武忠祥数学二严选题有没有详解

大家做一个具体的分析，就是我们整个高等数学这个内容呢，一共是四十八个学时，也就是一共只有二十四次课，那么其中数学二要求的内容最少，那么所以对数二的同学的话，那么只要求前面九章的内容， 那么这个呢，一共是三十八个学时，也就是十九次课。那么大家注意，我们数学一二三三个卷子当中，数学二要求的内容是最少的，所以初二的同学只要学完前九章的内容，你的考卷里边对高等数学所要求的内容就全部学完了。 那么数学三呢，是要比数学二多一个无穷级数，那么所以数学三的同学呢，到第十章叫无穷级数一讲完，你所要学的内容就全部学完了，那么这个呢，一共是四十三个学时， 当然数学一是要求内容最多，那就是所有内容都要求啊，一共是十二张，那这个呢是一共是四十八个学时，二十四次课。所以大家注意，你看我们在编这个教材的时候，就把大家共同要求内容编在前面， 那么这个单独要求，比如说数学三，数学一他有多要求内容，我们就把它放在后面，那不至于大家在听前面课的时候，一大段都是我们不要求的内容，大家时间也非常宝贵，这就是我们这个基础班的这个一个基本的教学计划。

啊，注意啊，就是在高等数学当中一些衍生出来的知识点性质，那么大家注意啊，这个呢，有的老师给你写书，这个书上给你多增加很多很多东西，那么这个衍生出来东西就多了，如果你是把这些都要搞清楚，或者都记下来，那这个时候我估计你可能花的时间就太多了， 但是吴老师呢，认为他应该是一个少儿经的原则啊，就是你看吴老师在写书的时候，这可能的少，就是说把一些常衍生也是要写那些常用的衍生出来，你比如说上了考场几乎就用不到的东西，你书上写那么多干啥？你有必要去靠这个记这些东西吗？你有必要把这些原理都搞清楚吗？没有必要， 所以这个一定要注意啊，就是说衍生是要内些，就是在考场上我要会用他，我理解他当然更好啊， 知识点之间的连贯性重要，那么知识点之间的连贯性当然就是知识点和知识点之间他有关系，这关系要搞清楚，因为他也是考察的一个重点啊，所以讲到这个地方呢，就经常网上有一个叫什么二级结构。 对，吴老师的二级结构一般在书上是写的住啊，那些就是二级结构，那些考场上可以直接用，但是吴老师写的并不多，但是也有的书上这个二级结构很多很多，但是这个时候呢，你可要注意啊，这个是多有多的好处啊，很全呀。 啊，那好像你做啥题，你在上面都能找的到，但是有一个另外一个问题多了以后就不太能够能够记住，更不太能够理解他，那这样子反倒多了以后，最后可能该记得也没得记得住，那就是一团糟。所以吴老师认为二级结构不在于写的越多越好， 常用重要的东西掌握就行了，一些不常用或者基本上用不到的东西，没有必要把它写在书上，我们书不是字典，非得要把它写的那么全书要写最经典的东西啊。所以这一点一定要注意，就是少而还是少而精的原则，而不是大而全的那个原则。

大家做一个具体的分析，就是我们整个高等数学这个内容呢，一共是四十八个学时，也就是一共只有二十四次课，那么其中数学二要求的内容最少，那么所以对数二的同学的话，那么只要求前面九章的内容， 那么这个呢，一共是三十八个学时，也就是十九次课。那么大家注意，我们数学一二三三个卷子当中，数学二要求的内容是最少的，所以初二的同学只要学完前九章的内容，你的考卷里边对高等数学所要求的内容就全部学完了。 那么数学三呢，是要比数学二多一个无穷级数，那么所以数学三的同学呢，到第十章叫无穷级数一讲完，你所要学的内容就全部学完了，那么这个呢，一共是四十三个学时， 当然数学一是要求内容最多，那就是所有内容都要求啊，一共是十二张，那这个呢是一共是四十八个学时，二十四次课。所以大家注意，你看我们在编这个教材的时候，就把大家共同要求内容编在前面， 那么这个单独要求，比如说数学三，数学一他有多要求内容，我们就把它放在后面，那不至于大家在听前面课的时候，一大段都是我们不要求的内容，大家时间也非常宝贵，这就是我们这个基础班的这个一个基本的教学计划。

有很多题呢，我做不了啊，这个是不是就这个不正常？那吴老师说很正常，因为这个六六零比这个高等数学基础篇这个严选题难度要更大。那我们基础阶段我们首先应该看什么？作为高等数学，那么基础阶段首先应该看的就是吴老师的高等数学基础篇， 那么吴老师这个高等数学基础篇也是在大学高等数学教材基础上，那么跟大学这个教材无缝的衔接，但是是考研的要求，那就像大学这个高等数学的书，两本书大概有六七百页， 但是吴老师的这个高等数学基础篇，那么这个地方呢，一共是两百一十二页，但是他把大学学的高等数学里边这个作为考研的基础部分的这个主要内容方法都概括在里边。 所以这个高等数学基础篇就是吴老师专门为基础阶段大家考研复习高等数学而编写的一个教材。那么大家注意这个书呢，薄厚一共是两百一十二页。数学一是全要求，那么这个课时也不多，一共是四十八个学生，也就是二十四次课。那么数学二呢，就要求的更少，数学二只要求这里边一百六十页的内容， 一共是三十八个学时，十九次课就把基础阶段就复习完了。那么数学三呢，一共是一百七十六页，四十二个学时，也就是二十一次课。吴老师认为作为基础阶段，用这个基础篇，只要把这个里边的内容立体，把它吃透，这个基本要求就达到了。 当然说我们数学呢，一定要做一定量的练习，通过练习来掌握巩固我们这个阶段所要复习的这个内容。那作为高等数学基础篇的配套练习题，那就是吴老师今年出的这个高等数学基础篇严选举， 那这个呢，是和这个高等数学基础篇这个教材是完全配套的一个练习题。那过去的话，吴老师没有这个基础篇的严选题，很多同学做别的地方题目，因为这个题目跟吴老师讲的内容不太配套，给我们很多同学带来不便。 那所以呢，吴老师今年就专门给基础篇编了高等数学基础篇的严选题，所以内容就看这个教材，做题就做严选题， 这严选题是按章配的，所以我们在学这个内容的时候，包括听课的时候按章，这是我把第一章内容学完了，第一章课也听完了，然后就做严选题的第一章 啊，然后接下来就学第二章内容，听第二章课，再做第二章的题目。不是说啊，我把整本书，我把这全部的课听完，最后来做题，那个时候你很多东西忘掉了，所以是按章学，按章做题。 那么有同学说，老师我基础阶段还有时间，我除过看这一书，听这一课，做这一题，我还可以做什么题呢？那么下面要推荐的就是吴老师和林永乐教授编的这个数学基础过关六百六十题。那么大家注意，这个六百六十题全部是选择填空题，这是我们基础阶段这个同学们常用的一本非常好的一个练习册。 但是这个六六零里边的题目呢？有同学可能会问说，基础阶段呢，有很多题呢，我做不了啊，这个是不是就这个不正常？那吴老师说很正常，因为六六零是这个， 其实就是选择填空题最终的要求，他里边有些题目要用到的方法和这个知识点，可能我在强化版才能讲到。所以这个六六零可以在基础阶段做，但是呢是能做多少做多少，不会做的画记号放在强化阶段再来做，这是一个非常合理的选择。 那么另外呢，就这个做的时候是这样子，就内容一站下来看这个书，先做严命题，难度要更大一点， 所以一定是先做严选题，后做六六零。六六零不要求在基础阶段全做完，能做的把它做掉，做不了的画一个记号放在强化阶段去做，不要去硬做，你 非得要在基础阶段把六六零做完，那这个效率是很低的，因为他里边你不会做或者有些难的题目，他要用到强化阶段讲的内容，那你还没学，你非得要硬做，这个效率很低，也没有这个必要。这就是我们基础阶段复习的主要的思路，我们应该看的书，我们应该做的题。

这个第二类还原法，大概第一还原法不一样的地方，就第一类还原法，只是把这个斐看做一个 u， 但是我并不引入这个 u， 但这呢必须要把变量换掉， 换掉呢，最后你把它换掉以后就换成这个，做出来以后，那最后注意要再反带回去，要是把这个 x 还要用，把这个 t 要用 x， 这个它的反函数要带回去， 所以从这一上讲的话，就第二类还原法，真是要把变量换掉，但最后还要换回来，所以呢，他往往用起来要比第一类要复杂一些，但是也有很多地方你第一类不方便啊，人家第二类方便啊，所以我们要介绍第二类还原，用个例子说明 方法的使用，比如说像这类题目，第一个，那大家看他的麻烦显然是在什么地方，在这那出现了根号 a 方减 x 方，那我们说一个常用的变量，就是 x 等于 a 散隐题， 那这个时候呢，把它带进去，大家看分母，那这个出来就是 a cosine t x 平方，那就是 a 方塞引方 d x 等于谁，就等于 a cosine t dt， 这个时候注意这个和这个就消掉了，那就剩下塞引平方，塞引平方怎么做呢？这是不是应该用那个二倍角公式？我们把塞引平方可以写成二分之一一节 cosine t， 这两箱都很好做呀，所以立马就得到谁啊？第一箱 t， 第二箱，那就是二分之一赛引二 t， 但是呢，最后还得反带回去啊，反带回去，那这个 t 呢？那么 t 我 们看这个时候把 a 除过去，赛引 t 等于 a 分 之 x， 那 t 就 等于谁啊？ ak 赛引啊，这个 t 就 等于 ak 赛引 a 分 之 x， 那 么这个地方怎么反带呢？啊？赛引二 t 等于二倍赛引 t cosine t， 那 sine t 是 不是就等于 a 分 之 x 啊？然后呢？这个 cosine t cosine t， 我 们知道这个等于谁， cosine t 是 不是就等于根号一减 cosine 方 t， 那 么 cosine 方就用 a 分 之 x 带进去， cosine 方就等于 a 方分之 x 方整理最后就得到这个式子。好，这是第一个，那。

