型二,求纵坐标的绝对值二、平行转换 三等线段问题四、全等与一次函数 十、依次函数与面积问题完整版评论领取。

八下数学最难的一次函数,八大题型全部吃透,稳进班级前三。一次函数的应用,八大提醒提醒一,分配方案问题提醒二,最大利润提醒三,行程 提醒四,工程问题提醒五,调用问题体积问题。完整电子版分享!

这是一道一次函数啊,求解析式的一道题,题目很简单,对于一次函数, y 等于 k, x 加 b, 告诉我们,当 x 在 四和一范围时,那么 y 在 三和六, 则让我们求这个函数的解析式。那么我们从函数的解析式我们知道啊, 只要有两点,我们就可以两点坐标,我们就可以解除解析式,那现在他给的是我们两个范围,那这样的在平面直角坐标系里也就相当于什么呢? 我们 x 说在这这个区间内啊,在这个区间内, y 呢? y 可能在这个区间内啊,所以我们得到的在图像上,也就是啊,这么一个区间 啊,我们的函数图像这个题,我们要结合图像, 也就是我们解析式,有可能我们的这个一次函数的图像,有可能是这样,也有可能呢啊,也有可能呢,是这样, 也就是说我们要分类讨论一下,也就是当我们的 k, 因为 k 决定了是向上还是向下,当 k 大 于零啊, k 大 于零时,则有我们是谁呢? 可以大于零,图像是这样的,向上的,也就是 x 越大, y 越大, y 会随着 x 的 啊增大而增大,那我们直接选用啊,说 x 最小的时候, y 也就最小, x 最大的时候, y 也就最大, 对吧?也就是 x 等于一, y 呢,就等于负三, x 等于四, y 呢就等于六,这样我们就拿到了两个两点的坐标,把这两点的坐标带到我们解析式啊,就会得到啊,三 三三等于 k 加 b, 然后六六等于四, k 加 b 啊,这样我们啊, 做一下结,也就能得到。我们一二减一,二四减一,四,也就三, k 等于三, k 呢,就等于一, k 等于一呢,我们就拿到了 b 等于二 啊。所以我们的解式, y 等于 x 加二,这就是我们的第一种情况, y 等于 x 加二, 好,当我们的这个 k 呢?那么另一种情况,也就是当我们的这个,当 k 小 于零,小于零,我们的图像呢,是这么走的啊, x 随着 x 的 增加, y 的 值越来越小,也就是 当 x 啊,则 x 等于一时,我们的 y 呢,等于六,也就是 x 小, y 是 最大的, x 越大呢, x 等于四的时候呢? y 它等于三,这样同样的我们会得到啊。代入到解析式,六等于 k 加 b, 三等于四,四 k 加 b, 同样的我们再去做一些几,也就是三, k 等于负三就是 k 呢,等于负一, k 等于负一,呃,这个 b 呢,就等于七,这样我们就得到了 第二个解,意思 y 等于啊,负 x 加七。 好,希望这个题对你有帮助。

大家晚上好,在直播的最后这个时间里呢,给大家小介绍我们今天讲解的内容,今天讲解的是第十九章一次函数,在这里我们会学到的有函数的定义,还有一次函数的他那个定义解释是还有我们的那个选择方案。 好,带着大家的话就是熟悉的一段我们这个书本的例题, 书本讲解完以后呢,就到我们示威导图的讲解。好,有我们这是函数的话,他那些定义的意义,意义,还有函数图像啊,他有个步骤列表,还有描点,还有连线, 还有我们的几个方法,有列表法,解释四法,还有我们的图上法,各个函数那些图上的他的 记忆图,还有我们的那个函数与一次一元,一次方程跟那个不等式的它的关系来解决。 四位导图讲解完毕以后呢,就到我们基础过关时时期的训练。好,在这里的话我们主要是 想想了一下选择题,这里的话有第七题的话,这个比较有意思,在这里的话我们要去跨这个图啊,然后就是根据这个含义的话,先把椅子的图上跨出来,然后再去找我们的那个条件。 还有第八题这里的话,他他会给一个数据的话,我们去找一下其实有四种的那个情况,这里我们这是挑选的话,其中只有图上只有一种是符合的。好,今天的讲解就到这里,感谢大家的收听。

八下数学最难的一次函数十六大题型,寒假吃透逆袭班级前三!八下数学寒假预习一次函数十六大必考点及例题。考点一,一次函数的概念。 考点二,判断一次函数的图像。考点三,根据一次函数的性质求参数。考点五,确定一次函数经过的象限 考点七,根据一次函数的性质比较函数数值大小。考点八,根据一次函数的性质比较自变量大小。考点十一、一次函数的平移完整版分享!

嘿,大家好,我们今天来学习第二十三章关于一次函数的小节。这一节课的内容我们包括对于一次函数知识的复习,其中包括五道复习巩固,然后四道综合应用以及一道拓展探索。 讲完这节题之后咱们搞定。首先咱们来看这一单元的知识点有什么。第一个是我们从实际问题出发,引入了数学模型。引入了什么数学模型呢?就是咱们一次函数的内容, y 等于 k, x 加 b, 其中 k 不 等于零。 通过学习依次函数的图像和性质来研究数形结合,而我们依次函数通过计算求解,又可以和依次函数问题的解建立联系,通过依次函数问题的解,进而推得我们求解实际问题的答案。 接下来呢,往后看一看,回顾与思考。在本章中啊,我们从具体的问题出发,先从这个运动变化规律的特征,将它抽象到我们一次函数的概念,给出了表示方法, 用图像数形结合继续研究一次函数的性质,最后用一次函数分析和解决了一些实际的问题。这一块我们所画横线的具体内容我们一会在做题的过程中就可以看到了啊。 我们来看依次函数 y 等于 k, x 加 b, 其中 k 不 等于零是一类最基本的函数,它表示的是一个变量随着另一个变量均匀变化的规律,而这个叫做正比例。函数 y 等于 k, x, 其中 k 不 等于零。是依次函数中比较特殊的一个。 一次函数的图像是一条直线,利用图像可以直观的分析函数 y 等于 k, x 加 b, 其中 k 不 等于零的增减性。通过观察我们就可以发现,在 k 大 于零的时候,图像是从左往右逐渐上升的, 所对应的自变量 x 和 y 的 变化就是 y 随着 x 的 增大而增大,当 k 小 于零的时候,图像从左到右就是下降的了。 函数之外随自变量 x 的 增大而减小是这个意思。而我们在这里又说了运用图像研究函数的方法,体现了我们数形结合的思想。 好,接下来我们来带着这些问题复习一下本章的全部内容。第一个长什么样的函数是一次函数?刚才我们已经说了是 y 等于 k, x 加 b, 其中 k 和 b 都为常数,就是我们已经知道的数,这个 k 还不等于零。满足这样的式子,它是一次函数。 那什么样的函数是正比例函数呢?首先我们知道正比例函数是比较特殊的一次函数,也就是满足 y 等于 k, x, 其中 k 不 等于零,还 k 还为常数,满足这样的函数,它才叫正比例函数了。其实就是对于这个一次函数来说,把 b 等于零就可以推得是正比例函数了。 然后往后看正比例函数的图像有什么特点。首先我们知道正比例函数的图像就是它是一条经过原点的直线, 这个一次函数 y 等于 k, x 加 b 的 图像是什么样子的?怎样画一次函数的图像?首先我先解决后面这个问题,这个问题比较好解决,怎样画一次函数的图像啊?我们在这个一次函数的解析式中找两个点, 然后把这两个点连接之后再连线就可以了。在连线的过程中啊,要注意自变量 x 的 取值范围,好在解决上面的这个就是 y 等于 k, x 加 b, 它的图像是什么样的性质?咱们先说,如果说 k 大 于零的话,那这个函数图像是 从左往右是上升的,也就是 y 随 x 的 增大而增大,当 k 小 于零的时候,从左往右是下降的,也就是说 y 随 x 的 减小而减小, 这是我们 k 对 于这个函数图像的影响。而这个 b 对 于函数图像的影响是什么呢?如果说这个 b 大 于零,那么函数向上平移,如果说 b 小 于零,那这个函数就是往下平移,这是我们这个 k 和 b 对 于这个函数图像的影响啊。第三节, 常数 k 对 于这个函数图像有什么影响呢?其实就是我们刚才说的这一串,写到这里回答这个问题也可以就是 k 大 于零的时候,这个函数是升的, k 小 于零的时候,这个函数是减的。然后我们看第四个, 由一个不平行于坐标轴的已知直线,要找出它对应一次函数的这个解析式。如果能怎么求,由此体会到形和数的变化啊。我们把过程写到这里,这里会比较宽敞一点啊。 第一步,我们既然说知道已知直线,找出它所对应的一次函数解析式,不就让我们求解析式吗? 要求解析式,我们肯定要用待定系数法,先把函数解析式设出来。函数解析式长啥样呢?因为说了是一次函数嘛,咱们就把一次函数的通式写出来, y 等于 k, x 加 b, 其中呢 k 不 等于零。第二步,我们要求这个一次函数解析式,也就是要求这个解析式中的 k 和 b, 那么怎么求 k 和 b 呢?把我们已知的两个点代入,代入,我们就会得到关于 k 和 b 的 二元一次方程组啊。得到了我们这个方程组之后,下一步就是解这个方程组,然后就可以得到具体的 k 和 b 的 值了。 第四步,我们要求这个函数解析式,我们就可以根据 k 和 b, 我 们刚才已经算出来了, 根据 k 和 b 的 取值,带入我们已经设好的和所设的这个函数解析式,就可以写出这个一次函数的解析式了。 写出结论这么说就可以啊,第五题和第六题我们都可以在题目中进行看,第五题我们重点看这个。二十三章第三节,看我的视频也好,看书也好,这是他们之间的关系, 指一次函数和一元一次方程在什么情况下是可以相互转化的?一次函数与一元一次不等式在什么图像上可以发现他们的关系? 一次函数与二元一次方程组在图像中就是他们的焦点,又有什么新的关系啊?可以看二十三章第三节这一块内容。 然后第六题举例说明利用一次函数解决实际问题的过程。我们后面的所有题都在为这道题举例,在这里呢,我着重提出一个点,就是尤其是需要做到从实际问题将它抽象到一次函数的这个能力, 是需要通过不间断的做题和对知识的感悟去理解的,因为好多时候你可能看不出来这个题中啊,什么是函数,什么是自变量,什么是常量,什么是变量,需要你自己去体会,去感悟啊, 这是我们的这一单元的知识概念方面的内容,我们来看一下夫妻巩固,找一找练习题怎么做啊?王芳现有一千五百块钱的存款,他计划呀,今年以后三年里,每月都存五十块钱, 说存款总金额 y 随时间 x 的 变化而变化,写出 y。 关于 x 的 函数解析式,我们可以找到这道题中的函数和自变量是什么? y 是 函数时间 x, 这个是自变量,我们就得想办法用 x 来表示 y 就 可以了。 怎么表示呢?原来有一千五百块钱,每个月存多少存五十,存了多少个月呀? x 个月加上五十 x 就 可以了啊。注意这个 x 他 不说了吗?今后三年每月, 所以说 x 肯定是大于等于零的,还得小于等于一年是十二个月,三年一共就是三十六个月, 所以说 x 大 于等于零,小于等于三十六,这是他今后三年的存款总金额随着时间变化的函数解析式啊。接下来我们来看第二题,判断下面各个点是否在这个直线 y 等于二, x 加六之上,并且求出这个直线与坐标轴的交点坐标。 首先我们先来看看这几个点是否在这个直线之上,如果这个点在这个直线之上,那么这个点的 x 和 y 带进去一定满足于这个函数解析式。 所以说第一个我们就是把 x 等于负五带进去,看看他是不是等于他锁定了 y 负四二乘负五等于负十,加上六等于负四,没有问题啊,对,他在这个直线之上。 第二个呢,就把 x 等于负七带进去,二乘以负七,再加上六,二乘负七是负十四再加上六,那就是负八,我们发现负八和这个二十不相等,所以说他不在这个直线之上。 第三个,把 x 等于负二分之七,带进去等于二乘以负的二分之七,再加上六, 二乘负的二分之七呢,就是负七,再加上六等于负一。负一和我们的这个一不相等,所以说它不在这个直线之上。最后一个 y 等于二乘以三分之二再加六, 这个二乘三分之二,它等于三分之四,直接带六就可以了,三分之四可以写成一又三分之一,加六放一块,那就是七又三分之一了,没有问题,和这个刚好相等。 所以说第四个这个点在这个直线之上。找好了这几个点是否在这个直线之上,我们接下来得求这条直线与坐标轴的交点坐标。我们知道坐标轴有两个,一个是 x 轴,一个是 y 轴。 在 x 轴上,所有点的坐标 y 都等于零,所以说把 y 等于零,带入到我们的这个解析式之中。所以说二 x 等于负六, x 等于负三。 这是我们的第一题,就是与 x 轴的交警坐标横坐标是负三,纵坐标是零,所以说交警坐标就是负三。零看一看 y 轴, 如果说这个点在 y 轴,那么它的所有 x 横坐标都为零,而这个 x 等于零,带入到这个直线里面, y 等于六,所以说它的交警坐标是零六。这样我们就写完了第二题。 接下来我们来看一下第三题,问这个直线经过第几项线?我们刚才说了这个直线呢,是 y 等于 k, x 加 b, 其中这个 k 影响这个函数是上升的还是下降的?我们发现这个 k 等于负的三分之二,它是下降的。这个 b 影响这个函数是向上平移还是向下平移?