苏教版数学六下比例带数轴图形题

同学们大家好，我们今天呀再来关注一道关于圆柱，圆柱体积的问题，那么这道题目呀，其实呢，它不仅要涉及到我们的体积公式，还要涉及到我们如何去求高 有甲乙这样的两个容器，甲容器的高度呢？是水深呢？是十八厘米， 乙容器的水深是十厘米，那么老师在这里已经把甲乙两个容器画出来了，很明显，甲的容器底面积应该比较大，因为它的半径是五厘米， 而乙容器的底面积应该比较小，它的半径是三厘米。那么同学们呀，在做题的时候，可以像老师这样子多画一画四意图，我们的四意图并不见得要多么的标准，能够帮助自己理解提议就好。 那么原本甲容器中的水应该是比较深的，因为它有十八厘米，我们用一些波浪线来表示甲容器中的水深，而乙容器中的水呢，是比较少的，它只有十厘米， 它们呀，再往两个容器中注入同样多的水，使两个容器中的水深相等，也就是最终两个容器中的水的高度应该是同样的。那么我们分别表示出甲乙两个容器中注入的某些水， 我们用蓝色表示假容器中假乙容器中注入的水，而后来他们水面的高度应该是相等的。那我们就观察到了，其实在假容器中我们注入的水 高度应该是这么的高，而在乙容器中注入水的高度应该是 比甲容器要多的。那么我们就来仔细观察这两段，我们把甲容器的高度称作为 h 甲，而乙容器的高度称作为 he。 同学们，在这时候我们要仔细观察了，甲乙两容器注入水的高度有什么样的关系呢？我们发现， 由于假容器的水原本就比乙容器高了八厘米，所以呢，在注入的时候，假容器就不需要再注入那么 更高的水了，我们只需要注入少部分的水，但以容器由于原本的水的高度比较矮，所以他在注入水的时候，先得把矮的那八厘米注上，注满以后再注入新的高度。所以我们能够得到的第一个结论就是， 要想两容器注入的水同样高，那么乙容器的水高度应该比甲容器的水高度多十八减十厘米。 这是我们的第一个结论，也就是两者想要同样多，我们得先把少的八厘米注入以后，再和甲注入同样的高度，所以 以容器比假容器要多注入八厘米的高度，那么这是不变的。而第二句话再说了， 再往两个容器中注入同样多的水，也就是咱们后来啊注入的水体积应该是相同的，不管是假容器里的水体积，还是以容器后注入水的体积应该是相等的。从而我们可以得到这样的算式， 假容器后注入的水，我们可以用假容器的底面积，也就是 pi 乘以五的平方乘以 注入水的高度，也就是 h 角。那么以容器注入后来注入水的高度应该是 pi 乘以三的平方底面积乘以以容器注入水的高度，而它们是注入同样多的水，所以体积应该是相等的。 写到了这样的一个式子呀，同学们要进行化简呢，因为等式左右呀，都含有 pi， 把 pi 同时划掉以后，等式变成了二十五， h， 甲 等于九 h e， 那 么我们已经学过了 b 的 基本性质，我们根据这样的一个式子呀，能够推导出甲乙的高度之比，也就是 h 甲比 h e 等于九比二十五。 那么这个式子老师再次强调一遍，他用的是咱们苏教版六年级下册的笔的基本性质，也就是 内向之积等于外向之积，所以我们能够根据这样的一个等式写出甲乙之间的笔。 那么题目到这里就变得很简单了，甲乙的比是九比二十五，而我们又知道乙比甲多的是八厘米，十八减十也就是八厘米，而我们就可以求得每份了， 因为乙比甲二十五减九，多了十六份， 而乙比甲多的高度却是十八减十，那么多出来的是十六分，咱们就可以除以十六，求得平均每分应该是零点五厘米。 那么我们最后要求的是这时候水深多少厘米，那也就是我们先去把甲所注入的水高度算出来。其实这里不管是通过甲还是通过乙，都能够求出它们最终的水深。由于水深是相同的，所以我们 用甲或乙的容器高度都可以，比如我们求整个容器甲的高，整个甲注入水的高度的话，应该是零点五乘以后来的九份得到的是四点五厘米。 但是同学们一定要注意了，我们这个四点五厘米并不是水深的总高度，他只是后来注入蓝色部分的高度，而我们知道假容器中原本还有十八厘米呢，所以这时候水深应该是十八加四点五， 等于二十二点五厘米。当然我们也可以通过以容器来算，那以容器是二十五份，每份零点五应该是十二点五，再加上十，依然是二十二点五厘米。同学们回顾本道题目的过程， 我们之所以能够写出简单的算式，是因为我们要知道后来注入水的甲乙高度之间的比是九比二十五，我们又能够通过视域图发现 乙所注入的高度应该比甲多了八厘米。所以其实这个题目也可以把它看作是咱们三年级所涉及到的差倍问题。那么 h e 比 h 甲多了八厘米，那么这是所谓的差，而 h 甲比 h e 等于九比二十五，是所谓两者之间的倍数关系，所以也是转化为了咱们低年级的差倍问题。 但本道题目的核心思想还是用咱们六年级下车的比例来解决实际问题。今天我们的题目就分享到这里。

