贵州省一模数学24过程

啊，同学们大家好，今天我们来讲一下二六年贵州省的中考一模数学压轴填空题， 这个题呢，我们看了一下，还是有点难度的，那我们根据题目的条件，首先能想到的就是把这些点坐标给它求出来，那相当于我们这里 a 点零到八，然后 c 点呢？横坐标是五，带到这个二次函数里面，重坐标是五， m 加三， 接下来就是我们能想到的是这个四十五度有啥用？那肯定大部分同学能想到的就是过 a 点做 o， c 的 垂线 啊，过 a 点做 o， c 的 垂线，那我们这里垂线做出来了。好，那接下来很多同学就没有思路了，那这里在我们初中常见的一种 方法就是我们看到直角，那我们想到的如果是我们平行这条线做个一线三直角，那又有四十五度，那就有全等了，这就是我们说的一线三等角啊，一线三等角，那你做出来，你看啊，这里是直角，这里是直角，你把平行做出来， 对吧？然后呢，这个三角形 a 加上我们这里是 abcd 吧， a， d， c 这个三角形是不是等腰直角三角形，所以我可以得到这条边 a， d 等于 d， c 好， a， d 等于 d， c 了之后我们这两个左右两个三角形就是这个三角形 a， abcdef 嘛， a， e， d 和 d， f， c 这两个三角形全等的啊，这是一条边，这是直角，如果我们另下面这两个角分别为叉圈，那叉加圈是不是九十度，同样这个是圈，这个是叉， 所以我们这两个三角形 b 全等好，全等了之后，接下来我们是不是就要建立相关的等式，假设我们设 a e 为 x， 那 全等了 d f 是 不是 x， 那 我们的 e d 是 不是五减 x？ 好， 那剩下的这个地方我们是不是还有这一段不知道，但是我们整个高是不是五 m 五 m 加三， 对吧？五 m 加三，那我们下面这一段怎么算呢？整段长 o a 是 不是等于八？那我们这个高度 o e 是 不是八减 x， 对 吧？好了， o e 八减 x， 同理我们 b f 是 不是也是八减 x？ 好 用，五 m 加三减八减 x， 那 我们上面这一段就得出来五 m， 然后呢，减五加 x， 对 啊，每一段的长度注意看。 好了，那接下来我们这些关系式就可以列出来了。首先在这个全等里面注意啊，我们有两个未知数，那说明我们需要两个等式，那你就可以把 m 和 x 求出来，但是我们重点求的是 m， 所以我们在建立两个等式之后，只需要消掉 x， 求出 m 就 可以了。好，那接下来我们来看一下啊，这两个三角形是全等的， x 等于 x， 所以 五减 x， 五减 x 是 不是应该等于这条直角边就是五 m 减五再加 x， 五 m 减五再加 x。 好 了，这是一个等式，那相相当于说这个很多同学都能想到，如果我是我们这个做出来了的话，那下一个的话，我们要看， 如果是两个未知数，你一个等式是解不出来的，所以我们还要利用到相似，就是我们的这个三角形 c o b 和 c d f 这两个三角形 a 字相似， 那我们底比底，底是 x， d f 是 x， 这里的底呢？ ob 长度是个五，所以 x 比上五 等于高，比高，那这里的高是五 m 减五加 x， 这里的高比上这里的高是五 m 加三， 五 m 加三。好了，接下来只需要把这两个等式约微的稍微的去给它化减一下， 你画出来之后，它最终是一个关于 m 的， 就是我们消掉 x 啊，你下面算出来二 x 等于多少的，你就 x 等于多少，把它算出来就可以了。最终我们画出来是关于 m 的 一元二次函数， 那一元二次方程就是五 m 的 平方减二 m， 然后减六等于零， 然后我们再用求根公式 m 就 算出来等于五分之，对啊，他有正负对不对？一加根号三十一，我们只要正的那一个一减根号三十一就省掉了，因为这里 m 是 大于零的，所以最终答案是它。 好了，这是我们的第一种方法来解这个题，如果是用高中的方法来解的话，这个题其实也可以做的，就是我们用倒角公式啊，那怎么做呢？我们来讲一下高中的方法啊， 高中的方法相对来说思路要简单一点。那我们首先这个其实我们初中也讲过一种一二三四五模型， 但是呢，一二三四五模型在我们这个题里面用用一二三四五模型做不出来，因为他没有二分之一，那个我们就暂且不讲了啊，那我们来看一下高中的倒角公式，他就是有一个正切值啊，他的和差角 就是和的公式啊，就是我们有一个贪进的什么阿尔法加贝塔，这个虽然我们初中没讲，但是你可以去把这个公式记下来，万一用到了，那我们是不是直接可以用，对不对？它是等于的是贪进的阿尔法 加贪进的贝塔，这是到了我们高中三角函数的时候要学的啊。一减贪进的阿尔法乘贪进的贝塔 啊。有些同学说没有沟通的知识，我怎么用？那我告诉你，大部分有一些成绩比较好的初中同学，他们其实这些公式他们是已经学过了的，如果说你会了这个公式，那做这个题的话，建立等是很快的啊。 好了，现在我们来看这一段长是八，那整个高度，注意啊，整个高度这一段是八，这个高度是不是五 m 减三？所以这里是多少五 m 加啊？五 m 加三，这个高度是五 m 加三减八，那就说明是最终是五 m， 干嘛减五？ 对啊，用这里的 y 值， c 的 y 值减掉 a 的 a 的 y 值，是不是就得到这段高度？然后我们水平的长度是不是就是 o b 的 长度是五， 对吧？那我们再看这个 bc 的 长度是不是就是 c， c 的 中坐标五 m 加三，然后 b 点的坐标是多少？ o b 的 坐标是不是五？好了，直接代公式，你们再看我们这个角是不是垂直的，所以中间有一个四十五度，阿尔法加贝塔是不就是四十五度？所以我们左边就变成了弹进的阿尔法加贝塔，那就是弹进的四十五度， 对吧？弹减四十五都是等于一的，对不对？然后我们再把对应的弹减二法是不是对比多少？对比零，那我就把弹减二法给大家写出来啊。弹减二法是等于五 m 减五除以五的，然后弹进的比特呢？ 等于五比上五，比上五 m 加三。好了，把他念阿尔法，他念被他带进去，就关于 m 的 一个一元二次方程，画出来跟刚刚的答案是一模一样的， 希望各位同学一定要会这一种方法。呃，这两种方法，那像我们初中的解法的话，相对来说要复杂一点点，构造的辅助线比较多，如果是你会了这一种方法，那这个题相对来说就很简单了。 好了，今天我们所讲的就是这个一模数学压轴填空题的两种思路，也两种方法，希望能帮助到我们即将中考的同学们。

hello， 各位同学，大家好，我是新里程数学王静王老师，那么接下来我们看高新一模倒数第二个， 哎，抛物线的题型啊。首先我把这个题进行了拆分，嗯，把一二问咱稍微先讲讲，然后第三问，哎，单独讲是吧，咱这样的话写的空大一点，这个样我觉得有点太密了啊。来，呃，第一问的话，给了一个抛物线， 然后这里面需要把 a 和 b 求出来，那因为 o a 是 二， o b 是 六嘛，那也就意味着 a 的 坐标负二，逗号零， b 的 坐标六都零，那么我们只需要把这两个点给它代入进去第一问就 ok 了，是吧？所以第一问最后结果， y 等于负的四分之一， x 方加 x 加三，哈。那么接下来第二问，如果的的横坐标是 t， 那 t 都，哎，带到抛物线里，那它的纵坐标负的四分之一 t 方 加 t 加三。呃，因为抛物线知道那 c 的 坐标肯定是零斗三，那 b 六斗零 c 零斗三 b， c 的 一次函数也是没问题的。 y 等于负的二分之一 x 加三啊，那这样的话，哎，第一问让求得 e 的 线段长度，那得的横坐标是 t， 那 e 的 横坐标肯定也是 t 啊，所以 t 等于负二分之一 t 加三嘛，然后得 e 的 线段长度的话呢，竖直哎，上减下即可哈。那所以得 e 就 等于得的总坐标负的四分之一梯方 加 t 加三，然后减去 e 的 总坐标，然后接下来该去括号去括号，该化减化减啊，那么这样我们就得到负的四分之一 t 方，然后加二分之三 t， 那 加三减三就中间就会约掉了，所以第二问 的第一个是吧，拿分啊。呃，但是下面这个，嗯，在那个高新一模做题的过程中，可能有很多同学藏住，所以接下来我们也分析分析，他说 是否有点得，那这个得就在抛物线上嘛，让 c 得 e 成为一个等腰三角形，那 c 得 e 成为等腰三角形的话， 这个就是咱们得分类讨论了，那他等幺没有说谁和谁是幺，所以接下来咱就分三种情况，包括这个题背后计算量有点大哈，那比方说，哎，第一个，我让 e 当做等幺的那个顶点，那是不是就这两个就变成幺了？