射影定理四个公式

摄影定理啊，一个很多同学练习了两年半都还没有掌握的神秘定理，今天老潘带你一句话搞定他！首先，我们都知道摄影定理的本质是相似，那在这个直角三角形当中啊，会存在三组相似。第一组相似，我们来看三角形 cad 和三角形 bac。 首先我们知道角 c、 d、 a 等于角 a、 c、 b 等于九十度，所以角 a 加上角 a、 c、 d， 也就等于角一等于九十度，而角一加上旁边的这个角，角二也等于九十度， 所以角 a 等于角二，那就得到了三角形 c、 a、 d 相似于三角形 b、 a、 c。 因此通过相似的比例关系，我们知道 a、 c 比 a、 b 等于 a、 d 比 a、 c。 接下来交叉相乘，得到 a、 c 的平方等于 a、 d 乘 a、 b。 第二组，在三角形 b、 c、 d 和三角形 b、 a、 c 当中也 是同理，我们得到 b、 c 的平方等于 b、 d 乘 a、 b。 第三组，在三角形 cad 和三角形 b、 d、 c 当中， c、 d 的平方等于 a、 d 乘 a、 b， 因此我们得到三组结论， 这个就是摄影定理的核心。也正是因为如此啊，很多同学记不住，那我告诉你一句口诀就能搞定，它叫做树的平方等于影子的乘积。比如我们把 a、 c 看成一棵树， 在它的上面有一个太阳，那太阳光沿着 c、 d 的方向照射，此时 a、 c 的影子就是线段 a、 d。 那太阳光沿着 c、 b 的方向照射的时候，此时 a、 c 的影子就是线段 a、 b。 所以根据数的平方等于影子的乘积，我们知道 a、 c 的平方等于 a、 d 乘以 a、 b。 同理，我们把 b、 c 看成一棵树，在太阳光沿着 c、 a、 d 方向照射的时候，它的影子就是 b、 d。 太阳光 光沿着 ca 方向照射的时候，他的影子就是 ab， 因此 bc 的平方等于 bd， 乘 ab 最后一个，我们把 cad 砍成一棵树，太阳光沿着 ca 方向照射的时候，他的影子就是 ad。 太阳光沿着 cb 方向照射的时候，他的影子就是 bd， 因此 c、 d 的平方等于 a、 d 乘以 b、 d。 是不是超简单？那你学会了吗？

三种方法彻底理解摄影定理。在我们高中啊，有一个非常重要的任意三角形的摄影定理，那就是 c 等于 a， b 的 cosine b 加 b 倍的 cosine a， 他在考试中考察过很多次，今天我们用三种方法来去证明一下。 首先我们来看第一种，看到这个式子有边又有角，那我们想到要把边使用正弦定理转化成角，所以这个式子它其实就是三引 c 等于三引 a 扣三引 b， 加上个三引 b， 扣三引 a 来，这时候我们观察后面这一串，实际上它就是三引 a 加 b， 而三引 a 加 b 和三引 c 本来就是相等的，因为这个地方可以使用诱导公式，所以我们在证明这个式子的时候，我们只要把顺序倒过来就可以得正了。好，这是第一类方法。接着我们看第二类方法。 第二类方法我们使用余弦定理，因为题目中出现了扣三引 b， 扣三引 a， 自然想到利用余弦定理来去消讲，请看 a 倍的扣三引 b， 加上必备的抠三引 a， 他等于什么呢？来抠三引 b， 他等于 a 方加 c 方减 b 方比上二 ac。 再看后面抠三引 a 等于啥？ 它等于 b 方加 c 方减 a 方比上二 b c。 请看这个 式子， aa 约去了， bb 约去了，然后呢，分母还剩下二 c。 再来看分子， a 方， a 方消了， b 方， b 方消掉，分子还剩下二四一方，然后这个一相除，它就是个 c， 所以问题又得正了。当然了，还有第三个方法，我们利用图形来去看。 大家看，我们画一个三角形，请看 b 乘以 q， 三以 a 是这一段， a 乘以 cosine， b 是这一段，这两段加起来实际上就是 c， 当然了，也有可能这个角臂他是一个直角或者是一个钝角，其实证明过程本质上都是一样的。各位爱徒，这三种方法你最喜欢哪一种？

