七年级下册数学相交线垂直怎么画

夜里回首患难岁 月。

在相交线的模型中，固定木条 a， 转动木条 b， 当 b 的 位置发生变化时， a、 b 所成的角 r 法也会发生变化。 当角 r 法等于九十度时，我们说 a 与 b 互相垂直，记作 a 垂直于 b。 我 们可以看到垂直是相交的一种特殊情况， 由此可以得到本节课的第一个知识点，垂线的定义。当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的焦点叫做垂足。在定义中所强调，相交线所产生的四个角，只要有一个角是直角，那么我们就可以称这两条直线互相垂直。 文字语言虽然叙说的很清楚，但发现不够直观，所以我们往往可以用图形语言帮助我们来直观展现， 而在运用时就需要简洁的书写而达到目的。所以符号语言我们就可以这样来说， 因为四个角中我们选择其中一个角即可，那我就选择图中的角一。因为角一等于九十度是已知，所以 ab 垂直于 c， d 于 o。 根据垂线定义， 由定义我们可知，如果我已知直线 ab 垂直于 c， d 于 o， 那 么我就可以说四个角中的任何一个角都为九十度。 你既然已经知道垂线的定义，那么我给你这样的问题，请你帮助我解答。已知一条直线，你能画出它的垂线吗？如果你能画出它的垂线，那你能画出几条呢？ 请按下暂停键，想一想，画一画 能画出多少条？那你的结论是，一条直线的垂线会有无数条， 那么过已知直线上一点，你能画出这条直线的垂线吗？若能，你能画出几条？ 请利用你手里的三角板、直尺和铅笔画一画，看看你的结论是什么？按下暂停键。 好，请你回答我，为什么要让你使用三角板呢？对，画香蕉线也容易，但怎样保证我们所画出来的直线与已知直线垂直？于是，三角板的直角就起到了大作用。 现在，请跟着我一起画。第一步，把直尺贴在已知直线上。第二步，将三角板的一条直角边靠在直尺上。然后第三步，移动三角板， 直到三角板的另一条直角边经过点 o。 这时，我们沿着这条直角边所在的直线划出过点 o 的 垂线。 你学会了吗？显然，过直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。在这里，我们特别强调有且只有有，它代表了存在。这样一条直线 只有代表了唯一的一条。所以我们可以简单又严谨地说成有且仅有。 继续，你能否过已知直线外一点画出这条直线的垂线呢？如果能画，能画几条，请利用刚刚学习的直尺、三角板的画法画已知直线的垂线。 请你试一试。现在，请按下暂停键，好，看看我的做法是否与你的做法是一致的。第一步，贴。第二步，靠， 第三步，移。第四步，画。 这样我们就画出来了直线外一点的这条垂线。那么，你的结论是什么？ 很好，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 在前面的探索中，我们得到了垂线的性质一经过一点， 而这一点可能在直线上，也可能在直线外。但是，无论是直线上还是直线外，我们都能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线， 即简单地说成，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 下面这个问题你能解决吗？如图，从 a 点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段， 你画好了吗？ 如图， a d 垂直于 l， 我 们称 a d 为点 a 到直线 l 的 垂线段， 请你试一试。第一个问题，线段 a b、 a c、 a d、 a e 谁最短？显然是线段 ad 最短。 那么你能用一句话表示这个结论吗？ 用一句话表示这个结论，其实就是结合已知和未知。看图来用语言描述出来，越简，简洁严谨，那就越好。你试试看， 想好怎样说了吗？而这个结论其实就是垂线的性质二， 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单的说成就是垂线段最短。 由垂线的性质二，你来猜想一下，直线外一点 p 和直线 l 的 距离应该如何画出 好？那究竟什么叫点到直线的距离呢？依据点到直线的距离定义，你再来查看一下你所画出来的点 p 到直线 l 的 距离是否正确。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。如图，线段 p o 的 长度即为点 p 到直线 l 的 距离， 与你所想的一样吗？在这时请注意，距离是一个数量，它指的是垂线段的长度。 我们不能说垂线段是点到直线的距离，也就是说，如果你说成了 p o 是 点 p 到直线 l 的 距离，那就大错特错了， 请注意，指代的是垂线段 p o 的 长度是点 p 到直线 l 的 距离。 又到了课堂小节的时间了，同学们，本节课我们都学习了哪些知识？ 第一，我们学习了垂线的定义。第二，我们学习了垂线的性质。一，在同一平面内经过一点，有且只有一条直线，与已知直线垂直。 为什么我们要强调在同一平面内呢？这个问题留给你课下思考。 第三，垂线的性质。二，可以简单的说成垂线段最短。第四点到直线的距离，我们需要特别注意是指的垂线段的长度。 第五，教给大家直尺三角板画垂线的方法，一贴，二靠，三移，四画。

本期视频我们一起来学习和相交线有关的知识点，要掌握下面这几个内容，分别是零补角的概念、对顶角的概念，以及相交线的特殊位置关系。垂直。 假设在同一平面内有两条不相交的直线 a、 b 和 c、 d， 那 他们的位置关系尤且只有两种，一种是我们今天要讲的相交，另一种叫做平行。我们下节课会讲，那什么叫做相交线呢？在同一平面内，如果两条不重合的直线，尤且只有一个公共点， 那他们之间的位置关系就叫相交，这个唯一的公共点就是他们的交点，这两条直线就叫相交线。比如下面的直线 ab 和 cd， 尤其只有一个公共点 o， 那 他们的位置关系就是相交点， o 就是 焦点， ab 和 cd 就 叫做相交线。这个理解起来很容易，不多说，我们继续看。当这两条直线相交之后，会形成四个角，角一、角二、角三以及角四。 这四个角两两之间存在两类特殊关系，分别叫做零补角和对顶角。零补角是指两条直线相交时，有一条公共边， 而且另一边互为反向延长线的两个角。比如图中的角一和角二有一条公共边 o a， 并且角一的另一边 o c 和角二的另一边 o、 d 互为反向延长线， 所以角一和角二就是零补角。同理可知，角二和角三、角三和角四以及角四和角一也都是零补角。所以名字中的零 就是指这两个角相邻，而补则体现了零补角的重要性质。零补角互补， 即这两个角相加等于一百八十度。再来学习对顶角两条直线相交时，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那这两个角就叫做对顶角。还是看这幅图， 其中角一的两边分别是 o a 和 o c， 角三的两边分别是 o b 和 o d， 显然， o a 是 o b 的 反向延长线，而 o c 则是 o d 的 反向延长线，所以角一和角三就属于对顶角。同理，可知，角二和角四也属于对顶角。 对顶角的性质很重要，经常会用到，一定要牢记，那就是对顶角相等。证明很简单，由前面的学习可知，角一和角二是零补角， 且角二和角三也是零补角，而零补角又互补，所以角一加角二等于一百八十度，角二加角三也等于一百八十度。那显然，角一和角三相等，即对顶角相等。证明完成两直线垂直。 垂直的定义如下，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的焦点叫做垂足。 比如，直线 a 和直线 b 相交形成的四个角中，有一个等于九十度，那直线 a 和直线 b 互相垂直， a 是 b 的 垂线 b 也是 a 的 垂线，他们的焦点 o 就 叫做垂足， 一般表示成 a 垂直， b 读作直线 a 垂直于直线 b。 关于垂直，有两个非常重要的性质，一定要掌握好。性质一，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。我们画图演示一下， 直线 a 和点 p 在 同一平面内，那 a 和 p 就 有两种位置关系，一种叫做点 p 在 直线 a 上，一种叫做点 p 在 直线 a y。 而无论是点在直线上，还是点在直线外，我们都可以过这个点 p 画一条直线与直线 a 垂直， 并且只能画出这条直线。显然，这个性质一是成立的。再看性质二，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。解释这个性质之前，我们先理解一下垂线和垂线段的区别。 由垂直的定义可知，在同一平面内，与已知直线相交成九十度的直线，就是这条已知直线的垂线。比如下图中的直线 b 就是 直线 a 的 垂线。 而垂线段则是指从直线外一点向这条直线做垂线点与垂足之间的线段。比如下图中，点 p 是 直线 a 外一点 过 p 点向直线 a 做垂线，垂足为 o 点，那点 p 和点 o 之间的线段就叫做垂线段。了解了它们两者之间的区别，我们再来看看性质二是什么意思。我们在直线 a 上任取几个点，把它们分别和点 p 都连接起来，其中 po 是 点 p 到直线 a 的 垂线段， 可以明显看出这些线段中 p、 o 的 长度是最短的，所以可以知道性质二也是成立的。 ok， 既然垂线段是一条线段，那他就肯定可以度量长度。 由此，我们可以推出下一个知识点，即点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度。比如 刚刚下面这幅图中， po 是 p 点到直线 a 的 垂线段，那 p 点到直线 a 的 距离就是指 p 点到直线 a 的 垂线段的长度，也就是线段 po 的 长度。这里还有一个非常易错的点，要注意， 垂线段是一条线段，它是一个图形，而点到直线的距离，它是一个数值，它指的是垂线段的长度，而不是垂线段这个图形本身，这就是关于垂直、垂线、垂线段以及点到直线的距离相关的知识点。

hello， 宝子，你好呀，很多同学呢，分不清两点确定一条直线和垂线段最短，两者的区别到底是什么？ 那么其实我们只需要明白一个关键信息就好，就是它到底是在讨论点和点之间的关系，还是点和线之间的关系，什么意思呢？比如说第一道题， 他说在墙上要钉一根木条，要使它不能转动，就是希望它固定下来，至少需要两个钉子。 你看他这个话语的落脚点，或者说他的重心在于两个钉子，钉子在数学当中我们可以认为是点，所以他探究的就是点和点之间的关系，所以他问你主要依据是什么？那就应该是两点确定一条直线，两点确定一条直线。 那么二十七题，他说的是小轩同学在家的家呢，在 p 处，他想要到这个公路边去，那我们能发现他的路径呢？有 p、 a、 b， 有 pc， 有 pd， 一 共有三条路径。然后他说他选择沿着 pc 这条路去公路边，问我们原因是什么？ 我们来观察一下。同学家呢，我们可以认为它是一个点，而公路呢，它是一条线，你没有办法办法把它当点就对答，所以他探究的是点到线的距离， 所以他用到的就是垂线段最短，而且还有一个帮助，你可以判断就是这里出确实出现了直角，确实出现了垂足，他也是一个非常好的帮你判断你的结论对不对的一个标志。好嘞，那这道题你看懂了吗？

