山东省八下数学相似三角形哪一章

hello， 大家好，今天我们来讲解相似三角形的第二个章节，叫做模型探讨 啊，这个章节呢，非常非常非常重要啊，我列出了十大相似三角形的模型，基本上包含了初中数学啊所能见到的啊模型，所以大家一定要认真听讲， 我给大家的这个要求就是你一定要把十大模型的样子一定要记住，然后呢它有哪些特点也一定要记住一些结论大家可以不用记，但是样子一定要记住。好， 我们在讲解这个全等三角形的时候，是不是讲过，全等三角形它是不是无非就有三种变化呀？平移、翻折、旋转，对吧？ 其实在这个箱子三角形当中呢啊，也是同样的道理，大家先看左边这两个图， 一个白色的三角形跟一个灰色三角形，对吧？他们两个三角形相似，无非是先把一个大的三角形进行一个啊，缩小完了之后呢，他进行一些动作，大家看，首先我进行了一个平移，好，平移之后得到了这么一个图形，大家看， 这个就是我们常说的 a 字模型。好了，我再进行一个翻折翻转，大家看得到了这么一个图形，这个就是我们常说的八字模型。 好了，如果我往下进行一个翻折，得到了这么一个模型，这个模型就是我们常说的 子母模型，所以说呢，相似三角形跟全等三角形，它的原理是一模一样的，它也无非就是先把图形进行了缩放，然后进行了平移， 对吧？旋转和翻折就得到了不同的这个模型，所以说万变不离其宗。嗯，我们来看 相似三角形跟全等三角形，其实是不是啊一样的原理啊？好了，那根据这个我们再来看看它到底有哪些模型。 我根据相似三角形的一些特点，我们来看第一个，如果是平移加缩放，我得到的是什么？ a 字模型， 我通过翻折加缩放得到了子母模型，蝴蝶模型，还有双高模型，我通过翻转得到了什么呀？八字模型、一线三等角模型、角平分线模型、手拉手模型、 对角互补模型和十四十字架模型。所以这十大模型呢，大家一定要啊，记住它长什么样子。那我们具体来看一下每一个模型 啊。在讲解模型之前呢，有一个非常重要的定律，我相信大家也知道，就说三条平行线， 我们把两条线呢进行了一个分割，那么它们这个对应的这个线段呢？它是成比例。我们看这张动图啊，那就是 a b 比上 a c 是 不是就等于 d e 比上 d f 呀？也就是上比权等于上比权， 那同样 ab 比 bc 是 不是也等于 d e 比上 e f， 上比下等于上比下啊？同样的是不是下比权也等于下比权啊？就是我们把它 切割之后，被平分线切割之后，它对应的线段都是成比例。知道了这个概念之后，我们再去啊研究具体的每一个模型。 好，我们来看第一个模型，叫做 a 字模型，那什么叫 a 字模型呢？大家看已知点 d、 点 e 分 别是线段 a、 b 和 a、 c 上的点，且 d、 e 平行于 bc。 好， 那这样的模型呢，我们就要叫做什么呀？ a 字模型，大家看这张图非常好理解，对吧？其实 b c b 二有个平行线， d e 好， 那是不是三角形 a d e， 那 跟三角形 abc 是 一个相似关系啊，对吧？我们再通过一张动图大家去感受一下，只要是跟 bc 边进行平行， 是不是永远是一个 a 字模型啊？我们能推出来这两个三角形是相似啊，很多同学说了，这个 a 字模型是不是太简单太基础了呀？ 啊，我一眼就能看出来，其实往往在几个大题中，越简单的时候，你往往越容易忽略，为什么呀？因为我们做大题的时候，经常会大家看，经常会有很多很多的线，有很多很多的线， 对吧？有可能还有圆，对吧？还有可能在圆里面，等到这么复杂的线的时候，你可能有的时候你就忘了一个基本的条件了，比如说 d e 平行于 bc， 或者你推出来的 d e 平行于 ac， 到那个时候 你可能就找不到这个 a 字模型了。所以说大家注意一点， a 字模型有什么特点？一定是平行线得来的对不对？ d e 平行于 bc， 大家一定要记住这个关键点， 如果，如果一题目说哪条两条线段平行，你先考虑是不是个 a 字模型好了， 那除了这个直接平行以外，比如说三角形内接了一个什么呀？矩形，大家看一说矩形，一说矩形，是不是它的两条边是平行的呀？所以它也逃不过 a 字模型，对吧？那三角形 a、 d e 跟三角形 abc 是 不是一个全等关系，也是不是一个相似关系啊？既然相似了，好，那 a i 是 这个小三角形的高， a h 是 这个大三角形的高，那是不是也有 a i 比 a h 等于 d e 抵上这个 bc 啊！刚才我们在第一章是不是讲解过相似三角形的一些性质啊？ 它的高是不是对应的高是不是也等于相似比啊？所以这个就是内接句型，大家在通过这张动图去观察，不管这个句型怎么变化，只要是 d e 平行于 d c， 永远有这个三角形，是一个 a 字模型，对吧？可能包括左侧这个 a、 d i 跟这个 a、 b、 h， 它们也是一个相似关系，也是一个 a 字模型，对吧？ 好，那如果里面是内接一个正方形呢？是不是也同样的道理啊？只要是 d、 e 平行于 b、 c， 它永远都有这个条件，对吧？它们的高等于这个相似比，那这里面有个特殊的情况，就是因为它是正方形，那是不是 d e 等于 a 啊？我假设这个 d、 e 的 边是 a， 它们四条边是不是都是 a 啊？好了，那 a i 是 不是就等于 a h 减去这个 h， 呃， i h 啊， i h 是 不是也是这个正方形的高呀？那是不是 a i 就 变成了什么呀？是不是等于 a a h 减去 a 啊？好， a h 我 还不动，我从这推过来啊， d e， 大家看 d e 是 不是也是等于 a 啊？然后等于 b c 好 了，那我们进行一个画点，就能得到这么一个式， 等于，这是一个内接正方形的一个啊，特殊的一个结论，这个结论用记吗？千万，大家就千万千万不要记， 你只需要知道了这两个三角形是相似关系，是 a 字模型，你自然而然就能推出来这个结论。好了，那这个就是咱们说的 a 字模型，它非常重要，这是所有相似三角形的一个基础当中的基础， 大家一定要记住这个样子，尤其是在那种特别复杂的几何大题当中，一定要把它这个能够找出来。