做数学题目一定要注意，数学的一种美，叫对称美，这是二零一二年，数一、数二、数三三个卷子都考了这个题目，那你看它呢，是让我们证明这个不等式， x 是 在负一到正一正这个不等式， 证明不等式呢，我们刚才说最常用的是三个方法啊，第一个单角性，第二拉格尔定律，第三最大最小值。那么在这呢，我们一般首先是看单调性， 但是这个题目呢，在做的时候要注意，就做数学题目一定要注意，数学的一种美叫对称美。那么注意到这一点，看到很多问题就一下子变简单了，什么是对称美？就是哦，还是图形乖，外周左右对称，既还是图形乖，圆点对称。这个为什么会想到对称美呢？他给的区间是对称的 啊，这个时候大家注意，你看这是个偶函数，这个是偶函数，这个 x 是 奇函数，但后面是个奇函数，两个奇函数一乘是偶函数啊。所以这个题拿到以后，首先注意到 f 是 偶函数， 偶函数，它两边是对称的呀，所以我要占这个不等式，我只要占一半就够了啊，就是我本来是要占这个大于等于零，再负一到，正因为两边对称，只要占这一半大于等于零就够了， 这个工作量立马就降低了。那么并且呢，这个时候注意，实际上呢，你看 f， 零就是他在左端，你把零带进去， 那么大家看零带进去，这个单位零，那一是零，实际上是等于零的。哎，那我只要证明他单调增就可以了，那为了证明单调增，我就求他的导数，如果导数大于零，单调增左端点等于零，整体上就大于等于零。那位同学说，老师，这个导数求了以后，这个导数是不是大于零看不出来啊？再求导数 可以，标准答案也是那么做的，但是你可注意这个再求导数。还有这这个整理起来是很啰嗦的一件事情，所以这个时候就要注意了，如果再求导数简单，那就再求，如果再求导数变的真复杂，是不是在这可以想办法做判定啊。怎么做判定呢？ 大家注意， x 是 在零一之间，那么 x 在 零一之间呢？就当 x， 我 现在只要看 x 大 于零， x 大 于零的时候，它就这个里边是不是大于一，那么所以这个应该是个正的啊，这个是正的，然后呢？完了以后大家注意，你这个东西是比一小啊， 啊，那么这个时候这个比一小，那如果我把分母换成一，就这个是正的，我不要了，就变小了，这个呢？分母如果比一分母变大，值就变小， 那所以呢，大于等于二 x， 然后为什么要这样编呢？因为这可以写成这个，但是这个时候呢，我们可要注意，我们一个基本的不等式啊，就是当 x 属于谁啊？这个大学数上有零到二分之派的时候， 那我们是不是有一个基本的不等式，赛引 x 小 于 x 小 于谁啊？贪婪 t x， 这在我们大学书上证明过啊，这节呢，以后可以直接用在哪证明过？就在推导这个就是 x 去向零的时候，赛引 x 比 x， 这个极限等于一，那地方正过。 那好了，这样的话，我们立马就知道这个就大于等于零。好了，那这个大于等于零，那这个时候就可以知道里边就应该大于等于零， 但是呢他是偶函数，这一半已经挣出来了，那另外一半也就挣出来了，从而就证明了这个不等式。那么大家注意这个题呢，是用单调性挣的，但是呢就这一步很重要，就他是个偶函数，只要挣一半， 还有一个呢，求出一节导数，似乎好像他大约等于不大容易看，我们就马上会想到再求一次，但是再求一次也能做，但是你回去试一下，你这个再求一次，这工作量很大，所以这个地方呢，直接判定，当然用到一个重要的结论，这个题目这样可以做的很简单。

不定积分的题的时候，跟书后面答案对上了，肯定是对的，但是对不上是不是就不对呢？这是九七年数学二的考题，这个大到以后怎么做呢？首先注意，这个是一个根式，在分母上，但是根式里边是一个式，实际上是个二次三项式， 那我们刚才在前面一个例子里边已经讲了，就是根式里边是个二次三项式，那么上面是常数，那这个里边呢？大家看把它一配方，它是不是写成这个形式，那么写成这个形式以后呢？这个 d x 也能写成 d 的 x 减二呀， 然后完了就马上就联想到一个基本公式，那就是 d x 根号的 a 方减 x 方，那这个呢，等于阿克赛因的 a 分 之 x 加长数， 那无非我们这是底的 x 减二，那我们的四就是二的平方，所以立马就写结果，那就是阿克赛因二分之 x 减二， 这是用的凑一分，那么除过这个还有什么办法呢？啊？大家注意，你看如果把这个，你看这，因为有个根号，哎，我把这个根号如果截断，用根号 x 分 之 d x， 我 们知道前面用过，就是根号 x 分 之 d x， 这能凑两倍底根号 x， 所以呢，我们就有了第二种想法，我们把根号截断截断以后呢？为什么有这个想法？因为这可以凑二倍的底根号。那有同学说，你这凑了底根号后面咋办？这个是不是可以写成根号的平方呀？也可以再用这个结论呀？啊，所以你看我们这啊，二倍的底根号，然后呢，这个东西又可以把它写成谁啊？根号 x 平方，利用这个结论立马就可以做出， 那这个呢，用了两种方法，实际上这个题有很多种方法，但是呢，这两种方法应该是比较简单，也是比较常用的。但是我们通过这两个方法，我们又想说一个问题啊，那有同学说，哎，老师，你这个做出来答案怎么不一样 啊？我们经常有同学做完以后，经常跟书后面对答案啊，后来发现，哎，我怎么做出来跟书后面答案不一样呢？那有同学就再做一遍还是不一样？再做一遍还是不一样。有一次有个同学问说，老师，我这题做了六遍，就是跟书后面答案对不上。 那大家要注意了啊，做不定积分的题目的时候，跟书后面答案对上了，肯定是对的，但是对不上是不就不对呢？哎，这个不能这么说啊，因为不定积分题目方法比较多，不同的方法可能做出来结果在形式上有差异。你看你像我们这个这个做出来，他这个做出来，他这两样都是对的。 那么所以呢，这个时候就不要一味的去对这个结果，那你就把它拿来求导数，求导数等于被解函数就不对，但是你说你要把这个东西要化成这个形式， 那这个时候工作量就太大了。实际上呢，也就说你们做出的形式不一样，但是这两个呢，肯定是相差一个常数，求导数是一样的。所以不定的题目做完以后，对不上答案并不代表错，对不对？求导数等于被解函数就对啊，不等于被解函数就不对。好，这是我们要看的这个第五。