今天我们来讲相交线里面的垂线。图一，当直线 ab 绕着这个点 o 逆时针旋转，转成 a、 o、 c， 这个角是等于九十度的时候，如图二，你能求出其他角的度数吗？这个图形有什么特点呢？此时两条直线的位置有什么关系呢？ 我们观察下面的图片，能找到其中相交的，这也是相交的。 在生活里面，有图中位置关系的两条直线都是很常见的。比如我们现在来看，取两根木条 a、 b， 将它们钉在一起，固定木条 a， 然后转动木条 b、 a、 b 所夹的角是角，阿法就是这个角，转动木条的同时，观察它的夹角变化。第一个问题是，在木条 b 转动的过程中，什么量也随之发生改变。第一个问题， a 与 b 所成的角也会随之发生改变。 问题二，木条 b 与 a 乘九十度的位置有几个？此时木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系？这时候 ab 乘九十度，这个位置只有一个，唯一一个，而且 a 与 b 垂直。 两条直线 ab 相交所成的四个角中，有一个角是直角的时候，你看我这里画了垂直符号。记住，这两条直线互相垂直，记住 a 垂直于 b， 这个是垂直符号。两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，他们的焦点叫做垂足，这个点 o 就是 垂足。 比如我说 c、 d 是 ab 的 垂线，或者说 ab 是 cd 的 垂线，必须要说谁是谁的垂线。垂直的判定与性质判定是这样子的。如图，如果直线 abcd 相交于点 o， 角 a、 o、 d 等于九十度，我们就说 ab 跟 cd 垂直，垂足为 o。 语言符号是因为角 a、 o、 d 等于九十度是已知条件，所以 ab 垂直于 c、 d， 这是垂直的定义。垂直的性质是什么呢？如果直线 ab 垂直于 c、 d 垂直为 o， 那 么我们就可以通过这个定义推出它的性质，这个角 a、 o、 d 等于九十度。 判定就是通过找到一个角九十度，从而判定这两条直线垂直。而性质就是，我知道这两条直线垂直，从而知道这个角是九十度。 语言符号就是因为 a、 b 垂直于 c、 d 是 已知条件，所以角 a、 o、 d 等于九十度，这是垂直的定义。有一个角是九十度，剩下那三个角也会是九十度的。我们来思考一下，两条直线垂直和相交有什么关系呢？ 垂直是属于相交的特殊情况，所有垂直的两条直线一定会相交，但是相交的两条直线不一定垂直。 第二个要思考的是，能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有三种呢？比如相交、平行、垂直。在同一平面内，两条直线的位置只有两种情况，就是相交和平形，而垂直就是相交的特殊情况而已。 好，第三个要思考的是，如何判定两条射线垂直呢？或者两条线段呢？ 如果两条射线所在的直线相交，并且所成的角为九十度，那么这两条射线垂直，将线段延长，使其成为直线。如果这两条直线相交，所成的角是九十度的，那么这两条线段垂直。好，现在我们看到例一， 如图一，直线 m、 n 交于点 o， 角一是等于九十度的，所以这两条直线垂直， 这个是垂直的判定。第二小题，若直线 a、 b、 c、 d 将交于点 o， 且 a、 b 垂直于 c、 d， 角 b、 o、 d 是 等于九十度的。 如图二， b、 o 垂直于 a、 o， 角 b、 o、 c 与角 a、 o、 c 的 度数比是一比五，就是我这里占了一份，然后我这个大角是占了五份，那说明我这个 a、 o、 c 是 占了四份的。 aoc 是 多少度呢？我把这个九十度平均分成五份求出来，每一份是十八度，而我这个 aoc 占了五份，所以是十八度乘以五，求出来它是七十二度。 aoc 是 占了四份的，所以用十八度乘以四份等于七十二度， b、 o、 c 就是 十八度，他的补角就是一百六十二度，因为是一百八十度减去十八得到的。我们继续来看一下垂线的画法及基本事实。我们画一画，用三角尺或者两角器画已知直线腰的垂线。 第一个就是经过直线上的一点 a， 画腰的垂线，这样的垂线能画多少条呢？第二个是过直线腰外的一点 b， 画腰的垂线能画几条呢？我们一起来看一下。 如图，已知直线 l， 我 先画一条直线 l， 标上名称 l， 然后放尺子，再把这个三角尺靠上去画下来，这个就是他的垂线， 标上 a、 o 画垂直符号，这样画幺的垂线是可以画无数条的。但如果我在直线幺上点了一个点 a， 过点 a， 画直线幺的垂线。第一步是放直尺，然后再用三角板套过去，然后移动三角板，移动到 a 点这个地方画垂线， 画垂直符号，标上 ab， 这一条就是过 a 点画幺的垂线， 这样的垂线只能画一条。我们再看已知直线 l 和直线外一点 n， 过点 n 画 l 的 垂线。首先第一步是放直角，然后把三角尺靠过去移动，碰到这个点 n 画下来，然后画垂直符号，标上 n 这个交点， 这个垂足为 n。 画到这样的垂线可以画一条。我们得出基本事实就是在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 我们看到另一过点 p 画射线 ab 过线段 ab 的 垂线。我们看第一个是这样子的，垂直符号要标上。 第二个是这样子的，尺子推过去之后，碰到 p 点，画垂线，画垂直符号，这里面 p 点在外面，我们必须对 ab 这条线段进行延长，要画虚线，然后放子尺，三角尺推过去，然后放下来画垂直符号。我们过点 画射线或者线段的垂线，是指画点与射线线段所在的直线的垂线。我们再看到垂线的性质及应用。我们在灌盖的时候，要把河中的水引到菜地劈处，如何挖掘使渠道最短呢？ 你能不能将这个实际问题转化为数学问题？首先这一条河就相当于一条直线 l， 这个菜地 p 点相当于这条 l 外的一点。我把这些房子啊，树啊，河啊都省略，什么菜地啊都省略，只剩下了一条直线 l 跟 p， 我就可以把这个实际问题转化成数学问题，相当于过直线幺外的一点 p 做垂线好。我们在直线幺上是否存在这样的一点，在所有连接直线幺与 p 点的线段中，长度最短？ 我们来看一下，在直线上有无数个点，试着取几个点与 p 相连，比较一下线段的长短。有什么发现呢？ 我们可以看到这里有很多条线，可以画无数条，但是只有 po 的 长度是最短的，这样的线段 po 只有一条， 我们用一句话来总结观察得到的结论，垂线的性质，连接直线外面的一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，我们就要说成垂线段最短，垂线段就是 po 红色的这一条 点到直线的距离。直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。线段 p o 的 长度叫做点到直线的距离。 好，现在我看到第五，想问，如果图中的比例是一比十万水渠大约要挖多长？那么我们测量图中这个垂线是四点七厘米，所以实际上是 四千七百米，这里是四点七，去乘以十万，求出来等于四十七万厘米，然后再把厘米转换为米，缩小一百倍，就等于四千七百米。现在我们来暂停视频，尝试做一下， 现在我们来核对答案。如图，下列说法正确的是哪一个呢？线段 ab 叫做点 b 到直线 ac 的 距离。错了，因为这里面 ab 这里他没有垂直符号，他不一定是垂直的，所以不对 b 选项。线段 ab 的 长度叫做点 a 到直线 bc 的 距离。不对，因为这里面也是没有垂直符号，不能确定。 线段 b d 长度叫做点 d 到线段 bc 的 距离。不对，因为点 d 在 这里到 bc 的 距离。应该是这样子的，是这一条不是 b d 的 长度叫做点 b 到 ac 的 距离，这个才是正确的， 有垂直符号。好，现在我们来暂停视频，自己尝试做一下这道题。好，我们来核对答案。 在数学课上，同学们在练习或点 b 做线段 ac 所在直线的垂线段时，有一部分同学画下列四种图形正确的选择 a 选项，因为我的底边是 ac， 我的顶点是 b， 我 要画 ac 外面这一点。 b 的 垂线的话， ac 太短了，我们就要画延长线，延长线要画虚线，然后再画它的垂线，这垂线段是在这个三角形外面。好，现在我们暂停视频，自己尝试做一下。现在我们来核对答案。 如图，从位置 p 到直线公路 m、 n 的 小道是哪一个呢？ 那就是垂直线段最短 p b 这一条选 b。 第三题，如图， a、 b 垂直于 b c 垂足为 b， a、 b 是 等于三的 p 点，点 p 是 射线 b、 c 上的动点线段 a、 p 的 长不可能是多少呢？ 这里面是不可能二点五的，因为这条斜边不可能短于直角边三。好，现在来核对答案。 如图，点 o 在 直线 ab 上， c、 o 垂直于 d， o 于点 o。 角一是等于一百五十度的角三的度数是多少？ 因为角一跟角二是零补角，所以角二是等于一百八十度，减去一百五十度是等于三十度的。而角二跟角三又等于九十度，所以角三是等于九十，减去三十度得出来是等于六十度的。选择 d 选项 第五题，点 a 到直线 bc 的 距离，这个线段是 a、 c 的 长， bc 的 长是点 b 到线段 a、 c 的 距离。好，现在我们暂停视频，自己尝试做一下。 好，现在来核对答案。第六题，如图，在某村村头 p 处有一条河流，为方便出行，村民想在两岸搭起一座简易木桥，则在什么处搭建最短，那就是垂线段 p、 b 最短，所以在 b 处搭建最短。好，现在我们来看一下第七题，我们暂停视频，自己尝试做一下这道题， 现在我们来核对答案。如图， o 是 直线 ab 上的一点， o、 c 垂直于 o、 d， 垂直为 o。 若角 b、 o、 d 是 等于三十二度的，求 a、 o、 c 的 度数。第二小题，若角 a、 o、 c 比上角 b、 o、 d 是 二比一，求 b、 o、 d 的 度数。我们先回答第一题， 因为 o、 c 垂直于 o、 d， 所以 这个角 c、 o、 d 是 等于九十度的。又因为角 a、 o、 b 是 一个平角，所以 a、 o、 b 是 等于一百八十度的。 因为 b、 o、 d 等于三十二度，所以角 a、 o、 c 就 等于一百八十度。减去 b、 o、 d 这个三十二度，再减去 c、 o、 d， 这个九十度等于五十八度。 第二想问，因为 c、 o、 d 等于九十度， a、 o、 b 等于一百八十度， 角 a、 o、 c 加上角 b、 o、 d 就 等于一百八十度。减去直角 c、 o、 d， 九十度等于九十度，就因为他们的笔是二比一，所以角 a、 o、 c 是 等于两个角 b、 o、 d 的， 所以三个角 b、 o、 d 就 等于九十度，所以一个角 b、 o、 d 就 等于九十度。除以三，等于三十度。 好，我们来总结一下这节课，我们讲了垂线里面的垂线的定义，还讲了垂线的画法，就是一放二靠，三移四挂。然后还讲了垂线的基本事实就是在同一平面内 多一点，有且只有一条直线与一直线垂直，垂线的性质是垂线段最短。好了，我们这节课就上到这里。

