天津中考一模怎么样刷一飞冲天汇编

大家好，咱们今天来看第十三套核心区的一模。先看一下第十七题， 咱们先看题目，给到了等腰三角形 a、 b、 c 角 a 这块等于九十度之后呢， cd 是 平分角 a、 c、 b 的， 给到了角平分线，这块是直角， 之后 b、 e 也是垂直于 c、 d 的， 这块也是直角， a、 d 等于一 d。 问，让咱们求 ac 的 长度， 那给到了角平分线又有垂直，所以呢，我们先想到了就是角平分线的性质，往 bc 给它做垂线， 所以呢，这个点假设是 f 点，可以求出来 a、 d 的 长度等于 df 的 长度等于一， 所以呢，这块是等一。又根据我的大的三角形是等腰直角三角形，所以呢，这个角度等于四十五度，因此呢，可以求出来 b、 d 的 长度等于根号二， 所以呢， ab 的 长度就等于根号二加一，因此呢， a、 c 的 长度就等于根号二加一。第一问就出来了， 好看。第二问，让咱们求线段 b、 e 的 平方，求它的平方，那这种题目它设计的时候，求平方肯定是 b、 e 的 长度是带根号的，不太好求，所以呢，让咱们求的是平方的形式。 好，咱们先看。呃， b、 e 垂直于 c、 d 这块呢，又是角平分线，那这个 b、 e 给它延长， 与 a、 c 它俩相交，假设这个点是 h 点，咱们可以得到这个三角形，这块是垂直的，这块是有角平分线，所以呢，那有了 h、 c 等于 bc 这个条件，咱们就可以得到 bc 的 长度 是等于根号二加一，它的根号二倍，这样的话呢，就得到二加根号二。 好，有了这个性质，咱们 a、 c 的 长度是等于根号二加一，所以呢，可以求出来 a、 h 的 长度等于一，那这样呢，咱们就能算出来 b、 h 的 长度，它的平方就等于 a、 h 的 平方，再加上一个 ab 的 平方， 咱们是一的平方，再加上一个根号二加一的平方，那就等于一加上一个三加二倍的根号二， 等于四加二倍的根号二。好，有了 b、 h 的 平方，咱们现在想要求 b、 e 的 平方，因此呢，它两个是相等关系，因此我的平方应该是一个四倍关系，所以呢，一加二分之根号二，就是 b、 e 的 平方。 我们来看第二十四题 这块呢，给出来了它的坐标， a 点坐标是六到零， b 点坐标是八， c 点坐标是负二倍，根号五到六，咱们让咱们求 ab 的 长度，在第一个六八十，就直接出来了 bc 的 长度，那咱们从 c 点往这个 y 轴给它做垂线，假设是 e 点， 根据他的坐标是二倍，根号五和四。所以呢，咱们能求出来上面的长度正好是八，分成两块，上面等于四，那又知道 c 点的横坐标是二倍，根号五。所以呢，我得到这个 bc 的 长度 就等于根号下二倍，根号五的平方，再加上一个四的平方，等于根号三十六，所以答案等于六。好看。第二问，第二问是 m 点是从 o、 a， b， o， a、 b 往这边走，它呢速度是一秒钟一个格，而 n 点是从 o、 c、 b、 a 这块走，之后呢，它的速度的话呢，是它的两倍。那让咱们求 第一个，当 t 等于三的时候， s 的 面积，咱们也需要先把 o、 c 的 长度给它求出来，咱们往下面给它做垂线，假设是 f 点，那根据 c 点的坐标，咱们能求出来 o c 的 长度也是等于六，因此呢， t 等于三的时候，那就相当于我正好呢是走到了这个 c 点， 所以呢，第一个 s 它就等于，那这个 m 点，它是走了三个格，走到这个地方，走到三个格，而这块呢，它是走到 c 点， c 点的重坐标等于四，所以呢，就可以求出来，三乘以四，再乘以二分之一就等于六，第一问直接就能出来了， 好看。第二问，当 m 点在 o a 上的时候，再乘以二分之一就等于六，第一问直接就能出来了，好看。第二问，当 m 点在 o a 上的时候，那相当于是它是零到六的一个曲值。 最后呢， n 点在线段 bc 上的时候，在 bc 上的时候，那就相当于它这块呢是六，这块呢，需要三秒钟。所以呢，可以先定位我的 t 的 取值， t 的 话呢，是大于等于三，小于等于六的，在这个范围内， 好让咱们求用 t 的 四则来表示 s， 并且呢，写出 t 的 取的范围， t 的 取的范围已经出来了，咱们看一下怎么来求我的面积。假设 m 点 跑到这里，最后呢， n 点假设跑到这里，现在呢，让咱们求 o m n 它的这个三角形的面积， 那下面呢，底已经知道了，我只要把高给他求出来就可以了。因此呢，我可以把 n 往下面做垂线，或者是往 y 轴呢给他做垂线，假设这个点是 h 点， 咱们可以很容易证出来，这个三角形与大面大的这个三角形相似，根据相似比，咱们把上面这一段求出来，来求下面的这个长度，就可以把高给它求出来了，再来求面积， 好，咱们来看一下 oc 到 n 的 距离，就是它走过的路程应该是二 t， 所以呢，咱们 oc 加 cd， 它总长度是等于十二六加六十二，所以呢，我这个 b n 还剩余的长度应该是十二减二 t 就 可以得到上面这一段长度， 那有了上面这个长度，那咱们又知道这个 b c e， 它的三角形，这个 c e 的 长度是二倍，根号五 b e 的 长度是等于四，所以呢，咱们就可以给它求出来， 或者说用斜边，对吧？用斜边给它比变成了 b n 比上一个 bc， 就 等于 b h 的 长度比上一个 h e， 这样的话呢，咱们把这个十二减二二 t 和这个六去比，十二减二 t 比上个六，就等于个 b h 的 长度比上一个四，这样咱们就可以把 b h 的 长度给它求出来，那它的话呢，是等于八减三分之四 t， 而我的 o b 的 总长度是等于八，所以呢，我可以求出来我的 o e 的 长度，它的高就等于呃，三分之四 t， 那所以呢，有了高之后呢，我的面积 s 表达式就可以出来了，就等于 t 乘一个三分之四 t， 再乘一个二分之一，那就等于三分二 t 方，而 t 的 曲值范围是大于等于三，小于等于六，在这个范围内。 好，这是咱们的圈二有五分之四十八的时候求 t 的 值，那这个呢，咱们就需要分情况进行讨论。那在 o a 的 时候，而 n 点在 o c 的 时候，这样的话呢，咱们给它算一个，也就相当于 t 大于等于零，小于等于三的时候。在这个地方咱们第一问的时候已经算了，他这个当跑到 c 点的时候，在 c 点的时候，那他这个高度是等于四，那这块呢，需要三个格，我的 s 等于三，乘以四，再乘以二分之一是等于六， 这样咱们的六是小于五分之四十八。那所以呢， 咱们在计算的时候呢，这块他就不可能出现一个呃四十八的面积，因此呢，这块呢，他就没有这个取值。 好。第二个，当 t 大 于等于三，小于等于六的时候，我已经算出来了 s 等于三分之二的 t 方，那他呢是等于五分之四十八，这样的话呢，咱们把 t 给它算出来， 就得到了 t 方，就等于五分之四十八，再乘以个二分之三，那就等得到五分之七十二，那之后呢，给它开根号 t 的 话呢，就等于五分之六倍的根号十。这个答案就可以了。好，那咱们继续往下走， 当这个点 n 跑到了 a b 上的时候，当 m 点也是跑到 a b 上的时候，那在这种情况下，它的面积有没有可能等于五分之四十八呢？所以呢，假设在这的时候，这块在这的时候，咱们求这个的面积，让它等于五分之四十八。 好，咱们再来看咱们总长度，总长度是二 t， 相当于从 o 到 c 到 b 到 m， 它这个总长度是等于二 t， 可以 求出来 b m 的 长度，它是等于同时走了二 t， 所以呢，再减去一个十二，之后呢， an 的 长度，它等于总共走了 t， 再减去个 o a 的 长度六，所以呢，咱们求出来 m n 的 长度就等于十，减去个 t 减六，再减去个二 t 减十二，这样的话呢，就得到了 m n 的 长度，它的话呢应该是等于呃二十八 减那个三 t 得到这个，那得到这个之后呢？这是咱们的底，而咱们三角形 o a b s， 三角形 o a b， 咱们可以根据等面积法，咱们求出来 o 点到 ab 的 距离是等于六乘八除以十，等于四点八，或者说等于那个五分之二十四。 好，有了这个之后呢，咱们就可以求出来我的三角形的面积 s 就 等于二十八，乘以二十八减三， t 乘以个五分之二十四，再乘以个二分之一，就等于个五分之四十八，这样的话呢， t 可以 求出来呃八， 好，这是一个，那再往后边，那它这块呢？还可以怎么办呢？当 m 点跑到这边，当 n 点跑到这边， 这样的话呢，它俩相遇之后的这块构成这样一个面积，它应该还有一个地方是等于呃五分之四十八。因此呢，咱们只要把这个二十八减三 t 和三 t 减二十八，它俩换一下，换一下这个符号，再乘以个五分之 二十四，再乘以二分之一，就可以求出来，它等于个五分之四十八。这样的话呢，咱们求出来 t 的 取值是等于三分之三十二，所以呢，咱们总共是有三种情况，在三种情况下，它的面积是能够取到五分之四十八的。 好，这就是咱们讲的第二十四题，来看第二十五题，咱们先看一下第二问， 最后呢，当 b 等于二的时候， ab 等于 pa， 求 p 点的坐标，那当 b 等于二的时候，咱们先写一下 y 等于 x， 平方加二， x 加 c， 先得到这个解一次， 咱们呢可以求出来它的对称轴， x 等于负的二， a 分 的 b 是 等于负一的，咱们先画个草图，当 x 等于负一的时候，那我把 y 呢等于一减二，加 c 等于个呃 c 减一就可以把 p 点的坐标也能先给它求出来。 那 p 点坐标求出来之后呢？咱们看一下，让咱们求的是 ab 的 长度， ab 的 长度等于 ap 的 长度， 是长度有关的长度有关的长度，咱们想到了，就是两点间距离公式直接套，对吧？我只要把 p 点坐标求出来，把 a 点坐标和 b 点坐标求出来，直接套里面就可以了。因此呢，咱们先求 a 点坐标和 b 点坐标， 那这个 x 方加二， x 加 c 等于零，可以求出来， x 一 就等于。 呃，直接套公式变成了 x 加一的平方就等于一减 c， 所以呢， x 一 就等于个负一加上的根号下一减 c， x 二呢，就等于负一减去的根号下一减 c， 因此呢，咱们可以得到 a 点的坐标，就等于负一 减去个根号下一减 c 都零， b 点的坐标等于负一，加上个根号下一减 c 都零，那 a 点坐标， b 点坐标都能求出来之后呢，咱们再来看 ab 的 长度等于 pa 的 长度，所以呢， ab 的 平方就等于 pa 的 平方，咱们直接套两点间的距离公式就可以了。那 ab 的 平方 等于 a 减 b， a 减 b， 就 可以得到它减它二倍的负二倍的呃，根号下一减 c 的 平方，那等于 p， a 的 平方， a 点的坐标有了， p 点的坐标呢？是再给他写一遍，是等于一个负一到 c 减一，那所以呢，它减它就等于个根号下一减 c 的 平方，它的减它再加上一个一减 c 的 平方。 好，得到这个之后呢，咱们就可以把 c 的 值，这样 c 的 值求出来之后呢， c 一个是等于负二， c 的 话呢，是等于一这块给它舍掉，那所以呢， p 点的坐标就可以求出来，是负一到呃负三，答案就出来了。 好，这是咱们通过解坐标，通过两点之间的距离公式直接来求的，相当于说咱们根据勾股定律也是可以的。 那咱们第二种做法就是在三角形这个 a b c 里面，咱们现在知道了 a b 是 等于 a p 的， 并且的话呢，咱们知道它是对称轴，因此呢，这个长度应该是等于这个长度， 又知道他俩相等，所以呢，咱们能推出来这个三角形呢，它其实是一个等边三角形，那等边三角形，所以呢，这块是六十度，我就可以根据三角函数这个长度和这个长，和这个这个长度和这个长度，它的比值就等于根号三比一。 那所以呢，咱们知道了 a 点坐标和 p 点坐标，所以呢，我也可以通过在三角形里面 r t 点坐标，所以呢，我也可以通过在三角形里面 r t 三角形 这个 ap 加它是 d 里面，我天津的六十度就等于个 p， d 比上个 a d， 那 就等于 p 点的坐标的话呢，是它的坐标是 c 减一，所以呢，它的长度是一减 c， 再比上一个呃 a d 的 长度，那就等于负一减去个 a 点的坐标，那就等于呃根号下 一减 c， 那 让它等于根号三，这样的话呢，求出来之后呢， p 点的坐标还是一样的，这是第二种方法。好，这是咱们的第二问， 来看一下第三问，当 c 等于负一的时候， b 小 于等于负二，并且呢，过这个直线， y 等于 x 减一，那做一个 过点， g 点做 y 轴的平行线，咱们假设这边 g 点在这个地方往下面做平行线，这个焦点是 h 点，让咱们求介于的长度最大值等于四的时候求 b 的 值。好，现在呢，咱们先卡一下它的范围，就相当于给了 c 等于负一，咱们的解一次就可以呃，给他写出来 c 等于负一，并且呢， b 是 等于小于等于负二，那变成了 y 等于 x 平方，加上个 b， x 减一，得到这个 之后呢，咱们可以假设 g 点的坐标是 t 到 t， 减一之后呢， h 点的坐标是 t 到呃 t 方，加上个 b， t 再减一， 咱们把 g h 的 长度用铅笔线把它表示出来，上减下，那就等于 t 减一，减去个 t 方减去个 b， t 再加一，这块加一等于一个负的 t 方，再加上一个一减 必备的 t， 得到咱们的呃 g h 它的长度的一个解析式。而可以求出来我的推乘轴 x 等于二分之一减 b， 得到这个信息。 有了这个信息之后呢，咱们现在看我这个二分之一减 b 在 什么位置，因为咱们的 b 是 小于等于负二的，所以呢，二分之一减 b， 它应该大于等于二分之三。 而咱们这个题目里面要求了 x 的 取值，它是在一到三之间，这块在一和三，在这个位置里面求它的最大值是等于四，也就相当于咱们的区间最值。 那具体的咱们的对称轴在这边的时候，孩子对称轴的话呢，是在右边的时候，这块呢，咱们现在不知道，所以呢，这个地方是一到三，咱们需要给他讨论重新画图吧， 给他画一下他的二十函数图像，他是开口向下的，这个图像是开口向下的，他的取值的话呢，是一到三，那之后呢， 二分之一减 b 是 大于等于二分之三，肯定是在这个二分之三的右边，所以呢，咱们第一个讨论对称轴， 二分之一减 b 大 于等于二分之三小于等于三的时候，在这个范围内，那所以呢，我的对乘轴这个点就是我的最大值点，因此呢，当这个 t 等于二分之一减 b， 把它带到咱们的 y 的 减一四里面去，那就是我的最大值， 把它带到这个负的二分之一减 b。 好，这样的话呢，就能呃，让他等于几啊？最大值就等于四，这样就可以求出来我的 b 的 值。第一个他的 b 的 值的话呢，是等于负三， b 等于五，这个呢，就舍掉了。 好，再看第二种情况，就是当我的对称轴， 当这个图像继续往前面进行平移对准轴，假设是大于三的时候，在这边的时候，那所以呢，我的取值在一到三之间，就在这个地方，所以呢，在 t 等于三的时候，就取到了最大值，那所以呢，当 t 等于三的时候，那就得到了，把它带进去 负九加上个一减 b 乘以三等于四，那所以嘞，变成了负九加三减三， b 等于四，这样呢， b 也是等于个负的三分之十， 而呃，咱们这块嘞，是二分之 b 加一大于大于等于三， 那所以呢，咱们这块的要求是我的 b 的 取值 b 是 小于负五的，那所以呢，它是等于三分之十二，这块呢，是舍掉的，因此呢，它第二种情况还是不成立的。因此咱们的答案只有一个， b 等于负三。