考研数学基础章宇强化武中强到底怎么样？这是网上一直很有争议的一套打法，怎么样才能学好呢？今天我就联合二六考研数学一一百四十九分，且本科是双非的学长，给大家出一期详细的规划，因为他备考期间高数部分就是基础章宇强化武中强， 所以各位想选择这种打法的同学，一定要看看这期视频，这是我和他耗时打磨的，而且是二点零版本，比之前那期更加完善，肯定会对你有所帮助，拿下数学高分。还是那句话，关注魔系学长，今年带你一战上岸！ 基础张宇强化我中强这个打法，每年都会有不少同学选择，但是选择这种打法作为获得高分的选手并不多，主要原因之一，大部分选择这种打法呢，都是基础不太好，本科是双非的同学，这就很有可能导致自己的学习方法出现问题，花太多的时间去听课， 而减少了自己思考和做题的时间，所以说不是很介意这种打法。但是针对要选择这种打法的同学呢，我就联合了一位二六考研本科是双非，然后数学一一百四十九分的学长， 除了这一期比较详细的备考经验和规划。那为什么要选择本科双非的学长呢？这是因为啊，看我视频，大部分同学呢，都是本科双非，更多是二本三本的同学啊，那这样同学呢，我们看一些本科九二的高分经验呢，可能不太适用啊， 因为毕竟有些本科九八五的同学，他们的基础确实比较好啊，他们会跟你说，他在备考的时候其实比较轻松的，或者说他的学习方法是比较简单粗暴的，那我觉得如果你也学习他那种简单粗暴打法，或者是比较放松打法的话，不一定能考到他那个分数啊，除非你本身也比较有基础啊。 所以呢，双飞的同学呢，最好就看看双飞高分上岸的经验，那九八五二幺幺同学上岸的这个经验呢，也可以适当学习一下， 但是肯定不能盲目跟随的。那首先我们来说一下这个学长个人的情况，他本科呢，是河北某双非啊，数学基础还行，大学高数现在的期末分数呢，都是九十分以上， 然后高中的一些数学考试呢，基本上也是一百二十分以上，但是高考的时候发挥失误，最后高考数学就有一百加，英语呢是比较差的，所以这位学长考研数学的目标就定在一百三十分以上。他是一月中旬开始备考的，一共是十一点五个月左右的备考时间，那如果我们备考的同学也是这个时间线的话， 那你就更加可以参考一下了。 那在开始之前还是提醒一下高数部分基础章宇加强强化五中强这套打法呢，非常耗时间啊，如果不是在寒假以前就开始学习，基础差人讲的 非常不建议这样做，因为这种打法大部分是数学基础比较差的人的选择，基础好的同学呢，他会选择跟一位老师，甚至可以自学啊，正是因为基础差，不知道该怎么学才好，选择这种打法获得低分的概率远远大于高分啊。 那主要有两类同学可以选择基础章鱼和强化武中强的打法。首先第一种就如果你在四月初就结束了基础三十讲高数部分的学习，那你可以选择数学二的同学，你甚至可以把这个时间延后到四月中下旬啊。其他情况的同学呢，比如三月以后才开始，我都不建议这样高数你要么安心蓝开，要么红开， 如果红开蓝开都听不懂，还可以选择黄开，也就是跟周洋新，他的高数基础阶段讲的是比较详细的，很易懂，那么只要你安心的跟着一位老师走下去，并且自己多思考，多做题，分数一定是不会太差的。 然后第二种类型的同学呢，就是高数部分学完之后才能讲，你每一章节都是按照预习、听课、梳理做题这样的流程进行的，高数还是没有学明白，那这种情况其实基本已经很少了，或者说基本没有了，那你就可以选择五种项强化，但是如果真的是第二种情况的话，那就说明章宇不太适合你啊，你早就应该换老师了。 那总的来说，数学二同学会更适合这种打法，因为我们学的内容比数一数三的要少很多啊。 那好，我们接下来就具体看一下该如何进行。首先高数基础阶段，数学一的同学呢，建议时常在二点五个月左右，数二的同学呢，时常建议在两个月左右啊， 那我们二六考研的这个学长呢，他高数基础是在一月中到四月初完成的，同学们呢，可以按照我建议的时间完成啊，那他在三月之前的这个数学有效学习时间呢？是三小时左右啊，那么从三月开始，他这个数学有效的学习时间是每天四到五个小时啊，注意是有效学习时间哦。 教材那不用多说，三十讲和一千题，在看课之前呢，我们先看一遍，讲一下内容，上完这一讲的课程之后，那上课呢，可以用一点五倍速进行啊，先翻书辅助回忆或者是理清这一讲知识点，并把例题自己完成做一遍，将它搞懂。例题做错呢，直接当成错题处理啊，再完成这一讲对应的课后习题和一千题的基础篇。 那一定不要在题目上做标记，还有写过程啊，这会导致二刷的时候成为提示啊，不能真正检测到是否学会这道题。可以打印一个对应的做题本。那做题本呢？市面上都有啊，一千题的做题本的话，在魔性学堂上面也有啊， 我们打印出来做题本，可以在做题本上做标记，不会写错了题呢，先自己看答案学习，如果看不懂，再去找对应的习题讲解。那么一千题的讲解呢，比较推荐这个楚江湖之远和考研数学千羽啊， 在此过程中一定要注意自己是哪一步没有想到，或者是哪个知识点不记得了，并用红笔在做题本上标记出来。然后是高数强化阶段，建议时长两个月左右。 那二六考研学长，他是先学的现代，再学的高数强化，那我们同学你想选择高数基础，学完之后紧跟着强化也是没问题的，或者你跟学长一样，先去学这个现代的基础加强化，再回来学高数强化。但是要注意的是，现代和概率的学习一定是要基础和强化连着学的， 那学长是五月到六月中下旬完成的高数强化，那各位同学的话就按照我的建议时长完成就可以了。数学有效学习时间是每天四到五个小时啊， 教材是高等数学辅导讲义和研小题，先自己看一遍，讲义上的内容哪一块不是特别清楚了，重点标记起来， 看课的时候多多留意。对于一些比较熟悉的知识点啊，那可以快速过看课呢，可以用一点五到两倍速进行啊，因为五中小老师讲话比较慢， 后续还是一样的流程，梳理，做题，盯正，看一章的课，做一章的这个研试卷。那有变化的是强化阶段，我们应该降低视频讲解的比例啊，不会的题先自己研究研究答案，在这个阶段自己研究出来的思路比听别人讲更有收获，可以形成自己的思维体系，为以后的整体阶段做好铺垫。 那要注意的是，在强化阶段要不断复习基础三角上的知识点和做错题啊。好，那接下来是二六考研学长在过去一年的备考中得出的一些心得体会啊，也可以说是高分思维，因为内容不少，那我就不一一赘述了，大家可以截图观看并学以知用啊。 比较关键的就是如何高效写题，还有如何处理计算失误啊。 这个如何处理计算失误呢？也和我备考期间的这个思路差不多啊，但是我是等到十月十一月才开始落实起来的，导致我最后考题的时候还是算错了不少的题，所以大家可以尽早开始这个处理自己的计算失误。 好，然后下面还有一页，大家可以截图自己观看。接下来是现代基础和强化的学习，那这一时长呢，是在一点五到两个月左右的时间，那我们数学二同学的这个内容呢，就已经结束了， 那这位二六考研学长呢，他是四月中到五月结束了，现在学习同学们呢，可以根据我的精意神上来啊， 现在的学习呢，和我们之前的那期视频中的策略差不多。然后有一点变化，就是关于这个李正源全书啊，大家可以在学完基础强化之后看一看，作为知识点的补强啊， 还可以写一写里面的例题和习题，都是比较有质量的。现在如果大家觉得跟教材不好的话，还有其他的选择啊，就是全程没咋了于老 kara 或者李永乐，大家都可以去试听一下，那么比较适合基础薄弱考生的是这才位老师啊，没咋了于老 kara。 然后就是要再注意，在现在学习的时候呢，不论你是接触高数基础还是已经接触高数强化，都要复习高数的内容，通过翻看讲义的知识点和做错题进行，尤其是强化完的，更不要在这期间不管高数啊。 然后接下来就是概率论的学习，也是基础加强化一起进行建议时长是一点五到两个月左右，那我们数一数三的同学呢，也结束了学习内容，二六考研的学长是在六月中到七月中旬结束的，这个概率学习基础和强化这样都是方号，大家的这个学习进度呢，可以按照我这个建议的时长进行啊， 除此之外，概率的其他选择呢？还有李良和江小倩啊。那如果你的概率论选择跟方浩的话，在基础的强化学习时间，可以只写方浩的讲义题型，讲义的题型很多，而且很有质量，足够应对考试了。八八零的概率论部分相对而言还不如这个方浩讲义的题型啊，这是我们二六考研数学学长的一个经验， 在概率学习的时候呢，我们已经学完了高数和现代的内容，这时候复习任务更重了，那么每天的学习时间安排建议这样，一小时高数，一小时现代，三小时的概率要复习高数加现代讲义知识点和做错题啊。 学完数学全部内容后，如果还有时间，那么可以先完成八八零，然后再整体复习一遍这个知识点讲义例题还有错题，再开始后续阶段的学习。那数学二同学呢，就更建议这样做了，咱们的时间肯定比数一数三的同学时间多。 那好，然后最后就是学长的过渡阶段和他的真题模拟卷阶段了，那么这些呢，为时上早，大家可以先截图看一下他的思路，等到中后期我们会有更加完备的规划，现在你就当做学习一下经验，看看高手都是怎么做的。那好，以上就是一些全部内容，希望对你有所帮助。

啊，就是很多同学说的啊，我这个做计算题经常出错，算不对不就是出错吗？啊，老师怎么办？这个时候一定要注意，就是你这个计算题出错，你怎么来解决呢？你不能笼统的去说出错，你出错，你一定要找到原因啊，你要解决这个问题，错的原因在哪里？你这个先得搞清楚， 那么原因，搞清楚针对错的这个地方的原因，然后在这个地方呢再想办法啊，你如果不去追究原因，你光说错了，错了，你就稀里糊涂不知道这个错的原因在哪里，你下次还照样犯错。 所以呢，就是从错的当中一定要知道你错的原因在哪里，然后呢，根据这个，你把这个错的这个地方的这个根源找到了，把这个地方搞清楚，你就不会犯错了。比如说我们再讲举个例子啊，比如说这个求极限啊， x 趋向于零的时候，那比如说 x 分 之一减，这个烙印一加 x 分 之一， 那么也有同学说啊，老师，这个等于第一个无穷，第二个无穷，无穷减无穷零，那这就是标准的零分，经典的错误啊，那么这个为什么不能这样做啊？你，你说无穷减无穷就一定等于零，那这俩无穷他不一定是完全是同一无穷，那所以呢，这就是经典的错误。当然有同学说，老师我不会犯这样的错误，但是同学说，老师我这样做， x 趋向于零， 然后这是 x 分 之一等价代换啊，那老 n 加 x 等于 x， 这个也等于零，这也是标准的零分，那这个错的原因是什么呢？那这个错的原因就是你在这用等价代换，你在这用等价代换，这是在减项里边用等价代换。我们说加减关系一般不能用等价代换， 乘除可以用。那我们是不是讲过 x 曲线零，那比如说你是塞以 x 除以烙印的一加 x， 那 么说因为这个等加有 x， 这个也等加有 x， 所以 这个呢，就等于 x 曲线零， x 比 x， 这个等于一，这是正确的。那么这个错的原因就是说你这个加减关系，别随便用等价代换，这就是经典错误。而乘除关系可以用等价代换。 还有同学说，哎，老师，那我把这个写成这个，我这样子不是就成熟关系了吗？你的极限符号在这，我可以写到这来啊，那我这个写成谁？我写成 x 去向零， x 分 之一，减 x 去向零，烙印的一加 x 分 之一，那我这个用等价代换一换，那么这个时候最后呢？等于零，这本也做着，这也是标准的零分，经典的错误。 那么你注意这个地方呢，是乘除关系，但是这个错不是错在，这，是错在这。你把这个极限要拆成两个极限，那么要拆成两个极限，这是用逻算法，逻算法是要求这个存在，这个存在你可以拆，但是现在呢，这个是不存在，这个也是不存在，你不能拆开啊。 所以这个地方呢，就是我们错了以后，一定要知道错的原因是什么，错的原因搞清楚以后就不会犯这样错。但是也有同学呢，这种题还会犯这样的错误，他说，哎，无穷减无穷，一个通风，通风，那应该写成 x 去下零 x 烙印的一加 x， 然后呢，这就是烙印的一加 x 减去 x 好了，那这个时候呢，我们用一个等式贷款， x 去向零啊，那这个地方呢，就是 x 平方，上面呢烙印的一加 x， 然后减去 x， 零比零，我用一下烙饼的法则， x 去向零，然后呢这地方是二 x， 然后呢这是一加 x 分 之一减一，这还是零比零。我再用一个烙饼的法则， x 去向零， 然后底下是二，上面呢一加 x 括号的平方分之一，那么 x 去向零等于二分之一。做完了， 那么大家注意这个呢，是不是又错了啊？这个地方是不是又是一个错误的答案，但是实际上呢，这个已经非常好了，你看这个地方知道通风，这是对的，知道要等它带坏，这个也是对的， 这个洛必达法则也是对，然后呢，再用洛必达法则啊，这个时候注意，实际上这错了，这步错了，那这个错是哪里错了呢？这个求导数，他应该是负的这个东西，所以答案应该是负二分之一，这就是我们通常说的第几个数算错。 好，那你注意啊，你看这个前面这些错误，这都是原理啊，就是原理性的错误，原理没搞清楚，原理用错了，那你就得搞清楚正确的原理是什么， 但是这种呢，这种就是另外一种错误，就是计算性确实是算错了啊，那么算错这个你怎么办？你就细心一点，这没有别的办法呀，慢一点呀，你这个导数，你算错一次，下次不应该算错这个呀， 所以呢，就是这个真正题算错了，通常主要是两类问题，那么一类问题呢，就你算的这个算法，或者这个原理是错误的，那你必须搞清楚这个正确的原理是什么？我这个原理哪里用错了， 以后就不会犯这样错误啊？还有种错误就是原理都是对的，那中间算错了，比如说你这个求导数算错了，比如说你一加三算成八，这个你算错了，那算错就太粗心了吗？你说对不对？你细心一点，慢一点，你就不会算错呀？ 你说你计算题错，是不是就这两种原因，要么就是原理错了，要么就是低级的算错，就这两种错误，你得搞清楚它属于哪一类错。那么这个时候呢？把原因找到，把原因搞清楚，你就不会犯这样的错误了呀。 这是不是已经讲的很具体了啊？所以我们不能说啊，我哪里不行，哪里不行？但谁想追问一句不行的不行，是具体是哪里不行？你都没把自己的问题搞清楚，光知道说这个地方不行不行的原因在哪？你要追原因啊。你不能光说笼统的啊，我求极限老算错，算错，你要解决这问题，你得搞清楚我算错的原因在哪里， 我把这个原因搞清楚，以后就不会犯这样的错误了呀。你不能光是这样子就笼统的，我算极限老算错算错，那算错到底是原因在哪里？为什么算错了？那么这个时候呢？怎么样做才是正确的？ 一定要找到具体的原因，对症下药，这样子你才能取得成功。所以不能笼统，不能这样子马虎。好，这是第三个问题。

