九年级武汉中考数学二次函数压轴题

百分之九十九的中考生是不知道中考数学最后一道压轴题是有解析公式的，今天我们来继续分享二次函数解析的小妙招，我们的口诀就是定点有极 k 里，有合角里。而图 我们来看到，这是二零二四年武汉中考数学的最后一道压轴题，这个题目出的非常典型 给定的抛抛物线的一般式。然后要求的第一问是三个坐标轴的上的点坐标，那么步骤就是先进行因子分解， 可以很快地得出来， a 点，这里标记一个一 b， 这里面标记一个负 c， 这里标记一个负的二分之五。第一问啊，快速的过第二个 连接 a， c， b， c， 然后在第三线上面 p 点做 p， q 平行于 a， c 平行线，考点就是三线八角， 那这里面横线我们会从角度出发啊，加 y 等于 q 点，若 bc 平分这个线段，这里有平分线段，也就是中点。在题上最后要求的是 p 点的坐标，那我们解题思路第一个标记这个中点为 m， 那因为这个角度是确定的平行线，我们画出内测角相等。而看图说话，我们可以得到这个 c 塔， 它是等于多少的平行，它等于二比五的。所以说在这个里面我们就要求 p 点坐标的时候有一个小小的妙招，那我会令这个 p 点坐标横坐标为两倍的啊， 配合这里面二比三五以及这个系数为整数啊，我们带进去二 t， 带进去就可以得到重的标示为二 t 方，加上四 t 减去二分之五的。 那么这样的话，我们这里如果做一个垂线，令它为 n 点，很显然 q n 它是等于多少了呢？负五 t 的， 那么这样的话，我们就可以快速的把 q 点这个标表示出来， 用负五 t 加上这个中度标值，很显然就等于二 t 方减 t 减去二分之五了。 好，这样的话，我们看图说话，两点的中点可以得到 m 点的坐标，中点 m， 很 显然横坐标就为 t， 纵坐标等于上面加下面的一半，也就等于二梯方 加上二分之三梯减去二分之五的。最后这个 点赞齐上，那这里面我们可以用两种思路，但是我们更多的啊，可以把 b c 直线解式可以求出来，然后反带进去，那我们也可以快速的通过这个三角函数可以求出，因为这个角很喜欢看多说话， 它是等于一比二的，所以说我们可以啊来列一个式子，那这个也就是终点的相反数啊，终点的相反数，那也是多少呢？ 二分之五减去二梯方减去二分之三。 t 动作表是等于二分之一的长度，长度这里面横斜是等于 t， 然后加上五的， 那这样的话，我们进行等式归零一下，两边都有二分之五消掉了，那也就是说啊，我们用它减去它得到二 t 方，加上二 t， 它是等于零的，所以一眼可以看出这个 t 是 等于 不一的，这样的话，我们再直接带入到 p 点坐标啊，就可以求出来了。这是第二问，那第三问这个题目想要拿满分，重点还是在第三问上面，也就是说会涉及到我们说的口诀。 好，我们来看一下题 d 点与圆点，关于 c 点对称， c 这里面坐标我们仍然可以表示上去负的二分之五，所以说一点 g， 这个条件告诉了我们 d 点，就是 啊，零到负一点，坐标过远点的直线 e f 分 别交于两点，然后抛物线上面 g 点。好，又一个条件， e g f 等于九十度，最后要求的是直线斜四， 求直线解四，我们可以令这条直线解四啊， y 等于 k x 减五，那我们说的这叫过定点，定点，那么它们的极是一定的， 因为我们连立的时候啊，在写过程连立的时候，我们可以看一下，为什么这个啊，定点有极， x 平方加上二 x， 然后减去二分之五， 以这个 k x 减去五，我们连进去看一下，等式归零之后，这里面就会有二分之一 x 平方 加上二减 k， 然后 x， 然后是加上二分之五的。 通过我来定义，两根之积是等于 a 分 之 c， 所以 说这里面很显然啊，你懂这个，那么直接看图说话，这里面我们伙计班同学可以得到 e g， 快 速的啊， e g 可以 得到，是等于五的，所以说叫定点有集。 那么同样的道理，我们来看一下啊， f g 或者是 e f， 我 们看一下 e f， e f， 它依然经过 啊圆点，所以说 e f 也是一样。定点有极，那 e f 之间也是这里面横起来，它不改变 a 分 之 c 啊的比值，所以说这里面你很快的可以读出来，定点有极 e f， 它两极是等于负的， 那么这样的话，因为 e 这里面啊，它不为零，所以说由这个很快就可以得到 g 加上 f 二是零极点的也就是一点啊，这个点其实是为重点啊，这是能够为我们所用的条件，我们圈起来， 为什么呢？因为 k 里有和，最后其实要求的是 k， k 这里面啊是有和的。好，然后我们再从这个九十度出发，九十度出发啊，那我们通过三点函数值， 也就做一个三垂吧，因为 k 一 乘以 k 二等于负一不能用，但是我们可以用这个三点函数值来表示，比如这个角我们还是成为目标角啊， c， 它， 那么它是得多少的呢？我们说 k 呢，就是这个 k 值，它是等于 k 值，它的 k 呢有核，那很显然这个啊， f， g 啊，这里面为多少的？ 有核，这里面 k 值是等于二分之一的，我们说的啊，就是 f 加上 g， 然后再啊加上二的，这是一个 k 值，核为定值，所以说这里面其实就可以得到怎样的， 那么我们通过倒角就可以得到这个角度啊， k 值， k 值，它就等于负的，我们做做它以 c 的 分之一， 这样的话就可以很快得到，它是等于负的二分之一的，所以说直线减一次，我们就可以求出来的。那么这种题目如果你知道这个口诀，那么有些结论我们是可以快速得出来的，然后在打底塔上进行完善步骤就可以了。

