华东师大版九年级下册顶点式公式

携带公式能让你利用顶点坐标快速计算多边形的面积。以图中的五边行为例，已知五个顶点坐标可以使用携带公式计算其面积。我们按逆时针顺序依次把顶点坐标竖着写成一列，重复第一个点的坐标作为结束。 连接。相邻斜对角线的坐标类似于斜面上携带的交叉方式，因此称为携带公式。 然后计算相邻斜对角线上坐标的乘积。把每列乘积相加求和，五边形的面积就等于两列和的差值的绝对值再除以二。一般情况下，如果已知多边形的顶点坐标，就可以直接使用公式计算面积， 写成携带公式的直观形式，多边形的面积等于红色连线乘积，减去蓝色连线乘积，取绝对值再除以二。我们证明一下这个公式。仍然以这个五边行为例，从五边形的五个顶点向 x 轴作垂线， 垂足和对应顶点组成多个梯形，分别计算上面三个边组成的梯形面积， 下面两个边组成的梯形面积。五边形的面积等于两组梯形面积之差，这和利用携带公式计算的结果是相同的。 还有一种更直观的证明方法，向量差积法。在五边形内任取一点 p， 设其坐标为 x， y， 从点 p 向五个顶点作向量，这些向量将五边形分割成五个三角形。 根据向量差积的几何意义，两个向量的差积等于它们章程的平行四边形的面积，所以每个三角形的面积等于相邻两个向量差积的一半。 设 o 为坐标系的圆点，每个三角形的面积可以写成如下形式。最后，我们将所有三角形的面积相加 化简后，得到五边形面积的向量差积和的表达形式。根据向量差乘的计算规则，这正是携带公式。

同学们，今天我们用九十秒搞定中考数学必考又最容易丢分的知识点，二次函数。很多同学一看到二次函数就头疼，其实只要抓住三个核心，分数稳稳拿到手。第一个，解析式 考试最常考三种，一般是顶点式、焦点式求顶点。对称轴最直，优先用顶点式，题目给了与 x 轴的焦点，直接用焦点式，计算量最少。第二个，图像与性质， a 决定开口方向， a 大 于零，开口向上有最小值，而小于零，开口向下有最大值。对称轴公式、顶点坐标这两个必须背的滚瓜烂熟，选择填空大题全都要用。第三个，易错点， 很多同学这里丢分，第一， a 不 能等于零。第二算对称轴，别把符号搞错。 第三，数形结合的题目一定要画图，别只在脑子里空想。中考里二次函数要么出现在选择填空，要么就是压轴大题的第一问，把解析式、图像性质、易错点这三块吃透，基础分不丢， 压轴题能多拿几分？记住啊，二次函数不难，难的是你不肯静下心把基础打牢啊！好好复习中考数学，咱们一起上岸！