首先我们看这个 b 是 二分之一代令,所以说是向上平移, 向上平移还下降,所以说长这个样呗,他过第几象限?一二四过这三个象限。我们可以观察到 y 随 x 增大而减小。同样的道理,这个 k 是 大于零的, b 呢,等于负二,它是小于零的,这不是 b 吗? 所以说这个函数它就是一个上涨趋势,但是向下平移的一个意思,函数向下平移长这事上涨趋势吗?它此时过的是一三四, y 随 x 增大而增大,这是我们的第三题。接下来我们来看第四题啊, 根据下面的条件,分别确定函数 y 等于 k, x 加 b 的 解析式。首先第一个啊,我们说 y 与 x 成正比例,那么它满足的解析式一定是 y 等于 k, x 还过这个点,所以说把五到六带入, 带入到哪个式子呢? y 等于 k, x 之中,我们只要把 k 求出来就行了。 y 带六, x 带五六等于五 k, 那 k 就 等于五分之六, 所以说呢, y 就 等于五分之六 x, 这是我们的第一问,这个比较简单,看一下,打第二问也不难说,这条直线呢,经过这两个点,那就把这两个点带进去去求解这个二元一次方程组就可以了。 第一个是三六, x 带三, y 带六六等于三, k 加 b。 后面呢, x 和 x 带二分之一, y 等于负二分之一,负二分之一等于二分之一 k, 再加上 b, 求解就行了。这个怎么求解啊? 其实我们在草稿纸上写一下吧,这是二式,我们试着拿这个一式减二式来试一试。这是草稿纸一式减二式。那等式的左面就是六减去负的二分之一,等式的右面就是三 k 加 b 减去括号二分之一 k 加 b。 处理一下啊,六减去负二分之一,那就是六加二分之一,六加二分之一,那其中这个六我们可以写上二分之十二,通算吗?结束之后呢?整体就应该等于二分之十三。那看看等式的右边啊, 三 k 加上 b 减去二分之一 k, 因为这加了括号,所以说就是减 b, 减 b 加 b 就 没了。三 k 减二分之一 k, 三 k 可以 写成二分之六 k, 二分之六 k 减二分之一 k, 那 就是二分之五 k。 二分之五 k, 它等于二分之十三,那就好说了,等式两边同时乘二呗,十三等于五 k, 那 k 呢?等于五分之十三。搞定,我们再把 k 等于五分之十三带入到任何一个式子里。像这里我们就接着写过程啊, 就可以直接得到这个五 k 等于十三, k 等于五分之十三。接下来把 k 等于五分之十三带入到一个式子里就行了。 我们像假设我们带入到一之中看一看啊,那六呢?就等于三乘以五分之十三,加上 b, 那 六等于三乘五分之十三,那可就是五分之三十九加 b, 那 b 就 一定等于六。六是五分之三十,减去五分之三十九,那么 b 一定等于负的五分之九。 好,我们此时就既找到了这个 k 的 值是五分之十三,又找到了 b 的 值是负的五分之九,都带进去就可以了, y 不 等于 k, x 加 b 吗? k 带五分之十三, x 加 b 就是 减去五分之九,这是我们的函数解析式啊。 接下来我们来看第五题,这个就是一次函数与不等式的关系了。首先第一问, y 大 于零, y 大 于零,那好说了,因为 y 大 于零,所以说我们就可以把三 x 减五,我们就可以把三 x 减十五替换成 y, y 大 于零,三 x 减五一定是大于零的,所以说三 x 一定大于十五, x 一定大于五。 后面这个 y 小 于零呢?那就是三 x 减十五小于零,三 x 小 于十五, x 小 于五,通过解不等式就可以写出来了啊, 或者说也可以通过 y 等于三 x 减十五的图像来去解决。我们可以找两个点,分别是 x 取零, y 取负十五,还有就是 x 如果取五的话, y 就 等于零,把这两个点带进去, 一个是五零啊,大概是这个位置,还有一个是零负十五,大概在这个位置,一连线就可以了啊,就可以找到 y 什么时候大于零啊?已知这个点是五,那肯定是 x 比五大的时候它就大于零啊, 那什么时候小于零呢?那还是啊,在五之下就是小于零的了,通过图像也可以解决这个问题啊。 我们来看一下综合运用第六题啊,说有一个快递的收费标准,说不超过一千克的物体啊, 咱们付十三块钱,超出一千克之后,每增加一千克要两块钱。找出记出 x 千克的物体的快递费为外元写 y。 关于 x 的 函数解析式, 我们就可以发现,此时啊自变量是 x, 函数值是 y, 用 x 来表示 y 是 我们现在要做的。我们发现此时 x 是 什么呀?为大于一的整数,所以说他不可能花十三块钱,因为 x 永远大于一, 总会有超过一千克的部分。那么我先怎么写啊?如果你超过一千克的部分,我肯定分成两部分,一部分是不超过一千克的部分,还有一部分是超出一千克的部分。不超出一千克的部分要花多少钱?十三块钱呢?那超出一千克的部分有多多沉呢? 总共是 x 千克,减去最开始的一千克,这就是超出一千克的部分。这么多千克的数量,一千克要加多少钱?快递费要加两块,所以说前面再乘个二就行了。 接下来呢,我们化简就行了,十三加上二, x 减二等于二 x 加上十一。注意 x 大 于一,且为整数。这样我们就把这个外关于 x 的 函数解析式搞定了。 接下来是第七题,我们得通过这个图来解决这些问题。我们观察一下这个图啊,这个图的横坐标是时间 t, 纵坐标是路程 y, 行驶路程 y 和时间 t 之间的关系如图所示。根据图像来回答下列问题啊,一个 a b 两地之间的路程是什么?我们可以看啊,假骑自行车,以骑摩托车,相同路线都是起始点是 a 点是 b 点, 那结束点不就是他俩停的这个位置吗?其实也都是一样的, a 点到最后结束的 b 点,他们之间的路程就是这么多,也就是八十千米。 出发较早的是谁啊?当然是甲了,甲在时间为零的时候他就出发了,比乙早多少个小时?零到三小时之间就早三个小时。到达较早的是谁?谁先停的呀?是乙先停的,乙在五小时,乙在五小时的时候就停了, 那比甲停的时候早几个小时?八减五,早三个小时。到达较早的是乙,我们就得算算甲乙的速度了。速度我们就取平均速度,用总路程除以总时间就行了。 甲的速度,甲一共跑了八十千米,用时多长时间?零到八小时之间,用了八个小时, 所以说他的速度就是十千米每小时,你的速度呢?他也是走了八十千米,那注意 他走了多长时间?从三小时到五小时就一小段,这一小段是几个小时?是两个小时,因为五减三等于二,八十除以二等于四十千米每小时,这个就是你的速度啊。 问了乙在距离 a、 d 多少千米处追上了甲,此时甲行驶了多少个小时?也就是说问这个点的横动坐标,既然说问这个点的横动坐标,我们就跑不了。将实际问题转化为我们的一次函数问题, 只要我们把甲乙两个函数的这个一次函数给他列出来,找到他们之间的关系就行了。 那求啥射啥,我们先射出来啊,射乙出发 x 小 时之后,一般来说我们都射自变量,自变量好算追上甲,甲的行驶的时间是多少,因为啊,说了乙出发,也就是说从乙从这个点出发追上甲到这个位置,它是经过了 x 小 时, 那甲的行驶时间就得加上甲提前跑的这三个小时,所以说甲的行驶时间应该是 x 加三小时。继续说,我们把甲的行驶时间设出来了,还可以把甲的路程设出来,因为我们也得求甲行驶了多少个小时,通过小时推路程也可以啊。 假路程为十乘以 x 加三千米,十不就是它的速度吗?速度乘以时间等于路程,那乙的路程呢?这个好说,因为乙的速度是四十千米每小时, 我设的是出发 x 小 时之后追上甲,所以说他此时跑的路程啊,就是速度四十乘以 x 千米。我们来列式说了甲此时和乙行驶的路程相等,我们就可以通过路程相等来列式的。甲的路程是十倍的, x 加三, 乙的路程是多少?是四十 x, 找到它们相等的 x 就 行了解方程,十 x 加上三十等于四十 x, 把十 x 减到这面去,就变成三十 x 等于三十,那 x 肯定就等于一了呀。我就可以知道,乙出发一小时之后就追上了甲, 那此时乙的路程是多少?因为就走了一个小时,所以说乙的路程是四十乘以一等于四十千米,乙就跑了四十千米就追上了甲了,此时甲行驶了多长时间呢?也就是说在三小时的基础上,再加了这个一小时就可以了,等于四小时搞定。这是我们的第七题, 接下来我们来看第八题。一个有进水管和出水管的一个容器,刚开始的四分钟啊,咱们只进不出,随后的八分钟之内,既进水又出水。我们知道每分钟的进水量和出水量是两个常数,也就是说进水量和出水量是不变的。 容器中的水量 y 和时间 x 的 关系如图所示。在 x 大 于等于零,小于等于四的时候,咱们要求这个函数解析式,这个好求啊, 我们还是发现它是一个一次函数,找到两个点就行了,它横过零零,还有四到二十这两个点,发现它还是一个正比例函数,因为过原点呢,不需要平移。设出来, y 等于 k, x, 其中的 k 不 等于零, 那好说了,零零不用带,只带四二十就行了。二十等于 k, x 二十等于零,零不用带,因为带了也没有意义, 两边都乘零,那不就是零等于零了吗?我们只需要带这个四和二十就行了。二十等于四 k, 那 么 k 呢?一定等于五,那 y 等于五 x, 其中注意它自变量 x 有 取值范围, 就是 x 大 于等于零,小于等于四,这是我们的第一问,第二问,当 x 大 于四小于等于十二的时候,求 y 关于 x 的 解析式,那还是过两个点呢,那肯定过四到二十 还过,等于十二的时候,那就是十二到三十。把函数解析式设出来, y 等于 k, x 加 b, 其中的 k 不 等于零。为了和上面保持区分呢,所以此时我们 k 取 k 一 就可以了啊。然后带入这两个点求解方程就行了。首先我们带四二十,二十等于四倍的 k 一 加上 b, 带第二个三十等于十二, k 一 加上 b 一 十二是。然后在这里减方程就可以了啊,咱们拿二式减一式就可以了。 等式的左边呢,就是三十减二十等于十,等式的右边是十二 k 一 减去四 k 一, 那还剩下八 k 一, b 和 b 就 减完了。算出来 k 等于八分之十还没完,可以约分上下约个二等于四分之五, 那反过来把 k 等于四分之五,再带到任何一个式子里,像我们在这写一下过程啊, 等 k 一 等于四分之五,将 k 一 等于四分之五带入。假设我们带入到一中啊,就可以发现,二十等于四乘以四分之五,加上 b 四乘四分之五等于五,那 b 一定就等于十五了。那写出解是 y 等于四小于等于十二就可以了。 第三,问问每分钟进出水各多少升,我们可以知道进水多少升,我可以找到 把这块涂一下,进水多少升。好说呀,因为我们可以发现前四分钟他不只进水吗?四分钟进了多少升的水啊?二十升的水,所以说我直接就可以标出来水量,每分钟就是拿二十除以四就行了, 等于五升,每分钟他就进五升。麻烦的是这一块,这一块既有进水又出水,所以说此时才不一样,咱们就把这个出水射出来, 射每分钟出水 a 升。射出来之后,我们就可以找到一些事情了,咱们只发现四到十二之间呢,他们一共是八分钟, 八分钟进了多少升水,减去出去的多少升水,就等于我这块差了多少升水,这是我们的关系,经过这个关系我们再来做题就可以了。 我们知道五,我们知道四到十二,一共是八分钟,八分钟进了多少升水呢?每分钟是五升水,八乘五吗? 这是进水量减去出水量还是八分钟每分钟出多少升水呢?出 a 升水减去八 a 等于多少?三十减二十,这是他们变化的水量。 那五乘八等于四十,减去八 a 就 等于三十,那就是十八, a 呢,就等于三十,可以算出来, a 呢等于八分之三十,还可以约分, 那么 a 等于上下同时约二吧,约二就是四分之十五, a 等于四分之十五,应该就搞定了。每分钟出水是四分之十五。升号是我们的第九题。第九题可能比较麻烦,仔细读一读啊。 有甲乙两家体育用品商店,用同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球,其中乒乓球拍我们每副定价三十块钱, 乒乓球每盒是五块钱。现在两家店开展不一样的促销活动,在假店呢,是买一副球拍赠一盒乒乓球,以店甭管你买啥,咱们都打九折。现在我说了一个班呢,需要买四副球拍,乒乓球呢,不知道,就说他不少于四盒就行了。 看一下第一个啊,一个班要买 x 和乒乓球,他不说不知道多少盒吗?我先给他设出来,在甲店付款的金额为外甲元,在乙店付款的金额为外乙元。我们得写出外甲和外乙与自变量乒乓球和数 x 之间的关系就可以了。 想一想怎么做啊?先写写外甲吧,他是买一副球拍赠一盒乒乓球,已知我们就买了四副球拍,所以说他买球拍的价格就是四,就是三十乘三,就是三十乘四。因为买了四副球拍嘛,一副球拍是三十, 买了多少个乒乓球呢?是 x 盒, x 乘以五,这是他买兵乓球的钱, 但是他说了我便宜啊,我买一个球拍赠一盒兵乓球。所以说我实际购买的兵乓球的数量并不是 x, 而是 x 减四,因为我前四盒兵乓球他是不要钱的,是买那个是买球拍赠的, 把这个一次函数化简就行了,三十乘四是一百二十,加上五 x 减去四五,二十 化简完之后,我们会发现它等于五 x 加上一百啊,此时 x 肯定是大于等于四的,我们自变量有取之范围,因为他说了乒乓球的和数不少于四,和吗?