八下四边形求360度的四种画法

走进校园，我们身边处处是几何图形，教学楼的窗、操场的围栏，脚下的地砖都藏着多边形的身影。 这四个图形边数各不相同，有的三条边，有的四条边，有的六条边，却有着相似的构成逻辑。生活中还有更多这样的图形。左图这栋小房子，屋顶是三角形，门是矩形，都是我们熟悉的。这类图形 中间蜂巢的每个格子是正六边形，右侧的八角窗是八边形。它们形态各异，却和校园里的图形有着相同的构成特点，在生活中十分常见。 从校园到生活，这类图形随处可见。三角形、四边形、六边形、八边形都是我们今天要重点探讨的对象。 我们知道三角形的内角和是一百八十度，四边形的内角和是三百六十度，那么五边形、六边形的内角和又会是多少呢？我们能不能找到一个通用公式计算任意 n 边形的内角和 探讨这个问题，我们可以借助转化思想，就像计算四边形内角和时分割成三角形那样，同样的方法也能用于这类图形的内角和推导， 这个思路是否可行？转化思想能否帮助我们找到通用的内角和计算方法？带着这个疑问，我们正式进入今天的学习。

这道八年级网格做图题，百分之九十的学生不会做，他到底运用了哪些知识点？我们来看一下。 在下列由边长为一的小正方形组成的网格中，仅用无可度的 直尺完成。下列画图， bc 与网格线交于点 d， 点在 i c 上画点 e， 在 i c 上画点 e， 使 d， e 等于 c、 d。 我们这道题非常的有意思，那么首先我们来观察一下这幅图，同学们，通过观察这幅图，你能得到哪些信息？好？首先我们最 最容易发现的就是这道题当中 a、 b 是 等于 bc 的， 你发现了没有？ a、 b 是 等于 bc 的， 那么你有两种方法，一个是看它是四个小正方形对角线，这个 b、 c 也是四个小正方形的对角线，或者用计算的方法，这是一，这是四， 所以 ab 是 等于一的平方，加上四的平方等于根号十七， bc 也是是四则是一啊，是根号十七。所以我们说 ab 是 等于 bc 的， 这是第一步，那么这个 a、 c 你 看是三三。很显然 a、 c 是 和 a、 b、 b、 c 不 相等的。那么第二步，我们再看一看 它，让我们说 d、 e 等于 c、 d， 那 么 d 恰好是 bc 的 终点， d 恰好是 bc 的 中点，同学们发现了没有？为什么我们可以正这两个小圆圈等 我们知道 d 是 bc 的 中点，那就是 b， d 是 等于 c、 d 的， 那通过以下这两点，让我们找 d， e 等于 c， d， d 等于 c、 d， 那 就说 d， e 等于 c、 d， 它要等于二分之一的 bc， 也等于二分之一 ab。 同学们想啊，是不是 d， e 等于 c d， c、 d 是 bc 的 二分之一，而 bc 是 等于 c、 d 的 b、 c 是 等于 a、 b 的， 所以它们都等于二分之一 a b， 那 么 e 是 在 i c 上的， e 是 在 i c 上，所以他们想到了，没想到 e 应该是什么？是的，由此我们可以推断出 e 应该是 i c 的 中点，这样的话， d e 就是 中位线， 那么 d e 就 等于二分之一 ab， 也就等于二分之一 bc， 从而等于 cd。 所以这道题，这道题经过我们分析完之后，那么他找的这个 e 点是 i c 的 中点，也就是这道题网格作图，其实运用的是三角形的中位线。那么下面我们怎么找 i c 的 中点？对，他们看看。 往大的看，这是一个三乘三的正方形，往小的看，这是个小正方形，所以这中点非常容易找， 我们可以连接正方形的对角线， 这焦点就是 e 的 长度 就是二分之一 ab， 因为 d e 是 三角形 abc 的 中位线。那么这道题同学们，你听懂了没有？如果没有听懂的话，请你多听几遍。好，这道题就讲到这里，同学们再见。

大家好，分享一道好题，平行四边形的动点最值题。在矩形 abcd 中， ab 长为五， bc 长为六点， e 为 bc 上的一个定点，并且长为二。 f 在 为边上的一个动点，连接 ef， 以 ef 为边作等边三角形。 ef c e f g 点 g 在 平面内运动连接 c g， 求 c g 的 最值。 这题其实它的本质考的是瓜豆，但是呢，我们可以用八年级的方法来处理，通过构造全等进行转化。 怎么处理呢？首先它是一个等边的一个旋转，所以我们想到构造的是一个等边三角形，以 e c 为边构造等边三角形。 标个字母，假设点是 h， 大家发现 e f g 这个三角形和这个三角形为手拉手模型， 所以这个时候我们发现，如果我们连接 c g 的 时候，应该再连接谁呢？ 连接这个 f h， 这样一来就构成了手拉手全等模型。哪个三位全等呢？ g e c 三角形跟 f h e 全等三角形。 g e c 全等于三角形 f e h， 所以 c g 等于 f h。 所以要想求 c g 的 最小值，只要求 f h 最小值。由于 f 在 线段上跑，那么最小值应该是垂线段，最短是这个值，这是几呢？由于这个边长总共是六，这边是二， 这个边呢，它是这个边长呢？是总共是 bc 是 六。去掉二，这边还剩四，它是等边三角形，所以我们做垂线段的话，就把它平分，这边也是二，所以最小值为四。本题选 c。

