六下数学圆柱分散怎么做

今天我们讲六年级数学简单的圆柱体积解决问题，如图，把圆柱底面平均分成若干个扇形后呢，沿高切开，拼成一个近似的长方体， 如果圆柱的高是五分米，长方体的长是六点二八分米，求这个圆柱的体积，这是一种必考题，我们一起来看一下。 在之前呢，我们就讲过了圆柱体积的一些公式推导啊，以及相关之间的一些联系。那其实这个题目我们只要把这个圆柱体和这个长方体之间的关系搞清楚以后，这个题目一点也不难，那我们一起来再看一下。 首先题目告诉我们圆柱的高是五分米，那我随便找一条高，对吧？然后呢，到了这个长方体以后呢，这条就是圆柱的高，这条就是圆柱的高，那高我们用 h 表示， 然后他是五分米呢，我们也可以用数据给他表示，上去写个五。好。再看长方形的长是六点二八，那我看长方形的长是就是这条红色的， 那这条红色的这条长跟圆柱体啊，哪个有关系呢？你可以暂停视频，自己思考一下，我们继续，你可以看这个阴影，对吧？你看一二三四五六七八，那你看就是这一条。 好，那圆周长的一半的话，我们是可以用 pi 二表示，那么这里的话它也是 pi 二，当然放到下面去的话，这条长也是 pi 二， 因此我们就知道什么呢？ pi 二是就是等于六点二八。好，根据这个等式，我们就可以把半径数等于六点二八，除以 pi 算出来是两分米。好，半径是哪一条呢？你要注意，你可以写在这里，也可以放到这个长方体里面，对吧？好，那么这个半径是两分米， 那这样一量的话，接下去我们体积怎么算呢？一种方法，我是不是求出圆柱的底面积啊？你看半径也知道了，对吧？那底面积那么再乘上圆柱的高，那其实我们也可以这样去思考， 这个圆柱体的体积是等于长方体体积的，那长方体积的长是六点二八，宽就是二，高就是五，所以是六点二八乘二乘五是对，六十二点八立方厘米。好，那今天这个题目我们就讲到这里，希望对你有帮助，谢谢。

来看六下的一道考试的重点题型，一个密闭容器，如图，它的下面是圆柱，上面是一个圆锥， 圆柱的高是十厘米，里面直径啊是十厘米，圆锥的高是六厘米，容器内的页面高啊是七厘米。 将这个容器倒放时，从圆锥的尖端到页面的高是多少厘米？这个题出的太好了，那接下来我们把这个一个圆柱和这个圆锥，当然他们是同底，我给他倒过来， 倒过来以后，同学们发现这个圆柱体， 我简单的画一画，当然我画的不是很标准啊，那么同学们来观察这个圆倒过来以后，这里的这个圆锥，这个页面肯定是这个圆锥啊，就灌满了，然后呢，上面 上面还有一部分有页面，那让我们求的是这一段页面的高到底是多少？ 因为他们是等底的对不对？底是一样的，那这段的高大家看啊，这段的高是不是六厘米？那我只要求出这段的高，我把这两段高加在一起，就是页面的高度是多少， 我们正放的时候，因为他们是等底的，对不对？那么页面的高度是七厘米，我倒过来以后，这个页面的高度要变高，为什么会变高呢？因为外满这一部分的体积，这个高是六厘米的，这个圆锥体的体积和圆柱体的高为 二厘米的，这一部分的高度的体积是相等的，为什么呢？因为他们是等底，圆柱体的体积等于什么呢？等于底面积乘高，那就等于啊，圆锥体，因为他们是等底吗？对不对？圆锥体的体积是三分之一的，底面积乘高 底面积是一样的，所以这个圆柱体的高就等于三分之一，是不是乘六，所以在圆柱体里边，这段高呢？就是不是相当于是二厘米啊？那么同学们想，这一段是二厘米，正着放的时候，总共页面高呢是七厘米，所以上面这部分，这一部分是不是相当于这部分啊？ 这部分的体积，哎，这部分体积是二厘米，那上面这部分体积是不是就是五厘米？这个五厘米再加上这个圆锥体的这部分高是六厘米，所以叶面的高就是十一厘米。 学会了吗？来书写一下具体的思路啊。具体的思路，六乘三分之一，六乘三分之一，这段的体积和这段体积是一样的，这段的体积相当于正面放的时候，圆柱体的体积 为这段二厘米的啊，所以这段是二厘米，那这段是二厘米，那么总共正面放的时候是七厘米，这段是二厘米的液体的体积，那这段还剩 七减二，还剩五厘米啊，所以这段是五厘米，那这段五厘米，再加上圆锥体的这段高是六厘米，所以页面的高其实就是五加六，为十一厘米。 那对于王老师所讲的这道思维题，你们学会了没有啊？关注王老师，让数学变得 so easy！

