重庆一中初三大几何

今天我们一起来看一下重庆一中的九年制上册半期考试的第九道选择题。正方形 a、 b、 c、 d 当中，对角线 a、 c 和 b、 d 交于点 o， e 是 c、 d 上的一个点， f 是 b、 c 上的一个点，连接 a、 e、 d、 f 他们交于点 m， 然后这个又 c、 u 和 d f 交易点。哦，若 a、 e 等于 d、 f。 好，这个条件一输出，就是我们非常常见的正方形当中的十字模型就出来了，对吧？那他这两个十字的线段分别相等的话，输就一定说明这个 a、 d、 e 这个三角形和这个 d、 c、 f 这两三角形输，就可以通过 h、 l 这两直角三角形就全等了。好，然后又告诉你一个条件，就是说 d、 c 是等于三倍的 d、 e 的，然后让我们求这个 o、 n 比上一个 a、 d 的一个比值是多少。 好，首先，那我既然有这么一个三倍的关系，对吧？那我们就直接我们可不可以就是设这个正方形的边长等于三， 所以 d、 e 数等于一，那这个 c、 e 等于二。那刚才我说了 a、 e、 e 和这个 d、 c、 f 这两直角三角形全等，所以这个 c、 f 数等于 d 也等于 e 啊， 那所以这个 b、 f 是不是也就是等于二？那他现在要求这个 o、 n 比上 a、 d 的一个比值，那 a、 d 是已经我们把它设出来等于三了，所以是不是做主要审核妙，去求这个 o、 n 的一个长度呀？那我发现 o、 n 他在这个直角三角形 don 当中，对吧？因为正方形的两条这个对角线肯定是互相垂直平分的，所以那如果说我们能够找到某一个三角形能和这个 don 去举行相似，他们有一定的比例关系的话，是不是可以求出 on？ 但是我们发现找了一圈哈，你发现好像找不到这么一个直角三角形，那么我们就得转变一下思路，对吧？那既然现成的没有，那我们可以给他构造一个别的出来，对吧？那构造一个包含有欧文这条线段的三角形，那怎么去构造呢？那我们就发现欧文这个线段的一个端点是不是这个欧啊？那欧是什么欧？是不是这个 b d 的这个对角线的一个终点？所以我们可以过这个点 o， 我们去做一条平行线， 做一条平行线之平行于这个 b c 啊，假设和这个 d f 交于点 g， 所以既然 o g 是平行于 b c 的话，你既然 o 是终点，所以是说明这个 o g 这条线段是这个三角形 b d f 的中位线啊？那它 o g 是不是就应该等于 b f 的一半，所以 o g 是不是就也等于 一了？那你这个时候我把这个一标出来，你就会发现上下这两个三角形是不是就全等来？因为你 og 是平行 与 cef 的呀，平行起来相等的，对不对？你再加上这些内错角，你不愁有角对应的角相等，对吧？你？所以你不管是通过角边角还是角角边，一定能够得到上下这两个三角形是全等的，那上下两个三角形全等说明什么？是不是说明这个点 n 是不就是这个 o c 的终点啊？对吧？点 n 是自然是 o c 的终点，那我们 o c 不停好球吗？ o c 是这个正方形对角线的一半，正方形的边长是三，所以 a c 是不是应该等于三倍的根号二，对吧？所以 o c 是不是再除上一个二啊？然后他除上一个二，你这个 n 是终点，是不？ 你再除以一个二啊？相当于是分母上乘以一个二，所以我们是不是可以得到 o n 其实就等于四分之三倍的根号二，所以那他让求 o n 比上 a d， 我们是不是在 比上 ad 的话，其实就是在整体除以一个三，所以是不是就是我们的这个 a 选项啊？啊？这个其实就是我们说 求这种线段的比值哈，其实这道题的关键就是求 on 这条线段，求 on 这条线段的话，我们说通常你要把它放到相似三角形当中去，我们就先去观察有没有现成的 三角形哈，和我们某一个已知的三角形有一些相似比线段比例的有关系，如果说没有，那我们就去构造，那怎么样去构造呢？我们通通常常见的方法其实就是通过构造平行线而形成新的相似三角形，只不过正 题他更特殊哈，他刚好形成的是两个全等的三角形，所以我们其实相对起求出这道题好，这道题还有没有别的办法呢？其实也是有的，对不对？那还是回到我们求欧文这条线段上来说，那既然欧文我们发现，对吧？