六、年级下册数学比例题型有简入难知透，逆袭年级前三。这是六项数学比例题型。大权题型一、比例的一题型二、比例的基本性质题型三，解比例题型四，正比例一与判断题型五、 反比例一与判断题型六、比例尺的认识题型七，线段数值比例尺的互化题型八、比例尺的实际应用题型九，图形的放大与缩小题型十，用正比例解决实际问题题型十二、自行车里的数学完整当含空白板，可打印练习。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例，比例的应用的例式，图形的放大与缩小。今天呢，王老师给大家带来了一幅图，一起来看，你见过这些现象吗？ 在这些现象中，哪些是把物体放大，哪些是把物体缩小呢？来看第一幅图，小朋友在这照相，照相是把物体放大还是缩小？对照像是把物体缩小，用放大镜看书， 对，这是把物体放大，用投影仪来演示，那这叫把物体放大，用显微镜观察细胞的结构，这叫把物体放大。不管是把物体缩小还是放大，大小变了，但是它的形状变了吗？ 对，没有变。那大家思考怎么样把平面图形放大与缩小呢？那要想使平面图形不变形，一定要按 b 放大或者缩小，一起来看。例四， 按二比一画出下面三个图形。放大后的图形按二比一放大是什么意思呢？ 二比一我们可以把它看做一个比例尺，那它表示的就是图上距离比，实际距离等于比例尺，这里的实际距离其实就是指原来这些图形的大小，所以它指的是原来的图形。那图上距离呢？指的是 放大以后的图形，也就是变化后的图形。那按二比一放大，那就表示变化后的图形是原来图形的二倍。注意 怎么样放大呢？是按照个边的长放大到原来的二倍。要想把这三个图形按二比一来放大， 那我们要找到这些图形原来各边的长度。我们来看正方形，它的边长是三格，那按二比一放大，所以三乘二等于六格，那这就是按二比一放大后的正方形。 再看长方形，长四格，宽两格都放大到原来的二倍，所以长八格，宽四格，那这就是放大后的 长方形。再看这个直角三角形，这条直角边四格，这条直角边三格分别扩大到原来的二倍，那么它的直角边就变成了八格和六格，然后连起来就是斜边的长度。那大家思考 斜边的长度是不是扩大到原来的二倍呢？那孩子们你可以来测量一下，也会发现斜边的长度也是原来斜边的二倍。接下来大家观察放大后的图形，与原来的图形比较，它们的内角 边长、周长什么变了？什么没变？你发现了什么？首先看这些图形的内角变化了没有，因为我们知道 角的大小与边的长短没有关系，虽然他们的边变长了，但是这些角度是没有变化的，所以他们的内角是不变的。 接着再看他的边长是不是扩大到了原来的二倍，那同样周长也扩大到了原来的二倍。 那么什么变了，什么没变呢？从图上我们直观的看出来，它们的大小确实变了，大小变了，但是呢，它们的形状并没有改变。 除了直观的观察，我们通过求出它们的比，也证明形状没变。比如原来的长方形，长与宽的比是四比二，那化简以后就是二比一， 放大到原来的二倍以后，它的长与宽的比是八比四，化简以后仍然是二比一，它们的比不变，从而也证明它们的形状是不变的。通过观察，我们发现每个图形各边的长都扩大到原来的二倍， 周长扩大到原来的二倍，内角不变，图形变大，但形状不变。那如果我们把放大后的正方形按一比三，长方形按一比四， 直角三角形按一比二缩小，各个图形又会发生什么变化？在方格纸上画画，看，你又发现了什么？ 根据这三个比，我们怎么知道是把图形放大还是缩小呢？来看一看。变化后的图形是原图形的三分之一， 变化后的图形是原图形的四分之一，变化后的图形是原图形的二分之一。从这里我们也知道，是把现在的三个图形进行缩小。先看正方形， 它的边长占了六格，那么变化后的图形是原来的三分之一，也就是六格的三分之一。那所以缩小后的图形，它的边长就是两格，这就是缩小后的正方形。 接着看长方形，变化后的图形是圆图形的四分之一，也就是把它边的长度都缩小到原来的四分之一， 八格的四分之一就是两格，四格的四分之一就是一格。所以按一比四缩小后的长方形就是 长两格，宽一格。再看直角三角形，按一比二缩小，就是变化后的图形是原来图形的二分之一。那我们把它两条直角边缩小到它的二分之一， 八格的二分之一，四格，六格的二分之一是三格。所以缩小后的直角三角形，这条直角边占四格，这条直角边占三格。 我们观察这些缩小后的图形，你发现了什么？对，缩小后的图形与原来图形相比，大小变了，形状仍然不变。 那好了，孩子们，我们回忆一下，图形的放大与缩小，其实与我们比例尺的意义是不是紧密相关，那他们在图形的放大与缩小的时候，表示的就是变化后的图形比原来的图形。那如果 不给你图形，只给你一个比，你能判断是把图形放大还是把图形缩小吗？来给大家带来了四个比，八比五、四比一、一比七、二比五。 通过这些比，你能判断哪些是把图形放大，哪些是把图形缩小吗？ 好了，孩子们，请你按一下暂停键，动脑思考一下，一起来看。八比五表示变化后的图形是原图形的八除以五等于五分之八。 四比一表示变化后的图形是原图形的四倍。发现它们都大于一，所以这两个比 都表示把图形放大。接着看一比七，那一除以七表示变化后的图形是原图形的七分之一。 二比五表示变化后的图形是原图形的五分之二，我们发现它们的比值都小于一，所以这两个比表示的是把图形 缩小。孩子们，现在给你一个笔，你能判断是把图形放大或者缩小了吗？来总结一下，通过这节课的学习，你有了什么收获呢？首先，我们知道了在方格纸上按一定的笔画放大或缩小后的图形的方法， 回忆一下第一步干什么？一、数原图形各边分别占几格。二、算按给定的比计算放大或缩小后各边占几格。三、 画按计算出的边长，画出放大或缩小后的图形。另外，我们还知道图形按一定的比放大或缩小后， 大小变了，但形状不变。好了，孩子们学会了把图形放大与缩小。一起来看教材，五十八页的做一做，那这道题就教给你啦！

数学题里的按比例缩小或放大，是不是看着就头大？今天三十秒教会你，你看这俩平行四边形，左边是大胖子，右边是瘦小子，他俩是按比例缩小的，就像你把照片缩小，长宽都得一起变，不能只瘦脸不瘦身子，对吧？第一步，先找缩小的笔， 原来的底是三十六厘米，缩小后变成二十四厘米，就是按照二十四比三十六缩小的。哎，这里有人估计会问，为什么不是三十六比二十四呢？你瞅瞅，如果是三十六比二十四，比值就是二十四分之三十六都大于一了， 妥妥的放大了，可不是缩小。好，我们继续约分一下就是二比三，简单说就是新的是原来的三分之二。第二步， 求缩小后的高，原来的高是二十四厘米啊！二比三缩小，直接用二十四乘三分之二算出来，就是十六厘米。第三步，算面积比，平行四边形面积公式往里一套，圆面积 三十六乘二十四等于八百六十四平方厘米。新面积二十四乘十六等于三百八十四，等于九比四。搞定，这里有个小秘密要告诉你，边长比是几比几， 面积比就是几的平方比几的平方。边长比是二比三，那面积比就是二的平方比三的平方也就是四比九。反过来，大的比小的就是九比四，这样是不是更快？是不是觉得数学突然变简单了？觉得有用的赶紧点赞收藏！