哎，所以第一种呢， ce 的 线段长度等于得一，那其实得一，你想，哎，上一问已经求了得一的线段长度，那我是不是只需要把 c e 表示出来啊？那所以我们在这里，哎， c e， 咱们可以用两点之间距离公式， c e 的 平方等于横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方，是吧？哎， t 减零的平方， t 方 加上这个减这个，那三和三就会减掉，那也就是负的二分之一 t 的 平方，那么也就是四分之一 t 方，所以 c e 的 平方，也就是四分之五 t 方。 c e 的 平方有了， 我们就可以知道 c e， 那 c e 的 话，哎，对它进行开放，那么二分之根五 t 吧，是吧？那所以当我有了这个 c e 长度， d e 长度，那我就给它写上二分之根五 t 等于得一负的四分之一 t 方加二分之三 t， 那 这样的话就是相当于我们解一元二次方程。我们把这个解出来的话，是有两种，要么等于零， 嗯，要么等于六减二根五哈，但是这个零的地方你肯定得省略了，所以这样的话有了第一个啊，第一个这个 t 的 值啊，人家问这个得的坐标，所以这个题说实话它计算量真不小啊。那么当这个 t 等于六减二根五的时候 啊，带回去，是吧？带回去啊，一点一点仔细去给他算一算，那这样我们就可以得到第一个得的坐标，六减二根五都好， 四根五减五啊，六减二根五，逗号，四根五减五，这是第一个。那然后紧接着再来第二种情况，就是我刚才是以 e 作为一个顶点引出来的两个幺，那现在我们还可以让谁啊？我们还可以由得 得这个地方作为一个顶点，那 c 得和得 e 变成两个幺嘛。那所以第二种情况，也就是当 c 的 哎，等于得一的时候，那我们依然用两点之间距离公式啊，把 c 得表示出来，哈，那这样的话， c 得的平方就等于横坐标相减的平方，是吧？然后呢？哎，加上纵坐标相减的平方，负的四分之一 t 方加 t， 那 这个地方加三减三就没有了，哎，横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方，哈，那此时这个你这个地方再开方，你肯定不好开，是吧？你这开方你肯定开不了，那所以我们第二种情况就可以这样， 那 c 得方等于得一方，那咱把这个得一方给它表示出来，负的四分之一 t 方 加二分之三 t， 哎，得一方也表示出来，那面上感觉这两个比较复杂，但是我给你解一解啊，他能解，他能解，那所以这种情况下也就代表了 t 方加上这个 c 得方先找抄哈， 然后等于得一方那负的四分之一 t 方加二分之三 t 的 平方，也就是他们各自的平方，这个教大家去解解这个 t， 能做能做。嗯，第一步咱先硬拆，就这个是十六分之一首平方， 然后尾平方二 ab 的 话，那就二分之一 t 的 三次方，是吧？就我先硬拆后面这个首平方，然后尾平方， 然后接下来减按二 ab 四分之三 t 的 三次方，那接下来这样大家就观察，虽然有四次方的存在哈，但是 能够被约掉是吧？那呃，剩下的你该移移，该合并合并，你比如说，呃，这两个三次方的就可以对它进行合并，那移过来，负的四分之二加四分之三 四分之一 t 的 三次方，考你扣算能力啊，这两个是二 t 方，二 t 方，那减四分之九 t 方减四分之一 t 方就等于零了呗。那接下来我们把这个 四分之一呃梯方可以给它提出来，那第一个或者别提四分之一了。两边同乘四是吧？两边同乘四梯的三次方，减梯方等于零。把梯方提出来， t 减一等于零，你看好解吧。我说要么 t 就是 零，要么 t 就是 一呗。那咱说把这个零又给他舍了，你比刚才那个还好解是吧？那这样我们 t 不 就等于一吗？把这个一仍然是 带入到这里面，哎，一斗带进去还是挺好算的啊。最后一斗四分之十五，对吧？所以这个中间的步骤我就给大家省去了啊，这样的话，咱们中间就省去了，大家就看看能解吧，虽然他样子有点吓人，但是完全可解啊。来， t 等于零，折了 t 等于一，要把它 t 等于一，哎，带进去，那这样我们有了第二个结果啊，所以得二的点坐标一斗四分之十五。 那么接下来我们再来看第三种，这三种就该谁了呀？老师，我可以让肺为一个等腰的顶点，那么这样的话，我们的第三种情况往哪写？嗯，往下写。好吧，那我把这个图往下放，再重新放一个图啊。 来，我们再来看第三种。第三种就是刚才我们说我们可以以 c 为一个顶点，那这样的话， c 的 长度就等于 c e 的 长度，那这种情况下，当然你说老师我两点之间距离公式还是按照刚才的套路做，能行吗？能行， 能行啊，但是这里我想再教你一下别的方法吗？就如果两点之间距离公式硬算的话，那第二种，这不这种就代表了全部了吗？能解。然后，但是我还是再多想讲讲，因为此时你看，如果这是一个等腰三角形， 我就给你往这做个垂直，那如果你看这是 m， 那 这个 m 的 纵坐标它肯定还是三，是吧？那等腰三角形你具备什么东西啊？三线合一，你除了是个高线， 这个地方也是一个中线，是吧？那既然你是个中线的话，那也就代表 m， 也就是得益的中点， 那我完全可以用中点坐标公式。 m 的 纵坐标，这个三啊，其实就等于的和 e 的 纵坐标，你纵作这个是中点的话，那这不是相加除以二吗？所以二分之， 那负的四分之一 p 方加 t 加三，然后再加上负的二分之一 p 加三，也就是把的的纵坐标和一的纵坐标加起来除以二。哎，等于你这边这个纵坐标可解，完全是可以解出来的，那还是变成了一个解一元二次方程的问题，是吧？所以我们加下来解这个的话，解出来仍然要么 t 等于二， 要么 t 等于六啊。但是如果 t 等于六的话，你会发现那的跑到这里跟 b 重合了， 所以这个仍然舍掉，那这个 t 等于二的话，代入到点坐标上，那么第三个结果就全都出来了。二逗号四啊，所以我们对于这个题的话， 二逗号四，嗯，一逗号四分之十五。那还有一个是六减二根五，逗号四根五减五。背后一共有着三种情况，大家别忘了啊。而这个的话，第二问相较而言计算量稍微大一点，那接下来我们再来看第三问啊。首先 心里你得开心，开心什么开心呢？你第二问计算量已经这么难了，那第三问他肯定在一定程度上会稍微弱化一下难度嘛来结果不相信的话，我们就看看啊。第一个 e， e 是 哪里哎， e 是 bc 的 那个直线上的一个点，那我们再把 bc 拿出来， y 等于负二分之一， x 加三。呦， 那然后紧接着这样的话，这个一点坐标我可以给你设上坐标，比如说 t 豆，哎，那我给你带进去负的二分之一， t 加三，那按照他说的做是吧？把线段 o e 绕点 o 顺时针旋转九十度，好，顺时针往这旋转九十度，然后这样的话，我们给他找到点，这 这样，哎，你顺时针旋转旋转了个九十度。然后，呃，首先我先不管他问题问什么啊， 这个旋转九十度好熟悉好熟悉，而且你这个坐标有了，我可以去推一下这个的坐标吗？ 咋熟悉了？一线三垂直啊，对吧？一线三垂直啊，哎，在垂直的位置横平竖直。因为我是一比一旋转的嘛，所以它不是相似，它是全等，那么 e 的 坐标有了， 这个对应的就是 t， 这里呢，就是负的二分之一 t 加三，来，根据这两个三角形的全等关系，那这里也是 t， 这个线段就是负的二分之一 t 加三，所以这样咱们就可以把 g 表示出来了，那 g 的 横坐标 负的二分之一体加三， g 的 纵坐标，那纵坐标就是这一块，但一定注意，负的负的，负的线段长度是正的，但是你在第四项线，他的纵坐标肯定是负的啊，所以，哎，那他就是负梯喽。那 g 的 坐标有的时候这个题问 哎，问 a j 的 长度最小值，哼哼，我可以干嘛呀？我可以两点之间距离公式吗？因为 a 的 坐标有啦， 负二负零，所以来我们演示一下， a 是 负二负零，然后 g 的 点坐标也被我们发现了，负的二分之一 t 加三，逗号负 t， 那 咱可以怎么样啊？ 