我们没有线上的三角形可以直接用相似去求的话，那我们再转换一下，对吧？ 如果说我们求出了 c n， 对吧？求出了 c n， 那是不是相当于其实也就求出了欧文啊？那 c n 怎么求？那我们发现 n 点是不是这个对角线上那个点？我们说这个对角线上的点，我们通常的也是比较常规的处理方法，我们可以怎么样去往这个正方向的两边做垂线啊？ 那这个时候我们可以怎么样过这个点门？我们去往这做一条水线啊？假设这个垂足为 h， 然后同理也往这个 c d 这个边上我们也做一条水线，假设垂足为 i， 垂足为 i， 哈，那所以这个 c e， h， n i 这个四边形是不是就是一个正方形啊？它已经是个正方形，那假设我们把它的边长这个正方形的边上设为 x， 哇，那这些数通通都是 x， 那所以 f h 是不是就是应该等于一减去一个 x 啊？那上边这个 di 是不是应该等于边长三减去一个 x？ 那我们发现什么呢？ 发现这两上下这两三角形，他俩是相似的，对不对？因为他俩平行吗？这个角和这个角一定是一组同位角，所以上下这个 dni， 这个大的直角三角形 和下边这个 n， f h 这个小的直角三角形，他俩是相似的，那既然有相似，是不是就有对应变成比例？那对应变成比例呢？是不是？ f h 比上一个 n 拍 是不是应该等于 n？ 还去比上一个 d i 呀？对吧？那我们就写一下它们的一个比例关系，就是一减 x， 比上一个 x 是不是应该等于 x？ 比上一个三减去 x 的好，这个我们直接交叉商城，它我们就解出来的话，过程就省略了。我们解出来的话，那这个 x 它是等于四分之三的， 那 x 等于四分之三，这是个正方形的对角线啊， c n 对不对？它的边长是四分之三，所以 c n 是不是应该等于 四分之三倍的根号二，对吧？那刚才我们说了，整个这个总的长度是不是应该等于多少呢？是不等于三，除上一个根号二，等于二分之三倍的根号 号二。那我们减去这一段，那不就是剩下的欧文这根吗？你检查你会发现他还是等于这么多四分之三倍的根号二，那最后的结果还是我们这个 a 选项 啊。所以这道题使用就是用两种方法。第一种，其实虽然哈，虽然我们得到的是一种全全等三角形，但实际上我们的这个思路其实是奔着构造相似三角形去的。 然后我们第二个种的这个方法好，他就是用这个相似三角形，只不过我们没有直接去求 on， 而是先去求 cn 来转化，进一步得到 on 的两种方法都可以，你学会了吗？

重庆一中二十六届酒上期末几何大题。

我们来看这道题的二三两问主题干三角形 abc 是 一个等腰值，然后来看第二问的条件角 b a d 是 一百二十度， a d 等于 ab， 所以 说我们可以得到两个底角都是三十度。 现在我们还知道什么呢？ a f 是 等于 b e 的 这两段相等，再结合直角边 a c 和 bc 相等，直角对应直角，这里会有一个现成的全等，先给大家图出来 判定，就是我们的斜边和直角边，再加直角一个 h l， 先把第一个关键的全等写出来，三角形 a c f 全等于三角形 b c e 好， h l 好， 让我们咱们继续读题，他说此时 h 是 d e 的 中点，将 h g 这样顺时针旋转六十度得到 h i， 所以 现在它俩 也是相等的啊，加角是六十度，然后该连的连接一下，他要我们猜测线段 b f c e 还有 e i 的 一个数量关系，那这道题在猜关系这一步就已经设置了障碍，不是那么常规，不太容易猜出来。那这个时候咱们就可以先去看看有没有 其他的条件，可以让我们帮助我们把这个结论猜出来，那就是我们刚刚说的这一对全等。全等之后，我们可以把这一个 c e 这一段转化到 c f， 那 这样一来它和 b f 就 共线了。我们看看 b f 减去 c e 就是 b f 减去 c f， 剩下的就是 bc， 而这个 bc 又可以转化为 a c， 那 a c 和这个 ei 还是没有明显的关系，可以去正。我们继续再减一个 c e 不 就可以了吗？我们这个 a c 再减一个 ce， 是 不是我们的 a e？ 那这个时候 a e 和 ei 是 不是在同一个三角形中了？而且通过几何直观猜测，它是一个含有三十度、六十度、九十度的，也就是我们常说的三六九，那它们的关系就出来了， 这里是根号三份，这里是两份，是不是可以出现一个比例关系？