初中你不学二极公式，就别羡慕别人做题比你快。遇到这种求 x y 最大值前面有系数的情况，二极公式秒出答案。公式就是和半平方除以系数乘积，和半平方就是六的一半的平方，系数乘积就是四乘五，所以答案等于二十分之九，这就是二极公式解法。 如果你知道这些二级公式，别的孩子还在冥思苦想，打草稿的时候，你已经快速做出正确答案了。这本二级公式快捷把中考常考的七十五个二级公式都做了系统的梳理，掌握了这些，不管是选择填空还是综合大题，都能快速找到突破口。 比如填空题常考的终点坐标公式，在平面直角坐标系中，知道点 a 的 坐标，知道点 b 的 坐标，就可以直接通过终点坐标公式得出终点 m 的 坐标。学会这个二级公式，再遇到类似的选择填空题，就能直接带入公式，秒出答案，不用做辅助线，也不用正中位线， 节省大量的考试时间。通过两者对比，你能发现二级公式能够大大提升孩子的解析效率，培养数学思维。像常考的五大角度模型、三大最直模型、瓜豆阿是圆模型、绊脚模型这些初中常考的难题，都可以用这些二级公式解决，不用担心孩子看不懂， 扫码就有视频讲解。掌握了二级公式，熟悉每个二级公式的推导过程，打开数学解析思维，再做题就简单多了。家里有初中生的，赶快给孩子准备起来吧！ 见过最笨的父母就是孩子都上初中了，还没给他准备二级公式。很多人都不知道，初中数学其实是有捷径的，如果你数学只有六七十分，一定要每天花十五分钟去看看这本初中数学二级公式快捷！如果你掌握了这些二级公式，别的孩子还在推理演算的时候，你已经快速做出正确答案了。 我举个例子，比如初中常考的等腰三角形，角 a、 c、 d， 平分线交于点 p， 求角 b、 p、 c 这样一道填空题， 普通解法会用大量时间推理计算。但如果知道三角形两内角平分线的二级公式，你就会知道，角屁等于九十度，加二分之一的角 a， 直接用这个公式快速得出角 b、 p、 c 等于一百二十度。它把初中七十多个二级公式都做了系统的梳理， 包含三十二个必考主题。比如三年四五二考的全等三角形，三年一千三百三十考平行线，三年九零八考的一元一次方程。而且每个二级公式的推导演变都有详细的解析。学会了这些二级公式，再遇到对应题目，就可以直接套用公式，简单两步就能够算出答案。步骤越少， 意味着计算失误就越少，正确率也会更高。不用担心孩子看不懂，扫码就有视频讲解。掌握了二级公式，熟悉每个二级公式的推导过程，打开数学解析思维，再做题就简单多了。无论是初一、初二打基础，还是初三总复习题分，用这一套就够了。家有初中孩子的，赶快给他准备起来吧！

上个视频咱学了外等于 x 方的图像，他是这样的，那现在你来画一下外等于 x 方加一和外等于 x 加一的平方的图像。 先看第一个 y 等于 x 方加一列个表，当 x 分别是负二、负一、零一和二十，算一下外对应的值就分别是五、二、一、二、五， 把这些点在坐标系中标出来，连起来就是这条曲线。不难发现，这条曲线上每个点都比外等于 x 方的图像上相应的每个点纵坐标多一，那他其实也可以由外等于 x 方的图像向上平移一个单位得到，所以他的对选轴就还是外轴，而顶点是零一，非常简单。 好，再看外等于 x 加一的平方，列个表，当 x 分别取负三、负二、负一、零和一时，算出来外对应的值分别是四一、零一和四，把这 这些点在坐标系中标出来，连起来就是这条曲线和外等于 x 方。比较一下发现没，这条曲线就是由外等于 x 方向左平移一个单位得到的，而他的对称轴就是 x 等于负一，顶点就是负一零。 那类似的，要是 y 等于 s 减一的平方图像，就是 y 等于 x 方向右平移一个单位，对线轴就是 x 等于一，顶点是一零。 好，现在咱有了他的图像，那我要让你画出 y 等于 x 减一的平方加一的图像，你会吗？根据之前的经验， y 等于 x 减一的平方加一，就是把抛物线 y 等于 x 减一的平方向上凭一个单位得到，因此他的对线轴就还是 s 等于一，而顶点则一到了一一。 现在结合之前的第一次平移，你就知道了， y 等于 x 减一的平方加一的图像可以由最简单的 y 等于 x 方的图像平移得到。 那一般的 y 等于 a 倍 x 减 h 的平方加 k 的图像就可以由 y 等于 ax 方的图像平移得到。通过这个式子，你可以直接得到对线轴是 x 减 h 等于零的时候，就是 x 等于 h， 而顶点在对线轴上送坐标就是后面加的 k， 所以顶点坐标就是 hk。 由于通过这个式子可以立刻看出顶点坐标，因此他就叫二次函数的顶点式，后续你还会对他进行深入的学习。好，那现在咱巩固一下。画出外等于负二分之一倍 x 加五的平方减三的大致图像， 他的图像与外等于负二分之一 x 方的图像形状相同，就是这样。而外等于负二分之一呗。 x 加五的平方减三，算一下，对线轴是 x 加五等于零，也就是 x 等于负五，而式子后面是减三，那顶点就是负五负三。现在把这条后弧线用顶点带 屏移过去，这就 ok 了。内容都讲完了，总结一下，形如外等于 ax 减 h 的平方加 k， 这样的式子就叫抛物线的顶点式， 他的图像可以由 y 等于 a x 方平易得到，而通过式子你立刻就可以得到他的对线轴是 x 等于 h， 顶点坐标是 hk。 怎么样？是不是很容易？赶紧去秒杀题目吧。

