怎么学好六下数学青岛版五四制

同学们大家好，我们这节课学习第七章，从第七章开始我们要学习相交与平行。这节课我们首先学习一下两条直线的位置关系当中的一部分，学习一些不同寻常的角，好，看一下。 在学习脚之前，我们首先看一下我们生活中的一些线，比如说扶手这条线，比如说双杠这两条线，比如说铁轨这两条线， 这些都是什么样的啊？都是平行的对不对啊？以前我们小学也学过平行的，我们继续看 这样一条线，这样一条线，这叫什么呀？相交对不对？我们也学过好，对于初中来说，我们要继续更加深入的学习它各方面的特征以及性质。好，我们回顾一下我们学过的两条直线平行的关系。 什么叫做相交线呀？首先我们的前提条件是在同一个平面内。在同一个平面内哈， 只有一个焦点的两条直线叫做相交线，只有一个焦点叫做相交线，那这是有一个焦点。那如果没有焦点呢？在同一个平面内 不相交，也就没有交点，叫做不相交的两条直线叫什么？平行线，这是我们学的平行线和相交线的定义。那通过这两个我们就总结出来了，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种，一个是 相交，一个是平行。那我们思考一下，不相交的两条直线一定是平行吗？首先 我们要确定前提就是在同一个平面内，同一个平面内不相交，是不是就一定平行？这是对的，因为只有平行和相交两种关系。 但是如果不在同一个平面，那叫什么？那叫做意面直线，不在一个平面的叫做意面直线，同学们可能想象不到，那老师举个例子，你抬头望望你头上的天花板的一根灯管，再想想你家窗台 的一条，你说你的窗户的一条线，这两条它就不在一个平面内， 所以它叫意面直线。那我们现在研究不是平行就一定是相交，不是相交就是一定平行，是在什么呀？前提条件是一定是在同一个平面内，不在同一个平面内的两条直线是叫意面直线。哈，好，看一下。 好，第一个不相交的两条直线叫做平行，这个我们说了，是不是 必须是同一个平面内，不相交的两条直线就叫做平行线。第二条在同一个平面内了，不相交的两条线段是平行线。线段我们研究的是直线，我们研究的是直线。 看一下第三个两条直线要么平行，要么相交，必须怎么样？要在同一个平面内， 这个也是在同一个平面内。好，第二个，第二个在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交和平形两种。刚才我们说了好几遍了，一定是在同一个平面内，只有相交和平形，在 不是同一个面的时候，它不，它还有一个异面的关系，对不对？ 好，来看一下我今天要学的第一种角，叫什么角啊？ 在这里直线 a b 和直线 c、 d 相交于点 o， 我 们得到了两个角，一个是角一，一个是角二。观察一下这两个角，你们会发现没发现？比如先看角一，角一的组成部分是顶点 两条边，对不对啊？角二是顶点两条边，我们观察一下，发现这两个角怎么样呀？顶点是相同的， 顶点是相同的，然后再看边呢？发现角二的这个边和角一这个边有关系，是不是啊？角二的这个边和这个角一的边有关系，那我们看一下哈， 像这样， ab 与 cd 相交于点， o 角一，角二有公共的顶点，并且他们的两个边怎么样呀？互为反向延长线，就是说角二的这个边延长了之后成了角一的边，角一的这个边延长成角二的边互为反向延长线， 那么这两个角就叫做对顶角。两个前提，第一个是两条边互为反向延长线，并且存在着公共顶点，那么这两个角就叫做对顶角，两个角叫对顶角。

六年级的同学们请注意啦！寒假数学预习不用慌！这份超实用攻略请收好！照着学，开学直接当领跑者！这册书的五大核心板块，咱们逐个击破！ 基本平面图形，先认清线段、射线、直线的区别，学会比角、线段长短和角的大小。把多边形和圆的基础概念过一遍，动手画一画图形认知轻松到位。 一元一次方程是基础重点先掌握方程的定义，把一项合并同类项的解析步骤熟练，再试着做几道简单的应用题。理清数量关系很关键， 相交线与平行线分清对顶角、邻补角、平行线的判定定律和性质定律要吃透，试着用，因为所以说清推理逻辑，几何思维直接拉满。 整式的乘除是代数重头系统，底数幂的乘除，幂的乘方运算法则记牢固平方差，完全平方公式，反复练基础计算别出错，这可是后续学习的基本功。 变量之间的关系，掌握表格、关系式图像三种表示方法，能看懂变量的变化规律，就可以为以后学函数打下基础。

同学们大家好，我们这节课继续学习如何应用一元一次方程。 首先我们看一下这样的一个立体，这是一个圆柱，直径是二十，高是九厘米，现在我把它断压成一个这样的圆柱，新的圆柱的直径是十厘米， 假设在断压的过程中体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少呢？ 通过读完这个题，我们知道这是一个体积不变的一个题目，体积的不变成为我们这个题目的关键，也就是我们的等量关系式就在于体积不变。那首先我们看一下原来的圆柱，它的直径是二十， 高度是九，我们可以轻松地利用圆柱的体积公式把它求出体积来，然后再把新的圆柱的体积用一些未知数表示出来，然后相等，这是它们的等量关系式。我们带着这样的思考继续往下看， 断压前体积等于断压后的体积。 我们假设断压以后的刚才的高是 x 厘米，我们看一下下边把我们这个题的重点信息给罗列一下。首先 断压以后，高是 x 厘米，断压之前直径是二十，半径就是十。断压以后直径是十，半径就是五。 断压前前的高是九厘米。我们可以利用底面积乘以高，把断压前的体积表示出来。也可以利用底面积乘以高，把断压后的体积表示出来， 两个体积是相等的。我们看一下这个式子，虽然有 pi， 我 们也不用担心，因为两边同时有 pi， 我 们可以两边同时除以 pi， 所以 最后就变成了一个很简单的方程，最后求出来 x 就 等于三十六。 通过回顾这个题，我们发现了这个题的关键就在于体积不变，也就是说等体积变形是一种变形，但是体积不变是一种相体积相等的变形。我们继续往下看， 说小明有一个问题他想不明白，他想要用一根长十米的铁丝围成一个长方形， 它的要求是长方形的长要比宽多一点四，这时候长和宽各是多少？面积又是多少呢？我们看一下这个题，想求长和宽，我们无法一下子求出来，只能利用给我们的条件，我们分析一下给我们的条件。首先 长比宽多一点四，我假设我的宽是 x 的 话，我的长就是多一点四，就是 x 加一点四。那在这样的前提条件下，我们怎样表示它的关系啊？长加宽括起来乘以二等于周长，也就是铁丝整个的长度是 十米。我们就假设长是 x， 宽是 x， 长就是 x 加四， 长加宽括起来乘以二，就等于我们的周长。我们可以轻松地求出 x 等于一点八。知道了 x 等于一点八，那么我们的 长也能求出来一点八，加上一点四等于三点二，长是三点二，求出我们的长和宽了，我们再求它的面积，面积就是长乘以宽的结果啊。我答，长是三点二米，宽是一点八米，面积是五点七六平方米。 这个问题解决，我们看一下第二个，他说我如果想使长方形的长比宽多零点八，这时候长和宽又各为多少呢？围成的长方形和第一次的长方形比，面积有什么样的变化呢？ 看一下这个题，刚开始我们那个是多一点四，我们的面。

同学们大家好，我们这节课继续往下学习整数的乘法。在学习之前，我们先回顾一下我们学过哪三种幂的计算。第一种，同底数，幂相乘，底数不变，指数相加。 第二种，幂的乘方，底数不变，指数相乘。第三种，积的乘方，每一项乘方再相乘。 使用刚才这三种幂的运算，我们解决这些问题。负 a 的 五次方，括号起的五次方， 我们可以把符号看成是负一负一乘以 a 的 五次方就是 g 的 乘方。负一的五次方， 乘以 a 的 五次方，扩起来五次方，负一的五次方还是负一 a 的 五次方，扩起来的五次方，这是 m 的 乘方，底数变，指数相乘二十五， 同样的道理，把它看成是负一负一的三次方，还是负一乘以 a 的 平方扩起来的三次方， a 的 六次方， b 的 三次方， 负二的平方是四， a 的 平方乘以负三的三次方是负二十七， a 的 二， a 的 平方，阔起的三次方是 a 的 六次方。下面负 y 的 平方就是 y 的 平方，乘以 y， n 减一，同底数，幂相乘，底数变，指数相加。 n 的 啊， y 的 n 加一次方， 这个同学们要熟练掌握，因为我们这一块学的重复的次数真的是不下五到六遍了。每做一个题，老师都会把这个密的运算性质给大家强调哈， 你看一下这个题。七年级三班举行新年才艺展示，小明的作品是用同样大小的纸精心制作的两幅剪贴画，其中宽是 x， 长是 m x。 现在这幅画是把整个纸都给占满了，而这幅画不是。这幅画的上面和下面有一个空白，这空白有多少呢？这空白是八分之一 x， 这个也是八分之一 x。 好， 我看一下，他说让我们表示出面积。首先第一个面积是长乘以宽 m x 乘以 x， 对 不对？就是 m x 的 平方。 第二个因为两边是空白，所以我们要减去，所以我们就求出剩下的这个宽，整个的是 x， 那 减去上下两个就是宽是 x， 减去八分之一 x 乘以八分之一 x。 啊，八分之一 x 乘以二 x 减去八分之一 x 乘以二，就等于四，嗯，分之 x， 所以 我们中间的宽就是四分之 x， 四分之 x 是 宽乘以长 m x， 四分之三 x 乘以 m x。 我 看一下哈，他说第一幅画我们得到的面积是 x 乘以 m x， 第二幅画是 m x， m x 乘以四分之三 x。 我 们可不可以把这两个表达写得更简单一些呢？ 像这样的三的， a 的 平方 b， 二乘以二 a， b 的 平方，还有 x、 y， z 乘以 y 的 平方 z 是 不是也可以写得更简单一些呢？为什么呢？能不能写得更简单？首先我们要研究一下这样的式子是什么类型，对不对啊？ 像这样的它都叫什么呀？是单项式，乘以单项式。那什么是单项式呢？ 数字与字母的乘积叫做单项式。刚才的 m x 乘以 x， 这个是数字与字母的乘积，是单项式。 x 是 一个单独的，字母也是单项式，所以这个就是单项式乘以单项式。同样的道理，刚才那个四分之三 x 乘以 m x， 这一个也是数字和字母的成绩，也是单项式。