所以通过分析咱们就猜出了他们的一个数量关系。我们干脆先给大家画一个三六九转化一下，因为这个系数不是那么常见啊， 这里是三十度的话，一比根号三比二，我们要的是长直角边和斜边的一个关系，所以咱们这里转化一下长直角边 转化为斜边，它应该乘以一个什么系数呢？就是先除一个根号三，再乘以二，所以这边咱们化简一下，就是三分之 二倍的根号三，所以说咱们就可以写这个关系了。 a e， 它是由 b f 减去两个 c e 得来的，它应该等于三分之二倍根号三，长直角边，也就是 e i， 你看这个关系是不是确实不太好猜啊？咱们先把关系搞定。当然这里我们猜出来之后，我们顺着刚刚的思路，其实要证明的就是矩阵三角形 e i a 为三六九，是不是这样的？而证明三六九的方法，我们最常见的就是去给大家分析思路哈，我们要证明一个三六九， 题干中通常会告诉我们有一个终点， 那咱们就可以先把这个图形要么先补成一个等边正到等边之后，三线合一出三六九，或者你这样去背长 正到，这是一个一百二的等腰结合三线合一也可以出三六九，这是我们最常见的一些思路啊，现在我们明白了这一个之后，我们来看看其他的条件怎么来用。 这道题，我们第一个全等完了之后，还要继续倒角哈，我们说一说，第一个全等完了之后，这两个蓝色角是不是应该相等，而这两个蓝色角所在的这个八字，我们是可以推出，这里也是一个直角的， 根据 abd 是 一个等腰， ag 是 高线，所以根据三线合一也可以推出点， g 是 一个终点， 那这个时候 h g 是 一个共线型的中点，那这种双中点问题，我们要去设边导边，这是一个经典的，也是有难度的一个知识点啊。双中点导边，我给大家写一下哈，贡献型， 咱们这个时候要去设边导边， 好，现在我就开始去设了啊，我设这里为小 a， 那 么对应的 g， e 就是 小 b， 由于 g 是 中点啊， h 是 中点哈，那么 h e 是 a 加 b d， h 也应该是 a 加 b， 又由于点 g 是 b d 的 中点，我们这里的 d g 是 二 a 加一个 b， 所以右边 b g 是 不是也为二 a 加 b， 那 这里是 b， 下面这个 b e 就 应该是二 a。 好， 这是我们这道题的第二个难点，我们需要判 断出来，它是一个共线型双中点，于是咱们就去设边导边导出了一个 b， e 是 二 a， 那 么这两个 h g 和 h i 都是 a， 它们满足一个二倍关系， 那这里出现了二倍，我们的点 h 又是中点，最容易想到的就是去倍长或者中位线， 那这道题倍长和中位线都能做，但是中位线更简单，我们这个时候只需要让 i 点也成为一个中点，那正如我们的思路嘛，这个图形我们要证三六九，先去补行对不对？我们现在让 i 成为中点，于是我们可以去 倍长一下 e i， 大 致到这个地方到我们的 m 点，此时我们的 i 点成为了中点，我们再去连接一下 a m， 就是 我们刚刚的思路， 要正三六九，我们就可以去正 e a m 是 一个一百二的等腰，然后就出来了。好，这里我们继续倍长了 e i， 我 们这里结合两个中点，是不是有一条中位线，所以这个时候我们的 e i 是 a 的 话，就得到 dm 是 二 a， 所以 dm 此时就等于 b e， 又因为 ab 等于 ad， 你 看看咱们要正这个等腰，其实可以锁定第二对全等三角形了，给大家涂一下 这一个。还有这边的一个，如果咱们能够正到它是全等的，首先这个等腰没问题了，再因为 d a b 是 个一百二的角，我们可以通过简单的导角也可以得到 m a， e 是 一百二十度。 那现在我们看看条件，首先二 a 等于二 a 圈红色等于红色，这边的夹角是三十度，如果咱们把这一个角也导出来是三十度，是不是就搞定了呀？怎么导呢？很简单， 我们中位线的平行是不是没有用？这个六十度咱们还没用呢，通过同位角相等，这个角整体是不是六十度？六十减去这一个三十是不是可以得到它是三十度，那咱们的全等就正出来了啊？ 第三个三角形 m a d 全等于三角形 e a b 边角边好，然后我们就能够推出 m a e 是 一百二的等腰，从而三线合一， e a i 好， 三角形 i e a 为三六九。