把外移写出来, 万一可能比较好写啊。我们知道买了四副兵乓球趴,那就是三十乘四,不管买兵乓球趴还是兵乓球,都是打九折,再乘以零点九,这是买趴的钱,再加上买球的钱就是五 x 乘以零点九, 三十乘四乘零点九。这个可以,咱们先算三十乘零点九,那就是三乘九,三九二十七,二十七乘四是一百零八,再算前面五乘零点九是四点五,四点五 x 加上一百零八 x 大 于等于四,这样我们就把第一问搞定了。 买这个班分别在甲店和乙店买的兵乓球和乒乓球拍,还有付款金额,他们之间的关系我们都写好了。 接下来我们来看第二个购买几盒乒乓球时,在两家商店的付款金额一样,如果付款金额一样,那肯定就是外甲等于外乙啊。 算一算,外甲是五 x 加上一百,外乙是四点五 x 加上一百零八,五 x 减四点五 x 还剩零点五 x 等于一百零八减一百吗? 是八 x 就 等于等式,两边同时乘二就行了,因为二乘零点五等于一,这样就把 x 前面系数变成一了,就可以省略不写 八乘二等于十六。所以说我们可以发现啊,在买十六盒兵乓球的时候,两家商店的付款金额是一样的,如何根据购买兵乓球的数量选择在哪家商店购买?那咱们就算算呗。 如果外甲大于外乙,也就是说外乙便宜的时候,代入外甲是五 x 加一百, 外移呢是四点五 x 加上一百零八,把这个不等式解出来就行了,还是四点还是五 x 减四点五 x 等于零点五 x 等于一百零八,减一百等于八,但是中间的符号变成大于号了啊, x 大 于十六,所以说在大于十六盒的时候,咱们在乙店买,因为乙店买便宜,那么外甲小于外乙的时候,咱们还是列一样的式子,这时就是小于了。小于四点五 x 加上一百零八, 还是解这个方程解完之后呢?是 x 小 于十六,但是我们还要注意啊, x 有 自己的取值范围,是 x 大 于等于四,小于十六的时候, 咱们去甲电购买,甲电便宜,这样我们就搞定了第三题啊,接下来我们来看第十题,这是托管探索,这道题难度会大一点,比较复杂,说了 a 城啊有二百吨肥料,这都标好了, b 城呢有三百吨肥料,现在咱们得把 ab 城的肥料分别往 c、 d 城来运 来看啊, a 城往 c、 d 两箱运肥料的费用分别是二十元一吨和五十元一吨。 也就是说 a 城往 c 城运,它是二十元每吨,往这个 d 城运是二十五元每吨,这么走是二十五元每吨。 b 城往 c 乡和 d 乡运, 分别是十五块钱一吨和二十四块钱一吨。现在说了 c 箱需要二百四十吨, d 箱需要二百六十吨,问怎样调运可以使总运费最少?我们可以看这个表就行了,我们可以看这个图就行了,把题目中的信息都标到这里了。 那想想我们可以发现,这道题其实现在非常的麻烦,有四种方式可以进行运输,要肥料的地方还是两个地儿, 所以说很复杂,我们得找他们的关系。有没有一种方式,我可以只射出一个量,通过这一个量把这四个量都表示出来就好做了。其实是可以的,因为我们需要的总肥料数,每个地方需要的总肥料数是固定的。 如果像假设我们 d 箱有二百六十吨肥料, a 箱运了一部分,那剩下一部分一定是 b 箱给它运的,因为 c, 因为 d 箱只有 a 城和 b 城这俩地才可以给它运肥料。我们就先设一个呗, 设 a 往 c 运的肥料为 x 吨,如果说 a 城往 c 城运的肥料为 x 吨,那么 a 城往 d 城 运的肥料一定就是二百减 x 吨,因为我 a 城总共就是二百吨肥料,往 c 城运了 x 吨,剩下的我肯定就得往 d 城运,为什么呢?因为我 a 城什么都不剩啊。我们发现 a 城 b 城有的肥料不就是二百吨和三百吨吗?摞一块是五百吨, c 箱和 d 箱需要的是二百六十吨和二百四十吨,也需要五百吨。也就是说把 a 城和 b 城所有的肥料都往 c 箱和 d 箱去运。 这样关于 a 城运的肥料我们就说出来了,那再看看 b 城吧, b 城如果往 c 箱,咱们运多少? c 箱我就要二百四十吨, a 乘已经给了 x 吨了,那 b 乘一定就是运的是二百四十减 x 吨。你看 c 箱我只能有 a 乘和 b 乘两个地往那运,其中 a 乘已经占了 x 吨了,那剩下的一定全是 b 乘运的, 那么反之, b 往 d 运是多少?其实就是 b 总共 d 总共需要二百六十吨,减去我们 a 乘运的二百减 x 就 可以了。这个咱们得略微化解一下啊, 二百六十减二百加 x, 那 就等于六十加上 x, 所以 说 b 往 d 运应该是六十加上 x, 这样我们就都射出来了, 问我们总运费最少,那总运费我们设为外呗,我用红笔标出来啊, a 往 c 运,咱们是二十块钱每吨, a 往 d 运是二十五块钱每吨, b 往 c 运是十五块钱一吨, d 往 d 运是二十四元一吨。往后看啊, 把总运费设出来,总运费不就是这四种方式运费的和吗? a 往 c 运,那就是二十元一吨运了 x 吨, a 往 d 运,那就是二十五元一吨,运了二百减 x 吨, 再继续 b 往 c 约,就是十五乘以二百四十减 x, 再加上最后一个二十四乘以六十,加上 x, 慢慢计算就行了。第一个二十 x 加上二十五乘二百等于五千减去二十五 x, 再加上十五乘以二百四十,十五乘以二百四十。我想想啊, 该怎么算?等于三千六减去十五 x, 再加上二十四乘六十等于幺四四零,再加上二十四 x。 行,咱们合并同类项, 第一个是个二十四 x, 后面就是减二十五,那就是负五 x, 负五 x 再减十五 x, 那就是负二十 x, 再加上二十四 x, 还剩下四 x, 然后五千加三千六等于八千六,八千六,再加上一千四,八千六加一千四刚好等于一万一万,后面这还有个四十呢,再加上一万零四十,这是我们总运费, 我们还得知道啊,我们运的 x 也有它的取值范围,因为我不可能运负数啊。所以说我就还得再解一下, x 肯定是大于等于零的,这个 x 大 于等于零,这个二百减 x 还得大于零, 这个二百减 x 还得大于等于零,这个二百四十减 x 也得大于等于零。最后一个是六十,加上 x 也得大于等于零,还得先把这个自变量 x 的 取值范围算出来。第一个可以推出来, x 大 于等于零,这个没啥问题。第二可以推出来, x 是 小于等于二百的。 第三个可以推出来, x 小 于等于二百四十。最后一个我们可以推出来, x 是 大于等于负六十,然后找到它们相交的一个区间,像第一个 x 大 于等于零,我们画一个竖轴,像这个点是零, x 大 于等于零,不就是这一块吗? 第二个 x 小 于等于二百,是这一块。下一个。第三个是 x 小 于等于二百四十这一块。最后一个是 x 大 于等于负六十。 发现这四个都相交的部分是哪一部分?就是这一部分中间的这一部分。所以说最后我们就可以推出来自变量 x 的 取值范围,就是 x 小 于等于二百大于等于零。大家也可以用这种竖轴的方式来去解决这种很多个 x 的 范围的问题啊。 找到 x 的 范围是 x 大 于等于零,小于等于二百,我们还可以发现这个函数长这个样,其中的 k, 其中 k 它等于四 四,是大于零的,所以说此时 y 随 x 增大而增大。搞定,如果 y 随 x 增大而增大,那么 x 在 这个范围内肯定是零最小,二百最大。咱们取总运费最小的时候, 那就是 x 等于零的时候, y 取最小值,那此时 y 就 等于四乘零,加上幺零零四零,不就是把 x 等于零带到这个函数式里吗? 那四乘零等于零,那就等于幺幺零四零。所以说此时运费最小的钱就是一万零四十元。当然这道题没有问啊,只是说怎样调运可以使运费最少。那怎样调运呢?我们就把这个 x 等于零带入到上面的市子里。 我直接把宗上写到这啊,因为后面可能没地写了, a 往 c 一 吨都不运, a 往 d 运多少啊? 二百减零就运二百吨, b 往 c 运多少吨?运二百四十减零,运二百四十吨, b 往 d 运,运六十加 x, x 等于零嘛, b 往 d 运六十吨,只有这么运,运费才是最少的啊。 这样我们就把这道题解决完了。后面是综合实践,音乐与数学,这个还是老样子啊,大家可以看看书,去找一下他们之间蕴藏的一些知识。这一章我们就说到这里,后面内容是这一块的内容叫做数据的分析, 会在难度上略微比我们之前学的函数和一次函数简单一点。好,咱们今天的课就到此结束了,关于一次函数也就讲到这里,下一个视频咱们来讲一下第二十四章有关数据分析的内容,大家再见。

今天我们来分享一个一次函数动点最值的一道题,我们来读一下题,如图,直线啊,给了我们解析式,与 x y 轴分别交于 a 点和 b 点啊,这两个交点,这个直线 c 点 d 啊,点 c 点 d 分 别为线段啊,中点,中 点,点 p 是 o a 上一动点,也就是 p 是 动点啊, p 在 这个 o a 上是运动的, 那么当 p c 加 p d 的 最小值时啊, p p c 加 p d, 也就这条线段和这条线段 最小值时,让我们求出这个点 p 的 坐标,那首先我们就要找到这两个线段加起最小值是一种什么情况啊?在这个图像当中,一个定点,一个定点,是不是 和我们的将军印码是一样的,对吧?啊?将军在这到河再到营地 这个点选一个点,那这样我们直接把点 d 做关于这条和 x 轴的对称点啊, d 撇 d 撇点,那什么时候最短呢?对吧?一定 是啊, c d 撇点连线,那这一点,这就是我们要找的这个点啊, 知道了这个我们能找到了最小值,下一步就是我们去找这一点, 那通过我们这条直线啊,这两个焦点给了,给了我们这个焦点,我们先把这两个焦点拿到,也就是当 x 等于零, x 等于零, b 是 等于零到四, 是吧。我们解析式,当 x 等于零, y 等于四,所以点 b 的 坐标拿到,当 y 等于零, x 应该是负八啊,负八都零好,点 a 的 坐标拿到,有了 a b, 那 就相当于我们知道了这一段, 这一段,这段是四啊, o a 这一段,这是八 啊,那有了啊,点 d 是 中点,那么 o d 呢? o d 就是 二 啊。关于 x 轴的对称点,点 d 撇这一段,它不也是二吗?所以我们点 d 撇的坐标也能拿到啊,也就是零负二。 那有了,你看 a 点的坐标啊, a 点的坐标, b 点的坐标,我们也能拿到点 c 的 坐标, 点 c 的 坐标,这里需要我们用一个钟点坐标公式啊,也就是啊,横坐标 x b 啊,减去 呃这个 x, a 加上 x b 除以二,重坐标 y, a 加上 y, b 除以二,这个就是我们点 c 的 坐标,点 c 的 坐标,也就是横坐标应该是负四重坐标应该就是二啊,所以点 c 的 坐标负四。 go 二好,有了我们这个 点 c 的 坐标,有了我们点 d 的 坐标,我们是不是可以求出啊? c d 所在直线的解析式,我们可以设 c d 所在直线解析式, y 等于 k, x 加 b, 将点 c 点 b 带进来,带到解析式里,也就是 r 等于负 四, k 加 b, 负二等于负二,等于 b 能解除,我们的 b 是 等于负二, b 是 等于负二, k 应该是等于 呃,负一啊,负一,所以我们 c d 所在直线, y 等于 呃,负 x 减二,这就是 cd 所在直线,那 cd 所在直线与 x 轴这一个交点,不就是我们点 p 的 坐标 是吧?也就是当我们的当 y 等于零时,我们的 x 啊, y 等于零, x 应该是等于一个负方,所以点 p 的 坐标, 这应该是负二等于零,所以答案负二等于零啊,这是一次函数与将军印满模型结合的啊,综合综合题,希望对你有帮助。

八夏华时的大宝啊,寒假的时候我掐耳根的告诉你,我说这个一定要预习函数这章,哎,就不听,怎么样,是不开学了?我发现最近不少家长开始私信我了,咋回事呢?说这个孩子函数这章完了,上课又蒙圈了,又听不懂了。还有就是咱家报课的宝子, 那玩意我明明都给你们记了啊,就这知识点,尤其咱们在刚学这个函数图像这块,不得学那个平面照坐标系吗? 哎,咱这块咱说四个象线,啥特点呢?你是角平分线上啊,还是说什么平移啊,对吧?我这注意这块写的明白的,那你咋就不看呢?你找这题没有?对, 书本上确实没有这个知识点,我给你拓展了,完了你也不看,你说你那做题能做上吗?对吧?呃,咱们函数这章吧,确实是不太好学就有的大宝吧,他就是听课他都得听好几遍啊,确实是这样式的,就是不好学 啊,不好学,但是咱也得学呀,对吧?你说我这给你记老知识点,你倒给我背一背呀,你说什么特点?是不是咱们还给大家讲课的时候,我也给你们拓展这个题了?你倒往心里边,你这这 记点啊,你做一做,你是真不做你也不听啊。啊,我再次强调一下,咱报课大宝啊,就咱安道老师给大家函数这块,我记着这题,这都给你们写的多详细了啊,那课你就反复听呗,对不对? 这块吧,的确是不好学,但不好学咱也得耐下性子,咱也得学啊,宝们,把那个课吧好好听一听,听不懂咱可以反复的听啊,最近啥问题?就是课也不想听,哎,咱也就是不想学,完了上课吧。又听不懂,你说你咋整吧?