六下必考圆柱圆锥，把一张铁皮按下图剪开，利用蓝色部分刚好能做成一个圆柱形的油桶，接头处忽略不计，求这个油桶的容积。 这道题的破题思路就是求出底面半径。首先要确定油桶的底面周长是长方形的长还是宽。如果油桶的底面周长是长方形的宽，设油桶的底面半径是二，但油桶的底面周长就等于二拍二，那这两个底面圆的直径都是二二， 显然二拍二不等于两个二二相加。所以油桶的底面周长不是长方形的宽，而是长方形的长，也就是这部分的长度是二拍二，而这部分是底面直径就是二二，这两部分加在一起就是二十点七分米。由此可以列出等式，二拍二加二，二等于二十点七， 把 pi 等于三点一四代入就可以求出底面半径是等于二点五。最后求油桶的容积，就用底面积乘以高，高就是长方形的宽，也就是四二， 所以高就是四，乘以二点五等于十分米。把半径是二点五，高是十。代入公式就可以求出油桶的体积是一百九十六点二五立方分米，换算成容积单位就是一百九十六点二五升。

六年级今天我们来学圆柱的表面积思维题。如图，将两个底面直径是四厘米，高是六厘米的圆柱， 分别沿底面直径和平行于底面两个方向切割成相同的两部分，他们的表面积分别增加了多少平方厘米？那解决这类切割问题，我们关键就要明确， 切割后呢，他的切面其实就是变化的面，像这样切一次就增加两个切面。 第一幅图，他是沿着底面直径切割的，那也就是沿着底面直径这样切割出来， 切割成相同的两个半圆柱。那这样切割下来，那么他的切面呢，就是两个长方形， 那所以表面积增加的部分就是这两个长方形的面积。 这个长方形，它的长就是圆柱的高六厘米，它的宽就是底面直径四厘米，那它的面积就用长乘宽计算。 两个切面，那就再乘啊，九出来等于四十八平方厘米。那现在第二种按照这样的方法来切，也就是平行于底面 这个方向呢？切割成啊，就按照这样的方向切，那切割出来的是相同的两个小圆柱。 那你看这样切割出来的话，他的切面呢，就是两个圆，所以表面积增加的部分就是这两个圆的面积。圆，他的底面直径就是四厘米， 知道底面直径可以求半径四除以二等于二厘米，那半径知道可以求圆的面积。我们用三点四从半径的平方求出来，是一个圆的面积，它增加的部分是两个圆，那就再乘二， 这里求出来等于二十五点一二平方厘米。所以沿着底面直径切割时，表面积增加了四十八平方厘米， 平行于底面，切割时表面积增加了二十五点一二平方厘米。

看一下稍微特殊一点的圆柱，然后他要求的一个侧面积的一个问题，其实他的主要方法的话还是用到了我们平面图形中圆那里面求面积的时候用到的一个设额不求法。然后我们来具体问题看一下， 首先呢他告诉我们这个图呢，是一个四分之一圆柱，其中两个侧面是正方形，所以大家读完题以后要知道，侧面说的是我们现在看到这个前面以及它的一个 这个左面啊，它是两个正方形啊，两个正方形，所以看到正方形哦，不能大脑只知道哦，它原来就告诉我们是一个正方形，那正方形你立马就要反映出来，正方形它是一个几何图形，它这个几何图形有什么样的特征呢？ 那对于这道题来说的话，我们又不算角度，所以我们肯定是用不到角度，那每个正方形的话，它就是有四个角，都是直角啊，还除了之外的话，那我们肯定更多的就要用到它的边长，所以我们就知道啊，说明就是我们这个呃，两个图形它组成的图形的边长是相等的。 然后我们又知道上面的话，它这个地方是一个什么？是一个四分之一的圆，对吧？是一个四分之一的圆， 所以呢，我们就可以看到这个正方形的边长又和这个圆有什么关系呢？那我们首先就通过图就能够分析出来，正方形的边长，也就是等于我们这个圆柱底面半径啊，圆柱底面半径。 好，那这时候呢，我们就知道，我们一般半径就会用什么字母来表示，我们一般就会用 r 来表示，对吧？好，因为它现在是告诉了我们，呃，每个正方形的面积是十平方厘米，这个四分之一圆柱侧面积是 多少平方厘米？那我们知道我们要算它的侧面积， 那我们就可以看到他的侧面，我们说了什么叫做侧面，所以这道题坑点还挺多的啊，他是说侧面积，那侧面积的话，我们说的就是除了上下两个底面之外的面，那就是侧面积啊，所以除了上下面之外 就叫做侧面积。好，那我们侧面积就会由嗯三部分构成了，首先是由这两个什么这两个正方形， 然后还有这个地方的一个曲面的这种侧面啊，曲面形成的一个侧面，所以侧面的话一共就是由三个面， 然后正方形的面积已经告诉我们了，那这时候我们核心就要去算什么，算他那个曲面，也就是我们这个圆柱侧面积的四分之一， 对不对？也就是圆柱之前就是整个完整圆柱的侧面积的四分之一。那我们知道我们圆柱的侧面积公式是等于底面周长乘高， 那这时候呢，我们就缺了他的底面周长，然后他的高是我们正方形的边长，所以缺了东西比较多，所以这时候呢，我们就可以去将边长设为 r， 因为边长和这个半径是相等的啊，边长是和半径相等的，所以可以看到我们这个地方 就可以用含 r 的 式子表示出它完整的一个圆柱它的侧面积是什么样子的，那就是根据它的周长是二倍 r， 然后再根据它的高是 r， 所以 再乘 r， 所以 完整的圆柱它的 测面积应该是二 pi r 的 平方，然后呢，我们现在只有这个圆柱测面积的四分之一，所以就二 pi r 的 平方再去乘上一个四分之一，那我们可以看到二和四同时可以约掉一个二，所以就是分母就是二了，所以它就是二分之一 pi r 的 平方。 然后题目中又告诉我们正方形的面积是十平方厘米，也就是告诉了我们 r 的 平方是等于十的，所以这时候我们就可以用整体思想了进行给它带进去，所以就二分之一 pi， 然后再乘上一个十，那我们就知道十和 二分之一的二可以约掉，所以它就是最终结果是五 pi， 那 五 pi 我 们算出具体数值的话，也就是十五点七平方厘米。 好，这是他这个地方的面积是十五点七平方厘米，然后我们的侧面还有什么还有两个这样的正方形呢？所以不要忘记了还要再加上两个正方形的面积，所以就是十五点七，加上十乘二， 那也就是三十五点七平方厘米。所以大家要注意一下。这道题其实核心的话就考察了我们设而不求，我们可以通过图形观察到我们这个正方形的边长是等于圆柱的半径，然后就将正方形的边长设为 r， 然后我们这个圆柱的高也是 r， 所以 可以先去将它的侧面积表示出来是二拍 r 的 平方， 然后呢，再根据他现在这个圆柱只有整个圆柱的四分之一，所以他的这个侧面积也就占了整个圆柱的四分之一，所以记得再去给他乘四分之一，然后再根据 r 的 平方等于十代入求值就可以了啊。