同学们大家好，为这节课继续探索直线平行的条件。上节课我们讲了有一组特别特殊的角，叫做同位角，同位角相等，那么两条直线就会平行，那我们这节课继续往下学习角。 我们首先回顾一下，上节课两条直线相交，形成了四个角，从位置关系上可以看角一和角二，嗯，角二和角四是对顶角，对不对？对，顶角 有个目顶点，再反向延长线，这是位置关系。然后再看角一和角三，也是对顶角。 然后我们再看，从数量关系上看，角一和角二之间是形成了一个大平角，所以我们就说角一和角四是互补的角，对不对？这是我们之前学的那角二和角四，刚才讲是对顶角，是吧？ 啊？我们现在把我的两条直线被第三条直线所截，那形成了三线，几个角，一二三四五六七八八个角。在这八个角当中，我们上这个学了，在这里边能够找到 同位角，是不是？是在 c d 的 这一侧， ab 的 这一侧，然后在 e f 的 右侧，所以说角一和角二是同位角，同样的道理，角三和角四是同位角，角五和角六是同位角，角七和角八是同位角。这是我们上节课学习的内容。 这节课我们继续往下学习，说在这里有一个小画板，想知道上下是否平行的。我，我发现了这个孩子，他很聪明，他用的一个方法是在两个边缘之间画了一条线段， 那身边只有一个量角器，通过测量某些角的大小，就能知道上下是否平行。那我们看一下， 在它现在形成的这个图形当中，有这样的一个角，这样的一个角，这样的一个角和我们上节课学的同位角不是一回事，对不对？所以我们就在想，它是用什么样的角来得到的平行的关系呢？我们继续往下看 啊，在这里角一、角二、角三、角四，他把这些角的角度想测量出来，看一看大小。同学们想一想，他会用哪些角来证明他的平行呢？ 啊？有些同学可能觉得是角一角，其实角一角二不行，他只是平角，他们只有这个互补的关系，角三角四是不是也不行？ 那我们就只能怎么样了？角错了，对不对？角一和角三，角二和角四，这样去看了，对不对啊？所以我们可以用角一和角三的关系，也可以用角二和角四的关系，那我们怎么用他们的关系？那他们又和平心有什么样的联系呢？这样的问题我们继续往下看， 他说在我们学的同位角里面，我们去找同位角的时候特别好找，对不对？然后两条直线被第三条直线相 结，在这条直线的上侧，在这条直线的上侧，在这条直线的右侧，这两个角就是同位角，我们也可以说他们的组成一个大 f 型的字母，是不是？那我们上节课学习的，那我们在这里看一下，这今天的这个角二和角四好像和我们的 同一角不是一样的，至少它不是在这条直线的同一侧，这个是 a， 这个是 b， 这个是 c 的 话，这个角应该是在 a 的 上侧，这个角是在 b 的 上侧，可是这个不一样，这个在 b 的 上侧，在 a 的 下侧，对不对？也就是说它们之间是错开的， 一个在上，一个在下，同时更明显的是怎么样呀？本来它们两个是在这一个 c 的 两，嗯， c 的 同侧，而结果这个呢？也在 c 的 两边呢？那像这样的角二和角四，我们叫它叫什么呀？ 组成了一个字母大 z 形的两个角，对不对？这两个角我们叫做内错角。首先我们看一下内体现在哪里？ 像个字母大 b 是 不是内体现在哪里？内体现在两条直线之间啊？两条直线之间， 就像这个似的， a 是 在上， b 这个也是，这两个都是在两条线的上侧，而而这个不，这是在两条线之间，这叫内，哈，两条直线之间叫内。然后错呢？错，是因为他被第三条直线 所分开了，对不对？在第三条直线的两侧，这叫错开了，明白了哈，内是在两条直线的两侧，这叫内错角，你们会指着了吗？首先他是个大 c 型的哈， 看一下这里面大 z 型的，然后这两条直线之间在第三条直线的。

同学们大家好，我们这节课继续学习一元一次方程的应用。上节课我们学到购物的问题，这节课我们学习行程的问题。好，我看一下这样的题， 说，小明每天早晨要在七点五十之前赶到距离家一千米的学校， 一天小明以八十米每分的速度出发，五分钟以后，小明的爸爸发现他忘带了语文书，爸爸以一百八十米每分的速度去追小明，在途中追上了他。 爸爸用了多少时间？追上小明时，距离学校还有多远？我们看一下这个问题当中的这一个过程，是一个追的问题对不对？是一个什么样的追的问题？不是同时出发，而是小明走了五分钟，爸爸才出发的一个问题。我们把这个题看一下 思考，小明追上啊，爸爸追上小明用了多少时间？我们想一想， 爸爸在追小明的过程中，小明走不走，小明也在走，对不对？其实当小明刚开始走的这一段距离是五分钟走的，他继续往后走的时候，到爸爸追上他这段时间。 小明走的这一段路的时间，和爸爸从家到追上他的这一个距离对应的时间是相同的， 这是时间相同的问题。第一个等量关系式对不对啊？第二个等量关系式是什么呀？小明从家走到爸爸追他的这个地方，还有爸爸走到小明追上小明的这地方，这两段路程是相同的，既然时间相同，路程相同，有两个关系式， 我们就可以列方程对不对？好，我看一下这个过程啊。我们假设经过 x 分 钟以后，爸爸追上的小明，我们看一下图，这是家到学校， 然后小明先走了五分钟，然后到这，爸爸发现他没带书，对不对？爸爸现在开始追他了对不对啊？到这怎么样，追上他了？爸爸走的 x 分 钟，追上的小明同时到五分钟， 走完之后继续往下走的时候，小明也是走的 x 分 钟，走的和时间是一样的，对不对啊？好，我们用这个等量关系是发现两个时间是相同，同时我们又发现了什么呀？爸爸走的距离和小明两段的距离之和是相等的，看一下啊， 小明的时间，爸爸的时间，先看爸爸，爸爸是 x 分 钟，小明就是 五加 x 吧，爸爸是每分钟一百八十米，小明的速度是一分钟八十米，对不对？那爸爸走的路程就是时间乘以速度一百八十 x， 然后小明走的路程就是时间和速度的乘积也是 好，然后爸爸的路程和小明的路程是相等的，所以我们画等号，好，爸爸的路程等于小明路程求出 x 等于 c， 也就说爸爸四分钟追上了。小明说。第二位问，我们追上小明的时候离学校还有多远？我们看一下，如果这是 四分钟，爸爸四分钟走的，那爸爸走的这一段距离是不是用爸爸的速度乘以他的时间， 对不对啊？等于七百二十米，那距离学校还有多少米啊？学校是一千一百米，用一千一百减去我们的七百二十就行，是不是？好？这个题速度很清晰，图画完了之后，同学们就理解了，那我们把常见的行程问题来汇总一下看看啊。 第一种是什么呀？追急问题，本来这个女生是从 b 要走到 c， 他 走的是 bc 的 距离，然后男生呢，从 a 走到了 c， 他 走的是 ac 的 距离，两个人的路程之差就等于他们刚开始相距的距离， a b 是 不是啊？好。第二个是相遇问题，男生走的距离是 a c， 女的女生走的距离是 b c， a c 加 b c 正好等于这整段路 a b 的 长，这两个常用哈，同学们也可以积累。好，我们继续往下看，他说， 小明和小华两个人在四百米的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑二百八十二百六十米，小华每分钟跑三百米， 两人起跑时站在跑道的同一个位置，同时起跑哈。好。他说，如果小明起跑一分钟以后，小明起跑了一分钟， 那么小华才开始跑，小华才开始跑，那问小华用多长时间能追上小明？我们看一下这个问题哈，把这个过程老师是怎样给同学们表示的呢？小华 是等了小明跑了一分钟，每分钟的速度是二二百六十米，所以小明是跑了二百六十米之后小华才跑的。这个紫色的是小华跑的，他用的时间是多少呢？我们是小华用 x 分 钟追上了小明，那老师问一下， 在这个题目当中，和我们刚才的题目一样，小华用了 x 分 钟追上小明，小明在跑了二百六十米之后再进行运动的那个时间是不是也是 x 啊？好，那时间一样。我们再看路程，小明跑的路程是二百六十，低于一分钟也就一分钟，加上 后面的 x 分 钟一起，就是时间乘以速度。