我们再看一下例子，这是九零年数学三的考题，计算这个积分拿到以后，我们得选方法，大家看这是对数函数，剩下的是一个谁啊？有理函数，这也可以看作是个对数和有理函数的成绩，两类不同函数相乘啊，所以就首先想到了分布，把谁凑进去。我们刚才是不是总结过这个规律，出现了对数 往往是这个往微分号里凑，不好凑啊，往往把它以外的凑进去，那就把这个凑进去，哎，这个怎么凑呢？那大家一看，这个是不是可以凑底的？一减 x 分 之一，所以出现这个对数函数以后啊，往往是把对数以外的就用分布积分把对数以外凑进去。 为什么要这样子啊？因为一分布以后，对数求倒，对数就去掉了，所以你看这一分布第二项，这个出来绕眼求倒就到这呢啊，我们知道上面是一，是不是给他减个 x， 加个 x 拆项呀？ 一拆项是不是就很快做出来？所以这个题目关键就是第一步，首先你看到是两类不同函数相乘，相到了分布，那么另外呢，就出现对数，往往是把对数以外凑进去好。

简单无理式啊，就这个地方你开多少次方都可以，但是里边呢，必须是两个一次式的比，就是说这个被记函数是由 x 和这样一个根式经过加减乘除得到的， 那么这种无理式的积分呢，一定能做出来，他的一般方法是谁？就是只要令这个根式等于 t， 为什么能做出来？这是因为令了这个以后啊，他把它可以化成一个，谁化成一个有理函数积分都能做出来，所以所有这样的积分用这个方法都能做出来。 那么在这呢，我们看个例子啊，比如说计算这个积分，那么拿到以后，大家看麻烦式在这，但这个呢，它属于我们这个类型啊，就里边是两个一次式的比，所以我们就可以令它等于 t， 然后两边平方，最后得到 x 等于它，那么得到 x 等于它以后 d x 就 等于它，然后就把它带进去啊，带进去以后就得到这个式子， 这个式子呢，大家注意，它就变成一个有理函数积分啊，那么这个有理函数积分容易做了，这就是二分之一烙印的形式， 做出来以后呢，然后再把它反带回去，所以你看这就是直接用他给的这个方法，我们直接定这个等于 t， 最后呢就把它化成有理函数积分，拆项就做出来，这就是做这种带有简单无理式积分的一般方法， 当然有时候也可以灵活处理。那我再来看一下啊，像这个题怎么灵活处理呢？我们可以把分子有理化，那就是分子分母同乘谁啊？同乘一个根号 x 加一， 那么同乘这个根号 x 加一以后，上面就是 x 加一，那么这呢就变成根号 x 方加 x， 为什么会有这个想法呢？因为这个时候啊，上面是两项，我一拆一项，两项都比较好做， 为什么两项都比较好做呢？因为你拆一项以后，第一项只剩下这个根号，根号里边二次式，那么说把里边配方，大家看它一配方以后，这可以写成 x 加二分之一的平方减四分之一，哎，上面 d x 也可以凑这个呀， 那么这样的我们可以用这个公式对它 d x 根号的谁啊？这就是 x 方减 a 方，那这个公式就等于烙印的 x， 这是绝对值啊，加上根号的 x 方减 a 方，绝对值加常数，所以第一项好处理。那么第二项呢？大家注意啊， 这个呢，把里边平方给他提出来，提出来就前面是有平方分之一，然后呢里边就是一加 x 分 之一，那你注意前面这个 x 方分之底 x， 这是不是可以凑负的底的 x 分 之一，那么能凑底的 x 分 之一，也能凑底的 x 分 之一加一啊， 那你看这里边是一加 x 分 之，这是底的一加 x 分 之一，这不是也就好做吗？所以两项都可以写结果了，第一项就是利用我们这个技能烙印第二项，那立马可以写结果，所以这也可以灵活的来处理。

啊，这个五中祥高速纪录片第九章二重积分这里，然后这一张呢，他课只有一个课时，然后学的比较快啊，内容呢？也不是很多，就几页的内容，然后基本上一小会就学完了。 然后这个严选题呢？严选题题量也没有很多，大概就是一张，这一张就是二十四道题。但是呢，这张其实我正确率挺低的啊，就是可以看到飞 后面其实错了蛮多的，因为是我，我分析下原因，就是我前面那个积分，一重积分那里啊，分布积分法，然后包括一些换元法，就是没有掌握好，所以后面到了二重积分的时候就是错的会比较多，所以我觉得前面的基础还是得多练练。然后 因为前五张他是，呃高速上吗？高速上的话，呃，高速下的内容和高速上内容他是紧密结合的， 所以我觉得前面就是基础的前面，前前面五张还是得好好搞一下，好，慢慢搞，然后有一些比方说积分的那种题目还是得多去练一下，增强一下自己的计算能力。

如果你高入基础跟武忠祥老师，或者你想跟武忠祥强化，那么到底该怎么学？首先是跟武忠祥老师基础非常，推荐你继续跟他的强化，因为武忠祥老师基础内容讲的很少，强化是重点，而且强化课非常好，基本上秒杀市面上的强化课。因此主要问题就是在怎么安排学习计划和做什么题。 如果你基础阶段跟武忠祥学的不扎实，或者学的不错，但是基础阶段做的题比较多，我推荐你直接开强化，其他情况我更推荐你先开现代现代基础，学完后直接开现代强化，一边学现代一边可以复习讲义的错题，以及做六六零巩固高数，这样效率更高。 武忠祥老师高数强化课有二七的就选二七，没有就二六二六年的话呢，就配二六的强化讲义，二六的演选择题和八八零，八八零，二六二七都可以。 如果你开武功墙强化，后续时间比较多的话呢，而且目标也比较高，可以以配套延远极为主，八八零为辅。如果时间紧，目标一般可以主要做八八零，后续只搞懂八八零这本习册就够了， 因为延远极的质量不错，提量比较少，但是不如八八零。如果你做完延远极之后呢，你大概你还要做八八零，但是你先做八八零的话，你后续再做延远极概率就不大。 武中强老师的数一数三专项我推荐其他老师之前视频有出过。然后就是具体的安排，首先是先看现在在学的强化，高入强化过程中呢，一定要一边复习现代部分讲义和八八零剩余部分及二刷错题，一边高入强化， 高入强化后如果是数二的话，就进入刷习题侧加复盘讲义阶段，一定要优先完成八八零所有部分，可以补充一千题，优先做一千题的高数强化篇数一数三进行概念论，同时二刷前面的错题和讲义，现在可以补充一千题。 如果是先开的强化再学的现代，你可以一边学现代一边做高数题。高数部分可以做六六零或者八八零的高数升一部分，八八零完成后也可以考虑做做一千题，完成习题测的高数部分，记得再一次二刷强化奖励。后续阶段以上数保持一致，关注亚瑟，跟上亚瑟的节奏。