今天我们跟同学们学习什么呢？面面俱到，面面俱到，对，对了，说到规律，我们可不是第一次研究了，同学们还记得我们研究规律的时候用哪些方法吗？ 好，举例，举例。还有吗？验证，验证，还有没有？想想， 有啦，猜想，猜想还有吗？总结，猜想还有吗？总结，总结，也叫 也叫规划。哎，对了，研究规律一般的有这几种，怎样啊？方法是不是？那么我们今天研究的是什么的规律啊？面积的变化规律，面积的变化。 对啊，本单元前面我们跟同学们学习的是图形的放大和缩小，他研究的是 长度的变化。那同学们想想，我们研究图形的时候一般从最简单的图形入手，那我们要研究长度的变化是从哪一个最简单的图形入手的？长方形、长方形或正方形。那下面老师想知道 这个正方形它是按几比几的比放大的，该怎么办呢？量出它的边长。那老师现在告诉你，你能求你能知道它是按几比几的比放大的吗？ 好，你说按三比一的比放大的是吧？嗯，好，那么它的面积又是怎么变化的呢？ 你说三乘三比一，乘一等于九比一，它的面积比是九比一，我们要知道它的面积的变化就要干嘛， 求求它的面积。下面老师跟同学们再把刚才的过程用表格展示出来，看这边应该填什么，把手放下来。 好，马上汇报的时候呢，请同学们说一下你画的是什么图形？长度笔是几厘米？面积笔是几厘米好不好？ 好，好了吧，来请同学来说说。看 来那个陈宇佳你先说。呃，我们小组画的图形是圆圆形，它是按五比一的比放大的，长度比是五比一，面积比是二十五比一，二十五比一，好去做， 不一样的。跟你说我们小组画的是三角形，三角形是按二比一放大的，放大后的放大后与放大前的面积比是四比一， 好去做。还有吗？不一样，你小组画的是三角形，三角形是按四比一的比放大四比，面积比是十六比一和十六， 还有不一样了吗？好，你说我们小组画的图形是三角形，三角形是按六比一的比放大的，放大后与放大前面积的比是三十六比一。哦，长度比是六比一，面积比就变成三十六比一， 我们还能说出很多来，是不是好老师用好。那同学们想想，这个面积比和长度比之间究竟是什么关系呢？ 你说面积比是长度比的平方倍，嗯，面积比是长度比的平方倍，你是怎么看出的？ 九十三个平方，二十五平方，四十二个平方，十六是四个平方，三十六是六个平方。哦，这个同学是从 看出来的，对吧？九是三个平方，三十六是六个平方啊，这个前面的数字都是他的平方。所以说面积比是长度比的平方，还贵一下呢。那你说 m 比 a 等于 m 的 平方比 a 的 平方。 呃，长长度比是 m 比 a e， 面积比就是 m 的 平方比 a e 的 平方。嗯，还有没有不一样的？你数 a e 比一等于 a e 的 平方比一，是犬吗？长度比是 a e 比一，面积比就是 a e 的 平方比一。 大叔，是不是啊？那这个 a 比一就是把一个图形按照 a 比一的比放大，那么它放大后与放大前的面积比就是 a 的 平方比。是的，老师写出来请同学们填空，边读边填预备起。 如果把一个图形按 a 一 比一的比放大，那么放大后与放大前图形的面积比是 a 一 的平方比一，对吧？这就是我们发现的 平面图形，放大后面积比和长度比的没关系。那大家对这个规律掌握得怎么样呢？老师来考考大家。 阿林说 好，大家看题呗。 这两位同学用了两个不同的方法，对吧？来说一下这个用的是什么方法？这个求的是什么？ 图上的面积，哎，图上的面积，然后实际的面积是图上面积的平方，哎，是多少的平方位？二百二百平方位，所以用图上的面积乘二百平方等于 十六平方厘米，再把它画成平方米等于十六排，是不是？嗯，下一个呢？ 十五乘以的半径，这个二乘二百表示的是求你的范围，对了，实际的半径是四百厘米，最好在这个后面再加，把它转换成米米，然后下面再求实际面积，是吧？来实际面积，这个 平方厘米前面的数字比较大，所以呢，我们可以继续等于十六块平方米。还有这个是什么题目啊？应用题目，应该写答对，要写答 答什么呀？最高的一个二的实际占地面积是十六百平方米， 是吧？解决问题我们要怎么样呢？恢复是不是好？刚才呢，我们和同学们研究的是把一个图形放大或者缩小，它的面积会随着长度的变化而变化，那么刚才我们研究的是几比一， 几比一，一比几，一比几，是不是那么脱离刚才的生活场景？同学们，如果老师把一个长方形按照三比二的比放大，那么 放大后的面积比例会是多少呢？九乘以四多少？九乘以四。那说说看你是怎么想的呢？ 对吧？很好。那同学们，我们研究问题一般的都是从简单到复杂，对不对？研究问题都是从简单到复杂，从特殊到一般。 我们今天研究的面积的变化，对吧？是不是他是在研究什么的基础上研究的从长度研究的是长度的变化， 我们从长度的变化一路走来，走到面积的变化。那么研究过面积的变化以后，我们又会 往哪里去呢？体积的变化？对的，又会往研究体积的变化。 那请。

甲乙两个长方形的周长相等。如果甲长方形的长和宽的比是三比二，以长方形的长和宽的比是七比五，那么甲乙两个长方形面积的比是多少？有没有注意到比例的相关应用题，有时跟比的应用题是差不多的，有些题型它是重复考到的，包括照题。 题目中说到两个长方形周长相等，题目在暗示我们什么，是不是在暗示我们 长加宽的和相等呢？因为长加宽的和乘二就等于长方形的周长，既然长方形的周长相等，那长方形的周长除以二的结果是不是也相等呢？甲乙两个长方形长加宽的和相等。 题目中告诉我们，甲乙两个长方形长跟宽的比，一个是三比二，一个是七比五。刚刚说到了长加宽的和要相等，那这边的和如果用分数来表示，三加二是五份， 下面呢？七加五是十二分，很明显这个和对应的分数不相等，但是他们应该相等，所以需要把这个分数通得一样。五跟十二要通成他两个最小公倍数，也就是通成六十。 上面乘十二，下面乘五，那么对应的比也得乘十二，对应的比也得乘五，那这个比就变了。这个比前后同时乘十二变成三十六，比二十四， 这个比前后同时乘五，变成三十五，比二十五，这才是原始的比。 确保长加宽的和相等没问题，现在我们才可以去求它们的面积之比。长方形的面积等于长乘宽，假长方形的面积长乘宽 三十六乘二十四，以长方形的面积也是长乘宽三十五乘二十五，计算出来八百六十四比八百七十五。