临近中考九年级的你，如果这样的二次函数不会做，那么跟我一起来看一看。在已知这样的二次函数中，现在有三问这样的解答题，压轴，我们来一起做一做。 第一问，他说这个函数啊，经过了这个点，要求表达式，这就是很典型的直接将坐标带进去求值，那么我们算一下， 二带进去四， a 减去四 a， 再加 a 减一，等于纵坐标零，所以呢，这里消掉了，那么 a 就 等于一，这一来，那么 y 呢？带进去就是 x 方减去二 x。 好，然后我们来看第二位，第二位给出这样的一个 x 的 范围，然后给出限定条件，函数图像与 x 轴有且只有一个焦点在求 a 的 范围，那我们在第一问中发现了这里 a 可以 求出来，而第二问 a 是 一个范围，那你就要知道这里 第一位跟第二位是独立的，所以我们第二位要重新做。那么在这里呢，要教给大家一个技巧。我们在做二次函数的题目的时候，观察这样的式子，我们首先要考虑到它的对称轴， 而这个题目刚好很特殊，负二 a 分 之 b， 我 们一带入 a， 就是 这里的 a， 而 b 呢，是这里的负二 a， 那 么带进去 哎，我们发现它的对称轴就是 x 等于一，此时代入对称轴可以求到它的顶点，这里呢， a 减去二， a 再加 a， 再减一，之后就是负一，所以我们得到它的顶点是一负一，那这个时候我们就可以作图， 它的顶点在这里，这是一负一，那么这样的一个图像，它有 x 轴，而且只有一个焦点，那显然它的开口只能是朝上的，那么朝上的话，我们大概画个草图，应该就是这个样子。 这样一来，我们就可以知道 a 的 范围取在这两个边界点，一个是这个点，它呢需要在零以下，而这个横坐标为四的点需要在零以上，那这里我们就可以得到， 当 x 等于零带进去，这里就是 a 减一，它跟零进行比较，那这里就有一个要注意的点，能不能取等号，那这里如果它是刚好等于零，也就意味着这个函数在 x 等于零的时候，它是刚好为零，而这里呢，是一个开区间，也就是 在零到四的开局间，那这里我们就可以取等号，也就意味着在零的右侧，他是始终满足这里要小于他，那同时还要满足在 x 等于四的时候，他这个右侧 也就等于十六， a 减去八， a 再加 a 减一，它这个呢要大于零，这里就显然不能再等于零了。如果等于零，那就意味着在零到四这一整段 整个图像都在 x 轴的下方，那这样一来，上面呢，我们解出来 a 就是 小于等于一，而下面呢，就是九 a 减一大于零，那 a 就 要大于九分之一。 下面我们来看第三问。第三问，如果 a b 在 这个函数图像上，且满足 a 减 b 小 于一，最后的求 m 乘以 n 的 范围，那要求它的范围。我们得知道 m n 各自的范围是怎样的，那这里呢？ a b 的 坐标知道了，我们就知道它的 函数解析式，我们直接代入 m， n 带进去，对应的 m 方减去二 a， m 再加 a 再减一，就等于 a 减一，这里呢，左右一减一消掉，把 a 剩下这部分，把 a 提出来， m 方减去二 m， 它就等于零。我们知道， a 它作为二次函数的二次项系数，它不能为零，它只能是这部分为零，也就是 m 方减去二， m 呢，等于零或 m 等于二。 同样的道理，我们把这个 b 点坐标也带进去算一下，就有了 a 倍的 n 方 减去二连再加上 a 减一，它就等于 b。 到这里我们没有办法继续做了。但是这里还有一个已知条件， a 减 b 小 于一，我们把这里的 b 用这个式子替换掉，那就是 a 减去 a， n 方减去二， a n 加一减一，二小一自己去括号 a n 负 a 消掉，然后负负得正正一左右一消掉，就只剩下了负的 a n 方加上两个的 a n 到小于零。同样的，我们把这个提一下， a 提出来，这里呢，二 n 减去 n 方到小于零。好在这里我们知道，因为 a 它不能为零，但是正负不知道，这里就需要分类讨论。那第一种情况， 当 a 大 于零，当 a 大 于零的时候，那它为正，那这一部分就为负了，就是二 n 平方，它就要小于零。这个呢，用图像法很快能够判断出来，它是在这个零点两端，那就是 n 要小于零或 n 要大于二。 那知道这个时候，我们的 m 点也知道，就可以求出来， m 等于零时，那 m n 就 为零， 那 m 等于二的时候呢？那 m n 呢？它小于零或 m n 要大于四。同理。第二种情况，当 a 它要小于零的时候， 他们要小于零，那这一部分他小于零，那这一部分就是正数了，也就是反过来二 n 减去 n 方就要大于零，那这里呢，就是把 这个的区间反过来放到中间，也就是 n 要大于零小于二，同样的 m 等于零，那么 m n 呢？就等于零，那 m n 呢？ 这里就是大于零到小于四，那最后我们把这四个区间给它整合，这里是零，这里是小于零，也就是说 m n 可以 小于等于零，这里 m n 要大于四，而这里又是在零到四之间，又可以等于零，那最后可以总 整合出来 m n 呢？只要它不等于四即可。那么这样的题目你能否顺利做出来？

别再怕二次函数压轴题了，龚老师这套像诗一样的妙解三步法，帮你从九十加冲到一百一十加，三点标记法理清题干，找准突破口。善用轴平行，化繁为简，减少计算失误。 合击小马达加心诀，口诀定点有机， k 里有禾，脚里有土，压轴题也能轻松拿满分！中考数学想逆袭的同学，把这个视频收藏起来，考前翻一遍，多拿十分不是梦！关注龚老师，带你用最巧妙的方法搞定中考数学！

