数学八下树怎么画图

哈噜噜噜噜，哎哟，最帅的王老师又来啦，今天给大家带来一期勾股定律里边的常考的一个填空题和选择题 的什么勾股术与弦图。哎，这两个呢？呃，这种题型呢，和什么有关呢？ 和你学勾股定律，你们上课老师引入的例子一模一样。哪两个例子呢？叫做必达格拉斯，还有什么他们中国的赵爽前途。哎呦，这个必达格拉斯怎么发现了勾股定律呢？哎呀，他们国外 对吧，经常聚会，他有一天去他好朋友家去吃饭去了，哎呀，一看地板砖还挺漂亮，他就一观察，我嘞个豆，这不就是一个三角形，一个直角三角形围绕的三个 正方形吗？那他们之间的边长有什么关系呢？面积有什么关系呢？一发现就得到了什么？得到了固定。就举个例子，拿第一题看这个直角三角形的什么？一个短的直角边设为小 a， 长的直角边设为小 b， 对 吧？斜边设为 c， 对 不对？那你看他们的面积，正方形的面积有什么关系呢？ 你看一看，有什么关系呢？中间是什么？是不是这三样形能不能写勾股定律呢？是可以写 a 方加 b 方等于 c 方， a 方正好是谁？你看是不是正方形 a 的 面积啊？ b 方呢？正好是 第二个正方形的面积吧？第二个正方形面积是几呢？是八，对吧？第三个正方形的面积呢？十四。那这个面积等于多少？等于多少？是不是六加八等于十四呀？所以有什么的结论呢？是什么？ 直角边的平方和等于斜边的平方也是什么？以直角边为长画的正方形的面积和等于斜边的的正方形的面积 自己会了吧？那看第第二题，很简单了，看如图，是一株美丽的勾股术，其中所有的四四边形都是什么形？正方形，所有的三角形都是直角三角形，你看这直角三角形，正方形是不是点起了勾股术啊？直角边的什么？直角边的 面积等于斜边的面积啊？若正方形 a、 b、 c、 d 的 面积分别为六十、四、六，则最大正方形的 e 的 面积多少？ a 和 b 是 不是直角边的面积？一个是六，一个是十，那斜边的面积呢？是不是十六它的平方，那它的面积和 c、 d 呢？是不是也是面积和是十？那他俩呢？你看，又是个正直角三角形吧，多少？二十六？就这么 so easy。 好 吧，然后再看第四题，第四题依旧是什么？哎呀，老师，刚才你不是讲的 他是直角边的面积等于斜边的吗？面积吗？对不对？现在连斜边都没有了，怎么办？你创造一个斜边啊，连接 b、 d 不 就完事了吗？对不对？他说角 d、 a、 b 等于角 b、 c、 d 等于九十度，你看这不直角三角形出来了，分别以四边形的四条边， 每边向外做四个正方形，对吧？ s 一 加 s 等于一百， s 二等于多少？二的面积等于多少？ 哎呀，这道题和之前学的又不一样了，对吧？老师，之前你看你还你刚才讲的，哎呀，他一 b、 d 斜边还会画个正方形，对不对？对吧？ 那现在没画是没画，那没画。那刚才我怎么讲的？是不还有勾股定律有关系啊？他那个面积的关系是怎么推出来的？是不是根据勾股定律推出来的呀， 对不对？所以他终究考的还是什么，还是考的够？对，那 s 一 加 s 四就是什么。这如果 s 一 设为 a， s 四的长度设为 b， 那 你看 a 方加 b 方不就等于多少？不就是 b 地方吗？对不对？那 s、 s 三我设为 c， s 二设为 d 行不行？那 c 方加地方呢？是不是还是 b 地方？ 这不就完善了吗？ a 方正好是谁？是不是 s 一？ b 方呢？加上 l 四吗？对不对？等于 b 地方， c 方是谁？ 是不是？是不是 s 三呀？地方呢？ s 二吗？它俩加起来不相等吗？对不对？那 s 一 加 s 等于一百 s 二加 s 三呢？是不是也是一百 s 二减 s 三呢？ 是二十八，这不是二元一次方程组解方程一式和二式干嘛？你要求 s 二吧，对不对？正好这是减号，一式和二式相加等于多少？二倍的 s 二等于一百二十八，那 s 等于多少？不是六十四，就这么简单，他就考了勾股数。 勾股数的核心是什么呢？核心是勾股定律，明白了没？勾股定律，这是什么？边的关系通过边的关系衍生出来什么了？面积的关系。重新再说一下， 边的关系是什么呢？是直角边的平方和等于斜边的平方。那个平方呢？正好是什么？两个直角边的正方形的面积等于面积和等于谁？等于斜边正方形的面积就是这样子，一模一样。好了，今天就到这里了，谢谢大家。

勾股定律，这呢有一类必考的题型就是勾股数，那么这棵树呢，有一个很重要的结论，掌握这个结论的话，选择填空里边碰到这类题目可以直接出答案， 那今天的视频呢，老师就教下大家这个结论怎么来证明。来，咱们看题说，如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， 并且已知 s 一 等于四， s 二等于九， s 三等于八， s 四等于十，那么求 s 等于多少？好，同学们，那我们来观察一下这个图形啊，你看它的最下面是一个正方形，对吧？ 这个正方形呢，你就可以看成是一棵树的树根，那么它可以向上无限的再去叠加正方形。 好，那么叠加的这些正方形，它是不是可以看成是树枝，所以这个图呢，就称为毕达格拉斯树，又称勾股树。 那么勾股数呢，有一个很重要的结论，就是勾股数上每一层的正方形面积之和，等于它下面一层的正方形面积之和。好，你看，如果我把这记作 s 五， 这个呢是 s 六，那么就是 s 一 加 s 二加 s 三加 s 四，这是最上面的一层，那么它下面的这一层呢，就是 s 五加 s 六， 那么它的下面一层是 s， 所以 它等于 s。 好， 那这个结论是怎么证明的呢？咱们来看一下，你看 s 一 等于四，也就是说这个小正方形它的面积是四，那么面积是四的话，那它的边长就是二，对吧？ 好，他又说 s 二等于九，也就是说这个正方形它的面积是九，那么它的边长 就是三。好，那如果这个正方形，这个正方形的边长，如果我用 一个小 a 来表示，好，那你现在来看一下， s 五是这个正方形的面积，它等于谁？它是不是等于边长的平方，也就是 a 的 平方？ 好了，那你来看这是一个什么三角形？是个直角三角形，对吧？那么根据勾股定律， a 方是不是等于二的平方？加三的平方也就是四加九， 对吧？那四加九不就是 s 一 加 s 二吗？ 好了，那我们继续再看啊，那么 s 三等于八，也就是说这个正方形的面积是八，那它的边长呢？ 它的边长就是根号八，对吧？那在这呢，为了方便大家理解这个根号八呢，我就不化简了。好，那么你再看 s 四啊，它的面积是十呢，边长就是根号十，对吧？ 好，那么这个正方形的边长，我用个 b 来表示，那么 s 六，它是这个正方形的面积，面积等谁等？边长的平方也就是 b 的 平方，那么这也是一个直角三角形，对吧？ 根据勾股定律，那 b 方是不是等于根号八的平方，加上一个根号十的平方，是不是就等于八加十？ 那八加十是多少？不就是 s 三加 s 四吗？所以我就证出来， s 一 加 s 二加 s 三加 s 四 等于 s 五加 s 六，那同样的方法，我还可以证明， s 五加 s 六就等于 s， 你 看这个结论是不是就证出来了？ 所以 s 等于四加九加八加十，就是三十一。那今天的勾股数大家听懂了吗？听懂的话，那我这里呢，还给大家整理了各版本的其中押题试卷，有需要的家长给孩子打印出来，拿去练习。

我们来看第一题啊，呃，这是一个网格，我们利用网格去作图啊。第一个，平移线段 a、 b， 使得线段 c、 d、 b 和 c 重合啊，那相当于是向上平移一、二、三三个单位，所以 a 点向上平移三个单位，一、二、三到这个地方啊把，哎 啊，大家画的时候一定要先把这个点啊，这个点啊，给我加粗一下啊，这个点加粗一下，然后把这个点， 把这个点和这个点一连就可以了啊啊，这个点就是第一点啊。第二个，以 c 为旋转中心，把 a、 b 绕的 c 点旋转一百八十度，得到 a 撇 b 撇啊，旋转一百八，我们要注意旋转的一百八其实是什么中心对称，所以直接一连延长就行了。 a、 c 一 连是横一竖三 啊，不是竖一横三，所以我们再竖一横三，再三个到这个地方 a 撇，然后 b 点上去三个，到这个地方叫 b 撇，然后我们把这个 一连就行了啊， a b 啊， a b， 好 吧， a 撇 b 撇。第三个，用五刻度的直尺画出 a、 b 的 一个中点 m 啊，如何画它的个中点呢？这里我们要借助一个平行四边形，我们把 c、 b 一 连， 我们把 c、 b 一 连， 然后 a 呢也往下平移三个单位，然后这个这样子一连就行了啊，那么这个点就是一个中点 m 啊，因为你把这个一连的话，你看啊，你这样子一连起来的话，它正好是一个什么平行四边形，当然这两根线可以不画，这根线和这两根虚线可以不用画出来， 这两根虚线可以不用画出来。啊啊啊，你看，这边正好是个平行四边形，对角线互相平分，好吧，我们用的是平行四边形来做的啊？