嗨，同学们大家好，欢迎来到开老师的数学小课堂，我是最懂你们的开老师，今天啊，我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第四单元的第一课时，叫做图形的放大与缩小和比喻的 e 来，我们呢，先从图形的放大与缩小说起。同学们，先来看一下第一道例题，王小光呢，拖动电脑鼠标，把一张长方形的照片放大，怎么放大呢？哎，看一下下面这个小视频。 好，刚开始呢，是一张小小的图片，点着右下角呢，往下拖动，然后就变成一张很大的图片了。这个呀，是电脑上的一个基本操作，相信同学们也都会 好，那我们来看一下，原来放大之前啊，这个长方形的照片呢，长八厘米，宽五厘米。放大之后呀，长方形的照片就变成了长十六厘米，宽十厘米。哎，从这里面我们能够发现什么呢？ 我们先来看一下他的尺寸，之前啊，这个长是八厘米，之后呢，就变成了十六厘米，对比一下这样的数字，同学们能够找到什么关系呢？ 哎，很明显，他是他的二倍，那后面这个宽呢，从五厘米变成十厘米，是不是也是一样的关系啊，对吗？哎，都是二倍。这个呀，就是我们所谓的 按照一定的比例来放大，而且啊，放大之前，放大之后都还是一样的形状，也就是长方形，所以啊，我们说他对应的角度其实是没有变的，对吗？ 好，那么根据这个呢，我们其实就已经得到比例的基本概念了，但是啊，不要着急，我们呀，先把图形的放大与缩小一步到位，一口气全部说明白，然后再来说比例，其实啊，我们刚才纵向对比一下，你会发现对应边呢，是成比例的，都是二倍， 对吗？其实啊，横向对比一下也是一样的，那么我们来看一下，放大之前呢，这个照片的长是八厘米，宽是五厘米，我们拿长和宽比一下，你会发现这个比是八比五，那么之后呢，是十六比十， 这个十六比十换减之后，结果是多少啊？是不是也是八比五，所以这两个其实也是相等的。好，那么说到这，我们再来看一看下面这一个例子， 刚才我们说的是图形的放大与缩小，那么这道题呢，就让我们来画一画这个图形的放大与缩小。首先啊，先按照三比一的笔画出长方形，放大后的图形，再按照一比二的笔画出原来长方形，缩小后的图形。 好，这类题啊，往往同学们在做题的时候会有一些迷惑，哪个地方会有迷惑呢？就是三比一和一， 一比二，哪个是放大了，哪个是缩小了？不过这道题还好，他已经给出关键词了，第一个呢，告诉我们是放大的，第二呢，告诉我们是缩小的，但是呢，实际在考试的时候呀，这两个词经常是省略的，那这个时候怎么来区分到底谁大谁小呢？ 哎，老师教大家一个简单的小窍门，在这里面啊，我们来看一下三比一，这个比三比一，我们就把它按照比的方式直接算出来，这个比值他对应的是几啊？三比一是不是应该就是三除以一等于三，对吗？好，那接下来第二个呢， 一比二算出来最后的比值等于二分之一。好，那这两个对比一下，你会发现，这个三我们可以理解成什么呀？是不是可以理解成三倍的意思，而这个二分之一呢，我们就可以把它理解成 半的意思，那一个是三倍，一个是一半，那哪个大，哪个小，是不是一目了然了，对吧？所以我们说了，第一个就是放大的，第二个呢就是缩小的了。当然有的老师呢，不是这么讲的，有的老师可能会这么说，比如说呢，有的老师说，我们看一看这个笔的前项和后项， 前项如果是一的就是缩小的，后项如果是一的就是放大的。好，但是这样对比一下，你会发现，记起来是不是比较麻烦呀？没有开，老师说那个方法简单，对吧？好，所以呢，还是推荐用开老师这个方法，直接就能看出来哪个是放大，哪个是缩小的。 那明确了这个之后，接下来画图的部分其实就格外简单了，我们来看一下。首先呢，这个原来的图形啊，他的尺寸，长呢占四格，宽呢占两格，现在按照三比一的一个比放大，那 就是我们说的放大三倍，那么长要变成多少呀？三四十二宽呢？二三得右，也就变成了一个长是十二格，宽是右格的长方形。好，老师直接把它画在右边了。那接下来呢， 这个是按照一比二来缩小，我们刚才说了，他求出来的笔直是二分之一，代表的意思是一半的意思，那么长四格一半呢，对应的是两格宽，两格呢对应的一半就是一格了，所以他画出来这个小长方形啊，在下面，老师画在这里了。好，那这个题是不是就很简单了？第三 张艺兴呢，把一张照片放大，放大前后的照片呢，如下，好，这是放大前的尺寸，这是放大后的尺寸。现在问呀，每张照片长和宽的笔分别是多少？这两个笔有什么样的关系？那我们呢，先把这个长和宽的笔啊列出来，对于放大前的图片来说呢，长宽的笔是六点四 比四。好，那么放大之后呢，是九点六比六， 现在让我们直接去比较，这两个笔之间的关系是不是不太明显呀？哎，没关系，我们可以啊，把这两个笔怎么样？画剪一下，画剪成最简笔，这样呢，看起来就比较直观了，那对于右眼四比四来说，画剪到最简是多少呢？哎，同学们可以快速的算一下这个结果，最简应该是八比五， 而对于后面这个呢，画的剪刀最简也是一样的结果，还是八比五。那到这同学们就应该能看出来了，八比五自然是等于八比五的，所以六点四比四也就等于九点六比六了，对吗？好，所以我说这两个比啊，他实际上是相等的。 当然，对于比较两个比是否相等，我们不光可以用画剪的方式，我们还可以怎么办呢？还可以一步到位， 直接求一下这两个比最后的比值是多少也是一样的，比如说六点四比四，你可以求出来最后的比值等于一点六，九点九比六呢，求差比值也是一点六。好，这两个方法啊，同学们任选一种就可以了。 好，那么比较完这个之后，那接下来我们还可以横向的对比一下。怎么叫横向对比呢？你可以看一看放大前和放大后他的长，还有放大前放大后他两者的宽有什么样的关系？那比如说我用九点六比上六点四， 然后呢这边我用放大后的宽和放大前的宽再比一下，也就是六比四，这两个比完之后，你会发现这两个比也是相等的，因为画剪之后呀，左边这个等于三比二， 右边这个呢也是三比二。好，那到这呢，其实就已经有了比例的基本概念了，我们说左右 两个笔只要笔直，大小是相等的，中间呢，我们用等号连起来构成一个等式的形式，这个就是比例的基本概念了，表示两个比相等的式子叫做比例 好。那么说完了比例的一个基本概念，我们来看一看今天的几道课后演艺题。首先第一题，按照二比一的笔啊，画出直角三角形放大后的图形，首先还是关键词告诉我们的是放大的，对吗？那这个二比一呢，依然是可以理解成两倍的意思， 我们来看一看啊，这个直角三角形有三条边，那么对应边成比一，也就是每一条边都要放大成原来的两倍，那么这两条直角边好办，我直接数一下格子，这个呀是四格，这个呢是一格，所以他对应的应该是放大之后呢，应该是八格和两格， 但是这一条边怎么办呀？是不是不太好数？没关系，对于这一条边啊，我们只需要把这两条直角边画出来，然后呢对应的顶点连起来就可以了。这也是老师经常喜欢说的类似这样的题目啊，我们在缩放的时候，只考虑横平竖直的那几条边，其他的边啊，补充完整就可以了。 好，那他画出来之后呢，就是这个样子，就是老师刚才说的，着重去看这两条边，这条边直接连起来就可以。好，那接下来呢，我们再来看第二题， 拿几组两个笔可以组成比例，把组成的比例写出来。那这个怎么来判断呢？就要用到我们刚刚说过的比例的基本的概念了， 左右两个笔是一样的，中间等号连起来就是比例了，但如果这两个笔不想等，那么自然就组不成比例了，那怎么来比较呢？好，我们可以求笔直，也可以把它 化简一下，在这里面老师推荐直接化简就可以了。那比如说左边这个十比十二，画到最简是多少呢？画到最简应该是五比六， 右边的二十五比三十呢，画到最简也是五比六，那两边是不是一样呀？所以就可以用等号连起来，自然他呀就可以组成一个比例了。那么右边这个 前面一个呢是二比八，画到最前是一比四，后面一个呢是九比二十七，画到最前是一比三啊，这两个一看就没戏了，很明显不相等，所以啊，他们不能组成 b 一。好，那接下来我们再来看一下第三题， 一辆汽车呢，上午四小时行驶三百二十千米，下午三小时行驶二百四十千米。第一小题，上午行驶的路程和时间的比是几比几？下午呢？这两个比能不能组成比例为 好？我们先来看一下上午行驶的路程和时间的比到底是多少？上午的路程呢是三百二十千米，时间呢是四小时，所以三百二十比四，然后呢，下午是二百四十千米，用了三个小时，所以是二百四十比三， 那这两个笔现在能不能组成比例呢？其实还是看这两个笔相等不相等好，我们还是老规矩，把他们先化解一下， 三百二十比四，画到最简应该是八十比一，二百四十比三呢，画到最简也是八十比一。 当然对于这两个 b 来说，如果直接求比值等于八十也是比较好算的，对吗？好，到这我们就能看出来了，这两个肯定是相等的，所以他们能够组成比例。好，那么接下来第二个，上下午行驶路程的比和上下午行 能使时间的笔是否也能做成比例好，我们还是一样的，先计算看看是否相等就能够得到。最后是不是能够做成比例了。那首先的话呢，我们先来看一下路上的笔，上午是三百二，下午呢是二百四，所以是三百二十比上二百四十， 而时间呢，上午是四小时，下午是三小时，所以就是四比三，对于他来说已经是最简单了，所以呢，我们关键点要看一看他，看他画眼之后是否和后面这个相等。 那三百二十比上二百四十，同学们也可以快速的化解一下，首先呢，你可以同时约掉一个零，剩三十二和二十四，然后呢，画到最简，你会发现也是四比三，所以啊，这个也是能够组成比例的，因为左右两边相等了，对吗？好，那至于为什么这个和上面一道题一样也 能够组成比例呢？哎，这个问题啊，老师先卖个关子，在后面我们讲到比例的基本性质的时候，老师呢会给大家揭晓答案。好，那么今天呢，关于比例，我们就先简单的介绍这么多同学们，我们下节课再见。