这是一道中考二函数压轴题，这道题考察含双动点的角动点问题，具有很强的综合性和计算量。我们先看看这道题它的一个基本条件，在直角坐标系当中，这个抛物线它的解释为， y 等于负 x 平方减二 x 加三 点 m 是 x 轴上 o a 线段上的一个动点，点 n 是 二象限抛物线上的一个动点，满足 m c 等于 o n， 并且角 c g， n， 它的正切值等于三分之四，让我们来求这个动点 m 它的一个坐标。 过审完题，我们应该知道这个题里面有两大核心的条件需要来进一个转化。第一个条件就是这里的线段 m c 等于 o n， 它是相等的，而且是两条动线段相等，那么这两条动线段相等如何来进一个转化，你需要去考虑。 那么第二个条件就是这里的摊肩腿角 c， g n， 它等于三分之四，也就是这两条相等的动态线段，它们形成了这个夹角，它的正确值等于四比三，我们如何来转化这里的四比三，来得到 m 点有关的一些等量关系。 那么以上这两个条件我们要来逐步的对它进行一个拆解和利用。首先就是这里的 m c 等于 o n 这两条动态线段它的相等，我们如何来进行一个转化呢？ 考虑到你既要把这两个动线段进行一个转化，而且后面的这个角 c， g， n， 它的正切值是三分四，看到这个正切值，我们肯定要和 垂直九十度产生个联系，对不对？你既要构造九十度来转化这个三角函数，而且又要把 m c 等于 o n 这两条动线段相等给它转化出来， 考虑到这两点，我们可以利用 m c 等于 o n 来构造一个等幺三角形，在等幺三角形当中来做垂直，就可以为后面的转化三角函数做铺垫。 所以这里可以怎么样的利用这个 m c 等于 o n 来转化一个等幺三角形呢？所以这里可以考虑将 o n 线段向左平移到 m 点这个位置来，平移过来之后，那么这里我可以标一个 h 点连接 c h， 对 不对？ 因为平移过来之后，这个 o n 它就等于 m h， 对 不对？所以说 o n 等于 m c， o n 又等于 m h， 所以 m h 和 m c 就是 相等的。 这里的三角形 m c h 就是 一个等腰三角形，它就是我们所需要的，并且通过这个平行，也就是平移，也就是平行，我们把这个角目标条件里面的这个角 c g n 给它转移到了这里的角 h m c h m c 又是在一个等腰三角形当中，它就非常的有力，就最后你再做一个垂直的话，在等腰三角形当中来转化这个三角函数，它就非常的有力，所这个方向的辅助线就是就是可行的。所以这里的我们的第一个辅助线，也就是来通过平移来得到这里的 m c 啊，它是等于这个 m h 的 构造一个等腰三角形，并且这个角啊， c g n， 它就等于这个角啊， c m h 也就是条件里面的贪婪的角 c g n 啊， 它就可以转化到啊，贪婪减退这个角 c m h， 把它的三角函数值一下子就转化到这个地方来了，等幺三点当中，那么等于幺三点当中，我们肯定要在这个 m 的 旁边来构造一个垂直九十度， 来使用这里的正确值，对不对？所以我们只需要考虑过 h 点向 m c 做一个垂线就可以了，要注意这里它不是三线合一， 对不对？因为这个 m c m h 它是两个腰长数，这里一定要看清楚，这里我们可以标一个 q 点啊，这里是垂直过来，这里是一个 q 点，对不对？那么你要来使用这里的 啊，摊尖头角 c m h， 它的正确值是四比三的话，对不对？也就是这里的 h q 比上 m q， 它是一个四比三，那么函数当中我们要来转化这个正确值，四比三的话，一般要来构造一个 k 次相四，对不对？说一线三垂直的相四，我们只需要过 q 点上下构造一个一线三垂直的 k 次相四啊，就可以了， 直接这样构造啊，过 q 点上下这样构造啊，这个是非常好理解的说，这里我们可以标一个点 e 啊，下面呢标一个 点 f， 这里是一个垂直，那么做到这一步，这里就有两个方向，我们要来进行一个拆解，第一个方向就是在啊 m c 这个线段上，这里有个 q 点，对不对？ m q 和 q c， 这里也就是三角形 o m c 当中有一个左右的一个 a 字形， 考虑到这里的 o c 它是等于啊， o c 它是等于三的，用 c 点来做的是零到三，对不对啊？所以这个地方我们要来考虑一下这个比例当中能不能够把这个 q f 算出来，它是可以算的，为什么呢？啊？因为我们刚刚说这个贪婪的假 c m h， 它的正确值是四比三，也就是 m h q， 比上 m q， 它是一个四比三，那么根据勾股定律，我们就可以算出来，这个 h m 它应该就占五份，对不对？也就是这里的 m q 啊，比上这里的 h m， 它应该就是三比五。 h m 又等于 mc， 所以 它就可以找到 m q 比上这里的 mc， 因为这里就充分利用等幺的性质，对不对？所以它算出来就是一个啊三比五。 这个三比五，我们直接在三角形 o m c 当中利用这个 a 字形，也利用 o o c 的 长度，它等于三，对不对？可以把这个 g f 算出来，它就可以直接找到啊，这个 o 啊 q f 啊，比上啊，这里的 o c o c 就是 三，你可以拿进来，那就等于三比五啊，这个就可以直接把这个 q f 算出来，它等于五分之九。 