六年级下册数学正反比例蜡烛问题

这种题期中必考，小区停电三十分钟，妈妈找了一根蜡烛，点燃十分钟后长九厘米，点燃十五分钟后长七厘米，这根蜡烛够燃烧到送电吗？ 这道题的破题思路就是找到比例关系列方程条件说蜡烛每分钟燃烧长度一定，蜡烛的燃烧长度除以蜡烛每分钟燃烧长度，所以蜡烛的燃烧长度和时间就成正比例关系。 比之一定射蜡烛原来长 s 厘米，点燃十分钟后长九厘米，就说明蜡烛燃烧十分钟。 蜡烛燃烧的长度为 x 减九厘米。点燃十五分钟后长七厘米，就说明燃烧十五分钟。燃烧长度是 x 减七厘米。根据蜡烛的燃烧长度和时间成正比例比之一定列出比例方程。 x 减九的差比十五 结比例得出 x 等于十三，也就是蜡烛原来的长度是十三厘米。最后问这根蜡烛够燃烧的送电吗？那就要求出这十三厘米的蜡烛完全燃烧的时间，还是根据蜡烛的燃烧长度和时间的比值一定列比例方程。 射蜡烛完全燃烧需要万分钟，蜡烛点燃十分钟后长九厘米，就说明燃烧十分钟。蜡烛燃烧了十三减九等于四厘米。 用蜡烛原来长度十三厘米，比上完全燃烧时间外分钟就等于燃烧十分钟的长度四厘米比燃烧时间十分钟，且的外等于三十二点五， 也就是这根蜡烛可以燃烧三十二点五分钟。显然三十二点五分钟大于停电的三十分钟，所以这根蜡烛够燃烧到送电。

今天呢，我们用一个视频给大家讲明白正反比例问题啊。其实这个问题在咱们很多小学阶段呢，很多孩子是特别困扰的，就是两个量到底是成正比还是成反比，还是说不成比例。 那么这里呢，今天教大家一个小技巧啊，成正比是怎么判断的呢？你比如我举个简单例子啊，比如现在有个同学叫小明啊，他吃一碗饭的时候，他就能考一百分， 那如果他吃两碗饭，他要考多少分才能成正比呢？这个分数跟他吃的饭呢？答案是两百分， 如果你考了二百五十分，或者是一百九十九分，那就不叫成正比了。所以成正比的话，你会发现这两个数据量之间呢，他会存在着一个非常严格的关系，就是一百分一碗饭，两百分两碗饭，你拿一百 除以一等于一百，你拿你的两百分除以你的两碗饭也是等于一百的。所以成正比呢，我们严格要求这两个量之间的什么呢？它的商是固定的啊，所以成正比大家可以记着啊，它的商是固定的。 那我们这里就给大家举几个反例啊，你比如人的身高和人的年龄是不是成正比呢？显然不是，对吧？因为你不可能说你一岁的时候你是一米啊，两岁的时候就两米，对吧？三岁的时候你就三米，正常人不可能做到的呀，对不对？所以人的身高， 人的年龄不可能严格的成正比的，包括树也是的啊，那一棵小树，我一年的时候我长一米吗？第二年就长到两米了吗？不可能这么严格的，对不对？所以在我们日常生活中，看似有些事情啊，都在同步的上涨，但是他们所呈现的比例 是否严格成正比，这个都不是的。包括人的智商跟年龄也不是成正比，包括我们的努力和我们取得的分数一定成正比吧？不是的， 我今天刷了十道题，我明天就考十分，我刷了二十道题，我就考二十分，我要刷一百道题，我就考一百分，如果这样子的话就成正比，但是现实是不可能的， 所以成正比的唯一判断标准就是这两个量是否在同步增长或者同步下降，而且下降的比例得相等才可以。所以其实一句话就是，商是固定的才能成正比。我们就很好理解，如果你理解了成正比，那么成反比就非常好理解。比如说咱们 吃一碗饭考了一百分，对吧？那你要想让你的分数和你吃的饭成反比，等你吃两碗饭的时候，你的分数要考多少分才算是严格的成反比呢？答案就是你白吃了，对吧？考了五十分， 多吃了一碗饭反而白吃了，才考了五十分。等到你吃到四碗饭的时候，你的分数考多少分才和你吃的饭成反比呢，对吧？你看你的吃的饭扩大了两倍，那你考的分数反而就 除以二啊，对不对？所以等到你吃四碗饭的时候，你发现你只考了二十五分，这就是你吃的饭和你考的分数之间是严格的乘反比。那么乘反比我们该怎么样把它记住呢？很简单，我们发现一个很有意思的现象，就是一碗饭乘一百分等于一百 啊，两碗饭乘五十分等于一百，四碗饭乘二十五分也等于一百，所以这两个量他们之间的乘积是固定的，简称积固定。 这样的两个数据量，它是成反比的。那像我们日常生活中会有哪些成反比的案例呢？你比如说我们最最经典的啊，就是一个长方形面积在固定的情况下，长和宽之间 是不是乘反比呢？假如面积是一百，那长和宽其实就是乘反比的。因为你当你长是十的时候，宽是十，当你的长扩大两倍变成二十，你的宽反而缩小二分之一，变成五，但是乘积是固定的，对不对？这就是乘反比的一些经典的案例。但是还有一些案例他不是乘反比的， 你比如说一个在增长，一个在缩小，对吧？真的就是乘反比吗？比如两个量相加等于十，一个是二的时候，一个是八，对吧？当这个二变成 四的时候，对吧？这个八也变成了六，这样子相加等于十，那你能说一个增加，一个减小就成反比吗？显然不是的，我们得看他们之间的变化的倍数关系。你二变成了四， 扩大了两倍，那你的八变成六，你有缩小二分之一吗？没有，对不对？所以这就不是严格的乘反比啊，乘反比一定是两个量之间的乘积固定的时候，这样子一个扩大多少倍，另一个一定会跟着缩小多少分之一，那么除了乘正比和乘反比以外， 其他的所有情况都是不成比例的。所以大家只要严格的记着这两种场景，就是成正比是商固定，成反比是基固定，那么除了这两种之外，其他都是不成比例。那我们正反比的问题就能百分百拿到分。好的，关注我，每天讲一个实用的数学小技巧。

黑板上这道六年级的比例题，有个同学拿过题来之后，感到无从下手。为什么会无从下手？因为题目中包含了一个重要的条件，他分析不出来。我们看蜡烛每分钟燃烧的长度一定，点燃十分钟时，剩余长度为十五厘米。 点燃二十五分钟时，剩余长度为六厘米。他让我们求这根蜡烛原长多少厘米。那么你看第一个图，这是不是点燃十分钟的时候还剩了十五厘米啊？第二个图就是燃烧了二十五分钟后，还剩了六厘米。 题目中告诉我一个非常重要的条件，就是蜡烛每分钟燃烧的长度一定。什么叫每分钟燃烧的长度一定？比如说这个蜡烛就长二十厘米， 他烧了五分钟就烧完了，那么一共长二十厘米，他燃烧了五分钟就全部燃烧完了。他每分钟是不是燃烧二十五除以二十除以五啊？ 等于四厘米啊，那么每分钟就燃烧四厘米，那这个就是每分钟燃烧的长度一定。这个蜡烛每分钟燃烧四厘米。无论这个蜡烛多长，我每分钟就烧四厘米，那 每分钟燃烧的长度一定。他是怎么得来的？是不是就是燃烧的长度除以燃烧的时间，也就燃烧的长度比上燃烧的时间就等于每分钟燃烧的长度， 那每分钟燃烧的长度，它是一个定值，它是一定的，这个比例就是一个正比例啊，它的比值是一定的。我们知道每分钟燃烧的长度是用它燃烧的长度除以燃烧的时间，我不能用整个蜡烛的长度。 这个蜡烛它底下还没烧呢，你怎么知道它底下会不会变化？它烧的是不是多啊？那么它只能是烧完的长度，燃烧的长度，所以燃烧的时间就等于每分钟燃烧的长度。我们知道这个比例关系，那么这个比例放长不就能列出来吗？ 他让我们求这根蜡烛原长多少厘米，咱们就假设这根蜡烛原长 x 厘米，我们用燃烧的长度，原来长 x 厘米，燃烧了十分钟，还剩十五厘米，减掉十五就是是不是燃烧的长度了， 比上燃烧的时间十分钟，就等于现在还剩了六厘米，原来长 x 厘米，减掉六厘米，是不是就是燃烧的长短？我比它燃烧的时间二十五分钟，我们减这个不就可以了吗？两个内相积等于两个外相积， 咱们最后求出来， x 等于二十一厘米， x 啊，就是这根蜡烛原长二十一厘米。其实这道题的解析关键就是蜡烛每分钟燃烧的长度一定每分钟燃烧的长度就是燃烧的长度 比上燃烧的时间。好同学们，黑板上这道题呢，咱们就讲到这里，关注刘老师啊，数学啊，不迷路！

像这样判定比例关系，我们把它化成比例的形式可以轻松解决。来看第一个，如果三 x 等于五 y， 那 么 x 和 y 成什么比例关系？ 那三 x 和五 y 相等，肯定有两个是内向或两个是外向，那我就把三 x 看成两个外向，那么 x 是 一个外相比上一个内向，就等于这地方三也是一个外向。三 x 五 y 这两个数肯定都是内向， 那都是内项的情况下，我可以随意写在这两个位置，哪一个都可以。那我把 y 写到前面来，五写到后面，是不是就可以转化成 x 比 y 等于五比三？ 没问题吧？来，再还原一下， x 乘以三是两个外项是三 x， 那 两个内项积是五， y 等于五 y， 那 x 比 y 等于五比三，那它的结果画成比值是不是三分之五呀？ x 比 y 等于三分之五，它是一个一定的值，比值一定。所以说 x 和 y 是 什么关系？正比关系是不是出来很简单吧。再来看第二， 如果七分之 x 等于九分之 y， 那 么 x 和 y 成什么关系？同样的啊，两个外向，九和 x 是 不是一个外向？所以 x 会写到最前面，比上谁等于谁？比上九九是不是一个外向？ 好， y 和七是两个内向，那我就把 y 写在前面，七写在后面。同样啊，你这两个可以交换位置，因为它两个内向写在哪都一样。只是说我们最后呈现的形式是 x 比 y 的 形式，所以说我把 y 写到前面来， 那它就等于九分之七了，它比值一定，它两个也是成正比例的关系。好看。第三个，如果说四分之 a 等于 b 分 三，那么 a 和 b 成什么比例？ 同样的呀，两内向乘积等于两外向乘积，利用比例的基本形式，所以两外向是 a 乘 b， 两个内向呢，就是三乘四，三乘四等于十二，所以他两个的什么一样？哎，乘积一定，积一定，那肯定就是什么呀？反比例关系了， 所以把它转化成比例的形式，可以轻松帮我们判定是什么比例关系，你学会了吗？