数学开窍最快的方法就是背二级公式，如果你掌握了这些二级公式，别的孩子还在推理演算的时候， 你已经快速做出正确答案。你数学是什么时候开窍的？初中，那你数学是怎么开窍的？背二级公式在我初一排名垫底的时候，我妈妈没有让我大量刷题，她说那些都是假努力，而是给我买了本二级公式。会计我告诉你，初中数学想学好，其实是有窍门的， 要问孩子要不要直接给他买一套学会了这些快速解题的二级公式，做填空选择题时，就可以直接套用，遇到大题也能更快的找到解题突破口。 我举个例子，比如初中常考的等腰三角形，已知三角形 a、 b、 c， 中角 a、 b、 c、 d， 平分线交于点 p， 求角 b、 p、 c 这样一道填空题，普通解法会用大量时间推理计算， 但如果知道三角形两内角平分线的二级公式，你就会知道角 p 等于九十度加二分之一的角。哎，直接用这个公式快速得出角 b、 p、 c 等于一百二十。他把初中七十多个二级公式都做了系统的梳理，包含三十二个必考主题，比如三年四百五十二考的全等三角形，三年一千三百三十考的平行线， 三年九百零八考的一元一次方程。而且每个二级公式的推导演变都有详细的解析，还有立体巩固加深。弄好了这本书，初中数学就不担心了，赶紧准备起来吧。见过最笨的父母就是孩子都上初中了，还没给他准备二级公式。 很多人都不知道，初中数学其实是有捷径的，如果你数学只有六七十分，一定要每天花十五分钟去看看这本初中数学二级公式，快捷！如果你掌握了这些二级公式，别的孩子还在推理演算的时候，你已经快速做出正确答案了。我举个例子， 比如初中常考的等腰三角形，已知三角形 a、 b、 c、 d， 中角 a、 c、 d。 平分线交于点 p， 求角 b、 p、 c 这样一道填空题， 普通解法会用大量时间推理计算，但如果知道三角形两内角平分线的二级公式，你就会知道，角屁等于九十度，加二分之一的角 a。 直接用这个公式快速得出角 b、 p、 c 等于一百二十度。它把初中七十多个二级公式都做了系统的梳理包， 包含三十二个必考主题。比如三年四五二考的全等三角形，三年一千三百三十考平行线，三年九零八考的一元一次方程。而且每个二级公式的推导演变都有详细的解析。学会了这些二级公式，再遇到对应题目，就可以直接套用公式，简单两步就能够算出答案。 步骤越少，意味着计算失误就越少，正确率也会更高。不用担心孩子看不懂，扫码就有视频讲解。掌握了二级公式，熟悉每个二级公式的推导过程， 打开数学解析思维，再做题就简单多了。无论是初一、初二打基础，还是初三总复习提分，用这一套就够了。家有初中孩子的，赶快给他准备起来吧！