好， q f 这里我们已经算出来了，那接下来我们应该考虑啊，这个正切值啊，四比三，它的一个在上下的这个一线三垂直当中的一个作用，对不对 啊？由于我们刚刚上下构造了一个一线三垂直的相似，并且相似比就是一个四比三，我们把这个相似三角形先写下来，也就是啊，三角形，这里的 m q f m q f， 它是相似于三角形 q h e 的 小三角形和大三角形，它的相似比是一个三比四，所以这个相似就可以直接推出。这里的 q f 比上 h e， 那 就等于 m f， 比上 eq 等于三比四， 对不对？然后这里的 q f 它是五分之几，我们直接拿进来，可以把这个 h e 啊，顺势就可以把它算出来，这个 h e， 它算出来，这里呢就是五分之十二， 对不对？然后这里我们要来，最后要来找 m 的 坐标，应该从哪个地方来找一下等量关系呢？对不对？你要关注到这里的 m f， 它比上上面的这个 eq， 它是一个三比四，并且这个 m f 和 o f 在 我们刚刚第一次使用三角形 o o m c 当中的这个 a 字形，它应该可以看得出来，应该是 m f 比上 m o， 它是一个三比五， 对不对？所以我们这里都有一个 m f， 对 不对？我们可以把那个 m f 给它设出来，也就是我们可以设啊，这个 m f， 它是等于这个三 a 的， 对不对？根据啊，像三角形三比四，我们就可以直接得到这里的啊， 则上面的这个 eq， 它就等于这个四 a， 对 不对？并且这个 o f， m o， 它应该是一个五 a， 所以 o f， 它就应该是一个二 a， o f 也可以得到啊，它是一个二 a， 这里都可以把它给设出来，所以呢啊， m o， 它就等于这里的。呃， h n m o 为什么等于 h n？ 因为 m o 我 们一开始的时候是采用了一个平移的辅助线， o n 向左平移到 m h， 所以 m o n h 这四个这个四边形，它就是个平行四边形， m o 就 等于这里的 h n， 它就等于啊五 a 这些表示有什么作用？其实我们通过这些多个等量关系的表示，最终是为了表示出这个点 n 的 坐标，因为还有个关系，就是点 n， 它是在抛物线上，你如果用这个参数 a 表示出点 n 的 坐标的话，你就可以带入到它的抛物线这个关系式里面去求，从而求得这个参数 a 对 不对？ 所以通过啊这个关系，我们所有的表示完了之后，我们就可以直接写出这个点 n 它的一个横纵坐标对不对？ 所以这里的点也就是这里的啊 n 的 横坐标，我们用个 x 来表示， x n 的 横坐标应该看得出来，它就应该是这里的 h 一 线段加上 o f 线段，再来减去 h h n 线段，对不对？它的一个相反数，要注意这个 n n 点，它在那个负半轴， 它的横坐标在二线相的负半轴，所以这简单的用线段表上应该是这里的要写个相反数负的，然后就是 h 一 加上这里的 o f 线段，然后再减去一个 h n 线段，对不对？然后你把是刚刚表达的这个 a 的 代数式全部拿进来，就可以把这个直接表达出来，最终算出来是一个啊三 a 减去五分之 十二，这是点的横坐标，同样的方法你可以表达他的重坐标，重坐标其实就是 e f 这个线段啊，下面的 q f 线段它是五分之九啊， q f 加上上面的线段是 e q， 然后你直接拿进来就是五分之九啊，加上这里的四 a 啊， equal 是 一个 c 啊。然后 n 的 坐标我们花了这么大力气把它表示出来之后，我们只需要最后一步把它带入到抛物线里面去算就可以了。到所以说直接将啊啊点 n 啊带入啊抛物线中 啊，这里我就呃不计算了，确实这个计算量非常的大，而且呢那个算是有点不太正常，算出来是一个比较复杂的一个结果，这里算出来这个 a 呢，它应该是等于 四十五分之十一加上五倍根号七，要注意这个 a 它是表示的线段啊，所以要取正数，对不对？那个负的要把它舍掉啊，所以这里就可以直接啊推出这里的 m o， 它应该是一个五 a， 它拿进来就算出来就是九分之啊，十一加上五倍啊，根号七啊，即我们就可以写出 m 的 坐标，应该是负的九分之十一加上五倍根号七啊，到零 啊，所以这道题啊，结果就是这个样子的说这道题其实，呃除了函数本身，还考到了相当大的一个 几何知识的一个转化，对不对？像相似三角形，这里有两个，一个是 a， o， m， c 这个三角形当中的 a 字形的转化，第二个就是这里的 h、 q， m， 这个三角形上下构造了一个一线三垂直的啊，相似三角形 对不对？因为条件里面出现了一个正确值，正确值在函数当中呢，一般要构造啊一线三垂直来进行一个有效的一个转化，而且除了这个难点之外， 对不对？我们这个题的计算量也是很恐怖的，对不对？也是很大的说。这道题不管是从方法上还是从转化上面，还是从后面的一个计算量来看，其实对于目前的中考生来说啊，还是很大的困难的，有一点困难的，好，这个题我就分享到这里啊，方法就分享方法，就这样大家也可以参考参考好的。

