七下数学书北师大版轴对称的所有公式

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今天我们复习的是第五张图形的轴对称。好，第一节轴对称及其性质。第一个知识点，轴对称图形与对称轴。 那么什么叫做轴对称图形呢？我们看定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合或者说完全重合， 那么这个图形我们就叫做轴对称图形， 这条直线我们叫做对称轴。 注意，这个定义里面，轴对称图形，它指的是一个平面图形啊，它沿着一条直线折叠，直线两旁的部分必须是能够完全重合或者互相重合才可以。那我们在判断的时候怎么去判断呢？我们可以先试着画对称轴， 通过观察对称轴两旁的部分是否互相重合，来判断该图形是不是折对角图形。找对称轴时要多角度观察图形和对折图形，你不能说我只竖着看啊，或者我只横着看，我们要多角度去看。对一个轴对称图形来说， 他的对称轴可以是一条直线啊，不，他的对称轴就是一条直线啊，不是线段射线，他可以有一条，也可以有多条，也可以有无数条对称轴，这个对称轴条数啊，不是唯一的。好。第二个是关于这个，嗯， 一些对应点说，如图是一个轴对称图形，直线 l 呢，是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点 a 与点 a 片重合。那我们就说点 a 是 关于对称轴的什么呀？对应点啊，它们两个是对应点，是点 a 片类似的线段 a， b 是 关于对称轴的什么呀？对应线段 角 b 是 关于对称轴的对应角， 那这个直线 l 它就是它的什么呀？对称轴好，那是关于这个轴对称图形好，第二个知识点就是成轴对称啊，如果两个看定义和刚才那个我们要区别一下啊，这个是两个平面图形 沿着一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称， 这条直线叫做这两个图形的对称轴。注意啊，这个和刚才那个定义里面不一样的是，轴对称图形指的是一个图形，而成轴对称图形指的是两个图形的关系。好， 这个我们要抓住几个关键点，第一个是两个图形，第二个是一条直线，第三个，一个图形沿着这条直线折叠后，和另外一个图形完全成和，这是成折对 称的定义里面的关键点。那我们来看一下这两个内容的区别和联系啊。先看他们的区别， 成轴对称和轴对称图形，他们的意义是不同的，对象也不同，他是两个图形，他是一个图形对称，轴的位置也不同。成轴对称，他是在两个图形之间，而轴对称图形是过图形的某条直线 对称轴的数量也不同。对于成轴对称来说，只有一条对称轴，而轴对称图形，他可能是一条，也可能是多条，也可能是无数条，好，那么联系。如果把成轴对称的图形，两个图形看成一个整体，那么他就是一个轴对称图形。 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称，这就是他们间的一个关系。 第三个知识点就是成轴对称和轴对称图形的性质。在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分， 对应线段相等，对应角相等。 这里面我们要说明一下啊，成轴对称的两个图形，它是全等的， 轴对称图形被对称轴分成了两部分，也是全等的，但全等的两个图形不一定是轴对称图形好，那么关于这个性质，我们具体来看一个图 好，来看这个图像里面说对应点所连线段被对称，轴垂直平分，也就是 a a 片这个线段被直线 l 垂直平分，线段 b， b 片被直线 l 垂直平分，对应线段相等， a， b 等于 a 片 b 片 bc 等于 b 片 c 对 应角相等， 角 b 等于角 b 撇，这个大家需要去理解。第四个知识点就是画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴啊，那这个怎么去画呢？我们来看一下步骤。 第一步，找出轴对称图形或者成轴对称的两个图形中的任意一对对应点，连接这对对应点， 做对应点所连线段的垂直平分线，那么这条垂直平分线就是该对轴对称图形或者是成轴对称的两个图形的对称 轴对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。那我们在画的时候，对于轴对称图形，由于对称轴可能不止一条，我们需要多角度观察，选不同类型的对应点，才能做对 做全对称轴啊。