六年级下册比例应用题，孩子是不是总搞不清什么时候乘，什么时候除？今天一次讲透四类题型，学会一道通一类。第一类，比利齿问题，三个公式要记牢。比利齿等于图上距离除以实际距离，实际距离等于图上距离除以比例尺。图上距离等于实际距离乘比例尺。一题，比利齿以比四百万，图上距离二十厘米，实际距离等于 二十，除以四百万分之一等于八千万厘米，换算成八百千米。重点提醒，单位换算别忘了，图上用厘米，实际用千米， 一千米等于十万厘米。第二类，图形放大与缩小核心规律，形状不变，大小变。按二比一放大，每条边都乘二，面积变成原来的平方倍。立体长方形按三比一放大，面积是原来的几倍， 每条边放大到三倍，面积放大到三乘三等于九倍。口诀，边长放大 n 倍，面积放大 n 的 平方倍缩小也一样。第三类，按比例分配解集三部，一求总分数，二求一分量。一题，一百五十本图书，按二比三分给五。六年级总分数等于二加三等于五份，一份等于 一百五十，除以五等于三十本，五年级两份得六十本，六年级三份得九十本。口诀，见比就设分，先求一分量。第四类，正比例和反比例判断口诀，一个量变大，另一个也变大，比值一定是正比例，列是用比值相等。 一个量变大，另一个变小，乘积一定是反比例，列是用乘积相等正比例。路程除以时间等于速度一定。反比例，速度乘时间等于路程一定。 最后总结四句口诀，比利尺图上除以实际单位要换算图形缩放边长按倍面积量的平方倍按比例分配见比设分均求于分量正反比例、同相正比值等反相反乘积等。点赞收藏，下期讲歌潮问题。

请各位，他们的面积比是同一， 那其他的平面平行呢？按照一定的比例放大后，他们的面积又会发生怎样的变化呢？那么请大家拿出探求三二四四组探求发现， 这一个是不是也可以写成是不是啊？三个平方比一，这个呢？二平方比一， 是不是二的平方也是二的平方除以一。哎，钟俊瑶有这样的发现很好，那么我来看，呃，看一下何可欣的何可欣他是怎么说的？好，何可欣，起立， 你的发泄是，嗯，就是我的发泄是，呃，放大后面积，呃，面积比的形象就是呃，放大后比，放大前长度比形象的平方和周俊瑶的是怎样的？ 这差不多是什么？面积比的？前面积比的前向是长度比的前向的平方。请坐， 放大后与放大前图形的面积比是 m 平方比一。好，现在朱老师有一个疑问， 这个 m 它一定是整数吗？不一定，它有可能是小数，有可能是分数。如果是分数的话，大家来举个例子，可以是几比一呢？ 好，你说二分之一哦，二分之一比一，你们同意吗？同意，把一个图形按比例放大的话，我们的前项二分之一比后项要 大小，但是放大的话，我们的前向要比，后向要怎样放大？所以二分之行不行？不行，那重新来举个例子，可以是二分之三。好，二分之三。我们来看一下二分之三比一， 根据刚刚的规律，那他的面积比应该是应该是什么？二分之三的平方比一，二分之三的平方比一比一， 二分之三比一。如果化成这节整数比的话，应该是二分之三比一可以等于什么？实际上就是一点五化成这节整数，比 三比二就是什么三比二，二分之三的平方。比化成这节整数比是十，一比四， 二分之三的平方。二点二、五化成最减整数比是好均匀化成最减整数比是九比四、九比四比一，九比四比一的话，就是什么九比四，九比四的话，我们可以写成 实际上这个是什么了？这个是什么？二点二、五三的平方比二的平方，三的平方比二的平方。哎，刚刚是举了分数的例子，那小数呢？ 如果是按一比五比一点五比一的比放大的话，它它们的面积比就是 一点五平方比一，一点五的平方比一比一，一点五比一化成对角整数比是三比二，算一下是多少？三比二，三比二， 一点五的平方比一化成这一点整数比一点五的平方是二点二、五比上一。想想他化成这一点整数比应该是十，一比四，应该是多少？十一 二点二，五比一的话，是也是什么？是多少？三的平方比二的平方，就是三的平方，比上二的平方。 也就是说，如果我们把一个图形按 m 比 m 的 比放大的话，它们的面积比就是 n 的 平方，比 m 的 平方。 同学们通过对研究一个或几个特殊对象做出一般性结论的过程呢？叫做 不完全规。那么通过不完全规，那么得出的规律呢？需要不断的验。同样正方形长度比 变成了一比三，面积比就变成了一比九，也是一比九。一比九的话，我们其实可以写成什么一米一的平方，这个呢 变成了一比二，面积比就是一比四，一比四或者是一比二的平方，这里的话是一比二，一比二， 一比二，面积比也是一比二的平方。所以，如果把一个图形按一比 n 的 比缩小的话，他们缩小前后图形的面积的变化规律又是怎样的呢？谁来说？ 好亮一下。嗯，它的规律是一比缩小后，嗯，的数的平方。 哎，说完整，如果把一个图形按一比 n 的 比缩小，缩小前面图形面积的变化规律是 一比缩小。呃，后一比缩小和处的平方。哎，怎么说？谁来说？谁要帮他写啊？你说，如果把一个图形一比 m 的 平方缩小， 缩小后的图形应该是一比 m 的 平方。缩小后的图形与缩小前的图形的什么比？面积比应该是一比 m 的 平方。好，请大家来 把这句话来一起读一读，预备起。如果把一个图形按一比 n 的 比缩小，缩小前后图形面积以是一比 n 的 平方，根据这样的规律，我们来完成这样的练习。 哎，把一个平面图形按 e、 b、 m 的 底缩小后，每条边的长都是原来的。抢答，你说同意吗？ 缩小后是缩小前图形面积的，一起说平方，大胆的说，平方分之一，平方分之一。如果一幅图以一比五缩小，则面积比是 二十五，一比二十一，二十二，一比二十五。缩小后的边长是原来的五分之一，多少五分之一，五分之一，面积是原来的二十五分之一，二十五分之一。哎， 刚刚呀，我们啊，一起研究了把一个图形按一定的笔放大或者缩小它们的面积的变化规律，那么根据这种规律啊，我们来完成这个练习， 好，请大家读题，然后把它写在我们的探针动脉的地方。 一个操场按一比一的比划在纸上，在纸上色得这个长方形，操场的长是八厘米，宽是六厘米，这个操场的实际面积是多少？你能用今天所学的知识来解答吗？ 这里呀，我们已经完成了对面积的变化规律的探究，那么请大家回顾一下，刚刚我们是如何来探究的 啊？我们才开始是怎样的？首先是怎样的？ 我们提出的问题，哎，提出什么问题啊？一个平面图形如果按照一定的比例放大，它们的面积会有怎样的变化，是不是啊？是提出了这个问题之后，我们就来进行怎样 探求，发现利用这些平面图形啊来进行探求，探求完了，最后怎样得出了结论？得出了怎样的结论呢？ 当什么一个图形按上 m 比一的比放大，放大后的图形放大截的图形的面积是 n 的 平方比，得出了这个结论之后，我们还要来进行 验证，验证通过平行四边形和梯形这两个图形最高端的结论，再一次的验验。

