物理平抛运动图怎么画

同学们大家好，今天咱们来讲平抛运动的曲面专题，也就是我们的抛体落到了一个曲面圆面圆弧面上。那么大家来看这道题，一个半圆弧的一个面 圆心处向左向右，以 v 一 v 二扔出两个物体，他们分别落到了 a 点和 b 点啊，那么其中给了一个条件，这个角度是阿尔法，这个数值和这个连线， o a 连线，这个是 o 点圆心吗？ o 点 o a 连线假假角是阿尔法。其次 o a 和 o b 是 垂直的，这是题中给的 o a 垂直于 o b， 就 给了这两个条件，问你 v 一 比 v 二等于多少？大家可以点个暂停，自己用 阿尔法来表示这样的一个比例，看能不能做对。屏幕前的家长请为同学们做好收藏。老师来给大家讲解这道题， 那么讲这道题之前，咱们先复习一下我们平抛的知识点，我们在做这类题的时候，我们一定要记住一个结论，也就是说我们的平抛运动抛出来之后，大家注意他有一个轨迹，那么到达这样的一个点之后，我们连上那这个叫平抛的位移，这个位移分成两个，一个叫水平位移，一个叫数值位移 啊，那么我们管这个角度叫做习它，那么弹进的习它就等于 h b x， 那 么这个角我们给它起名叫做位移 偏转角，那么老师简写就写为一角了，为一的偏转角。偏移量来看，水平为一，数值为一，这就是为一的一个偏移角。那么大家来看还有一个角，这个是速度，速度，那么速度分为水平速度和 数值速度，那么大家注意这个角我们称之为阿尔法，那么这个阿尔法弹键的阿尔法应该等于 v y 比为零，那么这个角我们称之为速度角。 哎，那么上一个上一周老师在讲平抛的时候已经给大家证明过了，那么这个速度角永远比这个位一角要大，而且他的弹键的值是他弹键的值的二倍， 也就说这个角的弹键等于 v y 比为零，是这个角弹键的 h b x 的 二倍。那这个是咱们上一周找老师正玩的同学们，有兴趣可以去翻上一个视频啊。我们来看这道题， 大家看，我们利用这样的一个结论来做这道题，大家跟上。那么对于 a 物体来说，速度朝这 v a 在 这，那么它的水平速度应该是 v e， 数值速度应该是 v y e。 大家看老师的设定啊，设 a 物体的数值速度为 v y e， 同理，我们的 b 物体速度，哎呀，在这，那它的水平速度是 v 二，那么数值速度叫 v y e 二， ok 吧。那么我们列两个式子，大家看第一个式子， v y e 除以 v 一 应该等于什么？大家来看 v y 一 比 v 一 是不是等于这个角的弹键，它呀，对不对？那么这个角弹键呢？是不是等于位移角？大家来跟上啊。跟上。老师来看 这个角是不是位移角？很多同学啊，新手容易犯一个毛病，他因为这个图画的很像啊，这个角和这个角相等，他总认为这是错误的，大家注意，这个是速度偏转角，这个是位移偏转角，他肯定比他大，但还能理解吧，所以说大家注意， 他比他应该等于二倍的弹力，在这个角大家看能理解吧？弹力的这个角，而这个角没给，但是他的余角是阿尔法，大家注意回忆一个知识点， 那么这个是阿尔法，他的弹力他应该等于 a 比 b， 那 么他的余角的弹力呢？应该等于 b 比 a 对 比零嘛，对不对？所以他们俩互为倒数，也就是这个角的弹力呢，应该等于弹力的阿尔法分之一，大家看能理解吧？ 我们的 v y 比 v 一， 等于弹进的阿拉伯分之一乘以二，为什么乘以二呢？因为这弹进阿拉伯分之一是微一角的，弹进的乘以二才是速度角的弹进的。到这 如果大家列对了，大家成功已经一小半了，咱们继续啊，我们看 b 物体，我们用 v y 二除以 v 二， v y 二除以 v 二，是不是等于弹进的这个角？ 应该等于弹进它这个角的二倍啊，对不对？所以就等于二倍的，大家跟上，这是阿尔法，这是余角，那这个是不是也是阿尔法呀？对不对？所以说它等于二倍的弹进它 阿尔法， ok 吧？那么我们有了这两个式子，我们就可以进一步了，怎么进一步呢？我们我们整理一下 v y e 啊，我们用它们俩做个比吧，行不行？它们俩做个比， 它除以它就等于 v y 一 除以 v y 二除以它乘以它的倒数乘以 v 二比 v 一 等于它除以它等于弹进它阿尔法的平方分之一。大家看到这能不能接受？我们有两个已知量，做一个除法就得到了一个这样的式子，它除它乘以它的倒数，对不对？ 大家看老师写的，把它翻过来， v v v v 二在底下， v 二在上边，对吧？他说他二约没了，他说他就等于弹进了二个方分之一，那么至此我们还没有解题，人家要的是 v 一 比 v 二，也就是说求他，他是已知量，但是他是未知量啊， 所以说我们进一步，大家来跟上。我们还有一个知识点，大家看，这是个圆形啊，那这是半径，这是半径，我们是不是能得到它的高和它的高之比啊？也就是说 h 一 应该等于 r 什么呢？大家注意，这是阿尔法，这个是阿尔法，应该是阿尔口塞音阿尔法吧， 大家能理解吧？那么这个是阿尔法，那么这个高应该等于阿尔塞音阿尔法吧， h 二应该等于阿尔塞音阿尔法，那么它们俩一作比 啊，缓一下，大家别乱啊。 h 一 等于 r 乘以口塞，因为这个角是阿尔法，对吧？邻边嘛，对边是塞音，邻边是口塞音，对不对？这个 r 对 边，阿尔法对边是不是塞音呢？对不对？所以说对于 b 物体是 r 塞， 对于 a 物体是 r 口塞音，它们俩一作比就能得出 h 一 比 h 二应该等于 r 约掉了，等于八，注意，塞比口等于痰，大家应该能理解吧。 那么在最后一个知识点，大家想 h 之比和 v y 之比是什么关系 啊？这个很简单，我们有一个公式叫做 v y 方等于二 g h 对 不对？所以 h 之比是 v y 方之比，换句话说， v y 之比是根号 h 之比，所以说 v y 一 比二应该等于根号下 e b 弹念它阿尔法。大家看到这能不能接受？这道题还是挺综合的， 难度不是很难，但是用到的东西都很关键，都很重要，大家看，由 h 之笔推到 v y 之笔， v y 之笔有了，我们代进来，大家来看这个式子，最终这么算， v y 之笔等于一比弹向量乘以 v 二比 v 一 等于弹向量方分之一，那么这个式子在唯一的位置数就是它对不对，而人家求的是 v 一 比 v 二，所以我们把它挪这边来，把它乘过去，所以说右边应该是 v 一 比 v 二，左边呢应该等于根号 一比弹念的阿尔法，这个东西乘以弹念的阿尔法的平方。那么这个时候我们往里放一个弹念阿尔法，你有两个吗？放里一个 放到根号里，他应该是弹念阿尔法的平方，除以一个，他就应该等于根号。弹念的阿尔法乘以弹念的阿尔法，这个就是我们的正确答案，来看能理解吧。整道题用到的 知识点，你考点有哪些呢？大家来回忆一下。首先我们速度角位一角的关系啊，我们在列式的时候哪去了？老师，列式的时候这呢？ 哪去了啊？ v y 一 比 v 二等于二倍的位一角，等于二倍的位一角，这是第一个重要考点，我们比下来之后，我们发现我们缺了一个东西，我们又找了 h 来， h 一 比 h 二等于二，口比二塞，这是第二个考点，那么他们俩一比， 那么由 h 之笔推到 v y 之笔，这是第三个考点。把 v y 之笔代入，最后求 v 一 比 v 二，这是最终的计算答案等于根号谈乘以谈。大家看这道题做对了吗？

飞机投弹平抛运动模型水平匀速直线运动数值激光粒子炸弹总在飞机正下方， 让物理学习更有趣。

最近很多家长说啊，这两天学了平抛运动之后呢，明显感觉难度又加大了，公式又多又复杂，记也记不住这个视频呢。大力老师用三条辅助线带你彻底掌握平抛 运动，有手就行，不用记口诀，不用背所有的大招，只有孩子真正的理解了原理。之后啊，你再把这套高一期末平抛专项练习的必考三大易错题型 打起，给他做一遍，搞懂之后啊，平抛运动板块轻松上满分啊！我们现在看有关于平抛运动啊，这个是咱们在大题当中的必考点， 而且我们会看到他一般会出现在我们的选择题当中，可能会出一道，在我们的大体当中是必然出一道的，甚至有的时候会变成叫斜抛。所以跟着这个啊，我们现在把这个题给大家简单讲一讲这一个题呢，无论大家记什么方法，最终我们的解法会有个非常明确的思路，叫做三条辅助线。比如说我这里面给大家画一个类似平抛运动的轨迹， 画的不是很好，但是我们能估且模拟，按照这条线，我现在想问一下大家在该点处他的顺时速度方向啊，相信很多同学们都会说这样的话，在该点的速度方向不就是他的切线方向吗？那么我估且给大家画三条线， 有没有同学敢跟我拍着胸脯啊，跟我说哪一根一定是带该一点的切线？那么这里面你会发现，我们突然遇到一个很尴尬的境地，也就是这三根线，其实我们也说不清，由于他的轨迹本身不是直线运动，我们并不能够非常戏剧化的或者非常系统的把它描述清楚， 于是在这里边能看到这三根线都好像是。所以呢，在这里边我们并不推荐大家去画这个切线，他并不是我们之前所学的直线运动，于是我们在这边一共画三条辅助线，一根呢叫水平，用 l 来表示， 代表是水平方向上的运动，它大小呢，其实等于叫水平速度乘以飞行的时间。第二个呢，我们画的是一条竖直 数值呢，可以认为是下降的高度，它的数值呢，也可以表达为角二分之 g 乘以 t 的 平方。第三根线呢，就叫做反向延长交水 平位于中点。换句话而言，我们在这里面去人为判定的，我们真的认为这个物体在这里的顺时针，也就是在该点的速度方向反向延长线，将交水平位于的中点 p， 我 们设七点为 a， 这一点为 m 的 话，我们立刻能够看明白 p 就 一定是 am 的 中点。 所以在这里面呢，我们要强调给大家，很多学校老师其实都给证明了，怎么证明呢？将这个速度关系啊，给他分解，分解成水平，分解成数值，然后我们拿弹进的习的角度去等效对比 啊，确实能做出来。今天呢，老师在这里面给大家说一个更简单的方法，有没有发现这个物体在水平方向由于做的是匀速运动啊，所以是不是立刻可以得知水平的位于 l 就一定等于叫 v 零乘以 t。 第二呢，我们在数值方向上能看到这个物体下降高度为 h， 但是呢，我们不把它写成叫二分之七地方，你可以把它理解为它可以是匀加速运动，也就是初速度为零，末速度为 v 铅垂，那么它的平均速度就等于叫二分之一的 v 铅垂乘以十点 t， 所以这里边看的非常清楚了。那么长度的比例关系当然是背叛关系了，由于你看这里边的速度关系呈现出一个角度关系，那这边的长度关系将也一定出现这个角度关系。 所以呢，在本章节当中啊，不论题做的多花花，尤其是我们看的后期，可能会是一道斜抛运动的问题，那么我们在这种类型题当中都只做一件事，将这里面的三根辅助线给我画出来，我们所有的比例关系就得以彰显。我们来尝这道题啊，呃，比如这道题是咱们去年啊吉大附中高一上期末的第十三题， 这道题呢，我们立刻看这个物体抛在了 p 点，对于 p 点呢，我们能看到它是在斜面上击中五块，叫垂直于斜面击中五块， 所以它的末速度方向其实是已知的，按照这个速度方向，我们反向延长将一定交它的终点，所以在我们的计划当中交这点就完事了。这样的话，我们能看到它们各自的角度 关系，而且这个 p 点由于一定是水平微的中点，所以我们可以得到叫 v 零乘以 t 除以二分之一，数值等于叫二分之几方。由于它是垂直，所以角度关系立刻能够变成他们的比例关系，所以小球飞行时间在这个比例关系下立刻就求解出来。 再比如说，我们看到有关于师大他们之前做这样的题型，这是咱们去年啊师大他们的期末考试题，当我们看到这个位置时，我们只要看恰好沿斜面下滑， 当能看到恰好无碰撞的落在这个倾角，立刻怎么样？我们也做三条辅助线，一条水平，一条竖直，一条反向延长交中点。由于比例关系已经摆在这了，所以角度关系将转化成比例关系，最终能够求得 之间能够求的速度。所以这样的话，希望大家能够通过这个辅助线立刻了解我们的学习知识点啊，祝大家期末考试顺利！

高一物理必修二保姆级的课程正式上线了，整套课程只做一件事情，把考点讲透，把题型拆开，把技巧学会，全程没有废话，全是能直接拿去做题的干货方法。每一节考点课都会有配套的对应题型 训练，从会听到会做到做对到稳拿分，一整套闭环带你走完，跟着姐姐学完一整轮必修二难点会被拆的非常简单复杂，模型也能一步步拿下，全国各版本教材是通用的，直接跟着学就行，放心冲就对了。 这节课来看一下与曲面相关的评判运动，那整体的思路呢，也很简单，我们关键就是分解速度， 或者是分解位移。我们需要清楚三个模型，首先就是平抛运动的速度，他与圆周相切，像这种情况。第二呢就是平抛运动的速度与圆周垂直，像这个情况。 那第三个呢，就是平抛之后，我们又落回圆弧面，那分析完这三个模型呢，我们再用三道例题去巩固。 那首先对于这类题呢，我们的解析核心就是结合平抛运动的规律，把给出的速度或者是位移分解成水平和数值这两个方向，然后再结合圆的几何关系来计算， 找到圆的半径，圆心和弧长这些我们需要用到的信息。好，那我们来具体看一下第一个模型，如果说是平抛运动，我们把这个球呢给他抛出去的运动轨迹呢？是这样的，那我们发现他被抛出去之后呢，他的 速度是这样的，那这个速度呢，是刚好和我们下面这个圆弧面相切， 也就是说我们从圆弧轨道的外面，就是从这个位置给他平抛出去一个球，刚好无碰撞的进入圆弧形轨道， 那我们刚好呢，进入圆弧形轨道的这一刻，速度是和圆弧轨道相切的， 那这个时候呢，既然已知了这里的末速度，我们就需要去分解这个末速度，然后再构建速度三角形。好，首先来看一下， 那这里的 c 叉角呢，它是我们的速度与水平方向的夹角，并且这个 c 叉角是小于九十度的。好，来看一下我们的速度呢，是红色的，这个水平方向呢，就是沿这个方向，那这个角就是 c 叉角， 为什么说他一定是小于九十度呢？因为我们做平抛运动的物体，在他的运动轨迹里面，他的速度一定是斜向下的，不可能竖直向下， 你要想和水平方向成九十度的角呢，你就必须要竖直向下，所以我们这个 c 叉角，也就是速度的方向与水平方向的夹角，他一定是小于九十度。 好，那现在呢，我们来看一下这里呢，是我们的速度，我们把它分解为水平方向的 v x 和数值方向上的 v y。 由于做平抛运动的物体呢，它在水平方向上做的是匀速直线运动， 也就是说水平方向上的速度 v x， 它始终等于为零，那它在数值方向上呢，做的是初速度为零的 自由落体运动，那所以说它在数值方向上的速度为 y， 其实就等于 g t。 既然速度和圆弧面相切，就意味着我们的速度呢，它是和这条半径应该是垂直的关系，既然垂直，就意味着我们的角 theta， 它再加上这里的角 e， 它就等于九十度。好，再来看一下，我们把这条给它延长，延长完之后呢，这个角是垂直的。好，上面这个角呢，我们用角二来表示的话，我们就发现角一加上角二又等于九十度。 那这里我们就可以发现，角一呢，它加角 c， 它和加角二是一样的，所以说我们的角二是等于角 c， 它也就说这个角它也是等于 c， 它角， 那这个角呢，其实就是和速度方向垂直的这条半径与竖直方向上的半径之间的夹角。好，那现在呢，我们再来回到去分解速度的 这块，那 timing the theta 需要怎么表示？其实很简单，我们把它呢放在这一个小三角形里面，我们可以得到。哎，这个角呢，它是 theta 角，所以 tony 的 theta 呢，其实就等于这一条边，再比上这一条边，也就是对应的 v y， 再比上 v x 好， 那 v y 呢，它其实就是数值方向上自由落体的速度，也就是 g t， 那 v x 呢，是 始终等于我们的出速度为零的，因为水平方向上，你做的是匀速直线运动嘛？那所以我们就得出了这个结论， tan 的 c 大， 它就等于 v y 比 v x， 就 等于 g t 比 v 零。所以我们可以发现，其实这类题型呢，它是非常简单的。那这里的关键呢，还是去掌握平抛运动，它的特点就是它在水平方向上是匀速直线运动，而在数值方向上呢，是自由落体运动。 再来看第二种模型，平抛运动的速度，它与圆周垂直，我们从圆弧面的外面水平抛出 一个小球，它最终呢垂直落在圆弧面上，也就说我们落在圆弧面上那一刻，我的速度是和这个圆弧面相垂直的，这个角是九十度。好，已知速度的方向是垂直圆弧面，那我们分解它的速度，把它分解成 水平和数值这两个方向。好，这里呢是速度 v， 我 们把它分解成水平方向上的 v y， 那我们的这一个速度，它和水平方向上的夹角是不是就是这个角？是 theta 角？好，我们把它往下去延长的话，可以发现它和水平方向的夹角呢，也可以用这个来表示，那这个和这个呢大小是一样的，都是 theta， 都是表示它和水平方向上的夹角大小， 那这个 theta 角一定是小于九十度的，因为我们在做平抛运动的时候呢，我们这个速度它一定是斜向下，不可能竖直向下，这个呢和 第一个模型里面的原理是一样的。好，那我们还是关键点在于分解速度，把它分解成水平竖直两个方向之后，我们就来构建速度三角形，比如说我们来看这一个小三角形， 在这个小三角形里面上面，这个呢是垂直的。好，我们的这一个角呢是 c， 它角 把这个小三角形放大之后，是这样的 v x， 那 这里呢是 v y， 我 们的这一个是 v， 那 这里呢是垂直的，这个角是 c 叉角。好，我们来看一下这里的 tanning 的 c 叉呢，是不是就等于这条，再比上这一条，也就是 v y， 再比上 v x， 那 v y 呢，它就是平方运动的物体在数值方向上的速度，也就是 g t v x 呢，就始终等于我的初速度为零，因为在水平方向上，我们做的是匀速直线运动。好，那这个式子呢，其实也很简单，这个模型和第一个模型 它的原理是类似的，那我们再来看一下第三个模型，就是我们呢去平抛这个物体，平抛完之后发现它又落回圆弧面了，也就说我们的条件就是从圆弧面上来水平抛出，最终又落回圆弧面， 他的轨迹我们先用蓝色标出。好，那在第一和第二个模型里面呢，我们都是去分解速度，因为他给出了我们的 速度是和圆周垂直，以及第一个模型里面的和圆周相切。那给速度的话，你就去分解速度，如果给的是未移，我们就去分解未移，像本题里面呢，他没给速度，你就只能去分解未移了。好，未移的话呢，就是从 p 点指向 b 点的这个有限线段， 也就是这一条。好，那我们现在呢，就是把这个谓语给他分解成水平和数值两个方向。好，在水平方向上呢，就是这一条，我们可以用 x 来 表示，那这里呢，总谓语是 x。 