嗯，今天做了一个初二的几何模型的一个教学啊，为下周的几何课做准备。嗯，我选了一个小模型，嗯，就叫做四边形连对角线啊，它不大，就是六道题啊，就是其实它的这个做法都很很相似， 这个模型好讲，就是方法，就一个连对角线啊，就是你遇见这是什么？呃，正方形，矩形、菱形啊， 拼四边形，你就别忘了连对角线啊，这有这么一招啊，你只有连上之后你才能体会到它的用处啊。你看第一题就是直接就是连了对角线，这种题型特别容易在选填里出啊。选填啊。第二题，第二题是容易出一道小的证明题啊， 放到大概二十 t 左右的位置是挺好。这题需要讲啊，这个是一个手拉手的模型啊。嗯，他其实也是也需要连对角线，但是这个这个其实放到对角线里也行啊，但这题我们初二上就是啊，考过这种这种结构的哈。 啊，这个是需要连倒着角，嗯，这个倒角这一块，其实，嗯，怎么说呢，就是当你猜测这个角是多少度的时候，然后你还没有什么别的办法来求出它，那么你就应该想到我要倒角试试啊，倒角是复杂，倒角绝对是拿眼睛瞅不出来的啊。 第四题啊第四题，一个 k 模型啊，连不连对角线也连了啊，这也是连了啊，他是连对角线加一个 k 模型。 第五题，嗯，这个是勾股定律啊，这个啊，这个也是连一个对角线稍微综合一点点啊。嗯，没有什么独特的地方没有什么独特地方。嗯，但是也需要讲一下。嗯，就这么六道题啊，然后第二个模型，我想讲手拉手 啊，这个手拉手可比我们八上的手拉手要复杂的多呀。啊？一个小模型，一个大模型啊，一节课两个模型。

江苏八下的娃看一下这个最值。问题看起来挺唬人的，但是如果你知道在坐标系内，平四他四个顶点的坐标关系， 那可以说呢，能把他秒了，那目前八下其中的压轴打卡呢？更新了十个题视频讲解呢，都在主页能看到，都选自去年的真题，如果选择填空的最后一个，有些小问题可以去练练手。那来吧，咱们来说一下平四的顶点坐标公式。先画个坐标系， 说这有个平四 a、 b、 c、 d， 它的四个顶点呢，我们都标上，那咱们就利用平四的性质，可以推出这四个顶点坐标的关系。 我们知道平四呢，它的对角线是互相平分的，这个焦点即为 o 点，那 o 点的坐标，咱就可以用终点坐标公式表示出来。比如 a、 c 的 终点， 那就是横坐标相加除以二，以及纵坐标相加除以二，这个东西怎么来的呢？你可以对比在七年级学过的竖轴上的中点坐标公式， 假设这是四，这是八，它的中点也就是八加四除以二，所以在坐标系里无非多了一个横纵轴。那接着如果从 b、 d 来看，也是表示它的中点 o 点，那就是 y b 加 y d 除以二， 而这两个都表示的 o 点，那说明他们的横坐标相等，那同乘二就没了，得到了一个 x a 加 x c 等于 x， b 加 x d， 所以 同理，纵坐标也是 y a 加 y c 等于 y b 加 y d， 这就是平四的顶点坐标公式。 那现在会了焚绝，我们来看看这个小题，说这平四的顶点 a、 c 呢？在直线， x 等于三和 x 等于九上 点 o 是 坐标原点。问对角线 o、 b 长的最小值，那这个条件翻译一下， a 点在 x 等于三上动，那不就说横坐标是三吗？纵坐标不知道， c 点也是一样，横坐标是九，那 o 点横坐标是零到，这是不是三个点的横坐标都有了？ 所以各位点 b 的 横坐标是多少？直接用这个公式吗？是不是九加三就等于零加这个点 b 的 横坐标， 所以就是十二，这意味着点 b 的 横坐标确定他就只在这条 x 等于十二的线上动，那 o 是 定点，点 b 在 动，所以最小值就是垂直的时候吗？那显然是十二。这一题就选第四个，你学会了吗？点赞收藏，练起来吧！

大家好，勾股术既神奇又美丽，它可以无限重复，充满了生命力。如图，所有的四边形都是正方形，正方形 a、 b、 c、 e 的 边长分别是三 十一和根号三十。要我们求正方形 d 的 面积，如何求呢？我们先了解 勾股数的模型，这里有四类基本的，一、正方形勾股数。二等边三角形勾股数。三等腰直角三角形勾股数。四、 半圆勾股数。这里他们有个共同的特征是最大的面积 s， 三等于 另外两个小的面积之合。如何利用基本的勾股数模型进行相关计算呢？我们采用三步法，第一，抽离模型。二，套用结论三、计算验证。如何抽离呢？大家看 图一，我们经过抽离之后就变成了图二、图三、图四这样三个基本的勾股数模型抽离出基本的勾股数模型之后，我们就可以套用。结论，在图二中， s、 f 等于 s a 加上 s b。 在 图三中， s、 e 等于 s f 加上 s g。 