好，这节课我们来讲第二小节，垂线啊。首先我们先来看质数的部分，第一点啊，一般的如果说两条直线 a 和 b 相交所形成的四个角中， 有一个角是九十度的时候啊，那我们将这个九十度可以去做直角啊，比方说有一个角是直角的时候啊，或者说有一个角是九十度的时候，那么我们就可以说直线 a 与直线 b 互相垂直，既做 a 垂直 b 这个符号，我们称之为垂直符号啊，是一条竖线加一条横线啊，然后下方是不要这样抄出来啊，我们就这样写的，这叫垂直符号。好，那解释什么意思？比方说这是一条直线 a 直线， 这是一条直线 b 直线，那么两条直线相交，一定会形成四个角，我们称之为两线四角。比方说这是角一，这是角二，这是角三，这是角四。那么按照上节课所学的结论，很明显，角一 与角二、角四是互为零补角的关系的啊，这是我们上节课学过的。然后角一和这个角三 啊，是互为对顶角的关系的，那我们说零补角互补，对顶角相等，那么什么时候会出现一个直角呢？就是我的直线可以这样画，比方说这条是 a 直线，这条是 b 直线，那么在 a 和 b 所形成的这个角一、角二、角三、角四之后， 我们发现如果其中一个角是九十度的话，那么按照对顶角相等，所以这个角四也得是九十度， 那么按照零补角互补，所以说角一加上角三就得等于一百八十度，一旦其中的角一是九十度，那么角三就必须也是九十度啊，所以说角三也就是九十度了，那么再按照对顶角相等，所以角三的对顶角角二也得是九十度 啊，所以这个图应该是这样的，就说想形成一个垂直的关系，这个直线 a 啊，就要长这样，直线 b 就 要长这样，然后中间有一个垂直符号 啊，所以说此时角度一定是九十度，那我们可以去做 a 直线垂直于 b 直线。好，这个就是本节课的这个图，那么他说其中一条直线就会叫做另一条直线的垂线啊，一条线是另一条线的垂线，比方说 a 直线是 b 直线的垂线， 你可以反过来 b 直线，他也是 a 直线的垂线，然后其中两条垂线的这个交点啊，这个交点，比方说咱们叫做 o 点，那这个交点我们称之为垂足 啊，然后这个符号啊，在角度上画的这个符号表示垂直符号，然后还可以这样去画啊，就说我们如果写式子的话，就应该是 a 垂直于 b， 如果在图上画的话，就是这样垂直的，这个角度符号啊，可以这样标上。 好，这个就是垂线的定义啊，那么事实上咱们小学也学过，我们就可以快速去过了。好了，看第二个，在同一个平面内过一点啊，有且只有一条直线 与已知直线是垂直的啊，什么意思？说什么意思？那是说在一个平面当中，经过一个点，有直线，并且只有一条，叫做有且只有有，而且只有一条。 这样的直线和已知直线是垂直的。什么意思呢？可以画个图啊，来举例一下。我们来看这个绿色部分啊， 比方说，首先我先取一条直线 a 直线，然后这个点是直线外的一个点，我们就做 a 点， 那么我想经过 a 点去做一条直线，和直线 a 是 垂直的，我只能做出一条啊，哪一条就是过点 a 做直线 a 的 垂线啊，我可以出去啊，出去不出去都对， 我只能做出这一条直线，跟已知直线 a 直线是垂直关系。那有同学老师，那我这样做不行吗？我经过 a 点，我这样做，那很明显这个角他是不垂直的啊，即使说把这条线啊画的 啊，稍微就是歪一点啊，那这个角他也不是九十度啊。所以说经过直线外的一点啊，我们只能做出一条直线外的一点啊，我们只能做出一条直线外的一点啊，我们只能做出一点，他应该是直线 a y 的 一个点啊，直线 a y 的 一个点，那我们可以这样想，如果这个 a 点它不在直线 a 的 外面，它刚好在直线 a 上，会发生什么情况？我们还是来验证一下。比方说这个是 a 直线，那么我在直线上取一个点做 a 点， 我依然想经过 a 点做出一条垂直于直线 a 的 直线，那么还是只能做这一条啊，只有这一条是垂直的，中间是垂直符号，即使我稍微写的话，他这个角度也不是九十度。所以说，不论这个点是在直线外， 还是说这个点在直线上，我始终只能做出一条直线，能够与已知直线是垂直的这个定力啊，我们就将这个直线外和直线内统称为在一个平面内啊，也就是说在一个平面内，不管这个点 他是在直线外啊，不管这个点在直线外还是直线内，都尤其仅有一条直线能够与已知直线垂直啊，我只能画出一条，画不出来无数条。 好，这个就是我们的知识梳理部分啊，我们就说这么多，接下来我们来看随堂训练。好第一题，我们来看如图，已知 q a 垂直，直线 l， 我 们来看 q 点在这啊，很明显这个 q 是 一个垂足的位置啊，我们来标一下， q 是 一个垂足，然后 a 点就是这个直线外，一点 过 a 点只能做一条直线， a q 和已知直线 l 是 垂直的。好， b 点也在直线外，那么过 b 点也只能做一条直线， q b 能够与已知直线 l 是 垂直的，所以说 q a 垂直 l， q b 垂直 l， 那 么此时 q a 直线 和 q b 直线一定是一条重合直线啊，这个是没有问题的，那么理由呢？应该是二 b 选项啊，这是我刚才说过的，在平面内啊，经过一个点，只有一条直线能够与已知直线垂直啊， a 点在直线外， 所以做的这条 a q 和 l 是 垂直的，然后 b 点也在直线外，所以说 b q 也和 l 是 垂直的，因为只能有一条线，所以说这个 a q 和 b q 只能是重合的直线啊，它不能分开，因为我只能做一条啊，所以说它一定是重合线。 好，那我们来看一下这个 a c d 啊，错在哪里？我们来看过两点，只有一条线啊，这句话本身没有问题啊，经过两点只能确定一条直线，这个画是没问题的，但是跟咱们本道题啊是没有关系的，我们是讨论垂直，而不是讨论直线的个数，所以说 a 九不对，但是画本身是对的啊， 然后 c 垂线段最短啊，这个也是对的。就说我经过一个点做垂线，一定是垂线最短，这是咱们未来要讲的知识点啊，跟本节课无关。他的道理呢，一样的，就是说这句话没什么问题，但是跟题目没什么关系啊，所以也不选。 然后 d 选项过一点，只能做一条垂线，这个就有点不严谨了啊，他就是错的，相当于 b 和 d 啊，应该对着去看啊，就是 b 说的很清楚，首先是在一个平面内，经过一点，只能做一条与已知直线垂直的直线， 而 d 选项他说过一点只能做一条直线，这个话本身是错的啊。我们可以举个例子，比方说这个点我就记作 d 点，然后这个是已知直线 l 啊，我们将它记为已知直线，那么我过 d 点只能做一条直线，跟 l 垂直，这个是没问题的。但我如果我这么想，我把这个 d 点 定了之后啊，我不给一条直线，我就说过地点能做几条垂线，那么很显然过地点可以做无数条直线啊，什么意思？比方说这有条直线 l 一， 那很明显 a 这样的话，这样划，这是垂直的第一条直线了， 好，这条直线 l 二，那么郭弟弟啊，又能画一条垂线，好，这一条直线 l 三，好，给他延长一下，那么郭弟弟又能做一条垂线啊，所以说如果不加这个限定条件的话，那么经过一个点，其实可以做出无数条垂线啊，所以说这个 d 啊，是正确，呃，直接就是错的， 好，本道题的选项啊，应该是二 b， 我 们就说这么多，接下来看第二题，如图， a、 d 垂直 bc 啊，这说明角 a、 d、 b 或者角 a、 d、 c 都是九十度啊。虽然垂直符号标在 ab 的 位置啊，角 a、 d、 b 是 九十度，但是我们知道这个 b、 d、 c 是 一大大的平角，所以它的隔壁啊，这个角 a、 d、 c 其实也是九十度啊，这是垂直符号的意义啊。 好，他说角一等于角二，角一等于角二，那么就可以发现三角形 a、 b、 d 啊，他应该是我们小学阶段所学过的等腰直角三角形啊，因为我们小学学过一个三角形，其内角和应该是一百八十度啊，这个我们都知道 好，小学就学过了三角形内角和一百八十度之后，我们会发现这个三角形 a、 b、 d， 它的这个角和应该是角一加上角二加上角 a、 d、 b 应该是一百八十度啊，小学知识内角和一百八，其中角 a、 d、 b 是 九十啊，所以说角一啊，咱们填，所以啊，因为咱们还没学逻辑符号啊，这是，所以，所以角一加上角二加上九十度啊，就应该是一百八十度， 咱们一旦一项啊，所以说角一加角二就会等于九十度，因为一百八减九十是九十。其中题目还说了，角一和角二相等，那说明他们各自就应该是四十五度了啊，所以说角一就会等于角二，就会等于四十五度。好，这样的话我们就解出来了，角一是四十五度，角二也是四十五度。 好，题目又说角 c 是 谁啊？角 b、 a、 c 是 这个角， 那很明显，这个角 bc 应该等于角一加上这个角三。好，那要分析了，这个角三是多少度啊？那不难发现，在三角形 a、 d、 c 中，他依然也是一个内角和啊，所以说在这个三角形 a、 d、 c 中，还是利用这个内角和可以得到角 a、 d、 c 加上角 c 加上角三，应该也是一百八十度的， 其中角 a、 d、 c 是 垂直的直角，它应该等于九十度。角 c， 题目告诉我们了，是六十五度，然后加上角三等于一百八啊，咱们一向 角三就应该是一百八，减去九十度，减去六十五度啊，很明显，角三应该等于二十五度啊，咱们算就可以了。这个角 b、 a、 c 啊，合起来就应该是角，一加，角三就应该等于四十五度， 加上二十五度应该等于七十度，所以选项应该是 a 选项好，这个是我们用的内角和去分析。那么事实上，除了角和啊，我们还有一个结论是学过的，就是说在一个直角三角形中，其两锐角应该是互余的关系。那么不难发现啊，这个三角形 a、 d、 c， 它应该是一个直角三角形，它的两个锐角啊，分别是谁啊？应该是角三 和角 c， 他 俩是两个锐角，对吧？那我们知道啊，在直角三角形中，两个锐角是互余，什么叫互余啊，是不是相加得一百啊，相加得九十度啊，哎，所以可以说角三加上角 c， 其实是九十度的性质。就是说在 直角三角形中，两个锐角是互余的，那其中啊，这个角 c 给了六十五度啊，所以角三就可以直接等于九十度，减去六十五度，依然是等于二十五度的啊。所以说，红色的方法是用了这个锐角互余的性质，绿色是用了这个内角和的性质啊，其实都对啊，方法都一样。 好，这是第二题啊，选项是 a 选项，咱们就说这么多，往后看第三题，如图，当角一与角二满足什么条件的时候，给的是 o a 垂直 o b。 那 么这样想，要想， o a 垂直 o b 是 不意味着角 a o b 必须是一个垂直的，这个九十度，它就是一个直角，对吧？ 那我们就发现这一条横线是一个大大的平角，想让中间等于九十度，是不得，意味着一百八十度，减去这个角一加角二就得是九十度啊。那此时很明显了，就需要保证角一加角二是九十度才行，因为平角减去 九十度就会等于中间这个九十度啊，所以说条件应该是角一加角二，只有在九十度的时候才能符合 o a 垂直 o b。 好， 这个是第三题啊，咱们就填填这个角一加角二等于九十度啊，或者说可以填角一 与角二互余啊，都可以啊，都对，互余也是相加为九十度嘛。好，这是第三题，接下来我们看第四题， 如图，直线 ab 和 cd 相当于点 o 给了 e o 垂直 ab 啊，所以说角 e、 o b 等于九十度啊，这有垂直符号，他是九十度。 好，他说角 c o a 等于三十度，我们来看 c o a 等于三十度。哎，那我们发现一个东西啊，就是说角 a o c， 他的这个对顶角应该是角 b o d 对 顶角相等，所以说角 b、 o d 等于三十度。题目问的角 e、 o d 就 这个角。 哎，那所求的这个角 e、 o d 不 就等于角 e、 o b， 然后加上角 b o d 吗？我们带数据就应该等于九十度，加上对顶角相等的三十度，数值应该等于一百二十度， 这个空填的应该是一百二十度啊，理由是这有一个三十度，对，顶角相等九十加三是一百二啊。好，第四题咱们就到这，接下来看六题。第五题呢，是要求用三角尺啊，分别做出这个垂线，那我们就把这个图啊，稍微放的大一些。 好，那么我们接下来就借助三角尺来这个画垂线啊，其实垂线呢，嗯， 好，这个差不多有九十度了吧。啊，同学们，你要比好啊，我就是差不多就行，那么过点 c 啊，我可以很显然啊，做一条线啊，然后标上垂直符号就可以了。好，这是一条垂线啊，有点没画好，他应该是经过 c 点啊。好，经过 c 点做的这个垂线，我们把这个垂直符号标好。好，然后这个， 这样，对吧？差不多，同学们，比好一点，比准一些。好，这个就是过点 c 做的 ab 的 垂线，所以说这是垂直的，然后这一个我们就得这样画了。 好，这可能有点不垂直啊，我们得差不多就行。好，这个好，这是 垂线。好，然后我们画出垂直符号，然后这个很明显啊，是我们小学所学过的这个钝角三角形。那么想做 ab 的 垂线，首先应该是反向延长 ab 啊，延长线应该是虚线啊，所以把 ab 给它延长一下，延长之后就应该是过点 c 做 ab 的 垂线了 啊，这个我们好，那应该是过点 c 啊，然后做 ab 的 垂线。好，所以画出来啊，应该是这样的，这条线就是那个垂线啊。 好，这是垂线，那么由于垂线呢，我们其实还要标垂足啊，所以我们还没标垂足，那么换成橙色，把这个垂足给它标上，比方说 d 点就是垂足，然后这个 d 点是垂足啊，所以这就是 c d 垂直于 ab 啊，这也是 c d 垂直 ab， 对 吧？然后这个我们把垂足标上，这是 d 啊，所以也是 c d 垂直 ab。 好， 最后一个这个垂足我们也记为 d 点啊，所以依然是 c d 垂直 ab。 只不过第四个是个对角三角形啊，我们应该是延长某条边，然后过另一个点去做延长线的垂线。好，本节课咱们就到这里。