中考数学最难的十五道压轴题全部练会，逆袭班级前三！中考数学二次函数十五道压轴题 题型一，存在性问题题型二，最值问题题型三，二次函数圆题型四，二次函数与相似三角形 提醒五，二次函数与锐角三角形提醒六，公共点问题 提醒七，最值问题，提醒八，取值范围问题提醒九，定值问题完整版分享！

数学拉分的王者待几综合题读题，这道题目给你一个抛物线解析式都给到你了，抛物线上有一个点， p 坐标也给你了。跟你说啊，有一条直线解析式是这个样子的，含 k 的 与抛物线产生的交点呢，是 ab 两点坐标不知道，但是呢，它们和 p 点形成的这个三角形面积是三十五，让你根据以上的信息去把 k 给求出来， 大家思考一下啊，这里的切入点肯定是我们的面积，面积怎么求呢？在一个平面坐标系当中，要么知道三点坐标用公式法或者直接割补， 要么就是我们的万能千锤法了。对这道题目来说， a、 b 两点的坐标我都不知道，所以很可能是往千锤法方向进行思考，再结合这里的未知数，只有一个 k 值，所以这道题的难度其实根本不算难啊。搞定这道题，再把村村帮你整理好的中考满分冲刺必刷题，刷一遍 这类代际综合题就再也不是事了。回到题目吧，我们刚刚分析了这道题目，详解面积很可能是从铅垂法入手的，那我们就来复习一下这里的铅垂法到底是怎么算面积的。 铅垂法精髓在于水平宽乘上铅垂高，对于这么一个三角形来说，水平宽选中 a、 b 两点，用它们的横坐标做叉，就是我的水平宽了。而这边呢，铅垂高其实就是要过屁点往这里铅垂的，或者叫竖直的做这么一条直线， 它与 a、 b 产生的这个焦点 q p、 q 的 长度其实就是铅垂钩。这道题目好做就好做，在 k 点的坐标是给到你的，那 q 点的坐标你能不能求呢？当然可以， q 点在我们的直线之上，所以我只需要把这里的横坐标 x 等于四带入直线，纵坐标直接就出了，来，尝试一下吧。将 x 等于四带入直线当中， 这样带有什么好处呢？因为我带的是一个四啊，所以这里四 k 减四， k k 直接消没了，得到一个具体的数字，也就是说， q 点的坐标相当于是给到 你的横为四来，纵为负三，那 p q 的 长度是不是也有了？所以这边得到 p q 为二减负三得五，在这个式子当中，面积我有， p q 我 也有，唯一不知道的是 x x a 减 x b 的 值，这个时候我得到三十五等于二分之一，它们俩的差乘上这里的五， 所以这个水平宽其实我也是知道的。那我怎么来利用 x a 减 x b 去求出这里的 k 值呢？永远不要忘记我的最终目的啊。就有的同学遇到这种题，就喜欢直接把 x 给求出来，能求吗？可以，这里 ab 两点的解析式，你有了对应的 抛物线解析式，你也有两个函数求焦点，怎么做呀？连立解方程，你的解嘛？所以我只需要把这里 k x 减四， k 减三， 让它和负的四分之一 x 方加六连力求解，解出来的 x 一个就是我 a 的 坐标，一个就是 b 的 坐标了。但说实话，这么解我个人是不想解的，这有个什么 k 呀，含着 k 去解方程，头都要秃了。所以这道题目我们可以怎么办呢？来，挪过来，先把这个方程我给简单的整理一下啊，注意，它是一个关于 s 的 方程，关于 s 的 方程我就按照 s 的 二次项，这边一次项也就是 k 位的 s， 还有不含 s 的 常数项，也就是它 以及把负六拉过来的它，综合一下，负的四 k 减九嘛，按照这样的三项去进行排列，那整个方程应该是非常规整的了。 而我想要知道的是解方程出来的两个根 x a 和 x b 分 别是多少吗？不是的，我只想知道它们的差是多少，它们的差我不好求它们的什么，很好求 和很好求，基也很好求。用什么来求？回答定理啊，回答定理告诉我，两根之合等于负的 a 分 之 b， 那 对这道题来说，那就是负的四 k， 两根之积呢，等于 a 分 之 c， 所以 这边带进来负的十六 k 减三十六，那我为什么要求它们呢？回到你的目标，你想要利用的是它来求出最后的减 a 减 b， 做的是叉。如果你对完全平方公式比较熟悉的话， x a 减 x b， x a 加 x b， x a 乘 x b， 还有最后一个元素， x a 方加 x b 方，这四个元素当中，任意知道两个都可以把其他两个给求出来，所以现在我相当于是知道了它们俩去求最后一个 它。你可以直接把这个式子平方，它与 x a 加 x b 的 平方之间是差四倍的 x a 乘 x b 的。 而这里所有的元素我通通都知道，左边是它的平方，也就是十四的平方 一百九十六，而右边呢，这边得到十六 k 方，这边负负得正，相当于加上四倍的十六 k 加三十六。 一个方程解一个未知数 k 还不好解吗？最后的答案就交给你们喽！这道题目其实难点在于千锤法与我们伟大定律的综合运用，如果你对任意一个定律都不够熟悉的话，想要解这道题你是非常非常难算的啊！在考试的过程当中，选用适当的方法去减轻我们计算量， 也是一种非常重要的考试能力，现在积累起来还不算太晚哦。重塑哪？加强青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！