同学们大家好，我们这节课继续往下学习。上节课我们学习的同底数密相乘， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方， 同底数密相乘，底数不变，指数相加，这是我们上节课学习的同底数密的乘法。 好，那我们这节课继续往下学，我们这节课学习不一样的。首先看一下上节课的内容，上节课我们通过回忆密的意义， n 个 a 相乘，我们得到了 a 的 n 次方，这是密的意义。然后通过两个密， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，得到了同底数密相乘的运算性质。 m， n 都是正整数 m 的 n， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，就等于 a 的 m 加 n 次方。我们继续往下看，说正方的体积比与边长比的关系。我们举个例子哈， 说乙正方体的边长是二厘米，那么乙的体积是多少？正方体的体积公式是棱长的立方，所以这个题就是二的立方。 二乘以二乘以二等于八，所以这个是八，这是假，这是乙的体积。我们继续往下看，他说假的边长是乙的五倍，也就是说是二的五倍是十，对不对啊？那么它的体积是多少？十的三次方，也就是一千。 说两个体积之间的比，一千比上八是不是等于八分之一千 就等于一百二十五。那这个一一百二十五是不是两个边长的比的立方？一个边长是二，一个边长是十，边长之比等于五五的立方是不是等于一百二十五？我们看一下啊， 甲的体积是乙的体积的一百二十五倍，正好是五的三次方倍，因为五乘以五乘以五正好等于一百二十五，所以正方体的体积之比就是它 边长比的立方，其实这个边长更准确的应该叫做棱长哈。正方体的体积之比就等于棱长比的立方。 我们继续往下看，十的二次方，扩起来的三次方等于十的六次方。为什么给我们提了这样的一个问题，我们接下来就把它探讨一下。 十的二次方的三次方，我们按照密的意义，是不是就等于十的二次方乘以十的二次方，乘以十的二次方，这是我们上节课学习的吧。同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以这是幂的意义， 这是同底数密相乘的运算性质。等于十的二加二加二等于十的六次方。所以我们能回答这个问题吗？通过密的意义和同底数密的乘法性质，我们就可以把这个问题给回答了， 继续往下探讨，我们能不能把这个十的六次方写成十的二乘以三次方呢？在这个题里面我们观察是可以的，对不对？那我们验证一下，看能不能推广 说在这里有六的平方的四次方，六的平方的四次方就是六的平方乘以平六的平方乘六的平方乘六的平方。同底数密相乘，底数不变，指数相加，六的二加二加二加一。共有几个二相加四个二，我写成乘法 六的二乘以四次方好不好？下一个， a 的 平方的三次方， a 的 平方乘以 a 的 平方乘以 a 的 平方。 同底数密相乘，底数变，指数相加，就可以写成 a 的 六次方，也就是 a 的 二乘以三次方。好，继续 第三个， a 的 m 的 平方就等于 a 的 m 次方乘以 a 的 m 次方。同底数密相乘，底数不变，指数相加就等于 a 的 m 加 m 次方，就等于 a 的 m 乘以二次方。通过观察这些，我们能得到什么呀？ 这叫什么呀？这是密对不对啊？外面是什么呀？乘。

同学们大家好，我们这节课继续往下学习，应用一元一次方程来解决实际问题。 这节课是我们整个单元，在老师看来应该是最关键的一节，为什么呢？之前我们学习一元一次方程的解法， 相对来说是比较简单的，虽然方法很多，步骤很烦，但是总体来说他是清晰的，思路是清晰的，并且没有什么太难的逻辑。但是这节课我们学的东西里面就是 算是比较难的，你只要是听懂了，在做题的时候你就特别顺，一下子就列出来了一元一次方程去进行解答就行。但是如果你要是转不出来，跳不出那个思维去去思考，那么你就会在里面被绕住了，所以很关键哈，我们好好听。 首先看一下这样的一个例题，他叫盈不足，那什么叫盈不足呢？我们看一下，他说今有购买物，人出八人，三 人初七不足四，问人数和物价各几何？我们把这个翻译一下，什么金去买物，买东西是不是共是什么意思？一起 我们可以翻译成合伙买东西啊。人出八就是每个人都出八个钱，赢三赢的意思就多呗，是不是多出来三个钱啊？就是你去买东西，去凑这个金额去买这个物品，每个人出八个钱，就会 这八个人，每个人出八个钱，这些人每个出八个，每个出八个。这些钱放到一起去和我们的物价来比，发现比物价要多了，对不对？也就是说远远的够了我们买东西的钱。 然后第二种，他说如果我现在不让出八个钱，而是每个人出七个钱，发现最后 把这每个人出的这七个钱弄到一起去，拢到一起去算一算，发现最后的钱数和我们这物价来比，发现比物价还要少四千，你说还，还要再缺四个钱才能买我们物价的这个东西。 问我们合伙的人数是多少？物品的价格是多少？这个题当中他既然让我们求这两项，就说明合伙的人数是固定的，第一次出八千的人数和第二次出七千的人数是固定的，第二个是物品的价格也是固定的， 是不是？好，那我们看一下这里边设计的哪些量？已知的每个人出八个钱， 会比我们的物价多出三个钱来，对不对？如果每个人出七个钱，就会比我们的物价少三个钱，少四个钱，是不是这个意思啊？好，这是已知的。然后我们也知道在 我们购买的过程中，这个合伙人数和这物品的价格是不变的，对不对？那每个人出的钱，我们刚才说的是八个和七个，那他们之间有什么样的一个关系呢？ 刚才我说的物品价格的时候，我说的合伙人数的时候，有些同学就可能听出来了，老师呀，你这个有不变的，我们就可以把它画等号，对不对？那什么画等号呢？ 人数，人数是过来凑我们这个钱的，我们不能一个个的去，我们不能把这个人数， 我们先不要把这个人数凑成这个等号的两边，我们先把这个物价凑成等号两边，那物价相同，那么那么我们就想第一种情况下的物价是多少，第二种情况下的物价是多少，我们分别表示出来，那他们就相等了，是不是好看一下这个过程哈。 当每个人出八个钱的时候，如果我数 x， 一 共出了多少个钱？是不是八乘以 x 就是 八 x 的 钱，对不对啊？ 啊？每个人出的钱数就乘以人数，怎么样呀？多出来三个钱了，我要把这三个钱减掉，才是我的物品的价格。是这样子啊，好，是第一种情况，所以我就给他写个八乘以人数减三。 第二种情况，当每个人出七个钱的时候，我也用这个，每个人出的钱数乘以人数，这是我的总钱数，但是和五物价相比还差，怎么办？我也加上加上少的钱，物价就等于七乘以人数加四，这两个物价相同的，所以我们就把它一起去。 由于物品价格是固定的，所以我们得到的八乘以人数减三就等于七乘以人数加四，人数又是不变的，所以我们把这个时间写下， 每个人出八个钱的时候，人数是 x， 那 每个人出七个钱的时候是不是也是 x 啊？那出八个钱的话，就是一共出了八 x 个钱，一个每个人出七个钱的话，就是一共出了七 x， 对 不对？ 物价用我们的总的出钱的人数，第一种情况要减去三，第二种情况要加上四，对不对啊？那这两个钱数是怎样的？相同的，对不对啊？所以我们列出的方程就是 八 x 减三等于七 x 加四。那我们解这个方程，一项合并同类项，然后系数化为一 x 就 等于七，那么 x 是 人数，所以人数是七。物价怎么算呢？ 这边是物价，这边也是物价。我们可以带到左边的柿子，也可以带到右边的柿子，最后带到左边是八乘以七 减三等于五十六减三等于五十三的钱，这个问题我们就解决了，这个题是不是能听明白？听明白之后我们就继续往下看，他说 我们能不能舍物价的钱数？刚才的刚开始老师说了，我们去买这个物品的时候，我们先不要去考虑人数相同，先考虑的是物价相同，然后用两种形式下凑的钱去表示我们的物价，是不是？这个是不是比较简单？ 那同样的情况下，不止刚才我们说了人数相同，那我们也可以通过物价这些条件，然后把我们的人数给表示出来，因为文文数相同嘛，对不对啊？好，我们第一个如果物价是 y 的 话，那这个是不是 y？ 那 同样这个呢？ 这个是不是也是 y？ 因为两次的物价都是 y 嘛。第一个出钱的总数是多少？每个人出八个钱的时候，其实是比物价多的，对，多三个，那么出钱总数就是 y 加三，那么每个人出七个钱的时候，出钱总数会比我们 y 少四，对不对？减四。 好，那我出钱是一共出这么些钱，每个人出八个，我怎么求？人数是不是 y 加三除以八？