来看第三题啊，这边是在一个拼音四边形里面，他说要使做一个 e 点和 f 点，使得 a、 b、 e、 f 为一个菱形啊，菱形，现在他以这边你你你只要做，他要做个菱形，现在上下两个边是平行的啊，所以做菱形其实很方便。过 a 点，这边啊， 以 a、 b 为半径做一个圆，这个点就出来了，然后再以 b 为圆形， b， a 为半径，再画一个圆。把这边擦一下啊， 先以 a 为圆心， a、 b 为半径画一个圆啊，然后再以 b 为圆心， b、 a 为半径，再画一个圆，然后这边有个焦点，看到了吧？这边有个焦点，看到了吧？把这两个焦点这边啊一连就可以了。 一点，那么他就一定是个菱形，为什么？因为他和他是相等的，他和他也是相等的，所以上下两个边 平行且相等啊，平行四边形，再加上菱边相等。菱形第一个，第二个呢？我们直接画了啊，这边肩过 b 点，这边你要画菱形，肩过 b 点，怎么样？做一个角平分线就行了，角平分线就做这两个角相等啊，你们自己做一下，然后怎么样再做个垂线？ 做个垂线，再做个垂直，然后把这两个点一连，他就是一个菱形。好吧，两个方法啊，你们自己画一下，当然这个角平分线和垂线，你们需要用直角度去做啊，不能像我这样画啊。

我们知道一次函数的图像呢，是一条直线，我们又知道两个点呢，可以确定一条直线，所以要想画出一次函数的图像呢，我们只要找到两个点就行了，那这两个点要怎么找呢？通常情况下呢，我们是找与坐标的交点， 那么以下面这两个函数为例，我们画一下它的函数图像。我们先看第一个函数，令 x 等于零，则 y 等于负二， 令 y 等于零，那么 x 就 等于负一。那现在呢，我们就已经有两个点了，一个点是零和负二， 另一个点呢是负一，零，我们在平面直角坐标系上把这两个点找到就行，用一条直线把这两个点连起来。好，这条直线就是这个函数的图像 一样的，我们画出下面这个函数的图像啊，令 x 等于零， y 等于一， y 等于零， x 等于负一， 那么它的两个点就是零一，负一，零。在平面直角坐标系上找出这两个点连起来 很简单吧，两点确定一条直线，只要找出两个点，就能把直线画出来了啊，那我们再观察一下，红色的线是往下走的，蓝色的线呢，是往上走的，为什么会这样子？这个问题我下次再给大家讲。

好，家有八年级的学生的家长啊，这道题啊，值得你去点赞收藏啊！这道题我们一边读题一边讲吧。如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中，对角线上有两个点 m、 n 好。 看到这一题呢，要知道接下来会有辅助线连两岸对称结构， 他说 ab 等于根二， m、 n， m 和 n 在 动， p 点为 bc 的 中点。我们学会断句啊，到这地方，到它， 它是中点啊，连接 a、 n 连接 pm 好， 出现这个 a、 n 和 pm 之后，对吧？我们要基本想到最起码连接 c n 进行转化， 也就是说，这题的第一步要知道 a n 的 值等于 c n。 第二步， ab 等于六，什么意思呢？由于 ab 等于根二， m n， 我 们会直接得到 m n 的 值为六以上根二， 那也就是三倍根二。也就说 m 和 n 虽然在动，永远长度是三倍根二，那这个 m n 这个三倍根二在出奇意图来说是干嘛的呢？ 对吧？他能给我们提供一个什么启示呢？这时我们发现这边是六六， b、 d 的 值本身是六倍根二，也就是说啊，这个 m、 n 其实等于 b、 d 的 一半，那么这个有可能要用到 中位线，就是出现一个边的一半的时候，可能出现中位线。好，第三步 要求 a n 加 pm 最小，这个 a n 加上 pm 最小的话，其实相当于让我们求 c n 加 pm 的 最小， c n 加 pm 最小。但是考虑到 m n 的 值呢，它是不变的，并且是三倍根二。这时候我想到什么做转化，连接这个 c、 d 中点，假如这个点是 e， 那么 pe 为三角形 b、 c、 d 的 中位线，从而我们得到 pe 的 长就是 m n 的 长，那么我连接 n、 e 的 时候，就会发现它就是一个平行四边形。 哎，这题有个转化的意思，就是说这个 pm 的 长度其实等于 n e a， n 的 长等于 c， n 加 a， e 就 等于 e， n 加上 c， n， 就是 说本题最终要求的这个结构形态，实际上是这个形态是 e， n 加 c， n 最小， 那么 e， n 加 c， n 最小的时候呢？它其实就是将军一马。我们应该取一个点对称，取谁呢？我们取 c 点对称点。关于动点 n 的 所在直线对称点就是 a， 所以 我们 c 的 对称点就是 a 点，直接用这个点和 e 点相连，它就是最小值。 但是呢，本题要求的还不是最小值，还是问你，当他取最小值时，线段 a n 的 大小？线段 n， 它相当于这个 n 点应该在这个位置， 其实的 n 在 这个位置。想问你这个时候这段长是几好？我们注意一下， 正方形有个特征，对角线平分，对角说明这两个角的大小都是四十五度。那么在角平分线这章节里面呢，有一个比较重要的性质， 我们可以用等级法证明，如果这是 abc 等级法，在这的话， 根据 abd 的 面积和 acd 的 面积相同，我们会得到 ab 的 长度比上 ac 的 长度正好等于 bd 比 cd。 这个性质在初二上的时候，一般会给学生拓展 角平分线，它满足邻边之比等于底边分割的之比，所以这段长是六，这边是三的话，六比上三，结果是二比一，那么 a n 比 n， e 也是二比一， 而我们的 a e 是 几呢？根据勾股定律，三分六分，这边应该是三倍根五， 所以我们知道 a n 的 值应该填二倍根五，本题答案选二 b 本题非常优质，是作为月考题的压轴题出现，很好啊。