瞧，王小光拖动鼠标把一张长方形照片放大了，得到了图一、图二和图三。 请同学们把这三幅照片分别与原图比较，你发现了什么？是的，二号和三号虽然变大了，但画面发生了变形， 只有一号图形不仅放大了，而且形状没有改变。 把一幅照片放大，怎样才能使它的形状不变呢？这就是我们今天 今天要研究的问题。要研究图形放大的有关规律，就要研究图形在放大前后对应边的变化有什么规律。 放大前后的长是一组对应边，放大前后的宽也是一组对应边。课前，老师测量了这四幅长方形照片的长和宽。 原图长八厘米，宽五厘米，图一长十六厘米，宽十厘米，图二长十六厘米，宽五厘米， 图三长十六厘米，宽十五厘米。请大家观察图中的数据，比较一下，三幅图的长和圆图的长有什么关系？宽呢？ 我们可以借助表格来解决这个问题。图一与原图长的比是十六比八，化减后是二比一， 宽的比是十比五，化简后也是二比一，也就是图一的长是原图的两倍，宽也是原图的两倍。 图二与原图长的比是二比一，宽与原图的比是一比一，也就是图二的长是原图的两倍，但宽不变。 图三与原图长的比还是二比一，宽的比化简后是三比一，也就是长是原图的两倍，宽是原图的三倍。 三幅图中只有图一与原图长的比和宽的比都是二比一。 现在你知道为什么只有涂一 的形状没有变化了吗？原来图一放大后，照片的长和宽都是原来的两倍，也就是长的比和宽的比都是二比一。 要使图形在放大的过程中形状不改变，就要使放大前后对应边的笔要相等。 像上面图一这样，把长方形的每条边都放大到原来的两倍。放大后的长方形与原来长方形对应边长度的比是二比一， 就是把原来的长方形按二比一的比放大。这里的二比一表示什么呢？ 前向表示放大后的长度，后向表示放大前的长度，二比一就表示放大后的图形与放大前的图形对应边的长度比。 理解了什么是图形的放大，下面我们一起学习。按一定的笔把简单的图形放大，这里有一张风格纸，要求按 按三比一的比画出长方形。放大后的图形按三比一的比放大是什么意思呢？ 前向表示放大后的长度为三份。后向表示放大前的长度为一份。 把长方形按三比一的比放大，就是放大后的长方形与原来对应边长的比是三比一， 也就是风大。后长方形的长和宽都是原来的三倍。那么你知道怎样算出 放大后长方形的长和宽各是几格吗？放大后的长四乘三等于十二格， 放大后的宽二乘三等于六个，算出格子数，再在方格纸上画出相应的图形。 我们可以把一个图形按一定的笔放大，也可以把一个图形按一定的笔缩小。 如果要把图一中的原图按一比二的比缩 小，长和宽音是原来的几分之几，各是多少厘米？ 这里的一比二表示什么呢？前向表示缩小后的长度为一份，后向表示缩小前的长度为两份。 把原来的照片按一比二缩小，就是缩小后的长方形与原来对应边长的比是一比二， 也就是长和宽都是原来的二分之一。理清了缩小前后对应边的关系， 你能算出缩小后的长和宽个是多少吗？缩小后的长八除以二等于四厘米，缩小后的宽五除以二等于二点五厘米。 理解了什么是图形的缩小，下面我们一起学习。按一定的笔把简单的图形缩小 在方格纸上，按一比二的笔画出长方形。缩小后的图形 按一比二的比缩小是什么意思？缩小长方形的 长和宽各是几格？怎样计算？按一比二的比缩小，表示缩小后长方形的长和宽都是原来的二分之一， 因此，缩小后的长四除以二等于二格。缩小后的宽二除以二等于一格，然后再画出相应的图形。 刚才我们将同样的长方形先按三比一的比放大，再 将原图按一比二的比缩小。请同学们将放大和缩小后的图形与原图比较，你有什么发现？ 我们可以发现，图形的放大或缩小是按指定的笔放大或缩小。 放大或缩小后的图形与原图相比，对应边长度的笔都相等， 所以放大或缩小前后大小变了，但形状不变。

哈喽，大家好，今天是五一劳动节放假的第三天，而今天呢，是不是大家玩的都非常的开心，哎，开心归开心，该收收心，来听我讲题了，先读题，一块长方形菜地，一块长方形地的长与宽的比是七比四， 将其按一比一千的比例尺画在图上，所得的比例平面图形中长是四十四厘米。计划在这块地上盖一栋楼，楼的占地面积是块地的百分之十，这栋楼的实际占地面积是大约多少平方米？来，我们先看这个需要三步，我们先来看第一步， 第一步就是我们先求出， 哎，我们知道了它的周长，我们都知道周长公式是长加宽的和乘以二，然后呢，我们要求它的长和宽自然得先除以二， 然后呢，它的比是七比四，我们就因此可以知道它是呃四加七，呃，七份，但是呢，我们先得出一份的，对吧？ 一份是两厘米，然后呢，我们就要求我们求出来了，呃，他的一份是两厘米，我们先来求图上的，也就是二乘七等于十四厘米， 二乘四等于八厘米。 哎，求出来图上的了，我们就要开始来第二步了， 求实际长与宽， 我们求出来图上的它是一比一千因子，我们只需要把它放大一千倍就行。 十四乘以一千等于 一万四千厘米，还等于一百四十米。然后呢，第二个也就是四乘一千等于四千。哦，八乘以一千 也就等于八千厘米， 也就说是八十厘米，呃，八十米。哎，假如这很多同学是不是就有些疑惑了，老师，你乘这个一千就罢了，你为什么还要把它化成米呢？哎，如果说你这样问的话，那这个问题肯定问的太好了， 他这个乘以一千呀，是一，我求的是他厘米，但是呢，我们可以看到后边要平方米，我们为了后边题的着想，也为了节省时间，所以我们可以这样写，速度比较快，考试的时候也可以这样用哦。 然后呢我们就来第三步了，也就是最关键的一步，求楼的占地面积。 哎，楼的占地面积，这个怎么求呢？我们首先知道了它尺它这个长和宽，我们先来求出来，那这个长方形 d 到底有多大？ 这个就是他算出来有多大，然后呢再乘以百分之十就可以求出这个楼的了， 也就是一万一千两百，呃，等于是一万一千两百呃，平方米，然后呢再乘以百分之十， 就等于一千一百二十平方米， 然后我们就求出来了，他这个占地面积大约是一千一百二十平方米。哎，到这我就讲完了，我的讲解完毕了，你们听懂了吗？听懂的点赞加关注，谢谢。

同学你好，今天我们来学习图形的放大与缩小， 生活中你见过这些现象吗？这些现象中，哪些是把物体放大，哪些是把物体缩小？ 手机拍照是把物体缩小，放大镜是把物体放大，投影机也是把物体放大，显微镜是把物体放大。 王小光在电脑上拖动鼠标，想把一张长八厘米、宽五厘米的长方形照片放大， 你认为下面哪种情况是把这一张照片放大呢？ 第一种，将宽拉至十厘米，原来的长长度不变。第二种，将长拉至十六厘米，宽不变。 第三种，将长拉至十厘米， 将变大后的三幅图与原来的照片相比， 我们发现第一种与第二种情况，照片的形状都发生了改变。只有第三种情况，照片虽然变大，但形状没有发生改变。 我们把这种情况叫做把图形放大。 想一想，放大前后照片的长有什么关系？宽呢？ 首先来看长，放大前是八厘米，放大后是十六厘米。再看宽，放大前是五厘米，放大后是十厘米。 可以发现，放大后照片的长是原来照片的二倍，宽也是原来照片的二倍。 或者说放大后照片与原来照片长的比是二比一，宽的比也是二比一。 原来如此，只有当放大前后两幅照片对应边长的比相等时，图形的形状才不会改变。 像这两张照片这样，把长方形的每条边放大到原来的二倍， 放大后的长方形与原来的长方形对应边长的比是二比一，也就是把原来的长方形按二比一的比放大。 什么叫 an 二比一的比放大呢？ an 二比一放大就是把个边的长放大到原来的二倍。 如果要把原来的照片按一比二的比缩小，长和宽应是原来的几分之几个是多少厘米呢？ n 一 比二的比缩小，也就是说缩小后的长方形与原来对应边的比是二比一， 也就是长和宽都是原来的二分之一。 可以求出缩小后的长是八的二分之一，即四厘米。缩小后的宽是五厘米的二分之一，即二点五厘米。 回顾一下刚才的学习内容，如何根据一个比判断把图形放大还是缩小呢？ 这个笔表示的是现在图形的长度与原来图形长度的比及笔的前向代表现在图形的长度， 比的后项代表原来图形的长度。当比的前项大于后项或者比值大于一，表示把图形放大。 当前向小与后向，或者说比值小与一时，就表示把图形缩小。