比如说这个演讲题，这个是第一章里边的这个第二个题，给出以下四个命题，然后注意，这个时候呢，他说真命题的个数到底是有几个？就这四个命题，有哪几个是真命题，就一共有几个是真命题。然后你跟他说， n 就 像无穷的 a， n 也有一个极限， 则当 n 充分大的时候， a n 减 a 的 绝对值，小与一万的结成面之一，这个对不对？先让大家注意， a， n 也有个极限。我们严格的数学定义是什么？定义是对任意给定的 e 层的大一点， 那么这个时候呢？当 n 充分大就是小 n 大 于大 n 的 时候，我们能推出谁？我们能推出 a n 减 a 的 绝对值，怎么样？小与 e 次。 哦，那是定，就是被任意，又是给定。大家注意啊，这个 e 动词呢，是任意的，又是给定的啊，就是不管你给的多么小，恩，充分大都有这个式子成立。那么现在呢？恩，充分大能不能有这个式子成立呢？ 那么大家注意，虽然他很小，但是我的 e 字呢？是任意的，那我的 e 字呢？可以小与谁啊？小与你这个地方呢？一万结成分之一，因为我可以取这个 e 字呢，比你来的小。那么这样的呢？嗯，从大的时候有这个式子成立，那么能小于这个 e 字，当然能够小于这个，那么所以这个肯定是正确的。 那第二个对不对呢？那有同学说能够小于 excel， 这个东西比 excel 还得小，那它小与大的，它不一定能够小于小的，那这个说法没问题，但是你要注意，我们 excel 是 任意的， 那我说你能小于这个，也能够小于这个为什么？哎，当我你给了 excel 了以后，那我这个时候呢，我这个地方 excel 呢，我也可以取成一个一百分之 excel 呢，那么这样当然应该有这个权力啊，那么所以这个也是对的。 好，再来看下面， a n 也为极限，但是对任意的一次呢？大于零，当 n 充分大的时候，有这个式子成立，那位同学说，这个比一次呢还来得大，那么能小于一次呢？当然能够小于这个大的呀， 但是你要注意，这个地方呢，有一个核心问题，你看我们这个一次呢，是任意的，但是又是给定的，给任意给定的一次，但是这个地方呢，只是说了任意缺了给定二次， 那所以这个不行。为什么？如果没有给定，那我这个 excel 呢？我也可以取谁啊？我 excel 呢，我也可以取 n 分 之一啊，你没有给定二次，我这个 excel 呢，可以是变的呀，那么大家注意，如果这个 excel 呢，取 n 分 之一，那么大家注意这个要求这个东西，实际上这就等于谁，这就变成了 n 分 之一百。 那这个时候大家注意， a n 以 a 为极限，能不能得到 n 充分大的时候， a n 减 a 小 于 n 分 之一百，大家注意，这个现在是一个变的， 那么这个时候呢，其实它是变的，那所以它就牵扯到 a n 取向 a 的 速度的问题，这个数字是不是一定能成立呢？当然不一定，那你比如说我的 a n 等于谁？ a n 就 等于 a 加上谁啊， n 分 之一千。 那么大家注意，你看这个 a n 确实是以 a 为计算，但是呢，它两个一减，这个绝对值等于谁？它就等于 n 分 之一千， n 分 之一千能小于 n 分 之一百吗？不能啊，所以这个是错误的啊。那么这个主要是强调，就是我们定义里边是任意给定啊，这两个字，不能说这两个字很关键，这一部分呢是任意的，但又是给定的，没有给定二字，当然 得到这个结论，那先让这个搞清楚以后，大家看恩状况，大的时候他能小，以恩分治他，这个实际上跟这个是本质上是一个问题， 那这个当然也是不行的，就是你这个地方呢，这个一部分他不是个定值，他是个变的啊，我们这个得不到这个结论，在这两个都是错误的，那所以正面题的个数几个就两个，所以应该选它。 那么大家注意这种题就概念性非常强，就这种题就提醒我们大家，数学的概念一定要理解，而不是简单的背对数学的概念，背一些关键的字， 一定要抠啊，一定要把它的本质一定要抓住，一定要理解透彻。那么这样子我们上了考场，然后做这种题，我们才能做的速度快，准确率高。所以让大家注意我们这个编的这个题里边，这个三和四这两个选项所考到的关于数列极限这个概念的问题，在近几年我们卷子里边 多次有考到，所以我们平时编的这个方向，然后做相关的训练，这属于概念性的题目。

二分之一，你两个相加，哦，这个时候你看我为什么写这个式子，你看这个贝类函数，这个积分域用极坐标就简单啊， 那所以呢，你看这个就可以在极坐标下画了一次积分，二分之一 d， c， t， 然后在 x 方加个方，是入方，注意面积为圆，还有个入，然后 d 的 入， 那你像这个单位圆上定线，这就是零到二派，这个入呢，就是零到一，立马出结果，大家看二分之一，然后呢？ c 塔结合里边跟 c 塔就没关系，直接就是二派， 然后里边积分，这是入立方积分，入立方积分是四分之一，入四方带上下线，这地方就是四分之一。好了，这个时候呢，立马就出现结果，那最后的结果就等于谁四分之派。 大家注意这个题这样做就比较简单，但是注意你这个题这样做，它里面就是灵魂运用了很多思想。第一步， 这个，这个等于零，他先用了谁啊？这地方先用了奇偶性啊，这地方用了奇偶性。 第二步呢，这个地方这两个相等，那就是看到这个区域关于 y 的 x 对 称，那这样子的话 x 外对调不变，这个呢，是利用了谁啊？这个轮换对称性，这身上是用了谁？这个方法四啊？对称性，奇偶性是方法三， 然后呢利用对称性把它划到这来，然后这又用了谁啊？这地方用了极坐标， 那你看这个题呢，是一道题，我们用了四个方法，他用了几个方法？三个方法，既有性、对称性，还有极坐标，所以呢，就是每个方法要知道，但是哪道题目就是每一步要能够选择出最适合这个题目的方法， 那这个题这样做就是最简单的方法。好，那我们呢就是通过一个题，不但要让大家学会一种思想，会做这个题，要会做一类题， 如果人家把这个题变一下，你还会不会做啊？所以我们这个就，我们把它叫做，就是这个。好， 我们把它叫做，就是你这个地方呢，不但要会做这个题，而且你要竹类旁通啊，就是通过一个点要带动一个面，比如说这个积分这个题，如果人家考你这个题，你会不会做啊？等一下啊，如果积分域仍然是这个， 他出这道题，他说这个 d， 然后呢？这是三 x 加上谁？四 y， 然后平方 d 的 x， d 的 y， 这个等于谁？大家看你能不能很快把这个题做出来。哎，大家看，要说这个区域适合用极坐标，你说这个背接函数适合不？可以做，但是不方便， 那怎么做呢？我说你这样做看，你首先把这个里边展开，九 x 平方加上这个，这个里边这个地方呢？那这个 中间这个地方，那这应该是这个，就是中间有个交叉项，那么交叉项呢？这地方是二十四倍的 x y， 然后呢？再加上谁啊？再加上这个地方的十六的 y 的 谁啊？平方啊？ 好，那么这个，然后这呢是 dx y 再往下做呢？啊？注意这一项 它是根据旧性，它是 y 的 奇函数，你给去 y x 轴上下对称，所以这个就等于零。哎，那就剩下谁？就剩下这两项积分，这就是九 x 平方加上谁啊？

很多同学高等数学强化阶段的复习用的是高等数学辅导讲义，今天就高等数学辅导讲义到底怎么用，给同学们做一个说明。 它是高等数学基础篇的一个姊妹篇。高数基础篇，那它主要是对基本内容的梳理，难点的东西只是提了一下，没有做深入的讨论，而高数辅导讲义 对重点难点都要做详细的分析，所以这高数辅导讲应应该是高等数学的重难点内容这个突破的一个教材。 所以我们同学复习的时候可以按照章来复习，对于书上的例题，最好是自己先做再看写吧。 按照一章内容复习完了以后，再做后面的演选题，演选题按章做，比如说你第一章内容复习完了，然后就做第一章的演选题， 按章复习，按章做练习题。如果能够坚持下来，相信我们强化阶段高等数学这个复习一定是成功的，同学们加油！