好多同学啊，对于正比例和反比例啊，还是搞不懂，今天我们用这三道小题来彻底把它搞明白。那么在讲正比例和反比例之前，我们要看这两个式子， 那么只要是商已定，它肯定是正比例，那么既已定的时候，肯定是乘反比例，那么如何来 转化成这种形式呢？如果是比例的时候，我们又转换成等级式，如果是等级式的时候，我们就转换成比例，最终的结果只转换成这种形式，我们那最终的能判断事是正比例还是反比例。 看第一题，他说五 a 等于九 b， 那 么 a 和 b 成什么比例？那么这个等式是呢？我们转化成比例的形式，你看 a 比 b， 它就等于什么呀？ 量内向之基，我们根据比例的性质等于量外向之基，那么 b 这里就是九，那么这里就是五，所以说呢， a 比 b 就 等于 九比五，也就是五分之九，你看五分之九，这里是不是也是一个定值啊？它是一定的呀，那么这里呢，它 a 比 b 就是 a 除以 b， 所以 说呢，它呢，正好符合商一定时，那么它就是一个正比例。 那么再看第二题，七分之 x 等于 y 分 之五，那么 x 和 y 成什么比例啊？我们可以利用啊，它这是一个比例的形式，我们转化成啊，等记式的形式。那么交叉相乘以后呢， x y 又等于三十五，你看 x 和 y， 它是积三十五呢，是个定值，它是一定的。 所以说呢， x y 它是乘反比例。我看第三题，若七分之 x 等于十一分之外，那么 x 和 y 成什么比例？ 那么呢，我们依旧可以把它转化呢？我们熟悉的形式，你看 x 比 y 也是等于什么呀？你看两内相之积等于两外相之积十一啊，这是呢？ x 这等等是七，你看量内项之积等于量外项之积，是不也是转化成什么呀？ x 比 y 等于 十一分之七，也就是七比十一，你看 x 和 y， 它是一个商，它商十一分之七是不也是个定值啊？所以说呢，它呢也是一个正比例。 那么这三道题呢，基本上啊，就利利用了这种方法，包含了怎样来判断正比例和反比例，只要你掌握了这么一一种方法，那么所有的这种类型的题，你呢，都会迎刃而解。

正比例、反比例是一种定义，孩子们不太容易理解，今天分享一个判定技巧，正比例比值一定，反比例乘积一定，他们的共同点是结果一定。而我们学过的一定的东西只有这三种情况， 数字一就是一，二就是二，他不会变化，判是一个固定的数。然后第三种情况是题目中规定了什么一定， 所以在判定中，我们先看结果是不是这三种情况中的一种。如果是，前面是除法就是正比例，是乘法就是反比例， 如果不是，就不成比例。来看题，如果五 x 等于六， y， x y 是 分零的数，那么 x y 成什么比例？根据技巧，我们把数字都挪到等号的右边，把它写成比例的形式， x 乘以五， 比上 y 乘以六，根据的是比例的基本性质，内向的积等于外向的积。从等式中我们可以得出， x 除以 y 等于五分之六，是一个固定的数，所以它乘的是正零。 第二个判断题，圆的面积与它的半径成正比例关系。先把已知条件转化成数学式的圆的面积，派二的平方半径二成正比例关系，就是它们相除派二的平方除以二等于派二， 这里派是固定的数，但是二不是，所以最后的结果不是一定的，它不成正比例关系，所以错。 第三题判断题，用方砖铺地，铺地的面积一定时，方砖的边长与所需的块数成反比例关系。 方砖就是正方形的砖，它的边长是 a， 又说成反比例关系。反比例就要乘乘以块数等于这个一定值， 但是我们发现是面积一定，所以是方砖的面积乘以块数才等于面积一定，这个说的是边长，他们就没有比例关系。这类型的题目想要轻松解决就必须按照方法多练。

用比例解决蜡烛燃烧的问题，一根蜡烛点燃了八分钟之后，长度是十六厘米，点燃十八分钟之后，长度是十一厘米。假设蜡烛燃烧的速度是一定的，那他最初的长度是多少？那这里啊，我们可以假设他最初的长度是 x 厘米。 题目的关键信息是，蜡烛燃烧的速度是一定的，蜡烛燃烧的速度就等于它燃烧的长度除以时间。那根据这两个已知信息，我们可以写出两种速度的表达方式，最初的长度是 x 厘米， 燃烧了八分钟之后，长度是十六厘米，那他燃烧掉的长度就是 x， 减去十六，用燃烧掉的长度除以他所用的时间，那他所用的时间是八分钟。这就是蜡烛燃烧的速度，最初长度是 x 厘米， 点燃十八分钟之后，长度剩下了十一厘米，这时候燃烧下去的长度就是 x， 减去十一。那燃烧这么长的长度是用了十八分钟， 所以用燃烧的长度除以它所对应的时间也是它燃烧的速度。那这两个式子都是表示的蜡烛燃烧的速度，所以呢，就是相等的，我们只需要解这个比例就可以了。根据内向之积等于外向之积，我们给它画出来 x 减十六乘十八，等于 x 减十一乘八，解出来 x 等于二十。最初的长度啊，就是二十厘米。

最近有很多家长说王老师啊，孩子不会判断正反比例问题，那今天王老师这期视频呢，给大家总结一下判断两种量能否成正反比例的方法。那么首先他必须得是两种量，那这两种量 他必须得相关联，那如果不相关联，那么说明这两个量他是不成比例， 那么这两种量相关联，那相关联的话，我就看这两个量，它的比值，如果是一定，那比值一定，它满足的是 x 分 之 y 等于 k， 而这个 k 是 一定的，那说明这两个量 x、 y 成的是正比例关系。 那如果这两个相关联的量，他们的乘积一定满足 x 乘 y 等于 k， k 是 一定的，那么我们说这两个量乘的是反比例关系， 那么如果这个相关联的量，它的比值和乘积呢？都不一定，那么我们说它是不成比例关系的。那么王老师在这里给大家举了一个例子，你比如说 五分之二比 x 等于二， y 比三分之二为 x 和 y 乘的是什么比例？那么我们可以借助比例的基本性质，两内向的积就等于两外向的积，我们发现 两内向的积，那就是二倍的 x， y， 那 就等于五分之二，是不是乘三分之二，那满足的是 x， y 的 积等于 k， 他 们的乘积一定，那说明这两个量乘的是反比例关系。 那假如零点三 m 等于二点七 n， 那 么问 m 和 n 乘的是什么比例？那么我们可以借助比例的基本性质啊，它的两内向之间等于两外向之间，那么这样的话，零点三 a 和 m 当比例，两个外向 m 隔零点三当外向，那么这个 n 和二点七呢？当内向， n 和二点七，当内向，那么 n 分 之 m 就 等于零点三，分之二点七，它满足的是 x 分 之 y 等于 k， 而 k 是 一定的，所以在这里 m 和 n 成的就是正比的关系。 那么并且 m 与 n 的 比等于多少来， m 与 n 的 比等于多少呢？啊？二点七除以零点三，那二点七除以零点三，那不就等于九比一吗？各位同学， 所以我们就能轻松的求出来。那王老师在解决这样问题的时候，总结的时候，我也是借助这本小学数学公式定律和词典， 哪里不会咱们就查哪里，他给我们总结的非常的到位，而且用漫画的形式让同学们理解的更透彻，一本词典能让孩子轻松学好数学。

判断正反比例只靠这个反击正商，很多题是判断不出来的。今天一个视频，咱们把判断正反比例的三个关键点给大家梳理清楚。 咱们去判断的核心口诀其实就是同征，同减是正比，一征一减是反比。什么意思呢？哎，我们有两个相关的量，比如说几个路程和时间， 你路程走一百米需要两分钟，那走两百米呢？是不是需要四分钟啊？你看路程在涨，时间也在涨，这两个量呢，是同增同减的关系。你比如说我只走五十米，那五十米是不是只用一分钟啊？ 这个路程减少了，这个时间也减少了，这就叫同增同减来。一增一减是反比，比如说同样是一百米的距离， 我的速度越大，我用的时间是不是越少啊？所以这里就是一个增一个减的关系，一增一减它就是反比。 那在这个核心口诀里面，它其实是有两个变化的量的，这两个量是相关联的。什么是相关联就有关系吗？速度变了，所用的时间也会变，一个变呢？另外一个会跟着变。咱举个反例，比如说直径一定，它问你 c 和派成什么关系？ 那直径低，它是不是就等于周长除以派啊？哎，您看是不是低一定是不是商一定商一定是不是成正比呢？错，这一题错在哪里？错在 c 和派这两个相关联的量，它并不是 c 变化的时候，派就变， 因为派是一个固定不变的数。三点一四对不对？成比例的两个量一定是两个都能变的，所以这题是不成比例。 第二个关键点是必须有定量。什么叫定量？定量其实就是一个不变的数，你比如说甲乙两个人都是从学校去公园， 从学校去公园，那么甲走的路程和乙走的路程是不是一模一样？所以这里 s 甲就等于 s 乙，啥意思呢？也就是路程一定，两个人所要走的路程是一定的，是不会变的。路程就等于速度乘以时间， 这里路程一定也就是这两个量的乘积一定积一定是不是成反比啊？这里如果甲乙两个人能速度比次三比五，也就是说微甲比微乙等于三比五的话， 成反比，那么时间的比就会反过来， t 甲比上 t 乙就等于五比三。 那么第三个关键点才是判断到底是商一定还是积一定，商一定呢？是成正比，积一定呢是成反比。 总结一下，咱们除了牢记反击赠商，还要记什么呢？第一，必须有两个相关联的量，一个变，另外一个也跟着变。第二，必须里面有一个定量。第三，看他们是商一定还是积一定，你学会了吗？关注正能量，我们一起学数学。

近期一直有很多同学给王老师留言，说如何快速的判断给定的两个量到底是成正比定还是反比定？ 那今天王老师这一期视频给大家讲清楚，讲明白，你一定要认真听在这里啊，有一个核心口诀， 同大同小是正比，一大一小是反比。很多同学不理解，我给大家解释一下，其实判断这两个量到底是成正比例还是反比例，主要看三个关键的点， 那哪三个点呢？第一个点是必须要有两种相关联的量啊，这两个量必须相关联，一个变，另一个呢也要跟着变。那第二必须要有一个定量，什么意思？里面一定有一个不变的数。 那第三看他们到底是商一定还是积一定，那商一定。我们说这两个量成的是正比的关系，同大同小成正比啊，那如果是积一定啊，就是一大一小，那就成的是反比的关系。那我们具体的来看一看正比例 那特征。我们说正比例的特征啊，就是这两个量它是相关量的量，并且这两个量的比值是一定的，他满足的是 x 分 之 one 等于 k， 而这个 k 是 一定的，也就说这两个量它们的比值或者是商是一定的。同学们想，你大我就大，你小我就小，所以它们的比值一定，我们说它是成正比例 关系。那像这种，我们举几个例子，比如说速度一定的情况下，路程和时间成的是正比例关系，那单价一定的情况下，总价和数量成的是正比例关系。我们知道正比例它的图像是一条射线， 而反比例它的特征啊，是啊，里面这两个量的乘积是一定的，它满足的是这两个量的乘积， x 乘 y 等于 k， 而这个 k 是 一定的， 那成绩一定。那么同学们想一想，你大一个量变大，那另一个量就得变小，因为他们的成绩是一定的，那你变小，那我就得变大啊，所以一大一小就是成反比的关系。那这样的例子有很多，比如说路程一定， 那速度和时间成的是反比的关系，你速度越快，你用的时间就越短呢，你速度越慢，你用的时间就越长啊。啊，那么总钱数一定啊，单价和数量他们也是成反比的关系啊，你的单价越高，你买的东西就越越少啊，你单价越低，你买的东西就越多，因为总钱数一定。 那类似于还有很多不成比例关系的，你比如说像差一定的，像核一定的啊，像身高和年龄，他是不成比例关系的啊，像 半径和面积也是不成比例关系等等，这些都是易错的啊，那对王老师所讲的有关如何快速判断正反比例问题你都掌握了没有？给王老师点赞、关注、收藏起来，赶紧的教娃吧！