哪两个三角形都是 如果用语言来描述，用符号语言来描述，就是 怎么写？因为 d、 e 平行 bc， 所以 三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 b、 c， 对 吧？ 同样，这边也有一个 d、 e 平行 bc， 利用符号语言来描写， 注意到了吗？它前面写三角形 a、 d、 e， 后面它写三角形什么？ abc 了吗？没有，它写成了三角形 a、 c、 t。 为什么这样写 要对应顶点？写在对应位置上，得点的对应点是 c， 为什么上下平行是这个角等于这个角，这个角等于这个，对吧？所以得跟 c 对 应点， e 跟 b 交 叉起来。啊 啊，对，这是上一节课学习的由平行的相似。今天我们将继续跟大家探索三角形相似的判定。 同学们知道三角形全等的判定对不对？来，我们说这几种， 边角边全等 角角边全等、角边角全等 s、 s 全等，是吧？三角形全等的判定还有个怕是三角形 h， 对 不对？ 那么三角形相似是否也有这样类似的判定方法呢？请看一本。 我有两个三角形， a、 b、 c 和 a 撇， b 撇， c 撇。 三角形 a 撇， b 撇， c 撇中 角 a 等于角 a 撇，角 b 等于角 b 撇，这叫两角对应相等。 这两个三角形 a、 b、 c 与三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇相似吗？ 我问你们呢？开始往前走了， 你们学过三角形相似吗？学过什么的？ 平行的相似，还学过什么得相似的呀？定义得相似 对不对？第一是各角对应相等，各边对应成比例相似。三角形昨天得了一个简洁的平行的相似，请问今天可能用第一点还是用 平行的相似？那用平行的相似，我有平行吗？没有，没有，怎么办？对，没有，咱们抓住。 不知道 如果在这边造一个跟他相似，那么这边造的这个和这个一定要什么关系？注意和主人的对不对，他们就成了。那么因此基于这样一个要求，在这边怎么造？ 平行是平行，但是平行以后这个跟这个要全等就麻烦了，所以这个照还不能随意照，对不对？哎， 怎么说？在这条边上截取一段等于他，哎，截取一段 a 的 等于他， 这个没有问题吧？在 a b 上 截取 a 的 死 a 的 等于 a 撇 b 撇， 然后呢？那么大家都知道做平行的话，哎，过得做得以平行什么意思？过得做得以平行 九 a c， 那 么孩儿，那你这也有平行？那这小的跟这大的一丁是吧？ 那边的对不对？那我们下面核心的任务是干什么的呀？证明这两个小的是吗？全的，那哈，你们就干这事哈，可以吧？哎， 如何说明这两个全的？ 老头，你醒了，你上去说说看。学长吗？他醒了，那全都不是摆着了，对吗？ 小陈同学想，那你坐下来了，严肃认真听我的课。 那么先标一标他已经具备哪些条件了吗？对不对？这个等于这个一个条件具备了，对吧？ 这个等于这个两个条件具备了，对吧？那么已经有一边一角了，你说还找什么？ 再走一脚，那就是脚边脚，对吧？再走一边，那就脚脚，再走一边，那就边脚边。看来不行是吧？十有八九是走了脚来和一起是脚的好吧。哎。呃， 因为呃得一平行 bc， 所以 角 a 得 e， 呃等于角 a b c， 又因为呃角 b 等于角 a 撇一撇 c， 所以 角 a 哥，就等于角 a 撇一撇 c， 成了啊，如果你会啊， 你看哪位小朋友来了啊，有偏险而得意。 相似于 a、 b、 c， 对 不对？由全等 a 得 e， 全等于三角形 a 撇， b 撇， c 撇， 你看，这边是相似，这个又跟他全的，所以这两个什么相似？相似？你看，这就是我们的解决问题的核心思路。 怎么了？ 站起来，集中注意看我啊。那么我们一起来了啊。来，各位小朋友，看到我们把这个读一遍哈。读了， 你的声音大。三角形 a、 b、 c、 d 和三角形 a、 b、 c、 d。 中角 a 等于角 a， 角 a 等于角 b， 这两个相似吗？相似，那条件有几个？两个什么条件呢？两角对应相等。结论是什么？相似了， 对吧？昨天是什么条件呢？平行相似了。今天什么条件呢？两角对应相等相似了，知不知道一个新的方法， 哎，没了。今天的方法是两角对应相等， 像三角形相似，对不对？记住了哈，没了，我将它放在边上。 这两个三角形是分散的三角形，一个三角形 a、 b、 c， 一个三角形都以 a， 其中角 a 等于角的角 b 等于角 e， 所以 这两个三角形什么关系啊？相似，下面用符号语言列米老鼠 好不好？对，用符号语言描述。因为所以选择怎么办？你们回去了吧？会整理吧。整理了一道，满足什么条件，我用什么。 嗯，好起来写好了哈。两角对应相的两三角形相似。依据角角的相似看看，看看角角的相似。 跟全的一比较，缺了一条什么？缺了一条边。嘿，缺了一条边相似多一条边。全的 学会了， 然后学以制用。学以制用听不懂吗？那今天我们就用今天学到的方法来解决问题。请看这块看立业打开选独立业 读你孩子。 a 撇 b 撇 c 撇中。已知角 a 等于五角 b 等于角 b 撇等于六角 a 等于 c。 三角形 a、 b、 c 与三角形 a、 b、 c、 d 相似吗？有脚有相似吗？那么你看看前面条件是跟什么有关的跟脚有关还是鳖有关的 跟脚有关，那么跟脚有关今天跟脚有关的相似的条件就在这块呢。叫脚脚的相似啊，对不对？两脚对应相同吗？脚脚的相似那找就行了吗？来标啊。标一标吗？已知条件怎么说的？ 角 b 等于角 b 点那还得不要啊，有一个一个角形了吧，还缺一个找啊，不找找不到算呢， 懂了吧，那你看算谁啊？算角 a 啊，角 a 本身多少度？角 a 角 a 角 a 五十度他有啊 啊，九 a 撇对吧？哎，小朋友们这个五十，那么我算一算九 a 撇吗？也是五十啊。那么怎么说 可以学这个等这个这个等说明相似。一句皎皎的相似对不对？会写吗？会写啊，会写就写呗。 怎么写减求怎样呢？求角 a 撇对吧？在哪里求的？在三角形 a 撇 b 撇 c 撇中角 a 撇怎么算呢？内角和 一百八减多少七十减六十等于多少五十，所以就得到角 a 等于角 a 撇对吧？一组还有一只角，右角 b 等于什么？角 b 撇是不是 还看我，盯着我看我学的记准在这里的。 所以呢，拿两个三角形是怎么写的呢？来来来啊，你过来跟着我，后面帮你挠死没出息到我哦，那我写是吧？来， a、 b、 c 相似于三角形，确实对应了哈理由，哎，哎，好一哈坐下来啊。 来啦，小朋友。我现在有一个直角三角形 a、 b、 c， 来，把例三多一点， 说直角三角形 a、 c、 b 中嘛，说 c 都是斜边上的，高， 就这么一个图，对吧？那你要看到这个高，把直角三角形分成两个小的直角三角形，对吧？一个大的直角三角形分成了两个小的直角三角形。好，问你，图中有相似三角形吗？ 哎，有平行吗？没得，对不对？没得平行吧。那么找相似就是找什么的呀？脚就找脚，而且还找几个脚蹲一下呢。两个，那你找得到吗？找不到啊， 你们在下面写出来吗？ 哎，你要我说这两个三角形相似，我就找到两角对应相等就行了嘛。 这里面一个隐藏角形，一个公共角，是隐藏角形，对吧？一个直角相等也是隐藏角形，是吧？把两个长的，把它，把它，把它发掘出来了， 然后说谁跟谁相似，写，写出来，写。 当我们写的时候要注意最硬一点点写在最硬位置上， 写了嘛？他们盯着一看，哎呦，看懂了，往那边写，这笔空线还不够，是跟你们家一样一样的 哦。嗯，讲的不错，来了，他捋了一下关系，同学，你看了吧， 说这个角，直角，这个角直角，这个角，三个直角相等，对吧？然后说角 a 等于角， a 是 公共角，角 b 等于角， b 是 公共角， 然后说这个三角形 a、 c、 b 全相似于三角形 a 得 c 没错，对吧？三角形 b 得 c 全的相似于三角形 b、 c、 a 也没有错，对不对？这两个对的，对吧？哎，他写的这个东西， 这都两小的， 这个小的跟妈相似，这个差不多遗传性，对吧？强大的遗传，这小的跟他当然相似，对吧？这小的跟他的也相似。这两个小的也长得挺像的，是吗？ 哎，同学们，这个角跟他什么关系啊？九和九十互余，这个角和，这个角是不是和也九十啊？那意思这两个角什么关系？相等，那么再将这个角直角，这样直角，所以这两个小的也相似，对吧？对应的写对应位置写的确实很好，是吧？ 应该对的好。 a a c 的， a， c 的， c， b 的， 对吧？ c p 的， 这就对了吧。 哎，就注意对应一下。对应我发现，那么这里面有三个相似。来， 下面第二小问，皇后，一边出过， a b 等于二， b 等于四。重新来，孩子们改一下， a d 等于四， a d 等于四， b 等于二。求 c 来，那你们求求它呢？现在好像你刚刚是九得到相似，对吧？跟边混这么大的，现在他就不求边了， 已经知道相似了吧。那么相似跟边有没有关系啊？相似以后，相似以后怎么的，怎么怎么说呢？哎，对，成比例相似，三角形对应边成比例，那么成比例的话，有比例是你可以算的啊？ 对，大家算一下，看看算谁啊， 算谁啊？孩子们，算 c 什么？ c 德？来看二遍，哪地方有 c 德？这里有 c 德，对吧？这里这有一个 c 德，这里也有 c 德，对不对？这里也有 c 德，对吧？这里没有 c 德，但是这边这边有 c 德，是吧？这里也有 c 德，是吧？ 我恭喜 c 一 同学，用哪一个相似来 c 的 对应？对应角对应啊，这上去，这个对边是他，这个 c 的， 对边是他，对不对？然后对应边乘比例来转一圈。学生，刚刚我的标记选择比例是 写出来肯定丑，教子上不行啊，他不行，还要继续修炼。根据我们刚才的关系写了一个提示， 因为他已经对应的写对应位置上了吗？对应的字母，这个是 c 的， a 的 c 的， 你这个写 a c， 你 就点掉了吗？这个，这是 c 啊。所以说按使用 c 的 a， 那就是看到了吗？来多一遍。 在这个比利时当中， a 得多少？四， b 得二，那么求 c 得是不是可以求的？把比利时写成乘积式， 对角相等吗？ c 的 平方等于 a 的， 乘 b 的， 那么这个乘多少 八，所以 c 的 等于二对二是不是算出来的？ 来求 a c， 求 a c 来求 a c 一 求是什么情况？ 根据你来根据，你能不能算？哦？能算对不对？因为 c 得和 a 的 时候，根据你算还可以，怎么算 来？他是身体里，你到头上给你，你选，你看选哪个相似，然后做标记，等一会我们找人伤害了，根据你的标记写名字，画这样的标记来 对应好 这对应关系了。你这个 a c， 你 这个 a c 就 对你这个同款，这个 a， c 对 应这个 a 的 是不是这样标，是不是这样标，这叫对应 b 吗？你目的是我的嘴转对应 b， 这个 a c 看看。 那这个 a c 对 应 b 是 谁呢？它一三，它有一三嘛？哎，懂了吧？写比利时，快点 来，感觉这个数字写比利时， 动手，动手。 来来，我们要求 a c 为值的 a p 知道不？ a b 多少啊？六六 a d 知道不？四，所以把比例式换成乘以四，请出比例乘以四换成比例式，求得到 a c 平方等于 a 的 乘 a b， 那 这个就是几啊？ 多少？ a 得是四，这个是六二十四，所以 a c 等于二倍根号六。然后同样的方式，你能求 b、 c 吗？ 再用这种相似去求嘛来，你能得到类似的比利时吗？啊，你能由这个相似得到类似的比利时吗？ 求 b c 这个 b c d b c a 吗？不可能啊，应该是 b c d b i c， 对 吧？哎，那 b c b a b c b d， 所以 是 b c 比 b， a 等于 b 的 比 bc， 对 不对？那么化成比例式，化成乘积式，就是 bc 平方等于 b 的 乘以 b a， 这样一算就是二十二六一十二，所以 bc 等于二倍根号三。你看， 接下来小朋友在这个特殊的三角形叫直角三角形当中，鞋面上的高把这个直角三角形分成两个小的直角三角形，对吧？ 如果把大的那个直角三角形看成是妈妈生了俩孩子，对不对？我们把这个模型称为叫拇指 r p。 三角形 里面有没有相似？几组相似？三组相似。 哎，母与子都相似，长得挺像的。母子相似，母子相似，不仅如此，子与子也相似， 是不是？嗯，母子相似，子与子也相似，这是一个第二个，在这里还得到了这样的设置，这个设置我们挺喜欢的。 产结式 c 得是 a 得 b 得的比例通项， b， c 是 b 得 b， a 的 比例， a， c 是 a 得 a b 的 比例通项。得到这个三个产结式， 这个三个乘积式我们给他个名字叫 r t。 三角形当中有一个定律叫摄影定律，摄影摄影定律有三个等式，分别是这三个等式， c 的 平方等于 a 的 乘以 a， b c 平方等于 b 的 乘以 a， 当然图形画一下 a、 c、 b 直角直角，好，记住了吗？ 有了这个关系，是同学们，我们就可以知二，不能读一， 知二就知一切。啥意思？在这个三角形当中，知道两条线段的长，其他线段都知道， 不相信你点一下我们都会算出来。你说老师，这个是一，这个是二，这个就是根号，这个就是什么，这个就全可以算知道这两个。求知二，知一切 对不对？ 继续继续啊， 把丽丝多一点 a、 b 点 c 与 d 分 别在 c、 a、 b 上，斜角 b、 e、 e 等于角 c、 a、 b。 求证，三角形 a 的 以相似于三角形 a、 b 来找人来讲。 求证，三角形 a 的 e 和 a、 b、 d 相似，它已经有一个叫公共屏标，上图上标了 弓弓脚，那么根据 a、 a 的 相似再找一，再找一角就够了吧。好，再找一个角就够了， 走啊，同学们，已知是什么说就一得一等于九，得 a、 c， 还有什么 等腰？三角等腰可以转换成等角的，哪个叫枪的啊？角 b 等于角 c， 对 吧？那个小朋友把你勾远，喵喵看能等到谁等了。 哎，我要证明那两三轮相似，现在能不能得到一个，再得到一头脚，等得什么 得一比？开玩笑的，叫 a 得 a 一， 得 a 一 的。咦，怎么是小孩不是得等到这个角啊？这个角是不是这两个角？ 这个角等于这两个角，对吧？这个角，这个角是不是这两个角？那么这个和这个二呢？那么这两三角 a 一 的和 a 的 b 是 不是相似的？ 全网理智，这就是没想到外面还有，外面也有乾坤，对不对？还有外脚，性子一用成了对吧？哎， 用外角形值再找到一组角对应相等就成了吧。那么两角对应相等的相似了吧。好极了，孩子们，你们已经表现很优秀了。 我关我好像猫。看了一下，这里面已经得到一组相全相似 a， 再说一遍哈， a 一 的相似于 a 的 b， 是 吧？这里面还有相似啊？ 还有啊，对，你上来写一顿说，还有说，还有相似写这里，你们在上面写写 说这里还有相似，我们来看看哦，他说一一一 哒呦，跟谁啊？跟哒 c。 哎，很真实的哈，你咋这么牛的，认真听的 是吧？确实，这个角等于这个角，这个角等于这个角，因此这个三角形和这个三角形也是两角对应相的相似吗？这图不错啊，这图里面有两种相似。 嘿，再来，这图好像很有特点，什么特点呢？你看好了啊，这个九是等于这个的，对吧？嘿，这个九跟他们等吗？ 这个角跟那也等啊，那不是相似的吗？那第三个角肯定等啊。好，这个等于这个等于这个。在一条直线上这三个角的顶点都在一条直线上，这叫一线三等角。 一线三等角一定有相似，请看选最后一步跨 题目多一点， 和 x a u e f b 等于四十五点， e、 f 分 别在 a、 c 和 b c 上。求 c d e d e、 b 材料。原来什么形啊？等边三角形，等边三角形。三个角等不等啊？都是六十对吧？六十，六十标，快标六十， 这个也是六十哦。折下来是不是一切三等奖？那一定有相似。会完了啊， 改了就是改了， 祝你一生平安。