表示出来，哎， a g 的 平方，哎，就等于横坐标相减的平方，负的二分之一 t 加三，减去负二，那就再加个二 啊，加上纵坐标相减的平方，是不是？那所以我们可以给他化减出来嘛。那这个地方加二加三，就是加五， 四分之一 t 方加上二十五，然后减去五 t 加 t 方合并一下，四分之五 t 方 减五， t 加二十五，那然后人家问他的最小值，这不是一个开口向上的抛物线，那最小值就是我们要对称轴的时候最小呗，所以 t 等于负的二 a 分 之 b 是 吧？那也就是相当于五除以二分之五，那你想五乘五分之二， 也就七等于二的时候，它会最小，那最小我给它带进去是吧？最小带进去，那么也就是四分之五乘四，减去二五一十加二十五，所以它的最小值 这不就算出来了，但是我们一定注意，这个算出来的最小值是 a j 的 平方的最小值啊，那这个题问你长度的最小值啊，一定注意开方，别忘了最后一步，那么 根号下二十，哎，那么最小值二根五出来了，是吧？好，那么接下来这是，嗯，二次函数，但是你明显这个题就是第二问 他因为计算量大，会稍微砍你一下，以至于第三问你就不看了，你就那个心态就是有点崩了，是吧？所以大家一定记住，就静下心来嘛，你比方说当我看到四次的能解啊，那他两边都会被相约嘛。呃，然后如果中间计算量比较大的话， 第三问说明稍稍放水了是吧？好，那么接下来这是我们抛物线这个大题啊，今天给大家讲到这里。

好来，各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说这个二零二六年河西区九年级呃，数学二模第二十四题的相关解题思路 啊，这个题是一个中规中矩的一个二十四题，来，咱看一下啊。呃，说是 o 是 圆点，等边三角形 o、 a、 b 的 顶点 a， 这个是四点相切， c、 o、 d 呢？顶点是零点负三， c、 d 和 x 是 平行的， d 在 ab 上。 好，我们来看这个问题啊，第一问，求 b 点的坐标，求 b 点的坐标，这个相对比较容易，对吧？呃，因为这个等边这个长是四，我知道这个做一个垂直下来，那么这个就应该是二到二倍根号三，对吧？ 好， d 点坐标，因为我知道这个 b 点纵坐标是二倍根号三， c 点纵坐标是根号三，所以 d 点的这个纵坐标也是根号三， 对吧？那这个是根号三，那这个就是 c、 d， 这整正好就应该是 ab 的 一个中点，那知道这个是中点了，那这个事就好办了，因为这是个等边三线合一嘛，对吧？那这就是个三十度，所以这个角是一个六十度，也就是 o、 c、 d 是 一个三十、六十、九十的一个 直角三角形，那这样的话，这个边是根号三，那么 c、 d 呢？就是三，所以 d 点坐标呢？三到根号三， 这个第一问还是相对比较容易一些的。好，我们来看第二本啊，那个说是这个把三角形沿水平方向向右平移，得到这样一个三角形，然后分别对应的是 c 撇、 o 撇、 d 撇，把 o 撇，就是这个 v 一 的长度是 t， 重叠部分面积为 s。 来看，第一问啊，这个分别交 a、 b 一 点一和点 f， 当重叠部分为四边形的时候，是用还有 t 的 式子表示 s， 并直接写出 s 的 取值范围。好，这个啊，就是数据，我的这个同学跟家长们都知道，我应该是一般上来先判断题 啊，因为这个第一个图，第二图都没法用，所以我们这个还是得这个自己画一下来，我们大概画就可以啊，这是一个坐标系，然后这个角是这个方向，然后是这个方向， 哎，好，这是那个 o、 a、 b 什么时候开始出现？呃，他要求的这个四边形，我们看啊，一开始的时候 t 等于零的时候，这个 o、 c、 d 的 这个位置，他是一个三角形，对吧？稍微过来一点，稍微过来一点的话，他是个什么图形？ 稍微过来一点的话，这边出起点，那边出起点，对吧？这是一个一二三四五五边形，他不是个四边形， 对吧？哎，那好，那什么时候开始能是个四边形，是不是得把这条边给它弄没了？也就是 c 撇真正进来的时候，这个时候才是一个四边形，对吧？所以我应该是什么时候当这个 c 啊， 当这个 c 啊，到这个位置的时候，这是 o， 这个时候它是一个 相交的，是一个四边形，对吧？好，那我就计算这个时候凹撇多了，长就完事了呗，对吧？那这个时候呢，很好算，这个角是六十度，这个长可没有变，这是刚好三， 所以这边是一，也就是说 t 从一开始它就是一个四边形。好，那到什么时候结束呢？ 那是不是得到这个 c 撇到这个边上的时候，这样时候才是结束的时候，因为这个时候再相交变成一个三角形，对吧？那好，那这个时候他走了多长？那就 c 从这个位置走，走到这个位置吧， 对吧？好，刚才第一问，你说的这个 c、 d， c、 d 是 一个过 ab 中点的一条平行线，对吧？那他过中点还和底边平行，那么这个 c、 c、 d 就是 o、 v 的 一半中位线嘛，所以这个长是二，也就是 c 走的路程走了二，那么他的曲与之范围呢？就是一到三就对 啊，这是 t 的 曲值范围。第二，算这个三角形的面积，这个面积其实也不难算啊，我把这个图了吧，咱在这里面算啊，这个面积还好，因为我知道这个边是根号三， 所以我知道这个边是三，也就是 o 撇， c 撇， d 撇这个三角形，这个面积是可可以表示能算的，对吧？那减去 e、 f、 d 撇就好了， 对吧？那好， e、 f、 d 撇，这个怎么用？ t 表示？那我们转一圈啊，这个边叫 t， 那 所以这个长呢？这叫四减 t。 好， 有了这个边，我们看这个角是六十度，刚才算这个角呢，一直是三十度，所以这个地方呢，九十度，那三十六是九十的话，那么 a、 f 我 就可以算了，这个是二分之四减 t， 那么这个 o 撇 f 呢？我就能算，那是二分之根号三倍的四点 t， 哎，是这个变长，对吧？那好，那么这个 f d 撇 f、 d 撇的这个长度，我是不就可以表示了，对吧？这个长呢？是二倍，根号三减去这一片就是这个的长。 好，这个长有了，那么再除以根号三，就是 e、 f 的 长，这个长有，这个长有，那么这个三角形面积就能表示了，这个面面积能表示了，大个一减小个的就解决问题啊。这本书能算 好？这是圈一，再看圈二、圈二，说是当 t 在 零点四分之十三时候求 s 的 取值范围，这个范围是是肯定包括我们那个 t 从一到三的这个范围，对吧？他这个范围大，我们这个 d 范围小，也就说这个范围里一定包括完整的这个 四边形的情况，那么最大值呢？也应该就就在这中间，就是这个面积什么时候最大，他无论如何他中间这块都不可能把整个的三角形都包括现在， 对吧？他减的最少，他减的越少，他的这个剩下的就越多，对吧？所以哪减的最最少，一定是在中中间的这个位置，而这边一头一尾的情况可能都不太能取到最大值，所以我们刚才算的那个 s 在 一到三范围之内，先看看能不能取到最大值， 这是我们取最大值，好呢？最小在哪？最小我们可以看啊，当 t 等于零的时候，它现在就是图一的情况，是整个的这块减去这么大一个东西， 剩下的是我的这个 s， 对 吧？好，这是 t 等于零，那 t 等于四分之十三的时候是什么情况？整个 o a 是 四分之十六，四分之十三呢？大概就这个位置，对吧？哎，我这样出来一个图形， 好，你看一眼这这个地方，那焦点还剩这么点地方，你，你猜哪块更小？ 那明显是是四分之十三取的最小值，对吧？好，那这个最小值好算吗？很好算，那这是四分之十三，整个是四分之十六，所以这小点是四分之三就可以，这是四分之三，这一块就是八分之三， 对吧？这是八分之三的，这个边呢？八分之三倍根号三，对吧？好，这个边啊，八分之三倍根号三， 那这个边呢？它乘以根号三，这就是八分之九。 ok 了，它乘以，它再乘以一个二分之一，就是结果了，它八六十四乘以二，一百二十八分之二十七倍根号三 啊，这个最小值啊，能能求最大值，稍微费点心啊。好了，那这就是二十四题的一个思维的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这个二十四题先和大伙说到这吧。