同学们大家好，我们这节课继续往下学习，减一元一次方程。你看一下这样的一道题， 七分之一乘以括号里面 x 加十四就等于四分之一乘以 x 加二十。按照我们上节课学到的，见到括号要去括号，是不是？我们先去括号 分别乘七分之一 x， 七分之一乘以十四，四分之一 x， 四分之一乘以二十。最后我们得到是这样的一个结果，出现这样的，我们就会发现左侧和右侧都有未知量，所以我们把未知量移到一起去，就叫移项， 移项一定要编号，四分之一 x 变成负四分之一 x， 就 这样写的比较简单啊，负四分之一 x， 然后五呢，二要移到右边变成负二，所以这个题就是负的二十八分之三 x 等于负三， 这是一项合并同一项之后的结论，系数化为一，两边同时除以负的二十八分之三，或者是两边同时乘以负的三分之二十八， x 就 等于负的二十八。我们说的是这个哈，然后这边呢，因为它这个地方是 把七分之一 x 移到了右边，把五移到了左边，所以就出现了这样的一个结果。不管是哪样，我们建议同学们把所有的位置数都移到左边，这么做哈， 就算出 x 等于负二十八。嗯，这是我们上节课去括号合并一项，合并成一项，记住化为一之后这一系列的这个做法。那现在我们在观察这个题的时候，我们就想一想，看有没有其他的做法。 上节课我们遇到过这样的题，所以你还记得，比如说七分之一乘以 x 加上十四 啊，不是七分之一七吧？七乘括号里 x 加十四等于五十六，我说过一个数乘以括号，这边是一个常数的时候，我们可以先把前面这个一数除掉，然后这边除以七，这边也除以七，最后 变成这样的式的 x 加十四，就不不用去想去括号的事，经过这样的一个变化就已经去括号了，是不是？所以我们带着这样的想法，我就想了，我可以变前面的因素， 我解方程的时候是可以改变前面的因素的，所以这个题我们就利用它给我们的一点小启示为改变前面的因素。 有七分之一，四分之一，它都是什么数啊？都是分数对不对啊？分数我们在计算的时候就会发现复杂一些，我们就想方设法把它想，我能不能把它转变成整数， 那我们怎么把它转变成整数呢？我们就要把七分之一和四分之一把分母去掉，不要分母把它变成是整数。那想了七分之一，这边是乘了个七分之一，这边乘个四分之一，我怎样让它把这个分母去掉呢？ 如果老师给你乘上一个数，你看看我在这边乘以二十八，我两边都乘以二十八，根据等式性质，二， 我的大小没有改变，仍然是等式，对不对？那我只要乘二十八之后，七分之一乘以二十八是四，四分之一乘以二十八是七，我现在就实现了没有分母了，没有分数了，是不是？那这样的话我是不是简单了 这个过程，我们叫它叫去分母，去分母之后得到了四乘以括号点 x 加十四就等于七乘以括号点 x 加二十，那我接下来我就要去括号了，对不对啊？分别相乘得到这个式子，接下来看什么呀？是不是要移项呀？ 合并同类项，移项，移项的时候要改变符号等于负三， x 等于八十四， 两边同时除以负三， x 等于负二十八。对比于这两种方法，我们发现了区分母还是很好用的，对不对啊？所以我们在减一元一次方程的解法子上面，我们又加了一个步骤，区分母。看一下这里哈。 比如说这个题，五分之一乘以五， x 加二十，就等于四分之一乘以八， x 加十二。我们首先刚才我们体会到去分母的好处了，现在我们就要去分母。去分母怎么去呢？ 刚才我在这个题里面是乘以二十八，为什么要乘以二十八？同学们有些看出来了，因为二十八乘以七分之一，可以直接约成一个整数，也就说二十八是七的倍数，同样二十八也是四的倍数，是不是？所以我们就把 五和看分母，这是五，这是四，四和五的公倍数，是不是？四和五的公倍数？我们可以用最小的，是不是？这更简单，最小公倍数四和五互质，所以最小公倍数就是四乘以五。二十。所以我两边可以同时乘以二十乘以二十乘以二十 乘以二十，五分之一乘以二十是四，四分之一乘以二十是五。

同学们大家好，我们这节课继续往下学习有关幂的乘除的知识。首先我们回忆下前几课的所学内容。首先我们学过幂的意义， n 个相同的 a 相乘的积，叫做 a 的 n 次方， 同底数幂相乘， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，底数不变，指数相加 m， n 都是正整数。幂的乘方是我们上节课刚刚学习的幂继续乘方，底数不变，指数相乘 m， n 都是正整数。这是我们之前学过的知识， 我们看一下。最早我们学合并同类项的时候，我们就知道，当两个 底数相同，指数相同的放到一起去的时候，我们可以合并同类项，对吧？这个就是二的二的。嗯，二乘以 a 的 三次方，同底数密相乘，底数不变，指数相加。密的乘方，底数不变，指数相乘。 这三个不要混了哈。第一个， a 的 三次方加 a 的 三次方，这叫合并同类项。这两个是相同的比数，相同的指数 从底数密相乘， a 的 三次方乘以 a 的 二次方，这样的叫做从底密，从底数密相乘，底数不变，指数相加，三加二等于五。然后密的乘方是 a 的 三次方扩起来的平方就等于底数不变，指数相乘，二乘以三等于六， a 的 六次方，这三个是不相同的哈。意义各个计算的法则都是不一样的，我们要注意区分 在这里哈，这个我刚才说了，这个也说了，这是同底数异，这个是异的成方。好，我再列举一些， 比如说这些，我们首先观察一下这些式子当中，比如说第一个，这属于合并同类项，合并同类项的这两个同类项必须要求 底数相同，指数也相同， 并且它们之间是什么运算？是合的运算。是不是？是加减的运算？是不是是加减的运算？好，我们先看这里面有没有加减的运算。 嗯，这有加减的运算，这有加减的运算，这有加减的运算，这有加减的运算。好，只有这四个有加减运算。继续看。 指数和底数都相同吗？第一个，底数相同，指数不相同，所以不是。第二个，底数相同，指数不同，也不是。第三个，底数相同，指数也相同，所以这个就是合并同类项， 这个底数相同，指数不同，所以不是。所以这里头和我们第一个 a 的 三次方加 a 的 三次方相同的，只有 b 的 十七次方加 b 的 十七次方，这是合并同类项，表示的是和的运算。好，我们继续看。 第二个 a 的 三次方乘以 a 的 三次方，这属于乘积的形式，是乘积的形式，并且两个数之间是底数相同，对不对？这叫同底数密相乘。好，第二个就是底数相同， 指数不一定相同，有可能相同，有可能不同，但是这是什么运算？这是乘积的运算。哈，好，我们找一下 啊。这个 a 的 三次方乘以 a 的 方，这是底数相同积的运算。这个 a 的 七次方， a 的 八次方积的运算。同底数， b 的 十七次方， b 的 十七次方乘积的运算。同底数。 好，这个 b 的 m 减一次方乘以 b 的 m 加四次方乘积的运算。因为只有是乘积的运算，我们在字母与字母表示的时候才可以把乘号省略对不对？然后 底数相同。好，继续，没有的对不对？就这三个。是不是？这三个就是同底数密相乘，底数不变指数相。加 a 的 七次方， a 的 七加八，十五次方， b 的 十七加十七三十四次方， 这个一样算哈。 b 的 m 减 n 加 m 加四， m 减 n 加上 m 加四，合并同类项， m 和 m 在 一起，二 m 常数项放到一起去，负一和四加三， 这是同底数 m 的 形式。我们继续往下看 第三种类型， 它是属于一个乘方的。呃，一个幂的乘方，幂也叫乘方，它是双层乘方，对不对？第一个 a 要乘方，然后再给它乘方，双层乘方的形式。哈，这样的我们应该怎么做呢？底数不变 指数。嗯，底数不变，指数相乘。它的外形是一个乘方的形式。外形是一个乘方的形式。是一个乘方的形式。哈，比如说这个外形是一个乘方的形式，外形是一个乘方的形式。 外形是一个乘方的形式，外形是一个乘方的形式。这通通是密的乘方，底数不变指数相。

同学们大家好，我们这节课继续往下学习乘法公式。上节课我们学习了完全平方公式，我们一起复习一下 完全平方公式。第一个平方和公式，首平方加尾平方加首尾的二倍乘积， 两个数的差的完全平方公式是首平方加尾平方，然后是减去二倍的首尾乘积。 我们把这里的 a 加 b 可以 换成数字，也可以换成字母，当然我们也可以换成一些代数式。这节课我们就进一步来学习公式中的字母还可以表示什么。 那么我们学完了完全平方公式，在我们计算的过程中能够发挥什么样的作用？我们一起看一下。 在某市运动会的开幕式上，两个学校进行方阵变换表演，其中育才中学有两个方阵，分别是男生方阵 a 行 a 列，女生方阵 b 行 b 列，而我们的实验中学只有一个方 对，就是 a 加 b 行，还有 a 加 b 列，我们一起看一下。那我们求一下育才中学的男生方阵有多少人？男生方阵是 a 行 a 列，所以他的人数就是 a 的 平方， 女生人数有 b 行 b 列，那么它的方阵的人数就是 b 乘以 b， 也就是 b 的 平方一共有多少个人？女生和男生相加 a 方加 b 方，就是一共的人数。继续看 说实验中学的方阵人数有多少？实验中学有 a 加 b 行和 a 加 b 列，所以它的学生人数就是 a 加 b 乘以 a 加 b， 也可以写成是 a 加 b 的 平方格。好 说，刚才参加方阵的表演当中，育才中学的总人数和实验中学的总人数哪一个多？为什么？ 那看一看哪一个多，我们就首先把它列出来。第一个育才中学是 a 方加 b 方，而我们的实验中学是 a 加 b 的 平方，比较一下这两个谁大谁小，我们可以怎样做叉，对不对？可以做叉相减 a 的 平方加 b 的 平方减去 a 加 b 的 平方，就是首平方加尾平方加二倍的首尾乘积的二倍， 去括号， a 方加 b 方减 a 方减 b 方减二 a b 底销箱 正负相反的量，我们看一下哈，就等于负的二 a b， a 是 正数， b 也是正数，所以负二 f 负二 a b 就是 一个小于零的数，对不对啊？所以是实验中学的人数大于育才 中学，刚才是育才中学减实验中学，到底是一样的，实验中学的人数多。 我们看一下这样的一个例题，说利用完全平方公式进行计算，一百零二的平方，利用完全平方，我们可以把一百零二，这个一百零二， 我们可以对比我们完全平方和公式和完全平方差公式，发现一百零二接近一百，所以它可以写成一百加二， 那么这就是一个完全平方和公式，首平方加尾平方加首尾，首尾乘积的二倍，二乘以一百乘以二。 你在这里哈，首平方加尾平方加首尾乘积的二倍，最后算出来是一万零四百零四，下一个一百九十七的平方一百九十七。