我们现在马上就要进入我们的中考前密集的一模、二模、三模的这个阶段了，在这个时间呢，很多同学们已经开始知道我要必须发力，家长们也进入了最后的焦灼状态， 在最后这段时间呢，我们要有选择性的去做一些卷子，咱不能盲目的去做这些题。首先呢，给大家建议的是说，我们还是要选择，如果你选择教辅的话，一定要选择的是我们天津本土的这种大的 ip， 选择一些往年我们销量比较大，而且真题收入比较多， 这种练习册呢，它的特点就是它的出题的方向啊，包括它里面的一个设计的一个逻辑，都更加贴合咱们的中考。像往年的我们的各区的这模二模的卷子 啊，建议孩子们一定要去刷起来刷透，通过见往年的整体，孩子们是能够去啊自己对整套试卷呢有一定的思考和理解的。今年非常重要的是，我们在 考完了本区的节课或者一模试卷之后呢，建议大家把我们其他区的卷子呢，也尽快的刷一刷 了解一下，因为我们的区级的这些模拟考试，它往往会是今年中考的一个信号的一个释放啊，我们能够接到能提前接收到一些我们中考的考察的方向和难度的这么一个信号。对于我们今年的最后一次大考呢，我们能够做到一个心中有数， 能够让你更加的是有针对性的去准备后面的几个月的学习。那么在我们各个区的试卷当中呢，首推还是我们的和平南开核心的上三区， 其实室内六区现在我们的出题水平啊都比较过硬，所以呢，如果时间精力允许的话，建议同学们呢，把我们室内六区的卷子都在第一时间尽量的刷透。

大家好，咱们今天来看第十五套河北区一模，先看第十七题，好，第十七题我把它拿到外面，咱们来看一下，先看一下条件， 边长等于三，之后呢，给到了这个角度和这个角度，它呢等于三十度。 之后呢，求 e、 f 这块它的长度，因此呢，咱们先把条件给它写出来，这块等于三十度，这块呢也等于三十度，那根据咱们呢三六九，咱们可以求出来这个是三，因此呢，这个 c f 的 长度等于根号三， 而 e b 的 长度也等于根号三，因此呢，我用这个根号三加上一个这块的根号三，再减去个总长度，就是咱们重叠部分的长度，因此呢，就是等于二倍的根号三，再减三。好，这是咱们的第一个空。 再看第二个，他问的是，当这个 h 点在他那个上面之后呢，与 bc 平行，那就相当于往这边做的一个垂线。 之后呢，让咱们求 h n 的 它的这个长度，因为 n 点是 b f 的 中点，因此呢，咱们很容易求出来 b n 的 长度。之后呢，我如果说把 h b 的 长度也给它求出来，咱们用勾股定律就能算出来了。 好，咱们来看一下。第一个是因为 c f 的 长度等于根号三，所以呢，咱们 b f 的 长度就等于三减根号三， 所以咱们的 n 点就是 f b 的 中点，所以呢， b n 的 长度就等于二分之三减根号三。哎，第一个条件就出来了，那看第二个， 那怎么来求 h b 的 长度，那咱们还是要用这个 m 点往下面给它做垂线。 之后呢，咱们看一下能不能正出来这个三角形和这边这个三角形去八字全等， 对吧？一个对顶角，再加上一个呃，内错角，因此呢，当他俩全等的之后嘞，这个长度是等于根号三，这个长度嘞是等于三，所以能不能求出来我的相似比就等于根号三比三。 因此呢，在这边那个三角形里面，他的比值是跟这个比值的话呢，是相等的，因此呢，咱们也能求出来， a h 的 长度跟 h 的 长度，他的比值也是等于三比根号三， 那所以呢，咱们就能求出来，我 h b 比上个 a b， 它的总长度比应该是等于根号三比上个三加根号三。 因此呢，咱们呢， ab 是 等于三，咱们是知道的，因此呢，咱们可以求出来 h b 的 长度应该是等于把它乘过来变成了 h b， 咱们先写一下，就等于三倍的根号三，再除上一个三加根号三，因此呢，上下的同时乘以一个三减根号三，乘以一个 三减根号三，这样咱们呢， h b 的 长度就能够直接写出来等于二分之三倍的根号三，再减三。 好，那有了这个长度之后呢，咱们直接用勾股定律， h n 的 平方就等于二分之三减根号三的平方，再加上一个二分之三倍根号三减三的平方。 而如果说咱们直接来把它展开给它合并的话呢，你会不好算，那怎么办呢？咱们把前面这个，你给他提一个二分之一，提到前面去，就变成了四分之一倍的三减根号三的平方，再加上一个，把，这个后边的话呢，你提一个二分的根号三出来， 对吧？他平方一下就变成了四分三倍的呃，三减根号三的平方，那所以呢，直接就等于三减根号三的平方，因此呢，咱们的长度就等于三减根号三，这样算起来呢，会好算一点点。 好。这咱们的第十七题，咱们看后面的题目，先来看第二十四题， 他这块给到了，呃， a 点坐标三斗四，对吧？这块三四五，咱们就想到了哦，他这块呢，就不能够用特殊角，一定用到了咱们的相似三角形，因此呢， a、 c 的 长度等于四，这个长度也等于四，因此呢，可以得到这个 b 点的坐标应该是七斗四， 而 g 点的坐标，咱们根据 f 点，它是负三负三到三，那所以呢， d 点的话呢，是一，因此呢， g 点坐标应该是负三到一。这个答案就出来了， 看一下第二问，他说呢，当这个四边形往右边平移的时候，让咱们重叠部分是五边形，那求这个重叠部分五边形的面积，用 t 把它表示出来。 那咱们先看一下他的大概的一个动态图，咱们给他画一下。 好，那把这个图形呢，往右边给它平移，刚开始平移进去是一个三角形，走到这边是一个三角形， 之后呢，再往前走变成一个梯形，相当于四边形。再往前走，当 g 点进去了之后嘞，就变成了一个六五边形，这块就是五边形，那之后呢，当他再往前走，卡到这个位置的时候嘞，是一个小六边形， 之后呢，再出去就变成了五边形，在这块来四边形，再出去变成三角形，这样就完事了，对吧？所以呢，他的整个面积的话呢，应该是先变大后变小，整个过程是这样的， 那当他是五边形的时候，咱们来看一下什么时候就是五边形，因此呢，再往前走，走走走，走到什么地方啊？走到这个基点是在这个 这个地方，在这块的时候，那就相当于我从这个移动到这，再从这移动到这，哎，相当于从这个长度就是咱们的开始五边形的起始点， 那把这个图形呢，再往前走，移动到这个地方的时候，因为他再往前走是一个小六边形，因此呢，在这块的时候呢，就是一个五边形的结束的地方，因此呢，他的长度就等于从地点你可以算地点，从这个地方跑到这个地方，哎，就相当于这个总长度来，再加上这一段小的长度就可以了， 因此呢，咱们就需要先把这一小段，对吧？他的长度给他求出来。咱们假设哈，假设这个长度，这个点是咱们的 m 点，把这个长度呢也给他连起来，连起来，而咱们根据 呃 o d， 它的长度等于一，那就可以求来 dm， 就 这一小一小段的长度应该是等于根据它的相似比，咱们写的时候一定要给它正一个三角形，与这个大的三角形呢去给它正相似，它是一个四比三的关系，因此呢，求来它呢长度应该等于四分之三。 好，咱们刚才说了，我从 g 点跑到这个 a a o 的 这个位置，因此呢，那就等于三，加上个四分之三，那就等于四分之呃，三四十二，四分之十五是咱们的起始点， 那之后嘞，四分之三，再加上一个四，就相当于说从这个长度，对吧？加上这个长度跑到这，这个是正好是一个横横横线，相当于说是 o c 的 长度，因此呢，加上个四，就咱们呢结束的位置，也就是等于四分之一十九， 因此呢，咱们呢， t 的 取的范围是大于四分之十五，小于四分之十九，那你再看一下它边界行不行，对吧？边界点它四分之十五的时候，就是刚开始是一个四边形，所以呢，这块不行。 而当它呢等于四分之十九的时候呢，它是卡到这个位置的，它是可以的，因为它再往前走是一个六边形，因此呢，地点跑到这块呢是可以的，因此呢，这块能取到等号，咱们的范围就出来了。 好了，有了一个范围之后嘞，咱们来看一下我的这个五边形的面积怎么求？那 s 五边形还是 s 大， 减去 s 小， 也就相当于我用这个大面积减去小面积，也就是矩形的面积，用咱们呢整个的矩形的面积去减去一个上面这个三角形的面积就可以了。那矩形的面积等于几来？ s 大 就等于二乘以三就等于六，因为这个长度等于三，这个长度来是等于二。直接 算好，那看一下 s 三角形 f 这个地方，给它标上一个字母， 假设这个点是 p 点，假设这个点的话呢，是 q 点，咱们看一下能不能求出来 s 三角形。呃， f p q 它的大小，咱们先推一下边长，因为这个懂的长度， 咱们需要通过这个长度推这个长度，再推上面的这个长度，再推这个长度，再来求它的面积。因此呢，咱们从 d 到 d 撇这个长度的话呢，是等于 t， 而这个长度等于四分之三，这个长度嘞是等于三，咱们已经知道了，因此呢，我就用 t， 咱们先求这个 m g 撇它的长度，那就等于 t 减去个三，再减去个四分之三，就等于 t 减四分之十五， 而 p g 撇它的长度应该根据咱们的相似三角形是三比四的关系，因此呢，是 t 减四分之十五，再乘上一个三分之四，就等于三分之四 t 再减去个呃五， 而咱们呢， f 撇 g 撇 f 撇 g 撇，它的长度呢，是等于二，所以呢，咱们求出来 f 撇 p 的 长度应该等于二减它，二减它应该等于七减三分之四的 t， 而 f 撇 q， 对 吧？咱们再看 f 撇 q， f 撇 q 应该是七减四分之三倍的 t， 再乘上一个，因为它是一个，还是，对吧？四比三的关系，因此呢，再乘上一个四分之三， 这样的话呢，就能把它的小数求出来，而这个相当于底，这相当于高，因此呢，我的总的面积就可以求出来了。 那 s 小 面积就等于呃四分之三，乘上一个七减四分之三倍的 t， 再乘上一个七减四分之三倍的 t， 再乘上一个二分之 一，因此呢，我用大减小就可以把它表示出来，因此呢，我的 s 大 面积，对吧？ s 五边形的面积就等于大面积是六，再减去个八分之三倍的七减四分之三 t 的 平方，这样的话呢，给它化减开就可以了。 好，那我直接写结果了，化简开之后呢，应该等于负的三分之二类 t 方加上个七 t 减去个八分之九十九，这个数据的话呢，还是比较大的。好，这就是咱们的第二问，它的有曲值范围加上一个表达式。 咱们来看第三问，大于等于二，小于等于六的时候，求这个 s 的 曲值范围，那咱们还是一样的，咱们先看一下我这个在这个变化过程中，对吧？在这个二到六的时候，我是二的时候呢，可能就是大概差不多这个位置， 那也就相当于总的长度，移动的距离，这块长度等于二，这个长度等于四分之三，那这个长度嘞，是等于一个四分之五， 而四分之五再乘上一个这个三分之四，应该等于三分之五，相当于这段长度等于三分之五。因此呢，我的这个的面积直接可以求 s， t 等于二的时候， s 的 话呢，就等于四分之五，再乘一个三分之五，再乘上一个二分之一， 那就等于啊，二十四分之二十五，这个就是我的 t 等于二的时候，那他呢，就有可能是咱们的最小值。 看一下哈，他为什么最小值呢？咱们把他移动的时候呢？他现在这个地方只是一个小的三角形，那你再往前走的时候呢，他就是一个四边形、五边形、六边形，而当他 t 等于六的时候，他应该是差不多在这个位置， 那 t 等于六的时候，咱们来给它算一下，它这块呢， t 等于六，呃，这个长度呢？这个长度从这长度等于四之后呢，这个长度呢，等于四分之三， 那用六减去四，再减去个四分之三，那就等于个一点二五，也就相当于这个外面的话呢，出来了一点点，出来了一点二五， 因此呢，他这个大部分这个五边形的面积是在里面的，因此呢，我 t 等于六的时候，他是一个五边形，因此呢，他肯定是要比咱们刚才的第一种情况呢，三角形的面积要大的，因此呢，这块就不用再算了，他肯定不是最小的。 好，这是咱们算他是最小值的时候取到两头，对吧？但是六的时候呢，明显是不成立的， 那什么时候取到最大值呢？咱们也就知道，我一定是在他的最多边的时候就取到了最大值，因此呢，咱们再看一下什么时候取到边长最多。 好，咱们再给他再来给他平移这个图像，那就相当于把这个图像往前平移，往前平移，平移到他正好是一个六边形的时候来，咱们给他放大 好这个地方，就相当于平行到六边形的时候，这块是一个小的三角形，这块的话呢也一个小的三角形。 那平行到六边形，我这块要不要算它的面积呢？其实正常的话呢，我是用大面积减去这边一个小三角形的面积，再减去个这边一个小三角形的面积，对吧？再来求这个二次函数解一次，求它的最大值就可以了。 但是呢，咱们由于时间的原因呢，最好的还是去给他猜他在什么位置的时候，对吧？他一定是在他的特殊点的位置，那什么特殊点呢？那就相当于我一定是在这个，对吧？这个位置和这个位置他俩相等的时候，就相当于说我这个正好卡在他的最中间， 卡在最中间这块剩一点，这块剩一点，并且他俩剩的地方呢，一定是相等的时候才能够达到最大值。好，能想到这个的话呢，咱们就不用再给他去详细的去解一次了， 但是呢，咱们需要把这个长度和这块这个长度呢给他表示出来，使他俩相等，看一下 t 到底等于几的时候， 那从 f 点跑到这这个地方是 f 撇，对不对？这块长度呢，是等于 t 的， 那这个长度呢？是等于三的，从这个长度到这个长度距离的话呢，咱们根据那个相似比对吧。这个长度，咱们先给他写出来，这个长度是等于四分之九的， 从这个长度到这个长度是等于 t 的， 而这个长度呢，是等于三的。因此呢，咱们这一块这一小垫 这一小点，这个长度应该是等于三，加上个四分之九，再减去个 t， 就是 这块的长度，因此呢，咱们写一下，就等于三加四分的九减， t 等于这一段 等于这一段，那下面这一段呢，应该他俩相等，因此把下面这块也给他写出来。这块长度等于什么？等于 是不是从这个地方移动到这个地方，他是移动的了 t， 而这个距离的话呢，是等于 四的，而这个距离的话呢，是等于四分之三。刚才咱们已经用过了，因此呢，我用总的长度是等于 t 减去这块到这的距离是四，再减去这个四分之三，是不就是剩下的这一小块的长度？ 因此呢，就可以猜到它是呃， t 减去个四，再减去个四分之三，这样的话呢，咱们可以得到二， t 是 把它都移过来呃，七七加个四分之二就等于个十，所以呢， t 等于五的时候就是我的 最大值的时候，因此呢， t 等于五，咱们把它 t 等于五，带到这个里面去，就可以求出来这个长度，对吧？一减四分之三，这块这个长度嘞，就等于个四分之一， 那这块糖度等于四分之一，用四分之一呢？好，我的算面积，直接算面积 s 的 话呢，就等于二乘以三等于六，得到了最大值，减去个这块是四分之一，那这块糖度呢？应该是它的，这是三还是三比四的关系？应该是等于再乘一个， 再乘一个四分之一，乘一个三分之四，再乘一个二分之一，这样的话呢，就得到了这是底，这是高，再乘以二分之一，我总共是两个，对吧？这这块和这块他俩应该是相等的，咱们说，那就等于个六，减去一个，他俩消去，呃， 他俩再消去，对吧？等于十二分之一，十二分之一，那所以呢，就等于个十二分之六，乘以十二七十二，再减去个十二分之一，就等于个十二分的七十一，因此呢，这块就是我的最大值，答案就出来了。 好，这就是咱们呢第二十四题，咱们呢第三问呢，尽量的不要去给他。呃，写解疑似，因为那个三角形、四边形、五边形、六边形， 之后的话呢，再来一个五边形，对吧？就很麻烦，很繁琐。因此呢，咱们只需要算两个地方，一个是 t 等于二的时候，一个是 t 等于五的时候，这样的话呢，咱们算起来就比较简单。 好，这是第二十四题，咱们来看第二十五题，先看一下第一问，它这块呢，给到了这个 c 点坐标，所以呢，咱们的小 c 就 等于三，之后呢，对，中轴是等于这个二 x 等于 负的二分的 b， 呃，就等于二，咱们呢， a 的 话呢，是等于一的，所以呢，就可以来 b 是 等于负四的，因此呢，咱们可以写出来，咱们呢，减一次 y 等于 x 的 平方，减四， x 再加三。 好，那就求出来 c 点坐标是零到三，最后呢，给它解出来 x 方减四， x 加三等于零，一，一和负三和负一，所以呢， a 点坐标是一， b 点坐标呢是三，这样的话呢，就得到了这个 o， b 等于 o， c 等于三，因此呢，它是一个等腰直角三角形。好，把准备工作做完之后呢，再看一下 d 点坐标，它这块求 d 点坐标，那咱们配方就行了，对吧？把它配方就可以得到了。呃， x 减二的平方，再减一，所以呢， d 点就是二到负一，这个 d 点坐标也比较好。写的 好，看一下第圈二，他说呢， m 点在直线的右侧，且直线 m n 经过 a， a 点 经过一点，求这个 m 的 坐标，对吧？它这块呢，要求的是与 b、 c 垂直哈，这个 m n 这块与 b、 c 垂直，那就相当于咱们在这个呃右边过点 a 的 话呢，给它其实相当于做 b、 c 的 垂线 这块，这块是垂直的。之后嘞，这个点的话呢，他说的就是 m 点，那又经过了 a 点，因此呢，咱们这个地方，咱们假设是点 d， 那 是不是就是求出来点 d 的 坐标？假设是 f 吧，求来点 d 的 坐标，那我 a d 的 减一次，求出来之后嘞，与二次函数连立，其实答案就出来了。 因此呢，咱们看一下，它有两种办法哈，第一种的话呢，是咱们的传统的方法，就是来求它的坐标， 那我根据 o b 等于 o c 等于三，因此呢，它这块呢，是一个呃四十五度，因为它垂直的话呢，这块应该也等于四十五度， 由于它是 ab 的 长度，就等于三减一等于二，因此呢，咱们能求出来这个 df 的 长度就等于一，所以呢，咱们的 d 点坐标就应该是二到一 之后嘞，呃， a 点的坐标是一到零，因此把它俩带到 y 等于 k， x 加 b 里面去，咱们就能求出来。 y 呢，是应该等于 x， 呃，减一 就可以求来我的这个减一式。 y 等于 x 减一，那有了 y 等于 x 减一之后呢？那我 y 等于 x 减一与 y 等于 这个 x 平方减四， x 再加三，他俩的话呢，连立，对不对？他俩连立就变成了 x 平方减四， x 再加三，就等于个 x 减一，因此呢，把它移过来就变成了 x 平方，再减去个五， x 再加二等于零， 这样的话呢，你把 x 解出来，对吧？ x 解出来之后呢，就是咱们的 m 点的坐标。第二， 这个就是当它是垂直的，垂直的，因为我 b 点和 c 点咱们有了，我可以求出来，咱们呢， bc， 它的解一次，对不对？可以求出来 y， bc， 它的解一次 k， x 加 b， 那 就可以求出来是 呃，负 x 加三，因为它垂直的，咱们根据咱们的斜率 k， 对 吧？它的 k 乘以 k 等于负一，也就相当于说垂直的时候， k 一 乘以 k 二是等于负一的，所以呢，咱们呢， am 呢，它的 k 呢，也乘以的，所以呢， y 呢，等于 x 加 b 之后呢，把 a 点是一到零的，给它带进去就能求出来，那 y 等于 x 减一，这样的话呢，也是一样的，对不对？但是呢，这个题目是不太会的时候，对吧？你没想到的时候来用这种方法，这块还是在大的 大的步骤里面呢，算是超纲的一个一个形式。好，咱看一下。第三问 点， a 的 坐标是一到零， m 点呢？在 b c 的 下方， b c 的 下方，且 m d 平行于 b， c 让咱们求 m， n 等于 b， c 的 时候来求 c 点，求 c 的 值。 好了，那这样的话呢，咱们在 d 点，在这块对不对？这块再找一点， m 与 abc 是 平行的，这块夹着点 m 在 这边。好，第一步，咱们还是要给它消圆，对吧？给它消圆， y 等于 x 方， y 等于 x 方加 b， x 加 c 之后呢，将 a 点一到零给它带进去，就变成了零等于一，加 b 再加 c， 所以呢，呃，咱们呢， b 就 等于呃负 c 减一，所以呢，就可以换成 y 等于 x 的 平方，再加上一个， 再减去一个 c 加一倍的 x， 再加 c， 变成这个形式，你换成 b 的 话呢，也是可以的哈。那之后呢，因为它求 c 的， 咱们就换成 c， 就 方便一点，之后呢，使它等于零，对吧？使这个 y 等于零的时候呢，咱们给它四四相乘， e 一 和负， c 和负一，就可以得到我的坐标， 一个是 x， 一 等于一，一个是 x， 二呢，就等于 c， 所以呢，咱们呢， a 点坐标是一到零，那 b 点坐标呢，肯定就是 c 到零了，这样咱们把 b 点坐标也求出来了， 而 d 点是咱们的那个顶点，所以呢，得到 x 等于负的二， a 分 的 b 就 等于二分之 c 加一。之后呢，将这个 二分之 c 加一，咱们给它带到咱们的减一 c 里面去，对吧？带到这个，呃， x 方加上减去一个 c， 加一倍的 x， 再加 c， 给它带进去 y 的 话呢，咱们可以给它求出来， 应该是等于四分之负 c 方加二， c 再加一，我直接写结果了。那所以呢，咱们的 横坐标，这是咱的正坐标， d 点就有了。而现在的话呢，咱们让求的是 md 与 bc 平行，那并且呢， m n 的 长度等于 bc 的 长度，咱们看一下这个地方怎么转化，因此呢，咱们先给它从 m 点呢，从 n 点呢，做它的垂线，这个点假设是 n 点， 那之后呢，这个 m n 的 长度跟 bc 的 长度相等，咱们怎么样来去给它转化，对吧？怎么转化？因此呢，咱们需要从 m 点往 x 轴做垂线，从 d 点也往 x 轴呢，给它做垂线，那因为它的线 m d 和 b c 是 平行的，咱们假设上面的话呢，是 p q， 因此呢，它应该是与 dm 平行且相等，换出来一个平行四边形，做出来一个平行四边形。那有了平行四边形之后呢，咱们再看一下 在这个这个三角形里面，这个三角形里面，因为咱们 oc 是 等于 ob 的， 它是一个四十五度，因此呢，这个三角形它也是一个等腰值， 那它是一个等腰值，就可以求出来 pm 是 等于，咱们看一下， pm 应该是等于根号二倍的这个 m n， 那 所以呢，咱们求出来 q d 也等于根号二倍的 m n， 那 m n 的 话呢，又等于 bc， 那 就等于根号二倍的 bc。 因为咱们 b 点坐标和 c 点坐标分别是等于 c 和小，那个两个都是 o c， o c 等于 o b 等于 c 的， 因此呢，那它就等于这个根号二倍的，再乘以根号二倍的 c 就 等于二 c。 好 了，这样的话呢，咱们就给它转换完了，就变成了 q d， 它的这个长度，这个长度，那就等于咱们的二 c， 因此呢，我只要把 q 点坐标和 d 点坐标，咱们给它求出来，这样的话呢，它的牵垂线等于二 c 就 可以了，咱们 d 点已经求完了，在这个地方，因此呢，你只要把 x 等于二分之 c 加一，带到咱们的 b c 的 解数里面去，就可以求出来点 q 点的坐标给它求出来，那就等于 q 点二分之 c 加一到， 那因为它这个直线减一次，就可以写出来 y 负 x 负 x 加 c 里面去，那就会得到二分之 c 减一，得到这个结果，因此呢，咱们 q d 的 长度就可以写出来了，就等于，呃，因为它的 q 点在上面，所以呢，把 q 点写到上面来，变成了 二分之 c 减一，减去一个四分之负 c 方加二， c 再加一，就等于个二 c， 因此呢，这样咱们的最终的表达式就出来了，转化完了， 那最后把 c 解出来就可以了，所以最后 c 的 话呢，等于四加根号一十七，而四减根号一十七的话呢，给它舍掉了。好，整个的题目就完成了。