好啊，部分区的 e 门已经考完了，我们来看一道它的二十四题特殊方法测密度的题，我们来看遍题， 小方想利用如图所示的实验器材啊，测量酱油的密度，已知水的密度为幺零，它是小于酱油的密度的不锈钢小小桶的质量为 m 零，然后设计方案啊，不是完整，所以它给了两个方案，是吧？对于方案一而言，我们可以看到啊，它的步骤已经给的很完全了，就是剩下了让我们去推导的一个过程， 我们看看怎么推导啊，他的发音是，在小桶中装满水，用电子秤称测出其质量为 m 一， 然后将小桶中的水倒净后，再装满酱油，电子秤测出其总质量为 m 二。 我们知道啊，天平测出来的这个质量，它是小桶和水的总质量，是不是？那这个 m 一 表示成，那就是 m 桶加上了 m 水，那这个 m 二呢？它代表的是什么？哎，它代表的是 m 桶和 m 酱油啊， 是不是啊？那我们看啊，它的步骤当中，它是装满水和装满酱油啊，装满酱油啊， 虽然这个实验当中没有给我们两桶，意味着这个体积，我们是不能够直接测的，对不对？但是我装满水和装满酱油意味着什么？这个小桶里面的水和小桶里面的酱油，它的体积是不是相等？哎，微水应该等于微酱油啊， 所以那有这个思路，我们怎么展开我们的思路啊？第一个， m 一， 对于 m 一 而言啊， m 一 它应该等于 m 桶， m 桶代表的是 m 零，再加上一个 m 水，对不对？那我们想啊， m 水是不是应该等于等于 rh 水乘以了微水，当然这里头它给了我们水的密度为柔零啊，所以应该等于 m 一 等于了 m 零加上了柔零倍的微水。那这个微水是不是应该等于了 m 一 减去 m 零除以了柔零， 对不对？微水表示出来之后，我们可以把微酱油就能替换到啊，替换进去也就意味着 m 二是不是应该等于了 m 桶就是 m 零加上了 m 酱油，就等于了 ro 酱油乘以了 v， 对 不对啊？当然就是微酱油，微酱油是不是应该等于了微水，它俩是相等的啊，所以这个 ro 酱油 应该等于 m 二减去 m 零除以了微降流，是不是？好，我们展开一下啊，看看，等于了 m 二减去 m 零，比上了 m 一 减 m 零乘以了如水啊，如零啊，好了，第一问就搞定了啊，这个就是我们 这个解题的关键，就是这个微水等于微降流，是不是就是我们说的这个等体积法啊？ 好，这是解题的关键啊，行吧，啊，那我们再看第二问啊，那方案二，将小桶放入盛水的容器中，使小桶漂浮在水面上。记一下水面在小桶上对应的位置 a 啊，我们表示一下啊， 他说小桶漂浮之后，他对应的是 a 啊，然后让我们同学去补充步骤，然后再去推导啊，这我们同学应该怎么去想？其实根据他方案一的设想，有没有给你一些思路上的这个启示？ 第一问，我们之所以能够解出来，是因为水和酱油的体积它是相等的，也就意味着酱油的体积我可以通过水来表示出来，对不对？那他现在给我们的第一步，我把这个水 啊盛水的这个容器中，我把这个不锈钢小桶放进去，它对应着一个刻度，对不对啊？我说标记了一下啊，那同理，我如果把这个小桶放到，我如果把这个小桶放到酱油当中，它会出现什么样的情况？ 由于酱油的密度是要大于水的密度的，对不对？那我们知道，不论是在水中漂浮，还是在酱油当中漂浮，它受到的浮力都等于小桶自身的重力，而浮力等于什么？浮力等于了， 等于了 roy 这 v 牌对不对？那对于酱油密度大的，它的 v 牌一定要小一些，所以对于我在步骤一当中标记的 a 位置在酱油当中，如果进行漂浮的话， a 点得在此时，哎，这个页面的这个上方对不对？对吧？那根据第一疑问的这种启示啊， 我应该想，我是不是让他们体积相等，哎，是不是让这部分 v 牌的体积相等？ 怎么让 v 盘体积相等？对于步骤二而言，我应该怎么样？是不是往里头加质量？往里头加质量，我不论是加水还是加酱油都可以啊，加完之后啊，假如说啊，他变到了这个位置，把这个 a 点变到了这点，这样的话怎么了？对于 这个步骤一和步骤二，他俩的 v 排是不是就相等了？所以对于步骤二而言，我利用的是什么？ v 排相同啊？方案二，我应该利用的是 v 排相同，就是 v 排水等于了 v 排将就 好，那我们应该怎么往后想啊？我们想，对，对于第一问而言，对于桶的桶的漂浮状态，它应该等于了浮力，等于了重力，那就应该等于 m 零乘以小 j 是 不是等于了 low 水？ j 微排水， 对吧？那这个微排水等于什么？哎，像这约调是不是应该等于了 m 零除以了柔水，对不对？那对于步骤二呢？ 假如说啊，我把这个这个标记处啊，加入这个水，或者说是加入酱油啊，当然都可以啊， 达到标记 a 处，我要把它擦干，放到电子秤上，再去测量测量一下它的这个质量，假如说这个质量我们测出来它应该等于 m m 撇，行吗？啊？ g y m 撇，那这个 m 撇乘以小 j 是 不是应该等于 因为他漂浮，漂浮，这是他他的这个重力啊，重力是不是应该等于了此时的浮力一撇？浮力一撇等于什么？是不是应该等于了柔酱油乘以小 z 再去乘一个 v 排这个 v 排酱油，是不是？但由于这个 v 排酱油就等于这个 v 排水，所以这个 v 排水可以用它来进行表示啊。所以这个 m 撇乘以小 z 是 不是应该等于了柔酱油 乘小 j 再去乘一个 low 水分之 m 零随小 j 约调啊，这个 low 向量 应该等于，哎， m 撇除以 m 零倍的漏水。 好啊，这道题呢，整体来说，这个具有一定的创新性，出的还挺好的啊，但是它并不太难啊。 我们同学做这种类型题啊，对于方案一，方案一解出来，其实难度相对而会较小一些，难的是，就在这个方案二上，你怎么利用方案一的思想啊来进行推导啊？ 好啊，这题讲到这，希望对同学们有所帮助啊。

今天啊，咱们看一看这道西湖一模的二十四题亚洲题，看看他到底有没有超纲。嗯，网传很多老师啊，都在说，最后一问，涉及到了斯库顿定律，那咱们看一看，用一些常见的模型能给它解决呢？好，咱们看看题。 首先啊，读题啊，给了一个四边形 ab 等于 a 倒，然后掉线相交，给了个 b， f 等于 c 倒，咱们标记一下， 变了色好了，第一问啊，让你求证，这个全等。实际上，这个第一问我们一眼看过去啊，他本质上属于什么模型啊？哎，比较常见很经典的什么型？第一个，对角互补， 加角分出等号， 没问题吧？很经典的一个模型，勾旋转，所以这道题他给的啊，恰好给了一个 b， f 等于 c 倒是吧，所以很明显，他已经告诉你这是一个旋转了。那一旦要是生成了这个模型，势必我们说勾出来那个旋转之后，势必会生成第二个模型，是什么呀？ 没错，那就是手拉手，对吧？手拉手一转成双，所以很明显， a b 倒，这个三角形啊，应该和 a f， c 这个三角形什么关系呢？哎，没错，它是相似的啊，那怎么来的相似呢？咱们看一下 第一个，嗯，首先，因为对角互补啊，咱们首先说一下吧，这个第一问啊，因为对角互补，所以有外角等于什么呢？内对角啊，这也是一个比较常见的结论，对角互补四边形，外角等于内对角，所以两角相等，然后接下来 ab 等于一刀， 所以很明显，旋转 s a s， 那 么自然而然的 af 呢，和 ac 呢，就一定是相等的，它也是等腰三角形，那么相似怎么来呢？很简单，因为你们会发现啊，其实在这里，这个角， 这个 b a 导，这个角，它是由 b a c 加上一个角 c a 导构成的，嗯，相当于中间一个公共角。那么实际上 f a c 啊， 和这个毕业岛很明显他俩是相同的，而又都是等腰啊， a f 等于 a c， 所以 啊，自然就是相似，所以在这里啊，嗯，很明显，接下来的咱们虽然没有继续读啊，这个二问和三问，应该啊， 猜测肯定是要涉及到这个，是吧？那好，咱们继续来。好，第一问就是 s s， 证明一个圈度就可以了。然后第二问呢，他说角 a 导 e 啊，不是三角形一导 e， 它的面积啊，是 s 一。 好，咱们先把这些这个标记东西啊先去掉， 他说三角形一导 e， 它的面积是 s 一， 给了一个导 e c 啊，它的面积是 s 二，咱们换个颜色啊， 导 e c， 它的面积是 s 二，然后 ab 是 六，那你不要记下 ab 是 六，那你就说 a 导 a 是 六， a f 呢，等于八，它是八，那么 a c 也应该是八，求它俩面积的比 好了，那求它俩面积比很明显啊，因为高相同嘛，自然也就是 a e 和这个 e c 的 比嘛， 那么他俩的笔怎么求呢？