高数基础阶段到底主要要掌握哪些内容？那么复习到一个什么样的程度啊？这是很多同学关注的问题，那么在这呢，吴老师很快逐章逐节给同学们做一个复习期，那么大家可以跟着吴老师这个节奏，想想你自己是不是达到了这样一个要求啊？ 好，下面呢，我们来看这个我们高等数学基础，第一章就是函数极限、连续，所以内容呢是三大块，那就是函数极限连续，当然这三块里面重点显然是极限， 那这个内容比较多。我们教材里面第一节是函数，函数这个地方呢，身上我们主要内容就两块一块呢，就是函数概念，常见函数。 那么这个地方呢，常见函数身上主要就是那个五类基本出等函数，还有这个出等函数，另外一个就是复合函数，反函数，这个基础阶段我们就应该掌握。那么另外一个就是函数的性质是单调性、基友性、周期性。 那么这个地方呢，主要就是关于函数四大性质的概念，以及如何用定义、判定掌握就可以了。而这个考题呢，你看考来考去通常是两种题，一种就是函数的性质，那主要是围绕着单调性，然后呢，既有性、周期性，有界性。 那么这个第一基础阶段只要达到什么，就是会用定义判定函数的单调性，既有性，周期性还有有界性这个要求就达到了。 那么另外一个就是复合函数啊，那就是给你两个函数，你会把它附合成一个函数，特别是两个分段函数会附合成一个函数，这是这个地方对内容以及这个题型的要求，这是关于函数这部分，但是这部分的重点是什么呢？重点当然是这个就是函数的性质啊，这个我们在强化阶段还会强调，这个是年年必考。 好，那么再下面呢，就第二节，这是个重点极限，那么极限呢，内容，我们把它分为是五个内容，那么大家注意极限的概念，这个同学来讲是个难点， 但是注意极限概念主要是竖列和函数，但是注意啊，这个考研不会考那种用定义来证明竖列极限，或者证明函数极限在大学教材里面有，考研不会考这个，但是呢，这个极限概念不是不要求，是要求，那主要是要理解这套呢，特别是竖列极限的概念，这个考的比较多， 但这个概念呢，他这个对我们同学来讲是个难点，不可能在基础阶段就能够理解到位。所以呢，关于这个极限的概念，特别是竖列极限概念， 在基础阶段只能说是一个初步的理解啊，这个就够了，不可能理解到位啊。那么另外呢，就是关于极限的性质，这趟主要就是两个性质，一个呢就是有界性，一个就是保耗性，保耗性是重点，那么这个呢，也是初步的理解会用。 那么另外一个呢，就是极限的存在准则，这个地方主要是两个，一个呢就是加 b 准则啊，就会用加 b 准则，算一些 n 项和的简单极限要求就达到了。那么另外一个就单调有界准则，单调有界准则这种出题往往是出难题，单调有界准则，求地推关系定义，树立极限，那显然不是我们基础阶段的要求， 这个阶段只是了解一下就行了，那个是我们强化阶段要突破的。那么再下来，关于无穷小呢，掌握什么东西？一个就是无穷小的概念，另外一个就是无穷小的阶的比较，那么什么高阶、低阶、同阶等价。那么关于无穷大呢，主要是无穷大的概念， 无穷大和无界变量的关系，无穷大量和无穷小量的关系，这些内容搞清楚就可以了，这是内容方面的要求。那么另外一个呢，就是常考的题型，这地方呢，是有三种题， 那么一种呢，就是关于极限的概念，性质、存在准则。注意这个在基础阶段不可能一下就复习到位，这能说是一个初步的了解啊，会做一些简单的题就可以了。 那么这个地方呢，重点应该是谁？重点应该是求极限，但是求极限也有难题目，实际上呢，这个求极限我们会后面会具体讲，就是我们在基础阶段啊，主要是学会用一些常用的方法，求一些比较简单极限就可以了， 那这是一个重点。那么另外就是无穷小量阶的比较啊，那就是知道无穷小量阶的比较的概念，会用这些概念做无穷小阶的一些比较的简单题就好就可以了。那整个这一部分的重点应该是求极限，因为求极限是我们高等数学三大基本用算之一，这就是关于这一部分的要求。 那么再一部分呢，就是连续性，这部分它的内容，第一就是连续的概念，我们应该知道，那么另外呢，就是间断点进行分类，这个应该是重点，这个不难，那个基础阶段就应该基本就掌握它。 那么另外呢，应该知道连续函数的性质叫用算及其性质啊，还有一个呢，就是 b 区间上连续函数的四大性质啊，这个有界性最大最小值界值零点定点，整个这个内容里面的重点就是间断点及其类型。 那么最下面呢，就这部分的考题，主要是两种，那么这个呢，就是我们基础阶段重点要掌握的就讨论函数的连续性及其间断点类型。 那这道题呢，往往呢，这个专门考考的很少，一般是跟维方装饰典礼证明题放在一起，综合性的去考，所以这个呢，在基础阶段了解就行了。那么重点就是关于函数连续性渐变点类型的判定，这个我们在基础阶段就应该掌握 好，这是关于第一章我们应该掌握的内容，以及掌握到什么程度。那么第二章呢，导数与维方，那这个内容呢，应该是这样一些部分啊，第一就是导数与维方的概念， 那么这个导数这个概念显然是考察的重点，基本上是年年都考，但是呢，我们基础阶段不可能把这个导数的概念理解到位，只能说是一个初步的理解啊。那么另外呢，就是导数公式求导法则，这个应该是我们的重点啊，复合函数求导法、应函数求导法、流利用算法则，这个作为一个基本用算，我们基础阶段基本上就应该掌握到位。 高阶导数那我们一些基本方法应该会，但是高阶导数也有难题，所以呢，高阶导数只要掌握一些基本方法，会做一些基本题就可以了，有些难的题目，这个基础阶段做不了，这个很正常 啊，这是关于这个这部分内容方面，那么常考的题目呢啊，就是一个，就是导数定义，注意这个对我们同学来讲它是一个难点， 所以不要求你基础阶段导出电影的题目都能够做会，就是会做一些简单的就可以了，所以这个地方呢，是一个难点，也是个重点，但是呢，这个真正要突破基础阶段是不可能突破的，只是会做一些简单的题就够了，哪一类的题目我们强化阶段会再训练， 当然这个地方大家注意，这个基础阶段就应该掌握啊，什么负函数求导、引函数求导函数求导函数求导、函数求导，作为三大基本用算的第二用算求导数，这个在基础阶段就要掌握 高阶导数，我们刚才说过了，那么这个会做些基本题，哪一类的题目，这个技术界的做不了，很正常啊，导数的应用，这个地方应用主要讲的什么？实际上主要讲的什么？主要讲的是切线，还有谁发线，这个就应该会啊，切线发线还有一个呢，就是相关变化率 啊，相关变化率，相关变化率数三，不要求数一数二要求。那么在基础阶段呢，我们对相关变化率那应该有个基本的了解，所以这个导数应用主要就是一个几何应用，切线法线，这个就应该掌握。那么另外一个呢，就是关于物理应用数三不要求这一数一数二要求，就相关变化率啊，我们应该知道 这就是关于这个导数维分这部分，那么另外呢，就是关于维分中值定律及其导数的应用，那么这个里边的内容就比较多了，一个呢，就是维分中值定律，那么这个地方呢，一共有四大中值定律，罗尔拉格朗日科西，还有泰勒啊，定力的条件截断啊。那么另外呢，就是导数的应用一些基本内容， 那么围绕这个地方呢，考题主要有这些题啊，那么一个呢，就是函数的极值曲线的凹向拐点，这是个基本要求，这个呢，在基础阶段就应该掌握， 那么另外呢，就是求精进贤，这个基础阶段也应该掌握，但是从这个地方呢，你看这个地方就属于叫难题了啊，这就叫难题，这呢就是难题。 那么所以呢，对于这个地方的不要求我们在基础阶段全部掌握啊，就是这个地方呢，会做关于方程根证明不等式，会做一些基本题就可以了，因为这个方程根和不等式的证明他也有难题，所以这个难的东西呢，我们会在强化阶段 去重点，去突破它。还有一个呢，就是微分中直定的证明题，我们考卷里边一旦考这个地方的题目，往往就是卷子里边最难的题，所以这显然是一个重点，它也是个难点。 那你看吴老师在基础阶段讲微分中直定的证明题，那地方只是举了几个比较简单，比较典型的几个例子，没有展开讲，因为吴老师认为这个中直定的证明题，既然是做下的最难的题，那来出，那显然不适合在基础阶段去突破它，更适合在强化阶段。所以呢，我们基础阶段重点应该是这两类题， 那么对于方程根和不等式，这为哪些简单题会做就可以了，终止定力证明题这个地方不会做，没关系，我们强化掉它才会去突破它， 这就是关于这个微分终止定力和导出应用这部分的一些要求。那么另外呢，就是这个积分里边的不定积分啊，不定积分呢，这个地方的内容不定积分的概念，这个应该知道性质也知道不定积分的基本公式 啊，这个基本公式呢，通过做题一点点要记。那么另外呢，就三种积分方法，那实际上主要就是两类还原加分布啊，这个方法应该知道，还有就是三类常见可记函数积分，那就是有理函数，三角有理式，还有后面的简单无理式的积分。 但是大家注意啊，有同学说，老师我这个不定积分复习了很长时间，但是我怎么还是有好多不定积分做不了，我这个是不是没复习好？大家注意，不定积分这个地方是一个可以直观的讲叫无底洞， 就是你要多难的题都有多难的题。即使你把考研一年半的时间全部用在复习不定积分，是不是就是拿到一个不定积分，你都会做的非常顺手？那是不可能的。那有同学就问他，那老师这句话到底是什么要求？那你注意啊，在我们考卷里边考到的不定积分，直接考或者间接考，比如说你维元方程里面考，都是比较基本的题目， 但是这个现在有很多书上的呀，特别是网上很多老师拿来给我们炫耀的那些题目，都是高技巧的题目，所以弄得我们同学心里都很慌，但实际上呢，很多老师拿到在网上来给我们同学炫耀的那些题目啊，考卷里面根本不可能考，一般人家过去考过不定积分，不管是直接考还是间接考，都是考一些基本题， 所以这个地方呢，就三种基本方法，知道会做一个基本题，有同学说什么样的题是基本题，吴老师这个高数辅导讲义啊，高数基础篇上面的立体那样的难易程度，那就是基本题练会就够了啊，所以不用在这花太多的时间。 那么另外呢，那这个地方常考的题目实际上就求不定积分，但是这个地方两个最基本的方法，那就是换元分布啊，常用的五大方法，要知道会用这五大方法计算一些简单的定积分，不要求你掌握一些特殊技巧。 那么另外呢，就是变上限积分始终是考他的重点，那么在这呢，特别是关于因为题，不管怎么变，这往考来考去，考的往往更多的就是变上限求导，所以关于变上限求导，吴老师也给大家总结过，通常变来变去有三大花样，这个掌握要求就达到了。 好，这就是关于这部分内容的要求。那么再下来呢，就是关于反常积分，反常积分呢，我们是有两种，一个是无穷区间，一个是无限函数的反常积分，那么大家注意这个两两个内容，一个就是概念，一个就是链散性判定的方法。 那么在这呢，大家注意常考的题目啊，反常积分的练算性，作为练算性判定，对我们同学来讲是一个难点，那么基础阶段呢，我们首先应该知道两种反常积分，练算性判定常用的一些基本方法，会做一些简单题， 有些题目呢，所以这个对我们同学来讲有难度，这个很正常，因为真正要在突破这个练算性判定，我们在强化阶段才能突破，强化阶段我们还要做训练， 那这个呢？所以这个不要求你在基础阶段啊，这个练三阶段一定要非常熟练，这个对我们同学来讲有些困难啊，这个主要放在强化阶段来突破，但是这个呢， 反常积分的计算，它是个基本功，所以我们在基础阶段，关于反常积分啊，就是一些常规的计算，这个要尽可能的要掌握，但是你说计算里边也会有一些特殊技巧的题目，那个就不是我们基础阶段的要求。 好，这就是关于反常积分这个内容，那么这下呢，就定积分的应用啊，这个应用题考的最多的就是定积分的应用，那么这个里边呢，一个就是几何应用，一个是物理应用，当然数三只要几何应用，不要物理应用。那么这个常考的题型啊，几何应用，这个几何应用里边考的最多的也就是谁啊，也就是面积和 谁啊？和体积啊，面积和体积，那在基础阶段什么要求呢啊？就是一些常规的有关面积、旋转体积、体积的计算，这种题目要会啊，那么物理应用呢？大家注意啊，这个物理应用只是数一数二，要求数三不要求，那么物理应用呢？那么要么就是，要么就是压力 啊，这个吴老师在基础阶段讲了，举个例子，先知道这个做压力问题的基本思路。那么这个呢，我们在基础阶段都举了例子，关于引力， 还有关于谁啊？啊？关于这个直性的问题，吴老师的基础阶段没讲啊，有的同学说，哎，吴老师怎么漏了这么多知识点？因为吴老师觉得有的东西可能放在强化更方便，那为什么要把那个引力，还有包括这个？呃，这个直系的问题放在强化阶段讲，他倒不是很难，但是大家讲的早了以后很多同学会忘掉。 但是真正比较难的一个是压力和功，压力功，我们在基础阶段要讲，强化阶段讲就后面讲，不至于讲的太早，你把它忘掉了。所以呢， 吴老师这个基础和强化这个内容是有个整体安排，肯定是不会缺知识点啊。好，这就是关于电竞文应用这个地方的这个要求，但这地方重点就是几何应用啊，那就是特别是面积和旋转体的体积。 然后呢，再下来就是维文方程，这个呢，维文方程相对来说就比较简单啊，它的内容呢，一个就是超维方方程的一些基本概念，这个了解就行了。那么另外第二个内容就是关于一阶维方方程求解，所以呢，就这个在技术阶段，首先得知道可方力变量，其次线型方程，特别是这三大类方程求解的基本方法要知道，并且会做题目。 那么对数学三呢，不要求这个，这可降阶方程，那对这个数三不要求这有数一数二，要求可降阶三类方程，以及他们求解的方法应该知道。那么另外呢，就高阶向量型，高阶向量型始终是考察的重点，那么这个地方呢，主要是高阶向量性长系数，其次和非其次，这个维方程求解的方法应该知道 啊，那么另外呢，数学三有特殊要求插方方程，那就是一阶向量性，其次非其次插方方程以及求解的方法应该知道， 这就是关于内容方面的要求。这个我们考卷里面文员方程考题呢，你看考来考去，经常是这样三类题啊，对于我们技术阶段，重点是第一类题叫文员方程求解啊，给你个文员方程，让你求这个文员方程解，这是个基本要求啊，所以这个在技术阶段就应该解决。 那么这种综合题，还有这地方应用题，这就有一定的难度了，我们技术阶段只是了解，真正要突破他们，我们在强化阶段还要再二次再规范总结。所以对后面的文员方的综合题和应用题，我们基础阶段呢，只是了解这个地方的基本方法，知道一下就行了，但重点是解方程， 这就是关于文员方程这本内容以及这个内容的要求。那么再下单呢，就是多元函数的微分学，大家注意，多元一定要跟一元做对照，因为多元的很多东西就是一元的这个推广， 那么所以一定要给一元做对照。那这个地方呢，内容比较多，我们把它分为三块，第一个是多元函数的这个地方的基本概念，第二是微分法，第三就是极值和最值。 那这个地方呢，要求是什么啊？关于这个地方的第一部分，那就是实际上这个地方就有几个重要的概念，一个呢就是多元函数的极限， 关于这个重极限是什么要求呢啊？概念知道就行了，但是呢，重极限比一元函数极限要求低多了，一元函数求极限不但要会，而且要熟练的掌握，但是多元函数重极限在我们卷子里边几十年没有专门考过一道题，但是一些基本方法要知道我们在基础版也讲过，那就是求重极限常用的基本方法，要知道 另外双面成绩线不存在的方法，要知道这个我们在强化阶段还会训练啊，这个是一个比较低的一个要求。那么另外呢，连续性，这个你跟一元一对照，他这个内容就少了好多，因为多元没有这个地方对间隔进行分类，那么所以就是个什么东西，就是个连续的概念 啊，偏导数啊，这当然是我们的重点，那么这个呢，就是会计算偏导数啊，特别是一些简单的具体函数，复合函数、引函数，求偏导这个的基础阶段就得掌握，这是偏导数的定义，用定义解决一些问题，有时候有难度，我们只要知道基本方法就行了。 权威风，大家注意，这个呢是个重点，但是也是个难点，那么在医院里边吴老师讲过，喜欢考的是导数的概念，可导性的判定，而在多元里边喜欢考的是权威风的概念，可危性的判定，所以这个是个难点，这不要求我们在基础阶段关于可危性判定掌握的很好，只是了解一下就行了。 另外一个呢，就是多元的连续可导可维的关系，这个也不可能在基础阶段就能理解到位，我们只是呢了解，然后到强化阶段我们再提升，我们不但要知道这些关系，还要知道这些关系依然和多元有什么区别，谁导致了这个区别？那为什么会有这个区别？这些东西属于概念理论，这应该是在强化阶段突破 的，而我们在基础阶段呢，重点就应该是我们基础阶段重点要掌握的东西。 好，这是从内容方面。然后呢，你还考题啊，一种就是讨论连续性、可导性、可微性，这属于概念理论，我们基础阶段呢，知道些基本方法，那么重点掌握它应该是在强化阶段。 那另外一个呢，就是多元函数微分法这部分啊，那这部分呢？这个比起一元就花样少了，多元里边的话，就剩下个复合引函数，他没有参数方程，也不会考你高阶导数。 那么所以呢，这地方是两个内容，一个就是复合函数的微分法，一个是引函数的微分法，相对来讲，这地方要这个比较简单，那么考题呢，考来考去，要么就复合，要么引函数。但是这些基本方法我们在基础阶段就基本上要掌握啊，就是这个多元复合函数引函数求导法，这个基础阶段就应该掌握啊，这个相对比较容易。 那么再下来呢，就是多元函数极致最值，这个对应的一元函数微分中值定义进行倒数应用，因为多元里面没有微分中值定义多元呢，那这个地方呢，也没有单调性，所以最后就剩下个极值和最值。 那么这个内容呢，主要是这样几个，一个就是无约束极值，这个无约束极值也就是对应我们一元函数的极值，多元里边多了一个条件极值和拉格函数乘法。那么另外一个问题，就最大最小值 这三块内容里边的基本内容，要知道啊，什么是条件即值，什么是拉格老师陈述法啊？那么他的考题呢？实际上考来考去就这样几类题， 那么一类就是求即值啊，这个就是无条件即值。对，这个在基础阶段就应该掌握啊，因为我们知道这个时候呢，求无条件即值，那第一步求导数找住点，第二步用那个 a c 解 b 方进行判定，这个基本方法要会。 那么另外一个呢，就求最大最小值，这个基本方法要会，那就说这个最大最小值的应用题有时候有一定的难度，那么这个呢，我们放在强化阶段的突破基础阶段会做一些简单题就可以了。那这就是这一部分的这个题型和这个地方的 啊。好，这是关于这一部分内容呢，就是关于第九章这个二重积分啊， 二重积分呢，我们三个叫做多要求，那么这个内容呢，一个就是二重积分概念性质，这个了解就行了。那这个计算是重点啊，就我们计算二重积分这些基本方法是我们基础阶段复习的重点。嗯，那么这个里边主要就是一个直角坐标，还有什么极坐标，还有什么极有性啊？包括对称性。 那围绕这个呢，在我们考卷里面考题啊，一个呢就是累计积分交换次序，还有个呢，我们在基础阶段就基本上应该掌握，还有一个呢就是二重积分的计算， 那么大家注意一些基本的题，基本方法在基础阶段就得掌握，比如说用直角坐标来计算，用极坐标来计算，还有什么，还有有时候要利用这个变量的对称性，或者利用奇偶性， 就这些基本方法应该知道会做一些基本题，但是这个有时候有些题目也就是四种方法，他会要灵活使用，所以我们在基础阶段不可能一步到位，那我们在强化阶段还要提升，但是基础阶段呢，就是这些基本的题型，我们这基本方法首先要会啊， 好，这就是关于这个二等积分这个内容，那这到这为止，数学二所要要求的内容 就就到这啊，数学二就只要求这么多内容。然后再下面呢，就是数学三和数学一要求的那无穷极数啊，这个地方有三款内容，一个是常数象极数，一个是密极数，一个是复列极数，这一张对我们数一数三同学来讲实际上也是个难点啊。那么在这呢，我们首先来看 这个关于这个常数象极数啊，那么常数象极数呢，这个里边呢，主要是 那么一个呢，就是极数的概念啊，另外就是极数的常数象极数的几条基本性质，还有呢就极数的这个省略准则啊， 那么在这呢大家注意啊，就是啊，极数的概念性质身上最后围绕的是一个核心，就是链散线的判定，但是我们这地方呢，对极数链散线判定的准则，我们是把极数分正向交错，任意向介绍了他们相应的一些判别方法，所以你复习这个时候，你不要忘记整个极数这块内容就是围绕的链散心。 那么我们在基础阶段呢，就是知道极数的概念性质，以及各类极数链算性判定的方法，会用这些来判定一些简单的极数链算性。那么这个地方呢，对我们同学来讲呢，它是一个难点啊，这个我们 这个东西呢，也是一个难点，所以我们不可能在基础阶段就全部突破，所以基础阶段呢，只要会做一些简单的题目就可以了。 那么另外呢，这个地方关于常数象棋，你还考来考去，就是这个练散性的判定，但这个呢，对我们同学是个难点，所以基础阶段会做一些基本题就可以了，我们在强化阶段还会再这个再训练，再练习。 那么再下一个就是秘籍书，它的秘籍书的内容呢，主要是这些，一个呢就是收敛半径，收敛区间、收敛玉，还有一个就是如何来求收敛半径，如何来求收敛玉，这个样会。 那么另外一个就是关于密级数的一些性质啊，两类性质，一类是由零算性质和萨奇商，另外是主项求导，主项求积分，这基本性质应该知道。那么另外呢，就是关于函数展开为密级数概念方法，这个方法主要是间接法，就是利用已有的展开式，然后把函数展开为密级数，基本方法应该知道， 围绕这个呢考题，你看考来考去就三类题。那么第一类呢，就是求收来半径，求收来区间，求收来域，这个相对比较简单，这个呢我们一般要求在基础阶段就应该掌握，还有一个呢，就将函数展开为密级数，这个相对也比较简单，这个也希望大家在基础阶段就尽量能掌握，但是求和 这是个难点啊，这个我们在基础阶段不可能掌握到位，所以基础阶段关于求和，只要知道一些求和的基本方法，会做些简单题就行了。真正要突破这个求和，那我们是要在强化阶段，因为求和是整个阶段难点，所以我们在基础阶段重点是掌握这个求，收了，拜见，收了区间，收了域，还有就是函数展开为密集数， 这就是关于密级数这个地方的要求。再下来呢，就是复列级数，这个只有数学一要求，那么这个呢，一个就是知道复列系数，知道什么叫复列级数，知道这个迭的概率，它是判定链算性的一个定律。 那么另外呢，知道把函数展开为复列级数的基本方法两步，第一步算系数，第二步把它带到带进去，写出相应的这个三角级数。 那么围绕这个地方的考题呢，实际上就两种题，那么一种呢，就是有关收敛定力的题目，这个在基础阶段就能拿下。那么另外一类呢，就是将函数展开为复列级数，这个呢也不难，这个在基础阶段也能够拿下。所以关于复列级数这一块呢，我们应该在基础阶段就能复习到位，因为这个要求比较基本 好，这是关于无穷极数这一块。那么再下来呢，就剩下的内容就数学一的要求了啊，那一个呢，就相当代数空间几何以及多元维分在几何上的应用，我们放到这个地方，那么大家注意相当代数空间几何这个内容， 这个呢，在我们大学书上一张很多页很多内容，但这个在我们卷子里边基本上不专门考，只是后面考多元维分积分的时候顺带考，所以考的非常基本。 那么所以呢，这个内容呢，我认为你只要把我们这个基础篇上那些立体把它做会要求就达到了啊。那么向量代数这个地方，主要是向量的这个叠乘、差乘、混合极，那这个第二节这个里边呢，主要是平空间的平面，去空间的直线，常用的各自的三种方程要熟悉。 那么另外呢，这个地方取面与空间曲线这个吴老师也专门讲了二次取面，我们大学书上讲了很多，但是站在我们后面用的就那几个啊，什么球面、椭球面、锥面、旋转抛面、柱面啊，什么单叶双曲面，双叶双曲面那些东西了解一下就行了啊。 那么另外呢，就是都要微分在几何上应用，因为这个数二数三不要求只有我们数一要求，所以我们把内容放到这了。但这个呢，在我们数学家这边还很喜欢考一个呢，就曲面的切平面与法线，一个是曲线的切线，法平面啊，要会求曲面的切平面和法线曲线的切线法平面， 所以整个这个内容里边的重点应该是它啊这一说，空间几何这部分内容要求达到了。 好，那么数学一还有一块内容就多元积分学及其运用，因为数二和数三只考二重积分，我们数学一呢，除了二重积分，我们还要考很多积分， 那对我们这个数学一同学啊，第一个就是三重积分，对多元积分这一段主要就是计算，所以呢，那我们基础阶段呢，主要是三重积分计算常用的那几个方法啊？五个方法。首先要知道啊，这个直角坐标、柱坐标、奇偶性、变量对称性这五种方法，要知道会算一些简单的三重积分。 那么另外呢，就是曲线积分两类，曲线积分，一型积分，二型积分概念积分，二型积分概念。知道重点应该是计算，当然是会算一些简单的积分， 那么这个取面积分里边也是两类啊，一型的，二型的概念，知道啊，这个应该知道一型二型面积计算常用的几种方法，会做一些简单题就可以了。那么另外一个就多元积分的应用， 这个重要结构的应用呢？这个我们在基础阶段我们也讲了啊，讲的比较少，但是真正呢把它归类全，我们是在强化阶段会用一个表给大家做归类总结。 那么另外呢，就是场论初步，这个场论初步考来考去就是三个度啊，就梯度、玄度、散度这些东西呢，就是老早就复习了，最后也就忘掉了，所以这个场论就三个度，到强化阶段，最后记住三个度，它的计算方法要求就达到了。所以呢，这个我们基础阶段重点是谁？重点就是三重积分线面积分计算的基本方法。 但是呢，这个在我们考卷里面，真正考我们的时候，他重点是考什么？重点应该是考二型的线 和二型的面啊，你看在我们考卷里边，这数学一的卷子，这个多元积分对吧？一般是有一道大题，而这个大题考的时候不是二型线就是二型面，很少考这个作为大题来考一型线、一型面，所以二型线二型面是重点，并且题目出的也很有规律， 那么今年考线，明年考面，好，这就是这个多元积分这部分的要求。那么这样子吴老师就带领大家从第一章到最后一章这个内容题型做了一个梳理，以及每一部分对内容、对题型在基础里面到底是什么要求，应该达到一个什么程度，我们做了一个相应的分析。