大家好，我是程老师，咱们今天继续看第十六套河东区的一模。先看一下第十七题， 来，咱们先看一下这个图和条件。这块给到了角 ab， bc 等于九十度，这块一个直角三角形，知道 ab 等于 ac， 所以呢，是一个等腰直角三角形，知道边长等于根号二，所以呢，根据一比一比根号二的关系，可以求出来 bc 的 长度是等于二的。 之后呢，现在知道了 a、 c 等于 c、 d， 第一问让咱们求 b、 d 的 长度，也就相当于让咱们求这块的长度，那因此呢，咱们知道这个 b、 c 的 长度 等于二，那 a、 c 是 等于 dc 是 等于根号二的，所以呢，咱们的第一个 b、 d 就 等于二减根号二就可以求出来了。 看下第二个，那当这个 a、 e 和 a、 d 这块是垂直的， d、 e 跟这个 bc 这块呢，也是垂直的，那咱们求 d、 e 的 长度看一下。在这个在这个三角形里面， 那这块的话呢，咱们要么是通过勾股定律把第一的长度给他求出来，或者是通过三角形的性质来给他求出来。咱们来看一下这块呢是等于四十五度，所以呢，我能推出来这个角度和这个角度他两个相等，应该是六十七点五度。 之后呢，因为他这块是九十度，所以呢，推在这个里面是二十二点五度和二十二点五度，因此呢，咱们能求出来这个长度和这个长度呢是相等的。 那之后呢，再根据这个顶角这个地方是四十五度。之后呢，咱们也能推出来这块是六十七点五度和六十七点五度， 因此呢，咱们能推出来这个角度跟他呢也是相等的，因此呢，咱们求出来了，这个点应该是第一的中点，因此呢，第一的长度就等于加的这个点是 m， 是 等于 am 的 两倍。 好，那这样呢，咱们根据 b、 d 的 长度是等于呃，二减根号二，因此呢，咱们呢 d、 m 的 长度也是等于二减根号二，那 d 的 长度就等于二倍的二减根号二，那应该等于四减二倍根号二，这样就出来了。 好，咱们来看一下第二十四题， 看下二十四题，它的第一个，第一个呢，给到了咱们的角 a、 b、 o 等于三十度，上面这个小角等于三十度。 之后呢，呃，又给到了咱们的长度 o a 的 长度等于六，让咱们求 b 点的坐标。那第一个，咱们根据一比二比根号三的关系可以求。来 o b 的 长度应该是六倍的根号三，因此呢，是零到六倍的根号三。第一个， 那第二个呢，让咱们求 c 点的坐标，现在呢，它是一个等边三角形，所以呢，它边长是六倍的根号三，那 c 点的坐标，咱们往这边给他做垂线， 做垂线这块呢，咱们是可以求出来是三倍的根号三，因此呢，它是一比二比根号三的关系，就可以求出来 c 点应该是负九到三倍的根号三。 好，这是咱们的第一问。第二问来看，他说将三角形往前面平移的时候，那 o、 o 撇的长度等于 t， 这个长度等于 t， 之后呢，重叠部分的面积是五边形的时候，让咱们求呃，他重叠部分的面积 s 的 表达式，并且写出来 t 的 曲的范围。 好，那这种题目咱们还是用大减小，就相当于用这个最大的这个等边三角形的面积，给他减去小的三角形，再减去这个小的等边三角形就可以了。那咱们来推一下他们两个分别等于多少？ 因为给到了 o o 撇，他是等于 t， 所以呢，咱们可以先推出来 o 撇 a 应该是等于六减 t 点一的长度， o 撇 e 的 长度应该是等于根号三倍的六减 t 应该是等于六倍根号三，减去个根号三 t， 而咱们呢， b 撇 o 撇，它的长度等于六倍的根号三。所以呢，咱们能推出来 b 撇 e 的 长度就等于六倍根号三，减去个六倍根号三 t。 因此呢，咱们呢， b 撇 e 的 长度就等于个根号三 t。 知道斜边等于根号三 t， 所以呢，咱们呢， b 撇 f 就 等于二分之根号三 t， 而咱们呢， e f 就 等于它的根号三倍，应该等于二分之三倍的 t。 所以呢，我的三角形这个 b 撇 e、 f 就 可以求出来了。用二分之三 t 乘一个二分之根号三 t， 再乘一个二分之一，那就等于个八分之三倍的根号三 t。 方这个第一个小面积这块这个小面积就可以表示出来了。 那咱们再来看旁边的这个，它的小等边三角形的面积等于多少，那我只要求了它的边长就可以了，那看一下它的边长是多少？ o o 撇，咱们还是从 o o 撇来给它推。 o o 撇是等于 t 的， 所以呢， o h 的 长度应该等于三分的根号三的 t， 而 o 撇 h 的 长度应该是等于呃三分之二倍根号三的 t， 而咱们呢， o 撇 c 撇是等于六倍的根号三，所以呢， c 撇 h 的 长度就应该等于六倍的根号三，减去个三分之二倍根号三的 t， 这样的话呢，咱们把小的边长给它求开了。 有了小的小的变长之后呢，咱们根据等边三角形的面积，等于四分之根号三的 a 方，也就相当于等于四分之根号三，再乘上一个六倍的根号三，减三分之二倍根号三的 t 的 平方，这样的话呢，小的等边三角形就可以求出来了， 咱们这样的话呢，把前面这个这个三角形的面积，对吧？在这里可以把它求出来。最后呢，下面这个呢是咱们呢小的三角形的面积呢，也求出来了，在这个地方，因此呢，咱们再用咱们最大的等边形的面积，那 s 呢是等于 四分的根号三，再乘一个六倍根号三，它边长是六倍根号三的平方，再减去个 s 三角形，这个 b 撇 e、 f， 再减去个 s 三角形 c 撇 g、 h， 这样的话呢，咱们呢给他写出来他的表达式就可以了。最终答案的话呢，应该等于负的二十四分之七倍的根号三的替方，再加上个六倍的根号三 t， 这个就完成了。好，这个地方还是用大减小他的数据的话呢，比较麻烦一点， 咱们来看它的一个曲子范围，那相当于咱们呢三角形往前面平移，那什么时候它会出现一个五边形，咱们来看一下， 把这个三角形往前面给它平移，那它这个 b 撇是不是只要出去了一点点，这个地方来就是一个五边形，对吧？再往前走还是五边形， 再往前拉五边形直接走到 a 的 位置，这块呢还是一个五边形，因此呢，我说只要大于零小于五，小于六，相当于走到 a 的 位置就可以了，因此呢，我的 t 的 曲的范围 t 就是 大于零小于六这个地方。 好，这就是咱们的第二十四题。好，咱们来看一下第三问，那咱们求 a b 撇加上个 o c 撇，它的呃两个线段的对值，两个线段对值，那两个线段的对值，咱们很容易想到的就是一个加减减码问题，咱们来看一下。 好，咱们把它拿到这个外面来，现在呢，让咱们求这个 a b 撇 a b 撇在这个位置 和 o c 撇求相当于这两个线段的长度，那现在呢，它两个线段长度，并且咱们不连起来，对不对？没有连起来，因此呢，咱们还是用到了咱们的将军马，或者说将军马的一个过桥问题。那么看一下，咱们可以把这个三角形，把这个 他给他做他的对称点，移动到这边来，之后呢，再把他平移平移到这边来给他过桥。过桥之后呢，那这个点和这个点，当他们三点共线的时候，那就是达到了一个最小值。因此呢，咱们来写一下他的一个过程。 好，那咱们先看一下 o o 撇，他的长度是等于 t， 所以呢，咱们去想办法求出来 c 撇他的长度是等于 t， 所以呢，咱们去想办法求出来 c 撇给他导换 那孩子跟刚才一样的 o 撇等于呃 t， 之后嘞 o h 的 长度等于三分的根号三的 t， 之后呃 o 撇 h 的 长度等于三分之二倍根号三的 t， 那 就可以求出来 c 撇 h 的 长度就等于 咱们呢六倍的根号三，减去个三分之二倍根号三的 t， 那 可以从 c 撇往这边给它做垂线，假设是 m 点，那所以呢，可以求出来 h m 的 长度应该是等于三倍的根号三，减去个三分之根号三的 t， 所以呢，咱们能求出来我的 c 撇 m， 它的长度应该是等于三倍的根号三，减去三分的根号三的 t， 它的根号三倍应该是等于九减这个 t 好， 因为它的长度是九减 t， 所以呢，我们可以求出来 c 撇，它的坐标应该是 t 减九到三倍的根号三，这样的话呢，把 c 撇的坐标给它表示出来。 刚才咱们说了，咱们先给他做他的对称点，做他对称点，假设这个地方是 c 两撇，所以呢， c 两撇，他的长度应该是等于啊，对称过来， y 轴呢，变成相反数，变成了 t 减九到负的三倍的根号三。 那之后呢，咱们根据将军密码，把他往前面给他做平移，把他平移到这边来，得到第二个，咱们的线段 跑到这里了。假如等于 c 三平，那是 c 三平，他的坐标就应该是等于。呃，往前面移动了六个格，那就变成了三到负三倍的根号三，这样的话呢，就得到了这个位置， 那也就是当 b 撇和它三点共线的时候，达到最小值，也就相当于它。呃，求出来 b 撇的坐标和 c 撇的坐标和 a 撇的坐标，它们三个的话呢，是共线的。 好，咱们来看一下它的坐标分别是几？咱们呢， b 撇，它的坐标是等于往前面移动了 t 个格，所以呢，是 t 到六倍的根号三，它这块是不变的，而 a 点坐标咱们是知道的，咱们已经六到零，因此呢，咱们通过两种方法， 第一种方法呢，是咱们可以求出来它们三点任意的三两个点的话呢，咱们求一个 y 等于 k s 加 b， 把这个减一次给它求出来之后呢，把第三个点呢给它带入，这样的话呢，咱们就能把它求出来了。 而第二个呢，咱们可以用咱们的 k 一 等于 k 二，因为他们三点共线，所以呢，咱们用 k 一 等于 k 二，那 k 的 话呢，咱们用到 y 二减 y 一， 比上个 x 二减 x 一， 得到咱们的 k， 所以呢，可以用这个方法，也行， 那咱们来给他写一下，对吧？咱们就说用 ab 撇和它和它，咱们来给他写一个呃，关于四，对吧？ y 一 减 y 二就可以得到了。假设是 ab 撇 ab 撇，那就得到了六倍的根号三， 呃，减零等于个 t 减六，那就等于那 a c 撇二，对吧？变成了零减三倍根号三，变成了三倍根号三，比上一个呃六减去个它六减去它，那变成了九减 t， 九减 t， 因此呢，它六倍根号三，比上个 t 减六，等于三倍根号三呢，比上个九减 t， 它正好是一个两倍关系，对吧？它 正好是两倍关系。因为呢，它俩的话呢，应该也是也是一个两倍关系，所以呢，咱们可以得到了九减 t， 它的两倍，那就等于了。呃， t 减六，这样的话呢，咱们的 t 的 话呢，等于八，答案呢，就能求出来了。 所以呢，咱们呢， c 撇的坐标就是第一个，带到第一个里面来，就得到了负一到三倍的根号三，所以呢，咱们 c 撇的坐标就出来了。好，这就是咱们的加密密码问题， 好，按一下第一个，第一个呢，咱们只要把这个方程给它解出来之后呢，再把 c 点给它带进去，就很容易求出来这个 p 点的一个坐标。咱们四四相乘，先把这个方程给它解出来，一一和负，三和一，求出来 x 一 呢，等于三， x 二等于负一， 那之后呢， c 的 话呢，又是等于三的，咱们能求出来 y 等于这个 x 方，负的 x 方加二， x 加三，得到这个信息， 有了这个信息之后呢，咱们再看他的顶点坐标，就给他配成 y 等于负的括号， x 减一的平方，再加上个四，所以呢，我的顶点坐标就是一到四。好，第一问就结束了， 看下第二问，他说呢，当 a 等于负一的时候， c 等于四减四分的 b 方，那咱们把它写出来，变成了 y 等于负的 x 平方加上个 b， x 加上个四减四分的 b 方，变到这个信息。 有了这个信息之后来，咱们看一下，他说呢，呃， x 的 取值范围是在二分的 b 减一和 b 加一，在这个范围内，就相当于咱们的 x 的 取值就大于等于二分的 b 减一，小于等于 b 加一，在这个范围内取它的一个最值。 因此呢，咱们看一下我的对称轴在什么地方，对吧？ x 等于负的二， a 分 之 b 就 等于了二分之 b。 好，那咱们会发现，我的二分的 b 看一下是不是比二分的 b 减一要大，而 b 是 大于零的， b 是 大于零的，因此呢，二分的 b 呢，也应该比咱们呢 b 加一肯定要小，那所以呢，应该是咱们二分的 b 就 在这个范围内，对吧？咱们呢，二分的 b 的 时候，就当 x 等于二分的 b 的 时候，那就取到了啊， 最大值， b 带进去变成了负的四分之 b 方，再再那个加上一个二分之 b 方，再加四，再减去个 呃，四分之 b 方，那这样的话呢，他俩消掉，消掉正好是等于四，因此呢，可以求来最大值就等于四，那因为他两个的差值是等于九，所以呢，就可以求出来。哎，我的最小值，最小值，最小值应该是等于负五。 好，那有了最大值，有最小值，那我看一下我什么时候取到最小值呢？也就相当于咱们需要考虑在中间的时候就已经取到了最大值，因此呢，在两边他呢两个地方应该是取到了最小值， 因为他是开口向下的，因此呢，你就看他两个谁离对称轴，咱们呢，二分的 b 离得远一点点，那就证明谁就取到了最小值，对吧？那就比较他跟他的距离是一个格， 而他跟他的距离的话呢，是一加二分的 b 格格，所以呢，他这边呢，要离得更远一点点，因此呢，他呢就更小一点点。因此咱们把这个 b 加一给他带进去， 就相当于当这个 b 加一的时候， x 等于 b 加一的时候，就取到了最小值是负五，因此呢，把 b 加一给他带到咱们的解一次里面去， 就变成了，呃，负的 b 加一的平方，再加上了 b 倍的 b 加一，再加四，再减去个四分的 b 方，等于负五，这样的话呢，就能求出来咱们的 b 应该是等于四， b 的 话呢，等于负八，这个呢，给它舍掉就可以了。 好，这样的话呢，咱们就求出来了咱们的 b 的 值。好，咱们来看一下第三问，这是咱们的第二问，看一下第三问， 第三问，求这个三线段最值，三线段最值，要么是将角有码问题，要么是这个地方呢，正好是三角形内部一点，应该是一个费码点问题，费码点， 而费码点呢，它是一个比较特殊的一种题型，因此呢，它的做法呢，也是比较固定的。咱们先根据 x 一 加 x 二和 x 加 x 二，咱们把这个系数消炎，相当于把它换成一个系数， 这样呢，咱们可以先求出来。呃， b 应该是等于二 a 的， 之后嘞， c 的 话呢，是等于负三 a， 咱们先把它换成一个字母，变成了 y， 等于 ax 平方，加上一个二 ax 再减三 a， 你 也可以把 a 提出来，变成 ab 的 x 平方，呃，加上一个 二 x 减三，对吧？咱们能求出来我的点坐标， a 点的话呢，是负三到零，呃， b 点的话呢，是一到零，之后嘞 c 点是零到负三 a， 这样好，这样的准备工作咱们做完之后嘞，咱们来画一下它的草图， 那就是当 a 如果大于零的时候，对吧？我的开口是向上的，咱画一下 我的开口是向上的，对称轴的话呢，是负一，就大概的画一下 a 点在这边， c 点在这边， o 点之后嘞， 咱们的 d 点的话呢，是在三角形的内部，所以呢，你随便找一点这个点， d 之后呢，让咱们求的是 a， d 和 d， c 和 o d 它的一个大小， 他们三个线段对直，那他呢？咱们的飞马点问题，咱们就记住他的口诀，就是把其中的一个三角形给它旋转六十度，给它旋转六十度，那之后嘞，通过三线段 把它转过来，假如把这个三角形，把这个三角形这个小三角形给它转六十度， 把这个三角形的话呢，咱们给它转六十度，假设转到这边来，它是没有到，这个假设 a 撇转到这来，相当于把这个三角形，这个三角形给它转到这个这个地方来，给它转一个六十度出来。那之后的话呢，咱们可以知道看一下 这个他转六十度，所以呢，这个里面这个三角形的话呢，是一个等边三角形，咱们假设这个是点 d 和 d 撇，那等边三角形咱们就可以转化成这个长度，是等于这个长度，等于这个长度， 因为它转过来的，所以呢这个长度呢是等于这个长度的。那现在呢，它的三弦的对值就变成了这个加这个和加这个，这样的话呢，变成了快一条线了。因此呢，咱们只要把 a、 c、 a 撇、 c 连起来，当它转成三点或者四点共线的时候，就达到了咱们的最小值。 因此呢，那看只要把 a 点的坐标和 c 点坐标咱们给它求出来，就求两点之间的距离公式套入最小值就可以了。好，因此呢，咱们来看一下咱们的 o a 的 长度是固定的，对吧？咱们的 o a 的 长度 他是知道的， a 点的坐标是那个负三到零， o a 等于三，所以呢，你从这个 a 撇往这边给他做个垂线，假设是 e 点，就可以求出来那个 o e 的 长度和 a 撇 e 的 长度，他是等于二分之三和二分之三倍的根号三。所以呢，我的 a 撇的坐标就应该是 负的二分之三到二分之三倍的根号三，这样的话呢， a 撇就有了， 那有了 a 撇的坐标之后呢，咱们看一下 c 点的坐标，咱们是知道的， c 撇坐标就等于零到负三 a， 因此呢，两点间的距离公式让它等于二分之六三倍的根号六，加三倍根号三就可以了，那所以呢，就得到了这个它减，它变成了二分之三倍的根号三，再加上个三， a 的 平方就等于个二分之 三倍的根号六加上的三倍根号二的平方，这样把 a 解出来就可以了，对吧？这样的话呢， a 等于一， a 等于负的根号三，再减一，这块是舍掉了。 好，那这个题目的特点就是把其中的一个三角形给它旋转六十度，给它构造一个小的等边，对吧？任何一个三角形给它转六十度都是可以的，都是可以的，这块没有什么固定的一个说法， 因此呢，转完之后呢，那就变成了三线段，对吧？三线段变成了四点共线，达到最小值就可以了。这块是咱们 a 大 于零的时候，对吧？那同样的方法，咱们当 a 小 于零的时候，当 a 小 于零的时候，他还有一种情况他没有说，所以呢，咱们再给他画一下， 这样的话呢，咱们的 c 点就跑到了这个地方来，之后呢， a 点在这里， o 点的话呢，在这边，那之后呢，这块一个点 d 之后呢？一样的，一样的，咱们把这个三角形给它转到这边来， 转到这边来，将它 a 撇跑到这，那 a 撇跑到这呢，它变成了一个第三象限，所以呢，咱们的 a 撇的坐标就变成了，呃，负的二分之三到负的二分之三倍的根号三，呃 c 点坐标呢？还是零到负三 a， 那所以呢，在套联的间的距离公式变成了二分之三的平方，再加上一个呃负的二分之三倍根号三的， 再加上个三 a 的 平方，就等于个这个二分之三倍的根号六，再加上一个三倍的根号二的平方，这样的话呢，把第二个情况给它求出来就可以了。这样求来之后嘞，咱们呢， a 的 值的话呢，应该是等于负一， a 的 话呢，是等于根号三，再加一， 应该是等于负一，加上加一，那这个的话呢，给它舍掉，所以呢， a 等于负一是正确的，而这块呢，有一个 a 的 等于正一，因此呢，我的最终答案是 a 等于正负一，它需要分成两种情况来讨论的。