同学们大家好，我们这节课学习怎样应用一元一次方程。 上几节课？我们学的是解一元一次方程，我们既然会解了，我们就要在实际的应用中把我们的解法和我们的列法等等一系列的有关一元一次方程的内容展现出来，这是我们学习的目的。好啦，这节课我们首先进行我们的第一块学习， 看一下这样的一个题，请同学们思考，你的年龄是多大呢？ n 年以后你的年龄又是多大呢？ n 年以前你的年龄是多大呢？年龄会随着一年一年的时间变化而变化吗？ 你的年龄，比如说你们现在是十五岁，那 n 年之后的年龄是多少岁？是不是就是十五岁？再加上 n 是 不是？这就是你们 n 年以后的年龄？那说 n 年之前的呢？ 十五岁减去 n 是 不是 n 年之前的年龄？他又问，我们年龄会随着时间一年年的变化而变化吗？是变化的同学们是不是很明显？这个是我们的一个常识。好，第二个，他说，我今年是三十六岁，我们之间的年龄差是多少呢？ 比如说你们是十五岁，三十六减去十五就等于二十一岁，那 n 年前我们的年龄差是多少呢？ n 年后我们的年龄差又是多少呢？年龄差会随着时间变化而变化吗？你看一下， n 年前 我是三十六减 n 岁，那你们就是十五减 n， 对 不对啊？好，那 n 年以后呢？ 后我是三十六加 n， 你 们就是十五加 n。 好，那我们的年龄差 n 年以前三十六减去 n， 再减去十五减 n， 通过去括号，我们最后得到是二十一岁， 然后 n 年以后是三十六加 n， 再减去括号里面十五加 n， 算出来也是二十一岁。 今年我们的年龄差是二十一岁， n 年前我们的年龄差是二十一岁， n 年后我们的年龄差也是二十一岁，这说明我们的年龄差是不会随着时间的变化而变化的， 这是我们在小学就知道的一个知识点。好，我们这节课看一下怎样用上这些知识。第一，今年小亮是十一岁，爸爸今年是三十九岁，为我们多少年以后爸爸的年龄是小亮的三倍。 读完题目之后，我们首先把其中的已知条件找到，已知条件是什么？也就是已知数是什么？是小亮的年，对不对？小亮今年是十一岁，那爸爸今年是三十九岁， 那多少年以后爸爸的年龄是小亮年龄的三倍，这里面多少年我们是不知道的， 是不是啊？我们看一下，假设 x 年以后爸爸的年龄是小亮的三倍，你能用代数式表示一下， x 年以后小亮的年龄和爸爸的年龄各是多少吗？ 首先，今年小亮是十一岁， x 年以后是在十一的基础上加上 x。 同样的道理，爸爸的年龄是在三十九的基础上加上 x。 好，他说在这个问题中存在着怎样的等量关系式呀？题目中告诉我们， x 年以后爸爸的年龄是小量的三倍，也就是说，爸爸的年龄应该是小量的年龄乘以三的一个结果，对不对啊？这是不是一个等量关系式？对，我们用了这个等量关系式来列出方程， 爸爸的年龄是小量年龄的三倍， 小亮的年龄乘以三，就等于爸爸 x 年以后的年龄。我们通过去括号移项，合并同类项，系数化为一，就可以把这个方程解出来。解的方程 x 等于三，也就是说三年以后爸爸的年龄是小亮的三倍。让我们验证一下， 小亮今年是十一岁，三年以后是十四岁，爸爸今年三十九岁，三年以后是四十二岁。四十二岁是不是十四岁的三倍？十四乘以三正好等于三十二，所以说我们求的是正确的。 那同学们有没有思考过这样的一个问题，这个题我们能列出方程的关键就在于什么呀？