下面我们来看一下六年级下册数学练习册第四十四页单元练习的第二题， 按二比一的比翼画出下面三角形放大后的图形，那么这一节的内容它主要是什么呢？其实这一节内容对后面的坐标也起到了一个铺垫作用， 那么我们放大的核心在这里，放大的核心我们是什么？首先我们看这给的是一张标准的网格， 那么网格我们看所有的线都是什么呢？横只有横和什么，只有横和竖，所以我们放大的时候也要跟着横走和竖走，千万不要跟着什么斜走，而且我们看如果是斜的话，比如说这里，那么我们看见的是无法确定他的这个什么所占的格数， 所以我们一定要什么呢？横走竖走，那么横走竖走怎么去放大他呢？首先第一步确定一个点，然后以这个点去扩展其他的点，比如我们现在 以这个什么呢？左下角这个点为就是为确定的点，然后我们在这确定一个点，往右扩展，我们看右原来是多少个的，一二三四五六七八八个， 那么我们就要多少个呢？十六个对不对？再数一下，一二三四五六七， ok。 然后呢我们到一二一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五十六， ok， 那 么现在呢我这个点呢也确定了，右边这个点也确定对不对？那么我们现在要确定的是另一个点是什么呢？这个点， 那么这个点的话怎么确定呢？首先这个点的话，我们就看我们前面这个定点离他的定点的什么横是多少？竖是多少？首先我看一下这个顶点距离，我们定点的话我们不要看斜的对不对？要看横竖是多少？首先我们看横到是懒的呗？横我们看的是第五个，对吧？ 也就是说那么我们就要扩展到第几个？ a 就 在这里第十个，那么竖的呢？ 竖的欧米画一个延长线过来，对不对？竖的第一个我们看一下啊，一二三四五六七，竖的是第七个， 那我们就把扩展到多少个呢？二七十四个，对不对啊？所以我们来看一下，一二三四五六七二九十十一十二十三呀？不应该画在这，我们得往下画一画，是不是 重新来一下啊？嗯，重新来一下的话，咱们比如说从这个地方开始吧，然后这是一二三四五六七八九十 十一， ok， 十六到这来，对不对？然后呢我们的顶点距离，我们就点的横是距离五个，那么我们就是十个，对吧？竖距离七个，那我们就是什么了？十四个对不对？哎，一直在这个地方，是不是？那么现在呢？我们把这一点连起来啊， 就 ok 了，那这时候我用尺子连吧， ok 啊，这样呢我们就画出来，大家记住这个放大的这个核心，他是要看横和竖放大，然后呢确定一个点。

因数中又是质数的，就是知因数。好，那分解知因数，刚才这个同学摆在了这个位置， 分解知因数，什么样的数可以分解知因数？秋雨，那怎么摆？你觉得分解知因数应该摆在何处的那个处？杜子豪， 你认为呢？因为如果要分解真数，这个数一定要是和数才能分解。你上来摆一摆，好，现在重新用线连接一下我们的结果，这个摆到这里可以是吗？好，来 箭头。好，现在我们集体的观察一下这样摆放，同意不同意？同意了吗？同意了是吧？好，行，请坐好。同学们看一下刚才原本孤立的很凌乱的一些概念，经过大家的集体讨论，最后我们 把灵散的芝士连成了线，织成了一张什么网，是不是像一张芝士的网，感觉一下有什么好处？和刚才那些凌乱的摆放相比有什么有什么好处？这么一整理之后， 高韩宇说是不是很方便了，看起来这些芝士之间的什么也很清楚了， 关系很清楚了，我们能看出每一个概念从哪里来的，还可以往哪里去，是不是他是怎么来的，他的根源在 哪里？他还可以继续向下发展出什么新的知识对不对？所以经过整理，我们感受到知识的脉络是不是非常清晰了，对这些概念的理解是不是也更加深刻一些了？好的， 那么整理过数的概念了，能不能灵活的应用呢？好，下面我们进入应用数的知识， 一，写出十八的，再写出十二的所有名字。好，谁来？十八有没有？没有了是吗？大家看见他在想的时候有序吗？ 用什么样的顺序去想的？你说几乘几等于十八？对了，那么想到了这两个数同时就是十八的因素，成对的出现。好，现在写完了没有？写完了可以加什么号？记号。好，再来十二的因素。 说完了没有？说完了加上句号都能说的完。那看来一个数的因素的个数是有限的，其中最小的因素是一，最 大的因素是他的声。每个数的因素是不是都具有这样的特征？是的，在研究这两个数的因素时，你们还有什么发现？他们有共同的，共同的因素，是吧？好，谁来说一说？你已经看到最大的了， 还有其他的公因子吗？有，报一下。好，那么一二三六 都是个公因子，其中最大的公因子是六。好的，接下来写出六个九的倍数 起来。举张涵。好，说完了吗？说完了加什么号？省略不加句号啦。为什么加省略号？因为它的倍数是有限无限的。对了，请做六的倍数仍然要加上，写的完吗？ 写不完说明无限的一个数的倍数的个数是无限的。正确，最少的倍数是他本身，接下来没有最大的倍数。好了， 这也是一个数的倍数的特征。好，在研究九的六的倍数的时候，有没有共同的？有有有， 王小瑞，八三十六，这两个数就是他们的共同倍数，还是零号，为什么也要加上零号，你说是不是？好，其中研究他们的最小，对，是多少？十。好， 下面的数哪些是二的倍数，三的倍数和五的倍数。我们用方框圆和五边形， 二的倍数是二十四、六十，一百三十二、二百四十和五百七十。同不？同意？同意，掌声鼓励。三的倍数，朱小新，二十四，四十五，六十一百零五，一百三十二， 二百二十五，二百四十五百七十，都是三个倍数。好的，五的倍数， 五的倍数，王平四，同意吗？同意。大家有没有发现有的树身上被圈了这些树，它就是 二三二三和五的公倍数，对不对？嗯，好，那么也有一些树的身上圈了两个圈， 绿色的和五边形的，说明了什么？身上圈了绿色圈和五边形的，你说好了，三和五的公倍数是有什么样的特征？既要是三的倍数又是有什么样的特征？在楼上好了，下面请大家来挑战一下。找出三和五的公倍数， 找两个同学上来挑战。好，沙带文说一听，准备好了吗？你在这边别的其他同学不可能在心里面评价你们的内心，要评价有的不敢点是不是？有的差点被误点了？好，他们都对了吗？ 答对了是吗？好，看一看这几个能点吗？不能点，虽然个位上是符合五的特征的，但是你们加起来各个位上的数和不是什么是三的倍数好，所以这几个不点很好。下面我们用一 二三五四张卡片来干嘛？两位数，先有序思考，再第一次写下来，请写在你的加号本上，谁上黑板来写一写？朱一萌，你来写个一。好，说好了，抬头看一下，朱一萌，给我们介绍一下你是怎么来有序思考的。 十位上放一的时候可以有这三个数对吗？十位上放二 也是三个吧，数上还可以放三，数上还可以放五，只有卡片五，没有卡片四好了，所以十二个数，这样就没有重复，也没有遗漏，好， 核对一下是不是？对了，举手！好的，接下来还想玩游戏吗？想，就用你们自己写出的这十二个两位数，请你们来按不同的标准分类， 可以怎样？刘伟，你说可不可以？可以，那就可以玩一次分奇偶数的游戏。是不是还有没有第二种分法？朱子豪，你说行不行？行，是按的倍数的跟不是按的倍数的，是三的倍数的，不是三的倍数，这样分好，还有没有其他的分类 分法？许泽涵，你说行不行？行，字数一类和数不一类很好，来，你来，其他同学看他分的对不对，对了没？对了，刚才还有人说可以分成一六九，好，谁来？我来， 你问你了对吗？嗯，很对很好，掌声表扬两位。好了，游戏玩过了，下面我们要来解决一些问题了，选一选下面的问题其实是在求什么？思考，给你三个选项。朱通宇，你说这实际上是在求， 刚才你说同意吗？同意，六和八的最小的倍数。好，再来把长十八宽十二的长方形纸裁成 同样大的正方形纸，没有剩余，裁出的正方形的边长可以是多少厘米呢？还是有想法了， 求十八和十二的公约数同不同意？同意，不仅仅是最大公约数是吧？嗯，好，掌声。最后一起要求这批树苗有多少颗？这是实际上求的是什么呢？刚才那最后的答案是，刚好就是这个最小公倍数，还要再加上，还要再 减去一，是不是？对，求的实际上是比六五四的最小公倍数再小一？对了，很好，先把最小公倍数求出来，再减一。好。 其实我们今天研究和复习因素和倍数的知识，早在两千多年前就有很多的数学家也在研究这里面的知识。 数学家们发现，写下六的因素，读一读，除了他自身最大的因素六，其余的三个因素相加的和加一加，耶耶耶耶，刚好等于六。那么发现这是一个非常有趣的现象， 如果一个数的所有因素要除去谁，它本身的其余几个因素来相加和刚好等于这个数本身，那么这个数就一个名字， 完美树。哦。完全树又叫做完美树，为什么叫它完美树呢？因为这样的树不是随手可得的，很稀少，所以叫完美树。 最早玩研究完美数的是谁呢？毕达拉斯，他是在公元前六世纪古希腊的一位数学家。好了，同学们，我们还可以来找一找第二个完美要不要，好不好？好，首先他是一个偶数， 他还是一个两位数。需不需要再来一条信息，两个数位上的数值合适十。好了，就这么多信息，可以试一试，算一算，第二个完美数是谁呢？根据这三条信息，看谁能最先找到，我上去检验一下好了。同学们作证， 已经有两位同学上来给出了他们的答案，他们找到的第二个完美数是二十八，对不对呢？包含进行了检验。怎么检验？我们看看。 先写出二十八所有的因素，然后除了谁二十八之外，其余的因素相加的和算一算，大家一起口算一下，是二十八吗？刚好就等于二十八本身，所以它是不是第二个完美数？是掌声鼓励两位，是的， 确实就是二十八。好的，那么科学家们在研究数的因素的过程中又有了新的发现。