今天我们来分享一个一次函数与几何面积的一道例题。我们先来读一下题,如图,把二 t 三角形 abc 放在平面直角坐标 c 当中,点 b 的 坐标一斗一,点 c 的 坐标五斗一角 abc 等于九十度, ac 等于四倍,根号二, 将三角形 a、 b、 c 沿 y 轴向下平移啊,当点 a 落在直线, y 等于七分之四, x 减二上时,线段 a、 c 少过的面积是多少? 那我们整个三角形依据提议要向下平移,使我们的点 a 落到啊这个直线上,那所有的三角形啊,是不是应该这样?哎, 平移,也就是这是 a 撇, b 撇, c 撇,那么 a、 c 扫过的面积 a 到了,这 c 到了,这,它扫过的面积就应该是这一部分 啊,这一部分啊,这一部分,我们看它平移,这应该是一个平行四边形, 在条件当中给我们的点 b 的 坐标一到一,点 c 的 坐标五到一重坐标相等,说明我们的这个 b, c 是 平行 x 轴,那么角 b 这这个角又是一个九十度,说明 ab 又是平行于 y 轴。哇,给了我们 a, c 是 四倍根号二, 我们 bc 的 边可以求出来横坐标啊,五减一,它是式,根据勾股定律,我们可以求出 ab, ab 的 长应该也是式, ab 是 式, 它又是啊,一到一,也就是 b, b 到点一的距离就是一,所以点 a 的 坐标我们也能拿到,点 a 的 坐标就是一到四加一五 啊,有了点 a 的 这个坐标好,我们可以 a 撇, a 撇, a 撇的横坐标应该也是一,因为它是 向下平移,所以我们直接把一带入,带入这个直线,得到了 y 等于七分之四减二啊,也就等于 七分之负的,负的七分之十,负的七分之十,所以 a 点 a 撇的坐标,我们应该是一到负的七分之十。 有了这个坐标,有了点 a 的 坐标,我们的 a a 撇是不是就等于五?减去五,减去负的七分之十, 等于应该是七分之三十五,七分之四十五 啊,也就是说这个长度我们拿到了这个少过的面积,不就是可以啊?以 a a 撇为底,那这个平行四边形的高呢?是不是就是 b c, b c 是 四啊,所以少过的面积把它 啊乘以四,得到了我们七分之呃,一百八十,这个七分之一百八十, 这就是我们的答案。好,希望这个题对你有帮助。

今天我们来分享一次函数的一个区间问题啊,我们来读一下题,平,在平面直角坐标系当中有一个点 p 的 坐标,横坐标 m 加一,重坐标 m 减一, 让我们判断这个点 p 是 否在直线啊。一次函数 y 等于 x 减二上,第一问非常简单,只需要我们把横坐标带入进来,也就是 y 等于 m 加一,减二啊,最后等于 m 减一啊,和我们的中轴标相等了,所以点 p 在 我们的这个 y 等于 x 减二的直线上。 那主要我们来看这个第二问啊,给了我们一个图像,依次函数 y 等于负二分之一, x 加三,这个图像和 x 轴、 y 轴分别交于 a、 b 两点。 点 p 如果在这个三角形内部求 m 的 曲值范围,那我们来看啊,点 p, 如果在这个 三角形内部,那点 p 就 应该满足它的横坐标,横坐标在这么一个区间,它的纵坐标一定要小于这个直线,也就在这直线下方啊,同时大于,大于这个大于零, 那 x 它的横坐标横坐标是 m 加一啊,也就是横坐标 m 加一 啊。我们拿到点 a 呀,先把 a 点的坐标拿到 a 点,也就是 y 等于零, y 等于零, x 等于六,所以点 a 的 坐标六度零,也就是第一个要我们要满足 m 加一,要小于六, 大于零,也就是横坐标要在这个区间内啊,要在这个区间内,那重坐标要在这个直线以下,在这个 x 轴以上,那重坐标重坐标,也就是 m 减一啊, m 减一, m 减一,一样的要大于零, 大一点要小于谁呢啊?小于重坐标一定要小于这个直线以下,那这个直线又是什么表达?这个直线 y 啊,是等于负的,也就等于负负的二分之一 x 加三 啊,要小于这一部分,所以通过一个不等式组,我们可以确定 m 的 范围啊,我来解一下,第一个就是 m 应该小于五,大于负一, 呃,第二个啊,我们把这个同时乘以二,消掉一个二,二分之一啊,也就是二 m 减二小于, 呃,负 x 加六啊,大于零,这里的 x, 我 们还是可以用这个 m 加一换掉的啊。 m 加一也就是负的 m 减一加六啊,小于二 m 减二大于零, 我们在左右两边再加二,消掉一个二加二。哎,到这写啊,也就是二小于二 m 啊,小于加二负 m 啊,八加七啊,所以 m 大 于这个就是一 啊,小于这个 m。 呃,等式的,这边我们可以拆拆过来看啊,它应该小于三分之七,三分之七啊,综合一下 啊,我们 m 的 区间在三分之七和一,这个在五和啊,综合一下,所以我们取到的值取到 m 的 范围就是一到三分之七啊。希望这个题对你有帮助。

今天我们来分享一个一次函数与几何图形的一个例题,如图,一次函数 y 等于负四分之三, x 加三的图像分别与 x、 y 轴交于 ab 两点, 以线段 ab 啊,在 ab 为边,你说这条边, 在第一项线内做一个等腰直角三角形, a、 b c 也就这个啊,它是一个等腰直角,那么角 b 也就是这个角,是一个直角, 让我们求点 c 的 坐标,在这里啊,我们以前学过啊,这是一个等腰直角,在这里我们可以直接套用一个模型,也就是一线三垂直的模型 啊。假设我们做一条垂线,过点心做 x 轴的一条垂线,这个时候我们看这就是一个一线三垂直的模型,那么告诉我们, ab 是 x 轴 y 轴的一个交点, 那我们可以把焦点坐标求出来,当 x 等于零啊, y 是 等于三的,也就是 b 点的坐标零到三,当 y 等于零, x 等于四的, a 点的坐标啊,就是四到零, 哎,这样我们就得到了 b, o b 是 三, o a 呢,就是四, 我们去做一线三垂直,这个角一加上,角二是九十度,那么角一加角三也是九十度,所以角二等于角三啊,有边有边有角,那么同样的 角二加角四是等于九十度,角一等于角四,所以这两个三角形呢,全等,全等,全等以后,我们 a e 应该等于 o, b 是 三啊,这个 c 就等于 o a, 这是四,这是三,这是四,那么我们这一段 o e 就是 七啊, o e 是 七,这是四,所以我们点 c 的 坐标啊,七斗四 啊,这是利用了我们这个一次函数,结合了我们一线三等角,一线三垂直的一个几何模型, 得到了点 c 的 坐标啊, c 都是啊。希望这个例题对你有帮助。

八下数学最难的一次函数吃透,成绩稳进前。三题型,一题型二题型三题型四题型五题型六题型七。

上个视频咱们说的是有关一次函数的概念,这个视频咱们来过一下,有关一次函数的图像和性质。为了更好的借助函数认识运动变化的现象,咱们就需要研究函数的性质, 研究函数的性质,我们就可以更好的刻画运动变化现象的变化规律。那咱们这节课主要就是来看一看怎么来画一次函数的图像和性质。我们从特殊的一次函数正比例函数开始研究图像和性质。咱们首先就看一下第一吧,它出下列正比例函数的图像 像,第一问有两个,第二问也有两个。咱们先画第一问的说, y 等于二 x 的 自变量, x 可以 为任意实数,先把 x 的 取之范围画出来, 然后再找出 y 与 x 的 几组对应值,你看这里找到了五个。咱们刚开始的时候说,我们一般是找五到七个,找五到七个量,描着五到七个点,用平滑的曲线一连就搞定了。 那么往后再来看,在平面直角坐标系中描出我们刚才这个表中的值为坐标的点,再把这些点连接出来,就可以得到一条过圆点。第三,第一象限的直线,那就是函数 y 等于二 x 的 图像。 同样的道理,我们也可以得到函数 y 等于三分之一 x 的 图像,看就是这个样,其实就是由上面那个表格开始连点画图找出来的这样的图像。这个图像之后再来研究啊, 画 y 等于负的一点五 x 的 图像,找出了这五个点,然后得到了一条经过原点和第二、四相近的图像,它就是 y 等于负一点五 x 图像。同样的道理,我们也可以得到 y 等于负四, x 的 图像是这样两个, 我们仔细研究研究这两个图像的共同点是什么啊?首先来看上面这个图像是 y 等于二 x 和 y 等于三分之一 x, 我们会发现这两个函数它都是一次函数中的正比例函数,两个函数的区别就是这个 k 不 同,一个 k 是 二,一个 k 是 三分之一。首先来看看 k 等于二, k 等于二等于,说他这个曲线他的是上涨速度非常快,比 k 等于三分之一上涨速度快,而且他们都是从左往右 y 随 x 的 增大而增大的。这是我们关于 y 等于二, x 和 y 等于三分之一 x 这两个图像的这两个图像, 这两个函数图像的观察。而且也可以看到这两个图像它都是经过原点第三和第一象限的直线。 我们再看看刚才说的这个 y 等于负四, x 和 y 等于负一点五 x 这两个函数呢,我们会发现它的 k 全部都是负的,也就是说 y 随 x 的 增大而不断减小,他们在减小的过程中啊,我们会发现 k 是 负四的时候, 他减小的速度更快。你看他从负一开始往下减,减到正一的时候,就已经远比这个负一点五减的要快了。负一点五减到这个点的时候,他得得二的时候才能减下来。 所以说呀,这个 k 越小,所以说我们就知道 k 越小,他减的速度就越快。再结合起来,这个 y 等于二, x 和 y 等于三分之一 x, 就 可以发现, k 越大, 它增的速度就越快。这两个前面还要加一个前提, k 越小,减的速度越快的前提是它 k 得小于零啊。后面 k 越大,增的速度就越快,它的前提是 k 得在大于零的时候。这是我们观察到的啊! 往后看书上的分析,以上四个函数的图像都是我们经过 y 等于二, x 和 y 等于三分之一 x 的 图像,它是经过第三项线和第一项线的,从左向右上升, y 等于负一点五, x 和 y 等于负四, x 图像是经过第二、四象限的,从左往上下降。这和我们刚才观察到的是一样的啊。 往后说,一般的正比例函数 y 等于 k x, 其中 k 是 常数,且 k 不 等于零,它的函数图像是一条经过原点的直线,我们称它为直线, y 等于 k, x。 当 k x 大 于零的时候,也就是说从这里开始就需要你记住了, y 等于 k, x 经过第三象限。第一象限从左往右是上升的,即 y 随 x 的 增大而增大, 这是第一句话。第二句话,当 k 小 于零时,直线 y 等于 k, x 经过第二、四象限,从左往右是下降的,即 y 随 x 的 增大而减小。 一定要结合图像去理解,硬背是背不下来的啊!在这里可能有的同学会忘记,哪个象限是二,哪个象限是三,哪个象限是四,在这里说一下啊, 这个象限,也就是说,在这一块,他是第一象限,在这一块是第二象限,在这一块,这是第三象限。最后这一块,这是第四象限啊。记住就好,解决黄框中的问题, 由正比例函数的解集式可以说明他的函数 y 随自变量的增大而增大,或者随着 x 增大而减小的道理吗?其实道理就是我们通过这个图啊,道理就是这句话,这句话就回答了这个黄框中的问题啊, 也就是从这个函数图像的图像中直接观察就可以观察到了。我们往后看啊,看后面关于思考 由正比例函数的图像是一条直线,可以想到画正比例函数图像的简单方法吗?这是一个好问题。我们已知我们现在画这个函数都是找五到七个点描点,画图用平滑的曲线嘎达,一连是这么连的,那有没有更好的方法呢? 其实是有的,因为我们知道正比例的函数图像永远都是一条直线,我们刚才已经画了四个正比例的函数图像了,他们都是一条直线。 那么我怎么样可以用更少的点确定一条直线呢?是两点确定一条直线,而正比例函数 y 等于 k, x, 其中 k 不 等于零的图像又是经过原点的直线, 所以说只要确定我们正比例函数图像上的一点,就可以画出正比例函数图像。