下面就请大家和我一起踏上寒假的提分之旅，今天咱们来学习鲁教版五四至六下的第五张基本平面图形的第一节，线段射线直线。 这节课的学习目标呢，主要有三个，第一个在现实情景中理解线段射线直线的概念，以及他们的区别与联系，也是咱们本节课的重点。第二个会用不同的方法表示线段射线直线， 这个是咱们本节课的难点。第三个是了解两点，确定一条直线这个几何事实，并会用这个几何事实解释生活中的一些常见数学现象。 好，大家请看下面三张图，第一张，绷紧的琴弦，第二张，手电筒射出的光线，第三张，向两方无限延伸的笔直的切轨。 那么大家想象一下，他们可以分别抽象出哪些简单的平面图形呢？例如第一个，绷紧的琴弦，琴弦的两端是不是固定在琴的端部啊？然后中间是一条 b 值的什么 线段？哎，对，绷紧的琴弦是线段，手电筒射出的光线是射线， 向两边无限延伸的笔直的铁轨是直线。那么线段射线、直线这三个简单的几何图形呢，在咱们小学当中已经有所涉猎，下面咱们 一起来探究线段射线直线的概念以及表示方法。 那么问题来了，线段射线直线是如何定义的呢？ 像刚才咱们看到的绷紧的琴弦以及咱们教室当中黑板的边缘，都可以近视的看着线段，线段有两个端点，这是线段的定义，下面咱们来看射线， 有了线段的定义以后，咱们根据线段的定义可以延伸出来射线，将线段向一个方向 无限延长，就形成了射线，请大家注意啊，将线段向一个方向， 这指的是一个方向，不是两个方向哈，也不是三个方向。将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，例如手电筒、探照灯所射出的光线就可以近视的看出射线， 射线呢，有一个端点，大家可以想象到，手电筒和探照灯光源所在的位置就是端点。 如果将线段向两个方向无限延长，就形成了直线。哎，这个地方是向两个方向无限延长，就形成了直线，因为它是向两个方向无限延长，所以直线呢，没有端点。 那么大家看到线段、射线、直线这三个的定义以后，是不是感觉即像是又有区别呢？那么大家首先来看啊， 线段，它与直线的联系是什么？那是不是可以看成直线上的两点，以及这两点之间的部分就是线段呢？哎，是的，你非常聪明。 那么射线呢，是不是可以看成直线上的一点和它一旁的部分构成的几何图形啊？哎，是的， 课后呢，请同学们思考一下，生活中还有哪些物体可以近似的看着线段射线、直线呢？ 那么咱们来看第二个问题，咱们第一个问题知道了线段、射线、直线的定义，那么咱们在数学当中如何来表示线段射线直线呢？首先来看线段的表示， 咱们可以用线段的两个端点字母来表示，比如右图可以表示为线段 a b 或者线段 b a， 哎，另外呢，还可以用一个小写字母来表示，比如线段 a， 这就是线段的表示方法。 下面再来看射线的表示，可以用端点和射线上另外一个点来表示， 比如射线 o m， 其中 o 是 端点， m 是 另外一个点，那么 o m 的 方向就代表了射线的方向点， o 呢，表示是射线的端点。大家请注意，射线必须有端点，有方向，这两者缺一不可。 如果两条射线他端点相同，如果他们射线的方向呢，也是同一个方向，那么这两条射线呢，指的就是同一条射线。否则，如果说是端点或者是方向，这两个当中只要有一个不同，那么就不是同一条射线。 端点呢，必须写在前面。直线的表示， 咱们可以用直线上任意两点来表示。直线，例如直线 ef 或者直线 fe， 大家可以看到 ef 也好， fe 也好，是没有先后顺序的，也就是说是没有方向的。这一点呢，和线段一样，比如线段 ab， 也可以说成线段 b a， 他 们两个没有先后顺序，也就是没有方向。 在这里呢，只有射线是有方向的，必须端点写在前。另外呢，直线还可以用一个小写字母来表示，比如直线 l。 好， 那么大家来看一下问题三，如图所示，射线 o m 与射线 o n 表示同一条射线吗？ 射线 m n 与射线 n m 呢？首先咱们来看射线 o m 与射线 o n。 刚才老师讲到了，两条射线是不是同一条射线，必须满足两个条件，一，他们的端点 是不是同一个端点，或者是不是重合，首先 o m 和 o n， 他 们的端点都是 o， 然后是不是同一个方向呢？那么射线 o m 是 这个方向，那么射线 o a 呢？也是沿这个方向，所以呢，是同一个方向，而且是同一个端点，所以射线 o m 和射线 o n 表示一条射线， 那么射线 m n 与射线 a m 呢？首先，射线 m n 是 端点是 m， 而射线 a m 的 端点呢，是 n， 他 们两个的端点都不同，所以啊， 射线 m n 和射线 a m 表示的不是同条射线。下面咱们一起来做两道题，巩固刚才咱们所学的知识点。 第一题，下列图形中表示射线 ab 的是。首先呢，大家来看 a， a 表示的是固定的两个端点和它中间的部分，所以这是线段，所以 a 不是 b 呢？ 一个固定的端点 a， 然后向 b 的 方向延伸，所以指的是射线 ab， 所以 啊， b 是 正确的。那么 c 表示的是什么呢？端点是 b 向 a 的 方向这个延伸，它表示的是射线 b a 而不是 ab， 那 么 d 呢，是两个端点 ab 向两个方向无限延伸，所以它表示的是直线 ab， 所以正确的结果是 b。 第二题，如图所示，下列说法正确的是 a。 直线 a b 和直线 c、 d 是 不同的直线。大家来看啊， 直线 a b 和直线 c d 是 不是同一条直线？如何来判断呢？首先来看，直线是可以向两个方向无限延伸的，那么咱们把直线 a b 向两个方向无限延伸， 向左侧无限延伸，然后向右侧无限延伸，那么直线 ab 无限延伸以后，是不是就会碰到了 c 点和 d 点，如果继续延伸上去，就会超过 d 点，所以呢， c 点和 d 点也在直线 ab 上，所以直线 ab 和直线 cd 是 同一条直线，也就是说， 直线的表示方法可以用直线上任意两点来表示，那么直线 ab 也好，直线 bc 也好，直线 cd 也好，在这道题中指的都是同一条直线，所以 a 的 说法是不正确的。 再来看 b， 射线 a b 和射线 b a 是 同一条射线。这个老师刚刚讲过了，射线 a b 的 端点是 a， 射线 b a 的 端点是 b， 两个都不是同一个端点，所以啊，是错误的。 线段 a b 和线段 b a 是 同一条线段，哎，这个是正确的。对于线段来讲，端点的两个字母没有先后顺序，所以啊， c 是 正确的。所以呢，该题的答案是 c。 那 么咱们一起来归纳一下线段射线与直线的区别以及联系。首先呢， 线段是不是有两个固定的端点呢？哎，一个 a， 一个 b， 它有两个端点，那是否可以延伸呢？大家注意啊，线段是不可延伸的，既不可向 a 的 左侧延伸，也不可可以向 b 的 右侧延伸。 那么线段是否可以度量呢？度量的意思就是指线段的长度是否可以计算测量。那么线段 a b 的 两个端点是固定的，那么咱们拿指尺量一下，自然可以量出它的长度，所以线段 a b 也是可以度量的。 那么它的表示方法可以用线段 a b 或线段 b a， 以及用一个小写字母线段 a， 这三种方法都可以表示。 这个地方大家注意的是， ab 两点没有先后顺序，即可以说线段 ab， 也可以说线段 b a。 如果在作图的时候，咱们一般说线段 ab， 怎么来作图呢？它的几何语言是连接 ab， 连接 ab， 大家注意啊！ 好，咱们再来看射线，射线 a b， 它的端点个数呢？只有 a 一个，所以它是有一个端点，因为向 b 的 方向是无限延伸的，所以它只有 a 这一个端点， 是否可以延伸？刚才说到了可以向 b 的 方向无限延伸，哎！可以向 b 的 右侧无限延伸， 因为它可以无限延伸，所以它的长度是不可测量，也不可计算的，所以它是不可以度量的，大家一定要注意啊！射线，它的长度是不可以度量的。表示方法，可以用射线 ab。 大家注意， ab 两点有先后顺序，因为端点必须在前，另外一个点在后。测。 作图的时候，一般描述为以 a 为端点做射线 ab， 这里指的 a 是 端点，然后 b 是 另外一个点，那么就可以描述为以 a 为单点做射线 ab。 下面来看直线，直线因为可以向两个方向无限延伸，所以直线呢，是没有端点的，因为它可以在 a 的 左侧无限延伸，也可以在 b 的 右侧无限延伸，所以它是两端，是没有端点的， 因为它可以向两个方向无限延伸，所以它的长度也是不可计算，不可测量的，因为它的长度是无限的嘛。就像射线一样，虽然射线是向一个方向无限延伸，但是它的长度仍然是不可计算，不可测量。 表示方法，可以用两个大写字母，直线 a， b 或者直线 b， a 来表示，就是直线上的任意两个大写字母都可以表示直线，也可以用小写字母直线 a 来表示。 ab 两点呢，和线段一样，是没有先后顺序的。过 ab 两点 做直线，哎，这就是在做直线时候，他的作图描述的几何语言，大家注意一下，对于这张表来讲，大家要记住啊，非常重要，因为他是第一章节咱们做题的基础，有了这张表，大家理解 并记住并会应用，才能会做下面的一些经常见到的题目。好，咱们一起来看一下， 咱们来试一试这道题啊。如图，已知平面上三点， a、 b、 c 让来画线段 a、 b 画直线 bc， 画色线 c a。 大家思考一下怎么来画呢？首先 大家来看画线段 a、 b 是 不是就直接连接 ab 就 可以了，即不要向左侧延伸，也不要向右侧延伸，只能连接 ab， 这个时候就是线段 ab。 那 么画直线 bc 呢？ 那就是过点 b 和点 c 做直线，向两个方向无限延伸，即向左下侧延伸， 也向右上方无限延伸，一定要越过这两个点，哎，这才是直线 bc， 一定要越过啊！ b 要往上延伸， c 要往下延伸，一定要越过这两点，这才是直线 bc。 那 么大家来看一下射线 c a 呢？ 那就是以 c 为端点画射线 ca， 这时候大家一定要注意， c 是 端点，所以啊， c 点是不能往下延伸的， ca 是 另外一个点，因为它是射线，所以要在 a 点的左上方无限延伸，哎，这时候就表示的是射线 ca， 所以 在做线段直线射线，一定要理解他们的定义和区别， 谁有端点，谁没有端点，谁有几个端点，哎，这是最主要的。来看第四题，第四问啊，如何由线段 ab 得到色线 ab 和直线 ab 呢？ 有了线段 a、 b 以后，根据射线的定义，是不是向 a、 b 的 方向延伸就可以了呀？将线段 a、 b 向 b 方向延伸，是不是就能得到射线 a b 呀？哎， 那如何由线段 a b 得到直线 a b 呢？是不是将线段 a b 向两个方向无限延伸，就可以得到直线 a b 呀？ 哎，咱们来画一画啊，射线 ab 是 不是就是在这朝 b 的 方向延伸，这时候这条线就可以描述为射线 ab， 如果是想把它变成直线的话，那么左侧也需要继续延伸，这个时候就变成了直线 ab。 题目当中又问，直线 a b 与直线 b c 有 几个公共点啊？那大家来看， a、 b 与 b c 有 几个公共点啊？是不是仅有 b 这一个公共点啊？所以啊，只有一个公共点 b。 下面咱们一起来讨论一个问题啊，当直线 a 上有 n 个点时，可得到多少条射线，多少条线段？咱们先来解决第一个问题，比较简单，大家来看图啊，当直线 a 上有一个点时， 那么可以得到几条射线啊？大家知道啊，对一个点来说，他至于能有几条射线在直线上，是不是在以 a 点为例，是不是可以向 左侧一条，向右侧一条，这是不是两条射线啊？所以啊，一个点对应的就是两条射线， a 点也好， o 点也好，他们对应的是不是都是 两条射线啊？也就说，在直线上的每一个点，他们都各自对应两条射线，这两条射线 互不重合。为什么呢？因为他们每一个点都是对应的射线的端点，端点不同就是不同的射线，所以直线上的每一个点都对应两条射线。那么大家根据这条规律，是不是就可以得到，当直线上有一个点时， 是不是就能得到两条射线呀？哎，对，因为每一个点对应两条射线嘛，那么两个点时，自然就乘以二是四条，三个点是乘以二六条，四个点时乘以二八条，五个点时乘以二十条，同理，六个点时十二条。 哎，这就是射线的规律。那么当直线上有一个点时，可以得到几条线段呢？如果直线上仅有一个点，那大家可以想象啊，因为咱们线段的定义是有两个固定的端点，所以啊，他只有一个点时啊，他应该是零条线段。 如果当直线上有两个点时，那么可以得到几个线段呀？哎，咱们的定义也是线段有两个断点，所以当直线上有两个点时，比如 a 和 o， 是 不是可以得到一条线段啊？大家来看上图， 如果当直线上有三个点时，比如 a、 o、 b， 那 么已经有了线段 a、 o， 是 不是还可以有线段 o、 b 和线段 ab 啊？大家请看这两个绿色的。 刚才已经有了一条红色的，再加上这两个绿色的，是不是有三条线段啊？这三条线段是不是也可以表示成一个红色的，加上两个绿色的呀？哎，咱们继续往下看，当直线上有四个点时，比如这时候再把 c 点加进来， 那么大家可以看一下，是不是就多了蓝色的这些线段呀？ 与三个点相比时，就多了三条蓝色的线段，线段 oc、 线段 bc 和线段 ac。 刚才有了三条了，那么又多了三条蓝色的，是不是一共有六条啊？ 哎，六条是不是也可以按颜色来表示成一条红色的，两条绿色的，然后 三条蓝色的，对，所以是六条。如果当直线上有五个点时，怎么着像这样一直数下去，大家会觉得非常繁琐，是吧？根据咱们学的 上学期当中的整式规律来探索的话，咱们来探索一下他们具体是不是有什么样的规律来表现呢？大家来看啊，当直线上有三个点时，他有三条线段是一加二，哎，加到二是不是比三少一啊？当直线上 有四个点时，那么他有一加二加三条线段，哎，三是不是又比四少一啊？那么同理，咱们是不是就可以啊 推得。当直线上有五个点时，那么是不是可以应该写成一加二加三加四，哎，这么多条线段呢？ 一加二加三加四就是十条线段。同理，当直线 a 上有六个点时，那么应该有一加二加三加四加五，共十五条线段。 通过上面六个小问，那么大家是不是可以总结一下，如果当直线上有 n 个点时，那么是不是可以得到二 n 条射线啊？哎，对，因为每一个点对应的都是两条射线， 如果直线上有 n 个点，那么它能对应多少条线段呢？根据上面的规律，是不是可以对应一加二加三，一直加到 n 减一啊？是不是这个规律大家看一下，三个点的时候是一加二， 四个点的时候是一加二加三，五个点的时候是一加二加四，六个点的时候是一加二加三加四加五。大家请看最后一位是不是都是比点的个数少一啊？ 哎，四个点加到三，五个点加到四，六个点加到五，那么 n 个点是不是应该加到 n 减一啊？所以可以得到一加二加三，一直加到 n 减一条线段。至于这个 算式求出来结果是多少，这可以用倒数向加法求和，老师在这里就不享受了，结果就是二分之 n 倍的 n 减一条线段， 这个结果大家一定要记住，在后来的题目中会经常遇到这个结果，当直线上有 n 个点时，那么会产生二分之 n 倍的 n 减一条线段。 如果大家想具体了解倒数相加法求和是如何进行的，大家可以看我前面的视频。