那咱们刚才说了啊，已经是满足手拉手，那既然手拉手的话，咱们不妨啊，先再换个颜色啊，把这个所有的角的关系啊，咱们先标记一下，这些角啊，应该都相等，好相似吗？那么接下来还有没有呢？其实实际上这个 a c 导啊， 应该跟他们相等没问题吧，因为其实相当于是条九根线吗？因为 ab 弦跟 a 导弦相等，那么自然呢，它相当于是弧相等，又是角相等，那好了，其实我们在这里啊，一眼就看出来了，其实这里会有一个什么形啊？第三个 又是模子，没问题吧？模子形就说 a 导， e 和 ac 导是不是正好构成了个模子形？而对于模子形来说，我们有一条结论， 这个结论一定要记住，木子型的一个结论，什么结论呢？哎，也就是公共边方等于贡献边乘积，这个一定要记住啊，公共边方等于贡献边乘积。 好了，那我们用这个结论的话，其实第二个就很快，因为相当于是我们射，不妨射，是吧？射这个 a 一 哈， a 一 等于 x， 四， a 倒方在这里是吧？公共边方等于共线边乘几就是 a， e 乘以 a， c 就是 它，对吧？ 好了，那么相当于是 a 倒方是几啊？我们直接代入吧，就是三十六等于八， x， x 等于几啊？那 x 给它除过来是吧？那相当于是八分之三十六，约分一下同时除以四，对吧？哎，它乘个二，它呢？乘个九 好了， x 和二分之九，那 x 和二分之九的话，自然 e c 长值就出来了呀。哎，所以 e c 就 等于 八，减去二分之九，对吧？二分之七好， ok， 那 么 e c 的 长度有了， a 的 长度呢，也有了，那好，那它的面积比呢？也出来了，哎，所以就应该是二分之九，比上 这个二分之七，大概就是几啊？九比七好了，那么这就是前两问啊，还好，前两问的话，现在来说，他就是一些比较常见的一个模型的识别，是吧？好，那第三问咱们看一看 好了，那根据咱们刚才说的这个手拉手，是吧？也母子，所以其实在这里啊，他有很多的啊，这个角相等，其实第一眼啊，在咱们标记的这些角相等过程中，有一个很常见的一个，就是一线三等角 在这里很明显 a f b b c e， 很 明显的一些三等角在这里面，所以看到第三问，就是这么一坨，不用着急，咱们先尝试尝试着先把这一些结论先写一写 好，咱们写在旁边说，第一个，它会涉及到一个什么结论呢？这是该圈四的，对吧？咱们再换个颜色， 一说到一三等角啊，它跑不了的，一定会涉及一个什么结论呢？没错，就是竖竖横横 竖竖横横什么意思？什么叫竖竖横横啊？就是竖着这两条边， a f 和 c e 这两条边，它俩相乘会等于谁呢？会等于这个 f b 乘以 bc。 好， 所以咱们在这里先写，先把这个结论先写下来啊，也就是 a f 乘以 c e， 然后呢，等于这个 f b 啊，乘以这个 b c， ok， 比如说咱们还没有去，先没有去看他的这个求证的这一长串，是吧？咱们先把这个能用的先写下来 好了。那么这回啊，好像应该看一下他具体要求成什么了。咱们在这里啊， c e 的 平方等于一个 bc 乘以一个 c 倒，嗯，还然后减去一个倒 e 乘以一个 b e， 好 了，其实相当于在这里的话，咱们实质性的结论很难去得到啊 啊？ c 一 的平方要是如果要是给 a 道方还好，对吧？因为相当于是母子相嘛，所以第一眼过去的话，好像貌似并不能解决什么，但是通过在这里啊，咱们其实发现了，貌似可以简单的先给他变变形，对吧？简单变变形，比方说这个 bc 乘以 c 的 o， 那 比说这一项啊，咱们单独把它圈出来， bc 乘 c 倒这一项，它很明显，它应该是哪一项，它是不是就是 bc 啊？乘以这个 bf， 为什么？手拉手，对吧？手拉手过去了，好了，然后接下来呢？ 嗯，导 e 乘以 b， 一 说，导 e 乘以 b 啊，其实如果要是够敏感的话，导 e 乘以 b 的 话，它其实相当于是哪个小模型？导 e 乘以 b， 咱们再写在下面第五条，它其实相当于什么小什么小模型？哎，没错，相交弦啊， 弦就弦，那好，导 e 乘以 b， e， 其实本质上来说，它就等于谁啊？是不是 a e 乘以 e c 啊？你说 倒一乘以一，咱们继续给它替换掉，变成了 a e 乘以 e c， 没问题吧？ ok， 所以 啊，到这里，哎，其实咱们发现了说，哎，除了 c e 方之外啊，这个什么 b c c 倒啊倒 e， b e， 咱们都替换掉了，那也就说，接下来把这个式子如果要是能证明成立的话，那是不是就结束了？嗯，那好，那怎么办呢？ 到这吧，其实会发现啊，左右两边的式子里是不是都会有存在这个 c e 啊？哎，没错，所以咱们会尝试把它移到一边去，那尝试把它移到一边去的话，咱们可以写在旁边啊，写在上面吧，那就是 c e 的 平方加上这个 a e 乘以 e c， 那 c e 平方加上 a 乘以 c， 如果等于这个 bc 乘以 b f 的 话，是不是结束了？好，那咱们在这里看，这个 c e 加上 a e， 其实本质来说， c e 加上 a e， 咱们一眼就看出来了，哎，这不就是谁啊，是不是就是 a c 啊？好，那它是 a c 的 话，其实也是谁啊，是不是就是 af 啊？哎，没问题。好了，那你就说咱们到这啊，其实如果要是能证明出 cf 乘以 af， c， e 乘以 f 等于 b， c 乘以 b f 的 话，那是不是就结束了？好，咱们定睛一看， c e 乘以 f 等于 b， c 乘以平方，哎，这不就是恰好咱们一开始就刚才说的哪个模型，哎，没错，是一线三等角。好， 所以啊，这道题就这么完毕了。好，那咱们总结一下，其实对于这道题来说啊，其实相当于是比较非常常见的一个经典模型，是什么呢？就是对角互补、加角分除等幺勾旋转。好，那你就说这个图形，他，哎，往里套了一个圆之后呢，引发的这些 这一系列啊，像什么手拉手，母子行，一线三等奖，还有香蕉鞋套入其中啊，其实相当于是经典题啊，一个新的利益，很好，所以我觉得这种题出的还是挺有水平的啊，还是挺好的。

hello， 各位同学，大家好，我是新里程数学王静王老师，那么接下来我们看高新一模倒数第二个， 哎，抛物线的题型啊。首先我把这个题进行了拆分，嗯，把一二问咱稍微先讲讲，然后第三问，哎，单独讲是吧，咱这样的话写的空大一点，这个样我觉得有点太密了啊。来，呃，第一问的话，给了一个抛物线， 然后这里面需要把 a 和 b 求出来，那因为 o a 是 二， o b 是 六嘛，那也就意味着 a 的 坐标负二，逗号零， b 的 坐标六都零，那么我们只需要把这两个点给它代入进去第一问就 ok 了，是吧？所以第一问最后结果， y 等于负的四分之一， x 方加 x 加三，哈。那么接下来第二问，如果的的横坐标是 t， 那 t 都，哎，带到抛物线里，那它的纵坐标负的四分之一 t 方 加 t 加三。呃，因为抛物线知道那 c 的 坐标肯定是零斗三，那 b 六斗零 c 零斗三 b， c 的 一次函数也是没问题的。 y 等于负的二分之一 x 加三啊，那这样的话，哎，第一问让求得 e 的 线段长度，那得的横坐标是 t， 那 e 的 横坐标肯定也是 t 啊，所以 t 等于负二分之一 t 加三嘛，然后得 e 的 线段长度的话呢，竖直哎，上减下即可哈。那所以得 e 就 等于得的总坐标负的四分之一梯方 加 t 加三，然后减去 e 的 总坐标，然后接下来该去括号去括号，该化减化减啊，那么这样我们就得到负的四分之一 t 方，然后加二分之三 t， 那 加三减三就中间就会约掉了，所以第二问 的第一个是吧，拿分啊。呃，但是下面这个，嗯，在那个高新一模做题的过程中，可能有很多同学藏住，所以接下来我们也分析分析，他说 是否有点得，那这个得就在抛物线上嘛，让 c 得 e 成为一个等腰三角形，那 c 得 e 成为等腰三角形的话， 这个就是咱们得分类讨论了，那他等幺没有说谁和谁是幺，所以接下来咱就分三种情况，包括这个题背后计算量有点大哈，那比方说，哎，第一个，我让 e 当做等幺的那个顶点，那是不是就这两个就变成幺了？哎，所以第一种呢， ce 的 线段长度等于得一，那其实得一，你想，哎，上一问已经求了得一的线段长度，那我是不是只需要把 c e 表示出来啊？