在 图四中， s、 g 等于 s、 c 加上 s、 d。 已知条件中， a、 b、 c、 e 的 边长分别是三、四、一和根号三十。所以我们得到 s、 f 等于三的平方，加上四的平方等于五的平方。 s、 e 等于五的平方，加上二十 g， 所以 s、 g 就 等于根号三十。括号的平方减去五的平方就等于五。二十 g 就 等于 一的平方，加上二十 d， 所以 二十 d 就 等于五，减去一等于四。 下面我们看具体的计算过程。三步法解题中，第一步是抽离模型，第二步是套用结论，第三步是计算验证。其中这里最关键的是抽离模型，我们把这个复杂的图形变成了三个简单的 勾股术。第二步套用结论。这三个简单的勾股术模型套用之后，就分别形成了这样三个式子。第三步， 计算验证。通过计算知道 s f 等于五的平方， s g 是 等于五， s d 就 等于五，减去一等于四。以上解答完毕。 三步法解题中处理模型是最关键的，因此我们必须熟悉常见的勾股术模型。这里有四类，正方形、等边三角形、等腰直角三角形扮演这四类勾股术模型，他们共同的结论是 最大的这个面积等于另外两块小面积之合。第二步，套用结论。这里就形成了三个式子。第三步，计算验证。在前面两步的基础上，我们就比较轻松的得到 sd， 它等于 s g 减去 sc， 最后得到我们想要的结果。以上方法您掌握了吗？欢迎在评论区留言讨论。

今天我们来分析下多边形的外角和计算方法。我们知道 n 边形，它的内角和是 n 减二乘一百八的， 那对于一个多边形，比如 n 边形，我们求外角和的话，那就是 n 边形，它有 n 个顶点，那它就每一个内角和每个外角组成一个平角的话，它有 n 个平角，就是 n 乘一百八，这是内外角的总和，然后减去它的内角和，是 n 减二乘一百八，那就是它的外角和了。这里我们发现不管是几边形，它这里都会出现 一个 n 乘一百八，最后抵消，最后得到一个三百六十度，所以 n 边形多边形的外角和都是三百六十度。

八下数学，咱们期中考和期末考的压轴题型也是几何里面的压轴平行四边形和特殊的平行四边形，这个模块最大的挑战表面上来看是他的压轴题型比较多，包括他的变换形式比较多，但实际上最本质的东西实际上还来自于这张图， 也就是从四边形到平行四边形，从平行四边形到特殊的菱形、矩形和正方形， 他的性质和判定，我们这个视频呢，带着大家一网搞定他所有的难点。你真正理解了这张图的底层逻辑，你会发现很多题目实际上是在于这张图的变形。 那么当然你听完这个视频之后，关于视变形和特殊的平行视变形，杨老师呢给大家做了一个系统的内部专题的分享， 那么一共呢二十大经典题型的汇总，家长朋友们呢，咱们也可以呢，那么在视频的最后呢给大家去分享，家长朋友们呢，咱们也可以领回去打印出来，带着孩子呢去举一反三系统练 啊。那这个图呢，我们重点来给大家梳理，从四边形到底是怎么样变成平行四边形，那从平行四边形变成菱形、矩形和正方形又需要哪些要素？ 那我们在思考这个问题的角度的时候呢，为了保证所有的我们全部都能考虑进来，我们考虑这三条，一个叫边，一个叫角，一个呢 叫对角线。实际上我们讲从四边形到平四边形，无非是边角对角线的问题，那么其他的也是一样，从边的角度上来进行入手，应该是两组对边，可以进行平行的，当然这两组对边呢，也可以进行分别相等， 那如果我们用一组对边的话呢，我们就要把这两个信息都给他加上，也就是有一组对边既平行又相等， 那这是我们从边的角度上来进行入手。那如果我们从角的角度上来进行入手呢？比如说他的两组对角分别是相等的也可以，但是这一点呢，大家注意哈，我们往往 是来进行证明的。那么第五条呢，关于两组对角啊，那么第五条关于菱角互补， 如果有两组菱角互补不一定，比如说角一和角二，角一和角三是可以的，这叫两组菱角互补，那么如果说出现了角一和角三，角二和角四，实际上这个时候呢，是不构成的，所以第五条和第四条呢，我们一般 需要单独来进行证明，你不能把它作为一个判定来直接去用。我们上面讲完了边和角，那么第六个我们来看一下对角线，对角线呢，我们讲的是互相平分啊，如果说对角线互相平分就可以构成了平行四边形，好，那么从平行四边形是怎么变成菱形的？同样呢，还是从边 角对角线的角度上来进行入手啊？那我们如果从边上来看，从平行四边形到菱形，菱形的四个边是相等的，那我们只需要呢出现菱边相等就可以了， 因为本来对边就相等，再加一个菱边相等就相等，那从角的角度上我们会发现呢，他没有特殊性，那从对角线的角度上来说，原来平行四边形呢，他的对角线是相互垂直的，所以这个里面呢，我们只需要再加上一个垂直就可以了 啊，那么从平行四边形到矩形，我们依然是从边角对角线上来说，但是大家会发现从边上来说呢，他没有特殊性，平行四边形变成矩形，他需要的是把其中一个角变成九十度，所以他更多的来说呢，从角的角度上来说，应该是出现一个角是九十度， 那边上没有角上有九十度，那对角线的角度上来说，对角线对于矩形而言是两条对角线啊相等的。