平移这一节后面有一个数学活动，那活动一说，你有多少种画平行线的方法？我们来看一下这个活动。那第一个同学李明，他是这样画的， 这有一条直线 a， 直线 a， 外面有一点 p， 那 他首先呢，过这个 p 点，做一条直线，与 a 进行相交啊，随便画一条直线 b， 交于直线 a， 那 这就出来了一个角，这个角一， 然后呢，他又画了一个角，在点 p 处又画了一个角，让这个角二等于角一，从而就画出了这一条平行线。所以 我在旁边把这个方法批注了一下，他是以角为出发点，用同位角相等，来去求两直线平行，也就是来画出这个呃另外一条与 a 进行平行的直线。那第二个同学刘伟，他是这样画的，还是有一条直线 a， 还有点 直线外一点 p， 那 么它过这个 p 点，做了直线 a 的 垂线，然后呢，它在这个呃 p 点之外，又随意地画了一条直线 l， 当然这条直线 l 也是垂直于 a 这条直线。 然后接下来呢，它运用圆规来取一定的半径，就是把那个圆规啊，张开一定的角度，然后以 q 点为圆心 a， 画了一段弧， 然后这段半径呢，不变，就是圆规这个开口不变，把它挪到这个二点上，再以二点为圆心 a， 又画了一个弧，所以你看，这就有两个焦点，那两点连成一条直线，所以把这个直接连接。 ps， 这两点，那么就是 b 就 平行于 a， 所以 我 写垂直于同一条直线的两点间，两条线平行，那平移后的线段平行且相等，也就是这里的 q s 等于 p， s 等于 q r， p q 等于 s r， 所以 它运用的方法是什么？是同时垂直于直线 a， 两条直线同时垂直于这个直线 a， 然后呢？ 平行，平行之后呢？他又取这个呃，同等长度的点，然后连线，哎，那又平行，其实这就是我们学过的，小学学过的正方形啊、长方形啊，只要四边形当中有一个角是直角，那他就是一个平行关系的，对边平行且相等了。 然后咱们再看这个第三个同学王芳，他是通过折纸的方法来呃，画这个平行线的，然后他是以 p 点，也是干嘛呢？这个折，那怎么折呢？他能有无数种折法，如果只是跟直线 a 相交的话，所以你看，我在这画了一个直角，他其实画的 就是做的也是垂线，所以先折出一条线，让这个线他是垂直于这个直线 a 的， 好把它展开，然后他又画，又画什么呢？又以 p 点啊，穿过 p 点，然后做了一条垂线，这个垂线是垂直谁的？就是垂直于这个这个这个 这个虚线的，也就是第一个折痕的啊，所以这一个是垂直于他前面第二步的这个折痕，也就是图三所画的这条虚线。你看，我把这个直角给他标出来， 然后呢就得到了 b 这个折痕，那 b 这个折痕它就平行于 a 的， 那么这个原理是什么？就是同时垂直于这个折痕，就是第一个折痕，就它画的这个比较深的这个颜色， b 垂直于这条线， a 也垂直于这条线，那垂直于同一条线的两条直线平行，所以跟 b 差不多都是利用到了垂线，但是它们垂直于同一条线，这个同一条线却不相同。 那好，你看这三个同学都很巧妙。然后我看完的这个活动呢？我有一个感触是什么？就是条条大路通罗马， 那找到适合自己的那条路走下去。你看数学当中他并不是只有一种解法呀？他有好几种解法。那你呢？就根据自己的实际情况，找一个你特别好理解，特别会运用的。那你就运用那种方法，那其他的就全当做拓展，我就当做开拓自己的视野，那哪条适合你，你就用哪条。

各位同学好，我是来自中国人民大学附属中学的张文老师。上节课我们学习了两条直线相交的一般情形，借助直线相交所成的角来研究相交线。 今天这节课，我们一起来学习两条直线相交的特殊情形。垂直。 在相交线的模型中，固定木条 a， 转动木条 b。 当 b 的 位置变化时， a、 b 所呈的角 alpha 也会发生变化。在这个变化过程中，有没有什么特殊情形？ 观察夹角的变化，我们发现，当角 alpha 是 直角时，每个角都是直角，四个角都相等，这种情况比较特殊。 为什么当角阿尔法是直角时，另外三个角也是直角呢？根据上节课学习的两条直线相交所成的角的关系，角阿尔法的对顶角与之相等，邻补角与之互补，由角阿尔法等于九十度推导得到另外三个角也是九十度。 像这种特殊的相交情形，我们称之为垂直。一般的，当两条直线 a、 b 相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们说 a 与 b 互相垂直，记作 a 垂直 b。 两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的焦点叫做垂足。如图， a、 b 垂直于 c、 d， 垂足为 o。 这一概念意味着，如果直线 a、 b、 c、 d 相交于点， o 角 a、 o、 d 等于九十度，那么 a、 b 垂直 c、 d。 这个推理过程用符号语言表达为，因为角 a、 o、 d 等于九十度，所以 a、 b 垂直 c、 d。 反过来，如果 a、 b 垂直 c、 d， 那 么角 a、 o、 d 等于九十度。这个推理过程用符号语言表达为，因为 a、 b 垂直 c、 d， 所以 角 a、 o、 d 等于九十度。 接下来我们研究互相垂直的两条直线的性质。我们从画垂线开始，请用三角尺或两角器经过一点，画已知直线的垂线。 那我们需要先思考这个问题，这个点和这条直线有几种位置关系？ 我们知道点与直线有两种位置关系，点在直线上，点在直线外。那么这个问题分拆为两个小问题，一、经过直线 l 上一点 a 画 l 的 垂线，这样的垂线能画出几条？ 二、经过直线 l 外一点 b 画 l 的 垂线，这样的垂线能画出几条？请同学们自己动手画一画。 根据以上画垂线的过程，你有什么发现？ 可以发现，经过一点，在已知直线上或直线外能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线。 由此得到关于垂线的基本事实，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 我们再来研究互相垂直的两条直线的另一个形质。农业生产中有这样的问题，如图，在灌时，要把河中的水引到农田僻处，如何挖渠能使渠道最短？ 首先我们要将这个实际问题转化为数学问题，如何转化呢？ 将河流抽象成一条直线 l， 农田抽象为一个点 p， 点 p 是 直线外一点，从而把实际问题中抽象出这样一个数学问题，在直线 l 上找一点 q， 使线段 p q 长度最短。 这个数学问题该如何解决呢？请同学们自己先动手试试。在直线 l 上画出不同的点 q 的 位置，看看 q 点在何处时线段 p q 长度最短。 下面我们一起来研究这个问题，请大家观察在直线 l 上从左至右拖动点 q， 线段 p q 的 长度是怎么变化的。 从测量数据可以看出，线段 p q 的 长度先变短后变长，那么一定存在某个位置，使线段 p q 长度最短。 过点 p， 画 p o 垂直 l 垂足为 o， 我 们称线段 p o 为点 p 到直线 l 的 垂线段。我们可以测量出垂线段 p o 的 长度，这里是二点六五厘米。 a 是 直线 l 上除点 o 外一点连接 pa。 在 直线 l 上拖动点 a， 改变点 a 的 位置，测量并比较线段 p o 与 pa 的 长度。你有什么发现？ 我们发现线段 p o 的 长度始终小于线段 p a 的 长度。于是我们得到了刚才的数学问题的答案。当点 q 位于垂足 o 处时，线段 p q 的 长度最短。 由此，我们可以归纳得出互相垂直的两条直线的另一个性质，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成垂线段最短。 我们把直线挖一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。在这个图中，垂线段 p o 的 长度就是点 p 到直线 l 的 距离。 回到这个实际问题，现在你知道如何挖渠能使渠到最短了吗？从刚才的探求可以知道，从农田 p 处挖一条垂直于河道的水渠即可。 下面请同学们尝试完成这个例题。在这三个图中，分别过点 p 画出射线 a、 b 或线段 a b 的 垂线。这里请大家注意，画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线。 图一中相当于经过直线上一点画垂线，利用三角板或两角器可以完成。注意标出直角记号垂足即为已知的点 p。 图二中相当于经过直线外一点画垂线，同样可以利用三角板或两角器完成。标出直角记号，垂足命名为点 o。 图三中在画垂线时发现线段 a、 b 不 够长怎么办？我们需要先延长线段 a、 b， 再画垂线。 经过上面的学习，相信同学们对两条直线垂直的概念和性质有了一定的认识，请大家回顾本节课所学内容，思考并回答下面问题。 一、什么叫垂直？什么是垂线？什么是垂线段？二、互相垂直的两条直线有什么性质？三、如何度量点到直线的距离？ 课后，请大家完成教科书第六页练习第一、二题。 好了，我们今天的课就到这里，同学们再见！