今天我们讲六年级数学简单的圆柱体积解决问题，如图，把圆柱底面平均分成若干个扇形后，沿高切开，拼成一个近似的长方形。如果圆柱的底面半径是四厘米， 侧面积是二百五十一点二平方厘米东东呢？把这个长方体侧放后，你看现在是这样放了，对吧？他快速求出了圆柱的体积，那他是怎么样解决呢？我们就用这个视频讲一个啊，圆柱体积的一个新公式。好，我们一起来看一下 今天这个视频，我们主要是讲一体积的新公式，二，解决这个题目。好，现在你看一下啊，现在我放好以后的话啊，也就是说相当于的话，这一条数就是，呃，长方体的长，对吧？这个就是宽，反正现在不用去管它。那我们先讲第一点啊，新公式， 首先圆柱的体积公式是底面积是乘高的，那这个就是底面原面积公式，再乘上高 h。 好，到了这里以后的话，我们再来会一下它测面积公式。圆柱的测面积公式应该是底面周长是乘高，而这个底面周长的话是就是二 pi r。 好， 现在就变成二 pi r h 了。到了这里以后的话，我们继续给它进行变化，就是对这个等式左右两边同时乘二分之一，那就变成二分之一 s 测，是等 pi r h。 那我们现在在推导新的圆锥体体积公式。好，推导好以后，现在回到这里了，对吧？回到这里我们把这个啊给它改写一下，就把它变成 pi r， 乘上这个 h， 再乘上这个 r， 你 看 pi r h 是 什么呢？我们回到这边右边看 pi r h 是 就是二分之一 s 测， 所以的话现在它就变成二分之一 s 乘上半径，所以的话我们新的圆柱体体积公式就是等于二分之一乘它的侧面积，再乘上它的半径。 好，这就是圆柱的新公式啊，圆柱体积的新公式，那么接下去我们解决这个题目就快了，对吧？根据这个圆柱体的公式就是二分之一乘上侧面积是二百五十一点二， 再乘上半径是四，最后算出来是五百零二点四立方厘米，搭补上去就行了，所以的话东东就是啊，利用了这个圆柱体积新公式，快速的求出了这个圆柱里的体积。好，今天这个我们就讲到这里，希望对你有帮助，谢谢。

不规则物体的体积是没办法直接套用公式计算的，那怎么办呢？就要利用转化思想来解决，就是把不规则物体转化成规则物体。一个圆柱形物体被斜截后，这是被斜截后剩余的部分，我们先把它移过来这里， 现在我们可以给他复制一个一模一样的不规则物体，然后再把这个不规则物体拼接到一起。此时此刻你们发现了吗？这样是不是就拼成了一个规则物体，也就是圆柱了，也就是说这个圆柱是由两个一样的不规则物体拼成的。 接下来把数据标上，通过观察，大家是不是已经知道了，剩余部分的体积其实就是等于圆柱体积的一半。 根据圆柱体积的计算公式，拍乘半径的平方再乘高，可以求出圆柱的体积三点一四乘半径的平方，已知底面直径十六分米，所以半径就等于八除以二再乘高。注意 这里圆柱的高是由十分米和十五分米组成的，所以高就等于十加十五的和计算结果等于一千两百五十六立方分米，剩余部分的体积就是圆柱体积的一半，直接用一千二百五十六除以二，等于六百二十八立方分米。