初中数学开窍飞快的方法就是练二级公式，全部吃透，逆袭班级前三！如果你家孩子学会二级公式解析，你会发现孩子做题就像在抄答案这么简单。六月份就要中考了，最后三个月，就算我妈不给我买这套二级公式快解，我想要零花钱也要给自己买。 初中数学想要进入前几名，真的不用报补习班，这套二级公式太解就能帮上大忙。掌握了这些，无论是基础题型还是综合大题，都能快速找到突破口。 如初中的高频考点等。幺三角形，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 b、 c、 d 的 平分线交于点 p， 求角 b、 p、 c。 普通解法会用大量时间推理计算，但如果知道三角形两内角平分线的二级公式， 你就会知道，角 p 等于九十度，加二分之一的角 a， 直接用这个公式快速的解出角 b、 p、 c 等于一百二十度。这本书包含了三十二个必考主题，比如三年四百五十二考的全等三角形，三年一千三百三十考的一元一次方程。 而且每个二级公式的推导演变都有详细的解析。学会了这些二级公式，再遇到对应题目，就可以直接套用公式，简单两步就能够算出答案，而且步骤越少，意味着计算失误就越少，正确率也会更高，不用担心孩子看不懂，扫码就有视频讲解。掌握了二级公式，熟悉每个二级公式的推导过程，打开数学解析思维，在做题就简单多了。 无论是初一、初二打基础，还是初三总复习提分，用这一套就够了，趁现在有时间，赶快给他准备起来吧！八加一等于九二十加二十五等于四十五，三十加二十五等于五十五。四百九十四加二百零九等于七百零三，九百九十八加一等于九百九十九。 这就是书上没有但是中考经常考的二级公式。妈，你能不能帮我把这本书买回来？我们老师的小孩都是用它来学习的，要不是偷偷看见老师的小孩也在用，我都不知道原来一本书就能彻底让我在初中三年都名列前茅。就是这本初中数学二级公式，快捷掌握了这些，无论是基础题型还是综合大题，都能快速找到突破口， 如初中的高频考点等。幺三角形，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于六十度。角 a、 b、 c 和角 a、 c、 b 的 平分线交于点 p 求角 b、 p、 c。 普通解法会用大量时间推理计算，但如果知道三角形两内角平分线的二级公式， 你就会知道角 p 等于九十度，加二分之一的角 a， 它会直接用这个公式快速地解除角 b、 p、 c 等于一百二十度。这本书包括次二十个重点难点， 以及七十五个二级公，三十二个必考。主题是每一页都有知识点讲解以及例题分析。每个二级公式都有推导演变过程，让孩子理解的更加透彻。把这套书吃透。初中数学根本不用去报班，初一到初三都可以用，而且还是全国通用版本，家有初中生的家长赶紧准备起来吧！

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初中数学开窍飞快的方法就是练二级公式。如果你家孩子学会二级公式解析，你会发现孩子做题就像在抄答案这么简单。我告诉你，初中数学想学好，其实是有窍门的，不要问孩子要不要，直接给他买一套。 学会了这些快速解析的二级公式，做填空选择题时，就可以直接套用，遇到大题也能更快的找到解析突破口。我举个例子，比如初中常考的勾股定律， 在三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 等于十五， a、 c 等于十三，则三角形 a、 b、 c 的 面积是多少？ 普通解法会用大量时间和辅助线求面积，但如果知道三角形的海伦公式，你就会知道，在已知三角形的三条边长，三角形的半周长 p 就 等于三条边长相加除二，它则直接套用公式，得出面积 s 为二十四。 他把初中七十五个二级公式都做了系统的梳理，包含三十二个必考主题，比如三年四百五十二考的全等三角形，三年一千三百三十考的平行线，三年九百零八考的二元一次方程。而且每个二级公式的推导演变都有详细的解析，配套的还有历年函数真题和几何辅助线。 用好了这三本书，初中数学就不担心了，今年九月要升初二、初三的，赶紧准备起来吧。 如果你家孩子学会用二级公式答题，你会发现孩子做题就像抄答案这么简单。这本书把初中常考的七十五个二级公式都整理好了，如果你能把它看完，你会发现初中数学学起来有多轻松。像五年考了三十八次的海伦公式，五年考了四十二次的垂线定律， 五年考了二十四次的欧拉公式，五年考了三十四次的三数和差平方公式等等，这些都是考试可以秒出答案的解析公式。掌握这些，无论基础题型还是综合大题，都 能用二级公式快速的找到解析突破口。每个公式呢？还有视频讲解，手把手带你推导解析思路。无论是初一初二打基础还是初中总复习，都很实用，家有初中生的赶紧安排上吧！