这是关于我们做图的时候，我们具体来看题，下列选项中两个图形成轴对称的时，他要想成轴对称，就说明他沿着某一条线，这两个图形能够完全重合，对不对？那我们看一下 这里面是不是只有呃， a 是 不行的啊？我们画一条线，你折一下不行， b 也不行， c 也不行， d 是 可以的啊， e 也不行， f 是 可以的，所以是 d 和 f。 再看这个变式练习，如图所示，下列是轴对称图形，它是轴对称图形，说明这个图形是 沿着一条直线折叠后，两旁的部分能够互相重合。那我们来看一不行，然后看二二是不是二可以不可以，还有三四也不行，对吧？所以这里面我们应该是二和三。 那么简单的轴对称图形是我们的一个重难点，我们先来看第一个知识点，等腰三角形。等腰三角形就是我们的一个简单的轴对称图形啊，那么他是轴对称图形，我们要看， 那如果说他是轴对称图形的时候，我们在描述对称轴的时候，不要说成顶角平分线是对称轴， 在三角形中，顶角的平分线是一个线段，而对称轴是直线，所以我们应该说顶角平分线所在的直线是对称轴。另外我们知道它是轴对称图形之后，我们来看它的性质， 对于等腰三角形来说，它的高线，它的顶角的角平分线以及底边上的中线，它是同一条线啊，所以说我们知道等腰三角形，顶角平分线， 底边中线、底边上的高 重合，因为这三条线重合，所以我们起了个名字叫做三线合一，是方便大家去记忆啊， 然后他们所在的直线就是等腰三角形的对称轴，那么等腰三角形的两个底角什么关系啊？相等。 那么在考试的时候啊，如果我们知道等腰三角形了，就题上如果告诉你 a、 b 等于 a、 c， 然后再告诉你 a、 d 垂直 bc， 就 知道等腰三角形的情况下， 这三条线知道其中一条，我们都可以直接推导出另外两条线，既然我们知道它是高线，那么它也一定是底边上的中线，所以就是 d 是 b、 c 的 中点，也就得到 b、 d 就 等于 c、 d， 我 们还可以得到 a、 d 是 角 b、 a、 c 的 角平分线，也就是角 b、 a、 d 等于角 c、 a、 d， 这叫做知道一个线，另外两个线就直接可以用了。这是关于三线合一的一个几何语言啊，大家需要注意另外三线合一中的三线，它指的是什么？来看啊， 腰上的高中线和角平分线是不一定重合的，一定要注意。是什么呀？底边上的高底边上的中线以及顶角的角平分线。这关于等腰三角形，等边三角形，我们都知道是特殊的等腰三角形，那么它是什么呀？ 它也是，你看等边三角形是什么的？特殊的等腰三角形是三边都相等的， 既然他是特殊等腰三角形，所以他肯定也是轴对称图形，但是他和等腰三角形不一样的是，他有三条对称轴啊，然后他有三条对称轴，那么每一条边上都存在三线合一的线， 等边三角形的三个内角相等，每个内角都等于六十度啊，这是关于等边三角形的一个性质。然后第三个知识点，线段垂直平分线的定义及其对称性。 线段呢，是轴对称图形，垂直 并且平分线上的直线是他的一条对称轴，垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，我们也起了个名字，叫做中垂线， 这是关于线段。好，那第四个线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上点到这条线段什么呀？两个端点的距离相等， 拓展到一条线段，两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上啊，这两个都是我们可以用的。 好。第五个线段垂直平分线的画法，怎么去画呢？我们来看啊，首先已知线段 ab， 那 这时候我们要画 以点 a 和点 b 为圆心，以大于二分之一 ab 的 长为半径。为什么要大于二分之一 ab 的 长？如果你要小于他，那么这两个弧就没有交点，那这时候他会交一个点 c 和一个点 d， 然后做直线 c d， 那么直线 c d 就是 线段 ab 的 垂直平分线，这是他的一个做法啊，非常简单。好，另外我们知道对于三角形来说，三边的垂直平分线会交于点这个点到三个顶点的距离相等，你像这个 o a 等于 o b 等于 oc， 这个有时候在生活实际问题中会用到。 好。第六个知识点，角平分线的性质，角，它也是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴。 角平分线上点到这个角的两边的距离是相等的， 那和线段的垂直平分线一样啊，我们反过来，角平分线的性质，定力中的距离，它指的是角平分线上点到这个角两边的距离是垂线段的长度。