大家好，这里是小学数学重难点系列讲解，我是孙老师，方法虽有可观，思路方能致远。 大家好，我们今天来讲比例与正反比例。那么首先啊，很抱歉，我们因为一些事耽误了，所以有一段时间没更新了啊，但是后面的话呢，我们还是会照常更新的，因为接下来要总复习了嘛， 那么我们现在来更新这个比例与正反比例呢，有些小朋友啊，这个可能学完了，但大部分小朋友呢，可能正在学，有些书里面是把比例与正反比例变成两个单元的，对吧？好，那么我们现在在讲这个内容，即使你学过了，也请认真看一遍， 里面一定有你没有见过的东西，而那些正是我们容易错的点，就当做复习。好吧，正反比例呢，是我们小升初阶段特别容易忽视的扣分的点，同时 他也是对我们这个抽中以后啊，有非常长远的影响，所以要好好学。好嘞，那么我们接下来看，那么这个 比例与正反比例呢，我们是分成两块来讲，一个呢，是比例的意义与限制，以及正反比例的判定。还有一个呢，是这个用比例来解决问题，解决应用题啊，所以咱们用两个视频来讲。 好，今天呢，我们是第一节课，那么首先我们先来看第一部分，是比例的意义和性质啊，今天还有第二部分是比正反比例的判定啊。好嘞，我们来看啊， 首先比例的意义和构成比例的意义是什么？表示两个比相等的式子叫做比例。来说的简单一点，就是两个比值相等的比，比方说，你看六比三等于二， 对吧？八比四，他也等于二，这俩比值是不是相等于是他俩就可以组成一个比例了？六比三等于八比四，这就是比例，很简单，很好理解，对吧？好，接下来接下来呢是比例的组成， 组成比例一共是四个数，咱们刚刚看到了，是吧？叫做比例的象，其中呢，两端的叫做外向，中间的两向叫做内向，你看两端的六和四是不是在这个整个比例的外边，对吧？所以叫外向，三和八在里边叫内向，这很好理解吧，是不是？好， 来，我们继续比例的形式，它的展现形式呢，是三种，第一种比例式， a 比 b 等于 c 比 d。 第二个是分数式啊， b 分 之 a 等于 d 分 之 c， 这个也很好理解，我们在理解分数的时候我说过，我说分数可以是一个数，也可以把它理解成一个算式，比方说 b 分 之 a， 我 们可理解成 a 除以 b， 对 吧？ 也可以是一个比， a 比 b， 对 吧？所以，所以从上面的写成下面的形式也是很好理解的，对不对？ 好。第三个乘积式， a 乘 d 等于 b 乘 c， 那 这个呢，有些小朋友就就不太能理解了，所以怎么比例不是应该是一个除法吗？是个分数是个除法的关系吗？对不对？怎么变成乘法呢？待会我们就知道了啊，学过的孩子应该是知道的，对吧？这跟比例的性质有关系。好，我们举三个例子， 比例式，哎，八比三等于六比三等于八比四，咱们刚刚举过，是吧？如果写成分数的话，就是三比六等于四分之八， 写成乘积式呢，就是六乘四等于三分之八。好，在这里我再强调一下啊，你看这个六和四是外向对不对？三和八是内向，如果写成分数式的话，你看注意两个外向处在什么位置啊？在这边和这边看到没有，内向处在什么位置，能记住吧？ 那你也可以把这个分数想象成一个比例式，再去找它的外向和内向。好，继续 来，我们看一下题目，能与三比二组成比例的是什么来，根据比的意义 就是比值相等的两个比就能组成比例了，对吧？所以我在下面 a、 b、 c、 d 里面去找找，找一个比值跟三比二相等就行了。三比二的比值是二分之三嘛，对吧？ 哎，当然你也可以把下面 a、 b、 c、 d 的 这些啊，分数式的比，把它转化成整式整数的比对不对，然后再去跟三比二进行比较，大家思考一下啊，先思考一下选几，很简单，选 a， 二分之一比三分之一啊，他的比值也是二分之三，所以选 a 啊。好，在这里呢，我们再复习一下啊。对，对于可能前面的技术有些遗忘的孩子，我还要再再说一句，多一句嘴啊，有些孩子是知道的，那么二比三，像这种分数的比，咱们要化简成整数比怎么化简？ 那么第一种我们要把分数的比变成整数的比，也就是说把分数变成整数嘛，是不是就要去掉分母就行了？把下面的二和三这分母去掉，去掉分母的办法什么？乘上他们的最小公倍数对不对？是不是？所以 二分之一乘六比上三分之一乘六等于三比二，对吧？乘最小公倍数，这是第一个办法。第二个是什么呢？是把这个比看作一个除法算式，算出它们的结果。比方说，二，二，二分之一，比三等于二分之一，乘三就等于二分之三， 二分之三就是三比二就是直接把它计算下来算，看它的这个比值对不对？好，第三个呢？是什么呢？交叉相乘， 交叉相乘，一乘三，比上一乘二，这个相信很多小朋友是知道的啊，那不知道的小朋友一定要在这里看一下，就一 乘这个三，那三要乘上了，一这边的二呢？乘这边的一就直接是三比二，这样最简单，是不是最简单呀？交叉相乘能求出他们的笔，记住了啊，好，这里这个多说一下啊，对于有些技术有遗忘的孩子提醒一下。好嘞，我们看第二题 下面不能和四点五和六点三组成比例的是什么？来看一下哪个不能组成比例啊？我们的依据是什么？还是比的意义啊？比值相等的比能组成比例是吧？所以我们就在下面看，先把四点五和六点三的比值算出来 啊。六十三分之四十五，就是同时约掉一个九，就是什么七分之五，对不对？七分之五，好，来看， a， 十四分之十，七分之五，四四十九分之三十五，七分之五，二十八分之二，七分之五。哎，这个不是，这个不是，所以咱们选 d， 咱们是根据比的 e 来选择的，是吧？比值相等， 好，这都是最基础最最简单的啊，我们就是把它过一下。好嘞，第三题，一个比例是由两个比值是三的比组成，比例的两个外向分别是最小的和数和最小的质数，那么这个比例是多少？ 最小的和数是多少？四呀，是不是最小的质数是二，对吧？所以，哎，外向嘛，肯定就是四和二是放在两边，对不对？那么这个比例是多少？ 和好吧，他的比值是三，那我就根据比的意义。那么四比上多少？是三吗？对吧？也就相当于求除数了，是不是？前面是倍数数，倍数数，这比值。什么是商四除以三得出数吗？对吧？三分之四四比三分之四等于三。 在这个第二个笔里面呢，等号右边呢？这是求什么呀？笔的前项也就相当于求倍数数，对不对？倍数数等于除数，乘商二乘三等于六，是不是？哎，很好算，但是他写两个或者什么 或者什么的话呢？四和二作为外向来讲是可以调换位置的呀，对不对？还可以写成这样的形式，对吧？算法也是一样， 是不是二比上什么是二比三？那就用这个倍数除以商等于除数，比上三分之二，对吧？ 在这里呢，比多少？比四等于三十二比四等于三啊，所以两个比分别就是四比三分之四等于六比二和二比三分之二等于十二比四。嗯，这是不是根据比的意义来的呀？ 好，我们来看第四题，假校采购二十五只足球花了三千元，以校花费两千四百元采购了同样的足球二十只。请根据以上的信息写出两个比 啊，这笔好好写吗？很好写，很好写，找到两个笔值相等的笔吗？对不对？组成比例吗？对吧？写出两个比例好，首先第一个，这个足球是买的一样的吧，那么也就是意味着单价是相同的，所以三千比上二十五等于两千，四百比二十 啊，根据的是单价没变，那么比值相等，对吧？这个比值的应用意义是单价，单价好还可以写成什么样子呢？比如写成这样，当然不，不止这一个啊， 我们能写很多，那么写成这样，我写这个，这个题目出在这里什么意思呢？我是想告诉大家，三千比两千四，它有什么应用意义吗？ 二十五比二十有什么应用意义吗？跟前面的这个比他不一样了，前面这个比啊，是比值相等，是单价相等，有应用意义，在这里他没有具体的应用意义了，他不是数量，不是单价，不是总价，对不对？他仅表达两个量的关系， 仅表达两个量的关系啊，我这个题目想表达什么意思呢？就是在应用题里面，我们要找两个比值相等的比组成比例的时候，你不一定要根据应用意义来， 根据关系来，他也行。大家听懂我意思吧，因为比本来就是去表达两个量的关系的好，那么这是第四条题 来看，第五题在比例六分之一点二等于啊，十五分之三中，内向是什么？外向是什么？哎，这个我刚刚跟大家讲过了吧，内向是什么呀？六和三， 六和三啊，是吧？刚我们这个位置我跟大家讲过了啊，外向是什么呢？是一点二和十五啊，外向是一点二和十五。嗯，好，这是第五题，第六题，一个比例中两个外向分别是五和六，比值是三分之一，这个比例是多少？好，大家暂停写一下啊。 啊，这题目都比较简单哎，应该是都能做的啊。好嘞，来，我们看， 外项是五和六，比值是三分之一，这其实咱们刚刚已经做过了，是不是？那要是要外项是五和六， 那也就把中间这两个求出来，比值是三分之一，那么也就是说五比乘多少等于三分之一，五比十五等于三分之一，对吧？求除数，那就是被除数，除以除数呗，五除以三分之一嘛，对不对？ 多少？比六等于三分之一，求倍数数，那不就是六乘三分之一等于倍数数吗？除数乘商等于倍数数，对不对？好，或者或者那五和六是不可以调换位置啊？调换一下变成这样的形式，大家写对了吗？这不难是吧？好，继续。第七题， 如果二是 x 和百分之四十的比例中项，则 x 的 值是多少？哎，我敢肯定，我估计啊，大部分小朋友不知道什么叫比例中项，大家知道吗？ 什么是比例中项呢？我们来看啊， a 比 b 等于 b 比 c， 我 们会发现前后这两个比啊， 都有相同的数，对不对？在这个两个内向都是 b， 是 不是？所以我们就把这个 b 叫做比例的中项，哎，这很好理解吧，这个 b 处在 a 和 c 这两个外向中间哎，而且它们相等，它就是比例中项，听懂没有？好，那么 这道题目是二是 x 和百分之四十的比例中项，也就说是这个样子了，是不是 x 比二等于二比百分之四十要求 x 的 值好求吧，根据比的意义啊，因为我们现在还没讲比的性质呢，根据比的意义， 左右两边的比的比值相等，所以咱们把右边比值算出来，二比四十等于二，比百分之四十等于五，所以 x 比二也要等于五， x 等于多少？等于十，听懂没有？这是比例中项。好，咱们再来一道题， 如果 a 是 bc 的 比例中项，且 a 比 b 等于二比三，那么 a 比 c 等于多少？大家做一下，暂停一下，做一下。 好，我来讲 a 是 bc 的 比例中项，那么咱们先把它写下来啊。 b 比 a 等于 a 比 c， 对 吧？好，那我现在知道的条件是， a 比 b 等于二比三， 那我就把二和三作为 a 和 b 的 分数直接拿过来用，那么这个算式就变成什么样子了，就变成了 b 是 三份， a 是 两份，就变成三比二等于二比 c， 对 不对？他告诉我 a 比 b 等于二比三，我直接拿过来用吧，对吧？这样的话我就可以求 c 了呀，是不是把 c 给求出来？三比二等于一点五， 对吧？我们求出这个比值，那么二比 c 的 话，是不是也应该等于一点五啊？它比值应该相等，对不对？二比 c 等于一点五，那么 c 的 话作为除数来讲，就得被除数，除以商嘛。所以 c 等于二，除以一点五等于三分之四， c 是 三分之四。 好嘞，那么我们求 a 比 c 就 等于 a 是 两份， c 是 三分之四，就是二比三分之四，对吧？咱们化简一下，就等于三比二， 是不是？三比二？大家写对了吗？写对没有？我再把这个题目说一下啊。首先它是比例中项，咱把这比例给它写出来，然后第二步很关键，第二步呢，我就直接把 a 比 b 等于二比三，这个二和三直接放进去拿过来用了， 是不是？拿起来用的时候，我就直接给把 c 给是多少求出来，最后再把 a 和 c 怎么样化简一下，就可以求出来了。好，这是第八题。 好，接下来我们来讲比例的性质。比例的性质，在比例里，两个外向的基等于两个内向的基，叫做比例的基本性质，用字母表示。如果 a 比 b 等于 c 比 d 啊，那么 a、 d 等于 bc 呢？ a、 d 等于 bc， 两个外向相乘的积等于两个内向相乘的积。很好理解，也很好记忆，对吧？外向的积等于内向的积，就这么简单叫比例的性质。好，我们来看下面的题目啊， 一个比例的两个内向互为倒数，一个外向是多少多少？多少？ 五分之八，是不是？为啥？因为两个内向互为倒数，那么他们的基就是一，根据内向的基等于外向的基，那外向也要是一啊，外向的基是不是也是一啊？外向的基也是一的话，那么也互为倒数，所以一个外向是八分之五，另外一个外向就是五分之八，对吧？哎，这是最简单的。好，我们来看下面一题。 如果 a 比 c 等于 d 比 b， 那 么 a、 b、 c、 d 的 积是一百九十六，若 a 是 二，则 b 是 多少？好，自己思考一下，先做一下。 好，我来讲。哎，思考的时候暂停去思考啊。好，我们知道 a、 b 的 积是等于 c、 d 的 积， 然后呢，再把这两级再沉在一起，就变成了 a、 b、 c、 d 的 级是一百九十六，对吧？然后如果 a 是 二， b 是 多少怎么办？首先，我们 这个一下子就能想到的是什么方法？如果你能想到了，说明前面我的课你是真听了啊。呃，那，那什么时候的课呢？五年级讲因数倍数的时候，我说，但凡是告诉我们几个量的基，我要去求几个量，哎，我们的做法在小学阶段就一个分解因素 或者分解质因数，对吧？所以我就把一百九十六分解质因数了，那么一百九十六分解下来就是多少？二乘二乘七乘七，然后又因为什么呢？因为根据这个前面的比例啊，我们有了这个外向的积等于内向的积， a 乘 b 等于 c 比 d， 所以 一定是左边是二乘七，右边也是二乘七，是不是？所以如果 a 是 二的话，那么跟着他一起的 b 就 应该是多少，就是七，大家听懂了没有？哎，好，这道这道题呢，我们着重讲一下啊，如果看到 g 要求这几个量怎么办？分解因数？好，下面一道题， 在比例五比四等于七十五比六十中，如果外向五加十四和六十不变，那么内向七十五应该怎么样 啊？五外向五加十就变成了十五，对吧？那么四和六十不变，七十五要怎么办？ 那个比例仍然成立，那很简单吗？这个前面这个比的前向扩大了三倍，哎，我们要去讨论他这个比值改变变不变，或者说这个比能不能成立，是从扩大或缩小的倍数概念来讲的，对不对？你增加或减少， 你还是要把它转化到扩大了几倍或缩小几倍，是不是啊？因为根据比的性质吗？是不是？好，那么作为后面这个比的前向七十五是不是也应该怎么样？ 怎么样也要扩大三倍吗？是不是扩大原来三倍，他的比值依然成立，是吧？比例依然成立，就是他前后两个的比值都扩大了三倍吗？是不是很简单？好，来下面一道题， 根据比例，三比九等于六比十八，如果外向十八减去十二，那么内向九应该变成什么才能使比例仍然成立 啊？这个十八如果减去十二的话，也就是说变成了六就缩小了三倍，我们还是从倍数关系角度去出发去思考，对不对？他缩小了三倍，那么前面这个比的后项是不是也要缩小三倍啊？所以九应该变成三才能成成立，对吧？啊？这个也是比较技术的题目。 好，我们是每个类型都要讲一下啊，都要讲一下，因为有肯定有一些以后看的孩子是初学的孩子，所以这些题目还是要过一过的啊。好嘞，那么接下来第五题，十分之一、八和二分之一再配上一个数可以组成比例，那么这个数最大是多少？最小是多少 啊？再配上一个数，好，这个就是要比例的性质了，对吧？哎，两个数的积等于另外两个数的积，那如果说我要使这个数最大，那我这个最大的数是不是跟一个最小的数给它配在一起， 对吧？然后另外两个数可以可以，可以，可以组合在一起，是不是这意思？作为外向是不是？好，所以这里面最小是谁？十分之一，对吧？剩下两个数是八和二分之一，他俩乘以二等于四， 八乘二分之一等于四，这个四啊，就是乘积了，那么这个数最大是多少？最大是多少？ 四十是不是啊？四十和十分之一的积是不是？是不是四啊？对不对？那么最小是多少？最小的话，那我就要这个最小的数，要跟最大的数给它结合在一起，跟谁啊？跟八结合在一起，那另外十分之一和二分之一给它结合在一起，对吧？好， 那么十分之一和二分之一凑在一起，是不是就是多少？二十分之一，他们的积是二十分之一，那八跟谁的积是二十分之一呢？跟一百六十分之一的积是二十分之一，对吧？好嘞，那么这是也是常见的题目，来继续看下面 如图三角形， a 边上的高是 b， c 边上的高是 d 啊？注意看，没有 a 边上的高是 d， c 边上的高是，这是 d 啊，请写出八个比例。所有的八个比例，哎，就是根据一组数量关系啊，我们能够写的比例一共是八个，大家写一下，暂停写一下。 首先我们看到这个图啊，是不是会有一组关系？ 什么关系？ a 乘 b 等于 c 乘 d， 是 不是啊？那算算算这个三角形的面积，底乘高除以二都等于面积嘛？这个除以二都有除以二，我就把它给它约掉了，就只剩下了 ab 等于 cd 这样的关系。 那接下来我就要根据这个 ab 和 cd 来把这八个比例给它写出来，是吧？八个比例分别是多少呢？既然 ab 等于 cd 啊，那么我就可以把 a、 b 作为外向， c、 d 作为内向，对不对？或者反过来， a、 b 作为内向， c， d 作为外向，是不是啊？好，咱们先把 a、 b 作为外向，那么就有 a、 b， c 啊，等于 d 比 b， 然后把这个中间的 c 和 d 调个位置，变成了 a 比 b 等于 c 比 b， 对 不对？ 然后这个两个外向 a 和 b 还能调个位置呢？它们俩调换位置，又出现两个了，哎， b 比 c 等于 d 比 a， 然后呢？你看这个 a 和 b 啊，外向的两个调换位置之后，这内内向再换一次，是不是？大家注意我这个写的规律啊， a、 b 作为外向，就会有这四个情况，是不是四个情况？好，接下来 c、 d 作为外向，那一定也是四个情况， c、 d 作为外向，对吧？ c、 b、 a 等于 b、 b、 d， 然后 c、 b、 b 等于 a， b、 d， 对 吧？ c、 b 作为外向的时候，内向一交换就出现两个了， 然后 c 和 d 还能交换位置，对吧？就出现了 d 比 a 等于 b 比 c， d 比 b 等于 a 比 c， 一 共是八个，大家写出来了吗？啊，好嘞，这是基本功啊，要写出来了啊，好，继续。 第七个，如果三 a 等于五分之四 b， 那 么 a 比 b 等于什么？嗯，这个怎么办？ 来我们看一下啊， a 比 b 等于什么东西呢？我们根据比例的性质， a 要跟三相乘，所以三就是在外向，是不是 b 呢要跟五分之四相乘，所以这个五分之四呢，就在内向，所以 a 比 b 等于五分之四比三， 是不是五分之四比三？我们以前不是这么去理解的啊，以前，哎，我一会再讲一个类型的题目，你就知道我们以前哪个条件跟这个是一样的，那么现在我们就可以根据笔的性质来把这个后面的笔给他凑出来，是不是？所以 a 比 b 就 得五分之四比三，我们来化解一下，就是等于四比十五。 好，来，我们看下面一道题，若甲数的五分之二等于乙数的四分之一，甲乙两数均不为零，则甲乙甲数与乙数的最简整数比是多少？这个咱们这条件我们见过太多次了，还记得不？甲的几分之几等于乙的几分之几。 以前我跟大家讲，我说怎么样去求贾阿姨的笔啊，直接把这两调换位置就可以了，为什么呢？依据是什么？就是笔的性质呀，对不对？调换位置加笔以就等于四分之一比五分之二。现在大家知道我说的啥意思了吧？是不是 根据笔的性质，所以化简一下等于五比八？好，来，下面继续 第九题，如果五分之 a 等于七分之 b， ab 均不为零，那么 a 比 b 得多少？ a 比 b， 这个非常简单，怎么办？直接把这个 b 拿下来啊。这个五和 b 可以 交换位置， 它是两个内向嘛？ a 和七是两个外向是吧？我们只要遵循比例的性质，外向的积等于内向的积就行了，那至于你是处在谁处在前面，这个没关系，是吧？ 哎，所以五和 b 是 可以交换位置的， a 和七它也能交换位置，这个比例的性质根据比例的性质，这个比一就成立，是不是啊？所以它俩一交换位置就就出现了， a 比 b 等于七分之五等于五比七，对不对？听懂了没有？ a 比 b 等于五比七，五和七，五和 b 啊，可以交换位置啊。再来一个， 如果 a 分 之四等于 b 分 之二点五，那么 a 比 b 等于多少？是不是还是交换位置啊？这次换谁了？ a 和二点五交换是不是？ 哎，就，就这样就出现了， a 比 b， 看到了没有？就等于什么四比二点五，看到没有啊？大家记住了，这种形式咱们怎么样去变化啊？才能找到两个量的比，所以化简一下等于多少？等于八比五等于八比五。 好了，这是第十题的比例性质。接下来我们讲第二部分正反比例的判定啊，这个是重头戏啊，前面都是基础，那些应该是。呃，不太会错的内容啊，我们就是简单过一下。那这边我要详细讲了 正法比例的判定。首先我们的依据是什么？三个？第一个，除法的性质，被除数和除数同时扩大或缩小，相同的倍数，零除外，商不变，对吧？比方说 a 除以 b 等于八， 哎，如果 a 乘二，这个 b 也乘二，那么商是不会变的，对吧？这是除法的性质。 分数的性质呢？分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，零除外，分数值不变。比方说 b 分 之 a 等于八，哎，他们同时除以五，他的分数值是不变的，对不对？ 比的性质，比的前向后向同时扩大或缩小，相同的倍数，零除外，比值不变啊。 a 比 b 等于八，那么 a n 比上 b n 一 样等于八，两个都扩大了 n 倍，是吧？比值不变。 好，在这里我们要总结的是两点。第一点，无论是被除数和除数，还是分子和分母，还是比的前项和后项，它们扩大或缩小的方向和大小是一样的，对不对？方向一样， 方向一样啊，这个大小也是一样，你乘二，我也乘二，你除以五，我也除以五，对不对？这样能保证什么呢？第二点，结果不变 是吧？遵循这两点，我们就叫做他们的关系。是什么关系？叫正比例关系。我刚刚说了两点啊， 这叫做正比例关系。哪两点？正比例关系，我们可以把它剪成他们的变化的方向是一致的，对吧？然后这样我们大小一样，能保证怎么样？第二点是结果不变啊，这个商也好，分数值也好，比值也好，不变，大家听懂了没有？ 哎，满足这样的情况，我们就叫做这两个量的关系，是什么关系？成正比例关系。 好，接下来刚刚我们是讲了除法里面的了，是不是啊？除数除法了呀，这个分数啊，比啊，它们三个是相通的吗？对不对？原理是一样的，可以当做除法来看。那么既然有除法，也有乘法， a 乘 b 等于八，我们来看，如果 a 乘二的话，我要保证这个八，这个积不变 b， 要怎么样？ 除以二？哎，我们就会发现了，这两个量它们变化的方向还相同吗？不一样了，方向相反，对吧？为了保证最后的结果不变，我前面两个变化的方向要相反， 大小一样。