这节课我们就来学习第二小节函数的图像，那么怎样画一个函数的图像呢？我们先来看这样一个问题，大家能回答我，正方形的边长与 x 与面积 s 的 函数关系式为 x 等于 x 的 平方。那么下面我有几个问题需要问大家， 在这个函数中哪个是自变量，哪个是函数 x 乘以 x 平方，这个函数中哪个是自变量？边长 x 是 自变量， 哪个是函数 x 面积 s 是 边长 x 的 函数，那其中自变量 x 的 取值范围是 x 大 于等于零 零。为什么在这里面要求 x 要大于零？对，因为 x 表示的实际含义是正方形的边长，那么边长指呢？锐，好，那这是第一个问题，下面大家看。我问大家，如果边长 取零，你能告诉我它的面积是多少吗？面积是多少啊？那么如果边长取零点五，面积应该是零点二五，零点二五，那如果边长我们取一一，面积应该等于 一，那如果边长取一点五二幺，面积是二点二五。 好，如果我们边长取二的话，面积是四，那如果边长取二点五，面积应该是六点二五，六点二五，边长取三，面积应该是九。那也就是说，在这里面我们任意取一个 边长，是不是就有一个面积与他相对应，对不对？当任意取一个边长，就有一个面积与他相对应，那现在我有另外一个问题， 我们是否可以利用在直角坐标系中画图的方法来表示面积与边长的关系呢？可不可以？那如果可以，我应该怎么办？首先我们要怎么办？ 建立直角坐标系，那这个直角坐标系我们应该怎样来建？知道直角坐标系是要有什么？横轴和纵轴对不对？那么横轴和纵轴我们应该怎么样？哪个是横轴，哪个是纵轴呀？如果在直角坐标系当中， 我们刚才讲了点，一个 x 是 不是就有一个面积 s 与其相对应，是不是？那如果在直角坐标系当中，我们将所填表格中的自变量 x 与其对应的函数值 s 做当做一个点的横坐标与 重坐标，那这样我们是不是就可以在坐标系当中得到一些点？对，是不是？因为我们有一个 x， 是 不是就有一个 s 与其相对应？那这样我们就可以得到得到一个有序 时数对，那么支教坐标系当中有序时数对于点是什么关系？什么关系？在平面支教坐标系当中， 有序实数对于点是什么关系？一、对应的关系，是不是啊？任意一个有序实数对，是不是对应一个点？ 反过来任意一个点我们都可以用一个有序实数对给它表示出来？所以那么下面我们来看一下我们应该怎样建坐标？以什么为横坐标？以什么为纵坐标？面积 s 为纵坐标。 你在建立坐标系的时候有哪些要素要记住？圆点，还有什么横轴？横轴，横轴和纵轴相交于圆点，剩下是什么单位长度？那我们在这上面给他标上 单位长度。大家注意一下，因为我们刚才讲这个自变量曲子范围的时候，我们要求 x 是 大于零的，所以在这里面我们取主要是取第几项线？第一项线，第一项线。好，我们在这里横坐标是什么？一二三 四重坐标，同样我们给他标上什么作词？建立过坐标系以后，我怎么样把这个点给他描上去？我们刚才讲了，大 x 取零点五的时候， s 等于多少啊？零点五，大 x 取一的时候 s 等于 一，所以这样的话，零点五、零点二五是不是一个有序四舍？对，是，那一也是一个有序四舍？对，所以我们可以在我们建立的这个坐标系当中，把这些点给他 描出来，把这些点给他描出来。好，那么大大家在这里注意一下，在这里如果 x 不 表示 正方形的边长，那么我们讲 x 是 可以取零， s 是 等于零的，对不对？但是因为在这里我们讲要求 x 大 于零，所以这个实际上 x 等于零是不存在的。所以在这里我们用什么点？ 空心圆点来表示？知道空心圆点来表示这是零零，那么下面是零点五、零点二五，零点五，横坐标是零点五，我们把这个零点五、零点二五给他找出来。零，这是零点五、零点二五应该是这个点。好，这样我们就把这个什么 零点五、零点二五找出来。下面是哪个？一一一是一点五和二点二五横坐标取一点五，纵坐标，二点二五，找了四个点，还有啊 二和四、二和四找出来，你们在下面做图的时候，可以在什么 坐标值上面要更加快一点。另外还有哪个点？二点五和六点二五，六点二五在这个位置，还有一个是什么三和九，当 x 取三的时候，面积 s 等于九， 那这样我们就在这个什么平面直角坐标系当中是不是找到了一些点，对不对？那么这些点我们注意一下这些点它满足什么？ 当 x 取零点五的时候，面积 s 是 零点二五，当 x 取一的时候， s 是 一。好，所以这样我们就在这个平面直角坐标系当中找出了一些点。那我问大家 是不是 x 只能取这些数字，当然不是， x 可以 取什么大于零的一切的什么实数可以取大于零的一切实数。也就是说表示 x 与 s 对 应关系的点实际上有什么？无数个，而我们描出来的只能是什么？ 只能是有限多个。并且在这里大家注意一下，我们用空心圆圈表示不在曲线上的什么点，不在曲线上的点。注意这一步我们把它称为什么瞄点，这一步我们把它称为瞄点。这怎么办？ 按照横坐标由小到大的顺序，用平滑的曲线把这些什么点给他连起来，这样我们就可以得到。好， 我在这里简单连一下。好，大家在注意在连的时候，两点之间我们能不能用尺子去比着去连， 不能，因为大家注意一下，我们可以看出他应该是一个什么线啊？曲线，我们要用平滑的曲线把它连接出来，并且大家注意一下在这个点往上还有没有点，有，有，我们可以想象他大致应该是在哪个位置，这边稍微给他什么 多出一点，知道两边稍微多出一点，这边因为他已经零零，我们刚才讲了他已经到头了，所以这个我们用什么点表示？红心圆圈表示。知道红心圆圈表示。那这样我们就得到了什么 y， 什么 s 等于 x 平方这个函数的 x 大 于零函数的图像，那我们就得到了 s 与 x 关系的图像，那么其中 图中的每个点都表示 x 的 值与 s 的 值的一种对应关系。那比如说大家注意一下，比如说我在这里面问大家， r 四表示的是什么？这个点是不是 r 四？ 那么这个 r 四表示的是什么？幺 x 幺幺四幺四幺四幺四。哦，对 这个点二四，它就表示当 x 等于二十， s 等于四，那同样我任取一点，比如说我取三九， 那它就表示当 x 等于三十， s 等于九，那我再取一点四十六，它就表示当 x 等于四十， s 等于十六， s 等于十六。那由此我们讲，如果对于一个函数， 我们把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标，重坐标，那么坐标平面内有这些点组成的图形 就是这个函数的图像。所以我们先给出函数图像的概念，那么这个函数图像的概念实际上也也给出了我们什么怎样画 函数的图像，那我们讲怎么办？就是把自变量与函数的对应值分别作为点的什么？ 横坐标与纵坐标，那这样我们把点描出来，然后用平滑的曲线去连接起来，这样我们得到的就是这个函数的 图像。另外大家注意我们连的时候要按照什么横坐标，由小到大的什么顺序依次连接。那大家能不能总结一下，我们刚才画这个函数图像主要经历了哪些步骤？刚才怎样得到这个 s 等于 x 平方的函数图像呢？ 我们先是取一些吗自变量的值，所以在这里我们大家可以看一下。我们先第一步先是怎么办？先列表，然后在表格当中取一些自变量的值，算出对应的 函数值。第二步怎么办？立直平面直角坐标系，我们是怎样建坐标系的？横轴表示的是自变量，纵轴表示对应的函数值，所以第二步我们是 什么？建坐标系以后，把对应的这些点给它描出来，我们说是什么 秒点。第三步，我们是按照什么自变量由小到大的顺序，依次用什么平滑的曲线连接起来，我们把它称为点，这样我们就得到 秒点法，把函数图像的一般步骤。那第一步是什么？列列表，那表中给出一些自变量的值及其对应的 函数值。第二步是描点，在直角坐标系当中，以自变量的值为横坐标，相应的 函数值为重坐标，描出表格中数值对应的各个点。第三步是按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平二圈连接起来。好，这样我们就得到了 描点法，画函数图像它的一般步骤，那这个等一下我们具体再来画函数图像， 那么如果大家注意一下，我们把函数图像画出来以后，我们就可以塑形结合的去研究函数了，对不对？去研究这个函数了，对不对？对，好，那下面我们就来看看一下。下图是自动测温仪记录的图像，它反映了北京的春季某天气温 t， 注意这个气温 t 如何随时间的变化而变化，你从图中得到了哪些信息？大家看我们可以从这个中得到哪些信息？ 海燕同学讲一下。时间为十四点时，温度为八度，当时间为十四点时，温度为八度，很好。还有当时间为四点时，温度为负三度，当时间为四点时，温度为 三步。还有还有一些信息吗？温度随时间的变化而变化。好， 你坐下。其他同学还看出什么了吗？他刚才讲看出了十四点和四点的温度，那我问你其他点的温度，你知不知道？ 其他点的温度？知不知道我做一个什么？你现在他这上面应该都是有时间的，对不对？他因为他时间没有全部标出来对不对？所以这一点时刻的温度我都可以做垂线， 我都可以给他什么找出来，是不是？那所有时间点的温度就是零到二十四时，所有时间点的温度是不是都可以找出来？是不是？是。另外我们知不知道最低气温？知道？知不知道？最高气温知不知道哪个时间段温度是上升的？ 知道。知道？知不知道？知道哪个时间段温度是下降的？知不知道？知道？从这个图像上我们都可以 看出来，所以在这里面我们讲横轴表示的是时间，重轴表示的是温度，那么温度随着时间的变化而变化。所以下面这几个问题，大家看一下哪个时间 温度最高？十四十四时最高温度是八度，哪个时间温度最低？ 最低温度是三十三摄氏度，什么时间段温度在下降？先举起手讲一下。好，这位同学， 往上零十到四十温度在下降，零十到四十温度在下降，还有四十到十四十温度上升，四十到十四十温度在上升，十四十到二十四十温度在下降，他回答的对不对？对。