另外在一个角的内部，到这个角两边距离相等的点就在这个角的 垂直平分线上，他提到距离就是垂线段的一个长度，然后角平分线的一个做法，也给大家再回忆一下啊，就是我们以点 o 为圆心， 你看我们现在要做这个角，对吧？做这个角的角，以点 o 为圆心，以适当长为半径画弧，然后他说的是截取 o、 d 等 o、 e， 那 和我们说的是一样的， 然后再分别以点 d 和点 e 为圆心，大于二分之一 d 的 长为半径画弧，两弧会交一个点，然后做射线 oc， 那 么射线 oc 就是 这个角的角平分线，这个都是我们的基本作图，这个一定要牢记。 那我们来看几道常考的题啊。先看第一个，等腰三角形的两边长是三和八，让你求等腰三角形的周长，因为是等腰三角形，说明肯定有两个边是相等的，三和八不相等，那说明另外一条边要么是三厘米， 要么是八厘米。 但是注意，这样题都有陷阱，不能都写，我们要看一个哪一种情况能组成三角形，就要满足两边之和大于第三边，那第一个就不满足， 所以只能是三厘米，八厘米，八厘米就八厘米这个长度的是腰长，那这时候它的周长就是三加八，再加八就等于十九厘米啊，这是一个长考题，像右边这个变式练习也是一样的，大家可以自己下去练一下，这个就不再讲了。 然后第二个题型是等腰三角形中三线合一的性质的应用。看这个题啊，他说 ab 等于 ac， 他 是等腰三角形， ad 是 bc 边上中线，刚才我们说了等腰三角形，知道一个线，那说明另外两线自然成立， ad 一定是 bc 边上的高线，也是角 b、 a、 c 的 角平分线，然后说这个是垂直，让你去证明角 c、 b、 e 等于角 b、 a、 d。 好， 那怎么证呢？那我们来看，我们就可以说，因为 ab 等于 ac， 然后 a、 d 是 他的中线，所以根据三线合一， a、 d 就 垂直于 bc， 说明这是直角，对吧？直角之后，那我们再来看，要想正这两个角相等，有没有什么方法，哎，我们就可以用角的关系去 相减，比如说这里面这个角的度数是不等于九十度角，嗯，九十度减角 c。 啊，角 c、 b、 e 的 度数等于九十度，减角 c。 然后这个角的度数，角 b、 a、 d 的 度数等于九十度，减角 abc。 而因为它等腰三角形嘛， 等腰三角形的两底角相等，所以角 c， 嗯，角 c 就 等于角 a、 b、 c。 所以 角 c、 b、 e 就 等于角 b、 a、 d。 当然这个题的方法不唯一啊，有好几种方法，大家可以自己去看一下。 我们再来看另外一道稍微有难度的题啊。说，如图，在这个三角形中， ab 等于 bc， 说明它是个等腰三角形 a、 b 的 垂直平分线，注意它垂直平分线，那我们知道，想到垂直平分线，就要想到它平分这个线段 a、 d 等于 b、 d。 另外，垂直平分线点到线段两端点的距离相等， a、 e 等于 b e。 好。 第一问，若角 c 是 七十二度， 让你求角 b 的 度数和角一的度数，那首先因为 ab 等于 bc， 他 是个等腰三角形，对吧？所以说角 b、 a、 c 就 等于角 c 就 等于七十二度，所以我们求角 b 的 度数，直接拿一百八十度减去二乘七十二度，是不就可以求转， 就等于三十六度，这是我们求角 b， 那 求角一怎么去求呢？因为这是垂直平分线，垂直线点到 线段，两段点距离相等，所以根据垂直平分线，我们可以得到的是 a e 等于 b e， 那 根据 a e 等于 b e， 我 们就可以得到等边对等角，所以角三就等于角 b 等于三十六度，对吧？ 那这是我们要想求角一，那因为这垂直平面这是九十度，所以角一就等于九十度，减角三就是九十度，减去三十六度，也就是五十四度 啊。这是关于第一问，第二问。若 b d 等于六，那根据定义，我们知道这个也是六， ac 的 长度是七，让求三角形 a、 e、 c 的 周长，那求它的周长怎么去求啊？因为我们知道它的周长，它的三边分别是 ac 加上 a， e 加上 c e， 对 吧？然后 a c 的 长度我们知道的是七 a e 和 c e， 因为 a e 我 们刚才说了，根据垂直平分线的性质， a e 等于 b e， 所以 把 a e 换成 b e， 然后 b e 加上 c e， 正好就等于 bc， 所以 是七加 bc， 而 bc。 题上是不是说等于 ab 就是 七加 ab， 而 ab 的 长度是不等于 六加六，对吧？所以七加六，再加六就等于十九，因此这个三角形 a、 e、 c 的 周长就是十九，这也是一个常考题啊。那这就是我们今天复习的第五章，你学会了吗？