大家好，我是老郭，我们继续讲解二次函数的解析式问题。此类问题我一共整理了二十道典型题，今天我们讲解第十二题，如图，平面直角坐标系点 b 的 坐标是负一到零，好，点 b， 我 可以标注一下负一到零， 好，然后呢， o a 等于 o c 等于四倍的 o b， 好， 那么这个 o a 呢？就是四倍的 o b， 那 么 a 点就是四到零好，这是 b， 然后点 c 呢？就是 零到负四，好，所以这样的话，我就把它们 a、 b、 c 都标注了一下啊，所以第一个问题解决了， a、 c 的 坐标就 ok 了。好，那我们再看第二个啊，求抛物线的解析式。 这个抛物线的解析式我前面的例题中讲了，非常透彻了啊，用三种形式选哪种？那这个呢？我们选的是焦点式， ok， 写成 y 等于 a 乘上 x 加一，乘上 x 减四。如果这个不知道怎么来的，一定听我前面的视频啊讲解，所以这我们把它写成焦点式，然后我可以把这零度负四代入啊，也就是负四等于 a 乘上一个 负四啊，所以这样的话，我得到 a 等于一啊， a 等于 a 等于一，有了这个，也就是 y 等于 x 加一，乘 x 减四啊，这就是它的解式就有了啊。这解式有了，当然可以把它展开变成一般式啊，那就变成了 y 等于 f 方 减三， x 减四，这就是它的解式。 ok， 好， 第二个问也解决了。那我们看第三个问啊，第三个问啊，点 p 呢？是直线 a、 c 下方的抛物线上一个动点 好，点击是它上面一个动点啊，然后呢？呃，做 b， d， b， d 垂直于 a， c， b， d 垂直于 a c 啊，然后呢？当 p d 值最大的时候，那么求 p d 坐标及 p d 的 最大值。好，那这个我直接求 p d， 好 像是不好求的，对吧？这种问题我们也有经验了啊，前面这题我们也说了，我们一定设 p d 点的坐标，对吧？ p d 是 在这抛物线上，我可以设 p d 坐标是 m， 那他就是什么呢？ m 方减三， m 减四，对吧？我把这 p 点坐标给它设出来啊， p 点坐标有了，现在我要求 p d， p d 是 不好求的，对吧？ p d 是 不好求， p d 不好求，怎么办呢？我用一种间接的方式来搞定啊，怎么间接呢？我可以做一个 平行，这个这条辅助线我们也做了好多回了啊，我可以做一个这个平行。呃， p h 好， 那么这个 h 点我可以求吗？ h 点的话，这个它是在 a c 上头，那我可以把 a c 的 这条直线的解式写出来， a c 的 解式应该是等于， 呃， y 等于 x 减四，这是 a c， 对 吧？那我这个 h 点其实我也可以写了， h 点呢？它和 p 点，因为我是 p h 平行于 y 轴，所以 h 点呢？我可以写成什么呢？ m 到 m 减四，对吧？ m 到 m 减四啊，好， m 到 m 减四。有了，那这样的话，我这个 ph 这个线段长就 ok 了，对吧？ ph 这个线段长就等于 ph 线段长就等于 h 减，也就 m 减四减去一个 n 方减三， m 减四啊，所以这时候我们得到 ph 啊，它应该等于负 m 方，然后加四 m， ok， 这是 ph 的 长度，对吧？它得到这个啊，它得到这个之后，我们再看看啊，那么现在我怎么样呢？我得到了这个 ph， 对 吧？我得到了这个 ph 啊， h 点是 这个，然后把它俩做一个叉， m 减四，然后它俩做叉，得到这个。好，那得到这个之后，我只得到 p h， 那 我怎么从 p h 求 p d 呢？ 我从 p h 求 p d 啊，那这是一个什么三角形呢？我们想想这个啊， ac 这个这条直线， ac 这条直线，它的斜率是一，那我其实可以得到啊，这个角是四十五度， 对吧？这角是四十五度啊，所以这是一个等腰直角三角形。那我 p h 有 了，这个 p d 不 也有了吗？ p d 等于 二分之根号二的 p h， 对 吧？所以我这个可以把它代入啊，所以 p d 就 等于二分之根号二，乘上一个负 m 方加四 m， 对吧？我得到这个东西啊，啊，那么这样后，这个就是它的一个 p d， 那 p d 的 话，我又可以把这个负号提出来，也就负二被根号二 n 方减四 m， 那这时候我要求他的对值，我当然是要配方，对吧？给他加个谁呢？加个四吧，我要给里边给加个四，那我外边呢？我们看看啊，给他加一个四，那我外边需要加上一个二倍根号二，所以这时候 p d 等于什么呢？ p d 等于负的二倍根号二， m 减二的平方加上一个二倍根号。 好，这时候我们可以看看他的最大值，对吧？他的最大值什么呢？因为这是负的，所以说这时候最大值就是 m 等于二的时候，他的最大值，他的最大值应该等于的是二倍根号二， 对吧？所以得到最大值是二倍等于二，而 m 等于二， m 等于二的话，我再把它代入啊， m 等于二，我就可以求这 p 点坐标，对吧？ m 等于二，把这 p 点坐标求出来，那就是代入啊，那就是二，然后呢，代入就是负六，所以 p 点坐标是二都负六。好，这道题 啊，这道题呢，他是一个二次函数啊，解析式，然后还有一个就是后边的一个动点的一个结合，对吧？那他的问题呢？首先前面的问题，解析式的问题，我们再再说一下三个表达式，这题我们选的是焦点式， 这块不清楚，一定要看前面的视频。然后下一个问题就是我这个 p 点，它是个动点，我一定用代数的方式解决这个 p 点，我把它设出来，然后我要求 p d 不好，求我怎么做这辅助线呢？做一个 p h 平行于 y 轴，把 h 点也表示出来， 这时候怎么样？这时候的 p h d 是 一个等腰直角三角形，那我 p h 有 了 p d， 我 就可以表达了， 所以这种问题是数形结合的问题啊，在图里边用代数的方式解决问题， p d 有 了，我求 p d 最小值，那得到什么呢？ m 等于这个，我把它做一个配方，得到 p d 的 表达式是这个，那这时候怎么样？ m 等于二，它有最小值，就是二倍根号二，然后再把 m 等于二，代入这个 p 点的坐标就得到 p 减，是二等负六。 很好的一道题啊，二次函数的问题，解析式的问题，动点的问题，最值的问题，结合到一块啊，非常综合的一道题，也是我们中考压轴题的一种类型 啊，希望大家认真总结啊。好，那么大家有什么问题都可以在我评论区留言，每天我会选择大家反应最多的问题，那第二天我就会进行专题讲解。啊，那这道题我们就讲到这，明天我们会继续讲解二次函数解析式的十三题，希望大家持续关注。