好，所以咱们就能得到这样一个数量关系，然后就挣出来了。好，这是这道题最优的最简单的一个挣法，当然它的方法特别多哈，可以挣个五六七八种都可以的。好，第二问，讲到这里， 我们继续来看第三问，告诉我们 a、 c 和 bc 的 长度是五倍，根号二 p、 q 分 别为线段 a、 b、 bc 上的动点，且满足这样一个比例关系。那为了直观的体现，我们就设 a p 为 a， 这边就是根号二 a 图中标一下， 点 e 是 a c 的 中点，所以点 e 呢？我们知道是一个定点 连接 e p p q， 当 e p 加 p q 取得最小的时候，那咱们看看，先研究 e p 加 p q 什么时候最小。 有同学可能会说，一定两动，咱们这里做对称再拉直就可以了，但是你要注意，我们还要满足这样一个比例关系，所以这里我们用将军一马的思路来做是行不通的。 那么对于这种关系，咱们怎么去处理呢？哈，这里就要说到一个知识点，但这个知识点不是几句话能够说清楚的哈，咱们就简单说一下，这里是一个考虑我们的顺比或者顺等，或者逆比逆等的一个问题哈，咱们先 解释一下什么是顺，什么是逆，就是这个 a p， 你 看它如果变得越来越长，应该是往右边的一个趋势，这个 b q、 c q 也是一样，它也是往这边的一个趋势。两个点的运动方向大致是一样哈，都是往右方走，那么我们就称为顺， 那如果说方向相反，我们就称为力啊，如果说这个关系是一比一，就叫做顺比，顺等或者逆等，如果关系不是一比一，我们就称为叫顺比或者逆比，那这道题方向一致就是一个顺，那么比例不是一比一，我们就是顺比， 所以这道题呢，是一个顺笔线问题。那么遇到这一类问题，我们如果说不是求这两个动点的连线的最小值问题的话，就需要去做一个 找旋转中心的动作，就是要去找到一个隐藏的定点，去转化这里的 p q， 那 么找这个隐藏定点，我给大家总结的方法是什么呢？看看这两个动点所在 直线的夹角，那这道题就是四十五度，如果说是顺比，那咱们就在动点连线的这个同侧，这个四十五度在下方，对不对？我们在 p q 的 下方也去做一个四十五度， 并且呢这个四十五度的两边之笔满足一笔根号二。那这个时候我们就大致给大家画一下啊，在 p q 下方做一个四十五度角， 好，这边是四十五度，标上字母 m， 满足这里是 b， 这里是根号二 b。 那我们根据前面讲这个刮斗线圈，刮斗的时候说过，如果说有一个角是四十五度，两边之比是一比根号二，我们是可以推断三角形 m p q 是 一个等腰值的啊，是很好正，我们就不去正了， 那这个时候这个 m 点其实就是我们要找的一个定点，怎么来说明呢？首先咱们这里需要去连接 am 还有 cm， 我 们要先去正一对相似，我先图出来哈，不然说起来比较空洞啊， 这一个三角形和上面这一个 好，这两个三角形怎么去正是相似的呢？首先我们已经找到两组边是不是都是一比，根号二 a， 根号二 ab， 根号二 b， 那 它们的夹角如果咱们能够正到是一样的，是不是就可以正出相似了？ 那这里的话，咱们做一个简单的倒角，两个四十五度，是不是可以锁定一个八字啊？就是 m p b q m， 那 既然八字有了的话，咱们就可以得到对应的这一个圈圈角和这一个圈圈角是不是相等的？那它们相等的话，它们的补角正好是我们这一个相似的加角， 所以说咱们这里可以正到 a m p 和 c m q 是 相似的，那么相似有一个公共顶点，就是一个典型的旋转型相似，旋转相似我们必然会产生第二组相似，也就是我们总结了一个叫一转成双， 只要有旋转相似，必然是一对相似同时出现，那这里的相似就应该是 m p q 和 m a c。 同样，我们通过第一组相似可以得到这个比值哈，我们就可以正出这个相似，我就不去细讲了，同学们下去 正一下，非常好正。那既然相似，我们刚刚说了 m p q 是 一个等腰值，相似之后， m a c 是 不是同样是一个等腰值？又知道 ac 是 一个定边，所以说此时的 m 点一定是一个定点， 它其实就是 c 点。关于 ab 的 对称点嘛，对不对？好，咱们这里就解释清楚了， m 点是一个定点，还是稍微写一下，不然大家可能听蒙了哈，我们作 角 p m n q 等于四十五度，且对应的哈 m n q 等于根号二倍的 pm， 那 这个时候咱们就能够推出首先第一个三角形 p q m 为一个等值 四十五度的加角哈，一比根号二，可以判断一个等值。