首先它的前提是平行四边形啊，已经平分了，那么我们呢，再给他加上一个对角线是相等的。好，这是我们讲的边角对角线，那这里面还有一个从平行四边形直接到正方形，会出现什么情况？ 还是从边角对角线，从边的角度上来说，加上其中有一个角是九十度 啊，那么这两个要必须同时来用，也就是正方形是最特殊的，他要把边和角同时用上。那第二个呢，是从对角线的角度上来说，对角线的角度上来说，大家一定要拿出纸和笔啊，跟着我一块去思考。从对角线的角度上来说，他应该是加上原来已经有了平分了，再加上一个 相等，再加上一个垂直，要把菱形和矩形的一个垂直和一个相等全部都加上，才能变成正方形的结构。 那接下来如果从菱形变成正方形呢，依然是边角对角线的逻辑，那菱形变成正方形，其实边上已经没有 啊这个特殊性了。那从角的角度上来说，其实我们可以把菱形呢，其中有一个角九十度，它就可以变成正方形，那从对角线的角度上来说，那正方形它是最特殊的，它的对角线呢，是垂直平分且相等，那 这个菱形呢，是平分并且是垂直的，那么他还差一个相等，所以对角线只需要加一个相等，那接下来是从矩形到正方形，从边角对角上来说哈，那么从边的角度上来说，我们只需要让菱边相等，角上来说呢，他没有特殊性，那从对角线上来说呢，我们只需要补充上一个 垂直，对角线本身已经平分了，然后又相等了，然后再加上一个垂直的结构好，他就可以变成正方形。那这里面呢，还有几个比较特殊的变化，从四边形到矩形的变化，包括从四边形到正方形的变化，以及我们讲的从 四边形到菱形的变化，他是怎么直接到达的？如果从四边形到菱形上，我们可以加上一个叫四个边是相等的图形，他就是菱形，那从边的角度上达到了最大的特殊性，四个边都相等，那从角的角度上来说呢，我们发现单独的用角 是不行的哈，那从对角线的角度上来说，实际上我们可以加上一个对角线既平分，其实平分的时候，他就已经变成了平行，四边形平分，再加上一个呢， 对角线垂直，那就可以变成菱形，那同样呢，从四边形到矩形的逻辑上，我们从边上来说没有特殊性，但是从角的角度上来说呢，我们其实可以加上一个四个角都是九十度，实际上也就是三个角都是九十度， 因为剩下的那一个角呢，一定是九十度的。那么从对角线的逻辑上来讲，首先你要把这个四边形变成平四边形，所以你要加上一个， 首先是平分，那平分之后呢，矩形它是要要求对角线要相等的，所以要加上一个四边形的对角线平分并且相等的四边形，它就是属于叫矩形的。那我们直接一步到位，从 最一般的四边形到最特殊的正方形，那这里面呢，从边的角度上来说，我们没法直接加，从角的角度上来说呢，也没法直接加，一般来说我们是把边和角放在一块，比如说我们把边和角放在一块，可以说四个边都相等，四个角也相等的，那这个图形呢，是正方形 啊，或者说你说三个九十九十度也可以啊。那么还有一个呢，叫从对角线的角度上来说，应该把我们之前讲的所有的对角线的性质全部加上，对角线既平分又垂直又相等，那所有都加上，那以上这个图呢，我建议咱们所有的同学们呢，你自己在你的草稿纸上画一遍， 你把四边形的性质，平行四边形的性质，菱形、矩形、正方形的性质，自己独立梳理一遍，再把从四边形到平行四边形的判定，从平行四边形到菱形到矩形到正方形的判定，完全的自己搞定一遍， 你会发现这个流程你越来越熟练，你在做题的过程中呢，你会发现你在这些内容上呢，你是越来越熟练，你真正做压轴题的过程中呢，你的思路也是越来越多的。 那关于我们刚才给大家说的平行四边形，特殊的平行四边形这二十大经典题型的汇总呢？家长朋友们可以领回去带着孩子呢去举一反三，系统练！

八下数学最难的平行四边形，八大技巧全部练会，逆袭班级前三！八个平行四边形中求最值！技巧一，做对称点将军引马问题技巧二，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧五，旋转构造全等 技巧七，构造手拉手拳等技巧八，平移线段线段的拼接完整版分享！