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初中必考三大变分，平移、旋转、轴对称，而其中最常考的就是轴对称问题。黑板上这道题是我们期末必考题型，也是考试中的一道填空压轴题，我们来看一下， 如图，在三角形 a b c 中角 a c b 等于九十度。好，这个角是九十度， bc 等于六， ac 等于八， a b 等于十。动点 p 在 a b 上运动，不与 ab 重合。关于 p 点啊，这个 p 点啊，关于这个 bc 的 对称点是记作 p 二的 p 点，关于 ac 的 对称点，记作 p 一。 让我们求的是线段 p 一 和 p 二长的最小值。好，既然 p 点关于 bc 的 对称点是 p 二，那我们同学来看一下啊，也就意味着这而垂直的关系，对吧？也就这一段 和这段应该是等长的，也就是 bc 是 p p 二这条线段的垂直平分线，对吧？我们有一句话叫做见中垂连两端 啊，垂直平分线也叫中垂线，叫见中垂连两端， 对吧？ p 和 p 一 是关于 a c 对 称的，所以啊， a c 是 p 和 p 一 这条线段呢？垂直平分线好见中垂，这是中垂线好，也就是 c p 一 应该是等于 c p 的 啊。键中垂连两端，这是线段的两端好， c 点连接 p 一， 再连接 p 好。 同理， c 点连接 p 二，再连接什么 p， 所以 啊，哎，同学们来注意， c p 一 就等于什么 cp， 这条线段和这条线段是相等的。同理， c p 二是等于 cp 的 好，也就是 cp 一 等于 cp 等于 cp 二。 是不是好？比如说老师，那很好求啊，那 p 一 p 二不就是求二倍的 cp 吗？对吧？因为 cp 一 和它相等， cp 二也和它相等，那 p 一 p 二就是求二倍的 cp。 那 在这儿我们就出现一些小的问题，什么呢？ 我们要去证明 p 一 p 二这条线段是经过点 c 的， 也就是 p 一 c p 二三点什么共线？如何证三点共线呢？ 我们去证这个角是一百八十度即可，是吧，因为一百八十度也就证明它是一个什么平角好，我们来看一下根据反折呀，反折对称它的一些基本性质。这个角如果是阿尔法， 它对称过来的话，就相当于把它把这个三角形沿着 a c 是 不是翻折过来，所以这个角是阿尔法，那这个角也是什么阿尔法好。同理，那这个角如果是贝塔， 翻折过来之后，对称过来之后，这个角也是什么贝塔好。又因为角 a c b 啊，等于九十度，也就是阿尔法加上贝塔 等于九十度，所以二倍的 alpha 加上二倍的 beta， 就 应该等于一百八十度，也就这个角是一个平角。所以啊， p 一 c p 二三点 贡献啊，这个非常非常的重要啊，非常的重要，尤其是证明题，一定要去证明三点贡献。你不能说 p 一 p 二的长度就是三二倍的 cp， 是 不是好？因为 p 一 p 二是一条线段，我们要去证明它是经过点 c 的。 好了，那问题就转化了。所以啊，求 p 一 p 二，它的最小值， 就是求二倍的 cp 的 长度，也就求二倍 cp 的 长度，也就是求 cp 的 什么最小值。那 cp 的 最小值怎么求呢？ p 点又是一个什么点？动点啊？ p 是 一个动点， p 在 ab 上运动，求点到这条直线的最短路径，那就是点到线的垂线段最短，好当点 p， 当 p 点运动到这儿， 也就是 c p 和 ab 垂直时， c p 取得最小值。好，那这个最小值该怎么去求呢？我们用什么等级法啊？也就是二分之一，这个三角形的面积也就是二分之一， ac 乘以 bc 是 三角形，面积应该等于二分之一，乘以 ab 的 长 好，而 a c b c， a b 都是知道的，所以我们可以快速求解，两边二分之一都去掉。 a c 乘以 b c， a c 是 八， b c 是 六六八四十八，那么就等于 a b， a b 是 十十倍的什么？ c p 这样解得， c p 就 等于四十八，除以十等于四点八， 而 p 一 p 二的长度是二倍的 c p， c p 是 四点八，二倍的 c p 就 等于九点六，这就是 p 一 p 二长的最小值。你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路！

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初中数学最难的轴对称笔记全部吃透！逆袭班级前三轴对称重点复习笔记思路分析解答过程，轴对称与圆形的性质，线段的垂直平分线的性质，画轴对称图形。