然后第二个我们可以得到三角形 a m p 相似于三角形 c m q， 然后根据我们说的逆转成双，同学们去证一下 a m c 和 p m q 这个相似，很好证啊，我们进一步推出三角形 a m c 相似于三角形 p m q， 所以 说它们都是等腰值。进一步推出 m 为定点， 这就是我们刚刚说的 m， 那 一个是那一个隐藏的定点，也就是我们这一个旋转中心。那这样一来 m 是 定点了， 我们又知道 p q m 是 一个等腰值。现在是不是可以把 p q 转化到 pm 来？那么现在 ep 加 p q 变成了 ep 加 pm， 两定一动拉直是不是就可以了？所以咱们这里 我们就可以得到 p e 加上 p q， 它就等于 p e 加上 pm 是 大于等于 em 的。 所以这个时候咱们只需要去连接一下 e m， 就 能确定此时点 p 的 位置。再根据提议，我们连一下嘛，连接 cp， 再根据提议把这个 a c p 沿着 a c 翻折到 a c p 一 撇啊，大致在这个位置。 好，这是我们的一个新图形哈，新图形，现在他们继续哈，他说 bc 以 b c 为斜边向右构造 rt 三角形 b c t， 所以 这里是直角嘛，又知道 b c 是 定长，典型的定弦定角，我们可以确定点 t 的 一个轨迹，大家画出来 好，画出一个大致的位置就可以了。好，它就说连接 p 一 撇 t， 当 p 一 撇 t 取对大的时候，写出一个面积，那这里就是一个典型的点圆最值了， 点圆最值一箭穿心，这个圆心我们标一个 n 点，那么对应的连接 p 一 撇 n 并延长远端，这一个焦点就是此时点 t 的 位置，它要求的是 c p 一 撇 t 的 面积，我们就连一下 ct， 所以最终咱们要求的面积给大家图出来。好，就是图中的红色这一个图形的面积了。 这一个我们通常可以不用直接去算，我们先去算出三角形 c p 撇 n 它的一个面积， 然后再利用我们的目标三角形和它的面积之比，就等于 p 一 撇 t 比上 p 一 撇 n 来进行一个求解就可以了。我们先写核心思路哈， s 三角形 c p 一 撇 t， 它是等于 p 一 撇 t 比上这边的 p 一 撇 n 这么多倍的 s 三角形 p 一 撇 c n， 所以 咱们这里要解决 p 一 撇 c n 的 面积，还要去解决 p 一 撇 n 的 一个长度，那这里的话我们就从数据开始去计算了啊。 这道题给了 a c 和 b， c 是 五倍，根号二，那这个时候注意了一点，是一个中点，我们刚刚说了这里的 a m 是 等于 a c 的， 所以说这里我们有到找到一个角，它的正切值就是二分之一。 我们结合一二三四五的思路哈，它的方法，这里是 r 法，我们这边连接 cp 之后，这个角也一定是 r 法，然后我们旁边这个翻折之后也是 r 法。再来 a c m 是 四十五度，所以说这个角就应该是 beta， 我 们写一写一二三四五哈贪间特 r 法是二分之一， 碳监特贝塔是三分之一，它们的核是四十五度，那么这是最基础的一二三四五的条件哈，它们的用法是之二推一。 这道题我们知道的是贪间的阿尔法是二分之一，他们的和是四十五度，所以可以得到贝塔的正切是三分之一。那这一个的话我们就写一写了哈， a c 是 五倍根号二，那这一段就应该是五，下面这一段就是三分之五， 所以说我们的 cp， 也就是 cp 一 撇就是它再乘以一个根号十，三分之五倍根号十，算出 cp 一 撇的长度。我们刚刚说了，我们想算这个 p 一 撇 n， 我 们就可以去做垂线，把它放在 rt 三角形中， 于是我们可以去做一个 bc 边上的一个垂线， 好，这边交于点 k， 那 我们就简单的倒角嘛，这里是 r 法，旁边这个角是不是也是 r 法？所以说 c p 一 撇 k， 三边之比满足一比二比根号五。