同学们大家好，从这节课开始，我们学习第八单元整式的乘除， 今天我们学习幂的乘除，幂的乘除当中比较特殊的一种幂。首先我们回忆一下什么是幂， m 也叫做乘方，对不对？这是我们之前学过的，我们接触到的是 a 的 n 次方，表示 n 个 a 相乘的积叫做乘方。那这个 a 的 n 次方各个部分的名称你们还记得吗？ 整个的叫做 m 或叫乘方，它表示的是 n 个 a 相乘的积是积，它是一个积， 然后其中 a 叫做底数， n 叫做指数，整个的叫做 me。 好， 我们回忆起这个来之后，我们就举几个例子，看一下它到底具体的意义。比如说让你区分一下十乘以三 和十的三次方。首先从我们的形式上看，第一个不是乘方，第二个是乘方，对不对？那因为一定是连续相同的数， n 个相同的数， n 个相同的数相乘的积，对不对？所以说这个不是相同的，这是十和三，不是相同的， 这个可以写成十加。十加十是三个相同的十相加，而这个是三个相同的十相乘的几，所以这个是乘方， 这个是三个相加。二、 x 和 x 的 平方。同样的道理，二、 x 表示 x 加 x， 两个 x 简写成二 x， x 平方表示 x 乘以 x 是两个相同的 x 的 乘积。我们看一下这样的一道题，说光在真空中的传播速度，每秒是三乘以十的五次方。千米 太阳系以外距离最近地球最近的恒星是比邻星发出的光到达地球需要四点二二年，四点二二年。 好，我看一下，让我们看一下这个过程，我们把一年按三点一五乘以十的七次方秒来计算，求距离，好，我看一下哈， 求距离，距离就等于速度乘以时间，这是不变的，对不对啊？那速度就是三乘以十的五次方，时间就是三点一五乘以十的七次方，这是一年的，这是多少年？四点二年，四点二二年， 这就是速度乘以时间求出来就是我们的距离，是不是？但是在这里我们看一下，它有这样的一个式子， 三乘以三点一，五乘以四点二，都很好说，我们把它乘到一起去，可以交换再相乘，这叫乘法的交换率和结合率，然后把十的五次方和十的七次方结合到一起去， 最后我们就得到这样的一个式子，我们就觉得这个是一个准确的数，这个我们怎样把它进行计算呢？ 所以这节课我们就学习这样的观察一下，这两个都是密，对不对啊？这两个都是密，还有更进一步的，这两个的密当中的底数相同，对不对啊？所以这叫什么密啊？同底数密。 好，同底数密，同底数密，进行了一个什么样的计算呀？乘法对不对呀？相乘。这节课学习同底数密，相乘。好，继续往下看。 十的五次方乘以十的七次方，我们怎样研究它的同底数密的乘积呢？我们要回归到密的含义上，十的五次方表示五个十 相乘的积，对不对？五个十的乘积，然后七的十的七次方表示七个十相乘的积，对不对？那这是五个十，这是七个十， 那我们能不能把它结合到一起去？这就变成多少个十呀？是不是十二个十呀？五加七等于十二，十二个十，利用我们密的密的意义可以写成十的 十二次方，对不对？十的十二次方，现在这个，现在这个解决了吗？可以写成十的十二次方， 就是解决了。好，那这是各地吗？我再继续看。说十的二次方乘以十的三次方能算一下吗？十的五次方乘以十的八次方，能算一下吗？十的 m 次方和十的 n 次方相。

同学们大家好，我们这节课学习第九单元，第九单元我们学习变量。首先看一下今天的第一节现实生活中的变量。 比如说有一辆汽车，它从刚开始准备 出发，到真正的发挥作用的时候，它其中会有一个出速度啊，制动的出速度， 他从开始汽车开始制动，也就是开始准备运行，然后到完全的停止行驶的这个距离，我们就称为是制动距离，生活中一般就叫距离了。哈。 那我们看一下他说在这一个，呃，在这一段当中有哪些量？首先看一下这个图， 这里有一个速度这个量，一个是距离这个量， 他说车辆的出速度变化的时候，其他量会随着变化吗？我们看一下当我们的出速度是二十、三十、四十一到一百四十的时候，我们的制动距离有没有发生变化？ 是在发生变化对不对？所以说制动速度变化，那么制动距离会随着发生变化，对不对？好，第三个说， 你能描述一下他的变化情况吗？就是说制动速度在增加，然后我们的制动的距离也会在增大，对不对？这是一个同时变化的 好。我们看一下这样的一个例子，他说一个海域海水的堰墙，我们用 p 来表示，它与水的深度 h 之间有一个关系，什么关系呢？ p 就 等于九点八肉，什么是肉呢？肉表示的是密度啊，密度告诉我们了 h， 我看一下他说在这个情景中有哪些量？首先第一个量是什么呀？压墙对不对？压墙。 p 是 压墙，还有哪些量呢？还有一个水的深度 h 对 不对啊？ 他说水，首先我们找到了一个是压墙，一个是水的深度，他说随着深度的增加，其他量会发生变化吗？我们看一下，九点八不会变化，肉是海水的密度也不会变化， 不会因为海水的深度在增加，我们的密度变化不会变化的，那这里边哪些会变化？水的深度增加了，最终带来影响的就是什么呀？压墙，所以我们可以理解成在这个式子当中，我们的 水深变化了，那么我们的压墙也会变化，所以说就是水深变化，压墙会发生变化。 好，这是另一个例子，说这是一个蔬菜大棚，我统计了一下 十八点到第二天十八点的这个棚内的温度情况，还有一个棚外的温度情况，通过这个图我们发现这里面有哪些变量？温度是不是包括哪个温度呀？包括棚内的温度和棚外的温度，是不是？那他说你能啊，还有时间世界也在变化，为什么呢？是从 前一天的六点到第二天下午的六点，对，时间也在变化，也就是时间在变化。还有呢？棚内的温度和棚外的温度都在变化，对不对？他说你能描述一下随着温度的变化，这两个温度是怎样变的吗？我们看一下 随着时间慢慢增长，他先是怎么样呀？棚内的温度先下降，然后再上升，然后再下降，是不是？然后我们的棚外温度也是先下降后上升，然后又下降？ 好，我看一下。哦，这个问我们还有没有其他的发现？通过我们这个位看出来了，随着时间的变化，棚内温度和棚外温度基本上这个变化趋势是相同的，下降的时候都下降，上升的时候都上升，到达最高点之后再下降，是不是？ 好？我们通过刚才看的这一个，呃，出速度呀？距离呀？

同学们大家好，我们这节课继续学习两条直线的位置关系，请观察一下下面三幅图，我们找一些有没有特殊关系的线段。首先第一个 黑板的长和宽， 像黑板的长和宽之间形成了一个直角，这一个应该是阳台的一个顶棚支撑，也是成了一个直角，而这里的这个竖着和水平的也形成了一个直角。 我们看一下这些线段和线段之间形成的直角，那么我们说它是怎么样垂直的关系？那什么叫做垂直呢？ 两条直线相交成了四个角，这只是两条线段，但是它其实应该是 可以画出直线来的，对不对？可以画出直线来的，画出直线来的，画出直线的。 像这样，两条直线相交成了四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，这是我们小学的定义。我们垂直用什么符号来表示呢？用这样的一个符号， 这就表示两条直线垂直。继续往下看，在这个图中， a、 b 和 c、 d 两条直线相交成了四个角，其中有一个角是直角，那么我们就说 a、 b 与 c、 d 互相垂直，怎么表示呢？ a、 b 垂直于 c、 d， 哈，这个符号读作垂直于 a、 b 垂直于 c、 d， 其中 o 是 它们的垂足哈，也就是它们相交的这一个点叫做垂足。 继续，在这里，有一条直线是 m， 一 条直线是 l， 它们两个相交也形成了一个直角。我们就说直线 m 和直线 l 是 互相垂直的，可以记作 l 垂直于 m， 它们的垂足就是 o。 好， 同学们理解了这个垂直，只要有一个角是直角，那么它们就是互相垂直哈，我们继续往下看， 如果老师给你一个三角尺，问你能不能画画两条互相垂直的直线呢？ 我们可以沿着一条边做其中的一条直线，那另一条怎么做呢？看这里啊， 我们可以用量角器量出直线，也可以用我们这里的这个直角，对不对啊？好看，是不是啊？这个更简单，所以用我们的这个直尺上的这个直角更简单。这个肯定是九十度的角，肯定是直角，所以这两条直线互相垂直。 好，大家说，如果你现在只有直角，你能在这个方格纸上画出两条互相垂直的线吗？呃，互相垂直的直线吗？这个还是比较简单的，有格子，是不是？我们可以利用格子的优势画出互相垂直的是不是直角？ 然后因为这是一个正方形，正方形两条对角线之间是互相垂直的 啊，这个不是特别容易，这个就需要我们用用我们的直尺，是不是可以把直尺放在这， 是不是啊？这个是直角，直尺的这个角是直角，然后画出两条直线，同学们会这两种方法， 这两个比较简单，这个呢需要用我们的尺子去。嗯，把这个直角给画出来。 我们继续。他说在我们画出的一条直线 m 和一个点 a 上，你有几种样的画法过点，比如说这里有一条直线， 然后叫做直线 m， 有 一个点 a， 那 你有几种画法？那好说了，第一种点 a 在 上面， 第二种点 a 在 下面，不管在上面，在下面，它都是在这个直线的外面，还有可能在这个直线的上面，对不对啊？一个是直线内，一个是直线外，对不对？好，他说如果过 a 点做做 m 的 垂线，你能画出多少条？比如说我们的点 a 在 外面的话画垂直，是不是啊？这个你们也一定要用用那个。嗯，叫什么三角板哈，老师这里没有，所以就直接徒手画了，然后在这也是过这个点三角板画，如果是在这画也是三角板画出来，对不对啊？ 我们就可以直线外和直线内都可以画出它垂直的线。继续看哈，他说第一个直线内，第二个直线外是不是 点 a 和直线的关系就有两种，第一个是点 a 在 直线上，也就老师说的直线内，也就是在直线上，再一个可能是在直线外。