大名鼎鼎的摄影定理，相信很多同学都听说过，他的结论在考试中的应用非常的广泛，甚至在很多压轴题当中都有摄影定的影子，那么他到底是怎么来的呢？这个视频带你搞定摄影定理的前世今生。我们先来看一下这个图，假如说这个图当中，角 ade 等于角 b， 角 a、 e、 d 等于角 c， 那么在这里边，三角形 a、 d、 e 和 a、 b、 c 是相似的，因为整个图形特别像是一个字母 a， 所以说我们将这个模型称之为 a 字相似。那么有了相似，我们就会有对应边称比例，这里面的对应边指的是 ad 比上 ab 等于 ae 比上 ac， 然后我们将三角形 ade 掉个个什么意思呢？就是现在我让角 aed， 这个角等于角， 让角 a、 d、 c， 这个角等于角 c， 这个图形我们将称之为反 a 字相似。那么在这里面，我们的对应边就变成了 a、 d 比上 a、 c 等于 a， e 比上 a、 b， 从而得到了这样一个比例式。 我们往往会通过交叉相乘，把比例式转化为乘积式，也就是说我们就会得到 a、 d 乘以 a， b 等于 a， e 乘以 a、 c。 这个式子其实特别好记忆，我们可以用一个口诀来概括一下，就是左乘左等于右乘右，左乘左指的是 a、 d 乘以 a， b， 右乘右指的是 a、 e 乘以 a、 c。 接下来我们对反 a 字相似再次变形， 如果说我们将这条线段第一平移下来，使得点 e 和点 c 重合，那么就变成了这个图，而这个图其实就是我们常说的子母形相似， 当然也有的地方将它称之为共边共角相似，共边指的是三角形 ade 和三角形 abc 的这条边是他们的公共边，共角呢指的是角 a 是他们的公共角，所以共边共角相似是这样来的。 那么在这里面，根据我们刚才的左乘左等于右乘右，其实我们就可以得到 ad 乘以 ab， 应该是等于 ac 乘以 ac， 也就是 ac 的平方，到这其实已经离我们的摄影定理很接近了。最后我们将这个图当中的角 acb 换成直角， 然后呢使得 c、 d 垂直于 a、 b， 那么这个图其实就是我们摄影定理的图形。在这里面，其实我们可以根据直角三角形当中的倒角得到我们的这个角和角 b 是相等的，从而我们就可以得到 a、 d 乘以 a， b 等 等于 ac 乘以 ac， 其实就是刚才的左乘左等于右乘右。其实在这个图里边还有其他的相似，我们通过倒角可以得到角 bcd， 这个角 和我们的角 a 也是相等的，那么我们就可以得到三角形 b、 c、 d 和三角形 b、 a、 c 也是一对子母型相似。那么根据刚才的结论，我们就可以直接推导出来这一对三角形相似， 所得到的结论应该是 b、 d 乘以 b， a 等于 b、 c 的平方，这两个结论都是通过子母型相似得到的，那么在这里面其实还有一对相似， 我们来看这个图，这里边叉等于叉，圈等于圈，所以说其实我们可以推导出来这个三角形和上面这个小的直角三角形也是相似的，那么根据相似的对应边成立。最后我们还可以推导出来一个结论，就是 c d 的平方等于 a d 乘以 b d， 这就是我们摄影定律最常用到的三条结论。 其实摄影定理还有其他的名字，有人将它称之为供边供角模型，也有人将它称之为双垂直模型，其实描述的都是这样的一个图形。那么如何利用摄影定理的结论快速秒题呢？我们下个视频带你揭晓。