挑战一个视频，带你彻底搞懂值数问题。大家都知道值数问题在小学的二三年级都是一个重点的题型，那现在我们一起来看一下值数问题，它一共有四个基本的类型，第一大类型叫做两端都中数，那给大家举一个简单的例子，我们来画一个示意图， 假设一条路，我们给它平均分成了两段，那我们来看如果两端都种树，两段两个间隔，这样的路，我们能种三棵树。 所以说我们总结一个规律叫做如果两端都种树，那树的棵数它就等于间隔数加一。那接下来我们来看一下第二种类型， 第二种类型叫做异端种树，假设还是这段路，那我们有一端不种树了，那我们发现这段路被分成了两段，但是只能种两棵树，所以说异端种树的情况，我们的棵树它就等于断树。 那接下来我们继续，那我们的第三种情况叫做两端都不种，这个时候这一端也不能种了，那我们发现两个间隔，也就是说这条路分成了两段，但是只能种一棵树， 所以说两端都不中数的情况，数的棵数它就等于断数减一。那同学们这三种类型如果你忘了，那我们可以简单的去画一个示意图，帮助我们来记忆。那接下来我们来看第四种类型叫做环形中数，什么意思？比如说 这一段，这一个操场，那我们给它分成了三段，那 来种树，那我们发现分成三段，我就能种三棵树，所以说环形种树，它的棵数就等于我们的段数。 那同学们这四种类型除了这样基本来进行考察之外呢，还会有几个实际应用的变形，比如说火车车长问题啦，比如说敲钟上楼。那接下来我们就来依次看一下直数问题。 首先我们来看第一道题，说在一条长二十米的公路一侧种树，也就是说我们只需要考虑公路的一边，每隔五米种一棵来。同学们，假设这个是一段长为二十米的公路，每隔五米种一棵，我先来进行分段， 二十除以五等于四段。那现在我来分一下两段、三段、四段。 分成了四段之后啊，他又告诉了我们两端都重。那同学们，如果我记着刚才李老师给大家总结的公式，两端都重的情况下，数的棵数是不是等于间隔数或者段数加一，所以说就是四加一等于五棵树。 当然如果有的同学忘了公式，我们也可以自己来通过视意图画一下。那现在我们来看两岸都种树的情况下，每隔五米种一颗， 我们的二十米分成了四个，间隔能种五颗。这道题就是这样子。那接下来我们继续来看下一道题目， 他说在一条长二十四米的公路一侧种树，每隔四米种一棵，一端种一端不种来。同学们，我们还是先来画一个简单的视域图， 假设这是一条长为二十四米的公路，每隔四米种一棵，我先来进行分段， 二十四除以四等于六段。那现在我们在这个图上来进行分段，一段、两段、三段、四段、五段、六段。分成了六段之后，他告诉我们一端重， 假设这一端种，一端不种，那这一端就不种了。我们来看看我们每隔四米种一颗，一共能种几棵树？好，我们来数一数，一颗、两颗、三颗、四颗，五颗、六颗。那我们发现一端种，一端不种的情况下，棵树 他就等于段数，所以说六段我们对应的就是能够种六棵树。那接下来我们继续这道题，说在一条长三十二米的小路一侧插彩旗，那他不是种树了，是插彩旗。那其实也是同样的情况。那我们现在来画一下， 这条小路长为三十二米，每隔四米插一面。那我们先来分段， 我们能够分成八段，那现在我来分一下。好，那分完了之后，他告诉我们两岸都不差。那如果有同学记着公式，就能够立马得出来彩旗的面数对不对？那如果不记得，我们来画一下图。 好，那我们发现一共分成了八段，但是只能指这个干嘛？插彩旗，只能插七面彩旗，那也就是八减一等于七面。那我们这道题也做完了。接下来我们继续往后看看一下这道题。 这道题的一个圆形的花坛，也就是环形值数的问题，它的长度为八十一米。好，那现在我画一下，这是圆形的花坛，长度为八十一米。 那一周来安装彩灯，每隔九米安一盏。那我们刚才说在环形值数的问题中，它的间隔数或者是段数应该就等于颗数，那在这道题中应该就等于我们的灯的盏数， 对不对？那现在我们先来分段，八十一除以九等于九段，那九段对应的是不是九盏灯就可以了？好，接下来我们 四个基础的题型已经给大家来完成讲解了，我们接下来再来往后看，我们来看变形体这道题说在一次阅兵中，接受检阅的一列车车队共三十辆，那每辆车长四米， 前后每辆车相隔五米。问我们这列车队共排列了多长？那有些同学读完这个文字觉得有点绕，那我们不妨可以用图形来表示一下。首先我们先来画车，这个车长它是四米， 那一辆车和另一辆车间隔的是五米，那我们间隔五米之后再来一辆车， 这个车长还是四米，依次类推，这里间隔五米之后，我们再来一辆车，那我们来看，我们一共有三十辆车。那同学们，我先来举个例子，比如说这是一辆车，这是两辆车， 这是三辆车。那我们发现在这三辆车中只有几个间隔呢？一个、两个对不对？三辆车有两个间隔，那我们发现间隔数等于车数减一。那现在我们来根据这个推论， 我们回到这个题中，这个题中一共有三十辆车，所以共有几个间隔？可以想一下这个问题，那我们共有三十减一等于二十九个间隔。好，如果间隔数等于二十九，那么每个间隔 相距几米？五米，所以说二十九个间隔相距几米呢？二十九乘五等于多少呢？五九四十五写五进四，二五，一十加四是十四， 一百四十五米。他问我们这列车队排列多长？那是不是从第一辆车一直到最后一辆车？我们还得包括三十辆的车长，每辆车长四米，三十乘四等于一百二十米， 所以说这个车队共多长呢？一百四十五，再加上一百二十等于二百六十五米就可以了。那这个呢，是我们值数问题中的变形题，当然我们可以继续来往后看， 这个是敲钟问题，我们来看一下，他说挂钟三点的时候，敲三下用了六秒，那同学们，我们一起来看一下，假设敲一下，敲三下， 那我们来看一下，每一下他们中间间隔几秒。这个是我们这道题中要探讨的问题。发现敲三下它共有三减一等于两个间隔， 两个间隔用时六秒。因为让我们忽略敲钟时间，所以每个间隔用十六除以二等于三秒。 好，每敲一下等三秒，再来下一下，对不对？那我们来看他提问说敲十二下，然后要用多久？那我们来想一想，敲三下有两个间隔， 所以说我敲十二下共有几个间隔呢？十二减一等于十一个间隔，那么每敲一下等待三秒，现在呀，我要等待十一次，那我共需要几秒呢？十一乘三等于三十三秒就可以了。 好，那我们接下来往后看，我们来看下道题，这道题说呢，把一根木头锯成四段，用了十二分钟。来。同学们，下面的题目我们先不看，我们先来看，这段 锯成四段需要几刀呢？我们来看看，一刀、两刀，三刀，我发现我锯三刀就能够变成四段，对不对？那我的刀数它就等于段数减一， 现在呀，我锯了三刀变成了四段，用了十二分钟，所以我每一刀用时是多久呢？十二除以三等于四分钟， 我每锯一刀，我用四分钟。如果把另一根木头锯成八段，那假设每锯段一次所花的时间相同，也就是说每锯一刀用四分钟，对不对？那我们要想让木头变成八段需要几刀呢？ 八减一等于七刀，现在我每一刀需要四分钟，共需要七刀，所以我需要多少分钟呢？四乘七等于二十八分钟就可以了。 那同学们，我们发现值数问题最关键的是在于来找到间隔数，这个需要大家去花时间理清楚。

各位同学大家好，哎，爱讲数学的王老师来了。哎呀，今天我给大家带来一期勾股定律的应用题，哎，这也是我们月考和期中考试要考的个重点题。 看勾股定律的应用题，风吹竖折，它其实分为几种题型呢？分为三种题型，风吹竖折，出水芙蓉，还有什么叫做方位题， 对吧？这三种题型是经常考的，我今天给大家更新一下这这几期视频。第一种题型是什么？风吹竖折？他们记住在这里边，做题时候一定要什么？要设未知数，求什么设什么？还有个核心思路是什么？把所有的未知数 都放到一个直角三角形里边去。为什么呢？因为既然设了未知数，就要列方程，列等式。 就你们在初一的时候，是不是找等式很难？而你把所有的未知量都用一，都放在一个直角三角形里边，通过直角三角形写勾股定律，所有的未知量不就构成个等式了吗？勾股定律不就是个等式吗？就是为了这个服务的，明白了没？ 大家看第二题，如图，小明为了测得旗杆 ab 的 高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在什么地面的 c 端是 ac， 对 吧？此时 c 到杯也 c 到杆底的距离 b， 所以 b 等于几十二， 他又将绳拉直到什么，就同一杆绳，又拉直到 b 端，对不对？拉到 b 点的时候咋了？发现绳子多出来一截， bp 量出来，多出的部分咋了？是四厘米，让你计算一下其杆的高度，说什么求什么射什么，哎，就射其杆的高度是 x， 那 谁的为 x， 那 ab 为 x， bc 是 十二，那 ac 怎么表示呀？ ac 不知道吧？我如果要把一个 未知数放在一个直角三角形里边去解 ac， 能不能用 x 表示同一根绳子 ac， 然后又用 ab 量了以后多出来一节 bp， 所以 它多少？ x 加四， 这不就是把一个 x 方的一个三角形里边去解了吗？这不就能列勾股定律， x 方加十二的平方等于 x 加四的平方，这不就收一给了。去解方程， x 方加幺四，四等于 x 方加八， x 加十六， x 方和 x 方约了对不对？ 然后呢？八 x 就 等于多少？幺十四减十六等于多少，等于一百二十八，对不对？那 x 等于多少？ x 等于 十六吧，这就算出来了。所以核心思路，求什么设什么，把所有的 x 放在什么一个三角形里边去解就 ok 了。好吧，今天就到这里了，谢谢大家。

间隔问题，不会画个图，爬楼问题，不会画个图，一般问题，不会画个图，盈亏问题，不会画个图。小学数学，拉开分数的就是应用题，如果你用画图法教会孩子解析，你会发现孩子做应用题就像在抄答案一样简单。推荐这本作业，帮小学数学画图法，他把小学阶段常见必考的六十种应用题类型都做了整理， 每道例题都手把手教你画图，把抽象的问题变得更直观易懂。后面还有举一反三的巩固练习，并且每道题都有视频讲解，不怕孩子学不会。坚持练完这一本，不知不觉就提升了孩子的解析能力和思维能力。一套可以用六年，值得每个小学生拥有，还没入手的赶紧安排！