大家好，咱们今天来看第十四套南开区一模。先看第十七题。 好，先看一下条件，在正方形 a， b， c， d 里面， e 点是 a， d 上面的一个 e 点，没说是终点，之后呢，做 e， f 与它垂直，这块是垂直的，之后呢， g 点是 e， f 的 终点，这一段等于这一段， 他说当 cdf 就是 这个角度等于四十五度的时候，让咱们求这个 d， e 的 长，给到的长度 d， g 等于一，那就相当于咱们条件里面给到了 d， e 的 长度等于一，这块呢，等于四十五度。 好，那咱们来求 d， e 的 长度，那看一下，四十五度一定会出直角，因此呢，咱们从点 f 往这边给他做垂线，假设是 m 点， 那根据点是 e， f 的 中点，所以呢，咱们很容易证出来，这个三角形和上面的三角形是一个八字，全等 好，全等完了之后，这个长度就等于一。又因为它是四十五度，所以三角形 d， m， f 是 一个等腰直角三角形，所以呢， m， f 的 长度等于二，所以呢， d 的 长度就等于二。第一个答案出来了， 好，再看第二问，求 b e 的 长度，这块呢，没有多余的条件，还是需要用到咱们这边的三角形， 用的三角形，那看到这个咱们有点像一线三垂直，对吧？这块有一个垂直，这块有个垂直，因此呢，咱们想一下，这个三角形能不能与这个大的三角形给它正相似，对吧？全等是不可能了，咱们看一下能不能相似。 那所以呢，很容易证出来，它的比值就是二比一的关系，因为它是正方形，所以呢，二比一证明这个长度就是它的中点，所以呢，这个长度等于二，这个长度等于四。那我们根据勾股定律，这个答案就出来了，二位的根号五。 好，咱们看第二十四题，先看一下第一问，先看下第一问，给到了 o c 的 长度等于二倍，根号三角 a， o c 等于三十度。求 c 和 b 的 坐标，咱们来看一下， 在这里，这个它是等于三十度， o c 的 长度等于二倍，根号三，所以呢，我这个点往下面给它做垂线，假设这个点是 d 点， 那因为它是二倍，根号三，这块三十度，这块六十度，所以呢，根据三六九，这个长度就等于根号三，这块长度等于三。因此呢，咱们的第一问就是三根号三都有三 条件里面给到了这个 o a 的 长度，这个长度等于九，所以呢，拼音是边形，这个长度也等于九，因此呢，咱们九加三十二，因此呢，可以得到点 b 的 坐标，也是等于根号三到十二。好，这是第二个空， 看一下第二问，它说呢， y 是 y 轴上的一个动点，过点 p 做直线，使得折叠。看一下， 就拿这个图形来说，这块给它折叠，折叠完了之后呢， o p 的 长度等于 t， 用 t 的 式子表示， o 撇 d， 它的长度 o 撇 d 在 这个地方。因此呢，咱们来看一下它折叠完了之后，它的长度分别是多少。 因为 o p 的 长度他给了是等于 t， 所以呢， o 撇 p 的 长度也等于 t， 那 o 撇 o 的 长度就等于二 t， 因为 o a 的 长度是等于九，这块是已知的，所以呢， o 撇 a 的 长度就等于二， t 减九。 好，那有了这个之后呢，在三角形里面，咱们因为是折叠过来，所以呢，可以知道这个角 a o 撇 c 撇，那就等于角 a o c 应该等于三十度， 所以呢，咱们这个三角形是一个三十三十一百二十度的一个三角形，因此呢，我需要从点 d 往这边给它做垂线 df。 好在三角形在 r t 三角形 o 撇 d f 中，咱们根据呃 cosine 三十度 就等于呃 o 撇 f 比上一个 o 撇 d， 而 o 撇 f， 咱们先给它写出来，因为它这块做垂线是正好等于呃 t 减二分之九， 所以 o 撇 d 的 长度就等于 o 撇 f 除上一个 cosine 三十度，那就等于。最后的答案应该是等于三分之二倍的根号三 t 再减去个三倍的根号三。 好，这是咱们的这个题目。再看一下它的取值范围，因为它折叠过来要求的是一个五边形， 那想要是一个五边形，咱们看一下我刚开始折叠的时候，刚开始折叠的时候，它是一个三角形，对吧？在这边一个三角形再往上面走，它是一个四边形。四边形， 那之后呢，必须是 q 点超过了咱们的点 a 的 时候，那这样的话呢，就出现一个五边形，因此呢，咱们的 t 的 范围是大于二分之一的 o a 大 于二分之九，而小于 看一下，那继续往下折叠，那就相当于当 c 撇落在 b 的 时候，那相当于整个图形就出去了，对吧？整个图形图形就出去了，因此呢，这个时候它就是一个四边形，因此呢，它是大于呃二分之九，小于 二分之九，再加三二分之一十五。好，这是咱们的第二问，求它的一个取值范围， 好看一下。第三问是折叠后的重叠部分的面积为 s， t 等于三分之八到四分之三十五的时候，让咱们求 s 的 曲值范围。好，咱们还是同样的方法，需要把三分之八， 四分之三十五给它带进去，给它带进去之后呢，咱们把五边形的面积呢给它算出来， 因为它最大的就是五边形、三角形、四边形，五边形，最大的就是五边形，因此呢，五边形的时候肯定就是咱们的面积的最大值。之后嘞，三分之八和四分之三十五，他两个算出来之后嘞，谁小谁就是咱们的最小值。咱们来看 第一个，当 t 等于三分之八的时候，咱们来看一下它这个总长度，对吧？这个长度是等于三，因此呢，你是三分之八，还没有到 c 点，因此呢，它折叠的时候呢，只是折叠了一个小的三角形， 这块是 p 点，这块是 q 点，那这块是 o 平，现在呢，它折叠的是一个小的三角形，把这个小的三角形算出来就可以了，那所以呢，我的 s 的 面积就等于它这块长度等于三分之八， 再乘一个，它是这块是等于三十度，所以呢，再乘以三分之八，再乘一个三分之根号三，再乘以二分之一，这样呢，就可以把三分之八的时候，把它的面积给它算出来，应该是等于二十七分之三十二倍的根号三， 这是第一种情况。好，再看第二种情况，那当它等于四分的三十五的时候， 也就相当于咱们从呃 o 点到 a 点，它总共的距离是等于呃九九的话呢，那就等于四分之三十六，而现在呢，它是等于四分之三十五，所以呢，我的这个曲值就相当于这个地方的话呢，还剩下一个 四分之一，一个梯形，看一下它在这个地方，在这个地方折叠的话呢，就是这边的一个梯形， 谢谢。那上底的话呢，是四分之一，这块长度是四分之一，而这块呢是四分之一加三，因为它总共比上底的多了三，加上个四分之一，再加三，那再乘一个我的高的话呢，是根号三， 再乘以根号三，再乘以二分之一，那所以呢，就得到了我的面积，这是二分之一，二分之七，二分之七再乘以根号三，再乘以二分之一，那就等于四分之七倍的根号三。 但是呢，大家可以看一下这个长度，这个面积的大小和这面积的大小，那肯定的话呢，它要大一点，因此呢，这个呢也舍去了。好，这就是咱们讲的边界的时候，因此呢，在边界的时候取到了最小值，我取的是二十七分之三十二倍的根号三。 咱们再来看一下最大的时候，当它是一个五边形的时候，看一下怎么来算它的面积的最大值。 那咱们还是一样的大减小，用这个大的面积去减去旁边这个小的面积，这样的话呢，就得到了它这块剩余的这个五边形的面积。 而咱们这块的长度是等于 t， 而上面呢是 t 减三，因此呢，我的大面积 s， 大 面积就等于 t 加上个 t 减三，再乘以根号三，再乘以二分之一，这是大面积，就是这边这个梯形的面积，这是 t， 对 吧？这是 t 减三，这是根号三，是固定的，因此呢，面积就可以写出来， 而咱们的小面积，咱们小面积，刚才的话呢，咱们已经把 o 撇 d 的 长度给它表示出来了， o 撇 a 的 长度嘞，咱们也知道，对吧？所以呢，咱们直接就是二 t 减九，再乘上一个，咱们呢 o 撇 d 的 长度是这个 d f 的 长度的两倍，因此呢，咱们只要取这个它的一半就可以了，再乘以一个三分的根号三 t 再减去个 看一下，乘以一个三分的根号三 t 再减去个二分之三倍的根号三，这样就可以把咱们的 小面积给它求出来。因此呢，我的五边形的面积就等于 s， 大 面积减去 s 小 面积，这样就可以最终的话呢，得到我直接写减一次给它算出来就可以了，变成了 负的三分之根号三倍的 t 减六的平方，再加上一个四分之十五倍的根号三，因此呢， t 等于六的时候，那我的面积的最大值 s 的 话呢，等于四分之十五倍的根号三，这样的话呢，大面积就出来了。 好，这个题吗？还是一样的，咱们在求面积的取值范围的时候，还是带它的两端去求它的最小值，带最多边形的时候，也相当于四边形、五边形，咱们就带五边形的时候，那它的面积取到了最大值。好，这就咱们的第二十四题 看一下第二十五题第一问式， b 等于一的时候， b 等于负一的时候，它又给到了 a 点坐标是二到零，因此呢，咱们把这个 a 点坐标 二到零和 b 等于负一给它带进去。先看顶点坐标吧，负的二， a 分 的 b， 呃，等于 b， 可以 求了， a 应该是等于负的二分之一，因此呢，咱们可以画成负的二分之一的 x 平方减去个 x， 再加 c， 将这个二到零给它带进去，就可以求出来 c 应该是等于四的，因此呢， y 等于负的二分之一的 x 方减去个 x， 再加四，这样求出来咱们的解集四。 而当这个用尾答定也可以用直接解也行。当 y 等于零的时候呢，就可以求出来 b 点的坐标应该是负四到零这块，咱们来给它画一个草图， 根据对称轴，咱们呢是负一交于正四和呃，负四，所以呢，大概的话要这样图形之后呢，这块是 b 点，这块是 a 点，把 b c 连起来， 因为 p 点它是二 b 减二，所以呢，大于负四小于零，也就相当于在咱们的这一块来进行运动，那就相当于随便来找一点， 往这边给它做垂线， p 点做垂线，往下面给它做垂线，交于点 q， 求交于点 m。 咱们画完图形之后呢，来看一下，让咱们求的是根号二的 p n 加 am 的 最大值，因此呢，咱们看一下根号二的 p n 再加上一个 am， 它可以怎么转化 看一下，第一个就是根号二的 p n， 它是带系数的，因此呢，咱们想办法给它转化到三角形里面去，因为这个 o c， o， c 等于 o， b 等于四，所以呢，角 c b o 等于角，这个 b c o 等于四十五度，那所以呢，也能推出来 p q， n 也等于四十五度， 那所以呢，三角形 p q， n 是 等腰值， 因此呢，咱们就能推出来呃 p q 的 长度就等于 p n 的 根号二倍，因此呢，等于根号二倍的 p n， 因此咱们就可以把根号二倍的 p n 给它换成 p q 加上个 a m， 求它的一个对值，这样还是转换成咱们的牵垂线 好。咱们下面的话呢，就正常来解就可以了。咱们设 p 点的坐标是 m 到 负二分之一的 m 的 平方减 m 再加四，之后呢，先求出来，也可以先求出来 y b， c 的 解一次应该是等于 k x 加 b， 把负四到零和零到四带进去，应该是 y 等于 x 加四， 所以呢，咱们可以求出来 q 点的坐标应该是 m 都 m 加四，因此呢，咱们再来看它的长度，就是 p q 的 长度，用上减下 p q 加上个 a， m 就 等于负二分之一的 m 的 平方，减去个 m 加四，再减去个 m， 再减四 之后呢，这是 p q 的 长度，再加上个 am， am 的 话呢，是用右边减左边 a 点，咱们已经知道了是二到零，所以呢，再加一个二减 m， 因此呢，可以得到负二分之一的 m 的 平方，减去个三 m， 再加上个二就可以了。 这样的话呢，就求来了咱们的铅垂线的表达式，那就说在它顶点的时候，那就取到了一个最大值，所以呢，咱们给它画成顶点式，变成负二分之一倍的给它提出来，应该是 m 加三的平方，再加上个二分之四三，所以呢， m 等于负三的时候，就可以求出来 p 点坐标是负三到二分之五。这样的话呢，答案就出来了，这就是看起来是一个带系数的根号二倍的 p n 加上一个 am， 但是呢，咱们最终呢，还是给它转化成了牵对线的形式来处理的 好。看一下第第三问最后一个，当 q 点 点 q 是 这么多之后呢，在抛物线上连接它，当根号二倍的 q m 加 a m 求它的最小值等于四分之三十九的时候呢，求它俩的一个值的大小。那这个的话呢，咱们看一下是互不归原理，还是说先对线的有关系的。 咱们还是根据第一问他的对称轴， x 等于 b， 这个地方可以先求出来负的二 a 分 的 b 等于 b， 还是求出来 a 等于负二分之一，开口向下的这个是不变的， 那 y 等于负的二分之一的 x 平方加 b， x 加 c 之后呢，将点坐标 a 二到零，给它代入 带入来求 b 和 c 的 关系，带进去就可以求出来 c 应该是等于二减二 b， 因此呢，我的解一次就可以写出来， y 等于负的二分之一的 x 方加上个 b， x 加上个二减二 b， 这样解一次就出来了，咱们第一步对吧？还是进行一个削圆， 有了这个信息之后呢，咱们给它画一个草图，这块呢， b 它是小于零的， b 是 小于零的，因此呢，给它大概的画一下图像 这样， a 点在这边， b 点在这边，之后呢， c 点 c 点，现在呢，咱们的 q 点给咱们了， q 点是二 b 减三到 y q， 因此呢，咱们先把 y q 给它算出来，也就相当于把二 b 减三给它带到咱们的减一 c 里面去，可以求出来，这个 y q 应该是等于 b 减二分之五， 把 y q 给它算出来，算出来之后呢，咱们知道 b 是 小于零的，因此呢，我能猜出来，哎，它呢是负的，这块呢，也是负的，因此呢，它应该是在第三项线，相当于在这块给他找一点， 而咱们的 m 点是 x 轴上的一个动点，动点让咱们求 qm， 它的根号二倍，再加上个 am， 它的长度也就相当于说根号二的 qm， 再加上个 am， 它的长度的一个最小值，最小值。 因此呢，咱们还是需要把 qm 根号二倍的 qm 呢，给它进行一个转化，看一下能不想办法给它转化成一个等腰直角三角形。里面去 看一下根号二倍的，那就是一比一比根号二，那我能不能把 qm 给它旋转九十度， 旋转九十度，转到这边来，转到这边来，这样的话呢，假设是点 d， 那 根据它是一个等腰值，对吧？三角形三角形，咱们转一个 d， q， m 是 一个等腰值， 因此呢，就可以转化成了 dm 加上个 am， 求它的一个锥值， 那当谁啊？当 m 点， d 点， m 点， a 点它们三点共线的时候，肯定是达到一个最小值的，那咱们来看一下它的一个动态图， 那根据咱们的动态图的话呢，咱们能看到它是在进行变化的，也就是当 d 点在 x 轴上的时候，它正好是达到最小值的。 因此呢，咱们从 q 点往下面给它做垂线，假设是 h 点，因为知道 m 点，它这块是一个等腰直角三角形， 等腰直角三角形，那因此呢，这个 m 到它的距离就等于这块的距离。因此呢，咱们可以找到 m 和 b 的 关系，也就相当于这个长度等于这个长度。那咱们用 m 减去个 b 点的横坐标应该是二， b 加三就等于这个它的重坐标应该是二分之五，再减去个 b， 这样的话呢，咱们可以求出来 m 等于 b 减去个二分之一。 好，找到了 b 和 m 的 关系之后呢，咱们来看它的长度的减一次，对吧？长度减一次应该怎么表示？ 因为 dm 它是一个等腰直角三角形，这个长度那等于这个长度这个长度，因此呢， dm 的 长度就等于它的长度的两倍，因此呢，咱们直接写这个 dm 的 长度就等于二分之五，减 b 再乘以二，因为它坐标是 b， 减二分之五在第三象限，所以呢，咱们给它反过来写，那再加上个 am， 那 就是 m 应该是二减 m。 好，因为 m 的 话呢，是等于 b 减二分之一，这样的话呢，就给它带进去变成了呃，二分之五，减 b 乘以二，再加上个二， 呃，加上个 b 减二分之一，这样的话呢，就让它等于四分之三十九。咱们就可以求来，咱们小 b 的 值应该等于负的四分之三，所以呢， m 的 值就等于负的四分之五，这样答案就出来了。