那所以我们在这里，哎， c e， 咱们可以用两点之间距离公式， c e 的 平方等于横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方，是吧？哎， t 减零的平方， t 方 加上这个减这个，那三和三就会减掉，那也就是负的二分之一 t 的 平方，那么也就是四分之一 t 方，所以 c e 的 平方，也就是四分之五 t 方。 c e 的 平方有了， 我们就可以知道 c e， 那 c e 的 话，哎，对它进行开放，那么二分之根五 t 吧，是吧？那所以当我有了这个 c e 长度， d e 长度，那我就给它写上二分之根五 t 等于得一负的四分之一 t 方加二分之三 t， 那 这样的话就是相当于我们解一元二次方程。我们把这个解出来的话，是有两种，要么等于零， 嗯，要么等于六减二根五哈，但是这个零的地方你肯定得省略了，所以这样的话有了第一个啊，第一个这个 t 的 值啊，人家问这个得的坐标，所以这个题说实话它计算量真不小啊。那么当这个 t 等于六减二根五的时候 啊，带回去，是吧？带回去啊，一点一点仔细去给他算一算，那这样我们就可以得到第一个得的坐标，六减二根五都好， 四根五减五啊，六减二根五，逗号，四根五减五，这是第一个。那然后紧接着再来第二种情况，就是我刚才是以 e 作为一个顶点引出来的两个幺，那现在我们还可以让谁啊？我们还可以由得 得这个地方作为一个顶点，那 c 得和得 e 变成两个幺嘛。那所以第二种情况，也就是当 c 的 哎，等于得一的时候，那我们依然用两点之间距离公式啊，把 c 得表示出来，哈，那这样的话， c 得的平方就等于横坐标相减的平方，是吧？然后呢？哎，加上纵坐标相减的平方，负的四分之一 t 方加 t， 那 这个地方加三减三就没有了，哎，横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方，哈，那此时这个你这个地方再开方，你肯定不好开，是吧？你这开方你肯定开不了，那所以我们第二种情况就可以这样， 那 c 得方等于得一方，那咱把这个得一方给它表示出来，负的四分之一 t 方 加二分之三 t， 哎，得一方也表示出来，那面上感觉这两个比较复杂，但是我给你解一解啊，他能解，他能解，那所以这种情况下也就代表了 t 方加上这个 c 得方先找抄哈， 然后等于得一方那负的四分之一 t 方加二分之三 t 的 平方，也就是他们各自的平方，这个教大家去解解这个 t， 能做能做。嗯，第一步咱先硬拆，就这个是十六分之一首平方， 然后尾平方二 a b 的 话，那就二分之一 t 的 三次方是吧？就我先硬拆后面这个首平方，然后尾平方， 然后接下来减按二 a b 四分之三 t 的 三次方。那接下来这样大家就观察，虽然有四次方的存在哈，但是 能够被约掉是吧？那呃，剩下的你该移移，该合并合并，你比如说，呃，这两个三次方的就可以对它进行合并，那移过来负的四分之二加四分之三 四分之一 t 的 三次方，考你扣算能力啊，这两个是二 t 方，二 t 方，那减四分之九 t 方减四分之一 t 方就等于零了呗。那接下来我们把这个 四分之一呃梯方可以给它提出来，那第一个或者别提四分之一了。两边同乘四是吧？两边同乘四梯的三次方，减梯方等于零。把梯方提出来， t 减一等于零，你看好解吧。我说要么 t 就是 零，要么 t 就是 一呗。那咱说把这个零又给他舍了，你比刚才那个还好解是吧？那这样我们 t 不 就等于一吗？把这个一仍然是 带入到这里面，哎，一斗带进去还是挺好算的啊。最后一斗四分之十五，对吧？所以这个中间的步骤我就给大家省去了啊，这样的话，咱们中间就省去了，大家就看看能解吧，虽然他样子有点吓人，但是完全可解啊。来， t 等于零，折了 t 等于一，要把它 t 等于一，哎，带进去，那这样我们有了第二个结果啊，所以得二的点坐标一斗四分之十五。 那么接下来我们再来看第三种，这三种就该谁了呀？哎，老师，我可以让肺为一个等腰的顶点，那么这样的话，我们的第三种情况往哪写？嗯，往下写。好吧，那我把这个图往下放，再重新放一个图啊。 来，我们再来看第三种。第三种就是刚才我们说我们可以以 c 为一个顶点，那这样的话， c 的 长度就等于 c e 的 长度，那这种情况下，当然你说老师我两点之间距离公式还是按照刚才的套路做，能行吗？能行 能行啊，但是这里我想再教你一下别的方法吗？就如果两点之间距离公式硬算的话，那第二种，这不这种就代表了全部了吗？能解。然后，但是我还是再多想讲讲，因为此时你看，如果这是一个等腰三角形， 我就给你往这做个垂直，那如果你看这是 m， 那 这个 m 的 纵坐标它肯定还是三，是吧？那等腰三角形你具备什么东西啊？三线合一，你除了是个高线， 这个地方也是一个中线，是吧？那既然你是个中线的话，那也就代表 m， 也就是得益的中点， 那我完全可以用中点坐标公式。 m 的 纵坐标，这个三啊，其实就等于的和 e 的 纵坐标，你纵作这个是中点的话，那这不是相加除以二吗？所以二分之， 那负的四分之一 p 方加 t 加三，然后再加上负的二分之一 p 加三，也就是把的的纵坐标和一的纵坐标加起来除以二，哎，等于你这边这个纵坐标可解，完全是可以解出来的，那还是变成了一个解一元二次方程的问题是吧？所以我们加下来解这个的话，解出来仍然要么 t 等于二， 要么 t 等于六啊。但是如果 t 等于六的话，你会发现那的跑到这里跟 b 重合了， 所以这个仍然舍掉，那这个 t 等于二的话，代入到点坐标上，那么第三个结果就全都出来了。二逗号四啊，所以我们对于这个题的话， 二逗号四，嗯，一逗号四分之十五。那还有一个是六减二根五，逗号四根五减五，背后一共有着三种情况，大家别忘了啊。而这个的话，第二问相较而言计算量稍微大一点，那接下来我们再来看第三问啊。首先 心里你得开心，开心什么开心呢？你第二问计算量已经这么难了，那第三问他肯定在一定程度上会稍微弱化一下难度嘛来结果不相信的话，我们就看看啊。第一个 e， e 是 哪里哎， e 是 bc 的 那个直线上的一个点，那我们再把 bc 拿出来， y 等于负二分之一， x 加三。呦， 那然后紧接着这样的话，这个一点坐标我可以给你设上坐标，比如说 t 豆，哎，那我给你带进去负的二分之一， t 加三，那按照他说的做是吧？把线段 o e 绕点 o 顺时针旋转九十度，好，顺时针往这旋转九十度，然后这样的话，我们给他找到点，这， 这样，哎，你顺时针旋转，旋转了个九十度。然后，呃，首先我先不管他问题问什么啊， 这个旋转九十度好熟悉好熟悉，而且你这个坐标有了，我可以去推一下这个的坐标吗？ 咋熟悉了？一线三垂直啊，对吧？一线三垂直啊，哎，在垂直的位置横平竖直。因为我是一比一旋转的嘛，所以它不是相似，它是全等，那么 e 的 坐标有了， 这个对应的就是 t， 这里呢，就是负的二分之一 t 加三，来，根据这两个三角形的全等关系，那这里也是 t， 这个线段就是负的二分之一 t 加三，所以这样咱们就可以把 g 表示出来了，那 g 的 横坐标 负的二分之一体加三， g 的 纵坐标，那纵坐标就是这一块，但一定注意，负的负的，负的线段长度是正的，但是你在第四项线，他的纵坐标肯定是负的啊，所以，哎，那他就是负梯喽。那 g 的 坐标有的时候这个题问， 哎，问 a j 的 长度最小值，哼哼，我可以干嘛呀？我可以两点之间距离公式吗？因为 a 的 坐标有啦， 负二负零，所以来我们演示一下， a 是 负二负零，然后 g 的 点坐标也被我们发现了，负的二分之一 t 加三，逗号负 t， 那 咱可以怎么样啊？ 表示出来，哎， a g 的 平方，哎，就等于横坐标相减的平方，负的二分之一 t 加三，减去负二，那就再加个二 啊，加上纵坐标相减的平方，是不是？那所以我们可以给他化减出来嘛。那这个地方加二加三，就是加五， 四分之一 t 方加上二十五，然后减去五 t 加 t 方合并一下，四分之五 t 方 减五， t 加二十五，那然后人家问他的最小值，这不是一个开口向上的抛物线，那最小值就是我们要对称轴的时候最小呗，所以 t 等于负的二 a 分 之 b 是 吧？那也就是相当于五除以二分之五，那你想五乘五分之二， 也就七等于二的时候，它会最小，那最小我给它带进去是吧？最小带进去，那么也就是四分之五乘四，减去二五一十加二十五，所以它的最小值 这不就算出来了？但是我们一定注意，这个算出来的最小值是 a j 的 平方的最小值啊，那这个题问你长度的最小值啊，一定注意开方，别忘了最后一步，那么 根号下二十，哎，那么最小值二根五出来了是吧？好，那么接下来这是，嗯，二次函数，但是你明显这个题就是第二问 他因为计算量大，会稍微砍你一下，以至于第三问你就不看了，你就那个心态就是有点崩了，是吧？所以大家一定记住，就静下心来嘛，你比方说当我看到四次的能解啊，那他两边都会被相约嘛。呃，然后如果中间计算量比较大的话， 第三问说明稍稍放水了是吧？好，那么接下来这是我们抛物线这个大题啊，今天给大家讲到这里。