各位同学大家好，我是小明学长，今天我将带着大家继续学习专题。七点一、平行线的四大模型， 主要是铅笔模型、猪脚模型、臭脚模型和骨折模型。我们今天要学的是类型一啊，铅笔模型啊。好，我们看一下什么叫铅笔模型，像两条平行线， a、 b 平行，以 c、 d 点， p 在 e、 f 的 右侧，且在 abcd 的 内部，形似一个铅笔的这种形状，我们叫做铅笔模型啊，我们看一下这种铅笔模型它有什么特性啊？ 结论一，若 ab 平行 c、 d， 则角 p 加上角 a， e、 p 加上角 p f、 c 等于三百六十度。这个证明很简单，带大家简单的说一下，我们只需要过 p 点做平行线， 做平行线对不对？因为做平行线，做 ab 的 平行线，对吧？因为 pm 平行于 ab， 又因为这个 ab 是 平行以 cd， 所以 pm 是 平行以 ab 又平行 cd， 这是什么？平行线的传递性对不对？ 平行线的传递性好，所以我们可以知道角一、角二，角三、角四，所以我们可以知道角一加角二是不等于一百八十度？ 角三加角四是不是也等于一百二十度？这是什么？同旁内角互补。 好，同旁内角互补啊，那角一加角二，角三加四。所以那我们看一下角二加上角一加角三，我们把这个括起来，再加上角四，是不是等于三百六十度啊？那角二加上 这个是不是就是角 e、 p、 f， 再加上角四等于三八九，是不是就是这个结论？同理。结论二，我们看一下这个逆定理啊。 好，若角 p 加上角 a、 e、 p 加上角 p、 f、 c 等于三等于 c、 d， 我 们看一下它是已知这个角 角 p， 这个我们把它叫角一，这个我们把它叫角二，这个叫角三，这个叫角四。好，这个结论二啊，已知什么？ 角 p 加上角一，加角二，加角三，加角四，等于三百六十度。好，我们把它挪一下顺序，这个 角 p 加上角一，加角三，再加上角二，加角四，等于三百六十度。那这个叫什么？三角形的内角和，对不对？ 三角形内角和，对吧？一百八十度吧。那所以角二加角四是等于一百八十度来同旁内角互补，所以我们可以知道 ab 平行于 cd， 这是，呃，铅笔模型啊，我们直接接下来看这个典型的立体啊。 如图一， m a 一 平行于 n a 二，则 a 一 加二，这个还这个直接出结论，对吧？一百八十度，为什么同旁内角互补，对不对？ 好，我们再来看第二，如图二， m a 一 平行以 n a 三，则角一加角 a 二加角 a 三等于多少度？ 这个我们在刚刚是不是也正了？它是不是等于三百六十度，对不对？那我们来正一下啊，刚刚已经正过了啊。 好，我们再来看，这是角一，这是角二啊，这个，这个，这个加这个等于一百八，这个再加这个也等于一百八，所以是等于三百六十度，对不对？好，我们接下来看图三，他这个点数中间的这个点，铅笔的这个点数继续增加啊。 n m a 一 平行于 n a 四，则角 a 一， 加角二，加角 a 三加角 a 四等于多少度？ 那我是不是先猜测一下对不对？对吧，先猜测一下刚刚是三百六，是不是再多一个一百八，对不对？五百四吧，应该是。 好，我们来看正一下。这，这一问啊， a e p q 好 过 a 二做什么？ a 二 p 平行于 m a 一 过 a 三做 a 三 q 平行以什么 m a 一？ 好，所以我们可以知道这四条线是不都平行 m a 一， 然后且我们知道 m a 一 是平行以 na 四的，所以 m a 一 平行以 pa 二平行以 q a 三继续平行以 na 四，对不对？这是平行线的传递性，对不对？ 好，那我们就可以知道，来，这个角，加上这个角，加上这个角，加上这个角，我们在我们就可以看啊，这角 a， 我 们把这里叫角一，这个叫角二，这个叫角三，这个叫角四，所以我们可以知道 角 a 一 加上角一是等于一百八，然后角二加上角三是等于一百八，好，角四加上角 a 四是等于一百八， 这都是什么？同旁内角互补对不对？ 好，同旁内角互补啊。 好，那所以我们就可以知道的，他题目给的角 a 一 加上角 a 二加上角 a 三加上角 a 四，是不是等于多少？等于这么多相加对不对？等于三个一百八十度相加对不对？ 是不等于五百四十度，对吧？好，这是这题啊，我们接着看第三问， 利用上述结论，利用上述结论解决问题。如图四 ab 平行 cd， 角 a b 一 和角 c d 一 的平分线相交于点 f， 这个是角平分线，也就是角一是等于角二的，那这个是角三是等于角四的啊，角三，这里是角四 好，角一等于一百三十度，求角 bfd 的 度数。 好，那我们在这里就可以直接用上面结论。首先我们知道的结论是什么？由第二问的结论是什么？由二可知什么？角一加角二，对不对？是不是这个角加上角一，再加上 角三加角四是等于多少？等于三百六十度的，对吧？对不对？是不是等于三百六十度？ 好，那我们角一知道是一百三十度，所以角一加角二，加上角三加角四是等于多少？三百六，减去角一是等于多少？两百三十度，是不是？两百三十度， 对不对？那我们看一下，他要求的是角 f， 角 f 是 不是在这个四边形里面的？ 在四边形 b、 f、 d 一 中，角 f 是 等于什么？等于三百六十度，减去角一，再减去角二，减去角三，对不对？那我们这里角一知道角二、角三是不是要求出来？好，我们再看一下，又因为题目是角平分线， 又因为角一是等于角二，角三等于角四，所以 这个两倍的角二加上角三是等于多少？两百三十度的，所以角二加角三是等于一百一十五度。那所以我们可以知道角 f 是 等于多少？ 三百六减去一百三，再减去一个一百一十五度等于多少？ 好，三百六减，这个是两百三，两百三减去一百一十五，是不是等于一百一十五度，对不对？好，这就是这题啊。 好， 好，各位同学，这就是我们今天要学的第一种模型，铅笔模型，铅笔模型，平行线的这个铅笔模型。啊。好，我们今天的课程就到这结束，感谢各位同学观看，如果有任何疑问，欢迎在评论区留言，谢谢！

练第一题，如图，在三角形 a、 b、 c 当中， a、 c 的 垂直平分线交 a、 c 于点 e 交 b、 c 于点 d。 三角形 a、 b、 d 的 周长是十二， a、 c 是 五，则三角形 a、 b、 c 的 周长。三角形 a、 b、 c 的 周长应该是 a、 b 加上 a、 c 加上 b、 c 的 长度， a、 c 已经知道它是五， b、 c 的 长度，它可以拆分成 b、 d 加上 d、 c， 而由 a、 c 的 垂直平分线，那得到这里的 a、 d 应该等于 d、 c， 所以 它应该是等于 a、 b 加上五，再加上 a、 d， 再加上 b、 d， 这三者相加，正好是三角形 a、 b、 d 的 周长，所以最终三角形 a、 b、 c 的 周长应该是等于十二，加上五等于十七厘米。 第二题，如图，在 r、 t。 三角形 a、 b、 c 当中，角 c 是 九十度，角 b 是 十五度 d、 e 垂直平分 ab 由垂直平分，那得到 b、 e 和 a、 e 是 相等的，要求的是角 a、 e、 c 的 度数，那角 a、 e、 c， 它是三角形 a、 b、 e 的 外角还应该等于角 b 加上角 b、 a、 e 由 b、 e 等于 a、 e， 那 得到角 b 和角 b、 a、 e 应该是相等的，所以角 a、 e、 c 应该是十五度，加上十五度是三十度。 第三题，如图，在锐角三角形 a、 b、 c 当中，角 b、 a、 c 是 五十度， a、 c、 b、 c 的 垂直平分线交于点 o， 则角 b、 o、 c 的 度数，这个角的度数，那首先由垂直平分线，所以我得到 o、 a 应该等于 o， c 等于 o b o、 a 等于 o、 b， 那 么得到角 b、 a、 o 应该等于角 a、 b、 o 这两个小角是相等的。同样的道理，角 o、 a、 c， 它等于角 a、 c、 o， 角 o、 c、 b 呢等于角 o、 b、 c。 通过上面这两个式子，我可以得到角 a、 b、 o 加上角 a、 c、 o 正好等于角 b、 a、 o 加上角 o、 a、 c， 这两个角相加，也就是角 b、 a、 c 等于五十度。那在三角形 a、 b、 c 当中，根据内角和是一百八十度，所以我得到角 o、 b、 c 加上角 o、 c、 b， 应该等于 一百八十度。减去角 b、 a、 c 是 五十度，再减去角 a、 b、 o， 加上角 a、 c、 o 是 五十度，所以应该等于八十度。这两个角相加是八十度，那么角 b、 o、 c 应该是一百八十度。减去八十度等于一百度。

这道题看起来线条比较多，字母也比较多，但其实只要抓住三个核心条件就能轻松解出来，我们一起来看一下题，如图，直线 a， b， c、 d 相交于点 o o e。 垂直 c d 啊，我们在做题的时候，一定要先根据题目的条件，把我们的已知关系给它标出来，那么 o d 呢？平分角 b o f。 我 们知道 o d。 平分角 b o f 的 话，那说明在这里面 b o d 和 d o f 它是相等的两个角，所以我们把它画出来。若角 e o f 是 二法，那么在这里面 e、 o f 这个角给它标出来，则角 e、 o b 是 多少度？ 我们来看一下，那我们要求的是我们的角 e o b。 我 们观察一下，我们发现 e o b 这个角呢，它可以用角 e o f 减去角 b o f。 所以呢，也就说，如果我们能够知道角 b o f 怎么去表示，那我们就能够求出我们的角 e、 o f 是怎么表示的，我们来看一下。那么在这里面的第一个关键信息就是 o e 垂直 c d。 我 们刚才已经画过了，我们知道 o e。 垂直 c d 的 话，那说明角啊，说明角 e o d 呢，它是等于九十度的，那么角 e、 o f 等于九十度，而角 e、 o f 呢，又是等于我们的阿尔法， 那么所以呢，我们由此可以得到我们的角 d o f， 它是不是就可以用角 e o f 减去角 e o d， 也就是用阿尔法减去我们的九十度？ 那我们再看一下题目的第二个条件， o d。 平分角 b o f， o d。 平分角 啊 b o f。 那 我们由此我们可以推出来，我们的角 b o d 呢，它是等于我们的角 d o f 的， 也就是说角 b o d 和角 d、 o f 都是等于我们的二法减九十度，那么角 b o f 那 是不是就等于二倍的角 d、 o f？ 也就是啊， 二二法减去一百八十度， ok， 那 么现在我们已经知道 b o f 了，那 e、 o f 减去一百八十度， ok， 那 么现在我们已经知道 b o f 减去一百八十度， ok， 那 么现在我们的角 e、 o f 减掉我们的角 b o f， 也就是阿尔法减去括号二阿尔法减一百八十度，那么给它进行化简以后，是不就是啊 一百八十度减去阿尔法。所以呢，这道题是不是选择我们的 d 选项就可以了？