大家好，咱们今天来看第十二套和平区异模的题目，先看一下第十七题。 十七题这个题目是通过割圆法，也就相当于把一个圆给它分割了，分割了之后呢，再算咱们圆周率的大小，那这个本质呢，它就是一个呃等面积法来进行计算的。 咱们先看一下他原来的给的这个拍的估计值等于这么多是怎么来的？就是把一个圆分成了一个正六边形，所以呢，一个边长他是等于一。 之后呢，咱们通过正六边形分成了六个等边三角形，可以求出来这个六边形的面积就约等于圆的面积，通过这个来算的。 因此呢，咱们算一下，我一个往这边给他做垂线，或者你直接用咱们的面积等边乘角形的面积四分的根号三 a 方。那之后呢，求出来咱们六边形的面积就等于四分的根号三，再乘以一的平方， 这样是一个的面积，咱们再乘以六，就得到了六边形的面积就等于二分之三倍的根号三。而咱们圆的面积等于 pi r 的 平方就等于 pi pi， 因此呢，它两个相等， 它两个相等，就得到了它的答案是二分之三倍的根号三。因此呢，咱们模仿这个题目来做 看。第一问正十二边形的时候，求它的度数，那就相当于把一个圆三百六十度给它分成了十二份。所以呢，第一个是三十度， 它是通过等面积法来解决的。因此呢，咱们第二个也是通过等面积法，这块是一个三十度，所以咱们想到了三六九，从 a 点或者从 b 点往他们两边呢，给它做垂线都可以。假设是 d 点 有了三十度，有了一，这块等于二分之一。因此呢，咱们就知道了，以 o、 b 为底，以 a、 d 为高，求它的面积， s 的 面积就等于一，乘以二分之一，再乘一个二分之一，是一个 呃小三角形的面积， y 乘以十二，就是整个十二边形的面积，那就等于三。我的 s 圆的面积就等于 pi 乘以一的平方 pi， r 平方 pi 一 的平方就等于 pi， 因此呢，它俩是等价的或者相等的，之后呢，得到它的估值就等于三。 好看一下第二十四题。 第二十四题里面看第一问，知道了 a 点坐标是二到零，之后呢，三角形是一个等腰直角三角形，那所以呢，咱们知道，呃，这块是直角之后嘞， o、 a 的 长度等于二，因此呢，它是一个二，二，二就是一个呃斜边的中线等于斜边的一半， 那所以呢，咱们这个坐标就比较好写了。 b 点坐标是负二到零， c 点坐标是零到二，而 a、 d 的 长度， 咱们知道这个是二，这是二边是二。所以呢，这块是二倍的根号二，这块是一半，那就等于根号二，因此呢，是二倍根号二的平方，再加根号二的平方，就等于个根号十。这块就用到了一个勾股定律和直角三角形的一个性质。 好看一下第二问，当点 n 以点 n 为中心之后呢，把三角形 a、 b、 c 顺时针给它旋转，旋转到 a、 d、 e 的 时候，它说呢，当 c、 f 与 x 轴平行的时候，那求 f 点的坐标， 这个地方，它的条件就是在旋转的时候 c、 f 与 x 轴平行，因此呢，它与 x 轴平行，并且过了点 c， 那 咱们就给它从点 c 先给它做平行线，咱们过点 c 点给它做一个平行线， 这样转平行之后呢，他说的是 a、 d、 c 这个三角形， a、 d， c 这个三角形，哎，我给它旋转顺时针往这边给它转，转到什么呀？正好这个 d 点对应的是 f 点，是在这个直线上的时候， 咱们这么这么给它画一个，当假设它转到这边来，是这块是九十度，这块是 f 点，这块是那个 e 点。 好，现在这种情况下是比较好想的一种情况，就是点 f， 那 我就直接转，转过来就可以相交就可以了。那在这种情况下的话呢，咱们看求 f 点的坐标，所以呢，我还是从 a 点给它往上面给它做垂线， 假设是 h 点，咱们现在已经知道了 a 点的坐标，这块是等于二， 这块等于二，所以呢，上面长度等于二， ac 的 长度等于二倍，根号二，那咱们求出来这个长度 ad 的 长度等于根号十，对吧？咱们已经求完了，所以呢，咱们直接拿这个信息来做也是可以的，直接等于根号十，这块呢是等于二，因此呢就可以得到这块是等于根号六， 因此呢，咱们的 f 点的坐标第一个就是二加根号六。逗二在这边。 好，那在这边的时候呢，是最容易想到的，像那时候我，哎，我就直接转过去就可以了，对吧？但是呢，咱们在转的同时呢，你也可以想象一下，我在这块转的时候，这个 a、 d 的 长度，它肯定是大于 a、 c 的 长度的，因此呢，其实应该是 d 点要先挨到这个这个线，对吧？再往这边转的， 再往这边呢，因此呢，那 d 点在这边的时候，是不是也会有一个地方？因此呢，咱们再看第二个，就是当 d 点在这个地方的时候，在这块给它相交的时候，那它也是一样的，这块来一个直角三角形，这块是 f 点，这块是 e 点。 好，在这种情况下， f 点在这边，那因此呢，还是一样的，给它往下面给它做垂线， a， d， a， d 的 长度 等于 af 的 长度，它是等于根号十的，那咱们这个长度，这个平行线之间的距离，这块是二， 对吧？是二，咱们加了 g 点 f， g 的 长度是等于二，因此呢，可以求出来 ag 的 长度还是等于根号六。现在求的是 f 点的坐标，它是从这边总长度是等于根号六，这块呢是等于二，因此呢，咱们可以求出来这边的长度是 根号六减二还是二减根号六啊。所以呢，咱们的 f 点坐标应该是二减根号六到二，因为它是一个那个负的，负的，咱们不能写长度是根号六减二，但是咱们坐标是这个，因此呢，咱们就有两个答案，两种情况， 好，这是咱们的第二问，咱们先画图对吧？先给它定位出来之后呢，通过勾股定律就解决了， 看下第三问。当，呃，当这个图形在这旋转的过程中，那咱们的 m 点是 b f 的 中点， s 是 m e， f， 它的面积求面积的最大值。 好，那咱们来看一下，看一下这个图形，看下这个图形就相当于三角形 a， d， c， a， d， c 在 这块进行旋转，旋转到 a， e， f 在 这块来，但是呢， m 点一直是谁啊？一直是 b f 的 中点，而现在想要求的是 m 点和 e、 f 它们三个组成的一个三角形的面积， 但是呢，你会发现他在转的过程中， e、 f 和 m， 他 那三个点都在动，所以呢，这块是比较难求的，或者说比较抽象的，比较抽象的不好求， 咱们想办法给他转化，转化成什么定点，变成一个定点，或者是两个定点，因此呢，咱们用两种方法来给他解决。第一种方法就是按照他 这种图形来给它旋转，旋转过来之后呢，咱们可以看到 m 点是这个 b、 f 的 中点，那它无论转在什么地方， m 点到 e、 f 的 距离，那就等于二分之一的 b 点到 e、 f 的 距离，它正好这块是一个中微线，因为这块距离就做垂直，它这块是中点，一定是保持了一个中点中微线。 因此呢，我想要求这个 s 三角形 m、 e、 f， 它不太好求的时候，那我就把它变成二分之一的 b 三角形，这个 b、 e、 f， 这样就会出现一个定点， b 点是不动的， 当 b 点不动的时候，那就转化成了 b、 e、 f， 它的面积那就相当于只要算出来 b 点到 e、 f 的 距离达到最大值，那我的面积就达到了最大值， 因此呢，咱们在这旋转，对吧？往下面旋转，在旋转过程中的话呢，你可以发现是当 a、 b、 e 它们三点共线的时候，才会达到咱们的最大值，因此呢，咱们知道 ab 的 长度，它是等于四的，这块二二，对吧？之后呢，求出来 a、 e 和咱们刚才的 a、 c， 它俩是相等的，所以呢，它这块是等于二倍的根号二， 因此咱们就可以求出来，我在这种情况下， m 点到 e、 f 的 距离，那就等于二加二倍根号二的一半一半，这样的话呢，我就可以求出来我的这个长度，我的面积，对吧？先把 m、 t 的 长度求出来，等于二加根号二， 那所以呢，我的面积 s 就 等于，因为 e、 f 的 长度是等于根号二，这个大小不变就变成了根号二，再乘上一个二加根号二，再乘上一个二分之一，所以呢，就等于了二倍根号二，变成了根号二，再加一，这样我的面积的这个最值就出来了。 那它的特点就在于进行一个转化三动点，对吧？给它转换成了两个动点之后呢，找 b 点到 e、 f 的 一个距离。 好，这是第一种情况，它当它最大值的时候，你说最小值的时候呢？咱们一样的哈，当这个 e 点转到这边来，跟这个 b 点这块的重合，也是 a、 b e 三点共线的时候，达到了一个最小值，一个是最小值，一个最小值，一个是， 呃，四加二倍根号，一个是四减二倍根号，对吧？他让求最大值，所以呢，咱们这块就不用再给它算最小值了。 好，咱们看第二种形，第二种情况，咱们用刮豆原理来给它解决一下，看一下能不能理解，因为它是一个动点，太多了，所以呢，咱们可以先假设，先假设就是三角形 a、 e、 f 这个三角形的话呢，它不动， 假设 a e、 f， 我 就换动点 a， e、 f 这个三角形不动，最后呢，把 b 点给他转， b 点给他转，在 b 点转的过程中呢，我这个 b f 他的终点 b f 他的终点，那这块呢，在这里他的终点的话呢， b 点在进行旋转的过程中是一个圆，因此呢， b f 他的终点这块呢，也是一个圆。 好，那它这块既然是一个圆，哎，我只要找到咱们的圆心和半径，这样的话呢，来找到 e f， 它是不动的，找到这个高的最大值，那咱们就可以求出来我的面积的最大值。 好来看一下这个动态图。当 b 撇在这旋转的过程中呢，咱们呢 b 撇 f， 它的中点也在这个小圆上进行动，那就当这个圆心与 e f 进行垂直的时候，那与这边它进行相交的时候，它的高就达到了一个最大值， 那就是相当于咱们这个点找到了咱们的圆心。找到这块的一个圆心之后呢，与 e f 给它做垂线， 这样过圆心做垂线，与这点心相交的时候，这个点就是到 e f 的 距离，就是一个最大值，这样的话呢，这个点就是咱们所找的这个 m 点， 因此呢，把它转换完了之后，这块就是 m 点，之后嘞，这个长度就是咱们的那个总长度。而根据刮的原理，咱们呢 b 点，它是以 a 点为圆心，我的大的半径是等于四，因此呢，咱们它的小圆， 它的半径是等于小 r， 应该等于二，对吧？这个小小的半径是等于二，而这块呢，是正好是 a 点和 f 点的中点，它的圆心就是以大圆的圆心和定点它俩的中间这个点为圆心，以大圆的半径为半径来画一个小圆， 那在这种情况下，我就可以求出来，他到他的距离正好是这个距离的一半，对吧？他这块是中点，因为这块是垂直距离，垂直这块是垂直，因此呢，就可以得到这边的长度等于根号二，而咱们呢，半径是正好等于大圆的一半，这块等于二，所以呢，我的总长度 就变成了这个，变成了这样一个三角形，变成这样三角形，那在这个三角形里面，它的底还是一样的， s 就 等于根号二，再乘一个这个长边圆形到这边距离是等于二，加上个根号二，再乘一个二分之一。 所以呢，答案是一样的，是根号加一，那它的特点就是怎么样来进行一个转化，对吧？进行一转化怎么样用八度原理来进行处理好，这是用八度原理的，可能有点抽象，大家可以参考一下。 好看。第二十五题，第一个它的解一式，咱们先看它的解一式，是 y 等于负 x 的 平方加二， x 加三，接下来 d 点的坐标，顶点坐标是一到四， 因此呢，咱们画出来这个草图， b 点是 b d 上的一点，之后呢，在 b d 上找一点，使得 pe 等于 pc， 这这上面有一点是 p 点，之后呢，咱们把 pc 和 pe 连接起来，使它两个的长度相等。因此呢，这块咱们是呃抛物线是知道的，因此呢，咱们用呃长度问题，对吧？两点间的直角公式来解决就可以了，或者用固定。 因此咱们现在知道了这个 d 点的坐标是一到四，之后呢， b 点的坐标，咱们看一下， b 点的坐标，咱们可以求出来是应该是三到零 就可以求出来 y， b、 d， 它的解一次等于 k， x 加 b， 给它带进去，这块呢，应该是等于二， x 加六， y 的 等于负二， x 加六。好，那咱们的 p 点坐标就可以设啊， p 点坐标是 t 的 负二， t 加六， 而咱们呢 d 点坐标也有了， d 点都没有了， c 点坐标咱们给它写出来是零到三，那所以呢，根据 p e 等于 p c， p e 等于 p c， 所以 p e 的 平方就等于 p c 的 平方，这样咱们套连通间的拘留公式， 点坐标咱们给他写出来是一到零顶点坐标和和那个两点间的距离公式，得到了 t 减一的平方，再加上一个 负二， t 加六的平方就等于 pc 的 平方。 p 点有了， c 点有了，那变成了 t 的 平方，再加上一个负二， t 加六，再减三的平方，这样的话呢， t 给它减出来等于二，所以呢， p 点坐标就等于二到二，这个答案就出来了。 好，这是咱们的这个第二问。第二问这种题目呢，也属于咱们标准的一个铅笔线， 看起来是一个长度相等问题，其实跟咱们的长度坠的问题，它们都是差不多的，差不多的，因此呢，它这块呢，秒杀的方法就是直接看咱们的 x p， 它的 这个坐标，对吧？我这个 x p 其实就等于谁啊， x d 加上个 x b 直接除以二之后呢？ 等于几？啊，它这块是等于一，对吧？一加三除以二，其实就等于二，之后呢，再把这个二带到咱们的 y 等于负 x 的 平方，再加上个二 x 再加三里面，那得到答案就可以了。 但是呢，这个地方只是来验证一下咱们这个答案对不对，对吧？用牵垂线求长度最直的时候，这个方法也是适用的，所以呢，这个地方就是一个小的秒杀的技巧。 好看一下第第二问，他说呢，当 em 等于根号二的时候，连接 bm， 这个 em 这块等于根号二的时候，连接 bm， 连接 bm， 把 bm 的 话呢，给它旋转 九十度，旋转九十度之后呢，让咱们求 e n e n 这个线段长度达到最大值的时候，那 m 点的话呢，正好落在咱们的抛物线上，求点 c 的 值 这个地方，那看一下，他给到了 e m 等于根号二，其实呢，就相当于他在这块 是一个圆周圆周，那当 m 在 圆上运动的时候，而 m b 它是旋转九十度，因此呢，这个 b 点算过去之后，对应的 n 点应该也在一个圆上进行运动， 看一下这动态图，对吧？当这个点在小圆上动的时候，那 b 点也是转九十度，转过去之后呢，就可以得到在一个红色的圆上，在这块动，可以根据刚才的动图，对吧？知道哎，当他在这个地方的时候，正好是转到这个地方的时候呢，是达到一个最大值。 好，在这种情况下，咱们怎么样来求这个 m 点的坐标？怎么来求小 c 的 值？看一下，第一个就是把 a 点给它代入， 代入到 y 等于负 x 平方，加上 b， x 加 c 里面去，就可以得到。呃，零就等于负一减 b 加 c， 所以呢， c 就 等于 b 加一，因此呢，咱们的解一式就可以改写成 y 等于负 x 平方，加上个 b， x 加 b 再加一，得到这个解一式。 好，那得到这个解一式之后呢，咱们看一下这个 e m， 它的长度是固定的，这个长度等于根号二，那一点的坐标，咱们也给它求出来，是等于负的二， a 分 的 b， 那 就等于一个二分的 b 都零。 现在的话呢，怎么来找它的一个等量关系？因为 e b 和这个 m n 它的长度是相等的，那在这个图形里面，我就来给它找一点 f 点， 找找这个 f 点之后呢， f 点使作图的时候呢，是做 e f 的 长度等于 e b 的 长度，这块呢，咱们给它构造一个等腰直角三角形，那这个长度做出来就等于这个长度的时候，这块就等腰直角三角形，那咱们看一下能不能证明这个三角形， 这三角形跟这个三角形去相似，看一下，因为这块是一个等腰直角三角形，所以呢，这个边和这个边的比值是一比一根号的关系。 而咱们转完之后的大的等腰值，大的等腰值，那他的比值斜边和这斜边的比值也是一比一，根号二，因此呢，这块是等于四十五度，所以呢，这块也是等于四十五度，他加他等于四十五，他加他等于四十五，因此呢，就可以得到这个角度跟这个角度是相等的， 因此呢，咱们就可以得到。哎，这块它是等腰值，所以呢，这块四十五度，因此这块是一百三十五度就可以得到了。咱们这块是等于一百三十五度，所以呢就可以得到这边 这边的三角形，也就相当于推出来三角形 m h e， 它呢是一个小的等腰值，主要是来推这个通过相似咱们推出来它的等腰值。咱们知道 e m 的 长度 是等于根号二，那所以呢，这个 m h 的 长度就等于 h e 的 长度，它就等于一而一点的坐标是等于二分的 b 都零，所以呢，咱们就可以求出来 h 点的坐标就是二分的二分的 b 减一， 减一都零，而 m 点的坐标呢，就可以推出来了，是二分的 b 减一都一， 因此呢， m 点里面有了，它是在咱们的抛物线上面，因此呢，把这个，把这个坐标给它带到咱们的抛物线上面去，来求 b 的 值，就可以求 c 的 值了。好，咱们给它带进去， 相当于一，就等于一个呃负的二分的 b 减一的平方加上个 b 倍的 b 减一，再加上个 b， 再加上个一， 这样的话呢，咱们展开之后呢，就可以求出来， b 应该是等于二倍的根号二减二和 b b 一， b 二就等于负的二倍根号二呢，减二， 这个呢，负的给它舍去，所以呢， b 点就等于这么多，而 c 呢，是等于 b 加一，所以呢，咱们呢， c 点就可以求出来了，就等于二倍的根号二，再减一，答案就出来了。