一般的我们取一 k 这个特殊点,那另外一个点呢?看看哪个好取就取哪个,咱们就着这个例子啊,一块来找一找, 看一看练习题啊,取一 k 这个点,另一个点取什么?一般咱们取零零,取这两个点,咱们来试一试啊。 首先 y 等于二分之三, x, 咱们取两个点,分别是零零,还有把 x 等于一带进去, x 等于一了,一乘以二分之三,那不就等于 y 了吗? y 就 等于二分之三了, 所以说他必过两个点,一个是零零,另一个是一到二分之三。那接下来的任务就是画一条平面直角坐标系,把横中坐标画出来,横是 x, 纵是 y, 找到这两个点,零零这个点搁这呢, 一二分之三这个点,我们假设这个点是一啊,这个点是二分之三点。好了,这两条直线一连两点,确定一条直线吗?一连延长搞定。这就是我们第一问的函数图像。 第二个我们还是找两个点,一个是零零,另外一个点让 x 取一,一乘以负六, y 就 等于负六了。 所以说另一个点就是一到负六,咱们还是画一个平面直角坐标系横纵坐标,找好 x 和 y, 一个零零在这里,还有一个是一负六,一在这,负六呢,随便找一个点 在这里,两个点一连一延长,这就搞定了。一般找这两个点,直接两两点,一连直接延长,一画图就行了。 第二题是这个,给我们两个特殊的点,说在这个函数图像之上,是比较 m 和 n 的 大小,那咱们一块来研究吧。我们刚才说了,总结出它的规律,当 k 小 于零的时候啊, k 小 于零,说明这个函数一定是减小数,怎么说 y 随着 x 的 增大而减小,那 x 越大, y 反而就越小,有 m。 我 们这两个式子有 x, x 一个是二,一个是负三,我们知道二肯定是大于负三的, x 大, y 反而越小。 x 为二的时候,它所对应的 y 的 值不就是 m 吗? 为负三的时候,他所对应的 y 的 值就是 n 了, x 越大, y 反而越小,所以说填小于号,这么说就可以了,这是我们的练习题。接下来我们来看看这个例二啊,得画这个一次函数的图像和性质, 给出我们要画的这两个函数图像,一个是给出我们要画的这两个函数,一个是 y 等于负三 x, 还有一个是 y 等于负三 x 加一画图就可以了。 在画图的时候,我们看这个题,还是让我们先用画图的方式描点就可,我还是让我们用描点画图的方式去解析。 x 等于负一,分别带入这两个式子里啊,带这里面,那不就等于三吗?这里面就是在三的基础上再加一个一就行了。三加一是四,负,负零点五呢?那就是负三乘以负零点五,得数是二分之三,底下把二分之三加一就行了。是二分之五, 这面 x 是 零点五,零点五乘以负三,那就是负的二分之三,底下再加个一,那就是负二分之一。搞定,我们瞄点用平滑的曲线相连画出来是这个样的,剩下我们就得观察呀,这俩图像我能观察出什么东西呢?记住这个图像,我观察一下底下的这个探求的内容。 首先这两个函数的图像形状都是什么?往上看是两条直线,所以说都是直线就行了,并且倾斜程度是相同的。这不嘛,两个都这么写, 所以说倾斜程度是相同的。其中的函数 y 等于负三, x 图像,它是经过原点的。另一个函数图像与 y 轴交于哪个点呢?看看 一个函数图像,这是 y 等于负三 x, 它交于原点。另一个函数图像与 y 交哪个点?交这个点,这个点是什么?是零一。那么我们由这两个点的平移,是不是可以推广到这两条直线的平移啊? 我们这个 y 等于负三, x 加一这条直线是不是就是把 y 等于负三 x, 这条直线每个点都往上平移一个,这样就可以变出来了。 所以说呢, y 等于负三 x 加一,可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移一个单位长度得到的。 后面得出了他们的这个道理,其实就是描述一下就行了。我在这里可以这样描述啊,将横坐标相同的点,其中直线 y 等于负三 x 加一, 比 y 等于负三 x 的 纵坐标都大,同样的数都大一,所以说我们就可以认为,将 y 等于负三 x 的 图像向上平移一个单位,就可以得到 y 等于负三 x 加一的图像了。是,这样就可以描述好他们的道理了。 接下来我们联系一下上面的结果可不可以通,可不可以从我们这个特殊的直线,一个是 y 等于负三 x, 一个是 y 等于负三 x 加一,这两个特殊的图像能不能推广到任意的一个意思函数 y 等于 k x 加 b 的 图像和 y 等于 k x 这两个图像之间的关系呢? 其实按照我们刚才的这个话术再说一遍就行了。也就是说, y 等于 k x 加 b 的 图像是一条经过零 b 的 直线, 这个零 b 是 好说的啊,就是把 x 取零, y 呢,直接就等于 b 了,因为 k x 这项直接不就没有了吗? 且和直线 y 等于 k x, 其中 k 不 等于零是平行的。这样就找出来了啊,一个是 y 等于 k x 加 b, 它横过零 b 还是直线, 而且呢,它和这个直线因为这个 k 相同,所以说这些程度相同,那么就和这两条,那么就和 y 等于 k x 这条直线就平行了。接下来我们往后看啊,比较这个一次函数和这个正比例函数的解析式, 这句话非常重要啊,一定要记住,这是这两个解析式的关系。意思还是 y 等于 k, x 加 b, 其中 k 不 等于零,它的图像可以由 y 等于 k, x 平移 b 的 绝对值和长度单位。 为什么说 b 得加绝对值啊?因为我们不知道这个 b 是 大于零还是小于零。这不就说了吗?如果 b 大 于零的时候,那它就是往上平移, b 小 于零的时候,它就是往下平移,而往上平移、往下平移,我们可以用平移多少个单位长度,也就是 b 的 绝对值和单位长度就行了。 假设有一个直线, y 等于二, x 向向哪平移?没说,我就说他平移了两个单位长度。你可能会想向上平移,向下平移,向左平移,向右平移,但都说不好,我们不知道是向左还是向右,向上还是向下, 向左向右我们暂时不研究,我们先研究向上向下。所以说我在这里写一个横向平移,就像这个问题, y 等于二, x 横向平移两个单位长度,所以说你肯定能写出两个,一个是 y 等于二, x 加二, 这是往上平移,还可能是 y 等于二, x 减二。不要忘记分类讨论啊,注意,横向平移有可能是加二,向下平移就是减二,是这个意思。 往后看啊,一次函数 y 等于 k, x 加 b, 其中 k 不 等于零,它的图像也是一条直线,我们管它称作 y 等于 k, x 加 b。 好, 我们学会了这个道理之后,再来看看。例三,一个是二 x 减一,一个是负零点五, x 加一,我们可以观察到这两个函数图像都是一次函数,已知一次函数的图像,它都是直线,所以说只要能确定两个点就能画出来了。 我们还是取 x 等于零, x 等于一,这两个函数的对应值找到了,找到之后我们就一画就可以了,画出这样的两个, 这是一种画法,就我们取一个函数的两个点吧。第二种画法还可以这么画,因为我们刚才说了,函数是可以平移的,我们发现我们要画的这两个直线,一个是 y 等于二, x 加一,还有一个直线是 y 等于负零点五, x 加一, 他都是由最基础的两个直线平移而得到的。一个是 y 等于二 x, 一个是 y 等于负零点五, x 将 y 等于二 x 向上平一个单位长度,不就是我们要画的 y 等于二, x 加一了吗?那,那往后推, y 等于负零点五, x 加一,就是 y 等于负零点五, x 往上平移一个就可以得到,也可以用平移的画法啊, 也可以用这个取两个点的画法好。画完直线之后,我们再研究啊,画出这样的四个函数图像, 观察这些直线,总结它们从左到右上升或者下降的规律。从这里再去联想依次函数解析式中 k 的 正负对函数图像的影响,进而归纳出依次函数的性质。 咱们先画个图,先把 x 轴和 y 轴画好,先画 y 等于 x 加一。我们知道啊,他肯定过一个点, 让 x 取零, y 就 取一,还过哪个点?我们让这个 y 取零,也就是说零等于 x 加一嘛,那 x 就 等于负一了,也不是负一都是零,负一零在这了,零一在这了。相连一画,这是 y 等于 x 加一, 再画 y 等于负, x 减一,他肯定过哪个点呢?我们把 x 等于零带进去, x 等于零,那零加一, y 就 得一了。 把那个 y 等于零带进去,零等于负, x 加一,那 x 肯定是等于一了呀。所以说一都是零,零一这个点是这咱就不再取了。一零这个点在这,就说两点之间连一条直线一画,这就是 y 等于负, x 加一。 往后继续研究,这个 y 等于二, x 加一,咱们再换个颜色,取哪个点呢?还是 x 取零, y 取零啊? x 取零,那二乘零加一, y 就 得一了,那这个 y 取零呢? y 取零,零等于二, x 加一, 那么这个 x 就 一定等于负的二分之一啊。负二分之一,负二分之一,零在这中间这个点找到 还有一个零一在这,这么一连就行了。连好之后,标这个绿色的是 y 等于二, x 加一。最后一个咱们拿黄色来说,是 y 等于负二, x 加一,还是 x 取零, y 取什么? y 还是得一。还有一个点是 x 取一, 还有一个点是 y 去零, x 去几, y 等于零,零等于负二, x 加一,那么 x 就 等于二分之一。所以说过二分之一,零 在这个点找二分之一,零还是这个点,你得标出来它的函数。图像是 y 等于负二, x 加一。咱们仔细再来研究啊,这几个图像,他们由左到右上升或者下降的规律,咱们可以发现啊, 这个红色和绿色都是从左到右越来越升高的。而这两个直线有一个共同的特征, 就是说他的 k 是 一,这个 k 是 二, k 大 于零的时候,从左到右还是图像是上升的, 那看看这个蓝色图像和这个黄色图像,一个 k 是 负二,一个 k 是 负一,那么就可以说,他这甭管是负二还是负一,他不就是 k 小 于零吗? k 如果小于零的话,那他就是从左到右下降。观察前面依次函数的图像,可以发现规律,如果 k 是 大于零的,那么 y 等于 k, x 加 b, 这个图像一定从左到右往上走的,当 k 小 于零的时候,那他一定从左往右往下走的。 得到的这样两个关键的性背下来啊,当 k 大 于零时, y 随 x 的 增大而增大。当 k 小 于零时, y 随 x 的 增大而减小。这个黄筱路的内容就告诉我们了, 先通过观察发现图像或者图形的规律,再根据这些规律得到关于变化数值大小的性质。这种数形结合的研究方法在数学学习中是很重要的。好,我们接下来往后看啊,这个练习的内容说了, 直线 y 等于二, x 减三与 x 轴的焦点坐标是多少?这个研究呗,焦点坐标我们知道啊, 函数是有 x 轴和 y 轴的啊,这是 x 轴一个,还有一个轴是 y 轴。说了与 x 轴的焦点坐标,我们知道整个 x 轴上的所有点都有一个共同特征,就是这个轴上的所有点 y 都为零。 那这道题问我们与 x 轴的交点,互而言之,就是让我们把 y 等于零带入到这个直线方程中,然后求出来的 x 就是 我们的 x 轴交点坐标的横坐标、纵坐标不都是零吗?直接一写就好了,然后求解这个方程, y 等于零等于二, x 减三,那么二 x 就 等于三了, x 等于二分之三,所以说第一个得数是二分之三。与 y 轴的交点,我们还是观察这个函数图像啊。与 y, 我 们还是观察这个平面直角坐标系与 y 轴交点坐标 y 轴所有点都有一个共同特征,就是 x 等于零,那把 x 等于零带入方程就行了。 x 等于零,那 y 就 等于二乘零减三,那就等于负三,所以说与 y 轴的交点坐标、横坐标都是零,纵坐标一个负三就搞定了。 经过第几象限,这个我们就得考虑一下呗。我们现在已经知道了,这是一个一次函数, 一次函数是一条直线,而两点确定一条直线,把这俩点标出来,与 x 的 向量坐标,一个是二分之三,零,就这个点与 y 的 向量坐标就是零。