六年级数学这分最不该丢！圆锥沿高切一刀，表面积增加两个等腰三角形的面积。圆柱平行于底面切一刀，表面积增加两个底面的面积。圆柱沿底面直径切一刀，表面积增加两个长方形的面积。 这些知识点又散又多，孩子记不牢！这本学霸速记！把一整个学期的公式知识点全都整理好了，每天翻一翻，基础更牢！需要的家长下方小黄车直接拍！

六下必考圆柱圆锥一个密闭的容器，由圆柱和圆锥组成，圆柱和圆锥的高分别是十二厘米、九厘米，容器内的水面高八厘米。如果将这个容器倒过来放置，那么从圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米？ 这道题的突破口就是底面积不变。首先先来判断一下倒置后水能不能装满圆锥。倒置前装满水的部分是一个圆柱， 这个圆柱的底面积和容器上方圆锥的底面积相同。假设底面积是 x 平方厘米，圆柱的体积等于底面积乘以高，所以水的体积就是装满水。圆柱的体积等于底面积乘以高八厘米，等于八十立方厘米。 假设倒置后恰好装满圆锥，圆锥的体积等于三分之一，底面积乘以高就等于三分之一乘以 s 乘以高九等于三 s 立方厘米。显然，水的体积八 s 大 于圆锥的体积三 s， 所以 说明倒置后水位一定超过了圆锥的高度。假设倒置后是这样， 超过圆锥部分的水的体积就是八四减三， s 等于五 s 立方厘米。图中绿色部分，圆柱就是超过圆锥的水的部分，它的底面积还是 s， 它的体积就是五 s， 所以 它的高就是体积五 s 除以底面积 s 等于五厘米， 也就是这部分是五厘米。最后问圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米，那就用圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米，那就用圆锥的高九厘米加上超过圆锥的五厘米，答案就是十四厘米。

怎么求圆柱的组合图形的体积呢？之前我们说过，怎么求这一类组合图形，也就是这种蛋糕形状的体积啊，不表面积了，那这一次我们来看一下它的体积。怎么求 体积本质上就是这个物体占的这个空间的大小，那这个物体他没有改变他的大小，自然而然他仍就是圆柱的体积，所以我们本质上只要拆分开来，就可以把它轻松的解决了。 我们举个例子，比如我们拿出一个三层的蛋糕，这个蛋糕每一层都是圆柱形啊，这个就是这种类型的组合图形了。 把最下面那一层命名为 a， 中间的那一层命名为 b， 最上面的那一层命名为 c， 本质上呢，我们要求它的体积就是求这三层的体积，也就是说我们可以直接套用圆柱的体积公式， pi r 方乘以 h， 那么 a 呢？我们就可以利用这个公式， b 也是一样的，而 c 也是一样的。将他们三个的体积加起来，其实就是 a 加 b 加 c 的 体积，就是这个圆柱的组合图形的体积了。 因此我们可以总结出来一个点，那就是这种类型的组合图形的体积，本质上就是在求各个层次的 圆柱的体积，只是呢，他的圆柱多了一点，让你求的次数也多了一点。思路讲清楚，数学就简单，这期学习日记就到这里，我是木龙，我们下期再见。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册圆柱与圆锥的例例，圆柱的容积。首先我们来回忆一下，上一节课我们学习了圆柱的体积， 圆柱的体积公式是怎么推导的？我们把圆柱等分成若干份，拼成了一个近似的长方体，我们在转化的过程当中，我们发现长方体的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积， 长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积等于底面积乘高，所以推导出了圆柱的体积也等于底面积乘高。用字母表示 v 等于 s h， 或者是 v 等于 pi r 的 平方 h。 那 今天这节课我们学习的是圆柱的容积， 那大家首先回忆一下什么叫容积，还记得吗？对，容器所能容纳物体的体积叫做容积，也就是说它里边能有多大的空间，就叫做它的容积。 我们在五年级已经学习过长方体、正方体的容积，它和体积的计算方法完全一样，所以容积的计算方法与体积的计算方法相同，但是它所用的数据要从容器的里面来测量。 大家还记得我们常用的容积单位有哪些吗？所有的体积单位都可以用做容积单位，比如立方米、立方分米、立方厘米，但是当里边装液体的时候，我们还要用到容积单位，谁呢？升与毫升， 那么这些容积单位之间的净率是一个非常易错的点，我们来一起梳理一下。一平方米等于一千立方分米，一立方分米等于一千立方厘米， 相邻两个体积单位间的净率是一千立方分米呀。当时装液体的时候，它还有另外一个名称，就是升立方厘米，也就是我们所说的毫升。因为立方分米和立方厘米的净率是一千，所以升与毫升的净率 也是一千。不管是做填空题还是解决问题，这些单位的换算特别容易出错，孩子们，请你按下暂停键来记一记吧。 那好，知道了容积的计算方法和体积的计算方法一样，还知道了容积单位之间的戒律。那么今天我们学习的例六就非常简单了，来看例六 下面的杯子能不能装下两袋这样的牛奶，数据是从杯子里面测量得到的。首先我们来看告诉了杯子的内直径是八厘米，还告诉了一袋牛奶的容积是二百四十毫升。 那要解决这个问题，其实也就是计算什么呢？对这个杯子的容积，杯子它是一个圆柱体，那么我们该怎么样求出圆柱的容积呢？容积和体积的计算方法一样，那我们是不是要求出来这个杯子的底面积 乘高，那告诉的是直径，所以杯子底面积三点一四乘直径除以二的平方等于三点一四乘四的平方，最后结果等于五十点二四平方厘米。知道了杯子的底面积，再用底面积乘高等于它的容积。注意这里得到的是五百零二点四立方厘米， 问能不能装下两袋这样的牛奶，我们要给他换算成毫升，因为一立方厘米还有一个名字就是毫升，所以五百零二点四立方厘米就等于五百零二点四毫升。 接着我们求出来两袋牛奶的体积是二百四十乘二，等于四百八十毫升。然后把杯子的容积和两袋牛奶的体积进行比较，五百零二点四大于四百八十。答，杯子能装下两袋这样的牛奶。 通过这道题我们发现，求圆柱的容积是不是和它体积的计算方法一样，只要注意单位的换算。来，孩子们，我们规范总结一下，圆柱容积的计算方法与体积的计算方法相同，只是所用的数据要从容器的里面来测量， 用到的体积公式是一样的， v 等于 s h 或者 v 等于 pi r 的 平方 h。 第二点也是我们计算时最容易出错的一点，要注意单位是否统一。 掌握了方法以后来看这道练习题，我们教材二十五页做一做的。第一题，小明和妈妈出去游玩，带了一个圆柱形保温杯，从里面量底面直径是八厘米，高是十五厘米。 如果两人游玩期间要喝一升水，但这壶水够喝吗？这道题他和例题同一类型，那我就交给你了。王老师把这道题的答案放在评论区，如果你能做对，给自己点个赞吧！