二加五等于七，七减二等于五，六加四等于十，十减二等于八，一加九加六等于十六，十六减二等于十四，二加八加九等于十九，十九减二等于十七。 这就是书上没有但是中考经常考的二级公式，很多孩子不知道就会很吃亏。这本二级公式快简把中考常考的七十五个二级公式都做了系统的梳理，掌握了这些，不管是选择填空还是综合大题，都能快速找到突破口。 比如填空题常考的终点坐标公式，在平面直角坐标系中，知道点 a 的 坐标，知道点 b 的 坐标，就可以直接通过终点坐标公式得出终点 m 的 坐标。学会这个二级公式，再遇到类似的选择填空题，就能直接带入公式， 秒出答案。不用做辅助线，也不用正中位线，节省大量的考试时间，这就是二级公式的解析率也会更高。像常考的五大角度模型、 三大最直模型、瓜豆阿士圆模型、绊脚模型这些初中常考的难题，都可以用这些二级公式解决，不用担心孩子看不懂，扫码就有视频讲解。掌握了二级公式，熟悉每个二级公式的推导过程，打开数学解析思维，再做题就简单多了。家里有初中生的，赶快给孩子准备起来吧！

初中数学无非就这四十八个模型，老师不会系统去讲，需要孩子自己去掌握。三角之合，三百六十度是铅笔模型，内拐角等于两边角之合是猪蹄模型。小正方形的边长及两只脚边之差是赵爽贤图双等腰脚相等共顶点得全等 是手拉手模型。吃透这些模型，无论是期中还是中考都会给你惊喜，就用这本中考数学妙招，巧解 孩子遇到不会的题，只要能判断出这个题是什么模型，然后就像查字典一样，去找到所属的模型，直接套用五版，结论是什么，怎样证明， 怎样画辅助线，很快就能解出来了。不会的可以看视频讲解，学完方法再去做后面的名校真题，学练结合更高效！九年级家长快给孩子准备一套吧！

二次数特殊角问题，如题， m 为二象线抛物线上动点，求当阿尔法正切为三分之一时， m 的 坐标暂停思考 一大题通用思路做直角相似求坐标二小题秒杀一二三四、五模型。先求坐标有正切，构建含阿尔法的直角三角形， 以定点为直角，顶点方便计算。有直角三角形常做一线三垂直 e 的 绿色粉色。两三角形相似，相似比 a， e， 比 e c 及 r 法的正切， 结合 o c， o e 长度，推得 p e， pa 长度一，进而得到 a 的 坐标 a c 两点，确定其直线。解析式与二函数连立即可得到 m 的 坐标。一、二三、四、五模型。如果两个角正切分别为二分之一、三分之一，那两个角之和为四十五度， 作 x 轴平行线延长 m c 易得角一与 l 法之和为四十五度。 l 法正切为三分之一，则角一的正切为二分之一。 对顶角相等角二的正切二分之一，即直线 m c 的 k 值为二分之一。带入 c 点坐标，得到解析式，与二次函数连立得到 m 坐标。更多内容主页联系下课！

挑战从四月开始发力，中考冲刺七百一，今天攻克的是数学函数压轴篇。 中考数学每年都考函数综合，但很多同学第一问就不会掌握拆分技巧，考试再难都不怕！一、看到四十五度角构造等腰直角三角形过顶点向左标轴做垂线。 二、看到一百八十度旋转找终点，直接套用终点坐标公式。三、看到圆，找圆形坐标和半径，看到直角想到直角三角形斜边中点就是圆心， 直角所对的弦就是直径。学会技巧搭配，每日一练，数学上的一百一十真不难！以上内容，抓紧打印练习吧！

这是什么公式？这是一元二次方程求根公式。这是什么公式？这是二次函数顶点坐标公式。这是什么公式？ 这是两点间距离公式。这是什么公式？ 这是直角三角形内缺圆半径计算公式。这是什么公式？这是二次函数与 x 轴两交点间距离公式。