变化的方向大小方向相反，大小一样，都是二嘛，对不对？然后这种我们叫做什么关系呢？叫反比例关系。那记住了， 那么我们综合下来就是什么结果一样，对吧？保证结果一样的情况下，这两个量一个变化的方向相同，一个变化的方向相反，相同的叫正比例，相反的叫反比例，听明白了吗？哦，好，我觉得用算式来表达他，他最直观。好嘞，接下来我们来看， 那么正反比例是两个量之间的关系啊，我们把这个如何判定的过程讲一遍啊，大家听好了， 它是两个量的关系，因此既然是两个量的关系嘛，那我们是不是要先把这两个量给它找出来？首先我们要先找到需要判定关系的两个量。有人说这不是个废话吧， 我跟大家讲，我们很多小朋友在这地点上做错了，什么意思啊？比方说甲乙丙，一个题目里面出现了三个，如果我问的是甲和乙的关系是什么，那你只能找甲和乙的关系，你列一列甲和乙的数量关系，跟丙就没有关系了，大家听懂我意思吧？ 哎，所以我们先要找到需要判定关系的两个量，然后干什么呢？然后把这两个量的数量关系给他写出来。为什么把数量关系写出来？因为我们刚刚讲了， 正比例他是个除法关系，对不对？保证商不变嘛？反比例是个乘法关系，保证基不变是不是？所以我把数量关系写出来，他是不是乘法都不是，他连比例都不是了呀，对不对？ 好，最后我们来开始判定。那前面是做的这个准备啊，数量关系写完之后怎么判定呢？首先如果是除法， 并且满足其性质。什么性质？就是保证商不变分数值不变和比值不变啊，能满足这样的性质，那么它就是一个正比例。 如果是一个乘法关系，是否满足基不变 啊？大部分的时候是可以的，那什么情？什么时候这个既虽然写出了一个乘法算式，但是我满足不了既不变呢？待会我来告诉你们，什么情况下啊？大部分的时候是可以的，所以他是个什么？反比例关系？ 那如果是个加减法，那他啥也不是，就不成比例。好，大家看一下啊，这是我判断正反比例的三个步骤。好嘞，接下来我们看题目。 首先第一个，我们先把这个最基础的题看一下，这题目怎么做啊？待会我们再来讲容易错的题目。首先第一个定少先队员的份数和总前数， 那这两个是乘什么比例啊？把下面乘什么比例，并说明理由。这个理由怎么写？首先第一步把他，我刚刚不是说了吗，找到两个量，一个是分数，一个总前数，然后把这两个量的数量关系写出来，他来了，分数和总前数的数量关系。什么？总前数除以分数等于单价等于单价，对不对？然后他是个除法， 并且可以保证商不变不变呢？我们在这里写个括号，后面写一定一定就是不变的意思啊。所以这样的话呢，保证商不变除法算是保证商不变，所以它是个什么笔啊？ 哎，正比例商一定成正比例，写商一定也好，写笔直一定也行啊。好嘞，所以它是成正比例的。来，我们看第二题， 总人数一定行数和每行的人数啊。首先我们要找到两个相关联的量。我为什么强调这个问题？因为一定有孩子，他会写什么东西啊？他会写总人数除以行数等于每行的人数，对吗？ 这是我们要的数量关系吗？这不是总人数除以行数等于每行的人就变成个除法了，对不对？而这里我要找的是谁和谁是行数和每行的人数，所以我刚刚强调找到这两个量的目的是在这里。 那你不要找错了，行数和每行的人数，那么就是行数乘每行的人数等于总人数，对吧？ g， 这是个乘什么比例啊？反比例， 反比例啊。找到你要找的两个量分别是什么啊？找到他们的关系，那如果你用总人数除以每个人，他变成除法了，是不是就不对了？好，第三题， 正方形的周长与它的边长周长与它的边长啊，那很简单， 周长除以边长等于四，四肯定不变，它是个常数，常数就是个自然，它是个数字了，它还怎么变啊？ 如果是个 a， 它是个字母， a， 表示任何一个数，它可以变，它四肯定变不了了，是不是？所以它是一个比值一定乘正比例写比值一定商一定都行啊。如果说你没有找准它们的量啊，如果你把这这个关系给它表达错了，变成边长乘四等于周长了，你表达成这样了， 那这个题目不就判断错了吗？它变成乘法了呀，那你看，现在是个反比例了，对不对？这就不对了，所以一定要注意啊，找准两个量 周长和边长的关系，那你就把周长边长的关系写出来，是不是？哎，下面就不对了啊。好嘞，来第四题，三角形的面积一定底和高哦，来，大家写一下，自己做一下啊。 好嘞，底乘高除以二等于面积积一定，所以它乘反比例。好，有人说了。哎，这个有点奇怪啊，我要找的是底和高的关系，但是还多个除以，后面还多个除以二嘞， 这怎么办？这怎么办？你看，我把它拿过来，把这个乘除以二啊，移到等号的右边，移到等号右边，说变成乘二，是不是啊？底乘高等于面积乘二，那么这个面积乘二的这个二能不能影响这个面积？一定吗？ 能影响这个面积不变吗？肯定不会影响。为啥？因为二能变吗？二他变不了，二变不了，他就不会引起他的这个前面的改变，这个积他就不会变。 大家能听懂我意思吗？但如果这个不是二，这是个 a， 这是个未知数，那么这里就说不清了，他就有可能会变，对不对？是不是？所以他是个二，他是个常数，所以他肯定不会变的 好，所以积一定，所以他成反比例。好。在这里我还要再说一下，那么这个二写在前面的时候，对底和高的关系会有影响吗？ 他们成反比例会影响吗？不影响。是不是这个二啊？写在前面不影响，底和高成反比例，大家看一看啊，可以举例子看一看，大家记住了。好，接下来我们再举个例子，三角形的高已定底和面积，来，大家判断一下， 注意，我们要找的是底和面积的关系，所以面积乘二除以底等于高啊，面积乘二除以底等于高，在这里这个面积乘二，这个二，它也不影响面积和底的关系。我们会发现什么呀？发现，那如果我要找两个量的关系， 在中间多了乘或者除以一个常数的时候，他不会改变这两个量的关系。大家听懂我意思没有啊？是个常数，因为他本身这个常数，这个二，他不变了呀，他不会变，他不会引起对他们这个两个量的关系有什么影响没有？好，所以商一定乘正比例 好。那么如果有人说我就只想看底，我不要找底和面积的关系吗？我就只想看底和面积是什么关系，我就一定要只有底和面积。可以，那你把这个乘二移过来， 移过来，那不就只有面积和底了吗？是不是那么高除以二一定吗？一定呀，因为二是个常数，不会引起高的变化啊。来第六题，长方形的周长一定长和宽，大家写一下。 好，我来讲啊，长方形的周长一定长和宽什么关系？长加宽的和乘二得周长。哎，这个很简单了是吧？ 嗯，大家都会写，但是写完之后我们会发现，长和宽之间是什么关系？是个加法关系， 是不是所以它不成比例？注意了，它不是乘除法的关系，是不是我很容易能看到我，因为我找的是长和宽的关系吗？这个后面乘二，虽然后面还是乘法，但是这乘的是后面的二啊，这长和宽之间没有相乘呀，我只找长和宽之间的关系，所以它怎么样 不成比例？好，我们再对比一下刚刚那个题目啊，刚刚是底乘高除以二等于面积一定底和高是乘什么反比例的对不对？ 对吧，这个是可以的，但这个怎么就不行了呢？因为这里面是加法，是不是对比一下啊？这个后面的乘二和除以二是不影响前面两个之间的关系的啊。好嘞，来下面第七条， 长方形的长一定它的面积和宽啊，这很简单，面积除以宽等于长，是吧？所以是商比值一定乘正比例啊。第八题，正方形的边长和面积。哎，我都是一类一类给你们出的题目啊，所以大家注意比较， 刚刚是长方形，现在是正方形，大家写一下。好关系是面积除以边长得边长。那么接下来问题来了，咱们碰到了第一个要讲的着重要讲的容易错的点， 我们会发现啊，这个等号两边都有边长，对不对？面积除以边长等于边长，那么如果前面倍数数和除数同时扩大或缩小相等的倍数的时候，商会不变吗？ 那你这个编程变化了，那我后面这个编程是不是也跟着变化呀？咱俩一样呀，对不对？你变了，我也会变，所以我就不能保证后面的怎么样商一定他怎么样？不一定。 能听懂我意思吗？那等号两面都有边长，对吧？前面变了，后面也会变，所以它不一定，所以它怎么样商不一定不成比例。好，我们再看下面一道题，圆的面积与它的半径圆的面积与它的半径。好，大家先写一下。 好，我来讲。圆的面积是 s 得 pi 的 平方，对吧？ s 得 pi 的 平方，所以面积和它的半径是什么关系呢？ s 除以二等于 pi 二， s 除以二等于 pi 二，我们会发现等号两边是不是都有二，都有半径是不是？所以怎么样？它的商不一定。 前面变了，后面也会变，所以怎么样？笔直不一定不成比例。来，我们再来总结一下。我们看一下啊，刚刚是面积除以边长等于边长，不一定，对吧？因为两边都有边长上不一定不成比例，所以我们总结一下。 当等号两边有相同的量时，一边发生变化，另一边也会跟着变化，因此不能满足结果不变，它不成比例。所以 什么时候我们来判定？我们写了一个乘法或者除法，什么情况下不一定呢？我们就看等号两边是不是有相同的量，是不是有相同的量？常数没有关系啊，相同的量是指会发生变化的量，如果有，那么他就怎么样？不一定，结果会也前面变了，后面也会变。好，大家记住了啊， 来，我们再看下面圆的周长与它的半径，再来写一下。 好，周长与它的半径是什么关系啊？ c 除以二等于二派，对吧？二派二等于周长嘛，哎，这个是不是不变呀？等号两边没有相同的量，对不对？所以它是呈正比例的， 周长和半径是成正比例的。那么刚刚我们面积和半径是不是就不成比例？那么面积和什么成正比例呢？面积和什么成正比例？ s 等于 pi 的 平方，对吧？它跟半径不成正比例，跟谁跟半径的平方成正比例，看到了没有？ s 除以二的平方等于 pi， 而这个时候是成正比例的， 大家听懂了没有啊？这是圆的啊。咱们总结完了，咱们继续车轮的转速，一定时车轮的直径和行驶的路程。来，大家写一下，先暂停啊。 好，我来讲，我们先把两个量找到，我们要找到两个量，说明是什么？是车轮的直径和行驶的路程。首先这个直径和路程是什么关系呢？ 我们能知道的是，在这里面我们能知道的是周长和路程的关系，是吧？他是什么关系？车，路程除以车轮的周长等于转了几圈得转数，对不对？而周长和直径又有关系是吧？是什么？ 车轮的周长是等于派地吗？对不对？派成直径吗？所以路程除以直径就等于派，转数成派。把。这个车轮的周长里面啊，这边有一个派，把它移到右边去了， 移到右边去了，移过去之后，这是不是也能是保证不变啊？商不变，是不是转数成派派是个固定值啊，所以它是成什么正比例的，大家注意一下啊。哎，这道题目的特点是什么？特点是 我们所要找的两个量的关系，不是直接关系，直径和路程不是直接关系，谁才是周长才是。这个时候我需要把周长里面的直径给它拆一拆，听懂了没有？好，来，继续下面一道题来，路程一定，车轮的直径与车轮的转速。暂停写一下 好。乘什么比例？直径乘 pi 乘转数，对吧？直径乘 pi 是 周长，周长乘转数等于路程既定，所以它乘反比例，是吧？有人说这不是有个 pi 吗？ 那不是直径直接乘转数， pi 是 个长量，是不是它不变，所以它不会影响直径和转数之间的关系是不是？好嘞，下面 第十三题，好，在这些式子里面，我们要去找 x 和 y 之间的关系，大家注意，我们直接来看 x 等于二 y， 有 的孩子应该能知道它是呈什么关系，如果你不知道，那就把 x 和 y 放到一边去，把它们的关系表达清楚， 把 y 移到右，移到左边，是不是变成了 x 除以 y 等于二，是不是？这样的话，是不是商不变，所以 成正比例对吧？比之一定成正比例来注意， x 有 二， y 有 的孩子看不清楚，但是你把它表达成 x 除以 y 等于二，它你你就能看看，看懂了是不是？所以在做这个的题目的时候，我们要把它表达成我们容易看懂的形式啊。好，继续。 第十四题，正方体的棱长与表面积大家写一下。好，我来讲。 首先，表面积等于棱长乘棱长乘六，正方形的表面积，对吧对吧？所以那么表面积与棱长的关系，拿一个棱长过来，就是表面积除以棱长等于棱长。乘六，哎，等号两边都有棱长， 所以怎么样？商不一定不成比例，对吧？好，下面一道题，分子一定分母和分数值，那这也是我们常考的常错的题目， 原因是什么？原因是对分子分母和分数值的，它到底是什么？处在数量关系里面的？哪里搞不清楚？ 分子其实就是什么呢？就是被除数，分母就是什么？除数，分数值是商，对不对？ 是吧？分母分之分子，分子不就是被除数吗？对不对？所以他们之间的关系应该是什么？他说分子一定要找的是分母和分数值的关系，对吧？是除数和商的关系，所以分母乘分数值等于分子， 对吧？所以是既定乘反比例，大家听懂没有？他哪里有这这题目哪里容易出错？一定有小朋友会出错的，哪里容易出错？会把这里面的关系没有啊。谁是被除数？谁是除数？谁是商？搞清楚了。 好，下面一道题，第十六题，分数值已定，分子和分母。要找分子和分母的关系，那就很简单了，分子和分，除以分母等于分数值，对吧？它是比值已定，乘正比例 来。第十七题，假一两数互为倒数，假数和乙数既然互为倒数的话，那么它们的乘积就是一了，对不对？所以来一一定啊，一一定，所以它们成反比例啊，互为倒数的数。 来。下面铺地面积一定每块砖的面积与需要的块数。来，大家写一下，暂停写一下这道题。 好，我来讲，每块砖的面积乘块数等于铺地的总面积，是不是积一定，所以乘反比例是吧？这道题倒是不难，但是下面一道题我们看一下，对比一下 铺地总面积与铺地方砖的边长。哎，铺地是个正方形的砖，与这个正方形的边长是什么关系？大家写一下 好，成什么关系？我发现铺地总面积我们刚刚已经写过数量关系了，是跟铺地方砖的面积是关有关系的，是吧？直接关系，除以面积的一块数，面积就等于什么呢？边长乘边长， 但是我这道题呢，是直接跟边长要找到他们俩的关系，所以拿走一个边长就会变成了铺地总面积除以边长等于快数乘边长。哎，等号两边都有边长，所以怎么样？不一定，大家记住这个题目， 再看一眼，再看一眼，记住这个题目啊，两边都有边长，不一定跟前面那个不一样。如果直接跟面积发找他们的关系，他们就是成正比例的，但是如果跟边长就不行。 好，来下面一道题，大豆的出油率，一定大豆的数量和出油的数量。嗯，想想看， 大豆数量和出油的数量，还有出油率，它们之间什么关系来着？是出油的数量除以大豆的数量乘百分之百，等于什么出油率 啊？这个题目，那他是成正比例的，这个题目容易错在哪里呢？我们有的孩子对出油率啊，他忘了，他不知道他数量关系在哪了，大家记一记啊。那除此之外的话，他还有什么呀？ 还有出勤人数除以总人数乘百分之百的出勤率，对不对？还有发芽率，还有成活率，是不是啊？这些什么什么率？大家大家想想想想清楚啊，他们到底是什么关系？好嘞，这是第二十题，接下来二十一题， 圆的面积和圆的周长的平方。好，大家写一下这道题目有点麻烦啊， 好，暂停写啊。那我现在要讲了，圆的面积和圆周长的平方，大家会发现这是什么玩意？搞不清楚他们之间是什么关系，我没见过这样的数量关系。面积怎么和周长的平方产生什么联系呢？一眼一看看不出来，那么咱们怎么办？ 咱们你看，首先啊，首先他一定是个除法的关系，他不可能再乘了是吧？他们里面肯定有相同的因素， 肯定是个除法的关系啊，所以我们把他们的代数式给他表达出来，看看能除下等于什么？ 圆的面积是 pi 的 平方，周长的平方。周长的平方呢？就是 c 的 平方，就是二 pi， 二的平方展开之后就变成 pi 的 平方，除以四 pi 的 平方，二的平方， pi 的 平方约掉之后等于什么？四 pi 分 之一，对不对？哎，这个结果是一定的哦， 所以它们成什么正比例？当然你反过来也行啊，那我不知道谁大谁小，我用周长的平方除以 s 元也没问题，变成二派二的平方，除以派二的平方等于四派平方，二平方除以派二平方等于四派。一定。 所以他们之间什么关系？正比例关系。好，我们来总结一下这个题目，当我们会，当我们发现两个量之间不能直接找到的时候啊，关系啊，不能直接找到的时候，我们就把他们的代数式给他表达出来，通过代数式来找到他们内在的联系，大家听懂了没有？ 好，这我以前讲过的啊。好，我们讲第二个部分，乘积式与分数式的比例判定。哎，我们，我不是说了比例，我们有三种形式呀，比的形式， 有比例的形式，有分数的，分数式的形式，有乘积的形式，对不对？还有两种，我们来看一看。如果 x 和 y 是 两个相关联的量，如果五 x 等于九 y， 那 么 x 和 y 成什么比例 啊？ x y 写两边。当然了，我们如果熟悉的孩子一眼就能看出来成什么比例，对吧？不熟悉的孩子怎么办？没关系，你把它写成转化成你熟悉的形式嘛，对不对？五 x 等于九 y， 你 把 y 移过来就是五 x 除以 y， 再把五移到右边去，就变成 x 除以 y 等于五分之九，所以它成什么 正比例是不是？当然你也可以直接把它写成 x 比 y 等于五比九。根据什么比例的性质，外向的 g 等于内向的 g 吗？对不对？哎，所以它是成正比例的。那么第二个 y 等于十五除以 x， y 和 x， y 成什么比例？ 那 y 等于十五除以 x， y 等于十五吗？对不对？所以是什么？ g 一定成反比例 好，什么意思啊？就是你看不出来他们直接关系的，你把它整理成能看出关系的来，当然你直接能看出来的，你可以照写，对吧？看你自己的能力嘛。 好，我们看下面一道题，若 x 比四等于五比 y， x 不 为零， x y 不 为零，则 x y 成什么比例？好，这道题我们先做一下。 好嘞，我来讲啊，那么你如果看不出来，你就把它变一变，外向的 g 等于内向的 g， x y 等于二十，所以它成反比例，哎，不难吧，是吧？ 然后 a 等于三点五， b 啊，有的孩子其实到这里已经不用写了，一眼就能看出来了，有的孩子写不出来，看不出来，那你把它变一变，变成 a 除以 b 等于三点五，对吧？所以成正比例。 成正比例好，有一些形式啊，能够记的记一记，像这个 a 等于三点五， b 这种形式， a 和 b 一 看就是正比例关系。好嘞， 好，接下来呢，我准备了这几道题啊，这几道题讲完我们就结束了，那么这几道题有点麻烦，你怎么去？来找到 a 和 b 的 关系，咱们肯定是要变形的，对吧？变成我们能看出 a 和 b 的 关系为止。好，那么这几道题大家先暂停做一下， 有点难哎，你可能一道题也做不出来，也有可能能做那么几道啊，动动脑筋，我马上会讲的啊，先动脑筋， 好嘞，我来讲啊，一题一题来啊，要先做的啊。首先第三题，首先我们把它变成什么？四乘 a 加二点五等于五乘 b 加三点二，交叉相乘嘛，对吧？ 好，展开一下，就变成了，前面乘下来四， a 加十，后面是五 b 加十六，然后就变成了五 b， 拿过来就变成四， a 减五， b 等于六，四 a 减五， b 等于六，那么这成比例吗？ 显然不是，他是个减法关系，对不对？所以呢，他不成比例，他不成比例，是吧？好，来，我们看下面一道题，哎，这题跟刚刚这题是不是差不多啊？是不是差不多啊？咱们也是一样哎，先把它加上相乘五乘，这个后面三点二乘五， b 加二点五，对吧？展开 五， a 加八等于三，点二 b 加八，哎，这时候不对了，我们发现一个问题，前后都有一个八，所以把八两边同时减去一个八之后，就变成了五 a 等于三点二 b， 哎，这个时候是不是乘比例了？是不是？五 a 等于三点二 b， 它们乘什么比例？正比例 是不是？所以两个一样的题目，大家注意哦，他结果可不一样。为什么不一样？因为第二个这个题目，这前后都有一样的八，给他约掉了，哎，给他不是约掉了，只同时减掉，他没了，只剩下了五 a 和三点二 b 了，对不对？所以要小心，哎，好，接下来第五题 这个题目找 a 和 b。 首先，十九分之 a 减 b 分 之七等于零，哎，可以变成什么？十九分之 a 等于 b， 分 之七等于 b 乘以，把 b 乘以拿走嘛，对吧？然后，哎，接下来就变成了 a， b 等于十九乘七，所以它乘反比例，是吧？写成这样的形式，马上就能看出来了， 交叉相乘相等吧， a 乘 b 等于十九乘七，是不是积相等，对吧？乘法来下面一道题， 七分之 a 减十三等于 b， 那 一样的，七分之 a 减十三等于 b， 咱把它这个七和 b 乘起来，就变成 a 减十三等于七 b， a 减十三等于七 b， 所以 它不成比例，对吧？它是个减法的关系。你把七 b 拿过来，是不是 a 减七， b 等于十三呀？不成比例了吧？是不是啊？是个减法的关系。好，咱们再来一道， a 分 之 k 加七等于 b 来，这好像跟前面差不多吧，但是要注意，有区别。什么区别？我们先把这个式子给它变一变， 是 ab 等于 k 加七， ab 等于 k 加七， ab 等于 k 加七， a 和 b 是 个乘法，那么 g 是 否保持不变呢？ 他说 k 一定是 k 不 变， k 不 变，那么再加七七肯定是不会变的喽，所以它不变， 大家听懂没有？但如果，哎，就注意啊，这这个题目一定要有什么 k 一定时啊，他 k 不 变，他保证记不变吗？是不是啊？所以 a 和 b 怎么样成反比例？好了，这几道题我讲完了，没有听懂的，回过头来再看一遍啊，好， 这几个题目很容易错的啊。好，那么最后我们总结一下，大家发现了吧，我们在正反比例的判定上面还是有点麻烦的啊。好，那么最后我们总结一下，大家发现了吧，我们在正反比例的判定上面必定会错。 好，接下来我们总结一下我们的判定的方法是什么来着。首先要找到需要判定的两个量对不对？判定关系就会到底是哪两个量，要要找关系的，是不是把这两个量先找到目标这个两个量，我们把数量关系写出来。然后呢，开始判定， 除法保证商不变，乘法保证基不变，或者不是不是，那么他就不成比例，对吧？加减法就不成比例。好，这是我们判定的方法。那么接下来我们还要总结一下易错点， 易错点。刚刚我们容易错的有几种类型，第一种，你要找准了这个判定关系的两个量啊，你不要写成其他的量。第二个，等号两边存在同样的变量时，它不成比例啊，记得吗？左边有 a， 右边也有 a， 那 就不成比例。 第三个，两个量的关系比较陌生的时候，可以从代数式中去找，最典型的一道题就是什么圆的面积和圆周长的平方，说这这一看，这八竿子打不着的两个关系，是不是你，你把代数式给他展开了，你从能从代数式里面去找到他们的关系， 当你表示比较陌生的时候，那你就把代入式写出来。第四个，乘积式和分数式的中的判定，先调整成能明确表现两个量关系的式子， 就是你，你这个分数式和乘积式给你了，你看不出来是什么关系怎么办？你把它变形呀，变成你能看出来的时候的关系就行了吗？对不对？好，这是易错的四点以及我们的解决办法。好，那么这节课我们就讲完了。