斜边知道，我们就可以把 c k 算出来是 这一个，然后我们的 p 一 撇 k 就是 三分之十倍的根号二，半径的 c n 就是二分之五倍根号二，我们是不是把 n k 算出来，这两个相加通分就可以了哈，这里我就不算了哟，所以这里的话，我们是可以在 r t 三角形 k n p 一 撇 中，我们把这一个 p 一 撇 n 算出来， p 一 撇 n， 哈，我们算出来就应该是六分之五倍的 根号八十二，虽然数据感觉很大，其实它是满足一个特殊比例哈，四比五比，根号四十一，用比例来算就可以了，那这个时候我们所需要的全部数据都有了，我们来带数据， 那我们这里来 p 一 撇 t， 那 就可以得到是我们的这一段哈，五分五倍，根号八十二，比上一个六，加上半径二分之五倍根号二。 好，然后比上一个 p 一 撇 n， 再比一个六分之五倍根号八十二，那这就是我们这一个比值乘以 这一个三角形的面积，底边 c 一 撇 n， c n 知道高也知道，那就是二分之一乘以 二分之五倍根号二，再乘以这个高三分之十倍根号二。好，同学们自己去化简计算就可以了。好，最后的答案给大家写一下哈，三分之二十五加上四十一，分之二十五倍， 根号四十一啊，这就是比较符合重庆特色的这个答案。好，整个题的话我们来总结一下， 考到了一个顺笔线，找旋转中心 m 的 一个知识点，找到之后我们就能够转化这个线段和求到最小值的 p 的 位置，然后去翻折，这边有一个定弦定角的引圆，再是一箭穿心 计算的时候，我们用到了一二三四五模型，它在我们几何第三问真的很好用。好，然后我们就用了一个常规的通用思路，求这个面积，我们通常可以不用直接去算它的底和高，我们利用目标三角形和这边的 p 一 撇 c n， 它们的面积之比，就等于这边的 p 一 撇 t 比上 p 一 撇 n， 我 们去求相应的长度就可以了。好，这道题我们就讲到这里。

这道题来自于八十中学九上的期末考试题目，也是今年一月份刚刚考的题目。说了角 a、 b、 c 等于九十度， 比如说这是一个直角，然后说角 c 等于三十度， 角 c 等于三十度，那么角 b、 a、 c 是 不是自然而然就等于六十度？角 b、 a、 c 就 等于六十度。 点 e 在 c、 b 延长线上， f 在 a、 e 上连接 d， f 即是中点。说到中点，我们就想到很容易想到被长中线， 或者说我们想到中位线，这是我们经常用到的。 然后呢说，嗯， a、 e 等于 ad 等于 cd， a， e 等于 ad 等于 cd， 那 因此 ad 等于 cd， 那 这这个角就是三十度， 那自然而然 a 大 一，这这就是六十度。又因为 ad 等于 a 一， 那这这个角是不是也是六十度啊？也是六十度？ 好，那所以说我们是不是就可以得到三角形？ a 大 于为等边三角形， 是不是它是一个等边三角形？好，再来它说 e、 h、 a 加 g， a、 d 等于六十度。这里角 e、 h、 a 这个角加 g， a、 d 等于六十度。加角 g、 a、 d 等于六十度。又是 一个不相干的角，加上 g、 a、 d 等于六十度。而在我们 g、 a、 d 加上这这个角也是为六十度，也是这个角 g、 a、 d 其实加上它这个零边的这个角，加角 e、 a、 g 也等于六十度，也等于六十度。 所以说我们就可以填平这一个，我们就可以得到退出一个条件，角 e、 h、 a 就 等于角 e、 h、 a 就 等于角 e、 a、 g 这个角和这这个角相等，这是在这里的。然后它又让我们求 h g 和 a g 的 关系，数量关系， h、 g 和 a g 从我们直观看过来啊，这是六十六十度，我很有可能来猜 啊， h g 的 长度是 a g 的 根号三倍， a g 的 根号三倍，或者说，并且我也能够知道 h g 应该跟这个 a g 应该存在这个位置关系，是垂直。 那我们来看，是不是这样一回事情 啊？是不是这样一回事情啊？我们来看一下，这里，你看，嗯，还有角相等，又是这个，因为这个 a d 是 六十度，角 e h a 加上角 h a e 是 等于六十度的，是等于六十度，这个角加这个角是六十度，而我们的这个角 e h a 加上 加上这个 g a d 是 等于六十度，加上角 g a d 是 等于六十度，所以说这个 h a e 也会等于 g a d h a e， 所以 说角 h a e 等于角 g a d 这是凭借这儿这个六十度，我们推出了两个角才相等啊，一个是 e h a h a 等于 g a d， 还有一个是 h a e h a e 等于这个 e a g h 等于 g a d， 好， 嗯，这里是一个中点，我们中点时候经常用到的一种，是被长动线，所以我们可以对 g 延长 a g， 比如说我们至点 q， 那我们可以连接 q d 连接 q d， 那 我们第一个全等是不是就产生了？