哈喽各位，在我们常熟八年级下学期提前学相似是一个惯例，其实有的班已经开始讲了，在相似刚开始的时候，相似比求长度与面积是一个必须掌握的思维，我们用这道题来快速梳理一下。在第一问里面，我们可以发现，如果要求得 e 呢？ 题干中给的这两个比例就非常的关键，它其实就是在告诉我们，三角形 a 的 e 相似与三角形 a b c， a 得 a 得，我们用作差知道 a 得是等于三 b a b 我 们看是七，那等于得 e 比上 b， c 是 九，从而快速求解，得 e 等于七分之二十七。 在要求 c o 的 时候呢，提利给的这个相似就可以利用 a 得比 a， b 等于得 o 比 c o， 其实它就是告诉我们的 o e 三角形和 c o b 三角形的全等 和物相似，这个相似比就是三比七等于得 o 比 c o， 也就是说 o 点是十等分点得 o 占三份， c o 占七份，在 c 得等于十， c o 就 等于七。这样第一问我们就快速求解了。在第二问利用相似比我们要想办法去求面积。 求面积的时候，第一种就是比如说如果是一比二，那我们带来相似图形的面积比是一比四，也就是相似比的平方。但这道题不是，这道题其实他在考察我们的是等底等高，因为你会发现由 abc 的 面积你是非常好推出来 b 得 c 的 面积，这个时候我们高的比值是不用求的，因为根据相似这两个高， h 一 和 h 二的比值，其实就是 ab 和 b 得的比值，从而得到 b 得 c 的 面积。我们可以用 七分之四乘以七十直接表示出来。四十四十求出来之后，接下来也不用相似。 o 点是十等分点中的一个点， 得 o 是 三分儿， o c 是 七分儿，那也就是说 b o c 就是 b， 得 c 的 十分之七， b o c 等于十分之七乘以四十，那也就是二十八。这道题就进行了完整的求解。 相似最关键就是要打开从全等到相似的思维，那后面你就会做题越来越快。再见。

这是二零一八年 mc 八的第二十二题，你没听错，二零一八年连考了两道三角形的相似的题目。在正方形 a、 b、 c、 d 当中， e 是 c、 d 的 中点，这边有个中点，然后这边有对角线和 a、 c 对 角线 a、 c 和 b、 e 交到 f 点，然后如果它的面积是四十五的话，问总面积是多少？我们先不用管这个四十五啊，我们先找相似。 第一步，找相似。大家是不是对这个流程都很熟悉了？三种相似模式， a 型相似有吗？我没有发现 x 型相似有吗？ 这么大的一个 x 对 吧？直角型相似有吗？没有。好的，我们找到了相似， 这边和这边的相似。好，第二步，算比例。我们把题目给我们的所有条件都看一下，有哪一些能够解释出他们的比例关系呢？这条边和这条边有比例吗？这条边和这条边 能看出来吗？这两条边都看不出来，但是上面这条边和这条边，很显然，因为 e 是 dc 的 中间，所以说他们是二比一嘛。好，我们的公式呢？走到了第二步，算比例，把比例算出来。 好。第三步，第三步是什么来着？使用比例，用比例就这么简单。二比一能体现在什么地方呢？可以体现在他们的面积之比是四比一，对不对？还可以体现在他的面积和他的面积是 二比一，对不对？那此时在这个三角形 abc 当中，我们使用等高模型，他们的底边之比是二比一，那面积之比不就是 二比一吗？所以说四和二，那这边和这边也是二比一，哎，这一个面积关系也满足是二比一的关系，所以说我们使用这个比例帮助我们搞定了三个三角形的面积，四二幺，那这个四边形的面积呢？大家观察一下 能不能看出来？你看啊，我们在这个大正方形当中被切成了两半的话，这边是六，那这边也会是六呀， 所以说这个肯定是五呀，五加一是六，四加二是六，各占一半。好，我们通过这一组三角形的相似，搞定了这四个模块的面积。那我们再回顾它的真实面积， 一二四五是比例，而他的真实面积是四十五，所以说我们会发现这个比例的数值和真实的数值是九倍关系，那整体是十二十二的九倍关系，就是一百零八。所以二零一八年 f c 八的二十二题选的是 b 一 百零八。

相似三角形的判定定律记不住，老师教你一句话，包准记牢！三二一，再加。两边夹一角，三 三边对应成比例，两三角形相似。二，两个角分别相等的三角形相似。一一平行，平行即相似。两边夹一角，两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似。