今天我们来学习如何正确来判断是成正比例还是成反比例。那做题之前，我们先来复习一下，想要成正比例，一定是它这两个量是相关联的变量，而且它还要符合我们的成正比例的条件， 它还要符合我们的比值，一定也就是 a 比 b 等于 k， 其中呢， k 这是一个定值，只有这样情况下它才能成正比例。那如果说它成反比例， 它除了要符合它们是一组相关联的变量，它还要符合的关系式是 a 乘 b 等于 k， 这个 k 是 一定的，这是我们正比例和反比例的两个关系式。我们看第一道题，圆的面积和半径的平方成什么比例？那圆的面积我们知道 s 等于 pi， r 的 平方，那半径的平方也就是 r 的 平方，我们可以看一下它的什么是一定呢？它的的比值也就是 pi， r 的 平方比上 r 的 平方就等于 pi， 我 们知道 pi 是 一个固定不变的数，所以它们的比值一定是正比例。那我们看第二个圆的面积和半径成什么比例， 那这里面圆的面积还是 s 等于 pi， r 的 平方，那和半径它不是半径的平方，我们看一下，那 s 比上它，那所以我们提缓一下，那就是 pi r 的 平方比上 r 应该等于 pi r。 注意这里面 pi 是 一个固定不变的数，但是你的 r 是 一个变量，那所以说它俩的乘积也是一个变量，那它的乘积就是 不一定，那所以说它是不成比例。那么看第三题，长方形的面积一定长和宽，那我们知道长方形的面积，它就等于长， 长宽它就等于它的面积，那我们知道它的面积是一定的，说明他们的乘积一定，乘积一定，它就是反比例。看第四题，长方形的周长一定问长和宽，那我们的长方形的周长等于什么呢？等于长 加宽的和乘二，这是它的周长，那我们知道它的周长是一定的，那所以说它的周长是一定，我们只能推出来它长加宽的，和是一定的，那和一定， 它既不是我们的商一定，也不是我们的既定，所以它不成比例。看第五题，正方形的面积和边长，那正方形的面积是等于边长乘边长， 那所以说我们可以看一下，那就正方形的面积比上，它的边长应该等于 a， 也就是它的边长，那边长是一个变量，所以它的比值 不一定，那比值不一定，他就不成比例。看第六题，正方形的周长和边长，那正方形的周长公式是等于边长乘四，那我们看一下， 所以它的周长与它的边长的比应该是等于边长乘四。比上边长应该等于四，那我们知道四是一个固定不变的数，所以它们的比值一定成 正比例。那我们通过六道例题来练习乘正比例还是乘反比例的方法，你掌握了吗？