今天我们来讲香蕉线里面的垂线。图一，当直线 a、 b 绕着这个点 o 逆时针旋转，转成 a、 o、 c， 这个角是等于九十度的时候，如图二，你能求出其他角的度数吗？这个图形有什么特点呢？此时两条直线的位置有什么关系呢？ 我们观察下面的图片，能找到其中香蕉的，这也是香蕉的。 在生活里面，有图中位置关系的两条直线都是很常见的。比如我们现在来看，取两根木条 a、 b， 将它们钉在一起，固定木条 a， 然后转动木条 b、 a、 b 所夹的角是角。 r 法就是这个角，转动木条的同时，观察它的夹角变化。第一个问题是，在木条 b 转动的过程中，什么样也随之发生改变？第一个问题， a 与 b 所成的角也会随之发生改变。 问题二，木条 b 与 a 乘九十度的位置有几个？此时木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系？这时候 ab 乘九十度，这个位置只有一个，唯一一个。而且 a 与 b 垂直， 两条直线 ab 相交所成的四个角中，有一个角是直角的时候，你看我这里画了垂直符号。记住，这两条直线互相垂直，记住 a 垂直于 b， 这个是垂直符号。两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，他们的焦点叫做垂足，这个点 o 就是 垂足。 比如我说 c、 d 是 ab 的 垂线，或者说 ab 是 cd 的 垂线，必须要说谁是谁的垂线。垂直的判定与性质判定是这样子的。如图，如果直线 ab、 cd 相交于点 o， 角 a、 o、 d 等于九十度，我们就说 ab 跟 cd 垂直垂足为 o， 语言符号是因为角 a、 o、 d 等于九十度，是已知条件，所以 ab 垂直于 c、 d， 这是垂直的定义。垂直的性质是什么呢？如果直线 ab 垂直于 c、 d， 垂直为 o， 那 么我们就可以通过这个定义推出它的性质，这个角 a、 o、 d 等于九十度。 判定就是通过找到一个角九十度，从而判定这两条直线垂直。而性质就是，我知道这两条直线垂直，从而知道这个角是九十度。 语言符号就是因为 ab 垂直于 cd， 是 已知条件，所以角 a、 o、 d 等于九十度，这是垂直的定义。有一个角是九十度，剩下那三个角也会是九十度的。我们来思考一下，两条直线垂直和相交有什么关系呢？ 垂直是属于相交的特殊情况，所有垂直的两条直线一定会相交，但是相交的两条直线不一定垂直。第二个要思考的是，能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有三种呢？比如相交、平行垂直。 在同一平面内，两条直线的位置只有两种情况，就是相交和平形，而垂直就是相交的特殊情况而已。好，第三个要思考的是，如何判定两条射线垂直呢？或者两条线段呢？ 如果两条射线所在的直线相交，并且所成的角为九十度，那么这两条射线垂直，将线段延长，使其成为直线。如果这两条直线相交，所成的角是九十度的，那么这两条线段垂直。好，现在我们看到例一， 如图一，直线 n、 n 交于点 o， 角一是等于九十度的，所以这两条直线垂直，这个是垂直的判定。第二小题，若直线 abcd 相交于点 o， 且 a、 b 垂直于 c d， 角 b、 o、 d 是 等于九十度的。如图二， b、 o 垂直于 a o， 角 b、 o、 c 与角 a、 o、 c 的 度数比是一比五，就是我这里占了一份，然后我这个大角是占了五份，那说明我这个 a、 o、 c 是 占了四份的， aoc 是 多少度呢？我把这个九十度平均分成五份求出来，每一份是十八度，而我这个 aoc 占了五份，所以是十八度乘以五，求出来它是七十二度。 aoc 是 占了四份的，所以用十八度乘以四份等于七十二度， b、 o、 c 就是 十八度，他的补角就是一百六十二度，因为是一百八十度减去十八得到的。我们继续来看一下垂线的画法及基本事实。我们画一画，用三角尺或者两角器画已知直线腰的垂线。 第一个就是经过直线上的一点 a， 画腰的垂线，这样的垂线能画多少条呢？第二个是过直线腰外的一点 b， 画腰的垂线能画几条呢？我们一起来看一下。 如图，已知直线 l， 我 先画一条直线 l， 标上名称 l， 然后放尺子，再把这个三角尺靠上去画下来，这个就是他的垂线， 标上 a、 o 画垂直符号，这样画幺的垂线是可以画无数条的。但如果我在直线幺上点了一个点 a， 过点 a 画直线幺的垂线。第一步是放直尺，然后再用三角板套过去，然后移动三角板，移动到 a 点这个地方画垂线， 画垂直符号，标上 ab， 这一条就是过 a 点画幺的垂线， 这样的垂线只能画一条。我们再看已知直线 l 和直线外一点 n， 过点 n 画 l 的 垂线。首先第一步是放直角，然后把三角尺靠过去移动，碰到这个点， n 画下来，然后画垂直符号，标上 n 这个交点， 这个垂足为 n。 画到这样的垂线可以画一条。我们得出基本事实就是在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 我们看到另一过点 p 画射线 ab 过线段 ab 的 垂线，我们看第一个是这样子的，垂直符号要标上。 第二个是这样子的，尺子推过去之后，碰到 p 点，画垂线，画垂直符号，这里面 p 点在外面，我们必须对 ab 这条线段进行延长，要画虚线，然后放直尺，三角尺推过去，然后放下来画垂直符号。我们过点 画射线或者线段的垂线，是指画点与射线线段所在的直线的垂线。我们再看到垂线的性质及应用。我们在灌盖的时候，要把河中的水引到菜地劈处，如何挖掘使渠道最短呢？ 你能不能将这个实际问题转化为数学问题？首先这一条河就相当于一条直线 l， 这个菜地 p 点相当于这条 l 外的一点。我把这些房子啊，树啊，河啊都省略，什么菜地啊都省略，只剩下了一条直线 l 跟 p， 我就可以把这个实际问题转化成数学问题，相当于过直线幺外的一点 p 做垂线。好。我们在直线幺上是否存在这样的一点，在所有连接直线幺与 p 点的线段中，长度最短？ 我们来看一下，在直线上有无数个点，试着取几个点与 p 相连，比较一下线段的长短。有什么发现呢？ 我们可以看到这里有很多条线，可以画无数条，但是只有 po 的 长度是最短的，这样的线段 po 只有一条， 我们用一句话来总结观察得到的结论，垂线的性质，连接直线外面的一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，我们就要说成垂线段最短。垂线段就是 po 红色的这一条， 点到直线的距离。直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。线段 p o 的 长度叫做点到直线的距离。 好，现在我看到第五，想问，如果图中的比例是一比十万水渠大约要挖多长？那么我们测量图中这个垂线是四点七厘米，所以实际上是 四千七百米，这里是四点七，去乘以十万，求出来等于四十七万厘米，然后再把厘米转化为米，缩小一百倍，就等于四千七百米。现在我们来暂停视频，尝试做一下， 现在我们来核对答案。如图，下列说法正确的是哪一个呢？线段 ab 叫做点 b 到直线 ac 的 距离。错了，因为这里面 ab 这里他没有垂直符号，他不一定是垂直的，所以不对 b 选项。线段 a、 b 的 长度叫做点 a 到直线 bc 的 距离。不对，因为这里面也是没有垂直符号，不能确定。 线段 b、 d 长度叫做点 d 到线段 bc 的 距离。不对，因为点 d 在 这里到 bc 的 距离。应该是这样子的，是这一条不是 b、 d 的 长度。线段 b、 d 的 长度叫做点 b 到 ac 的 距离，这个才是正确的， 有垂直符号。好，现在我们来暂停视频，自己尝试做一下这道题。好，我们来核对答案。 在数学课上，同学们在练习或点 b 做线段 ac 所在直线的垂线段时，有一部分同学画下列四种图形正确的选择 a 选项。因为我的底边是 a、 c， 我的顶点是 b， 我 要画 a、 c 外面这一点。 b 的 垂线的话， a、 c 太短了，我们就要画延长线，延长线要画虚线，然后再画他的垂线，这垂线段是在这个三角形外面。好，现在我们暂停视频，自己尝试做一下。现在我们来核对答案。 如图，从位置 p 到直线公路 m n 共有四条小路，若用相同的速度行走，最快到达公路 m、 n 的 小道是哪一个呢？那就是垂直线段最短 p b 这一条选 b。 第三题，如图， ab 垂直于 bc， 垂足为 b， ab 是 等于三的 p 点。点 p 是 射线 bc 上的动点线段。 ap 的 长不可能是多少呢？ 这里面是不可能二点五的，因为这条斜边不可能短于直角边三。好，现在我们暂停视频，自己尝试做一下这两道题。好，现在来核对答案。 如图，点 o 在 直线 ab 上， c o 垂直于 d， o 于点 o。 角一是等于一百五十度的角三的度数是多少？ 因为角一跟角二是零补角，所以角二是等于一百八十度，减去一百五十度是等于三十度的，而角二跟角三又等于九十度，所以角三是等于九十。减去三十度，得出来是等于六十度的。选择 d 选项。 第五题，点 a 到直线 bc 的 距离，这个线段是 ac 的 长， bc 的 长是点 b 到线段 ac 的 距离。好，现在我们暂停视频，自己尝试做一下。 好，现在来核对答案。第六题，如图，在某村村头 p 处有一条河流，为方便出行，村民想在两岸搭起一座简易木桥，则在什么处搭建最短，那就是垂线段 p、 b 最短，所以在 b 处搭建最短。好，现在我们来看一下第七题，我们暂停视频，自己尝试做一下这道题， 现在我们来核对答案。如图， o 是 直线 ab 上的一点， o、 c 垂直于 o、 d， 垂直为 o。 若角 b、 o、 d 是 等于三十二度的，求 a、 o、 c 的 度数。第二小题，若角 a、 o、 c 比上角 b、 o、 d 是 二比一，求 b、 o、 d 的 度数。我们先回答第一题， 因为 o、 c 垂直于 o、 d， 所以 这个角 c、 o、 d 是 等于九十度的。又因为角 a、 o、 b 是 一个平角，所以 a、 o、 b 是 等于一百八十度的。 因为 b、 o、 d 等于三十二度，所以角 a、 o、 c 就 等于一百八十度。减去 b、 o、 d 这个三十二度，再减去 c、 o、 d， 这个九十度等于五十八度。 第二想问，因为 c、 o、 d 等于九十度， a、 o、 b 等于一百八十度， 角 a、 o、 c 加上角 b、 o、 d 就 等于一百八十度。减去直角 c、 o、 d。 九十度等于九十度，就因为他们的笔是二比一，所以角 a、 o、 c 是 等于两个角 b、 o、 d 的， 所以三个角 b、 o、 d 就 等于九十度，所以一个角 b、 o、 d 就 等于九十度。除以三等于三十度。 好，我们来总结一下这节课我们讲的垂线里面的垂线的定义，还讲的垂线的画法，就是 一放二靠，三移四挂。然后还讲了垂线的基本事实，就是在同一平面内过一点，有且只有一条直线与一直线垂直，垂线的性质是垂线段最短。好了，我们这节课就上到这里。