的几和一，大家知道我们定积分是有几和一的，那定积分的几何一是什么？那我们知道，如果这个 f x 要大于等于零， 那这个时候呢？ a 到 b f x 这个定解根在几何上表示谁啊？就表示 y 等于 f x 啊， y 的 f x 在 一元里边是一条曲线，由于它大于等于零，所以曲线在 x 轴上方，这就是 y 等于 f x， 那是 y 的 f x， x 等于 a， x 等于 b 所围成，这个叫曲边梯形啊，所以它就等于这个曲边梯形的面积 二乘以它呢，因为它的函数是 z 等于 f x y， 那 么在这样呢，我们也假设它是大于等于零， 那这个时候注意，它在几何上呢？应该表示的是一张曲面啊，那这是 x， 这是 y， 这呢是 z， 所以 这个 z 等于 f x y 应该表示的是 x o 面上方的这样一张曲面啊，这就是 z 等于谁啊？ f 的 x y， 而这个基本于 d 呢，它应该是 x o 面上的一个区域， 那好，这就是 d， 那 么这样一个函数在这个区域 d 上，几何上几何 e 是 什么？就是以这个曲面为顶，以这个积分域为底，这个叫曲顶柱体， 在几何上就表示这个曲顶柱体的体积，所以你看这个跟一元正解函数完全类似的。 关于这个知识点，对数二数三的同学了解一下就行了，因为这已经牵扯到空间几何了，但对数一的同学就应该理解啊，并且应该会用占一个几个亿算这种体积， 这就是关于二重积分的概念，以及它的几个亿。下面呢，我们看它的性质， 那跟一元定积分是完全对应，在一元定积分里面，我们重点复习两条性质，一个就是不等式性质，一个是积分中值定义，这边呢是完全对应的。那就说如果在一个平面于地上， 这个 f x y 小 于等于 g x y， 那 么这样的话，在同样一个区域上， f 的 积分就小于等于 g 的 积分，这实际上叫做不等式限制啊。 那么另外一个呢，那就是如果这个在 d 上， f 的 值，就这个二元函数的值介于大 m 和小 m 之间，那你的积分就介于大 m 乘积分域的面积，而大于等于小 m 乘上积分域的面积。 那么大家注意，如果这个 f 在 地上是连续的话，那这个大 m 就是 它的最大值，小 m 就 它的最小值。所以跟一元电积分一样，一个连续函数在这个区域上的积分一定不超过最大值乘积分域的面积。一元里边是最大值乘区间长度， 它一定大于等于最小值乘积分余的面积。还有一个呢，也是跟一元等积分完全对应的，那就是积分的绝对值，不超过绝对值的积分，这就是关于二重积分的这个不等式限制，它跟一元等积分完全对应。 再下来呢，就是积分中指定理啊，这个二乘七乘也有中指定理。假设 f 在 这个地上是连取函数，那这个时候呢， s 为区域 d 的 面积，则在这个地区域 d 上至少有那么个点，使得这个积分呢，等于内。