几何辅助线做出来的就是三大核心问题没解决了，而且每一个核心问题都是思维上的陷阱。说我有一个什么问题呢？ a、 c 这个边长呢？等于 b， d 这个边长等于四， 这两边都知道得四啊。然后角 a 等于角， d 等于十五度啊，这两个小角我们就知道了，紧接着角 b 这个角等于幺零五度。紧接着问我们什么，问我们 ab 这个边等于多长？那我们先来解决一个学习习惯上的问题啊，做几何题所有的条件首先必须得 上图，不仅如此，而且大家还要知道第二个习惯就叫求边先求角啊，你是十五，你是幺零五，这个角就应该等于多少 三角形内和一百八呀，减去他俩加和一百二，是不是还剩六十？你得六十，对零角相等，这边也得六十，那这是十五，这个角也是幺零五。到此所有的角咱都求完了，但是 这个边能不能解？哎，解不了，是这道理吧，有的同学就卡在这了。所以三大核心问题中的第一个问题就出现了，叫什么不会分析？那毕老师教大家，这道题中的第一个问题就出现了，叫什么不会分析？那毕老师教大家，这道题咱哪不会 哦，你会发现啊，说我这块明明有一个红色的边长，他得四啊，然后我还有一个黄色的边长，他也得四，并且他们两个的夹角还是特殊的 六十度哦，但是你要求的这个怎么样？根本解不了，为什么？因为要求的这个跟这两个边还有这个夹角在一个三角形中吗？ 他不在一个完整的三角形处。那这个时候具体的困难是什么？就是我明明有很多条件，但这些条件并没有 集中在一起哦，所以条件不集中就是我们的 困难，条件不集中是咱们的困难，那么我要是能把条件集中呢？哎，这道题我是不是就能解决了？哦，这就是我们要找的帮手，也就是我们要找到这个特点，那条件到底怎么集中啊？他得跟这个特点有关。 各位请来看啊！说我这两个边长，他都得四假角还是特殊角？哎，毕老师就问大家，忘掉这个图，如果我给你任意的两边长相等，假角还是特殊的六十度，我这个三角形就得到了一个等边三角形。换句话说，条件集中好了啊， 我就有等边，现在条件没集中啊，我就没有这个等边，所以我怎么样应该把它条件集中，说白了，我应该挪一挪这个线的位置。哎，那紧接来想挪位置对吗？位置有位置的体系，因为你想挪位置一共就 三种方法。第一种方法啊，那就叫做平移，平移的好处是保护好夹角，平移之前多少度，平移之后还是多少度啊？第二个就叫做对称啊。第三个就叫做 旋转。但是显然咱们这道题，如果我这红线关于黄线对称过去，各位，我这么画一下，他也没在一个三角形里吧。哦，那就是旋转呗，如果旋转呢？哎，稍微转一点，我这六十度就怎么样就变了吧。所以大家平移、对称、旋转三大变换，咱用哪一个 是咱们这题最合适的？哎，为了保护好这个假角，六路咱最好用的就是平移。所以这道题做完了，各位说，一个红一个黄，两边明明相当假角六十，但是 没在一个三角形中，那我就指定一条边，比如说，指定这个红线干嘛？ 平移啊？我把它平移到这来，那两直线平行，同位角相等，我这角是不是也得六十？毕，老师说清楚了吧？并且平移，我这个四边形就是个什么四边形啊？ 啊，就是个平四啊，那既然是平四，你这个边长得四，我这个边长也等于四吧。好，再来， 你这边长已经等于四了，我这个黄线也得四，假角还是六十，两边相等，假角六十，我只要把它连上，那么我这个黄色的三角形就是一个什么三角形。 等边三角形吧，作为等边三角形，你得四，我得四，第三边是不是也得四啊？哦，那再来 作为平四，我这个角得一百零五，你这个角得多少？一零五吧啊？黄色是等边，小角是六十，大的幺零五，减去小的六十，还剩四十五，这角就是 四十五度，再来，这个大角是不是也得幺零五来的啊？黄色这角是不是也得六十？所以剩这边这个角同样等于四十五，你得四十五，我得四十五，那么这个三角形就是一个什么三角形 哦，等腰直角三角形，这个时候斜边等于四，斜边直角边呢？根号二倍，所以它就是四除以根号二。哎，二倍，根号二，不就咱们的 ab 吗？就是我们的要求，这老师 讲清楚了吗？而且一旦这道题你讲清楚了，各位，我是把红线平移到这了，那我红线平移到这，能不能这边出平四，这边出等边呐？能吧？哦，不仅如此，我这个黄线我平移到这，能不能这块出平四，这块出等边呐？也能吧，同样道理，我把黄线 平移到这个位置，能不能他是平四，这边是等边呐？然后这块出一个等腰直是不是都可以啊？所以一道题真正会的同学，大家至少四种方法。所以如何让孩子开窍才是学数学最该追求的学习方向，贝老师说清楚了吗？

好朋友们，今天呢去讲一讲这个我们八年级下半学期的一个呃学习规划和一个学习方向吧，那我觉得这个也是比较重要的一点，那么跟大家去做一个这个分享， 因为呢大家知道你八年级下半学期呢，马上就会进入什么，马上就会进入九年级，那么九年级一上完就会进行我们的这个中考，对不对？那么八年级的这个目录大家其实仔细去看一下，我觉得来说是啊，对中考来说是特别重要的。 那么第一张是你的这个四边形，对吧？里面牵扯到这个多边形啊，平行四边形、矩形、正方形等等，那么这个 会放在哪里呢？对标中考的这个二十三题啊，为什么要在这里讲讲？因为有的学校他的进度是很快的，就说可能已经在刷这个九年级剩下的东西了，那么马上可能就会进行一个呃，这个一模，二模。那么我说一下这个四边形呢，其实对标的就是我们这个 啊，二模的，或者说中考的这个二十三题，大家如果说你是提前学的，或者说你已经具备了这个知识储备的能力，开始做这个呃中考的卷子的话，大家可以去看一下二十三题啊，一般在二模的位置 按摩，或者这个中考中考卷的二十三题，通常来说会放在这个四边形里，那么需要你对这个四边形有一个很强的理解能力啊，那么也可能会出现在哪里呢？