负三在这了。两点一连看看呗,他是过第几项线呢?这是第一项线,这是第二项线, 第三项线,第四项线,他就过一、三、四这三个象限啊。再看 y 随 x 增大,而怎么着? x 从左到右越来越大, y 呢?也越来越大,不从下往上走的嘛。所以说 y 随 x 的 增大而增大。这是我们练习题的第一问,第二问分别在同一平面,第二问分别在同一平面直角坐标系中 画出来一、二。这个小球中三个函数图像有什么关系?就是说我们得把这三个函数图像画出来。这三个函数图像 可以观察到他们有一个共同的特征,他们都是在 y 等于 x 这个函数图像的基础上。这是向下平移的一个单位,这是向上平移的一个单位,所以说我们一画就可以了, 先画出 y 等于 x 这个函数图像,我们取啊,这个点它是横过的,还有一个点呢,是 x 取一, y 还是得一取一,一就可以了, 取好点之后连点呗,零零。还有一个点是在这一连,这就是 y 等于 x 开始平移电话,这个 y 等于 x 加一吧,这是往上平移的,原先过零零,那现在不就过零一了吗? 另一个点 x 取一,另一个点 y 取零吧, y 取零, x 去几啊? y 等于零, x 就 得得负一了,因为负一加一才等于零吗?还过零一这个点一连就好了,零一,这是负一零一连线, 这个就是 y 等于 x 加一,底下这个 y 等于 x 减一,这么一画,他肯定过这个点,这个点是一零还过这个零负一。这个点要画好之后,找一下他们图像的关系啊,他们都是由 y 等于 x, 可能是向上, 也有可能是向下进行平移来得出来的。来看看第二个这个图像有什么特征啊? 依次发现他们都是一个一次函数,如果他是一次函数的话,那么我们知道他的函数肯定都是一个直线。还是取两个点,分别是 x 取零和 y 取零。去找第一个函数,当 x 取零的时候, y 不 就等于零减一吗?所以说零负一, y 去零的时候, y 等于零,零等于负二分之一, x 减一,挪过来负二分之一, x 就 等于一等式,两边同时乘二,负 x 等于一,乘二等于二,然后再把前面的这个符号挪过去, x 等于负二, 所以说过的点是负二零,这个也是一样。我们先把他们的点依次求出来, x 取零, y 等于零减一,不就是负一吗?当 y 取零的时候,零等于负 x 减一,那把这个负 x 挪到等式的左边来, 负 x, x 等于负一,所以说他的点坐标就是负一,零,最后一个 x 取零,那 y 不 就是负二乘零还是零,零减一,得负一, 然后外去零,外去零就是零等于二, x 减一啊,等于负二, x 减一, 然后把这个负二 x 挪到等式的左边来,二 x 等于负一,那 x 就 好说了,等于负二分之一,所以说他必过的点是负二分之一,都是零。我们还是画这个图,依次找,一个是零负一,一个是负二,零 零负一在这了,负二零在哪?在这一连,这个函数就是 y 等于负二分之一, x 减一。来看下一个函数啊, 这个负 x 减一,它 b 过哪个点? b 过零,负一就是这个点,还过哪个点?负一零这个点,我们取的是负二,那负一肯定就在这 两点之间。一连线搞定,这是 y 等于负 x 减一,继续是这个 y 等于负二, x 减一,咱们再换个颜色,过零,负一,还过负二分之一,零,那接着接着负二分之一, 例,这个直线是 y 等于负二, x 减一。画完了这三条直线之后,我们可以观察一下这三个图像有什么关系。其实很简单,我们发现这三个图像都过这一个点,所以说写出来就行了啊。 y 等于负二分之一, x 减一, y 等于负 x 减 y 等于负二, x 减一,均相交于点,这个点是零负一。画好之后,我们就搞定了这个第二题,接下来来看第三题啊。 已知一次,函数 y 等于四, x 加七,当这个 x 大 于二的时候,利用函数的性质求函数值 y 的 取值范围。这上面说了,我们函数的性质是什么? 函数的性质就是当自变量变的时候,函数值也随着它的变化而变化。所以说问我们 x 的 值变化的时候, y 的 值的变化,我们也一定可以通过 x 的 变化而求出来。 那怎么求呢?我们看看啊,他不说了吗? x 大 于二,但是我们这道题得求四 x 加七啊。四 x 加七,我先把四 x 凑出来, x 大 于二,那四 x 肯定就是大于八,因为二四得八嘛。那四 x 加七呢?四 x 加七大于十五, 然后把四 x 加七用 y 替换出来, y 大 于十五,这是我们第三题啊,接下来我们来看第四题, 难度又升级了。已知一个一次函数图像过这两个点,你刚刚才我们不说了吗?两个点就可以确定一次函数图像,那现在我们就给你两个点,能不能反求一次函数的解析式呢? 当然可以看黄黄中啊,因为这个图像过这两个点,所以说这两个点一定是满足解析式的, 这样我们不就数形结合了吗?由图像来反推解析式,既然说这两点坐标必然满足解析式, 所以说我们只要把解析式设出来,这不说了吗?要求 y 等于 k, x 加 b 的 解析式,关键就是求出 k 和 b 的 值,然后我们根据已知条件,列出关于 k 和 b 的 二元一次方程组,求解出 k 和 b 就 行了。 但是问题来了,我现在还不知道这个解析式长嘛样啊。所以说我们第一步得先设出来,设 y 等于 k, x 加 b, 其中 k 不 等于零,这个条件非常重要,一定要写,因为如果你不写,那么就会得到一个神奇的事情, 当 k 等于零的时候, k x 这一项永远为零啊。那 y 等于 b, b 是 什么数? b 是 一个常数,我们假设这个 b 等于一, 那就是 y 等于一,那这个函数他并不是一个一次函数。首先他只有一个函数值,没有一个自变量。其次,你看他画完之后, y 得一, y 得一, x 值,不管为什么时候他都得一,你画出来的是一条这样的直线。 所以说他不满足于我们一次函数啊,他就压根就不是一次函数。好,我们回到这道题,我们把解析式设出来之后,再把这两个点带入二带 x, 负四带 y, 这个也是啊,负三带 x, 十一带 y, 带完之后就得这个样,这不吗?第一个式子二和负四, y 带负四,这个二呢,带 x, x 就是 二。二 k 加 b, 后面也是一样的去解这个方程组, 这个方程组解的时候呢,可以关注这样的这个方程解的时候可以这么解。第一个先看看啊。首先两个未知数,我们看看有哪两个未知数,它的系数是一样的, 像这个 k, 它的系数是二,这个 k, 它的系数是负三。后面的我,我们会发现它的系数 b 的 系数是一个是一,另一个还是一, 前面还都是正的。所以说我们假设第一个式子为一式,第二个式子为二式,你只要两个式子一减就行了。我们拿二式减一式,等式的右边咱先减,那不十一减四吗?他不是十一减去,不是十一减四,是十一减去负四, 这是等式的右面,等式的左面也得减二是前面是负三 k 加 b, 后面的减去,我们得加括号。二 k 加 b 处理一下,负三 k 加 b 减去二 k, 然后是减 b 等于十一减去负四,那就十一加四得十五。 处理一下,负三 k 和负二 k 摞一块,那就是负五, k 加 b 没了,得十五。等式两面同时乘以负五分之一,记得加括号啊, 这两项摞一块,他不得一吗?所以说 k 就 等于十五,乘以负五分之一,五和五消了,这还剩下一个三,前面还有个符号,所以说 k 等于负三,把 k 等于负三呢,再代入到一式也行,代入到二式也行。我们先把 k 等于负三代入一式吧。 如果 k 等于负三的话,那这个二 k 就是 负六。负六加 b 等于负四,那 b 呢?一定等于负四。负六挪到等式的右面去,那就是加六,那就等于二,所以说 k 等于负三, b 等于二,这是这么解出来的啊。 像例四这样,先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数, 从而得出函数解析式的方法。我们管它叫做待定系数法。什么叫待定呢?不就是不知道这两个系数吗?所以说我给他就随便设一个,再通过我们已知的 x 和 y 来求出我们之前定的这个系数啊。 由于一次函数 y 等于 k, x 加 b 中有 k 和 b 两个待定系数,因此用待定系数法需要根据两个条件列出二元一次方程组,其中呢,我们把 k 和 b 看作未知数, 解方程组之后,就可以确切的写出一次函数的解析式。我们来看一下啊,由例三例四这两个题推一下思路。首先先把函数解析式给列出来,长这个样, 选取满足条件的两个定点,画出这个一次函数的直线,这是由函数解析式去推图像,可以这么推, 那怎么由图像来返回这个解析式呢?我们先把这个图像找出来,找出图像之后,我们还是选出两个定点,有可能是如果在做题中,有可能是你自己选的选的比较好算的,也有可能是题目中直接给你的两个点, 再把这两个点带入到这个函数解析式之中,就可以求解出我们这个函数解析式了。这个思路就体现了我们数形结合,像这个函数解析式,这个就是数,这个就是行,数形结合就可以更好的去解决问题。接下来我们来看一下例五啊, 一位记者坐一辆汽车往三百六十千米外的乡村进行采访,其中呢,前一部分为高速公路,后一部分为普通公路。汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速直线行驶,分别以某一速度匀速行驶。 这个图呢,是我们汽车行驶的路程和时间的关系。那我们来看第一问啊,求这个汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的 函数解析式, 通过看这个图我们就会发现,它好像走高速公路和走普通公路速度是不一样的, 为什么能看出的速度不一样?因为前面就这个零到两小时之间和二到三小时之间,我们可以看到这两条直线他的倾斜程度是不一样的。 所以说这就是我们说的问题中,汽车行驶的速度并不是固定不变的,他和行驶的时间范围有关,当 x 在 零到二之间的时候,汽车的行驶速度较快,因为他走的是高速公路, 当 x 大 于二的时候,他的行驶速度较慢,因为他走的普通公路。那所以说我们去求解这个函数解析式的时候,应该在这两个自变量的取值范围之内进行讨论求解。 我们先来看啊,当 x 是 属于零到二之间的时候,函数图像过两个点,过哪两过哪两个点呢?分别是圆点,也就是零,零还过哪个点?过 a 这个点, a 这个点的坐标横坐标是二, 纵坐标是一百八。我们来求解,因为我们发现啊,这个第一问中行驶的路程外,关于时间 x 的 函数解析式, 他是有两部分,所以说两部分的方程一定是不一样的,所以说我们在设直线方程的时候有有研究, 就是说设函数的解析式,哎, y 等于 k 一, x 加 b。 看看啊,我应该不用加 b 了,因为他是过原点的一个意思函数,所以说他是一个正比例函数,正比例函数我们这个 b 永远为零,所以说不用写加 b 了, 直接设成 y 等于 k, e x 就 行了啊,颜色我再换回来啊,我们把这两个点带进去就行了啊,分别是带零、零, 那 x 等于零的时候, y 得零啊,零等于零,直接一写就行了。还有一个是 y 是 一百八十, x 是 二,那就是二, k 一 就可以解出来 k 一 等于多少,把一百八十除以二, k 一 就等于九十了,搞定,如果 k 一 是九十的话,那这个方程就是 y 等于九十 x。 注意此时的这个自变量有取之范围就是 x 小 于等于二, 大于等于零,在零到二的范围内,我们就把它函数的解析式求解出来了。那后面这部分我就得求当 x 大 于二的时候,他的解析式是什么样的?我在这里写吧。 x 大 于二 还是图像过哪个点呢?过这个点还过这个 a 点是二到一百八十,还过哪个点还过这个点?这个 b b 的 横坐标是三点五,纵坐标是二百七,就是三点五到二百七十。 