三角函数中，摄影定理是我们的解题好伙伴，这就是摄影定理的公式，其实你只需要记住第一个，那么另外两个也能直接记住。看这道题， 他的正常解法是，先使用一下正弦定理，并把三引 b 加 c 转化成三引 a， 那么左边一个三引 a， 右边一个三引 a， 遇到之后就可以算出 cosine a。 那如果你记住了摄影定理，你便会知道，右边这个其实表示的就是小 a， 那么左边一个 a， 右边一个 a， cosine a 就等于三分之一。

之前我们学了摄影定理这个视频，我们就要看看摄影定理在圆中的应用。首先我们来熟悉一下模型，当圆中出现摄影定理时，一般会出现如下两种模型，圆中就出现了一个摄影定理图。 根据摄影定理的结论，我们就得到了这三个识字。以这条件告诉我们， a、 c 等于二倍，根号十 a、 d， b、 b、 d 等于四比一，让我们求 c、 d 的唱。 根据摄影定理， cd 的平方等于 ad 乘以 bd。 如果我们求出 ad 和 bd 的长度， cd 就出来啦。已知里有 ad 比 bd 等于四比一，那么我们可以设 bd 等于 x， ad 等于四 x， 于是 ab 等于五 x。 而根据摄影定理， ac 的平方等于 ad 乘以 ab， ac 的长度知道，于是我们就用分成四十等于四 x 乘以五 x， 解得 x 等于根号二，这就可以得到 ad 和 bd 的长了。 带入摄影定理成绩式，就得到 cd 等于二位根号二。我们就来看第二种基本模型，切线型三角形 oap 与三角形 opp 都是直角三角形， 很容易看出 op 垂直平分 ab， 图中就有一上一下两个摄影的旅途。已知条件给了 oa 的长度，目标线段是 oc， 那么就联想到要用 oa 的平方等于 oc 乘于 op 这个等式。 因为 pc 等于四， op 等于 oc 加上 pc， 那我们设 oc 等于 x 就可以得到 op 等于 x 加四。加入等式中，我们就得到方程， x 乘以 x 加四等于四。 解这个方程得到两根，一正一负，由于线弹长只能是正，那就舍去复数答案， oc 的长度是二倍，根号二减二。好的两种摄影定力与原结合的模型我们就掌握了。

这是一道选择压轴真题，如果孩子不知道适应定律，那么这个题将会毫无头绪。但是即便是掌握了适应定律，这个题也并非能够轻易拿下，因为他会将适应定律的多个结论综合运用。我们来看题， 现在已知的是角， a、 c， b 等于九十度， c、 d 垂直于 a、 b， 还告诉我们 a、 d 比上 b， d 是九比四，最后让我们求的是 a、 c 比上 b、 c 的值。 观察这个图，你会发现这是一个非常经典的摄影定理的图形，那么我们立马就可以想到摄影定理的三个结论，分别是 ac 的平方等于 ad 乘以 ab， b、 c 的平方等于 b， d 乘以 b， a。 最后一个呢，是 c、 d 的平方等于 a， d 乘以 b、 d。 而题目当中让我们去求的是 a、 c 比上 b、 c， 所以我们只需要去选择与 a、 c 和 b、 c 有关的前两条结论即可。到这儿啊，大多数孩子可能会把九 x 和四 x 带入到这两个式子当中，分别去求 a、 c 和 b、 c 的长度， 但是这样去求的话就太慢了。今天呆哥教你一招，我们直接让这两个式的作比， 你会发现等号右边的 a、 b 和 b a 就直接约掉了，而 a、 d 比上 b 呢？又是题干当中告诉我们的九比四， 那么我们就可以得到 ac 的平方，比上 bc 的平方其实就是九比四，那 ac 比上 bc 你还不会算吗？评论区告诉我答案，关注呆哥，我们持续分享数学模型和技巧！