解析几何中的三角形面积，你掌握了吗？先来一个开胃小菜，已知三角形的三个顶点坐标，其中一个顶点在圆点，求三角形的面积。这个公式就在高中教材的阅读材料里，请参见人教版必版必修第三册第八十四页拓展阅读。 有的同学记不住这个部分，其实不用记忆，学长教你如何计算已知三角形三个顶点的坐标，其中一个顶点在圆点。第一步写出向量 o a， 写出向量 o b 化简。第二步，两个向量的坐标交叉相乘再相减。 有的粉丝已经看出来了，这里进行的是二阶行列式的计算， o a 向量和 o b 向量做了平面差积。在平面向量中，我们学习了两个向量的点积运算符是一个实心的点号，而这里的差积用的是一个乘号。 在平面中，两个向量的平面差积得到一个有方向的面积，如果取绝对值，就表示以两个向量的平面差积得到一个有方向的面积，如图所示。 而我们要求的三角形是平行四边形的一半，所以面积还要再除以二。下面我们用具体的数值来举例子，已知 a、 b 两点的坐标，先写出三角形两边的向量坐标，这时就可以计算三角形 o、 a、 b 的 面积，交叉相乘再相减， 这个得到的是平行四边形的面积，并且是有方向的，所以需要加上绝对值再除以二， 最后结果等于十六。但是很多题目中，三角形的三个顶点都不在原点上，比如我们看二零二四年新高考一卷的圆锥曲线大题，题目要求直线 p b 的 方程，已知三角形 a b p 的 面积为九， 并且题目告诉我们三角形其中两个顶点的坐标，你有没有办法求出第三个顶点，也就是点 b 的 坐标关系呢？因为点 b 在 椭圆上，如果求出点 b 的 坐标关系，就可以带入椭圆方程，求出点 b 的 坐标。最后通过两点式求出直线 p b 的 方程。 这种方法不需要直取连力，也不需要使用维达定力。下面我们来看一下已知三角形三个顶点的坐标如何表示出三角形的面积。先教大家一个办斜修的方法，用四句话搞定，第一句话，三个向量写两遍， 第二句话，掐头去尾留中间，第三句话，那撇相乘再相减。 第四句话，求和绝对值再除以二，这样就得到三角形面积的计算公式。 你可能会有疑问，刚才的计算公式和这个公式有什么差别呢？对比一下就会发现，第一个公式是特殊情况， 也就是说点 p 在 原点，横纵坐标都等于零。第二个公式看起来有点复杂，不需要记忆，做题时用具体数值计算就可以了。我们举一个例子，还是用四句话搞定，第一句话，三个向量写两遍， 第二句话，掐头去尾留中间。第三句话，那撇相乘再相减。 第四句话，求和绝对值再除以二，这样就可以求出三角形的面积。当然，我们也可以使用平面叉机的几何意义来求解，写出 p a 向量的坐标， 还有 p b 向量的坐标。 接着就是求两个向量的平面差积。使用二阶行列式进行计算，交叉相乘再相减，最后加上绝对值再除以二，结果等于十六。这些方法在大题中可以使用吗？ 学长建议你用这些方法得出结果，但是不要作为解答过程。下面我们就用正规的高中方法来推导。先用坐标表示出三角形两条边的向量， 实际做题的时候有具体的数值会比这个简单。接着假设他们的夹角为西塔，根据三角形的面积公式，等于二分之一两边长的乘积，再乘以夹角的正弦值，根据三角函数的平方和公式，反解出塞恩西塔带入三角形的面积公式， 将两毛长的乘积移到根号内， 将平方提到括号外面，这里可以用向量的数量积来表示，这样就可以消掉西塔这个参数， 三角形的面积公式就出来了。整个过程用的都是高中的知识点，实际做题的时候到这里就可以将具体数值代入运算了。 下面我们继续推导。结果是想用点坐标来表示面积，为了简化计算，我们设 pa 向量的坐标为 a， 逗号 b， p， b 向量的坐标为 c， 逗号 d。 你 也可以理解为对三角形进行平移，将 p 点平移到圆点，这样就可以写出 pa 膜的平方， p b 膜的平方，还有 p a 向量点成 p， b 向量代入三角形面积表达式进行化简。一式分解根号下得到一个完全平方式，去掉根号，得到二分之一 a d 减 b， c 的 绝对值，用于 bp 的 坐标代入。 如果对这个式子展开，就是视频之前你看到的公式。懂得这个推导过程，如果已知三角形的面积和两个顶点的坐标，就能得出另外一个点坐标的关系式，这个作为思考题，你们可以练习一下。