大家好，今天我再给大家带来一期视频，是什么叫做勾股定律应用题的立体展开图形。这个立体展开图形主要考什么呢？其实你们这两种题型大家可以下去去写一下，肯定会的，这两种简单，难在哪呢？ 难在哪呢？难在圆柱体与展开图，这这比较难看，我先讲一下这两个题啊，这两个题是个常考题，是大家不会的点， 先看第一题，如图，圆柱的底面周长为多少？三十二，高为二十四，从圆柱底部 a 处沿侧面缠绕一圈丝线，到达哪 b 处，对不对？则这条丝线的最小长度为多少？ 最小长度，最小长度。记住，求以后求最小长度，就把这些立体图形变成展开图形，这是惯用套路， 展开以后大家一定要记住，记住这里，记住什么呢？看好展开以后这个圆度是个什么形？是个长方形对不对？长方形的话 是这样展开，但是这考的是什么？考的是 ab 位置的判断。展开以后 ab 在 哪呢？首先 a 首先在左下角，大家知道对吧？ b 在 右上角，这道题是简单的，是不是大家都好理解，然后连接 ab 就 只能求出来 oab 的 长度了，对吧？首先 a 重置到这有多长？是不是底面的圆的周长呀？展开以后是三十二，高为二十四，根据勾股定律，能不能求 ab？ 能吧，多少 根号下二十四平方加三十二的平方等于多少呢？ 是不是四十呀？所以 ab 等于四十，对不对？这是一种考法，第二种考法你知道有多难吗？如果我给大家改一下，如果点 b 在 这的话，你应该怎么画展开图？ 点 b 在 这的话，你看走了几圈是不？走了半圈啊，半圈就是展开图的什么一半，所以指着点 a 在 这，点 b 在 哪，点 b 就 在这了，你看他在半圈在这，对不对？同时在高度的中间，所以这样的话不能画在这，这就是错误的，明白了没？ 所以大家要读题，如果大家不会的话，你们就像小学一样，怎么了？你找张长方形纸对不对？你给外表面标上 a 点和 b 点，去围绕那一圈，你就知道 a 点和 b 点在哪了。 好吧，这是一种题型，你看第五题呢，他又不一样了。首先第一题什么？点 a 和点 b 都在哪？都在圆珠的外表面，对不对？你看这第五题呢？ 圆柱形玻璃杯，高为十四厘米，里面周长为多少？三十二厘米在杯内， 在杯的内内壁，对吧？离杯底五厘米的点壁处有一滴分泌，此时一只蚂蚁正好在哪？在杯的外壁，离杯上沿三厘米且与分泌相对的点 a 处，对吧？ 你看，所以怎么了？蚂蚁在外杯分泌在内，对不对？现在蚂蚁要从外 b a 到内 b， b 到内 b、 b 的 距离最短距离是多少？ 记住，一内一外，用什么法？用将军印马位，将军印马模型，为什么呢？你看如果在杯外的话，你刚才你看啊， 上面这道题，两个都在杯外吧，你就展开以后连接就行，对不对？那现在一个在杯外，一个在杯内呢？是不是把你先得爬进去？ 爬进去以后呢？你要转换成杯外的模型什么呢？这样爬进去以后，蚂蚁的位置和在杯外的位置是相同的，所以爬了个什么？爬了山，向上爬了山，又向下爬了山吧，这此时才能转换成什么？转换成 杯外的模型，两双两个都是杯外或两个都是杯内的模型，就能直接连接了。所以你看是不是走了个对称啊？相当于上面的这个表面是个对称对称轴，对称啊和对称轴啊，然后怎么了？ 先走过，走上去，然后再走下来不就完事了？这是不是将军印嘛？模型，所以以后遇到一个杯外，一个杯内就做什么，就做杯外的对称点，做个将军印嘛就行了。 好吧，这是 a， a 距离上表面是三厘米对不对？ b 呢？ b 就 继续 b， 距离什么下表面？你看这次 b 在 哪？ b 是 不是在这一半呀？所以该画在哪？画在中间，画在这啊， 距离下表面是这个词会了没？以后，所以一定要看 b 的 位置，如果和 a 是 同样的位置呢？展开以后就是一圈在最最右边，如果是半半中间呢？就在中间一部分就好了，明白了没？ 那所以怎么做呢？ a 在 外， b b 在 内，对不对？就不能直接连了，如果直接连球的话就错了。好吧，应该怎么做呢？ 以上以杯的上沿作为对称轴，过让让点 a， 关于它指吗？对称 过个 a 撇，你看 a 相当于什么？刚才我说的先走上去，再走下，再走下来，你看 a 先走到杯沿对不对？杯沿上面，然后再往再钻进去，走到 a 撇，那是不是和他一模一样？然后再干嘛？连接 a 撇 b， 他 直接把立体图变成展开图，让你好理解了。 会了吧，然后该怎么做呢？不点 b 做垂线不就完事了吗？这不求在它的长度就能求出 a 撇 b 的 长度了吗？ a 撇 b 是 最短的路径，会了没？会了，没？会了吧？ 会了，以后该怎么做呢？求吧，这是几？求 a， 假如这个点是减 c， 那 a 撇 c 多长？求出来以后就行，对不对？ a 撇 c 怎么算呢？是不是本来它高为几十四吧，十四减去 b 的 下沿多少？ 五，这不就完事了吗？所以这段是几？是不是十一？十一加上 a 撇这个对称点三除以 a 撇 c 等于多少？是不是十四 p c 呢？是周长的一半。十六，十四，十六，能不能求它？ a 撇 b， 根据勾股定律，十四方加十六方等于多少？ 多少幺四四加一九六等于多少， 等于三百四吧，根号要三百四， 然后开出来多少？我也不去，我也不开了，大家就下来计算一下就好了。所以这种题一杯一，一内一外是什么呢？就说将军印码模型，明白了没？将军印码，再讲一下它的为什么要将军印码呢？因为你看 他要先爬到杯上面，然后再从杯的上面爬到里边相同的位置才能够连接，明白了没？然后两个都在外，两个都在内呢，就直接连接就行了。好吧，今天就到这里了，谢谢大家。

不要再说你的孩子不会解应用题了，如果你用画图法教会孩子解析，你会发现孩子做应用题就像在抄答案那么简单。就是这本作业帮的小学数学画图法解应用题。他整理了小学阶段常见必考的应用题题型，比如鸡兔同笼问题就用图式法，年龄问题就用线段图法， 时间问题就用数式法，让孩子哪里不会就查哪里，像查字典一样简单。每道例题都用画图的方式，把抽象的问题变得更直观，孩子更容易理解，不懂的还可以扫码看视频讲解，用好这本书，老师也会对你刮目相看。