总。好，再来看一下数值方向上呢，是这一条，我们可以用 y 来表示。这里的 x 等于多少呢？由于做平抛运动的物体，它在水平方向是匀速直线运动，所以说这里的 x 它就等于 v 零 t。 好，再来看一下，数值方向上呢，其实是自由落体，所以说 y 的 大小其实是等于二分之几梯方，也就是这里。好，那分解完之后，怎么去求解这些谓语关系呢？好，来看一下，那既然这里告诉了我们这个圆弧面，他会告诉我们这个半径 r， 那 我们就要想办法把这个圆的半径 r 给它用上，怎么用上呢？我们就需要构建一些三角形了。好，来看一下， 我们连接圆心 o 和 b， 因为这样连接的话呢，我们就可以用到半径了，那这样连接之后，我们就发现这个地方它出现了一个小的三角形，也就是这一个小三角形，那我们就可以研究这个三角形，在这个三角形里面呢，我们是可以用勾股定律的，具体是怎么用呢？好，来看一下。那 这一条边它是等于半径 r 这个角又是直角，那这条边是多少？它是不是就等于我的水平方向上的位于 x， 再减去这一段。哎，这一段呢刚好又等于半径，也就是它等于 x 再减去 r， 那 这一条是等于多少？ 它其实就是我在数值方向上的 y， 所以 说这里就是 y， 那 所以现在我们就得出了，在这一个三角形里面，我们用勾股定律的话，就是斜边的平方，也就是 r 的 平方，就等于两条直角边的平方和也就是 这个的平方， x 减去 r 的 平方，然后再加上这个的平方，也就是再加上 y 的 平方，也就说我们可以得出这样的一个式子。好，如果这个式子我们需要进一步展开的话呢，相当于是 r 的 平方，它等于 x 再减去大 r， 那 这个 x 是 多少呢？ x 是 等于 v 零 t， 我 们刚刚找到了，所以说它就又等于 v 零 t 减去 r 的 平方，然后再加上 y 的 平方， y 等于多少呢？ y 是 等于这个，所以说就是二分之 g t 方，它的平方。 好，那我们再来看一下，如果呢，我们还是从圆弧面上去平抛，但是我们最终它是落在了这个 圆弧面的左半边，那这个时候我们应该怎么去求解谓语关系呢？好，不管是什么情况，注意，我们的第一步，你肯定都是要去把我们的谓语先给他找出来吧。好，把谓语找出来的话呢，是这样的，那这块他是 x 总，我们来标上， 然后就是分解了，把它分解为水平方向上和竖直方向上这两部分，那在水平方向上呢，这里我们可以用 x 表示，数值方向上可以用 y 来表示。好，分解完之后，哎，我们需要 用到这个圆，它的半径，那要用半径的话呢，我们就需要来做一条线，什么线呢？就是去连接 我们的这个 a 点和这个圆形 o， 那 这样的话，我就得出了，这条边它是等于半径。 好，那这样的话呢，我们就得到了一个三角形，也就是这一个三角形，那我们就可以把这个三角形作为研究对象了。 好，在这个三角形里面呢，由于它是直角三角形，这个角是直角，所以我们就可以用勾股定律。那这条斜边已经知道了，我们需要找到两条直角边。好，这条直角边是多少呢？它就是等于我们的一个半径，然后再减去你在水平方向上的位移，也就说它等于我们的二，再减去 x。 好， 再来看一下，那这条直角边是多少呢？它其实就是我们在数值方向上的位移，也就是 这条 y。 好， 我们用 y 来表示。好，那所以呢，在这个直角三角形里面，用勾股定律的话呢，就是斜边的平方，它就等于两条直角边的平方和，也就是二减 x 的 平方，再加上 y 的 平方。好，那这个呢，我们如果想进一步 展开的话呢，也是可以的，二的平方，它就等于二减 x， 那 x 呢？是我们在水平方向上的尾，也就是 v 零 t， 好，那 y 是 多少呢？就是在数值方向上的位，也就是做自由落体运动，他的位移也就是二分之 g t 方的平方。好，那宝子们需要注意，我这个物体，他被平抛出去之后，如果他是落到圆弧面的左半边， 那对应的应该是二减 x 的 平方，如果他是运动到我们这个圆弧面的右半边，对应的就是 x 减二的平方。好，那这个呢，你完全不用去死记硬背，你只需要知道我们是怎么分析的，然后等到遇到类似题的时候呢，直接拿来去分析就可以了。 来看一下，如图所示，斜面 a b， c 与圆弧轨道相切于 c 点，也就是相切于这个点，我们从 a 点呢，水平向右飞出的这个小球，也就说小球从 a 点它做平抛运动，它到 c 点的时候呢，恰好与这个圆弧轨道相切，也就说到 c 点的速度是这个， 那这个 o c 呢？它与数值方向上的夹角是 c， 它这个角是 c， 它角那 c 带角是等于六十度。如果说 ab， 它的高度是 h， 忽略空气阻力 bc 的 长是多少？好，那先来看一下，那我们这个小球，它从 a 点再到 c 点的话，对应的为宜。是这样的吧， 把这个谓语可以给它分解成水平方向上 x 与数值方向上的 h。 好， 那来看一下这里的 h 是 多少？ 因为做平抛运动的物体，它在数值方向上其实是自由落体，所以说 h 呢，就等于二分之一，即 t 方。那再来看一下，我们水平方向上的谓语呢，其实就是等于 bc 的 长了，也就等于 bc， 它就等于水平方向上的谓语，也就等于 v 零 t。 好， 那再来看一下， 我们现在呢是把位移给分解完了，然后就需要去分解这个速度了，这个速度怎么分解呢？给它分解成水平方向上的 v x 和数值方向上的 v y， 然后我们就可以构建一个速度三角形。怎么构建呢？我们可以找到这一个小三角形，那这个小三角形呢？它是一个直角三角形，我们来看一下，我们需要找到这个角度是多少。 好，那上面这个角是 theta 角，而这个角呢，它又是直角，所以我们发现在上面这个紫色的三角形里面，我们的 角 theta 加上这里的角一，是不是就等于九十度？那我们再来看一下，由于我们这个速度，它的这个方向是和 圆弧轨道相切的，那我们就可以得出，哎，这个角它是一个直角，也就是说这个角它是九十度，那既然它是九十度，就意味着我们的角一，再加上下面的这一个这一块的角二， 它也等于九十度，所以我们就发现这里的角 c 塔是等于角二的。好，那也就是说 我们的这一个角二，它其实就和上面这个 c 它角一样，它也是等于角 c， 它而角最大是等于六十度。好，那来看一下，所以在红色阴影部分这个三角形里面，我们就可以得出那 tan 的 c， 它就等于这条，再比上这一条，也就是 v y， 再比上 v x 好， v x 呢，就始终等于 v 零， 因为做平抛运动的物体，他在水平方向上呢，是匀速直线运动，速度大小是不变的。好，这个等于多少？是等于根号三，因为 tanne 的 六十度就等于根号三，我们的 c 塔是等于六十度。好，那结合这一块，我们可以得出什么呢？ 好，结合这个我们可以首先得出 gt 等于根号三倍的 v 零，所以 v 零呢，就等于 gt， 再比上根号三，所以 v 零 t， 它就等于 gt 方，再比上根号三。好，这里呢，有一个 v 零 t， 所以 说它就等于 gt 方等于多少？我们知道 h 是 等于二分之一 gt 方，所以说 gt 方是等于二 h， 那所以这里的 g 地方等于二 h 的 话，我们代入一下就可以得出是二 h， 再比上根号三，也就等于三分之根号三 h， 然后再乘以一个二，也就是三分之二倍。根号三，再乘以 h， 也就是这里的 b 选项了。 所以这道题呢，它其实不难，我们有两个关键点，第一个关键点呢，就是去分解位移，我的位移呢，是从 a 到 c 的 这个圆圈线段，这里是 x， 总 把它分解成水平和数值这两块，然后分别表示出我们的 h 和 bc 分 别是多少，那表示出之后呢？第二步就是去分解速度了，分解速度的话呢，我们就需要构建这个红色阴影部分的速度三角形，并且关键点是找出这个角，它是等于 theta 角， 然后再来列式它的 theta 等于多少。那最后呢，结合这些，我们就可以找到 h 和 bc 之间的关系，就可以求出答案了。 所以遇到这类题呢，我们关键还是去分解位移，分解速度，把位移和速度都分解成水平和数值两个方向，然后再构建三角形。 好，再来看这道题呢，本质上也是类似的，这是一道多选题，如图所示，水平固定半球形碗，它的球心呢，是这里的 o 点，最低点是这里的 p 点，在碗的边缘处， a 点向球心， 以速度 v 一 v 二水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为 t 一 和 t 二，小球分别落在碗内的 m 点和 p 点，也就说他们的运动轨迹呢，应该分别是这样和这样的，那 他们的位移分别是多少呢？好，那我如果说是运动到 m 点的话呢，我的位移就应该是从 a 指向 m 的 一个有向线段，也就是这个长度。那我运动到 p 点的话呢，就应该是从 a 指向 p 的 有向线段，也就是这条的长。 好，这两个的长度呢，是我的两次位移的大小。题中告诉我们角 m o， p， 也就是这个角，它是三十七度，又告诉我们 sin 三十七度和 cosine 三十七度的值。以下判断正确的是哪一个？好，那首先这里呢， 我们既然找到了两个位移，我们就需要先把这两个位移进行分解。好，那从 a 到 m 的 这一段运动，我在水平方向上的位移是不是就是这里？在数值方向上的位移是不是就是这里？ 好，那这个呢，就是我们分解的结果了。好，这个水平位移，我们用 x 一 来表示，而这个数值位移呢，我们用 y 一 来表示。好，再来看一下我从 a 到 p 的 这个位移，我分解为水平和数值两个方向的话，是怎么样的呢？水平方向是这样，数值方向是这样。 好，那水平方向上的位移呢？我用 x 二来表示，数值方向上的位移，它其实就等于这一块的长度，我们用 y 二来表示，那我们就发现 y 二它其实就等于我的这个圆的半径大二，而这里的 x 二呢，它其实也等于圆的半径大二。 好，现在呢，把两个位移分解之后，我们再来根据已知条件，已知这个角的角度是三十七度，那我们就 需要去研究和这个角相关的内容。那它等于三十七的话，我们是不是可以找到这样一个三角形？我们来看一下，需要做一条辅助线，把这一条线给他延长之后，就可以找到这个三角形， 在这个三角形里面是不是三十七度，刚好在里面我们就可以利用到这个条件了。好，再来看一下，那这个下面的角呢？是直角，所以说它是一个直角三角形，在这个直角三角形里面，我们的 cosine 三十七度是不是就等于这条边？再比上这条边，那其实就等于这条边，它就是我的第一个位移的数值分量，也就是 y 一， 而这条边呢，它其实就相当于是我的半径，那半径的话呢，我们的 y 二它是等于半径的，所以说它也相当于是 y 二。 又由于 cosine 三十七度是等于零点八，所以我们就可以得出 y 一 是等于零点八倍的 y 二，同时它也等于零点八倍的半径。 好，那现在呢，我们把我们找到的量都给它写到左边，我们找到了 y 一 是等于零点八倍的啊，我们又找到了我们的 y 二，它等于 x 二直接等于一个 r， 再结合做平抛运动的物体，它在数值方向上的位置，怎么求？ h 是 等于二分之一 g t 方的，所以我们的 t 它就等于根号下二 h， 再比上一个 g， 所以 我们的 t 一 再比上 t 二，它就等于多少呢？是等于根号下 二 h 一 比上小 g， 那 二 h 一 呢？其实就是我们所用的这个二 y 一 了。 好，再来看一下， t 二就等于根号下二外二，再比上小 g， 我 们可以把整个式子给它整理一下， 它就相当于是根号下二外一，比上 g， 再除以二外二比上 g。 好， 那再来看一下，由于你除以一个数，相当于乘以它的导数，也就说它除以下面这块，就相当于是乘以下面的导数，也就是乘以二外二 分之几。那这里呢，小 g 是 个常量，给它约掉，二呢也约掉，这也就相当于是等于根号下 y 一， 比上 y 二，那也就等于根号下 y 一 呢，是零点八二，而 y 二直接等于一个二，所以说它就等于根号下零点八，也就等于 根号下五分之四，那其实就是二在比上根号五了。所以说我们的 t 一 比 t 二是等于二在比上根号五，那 a b 两个选项里面， a 要排除，只能去选择 b。 好， 那这里呢，是关于时间之比的分析，在分析时间之比的时候呢，其实思路也很简单，因为我们只做了一件事，就是把这两次平抛运动的位移都给它分解完之后呢，其实思路也很简单，因为我们只做了一件事，就是把它们的速度之比呢， 注意这里的速度， v 一 v 二呢，是我们在抛出球的时候呢，对应的 水平方向上的速度，那所以呢，我们只需要找到他们水平方向上的速度之比就可以了。好，水平方向上的速度之比呢，其实是和我们的水平方向上的位移相关的，因为水平方向上的位移呢， x 它就等于 v 零，再乘以 t， 所以我们就可以得出，你要想找 v 的 话， v 零它就等于 x 在 比上 t， 所以 我们就可以找到 v 一 呢，它就等于 x 一 比上 t 一， 而 v 二，它就等于 x 二，再比上 t 二。那所以 v 一 比上 v 二的话呢，就应该是它俩之比。好，我们把等号给他列到这里，相当于是 x 一 比上 t 一， 再乘以 x 二分之 t 二。好， 那这里呢，其实可以给它整理为， x 一 比上 x 二，再乘以 t 二比上 t 一。 好。那 t 二比 t 一 是多少呢？已经知道了， t 一 比 t 二是二，比上根号五，所以说这里的 t 二比 t 一， 我们可以给他写上应该是根号五，再比上二。好，那 x 一 比 x 二是多少呢？好， 我们现在呢，需要回到这个紫色阴影部分的三角形里面，我们来看， c 三十七度是不是就等于我们的这条边， 这条边是多少，它其实就相当于是上面这条边，它就等于我们整个 x 二，然后再减去前面的 x 一。 那所以 c 三十七度就等于 x 二减去 x 一， 再比上 斜边，也就是比上我的一个半径。啊。好，那再来看一下，我们的 x 二呢，是一个半径，所以这里就相当于是 c 三十七度，它等于 r 减去 r 一 之差，再比上 r 好， 那 c 三十七度呢，又等于零点六，所以我们就可以找到 r 减去 x 一 等于零点六 r， 所以 说 x 一 呢，它就等于 r 减去零点六， i 就是 零点四 r， 那 所以 x 一 比 x 二，它就等于零点四 r 再比上一个 r， 它再乘以二分之根号五。 好，这里呢，上下都有 r， 我 们把它约掉，约掉完之后就可以发现，应该是等于 五分之根号五，所以这里 v 一 比上 v 二，应该是等于根号五，再比上五， 也就是 c d 选项里面只能选择 d。 这里再找速度之比的时候呢，其实也不难，因为我们只需要清楚，这里的速度呢，是水平方向上的出速度，而水平方向上呢，有这个式子， x 等于 v 零 t， 然后我们就可以找到 v 零怎么表示，然后在列式就可以了，在列式的时候呢，关键是找到 x 一 和 x 二它俩间的关系， 那在找他俩关系的时候呢，其实我们之前在分解位的时候，就已经帮助我们找到他俩的关系了，然后再结合紫色阴影部分，这个三角形里面的一个 c 三十七度的这个值，就可以找到 x 一 和 x 二之间的关系。具体是 零点四啊，再比上答案就可以了。好，那宝子可以发现，做这道题呢，他的本质上还是去分解位移，分解完位移之后呢，你需要找到相对的这个三角形，利用这里的角度来找到不同的边之间的关系， 这个是解题的关键。好，再来看一下这道题，如图所示，一个小球呢，他从一个半圆轨道左边的这个 a 点 正上方这个地方开始做平抛运动，小球可以被看成质点，在运动的过程中，我们恰好与半圆形轨道相切于 b 点， 好，注意这里是相切，就意味着在这一点，我的这个速度是和这个圆相切，那这个角就是等于九十度了，这里是 v， 好， 那 o 呢？是半圆轨道的圆心，半圆轨道的半径是大 ob 与水平方向上的夹角，这个角是等于六十度，重力加速度是小计， 小球抛出去的时候，它的出速度是多少？这里的关键点就是对我们的末速度，也就是这一个 v 来进行一个分解，我们来看一下，把它分解为水平和数值这两个方向，那水平方向上呢？是这样的，数值方向上是这样的，我们来看一下， 这里呢需要给它再画上虚线，那这个就是 v x， 这个就是 v y， 我 们需要找到的出速度其实就是要找这个 v x。 好， 那现在呢，我们要想找到 v x 和 v y 它俩间的关系，我们需要知道一个角度。好，这里呢是我们唯一知道的一个角度是六十度，我们来看一下，那这个角是直角，所以说六十度加六十度是等于九十度， 那再来看一下，那所以角一呢，它是等于三十度，它等于三十度的话，由于这里又是垂直的，所以说我们就可以得出这个角它是等于六十度。好，现在呢角度我们已经很轻松的找出来了，那接下来看下一步我们的这个三角形里面， 可以找到这条边，也就是 v x， 它的大小 v x 比上 y， 它就等于 tan 零的六十度， 也就是说它等于根号三，所以我们就可以得出 v x 是 等于根号三倍的 y， 那 再来看一下 y， y 又等于多少呢？做 平抛运动的物体，它在数值方向上的这个速度呢，其实就是等于在做自由落体运动的物体，它的速度也就等于 g t， 所以 说这里呢，它其实又等于根号三倍的 g t， 所以 可以得出 t 等于多少 t， 它就等于 v x， 再比上根号三小记， 也就等于三分之根号三对应的 g 分 之 v x。 好， 那现在呢，我们是找到了时间 t， 找到时间 t 之后可以怎么办呢？我们知道这个物体呢，它是从这个点假设为 c 点来运动，到了 b 点，那其实它的位移呢？就是这一块，这个是 x 总，我们可以把它的位移给它分解成水平方向上的位移 x 和数值方向上的谓语 y， 好， 那水平方向上的谓语其实是不是就等于下面的这一块的长度？好，那 x 怎么找 x？ 首先它等于 v x， 再乘以 t， 它还等于多少？ 它还等于下面这块的长度，这块的长度呢，是等于这里的一个半径 r， 然后再加上右边这一块，那右边这一块怎么表示呢？那假设右边这一块，我们先用 x 一 撇来表示的话，好，我们把它放在这个阴影部分三角形里面，由于左边这个角是六十度，我们就可以找到 x 一 撇，它比上我们的这个斜边，也就是比上一个 r， 就 等于 cosine。 六十度， 也就等于二分之一，所以我们可以得出 x 一 撇，它就等于二分之一倍的 r。 那 再来看一下我们的这里要找的 位于在水平方向上的分量这一块，它是不是就相当于等于这里的 r， 再加上右边这里的二分之一 r， 也就说它就等于二分之三 r， 好， 二分之三 r 又等于 y x， 再乘以 t， 那我们来代入一下，相当于 v x， 再乘以 t， t 等于多少呢？等于这一块，它就等于三季分之根号三 v x， 它就等于二分之三二， 好，那左边这里呢，我们把 v x 找到，相当于是 v x 的 平方，再乘以三 g 分 之根号三，它就等于二分之三啊，所以就可以得出 v x 的 平方就等于二分之三啊。然后再乘以根号三分之三 g， 也就是说 v x 的 平方，它就等于二倍根号三分之 九啊几。我们让分子分母同时乘以根号三，可以得出应该是二乘以三分之九倍根号三啊。 小记，好，这里下面的三和上面约掉一下，就可以得出应该是二分之三倍根号三啊几，那所以可以得出 v x 呢，就应该等于根号下这一块就是根号下二分之三倍 根号三二几好，可以得出应该是选择 b 选项。 那这道题呢，本质上也不难，因为我们其实只需要做两个动作，第一就是去分解它的速度，分解为水平数值两个方向，并且找到角度，找到角度之后，你就可以列出水平和数值两个方向上的速度，他们之间是什么关系了。 那还有就是分解位移，找到我们的总位移之后呢，再给他找到在水平方向上的分量这一块，你找到这一块之后呢，就可以列出他既等于 v x t， 又等于我们找到的这一块的长度，所以这里呢就只有两个关键，第一个关键就是分解 x 和 v， 分 解成水平和竖直两个方向。第二步呢就是利用三角形找到角度之后呢，在三角形里面我们就可以找到 v x、 v y 这样的关。