我国唐代的大诗人李商隐曾经写过这样一句诗，春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干。后半句的意思呢，是说蜡烛要燃烧到化成灰烬，蜡泪才会流干。 哎！这句诗里呢，包含了我们数学中的两个量，第一个量就是蜡烛燃烧的 时间，第二个量就是蜡烛燃烧的长度，而随着燃烧时间越长，蜡烛被燃烧的长度也越长。 时间与长度这两个量是相关联的。两个量课的时候，我们说，如果两种相关联的量，一总量变化，另外一总量也随之变化，且两种量相对应的比值一定，那么这两个量就叫做纯正比例的量， 而他们的关系叫做正比例关系。在这道题当中，蜡烛被燃烧的长度与蜡烛燃烧的时间是两种相关联的量， 且他们的比值是每分钟燃烧的长度他是一定的。我们就可以说燃烧的总长度与燃烧的时间是成正比例关系的。所以我们可以利用正比例关系来解决这道题。我们可以解释蜡烛最初的长度是 x 厘米。 一幅图中，蜡烛被燃烧八分钟以后，剩下了十二厘米，说明蜡烛被燃烧掉的长度就是 x 减十二厘米。 同样的道理，十八分钟以后，蜡烛剩下了七厘米，说明他被燃烧了 x 减七厘米。在我们就用带有 x 的 字母时，表示出了八分钟和十八分钟蜡烛分别燃烧的长度， 而在这个正比例关系中，每分钟燃烧的长度是不变的。现在我们用蜡烛被燃烧的长度 x 减十二， 比上蜡烛燃烧的时间八分钟，这个比值就是每分钟燃烧的长度，而每分钟燃烧的长度比值是一定的，所以它又等于蜡烛十八分钟燃烧后的长度比上蜡烛燃烧的十八分钟， 每在正比例关系中，它们的比值是一定的，所以我们就可以列出这样的比例方程。根据比例的基本性质，内向积等于外向积，所差相乘后就得到十八乘 x 减十二的 x 等于八乘 x 减十八的 x 去把 x 去掉括号，再把 x 挪到一边，就变成了十 x 等于二百一十六， x 等于十六。 蜡烛最初的长度是十六厘米，现在我们来回顾一下是如何用正比例解决问题的吧。 首先我们找到了题目中相关联的两个量，同时找到了固定不变的比值，在这道题里面就是蜡烛每分钟燃烧的长度是不变的。接着判断这两个量是否纯正比例关系。 如果成正比例关系的话，我们就可以设未知量为 x， 从而利用比值相等来列比例方程解答。以上就是这道题的思路讲解，希望对你有所帮助。