相信很多天津的家人朋友们都知道我们天津的王牌教父一飞冲天，那么对于初三的学生家长来说，有很多家长都迫不及待的给孩子买了一飞冲天的小红本和小蓝本，针对于咱们英语学习这一块呢，我想说的是，咱们的小红本和小蓝本很不错， 那绝对是我们天津孩子冲刺中考的必备利器，但是您一定不要弄反了顺序，不要刷错了，不然呢就白白浪费了孩子的宝贵时间。 那我们今天一条视频帮大家拆解一下这个小红本和小蓝本到底应该怎么用。那小红本呢？其实呢是一个模拟的套卷，它里边包含了我们天津近六年的中考的真题，以及我们说和平区、河西区、河北区等等这些核心区域的一些一模、二模、三模的一些套卷， 它主要用来干嘛呢？它其实是用在冲刺阶段的，让孩子练手感，练套题，现实训练的是在孩子掌握了基本的知识之后，它用来去了解我们天津初考的整个的命题逻辑的。这套教辅呢，非常适合用来做现实训练，做冲刺专项。 而我们的小蓝本它叫做专项突破，因为它是把所有的英语的考点知识给它模块化了，我们根据这个模块去查漏补缺来提有补弱。 那么针对于基础差的孩子，你一定要优先刷蓝本，针对于那种成绩比较好的孩子，其实我们可以反着刷，我们可以先刷我们的小红本，找到自己的薄弱点，定位到薄弱点之后呢，我们再去找小蓝本里边的专项，进行一个专项突破， 这样才能让孩子真正的使用好一飞冲天，助力咱们孩子的二零二六年的天津英语中考。希望这条视频对你有用，关注我，我是丁老师，英语学习规划路上的前行者和前行者，让您在英语学习的规划道路上少走弯路。

天天初三生注意，一飞冲天！红皮蓝皮千万别用错，刷错顺序全白干！今天一条视频说清楚区别和用法，红皮蓝皮核心就一个互补关系。红皮呢，是中考模拟会编，含各区最新模考题 加近六年中考真题，主打综合实战，测你真实的答题水平。蓝皮是中考专项，按知识点模块分题练，主打补短板，攻弱项，哪里不会练哪里。重点来了，不同分数段呢？刷题顺序天差地别，记死了！高分段的孩子，先红后蓝， 直接刷红皮综合套卷，检测知识漏洞，找到短版题型后再用蓝皮专项强化。切记错题先自己总结思考，再找老师点拨，效果翻倍。中低分段的孩子先蓝后红，千万别贪多，蓝皮专项足够吃透，基础打牢再刷红， 红皮套卷套卷呢，遇到错题立刻回蓝皮，对应的专项申挖一道都别放过，基础超差的，寒假直接死磕蓝皮就够。红皮呢，先别碰，只有里面九年级七 优惠券能够练手，其余呢，钱放着先把基础补起来。一定要注意，刷题从来不是题海战术，错题才是提分关键，对答案别只打各选项，一定要揪出错音，是计算失误，知识点压钩不会还是掌握不熟练？找到问题刷同类题，直到完全吃透，不然不会的永远不会，根本提不了分。最后总结 一句话，记牢高分先红后蓝，中低先蓝后红，基础差着只刷蓝皮。寒假的学习规划表呢，安妮老师已经整理好了，直接拿去用。

哎，王老师啊，中考一模怎么能考的高啊？呵，这不松鼠抱孙子是吗？嘛意思，找对人了？一模呢，看名次，二模看分数，三模增信心。 一般来讲啊，一模会比较难，主要关注名次就可以了。数学难在哪？二零二五年中考的双动点创新题，其实呢，就是拿去年河西区的一模二十四题改的，改成了中考选择十二题， 学霸都难倒了一半。从今年的趋势来看，各区的期中、期末考试双重点是常客选择，填空解答都出现过，要想冲高分，这个题型必须掌握。 另外，去年南开区的一模二十四题，考察的是折叠二十五题，考察的胡不归。和平区一模二十五题呢，考察的是瓜豆部分区一模的二十五题是逆等线。像这些都是非常贴近中考的好题，关键题， 你要把这些都练熟了，那 e m o 啊，错不了。嘿，这些题在哪呢？哎，我整理了各区的 e m o 试卷，还有关键题的讲解视频，可以领一份给孩子练练。