同学们大家好，我们这节课继续往下学习平行线，我看一下上节课我们学习的内容，两条直线平，两条平行的直线被第三条直线所截， 被第三条直线所截，那么就会得到同位角相等，内错角相等， 同旁内角互补，这是我们上节课所学的，我们把它简单的记成，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，这是我们上节课学习的， 那我们继续看一下这些。当我们知道两直线平行，我们会得到一些 关于角的信息，这样我们可以直接在题目中去使用它。我们要知道这属于 平行线的性质啊，这是平行线的性质。比如说给你两条直线平行，告诉你这个角是六十度，让你求这个角是多少度，你会告诉他两直线平行，同位角相等，所以这个也是六十度，这是平行线的性质。 那有些同学说，老师呀，如果我知道这个角是六十度，这个角是六十度，我能不能看判断这两个是平行的， 当然是可以的哈。我们同一角相等，我们可以得到两直线平行，我们内错角相等，可以得到两直线平行，我们同旁内角互补，可以得到两直线平行，那这又叫做什么呢？这叫做判定平行线的判定。好，我们一起 把这一块好好的去整理一下哈。当我们由角的关系得到了两直线平行的结论是这个红色的，这叫做什么呀？平行线的判定 主要是证明两条直线平行啊，说明两条直线平行。好，那如果我们现在知道了两直线平行，我们得到了角的关系 相等呀，互补呀，这叫做什么性质？这叫做平行线的性质。主要用于什么呀？求角啊，主要用于求角， 求角。好，我们看一下下面，在这里有 ab 两条直线被直线 c 截所截，当角一等于角二的时候，你能结合图形来说明 a 平行于 b 吗？ 好， a 和 b 相等，这叫什么呀？内错角相等，内错角相等，可以证明平行，这是什么呀？平行线的判定啊。好，第二个角二加角三等于一百八十，角二加角三是同旁内角互补， 同旁内角互补，两直线平行，这也叫做判定啊？ 如果角一等于角二，角一等于角二，好判断两哪两条直线平行。角一和角二是内错角，判断出来 b f 等于 c， e 是 不是？那如果角二等于角 m， 这两个角相等， 如果角二等于角 m 是 同位角，说明 am 平行于 b， f 说如果角二加角三等于一百八十度，说明这两个角是同旁，内角是互补的，那么平行的就是 a c 和 m d， 这就是通过角的关系得到的平行。 在图中， ab 平行于 cd， 如果角一等于角二，那么 e、 f 与 ab 平行吗？好，看一下在三角，在这个图形当中， ab 平行于 cd 的 话，我们能得到什么信息啊？ 我们得到角一就等于角三，我们延长一下等于角三，是不是因为这两个是内错角，对不对？从平行可以证明出来。角一等于角三，这叫什么呀？平行线的性质 好，又因为题目告诉我们角一等于角二，所以角二和角三是相等，角二和角三是相等的，这是什么呀？同位角，同位角相等，那么 e、 f 就 和 ab 平行，这叫做平行线的判定。 看一下，因为角一等于角二，根据内错角相等，两直线平行，所以， 所以 e f 平行于 c d 又因为 a b 平行于 c d 啊，它和老师用的用的方法不一样，它用的一个平行于同一条直线的两直线也平行，是平行，具有传递性。那这个更好，同学们整理两种方法都掌握哈。

同学们大家好，我们这节课继续往下学习整式的除法。 我们在学习之前，首先回忆一下我们之前学过的同底数幂的除法， a 的 m 次方除以 a 的 n 次方。我们是不是用 a 的 m 减 n 同底数密相除，底数不变，指数相减看一下，其中 m， n 都是正整数， m 大 于 n。 上节课我们又学习的单项式相除的法则，系数除以系数做系数，然后同底数密相除， 不能进行相除的，跟在商的后面，对不对啊？细数同底数密分别相除，作为商的因式，只在被除式中含有的字母连同它的指数一起作为商的指数，而不是不要它了，而是把它放在商里边去了。 看一下这样的一个题，说成了满满的蓝色液体啊，这么一个瓶子，然后我想把这个液体倒到小杯子里面，我应该需要多少个杯子？ 其实这个题就是一个什么呀，体积的问题，对不对啊？体积问题我们看一下，那我们这一个瓶子里面的这个液体体积是不是就是两个圆柱 体的体积公式？好，那它有两部分，我们分别求对不对？第一部分， pi 半径直径是二， a 半径就是 a， a 的 平方乘以大 h， 加上这一部分 pi 乘以直径是 a， 半径是二分之 a 的 平方 高是 h， 然后这是瓶子的液体的体积，然后除以杯子的体积，对不对？杯子体积是 pi， 半径是二分之 a， 直径是二分之 a， 半径就是四分之 a， 那 平方乘以八， 这个是体积，刚才我写的是太 a 的 平方大于 h， 加上 pi 乘以二分之 a 的 平方小 h 除以 pi 乘以四分之 a 的 平方乘以八，好，约分。 pi 和 pi 约了是不是？嗯，好，最后剩了个 a 的 平方，下面是 a 的 平方，大 h 加上四分之一 a 的 平方，小 h 除以。嗯，这是十六分之 a 的 平方。乘以八就是二分之 a 的 平方 啊。我们这个加括号哈，看一下。进一步， a 的 平方提出来，就剩了大 h 加上四分之一小 h 除以二分之一 a 的 平方。同底数密相除， a 的 平方除以 a 的 平方。没有了，对不对？就剩了 h 加上四分之一 h 除以二分之一。除以二分之一，就相当于乘以二二倍的 a 大 h 加四分之一小 h。 啊， 这是需要多少个杯子啊？我看一下。在刚才我们的式子当中，我发现了一个很复杂的一个式子，不光是有单向式，不光是有一个单向式，而是有好几个单向式，对不对？啊？那我们把这样的叫做什么呀？多。

同学们大家好，我们这节课继续往下学习幂的运算，回顾一下我们整节的导入，是我们幂的意义。什么是幂呢？ n 个相同 a 的 乘积的形式， n 个相同的 a 的 乘积，我们解写成 a 的 n 次方，这就叫做密，其中 a 是 底数， n 是 指数。随后我们又学习了同底数密的乘法法则，同底数密，底数不变，指数相加。 又学了上节课的同底数的除法法则，同底数密相除，底数不变，指数相减。 并且我们同底数密的除法在计算的时候还需要有两个小注意的细节。第一个就是我们在计算的时候，我们的指数和底数都应该是最简单的形式， 同时底数中的系数不能为负，也就你最后求出来，如果是负一的五次方，这时候这个底数是负的。不行，你要给它写成负的一的五次方，就等于负一， 或者直接就是等于负一，所以这个底数不能是负数。第二个就是我们如果出现了这样的形式，要把它画成最最简单的，这叫什么呀？乘积，积的乘方对不对？积的乘方就等于每一项乘方再相乘 啊，都要给它画成这样的形式，这是两个需要注意的地方。然后我们再看从底数密的乘法法则中，各个字母需要满足什么样的条件。 这里的 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，就等于 a 的 m 减 n 次方，其中这个 m 和 n 都是什么正整数，并且我们要求 m 要大于 n， 当时我们是这么要求的， 但是我们想一想，在这里我们要求的是 m 大 于 n， 实现了从底数密相除，底数不变，指数相减， 比如说五的三次方，除以五的三次方就等于五的三减三次方。发现当 m 和 n 的， 当 m 和 n 相等的时候，也能成立，也能实现这个这个法则，对不对？那具体的三减三等于零，五的零次方应该等于多少呢？ 如果看前边的话，一个数除以它本身就等于一，对不对，所以我们就猜测这个会等于一，那具体是不是等于一呢？我继续往下讨论。 还有三的三次方除以三的五次方，按照我们这一个法则，就等于三的三减五次方，但是这里 m 小 于 a， 是 不是？然后 这还有 a 的 三次方除以 a 的 五次方等于 a 的 三减五次方，也是 m 小 于 a， 如果这样的也成立的话，那这里的三减五等于负二，三的负二次方， 三减五等于负二， a 的 负二次方又代表什么呢？所以我们现在有了三个问题啊，总体来说是两个问题吧，也就是说一个数的零次方我们怎么解决？还有一个一个数的负数次方我们怎么解决？一个字母的负数次方我们又怎么处理它？好看这里哈， 我们通过例子一点点导入，首先十的四一万就等于十的四次方，这个没有办，没有问题哈，一千等于十的三次方，一百等于十的二次方，十就等于十的一次方，对不对？这是每一个都没有除以十、 除以十，除以十，每除以一个十，我们的指数就会减一减一，减一减一，那我们能不能继续往下除，然后也实现减一呢？继续啊， 如果现在从十到一是不是除以十，那我这个一也要减成变成了零，对不对？好，我继续往下除以十，我这个零就要变成再减一，负一吧， 我再除以十，我这个地方又变成了负一。减一负二吧，我继续除以十，我这个地方就乘以负二，减去一，又成了负三吧，看这个过程哈， 所以我可以是正数，也可以是负数，有没有发现我这个指数可以是正，可以是负。 好，这里十六呢？十六是二的四次方，八除以二减一。是指数变成三，八除以二变成四。指数减一，四除以二，四除以二等于二。指数减一，二除以二，指数减一。 一除以二，指数减一。二分之一除以二，指数减一，四分之一除以二，指数减一。又出现了指指数是整数和指数是负数，还有指数是零的情况，指数是零的情况。 好，我们继续。在这里，任何不等于零，他的零次密等于什么？我看一下这里哈， 它的零次密，它的零次密都等于一，是不是？也就是说一个数的零次密是等于一的，那么 并且一定是什么不等于零的数不等于零的数的零次密等于。哈，看这里， a 的 零次方等于一。一定要强调， a 不 等于零， 任何不等于零的数的负 p 次方。呃，负 p 次幂等于这个数的 p 次幂的倒数，我们看一下啊，是不是这样子的？