我们还是把这个方程说出来,我们会发现此时我好像不能判断这个新的函数到底过不过原点,如果不知道过不过原点,那我在设几级数的时候,就将它设成正常的一次函数,就不把它设成正比例函数了。 和刚才这个 k 一 x 要区分掉, y 等于 k 二, x 加上 b 二就可以了,然后把这两个点带进去就行了。一个 y 取一百八十, x 带二,那就是二倍的 k 二加上 b 二,后面这个 y 带二百七十, x 就是 三点五倍的 k 二加上 b 二去解这个方程就行了。 呃,我把底下这块涂掉,把底下这块写写到这里,我们把第一个式子写作一式,第二个式子写作二式。我们还是按照我们刚才的先看这两个未知数,谁的未知数前面的系数是一样的, 我们会发现这个 b 二前面的系数都是一,所以说咱们就以 b 二为基础进行减就行了。咱们拿二式去减一式,先减等式的左边,左边是二百七十,减去一百八十,右面呢?拿这个二式,这个三点五 k 二加上 b 二, 减去上面的这个二 k 二加 b 二大括号左边二百七十减去一百八十,还剩下九十。右面呢? 三点五, k 二减去二 k 二,那就是一点五 k 二,这个 b 二减去 b 二,那没了。所以说 k 二就等于九十除以一点五,这个九十除以一点五,我们可以这么算,一点五我们写成二分之三就等于九十乘以三 十,三十乘二等于六十,所以说 k 二就算出来了,等于六十,我们再把 k 二带到任意一个方程就行了。 k 二等于六十,如果我们假设我们往一式里带吧,那就是一百八十等于二乘以 k 二,二乘以六十,再加上 b 二,那 b 二一定就等于一百八十,我再减去这个二乘六十,减去一百二十,也等于六十,写出结果就行了。 结果是这么写的啊,在考试的时候过程写这样就可以了啊,解这个方程组得得数,所以说就可以写出,当 x 大 于二的时候,函数的解析式是 y 等于六十, x 加六十, 还要综上一下,因为说是分段函数吗?前一部分是这个样的,后一部分是这个样,说明白就可以了啊。后面说了,记者出发后多长时间才能到采访地啊? 那咱们就想想多长时间才能到三百六十千米,这个从图中就可以看到,我取三百六十的时候,这不就到了吗?那具体得数是多少不知道,我得通过带入我们的方程去求解。带入到哪个方程呢? 肯定是我们后面那个方程啊,因为我们这个方程的前后两边是不一样的,一个是 x 在 零到二区间内,一个是 x 大 于二的区间内,在刚才这个图中,我们明显的看出,当 y 等于三百六十的时候,所对应的 x 值肯定远大于二,所以说看过程怎么写啊? 由图像可知,当 y 等于三百六十的时候, x 大 于。先把图像说出来,因为说出这个之后,你就知道我们得把,我们得把这个 y 带哪个函数, 所以说把 y 带到第二个函数, y 等于六十, x 加六十,所以说求解就行了,把六十挪过去,那就是三百等于六十, x x 就 得五了。 那么再写一个答话答,记者在出发五小时后到达采访地就搞定了。这个啊,有二中的解答。可以确定一中自变量的取值范围吗?当然可以,因为我们发现 x 是 自变量,他是大于等于零的,这个没问题。后面说 x 大 于二, 那大于二,我总是大于二,肯定不能无限的往后大,因为我到了一个地,我到目的地之后我就停了,所以说最长时间走多长时间就是五个小时,所以说 x 大 于等于零,小于等于五,这是最终 x 的 取值范围。 好,我们接下来来看练习题啊,改了这个一次函数的两个点,一个是负一,一让求解析式, 还是啊,先把这个函数解析式设出来,注意啊,把 k 不 等于零一定写到旁边啊,因为如果 k 等于零的话,它就不是个一次函数了,因该函数过这两个点,一五和负一一,所以说我就可以代入一个 y 取五, x 就 等于一, 一 k 加 b, 后面呢, y 取一 x 就是 负一,那就是负 k 加 b, 这个是二十。咱们再来算, 我们发现啊,这两个式子中当然可以相减,也可以相加,因为这个 k 前面是一,这个 k 前面是负一,只要把其中一个未知数消掉,这是我们的目的,所以说一式加二式就行了。 这个等式的左边是五,五加一等于六啊,两个 k, 一个加 k, 一个减, k 不 就没了吗?等于二 b, 那 b 就 等于三。 将 b 等于三,带入任意一个方程带入一吧,那五等于 k 加三,那 k 就 等于二。所以说最后解出答案,解得方程, b 等于三, k 等于二。 那么这个一次函数的解析式就是 y 等于二, x 加三。第二题也是一样的啊,我在前面这些过程就不说了,就是说设这个函数的解析式为 y 等于 k, x 加 b, 其中呢, k 不 等于零, 因为这个函数啊,过两个点,一个是九零,还有一个是二十四到二十,所以说代入分别是零等于九, k 加 b, 还有一个就是二十,是等于二十四, k 加 b 的 去求解这个方程,这是二十,然后我们拿二十减去一十,就可以得到二十是等于十五 k 的, 算出 k 是 等于三分之四的。 咱们还是老样子啊,将这个 k 等于三分之四,再带入这个一式中,缩减到 b 等于负十二, 最后结果 y 等于三分之四, x 减十二。这是我们第二题具体计算过程,大家可以根据我这个过程自己再去尝试计算一下啊。第三题,这是应用题了啊, 一个乘客乘坐某航空公司飞机的时候,购买了经济舱机票,这个图呢,是他所托运的行李的费用, y 与行李的质量 x 的 关系,问这个乘客可以免费托运行李的最大质量是多少?那想一想吧, 我们要想求这个免费托运行李的最大质量,就得找这个 y 为零的时候 x 为多少, 那 y 等于零的时候 x 为多少。这个点我不知道,我看不出来,图像中没给,那么我们就得把这个函数,我们就得把这个函数的解析式求出来就行了。 怎么求呢?先给他设出来,设行李费用 y 与质量 x 的 函数解析式。 y 等于 k, x 加 b, 其中 k 不 等于零, 正常写,因为这个函数我们过两个点,我们可以看出来,分别是这个二十五、九十,还有这个点是三十,一百八十,我们代入,代入到这个函数解析式之中,那就是二十五, k 加 b 等于九十, 再带一个三十一百八,那就是三十 k 加上 b 等于一百八十,多解就可以了 解得得数, k 等于十八, b 呢等于负三百六十。解析过程还是和刚才一样啊,我们用加减相减法, 把这两个未知数只要消掉一个,另一个就出来了,再把算出来的那一个的得数再带入到这个式子也行,这个式子也行,再带入到任一个式子中,就可以把第二个未知数求出来。是这么做的啊, 那有了这两个式子,我们就可以把函数解析式给表达出来, y 等于十八, x 减去三百六十。问什么问?我可以免费托运的最大质量,那也就是说 就是让我们求当 y 等于零的时候, x 等于多少,再把 y 等于零带入零等于十八, x 减三百六十, 那十八 x 就 等于三百六十, x 等于二十。所以说写答话,所以免费托运的行李最大质量为二十千克。好,往后走啊,这个题题二十三点二,首先来看复习巩固啊。 一辆列车以九十千米每小时的速度匀速前进,它的行驶路程 s。 关于这个行驶时间 t 的 函数解析式,并且画出这个函数图像看一看啊, 咱先把解析式画出来,然后再画函数图像,找到自变量和函数值,自变量是行驶时间 t, 函数值是这个路程 s, 接下来用自变量表示出这个函数值就可以了。自变量是 t, 那 s 就 等于多少 t 呢? 速度乘以时间才等于路程了,速度是九十,这个时间是 t 啊,这么写出来就可以了,但是咱们要注意啊,我们在这里自变量它的取出范围时间 t 永远是比零大的,大于等于零就可以了。 接下来我们把函数图像画出来,但是我们发现这是一个函数正比例函数,我们取两个点,当 t 等于零的时候, s 就 等于零, 当 s 等于零的时候,不是我们得取两个点,我们一般取这个自变量为零和自变量为一的时候,当 t 等于零和 t 等于一的时候, s 等于零, t 等于一的时候,那 s 等于九十。这两个点分别是零、零和一到九十。画平面直角坐标系,在上面找点就可以了,这是 x, 这是 y, 零,零是原点。还有一个是一九十,一连就可以了。注意,我们要连 t 大 于等于零的部分,也就是说只能连这一部分, 不能往下延长,因为往下延长 t 就 小于零了,就不在这个范围区间里了啊,我们继续往下看看这个第二题啊, 这个 y 等于负五, x 的 图像经过第几象限,经过哪个点和哪个点? y 算 x 增还是怎么着?咱把这个函数图像画出来,根据这个图像来去说就可以了,比之前咱们说的那个 g 要强很多啊。 y 等于负 x, 就是 让 x 等于零和 x 等于一,找 y 的 值就行了。找到这两个点, x 等于零的时候, y 等于零, x 等于一的时候, y 等于负五,所以说它过两个点,分别是零零和一对负五, 零零在这了,负五在哪了呢?负五在这一负五,所以说点在这。画完图像就这个样了, 说这个图像经过第几项线,一二三四经过的是第二项线和第四项线,经过哪两个点呢?分别是零零, x 取零吗?还有哪个点? x 取一的时候, y 等于负五,一负五和零零吗? y 随 x 的 增大, x 增大, y 是 减小的。接下来我们来看第三题,第三题分别画出下列函数的图像。首先来看第一个, y 等于四, x, 它是一个一次函数图像,一次函数图像取两个点就行了,一个是 x 等于零,一个是 x 等于一, x 等于零, x 等于一的时候, y 等于四。过两个点分别是零零和一四,把这两个点画出来就可以了。一四,这是 y 等于四, x 加一,你当然也可以通过将 y 等于四 x 进行平移也可以得到。还有一个也是取两个点吧, x 等于零, x 等于一, x 等于零的时候,他过哪个点是 y 等于一, x 等于一的时候, y 就 等于五了,他必过的两个点是零一,还有一五,零一在这了,一五在这了,一连就行了。 也是可以发现这个红色的 y 等于四, x 加一,他就是这个蓝色往上拼一个单位吗? 后面这个 y 等于负四, x 加一和 y 等于负四, x 减一,其实这个负四 x 加一,就是把这个负四 x 减一,向上拼两个单位嘛。 但是我们还是说咱们把取点可能更好画一点, x 等于零和 x 等于一的这两种情况, x 等于零, y 等于一, x 等于一的时候, y 等于负三,第一个他必过零一,还有必过零负三啊,找这两个点,一个是零一,一个是一,负三, 零一在这了。还有一个一负三,这是一底下,这个是负三在这了,这两个点一连,这就是 y 等于负四, x 加一,咱们再找这个 y 等于负四, x 减一,还是 x 等于零, x 等于一,这两个情况, x 等 x 等于零的时候, y 等于负一, x 等于一的时候, y 等于负五。过两个点,一个是零,一个是负一,还有一个是一,一个是负五,零负一在这了,一负五在这了,连这两个点就可以了啊。 这是 y 等于负四, x 减一,这样就把图像画出来了啊。我们看第四题,如图,求图中直线所对应的函数解析式。还是我们可以发现这个函数图像过了两个点,我能看出来,一个是这个点,这个点是零六, 还过这个点,这个点是负三零。把这个函数解析式设出来就可以了。设函数解析式为 y 等于 k, x 加 b, 其中这个 k 不 为零。一定要写啊,因为这两个函数过这两个点,过零六,还有负三零,我们把这两个点代入就行了, y 带六, x 带零,那那六直接就等于 b 了,因为 k x 这一项就没了。负三零, y 带零, x 带负三,那就是负三 k 加 b, 这样我们直接对第二个式子求解就行了,因为 b 等于六嘛,零等于负,三 k 加六, 然后把负三 k 挪到等式的左边来,那就是三 k 等于六 k, 它得等于二 k 等于二, b 等于六,那 y 就 等于二, x 加六啊。