a b 平行于 c d， 要问你这个角 a， 角 c， 还有这个角 p， 他 们三个有什么关系？是不是难度升级了？过哪个点做平行？来，我们首先第一个过哪个点做平行？好，你看我们过 a 点做平行的话， a 点本身就在啊， a 点延长吗？啊， 好，来，我们过点 p 来，同学们，现在当这个，其实我们马上就能发现一个关系，是不是？你看这是个 z 字形，是不是？这个是角 a， 角 a 是 不是等于这个角啊？好，我们把这个标为 p h 啊，就是过点 p 做 p h， 平行于 a b， 那 么这就是我们的一个 z 字形，是不是？那么 z 字形这两个角是什么角？ 角 a 和这个角 a p h， 它是什么关系？这两个角是什么角？两条平行线是不是把它 ap 把它分开？两个是什么内错角？平行线的内错角是不是相等的？这两个角相等，那么这样相等的话，好，那么现在你看啊，关键点啊，谁说 这个角是不是我们的这个角 a 了？好，现在其实我们再来看啊，我们给它用绿色描边，再回到我们这一个平行线呢， 好看，老师，绿色这个线啊，绿色这个线啊，注意看，绿色这个线，大家一定要注意看好，因为这个图呢，你要仔细看，这个是角 c， 那 么看到老师的节奏啊，那么现在我们瞄大一点啊，这个角我们比说把对方标为呃 m 吧，来 角 cpm 就是 我这个 cpm 大 的，这个角和这个角 c 什么关系啊？这个是角 c 的 这个，这两个角呢，是不是也是相等的关系啊？因为它是吗？对角相等。好，那么现在大家观察一下啊，你看啊， 大家仔细观察一下，你看，如果我现在来这个地方非常关键啊，来，如果我现在 我们换个颜色来讲啊，如果现在我把这个绿色的角和这个红色的角把它相加的话，你看这个绿色的角和这个红色的角相加。能不能有同学告诉老师，我现在这个角屁被加了几次，这个绿色的角标为角一的话，来，我们现在为了方便把它标注一下啊， 这绿色角，我们用颜色表示，绿色角是我们的角一，然后这个红色的角呢？我们把它标为角二， 如果角一跟角二进行相加的话，然后中间我们这个蓝色的角呢？就标为是角屁啊，用角屁表示好中间这个蓝色的角，比如说这个角 a p c， 这个角被加了几次？来告诉老师， 如果把角一跟角二相加的话，那么中间这个角 a p c 被加了几次啊？啊？同学们，加了两次，非常好，是不是？这关系你找到了，是不是角一，你看角二是 a p h， 是 不是？然后呢？这个角一是 m p c， 它是不是把中间这个蓝色的角角把它加了两次，那么它加了两次的话， 我是要把它减掉啊，就减去 a p c 嘛，减去角屁，他是不是一个平角一百八十度？那这个地方是不是很容易我们就找到这个关系了嘛？所以说这个，你看 这个角一就等于角 a 嘛，所以说角二就等于啊，不是角一就是我们这个这个角 c 嘛，是不是角一是我们角 c， 角二是我们角 a， 所以 说我们的关系是不是就出来了？ 就是我们的角 c 加角 a 减去角屁就等于一百八十度，当然如果你做到辅助线之后呢，你的角屁呢？最好是用 a、 p、 c 来表示，来，好，热身一下来看看。哎，你看我们刚才呢，是有一个拐点，这有两个拐点怎么解析？来，两个拐点怎么解析啊？ 来，同学们，告诉老师，两个拐点，我现在第一步 a b 平行于那个 c d， 是 吧？要你把角 c， 你 看把角 c 给它表示出来，好，那么怎么做平行线？告诉老师，对拐点是我们 e 跟 f， 那 么现在我是过点 e 做还是过点 f 做？ 来，同学们告诉老师，我是过点 e 做平行线，还是过点 f 做平行线？如果说我是过点 e 做平行线的话，比如说标为 e h， 那 么现在我给大家描一下的话，那么下面这个是不是我们一个主体模型啊？ 你看这个粉色的是不是我们主体模型？有没有问题，是吧？一个一个这个鸭子，哎，同学说过点 e 来，我们假设不是过点 e， 过点 f 来试一下， 好，如果点 f 做平行线，好，我们标一下，比如说这个标为 f h， 好， 那么我们同样的瞄一下，上面是不是我们的一个啊？ 那这个上面是不是也是我们的一个什么来？同学们，当然呢，它是个钝角，它这个钝角呢？是吧？你其实不太好看，但实际上呢，它也是一个什么呢？也是一个我们一个主体模型， 好，当然呢，这地方我们为了大家方便好看，我们尽量选择锐角，我们就过点 e 来做，这样的话你们方便看一点。来，我们同样的，好，这地方标为 h， 好， 我们来描一下，我们下面呢， 是不是好主体模型？好，来告诉老师，我们主体模型是不是我们内凹的这个角？所以说我们直接就可以写了吗？来标个红色角 f 是 不等于这个角？比如这个角标为角 e， 这角标为角 c， 是 吧？好，角 f 就 等于大角，等于两个小角之合，是不是 好，有没有问题？角角 f 是 不是等于角一加角 c， 大 角有没有问题？好，那我现在告诉老师啊。来，同学们，快速告诉老师，咱们题目要求什么？求的是不是这个角，上面这个角，你看是不是， 你们谁知道快速的，那么我们在这里面得到我们的关系是我们题目要求的角 c， 那 么上面呢？这样的一个是什么来？ 这个是不是我们的角 a 啊？那么这里是不是也是我们的角 a？ 好， 来告诉老师，我现在比如说把这个角变为角二的话来，有没有知道角 a 与角二是什么角？来，同学们，角 a 跟角二是什么角？角 a 和角二是什么角？是不是我们的这个内错角？好，你看啊，我们接着继续啊。 好，我们假设，哎，稍等一下，我们这个尺子挪过来，我们现在过点 f 啊，我们再做一条平行线。你看啊，你看，我们其实做一条平行线，发现大家是不是没法解题，说这地方我们得做什么？做两条平行线？ 好，你看，我们给大家重来，我们把这个尺子先给他挪开啊。呃，我们把它重新画一下吧，这个，这个图，把它放大一点吧，因为老师这个不太好写了，放大大家好看一点。 然后我们来做平行线，用蓝色的线段过点 e 做一条，过点 f 做一条，然后把角给它标一下， 角 e 呢？把它分成角一，加上我们的角二，角 f 呢？分解成角三和我们的角四。来，同学们， 我这样标完之后，大家速度有没有出来来？有没有觉得速度已经出来，没有快速的？我们把这个图形放大一点，好标一点啊。来告诉老师，我现在角 a 等于哪个角？这题目中，你看我们上面是不是描边大法，这是角 a， 角 a 和角 e 是 不是我们的一个什么内错角，所以角 a 就 等于角一好，那么同理，这是我们上面这个是不是描边大法又来了？那么角三和我们的角 c 什么关系 来，角三和角 c 它是不是也是相等的？你看内缩角吧，是不是我们一个 z 字形的？是，是这样一个 z， 是 不是上面它是一个这样的一个 z？ 是 不是好？这两个角相等是不是好？那么接下来你看好，我们为了方便把它写成角 c 等于角三啊， 角 c 等于角三。来，接下来角二跟角四什么关系？来看这个地方角二跟角四。来，我们先问大家角二跟角四是什么角？角二和角四是什么角？在我们第三组平行线里面， 角二和角四对，是不是我们的同盘内角非常好啊？是不是我们同盘内角互补，所以说角二加角四就等于多少？一百八十度吗？是不是？你看我们是不是满足一个？哎，大家不要时间久了有点困难，是不是角二加角四是不是一个 u 字形的或这个到 c 啊？ 同盘类角互补，所以角二加角四等于一百八十。那你看我们现在几个角不就错了吗？我们直接把它相加是不是？你看角一加角二加角三加角四，你把它相加嘛？角一等于角 a， 角二加，然后角三等于角 c， 角二加角四等于一百八十度，它是不是等于角一加角 f 啊？ 你看我们的关系是不是就出来了？因为这个是角一加角二等于角一嘛，是吧？这个一，这个大角分成角一加角二，这个 f 的 角分为角三加角四， 那么所以说角一加角二加角三加角四，就等于角一加角 f， 就 等于角 a 加角 c， 加上我们的一百八十度。好，那么现在要求角 c 不 就好求了吗？就等于角一加上角 f， 然后呢，减去角 a， 减去一百八十度，是不是？那这道题就是我们最终结果来，你看这道题呢，他实际上不要用到模型，但是呢，他用到什么？用到我们平行线的基本性质，所以大家注意，你在做题的过程中，他不一定完全是套模型， 说这道题给大家一个一个什么呢？不是说你学了模型就要套模型，我们模型的本质一定要是基于我们平行线的基本性质，是不是就是我们的内错角相等，内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同盘，内角互补，你要基于我们的直线的性质来求解题目，是不是不要硬生生去套模型啊？来，我们来看一下我们 最后一道压轴题好不好？我们讲一下这道压轴题啊，最后一道压轴题讲完我们就准备下播了，没有点关注的给老师点一波关注，把关注点起来，你看啊， ab 平行于 c b， ab 平行于 c、 b， 然后呢？ abf， 你 看，注意看这个关系式啊，这个 abf 是 哪一个？ abf， 这个等于三分之二的 a、 b、 e、 a、 b、 e 是 哪一个？ a、 b、 e 是 不是说明什么？说明这个 b、 f 杀了，杀了什么线？是不是三等三等分线啊？也就是说，如果把这个 a、 b、 e 把它三等分的话，那么这个 a、 b、 f 是 不是占两份啊？ 把 a、 b、 e 把它三等分，那么这个 a、 b、 f 呢？是不是占两份？比如说，如果说我把这个角设为，呃，我们假设啊，这个角的角的度数是 a， 比如说，那么下面是不是二 a 啊？ 我们假设这个是 a， 这个是 a， 那 么下面是不是二 a？ 二 a 是 不是等于三分之二的三 a 啊？ 是不是来告诉老师，这个 e、 b、 f 是 一份的话，这个 f、 b、 s 是 不是两份？来这地方有没有问题？好，同理，接着往下啊， c、 b、 f 呢？等于三分之二的 c、 d、 e？ 来，我们看一下啊，这个 c、 d、 f 是 这一个，它等于什么呢？ 等于三分这样的 c、 d、 e， 也就是说，这个如果是 c、 d、 e 的 话，比如说三等分每一份都是 b 的 话，那么这一个来告诉老师，这个角 c、 d、 e 是 几个 b 啊？ 如果把 c、 d、 f 把这个 c、 d、 e、 c、 d、 e 看作看作三个 b， 那 么这个 c、 d、 f 是 几个 b 啊？是不是这个是二 b， 是 不是呀？好，你看，说二 b 等于三分之二的三 b 嘛？说，我们把这个是不是把这个 d、 f 看成它的三等三等分 点是不是好，非常好啊？非常好，一定要跟上老师的节奏啊。你看，我们就这么去把这个几分之几是把它拆分掉了，这个这个小角标为角是 a 度，那么下面是两倍的 a 度，同样的，上面这个标为 b 度，下面是两二两倍的 b 度，是不是？好，那么现在求什么呢？你看，告诉你啊， 告诉你。好，我们现在先，我们先，我们先告诉你。要求是这个 q， 这个角，这个角了，我们换个颜色啊，换个橙色，表示要求是这个角和什么呢？和这个角的关系。角 f， 这个我们这个绿色的来描的，绿色的 这个角 f 就是 我们这个绿色的角。角 f 等于多少？这个角 f， 你 看这个是 r a， 上面是 r b， 那 么角 f 是 不是大小等于两个小角之和？谁说角 f 等于多少？来，还记不记得具体模型？还记不记得谁说角 f 等于多少？ 对，非常好，是不是 r a 加上 r b 啊？来，非常好，咱们扣口，非常好啊，好，来来来，来，接着看啊。然后这个题目问什么呢？好，问的是什么？问的是 叫 d q， d q 是 我们换个颜色啊，换个橙色吧，你看 d q 它平分了这个角， d q 它平分了这个大了橙色的角。 是不是来告诉老师，我现在这个大的承受的角，这个大的承受的角是多少度？来，我们在这条直线上面的这条直线上面，这里是二 b， 这里是 b， 告诉你这个角度是多少度？来告诉老师这角等于多少度？我们一个平角平角是不是一百八十度啊？ 那么这个是二 b 度，这是 b 度，那么这个是多少度？这个角算一下是不是对，非常好，就是一百八十度，减去三 b 嘛？好，那么他的角平分线。角平分线是什么意思？ 是不是这个橙色的线段把这个红色线段把这个角一分为二，那么这一个角等于多少来？是不是二分之一的一百八十度减去三 b 啊？ 是不是？那么同你，同你下面，你看这个下面啊，我们再换个颜色啊，同你下面来换个红色吧，那么下面你看这个红色的大小等于多少度？来告诉老师，一样的啊，红色的大小等于多少度？你看是吧，这个是二 a， 这个是 a， 那 么这个红色的大小等于多少度？同学们， 是不是平角是一百八十度，就是这个红色的大角等于多少度呢？是不是一百八十度减去三 a 啊？那么它的角平分线把它一分为二之后，那么这个角二 标为角二，角二是不等于二分之一百八十度减去三 a 啊？好，那你看，那么现在我右边是不是出现了一个猪蹄模型？好，我右边又出现了一个猪蹄模型， 好，那么这个时候来同学告诉老师，角一角二，知道，那么这个角 q， 知不知道其实角 q 是 不等于这两个角一加角二啊？ 好，来，我们来，那么当然这个地方呢，你们就要来稍微来说来核算一下，是不是来算一下，是呢，那么现在我们来写一下啊，有个蓝色吧，所以角角 q 就 等于这个 q， 就是 我们的 d q b 啊。我们就写简单点啊，等于角一加角二， 角一，这角是不等于二分之一百八十度减去三 b， 再加上二分之一百八十度减去三 a 啊？来换算一下，来，这个地方我们就是等于一百八十度减去二分之三倍的 a 加 b 啊， 好，那么前面的得到什么 a 加 b 是 不是等于二分之一的角 f 啊？我们直接带进去就等于一百八十度减去四分之三倍的角 f， 你 看我们这个关系是不是就出来了之后呢？每天来直播间跟老师互动好不好？ 好，我们就下播了啊，没有点关注的把关注点一点。好，大家晚安，记得点赞关注哦。