听说你的朋友想学物理，那就快叫他来学这个吧！平抛运动的推论在高中物理中，平抛运动的两个重要推论是实现角度关系快速转化的核心工具。掌握它，你就能在面 对垂直击中斜面、离斜面最远、切入圆弧轨道等复杂情形时，通过速度、角与位与角的正确关系直接建立方程。求解，接下来我将带你逐步搞定的。这里是抖音高考百日百课，我们先来看一下这两个推论是什么。第一组平抛运动的物体 在任意时刻，其速度方向与水平方向夹角的正切值等于未移方向与水平方向夹角正切值的两倍。第二， 速度的反向延长线一定通过此时水平未移的终点。那他俩是啥意思呢？我给你举个简单的例子，想想你在玩一个扔纸飞机的游戏，你站在楼顶水平扔出一架纸飞机。西塔是指从你扔出的起点点到纸飞机 在位置的那条线和地面的夹角，它代表着飞机已经飞到哪里了。哈尔法式，指纸飞机此刻飞行的方向和地面的夹角，它代表了飞机这要往哪飞？所以我们总结一下，就是在任何时刻，纸飞机机头指向的陡峭程度 正好是它当前位置连线陡峭程度的两倍。也就是说，你扔出去的东西，它飞的方向总是比它已经飞到的位置要更往下扎，而且这个往下扎的成 正好是两倍。请我们来看第二句话，还是刚才那架直飞机。水平位仪是指从你扔出的地上到飞机正下方地面的水平距离。速度反向延长些，是指你想象飞机现在的飞行方向是向前下方，那么你把这个方向倒过来，向后上方画一条直线，那么这条向后画的直线一定会正好打在你和飞机正下方之间的 中点上。所以如果你是那架直飞机，当你回头看自己来时的方向时，你的视线会正好落在你水平飞行距离的正 中间那个点上。那现在我们就能发现，这两个结论就是把平抛运动中的时间这个变量给藏起来了，从而让你可以直接 在角度和位置之间建立联系。所以这两个结论最主要的作用就是可以帮我们快速判断角度关系，求水平位移或落点，解决逆向平抛问题和几何作图与图像分析。那现在问题就来了，他是怎么来的呢？ 我们来试着推导一下。平抛出去的东西在水平方向是匀速飞的，所以水平走的距离是艾克斯等于 v 零 t， 数值方向是往下掉的，所以下落的高度是 y 等于二分之一梯 梯方，那从抛出点到他现在位置的连线和水平方向加角的正切值，就是下落高度除以水平距离，也就是这个啦，这个值代表了他现在位置有多抖。接着我们再看速度方向的抖不抖，他的水平速度一直是出速度为零， 数值速度会越来越大，变成 v y 等于 g t， 那 它飞行方向和水平方向加角的正切值就是数值速度除以水平速度，这个值代表它飞的方向有多陡。最后我们把这两个陡度放在一起看，很明显速度方向的陡度正好是 v 一 方向陡度的两倍，所以 我们能得到这个。即平抛物体飞的方向总是比他已经飞到的位置要抖一倍，而且这个抖的程度是固定的两倍关系，所以我们就得到了这个。于是我们就会发现 b 点就是水平微移的终点。而现在就有同学要问了，那在具体问题中，我们怎么运用推论呢？特别是当题目只给出几何条件时，如 快速找到角度关系呢？我们来看这两个例子。垂直打到鞋面，意味着末速度方向与鞋面垂直，那么有几何关系？可知，此时速度与水平方向的夹角为九十度减西塔，因此我们能得到这个解出来的运动时间 t 接着设位以与水平方向夹角为阿尔法，有推论可得到这个，所以我们就得到了这个。而 禅阿尔法等于埃克四分之五，所以我们得到了它的数值为一与水平为一之比。轻松出答。当然，一道题不过瘾，我们再来一道，如图所示，出速度未知，末速度方向与湖面相切，所以无法直接速度角解题。那我们就需要利用为一角进行求解，且飞行过程中 恰好与球面相切于 b 点，则 b 点的速度与水平方向的夹角为阿尔法，小 小球的出速度为为零，有几何关系？得到微歪就由于微歪等于 g t， 所以 我们就得到了这个。水平微移则是这个。把推论带进去，我们就得到了这个连丽姐的微零。轻松出答案。

之前咱们学过使用频闪照相技术，可以测量出物体在连续相等时间的位移。这一次咱们就用这招来分析平抛运动。 先看水平方向，它是匀速直线运动，因此在任意相等时间内，物体的水平位移都是相等的。设每段的位移 x 就是 为零 t， 只要测量 x 和 t， 就 可以计算出速度为零了。 再来看数值方向，如果从物体出发时个 o 开始拍摄，那么数值方向是初速度为零的匀变速直线运动， 这种运动在连续相等时间的位，一比就是一比三比五。不过我要提醒你，要使用这个结论，必须已知出发点，并且时间间隔相等。 那如果没有给定出发点 o， 只知道运动轨迹上 abc 三点使用，它们的数值为一 y 一、 y 二以及相等的水平间隔 x。 还有重力加速度计，怎么求出物体的出速度呢？ 解决这个问题，要明确两件事。第一，无论出发点在什么位置，水平方向物体都做匀速直线运动。 因此水平方向的间隔相等代表了拍照的时间间隔 t 是 相等的，只是这个时间 t 题目中没有给出。第二，因为不清楚出发点位置，所以一比三比五的结论也就不能用了。那该怎么办呢？ 别着急，平抛运动的数值分量是匀变速、直线运动，这三个点间隔时间又相等，因此可以把它们看作打点计时器，只带上的连续三个点是用打点计时器分析匀变值运动的结论。在这里就是 y 二减 y 一 等于 g t 方， 从这个式子就可以算出时间间隔 t 了。再利用水平方向的匀速直线运动得到为零等于 x， b 上 t 就 可以计算出出速度为零了。除了时间和出速，用这些数据还能计算出什么内容呢？ 再来看看数值方向匀变速直线运动里，终点时刻速度等于平均速度，终点时刻就是物体运动到 b 点的时刻，平均速度就用总路程除以总时间，这就是 b 点的数值速度了。 更进一步的数值方向是自由落体运动，有了速度就可以计算物体从出发点到达 b 点的时间了。接着来，有了出发点到 b 点的运动时间，那出发点 o 到 b 点的数值高度和水平距离也就可以算了，这样就能找到出发点 o 了。 以上就是频闪照相下的平抛运动分析这类问题可以有很多表现形式，比如一颗子弹连续穿过三个纸片，或者对一辆在空中飞的汽车拍照。 不过无论如何变化，你只要牢牢记住水平方向匀速直线运动的特点和数值方向匀变速直线运动的特点，就可以解决问题。解析时要时刻注意时间间隔是不是相等，如果时间间隔相等，可以列出哪些方程。好了，我就说这么多，祝你好运！

大家都知道学物理要建模型，但具体怎么建，怎么把一个模型吃透，很多同学就卡在这一步。今天九八五学姐就拿最典型的平抛运动为例，手把手带你从头到尾解剖一个物理模型。 首先可以先准备一个笔记本，第一页先写下模型名称，然后用最醒目的颜色写下它的核心定义和成立条件。比如平抛运动物体以一定的出速度水平抛出这八个字，这通常是判断一道题能不能用这个模型的标。 第二步，接着再列出和这个模型有关的所有步骤。第三步，画出这个模型的图式，比如轨迹出出度、方向力的方向位于分量一样都不能少，这个图就能刻在你的脑子里， 以后一看到平抛就能立刻想起这个画面。最后一步也是最关键的，就是总结这类模型的破题口诀。首先就是要审题，看题目是否满足仅重力水平出出度，接着立刻分解为水平和数值两个独立的运动。 接着就是联例水平和数值方上的方程求解。当你把平抛运动这一页整理完，你就不仅会做一道题，你获得的是一个标准的可附用的思维程序，不管题目条件怎么变，你都知道该如何去破题。

ok， 大家好，这个视频我们来学习一个关于频抛运动中很重要的模型啊，叫做鞋面频抛模型，在我们课里也是单独的开一节课来介绍这样的一个模型的，首先关于这个模型，它的考频是比较高的，另外呢有以下的这些结论啊，这样的一个模型结论 掌握这些结论呢，大家其实能够发现很轻松就能够破题了，那对应的这个模型大家一定要清楚啊，他是从鞋面上抛出以后，又落回到这样的一个鞋面上的。 所以首先我们来看第一个问题，就是总时间的问题，这是他的相当于是结论公式，但是在这里我还是要强调，一定要会推导这个总时间，因为不管是平抛也好，斜抛也好，我们主要的破题思路就两个字叫做是分解， 你可以分解速度，分解位移或者是分解加速度。那对于这样的一个情景，大家请看啊，就是一个小球从鞋面的顶端，然后水平抛出，然后他又落在这样的一个鞋面上的时候，我已知的条件只有这个出速度 v 零和这个琴角塞特， 其他的条件是不知道的啊，还有这个重力加速小 j 啊，这个是莫人已知的，那么其他条件不清楚的情况下，如何去计算这样的一个总时间，肯定是要分解一个物理量的，对不？在这里你看你水平抛出出速度方向知道，但是他落回到这样的一个斜面上，此时刻他的速度方向是不知道的， 所以你要分解的话，你得知道他的速度偏角或者是位移偏角，才把这样的一个相应的物理量进行分解，在你速度偏角不知道的情况下，所以我们就选择分解他的位移就可以了。 你会发现他从鞋面顶端往出抛，这是他的起点，他的终点呢？因为他一定是落回到鞋面的，这是我们给定的情景，所以从起点到终点做一条连线，这不就是他的位移吗？对不？ 所以你的出速度 v 零是水平方向的，那你看鞋面的琴角是塞特， ok， 你 这个角不就是塞特吗？相当于你的谓仪偏角是知道的，对吧？所以在这里你可以选择去分解谓仪来求解时间，所以， ok， 那 我们首先做一条连线，这是它的一个总谓仪， 我们给一个符号，假设为 s， ok， 把它分解的话呢，一定是数数值方向，水平方向，这样的分解 水平方向呢？这个是 x， 数值方向记作是 y， 所以 把一个角度塞特拿进来，这个角是同一角，塞特的话， ok， 那 现在相当于就把 s 分 解到这两个方向了，对吧？一个 y， 一个 x， ok， 那 现在利用这个角度怎么去计算时间呢？你可以贪念的塞特，在这 贪念的塞特，它是等于对边 y 比上邻边 x 的， 发现了吧？ y 呢，你展开去写数值方向做自由落体二分之一 g t 方 x 水平方向的为零 t 啊， 所以现在你可以把这个时间 t 上下约一个，然后是不是就得到关于时间 t 的 它的一个表达式了，所以这个时间 t 啊，把 v 零给它乘到左边来，那再把二给它乘过来，那就是二 v 零 tangent theta， 然后再比上小 j 就 可以了，这样的我们就得到了相应的总时间，所以记住了啊，关于这样的一个斜面平抛，一定要会分解它的位，一来求解这样的一个总时间，所以得到的时间表达式就是这样的， ok， 这是我们推导的第一个事情啊，总时间的问题来，关于这样的一个模型呢，他还会考我们一类一些比值类的问题啊。 比值类呢，大家注意，常见的这几个比值关系就是这个时间 t， 它是正比于初速度 v 零的，因为大家看时间 t， 它的一个表达式等号后边二 v 零，它的 c， 它其中二是常数， c 的 角是不变的，对吧？斜面斜角，这呢也是一个定值， 所以那你看时间 t 是 不是就和它的出速度 v 零相关了，而且是成正比的，所以一看到时间，一定要想到它是和出速度 v 零成正比的，也就是说，如果我把我把它的出速度变成了二分之一 v 零，那它的轨迹差不多就是这样的， 这样的一个总时间，一定是现在你以 v 零做平抛总时间的一半，对吧？所以出速度之比就是等于时间之比，这样的一个关系一定要清楚啊。第二一个呢，就是它的位移，这是 x 水平位移， y 数值位移， s 是 它的总位移，这个三角形清楚了啊， 这几个位移它都是和速度的平方成正比的，为啥和平方成正比？其实你简单的随便推一下就可以了啊，比如说我们计算 x 的 时候， x 肯定是 v 零乘时间 t 啊，对不？ 所以， ok， 那 把上面计算的时间 t 给它往下带，那你看它得到的 x 是 不是就会和 v 零的平方成正比了， v 零再乘以个二 v 零 tangent 的 theta， 那 不就是 v 零方了吗？我这直接写了二 v 零方 tangent 的 theta 比，这，这不就是它水平位宜的一个表达式吗？ 同样的道理，二是常数，谁的角不变小， j 不 变，那 x 一定和 v 零方是成正比的，能看明白这个关系啊，这是 x， y 也是一样的啊。其实你 x 证明出来， y 和 s 就 不用去证明了，因为这样的一个三角形，直角三角形， v 一 三角形，你任意一条边变化，那么其余的两条边它都变了呀，是不是？ 所以你的 x 如果是正比于 v 零的平方，你的 y 也一定会正比于 v 零平方？在这你其实可以拿自由落体这样的一个公式来计算，它的数值为一，那你看，它不就是正比于时间的平方吗？而我们刚说了，时间是正比于 v 零的，所以那你的 y 不 也就正比于这样的一个 v 零的平方了吗？对不？ 或者你可以直接把这个时间 t 来带入到下面 y 这个表达式里边，是不是也能够发现 y 一定是和这个 v 零方是成正比的呀？ 那在观察他的 v 一 三角形，你的两条边都和 v 零方成正比，你第三第三条边就这个 s 斜边也一定会和 v 零的平方成正比，好吧，所以这样的一个比例关系，大家一定要清楚啊， 明白这些比例关系。有一些时候，我们在做题的时候，是能够直观的去分析这个物体落在什么地方的，比如说啊，我现在告诉你，他的速度变成了二分之一为零呢？ 如果它的初速度变成二分之一为零，我们刚才说了，时间会减小一半，但是你的水平位移、数值位移都会减小相应的四分之一，是不是因为它是正比于这样的一个微零的平方嘛？二分之一为零，一平方能变成四分之一了， 记住这个事了吧。 ok， 第三一个我们给大家介绍的结论是关于角度类的结论啊，角度类的结论，大家注意，我们以下推导一遍，往后做题，你把它记下来就可以了，不用反复去证明啊， 落在鞋面上任意点的数偏角都是相等的，尔法是等于贝特的。啥意思？落在鞋面上的任意点？来，我们再画一幅图，这是一个鞋面， 比如说我两次抛出同一个小球，第一次呢，出速度 v 零，给他抛出来，他的轨迹相对来说短一些啊。比如说我画成这种的，此时刻他砸在鞋面上，落在鞋面上，速度方向是朝这个方向的，然后第二次我把它的速度变成二倍 水平，速度变成二倍之后，他的轨迹也应该变得更长一些了。 ok， 比如说啊，他落在鞋面上的这个点，此时刻他的速度方向应该是朝这个方向的。 那我们要证明的这个阿尔法和贝特是什么？就是任意点数偏角都是相等的。数偏角是什么？数偏角就是此时刻的速度与你出速度方向的夹角，比如说以 v 零抛出的时候， 这是他的水平，出速度 v 零，我给他平移过来，这是他的出速度方向，然后这是他此时刻的速度方向，两个速度方向的夹角就是这样的一个速度偏角了。我们记住 r 角，第二次呢， r 为零抛出， 你的出速度仍然是水平的，只不过现在你的速度砸在这样的一个点，速度朝这个方向，对吧？所以此时你的速偏角就是贝特角，他俩是相等的，给他一个箭头啊， 如何证明这个相等关系呢？在这我们要用到平抛结论了。这个平抛结论我觉得不管大家是在哪学啊， 你在学完平抛之后，一定是会学到这样的一个重要结论的。我们课里边讲了有三个重要结论，第一个就是 tangent， 它等于二倍 tangent 的， 而法这个斜角就是它的一个速度偏角在这幅图里边，而法角就是它的一个谓语偏角。 所以在这我就提一嘴啊，判定的 theta 就是 素偏角的正切值一定是等于未偏角正切值二倍的，这是平抛很重要的推论之一。 ok， 你 只要有这样的一个推论， ok， 你 就可以推到这两个角度相等了。 现在你第一次抛落在鞋面上，你的素偏角是不是阿尔法角？那贪婪的阿尔法角来写一下这个关系是不是等于他位偏角的二倍。那现在我们请看你的位偏角是哪个角。现在我们假设鞋面的琴角是谁的角？ 未偏角来，你第一次抛落在鞋面上，这是你的终点，起点在这，你的未移不就是这一条斜边吗？对不？所以你的斜边是他的话，这是你的出速度方向，你的未偏角不就是出速度与未移的夹角吗？就这个角呀，这个角，你看鞋面琴角是谁的，你这个角不就应该是谁的吗？ 内错角相等对不对？所以你会发现，不管它落在鞋面上的哪一个点，你的位移都是这个鞋面的斜边，那你的出速度都是水平的，你的位移都是鞋面斜边的话，你这个谁的脚，他是不会变的，对不？所以贪念的阿尔法，他一定是等于二倍贪念的塞特的，能看懂这个关系吧？ 注意，现在啊，我给到的这个 alpha 和 beta， 他 描述的角度是什么角？这个 alpha， beta 都是速度偏角，这个谁的角他现在变成 v 偏角了。符号和我们刚才介绍那个模型推论不一样了， 只不过是符号不一样，但一定清楚啊，这个阿尔法和 theta 表示的是什么样的一个角度？那 tangent 的 beta 也是一样的。 tangent 的 beta 是 不是就是第二次二 v 零抛出它的一个速度偏角的正切值？