初三数学最难的十三道压轴题全部练会，稳进班级前三！中考数学二次函数十三道压轴题考点一，二次函数与线段成。考点二，二次函数与等线段 三，二次函数与位置关系四，二次函数与面积计算面积转化六、特殊角等角完整版领取！

你敢相信吗？一到二次函数竟然考察了整个初中百分之八十以上的几个考点？这道题呢，一共有六十问，那么分为了十个专题。第一个专题呢，考察了一个线段的问题。第二个专题，考察了一个将军驿马。第三个专题呢，考察了一个面积问题。 第四个专题呢，考察了特殊三角形存在性问题等。二、三角形的存在性问题。我们可以记住是两元、一线、直角三角形的存在性问题。两线、一元 等腰直角三角形的存在性问题，一般是勾到 k 字形全等。第七个，转体，特殊四边形的存在性问题。 第八个，转体相似三角形存在性问题。第九个，转体角度相关的问题。 第十个，转体平移折叠与旋转问题。你吃透了这道题，那二次函数基本上都已经不在话下。

大家好，我是老郭，我们再看一道二次函数解析式的问题，此类问题我一共整理了二十道典型题，今天我们讲解第十六题。好，为了响应广州市号召，这是一个实际的二次函数实际应用的问题。嗯， 不断美化环境，你在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边路墙利用墙的长啊，不超过十六米啊，这墙长十六米，标出来，另外三边是由三十六米长的栅栏围成的，设矩形 abcd 空 d 中垂直于墙的边， a， b 等于 x， a b 是 x， 那 么 c， d 也是 x 啊，那么栅栏一共是三十六米长，说明 b， c 是 三十六，减去二 x， 所有的边我都用 s 标注了一下。好，那现在这个面积是 y 啊，好，那我们看第一个问题，他说 y 与 x 之间的函数关系，那么这个 y 矩形的面积等于长乘宽，所以 y 等于三十六减二 x 乘上一个 x 就 ok 了啊，我当然可以给他画成一个。 一般是啊， y 等于负二 x， 方加三十六 x， 这时候我们就得到第一个问啊，好，那么这个自变量的取值范围，我们再看一看啊，这个自变量什么范围？这个自变量的 x 啊，那我这个 三十六减二 x， 它怎么样呢？它是不能大于十六的，所以它应该小于等于十六 啊，他应该是小于等于十六的啊，这是他，然后他还怎么样呢？三十六减二 x， 他 还得大于零，对吧？大于零，所以这样的话，我就列了一个不等式啊，这个不等式我就解一下。这不等式啊，那我就两边分别解一下。三十六减二 x 大 于零， 那么负二 x 大 于负三十六，那么 x 又怎么样？小于十八，第一个问题解决了啊，然后再看右边这个啊，三十六减二 x 小于等于十六，那么负二 x 小 于等于负二十，那么得到 x 大 于等于十，所以这样的话，我得到了这个 x 的 取值范围啊， x 大 于等于十，小于等于十八， 好，这样的话，这个 x 的 取值范围我们就确定了。 ok， 这个实际问题啊，它和我们之前做的问题呢，一个差别，就是之前我们做的问题都是一些 呃，跟实际不相不相关的，或者是他在雏形里的问题，所以说这个时候他是没有什么取值范围的，而这个问题啊，他是一个实际问题，所以说我们得考虑他的实际的一个情况啊，他是有边界的，比如三十六减二 s， 他 不能超过十六 啊，同样三十六减二 s， 它不能是一个负值，对吧？所以通过这两个，我可以求一下它的关系式啊，当然很重要的就是它的取值范围，我要求出来。好，那我们继续看啊，第二个问题，第二个问题，我要把它的面积 为一百六十，求 x 的 值。好，这个面积的表达式我已经有了，负二 x 方加三十六 x， 那 我让它等于一百六就可以了，也就负二 x 方加三十六 x 等于一百六十啊，这时候我形成了一个一元二次方程，对吧？我解这个方程，求 x 啊，那这时候我们看看啊， 负二 x 方整理一下，加三十六 x 减一百六十等于零，两边除个负二啊，也就 x 方减十八 x 啊，加八十等于零，是吧？我得到这样一个值啊，那这个我用什么来解决呢？十字相乘，负八负十，所以这样的话，我可以得到解， x 等于什么呢？ x 等于八，或者是 x 等于十。 ok 啊，所以我得到了两个解。好，那有的同学就说了，那这题我就是两个解呗， x 等于八的时候， x 等于十的时候，都是一百六十啊。但是别忘了，我们说这是实际问题， x 是 由取值范围， 我们发现 x 取值范围什么？再看一遍， x 大 于等于十，小于十八，所以这个两个 x 等于八， x 等于十，虽然它都是这个一元二次方程的解，但是 x 等于八，很显然它不符合实际， 所以 x 等于八，这个是不能取的，因为他不在这个 x 的 取值范围内，所以这样的话，他等于一百六的时候， x 只能取的是十啊。 x 等于十是 可以的， x 等于十的时候，他是有一百六。一百六十平方米是这个减。好，那我们再看下一个啊。第三个 x 为和值时， y 有 最大值，那现在我要求的是这个 y 它等于负二 x 方 加三十六 x， 我 要求它的一个最大值的问题，那这个一个二次，呃，这个二次函数，它的开口很显然是向下 开口，向下的二次函数，它是有最大值的，对吧？那我用的方式还是配方吗？我给它配一下啊。 y 等于什么呢？等于负二 x 方减去一个十八 x， 对 吧？那我这时候要给它加上一个什么，能给它配个完全平方呢？应该加上一个 九的平方，对吧？也就加上一个八十一啊，那我这时候呢，外边还是一个一百六十二，我里边给减个一百六十二，外边要加一个六百一百六十二，所以这样的话，这个 y 我 就得到了，等于负二乘上 x 减九的平方，加上一百六十二 啊，所以这样的话，这个最大值我们看看啊，最大值选几呢？那有的同学可能就说了，应该是 x 等于九啊，因为 x 等于九的时候不是它顶点吗？ 等于九的时候不就是最大值是一百六十二吗？且慢是吧？且慢啊，一个实际的二次函数的应用的问题，我们还得看一下这个 x 的 取值范围， x 的 取值范围是大于等于十，小于十八， x 取不到九。虽然 x 等于九是这个二次函数的最大值，但是 x 取不到九，那我就只能退而求其次呗，我 x 取谁呢？那我就是最接近九的，这个就是它最大值，对吧？那谁最接近九呢？在这个范围内，最接近九的就是还是 x 等于十啊，我把 x 等于十代入，那我得到这个 y 就是 什么呢？ 就是一百六啊，所以 x 等于十的时候，最大值是一百六，是这道题的解好。这道题其实和我们前面做的那些二次函数的图像的问题啊，我们做一个比较的话，其实它的 思路或者是运算其实没有那些题那么复杂，对吧？但是实际问题有实际问题的一个原则就是什么呢？他得和实际做一个结合啊，所以这道题就是啊，我这个表达式是很容易的，但是我要把 x 的 取值范围给他 列出来，也就是我用了一个不等式，对吧？也就是三十六减二， x 他 得大于零，他还得小于等于十六。我通过这个来求出 x 的 一个取值范围啊，大于等于十，小于十八，这个范围是一定要 遵守的。然后第二个等于一百六的时候，我们通过一个结，我是求出了两个结，但是 x 等于八我是要舍的，因为 x 等于八并不是在这个范围内。而第三个问题也是我要求他的最大时，那我把这一个呃， 二次函数配方，配方得到的话， x 等于九是最大值啊，但是还是且慢，为什么？因为 x 等于九不在这个范围内，所以我只能退而求其次，取 x 等于十，得到 y 等于一百六。 所以实际问题，其实他比那些真正的二次函数的图像，那些数形结合的问题呢？虽然他的思维要简单，但是他需要注意的东西要更多，对吧？尤其是他的取值范围的问题，这是我们一定要关注的啊， 大家有什么问题都可以在我评论区留言啊，每天我会看大家反应最多的问题，第二天我会进行专题讲解啊，那今天我们讲了二次函数解析式的十六题，明天我们继续讲解十七题，欢迎大家持续关注。

初三数学最难的十五道压轴题全部练会，稳进班级前三！中考数学二次函数十五道压轴题提醒一，存在性问题提醒二，最值问题提醒四，二次函数与相似三角形 六、公共点八、取值范围完整版领取！

中考数学最难的二次函数压轴题全部吃透！我拿班级前三二次函数压轴题拆分，突破二次函数与线段长、二次函数与等线段、 二次函数与位置关系、二次函数与面积计算完整版由七七七可得。

中考数学最难的二次函数压轴题全部练会，逆袭班级前三！二次函数解答压轴题题型一，存在性问题题型二，最值问题 题型三，二次函数与圆题型四，二次函数与相似三角形题型六，公共变问题 题型七，最值问题题型八，取值范围问题题型九，定值问题 题型是动点问题完整版分享！

适当的刷题是有必要的，保持自己的熟练度对不对？但是切记啊，不要给自己过度的去刷题啊，你过度刷题没有任何好处啊，把自己搞的那种那种精神疲劳说我，我好紧张，我要多刷题，千万不要适度的刷题，保持自己适度的熟练度就可以了， 对吧？啊，不要给自己搞的很紧张，这是一个啊，另外一个老师说过，刷题你要有刷题的什么质量， 就我刷一套题或者一道题，我刷完以后我要有收获，我一定要有回头审视这个题目的能力，这样就大家刚才我提示他，你，你做题之前读一道题，你要知道这道题考察什么，你才能有针对性的做吗？