六下数学最难的圆柱与圆锥三阶分层法，得小升初半壁江山。这是六下数学圆柱与圆锥综合应用基础版，烂透基础题型告别，演高手低， 确保基础分权拿下。接下来用拓展版彻底打通圆柱与圆锥的任督二脉，专治各种拐弯题。最后用进阶版练就王者思维，挑战满分极限。进阶版往往是小升初的压轴题和附加题，有完整的含参考答案和分析过程以及讲解步骤，可印出来，帮学生站在金字塔顶端。

六年级今天我们来学习圆柱的体积拓展木。一个高为二十厘米的圆柱， 如果它的高增加三厘米，则它的表面积增加七十五点三六平方厘米。原来圆柱的表面积和体积是多少？ 这是一个高为二十厘米的圆柱，如果把它的高增加三厘米，得到一个新的圆柱，那这个高增加三厘米的话， 表面积就增加七十五点三六平方厘米。其实圆柱的高增加，增加的表面积 就是三厘米高。这个小圆柱的侧面积跟底面积没有关， 所以三厘米高，这个圆柱的侧面积就是七十五点三六除以高，求出底面 周长二十五点一二厘米。底面周长可以先求出底面直径， 用二十五点一二除以三点一四求出底面直径，那再除以二，就是底面半径等于四厘米。 知道底面半径，那就能求底面积，用三点一四乘半径的平方。现在我们要求原来圆柱的表面积和体积，那原来这个圆柱 它的表面积是由两个底面积加一个侧面积，那一个底面积是三点一四乘四的平方，两个，那就再乘二加上侧面积。我们知道圆柱的底面周长是二十五点一二， 那他的测面积我们就用二十五点一二乘他的高二十最短。三点一四乘四的平方。乘二等于一百点四八 加二十五点一二乘二十等于五百零二点四。一百点四八加五百零二点四等于六百零二点八八， 单位是平方厘米，这个求出来的是原来圆柱的表面积， 那原来这个圆柱它的体积怎么求呢？我们就用三点一四从半径的平方求出底面积，再从对应的高二十求出来的，就是体积等于一千零四点八立方厘米。 所以原来圆柱的表面积是六百零二点八八平方厘米，体积是一千零四点八立方厘米。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第二课时，圆柱的侧面展开图。上一节课我们认识了圆柱，它是由三个面组成的，上下两个底面，还有一个侧面是一个曲面。 大家思考一下，圆珠的侧面，如果我们给它展开，可能会是什么形状呢？你也可以动手试一试。现在我们把罐头盒的商标纸如下图所示，沿高剪开再展开， 这时候你会发现圆珠的侧面展开后得到一个长方形。那么大家继续思考，我们把圆珠的侧面展开后得到长方形吗？ 来看这道题，下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的。比如第一幅图，它的侧面展开是一个长方形，那我们是怎么样给它展开的呢？对，是沿着侧面上的一条高展开的。 第二幅图是怎么展开的呢？我们是沿着侧面上的一条曲线展开的，所以它得到了一个不规则图形。 第三幅图我们是怎么做的？沿着侧面上的一条斜线展开，这样它的侧面就得到一个平行四边形。那如果现在让你判断一道题，圆柱的侧面展开图一定是长方形， 那很明显这道题是错误的，有可能得到长方形。还有不规则图形或者是平行四边形，只有沿着侧面上的高剪开才能得到长方形。 比如我手中的这个圆柱，如果沿着它的高剪开，展开以后还可能是正方形。但不管是不规则图形还是平行四边形，我们都可以通过割补法，然后通过平移把它转化成一个长方形。 比如平行四边形，把它割补，然后平移，也可以把它转化成一个长方形，包括这个正方形，它也是一个特殊的长方形。 那好，那我们就以长方形为例，来研究一下展开的长方形的长宽与圆柱有什么关系？把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么呢？ 不管是把这个长方形围在这个圆柱上，还是让圆沿着长方形的长滚动一周，都会发现这个长方形的长就相当于圆柱的底面周长，那么长方形的宽就是 圆柱的高。这个长方形与圆柱之间的关系特别重要。来，孩子们你也跟着读一遍。长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于 圆柱的高。再根据长方形的面积等于长乘宽，所以我们得到圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测就等于 c h， 那 么 c 又等于二 pi r， 所以 还等于二 pi r h。 看来呀，要求圆柱的侧面积，我们只需要知道圆柱的底面半径，或者底面直径，或者底面周长和高，都可以求出它的侧面积。 那来看这道题，一个圆柱形茶叶桶的侧面贴着商标纸，圆柱的底面半径是五厘米，这张商标纸展开后是一个长方形， 它的长和宽各是多少厘米？那我们看长方形的长就相当于圆柱的底面周长。这里告诉了半径，能不能求出周长呢？ 半径乘二等于直径，直径乘派等于周长，也就是长方形的长。那么长方形的宽就等于圆柱的高，所以它的宽就是二十厘米。答，它的长是三十一点四厘米，宽是二十厘米。来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 通过刚才的动手操作，我们发现圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽等于圆柱的高。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测等于 c h， 还等于二 pi r h。 圆柱的侧面积公式推导非常的重要，这里学好了，后面学习圆柱的表面积，那就轻松太多了，孩子们，你也试着把圆柱的侧面积的公式推导过程说一遍吧！