小升初数学最难的六大专项母题，考前一定要练！二六年小升初数学总复习六大专项母题专项一，数的计算专项二比和比例专项三，解方程和比例专项四，列方程解应用题专项五，不规则图形阴影部分的周长面积。专项六，圆柱与圆锥的体积表面 积。专项一，数的计算，专项二，比和比例。有完整的电子版，需要的回复三五八可打印。

这是一道比例单元考中的题目，如图所示， c、 d 是 a、 b 的 高，以 a、 b 为底对应的高就是 c、 d， a、 e 是 bc 的 高，以 bc 为底对应的高就是 a、 e。 相当于提到了三角形 a、 b、 c 的 两组底和高。题目又告诉我们 a、 e 比 c、 d 等于 n b、 m， 那 么 bc 与 ab 的 比是什么？告诉我们，高之比求对应底之比。 我们去想三角形的面积公式，两组底和高都属于同一个三角形 abc， 那 三角形的面积是一定的，那就意味着底乘高的这个乘积是一定的。 三角形是同一个三角形，那三角形的面积是固定的，乘二也是固定的，就意味着底与高的乘积一定。那底和高乘反比例关系， a、 e 比 cd 是 高之比，那乘反比例就意味着它等于 底之比，得反一反这个位置，这个位置不再是 a、 e 对 应的底，得是 c、 d 对 应的底，也就是 a、 b 这个位置得对应的是 a、 e 的 底 bc。 注意，这个地方不太好理解，如何由乘反比例得到这样的结论，不太好理解。 等会儿我们再讲一种思路，可能更直观一些。如果是这样的话，它的比是 nbm， 就 意味着它也等于 nbm， a、 b 比 bc 等于 nbm。 可是问题问的是 bc 比 ab， 那 它俩得反一反，那就是 m 比 n 选的就是 b 选项。再讲一种比较直观的，首先我们知道三角形 abc 的 两组底和高，分别用这两组底和高来表示面积。底 ab 乘高， cd 除以二，代表的是三角形 abc 的 面积。另外一组底 bc 乘它对应的高， a、 e 除以二，也代表三角形 a、 b、 c 的 面积，二者相等，那都有除以二。可以知道 ab 乘 cd 就 等于 bc 乘 a， e。 由这样一个式子把它改写成比例问题，问的是 bc 比 ab 等于什么？比什么，我们来改写，根据比例的基本性质， ab 和它做的是内向，那 a、 b 应该跟它相乘，那我们看一下 a， b 跟 c、 d 相乘，说明 c、 d 在 这个位置，再看 b， c， b， c 跟它相乘， b， c 跟 a、 e 相乘， a， e 在 这个位置。我们来看看 c， d 在 前， a， e 在 后，那就应该变成 m， b， n 同样还是能够得到选 b。

按比例放大或缩小是常考题型，这类题不难，但是要拿满分还需要一些技巧。这些图形按二比一放大，二比一 就等于二，除以一等于二放大二倍。图形分为有直角边的和没有直角边的， 有直角边的就比较容易，找到一个直角数格子就可以了。这个长方形的长，一二三，扩大二倍，变成六一二三四五六，宽是一，扩大二倍变成二一二，然后把它们分别连接起来， 这是四条边的，我们再看一个三条边的，先找直角，再数直角边的格子，一二扩大两倍，变成四一二三四。 另外一个直角边一二破到两倍也变为 s， 一 二三四，然后剩下的斜边连起来就可以了。这种有直角边的比较容易，难的是没有直角边的技巧。做高。 第一个梯形，它的高我们画出来，然后对高进行放大或缩小。这个图形是放大，我们先把高放大二倍。圆图形高占两格，放大后占四格， 再画与高有顶点连结的这条边，一二扩大两倍，十四，一二三四， 然后再数几边高的，右边一二，再加个半格，两个半扩大两倍就是五格，一二三四五，左边有半格，扩大二倍就是一格。最后连接剩余的两条边， 当然我们要把圆图形中没有的这条高涂掉，这样这个图形才算画好。 再试一个这个三角形，我们先做它的高，然后把高扩大两倍，一二三四。顶点连接的没有直线，我们就看另外一个点连接的直线。右边一格扩大二倍，两格，左边一格扩大二倍也是两格。把斜边连起来， 除掉我们添的高，完成放大后的图形，这个知识点不难，一定要动手试一下。