同学们大家好，今天呢，我们来复习三角形的全等与相似。首先我们看一下全等，全等呢，就是三角形完全一样， 大小一样，形状也一样，而且是能够完全重合的。它的判定定理呢，由 s s s a s a s a 还有一个 a a s， 另外还有一个直角，三角形专属的一个。 那么相似呢？相似是指形状一样，大小不同， 它的角是一样的，边长不一样，边长乘比例 怎么区分呢？全等就是边边相等，一模一样，相似就是角，角相等。放大缩小来我们看一道例题， 如图说， c 是 ab 的 中点，中点出现了圈起来，角 a 等于角 e， c， b。 先来看看角 a 在 哪里？角 a 在 这角 e， c， b 在 这里 c d 平行 b e。 看到平行，我们就应该脑子里面有什么，有同位角相等， 还有什么内错角互补，还有同旁内角这些啊， 同内角，同旁内角。来，让我们求证 d a， c 和 e c， b。 全等 d a， c 在 这里， e， c， b 在 这里。这俩三角形全等我们已经知道了一个角 a 等于角 e， c， b。 我 们还知道了 a， c 等于 c， b。 终点呀，再凑一个条件，凑哪呢？这里 凑这个角呀，为啥要凑这个角呢？因为 c d 平行 b e， 所以 角 d， c， a 等于角 e， b， c 这是什么？这是 a s a， 所以 它俩就全等了。 这里用的就是同位角啊，同位角相等。 第二问，让我们连接 d e， 若 ab 等于十六，求 d e 的 长 d， e 在 这里换个颜色 d， e 在 这里， ab 等于十六，这里是八，这里也是八， 让求 d e， 我 们是不是肉眼能看到？这是一 d e bc 是 一个平行四边形，平行四边形，那我们怎么去证它它是平行四边形呢？我们由 e 是 不是知道了 d c 等于 e b， 那题目里面又给了 c d 平行 b e， 那 d e 和 c b 的 关系是不是平行且相等 d e， b， c 是 不是平行四边形了？平行四边形了， d e， 它就等于 c b 等于个八。 这题很简单啊，这是一个开胃菜，碰到这种三角形全等的这个他连个中档题都算不上吧，只能说是一个非常基础的基础题， 给大家留了一道练习题，大家做完之后把答案打出来。然后就是后面我们会讲万维的那个卷子啊，万维，我不知道有多少人能够听到这里啊。万维的黑白卷 和订心券，这俩我买了之后会无偿分享给大家。

先看题，判断线段， a 等于四厘米， b 等于六厘米， c 等于八厘米， d 等于十二厘米，是否成比例？那么看到四条线段，不要犹豫，马上想到成比例线段的交叉相乘法。核心法则，若 a 比 b 等于 c 比 d， 则 a、 d 等于 b c。 记住这个核心，判断四条线段是否成比例，就把它们按照大小排好，用 最短乘最长和中间的两个相乘，如果结果相同，那就乘比例，这里呢？四乘十二等于四十八，六乘八等于四十八相等。瞬间解答，所以这四条线段是乘比例线段学会了吗？下期教你平行线分线段乘比例怎么秒减，点赞、收藏、关注数学，轻松学会！

二零二三年的倒数第二题，二十四题，大家不要被题号吓到啊，这道题就是一个公式，秒掉。等三角形，这是等三角形 abc 当中长度相同，这边有平行线，然后呢，两个阴影面积相同，这一部分阴影和这一部分阴影面积相同，这是两个同样三角形，空白高度分别为十一和五， 这是十一，这是五。问高 h 是 多少？这个题好抽象呀，感觉无从下手。这就是二十四题的难点，我们不知道该怎么表示，他不给我们任何除了高之外的长度关系，给了一个高，两个高，三个高，然后问这个高。好的，没事，别怕，我们有我们的万能公式。第一步， 找相似 a 型有吗？太明显了，是不是这两个都是 a 型， x 型有吗？没有。直角有吗？没有是吧？就是 a 型，这边有一个 a 型，这边有 a 型。好的。第二步， 算比例。这两个的比例也不用算，也都是人家告诉我们的，是不是这个三角形和整体的比例 我们是使用高的比来表示的，是不是只要长度之比都算数啊？是十一比 h， 而这个呢，千万不要说是五比 h 啊，这个五不是任何三角形的高，是不是这边是 h 减五呀？所以说用这个三角形的 h 减五，比上大三角形的 h 就 好了呀，所以说是 h 减五比 h 好。 这两个 a 型的相似的比例我们都算出来了，直接给我们搞了个差不多了， 如何用比例呢？这个是什么？这个是白色的高和整体的高的比，那是不是能够得到？使用这个比例是不是可以得到面积之比呢？ 面积之比是十一的平方，比 h 的 平方，而这边是 h 减五比整体，那是不是可以得到面积之比呢？面积之比是 h 减五的平方，比 h 的 平方好，这边有了白色和整体的比值， 这边有灰色和整体的比值，人家是不是说灰色阴影部分面积相同呀，所以说白色的也相同呀，然后白的加黑的就是整体呀，那这个白的加这个黑的也是整体呀， 什么意思？就是说如果这个白色的它占了整体的五分之二的话，那这个黑色的肯定占了整体的五分之三呀， 因为它是五分之二，下面就五分之三，那这个五分之三转移到上面来还是五分之三，所以说白的占比加黑的占比百分之百，等于一整份。我们通过我们的相似的万通公式，直接把公式给列出来了， 一个未知数，一个公式我们就可以把 h 给求解出来了，是不是？既然它是二十四题，所以说即便我们到了这一步，还是有位同学被难到了啊。所以说我带大家 把这个题目搞定。这边我们先做区分母，十一的平方是一百二十一，加上 h 减五的平方，大家要会平方展开啊。然后呢，我们区分母是通过两边都乘上 h 的 平方得到的，是不是 h 的 平方？大家是不很恐惧这种含有二次项的，实际上它是一个假的二次项，它相互会抵消 十 h 挪到这边来，所以说十 h 是 等于一百四十六的，那 h 就 等于十四点六。所以二零二三年的二十四题答案是 a。

好，这里点 p 是 角 a、 o b 角平分线上的一个定点，我们看到角平分线是不立马可以做垂直啊。这两条线段长相等， pm 和 p f， pe 和 p f 相等，并且 o e 和 o f 的 长也是相等的，这里可以先把它标一下这两条线段长相等。 在运动的过程当中，这个角 o 和角 p 互补，角 o 呢是一个定角，也就是说角 p 也是一个定角，虽然 pm 和 p n 一 直在动，但是它们的夹角是一个定值，如果 它动到这个位置上，这个角也是一个定角，角 p n 是 永远不变的，所以我们来看这个角 p 角 mp n， 它是一个定角，大小不变，和角 o 是 互补的。 好，我们来看一下这几个结论。第一个 pm 等于 p n， 要求这两条线段长相等，我们还是通过正全等，正三角形 p m e 和三角形 p n、 f 全等。现在已经知道 p e 和 p f 相等，两个直角相等。好，我们再来看一下 前面呢，我们求这个的时候，是不是可以正这两个角相等，我们来看这里能不能正出来这两个小角相等，因为这个角和这个角 o 是 互补的。我们来看一下这个角和角 o 也是互补，因为它在这个四边形里， 这个角和这个角是不相加一百八，那么角 o 和这个角也是相加一百八。所以 那我们知道这个角和角 o 互补，这个角和角 o 也互补，中间是公共部分，减掉公共部分，剩下这两个角也是相等的。这两个角相等，我们还是标两个二法，所以我们可以得到， 我们可以得到角 m p n 等于角 e、 p f， 进而能得到角 mpe 等于角 npf， 所以 可以得三角形。 pme 全等于三角形 pnf 全等，就可以得 mp 和 np 相等， mp 等于 np， 并且 m e 还等于 n， f 可以得两对相等的边。还有这条线段和这条线段的长也是相等的，这两条线段相等。好，这是第一问，对了。第二问， o m 加 o n 的 值不变， 要求 o m 和 o n 相加，我们来看 o n， 在 这里 o m 是 o e 加 a e m e， o n 是 o f 减 n f， 那 我们来标一下，这里边 m e 和 n f 相等，我们可以设 x， 设这条边长是 x， 这条边也是 x， 所以 第二问， o m 加 o n， 就 等于 o m 是 o e 加 m e， 也就是 o e 加 x， 加上 o n 是 o f 减 n f， 也就是 o f 减 x 加减 x， 是 不是抵消了？所以等于 o e 加 o f， 要求 o m 加 o n 的 值不变，只要求 o e 加 o f 的 值不变就可以了。那我们又知道 o e 和 o f 是 不相等，那我们可以写成它等于两倍的 o e， 我 们只要求 o e 的 长不变就可以。 o e 是 怎么来的？是过点 p 做垂直，这个 o e 是 在这个直角三角形里， o p 的 长不变。 pe 呢？它的长也是不变的，因为点 p 是 个定值，所以勾股定律可以得 o e 的 长度不变，并且这个三角形的形状也是固定不变的，它的面积也不变，那我们就知道 o e 的 长不变，所以两倍的 o e 长也不变，那 o m 加 o n 的 值就不变。所以第二个是对的。 第三问， m n 的 长不变。好，我们来看一下 m n， m n 是 在这个位置，这是 m n， 要求它的长度 不变，我们看一下它是在这个等腰三角形里， pm 和 p n 是 不相等，我们第一位已经正了。这个三角形的顶角是角屁，角屁我们知道大小不变，如果 pm 和 p n 的 长不变，那么这个三角形的形状也是固定的， m n 就 不变，但是 p m 和 p n 的 长是在变化的，因为 m 是 在这条线上运动，那你连接 p m， p m 的 长是不发生改变， p a 的 长也改变，所以这个三角形的形状改变，那么 m n 的 长也是改变的，所以它不对。 第四个四边形 p m o， n 的 面积不变，我们看一下 p m o n p p m o n 是 这个四边形。好，我们跟前面的图形一样，要求四边形的面积是不可以拆成两个三角形的面积和，并且因为我们正全等了，所以这个三角形和这个三角形面积相等，那么四边形的面积转化成了求这个三角形的面积。来这里的题呢，一个思路， 这两个三要求四边形的面积转化成这两个三角形的面积，这个三角形和这个三角形全等，所以我们转化成求这两个三角形的面积和这两个三角形是构成了一个新的四边形，也就是 pef， 我 们来看一下四边形， 四边形 pmo n 的 面积就等于四边形 pef 的 面积。 p e， o f 的 面积，它可以分成三角形 po e 和三角形 po f。 这两个三角形全等，面积相等，所以它可以写成两个三角形 po e 的 面积。来，我们看一下三角形 po e， 我 们刚刚说了， 这个 p 是 一个定点，所以这两条线段的长也是固定的，那么这三这个三角形的形状固定面积也是固定的， 所以这个四这个三角形的面积不变，那么 p、 e、 o、 f 的 面积就不变，所以要求的 p、 m、 o、 n 的 面积也是一个定值不变，圈四也是对的。那这个题答案是选 b， 一、 二、四是对的。