当然,我们在这里顺手写一下,写一下方乘最后结果吧,点个解得解得 b 等于六, k 等于二,直接写方程解析式就是 y 等于二, x 加六就可以了。 是我们的第五题。已知这个一次函数图像经过这两个点,前面这些套话就不说了,得把这个解歧式设出来,设 y 等于 k, x 加 b 啊, k 不 等于零。 后面呢,咱们继续写这个函数的解歧式,因为过两个点吧,把两个点代入就行了,九等于负,四 k 加 b, 还有一个是四等于六, k 加 b, 然后代入求解就行了。指这个是二式,我们拿这个二式去减去这个一式就行了。先减等式的左边,四减九等于四减九等于负五, 这面是六 k 加 b, 减去括号,负四 k 加 b, 那 负五就等于六 k 加 b 减去负四 k, 那 就是加上四 k 减 b 减 b 减 b 就 没了。六 k 加四 k 就是 十 k, 它等于负五,那么 k 呢?就等于负的二分之一,然后把 k 等于负二分之一,再带入上面任意一个式子就行,算出来 b 等于七。最后解析式是 y 等于负二分之一, x 加七, 然后再画函数图像就可以了。还是啊,这是一个一次函数,一次函数,我们只取两个点就行了, x 取零和 x 取一, x 取零的时候, y 等于七, x 取一的时候, y 是 等于负二分之一加七的。将七行通分,七是二分之十四,减去二分之一,等于二分之十三,过这两个点一画图就行了。零七在这了,一,二分之十三在这了, 二分之十三一定是比这个七小的啊,在这一连一画就可以了啊。看第三问,判断二五是否在这个一次函数图像之上。如果说二五在这个一次图像之上,那么二五一定是满足于这个一次函数的解析式的。 所以说我们把这个 x 等于二代入,看看代入之后,这个 y 是 不是得五就行了。解析式长这个样, y 等于负二分之一, x 加七,那 y 呢?就等于负二分之一乘以二加上七,负二分之一 乘二,那就等于负一。负一加七等于六六,跟这个五它并不相等,不等于五,所以说不在这一次函数图像之上,这样就搞定了啊。 接下来我们来看这个第六题。第六题将一次函数图像向上平移两个单位长度,那不就是 y 等于负二, x 加一,往上平移就是加加,那就是负二, x 加三,这是往上平移啊, 往下平移呢,那就是 y 等于负二, x 加一,在它的基础上减三嘛,那就等于负二, x 减二。好,这是我们的第六题,找到了第七题,说了有三个点,都是这个直线上的点, 比较外一、外二、外三。我们可以观察到啊,这个直线是一个一次函数,一次函数中这个 k 是 等于负十三,负十三小于零, y 随 x 的 增大而减小,这道题跟 b 一 点关系都没有,所以说不用考虑 b 啊, 只要通过 y 和 x 的 关系就行了。 y 随 x 增大而减小,那我只要比较这几个哪个 x 大, 哪个 x 小 就行了。看这个啊,负三是最小的, 小于负一点三小于二,负三所对应的负三所对应的函数值是 y。 二、负一点三所对应的函数值是 y。 三, y 随 x 增大而减小,也就是说 x 越大, y 反而越小。所以说咱们应该是这样的, 这样就找到了 y 一 y 二 y 三的大小关系啊。咱们来看看第八题啊,这个题怎么做?当 b 大 于零的时候,这个函数图像经过哪几个象限? b 大 于零,就是将 y 等于 x 这个函数图像往上平移。想一想啊, y 等于 x 这个函数图像长这个样,如果将它往上平移,那平移完之后就长这个样了。肯定过第几项线?一、二、三,过第四,一、二、三项线。看啊。第二个,当 b 小 于零的时候, y 等于负 x 加 b 经过哪几个图, 经过哪几个象来看第二个,当 b 小 于零时, y 等于负 x 加 b 经过哪几个象限?还是啊,画一个平面直角坐标系,因为 b 小 于零,所以而前面这个负是 k 是 小于零的。 k 小 于零的时候, y 随 x 的 增大而减小,所以说是减的。长这个样就是 y 等于负 x 将他的基础上往下平移,平移完之后不得长这个样吗?或第几象限呢?二三四,这三个象限。第三个,我们发现这个 k 是 第三个,我们发现他,此时 b 确定了,要求我们找这个 k, 如果 k 是 大于零的,那 y 随 x 增大而增大, 在外随 x 增大而增大的前提下,还往上平移,那不就得长这个样吗?那他就是过一二三项线。最后一个,当 k 小 a 零的时候,首先我们知道啊,他是往上平移,因为是加一嘛, 而且他还是外随 x 的 增大而减小的,减小还加一长这个样。过第几项线?一二四,过这几个项线。这是我们的第八题,接下来我们来看第九题。 第九题,某自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,居民每月应缴水费外是用水量 x 的 函数,如图所示, 分别求出当 x 在 零到十五和 x 大 于十五的这两个范围内。关于 x 的 函数解析式。首先来看第一个啊, 当这个 x 小 于等于十五,大于等于零的时候,我们会发现这个函数他过这两个点。咱们先把函数解析式设出来, y 等于 k 一 x, 因为他是过原点的,过原点的他就是正比例函数啊,所以说不用写 b 了, y 等于 k, x, k 不 等于零就行了。 过哪两个点呢?因为这个直线过零,零因为原点吗?零零还过这个十五六十,所以说满足两个解析式,分别是零等于零,还有一个就是六十等于十五, k 一 求解出来 k 一 的值是四,那么他就满足解析式, y 等于四 x。 第二个解析式还是啊, 先把范围写出来, x 大 于十五,把这个解析式设出来, y 等于 k 二, x 加上 b 二,其中 k 二不等于零。过哪两个点呢?过这个点和这个点,第一个点是十五六十,第二个点是二十九十,所以说代入就行了, 六十等于十五, k 二加上 b 二,九十等于二十, k 二加上 求减方程,这个方程是一号方程,这个方程是二号方程。我们拿这个二式减去一式就行了。先解等式的左边九十减六十得三十,等式的右面二十减去十五,那就是五倍的 k 二, b 二都减没了,所以说 k 二就等于六, 把 k 二等于六带入到一式之中,那六十等于十五乘以 k 二是六,再加上 b 二, 那么 b 二一定就等于六十。减去十五乘六十五乘六是九十,所以说 b 二就等于负三十,那这个方程长啥样? y 等于六, x 减三十,因为我们算出来, k 二是六, b 二是负三十。 搞定了,后面当然还要写一个综上所述啊, 我写到这里吧。综上,当 x 小 于等于十五,大于等于零的时候, 它满足于这样的解析式, y 等于四 x, 当 x 大 于十五的时候,它满足于哪样的解析式呢?六 x 减三十。好,这是我们的第一问,接下来我们来看第二个啊,说了月用水吨数是九吨,应缴纳多少元的水费,我们可以观察到啊, 当他的月入水量,我们可以观察到,他的月用水量是九吨,九吨在这一块里了, x 在 零到十五之间,所以说咱们得带第一个方程, y 等于四乘九,等于三十六啊,所以说应缴纳水费三十六元,说某月缴纳水费一百零二元,一百零二元,看 y, y 的 一百零二肯定是 x 在 大于十五的时候,所以说咱们得带第二个式子啊。 那么一百零二,因为 y 所对应的就是水费嘛,等于六, x 减三十,把三十挪过去,六 x 等于一百三十二,那么 x 等于多少呢?一百三十二除以六,得数是二十二, 这个月用水的吨数就是二十二吨。后面再补答话就可以了。第十题,已知 y 与 x 加 b 成正比例之 y 与 x 加 b 正比例关系,给出了我们过的两个点,让我们求外关于 x 函数解析式, 因为 y 与 x 加 b 成正比例关系,那么 y 一定就等于 k 倍的 x 加 b, 因为与谁成正比例关系,谁前面加个 k 就 满足于这样的式子。但是后面我们别忘了, k 不 等于零, 过哪两个点呢?因为啊,函数过负三零啊,这不 x 等于负三, y 等于零吗?还过二负十这两个点。所以说我们可以代入,一个是负三零, 那就是零等于 k 倍的负三加 b。 另一个式子,负十和二 k 倍的二加 b, 看看我们此时应该怎么做啊。 这两个式子,我们先将它拆开吧。第一个式子是零等于负三 k 加上 kb。 第二个式子是负十等于二 k 加上 kb, 这是一式,这是二式。我们看这面啊,这是二式, 我们拿这个二式减去一式吧,等式的左边就是,剩什么呀,负十减零还得负十。 等式的右边就是二 k 加上 kb 减去,因为减负三嘛,那就是加三 k 加上 kb 就是 减 kb 啊,减完了负十等于五 k 呢,很容易就可以算出来, k 等于负二, k 等于负二,把 k 等于负二带入到任意一个市里。我们假设啊,带入到一市里面, k 等于负二,那么 b 就 等于三,因为不管 k 得什么值,要想让这个式子它得零,那负三加 b 一定得等于零,那么满足 y, 关于 x 解,其式就是 y 等于负二倍的 x 加三,将它化简,等于负二 x 减六, 这是 y 关于 x 的 解析式是负二 x 减六。接下来我们来看第二问,若 y 这个函数值的取值范围是这么多,求 x 的 取值范围, 那么 y 是 小于二大于负四的,它还等于负二 x 减六,所以说负二 x 减六,它是小于二大于负四的。 此时啊,咱们就来解这个不等式组,把这个不等式分成两部分,一个是负四小于负二 x 减六,还有一个是负二 x 减六,是小于二, 依次来解啊。第一个负二 x 减六,它是大于负四的,那把这个负六挪过去,那他就得是大于负四加六,大于二 x 负 x 等式的不等号不用发生改变, 两边同时除以二,负 x 大 于一,那此时我们得两边除以负一了。除以负一等式的不等式的,这个不等号就得发生改变。 x 小 于负一。 第二个式子也是一样的,负二 x 小 于,把负六挪过去小于八,那么再除以二,负 x 小 于四, x 就是 大于负四。所以说 x 取之范围就是 x 小 于负一,大于负四。 后面这个信息技术与应用还是老样子,大家可以自己去探索。下个视频我们来讲解一下第二十三章第三节依次函数与方程组和不等式之间的关系。

一次函数之前,我们没有任何的接触,所以非常抽象,老师帮我们总结了非常重要的一次函数知识点,关于 y 等于 k, x 加 b 的 图像和性质。在这里面主要学习 kb 的 取值范围 对图像的影响以及增减性。第一, k 大 于零,图像 y、 c、 x 增大而增大, k 小 于零,图像 y、 c、 x 增大而减小,与其具体位置无关。第二, 过象限。只要 k 大 于零,图像都经过一、三象限,同样, k 小 于零,经过观察图像,发现都经过二、四象限。 现在看 b 对 图像的影响。 b 是 一次函数图像与 y 轴的交点。首先看 b 大 于零,与 y 轴交于正半轴, b 等于零过原点, b 小 于零,与 y 轴交于负半轴。 所以这样我们再结合 k, 就 能找到具体函数图像经过的象限了。 k 大 于零,图像经过一、三象限。 b 大 于零,与 y 轴交于正半轴,所以图像经过一、二、三象限。同理, b 等于零,经过原点,这叫正比例, 所以 b 等于零,那么只有 k, 所以 经过一、三象限, k 大 于零, b 小 于零,图像经过一、三,与 y 轴交于负半轴,所以经过一、三、四象限。用刚才老师总结的方法, k 小 于零,图像经过二、四象限, b 大 于零,以 y 轴交于正半轴,所以经过一、二、四象限。 b 等于零,经过原点,所以经过二、四象限。 b 小 于零, k 小 于零, k 小 于零,经过二、四象限,同时以 y 轴交于负半轴,所以经过的是二、三、四象限。 老师帮我们总结了一次函数当中 k、 b 对 于图像经过象限以及增减性的影响。希望大家把这个表格记下来并背下去非常重要的知识点,以便于我们解题的时候直接套用。