一百一十分以上绝对是没问题的，所以说剖析这一式我们一定要熟练掌握解剖解剖中组的方法，我们在初二都练了很多很多，并且婴儿复习的时候，我们将这一方面又练习了很多。 欢迎大家进我直播间啊，欢迎大家进我直播间，感谢大家进我直播间进来的人。帮帮帮我点点关注，关注一下，点点赞，帮我点点关注，点点赞啊！欢迎欢迎 进我直播间的家人们。如果是有初三的学生或者初二的学生，你可以在公屏上打个八或者打个打个九啊，都可以，我都知道你是哪一个年纪段的，我们都可以呃进行 呃进行沟通交流，你们有什么问题既可以在公屏上打出来，我们可以进行交流， 老师都可以给你讲。因为我是教了几十年的初中数学老师，对初中各个年级段的知识点都非常熟悉，并且对中考的出题方向和模式也比较熟悉，所以。

hello， 各位初三的同学们大家好，我是王老师。前两天我们讲了两道二次函数的压轴题，今天我们一起来看一下二次函数中考选择填空题、压轴题的高频题型，一起来复习一下二次函数的小题解析技巧。 今天我们聚焦基础核心考点，搞定解析式、平移对称性还有标点问题这四大基础后续的复杂题型做准备。 首先我们一起来看一下第一个核心考点，二次函数的三种解析式，不同的场景选对公式，计算效率直接会翻倍。首先我们来看一下一般式， y 等于 a， x 方，加上 b， x 加 c， 这里的 a 是 不等于零的。然后这是它的顶点坐标， 这个也是二次函数最通用的形式，它适用的场景通常会告诉我们已知任意的三个点的坐标。求函数解析式，你直接设一般式，列一个三元一次方程组，把它求出来就可以。第二个是点点式， y 等于 a 倍的括号， x 减 h， 括号的平方加 k， 这里的 a 也不等于零，这里的顶点我们可以直接看出来是 h 勾 k， 那 么它通常适用的场景而已知顶点坐标，或者是对称轴，或者是已知对称，让我们求解析式。 比如告诉我们抛物线顶点为二勾三，可以直接设它的顶点是 y 等于 a 倍的括号， x 减去二括号的平方，再加上三对不对？那么再代入一个点，我们就可以求出 a 了。 然后第三个就是焦点是 y 等于 a 倍的括号， x 减去 x 一， 再乘以 x 减去 x 二，那么同样的 a 也是不等于零的。 它适用的场景就是已知抛物线与 x 轴的两个焦点坐标。如果这个题告诉我们，抛物线与 x 轴两个焦点坐标分别是负一斗零和三斗零， 那我们就可以直接设出焦点式， y 就 等于 a 倍的括号， x 加一，再乘以 x 减三，这样计算量会直接减半部分。解析式是最简单的求解析式，就像我们刚说的，我们先看已知条件它适用于哪个解析式，然后我们再去设解析式。 接下来第二个二次函数的平移规律，那么就是八个字，左加右减，对的是 x， 上加下减正对的是 y。 我 们以一般式 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c 为例子， 那么左右平移只针对 x 进行变化。比如向左平移 m 个单位，我们就把 x 变成 x， 加上 m， 向右平移 m 个单位，我们就把这里的 x 换成 x 减去 m 是 x 本身的变化， 那么上下平移 n 个单位，直接整体加上 n， 向下平移 n 个单位，整体减去 n。 接下来我们一起来看一下二次函数的对称性。对称性是二次函数小题的秒杀技巧，必须要吃透，我们可以分三类对称讲清楚。第一个是关于 y 轴对称， 那么关于 y 轴对称的话，那就是横坐标互为相反数，它的正坐标不变的，对不对？那我们可以写出来。关于 y， x 方减去 b， x 加上 c， 我们可以把式的解析式里面的 x 全部变成负 x， 我 们就可以得到 y 等于 a， x 方减去 b， x 加上 c， 我 们会发现只有 b 是 改变了，对不对？然后接下来关于 x 轴对称，关于 x 轴对称，就是它的横坐标不变，纵坐标互为相反数，对不对？同样我们带进去，最后就可以化简为， y 等于 负倍的 y 等于负 a 倍的 x 方，减去 b， x 减去 c， 我 们可以发现 abc 全改变。然后接下来关于原点对称，关于原点对称，那么就是把 x 变成负 x， y 变成负 y， 我 们带进去整理，可以得到 y 等于负 a 倍的 x 方，加上 b， x 减去 c， 我 们可以发现有 a c 改变， 那么对称变化。这里大家可以把原理理解了，然后考试的时候我们就可以自己写出来。下来我们一起来看一下。第四部分二次函数与二次方程的关系。它主要是焦点问题，这个是连接代数和几何的桥梁，也是小题常考的题型。 首先我们看第一个二次函数与 x 轴的交点，那我们这个这个题目就很简单了，我们可以零 y 等于零，转化成一元二次方程来做得到它大于零时，方程有两个不相等的实数根， 对应的与 x 轴就有两个不同的交点，得到它等于零时，方程有两个相等的实数根，那么抛物线与 x 轴是有一个交点的，当得到它小于零的时候，方程没有实数根，那么抛物线与 x 轴也没有交点。我给大家补充一下两个交点的距离， 比如一个焦点是 a， 一个焦点是 b， 他 们俩之间的距离就是 x 一 减去 x 二的绝对值，然后他就等于 a 的 绝对值，分之根号下打到他， 那么这是与 x 轴的焦点。如果我们要算与外轴的焦点的话，直接让 x 等于零就可以了，所以与外轴的焦点 它是固定的，是零度 c。 接下来我们一起来看最后一个二次函数与一次函数的交点，我们刚刚说了二次函数与方程的关系对不对？那这里我们就可以连一二次函数等于 a x 方加上 b， x 加 c 和一次函数 y 等于 mx 加去加上 n， 然后消去 y， 我 们就可以得到这个方程。 ax 方加上 b， x 加上 c， 它就等于 mx 加上 n。 同样的，我们可以用德尔塔来判断焦点的各处，德尔塔大于零的时候有两个焦点，德尔塔等于零的时候有一个焦点，德尔塔小于零的时候没有焦点。 那么今天我们先搞定了二次函数的四大基础，三大解析式，还有平移规律，还有对称性两点问题。那么三大解析式要快速的选择它是适合哪个解析式的平移规律，我们要记住八个字的口诀，对称性我们主要抓住它的符号变化就可以了。 焦点问题主要是用德奥塔来判断，这是二次函数小题的地基。明天我们进一步讲单调性、最值存在性问题。 今天复习的知识点你们都学会了吗？听完课的同学们可以尝试做一下后面的例题，做完的同学可以在评论区核对答案哦！