上期视频我们搞定了圆柱体切拼成近似长方体基础，但考试想拿到分，只懂基础远远不够。今天咱们直接进入题型专题，一步一步带你吃透学会就能用 好了。那么我们接着上一个视频呢，接着给大家去讲我们这块圆柱体啊，转化成一个近似的长方体这块的一个题型啊。首先我们来看这个题型啊，我们边看题型边复习知识点啊， 第一个题型，已知增面去求体积。首先我们要知道什么叫增面，孩子们，什么叫增面啊？ 增面就是他增加的这个切面。那老师问大家，由一个圆柱转化成一个圆锥的话，他的这个增面增到的切面有几个面？ 几个面？大家思考一下，几个面，几个非常好，有同学已经想到了，是不是他右侧的一个面，加上他左侧的这个面，总共有几个面，哎，两个面 对不对？那这个是不是就他的增面啊？那这里面老师要告诉大家，我们一定要知道，由一个圆柱体转化成一个近似的长方，他是有两个增面，这是一个很重要的啊，做题他是很重要的啊。然后我们接下来看 把高是十厘米的圆柱高给你了，这里拼接成一个近似长方体表面积增加了多少呢？增加了六十，表面积增加六十，让你去求圆柱体的体积是多少， 那我想要去求这个圆柱体的体积，老师问你，我是不是只需要知道两个量，第一个我要知道它这个底面半径啊，以及它的高度 h， 如果说这两个量，我们就能够通过 v 柱 等于 pi r 方 h 这个体积公式就能得到圆柱的体积，那这里面高是不是给你了？孩子， 高是十厘米，现在差啥呀？差一个半径 r， 那 差的这个半径 r， 我 只能通过这个题当中最后的一个条件，表面积增加六十平方厘米来得到 表面积增加了六十平方厘米。老师说了，增面增了几个面？两个面。那如果说两个面它等于六十的话，我们就能知道一个面是不是就是六十，除以二就等于三十， 对不对？那这个三十它所代表的是什么？是不是就是我这个切面的长，方形的长和它的宽， 他俩相乘等于六十，对不对？那他的这个长我们发现是不是就是这个题中给的条件？ h 高，宽 是啥？矮，非常好，上个视频你听懂的同学一下就能翻出来，这个宽是不是就是半径啊， 对不对？也就是说他这个三十就等于什么？就等于 h 乘 r 的 三十， h 的 多少？ h 的 十，也就是说十乘 r 的 三十，我们就能知道 r 就 等于三 厘米，对不对？那 r 如果等于三厘米的话，那我这里面是不是就可以套用公式了？ pi r 方 h 就 用啥，就用三点一，四乘三的平方再乘十， 对不对？继而我们就能求解出这个圆柱体的体积就得多少就得多少，等于二百八十二点六，听懂了吗？孩子们？好了，抓住，啥叫增面？增几个面啊？ 好了，来下一个题型。已知半径是求增面底面半径是四，高是六。好了，半径 r 给你了，高也给你了， 让你去求增面，增加了多少啊？面积增加多少？那我想知道增加面积是多少，我就抵知道我这个增面的长和宽分别是多少 长是多少长，是不是我们所说的高？ h 宽是啥？宽是不是就是半径 r 高给不给你六？半径是四，所以说它一个增面就是六乘四等于二十四平方分米，这是一个增面，增几个面？ 上个视频老师说了就两个，那就用二十四再乘以二就等于四十八平方分米，你看迎刃而解对不对？好了，不说了，下个视频 已知长去求体积来看啊，切片后的长方的长是十二点五六，高是五，求圆柱体的体积。好了，还是那句话，求圆柱体的体积。我只要知道了 r 和 h 这两个量分别是多少，这道题就所有问题迎刃而解。 那给的这个条件 h 是 不是给你了？ h 等于五，我现在只需要求 r， 那 想求 r 的 话，在这里面我们只有一个条件，没用了。哪个条件？切边厚长方体的长 是十二点五六，切边厚长方体的长是十二点五六，那这个十二点五六是不是就是它？它的这个长度是十二点五六，它的长度是十二点五六，它代表的是什么？它代表的是不是底面周长的一半？ pi r 等于十二点五六， 对不对啊？那 pi r 如果等于十二点五六的话，我们就能知道 r 就 等于多少， r 就 等于四厘米， r 是 不是得四？ r 现在等于四了。那我现在知道圆柱体的体积代公式， v 柱等于 pi r 方 h 就 等于三点一四乘以四的平方，再乘 谁呀？对不对？进而我们就能得到就得多少？二百五十一点二，单位是立方厘米。 好了，那你看是不是知道了这些基础之后，我们这些题都能迎而解了啊？还是那句话，我们做这样的题，只需要你找到什么叫增面，增几个面。第二个 长是这个长方体的长代表的是啥？长方体的宽代表的是啥？长方体的高代表的是什么？好，知道了这四个知识点之后，这些所有题型我们都能了解。 好了，课下大家做一下这道题啊，我们考试当中经常考的题啊，可以截屏，也可以去加入老师的这个主页群，我们来领取奖励。 好了，这次课我们就上到这，下次课老师继续给大家去更新我们六下的必考题型，关注韩老师，我们下个视频再见， 记得关注再走哦！