所以说三角形，一个简单形的 f a g 就 全等于三角形 g d q g d q， 好，我们这里延长，要说明一个条件才可以，就是延长延长， a g 使 a g 等于 g q 使 a g 等于 g q， 当然我们要连接啊， q d 连接 q d， 这样就是他们边角边全等，全等了之后，我们就会得到一些条件，那是不是这里的，嗯， e a g e a g 是 不是就可以等于 e a g 就 可以等于这个 a q d e g 等于 q d， 而 e g 是 等于 e h a 的， 所以说我们就可以得到角 e h a 等于角 a q d。 好， 你看 观察，有一个角在相等，哦，有一个角在相等，还有，我们刚刚证过了啊，在这里的角 h a e h a e h a e 是 等于这里的角 g a d 的 这个角是和这个角是相等的，然后 a e 又是跟 a d 是 相等的， a e 又是跟 a d 是 相等的， 那是不是自然而然有一组全等诞生了，就是三角线 h e a 就 全等于三角线 a d q， 那 是不是就是边那角角边是不就全等了？ 好，全等了之后，嗯，那全等了之后，那我们这一个，嗯，全等了之后，是不是 a h 就 等于 a q 是 不是 a q 就 等于 a q？ 并且，哦，你看嘛，这个 h a e 等于 g a d 等于 g a d， 而这一个，而这个 e a g 加 d a g a d 是 六十度 e a g 加 g a d 是 六十度，那是不是 e a g 加这个 e a h 就是 e a g 加上这个角 e a h， 它也会等于六十度啊，也会等于六十度啊，也会等于六十度。因为这个啊，因为这个 g a d， 它是等于这个 g a d 是 等于 e a h 的，是等于 e h 又等于六十度，那所以说就等于这一个角 h a q， 所以 说就等于叫 h a q， 这个 h a q 是 不是等于六十度？你看这个 h a q 是 等于六十度，而 h 又等于 a q， 那 所以说三角形 h a q 是 等边三角形，等边三角形， 等边三角形，那等边三角形积累又是一个 a q 的 中点，那所以说 a 等边三角形，三角形，所以 h g 要垂直于 a g， 好， 那这个高将会是，这是六十度，那这这个角就是三十度，那自然而然 h g 就 等于 a g 的 根号三倍，就证明了 这个题在考察了我们一个倍长中线和一个角的转化问题。

从秦以来，二十六盖九下一针几何大题。

好，同学们，今天呢，我们来分享一个二零二五年重庆一中的一个考题啊，你看题目告诉你，若 x 等于一是关于 x 的 方程，这边这个方程的解要求后面这个算式，这个代数式的值。 那么这里的话，那你看一下啊，告诉你这个这个 x 等于一是方程的解，那我是不是就可以把它带到方程里面去？那带到方程里面去，我们来算一算啊，那 a 平方乘以一的平方，是不是就是 a 平方？ 那 a 平方啊，这里带进去减二， a 减一就等于零，就相当于说我们得到了这样一个关于 a 的 算式，那这里呢，你需不需要把 a 求出来了？我们一般来说不需要啊，因为你求出来了，它跟你再带进去算的话，会让这道题计算变得麻烦。那我们遇到这种，你看这种涉及到有高次的，那我们想办法呢，就是要把它降 次啊，把次数降低下来，那我们就要根据这个已知条件，我们把这个移过来啊，就得到 a 平方，就等于二 a 加一，就说我们把这个次数，根据这个式子把它次数降下来。那你看我们要求的二 a 的 三次方减七， a 的 平方加四 a， 那 我们就可以，他就相当于是二 a 再乘以的 a 平方啊， a 平方再减七，乘以 a 平方加四 a， 那我们把 a 平方用二 a 加一带进去啊，就是二 a 加一啊，乘以二 a， 好， 这里再减去七倍，二 a 加一，加上我们的四 a， 那 我们去算一算啊，好，二 a 乘二 a 就 等于四 a 方，好，再加上二 a 乘以一是二 a， 好， 这里减 十四，二七十四 a 再减七，再加上我们的四 a， 那 你看一下这里，我们把同类项合并一下，这里二 a 加四 a 六 a 六 a 减十，四 a 是 负八 a 就是 说四 a 平方减八， a 再减七。 