这个地方我们注意三点，第一点错位了可解决问题。这个版本不一样，第一是两个变量， x 跟 y， 第二是 y 是 x 的 变化，额，变化 x 是 变量， y 是 函数。第三 就是 x 没取一个确定的值， y 都以唯一确定的值，所以函数 y 怎么样？唯一？唯一取个意思，你这个 y x 函数是为什么呢？因为 x 每取一个值确定的值， y 都有唯一的唯一，所以 y x 的 函数函数，这个是圆的面积公式。 x 是 r 的 函数吗？是，而且怎么样？唯一，那这个 y 是 x 函数吗？不是，为什么呢？取幺，因为 y 是 二次方，所以它算对结果有正负两个数，对开方的时候有什么？正负零加一分比， x 等于 y 等于多少， y 等于零分。二， y 等于 x， 所以 不唯一。对不对，这不是，但反过来， x 是 y 的 函数吗？是， y 都取确定的值， x 怎么样？唯一确定是吧？好，这上面都是函数关系式了。函数关系式也叫什么？解， 好，这我们今天学习的目标，我们读一遍。学习目标，学习目标，一、了解函数图像的意义，会观察函数图像，获取信息。 二、会根据图像初步分析函数的对应关系和变化规律。三、激励化函数图像的过程，体会函数图像建立 数学年级的关键是分别用点的横坐标表示字变量和对应的函数值。好，我看这位他认识这个数学家华罗根，华罗根，对华罗根是吧？请坐， 华罗根，大家了解不？了解？不了解，他是一位很优秀的数学家，他是很多数学学术的创始人跟开拓者， 也有很多科研成果，比如华师弟、林华师不等式。他不仅是一位优秀的数学家，他还是一位浪漫的诗人。他一生写了很多诗，我这有位有，我这里有首诗，我们一起来欣赏一下，我们一起读一遍好了，开始。 树知勤时少之，官，勤少树时难入微。树形结合百般好，隔离分家万事休。能看懂吗？ 看不懂，他大概讲的，因为也能看懂。百合不是古文，他大概讲的是塑形结合的好处。就初中塑形结合思想。 今天我们这节课再来体会一下塑形结合的好处。好，我们看下面，这是张什么图？奇异图，奇异图，它反映了心脏部位的生物电流 y 随时间 x 的 变化情况。 当你能否用这个解释来表示图中 y、 x 的 函数关系，能写出解释吗？它们关系式能写出来吗？好的，看动手啊，这么简单，能写出来吗？ 别动手了，很难写的了。笑，很难写，看到没有？是不是砸了我们的是不是有点忘？ 所以有些函数问题很难用解析式来表示，但是可以通过这个图来直观的反映，你们看一下能看懂不能？你刚开始读这个电流怎么样？很平稳是不是？突然之间怎么样？很难？突然之间怎么样？很小又怎么样？很平稳是不是 又很大很低？来看懂吗？嗯？什么意思？是要蹦蹦就轻便？事实上，既只能用函数表达，是表示的函数，如果没有图形来表示，则会使函数关系更加清晰，又很直观，对不对？更加直观， 这就是我们这节课要学习的知识。函数的图像，我们一起来学好，现在呢？第一个，正方形的面积 s 与边长 x 的 函数解释是什么？ s 等于 x 是 不是啊？很简单了，那字母 x 取的范围是任意？他说的类似说 错 c， c 等于等于他的所表示的意义， x 是 什么意义？ x 肯定是什么数，证书是吧？所以 x 应该等于等于等于美女。我们知道对于字母 x 没取一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，是吧？下面我老师列出来一部分， 那我就是一部分。这边的纸看到没有？总共有几个？九个，你看这九个有什么特点吗？每盒加两个，每盒相差零六，对不对？就很均匀，我是取的均匀，取，这有什么好处？就更具有代表性，你再全部取的一块对不对？均匀取，分开一点均匀。 那这样的这个算数相印的是什么？函数的对不对？函数 s， 把下面的算一下，在导旋上面，然后导旋前面一块口算一下，钱包能算出来，这样就好了，很快这样算就好了，应该可以在那我们一起对好了。第一个是 零，零点五，一，二点四六点九一，十二点五十六，这样我们就得到了九对质分量跟函数的值是不是九对？ 我看这里第一个是 x 等于零， x 等于零，那我们把这边的 x 等于零，把它作为一个点的函数表，函数是 x 等于零的，作为点的纵轴表，我们就得到一个什么坐标，一点坐标对不对？同样我们看第二个位置， 把这个 s 分 了， x 等于零点五作为横坐标，那函数值 s 等于二，零点五作为度的表，那这个点是多少？零点五到零点二五一直都可以得到，其他的点 没问题吧？第三个点是一到一，零点五到二点五到四，幺零点五到幺九，总共可以得到九个点，九个点没问题吧？九个点， 那么下面我们我们来把这九点，把它描到这个直角坐标系上去，也可以描上去，那么它的横坐标是图是什么？是不是 x？ x 动作是什么意思啊？面积 s 是 s， 看到没有？来描，在导向上面描还是九点描上去？九点描点记都忘记了，大学学的应该记得东西。 先找到函数标，再对到动作标，瞄准一点，那老师心中有数，那虚线比较花，你就得打对上去。对，就找三个点描出来。 九个点变好了，第一个右键好了，这个方向很好，要抓紧时间差不多了，没有九个点好，这里描一下第一个点是多少给你，你是不是？ 第二，零点五，零点二五对不对？第三个点，一点一，是不是？第四个点？一点五，二点五，二点五对不对？ 没让你继续秒，二二四二四，然后呢？二点二点二五，六点二五，六点二五，然后呢？三九九三，九点五，十二点五，三点五，要高啊，四十六，四十六会得九点没问题。好，我们一起看，一起看。这个函数 x x 八只能取这九个点吗？有多少个点？无数点。为什么取无数点去啊？因为正数有无数个， 这个点是哪里来的？这个点是哪里来的？这个点新来的对不对？取的字面上跟函数的值对不对？他有多少对，所以他有多少点？无数个点，那这个点你也可以这样一一的描出来吗？ 可以，你可以都可以描，对不对？那你描得完吗？描不完，还有无数点对不对？其他的点 我怎么样画出来？怎么画出来呢？好多点对不对？找规律。我看这个其实他没两个人之间，他也有多少个点，五十个点是不是？他这五十点可能，但是两个人两个点怎么样？去接是不是？去接呗， 我看他这个走他的走势在怎么样？转弯是不是弯？我们可以用一条从左到右，可以用一条光滑的曲线把它连起来， 光滑的曲线来连一下动作看好在你画功的时候到了，画的漂亮一点。光滑的曲线从左到右，慢点光滑光滑光滑光滑变歪了，光滑 歪了。还可以，一般是从左到右光滑的曲线把它连起来，先连左手三分之一对半， ok。 这个光滑的曲线它就很近似的，代表着无数个点，看到没有？这上面这边有很多点近似的，但不一定完全是近似的，光滑的曲线连起。 大家发现这个点刚刚有没有血记得吗？我血是不是，但他的血少了，有没有？没有？是不是？这个点有没有？那我为什么画？因为他是什么？是旗帜点，从这开始对不对？开始我把它画出来，这个更好画， 但这个点不不包括对不对？不包括我们用什么东西来表示，他今天也学不等式吗？用什么？空心把它挖掉是不是？这不把它挖掉一般是多少点？不要的用空心挖掉。 谢谢红心的人到了没有？嗯，还一定要注意这个点。有没有，有没有人没伸出头的？有没有？有，肯定有人没伸出头的。看到没有，有人摇头了，是不是？不伸头？不伸出头行不行？不行，你不伸头说明他是个什么点？光点还能延伸吗？ 不能，是不是？而他上面还有多少个点？五十个点，是不是？所以画图一定要注意，如果他前面还有点一个，把它延伸，伸出头，看到没有？ 来这个解释，把它标一下，在旁边跟上标落下，再跟规范标到这个图的旁边，好了没有？好了，写错了，好，对对对对，看来眼睛还是比较尖锐。 ok 了， 我这里还有函数 f x， 我 们可以用同样的方法来画出他的图形。看我这里挨吧，我都取了几个。这个来的字母有什么特点？每次都加一，对，不对？均匀，对不对？还有什么特点？ 正，负到正，有正有负，对不对啊？前值取的什么数？正，正数。因为这边 x 取的范围是什么？正数，正数，还有零，像正数我们一般都取正数，取负数也取，一般是对正数 这个负一，这一，这更具有代表性。那这样可以算出它的函数值，对不对？那我标错了四，四， 标错了四，这是二，这是奖励，四标反了。 好，这样不可以把它写上的。什么坐标？是不是坐标？每一个值组值一个点的坐标有几个点？五个点，五点。我们来描点，把它描上去，五点，下面再用什么？黄花，黄花，谢谢。连起来是不是？我连一下，光滑的 好像是个什么直线线，那他本身就是一条直线线，他是直的，前面那个是什么曲线线，这时候我们最好用一把尺子直接勾到就好画，这样更规范。好像我们刚刚得到了两个图形，对不对？ 这条曲线是他的图形，这条直线是他的图形，那这两个图形我就叫做这曲线啊，和直线就叫做这两个函数的图像。我看图像的电影 一般的对一个函数，先先看下这个值，如果把正的量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，记得吧？刚刚已经取过了吧。嗯，那么坐标平面内这些点有多少个点？十五点组成的图形 就是这个函数的图像，大家看这个像是什么像？有单刃法吗？没有，不要写错了，大象的象。把地划一下树上后面，在后面，在七十六页上面，到时候自己用一分钟把它理解一下。 图像的理解一下。我，概念很重要啊，概念的理解，这样我们也要学，做题就更快理解透的举手。 四个五个六个七个，快哇，三分之一一个举啊，老师心中有数对不对好吗？好，再来你看一下这个图像它是由什么组成的？点高点，这无中点，它构成，什么图形它就什么图形，什么 曲线，它图像是个什么曲线，它的图像就是条曲线。所以要对这个地要理解那地是怎么来的。 有边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边 吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃。 换句话说，这个点的坐标他就满足这个函数。解释能理解不啊？那就来的是不是对，来的好。通过，有了图像之后，我们通过图像就可以跟就可以竖形结合的研究函数，比如这个图像，看这个曲线 他的往往哪里走？往上走也可以理解成上坡路。是不是上坡路？你看 当 x 增大的时候， s 如何变化？变大是不是也就是 s 随 s 的 增大而增大，能理解吗？上坡路。是不是上坡路？我看这个他是往哪里走？往下走，你看是什么？下坡路？下坡路很陡，慢一点很陡。下坡路。 那么当 x 增大的时候， y 如何变化？ y 越小越小，是不是往下对不对？ x 是 x 的 增大和减小，对，减小， 往上一伸增大，往下一伸减小好，往下。我们来做 v 来想刚才这个图像的画法。第一步，我们是第一步怎么做的？描 x， 描那个表是不是？那个表应该很明显的，对不对？ 一个表，是不是啊？早说取相应的这个样的值，所以取，我们一般取五到九个比较好，五到九个太少，五到九个， 那注意取的怎么取？取这个具有代表性，具有的取，如果有负数还取负数，对不对？再算出相应的函数的值，再把它们每一个值组成点的坐标。第二步，哪点？哪点？第三步，息。

啊，同学们好啊，我们来看看一道这个半角模型的题目， 如图，正方形 a、 b、 c、 d 中啊点 e、 f 分 别在边 b、 c 和 c、 d 上，那么且角 e、 f 等于四十五度 m， n 呢？是与 这个 a， e， a， f 与对角线 b、 d 的 交点，现在告诉你， b， m 等于三啊， d， n 等于四，则正方形 a， b、 c、 d 的 面积啊。 首先我们回忆一下这个八年级上册学的绊脚模型啊，学的绊脚模型，这里是 abcd 啊，以前学的简单的啊，这个地方有个 e 啊，这边有个 f 啊，这个地方是四十五度。 我们有一个结论是什么样的呢？是这一段等于这一段，加上这一段等于这段加这段。当时怎么证明的话，当时我们是把这个 d， e 啊延长一下，叫 f 撇， 然后连连一下这里，当时是这这一段和这一段相等， 这，这当时是这段和这段相等，然后，呃，然后 a、 d 啊等于 ab， 然后这两个三角形这个全等， 全等之后呢？这里是一个四十五度角，那么这个角一加角二等于四十五，角二等于角三，从而角一加角三等于四十五。然后我们再正一下，这个三角形和这三角形全等，从而这一段等于这一段，然后等于这一段加这一段，这一段又和这里相等。 那么说这么多废话的话，嗯，我们来看看这个题目啊，这个题目我们能不能啊？呃，这里 b， m 等于三啊， d， n 等于四，我们能不能把这里给转过来呢？我们来转转看啊， 我们来转过来啊， 啊，大概就这样啊，那么这个地方叫应该叫 n 撇啊， 好，连一下这里，那么首先这里等于三，那么这个地方应该是等于四啊，这是不是个直角呢？是的，这里是一个四十五度角， 那这个角和这个角是全等的啊，那就是九十度，那是勾三勾四弦五，那这里就是五，然后你这里是四十五度啊，那么这个地方可以证明是四十五度， 然后再用一个 s a s 啊，因为这一段是等于这一段的，然后两个四十五度，这是一个公共边啊，那从而得出来，这里是 m n 等于五， 那么整个正方形的对角线是三加四加五，也就是十二，那么正方形的面积可以理解为是菱形，也就是对角线相乘除以二，所以选择是 b。