来看今天这三道关于正反比例的题目。第一题，若七分之 a 等于 b 分 之八，则 a 和 b 成什么比例？由于对角相乘，所以可以得到等式， a 乘 b 等于七乘八，也就是 五十六。我们列举下，先假设 a 为七， b 为八，这时乘积就是五十六。如果 a 增加 变成八，这是 b， 只有是七才能满足。 a 乘 b 等于五十六，也就是 a 增加了，而 b 减少了，所以第一题 a 和 b 就 成 反比。再看到第二题，若 a 八 a 等于七， b， 则 a 和 b 成什么比呢？同样， 由于内向机等于外向机，我们可以把八 a 看作外向机，七 b 看作内向机，也就是八和 a 是 内向机，七和 b 是 外向机。这样子，八 a 就 等于七， b 也就是七除以 等于 a 除以 b， 而七除以八，其实就是八分之七。同样再列举一次，假设 a 为七， b 为八，这时 a 除以 b 等于八。如果将 a 减小到一， b 只有满足七分之八才能得到 a 除以 b 等于八分之七。所以 当七，也就是 a 减小了， b 同样也减小了，所以这时 a 和 b 成正比例。再看到第三题，若十一分之 x 等于七分之外，则 x 和 y 成什么比呢？同样，这道题也可以用对角相乘的方法，也就是 七 x 等于十一 y， 这样就变成了我们第二题的情况了，也就是内向肌等于外向肌，七 x 为内向肌， 十一和 y 为外向积，这样就满足了内向积等于外向积。同理也可以写成，七分之十一等于 x 除以外，发射 x 等于十一， y 等于七，这时满足 x 除以外等于七分之十一。 再假设 x 等于一，则 y 除非满足十一分之七才能得到 x 除以 y 等于七分之十一，而十一到一减少了，所以 y 七到十一分之一同样也减少了，则这时的 x 和 y 就 成 正比例。总结一下，假设 a 乘 b 等于 c， 也就是 c 除以 b 等于 a。 首先， c 一定，则 a、 b 乘反比例。若 a 一定，则 b、 c 乘正比例。同理，若 b 一定 a， c 也乘正比例。 而下面这个算式就是它的除法情况，也就是 c 一定 b， a 乘反比例， b 一定 c， a 乘正比例， a 一定 c， b 也乘正比例。大家都学会了吗？记得点赞收藏，考前复习！