六下必考圆柱圆锥从一个装满油的圆柱形大油桶中到一些油到小油桶，当小油桶装满时，如下图，小油桶的容积为多少升？ 这道题的破题思路就是找到等量关系，最后求小油桶的体积。直接求显然没戏，但是观察原来大油桶倒出的部分不仅仅是小油桶的体积，同时也是大油桶上方的空白部分体积，所以只要求出空白部分的体积，也就相当于求出小油桶的体积。 给大圆柱油桶来一刀，把大油桶分为上下两个部分，观察上面部分，由于原来大油桶是满的，所以空白部分的体积就等于下方这部分油的体积，所以只要求出上方这个圆柱的体积， 再除以二，就是空白部分的体积，也就是小油桶的容积。上面圆柱的底面直径是十分米，高是四分米，直接代入圆柱体积公式，就可以求出圆柱的容积是三百一十四立方分米，再用三百一十四除以二，就可以求出小油桶的容积是一百五十七立方分米。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱的最后一个立体。例七，计算不规则物体的体积，那如果这个容器它不是圆柱，它是一个不规则物体，我们又该如何求它的体积呢？来看例七， 一个底面内直径是八厘米的瓶子里，水的高度是七厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平。 无水部分是圆柱形，高度是十八厘米，求这个瓶子的容积是多少？这个瓶子它是一个不规则物体，它的容积能直接计算吗？ 不能直接计算它的容积，那我们能不能把它转化成圆柱进行计算呢？首先我们来看一下瓶子的容积，它包括几部分， 一部分是有水部分的体积，一部分是无水部分的体积。无水部分是个不规则形状， 不能直接求。那我们通过瓶子的倒置把它转化成规则图形，这样瓶子里的水倒置以后，水的体积并没有变化。水的体积加上十八厘米高圆柱的体积是不是瓶子的容积？ 那接下来咱们一起来演示一下。下边是油水部分的体积，它是个圆柱，底面积乘高，可以求上面是个不规则物体怎么办？来我们给他把容器倒置， 这样把不规则的无水部分是不是就转化成了规则图形圆柱，所以瓶子的容积就等于油水部分圆柱的体积加上 无水部分圆柱的体积，那油水部分怎么求呢？底面积乘高，无水部分也是底面积乘高，题中给的是底面直径，直径除以二是半径， pi r 的 平方求的底面积 乘油水的高度就是油水部分圆柱的体积，再用 pi r 的 平方底面积 乘无水部分圆柱的高度，那就等于无水部分的体积，因为他们都有相同的底面积。利用乘法分配率三点一四乘十六乘七加十八的和最后结果等于一千二百五十六立方厘米， 结果问的是毫升，因为一立方厘米等于一毫升，所以等于一千二百五十六毫升。那除了这种把它转化成有水部分的圆柱和无水部分两个圆柱的体积， 你还有别的方法吗？瓶子的容积一部分是有水部分的圆柱，另一部分是无水部分，把它也转化成了规则的圆柱， 如果可以平移，我们把这两个圆柱平移在一起，这样是不是就组成了一个高是七加十八等于二十五厘米的 新圆柱的体积？那我们第二种方法就可以直接求出这个新圆柱的体积就可以了， 它的底面积就是 pi r 的 平方，那么它的高度就是有水部分加无水部分总的高度 就是新圆柱的体积。底面积乘高等于一千二百五十六立方厘米，等于一千二百五十六毫升，这种方法是不是更简单？ 好了，孩子们来回顾反思一下我们今天学习的内容，利用的是体积不变的特性，把不规则图形转化成规则图形来进行计算体积。 其实呢，这样的方法我们并不陌生，在五年级的时候，我们计算土豆的体积时，是不是也用了这种转化的方法？好了，根据上面这道题的经验，我们来小试牛刀，看这道题， 一个饮料瓶内直径是六厘米，里面水的高度是十厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是九厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？孩子们，请你按下暂停键，快来试一试吧！ 通过刚才的学习，我们知道瓶子的容积一部分是油水部分圆柱的体积加上无水部分，它是不规则图形，我们通过瓶子倒置转化成了规则的圆柱体， 所以瓶子的容积就包括油水部分的圆柱加上无水部分的圆柱组成的新圆柱的体积。 所以我们先求出新圆柱的高度，十厘米加九厘米等于十九厘米，再用底面积派 r 的 平方乘新圆柱的高度，就等于瓶子的容积五百三十六点九四立方厘米。最后结果问的毫升一立方厘米等于一毫升，所以等于五百三十六点九四毫升。 来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？首先我们知道了求不规则物体的体积或者容积，我们利用转化的方法，把不规则物体转化成规则物体，在转化的过程当中 体积不变，并且我们得到了求瓶子容积的模型，把瓶子的容积转化成有水部分和无水部分新圆柱的体积。 心圆柱的高就是有水部分的高度加无水部分圆柱的高度，它的底面积就是这个容器的底面积，所以用底面积乘高就等于心圆柱的体积，也就是瓶子的容积。如果这节课你觉得学的还不错，给自己点个赞吧！