好来，各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说这个二零二六年虹桥区九年级一模数学第二十四题的相关解题思路。这个题啊，一个 正常的非常典型的我们近几年爱考的二十四题，没有什么新的翻新点出来啊。那么看这题啊，是将一个平行四边形放在这个缩写器当中， o 是 圆点， a 是 二六零 b， c 在 第一选项线， o， c 是 四 a， o， c 是 六十度。 再看第一问，求这个 c 跟 b 的 坐标，来，我们看图啊， c 跟 b 的 坐标，那么告诉我， o c 是 四，这个角是六十度，求 c 坐标，那非常容易想到，就是过这个点向外周做个垂直就可以， 对吧？好，做完垂直之后，这个边是二，这个边是二，维根号三， ok 吧？哎，我这是一个垂直。好了，这是二二倍杠三， c 点坐标二到二倍杠三。好，那 b 点坐标呢？因为 b c 长是跟 o a 一 样，这都是二，所以 b 点坐标呢？四到二倍杠三啊，这都比较容易想啊。 好，那我们看第二问，呃，说是这个，如果 p 是 这个 s 轴正半轴上一个点过 p 做直线 l 和这个 s 轴垂直，跟图二这个样子，对吧？然后沿这个直线 l 折叠这个纸片，然后说 o p 是 t， 来看第一个啊，若直线与 ab 边相交于点滴，呃，就是他已经是和这个 ab 边这哈有一个交点 a， 说他其实是过了这个点 a 之后，对吧？过了点 a 之后，他说这个， 呃，当这个重叠面积是四四边形的时候，各位这个一定注意啊，他是过了点 a 之后，点 a 之前呢，你就不用考考虑啊，所以我们拿这个看啊，好过了点 a 之后，这个图就应该是这个样子， 那其实比二大的时候，就是当 p 在 a 点呃，右侧的时候，他一直这样翻，他应该就都是一个 这样翻，对吧？这样翻其实都是一个这个，呃，四四边形，一二三四四边形，对吧？哎，翻到什么时候停止，翻到什么时候停，停止翻到。当 b 跟 c 重合的时候， 当 bc 重合，这样叠起来的时候，你看它还像一个，这就重叠就是一个这么一个三角形，对吧？就不是个四边形，所以 t 的 范围，这个比较好求啊。这个应该是 a 的 右侧吧，比二大，然后这应该是 c 翻到 b， 那 就是当这个 p 运动到 bc 终点的时候，整个是二，这块是一，所以这应该小于三， 在二三之间，这里面都不等。取等号啊，取等号就都是三角形啊，这是第一个 t 的 范围，然后这个线段 b f 的 长，这个 b f 这个球啊，这就比较容易看到，它应该是用 b a 减去 af， 对 吧？ b a 的 长，还能知道这个是四，对吧？ b a 是 四， 那么 a f 呢？这我们就需要知道啊，当我叠过它之后，这个角角撇跟角一样，这都是六十度，对吧？然后这个 a 这个位置和这个角呢，相等，也是六十度，同位角吗？平行线同位角，对吧？所以这两个角都是六十度，那么 a o 撇 f， 这就是一个 等边三角形，所以我求 a f 呢，相当于求 a o 撇啊，你能想到求 a o 撇这事就容易多了，对吧？ a o 撇怎么求？用 p o 撇， 这块长是翻过来它就是 t， 对 吧？它和 op 一 样的，对吧？再加上 ap 就 可以了。 ap 好 求吗？这也很好求，整个的 ap 减去二就好， 对吧？所以这整个的 a o 撇呢，就应该是这块叫 t 减二，再加上后面这个 t， 这就是 a o 撇，那 a o 撇呢？就是 af， 所以 我要求的这个 b f 呢， 就应该等于四减去二， t 减二化减一下就完事了 啊。这是我们的圈， e 来看我们的圈，是不是当 t 在 这个范围的时候，让我们求 s 的 这个趋值范围？可注意啊，你这个范围是包括我这个范围， 也就是当他过了 a 之后，这个四边形的部分是包含在这个范围之内，那么我们看这块面积，你看这块面积这是大还是小？如果他足够大的话，那么最大时就应该在他这去，如果他看着比较小的话，那最小时就应该在这这去啊。 来，这是我们一个就是直观的分析啊。我们再来看，当 t 等于三分之四的时候，也就是还没到这边的时候， 他是，哎，大概这个位置吧，对吧？他是沿着这个直线 l 长势沿直线 l 折叠，这个纸片就是这样叠过来， 哎，这样叠过来之后呢，重叠部分其实就是这块的面积，对吧？那这个位置怎么求呢？应该拿大块的，等于拿这块的面积减掉下面这一块， 对吧？好，那他和这块谁大呢？就应该是这块更大，因为他会经经过哪，他会经过哪，他会经过这样一个位置， 哎，他会经过这样一个位置，哎，我们可以考虑一下，刚才那块跟这块好像叠过的更多，但你减的减的也不老少， 对吧？哎，可以考虑一下，就是在三分之四式和这个四边形式在哪能取得最大值，把这两个位置分别求一下，就是我们刚才求出来 b、 b、 f 呢？用用这个 d、 e、 b 这个面积减去这个等边的面积，因为等边边长已经知道四分之二三 a 方就能表示这个面积， 对吧？这个面积它整个的一剪就是这块的面积，看看这块和这个三分之四那个位置谁大谁小就能找到。呃，最大啊，三分之十，这个应该就是最小的时，为啥都快出来了，这个最多运运到 b 上，对吧？你到 b 上就没有什么重重叠部分，对吧？ 这个运到这个四的时候是三分之十二，这是三分之十，所以特别小的一块， 对吧？你看这个这个再叠过咱的重叠部分就剩这么点了，对吧？所以这块应该是最小值啊。所以这种题就是你这个你， 你哪怕不知道谁大谁小，你把端点处的位置你搞清楚，把这两个位置的这个面积求出来，你也能至少写出来一个最大或者最小值啊。 好了，那这一期我们对于二十四题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，或我们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这期就是我们对二十四题的一个思路的分享啊，您还有什么问题的话，咱们这个评论区再聊吧。

哈喽，各位同学家长好，今天啊，用两分钟的时间快速分析一下二六年河西一抹的数学试卷，帮你摸清考点，找准不弱点。这套试卷满分一百二十分，考试时间一百分钟，题型、分值结构完全对标的是我们的天津中考。 十二道选择题、六道填空、七道解答题。整体的难度中等偏上，基础题、中档题难题的比例大约是六比三比一， 不偏不怪。区分度还是比较明显的，是一轮复习高质量的检测试卷。从考点上来看，数与代数、空间图形各占了一半，加起来接近一百一十分。时数运算分式化简不等式组反比例函数、依次函数全面覆盖了 几何部分。重点考察了仕途轴对称特殊三角形平行四边形圆的切线，还有天津中考必考的网格无刻度作图，考察推理和构造能力。 试卷的特点也比较清晰，基础题稳定送分，像选择题前八道题、填空题前四道题，解答的前四道题，认真计算就能够拿满分。 几何占比比较高，推理要求强，函数综合难度是比较集中的形成问题，二次函数压轴是拉分的关键应用题比较贴近生活。测高统计行程都是中考的必考题型。 错点主要集中在这几个，分式化、简符号容易出错。反比例函数增减性不分象限、一次函数平移混淆几何动点分类不全，解知要三角形的边角对应错误。高区分度的题目主要是选择题第十一题和第十二题填空题、第十八题网格作图 解答题第二十四题平移的面积、第二十五题二次函数的最值。这几道题是直接拉开分数段的主要的题目，最后给大家备考建议，保基础，选择填空前半部分基础解答题立正满分。特殊三角形圆的切线那块，稍微再练一练。 另外我们要去熟悉二次函数与几何的结合现实训练。如果说这套试卷我们能够在一百分钟以内答完题，分数能在一百一左右就是相当不错的了。 总的来说，这套试卷高度模仿了中考考点，全面，梯度合理，能真实的反映一轮的复习水平，接下来针对性的补强冲刺更高效，中考加油！