好，在看第七题之前，我们先看一道简单的题。三角形 abc 是 等腰直角三角形， o 是 斜边上的一个中点， o m 和 o n 呢？是在这两条线上运动，但是在运动的过程当中，始终保持 o m 和 o n 是 互相垂直的，这是几个条件？结论是，第一个 o m 和 o n 是 相等的。第二个是这个四边形的面积 不会随着 o m 和 o n 的 运动而发生改变，它的面积是不变的，是一个定值。那我们来看一下怎么证明这两个结论。 首先我们说它是个等腰直角三角形，等腰直角三角形，这又是一个中点，是不可以想到三线合一连接 co， co 是 底边上的中线，也是底边上的垂线和顶角的角平分线，那么这两个角都相等，等于四十五度， 并且因为它还是一个直角三角形， o 又是个中点。看到直角三角形和中点，我们还是要想到直角三角形。斜边上的中线是斜边的一半，所以 o c 等于 o a、 b 的 一半，也就等于 o a 等于 o b， 这三条线段的长是相等的。那所以基于这两种思路，我们是不是都要连接 co 啊？做辅助线连 co， 那 连完 co 以后，我们会得到它和底边是互相垂直的，这两个角相等，等于四十五度，这个角也是四十五度角， 这个角 a 也是四十五度。第一问，求 o m 和 o n 相等，求这两条线段相等，这两条线段是不在这两个三角形 o m， c 和 o n b 中，我们可以证这两个三角形全等。我们来看一下条件。 首先这个角和这个角等于四十五度，一个角相等，这里是垂直，这里也是垂直。这两个角都是九十度角，中间是公共部分，减去公共角，剩下这两个角也相等，所以这两个角是相等的。我们标为阿尔法吧。两个阿尔法角相等， 两个角相等。再找一组边， oc 和 ob 相等，因为这是一个新的等腰直角。三角形四十五度角，直角四十五度角，所以 oc 和 ob 相等， 那么这两个三角形角边角角，边角可以正全等。好，我们用的方法是正全等来得到 o、 m 和 o n 相等。我们来写一下， 正的三角形 o、 m、 c 全等于三角形 o、 n、 b， 所以 可以得 o， m 和 o n 相等。这两条线相等，那么正完全等。其实这两条小边是不是也相等， 并且 a、 m 和 c、 n 相等。因为 a、 c 和 c、 b 相等，这两条小边又相等，所以大减小，剩下这两条边也相等。 这是第一问，第二问。四边形 o、 m、 c、 n 的 面积不变。好，这个四边形的面积可以拆成两个三角形，面积和。这个三角形 o、 m、 c 和 o nb 全等，那么这两个三角形的面积就相等，所以四边形的面积转化成了。 本来是这两个三角形相加，现在转化成这个三角形和这个三角形的面积和，也就是这个三角形 ocb 的 面积。 ocb 的 面积是三角形 acb 的 面积的二分之一， acb 的 面积不变，所以 ocb 的 面积也不变，那么四边形的面积也不变。 所以这两个结论是这样证的。嗯，我们刚刚是证的这两个三角形全等，这两个三角形也全等，也是用刚刚的方法来证。我们简单的一说， 这个角 a 和这个角角 c 都是四十五度，这两个角四十五度，这里是直角，这里是直角，所以这两个角相等，我们变为贝塔，这两个贝塔角相等，并且 o a 和 o c 也相等，所以角边角这两个三角形全等，全等，是不是又能得到 这两个三角形全等？能得到 o m 和 o n 相等，或者是 am 和 c n 相等？好，这是这个题的方法。