大家好，我是江夏数学于老师，今天呢，我想给大家分享一道八下的网格做图题。关于网格做图题，我们在前面的视频中讲解过相关的稀奇啊，然后我们说网格做图，它其实就是做两件事， 就什么呢？找点和连线，找点和连线，那么他作图的逻辑是什么呢？其实很大程度上就是怎么样已知结果去分析这个过程，分析过程啊那种， 只不过在这个怎么样，在这个过程的应用过程中，我们要结合像八上的全等轴对称以及八下的勾股定律，四边形的性质， 或者是九九年级的这个什么呃，缘相似等等这些性质来考察啊，所以这种题目呢，他考察的点在这，以及他的作图逻辑在这啊啊， 具体的我们不多废话，我们来看一下这样一道题目啊，题目来自于我们这个去年武汉市南湖中学的八下七中第二十一题啊，题目是这样的，如图，在由相同小正方形组成的八乘六网格中，每个小正方形的顶点叫做格点 四边形， a、 b、 c、 d 的 四个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示啊。第一个，在图 e 中，先在 c、 d 上画点 e 使角 a、 b， e 等于四十五度，哎， a、 b， e 等于四十五，我们这样这种面够到四十五度，其实就是什么呀？其实就是构造等腰直角三角形，是不是同时结合 a、 b 是 吧，那这里面相应大家应该知道是不是构造等腰直角三角形，那过 a 点是不是做 a、 b 垂直， 仔细观察， a、 b 是 什么？横三纵四，所以呢？过 a 点是什么？哎，是横四纵三，哎，横四纵三，注意在这个地方标记一个网格，然后连线啊， 是吧？然后呢，我们再怎么办？在这里一连，哎，我们这样发现，这样的话，这是不是个等腰直角三角形，那这个角是不是这样就是四十五度，是不是？那么我们要的一连呢？哎，就在这，是吧，就在这。哎， a、 b、 e 等于四十五，这个我相信大部分同学应该没有问题啊。然后他说再在 a、 b 上画点 f， 是 a f 等于 c e 啊， a f 等于 c e， 你 注意一下它 f 点在哪？在 ab 上，那么这个时候我随便我假设，哎，这个 f 点大概在这，是吧？那这个时候我们仔细观察哈，那 a、 f 和 c、 e 相等，所以这个地方它其实是不是相当于构造了一个平行形？ a、 f、 c、 e 是 不是呢？它其实构造了一个平行，并且 a、 f、 c、 e， 只不过这个时候我们要注意哈，这里面 a、 c 是 两个已知格点是吧？而 e 点呢， 它其实就相当于是个什么呀？它的它既不在网格，它既不是在网格上面，也不是格点哈，它也不是在网格线上，像这种点，我们把它称之为盲点。 像这种情况下，我们要去做平行，肯定我们要去勾到平行四边形，想利用对边平行恐怕是不太行的，那这时候我们怎么办？哎，我们要学会利用对角线，是吧？哎，勾到平行四边形嘛，除了对边，对角处还有对角线，那很容易发现其中一条对角线是不是 ac， 我 们是不是只要取 ac 中点就可以，而事实上 ac 的 中点我可以怎么处理，哎，是不是可以借助这个大平行四边形， 是不是记住这个大平行啊？或者说这个地方我只要一连这个 a c 就 可以，就可以这样，哎，这个隔点是不是在这啊？ 是不是？哎，因为这个地方 a c 的 中点，它是个网格线点啊，隔线点啊，那正面，哎，为了规范作图，我们还是怎么把它标记出来，是不是在这，对吧？那么这样一个点就一定是 a c 中点，然后呢，我们一点和这个中点一点构造，哎， 这样，哎，是不？刚刚在这是不是？好，那么这就是我们要的 f 点啊， f 点，哎，所以这里面啊，弄清楚啊，哎，这个地方它其实本质上来说，其实是构造一个什么呀？相当于平行四平行一样的构造，一平行四平行，利用对角线互相平分来构造平行四平行。好，第一位，我相信大家，嗯， 应该不费什么力气啊，我们来看第二问啊，他说在图二中，在图二中，在 c 的 上划点记使 c g 等于 a 的 哈， c g 等于 a 的， 我假设随便大家，大家在这啊，好， c g 等于 a 的， 那这个时候看 c g 和 a 的 啊，假设在这啊， c g 和 a 的， 它俩相等，但这两条边是没有挨着的呀， 是不是？那这个时候我们就要思考一下，怎么样怎么处理呢？我们就可以想 a 是 不是想到 a 的， 其实是不是等于 b c 啊？我们进一个简单的等量代换，是吧？所以这过程中它其实就构造了一个什么是不构造？ c g 等于 cb， 是 吧？ c g 等于 cb， 那 这个时候我们其实就可以知道怎么样，那这个时候其实是不是就是这个？呃， c b g 等于角 c g b 这样的？哎，因为这个等角对等边嘛？或者等边对等角，是吧？然后我们不难发现，这个地方 c 的 是不是和 ab 平行， 是吧？ c 的 要和 ab 平行，所以这个地方角 c g b 是 不是等于角 ab g 啊？那么就等于角 c b g， 所以 其实这个地方我们其实做什么？哎，其实就是做角 abc 的 角平分线，然后与这个 c 的 交易点击量，你这样一想就好理解了，是吧？好，那这个时候我们怎么去做角平分线呢？怎么去做角平分线？哎，其实这个时候我们要借助等腰三角形好 怎么处理啊？这里面我们来观察假 a b c 两面，一个是 a b a b， 这里面我们不难发现，我们用勾股定律是不是算成 a b 是 等于五啊？三四五是，而 b c 呢？是四，是吧？那这里面我们就需要将怎么样 b c 进行延长，其实也就借助哪个点？哎，借助这个格点， 是吧呢？哎，借助这个格点啊，好，那借助这个格点，哎呀，借助这个格点，我们不妨假设它为这个什么， 这个为 h， 是 不是？好，那这样的话，我们是不是可以知道其实是不是 ab 等于 b h 啊？是吧？那这个时候我们要做角 abc 角平分线，就是做角 abh 角平分线，那这个时候呢，我们其实是不是只需要怎么样啊？ 取 a h 的 中点就可以，哎，取 a h 的 中点，是吧？取 a h 中点，很容易发现刚好是哪个？哎，是不是刚好是在这个，它的这个中点刚好是这个格点，是不是？或者说我过 b 点做垂直是吧？ 过 b 点做 a c 垂线，是不是用三线合一，哎，这样进行纵横交换就可以到垂直是吧？哎，这样的话我们怎么样？哎，这个思路就清楚了，我们，哎取它的中点，然后 b 点跟它一连， 这样交点交于这样，是不是我们要的点记啊？哎，这样，哎，就可以知道我们的这个是这样得出我们的这样的点记啊，哎，点记， 所以这地方要理解啊，哎，它其实就是做这个角 a b c 角平分线，而做角平分线，它是利用等构造，等腰，然后用三线合一哈去得到。好，这是这个第二问，然后我们看第三问啊， 而在图三中， m 是 ab 上一点，在 c 的 上画点 n， 使 m n 平行于 a 的 啊， m n 平行于 a 的， 好，那这里面我们观察这个 m 点特点， m 点它典型的什么呀？是不是既在既不在格点上，也不在网格线上了？像这种点就是盲点，是吧？那盲点做平行怎么办呢？这里我们还是一样想办法观察啊，我们如何将它进行转化，如何进行转化，那这里面我们明白一点啊， 我们最重要的是不是 m n 平行， a 的 是不是？而这里面我们就是 a 的 和 bc 平行，所以这地方我是不是只要做出它和 bc 平行就可以， 是不是？好，那这里面呢？我们通过目测它大概是在这，是吧？当然呢，这地方我们只是说先大概知道这，那我怎么得到它呢？那这个时候我们就要发现，哎，怎么加这个平行，那么这时候我们就发现 m 是 不是在 ab 上， 而 ab 呢？我们把它放在图形中，这个地方其实注意，哎，假设这个，这个这个格点，它其实是不是只要三角形呢？ 是不是？哎，他其实是个直角三角形，是吧？他是个直角三角形，那这样的话我们可以考虑用什么呢？哎，用交叉对称啊，交叉对称就是我们将这个三角形假设为， 是吧？哎， o 点啊，它为 o 点，那么我们将三角形 a b o 翻折过来，哎，其实到这边来，哎，注意到，哎，就是这个，是吧？这样一个对称过来，这是不是个格点？好，那这样的话我们就可以知道他怎么样，哎， 这样两左右这两三点形是不对称，假如这个点为 b 一 撇啊，假如这个地方为 b 一 撇啊，当然我们在做的时候可以不用标记它啊，哎，好，那么这个时候我们怎么办呢？我们可以注意到这两三点形， aob 和 aob 一 撇是关于 ao 所在直线对称， 是吧？那这个时候我们要做平行，我可以用什么呀？利用这个交叉对称来处理啊，怎么处理呢？你呢？啊？这里面我们首先把对称轴给它圈出来，是不是这个？ 好，然后我们怎么样？这样是交叉，所以怎么样？比如 m 点和这个 b 撇相连，注意这个时候它与对称轴是不是有个交点，哎，这其实就是找点连线的基本操作。好，这样的话，然后再怎么样 b 点与 这个交点相连，构造好，那这样的话，哎，这样这个点很容易发现，它其实是不是就是关于这个什么？这是不是这个 m 点关于 a o 的 对称点呢？ 转好，加入 m 撇，是不是？好，那这样的话，我们得到了这个 m 一 撇， m m 点，关于 o o 对 称点， m 一 撇，然后再怎么办？是不是只要跟它一连就可以啊？欸，这样一连，因为我们知道阿肯尼是一个什么，上面也是个等腰三角形，是不是？欸，好， 所以呢，这地方一连之后交过来，交过来，把这个点去掉，这样其实是不就是我们的这一个 n 点呢？ n 点是不是好 n 点啊？然后注意最后这个结果，要是实线啊，用这个交叉对称把它勾导出来啊， 交叉对称，是不是？哎，这样得出啊？整体上来说这道题目，这道题目难度适中，主要是我们八下里面利用这考察几个知识要点，一个呢，就是这个什么呀，构造等腰直角三角形和四十五度，以及这个平行四边形对角线的性质，是吧？ 再一个就是利用这勾股定力，同时就是构造这个什么边长为五的直角三角形，然后构造这个什么角平分线， 哎，构造角平分线，这样处理思路哈。再一个第三个就是面，就是做用这种什么呀？盲点做对称的一个处理思路啊，盲点做对称，我们采用的是这种交叉对称，交叉对称 整体难度适中哈。哎，大家听完之后可以把它整理下去。好，我们今天的分享就到这里，谢谢大家。