接着看十五题，有 x、 y、 z 三个相关联的量，并有 x 乘 y 等于 z 这个数量关系。那我们看第一题，当 z 一定是 x 和 y 成什么比例关系？那我们想一想， z 一定怎么求 z 呢？ x 乘 y 等于 z， z 一定， 是不是就证明 x 和 y 这两个量的乘积一定，那么两个量的乘积一定，这两个量就成反比例关系，所以 x y 成反比例关系。 第二小题，当 x 一定是 z 与 y 成什么比例关系？来当 x 一定是，那我们思考怎么求 x 呢？因为 x 乘 y 等于 z， 所以 z 除以外就等于 x， 那 x 一定证明 z 和 y 两个量的比值一定，两个量的比值一定，所以 z 和 y 就 成正比例关系。 第三小题，当 y 一定是 z 与 x 成什么比例关系？马上思考怎样求 y。 根据 x 乘 y 等于 z， 所以 y 就 等于 z 除以 x， 当 y 一定的时候，说明 z 与 x 的 比值一定，两个量的比值一定，所以 z 与 x 成正比例关系。 根据一个关系式，如何判断两个量是成正比例还是反比例关系？我们就看另外的两个量是乘积一定还是比值一定，如果乘积一定，那他们就成正比例关系。

在比例这个单元，判断正反比例是一个不可忽视的重难点。相关的知识点，无论是乘正比例关系的两种量，或者乘反比例关系的两种量，它们各自都要满足两个条件，第一个条件都是两种相关联的量， 什么意思呢？这种相关联指的是其中一个量变化必定引起另一总量的变化，才满足相关联。像我们平时生活当中说的年龄和身高，哎，好像在某一个阶段他们有联系，但是要注意了，到达一定的年龄， 身高不会再变了，所以他并不是这里说到的两种相关联的量。在我们数学当中，在比例这个单元，两种相关联的量指的就是一总量变化必定引起另一种量变化。若是呈正比例关系，还得满足另外一个条件， 也就是两种量无论怎么变化，它们的比值不变。那如果是呈反比例关系，两种量无论怎么变化，成绩是不变的。我们来看具体的题目， 即使理解了刚刚的概念解析还是难点，为什么？因为讲究一定的方法与技巧。看第一个小丽从家到学校行驶的时间和速度 怎么做呢？我们需要去联想相关的公式，说的是速度和时间，那么就想他们之间有什么关系，需要以前的积累。速度乘时间等于路程。 已经说到了小丽从家到学校，已经确定了起点和终点，那这个路程就是一定的。 路程固定速度变，时间必然会跟着变，那他们俩是相关联的， 无论他俩怎么变，他俩的成绩是一定的。为什么路程一定，路程不变，就意味着速度成时间的这个结果不变，也就是他俩的成绩不变，因此 时间和速度成反比例关系。第二题，王师傅去购买雪花牌饺子粉，买的代数和总价，同样还是要去想二者的关系。 我们之前学过单价、数量、总价之间的关系，那这里的代数相当于是数量，他俩的关系是总价除以代数等于单价。 这里的单价其实是一定的，因为题目中告诉了饺子粉的牌子，那就在暗示我们饺子粉的单价是固定的，是一定的 单价。一订单价不变，那总价变袋数也会跟着变。这两个量当中其中一个量变化必定引起另一个量的变化。这个点不难理解。你到超市里面去买某一种，也就是固定牌子的饺子粉， 你买两代，那就是两代的总价。你买三代，三代的总价，这个总价会随着代数的变化而变化。但是呢，他俩无论怎么变，他俩的比值一定，因为两个数的比也可以看着是两个数相处，那这里总价除以代数， 可以看成总价比代数结果是一定的，就意味着他两的比值一定，买的代数和总价成正比例关系。 第三题，六一班同学参加数学竞赛，及格人数和不及格人数。首先我们要想通当中的数量关系。及格人数加不及格人数等于六一班总人数。 六一班总人数是固定的，是一定的，意味着及格人数和不及格人数的什么一定呢？相加，那就是和一定，既不成正比例，也不成反比例，那结论就是不成比例。 用二十四米长的篱笆围一个长方形的基设，围出的长和宽，先要理解，二十四米相当于长方形的周长，周长已知是二十四米，用周长除以二得到长加宽的和就是十二米。 这里反映出的长跟宽的和一定，那也是不成比例的。下一题，甲等菜籽的出油率一定所在菜籽与所出的菜籽油怎么样？同样还是去想三者的数量关系。 上学期学过的出油率等于所出的菜籽油除以菜籽的质量 乘百分之一百出油率，一定意味着他两的比值一定，因为他两是相处的关系， 两种相关联的量，一总量变化引起另一总量的变化。但是无论怎么变，这两个量的比值不变，那他们就成正比例关系。 下一道是一道易错题。圆的直径一定圆的周长与派公式里面我们可以知道，直径 d， 他 就等于周长除以派，很容易判断成。哎，他俩是相处的关系，很容易判断成正比例关系，实际上 不成比例。为什么呢？因为圆的周长和派第一个条件就不满足，他俩不相关联。我们都知道派，他是一个固定的数，固定的值， 圆的周长变化，这个 pi 它是不会变的，所以第一个条件就不满足，那它俩是不成比例的。 圆的面积与半径同样还是得去想相关的公式。来回顾一下圆的面积公式， s 圆等于 pi r 方， 也就是 s 圆等于 pi 乘 r 乘 r， 这个 r 指的就是半径，那可以看出变形圆的面积除以半径，得到的是 pi 乘半径。 虽然他们俩是相处的关系，但这个结果他不是一定的。为什么因为他俩其中一个变，另一个跟着变，当中呢？有一个量是半径，那这个半径他也会变，所以这个结果他不是一定的，那么不成比例。

我们今天来学习这道题，我们先一起来读题，如图，蜡烛每分钟燃烧的长度一定，求蜡烛最初的长度是多少？我们先看题， 这是蜡烛最初的长度，这是蜡烛燃烧八分钟之后的长度，那这是蜡烛燃烧十八分钟之后的长度，那这道题究竟该怎么去解决它呢？我们看给的条件， 他告诉我们蜡烛每分钟燃烧的长度一定，那我们就可以把它写出来。每分钟燃烧的长度是一定的，那我们现在要找的是到底是谁 除以谁等于它每分钟燃烧的长度，还是谁乘谁呢？把这个给确定了，我们就能确定到底是用正比例解决还是用反比例解决，那我们看每分钟燃烧的长度，那所以我们要先找出燃烧的总长度， 好用燃烧的总长度应该除以燃烧的时间， 那就等于每分钟燃烧的长度，那看燃烧的长度除以燃烧的时间就等于每分钟燃烧的长度，那我们确定了这个我们就知道这是可以用正比律去解决的，我们就可以解释了， 假设蜡烛 最初长度是 x 厘米， 来蜡烛最初长度也就是我们最初的他是 x 厘米，这么长，那我们看能不能找到八分钟他燃烧了多长呢？那我们看本来这么长，八分钟之后他变为了这么长，所以这一段长度就是他八分钟燃烧的长度， 也就是 x 减十二，那我们就用 x 减十二，这是它燃烧的长度除以燃烧的时间八分钟，那这就是求出来是我们的燃烧的每分钟燃烧的长度。那我们接着看能不能再找到一组量呢？ 那我们接着看他俩对比，八分钟之后，十分钟之后，所以他燃烧的时间对应的是十八减八，那他燃烧的长度呢？本来这么长， 那么现在变成这么长，所以他的燃烧长度是十二减七，那很明显他俩的每分钟燃烧的长度是一定的，所以他俩可以用等号去连接，那我们就列出了我们的正比例关系式，那接下来我们就去解决他。 八分之 x 减十二等于二分之一，那我们解比例交叉相乘即相等，所以 二乘括号 x 减十二等于八，那我们解出来 x 就 等于十六。那这道题的解决方法你学会了吗？

正反比例是大家最容易混淆的知识点，今天我们一起来找准关键，学会一眼判断正反比例。首先我们必须明确这个关键点。第一题，我们知道长方形的周长 c 等于长加宽的和乘二考虑的是长与宽的关系。根据这个公式， 长加宽的和就等于长方形的周长 c 除以二，周长 c 除以二，可以写成周长乘二分之一，也就是二分之一周长条件说长方形的周长一定，那么二分之一周长也一定。 我们可以看到二分之一周长是长加宽的和，也就是长与宽的和一定，所以长和宽不成比例，这道题是错的。第二题，圆的面积 s 等于派 r 的 平方，派 r 乘二 条件要考虑的是圆的面积和半径的关系，所以圆的面积 s 比半径 r 就 等于 pi r， pi r 是 一个比值，但是你仔细看，当半径发生变化时， pi r 也发生变化，也就是说圆的面积与半径的比值不一定，所以圆的面积与半径不成正比例。 那么这句话是错的。这里请问圆的面积是和谁成正比例呢？第三题，派 d 等于圆的周长 c 条件说圆的周长一定，也就是乘积一定， 此时的你是不是认为乘积一定？直径和圆周率乘反比例这句话是对的。必须提醒你的是，圆周率是一个固定的数，它是不会随着直径的变化而变化的，也就是说直径和圆周率不是相关联的量，因此不成比例，所以这句话是错的。 第四题，圆锥的体积 v 等于三分之一，乘底面积乘高，现在要考虑体积和底面积的关系， 所以体积 v 除以底面积 s 就 等于三分之一 h。 条件说，圆锥的高一定那三分之一 h 也一定三分之一 h 是 体积和底面积的比值，因此比值一定。体积和底面积成正比例，这句话是对的。 第五题，已知正方形的面积 s 等于边长乘边长，要考虑面积和边长的关系，那我们就用面积 s 除以边长 a 等于 a。 这里可以发现，当边长 a 发生变化时，它们的比值 a 也跟着变化。比值并不是一个固定的数， 也就是正方形的面积和边长的比值不一定，所以它们不成正比例。你们知道吗？真正成正比例的其实是正方形的周长和边长，因为周长 c 除以边长 a 等于四，四是周长和边长的比值，比值一定，所以这句话是错误的。