好，同学们，我们来看看这一套栏山卷，八年级刚刚今天刚刚考完的八年级的栏山卷， 这套试卷呢，难度说实话，表面看上去呢，比较基础，但是实际上比较的有难度的，还是比较有难度的， 要求我们对于课本，尤其是课本上的定力啊，二级定力这这一块要掌握的非常好， 对平行四边形的各个判定性质，包括面具公式都是要掌握的非常好，甚至还要求我们把那个课本的例题 啊，都是要非常熟悉的，那所以呢，有的同学呢，那如果说只注重于难题，没有注重这些细节，没有注重这些基础的话，那肯定是不是很好的，所以呢，这套试卷我觉得得高分是很不容易的啊， 那么我们来看看，为什么这道题要紧扣课本呢？我们来看看第一题，第一个，第一个的话选 dog 是 吧？对减二次根式要求里边不能有分数也不能有啊，开得进的对吧？这八里边有四，第二个呢 是二三四肯定不行的，第三个呢，这个比较有迷惑性，我觉得第三个可能会有一个扣分项，第三个呢，就考我们的什么呢？就是平行四边形和等腰梯形一组平一组对边，平行一组对边相等， 对吧？那 c 选项人 b， a， d， 本来它们俩平行就能得到这个，所以 c 选项是错误的，那我们来看 b 选项和 d 选项， o a 如果等于 o c 的 话， o a 如果等于 o c 的 话，就是这个是中点的话，那我们这个是中点的话，我们可以证明，通过三角形全等可以证出来， a d 和 bc 既平行又相等，唯独这个 d 选项， d 选项又是等腰体形，你看看了， a o 等于 d o， a o 等于 d o 的 话，只能说明上面这个是等腰三角形，那么这个等腰梯形完美符合，对吧？所以这个第三题选选 y 第四题，人家问的是斜边，也就最长边，所以呢是选 c 的 第五题，十二边形，十二边形三百六十除以十二等于三十，是吧？每一个外角的度数三十，那内角的度数就是十一百五十。第六题，那五分之根号五 考的是化简，是吧？选 boy 第七题呢？第七题，我们以前做过这个题，在平时的练习当中就做过这个题，我们要把 s 三写成 s 一 加 s 二，再加上 s 二等于五十加 s 一， 那么 s 一 s 一 没有了，所以 s 二等于多少呢？等于二十五， 而这个三角形当，而这个三角形和 s 二呢，是同底等高，是吧？多了一个二分之一，所以它应该是二分之二十五。选 c 第七题， 第八题，一看，这个题啊，考的就是学中半啊，菱形加上学中半，菱形对角线互相垂直，且且 o h 是 他的学中半，所以他如果告诉我们 d h o 等于二十度，那这个就是二十度，那这个也是二十度，是吧？那这个就是七十，这个是七十，所以 b a d 等于四十度。选 boy 第九题考的是勾股定力，那这个呢？这个比较简单，直接就送了，这个是哎， 这个是十五，对吧？每小时十六的话，这个半小时八，那这个十七，八十五，十七考的是那那几组什么五十二十三啊啊七，二十四，二十五呀，八十五十七啊九，四十四十一啊，这些非非常规性的这些这些这些搭配 好了，那么所以这个题选倒等用半个小时吗？第十题，这个是有难度的，但是有难度，我们说过了，像这种题目当中，你可以量啊， 你可以量啊，所以这个题呢，上第一个 e h 等于 ab， e h 等于 ab， 不 会怎么办？你就量啊，第一个可以量的出来的。第二个 a b h 等于 e e h， e c 也可以量啊，第三个 他第三个不好量，对不对？那我们还是正儿八经讲吧。好了，第一个我们来看第一个，第一个呢， e h 这个里边考的是学中班，你看这里边有个垂直 c e 呢，是垂直的，那么 e h h 又是中点，所以 e h e h 等于二分之一， bc 等于 b h 也等于 ab， 斜中半，第一个是正确的。第二个呢，那就考的同角的与角相等啊，那我们来看了，既然是斜中半的话， 那么角一就等于角二是吧？那它的与角，它的与角是 h e c， 所以 它俩第二个是相等的。 第三个表面看上去啊，第三个我们来看看哦，这俩这俩呢，是一个等腰三角形， 这一个呢，已经有一个角相等了，那我们现在就求这个角相等，或者说呢，在这里边 ab 呢，又等于这个，那实际上呢？而我们知道这个是四十五度，难点就来了，我们如果他全等的话，这个角是否等于四十五度， 那我们找一个和它四十五度的角，我们试一试不就行了吗？你用尺子，你用两角去量一量它是不是四十五不就可以了吗？但实际上它不是。为什么只有连接 d h 的 时候，这个蓝色的角才是四十五度，这个 c h e c h e 可不等于四十五度，那么所以它们俩是不全的， 所以 c 是 错误的。我们再来看最难的，这里边比较难的 d 啊， d 的 话，我们刚才在第二个当中，我们得到了这一个角，等于这个角，等于这个角， 对不对？那我们知道了这个角，这个角，这个角三吧，角三等于谁呢？角三等于四十五度加阿尔法，是不是角三等于四十五度加阿尔法，而哪一个呢？这一个角，这个角也是 四十五度加阿尔法，对不对？也就是角三等于角四等于这个 b， 角 b o， b， a 等于角 o， a， b 等于角三嘛，它们都等于四十五度加上角 f 啊，或者四十五度加上角 g a 什么 h， 所以呢，这个也是阿尔法， 既然是阿尔法的话，那么 a c a c 就 等于 c c f， 那 也等于 b d。 因为矩形的对角线相等，所以第四个是正确的。第十题选 c， 你 看这个选择题的话，我觉得第十题是一个扣分点，是吧？第三题的话，粗心的话可能也会出现一个，所以呢，现在来说的话，你扣了三分或者扣六分了，基础知识掌握不牢靠。第十一题，一二根号五，一减根号五，这个没毛病，这一个呢，有意义， 有意义，指示分母要求有两个，第一个分母，第二个被开方数，二次根式的被开方数，所以呢，是 x 大 于八，不要加等号了，也不要自作聪明，写上 x 不 等于零啊， x 不 等于零之类的连式分子，和它没关系啊，不要自作聪明。 第十三题，这个题呢，考的是二次根式，开出来以后带绝对值，那么这个开出来，因为我们这个是 m 减六，加上 m 减九的绝对值，六减 m 都可以，那 m 大 于六，所以这个出来是哎， m 减六，这个出来就是九减 m， 所以呢，答案是三。 第十四题，第十四题，那一般情况下，你可能会认为 a 在 这里做，然后呢？在这里，在这里，在这里画，求这两个三角形，但是我们不知道点 c 啊，咱们不知道点 c 的 坐标是在哪里， 对不对？我们也不知道，你怎么知道这个是四十五度呢？所以这个不是这样算的，而是将军一马，这个题考的是将军一马，对不对？连接了以后 a 撇对称点，因为入射角等于反射角，这个是 a 撇， 对不对？那这个是我们一给他连接三四五，所以他的路线长就是五。第十五题，考的是中点四边形，我们知道了矩形的中点四边形一定是一个菱形，因为 e g， 因为 e g 一定垂直于 a f 的， 对不对？所以呢，在这里边，那各自一半的话，考的是五十二十三，那零点五，一点二，一点三，一点三，乘以四是五点二。 第十六题，第十六题，这个这个比较综合，首先考的是将军印码啊，考的是将军印码，那么点 m 在 这上面，所以呢，我们要连接 啊，这个 m 在 这里边做一个对称，点 m n， 但是又又瞧的是他们的最小值，那什么时候最小呢？垂直的时候最小，所以呢，这这种情况最小 m 最小，又考的是等面积， 他说了周长是 m， 那 么他的边长边长呢？就是四分之 m， 乘以这个高等于面积 n， 所以 h 等于来个四 m 分 之四 n， 所以呢，不要怀疑，自己做出来就做出来了， 没有单位，并且呢，没有单位，所以这个题又是一个扣分点，所以呢，哈，现在扣分第十七题， 这十七题，哎呀，讲吧，四倍的根号三减去根号三，加上三倍的根号三，等于六倍的根号三，这个没毛病，这个直接除也行，化简完除也行。直接除的话，那你就根号十六加上根号八等于四加两倍的根号二， 这个呢，提取公因式 x 减二，当然你硬算也行。等于根号三加一，乘以根号三减一，是二，这个呢？ 啊，一点四一四，我们约等于一点四一四吗？咱都知道，所以呢， a 就 等于三加根号二减四，等于根号二减一， b 呢，等于三减根号二，三减根号二的话还是一点几。那再减一就是二减根号二， 所以呢， a 加 b， 所以 a 加 b 等于多少呢？等于根号二减一，加上 二减根号二等于一，所以呢， a 加 b 的 平方根为正负一啊，平方根有两个正负一。这，这好像七年级的题。 第十九题考的是什么呢？中位线 df 等于 f b， e 又是中点，所以呢？ ef 中位线 ef 平行等于什么？二分之一 ad， 是 吧，又，因为 ad 又等于 cf， 所以呢， ad 平行等于 cf， 所以 平行四边形，这个没问题。 第二问，第二问，这个题跟闹着玩一样，这题白送的啊，一，他说又是三，对吧？一三，而且呢，这个中位线，所以 d a 等于二， cf 等于二，对吧？二三，根号十三。 第二十题，那为什么回归课本？第二十题是课本上的，课本上列出举例子的话，举例子一个是必达格拉斯的这个图案， 一个是赵爽玄图，是吧？一个是赵爽玄图，赵爽玄图应该是长这样的。 还有一个是这个加菲尔德总统，这个总统的总统的政法呢，就是利用了等腰梯形啊，就是利用了梯，不是等腰梯形，是梯形。梯形的面积公式是什么呢？上底加下底，上底加下底是 a 加 b， 高呢，也是 a 加 b， 上底加下底乘以高除以二 等于这个，这个是由什么呢？这个等腰直角三角形二分之一 c 方加上两个 ab， 也是两个。这个阴影部分两个二分之一 ab， 等号两边同时乘以 ab， 同时乘以二分之一啊，同时乘以二， a 加 b， 括起来平方，也就是 a 方加 b 方加二， ab 等于 c 方加二 ab， 所以 a 方加 b 方等于 c 方。这个就是考你的正法啊。 第二问，第二问的话呢，考的是勾股定律的逆定律啊。勾股定律和逆定律，那么我们来看的话，那这一个是， 这个是二，这个是四，由固固定逆定律的话，两倍的根号，呃，由固定理的话，两倍根号五，这个是四，这个是六，那由逆定律的话，这个的平方是二十，他的平方是十六，加起来刚好是三十六，所以这个是垂直的， 所以这个的面积呢？这个尖形，这个，这个，这个啊，回旋标的形状，像高端导航的一样的。这个形状呀，它的面积呢？是整个的。呃， 二分之一四乘以五，整个大三角形减去底下这个小三角形啊，减去四四乘以二倍的根号五，所以呢，答案是四分之根，四倍的根号五减四。 有单位吗？有单位，所以呢，我们要给他一个括号，厘米的平方，平方厘米啊。 第二十一题，二十一题呢，只归作图，这个只归作图，做的是什么呢？做的是角平分线，考的是菱形的判定当中，我们知道菱形的性质里边有一条是对角线，对角线平平分一组对角， 但是到了判定里边，他就没有了，那没有了怎么办呢？没有了，这个我们上课时候说过了，他实际上用的是平行加平分的三等角，在这里边，既然是角平分线的话，那么角一就等于角二， 是吧？那么既然由平行角一又等于角三，也就是角一等于角二等于角三嘛，所以什么呢？ ab 等于 b e， 那 又因为 ab 和 af 相等啊，所以呢， b e 平行等于 af， 所以呢，平行四边形，那这俩又相等，又有邻边，所以菱形 一组零面相等，对不对？那第二问，第二问考的是菱形的面积公式，两种，两种表示方法。第一种呢，他说我们来看了整个的平行圆形的面积三十六 ab， 也就是这个底啊，底 比上它，因为它们的高是一样的，所以呢，因为 ab 等于三分之二 bc， 所以呢， s 菱形就等于三分之二 s 平行四边形。平行四边形等于多少呢？等于二十四，那 b f 又等于六，所以我们可以得到了二分之一乘以六，乘以 a e 嘛，等于二十四， a e 等于八，那所以呢， a o 等于三， b o 等于四，再由勾股定律可以证得这个是五，是吧？到目前为止还是送的。 第二十二题，二十二题，第一，第一个平行加平分三等角，你看，又折叠了，昨天晚上我们讲课的时候呢，我们压了压了一个折叠，但是没想到出的这么简单，对不对？我们来看的话，这一个 角一等于角，角一等于角二等于角三，是吧？那所以呢？ egf e e egf， 哦，是这个角啊，这个角呢？那就是六十六的同旁，六十六乘以二的同旁的角啊，一百三十二，应该是四十八，对不对？四十八度。 那么第二个探求 e f g 的 形状，我们在第一个已经写出来了，是吧？因为折叠由折叠角一等于角二，因为它是个矩形，所以呢？ dc 啊，平行于 ab， 所以 角一等于角三，所以角二等于角三， 对不对？不要了，这种题的解析，解析细节就是先写形状，再写理由，先写等腰三角形，对吧？再写理由。 第三问，第三问呢？这个，呃，我记得在什么时候呢？我们讲过一个，就是如果在里边画一个菱形啊，折叠的时候，我记得确实是讲过了这种，这种，我们做过这种题， 就是折叠了像这种矩形的一折叠的这个图案，当时那个题是这个图案一定是一个菱形，然后呢，让我们判断这个菱形的面积最大值 什么时候最大呢？就是这个菱形的，也就是这个折叠了以后，这个 b 撇啊， b 撇刚好与点 d 重合， 这个 b 撇刚好与点 d 重合啊，所以呢，这个是 f c 撇， b 来个括号表示重合，是吧？第三问， 那么为什么呢？我们可以这样理解，我们可以这样理解，这是一个等，这是一个等腰三角形，我们根据等腰三角形的话，那肯定是尖越细，也就说这个角越小，这个角越小， 或者说呢，这个角越大，它的底角越大，那么这个三，这个这个等腰三角形越尖，对不对？越尖的话，它边长越长，因为我们在这里边的话，折叠过来的话，这个是 x， 这个是 x， 这个是九减 x， 这个是三，对不对？ 那这种情况下， x 越长， x 这个底越长，它的高是不是就越长啊？它的它的它的它的长度就越长，所以在这里边呢，我们就可以看到了啊，因为这两个三角形，是是是，是这两个三角形相等的，我们高是一样的，所以呢是吧， 只需要这个 df， 或者说呢，这个这个点是 e 是 吧？或者 b， e 最长，那么在这里边解得三四五 啊，三四五 a， e 等于四 e， b 等于五的时候最大啊，那么这个面积的最大值你自己算，那这个就是五，这个就是三，是吧？这个也是五，因为它是一个菱形。好了，那么或者说呢，你就这样吧， 那么第二十三题，二十三题这种题呢，属于一道经典老题了，同步上或者说自主上应该都有。我们昨天晚上的话，还复习了一下，昨天晚上这个题是这样的，你看第前两位是一模一样的。 第三问呢，他这个点 e 跑到了 b 的 左侧，我们昨天晚上做的是点 e 呢，跑到了 b 的 右侧，对不对？那都是一样的。这个题呢，他考的不是三垂直，因为这个题长得乍一看着去的话，很像三垂直，难免有同学 做了这个三垂直，但是这个题不是这样的，而是截长补短。第一问，第一问的话，那肯定是 s a s 呀，是吧？那第一问的话，那那那在这里连接取中点 m， 那 取中点 m， 这个角一百三十五，这个角一百三十五，然后呢，同角的与角相等，角一等于角二，是吧？ am 等 am 等于 ec， 所以呢，这个是 a s a， 那 么易判定 a m e 全等于对应边的，一定要写好 e c f， 对 吧？那第二问，同样的第二问呢，我们怎么写呢？我们在我们在 a b 上取一点， 和刚才一样， m 使结 m 使 a m 等于 ec， a m 等于 ec。 啊，这样吧，所以呢，这个 b e 就 等于 b m， 同样的这个是一百三十五度，同样的这个是一百三十五度，同样的角一等于角二。这种类比题，第一问会做，第二问就会做，第三问就更不在话下了，对不对？那第二问就出来了，送了 啊。这个题十三分的话，能不能看最后一题，这五分怎么来的？我们来看去的话，这个点 e 跑出去了，跑出去了，点点 e， 我 们做的是 c e 等于 am， 那 么点 e 跑出去了，那么这个 am 呢？这个 c e 好 长的， 那么只有两种情况，要么 am 往上跑， am 往上跑的话，我们连接的是使什么呢？使 b e m 是 一个等幺三也行，但是如果你这样的话肯定不行，那么我们只能往哪跑呢？让他往下跑，把它擦了，这个呢，只能往下跑， 我们可以延长延长 ab 至 m 是 bm 等于 b e， 或者呢，你也可以写 am 等于 c e 都可以，那么仍然的 bm 仍然是四十五度，这个角是四十五度，那么根据这个对顶角角平分线吗？四十五度，四十五度 对不对？那么在这里边的话，四十五，四十五，那还有一个角呢？哎，同角的与角相等，这个 角一和角二都有一个共同的与角，角三，对不对？那当然了，还有 am 等于 am 等于 ec， 仍然是 a s a 全等，那全等了以后呢？他说了啊，说了以后呢？求 ef 的 长度， ab 等于三， c f 等于根号二， cf 等于根号二，那么 e m 就 等于根号二，由勾股定律，并且四十五度设，这个是 x， 这个是 x， 我 们轻易求得。 bm 等于一， b e 也等于一，而 ab 等于根号三。啊，是根号三吗？ 啊？根是三，对不对？啊？三一三，根号十，所以这个答案就是根号十。那我们总结的话，实际上呢，你们一讲了以后呢， 也比较简单，对不对？但是确实啊，确实是，是吧，那当然了，图二我们还要看了，这里边还漏了一个，我还漏了一个，也就是这里边了，也就是这一个，在延长线上的时候也不变啊，变不变，他没让我们， 没让我们成立之后成立，对不对？那所以呢，肯定是成立的，为什么呢？因为这个题是这样的，你看跑这来了，对不对？ 那所以呢，那这个题呢？那可能是啊，延长 c e， 跑到这里边， c e 那， 哎，在这里往上延长， 是吧？变成这样了，这个是 m， 所以 这个题呢，实际上它中间它应该给我们一副，应该给我们一副备用图的啊， 你看，你看，这套试卷是不是特别紧靠课本？不管是不管是不管，是各种定律的运用， 包括画图，我们昨天晚上，嗯，我还想着是折叠，找了几个折叠的，是吧？找了几个折叠的，结果也没有考的折叠，是吧？这种黄金的，还有一些这种画图的，这次结果没考，这种画图的这种格点画图没考。那 好了，教师，这总来说呢，你对对答案，以后你看自己得多少分啊？好了。