它也一定等于它的位宜偏角正切值的二倍？ 那他的卫衣偏角是不是还是这个斜的角呀？因为他还是落在这样的一个鞋面上，只要你落在鞋面上。我们刚说了你的出速度水平，你的卫衣就在鞋面上的话，你的这个卫偏角永远都是斜的角， 所以， ok， theta 角不变，那你探见的 beta 也一定是等于二倍探见的 theta 的， 看懂了吗？所以有这样的一个关系写出来，那你就能够证明这个而法一定是等于 theta 角的，对不？所以我们就证明出来，落在斜面上任意点速度偏角都是相等的，而法是等于 theta 的， 这是竖偏角相等。另外，有些题目他还会问你，这个角就是落在鞋面上时候的速度与鞋面的夹角啊，能看懂吗？与鞋面的夹角，来，我们现在画一下啊，第一次他与鞋面的夹角， 这个就手画一下。这是鞋面呀，对不？这是我此时刻的速度方向，这个角我们记作费一， ok， 那 第二次呢？这是他速度方向， 然后呢？这是鞋面，然后这个角我们记作 f 二，落在鞋面上时候，它速度与鞋面的夹角。 f 一 和 f 二什么关系啊？是不是也相等？因为这个而法和贝特相等， 那你这个角呢？是不是和上面这个角它是同一角？这个角是塞特的话， ok， 它是塞特，那这个角不也是塞特，这个角不也是塞特吗？对不？ 所以那你 alpha 和 beta 相等，那它俩都有相同的 theta， 那 这个 f 一 和 f 二不也就相等了吗？对吧？所以不管怎么证明啊，这个 alpha 也好， beta 也好， f 一 也好， f 二也好，它都是相等的这样的一个关系。所以这是关于这个角度类的结论，一定把它 记下来，当成结论去解决问题是会非常方便的。所以当你明白这样的一个结论之后， ok 啊。我们先来看一道例题。例题一说，某军区某旅展开时兵时弹的演练中，某火箭炮在山坡山顶上去发射炮弹，所有炮弹都落在了山坡上， 然后炮弹的运动可以简化为平抛。如图所示，下列说法正确的是 a。 如果将炮弹的出速度减小到二分之一为零，那落在鞋面上，速度方向与鞋面的夹角会变吗？ 角度不变，角度相等，这就是模型结论。所以 a 选项直接就选出来了，很明显他的这个 bc 选项就是错的。那四 d 呢？如果把他的炮弹的速度出速度啊，减小到了二分之一为零，那他的位移会变成原来的多少啊？ 来，这是不是用到比值类结论了？当你的速度减小二分之一，那你一平方是不是就减小四分之一了？所以你所有的谓语都会减小四分之一，并不是他说的二分之一，所以这个题秒选 a 就 可以了，听懂了吗？ ok， 这是我们所介绍的第三一个关于角度类的结论啊，一定把它记下来去解决问题。来看第四一个， 第四一个有关键词，这个关键词就是最远距离，当你做题在读条件或者是读问题的时候，读到这样的关键词，那你注意他的考点无非就是以下这两个， 他会问你这个小球他什么时候离鞋面是最远的？你得知道啊，这个时候他的速度特点是怎么样的？我们给到的结论就是，当他的速度与鞋面平行的时候，有这样的最远距离， 当你的速度与鞋面平行的时候，这样的一个时间是它总时间的一半，这是我们能推导出来的。第二一个如何计算这样的一个最大最远的距离呢？这个需要用到双分解，是需要分别分解它的速度和加速度的，所以怎么去理解这个事情啊？我们就直接给大家推导了， 首先画一个鞋面平抛出来， ok， 最后落在这样的一个鞋面上， 抛出来以后，轨迹上的哪一个点离鞋面最远？怎么去分析这个事呢？同学，你就记住啊，双分解，一个是需要分解它的出速度为零，还需要分解它的一个加速度，所以这是 分解双分解的一个思路，怎么去分解这个事呢？是需要把它这个出速度沿鞋面方向和垂鞋面去分解的，沿鞋面方向来，我们现在看，你可以把它分解到沿鞋面向下， 垂斜面呢，一定是垂斜面向上的这样的两个速度，那这样的两个互相比如说我把它记作是 v x， 沿斜面方向的速度记作 v x， 垂斜面方向的速度记作 v y 的 话，这样的两个相互垂直的速度是互不影响的。这个事首先你得知道，所以你把速度分解了之后，还需要再分解加速度 来，现在分解加速度啊，看着加速度被分解之后，因为所有的抛体运动，只要他抛出去就只受重力，所以他的加速度就是重力加速度小 g， 所以 这个时候你要研究这个加速度对速度造成什么样影响的时候，那你同样的这个加速度也需要把它分解到沿斜面方向和垂直斜面的方向， ok， 分 解到这两个方向，那你就知道了，这个 j 呢，我们记作 j x， 这个 j 记作是 j y 来，那你现在就能清楚啊，现在这个小球他的运动就可以完全看成是两个方向的运动，两个相互垂直的这个方向的运动，一个是沿斜面方向，一个是垂直斜面方向， 在沿斜面方向上他拿到一个出速度 v x， 然后拿到加速度 g x， 他 会往下去做一个匀加速直线运动， 理解这个事吧。而垂直鞋面的这个方向，那你看他是不是垂直鞋面向上有一个出速度微外， 垂直鞋面向下他是不是有一加速度 j 外，那这个 j 外就会让他微外这个方向的速度去发生变化，是不是首先是让他减小的，就类似于数值上抛一样啊？所以你把这个鞋面看成地面的话，这个方向的运动其实是可以看成类似于数值上抛这样的一个运动的， 那他抛到最高点，最高点那不就是相当于离鞋面最远的那个距离吗？对，不？也就是说当你的 v y 速度减小到零的时候，此时他不就是离鞋面最远的时候吗？ 当你的 v y 减小到零的时候，那你看你的速度是不是就只有沿鞋面方向这样的一个速度了？这个速度就是小球，他现在的一个实际的速度就是与鞋面平行的，对，不？ 就是只剩下 v x 这个方向的匀加速直线了啊？这个 v y 这个方向的运动速度减到零了，所以这个方向的速度就是他的一个和速度。 所以我们说啊，当你的这个速度与鞋面平行的时候，此时你离鞋面是最远的。 ok， 你 明白这个，那我们现在来算一下，他此时离 鞋面的时候，离鞋面最远，最远的时候，你从起点到这所经历发生的一个时间是多少啊？这个时间怎么算？ 这个时间是不是就可以拿它垂直斜面方向这个 v y 减小到零来算呀？对不？你减小到零算时间的话， v y 的 大小你得知道， z y 的 大小你是不是也得知道？所以这种情况下，我们只给出斜面的斜角，斜面还是斜的角，那你现在就需要把这个 斜的角给他放在这样的一个速度三角形以及加速度三角形里边来，现在是水平与斜边之间的夹角是谁的？ 那水平这是水平，对吧？斜边，他是斜边，所以同一角，这个角度就是斜的角，把它拿出来， ok， 同样的，如果我们现在用两两垂直啊，他和他夹角，如果是斜的的话，那你竖直边就是水平的这个垂线啊，他的垂线 以及它的垂线就是斜边的垂线，它俩之间的夹角。不解，不就也应该是谁的角吗？所以把这两个角度分别拿进来之后，我们就知道 v y 是 多少了，这个 v y， 现在看啊，这是速度的三角形， 这个水平它是 v 零，然后这个是塞特，那你 v y 是 不对边，所以 v y 它就应该等于 v 零 sinec 的， 看懂了吗？然后 v x 顺手也就写出来了，它是等于 v 零乘 cosine 的。 ok， 加速度再一次进行分解，加速度分解的话，因为它是 c 的， 所以你的 g y 看到了吗？它是零边，它是 g 乘 cosine 的， 这是没有问题的，对吧？那 g x 呢？是不是就是 g 乘 sinec 了？ ok， 做完这个事情以后我们就知道了，在这个 y 方向上啊，就是 g 乘 sinec 了。 ok， 做完这个事情以后我们就知道了，在这个 y 方向上，那它是不是以 y 做一个减速啊？末速度是零，初速度是 v y 乘 v y 的 话，我们直接写了啊，它是 v 零乘三 y， 所以 就是 v 零三 y， ok， 再减去加速度呢？加速度是不是 j 就是 j 乘考三 y， j 乘考三 x， 然后再乘时间 t 啊？这个就是零，等于 v 零减 a t 这样的一个运动学表达式，单独在垂直斜面方向上写运动学表达式，你就可以求出这样的一个时间 t 了，这个时间 t 是 多少？看一下它是不是应该等于 v 零 sine theta， 再除以一个 j cosine theta sine 比上 cosine， 那 不就是 tangent 吗？所以就是 v 零 tangent theta， 再比上小 j。 看懂这个推导了吗？所以这个时间大家请看。我们刚推导出来它在鞋面上运动的总时间是二， v 零 tangent theta 比 j 它，现在我们算出这个时间是 v 零 tan c 的 b j， 所以 是不是就是总时间的一半？所以这个时间结论啊，我们也就把它推出来了，一定要把它记下来，好吧，所以什么时候离鞋面最远呢？第一个事情，当你的速度与鞋面平行的时候，距离鞋面最远。 另外一个你可以看作就是当它运动时间是它总时间一半的时间的时候，它离鞋面是最远的，听懂了吗？ 所以这是第一个问题，我们的一个推导啊，来，最后看这个最远距离怎么去算呀？其实你把它双分解之后，我们刚说了， 你沿斜面方向注意了啊，它做的是一个出速度不为零，出速度是 v x 的 一个匀加速直线， 那垂斜面方向我们把它看成是一个类似于树枝上抛这样的一个运动，那它抛到最高点的时候，不就有最最远距离了吗？当你的 v y 减小到零的时候，这个距离是最远的，当你的 v y 减小到零的时候，那这个距离怎么去算？是不是就可以用竖方差公式，就是负的二 a x， 或者是我们这儿用 y m 等于零减去 y y 的 平方这样的一个公式来进行计算，所以这个最远距离 y m 不 就是等于 y y 方比上一个二倍的 a 吗？符号约掉 y y 来，是不是就等于我们刚才推出来的这个 v 零 sine theta？ v 零 sine theta 括号整体的一个平方，然后再比上二倍的 a a 的 话，是不是就是它垂斜面方向这样的一个加速度，那不就是 j cosine theta 吗？所以就是再比上二 j cosine theta 就 完事了啊。 所以拿单独的拿垂直鞋面方向去看这个运动啊，一个是时间问题，一个是最远距离问题，我们都能把它搞定，但是前提你把这样的一个运动分解之后，在这个方向做的什么运动，你心里边得有数啊，在沿鞋面方向做的是什么样的运动，心里边也要有数，听懂了吗？ 所以这是我们关于啊，这个最远距离 y m 它的一个推导，和我们刚才计算出来的结果是一样的，能看懂吧。所以啊，关于我们所介绍的鞋面平抛模型，一个是它的这样的模型结论，大家最好能把它记下来。第二个，一定要明白这样的过程是怎么被推出来的啊，这个推导的过程也是非常重要的， 所以当你掌握了这样的一个事情以后啊，再看题目的话，基本上都是模型题了，比如说看下面的例题二，如图是巴山大峡谷罗盘顶滑雪项目的滑道简化视域长直驻滑道 ab， 然后与水平跳台 bc， 这个是水平跳台 bc 相连，然后着陆坡，就是下面这个斜边足够长，这不就是个斜面平抛吗？ 可是做置点的运动员啊，沿 ab 滑下到 c 点呢，就一定会获得一定的出速度，从 c 点水平方向飞出，那不就是形成了一个平抛了吗？最后落在这个斜坡上的地点， 那 e 是 其中离鞋面最远的那个点。最远距离关键词出现了不考虑空气阻力的情况下，下列说法正确的是， a 在助滑道，助滑道就是在 ab 上受重力支持力，摩擦力没有问题，这个下滑力和这个重力是不是就重复了，对吧？这个下滑力是重力的一个分力啊，所以他受重力，你就不能说他受下滑力这样一个作用， 所以 a 是 错的。二 b 这个 b 选项我们最后来看，他得分析啊。 c 选项我们来看，他说 e 点到着陆坡的距离与离开 c 点时候的速率成正比， e 点他告诉的是最远点啊，最远距离， 这个最远距离与 c 点的速率是成正比吗？来看一下最远距离，我们刚推的表达是，它是不是和 v 零 sine 它的平方成正比 啊？也就是说你如果把平方拿进去，它起码也是和这个 v 零方成正比，而不是直接与 c 点的速度成正比的，应该是速度的平方成正比，所以这个 c 选项它也是错的， 看懂了吧？那四 d 他 说在空中运动飞行的时间与离开 c 点的速率的平方成正比吗？那不是就总时间的结论吗？总时间他一定是和出速度为零，没有平方啊，与 v 零成正比就可以了。所以这个题通过排除我们也能知道二 b 它是正确的， 对吧？但问题你这个二 b 怎么分析啊？都是 c e 和 e d， 这是 c e 这段轨迹， e d 是 这段轨迹在数值方向的投影长度之比。什么意思呢？来现在看啊，这是它的轨迹，数值方向的投影，那我先把这个数值方向给它画出来， c 点相当于就是平抛的一个点，这是 d 点，这是它的一个总位移啊，数值方向的总位移，水平面的总位移。我们现在要找 e 点和 d 点，你看 c、 e 这一段，它在数值方向的投影和 d， e 这一段，它在数值方向投影，那么分别我们给它画出来，那不就是 e 点来做一个投影投到这，这不就是我们记做 h 一 吗？对不？下面的这一段呢，不就是 e、 d 他 在数值方式投影吗？我们记作是 h 二，可以吧？所以他现在问的就是 h 一 和 h 二的比值，这个比值怎么分析啊？从 c 点出来以后，我们知道他做的是平抛，那在数值方向他做的就是一个自由落体。 自由落体的话，来先分析啊， c 到 e 和 e 到 d， 他的时间关系是怎么样的？我们刚分析你一点，如果是最远距离的话，那你一点的这个时间相当于就是你总时间的一半了，对不？我们刚分析的 这个最远距离的时候，你这个时间一定是二分之一 t， 总啊，我们推出来的一个结论。所以当你的时间是总时间一半的时候，如果你上面 c 到 e 的 时间是一个 t， ok， e 到 d 的 时间不也是一个 t 吗？ 那你单独看它数值方向，自由落体的话，那你这个 h 一 发生的时间是 t， h 二发生的时间不也是 t 吗？对不？ 所以那你现在清楚了吗？自由落体相同时间内内，他的位宜之比是多少？是不是一三五七九这样的一个关系啊？用到我们必修医学的运动学重要的比例关系了，等分时间比位一，所以是一三五七啊，所以 h 一 比 h 二就是一比三， 没有问题，所以二 b 就是 正确的，听懂了吗？所以你看啊，这样的问题，他又在我们的模型基础之上，结合运动学的知识来考察大家了，所以这个模型基础一定要扎实，好吧， ok 啊，最后一道例题三，这个就给大家留作业，自己看到题的话自己来算啊，这个最后题目的 答案是 a b d 选项是正确的，你一看图一看它的问题啊，基本上就是我们刚才模型所推导的一些问题了， 所以大家自己动手把这道题目给它算出来啊，基本上你这个模型就可以掌握了。那最后这样的一个时间，来给大家推荐一下我们今年啊，刚给大家更新完的高中物理同步课必修二金奖班这样的一个课程啊。具体的课程目录大家可以看 我们刚才所给大家讲的就是第一章抛体运动里边的一节专题课，叫做是鞋面平抛模型啊， 这个鞋面平抛模型刚才四个点的结论已经具体介绍给大家了，但是往后再去学的话，我们知道这个抛体运动两个重点模型，一个是平抛，还有一个是斜抛， 斜抛呢，其中有一类题叫做是斜面斜抛，斜面斜抛也会用到我们刚才推导第四个结论，这样的一个双分解，这样的一个思路，而且是主要思路去解决类似的问题啊，这个都在我们课里边有详细的介绍，这样的最小速度关键词啊，斜面斜抛这样的一个 运动情景的一个分析，都在我们课里边具体给大家进行了一个介绍和推导。所以啊，这个课程的内容是很全面的， 不管你做什么样的题目，基本上都能够在我们这样的课程里边去找到模型以及这样的模型题。这是第一张抛体运动的，往后这个圆周大家可以看目录，都是很多这样的专题课， 你自己看课本目录的话，就那么四节课的内容，但是每一张我们都延伸出来有这样十几节课，大部分是这样的题型，方法课就是这样的专题课。 所以对于我们 b 修二整本书来说啊，它和 b 修一一样，属于是我们高中物理的基础，有很多运动模型都是在这个阶段需要我们去扎实地去掌握的， 当你掌握之后，等到啊高二的时候再学电，再学词，你会发现很多问题的分析都是和我们现在学习的经典模型的思路和分析方法都是一样的好吧，所以大家具体看啊，关于最难的一张机械能手横，我们足足抢了有十六节课，很多题型方法都有具体的介绍， 跟着我们必修一学下来，同学应该知道我们课程的性价比啊，所以一样的课程，一样的精讲，一样的必修二也推荐给大家，跟着我们一起来学， 只要你认真肯学啊，踏踏实实的跟着我们课程学下来，你的物理成绩一定也是差不了的好吧，所以有想要详细咨询和了解的同学，联系到我们的助教老师就可以了。 ok， 我 们这个视频就先说这么多。

你好，我是小娜，让我来帮你，今天电表不在，由我来为大家代课。我们要做的实验是探索平抛运动的分运动我已经介绍完毕，让我们开始吧。第一节制备发射器。 首先准备一台安装我的世界的个人计算机。在桌面上找到 pcl 启动器的快捷方式，并双击左键打开。 在弹出的窗口中使用 pcl 高阶操作。在键盘上找到写有 end 的 按键。使用右手食指对该按键施加一次压力。 注意压力应该精准短促，不要使用除手指以外的其他身体部位或物品进行按压，否则可能会误触旁边的其他按键。也不要使用过大压力，否则可能影响你的键盘的使用寿命。 观察到 p、 c、 l 窗口左半部分出现 t 字形图标往复运动的动画，说明我的世界已经开始启动了。接下来在游戏窗口中选择一个创造模式存档打开， 这里可以使用我的世界高阶操作。将鼠标光标移动到存档的图标上，看到三角形符号出现后，使用左键单机图标打开。 进入存档后，我们使用我的世界的给予指令来为自己准备发射器。在键盘上找到从左下角划到右上角的斜杠按键，使用按压回车键相同的智取方法对其施加一次压力，这样就在聊天框中输入了指令的起始密码子。 继续输入 g i、 v e 空格。接下来进入置备流程。最难的一步，在键盘上找到写有 shift 的 按键以及数字二的按键。 使用一根手指按住 shift 不要松开，然后轻触数字二键。观察到我的世界聊天框中出现了一个字母 a 及其外接圆的图标，说明输入成功。可以松开 shift 键了。接下来不要按空格键，继续输入 s， 然后再输入空格。 最后我们输入发射器的英文单词 dispenser， d， i， s， p。 输入几个字母后会观察到游戏界面中显示出了完整的 dispenser 单词，可以按下键盘上的 tab 键自动补全。 确认输入无误后，按下回车键，快捷栏中将会出现发射器的图标，说明发射器具备成功。