同学们，三线八角是七年级下册的重难点，我们今天一起来学习三线八角中的同位角、内错角和同旁内角，我们一起来看这个图。那么三线呢，它指的有三条线，我把这三条线起名为 abc 三角线，它组成了八个角，对吧？在这两个交点处呢，各有四个角，一共是八个角，我们下来把这八个角起个名字，那么这个呢？叫角一，这个叫角二，这个角角三，这是角四， 这是角五，这是角六，角七、角八。我们下来观察一下啊，角一的两条边是谁组成的？那么角一是不是 a 线和 c 线是不是组成的？它是 a 和 c 的 线。那么角五呢？ 他是角五，是这条线和这条线，对吧？他是 b 和 c， 我 们来观察。那么他们两个角是不是有个公共边？是角 c？ 好， 我们再观察。那么角一和角五的话，是不是都在公共边的什么左侧，对不对？那么另外呢， 角一呢，他在 a 的 什么上方，那么五呢？也在上方。我们把这种位置的角叫什么角？叫同位角， 也就是说他们两个在公共边的同侧，也在其他两条边的同侧，我们叫同位角。那么这个图除了角一和角五之外的话，还有谁？你比如说我们的角二，对吧？角二和角六，我们来观察。 那么角二的两条线呢？是 a 线和 c 线，那么公共的线呢？也是 c， 他 们都在 c 线的左侧， 角二在 a 的 下方，那么角六呢？也在下方。除此之外，还有角三与角七，对吧？角四与角八，那么这种呢，就是同位角，一共是八个角，两两配对会配四对同位角。好，我们再来看一组角， 我们来看一下角二的两条线呢，是 a 线和 c 线， 角八呢，是 c 线和 b 线。好，我们再来看，那么它是不是也是有一条公共线叫 c 线，是不是？那么角二和角八呢？这个时候在 c 线的什么两侧也叫 e 侧，已经不是同侧了啊。那么再来看，那么 a 呢，这个二呢在 a 的 下方，八呢，是在 b 的 什么上方， 他并没有在同一个方向，我们可以把它理解成角二和角八，在 a 和线在 a 线和 b 线之间，对不对？我们把这种位置的角叫什么？叫内错角。好，我们顾名思义，从名字上呢再做一个理解， 那么内呢，指的是公共线之外的其他两条线之间的角，我们叫内。那么错是什么意思？这两个角在公共线的两侧，我们叫错。 好，那么除了角二和角八之外，还有一个角三与角五，对吧？那么他是内部的角呢？ a 和 b 内部的角是有四个，两两配对呢？他只能配两对。 好，这就是内错角了。好，我们再看一个位置的角啊，看一下角二和角五，那么角二的两条线是 a 线和 c 线， 角五是 b 线和 c 线，对吧？那么也是有一个公共线是 c。 好， 我们这时候观察，它们两个在公共线的左侧，叫同侧了，那么在 a 的 b 面之间，这种位置的角呢？我们叫同旁内角。 好，我们再从名字上再做一个理解，那么同堂指的是在公共线的同一侧，叫同堂。那么内角是 a 线和 b 线之间的角，我们叫同堂内角。那除了二和五之外还有什么？三 和八，对吧？我们再来看，那么三的线是 a 线和 c 线，八的线是 b 线和 c 线，对吧？都在 c 线的右侧，在 a 和 b 之间，所以叫同旁内角。这就是我们今天要讲的三线八角中的同位内错和同旁内角，你听懂了吗？

各位同学，大家好，我是小明系长，今天我将带大家继续学习专题七点一、平行线的四大模型的类型。二、猪脚模型我们在上节课学习的这个铅笔模型啊，我们今天来学习这个第二种类型， 珠角模型。珠角模型跟铅笔模型有什么差别？铅笔模型是朝这边对吧？它就是 p 在 a、 b 的 右侧，在 a、 b、 c、 d 的 内部，那这个呢？是 p 在 这个 e、 f 的 左侧，也是在 a、 b、 c、 d 的， 它形似于 m 形状，这形似一个 m 的 一个形状啊，这就是这个。那我们看一下这种类型又有什么特点？这个角度之间又有什么特点？ 我们先看一下第一个结论，若 ab 平行 c、 d， 则角 p 是 等于 角 p 等于角 a 一 p， a 一 p 加上角，它说是等于这个角加上这个角的，那我们来正一下这个结论好不好 过 p 座 p m 是 平行于 ab 的 好， p、 m 我 们看一下。 好，且我们知道 ab 是 平行以 c、 d， 所以 我们可以知道 pm 既平行以 ab， 又平行以 c、 d， 这三条线互相平行对不对？这叫什么？平行线？是不是具有传递性 对不对？好，那我们可以知道，所以我们可以知道角 a、 e、 p 是 等于角一的，然后角 c、 f、 p 是 等于角二的。好，所以可以知道角 p， 它居然用角 p 是 等于角一加，角二是等于角 a、 e、 p 加上角 c、 f、 p 的 好，这是这个第一个结论。我们再看第二个结论啊， 若角 p 等于角 a、 e、 p 加上角 c、 f、 p， 则 ab 平行于 c， 这是不是立定？你反过来证，那我们再证一下这个第二问，我们把这个角叫角一，这个角叫做角二啊， 因为角 p 加上角一加角二是不是等于一百八十度？这是不是三角形内角和 对不对？好，角 p 加角一，加角二等于一百八十，那角 p 等于多少啊？把这个带进去啊，所以角 a e p 加上角 c f p 再加角一加角二等于一百八十度。那我们是不是整理一下，这角 a e p 加上角一，我们给他放到一起，再加上角 c f p 加角二是不是也放到一起等于一百八十度？是不是就是这个角加上这个角，所以可以知道 ab 是 不是平行 cd 的， 这是什么，对吧？这是不是叫同旁内角互补啊， 对不对？好，这就是结论二啊。好，我们来清空，我们直接来看下面的这一道题， 典型例题，如图一所示， ab 平行 cd， 试问角二和角一角三有什么关系？这个我们刚刚已经正过了，对不对？正的啊，我们只需要过一点做 e m e m 平行，以 ab 就 可以证出来对不对？过这个 p 做 ab 或者 cd 的 平行线，那三角线都平行，就可以知道。把这个角三往这边倒，角一往这边倒，就可以知道角。第一问就可以知道角二是等于角一加角三的，对不对？这个已经证明了，我们就不再证明了。好， 如图二，如果继续增加这种点数呢？增加这种点数呢？如图二， ab 平行于 cd， 试问 角二加角四和角一加角三加角五有什么关系？也就是角二加角四是不是朝这边的角？那角一加角三加角五是不是朝右边的角？好，我们分析一下， 角二角四是什么？向左的角是不对？锯齿状向左的角对不对？ 我们把这种叫做锯齿啊，锯齿形，它叫向左的角，角一，角三，还有角五是向右的角， 有什么关系？那我们是不是盲猜一下，这个向左的角等于向右的角，因为我们根据第一问的结论对不对？好，我们猜测角二加角四，向右角是等于角一加角三加角五的，那我们接下来证明一下这个这个东西啊， e p， 这个 g q m k 吧，好正， 依旧是过拐点做平行线啊。碰到这对题目，过拐点做平行正过一做一 p 是 平行于 ab， 然后 g q 也平行于 ab， 且我们知道 ab 是 平行 cd 的， 那所以我们就可以知道什么所有的这个是不是平行的 ab 平行以 e p 平行以什么 q g 再平行，什么平行以 mk 再平行以 d c， 对 不对？好，这叫什么平行线？ 这传递性啊。好，那我们看一下，那这样的话，这个角五是不是可以倒到这里来，跟这个角是相等的，对不对？那角一是不是可以倒到这里来，跟这个角是相等的？ 那角三呢？角三被分成了两半，这一半倒到了这个位置来，另外一半倒到这里来，是不是很明显可以看出是相等的？那我们写一下好不好？所以可以知道什么 角二加角四是等于多少的？角二加角四是等于角二，我们把它写上去，角 b e p 加上角 p e g 的， 然后角四是等于多少？角四是等于 角 g m k 加上角 k m c 的 好。角二，角三等于多少？我们看一下角 b e p， 因为它是是不是等于角一？这个是不是可以替换成角一加上角 p e g p e g 是 不是等于这个角等于角 q g e， 再加上 角 g km 是 等于哪个角？是不是等于这个角 q 角 q g m 再加上 km c， 这个角是不是等于角五？好，那我们把它再括号重新组合一下好不好？ 角一加上角 q g e， 加上角 q g m， q g e 加上 q g m， 再加上角五，是不是把这两个组合把角放出来，那就等于角一加上，然后刚好中间这个加起来是不是等于角一 g m 的， 是不是就等于角三？这个是不是就是角三呢？再加上角五，对吧？角二加角四等于角一加角三加角五， 好，这个就证明完毕了啊，那我们再看一下第三，如图三 ab 平行，以 c d 试问角二加角四加角六和角一加角三加角五加角七是什么关系？相等啊，对不对？ 我直接写相等啊，证明我就不在这里证明了。还是那样，做平行，做平行，过拐点做平行， 然后把脚互相的打，然后这一题他这个主要考的是什么？内错角对不对？内错角相等对吧？ 好，那我们今天关于这个模型二猪脚模型就到这里结束了，如果有任何问题，欢迎各位同学在评论区留言，有需要资料的也可以在评论区留言。好，谢谢！

你下册学不好三线八角，那初中数学别学了。来看一下三线八角，直线 a 和直线 b 被直线 l 所截，形成了八个角，这就是三线八角。三线八角当中的 八个角，按照他们的位置关系可以分为同位角、内错角和同旁内角。看一下同位角，什么是同位角呢？同位角，那就是位置相同，像角一和角五，他们的位置相同。怎么说的相同呢？他们在两条背接直线的 同侧，并且在截线的同侧，在截线的同侧， 那这样的角就是什么？同位角，角一和角五是同位角，角二和角六是同位角，角四和角八是同位角，角三和角七是同位角，那同位角。我们来看一下角三和角七，像不像一个 f 型？哎，就是这样的 f 型啊，同位角。 再看一下内错角，那内错角，我们来看一下什么是内错角？它是在两条背接直线之间， 两个背接之间，这是不是两侧之间，并且在结线的两侧？结线的两侧，那只有角二和角八，角二和角八，它们就是内错角， 同样角三和角五也是内错角，那内错角它的结构像什么呢？我们来看一下角二和角八，角二和角八像不像是锐角形，那角三和角五呢？是反锐角形， 反 z 就 行，也说是 z 就 行吧啊，反 z 就 行。再说说同旁内角，那同旁内角，什么是同旁内角呢？它是在结线的同一旁， 在结线的同一旁。你看角二和角五在结线同一旁，角三和角八也在结线的同一旁。并且在什么？在两条背接直线的啊之间，两条背接直线之间，那角二和角五就是同旁内角，角三和角八呢？也是同旁内角。 那同旁内角像什么？你看像不像一个围绕的一个 u 字？哎，这像一个 u 字。好，那同内角、内错角和同旁内角，他们都是两个角之间的关系大家一定要分清。