好，八年级的相似的题。三角形铁片， bc 六 ac 八六八十 三四五。那么采用两种方式去减，减正方形，减正方形铁片下来 啊，这两个，这两个减法都是减正方形，那么为使减去正方形铁片后，剩下的边角料较少，剩下的边角料较少，也就是减掉的较大， 减掉的面积大，也就是边长最大。所以这两种方式我们都算一下它的边长。我们第一种 设 e 等于 x， 那 这样的话，我们用第一种比较简单，我们用相似去算一下就可以了。嗯， 好， e 比 bc 就 等于啊 a， d 比 a， c， x 比六，等于啊，八点 x 比八， 约下分 交叉相乘。 好，第一种情况的边长。第二种情况，嗯，比第一种情况稍微复杂一点点。 第二种，我们还是利用相似啊，这是这种相似呢，我们利用的是，比如说我们利用的是三角形 a、 g、 d， 它这里垂直，这里垂直，那么角 a 所对的边和它的邻边之比啊，六比八，三比四，跟斜边之比啊，三比五。所以第二种情况，这个 a、 d 啊，实际上就是 三分之五个 x， e 也是 x， 这样 c、 d， 这要注意啊，这个角跟角一相等，它的零比 c、 d 等于五分之四个 x， 所以 a、 d 加 c、 d 就 等于三分之五个 x， 加上五分之四个 x 等于八。 呃，去分母解这个方程吧，两边同乘以啊，两边同乘以十五。 嗯，好，这是第二种的边长，第一种的边长比较一下它两个的大小就可以了。咳咳， 这个大概是不到四，这个不到四，哎，这个得通分喽。 嗯，明显啊，七分之二十四大，是不是？ 所以啊，第一种减法更大。

啊 啊啊。

好，来，我们一起看下这个题啊，在三角形 a c 的 垂直平行交于点 d 和点 e 也是 d， e 垂直平行于 a c， 我 们垂直平行线的性质可以知道 a e 是 不是等于 c e， 然后 ad 是 不是等于 c d 啊，然后这两个角是不是也相等？比如说角 e 吧，角 e 等于这个角二吧，对吧？啊，我写上角 e 等于角二，然后呢， a e 是 不是等于 c e？ 又告诉我们 bc 等于 b e 啊， bc 啊， bc 等于这个 b e？ ok， 好， 让我们求证三角形 c f e 三角形 c f e 啊，这个三角形和谁？ a b c 这个大的三角形 相似，正相似，就是找到两个角相等就可以了吧。所以说啊，嘴第一位，求证，先写什么证明吗？因为 bc 是 不是等于 b e 啊？这角三角三等于这个角四吧，是吧？哎，等于角，所以角三等于角四。 好，又因为垂直平分 d， e 垂直平分于 a c 啊，写上，因为啊 d e 垂直平分，所以可以得到 a d 是 不是等于 c d 啊，所以等边对等角啊，就是角一等于这个角二吧，看 角一和这个角二吧，对吧？好，这两个三角形两个角都有了，所以说这个三角形 c f e 是 不是就相似于三角形 a b c 啊？好，请往下看啊，看见没？判定 f 是 否为 b e 线段的终点啊？ f 这个点是 b e 的 终点， 如果是 f 是 b e 的 终点，从图中看，是啊，那怎么看它是 b e 的 终点？哎，你也就是证明这个 e f 是 不是等于这个 b f 也就等于二分之一的这个 b e， 对 不对啊？这个边等于这个边就等于它一半， 而且题目告诉你， b e 是 不是等于 b c 是 不是也就等于二分之一的 b c 啊？是不是我们顺着这个思路就 c 搞出来？好，你看 b e 和 b e f， 你 看 e f 这个边和 b c 有 关系的话， 你看第一问的结论，我们可以可不可以当做第二问的条件来使用啊？是吧？哎，等比出来吧。啊，这不是相似比吗？ e f 比上 bc 是 不就是另一个边 c e 比上这个 a c 啊？我们知道 c e 和 a c 是 一比二啊，所以说 e f 比上和 bc 是 不是也是一比二？所以 f 是 重点吧。好，我们罗列一下 第二位，我们先由易可知哈，由易可知啊，三角形 c f e 相似于三角形 a b c， 是 吧？所以这个 e f 比上个 bc， 它就等于这个 e c， 是 吧？你看 e c 啊， e c 比上个 a c， 对 吧？啊？一比二，那我们就证明出来 e f 和 bc 是 一比二啊，又因为这个 bc 是 不是等于 b e 啊？题目中给我们说了，是吧？所以说 e f 比上个 b e 是 不是也是一比二，对吧？啊，所以 f 就是 b e 的 中点了吧？ ok 吧？啊，这个题学会没有？