也可能会出现在呃十八题，二十五题， 那么二十五题呢？主要可能会是圆，对不对？加这个四边形，那不一定是四边形啊，通常概率也可能是三角形，对不对？但是有概率会出现圆和四边形，十八题呢？可能会出现这个四边形的翻折 或者说旋转，对吧？我没说一定考，但是会有概率会出现，所以说需要你去对这个四边形这个章节，对于说他们的一个定义和概念 啊，那么十八题、二十五题都会有，那么剩下的题目呢？其实可能就会在这个比较简单的一些填空和这个选择里会出现一点 啊。那么呃，对于这个章节，其实我觉得有些同，有些学校可能应该是已经快上完了啊，快上完了，那我们来去大致的去讲一讲如何去这个呃学四边形，包括说怎么样能够把它理解透。 那我先针对第一类同学来讲，他是呃无法把所有的四边形说的就是区分的非常明白的 啊，最简单可以去检验你到底有没有把里面的这个数字定义都搞明白的，大家就去找去找这个呃概念题。那么首先我觉得你最起码要把这个概念题做对，那么也就是说，比如说我打个比方， 平行四边形对不对？是不是对角线互相平分的四边形叫平行四边形，对吧？比如说 a 选项是这句话，那是对的， b 选项，那再说对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？ 对不对？所以你对于听到这句话的概念，你有没有一个明确的一个判断和认识，对吧？所以说概念题，那么概念题呢？其实对标道有可能会出现在中考 或者说按摩的这个第六题，所以大家可以看一下四边形的一个这个分量还是比较重的，还是比较重的啊？第六题，第六题呢？这个其实就是选择题。好，那么我们就来去看一看。首先四边形的顾名思义， 四条边组成了一个图形，对不对啊？那么可以是一个矩形，也可以是平行四边形，也可以是什么菱形，也可以是正方形，那么当然还有可能是什么呢？还有可能是梯形，对不对？所以说其实它是有非常多的这个呃组合的。那我们 我来教大家怎么样去记，是很简单，大家其实就想你去把它想象成这个升级一样 啊，那么你看，为什么说二十三点一是多边形呢？对不对？因为多边形他是，呃，除了四边形，还有五边形、六边形、七边形、八边形，对不对？这个我就不多说了，那么第一集我们会出现的视角平行四边形， 那么平行四边形其实大家非常好理解，那么是不是两组对边互相平行的四边形？好，那么这句话呢？是不是两组对边互相平行的四边形啊？ 对不对？好，那么呃，为什么会有对角线互相平分这句话也成立呢？其实很简单，因为它是个平行四边形，那么首先你把对角线是不是一连对角线去一连？ 好，因为这是个平行四边形，对不对？所以你会发现点角跟点角是不是相等的？这边叉角跟叉角是不是也会相等的？ 好，如果你对角线互相平分的话，其实我们可以倒推，比如说这是个 a、 b、 c、 d， 焦点是个 o 点，那么所以是不是 a、 o 是 等于这个 o c、 o d 等于 o b， 然后你发现对顶角角 a o c 等于角 d o c d o c， 角 d o c 等于你的角 a o b， 这时候你就会发现这是三角形 a o b 全等于三角形 d o c， 对 不对？所以其实你就会得到这个结论，所以你就会得到 a b 平行于 c d， 同理你也能得到 a d 平行于 b c， 这就是我们说的平行四边形，它为什么还有个推论是对角线互相 平分的四边形是平行四边形。好，我打这个冒号。那么其实还有一个推是跟第一个结论比较相相似的，是不是一组对边平行且相等是不是一样的？也是通过全等可以证， 那么具体我就不知道了，但是这三句话其实就可以证明出来，你这个四边形是个平行四边形。八八八。好，那么现在就是这样的一个情况，我们就知道了平行四边形的一个由来，那么对角线互相平分这句话，其实你可以通过连接对角线证明全等对不对？然后我们就说平行四边形进化， 进化成了啥？进化成了矩形对不对？矩形顾名思义就是我们的长方形吗？对吧？也就说四个角都是九十度了， 对不对？那么其实对你来说是不是四边形内角和三百六，所以你是不是三个内角为九十度的四边形，是不是就是矩形，对不对？那么其实你看在平行四边形的基础上，我们一直说矩形是不是他的进化， 对吧？好，那么矩形是它的进化，实际上你只需要做到一件事情，是不是有一个内角为九十度的平行四边形啊？大家想一想，是不是这个道理，有一个内角为九十度的平行四边形，哎，道理很简单呀， 因为这个平四边形的话，是不是同方内角互补，所以九十加九十是不是一百八？所以都是九十度，对不对？好，那我们从对角线来看，如果我们把这个矩形的对角线互相连接，哎，首先因为它是平行四边形的基础上，所以依然是互相平分的，是不是依然是互相平分的？ 那么第二点我们又可以看到，哎，在这个里面，这条边和这条边是不是相等的？也就是说 a、 b、 c、 d、 a、 d 是 和 b、 c 要相等的，对不对？对吧？ c、 d 等于 d， c 是 公共边，是不是角 a？ 这个，呃，我们看一下我们的这个角 a、 d、 c 是 不是应该等于角 b、 c、 d 的？ 所以说，其实你的三角形 a、 d、 c 是 全等于三角形 b、 c、 d 的， 所以说，其实你的 a、 c 是 等于 b、 d 的， 对不对？所以我们就由此又可以得到一句话，是不是一组邻边相等的，你就说邻边， 这不是说对角线相等的互相平分且相等的四边形是矩形啊， 对吧？万变不离其宗，其实你通过自己的证明就可以，对吧？那么进化就变成了矩形，好，我们再看你的矩形再次进化 变成了什么呢？我们说的正方形，哎，正方形其实跟矩形是不是就很简单了，是不是一组邻边？也就说邻边 相等的矩形是不是正方形？好？邻边相等的矩形是正方形，对不对？因为它只要满足，比如说 a、 b 等于 b、 c， 是 不是就是从矩形能够证明变成了正方形啊？ 对吧？而且我们从对角线可以看出，在基于前面的结论上， a o 是 不是等于 o c 的？ 又因为矩形的对角线是不是相等，所以说你看 o、 d 是 不等于 o b 的， 对吧？因为我们的正方形是矩形的进化板，所以我依然能够是不做到 a、 c 等于 b、 d 的， 对吧？依然是可以做到 a、 c 等于 b、 d 的， 所以我才能够得到下面的 a o 等于 o c 啊， o d 等于 o b 了。那么因为这个 a c 呢？等于 b d， 所以呢，我就发现，哎， a、 o 是 不是等于 o d 等于 o c 等于 o b， 对 不对？ 那么也就是说，因为这里是九十度，那么 b o 等于 o c， 所以 说，其实是不是对角线互相平分且干嘛 垂直？是不是对角线互相平分且垂直，对吧？好，那么最后一个我们就说到我们的这个啊， 正方形再次进化，变成了菱形啊，菱形这个板块其实我们怎么去记呢？首先非常简单，它是特殊的什么特殊的正方形啊，对不对？ 那么他是四边相等，但是他没有做到什么，是不是没有做到内角是九十度，所以是不是很简单四边相等四边形啊， 对吧？可以是菱形，因为特殊的这个正方形也是特殊的一种菱形嘛，对吧？好，那么还有什么呢？我们从对角线可以观察出，因为四边相等， 对角线互相平分，所以你会发现，你看各位 a、 b、 c、 d 中是不是 a 这个 b o 等于 o d， a b 又等于 a d， 所以 是不是三线合一，其实是 a c 垂直于 b、 d， 对 不对？所以是不是对角线垂直的平行四边形啊？ 是零。好，那么到这里我们基本把所有的这个啊四边形的内容给大家去分析了一遍， 那么也是结合到具体的题目，我们会有这个不一样的做法，但我想跟大家说的是，呃，四边形的内容非常重要，大家一定要在这个阶段去把握好，而且这个阶段其实学校会提高速度把这个东西全部上完，还可能会赶这个九年级的一个进度， 所以我希望大家能够对四边形有一个清楚的认识啊，清楚的一个这个对于这个题目的一个掌握情况。那如果本期视频对你有帮助的话，大家记得点赞、关注、收藏和转发哦，我们下期再见。

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平行四边形中动点问题，那么当你看到动点的时候，就会想到动点都具有六要素，首先是起点，然后是终点，会伴随着方向。比如说我们画一个 a 和 b 两个点，有一个动点从 a 到 b 去运动， 那么它的起点就是 a 点，它的终点就是 b 点，那么它的方向是由 a 到 b 或者是向右。 只要你运动必然伴随着时间、速度和路程，他们三个之间满足一个关系式，路程等于速度乘以时间，那么这个公式就是表示动点运动线段长的基本方法。 比如说我要表示动点 p 离开它的起点 a 的 一个路程，那么表示的就是 p， a 的 线段长度，它是需要用速度去乘以时间，我们假设速度是二的情况下，时间为 t， 那 么它就是二 t。 那 么第二步呢？我们需要根据平行射线的存在性去建立等量关系。什么是存在性？就是它的判定定律， 那么要判定一个四边形是个平行四边形，并且我们要注意，要建立等量关系是与线段相关的等量关系， 那么它的判定力里面含有线段的。第一个是两组对边分别相等，它是可以判定它是个平行四边形， 比如说 ab 是 等于 cd， 然后是 ad 是 等于 bc， 那 么它有可能建立等量关系，那么也可以利用一组对边平行起相等来建立等量关系。比如说 ab 是 平行于 cd， 然后呢， ab 呢还等于 cd， 同样还有对角线互相平分，也是与线段相关的，那么它就满足了。此时 o a 是 等于 o c， o b 呢是等于 o d。 在这三个判定定律里面，最常用的就是一组对边平行且相等，其中会告诉你它具有一组是具有平行关系，然后呢，利用它们两个相等去建立等量关系，那么建立方程之后呢，我们需要解方程去求出相关的梯值。