专门针对天津中考出版的二零二四版一飞冲天小复习，这是七年级下册，包含语数、外到法、历史五科。这是一套综合试卷，题量不大，题型都是来自于天津市各个区期中期末试卷的真题，里面包括单元测试卷， 以搭言语一练、专题复习，针对性的练习，巩固强化知识点。阶段测试，精选往年期中期末试卷，作为天津必备教辅，赶紧备一套吧！

咱们天津初三的学生刷题选教辅，一飞蓝和一飞红就足够用了。像语文、英语，你就刷三年的中考真题和去年的模拟卷就行，一定得刷透了，尤其是文科的卷子，一定得刷透。然后你一定要总结他答题点，对于文科来说那是特别有用。 嘛？叫刷扣啊。比如说化学试卷，如果说你做过中考真题了，重新又做一遍你一个题也没错，这就叫刷扣了。咱们中考一轮复习，把蓝本刷够了就已经很不错了。如果说蓝本刷完的孩子们，再把红本再刷一刷， 我们做真题的目的是什么呢？就是向命题人的思路去靠拢，以题去带领知识点，你看一下自己的漏洞在哪，能把知识点补上就行。

平行四边形第三讲，来，咱们说一下平行四边形这个章节啊，平行四边形这个章节非常大，而且内容很多，这个是一周讲不完的，所以咱们就直来看题，这个题确实不好写啊，比较难，咱们来看一下错题，第七题错了，第七题， 第七题是下面这道啊，没有图，图在这边，图在这，那题的题我给截过来，咱们读下题啊。 如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，然后 a、 d 和 b、 c 相等， a、 d 和 b、 c 相等， 然后看到终点想什么，对吧？这 e、 f、 g 都是终点，那我给你点个点，这一个终点，这一个终点，然后这个终点三个终点，然后 d、 a、 b、 d， a、 c 是 六十六， a、 c、 b 是 这个， 这个应该是我上课讲的原题吧，要不然就是咱们放假讲的。 那咱们来说一下 f、 e、 j， 那 这个很简单啊，这两个边相等说明什么？这个看到终点，我们要想到中位线，对吧？这个很明显了，这三个终点一点， 那这个是不等于它的一半，这个是不等于它的一半，这个应该是上课讲的那个原题。然后所以得到什么？得到 j、 f 就 等于一个 e、 j 了，这个能看明白吧？ 因为这个是他的一半，这个是他的一半，所以这两个边不等于二分之一 a、 d 吗？所以这个这两个边就相等了。这两个边相等，那这两个角不就相等了吗？那这两个角相等的话，咱们只要知道顶点，或者知道随便一个角都可以，那咱们看这个顶点好求吗？这个顶点很好求啊， 顶角，这个是二十度，那这边这个肯定是二十，能理解吧？就上面这个角，这同位角，然后这个是六十六，那这个角是一百 一百三十，不是三，一百二，一百一十四，这个是一百一十四度，知道为什么吗？因为这俩是同旁内角，没问题吧？那一百一十四加上这个同位角的这个二十度， 所以最后得的是一百三十四，那一百三十四我们还得要用一百八十度减一下，一百八十度减一下的话就是六，然后七，这个是四十六，四十六的话再除以二，因为这个不是等腰三角形吗？ 四十六是这两个角的和，对吧？再除以二的话，就一个角是二十三了，所以这道题答案选四 d， 我 看答案，答案对了，然后咱们再来下一题。下一题是第九题。第九题 如图，四边形周长是二十六，周长是二十六的话，那咱们就一半呗，就两个边相加两个，两个边相加就十三呗。咱们就这么理解， ab 加上一个 bc 等于十三，咱们先这么写，备注一下，然后对角线相交， ac 垂直，这呢？垂直，那这有垂直，咱们就不写了。然后 e 又是中点问题了， e 是 bc 的 中点，这是中点。 三角形 a o d 的 周长比三角形 a o d 是 这个， a o d 是 这个啊， a o b 是 这个，然后周长多了三 则 a e 长啊。这个也是比较简单的。这个地方有两个问题，第一个看到中间想什么？上一道题刚才我们讲的是个看到中间想中位线，对吧？然后看这道题，这道题你看到这了吗？这是九十度，这要是九十度的话，那这个不用想，这个肉眼可见的是什么？ 这个是中线，等于斜边的一半，能理解这个定义吧？这个是咱们在举行的那一章讲解的啊。中线等于这个斜边一半，那么你看，所以这个边等于这个边等于这个边，这三个边相等，然后咱们再看第二个，第二个说的是这个边周长比这个周长多三，那你看 这个三角形是 a o d， 对 吧？ a o 的 话是 a o 加 o d 加 a d， 对 吧？然后减去谁， a o 减去 b o 减去一个 ab， 然后等于三。 那你看这里面有好多东西， a o 和 a o 约了吧？ a o 和 a o 约了，然后 o d 和 o b 约了，能明白吧？然后只剩什么？只剩下 a d， a d 就是 ab， 对 吧？ ab 就是 bc， 咱们直接写 bc 吧， ab 就是 bc 嘛，减去一个 ab 等于三，那这俩相加，这俩相加的话就是二， bc 等于十六， bc 等于八，那 bc 如果等于八的话，这不就刚刚看这三个吗？他不等他的一半吗？那他就等于四。所以这道题答案是二 b， 能理解吧？很简单啊，讲的这道题，我看答案，第八题，答案是 第九题，答案是二 b， 没错，然后第十题， 第十题， 如图，四边形 o， a、 b、 c 的 矩形。哦，这个第十题，在这的图像， a 是 二斗一， b 是 零斗五，那就这个边是五， 然后点 c 在 这个向 c 点坐标。好，那这个重点来了，咱们看这个是不是对角线呢？ 这个这个梯旁，这个是个对角线，很明显的是个对角线，那对角线完了之后，那么咱们看这个边，这个点和这个点明显是什么对称过，这个与 x 轴是这样的，有个这样，这两个边肯定是相等的，能理解的意思吗？因为这个是对角线，对角线会得到一个什么结论？ 你看这么一画，那这两个边也相等，那所以这底下这两边也相等，对吧？那这两条边相等的话，那咱们看 a 点坐标是二斗一， 那对过去的话，这个 c 点的横坐标也是负二，然后逗，这个，这个边不知道是多少，对吧？ 所以这个这个边的横坐标就这个地方是二负二，能理解吧？这个距离，然后咱们来看，那再继续读题，这个中间这个是五， 中间这个长度是五 o a 长度是根号五，那这个长度是多少？这个长度是五五二十五减去这个是根号二十，对吧？ 那咱们再看这边，这边的话，同样的啊，同理这边是根号二十的话，那这个地方是不是也是根号二十，那这个地方是根号二十的话，刚才我们刚说这个地方是多少？这个地方是二，所以这个边是不是就求出来了？二十减去二，然后等于二十减去四嘛？ 二十减去四是十，六十六的话，这一半开根号的话就是四，所以这个地方答案应该是选四 d， 能听明白吗？就这个点 的横坐标是对称过去的，对吧？这个是二吗？然后对称过去就是负二，然后呢？剩下那个是用勾股定律算的。勾股定律怎么算？这个边是根号五，因为这个 a 点坐标是多少？ a 点坐标是二斗一，所以这个地方是根号五，然后这个边是 我们算出来的吧？五，根号五，然后这个地方是根号二十，因为这个地方是带这个的，对不对？ 带九十度的，然后这边的话也是九十度嘛，然后这个地方也是九十度嘛，然后我们一带就算出这个横坐标了，会了吧？ 然后第十一题，十一题，这个一看就是那个将军印码呀，看到这个吗？这个将军印码怎么还有不会的？正方形 a、 b、 c、 d 边长为八，边长为八，然后 m 在 这个 c、 d 上，然后 dm 是 二， dm 是 二，然后没了， 然后这个题难，难在哪地方？就是你们对称点不会找是吧？这个对称点有什么难的吗？这是一个正方形啊，对张正方形的话，那对称点是不是从这做垂直，就做这个垂直，然后对称过去，然后你看不出来他对称的过去的话，这个点是 b 点吗？这个 d 点 就把这个地点对称过去，那这个点对称到这，肯定是到这，对吧？因为这个是九十度吗？九十度的话，那这两个边明显是相等的关系吗？然后咱们给他对称过去，那他的对称点是在这，那所以这个边就很容易了。地点都对称过去了，那怎么怎么办？ 咱们用第三条，对吧？连接 b 点和这个 m 点，这样一连接，这个就是我们的这个 d、 n 加 d、 m 的 最小值了，能理解的意思吧？你按我们将近满的三步骤，三步骤如果要忘的话，你们在脑海里面回忆一下这三步骤啊，然后这个地方是六，这个地方是八、六、八十，所以这个最小值就选 c。 我 看答案，答案是第十一题选 c， 然后咱们再讲第十二题， 来，咱们看一下十二题，十二题的话，这题是有点难的啊，咱们来读一下题，在正方形 a、 b、 c、 d 中， p 为 ab 的 中点，那这个中点咱们点个点，然后一个垂直， b、 e 垂直，然后这有一个垂直，两个垂直 没了，其他条件没了。那咱们现在再重新讲一下啊，就是一个正方形两垂直加一个点，这个中点，然后读三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 f、 d， 这个肉眼可见的是全等的啊。然后第二个是 f、 b 和 ab， 这个感觉也一样，就看着看着这俩就对了。 然后 c、 f 垂直， d、 p 这个看着也对的，然后 f、 c 这条边等于 e、 f 这条边 e、 f 在 哪呢？ e、 f 这条边，这个有点不太确定，但是你拿尺子量一下的话，感觉也对的。所以这道题如果要是蒙的话，应该会选一二三四选 a， 大 概率是 ab 里面选，所以我觉得你们要蒙的话，也是从 ab 里面选。那咱们来正一下啊。 先说第一个，第一个好证吗？第一个是证这俩三角形全等，那这俩三角形全等的话，那只要找出两个条件就行了。三个条件，第一个是 ab 等于 ad， 这个是白送的，对吧？正方形，然后第二个条件应该是这个角一等于角二， 为什么？角一等于角二，对吧？这个是九十度，这个九十度，他们俩公共角减去公共角的话，角一和角二是相等的，然后一个角一个边，那还缺一个角，对吧？那就是大概率是这个角三和角四相等，那咱们看角三和角四相等吗？ 嗯，瞪完瞪完一眼之后就发现相等了，为什么？因为这是一个八字形。看到这八字形了吗？我给你们画了一遍， 这是一个八字形，八字形的话对顶角一个角，然后这个角是九十度，九十度，所以你看到了没有？这个对，顶角约了九十度，九十度约了，那角三和角四肯定相等，对吧？三角形内角合得一百八嘛。所以这三个条件得出来之后，我们这个第一题结论很轻松就挣开了。再看第二个 f b 等于 ab， f b 是 这个边， ab， 那 想要正这两个边相等的话，那就找呗。这俩三角形必须是等腰，三角形的话，这俩底角相等，那我们要正这俩底角相等，那想要正这俩底角相等的话，那我们就要倒腾了一下了。 这里面的话，我们在这个第一问的时候，应该得出了这是一个等腰直角三角形，所以我们得到这是一个四十五度，然后这是一个四十五度，这个没问题吧？ 这俩四十五度我写出来没问题吧？因为第一问嘛， a e 等于 af， 然后键四十五度做垂直，对吧？做找等腰，所以说的话，我们键到四十五度大概率应该是这么多，这键四十五度， 这样的话，我们就给它划分成什么？划分成了四十五度加上这个角一，四十五度加这个角二，也就是说我们把角一和角二正出相等就行。那么还有没有别的思路？这是一个终点啊？ 这是一个终点，那我更加确信这个应该是做一个辅助线，这个是 am 了。键四十五度做垂直，对吧？这是我之前上课讲的，然后这是终点。 看到终点的话，我们想到什么？截长补短，对吧？所以你看我这正好是一个截长，对吧？把这个这么长的东西截了一段，那有截长的话，所以我百分百确定这条线肯定有用， 截长补短。那你看啊，这个俩三角形是全等的，为什么全等啊？因为这是一个中点，这是一个对顶角，这是一个九十度，这是一个九十度，那么咱们就 a a s 这俩三角形全等，理解了吧？这就是，然后咱们看跟这有什么关系吗？这俩三角全等好像没什么太大关系， 咱们现在的思路是要正角一和角二相等，那么想正角一和角二相等的话，那我我必须要正什么？正？这俩三角形全等，因为没有别的条件了吧，我觉得只能正这个这俩三角全等，那么我们来看看能不能正。 嗯，第一个条件是 am 等于 fm， 为什么这俩相等？因为这个是斜边的，上的中线等于，对吧？等于斜边一半，这是等腰三角形，这是垂直的三线合一嘛，所以它也是中点，中点的话，所以这个是什么？ 中线等于斜边一半，所以得出 am 等于 fm。 第二个条件是 bm 等于一个 bm， 就 公共边。那如果找到这两个边的话，那 没有别的办法，只能找这个角三和角四，就角三必须要等于角四，那这两个角相等吗？肉眼可见的应该是相等的啊，为什么这个角三和角四相等？因为这 这俩三角形我们刚正完全等，所以得出一个什么结论，这个是九十度，然后这俩三角全等的话， am 等于 b m， 就 这个地方 am 还等于谁？还等于一个 b e， 就这个 a m 还等于 b e 这俩三角全等吗？然后还等于谁？还等于 e m， 所以 得出什么结论？这是一个等腰直角三角形，因为这是九十度，能理解了吗？ 因为这个是正完全等之后， a m 不 等于 b、 e 了吗？然后这个不是斜边中线等斜边一半吗？所以得出来这个结论，然后这个地方是四十五度，那这个地方就四十五度，那得出这个是四十五度的话，一百三十五， 四十加九十是一百三十五度，对吧？然后这边一百八十度减去四十五度，这边这个角也是一百三十五度，所以两个角都等于一百三十五度的话， s a、 s 这俩三角形全等，这俩三角全等完之后， f、 b 就 等于 ab 了， 正完了啊，然后再看第三个 c f 垂直 dp。 嗯，要想正这个是九十度的话，那么我们就要正角一，这俩角一加角二等于九十度呗， 或者证啥？或者证全等。嗯，因为为什么要可以证全等？因为我刚证完这个，这个 f b 等于 ab， 那 么我们会得到一个什么情况？你看我在这再写一个条件， f b 等于 cd， 这能看出来吗？ f b 等于 cd， 因为我刚证完 f b 等于 ab 嘛？那第一个边证完了，第二个边是什么？ b e 等于 d、 f。 我 为什么会这么写？因为我第一问和第二问都正完了，所以我顺着这个思路往下捋的话，那这两个边不一下找着了吗？也就找着 d、 c 这条边，找 d、 f 这条边，然后这边找的是 b、 e 这条边和 b、 f 那 个这条边， 那这两条边找完之后呢？只需要正这俩假角相等就行，对不对？那这俩假角呢？这个角咱们就写角三，这个角写角四吧，这个大假角，那角三等于谁？角三等于这个写角五，九十度减角五， 那这个角四呢？角四是这个大角啊，这个大角等于九十度，减去角二，这个没问题吧？那角二刚才刚说完，等于角一，角二等于角一，角一等于谁？等于这个角， 哦，那这角二和角五是相等的关系，知道为什么相等吗？你看角五，咱们第一问得出来，角五和这个角相等，这个角六，这个写角六吧， 角五和角六相等，角六和角一是什么角？这不刚正完全等吗？角六和角一相等，角一又和角二相等，所以角六和角五相等，对吧？然后这个角相等，那角二， 那这俩角相等完之后，所以得出角三等角四，所以这个 s a s 正完这俩三角形全等，那这俩三角形全等的。这个角是九十度的，这个角一定是九十度，是这么正出来的，明白了吧？ 所以这道题是有相当有难度的。完，再往下是 f c f c 这条边等于 e f 这条边， 哦，刚正完全等，我刚正完全等这道三角形全等完之后，这个 f c 不 就等于 e f 了吗？这个没啥说的，第最后一问是送分的，也就是说我们只要把第三个挣出来的话，那一定是选这个 a， ok 了啊。所以说这道题是这样的个做法 有点难的，是难在这个辅助线上了，这条辅助线你不会画的话，那大概率是做不出来的。这条辅助线的话，因为是见到四十五度，我才会想到做这个垂直的。 大家应该是上课都讲过这种题型啊，所以说，如果要是你这道题一点思路没有的话，咱们就找这些特殊角，特殊角我上课都重复讲了好几遍了， 再来往下看十五题。十五题的话，咱们读题这个题啊，如图所示，在矩形 a、 b， c， d 中， a d 等于三， ab 等于五，然后没了， 没了，然后这个一看就是垂直平分线，对吧？这个这个图形大家应该死记下来，然后求 a h 长 这个没有啥难度吧。射，射，射为 x， 射他为 x， 这边就是五减 x， 那 这边是五减 x 的 话，这边是五减 x， 如果这道题不会的话，这道题是我百分百上课就一直在强调必须会的啊，是必须必须会的，所以这个题会做了吧。做射完之后，那就是 x 方 加上九等于五减 x， 括号的平方勾股定律嘛。然后 x 方加九等于五五，二十五减去二五一十 x， 再加上一个 x 方， x 方和 x 方约了，最后得十 x 等于一个十六， x 等于五分之八 十五， t 是 五分之八吗？然后用这边。咱们设的不是求 a h 吗？ a h， 所以 ah 的 话应该用五减去一个五分之八，五分之二十五减五分之八等于五分之十七，所以答案应该是五分之十七，能理解了吧，这个没什么难度啊。然后再往下讲下一题，十六题，十六题的十 十十六题，正八边形，正八边形与正五边形，如图摆放，这样的摆放 o 为顶点边， a b c， d 角 b o， c 求这个角。这个题 挺无脑的啊，三百六十度除以八，然后等于四八，三十二的话就是四十五，然后这边的话是三百六十度除以五。好，我写的这你们是不能理解啊，因为三百六是什么？三百六是他的外角和那么外角他是正的啊， 那他除以八，这不八边形吗？除以八的话，他是不是就每一个外角？所以这个四十五度是谁？这呢？这个是四十五度，然后这个是三百六，除以五，这个是 五七三十五，七十二，这个七十二是哪？是？这能理解了吧？那这边是七十二，那四十五加七十二得一百一十七，所以这个答案应该是六十三度，能理解了吧？这个一百八十度减去这个一百一十七就得出来了。六十三，然后第十七题， 第十七题图在这啊，咱们来看，在正方形中， e 是 终点， e 为 d， c 上一点，这个是随便的一点，然后 m 是 终点，这有个终点，我给你点个点， 然后还有谁？ o 为终点， h 为终点，三个终点。 好，那么这三个终点有了之后没了，这还有一个没了吧？没了。 ab 等于三倍根号五， d e 等于根号五，这还是一个正方形。好了，那这么多终点，我给你点个点，这些终点能说明什么？太容易了，我看到终点的题，这个百分百中位线呢？ 然后往这一连，那所以咱们要求 o h 的 话，那我们是不是就求 md 即可了？因为 md 就是 它的这个中位线，对吧？所以 md 二分之一的 md 就 等于 o h， 那 咱们来看 md 好 求吗？ 终点，终点这边还有个终点，那这个终点的话，我们往这做垂直，往这做垂直的话，那这个咱们写 a、 b、 c， d， e、 f、 f 吧。那你看 m f 是不等于二分之根号五，为什么？因为这是中位线的，这个是中点，这边往这做平行的话，这边不也是中点吗？那两个中点的话， m、 f 出来了，然后 d f 等于多少？因为上面这个也是中点的话，那这不 d f 等于多少？ d f 就 等于二分之三倍根号五，这个没问题吧？因为这个地方是长它一半，不就是这个吗？那这样的话勾股定律一下就行了，那这边勾股定律是四分之五加上一个四分之五九四十五，然后开根号，对吧？这个就是我们的 d m 长度， d， m 长度等于 二分之根号下五十，对吧？然后再除以一个二，等于什么？四分之五倍根号二，所以答案应该是这个四分之五倍根号二十七题理解了吗？然后再往下是那道题，十八题 来十八题，十八题是一个典型的将军驿马题啊，然后他难，可能难在坐标上吧。咱们来读题， o， a， b， c 是 边长为四的菱形，这边长为四，然后 o 点是这个地方，然后点 b 在 x 轴的正半轴上， a、 o、 c 看到这个六十度了吗？看到六十度，看到菱形，想什么？想等边三角形，这一看就是两个等边三角形折叠出来的，对吧？ 然后有等边三角形的话，后面就好好多了。然后 d 这个地方是中点，中点的话呢？这个 c、 d 这条边就是二嘛？ 是否存在一个使边，对吧？对点线 o， b 上是否存在一个点 p 使 p c， d 的 周长最小，你看 p c， d 周长最小，那 c、 d 这条边是固定的，是二，对吧？所以这个边其实求什么？ p c 加 p d 最小，这个不就是将军密码吗？ 那这个是，所以这地方填什么？填式，对吧？然后是否存在这样一点 p， 它坐标为 b， c， b 的 最小值多少？那么你们看如果把这个 d 点对称过去，是不是对称到这？所以我们从这做一个垂直， 做一个垂直，那么你们看一下啊，我们说在这个 p 点是不是到这了？ p d 和 p b 是 不是这俩小边是相等的关系，能理解吗？ 因为这是对称过去的，所以这个边和这个边是相等关系，对吧？所以这个是 d 撇，能理解吧？那 d 撇这个是 c， 那 这样的话这个最小值是不是就出来了？ p c 加 pd， 其实就是这个 p c 加 pd 撇，对吧？ 那咱们来看这个边该怎么求？这个整个这个边是四，这个这个角是三十度，知道为什么这个角是三十度吗？因为这是一个等边三角形，然后这个地方是对称过去，是中点，然后这是三线合一，所以这个角是三十度，这是垂直三十度所对边，等于斜边一边，所以这个地方 是二，那么咱们再来勾股定律一下，这个地方就是二倍根号三，然后二倍根号三是谁？是 p c 加 pd， 然后整个再加上一个，谁，再加上一个 cd， 因为它求的是三角形周长嘛， 这个二倍根号三是 p c 加 p d 两个边，然后二是这条边固定的，所以这个答案是这儿。然后最难的是这个坐标点，就这个 p 的 这个坐标点不好，求知道吧？因为你们现在学的这个知识点没学到那个第三章，就下一章，所以这个地方的话，我们只能用这个勾股定律啊去做。 那怎么去用勾股定律去做呢？我把这个地方就给删了啊？因为这个地方看啊，这是一个三角形，然后这个地方是一个三线合一，三线合一会得到什么情况？这个角也是三十度，对吧？那三十度所对的这条边等于斜边一半，那咱们先求 a c， a c 这条边怎么求？ a c 这条边 a c 这条边是四，能理解吗？因为这个是一个等边三角形，咱们每个边都是四，所以 a c 这条边也是四，那 a c 这条边等于四的话，那它一半，对吧？这一半是不是等于二？ o 这个一半，那这个一半等于二的话，那这条边这个咱们可以设什么？设三十度所的边是斜边一半，这个边为 x， x 加上谁 x 的 平方。这个边不是刚才说了吗？是二，二的话，就二的平方等于谁？等于这个 p c 这条边 p c 这条边是等多少？是二 x 方， 这是一个勾股定律，能理解吗？这勾股定律怎么来的？这个边刚才刚算完，这个地方是二，设它为 x 的 话，这个地方不就是二 x 吗？因为这个三十度所的边等于斜边一半，那这样的话我们就可以把 x 求出来。 x 我 们算一下呗，就是三 x 方等于等于一个四， x 方等于一个三分之四，然后 x 就 等于一个 根号三分之二等于一个三分之二倍根号三，能理解吧？三分之二倍根号三，那这个答案就是对了吗？肯定不对，三分之二倍根号三是哪？是这一块的长度知道吧？是这一块长度，那总的这一个长度是多少啊？ 总的这一个长度我们需要求，对吧？这个边是四，这个边是二，那么这个这个边就多少，这个边是二倍根号三，所以二倍根号三要加上这一段，因为这一段是二倍根号三， 所以这个要加上一。什么？二倍根号三？那加完之后这个二倍根号三能合并吗？能合并，这个是三分之六，所以这个总共的最后面答案是三分之八倍根号三，所以从 o 点到 p 点这个距离是三分之八倍根号三，能理解吗？ 是从这个边是好算的，是勾股定律出来的，这条边也是勾股定律是用这个小三角求出来的，得三分之八倍根号三。三分之八倍根号三，所以这个地方得多少？三分之八倍根号三。逗零， 懂了吧？全是利用三十度数对边，然后做勾股定律这样做出来的。