好，那有的同学说，那我这里呢就可以得到答案了，为什么？你看把四提出去啊，它就等于 a 平方减去，二 a 减七，因为这里你看 a 平方减二， a 把负一移过来，是不是刚好就等于一，那我们就把它带进去啊？就四乘以一减七 啊，四减七就等于负三啊，所以说我们算出来它的值就是负三。那有人会说，那我算到这里还可以怎么算？你还可以把这个 a 平方等于二 a 加一，直接带进去，继续降次啊，继续降次，你算出来结果同样等于负三，就是说我们看你觉得怎么样计算好算啊，比较方便。那我们就用什么方法去算。

今天咱们来聊一个所有重庆初二学生都头疼的问题，就是怎么攻破几何压轴题。升到初二之后，大家明显的感觉到几何压轴题的难度陡然提升，要么看着题目毫无思路，要么想法脑袋也划不出关键的辅助线， 总觉得这类题全靠运气，根本没办法刻意练习。在死磕这类题之前，咱们必须扳正一个误区， 数学考试，尤其是几何压轴，考察的核心是知识熟练度，根本不是临场的小聪明，绝大多数同学都把这点给搞反了。考试从来不是让你考场上从零摸索，一步步硬推辅助线和答案， 而是把平时熟练的知识快速调用，高效解题。在这里，林老师给大家把几何逻辑给拆解透。一道几何题往往藏着五层逻辑推理，想要拿到满分，只需要完成最后一层的临场推导就可以。 也就是说，前四层的知识点、模型、结论都要变成你刻在脑子里的储备，不用现场去思考，不用慢慢推演，张口就来，提笔就会。但大部分学生的问题恰恰出现在这， 拿到题就从第一层的基础知识点开始，现场推导，磨磨蹭蹭的推到第四层，考试时间已经耗掉了大半，心态也崩了， 根本没有精力去推最后一步的关键步骤，自然做不出压轴题来。这就是大家觉得几何压轴题难，没法练的核心原因，关键是在于平时没有做好模型的储备，把压轴题当成无迹可循的难题， 考场上只能寸步难行。接下来我用初二几何必考的绊脚模型，也就是正方形等腰直角、三角形的绊脚举例拆解四层的能力，要求大家对照看一看，看看自己有没有攻克压轴题的硬实力。首先，第一层模型在记， 不需要翻课本看笔记，能不能独立画出标准的绊脚，比如正方形内的含四十五度的绊脚 等。腰直角三角形内含四十五度的瓣角，能精准地画出图形，才算迈过压轴级的七柱门槛，连模型都画不出来，那肯定就无从下手。第二层，辅助线的构造 你能不能快速的想到瓣角模型的核心辅助线的做法，比如截长补短，比如旋转法，能不能说清楚构造辅助线的原理，以及构造后哪些能形成全等关系， 哪些线段能形成等量关系。而这一步是解题的关键，也是拉开分数的核心能力。第三层能力结论推导 常规的绊脚模型有四到五个核心结论，比如线段和和差的关系，角的等量关系，三角形的全等推导等等。你能不能不看答案，把所有的核心结论完整说出来，如果连结论的数量都说不清楚，说明考场上还要从零去推导，时间绝对不够用。第四层， 灵活运用，你能不能看懂绊脚模型的变形考法，比如非标准图形的绊脚隐藏 结合动点最直的绊脚延伸，能不能快速的剥离题干干扰，找到核心模型的原题，这一步是冲刺高分，拉开差距的关键。好，最后给大家总结几何压轴题终极的突破方法， 那就是平时积累几何知识，千万不能浅尝则止，不管是模型结论还是辅助线的做法，都要学透、学牢、练熟， 搭建属于自己的结构化知识库。几何压轴题的本质考的就是知识调用和信息处理的能力，大脑里边得有充足的储备，才能快速拆解题目，找到突破口。 现在考试命题越来越灵活，原题照搬几乎不可能，但核心几何模型永远不会变，只有把基础模型练到条件反射的程度，前四层储备烂熟于心，考场上的推导 在最后一步才不会掉链子。但如果平时不积累，考场上从第一层开始硬推，再简单的压轴题你也做不出来。建议大家把初二常用的几何模型挨个理解透彻，从模型特征、辅助线构造、核心结论，到各类变性考法、易错陷阱，全都梳理清楚。 坚持这样做，你会发现几何压轴题根本就不是难题，反而成为你拉开分数、冲刺高分的杀手锏。