我们来看一下相关的例题。 在四边形 a， b， c， d 之中， a、 d 呢是平行于 bc， 并且 bc 是 垂直于 cd， a， d 呢是等于六， bc 呢是等于十，这个 m 呢，是一个定点满足 b m， 它是等于四的 点， e 呢，从 a 点出发，以 v 等于一的速度向点 d 运动， 那么一点是从 a 作为起点向终点 d 运动，方向就是向右，它的速度呢，微等于一，当你看到速度就会伴随着时间，所以呢，设时间为 t 的 情况下，那么第一步是要表示动点的运动长度， 那就是速度乘以时间等于一点离开 a 的 一个基本的路程，所以要表示 a e 的 话，就是速度乘以时间就是 e t， 然后呢，点 f 是 从 b 点出发， b 作为起点， c 呢作为终点方向，由 b 到 c， 它的速度是 v， 是 等于二的，所以呢，速度乘以时间。那么说 b f， 它是等于二 t 的， 那这一段就是二 t， 这是一 t， 当其中一个点到达终点的时候，另一个点也随之停止运动。这里面我们需要求出一点，从 a 到 d， 它的最大时间是多少， 是不是用路程除以它的速度？路程是六，速度是一，所以最大的时间是六，那么这个一点来说，它的时间 t 是 小于等于六的。 那么对于 f 来说，当他走到 c 点的时候，他的时间是用路程十去除，他的速度是二是等于五的，所以他的时间 t 是 小于等于五， 那么两者相互结合，当其中一个点停止运动，另外一个点也会停止运动，所以可以确定 t 是 要保证小于五。因为当你的 f 到 c 的 时候，那么此时 e 点没有到 d 点，但是也会停止运动， 这个 t 呢，主要是对时间进行限制。当 t 为多少的时候，以 a， m， e， f。 我 们要注意这四个点，首先是两个定点，两个动点， a 点和 m 点是两个定点， e 点和 f 点是两个动点，两定两动。 这里面还要注意它是有一个顿号隔开，那么这种情况说明并不确定哪两个点之间是相邻的，所以呢，这里面必然伴随着分裂讨论。当你看到顿号隔开的情况下，我们一定要注意它是存在分裂讨论的可能性。 那既然不确定谁相邻于谁，为什么出现分列讨论呢？因为此时你可以发现， a 和 e 虽然是在 a d 上面， f m 在 bc 上面，但这个 f 有 可能处在 m 的 左侧，也可能处在 m 的 右侧， 那这个时候所创造的四边形有可能是 a， f， m， e， 这是个平行四边形，也可能是谁呢？ a m， f e 这样来做，所以就要伴随着这样的分类讨论。 要判定它是一个平行四边形，首先满足 a e 和 f m 上下两个边，它是一个互相平行的关系， 那么只有满足当你在相等的时候，用一组对边平行几相等，可以保证它是个平行四边形。所以呢，当 a e 是 等于 f m 的 时候， 那么此时可以保证这个四边形它是一个平行四边形。 然后我们去分类讨论，这个 f 点有可能在 m 的 左侧，也可能在右侧。所以第一种情况，当 f 点在 m 的 左侧的时候， 那么这个时候我只需要保证 f m 等于 a e 一 组对边平行几相等，就可以保证你是一个平行四边形， 那么就可以建立等量关系。此时 a e 是 等于 f m 的， 那么 a e 的 话是等于 t 的 f m 等于多少呢？是用四去减去 b f 的 二 t， 也就是四减去二 t， 所以呢，两者建立等量关系，求出 t 是 等于三分之四，这是第一种情况。 那么第二种情况，当 f 点处在 m 的 右侧的时候，比如说 f 这个位置，我连接 e f， 它也可能满足 a m f e 它是个平行四边形，此时我也只需要满足 a e 等于 f m 即可， 那么这个时候我需要表示出这个 f m， 我 们知道 b f 长度是速度乘以时间是二 t 的 二 t 减去这个四的差就是对应的 f m， 那 么此时的 f m 它是等于 二 t 减去四。然后呢，去建立等量关系，就是 a e 的 话是等于 t， f m 是 二 t 减四，所以求出 t 是 等于四的， 那么这个四呢，也是满足小于等于五的，所以呢，两种情况都是满足 t 一 的，那综合一二 t 是 由三分之四或者是四， 那么这个答案就是三分之四或者是四秒的时候，那么可以保证以它们四个点为定点的四边形是一个平行四边形。 这里面我们再来回顾一下它的基本方法。第一步的话就是围绕动点的绿腰素，首先用速度乘以时间来表示动点所运动线段长度， 比如说此时里面的对应 a、 e， 还有我们的 b、 f 都需要表示出来。第二步是运用平行四边的存在性，这里面我们考察一组对边平行且相等， 首先题中给的平行，利用这个相等去建立方程，然后呢解这个相关的方程，求出相关的 t 值，这就是基本的三步法。

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