高一物理必修二保姆级系统课来了！本节课全程纯干，只讲考点、题型、技巧还有配套每节对应的刷题课训练，认真学完可以把必修二降到小学生都能轻松拿捏的难度。本课程全国各版本都是通用的，宝宝们可以放心学习啊！ 这节课我们来看一下感的关联速度和接触面的关联速度。那首先我们需要清楚在这里感的运动是什么，我们呢是找一根刚性感 好，也就是黑色的这根，它呢向下滑，滑到了红色的位置，在这个杆向下滑的时候，我们这个杆 a 端和 b 端的实际运动的 速度之间有什么关系？那如果是由黑色位置向下滑到红色位置的话，我们这个 a 端它是不是向下运动，所以说它的实际速度就是这里的 v a， 我 们的 b 端呢，它是向右运动，沿着下面这个面，所以说它的实际运动速度是 v b 好这里呢，他们的方向我们已经找到了，我们要找的就是这个 v 和 v b 之间的大小关系好，要想找它来关系，我们首先需要结合这个感的特点，首先我们这个感呢，它是一个刚性感， 刚性感的两端延感方向上的分数大小是相同的，也就意味着我这个感的 a 端呢，它肯定会有一个延感，这个方向上的分速度，这里我们用 v 平行来表示，表示这个速度方向是平行于杆的，那像 b 这里呢，它也有一个沿杆方向上的分速度，这里我们用 v 平行一撇来表示。那这两个速度呢，其实就是我们所说的刚性杆两端沿杆方向上的分速度，那这两个速度它的大小是相同的。 好，那现在呢，我们就找到了两组速度，一组呢就是 a 和 b， 他 们实际运动的速度也就是 v a 和 v b， 另外一组呢，就是 a 和 b， 他 们在沿杆方向上的分速度， v 平行和 v 平行一片，那这里呢，我们需要知道，我们 v a 和 v b 是 实际运动的速度，也就是和速度这里的 v 平行和 v 平行一撇，只是在沿杆方向上的分速度， 那现在呢，我们就可以把这个 v 和 v 比这两个合数的给它分解，那分解成两个速度，其中一个就是平行于杆，那另外一个呢，应该是垂直于杆，那比如说像 va， 我 们就把它分解为这里垂直于杆的微垂和平行于杆的微平行， 那对应的这个 v b， 我 们呢也把它分解为垂直于杆的微垂一撇和 这里平行于杆的微平行。好，那现在呢，我们在这里汇总了之后，就会发现，我们这个 v a 就 分解成了这两个速度，而 v b 呢，就分解成了这两个分速度。 好，现在分解完之后，我们来找他们的关系，我们最终的目的是想找到 v a 和 v b 他 俩的关系。我们现在已经知道什么了，已经知道这里的 v 平行和 v 平行一撇，他俩大小相同，所以说根据沿杆方向的分速度相等，可以得出 v 平行等于 v 平行一撇二， 那我们是不是只需要用 v 平行来表示出 v a， 用 v 平行一撇来表示出 v b， 这样就可以找到 v a 和 v b 它俩之间的关系了。好，理清这个思路之后，我们再来看一下那 v 平行，你怎么通过它来找到 v a 呢？我们就需要 来看一下， v a 是 在这， v 平行是在这，它俩呢共同出现在这个三角形。为什么这么说呢？因为我们来看一下像这个我们刚刚 在分解速度的时候做出的这个平行四边形，它有一个角是直角，就意味着它应该是个矩形，所以说这个角也是直角，那就可以得出我们 橙色硬部分，它是一个直角三角形。我们要想找 v 和 v 平行之间的关系，我们是不是可以把这个角给它标为角 c 塔标完之后，在这个直角三角形里面可以得出我们的 v 平行，再比上 va， 它就等于 sin theta， 所以 可以得出 v 平行就等于 sin theta， 再乘以 v， 也就是这个值， v 平行等于这个。好，那我们再来看一下，如果说这个蓝色的角它是角 theta 的 话，那我们来看 在橙色的这个小三角形里面，蓝色角加上面这个紫色的角一是等于九十度，对吧？角 c 塔再加上角一是等于九十度。我们再来看一下，在下面这个大的三角形里面，我们的角一再加上这个角二， 它俩是等于九十度。那我们来看一下，对于角一来说，它加角 theta 等于九十，加角二也等于九十，所以说我们可以得出一个结论，我们的角 theta 就 等于角二，所以我们可以得知这个角二呢？其实我们也可以用 theta 来给它标注它如果说等于 theta 的 话，那这个角也是等于 theta， 因为它俩呢是 对顶角，而对顶角是相等的。好，现在呢，我们就找到了这个角，它是角 theta， 那 它是角 theta 的 话，我们来看一下， 我们刚刚已经找到了 v 平行和 v 这样的关系，我们现在要找的是 v 平行一撇和 v b 的 关系，那 v 平行一撇是在这， v b 是 在这，这两个速度是都在 我们紫色的这个三角形里面。好，那再来看一下我们这个三角形它的特征，我们刚刚呢，已经找到这里，它是一个平行四边形，并且其中这个角它也是一个矩形，那所以可以得出我们的这个角它也是九十度。好， 在紫色阴影部分这个三角形里面，可以得出这个三角形它就是一个直角三角形，那这个角是 theta， 那 所以我们可以得出 v 平行一撇再比上 v b， 那 是不是就等于 cos theta 呀？所以说 v 平行一撇就等于 v b， 再乘以 cos theta。 好，现在呢，我们已经找到了 v 平行一撇和 v b 的 关系，它俩就是这个关系。好，现在我们再来看一下，我们刚刚呢是知道 这个结论，也就是 v 平行的大小是等于 v 平行一撇，那 v 平行呢？它又等于这个 v a c e c t， 所以 说我们可以在下面呢代入的时候，把它给转化为 v a c e c t， 那我们又知道 v 平行一片呢，它又等于这个，所以说这里的 v 平行一片，它就相当于是 v b 扩散，在它可以看到这个式子里面有 v 也有 v b， 我 们就已经找到了 v 和 v b 它俩之间的关系了，那也就是这个式子就是我们的结论。也就是说当 一根刚性杆它靠在墙上，另一端呢，在水平地面上，当它向下滑，当它发生运动的时候， 它的杆的两端的实际运动速度的大小关系是这样的，那如果说它的杆的一端的运动速度，我们用 va 来表示，另外一端的运动的实际速度用 v b 来表示呢？两端的实际速度大小关系就是 va c e c t 就 等于 v b cos e c t。 这里需要知道我们这个 c t 角是哪一个，那这个 c t 角就是我们的杆，它和水平地面之间的这个夹角，也就是这个角。 好，那现在呢，我们已经推导完了，这里呢，又把我们整个推导过程给宝子们简化为了三步，我们 来再给宝子们过一遍。首先对于这个刚性感，他向下滑动的时候，那刚性感两端沿杆方向上的速度大小是相等的，也就是这个微平行就等于这个微平行一撇二。好，第二步呢，就是把杆两端的实际速度 v v b 给它分解， 那这里是 v a， 这里是 v b， 我 们把这个 v a v b 呢分解成平行于杆的和垂直于杆的，也就是这里的平行于杆的和垂直于杆的。那分解完之后呢，我们已经找到了平行于杆的 v 平行是等于 v 平行一撇，所以说我们只需要 在这两个阴影部分的三角形里面来找到 v 平行， v 平行一撇和 v a v b 之间的关系，也就是这两组关系 找到之后呢，再把这两组关系带入到 v 平行，等于 v 平行一条里面，就可以得出 v 和 v b 的 关系是这样了。那最后要给宝子们强调，宝子们一定要知道我们这里的 sine 角呢，其实就是这个杆，它和水平面之间的这个夹角。 好，这个宝子们一定要注意。再来看接触面的关联速度。好，我们来看一下这里， 那这里呢，它是一根杆，它是围绕着这个支点可以转动，那比如说它可以沿顺时针的方向向下转动，比如说转动到这个位置，那当它向下转动的时候呢，它前面有个物体，它会推动这个物体向右运动， 宝子们可以自行脑补一下这个画面。我们这里要找的就是在这个杆它推着物体向右运动的过程中，那杆和这个物体是不是一直会相接触， 需要找感 a 它的速度 v a 和物体 b 它的实际运动速度 v b 两者之间的大小关系。那首先需要清楚，我们这里在探讨 a 和 b 的 关联速度的前提呢，就是感 a 他 推着物块 b 向右走，并且整个过程中我们的接触点都不脱离，也就是说 a 和 b 他 们一直都有接触，那在接触点不脱离的前提下，两接触的物体在垂直于接触面的方向的速度大小相同，那 我们的接触面呢，其实就是这个面垂直于这个接触面的方向上的速度呢？对应的就是 v b， 是 这样的，也可以发现这个速度就垂直于接触面。 那我们又发现我们这个 b 物体呢，它就在向右运动，所以说这里的 v b 刚好是它的实际运动速度好，那对于这个 a 来说，它垂直于接触面的速度是哪一个呢？是不是就是 这个速度了？我们用 v 垂来表示。好，又因为刚我们强调的这个点，在垂直于接触面的速度大小相同，我们可以得出这个 v 垂，它就等于 v b， 也就是这一步。 好，找到之后呢，我们再来看一下这个微臂呢，已经是 b 物体的实际运动速度了，我们还要找到 a 物体的实际运动速度这个杆呢，它实际上是在做绕着底下这个 o 点的顺时针的转动，所以说它的这个速度方向应该是垂直于这个杆的，应该是这里 是 va， 那 我们找到这个实际速度 va 之后，它的一个分速度是微垂，那我们是不是可以把它分解成微垂和另外一个速度， 也就说分解成垂直于接触面的微垂和平行于接触面的微平行，这里微平行好，根据平行边形定则可以得出是这样的，那这里呢就是直角。 好，再来看一下，现在已经知道了它和 v b 之间的关系，那你要想找 v a 和 v b 之间的关系，我们是不是需要找到它和 v a 之间的关系，它和 v a 呢，是都在这个三角形里面，那所以我们可以在用橙色标注的这个阴影部分三角形里面去研究 v 和 v 垂间的关系，那在研究他们关系的时候呢，刚刚在分解 v 的 时候，我们已经知道这里是一个平行四边形，又因为这里是九十度，就意味着我们这个平行四边形，它是一个矩形，既然是矩形，就意味着这个角也是九十度，所以说我们橙色的这个三角形，它是一个直角三角形， 那在这个直角三角形里面，我们要想找 v 垂和 v 的 关系，我们需要找到一个角吧，我们来找这个角，这个角假设它是阿尔法，那它是阿尔法的话，我们可以看到在橙色阴影部分这个三角形里面，我们的 v 垂，它再比上 va， 是 不是就等于我们的 sin 阿尔法？ 所以我们可以得出微垂呢？它就等于 va， 再乘以 c 二法，也就是得出这个。你得出这个之后呢，我们之前又得出了 v b 是 等于微垂的，也就意味着 v 垂，它是等于 v b， 那 就意味着这三个都相等了。我们提取出和 va、 v b 相关的这两部分，可以得出我们的 v b， 它就等于 va 再乘以 c 二法。现在 v a 和 v b 的 关系找到了，我们再来看一下这个二法到底 是哪个角好，这个是阿尔法，就可以得出这个也是阿尔法，因为他俩呢是内侧角，我们内侧角相等，那他是阿尔法。之后再来看一下，我们这个 v 呢，是和这个杆垂直的，所以说这个角它是直角， 既然是直角，我们把这个角标上角一的话，可以得出角一加上角二法是等于九十度。我们再来看一下，在下面这个蓝色的阴影部分三角形里面，这里是直角，就可以得出这里的 角一和这里的角二，他俩相加也是九十度，就是角一加角二就等于九十度，那所以可以得出角一。他既然加这个等于九十，加这个也等于九十，那就说明这两个相等，也就是角二法就等于角二，也就是说我们的这一个角二， 它的大小就等于角阿尔法，所以这个角呢，我们就可以用阿尔法来表示，那由此我们可以得出我们这个阿尔法呢，它其实就是这个杆和水平地面之间的夹角，也就是这个角了。好，那最后呢，我们再给宝子们梳理完我们解决接触面关联速度的 三个关键点。首先呢，我们需要清楚，我们两物体，他们在相互接触，接触点不脱离的情况下，两接触的物体在垂直于接触面的方向，速度大小相同。那我们就来看一下我们的这个杆 和这个物体，他们的接触面就是这个面，由于在垂直于接触面上的速度微垂和 v b， 他 直接的实际速度 v b， 它俩是不是就相等？好，得出这个之后，我们再来看一下这个杆的实际速度呢，它其实是垂直于杆的，也就是沿这个方向，这里是 我们的 v， 那 也就是我们右边这幅图里面的这个速度。好，那这个 v 呢？是这个杆的实际速度，我们可以把这个实际速度给它分解成两个，分解成垂直于接触面的方向微垂和平行于接触面的方向微平行。 那我们现在呢需要找到的是微垂和 va 的 关系，就把它俩都放在这个红色阴影部分的这个三角形里面。找到之后呢，我们再找到这个角是 r 法，就可以得出微垂，比上 va 就 等于 sin r 法，进而得出微垂就等于 va 乘以 sin r 法。 又因为我们第一步得出了 v b 等于微垂，可以得出 v b 就 等于这个，所以我们就提取出一个最终结论， v b， 它就等于 v， 再乘以 c r 法。那最后我们再来找到这个角是阿尔法，就意味着他也是阿尔法，那就意味着他也是阿尔法，所以我们可以得出阿尔法就是杆和水平地面之间的夹角。 好，那这里宝子们可以发现，在解决接触面关联速度的时候呢，我们关键就是要找到两接触的物体，他们在垂直于接触面的方向速度大小是相同的。那我们还有一个关键点，就是这里的 感 a， 他的实际速度 v， 我 们一定要给他分解分解成垂直于接触面和平形于接触面这两个方向就可以了。 好，那这里的接触面关联速度和我们的感的关联速度，宝子们一定要自己去重新推导一下这个分析步骤是怎么样的，只有这样你才能够做题的时候会分析，实际结论是没用。 这节课来看一下关联速度问题，那我们首先来看一下用绳子连接的物体的速度关系，我们有小船与绳子自由端的速度关系模型， 以及两小车通过绳子连接的速度关系模型，还有环和物体通过绳子连接的速度关系模型。然后再通过典型例题的练习，帮宝子们彻底掌握这考点。 首先需要清楚，同一根紧绷并且不可伸长的绳子上，绳两端与绳子直接连接的物体，他们沿绳方向上的速度大小是相同的。比如说像这里，他就是一根 紧绷并且不可伸长的绳子，那他两段呢，分别连了 a 物体和 b 物体，那 ab 两个物体在沿绳子的方向上的速度大小相同，也就说 a 物体这里的速度 v 一 和 b 物体沿绳子方向上的速度 v 二，那 v 一 是等于 v 二的。好，这个点呢，是我们解决绳子关联速度问题的核心， 那同样我们这里呢，他也是一根紧绷并且不可伸长的绳子，绳子两端与绳子直接相连的这个物体 a 和 b， 他 们延绳方向上的速度，这里的 v 一 和这里的 v 二，两者也是大小相同的，也就是 v 一 的大小等于 v 二。 好，那我们还要注意钢性绳和杆上的各点同一时刻具有相同的延绳或杆的分速度，那这个呢，其实也就是我们刚所强调的这个点了。好，掌握这个核心点之后，我们现在就来看第一个模型，也就是说小船与绳子自由端的速度关系。这里呢是一个小船， 我们呢是用一个绳子来绕过一个定滑轮去拉着它，这里绳子自由端的速度 v 它的大小是固定的， 我们在拉绳子的过程中是要把船给拉过来，但是这个绳子的长度是固定的。好，现在我们需要找的呢，就是绳子自由端的这个速度与小船实际的移动速度， 微船之间的关系。那这一类的题目我们的解析思路是一样的，分三个步骤。首先需要清楚，同一根紧绷且不可伸长的绳子与绳直接连接的两个物体，延绳方向上的分数大小是相同的，也就说我们找到这个绳子，绳子是这样的， 所以说我的绳子自由端的速度 v 和这里小船沿绳方向的速度，我们用 v 平行来表示，表示平行于绳， 这两个速度大小是相同的，因此我们得出一个结论就是微拉等于微平行。好，我们的第二步呢，就是来看一下，我们要找的是绳子自由端的速度和小船的实际运动速度这样的关系，所以说我们现在找到绳子自由端了，那你就需要再找一下小船 它实际运动的速度，也就是这里的微船或者说微五。好，那小船呢，它是向 左径运动，所以说他的实际运动的速度呢，应该是沿这个方向去走的，那我们需要把它分解一下，可以把它分解成平行于绳的这个方向，也就是说我们刚刚所找的这个微平行以及垂直于绳的这个方向，也就是这里的微垂，分解到这两个方向上之后呢，我们就可以， 那分解完之后呢，我们就可以来到第三步。好，我们可以把这个平行四边形给它分成两个三角形，来找一下上面这个阴影部分的这个三角形，那这里呢？它是一个直角三角形，这里是一个 直角，在这个三角形里面，我们是不是看到了这里是 v 平行，这里是 v 五，我们要找 v 平行和 v 五的关系，那我们就可以标出这个角是 sine 角，那所以是可以得出 在这个三角形里面，我们的 v 平行，它在比上 v 物是不是就等于 cosine theta， 所以 说 v 平行呢，就等于 v 物再乘以 cosine theta。 好， 那我们又知道 v 平行呢，它又等于微拉，也就是说绳子自由端的 拉力对应的速度，所以可以得出 v 拉就等于这串，也就是我们的这个结论。 那再来看一下我们最终呢想找的是 v 和 v 五之间的关系，那所以我们是可以得出 v 五，它就应该等于 v， 在 比上这个 cosine theta， 也就是 等于 v 比上 cosine theta 好。 现在呢，我们已经找到了小船真实的移动速度与绳子自由端移动速度之间的关系。好，那找到之后呢，我们要想知道我们在用绳子去拉的这个过程中， 小船的速度大小是怎么变的，那我们还需要找到这个 theta 角它的大小变化，因为这里 微绳它是一个固定的值，大小是不变的，所以要想找到微雾的大小变化，我们关键是看这个 theta 怎么变好。来看一下，我们已经知道这个 theta 角呢，其实就是绳子与 我们这个船它移动方向两者之间的夹角。那来看一下船的移动方向呢，始终是沿这个水平方向的，那当我们向左去拉绳子的时候，这个绳子它总长是固定的，所以说你越往左边去拉，是不是就会导致 我这个船越来越向左边去行驶？那就意味着我绳子 他就会从这样再到这样再到这样，我们是可以看到这个绳子呢，他从 连接船的地方再到定滑轮之间的这一部分是越来越短了。