同学们好，今天我们讲的是相似三角形的一个常考模型的深度解析。 在上节课的学习中，我们学习了相似三角形的一个判定，相似三角形呢，它是一个连接形状与比例的一个桥梁。今天我们就要去学习相似三角形中它最核心、最常考的几种模型， 掌握了它们的话，我们就可以掌握解开复杂几何问题的一个万能钥匙。这节课我们将从模型的识别、判定、应用三个维度彻底搞定这种经典模型。 在开始今天的学习之前，我们先明确一下本节课的一个目标，首先我们要掌握五种核心模型的一个结构特征。 其次我们能够运用这些模型去解决一个实际的问题以及计算问题。更重要的是我们要通过这个过程来体会它的一个 模型化的思想。希望通过这节课，大家都能掌握这个相似三角形的一个解析的一个捷径。 我们先来快速浏览一下今天要学习的几种模型，有平齐线构成的 a 型和 x 型，有等角构成的 k 型，还有共边共角的一个母子型。 它们每种模型都有一个独特的一个结构特征和识别方法。记住这个特征的话，将是我们快速解析的第一步。 首先我们来看第一个模型 a 型，它的典型特征呢，就是一条线平行于三角形的一个底边，我们来随便做一个， 比如说是这个三角形，然后我们画一条平行线，这两条线呢，它是一个平行的， 我们先把它的这些标都标好。 在三角形 a、 b、 c 中得 e 平行于 b， c 说 a 的 等于二， d， b 等于三， a e 等于四，让我们求 a、 c 的 长度，那么我们这一题就可以很明显地看出来，我们知道了 a、 c 的 长度，那么我们就相当于知道了 三个角都相等。因为我们来看，首先这有一个公共角角 a， 其次呢，这两个角平行的话，那么角 a 得 e 是 要等于角 abc 的， 同样那角 a、 e 的 也等于角 a、 c b， 所以呢，我们可以通过 a、 a、 a 三角相等来判来得出这个模型呢，它就是一个 相似三角形。那么我们根据相似三角形的一个性质，就是我们来看是哪两个三角形相似呢？是 a 得 e 和 abc， 那 么里面的 a 的 比上 ab 的 值， 就等于一个 a e 比上一个 a、 c 的 值。我们来看 ab 的 值我们是知道的， ab 的 值我们是知道的， a 的 值呢，我们也知道， ab 的 值就是二加三是五。 嗯，那么我们现在只需要去求 a、 c 就 行了，我们根据它的这个等比例，然后可以求出来 a c 就 等于十。 所以说这题的关键呢，就是找到它的这个平行线，利用它的一个相似建立一个方程。 第二个模型呢，就是 x 型，也叫八字型，它的特点呢，就是两条线相交，就好比像这个样子， 它们形成了一个对顶角的形式，就是这个角和这个角，它们是一个对顶角。 我们来就这个题来画一个这个图吧，我们画两条平行的线段，然后是一个交叉形，这个题呢，是 a、 b 的 长度为六， c 的 长度为十二，那我们让它俩为 a b， 它俩为 c 的 这个长度呢是十二，这个长度是六，它让我们求什么呢？求一个 o c 的 长，这个是 o 啊， a o 为四， o c 呢是这条边， c 的是十二 a o 让我们求这条边的长度， 那我们就是以一个相似三角形的一个判定。 首先呢我们来讲就是对于这种情况的话，嗯 嗯，就是这个角和这个角是相等的， 然后我们的这个角和这个角也是相等，这题的话，这个这个点为得吧，这个点为 c， 然后求的是它们两个的关系，那我们我们现在有一个 ab 比上一个 c 的 一个关系了，那么我们相对应的，那我们是肯定也知道一个 a o 比上一个 oc 的 关系，这里所对应的呢就是 小边和小边，长边和长边就是如果说我们前面的是小的放在上面，那么后面的也是小的放在上面， a b 比 c 得呢，就是六比十二， a o 是 四，那么 o c 的 值我们就可以比出来，就 o c 等于八，这个呢就是 x 型对顶型 母子型就是摄影定律，它的一个特殊情况呢，就是在直角三角形斜边上的高，也就是我们通常说的摄影定律模型。我来给大家画一下它大致形状， 我们大致是这个形状，然后我们再来做它的。另就是这样，这个呢就相当像是一个典型的一个母子的摄影定律模型，我们可以直接使用它的一个结论， 我们先来标一下它的角，标 我们的 c 的 和 a c 长度的求法， 我们把这个 ab 位置换一下， 因为对应这题来讲的话， ab 这个位置它有点问题， 这个位置让它为 a， 这个位置让它为 b， 那 我们就这题来讲，他们说 a 的 长度为四， b 的 长度呢，它为九，然后再让我们去求 c 的 和 ac 的 一个长度， ac 是 这条边， c 的是这条边。 当我们有了这个图之后，那么我们应用摄影定律的话，就非常好求了。摄影定律是什么呢？就是我们的 c 的 长，它就是由 a 得乘以得 b， 拆一个根号就是 c 的 平方等于一个 a， b， a 的 乘以一个得 b， 而 a c 的 长呢，就等于 a 的 横 a b， 而我们 a 的 a， c 的 平方就等于 a 的 乘以 a b， 那 我们 b c 的 平方 就等于一个 b 的 乘以一个 b， a 就是 这个这个摄影定律，它的这个是 我们需要把它背下来的。就是他这条边长的平方就等于这两他的左右两条边的一个相乘乘积，而这条边的长呢，就等于 临近他的一条短边，乘上他这条他这个大直角三角形的一个斜边，而这条边依旧他是乘以他临近的一条边，外加上他的一个 直角三角形的一个斜边，我们就把它记住就可以了。我们再遇到母子型的这种题的话，我们就可以非常快速的解出来它的一个边的长度。 这个模型呢是旋转型，它的特点是两个三角形有一个公共的点，其中一个可以看到是另一个旋转得到的。 它的解析的关键就是一个找到旋转角相等以及对应边成比例，然后从而利用 s a s 来证明一个相似或者全等的这个模型。它常常用来证明这个线段的一个相等，还有一个成比例的一个关系。 嗯，我画一个大致的图像，它很它有很多种情况， 比如我画了这一个，然后再以这个点给它延伸出来另一个， 嗯，看以这种情况来它的一个证明的并理过程呢，我们就是通过它告诉我们的一个角相等， 以及一个以及两条边的那种等量关系，然后从而告诉我们一个通过一个 正相似的话，就是运用的是 a a， 因为我们这两个角相等， 而且一般的来讲它说的是等腰的话，这两个角它也是相等，所以说这两个角和它这两个角的角度一样，那这个角和这个角它的角度也一样，那他们两个三角形它肯定是相似的。那如果要是这个三角形和这个三角形它同样大的一个情况下， 那么他们两个三角形就是一个全等三角形。我们来看这一题， 他说，嗯，三角形 a、 b、 c 和 a d、 e 均为等腰三角形，告诉我们 b、 a、 c 和得 a e 都是九十度，那么这个三角形呢？它其实就是一个等腰直角三角形。我们再来画一下， 我们做一个全等的吧， 目前这是嗯， a n b a， 然后也是同样的得 a e。 好，我们求证 b 的 等于 c e， 且 b 的 垂直于 c e， 那 我们来看啊，那这个地方我们都知道他们是个九十度，那我们有一个角相等，同时呢，我们又知道他们是同样的一个等腰三角形， 然后让我们依据它的一个模型证明一下它的全等。那如果说我们以这个图来讲，那它这两条边的话，它其实是一个公共边，它是一个等腰直角三角形， 并且呢它的 a c 和 a d 边它重合，它们的 长度是一样的，就相当于是就像我们从这个三角形以逆时针旋转了一个九十度得到的一个三角形 a、 e、 t， 那 这条边和这条边他们是因为等腰直角三角形他们是相等，而这条边和这条边的相等关系是通过他们的一个 另一个三角形的等腰来进行等量代换。我们知道这个边和这个边，那和这个边它们三个边的长度都一样，所以说这个三角形呢，我们可以就用 s a、 s 来进行一个全等判定，因为这个边和这个边这个边都相等，而且它们的夹角也相等，所以说我们就知道这是全等，所以 e 的， 嗯， c， e 也可以说就是 c e 和 b 的， 它们的长度呢是相等的，而且 b 的是垂直于 c、 e 的， 那么我们现在这是一种特殊情况，如果说我们把他再换一个位置，就让他移动到上面之后，他们其实就是换一个位置的话，他们的那个结论是一样相等的。我们的那个证明过程依旧是运用到他的这 b a 的 三角形和三 e， a、 c 三角形，这两个三应用的是这两个三角形的一个全等关系，就是我们不论如何去找，就要找它对应点的那个全等三角形就可以了。 我们学习了这么多的模型，我们来总结一下容易出错的地方，还有一些解题技巧，最常见的错误呢，就是一个对应关系的搞混，就有的时候容易，我们比如说这个三角形 和这个三角形它们两个相似，这个三角形叫 a b， c， 这个三角形叫的 e、 f， 我 们在写的时候把它们写成了 a、 b、 c 相似于三角形的， 嗯，这是 f 啊的 f、 e， 那 我们的对应关系就已经错了，因为我们是 得一边对应的是 ab 边，但是我们以这个方式写出来的话，那我们的得一边对应的其实是 a、 c 边，那它肯定是错误的，所以说我们要避免因为这个顺序导致这个比例式错误。 其次呢，我们要把那个图形从一个复杂的那种 图中抠出来，因为基本模型我们确定了，那我们这一题的话，它的一个 计算或者说是参考的话，他都是非常方便的。所以说我们对于 一个复杂的图形的话，我们要把它的基本模型提出来。而对于动态问题的话，就像我们刚才说的那一道，呃，旋转那道旋转型的话，那他这个三角形就像他刚才我们画的这种三角形 啊，有点糊了，就画的简单一点吧。就是以这样的一个三角形，它有可能怎么样旋转呢？它有可能旋转之后它是这个样子的， 有可能它两种旋转它都可以得到一个它想要的答案。所以说我们要进行一个分类的讨论， 为了方便大家的关键技巧，总结成了一句口诀， 找平行，看对顶，勾等角，寻共边。找平行对应的是 a 和 x 型，看对顶呢，也是 x 型的一个特征，勾等角是 k 型的一个核心，共寻共边则是一个母子型， 我们把它整合起来呢，就是一共是四大块模型， 我们只需要理解他们每一块模型，他们真正的一个核心思想，那么就可以方便大家更好地掌握这些模型以及去运用这些模型。