一模先刷一模的，然后再二模，三模，再真题，一定是从难到易，就这样的顺序去刷题，如果说一开始我就刷真题，真题一定是最简单的吗？很多学生一刷题都感觉非常良好，就是这样的话，学生他的感觉不是很好， 真题的话是这样子，如果说一模和二模，哎，我都已经刷透了。去刷真题，刷题的时候一定是要去注意的，就是天气的命题呢，比如说物理 近十年来的规律，二十五题，一年历学，一年电学，所以我们再去相对去刷题的时候，比如说物理，如果说我刷基础题，那我们就以二六年的为主，但是我们想去把十二十三十九，包括我们的二十四、二十五，我们想去把这些难题 有区分度的题，我们去刷一刷，那么我们就不能只是仅仅局限于二六年的，二四年的真题和那年的模拟题，包括二二年的真题和那年的模拟题要去刷，所以说它其实是这样子，就是你不同的题型，那么你再去刷的时候，你的着重点也不一样，比如说我们的数学的二十四题， 近几年来一年折叠一年平，他规律性很强，那么其实今年的话重点一定呢是放到了折叠，他和物理一样，我们要去重视二四年，二二年的题型，但是模考的时候，有的时候个别区他还会去出旋转， 但是从历史和道法上来看，可能二二年、二三年的，其实就相对来说的话太简单了。刷的重点我们就要放到二五年真题啊，各个区的模拟题。那么从语文来说的话，比如说我们的大阅读，二三二四二五年，连续三年 他都会去考段落的作用都会去考修辞手法，连续三年了，这些点是我们要去注意的，但是我们更要去注意。作文的命题上来看一定是思变型继续的一分蓝和一分红，不是说刷完了， 是看能不能刷透，而且这个题不是说你做一遍就可以的，尤其是这种合唱分卷的，比如说你的化学四十五到四十八分钟是否能做完一套真题，而且保证全对， 如果说确确实实已经刷透了，成绩也不错，这样的学生是可以去做一下外围的实体研究，大部分没必要，大部分学生呢？还是说要红衣飞刷透？我们可以先刷红衣飞，然后先刷套卷，然后找到我们的知识漏洞，然后再用专项的去巩固。

天津的同学们，家长们你们好，今天是第二期，蓝一飞什么时候刷，该怎么刷？今天在这呢，我要跟同学们说一句啊，咱们蓝一飞啊，现在就应该开刷了，如果你是自主复习啊，现在就该必须启动专项刷题了，要是寒假结束了，你专项还没动，那这本书就白买了。 寒假咱们重点啊，就是蓝一飞的专项怎么刷，用分层刷题法，这样效率会比较高，咱们就以七十五分为一个分水岭。七十五分以上啊，暂且说你基础学的还不错，咱们就先从专题六往后攻，先啃专题六七，然后再突破电学跟力学的设计实验和电学推导以及这些压轴题。眼下期末考电学，咱就先通过这一块来直通。 寒假呢，咱们就能啊把电学先从我们的复习清单里划掉了，那七十五分以下呀，你基础就应该比较薄弱了，咱们就老老实实从专题到专题五开始，把基础内容啊嚼烂吃透，千万别着急，先碰压轴题，基础没打牢就刷题啊，这是浪费时间，也会打击你的信心的。每一个专题里呢，都先做后面的模拟练习， 然后啊掌握好一类的解析方法，再去做前面的中考自测题，这样呢才能更好的应对综合考察，寒假整体的复习效率呢，也能更高。

今天初三的家长朋友注意了啊，中考前我们别再去盲目的刷题了，这套卷子刷不对，刷再多啊，也是很难去提分的。比如说啊，一飞红啊，一飞蓝呀，现在基本是天津的中考生啊，人手一套， 很多家长都觉得把这两本去刷完，孩子的成绩就能稳了。其实呢，真的不是这样啊，做这套资料确实是没有问题，但只是靠他远远不 一飞冲天，主要是汇总的是往年各区的模拟题，天天中考的命题思路比较的固定， 做往年的真题确实是可以帮助到孩子去熟悉题型啊，打基础啊这些，但他毕竟是往年的试卷对不对？没有办法去贴合今年的考试方向， 今年备考到底是需要去做什么题呢？重点来了啊，就是本市各区最新的杰克考一摸试卷，这个月月底开始，各区的模拟考就会陆续的开考了，这些新出炉的试卷才是最贴近于今年的命题趋势的题。 所以啊，最能暴露孩子当下的一些知识漏洞，一定要让孩子认真的去做，认真的去盯正，把错题吃透了，针对性的去补 弱，这才是阶段最有效的复习方式。想第一时间拿到各区模拟试卷和解析的家长朋友们可以关注我啊，考完我会及时的整理分享给大家。咱们家孩子什么时候开始模拟考啊，也可以在评论区聊一聊啊。

天津的同学们，家长们，你们好，接下来呢，我将用三期视频分别解答一下同学们的问题。那这一期呢，是同学问的比较多的，红的一飞冲天，什么时候刷，怎么刷才比较高效？那根据我呢，每年带毕业班的经验啊，今天在这里呢，一次性给大家讲清楚红一飞呢什么时候用以及怎么用好。 首先呢，红一飞里面包括的是往年的模拟考试试卷会编啊，还有真题这些试卷呢，包括了八九年级的内容。那什么时候刷呢？要等蓝一飞，也就是中考专项这本书刷完之后再刷， 因为蓝一飞呢，他是题型专项突破的，把八九年级的知识点跟解析技巧全掌握了。之后呢，咱们再去刷红一飞，才不会因为知识点遗忘而浪费时间。那现在能不能刷呢？当然也可以刷前面那几篇，因为红一飞前面啊，都是九年级上册的期末考试试卷，和现在所学的内容啊，完全相对应。这部分呢，可以先做。 怎么刷红一飞呢？刷的时候要像对待中考真题一样，限时完成，然后认真分析每一道做题，看一看知识点是不是还有没掌握的，还是解析技巧不足呢， 针对性查漏补缺。记住啊，红衣肥是综合检验，基础没打好啊，千万别盲目刷，不然就是浪费时间。对于初三同学来讲啊，这个寒假很关键，是你初中的最后一个假期，一定要好好把握。那接下来几期呢？我再说一说蓝衣肥怎么刷和和整个寒假的学习安排。

刷题到底能不能提分呢？答案肯定是能的，但是瞎刷题纯属白费功夫，根本就提不了分。今天呢，曹老师和大家分享一下学霸的刷题方法，尤其是咱中等生和基础一般的孩子， 找对了刷题思路，真的就能够啊，一天改命，先把这个核心口诀记牢了。文科先刷一飞红，理科先刷一飞蓝，为什么这么说啊？先说语文、英语、道法、历史 这四门文科孩子普遍的问题是什么呢？他其实是摸不清自己的知识的漏洞，他也不知道哪里不会是吧，那寒假你让他主本就去啃书，他不仅内容多，孩子也没有耐心， 也没人盯着他，效率是特别的低。所以呢，文科刷题一定要先刷一飞鸿套卷，通过套卷去精准定位扣分的题型，找到对应题号的核心知识点，再用一飞蓝去针对这些知识点，一个模块一个模块的去专项突破，把漏洞彻底的消灭。 我们再来说一下数学、物理、化学这三门理科啊，大部分的孩子其实是清楚自己的弱点在哪的，你说你数学天天让他做套卷，他其实就是二十四，二十五，根本就不会。 那么咱们这种情况下，就先对薄弱考点去翻课本，对应章节把文啊，把课文从头到尾的去读一下，比如说数学。再说数学啊，因为计算步骤去跳步扣分了，那课本里边其实有明确的步骤流程， 一定要让孩子反复的去吃透课本的基本步骤，再用一飞蓝针对性的去练题，把步骤落实到位， 所有的捕捉点都攻克。之后呢，咱们再去刷一飞鸿的套卷，这个时候啊，一定要练，做题的速度要掐实啊，实现题分的冲刺，重划重点啊，重点来了，就是文科理科的刷题的思路，它是完全不同的，用对方法才能够事半功倍。大家还有哪里没有听听明白的哈，直接可以这个评论区问曹老师就可以了。