那既然我们来看一下这里 c 叉角呢，他从这个角变成这个角，变成这个角可以看到 c 叉角一直在增大， 所以说我们可以得出绳子的总长是不变的。拉绳的时候，这个 c 太角逐渐增大，我们又知道这个 c 太角呢，它的变化是在零到九十度范围之内。在零到九十度范围之内呢， c 太角它越大，我们的 cosine theta 它就会越小。好，那来看一下， 我们又知道这个 v 物呢，是等于 v 再比上 cosine theta， 那 v 呢，指的是绳子最后端的速度，它大小是固定不变的，它不变，但是随着你越来越拉这个绳子，我们的 四带角会增大， cosine 角会减小，那就会导致整个式子的值会变大，就说 v 五会变大。所以在我们用绳子去拉小船的过程中，小船它运动的实际速度微船会越来越大。 好，那关于小船与绳子自由端速度关系的模型呢？我们再来给宝宝们理一下思路。首先你需要清楚，同一根绳子，如果绳子是紧绷的，那绳子两端的这个速度大小是相等的。这里我们根据第一步来推导出绳子自由端的速度就等于 小船它在这个方向上的速度。那第二步呢，就是我们需要把这个小船的实际速度给它分解成平行于绳子以及垂直于绳子这两个方向。那第三步呢，就是在这个三角形里面来找到 小船实际的运动速度与这个 v 平行之间的关系，那这样就可以找到小船实际的运动速度与 v 之间的关系了。好，我们再来看一下第二个模型，那 我们要找的这三个模型，他的本质的核心速度都是一样的，都是同样的三个步骤。好，那这里呢，两个小车 a 和 b， 他 俩呢，是通过 一根绳子把这个绳子绕在定滑轮上一下，然后来进行连接。那所以要想找他俩之间的速度大小关系，我们关键要从连接他俩的这个绳子去入手。 好，那我们的第一步呢，还是来找绳子同一根紧绷且不可伸长的绳子上，绳两端与绳子直接连接的物体，沿绳子方向上的分数大小是相同的，就说我们来看一下这里，它是一根绳子， 那这个绳子呢，他是紧绷且不可伸长的，所以说他连接的 ab 两个物体在沿绳方向上的速度大小应该是相同，也就是这里的 b 他 沿绳子方向上的一个分速度微平行，这里的平行呢，就表示平行于绳子，那是不是和这里 a 他 沿绳子方向上的一个分速度 v 平行一撇，他俩大小应该是相同的。那宝子们我们在这里看的时候呢，不要根据我所画的这个力的大小的长短 来判断哪个力谁大谁小，我们就根据所推导出来的结论得知这里的 v 平行和这里的 v 平行一撇，那他俩经过推导可以得知大小是相同的。好，那得出这个之后呢，我们再来看一下， 找到绳子之后，我们的第二步呢，就是看这两个小车了，我们要找两个小车的实际速度，那小车 b 它的实际速度呢？应该是这里的 v b 小 车 a， 它的实际速度是这里的 va， 那 要想找这两个实际速度之间的关系，我们需要把这两个实际速度分解一下。我们在关联速度里面关于绳子的问题，分解的时候，我们都是沿垂直于绳子和平行于绳子的方向去分解 实际速度，所以说对于这个 v b 来说呢，我们就沿垂直于绳子方向以及沿绳的方向进行分解，那延伸呢，就是微平行了，我们刚所找的那垂直方向呢，就是这里微垂 好，同样对于 a， 我 们也是沿垂直于绳子的方向微垂一撇，以及沿绳子的方向微平行一撇来给它分解 好，那 v b 就 可以分解成这两个速度， v a 呢？又可以分解成这两个速度，那我们现在呢，就需要找到实际运动速度， 也就是 v a 和 v b 它们与延绳方向上的速度之间的关系。那为什么要找这两者间的关系呢？因为现在我们所表示出来的就只有实际的速度以及延绳方向的速度。那所以在对于这个 b 小 车来说， 我们需要找的是这个速度和这个速度之间的关系，那所以说要把它俩放在一个直角三角形里，就是上面的阴影部分的三角形。对于这个 a 来说呢，我们需要找的是这个 va 与 v 平行一撇的关系，所以说我们就把它俩放在一个三角形里，也就是下面这个阴影部分的直角三角形。 好，那在这个阴影部分三角形里面，我们把这个角标为角阿尔法，我们可以看到 v 平行再比上 v b， 它其实就等于 cosine 阿尔法， 所以我们可以得出 v 平行，它就等于 v b 再乘以 cosine 而法。好。现在再来看一下，对于 a 来说，在下面这个阴影部分三角形里面，那我们找到这个角是 beta 的 话，那这个角也是 beta， 所以 我们可以得出 v 平行一撇，再比上 va， 是 不是就等于 cosine 贝塔，那就可以得出我们的 v 平行一撇，它就等于 va 再乘以 cosine 贝塔。好，现在呢，我们已经表示出了 v 平行和 v 平行一撇，那刚刚呢，我们又得知这里的 v 平行和 v 平行一撇，他们是同一根绳子上两段的速度，所以说它俩大小是相同的，那这个相同就意味着 这个和这个也应该相同，所以说我们就可以得出 v b cosine 贝塔， 也就是我们的这个结论。好，那这个模型的本质呢，其实也很简单，我们还是分三步，第一步，根据这个绳子来找到大小相同的两个速度，也就是说这里的微平行和微平行一撇，那第二步呢，就是来找 我们小车的实际速度 v b 和 v a 了，然后再把这两个速度分解成平行于绳子和垂直于绳子两个分速度。那第三步呢，就是找到小车的实际速度和沿绳方向上速度间的关系 来给他带入，那带完之后呢，再结合 v 平行等于 v 平行一撇，我们就可以得出 v a 和 v b 之间的关系了，也就是我们想要的结论。好，那这个模型呢，宝子们也是要自己再去推导一遍。我们再来看一下第三个必考模型，关于环 a 和物体 b 的 速度关系，那这里呢，我们是 有一个环，它套在一个杆上，那环呢，它是通过一根绳子和物体 b 相连，这个物体 b 呢，它会有一个向下的速度 v b， 我 们要找的是 v b 和环的实际运动速度 va， 他俩间的关系。好，我们还是同样的三个分析步骤。那第一步呢，就是来找绳子，同一根绳子他是紧绷的并且不可伸长，那对应的绳子两端 与绳子直接连接的物体延绳方向上的分数大小是相同的，那我们现在就来找绳子，是在这，这个绳子是紧绷并且不可伸长的，所以说绳子的两端就是这一端和这一端，他们 所对应的与绳子直接相连的物体在沿绳方向上的分数大小相同，那就是这里 b 呢，它沿绳方向上的这个 v b 与 a 这里沿绳方向上的这个 v 平行，这里的 v 平行呢，就是平行于绳，它俩大小是相同的，也就是我们得出了 v 平行就等于 v b， 好， 找到这个之后呢，第二步就是我们要找到环它的实际速度了。好，那它的实际速度呢？应该是沿它向上的这个 方向，因为他在沿着这个杆向上移动，这里是 v 好， 找到实际速度之后呢，我们就把这个实际速度给它分解成 平行于绳子，也就是这里的 v 平行和垂直于绳子，也就是这里的微垂分解成这两个分量。那分解完之后呢，我们的第三步其实就是要找 v a 这个实际速度， 要找它和 v b 的 关系。那我们又知道 v b 呢，它和 v b 这样的大小是相同的，所以说我们要找 a 的 实际运动速度和 v b 这样的关系，其实就是找 a 的 实际运动的速度和 v 平行这样的关系。那 v 平行呢？是在这里， v a 是 在这里，要想找它俩的关系，我们需要把它们放在这个阴影部分的三角形里面。好，我们把它俩间的夹角标为 c 塔，那可以得出，在这个直角三角形里面，我们的 v 平行再比上 va， 是 不是就等于 cos theta， 所以 可以得出 v 平行是等于 va， 再乘以 cos theta。 我 们又知道这个 v 平行呢，它是等于 v b 的， 所以说我们就可以得出它又等于 v b， 所以 我们就得出了一个结论，就是 va 再乘以 cos theta， 就 刚好等于 v b。 好，那宝宝们可以发现这个推导过程呢，也很简单，总之，关于有绳连接的物体的关联速度的问题，我们要 掌握三个固定的步骤。那首先呢，我们一定要找到连接两个物体的这个绳子，只要这个绳子是同一根紧绷并且不可伸长的那绳，两段与绳直接连接的物体，他们沿绳方向上的分数大小是相同的，这里是我们 必须要分析的第一步。那第二步呢，就是我们要找到物体运动的实际速度，并且把这个实际速度呢，沿平行于绳子和垂直于绳子的方向去分解，一定是找平行和垂直这两个方向。那第三步呢，就是找物体实际运动的速度和绳子上的这个速度，两者间的关系就可以了。 好，那宝子们呢，听完课之后，要把这三个模型自己再去推导一遍，然后我们现在来看题，你看题的话呢，一定是自己先把题做一遍，然后再听讲解， 这样才能知道你哪一步的思维没跟上。好，现在我们来看一下，如图所示，物块 a 它放在水平的地面上，比如说它放在这里，通过跨过定滑轮的这个轻绳与物块 b 相连，就是通过这个绳子与下面的 b 相连。那 图示时刻，轻绳与水平方向是呈 c 塔，角就是这个角是 c 塔，那 b 向下的速度是 v， 那 a 的 速度大小是多少？要找的是 a 的 速度大小。那现在呢，我们已经知道了 b 的 速度， b 和 a 呢，又通过绳子相连，那我们可以 找到 a 和 b 的 速度关系，进而表示出 a 的 速度是多少。好，那现在呢，对于这个绳子相关的关联速度，我们的第一步呢，永远是来找绳子 好，绳子呢是在这个红色的位置，那由于这个绳子呢，它是紧绷并且不可伸长的，所以绳子 两端连接的这个物体延绳方向上的速度，也就说这里的 v 平行于绳以及这里的 v b， 它俩大小是相同的，那我们就可以得出 v 平行是等于 v b。 好， 我们的第二步呢，就是 找到物体它运动的实际速度，并且沿平行于绳和垂直于绳的方向分解，那我们需要找到的呢是 a 的 速度，所以来看一下 a 它是不是往右进行运动，所以说它实际的运动方向应该是沿这个方向， 这里是 v a， 它的实际运动方向，那我们现在去分解它，在分解的时候呢，我们是需要沿 平行于绳的方向，就是这条和垂直于绳的方向，也就是这条去分解好，分解完之后，这里是微垂，那这里是微平行。好，第三步呢，我们要找到物体实际运动的速度 va， 它和 v b 间的关系，那我们又知道 v b 呢，它是和 v 平行 相等，所以说我们这里其实就是要找 v a 和 v 平行之间的关系，那 v a 在 这， v 平行在这，要想找他俩的关系，我们需要把它放在这个阴影部分的三角形里面，那这个三角形呢，我们可以 找这两个速度真的加角是 c t， 所以 说在这个直角三角形里面，因为这里是垂直的关系嘛，所以说它是一个直角三角形，所以 我们可以得知这里的 v 平行，再比上 va， 它就等于 cosine theta， 所以 可以得出 v 平行就等于 va， 再乘以 cosine theta， 我 们又知道 v 平行呢，又等于 v b， 所以 就相当于这里又等于 v b， 所以 我们就找到了这样一个 a 和 b 速度的关系，就是 v a， cosine theta 等于 v b， 所以 可以得出 v a 就 等于 v b， 在 比上 cosine theta， 那 也就是我们的 d 选项 好做。关联速度这类题呢，我们的思路很简单，只要你把这三个步骤给掌握，那基本上你都 不会有什么问题。那我们再来看一下这个典型题。好，这里呢， ab 两个物体是通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上。现在物体 a 呢，以 v 一 的速度向右匀速行驶。好，这里是 v 一， 当绳被拉成，与水平面分别成这里的阿尔法角和这里的贝塔角，如同所示，那物体 b 的 运动速度是多少？我们绳子始终是有拉力的。好，现在这里呢，我们是已经知道了 a 的 速度 v 一， 我们要找的是 b 的 速度 v b， 要想找 v b， 我 们只需要找到 b 的 速度和 a 的 速度这样的关系就可以了。好，那这里呢，我们再来推导一遍。好，我们的第一步呢，还是先找到 a b 相连的这个绳。 绳子是在这里，那又知道同一根紧绷并且不可伸长的绳子，我们连接的这两个物体，那这两个物体呢，在沿绳方向上的速度大小是相同的。就说这里，我们有一个 v 平行于绳，那这里呢，我们有一个沿绳方向向下的这个 v 平行于绳一撇，我们可以得到 v 平行是等于 v 平行一撇，它的大小是相同的。好，找到绳子之后呢，第二步就是找到物体运动的实际的速度，这里 b 呢是向右运动，所以说他的实际速度， 那这里 b 的 实际速度应该是这里的 v b a 的 实际速度呢，就是 v e， 那 为了等会儿和 v 平行一撇进行计算，我们可以把这个 v e 呢它的这个作用点移移到这个位置，也就是这里是 v e， 我 们再把 v b 和 v e 来进行分解，那分解的时候呢，我们要沿垂直于绳和平行于绳的方向分解好，对于 v b 来说，那平行于绳我们已经分解过了，我们再来看它垂直于绳的方向是有这样一个速度，那所以我们可以找到 v 垂和 v 平行。好，那对于 v 一 来，那平行于绳的方向已经有了，我们再来分解一个垂直于绳的方向，好，再根据平行四边形定，可以找到他们三者间的关系。好，那接下来第三步呢，我们要找的就是 v 一 和 v b 的 关系， v b 是 在这儿， v e 是 在这儿，那他俩呢？又通过绳子相连，与绳子相关的是这个 v 平行和 v 平行一撇，所以说我们要找到 v b 和 v 平行的关系，就要把它放在这个三角形里面，我们要找到 v e 和 v 平行一撇的关系，就要把它放在这个三角形里面，那在 这个阴影部分的三角形里面，它是一个直角三角形，这个角是贝塔，所以我们可以得出 v 平行再比上 v b 应该是等于 cosine 贝塔，所以 v 平行是等于 v b 再乘以 cosine 贝塔。 好，那再来看一下，在这里面，我们还是找到另外一个阴影部分，三角形，那它呢，也是个直角三角形，这个角是阿尔法，所以我们可以得出 这里的 v 平行一撇。在比上 v 一 是等于 cosine r 法，所以可以得出 v 平行一撇是等于 v 一 乘以 cosine r 法。好，现在呢，我们是得出了这个结论和这个结论，那里面呢，有 v 平行和 v 平行一撇，那刚开始我们又知道 v 平行大小等于 v 平行一撇，所以我们就得出了这个式子，也就是这一部分。等于这一部分，那就是 v b cosine beta 就等于 v e cosine alpha。 好， 我们现在呢，已经知道了 v e 我 们要找的是 v b 自己，所以可以得出 v b 就 等于 v e cosine alpha， 再比上 cosine beta， 也就是这里的 d 选项好，那关于用绳子相连的关联式的问题呢？我们已经很清楚这三个模型是怎么分析以及怎么用到题里面的了，那宝子们呢，还是要把我们的这三个步骤给它 这节课来看一下平抛运动的规律。那我们需要掌握五个点，首先是平抛运动的条件，那接着是平抛运动的速度特点，以及他的速度变化量的特点， 还有平抛运动的位与轨迹，以及平抛运动的思考与易错，再配合一些随堂练习， 帮宝子们彻底掌握好。先来看一下平抛运动的条件，那首先我们在受力的方面呢，要知道平抛运动他只受重力的作用，我们是忽略阻力作用的好。分析完受的力之后，我们再来看一下 物体他在水平和数值两个方向上的速度，那在水平方向上，我们是有一个初速度为零，但是我们知道物体呢，他只受数值方向上的力，就意味着他在水平方向上不受力，那既然没有力的作用，就意味着在水平方向上我们是没有加速度的，也就说水平方向我们做的是匀速直线运动。 好，再来看一下数值方向，那由于物体做平抛运动的话呢，我们的出速度是沿水平方向上的，那就意味着我们在数值方向上是没有出速度。 虽然没有出速度，但是我在数值方向上受到力的作用，所以说在数值方向上呢，我会有一个加速度，因此在数值方向我们做的是 初速度 v 零等于零，并且有加速度，加速度 a 刚好等于小计，以及忽略阻力作用，那满足这个条件的其实就是自由落体，所以说数值方向上我们做的是自由落体运动。 好，分析完水平和数值以及受力特点之后，我们就可以得到平抛运动它的特点了，就是物体只受重力作用，所以说加速的恒定并且是小计，那小计的方向呢？是垂直向下，那物体呢？ 做的这个平抛运动是由水平和数值方向上的这两个分运动，那水平方向是匀速直线运动，数值方向上是自由落体运动，那他的和运动呢？应该是一个匀变速曲线运动。 那我们还要知道，我们的这两个分运动之间是相互独立的，并且有等时性， 所花费的时间相同。好，这两个分运动，他们的核运动就是我们平抛运动的轨迹，我们的平抛运动呢，是一个匀变速曲线运动。再来看平抛运动的速度特点。 好，那我们已知在水平方向上，物体做的是匀速直线运动，所以说水平方向上的速度呢，就始终等于它的初速度为零，那在数值方向上的速度为 y， 就 等于 g t。 好， 再来看一下核速度， 比如说我们来看一下这里的这个 a 点，在 a 点呢，我是有一个水平方向上的速度 v x， 还有一个数值方向上的速度 v y， 那 对应的我的和速度就应该是它俩用平行四边形定则所得出的这个 平行四边形的斜边，这个呢就是我们的和速度 v， 那 v 呢，它其实就等于根号下 v x 方，再加上 v y 方。好，这里和速度的大小我们是找到了，那和速度的方向呢？好，那要想找它的方向呢，我们可以结合这里的 c 大 角， 我们把我们的和速度它与水平方向之间的这个夹角成为 c 大 角。好， 那在这个三角形里面，它是一个直角三角形，这一条边呢就是 v x， 这条边就是我们的 v y， 我 们可以得出 tanne 的 theta， 它其实就等于 v y， 再比上 v x， 我 们的 v y 是 多少？那数值方向上的速度 v y， 它就等于 g t， 那 v x 呢，就是水平方向上的速度，它始终等于 g t， 再比上 v 零。 好，用这个式子呢，就可以表示我们的和速度的方向了。但是宝子们一定要清楚，我们这个 theta 角它指的是什么？是微小于水平方向上的夹角，那这里有一个易错点，就是我们来看一下这个角二法， a 点的速度方向是 沿这个方向，我们在描述这个速度的时候呢，就找到这个 theta 角，我们用 tanne 的 theta 来描述 a 点的速度方向，但这里 我们上面呢还有一个阿尔法角，这个阿尔法角指的是什么呢？