今天我们分享一组利用一项思维突破考试的重难点，看第一题，一个圆柱的体积是一百四十一点三立方分米，高是五分米，这个圆柱的底面半径是多少分米？那么我们看第一个条件， 圆柱的体积是一百四十一点三立方分米。我们知道圆柱的体积公式 v， 它就等于底面积乘以高。 现在体积是一个已知的量，高也是一个已知的量，那么我们有 v 等于 s h 这个公式，我们可以找出这个题中它的底面积 s， 它就等于 v 除以 h， 那么题中告诉我们，圆柱的体积是一百四十一点三，那么 v 就 等于一百四十一点三，那么 h 就 等于五。所以拿出一百四十一点三除以五，就得出它的底面积是二十八点二六平方分米。 那么有了底面积，我们看这个题中的问题，求的是底面半径是多少。我们知道底面积 s， 它就等于 pi r 的 平方，那么由这个公式我们能找出，哎，我们知道 s 是 我们所求的二十八点二六， pi 是 一个溢值量，那么我们由 s 等于 pi r 的 平方，能推出 r 的 平方就等于 s 除以 pi， 那么 s 是 二十八点二六，除以 pi 三点一四，我们进而得出 r 的 平方就等于九，那么九就等于三乘以三，所以我们进而得出圆的半径 r 就 等于三分米。 这是第一小题一项，也就说我们运用一项的思维，有 v 等于 s， h， 进而推出 s 等于 v 除以 h 有 s 等于 pi r 的 平方，我们一向推出 r 的 平方等于 s 除以 pi。 那 么再看第二小题，一个圆柱的体积是二百五十一点二立方厘米，圆柱的底面半径是四厘米，那么这个圆柱的高是多少厘米？那么根据题，我们知道圆柱的体积 v， 它就等于底面积乘以高，那么 v 是 个 e 质量，那么它求的是高 a， 问高有多少？那么要想求高，我们通过它的一项公式 h， 它就等于 v 除以它的底面积 s， 那么体积是个 e 质量，那么底面积我们不知道，那么怎样求底面积？题中告诉我们第二个条件，圆柱的底面半径是四厘米，那么有底面半径，我们进而求出它的底面积。那么根据 s 等于 pi r 的 平方， 它就等于 pi 乘以四的平方十六， pi， 它就等于五十点二四平方厘米。 底面积有，那么在这个地方体积是一只的二百五十一点二，那么底面积是我们所求的五十点二四，所以我们进而求出圆柱的高 h， 它就等于五厘米。 这个题它的突破口就在于有体积和底面积求高的时候，那么它的一项公式 h 等于 v 除以 s， 然后我们进而求出底面积，从而求出这个题的高是多少。 这是我们运用一性的思维来求题中的未知量。把这两道题收藏起来，让孩子们试一试。

今天我们来学习圆柱的侧面展开图。 首先我们来看一个立体圆柱，这个圆柱有上下两个底面圆和一个侧面。现在我们将圆柱的侧面沿母线剪开，逐步展开，展开后圆柱的侧面变成了一个长方形。 圆柱展开后得到的平面图形包括两个全等的圆和一个长方形。长方形的宽等于圆柱的高，长等于底面圆的周长。因此圆柱的侧面积等于底面周长乘以高，这就是圆柱侧面积的计算公式， s 等于二， per 乘以 h。