解答题的第二题。这是一个求指数，一个指数的一个形式，我们先可以把指数形式给它写成对数形式，原式 等于，我们令它等于 y ln， y 就 等于 x 分 之一 ln 分 之一的 x 次方，二的 x 次方一直加加加到 n 的 x 次方。 那也就是我们要去求 limit x 趋于零的时候 long minus 值。我们知道 x 趋于零， a 的 x 次方是等于 e 的 x 倍到 lo in a 也就等价于 x 倍的 lo in a 加一，那么一的 x 加上二的 x 一 直加加加加到 n 的 x， 它就等价于 n 加上 x 倍的 lo in e 一 直加加到 lo in n， 我们再看一下它有一个 n， 再除以一个 n， 也就是 long n 分 之 n 加上 x 倍的 long n 的 阶乘的形式。 这里可以给他写成 long e 加上 n 分 之 x 倍的 long n 的 阶乘。 那我们要知道， lo in e 加 t 在 t 区域里的时候是等价于 t 的， 那么它就等价于 n 分 之 x 倍的 lo in n 的 结成好， lo in 的 形式有，那原本 lo in y 是 x 倍的，所以 lo in y 就 等于， 因为它 x 乘以零的时候， x 分 之一再乘上一个 n 分 子是 x 倍的 ln 的 结成也就等价于 ln 的 结成的 n 分 之一次方。 一对应，所以这个 y 就 等于 n 的 结成的 n 分 之一次方。

看我们在这个基础篇里边，我们一般没有什么二级阶的，那你每个阶段的要求是不一样的，那么你这个基础阶段呢，我们是了解会用， 那强化阶段呢？那这个时候了解就变为理解，那这个会用变成了掌握，所以这个要求就完全不一样了。 那在所以呢，你看我们在这个基础篇里边，我们一般没有什么二级阶的，那你想基础阶段你能把那些最基本的内容先了解好， 就已经相当不错了。如果我们在基础篇里边，再给你轨迹规划总结一大堆的二级结论，然后在强化片里边再给你规划什么二级结论，那这个内容就太多了，你最后根本就抓不住要点。 所以你看吴老师呢，一些二级的重要的结论都是在这个强化阶段，这个时候给大家会规划总结一些这个二级阶段，或者做题一些常用的一些简洁的方法。这个呢，吴老师认为应该是强化阶段 来规划总结，这个也不宜太多，不是说越多一定是越好越多，你最主要的最基本的没抓住，那最后实际上效果也非常之差。所以呢，这个强化阶段呢，主要是要规划总结内容、题型和方法。那么对概念理论要达到理解，那么对方法要达到掌握。