我们来看一下物体从 o 运动到 a 点，那我们的位移呢，就是从初位置指向末位置的有限线段，也就是这一条。所以说这里的角阿尔法， 它是我们的位移的方向，而不是速度的方向。一定要注意，对于同一个点来说，比如说对于 a 点来说，它的位移方向是用这个 c 态角来表示，两者方向是 不一致的，分别是蓝色这条表示位方向，以及红色这条表示速度方向，可以看到他俩不在同一条直线上，这一点宝子们需要注意 好。再来看一下平抛运动里面的速度变化量的问题，那我们已经知道，物体如果做平抛运动的话，它的水平方向上 是匀速直线，所以说水平方向上的速度呢，一直是为零，所以说水平方向上我们是没有速度变化的，那因此物体他的速度变化量其实就是指我在数值方向上的速度变化量，也就是这个结论。 好，这里做平抛运动的物体呢，它先后经过 a、 b、 c 这三个点，通过 a b 和通过 b c 所用的时间是相等的，如图所示，物体呢，从 a 到 b， 速度变化量是导数 v 一， 从 b 到 c， 速度变化量为导数 v 二。 好，那我们可以把物体在 a 点，在 b 点，在 c 点的速度，把这三个速度呢放在同一个起点去比较。那首先物体它在下落的过程中，它的速度是不会逐渐增大，所以很明显应该是 v 三更长， v 一 最短。好，那我们再找 从 v 一 到 v 二的速度变化量的时候，由于速度是矢量，我们只能用矢量的加减方法，那我们从 v 一 的末端来指向 v 二的末端，这个 速度，它就是我们从 v 一 到 v 二对应的速度变化量，也就是 delta v 一。 好，那同样的，我们从 v 二的末端再指向 v 三的末端。哎，这个紫色的部分，它就是从 v 二到 v 三的速度变化量，也就是 delta v 二。 好，那物体从 a 到 b， 再从 b 到 c 所花费的时间是相同的，所以说这两个速度变化量，它们对应的时间 delta t 都是相同的。那我们再根据 我们刚所得出来的结论，平抛运动的速度变化量只存在于数值方向，所以说我们就来看一下数值方向的速度怎么变化。那数值方向呢？就是自由落体，自由落体 v 是 等于 g t， 那 对应的 dart v 就 等于 g， 再乘以 dart t。 好， 我们 小 g 是 个长量，它是固定的，再结合这里，物体它是经过了相同的时间间隔，当 dart t 也相等的。也就是说任意两个相等的时间间隔内 做平抛运动的物体，它的速度变化量是相同的，我们的 dart v 就 等于 dart v y， 也就等于数值方向上的速度变化量，那就等于记在乘以 dart 的 题。 还要注意我们这个速度的变化量，它的方向是数值向下的。好，再来看一下这一部分对应的易错点，做平抛运动的物体，它的速度、加速度都随时间增大。好，这个说法呢，我们来看一下，那做平抛运动的物体， 它的运动可以分解为水平和数值两个方向上，水平方向上我们做的是匀速直线运动，速度始终是为零。在数值方向上呢，我们做的是自由落体，也就是说我的速度会增加，我们的 dart v 就 等于积在乘以 dart t， 所以随着时间的这个增加，我们的速度是会增大的，但是加速度可不会增大，因为做平抛运动的物体呢，它就只受到重力作用，所以说我们的加速度呢， a 就 一直等于重力加速度小计是固定不变的，所以加速度增大是有问题的，那这句话 是错误的。我们再来看一下平抛运动的速度方向，沿轨迹的切线方向，速度大小方向都不断变化。 好，那通过第一小问呢，其实我们已经清楚，平抛运动的物体，我们速度的大小是一直在改变的，那他的方向呢？ 我们来看一下物体，他的运动轨迹是这样的，那在轨迹上的每一个点的速度方向都是沿该点的切线方向，那这里切线方向呢，是一直在发生变化，所以说速度方向也就一直在发生变化了。所以说 第二句话这个说法是没问题的。再来看一下做平抛运动的物体，它的速度方向与水平方向上的夹角越来越大，如果说足够高，速度方向最终可能数值向下。 好，那这里我们的速度方向它与水平方向上的夹角我们来看一下，比如说在这个 a 点的时候，它与水平方向的夹角是这个角，那在这里 b 点的时候，与水平方向的夹角是这个角。可以看到物体越往下落，我们这个夹角确实是越来越大了，前半部分是没问题的。 我们再来看一下，如果说足够高的话，速度方向最终可能竖直向下吗？那我们不要忘了平抛运动，我们所说的这个物体，它实际的运动速度就是我们的核速度，这个核速度呢，它是由两个分速度组成，一个是水平方向上的微水，一个是数值方向上的微垂。 好，只要你在水平方向上有速度，那就意味着我们的核速度的方向一定是倾斜的，它不可能纯沿数值方向，所以说 即使足够高，我们的速度方向也不可能数值向下，因为我们在水平方向上的这个出速度是一直存在的， 并且它的大小一致不变。将一物体以九点八米每秒的出速度水平抛出，经过一段时间之后呢，物体的末速度是出速度的根号三倍，不计空气阻力。那这段时间是多久？好，那我们来看一下物体，他既然以一个出速度水平抛出，那他其实做的是 自由落体运动，因为此时呢物体它就只受重力作用，并且我们是不计空气阻力的。好，那物体在水平方向上的速度是 v 零，那水平方向上呢，是匀速直线运动，所以说水平方向的速度一直都是 v 零，是没变的。再来看一下数值方向上，物体呢，它在数值方向上做的是自由落体， 所以说我们的末速度 v y 就 等于积，再乘以 t。 好， 那假设物体运动的时长为 t 秒，那 t 秒之后，物体它在数值方向上的速度就是 g t 了。 那我们所说的物体，它经过一段时间之后的末速度，其实就是它的和速度呢？我们根据平行四边形定则可以得出，这个是我们的 微和，它是变成了初速度的根号三倍，那也就是说我们的微和， 它就等于根号三倍的 v 零。好，那现在我们再来看一下，在这个直角三角形里面，这条边是 v 零，这条边是 v y， 那 这条斜边是 v 和。现在 v 零和 v 和我们都知道了，我们来看一下 v y， 它其实就是根号下 v 和的平方，再减去 v 零的平方，那我们的 微和呢？又等于根号三倍的微零，那就相当于它的平方。再减去微零的平方，那就等于根号下三微零方。再减去微零方，那就等于根号下二倍的微零方，那其实就等于根号下二倍的微零。 所以现在我们就得出了一个结论，就是 v y， 它就等于根号二倍的 v 零，那这个呢，就是经过 t 秒之后，我们在数值方向上的速度。好在数值方向上 t 秒之后的速度呢，我们还可以用另外一个式子来表示，就是 v y 等于 g t， 所以 我们就得出了这个 v y， 它是等于这块等于根号二倍的 v 零，它又等于 g t， 那 所以我们可以得出这个时间 t 就是 根号二倍的 v 零，再比上 g， 题中告诉我们 v 零呢是 九点八，妙妙妙再除以小 g， 小 g 呢？这里告诉我们取九点八，所以得出时间刚好是等于根号二秒，所以这里 我们所花费的时间段应该就是根号二秒，也就是 b 选项。那这道题呢，它本质上也很简单，我们关键是需要知道平抛运动，它在水平方向是匀速直线运动，在数值方向上呢，是自由落体运动，所以说经过 t 秒之后，它在数值方向上的速度就是 v y 等于 g t 了。 那还要知道，我们所说的物体最后的末速度，其实就是物体它的这个和速度好。再来看一下， t 等于零的时候， 我们把一个小球从空中水平抛出，不计空气阻力，那这样的话呢，就相当于物体他有一个水平方向上的出速度，并且不计空气阻力的话，那物体就只受重力作用，所以说物体他做的是平抛运动好。小球在空中的速度大小 v 与时间 t 的 关系正确的是哪一个？那这里呢，是 v 和 t 的 关系图，以及微方和 t 方的关系图。我们现在来找一下速度和时间之间的关系好。物体既然做平抛运动，那它在水平方向上是有一个出速度为零，并且它在水平方向上是匀速直线运动，速度一直是为零。 在数值方向上呢，它的出速度为零，但是它有加速度小记，所以说数值方向上做自由落体，我们数值方向上 它的速度 v 就 等于积，再乘以 t。 好。 那由此可以得出，物体它做平抛运动，它的核速度是怎么样的？那核速度呢？应该是这样的。好，我们来看一下，在这个直角三角形里面， 哎，这条边呢，它是 v 零，那我们的这条边是 v y， 也就是 g t， 所以 可以得出我们的斜边，也就是 v 和是等于多少呢？ 我们可以得出，斜边的平方就等于两条直角边的平方之和，也就是 v 和的平方，它就等于 v 零方，再加上 g t 的 平方。 好，这里题中所示的小球在空中的速度大小，那其实就是小球的和速度，就是我们说的这个 v 和了。所以既然题中用 v 来表示，那我们在式子里面也用 v 来表示就可以了，那就是 v 方，它就等于 v 零方，再加上 g t 两者乘积的平方。那我们再来进一步运算，可以得出，微方，它就等于微零方，再加上积方，乘以梯方。好，那这个式子里面呢，它是有我们的 微方，还有梯方，那我们是不是可以找到微方和梯方之间的关系？好，这里小 g 是 个常量，梯方的前面呢，有小 g 的 平方，我们可以把这个 常量看成是 k， 也就是微方，它就等于 k 乘以 t 的 平方，再加上微零方。好。由于我们是以一定的初速度去抛出，所以说微零方它也是一个常量，所以说我们可以把这个常量用 b 来表示，所以我们就得出了 v 方，就等于 k 乘以梯方，再加上 b。 那 这个式子是不是就很像我们的 y 等于 k， x 再加上 b。 只不过现在呢，我们的 y 对 应的是 v 方，我们的 x 对 应的是梯方，所以说要想找 v 方和梯方的关系， 那 v 方和 t 方的关系，其实就是这里的 y 和 k 的 关系。我们的 y 等于 k， x 加 b， 它是一条倾斜的直线，并且不过原点，那符合条件的就只有这个 d 选项了。好，这个点它的值就是 b， 我 们这一条直线，它的斜率就是我们的 k 好。 在结合这个式子可以发现，我们的 b 呢，其实就是 v 零方，所以说这个点呢，其实就是 v 零方。这个 倾斜直线，他的斜率呢是 k， 对 应的就是 g 的 平方，所以说他的斜率就是 g 方好。再来看一下第四个必考点，平抛运动，他的位移与轨迹 好，已知在水平方向上呢，我们做的是匀速直线运动，所以说水平方向上的位移呢，应该是 v 零，再乘以 t， 那 数值方向上，我们做的是自由落体，所以说在数值方向上的位移 y 就 等于二分之一倍的 g t 方 好。找到水平方向上的位移和数值方向的位移之后呢，我们的这个和位移，根据平四边形定则可以得出，我们的和位移 l， 它就应该等于根号下 这条边的，再加上这条边的平方，也就是等于我们的 v 零 t 的 平方，然后再加上这个二分之一 g t 方的平方好，也就是我们的这个式子 好。对于这个和位仪呢，我们知道位仪它是矢量，它有大小还有方向，找到大小之后呢，我们需要找到它的方向，那要想找方向呢，其实很简单，我们只需要看一下我们这个和位仪， 它水平方向的加角阿尔法，来找到这个 tanne 阿尔法的值就可以了。好， tanne 阿尔法呢，在这个三角形里面就是这条边，再比上这条边，也就是说我们的 tanne 阿尔法，它就等于 y 再比成 x， 也就是这里的 二分之一 g t 方，再比上这里的 v 零 t 好， 这里剩下都有 t， 我 们可以约掉一个 t， 那 约完之后可以发现，应该是等于 二倍的 v 零分之 g t， 也就是这个式子。好，一定要注意这个阿尔法就是我们的和位移，它与水平方向的夹角。 好，那关于平抛运动的轨迹方程呢？我们稍后会给宝宝们单独详细讲解。我们再来看一下本节课的第五部分，平抛运动的思考与易错。那来看一下做平抛运动的物体在空中运动的时间由什么决定的。 好，我们知道平抛运动呢，我们可以给它分解为两个分运动，一个是水平方向上的运动，另一个是数值方向上的，水平方向上是匀速直线，那数值方向上是自由落体。我们来看一下数值方向上我的位移 y 应该是等于 二分之一 g t 方，那由此我们可以得出， t 应该是等于根号下 g 分 之二 y 好，这个小计呢，是个常量，是固定的，所以说影响 t 的 因素就只有 y 这一个，所以在空中运动的时间就只与下落的高度有关。 宝子们就可以发现，我们在空中运动了多久，它是和物体的出速度 v 零是无关的，这一点是一错的。好，再来看一下做平抛运动的物体水平位移的大小由什么来决定？那这里呢，是水平位移 x， 它是等于 v 零 t， 我们刚刚又知道 t 呢是这个式子，所以说我们代入就可以得出 x 应该等于 v 零，在乘以根号下记分之二 y， 那 可以看到影响水平位的因素两个，一个是出速度，另一个呢就是我们的 下落高度，所以水平位的大小是由初速度 v 零和下落高度外共同决定的。那再来看一下，做平抛运动的物体落地时的速度大小是由什么决定？那落地的速度呢？其实就是我们的核速度了。好，核速度 v 就 等于根号下我们的 v 零方，再加上在数值方向上的速度，也就是 v y 方，那我们进一步给他计算，就等于根号下 v 零方，再加上那 v y， 它是自由落体的速度应该是等于 g t 的。 好，知道 y 等于 g t 之后呢，我们又知道 t 是 等于这块，所以说我们的 y， 它就等于 g t 又等于 g， 在 乘以根号下 g 分 之二 y， 所以 我们这个式子， v 零方再加上 v y 方，其实就是加上它的平方，那就是相当于再加上 g， 乘以根号下 g 分 之二 y 的 平方。好，现在我们来算一下。好，这里根号下 v 零方是固定不变的，它再加上这个的平方。好， 这一块的平方其实就是 g 的 平方，再乘以它的平方，那我们来看一下 g 的 平方呢？是这样的，然后再乘以它的平方，它的平方就是 g 分 之二 y。 好， 我们来看一下， 那这个 g 呢，可以和这个平方里面的 g 给它约掉一个，可以得出，我们这里应该是等于根号下 v 零方，再加上二倍的 g y， 所以 可以得出落地时的这个速度 v 就 等于根号下 v 方，再加上二 g y 之和。那来看一下，那 我们可以得出影响落地速度的因素有什么呢？是有这个 v 零，还有这个 y， 也就是说落地速度是由出速度 v 零和下落的高度 y 共同决定。那我们对比一下二三，可以得出我们的出速度 v 零和下落的高度，它俩共同可以决定水平的为一 x， 它的大小还可以决定我们落地时的速度大小为和。来看一下这个说法，平抛运动和为一的方向与和速度的方向一致。 好，这个是错误的，那我们之前就给宝子们强调过，比如说物体他在 a 点的话，那他的核速度方向是沿这个方向， 也就是这里，我们的这个核速度与水平方向的夹角是 c 塔。但是呢，我们从 o 再到 a 对 应的位移是这块， 我们的这条线呢，他们不在同一条直线上作出，方向不一致。 好，再来看一下平抛运动和位的大小等于物体的路程。好，那物体呢，它的运动轨迹是曲线，我们有知道路程呢，就是运动轨迹的长度。比如说物体从 a 再到 b， 它的路程呢，是这块蓝色的，但是它的位移应该是从 a 指向 b 的 油箱线段， 所以两者的大小是不相同的，这个说法错误。再来看一下做平抛运动的物体，他每秒内的位移增量相同。好，做平抛运动的物体，他在水平方向上的位移是这个数值方向上的位移是这个，那 每秒内它在水平方向上的谓语变换量 dart x 就 应该是 v 零，乘以 t 加一之合，再减去 v 零 t， 也就可以得出应该是刚好等于 v 零。所以说水平方向上每秒内我们谓语的增加量就是 等于 v 零的大小。好，再来看一下在数值方向上，它每秒内谓语的增加量是多少，那这里的 dart y 就 应该是等于二分之一积，再乘以 t 加一 的平方，再减去二分之一 gt 的 平方。好，整理完之后可以发现，应该是等于 gt 再加上二分之一小 g。 那 我们来看一下，既然 dot y 是 等于这个， 我们的这一块是固定不变的，这个小 g 也是固定不变的，但是我们的 t 一 直在增大吧，比如说我们的第一秒，第二秒，第三秒，第四秒，这个 t 一 直在增大，就意味着我们的 dot y 会一直会增大。因此做平抛运动的物体，它在水平方向上每秒的位移变化量是相等的， 但是你在数值方向上每秒的位移变化量在增大，所以就导致我们的和位移的话，应该是每秒的位移变化量也会 增大，并不是位移的变化量相等。所以说第六这里是有问题的。好，再来看一下这里的例三，如图所示， x 轴呢，它在水平地面上， y 轴是沿数值的方向，我们划出了从 y 轴上沿 x 轴正向抛出的三个小球 abc 的 运动轨迹，其中 b 和 c 呢，是从同一个点抛出的， 不计空气阻力。好，那我们看这个图呢，其实可以发现，这里 b 和 c 他 们抛出的高度是更高的， a 呢，他的抛出高度是更低的。我们再来看一下抛出高度的 表达式，那抛出的高度呢，其实就是物体它在数值方向上的位置了。 y 是 等于二分之一，即梯方 t 应该等于根号下 g 分 之二 y。 好， 这里呢，小 g 这个长量是固定的，如果说 y 更小的话，会导致我们的 t 更小，也就是说既然 a 它的下落高度是更小的，那就意味着 a 所划分的时间是更短的，也就是 ta 它是小于 tb， tb 又等于 tc。 好， 我们又知道，那做平抛运动的物体，它是由水平和数值两个分运动共同组成的，分运动与和运动之间的只有等时性。也就是说，既然在数值方向上， a 运动的时间最短，那对于整个运动来说，也是 a 的 运动时间更短，所以 a 飞行时间比 b 长，也要去掉，那 应该是 a 的 飞行时间比 b 和 c 都短， b 和 c 的 飞行时间应该是一样长的，所以 c、 d 都排除了。我们再来看一下出速度怎么比较，根据这个图呢，我们是可以看到 abc 它们三者在 水平方向上的位移大小关系，那我们来找一下水平方向上的位移怎么表示 x 是 等于 v 零 t， 那 我们的 v 零是固定不变的， t 是 等于这个，所以说可以相当于是 v 零在乘以根号下记分之二 y， 因此可以得出我们的 v 零，它就等于 x 在 比上我们的根号下记分之二 y， 那 其实就相当于是 x 在 乘以我们的根号下二 y 分 之小 g。 好， 我们来看一下 a a 它是不是 y 比较小， 而这个 x 是 比较大，那小 g 是 固定的，如果说这个更小的话，会导致这个数值的值更大，那它更大。再乘一个更大的 x， 就 可以得出 v 零是更大的，所以说可以得出在 abc 三者里面，我们的 va 是 最大的，也就说 a 的 出速度最大， 那所以说他比 c 的 出速度更大是没问题的。那再来看一下 a 选项，说他比 b 的 出速度更小，是要排除的。好。最后我们来看一下关于匀变速曲线运动他们的 轨迹的总结。好，我们的结论就是所有的匀变速曲线运动，他的轨迹都是抛线，那我们的匀变速曲线运动，他在水平方向做的是匀速直线运动，也就是说我的这个 x 是 等于 v 零，再乘以 t， 那 他在数值方向上呢，是做加速度恒定的匀变速直线运动。 比如说像平抛运动，我们在数值方向上就是加速度恒定，并且加速刚好等于小计数式，相当于做自由落体。好，那如果说归纳到统一的 匀变速曲线运动的话，那我数值方向上呢，就是加速度恒定的一个匀变速直线运动了。这样的话，就可以得出我在 y 轴方向上的位移， y， 它就应该等于 v 零 t 再加上二分之一倍的 a t 方。由于在数值方向上，我们通常做的是出速度为零的运动，所以说这里的 v 零 t 就 可以给它去掉，那就相当于 y 呢，它就等于二分之一倍的 a t 方，它就等于 多少呢？这里根据 x 状的表达式，我们是不是可以给它写成 t， 就 等于 x， 再比成 v 零？所以说这里 二分之一梯方，它就相当于是二分之一。乘 a， 再乘以 v 零。分之 x 的 平方，那就相当于是二分之一 a， 再乘以 v 零方。分之 x 方，那就相当于是 二分之 v 零方，分之 a， 再乘以 x 的 平方。好，现在如果说已经确定了是某一个匀变速曲线运动，那就意味着我们的加速是恒定的， v 零也是恒定的，那就意味着这左边这一块都是恒定的。既然是个恒定的，我们就可以把它看成一个常数，那就可以用 k 来进行表示，所以 就相当于我们的 y， 它是等于 k 再乘以 x 平方，那这个表达式它其实就是抛物线，所以说我们可以得出匀变速曲线运动的轨迹，它都是抛物线。 好，那这节课里面我们的关键点就是要掌握平抛运动，他的速度的特点以及速度变化量的特点，还有卫衣与轨迹的特点。