这道八年级网格做图题，百分之九十的学生不会做，他到底运用了哪些知识点？我们来看一下。 在下列由边长为一的小正方形组成的网格中，仅用无可度的 直尺完成。下列画图， bc 与网格线交于点 d， 点在 i c 上画点 e， 在 i c 上画点 e， 使 d， e 等于 c、 d。 我们这道题非常的有意思，那么首先我们来观察一下这幅图，同学们，通过观察这幅图，你能得到哪些信息？好？首先我们最 最容易发现的就是这道题当中 a、 b 是 等于 bc 的， 你发现了没有？ a、 b 是 等于 bc 的， 那么你有两种方法，一个是看它是四个小正方形对角线，这个 b、 c 也是四个小正方形的对角线，或者用计算的方法，这是一，这是四， 所以 ab 是 等于一的平方，加上四的平方等于根号十七， bc 也是是四则是一啊，是根号十七。所以我们说 ab 是 等于 bc 的， 这是第一步，那么这个 a、 c 你 看是三三。很显然 a、 c 是 和 a、 b、 b、 c 不 相等的。那么第二步，我们再看一看 它，让我们说 d、 e 等于 c、 d， 那 么 d 恰好是 bc 的 终点， d 恰好是 bc 的 中点，同学们发现了没有？为什么我们可以正这两个小圆圈等 我们知道 d 是 bc 的 中点，那就是 b， d 是 等于 c、 d 的， 那通过以下这两点，让我们找 d， e 等于 c， d， d 等于 c、 d， 那 就说 d， e 等于 c、 d， 它要等于二分之一的 bc， 也等于二分之一 ab。 同学们想啊，是不是 d， e 等于 c d， c、 d 是 bc 的 二分之一，而 bc 是 等于 c、 d 的 b、 c 是 等于 a、 b 的， 所以它们都等于二分之一 a b， 那 么 e 是 在 i c 上的， e 是 在 i c 上，所以他们想到了，没想到 e 应该是什么？是的，由此我们可以推断出 e 应该是 i c 的 中点，这样的话， d e 就是 中位线， 那么 d e 就 等于二分之一 ab， 也就等于二分之一 bc， 从而等于 cd。 所以这道题，这道题经过我们分析完之后，那么他找的这个 e 点是 i c 的 中点，也就是这道题网格作图，其实运用的是三角形的中位线。那么下面我们怎么找 i c 的 中点？对，他们看看。 往大的看，这是一个三乘三的正方形，往小的看，这是个小正方形，所以这中点非常容易找， 我们可以连接正方形的对角线， 这焦点就是 e 的 长度 就是二分之一 ab， 因为 d e 是 三角形 abc 的 中位线。那么这道题同学们，你听懂了没有？如果没有听懂的话，请你多听几遍。好，这道题就讲到这里，同学们再见。

好，同学们好啊，今天比较忙，我们今天就讲一道题目吧啊，说如图，在菱形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于四啊，那么角 b、 a、 d 等于这个 六十度，那对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o， 那 么点 e 呢？是 a、 c 上面的一个动点，连接 b、 e， 将 b、 e 绕点 b， 逆时针方向旋转六十度，得到 b、 f， 那么连接 of 啊，那么问 of 的 最小值是多少？首先观察这个题目的话，大家看到这个 b、 a、 d 等于六十度的话，我们要明确一个东西，就是 这里的 b、 a、 d， 它是一个等边三角形，那同样的，那么这个 b、 e 它绕点 b， 逆时针旋转六度的话，它也是一个等边三角形， 那么等边三角形有什么东西呢？手拉手呗。啊，手拉手模型，那所以说我来给它上个色啊，这里打个斜线， 连接一下 d、 f， 这里也打个斜线，那么这两个三角形是全等的啊，证明过程我就不说了啊，证明过程我就不说了， 那么它们全等之后呢？那我们大概就知道，这里是一个三十度角角 b、 a、 e 是 三十度角，那么角 b、 d、 f 也等于三十度， 那么从而我们知道这个 f 它的运动轨迹啊，它的运动轨迹就是，呃，就是一个 在这根射线上面运动啊，这里是一个三十度角啊，角 b、 d、 f 始终保持三十度，那所以说它在运动的过程中，最小的话，应该是往这边做垂直垂线的最短三十度，锁定这角边等于斜边的 o、 d 的 一半， o、 d 等于几呢？ a、 b 是 等于四的，那这里也是四，这个地方也是三度，三度数对应直角边的斜边一半， o d 是 等于二的，那么 o f 就 等于 o d 的 一半，就是一啊。

好，各位分享一道八下的压轴题。二次根式的化简求值，先看一下它的条件， x 等于这样的一个式子，求后面式子的值是多少。那么第一步我们要对 x 进行化解，它的化解方法还是比较常见的，叫分母有理化，要上下 同时乘以根号二零二四加二零二三这个式子，那么乘完之后，我们的分母刚好是二零二四减二零二三，分母就是一，也就说 x 就 等于根号二零二四加根号二零二三。第一步要对这个 x 进行化解，对后面这个复杂的式子，我把它分成两个，这个叫一式，后面的这个叫二式，分别进行化解。 接下来化解我们前面的一式。好，这个一式我先化解前两项 x 的 六次方和 x 的 五次方，先提一个 x 的 五次方出来，那么剩下就是 x 减去两倍的根号二零二三，后面还要减去 x 的 四次方。那么 x 刚才已经化解了是多少呢？是根号二零二四加根号二零二三，也是他化解完了之后， 有一个根号二零二三可以抵消，剩下的是什么呢？二零二四，那么加根号二零二三，减去两倍的，再减去根号二零二三，再减去 x 的 四次方。那么这个式子接下来继续化解， 我们看到了一个 x 的 四次方，先把 x 的 五次方拆成 x 的 四次方，乘以多少呢？ x 的 一次方，那么 x 一 次方我写成根号二零二三，后面的不变根号二零二四， 减根号二零二三，再减去 x 的 四次方，把一个 x 变成了根号二零二四，加根号二零二三，那这地方又是一个平方差公式相乘等于一，这一块就是 x 四次方，减去后面的 x 次方，一式化简完了，这个整个式子等于零。 好，这里面又反复用到了这个平方差公式，接下来化简二式，那实际上做法跟前面是几乎是一样的，我们看到 x 的 立方和 x 的 平方，我们给他提一个 x 的 平方出来，那么剩下的是 x 减两倍，根号二零二四。好，后面是加上二 x， 减根号二零二四， 那么这个地方 x 减去两倍的根号二零二四，那么 x 是 这个加这个减去两倍的，也就是变成根号二零二三，减根号二零二四，然后加上二 x， 减去根号二零二四。这个地方做法跟刚才几乎是一样的， 这有 x 的 平方，我们拿一个 x 出来，把一个 x 变成什么？根号二零二四，加根号二零二三，那么后面是根号二零二三， 然后减去根号二零二四，还有后面的加二 x， 减根号二零二四，也就说我把其中的一个 x 变成了这个数，那么这里面也可以用乘法公式，但是注意是二零二三，减去二零二四，所以这个地方应该是负一，前面就是负 x 加二 x， 再减去根号二零二四。好，那么也能说 x 减根号二零二四， x 是 多少呢？使它减去根号二零二四，剩下的就是根号二零二三。这道题你听懂了吗？选择 c 比较有难度的一道计算题。

一题啊，一题多解啊题目解法一啊，我们不看了啊。解法二，他说当 x 等于零的时候 啊， x 等于零的时候，这个数字是成立的，所以得到一个 ab 的 一个关系，当 x 等于三的时候，又随便找了个数字三带进去， a 和 b 又满足一个关系，所以我们就可以把 ab 算出来了啊，这就是什么呢？就特殊指法，特殊指法， 好，下面我们来看一下啊，要求解决下面两道题目啊。两道题目要用到落图一中用解法一，那么图二就用解法二啊，图一用解法二，那么图二就用题二就用解法一，也就两个解法都要用的 啊。这里的话你可以选择一下啊。选择一下，呃，可能觉得解法二简单一点啊，解法一的话，肯定把那个简单的题目用解法一来算，这里我发现二好像简单一点，我们就解法一的话，我们就解法一来算吧。好吧，一， 那我们零， x 等于零，则 这边就是零，这边就是一个四分之 m， 加上三分之 a 就 等于零，然后令 x 等于多少呢？这边是二分之三不行，负四不行，其他都可以。一则左边右边右边就是一个五分之 m， 加上一个一，一的话就是 n， 应该得一带进去，负二减五就是负七，负七加的五五分之十一，所以我们就可以把这个 m a 给算出来了， m a 应该等于这边 三 m 等于四 a， 哦，不对，应该是三 m 加四 a 等于零 啊。下面一个式子我们也可以把化简一下，就是 m 加五 n 等于十一，然后三 m 加十五， n 就 等于三十三，把它变到下面这个式子，然后两式一减十一， n 等于三等于三， n 等于三等于负四啊，就出来了。好吧，第一个好，我们用的减法，二来算的啊。好，那么第二个， 第二个的话，我们直接把一来算，把后面这个数字通分一下，就是 x 减三，括号的平方分之 x 加三，就等于 x 减三，括号的一个平方分之 c 乘以括号 x 减三， 然后加上 x 减三，括号的平方分之 d 啊，所以它就等于 x 减三，括号平方分之 c， x 减三， c 加 d， 这就是 x 减三，括号的平方分子 x 加三啊。所以对比一下我们可以知道， c 应该等于一啊，三 c 加 d， 三负三， c 加 d 啊，它要等于三，所以 d 应该等于。这边是负三， d 等于六啊，一和六就可以了啊。好吧，这是第二问啊，好过了啊这一题。