平面直角坐标系第二、三项线，有沿外轴负方向的匀强电场，足够大的荧光屏垂直 x 正半轴方子，在外轴与平光屏中间有平行于外轴的交变匀强电场，大小不变，方向周期变化， 这个亦临未知啊。 t 已知 该电场沿 y 轴正向为正方向，第二项线坐标 p 点沿 x 轴正向，这样大小为零的出速度，不断射出粒子，粒子的质量，电和量为正电的 经过电场偏转呢？从圆点啊，从 o 点，他先打到 o 点，再从这个 o 点进入第四象限，这个交变电场边 t 等于零，时刻经过坐标圆点的例子，恰好在 t 等于二分之三个周期之后，垂直打到荧光屏上，那说明 沿着 y 轴方向的这个分速度被消耗完了啊，不计重力。第一下，嗯，第一问，求这个 e， 这个 e 应该好求吧，我们画一下在 o 点的速度啊，分速度， 那么这个角度，这个速度的角度和这个位移的角度，它应该探底值是两边的关系。所以这个地方呢，我们就写一个啊， v y 比为零， 它就应该等于啊，这个探险啊，速度的探险值应该等于两倍的。呃，这个，这个是 d 除以二 d 好， 然后这个速度从哪里找呢？这个 v y 这个电场里做功啊，对不对？ 那么第一个表达式呢，这个 v y 就 等于 v 零，第二个表达式就可以把 e 求出来。 第二问，荧光屏距外轴的距离，那我们发现电场在这个方向，在这个方向，它是没有力的， 所以这个方向的分运动啊，是一个匀速直线，那这个距离就好求了吧，距离我们交 d 吧， d 就 应该等于啊，速度乘以时间 好，然后还要我们求这个交变电场的电场强度一零 好，由于他最后是垂直打过来的，所以数字方向的速度就没有了。初十的时候，他的数字方向的速度呢，是一个 v y， 也就是 v 零的大小，然后经过先加速啊，不对，先减速，再加速，再减速，所以我们发现这一段呢，这一段呢，就抵消掉了这一段的一个加啊，这一段的一个减速呢，就把这个 v y 减完了，对不对？好，那我们先看一下啊，这个加速度是多少啊？这一段的加速度大小呢？ q 一 零除以 m 啊，然后别的呢，都是一样的啊，只不过可能方向呢是相反的， 所以这个地方我们就可以列一个啊， a b y 刚好就等于这个 a t， 只不过 t 呢，我们是取二分之一个周期，对不对？大家看，就这个长度啊，所以这个一点就出来了啊。 第三问，求所有粒子打上荧光屏沿 y 方向的长度，我们发现这个是先向 y 的 负向，先怎么样？是不是先减速再加速，再减速图画一下啊？ 先减速到这，再加速到这，再减速到这，对不对？ 好，那我们先看一下，你从这里开始的时候，它的速度呢，是 v v 零啊， v y 嘛，因为 v y 就 等于 v 零大小啊， 好，那么我们先减速完了以后，减速产生的多塔为零多少呀？就它乘以二分之一 t 啊，它乘以二分之一 t， 是 不是就等于这个东西？是不是就等于这个 v 零啊？所以就从 v 零减到一个 v 零，所以到这个地方的时候呢，它的速度刚好为零了啊， 好，然后再加速，对不对？再加这个是不是又加一个 v 零啊？好，再又减速，哎，经过这个又减速，所以又减到了零， 所以我们看他是不是走三段，第一段、第二段、第三段，但是他们的平均速度的大小是不是都是 v 零加零除以二，平均速度是一样的，经过的时间又是一样的，所以这三段他的位移的大小是一样的，所以我们这个情况，他的这个位移的大小呢？就是我们就 x 一 吧，三倍的 平均速度乘以时间。 好，那我们再想一下，这个位移是不是最小的位移啊？ 一定是的吧，因为他是先减速，再加速，再减速，这里面这个减速的是有完，是有完整的两个半周期，对不对？或者说一个完整的周期是在做减速运动啊，然后在其他的情况下都不会比这个减速的时间更长了，所以这个呢，他走的位也是最短的。 那么走的位仪最长的情况是什么呢？是不是？是不是这个先加速再减速，再加速呀？这个情况下是加速的时间是最长的，所以这个地方走的位仪是最长的，那我们就算一下这个走的位仪最长的情况啊，同样的，我们换一个啊，先下来在第二段，在第三段， 我们刚开始的时候它是 v 零的速度。好，我们先加速，加速这个东西，这塔微是不是还是等于它乘以这个二分之一 t 啊？是不是还等于它就加速，它这塔微还是 v 零，所以这个地方呢，就变成了二为零啊， 加速完了以后变成二为零，然后再减数啊，减数，这个就是减去一个 v 零，还剩一个 v 零，再加一个 v 零， 所以最后呢，它变成了是二倍的 v 零的速度，所以我发现这一段它的平均速度是二分，二分之三 v 零，这段呢，也是这段呢，还是一样啊，都是二分之三 v 零，那么时间一样，平均速度一样，所以呢，三段的位移呢？是一样的，总位以 v 零加二 v 零乘以二分之一 t 的 时间 啊，这是最短位一和最长位，那么 r 则作差，就是这个长度啊，就应该等于四分之六，二分之三。

hello， 大家好，今天我们来讲一道关于圆周运动和平抛运动的一道题，他说地面上有个半径为 r 的 圆形轨道平台，高 h， p 点 有一个 p 点，正下方 p 撇点与跑到圆心 o 的 距离为 l， 从 p 点水平抛出一个沙袋落入到小车中。 那么第一问，当小车位于 b 点的时候， a o b 等于九十度，沙袋刚好露出小车，求沙袋被抛出时的出速度大小，那么可以看成一个平抛运动来进行求结。那么首先先画出来它的轨迹， 那么从 p 撇到 b 的 话，这里就是它的 x 方向上，那么假如说 p 点有一个沙袋，那么它的轨迹肯定就是沿 这个方向落入的，那我们来算一下它 x 方向上的位宜呢？我们把这一段记为 x 的 话，我们可以把 x 给解出来，那是我们先因为它 y 方向上高度是 h 是 固定的，所以说 h 等于二分之一 g t 方形写出来，那么 x 的 话，由勾股定律的话，这里是 l， 这里是 r， 那 么可以由勾股定律解出来。根号下 l 方加 r 方等于的是 v 零 t v 零就是出速度。好，我们来解一下。那么第二个式子呢？我们可以把 t 给解出来， t 等于的是根号下二 h 比上 g 好，那我们现在可以把 t 给它带入到上面的式子，我们可以求出来， v 零等于的是 t 分 之， 那么也就是二 h 分 之。二比二，二比 g， 那么上面是个根，根号下 l 方加 r 方，那么说除以一个数等于乘以它的倒数，那么就是说 l 方加 r 方，再乘以一个根号，那么直接乘进去 y h 分 之几好，那么这是我们的第一问，来，我们来现在看一下第二问，那么第二问他说要使沙袋， 第二问说要使沙袋落入跑道上运动的小车当中，求沙袋抛出的出速度大小为零的范围， 那我们可以从图上明显的看出来它要求为零的范围，那么也就是说求的是抛出点与屁撇儿的 关系大小，那么屁撇 a 什么，那么屁撇离，屁撇点什么时候最小？那么肯定就是当当这个， 当这个沙袋从 p 点落到落到刚好落到 a 的 时候，那么肯定就是速度最小，那如果 扔到 c 点的时候恰好落入，那么就是速度最大的时候，那我们来根据这两个式子来写一下，那我们来看一下速度什么做最小，也就说落入 a 点的时候，我们先来看一下， 看一下最小的情况， 那么最小的情况它就是落在 a 点，那么 a 点的时候， 数值方向上仍然是二 h 等于二分之一 g t 方，那么 x 方向上呢？就是一个 l 减去一个半径 r， 再等于的是 v 零 t， 那 我们依旧可以把 t 先解出来， t 的 话还是等于的是二 h 比上一个 g， 我 们再给它带到上面的式子，我们可以求它 v 零 最小值等于的是 l 减 r 乘以一个根号下 g 除以二 h 乘以一个数乘它的倒数。好，我们来看第二种落到 c 点的时候， c 点的时候呢， y 方向上还是还是一样的，所以说我们直接把 t 给写出来，等于根号下二 h 比记， 那我们水平方向上的话，可以看出来是 l 加上一个小 r 等于的是 v 零 t， 那 我们还是可以把 v 零最大值解出来， 等于的是 l 加上一个 r， 再乘上一个根号下 g 除以 r h， 那 么这是第二问，这就是微零的范围，那么就是把 两边一写的话，我们就可以得出来第二问的答案。好，我们现在来看一下第三问。 第三问，他说若小车沿跑道做顺时针匀速圆周运动， 小车恰好经过 a 点的时候，将沙袋抛出，为使沙袋能在 b 点落入小车中，求小车速为零满足的条件，那么也就说相当于是从 a 点开始计时，沙袋开始 沿水平方向抛出，那么当小车运动运动到 b 点的时候，沙袋恰好落入，那我们经过前两问可以发现他们的， 可以发现它们的 t t t 都是相同的，那么因为什么呢？因为它的高度 h 没有变， 那我们可以知道平抛运动，他在数值方向上是一个自由落体运动，只和高度 h 有 关，那我们就可以通过使 y 方向的时间来进行求解。那么也就是说 当小车从 a 点到 b 点的这个过程中，经过的时间就是根号下 g 分 之二 h， 那 我们可以列一下，我们可以求一个 小车的角速度，那我们知道角速度定义是欧米伽等于 c 塔 b t， 那 我们知道已经知道 t 是 根号下 g 分 之二 h 了，那么 c 塔是多少， c 塔是多少呢？那么我们可以发现在 t 时间内的话，呃，小区呃沙袋的话，小车不可能 不一定是只从 a 到 b， 那 它也可以在这时间内绕一圈回到 b， 或者我们可以绕两圈，绕三圈都是有可能的，所以说不只不只有这一种情况，那么很可能还存在其他的情况，所以说我们来呃 c， 它的话，我们可以利用 任意角数学的知识，我们可以写出来，它一圈是二分之派，那么 转好几圈，那么就是二 k pi t 的 话是根号下 g 分 之二 h， 呃，我们稍微化简一下的话，就是二分之 pi 加 二 k pi 根号下 g 比二 h， 那 么这里的 k 是 等于零，可以等于零一二等等。 好，那我们来欧米伽求出来，那么它让求的是小车速度 v， 小 车的速度 v， 那 我们现在已经知道了欧米伽，那我们要求小车速度 v 的 话，我们可以 r 乘以欧米伽， r 是 大 r， 所以 说直接套进去。 好，那么就得出来了。最后的答案呢？注意，最后要写一个 k 等于零一二多少。好，那么这道题就结束了。

c e t 平抛倾角为 c 塔的斜面底端正上方，这个地方啊，高 h 以初速的 v 零水平向右抛出一个小球，最终落在这个斜面上，探听 c 塔二分之根号二，求 v 零，求最小速度。 好，它是平抛嘛，我们就写一下水平竖向分位，以 x 等于 v 零 t y 等于二分之一 g t 方。好，要求的是 v 零，我们就把 t 消掉，把 v 零的表达式写一下啊，一左右两边平方和二作比， 所以 v 零就出来了。 好，那么这个地方我们要求为零， x 和 y 是 两个未知量，所以我们再找两组 x 和 y 的 关系，或说叫呃，两个 x 和 y 的 方程，就可以解出 x 和 y， 那 为零就出来了。 好，首先第一个，我们这里啊，是一个平抛嘛，竖向的水平的，所以这一段就是 y， 这一段呢，就是 x， 这个角度和这个角度一样是 c， 所以 这一段就是 x 贪婪 c， 也就是二分之根号二 x， 二分之根号二 x， 加上 y 等于大 h。 好， 这是第一组 x 和 y 的 关系，我们还要找一组啊，另外一组呢，就在选项里面看啊， a 选项，他说要求这个平抛的时候位移最小，这出发点是一个点啊，中点呢，是在这条线上点到这条线上位移，什么情况最小啊？垂直的时候位移最小呀，对不对啊？这个不用解释啊，所以呢，我们画一下， 哎，所以他抛的时候应该这样抛，对吧？ 直角，好，我们看一下角度关系，这个是直角，这个是直角，所以这个角度应该是 sine， 是 不是？ 好，那么在我们这个直角三角形里面，这一条边呢，就是 h 扩散也扩散， 所以我们这个 x 呢，在这个直角三角形里面，这个是 x， 就 应该等于它乘以上也扩散，是不是呀？也就是 x 出来了啊， 好，等于多少呢？ c 叉角探听是，这个就根号二，根号二，二根号六，所以上也 c 叉是根号六分之，根号二。扩散， c 叉是根号六分之二，它俩相乘就六分之两倍的根号二 h 好， x 比 y 等于多少呀？就探听 c 叉嘛，二分之根号二， 所以我们这个 v 零就出来了吧。 好，这个是 x 方比 y， 所以 我们把它改一下，就是 y 分 之 x， 再乘一个 x， 是 吧？就它乘以它再乘以二分之一 g 就 ok 了啊，等于多少？大家算一下，是不是等于六分之一啊？ 它和它相乘等于六分之二，和这个二约交一个就六分之一嘛，没问题啊。所以 a 啊，是对的， b 选项垂直打到斜面上面来， 这个意思就是说啊，我们打过来的时候，接触到这个斜面的速度是跟它垂直的， 哎，速度是垂直打过来的，那么我们照样把这个水平线画上， 那么这个速度的反向延长线是不是要过水平分为一的终点啊？这个没问题啊， 这个角度也是 set 好， 我们把这个反向延长线画上去， 所以这一节呢，就是二分之一 x， 这个呢就是 y， 我 们再看一下角度关系，这个是直角，这个和这个是直角啊，这个速度和这个斜面是直角，所以这个角度和这个 theta 是 一样的啊，这个就是 theta， 所以 在这个三角形里面，探起 theta 应该等于二分之一 x 比 y 探起 theta 全部给的二分之根号二， 所以啊，这个 x 等于根号二的 y 啊，或者说 x 比 y 就 等于根号二，对不对？好，然后我们再把 x 求出来不就行了吗？我们跟前面一样把 x 求出来，然后呢， x 比 y， 这也是根号二，二者相乘就 ok 了吗？ 好，我们把这个东西啊，和这个东西连起来求 x。 好， 所以带到里面去为零，等于根号下二分之一，它俩相乘，它是一根号二，它是二分之根号二，那刚好就是 h 啊， 所以 b 也是对的啊，好， c 和 d 呢，是同样一件事，要我们求最小速度，对不对？那最小速度我们怎么求啊？这个速度是不是应该要等于水平速度和竖向速度的一个平方和呀，对不对啊？平方和啊， 速度平方应该等于 v 零方加上 v 外方。 v 零方这里有啊，带进来， v 外方呢，竖向着 v 外方呢？ v 外方减零方等于 r v x 也是 r g y， 是 不是啊？ r g y 啊，然后呢，我们和这个连的，我们这里有两个位置有 y， 一个位置有 x， 所以 我们把 x 换成 y， 那 这里 x 等于多少？就等于根号二倍的 h 减 y， 这里是 x 的 平方， 就这样。好，我们把它带进来啊， y 分 之 x 方，这里有个 r， 我 们这里有个 r， 就 约掉了啊，就约掉，那么 h 减 y 的 平方， 我们取的方减去 r h y 再加外方。好，后面呢？还有一个 r g y， 我 们通分，所以这个后面就应该是放到分子上去，应该是 r g 外方，我们提一个 g 出来，那就是 r 外方，这里还有个外方，就是三外方。 好，我们把 y 除掉。 好，大家看，这个又是我们是一个很熟悉的，基本不能生啊，所以它大于等于 两倍的根号三 h 后面减二 h， 也就是什么呀？这个 v 的 最小值点多少？根号下二倍的根号三减二 g h 啊，是不是？所以我们这个 c 和 d 里面 d 肯定就对的嘛，我们再来验证一下取等的条件嘛。 取等的条件是什么呀？这两个相等就可以取等号啊，这样相等，所以 y 就 出来了呀， 根号三分之一 h 是 不是好？ y 出来以后，我们取整的时候，那个 v 零不就 ok 了吗？是不是啊？ y 出来之后 x 也出来了啊，带到这里来 啊，这里是 x 方是吧？我们直接写 x 方啊，那就是二倍的 h 减 y 括号的平方，那这里就是一加三分之一三分之四，再减去根号三分之二 h 的 平方，对不对？好，回代为零就等于二分之一 g y 分 之 x 方， 那就这个 好约分了。 所以这个地方就应该等于根号下分母是一个根号三分之一，翻上去根号三 等于多少？三分之四倍的根号三减去二啊， g h 开根号，所以这个 c 啊，是不对的啊， c 不 对。