二零二六年贵州省初三一模统考啊，网传呢，就是这两天，但是呢，他并没有如期举行，那很多家长呢，是一头雾水啊，到底是临时安排的变动，还是长期的一个教育政策的调整？ 那么今天呢，我就结合公开的一些教育规范文件来聊一聊我的一个看法。那有人说是考试时间的冲突啊，也有人说是因为漏气这些原因， 其实这场大型统考的调整，他并不是一个单独的临时决策，而是全国中小学考试规范化减负政策下的统一落地。 首先全国各地都在严格的管控中小学统考联考，超规模的这种模拟考试的频次严格 得到控制，重复性考试，那目的呢？哎，就是为了减轻孩子们的这个备考压力，告别过度内卷的这个备考环境啊，所以说我认为这也是本次咱们审模调整的一个核心方向啊。那第二点，更为关键的是 结合本地的这个招生制度的一个优化推进。怎么说呢啊，当下的这种指标到校名额分配的这个政策呢啊，他在持续不断的完善， 核心就是为了均衡区域的这个教育资源，优化生源的一个合理分配。那全省统一的这个大型模考呢啊，在以往啊，他会成为区域学情参考的一个重要依据。 那如今规范了这个统一考试的安排，其实目的呢，也是为了规避各类提前 筛选，跨区域深远流动的这种乱象，他让高中的这个招生呢，哎，回归到统一规范公平当中来。那第三个点，就是说，结合本地的学情以及教学节奏的一个优化， 统一审计考试啊，他是很难兼顾到各个地区不同的这个教学进度的，所以说取消统一的这个一模之后呢，这个区县啊，以及学校啊，他会结合自己的一个教学安排，从而组织适合本校进度的一个校内的检测啊， 那这样的模式呢？哎，检测这个结果可能会更加符合咱们孩子的一个实际情况哎，老师呢，也能够更加精准的去查漏补缺啊，针对性的去带着孩子们复习。但很多家长就担心， 如果说没有这个审一模，那孩子就缺少一些关键的参考指标，哎，会不会影响到咱们的这个中考的定位呢？其实大家完全不用焦虑啊，这咱们后续的这个曲线的统考，校内的这些模拟考呀， 他其实可以一样精准的去判断孩子的一个排名以及薄弱的科目，所以咱们的这个中考啊，他比拼的不是一场考试的一个成绩，而是长期知识的这个积累，以及稳定的一个应试心态。 对，咱们整体总结下来啊，就是审一模取消啊，咱们作为现阶段初三的孩子和这个家长，那么不要被各类网传的这些信息呢，哎，来扰乱咱们的心态， 紧跟着学校的这个复习节奏，把基础打好，那么稳步冲刺哈，才是当下最为关键的事情。

同学们，家长们，这道题是常州二十四中初三一模卷的倒数第二题，名字，它叫做一个悬垂点的问题。那光听名字感觉出题人他晚上没睡好，编了个新词吓唬人， 晚安。我是 dc， 但今天我这个数学怪物只用三分钟把他扒的底裤都不剩。不仅呢，让你听懂，还能让你拍大腿。原来初中数学还能这么玩，太好了，那甚至高中的那点破事嘛，你也可以顺带开点窍， 好看题一个单位圆圆心在圆点，那它的定义是，点屁绕点 a， 顺时针旋转九十度，得到屁撇点，那如果屁撇点跑到圆里 或者圆上，那这个屁就叫做圆 o。 关于点 a 的 悬垂点，那说白了就是转一下，看落点，它乖不乖？那第一问，点 a 二，逗号二，先给你两点， p 一 四零， p 二四一，那问谁是悬垂点？那这时候不要慌啊，顺时针转九十度，坐标怎么变？那我直接给你一个公式啊，绕 a b， 顺时针九十度，那么 p x y 的 坐标它就变成 p 撇 a 加 y 减 b， 逗号的 b 减 x 加 a。 推导很简单，就是构造全等三角形横纵坐标互换加符号。啰，多啰嗦了，那你要记住这个公式，它是你的救命稻草。那带入 a 二二公式，变成 p 撇 y 的 四减 x。 好， 我们一来验一下货， p 一 四零，我们带进去就可以得到，它是零零，那圆形距离为零小一，它是合格的。 那第二个点带进去，我们得到的是一号零，距离正好是一，也是没问题的，合格。所以他们两个都是啊。那出题的人第一问是中分，那到后面呢，他就要立马翻脸了。 再看二 p 在 x 轴上动横坐标范围，它在横坐标范围上，那是我就可以设 p 的 坐标为 x 零那套公式我可以得到，它转过去得到的 p 撇点是零。逗号 四减 x， 它要在圆内或者圆上，所以它到圆点的距离是要小于等于一的。那么就可以列出式子了，根号下零的平方加上 四减 x 的 平方小于等于一，所以四减 x 的 绝对值小于等于一，我就可以把 x 的 范围求出来了。它是在三到五之间的，那简单吗？太简单了， 但这只是一个开胃菜，真正的魔鬼啊！它是在这个第二问里面， a 变成了负二零直线，它上面存在一个， 存在这个悬垂点，让你求 k 的 范围。那很多同学一看就懵啊，直线上一堆屁吧，那每个屁转完都要落在圆里，那条件我怎么转化呢？ 那常规做法，我是不是先设屁的坐标，然后得到旋转，之后得到含餐的点，再让它到原点距离小于等于一。最后解一个带 k 的 不等式是吧？能算，但是太繁琐了，而且容易漏。那看我来怎么搞。 哎，怪数学怪物的第一准则呢？正南则反。那既然屁绕 a， 顺时针转九十度，得在屁得的屁撇在园内，那么反过来，如果我在园内随便取一个屁，把它绕 a， 逆时针转九十度，那得到的点一定在直线上， 这叫做逆旋转。那我是不是就可以设屁撇点 m n， 那 它竟然在圆内或者圆上，所以 m 平方加上 n 的 平方，它一定是小于等于一的。 好，那逆时针转九十度的公式是什么呢？顺时针转逆九十度的逆运算就是逆时针转九十度，那所以坐标会变成 p， a 减 n 减 b， b 加 m 减 a。 那更简单的方法，我可以直接套用旋转变换的逆。我告诉你一个既快又准确又准的结果，绕 a 负二零，逆时针转九十度，屁撇 m n， 他 这点就变成了负二减 n 和 m 加二。为什么呢？因为顺时针转九十度是 x， y 变成 a 加 y 减 b， b 减 x 加，对吧？那逆时针就是反过来减，那不信你自己带一下嘛，我们直接拿来用就好了。因为这个屁必须在直线上， 在这个 y 等于 k， x 加二减 k 上，所以我们把 p 的 坐标带入重坐标， m 加二等于 k 倍的负二减 n 加二减 k。 那 最后我们 化简，然后移项，最后我们可以得到一个全新的式子， m 加 k， n 加三， k 等于零。那这是什么？是不是得到一条关于 m n 坐标的一个直线方程啊？那注意啊，这个 m n 可不是一个随便的点，它是园内 包括圆上的点。也就说这条直线必须与单位原有公共点，否则那圆里面没有任何一条点能落在这条直线上，所以那么圆直线就不存在悬垂点了。所以问题就变成了直线 m 加 k， n 加三 k 等于零与圆， m 平方加 n 平方等于一有交点。那用高中点到直线距离公式你别怕，初中也可以理解，圆心到直线的距离小于等于半径就可以。那我直线写成一般式， 一乘以 m 加上 k， 乘以 n， 加上三 k 等于零，所以它的距离就等于三 k 的 绝对值。除以一个根号，下一平方加 k， 平方 是要小于等于一的，那我解一下，这个不能是两边同时平方就可以得到九 k 方小于等于一加 a 平方，所以我的 k 平方小于等于八分之一， 也就是说，我可以得到 k 的 一个绝对值，它是小于等于四分之 根号二的。那又因为题目里说了，不要忘了 k 是 不等于零的，所以我的 k 的 范围，它应该就是四分之根号二。负四分之根号小于等于 k 小 于零，或者零小于 k 小 于等于 四分之根号二。你看看我这整个过程，没有解一个特别复杂的二次式吧，那我全靠逆向旋转加直线与圆位置关系秒杀。那这就是数学怪物的招数，把动态的旋转问题转化为静态的几何交集问题。 好，我现在毒辣的评价就到这里了。出题人他的水平其实很高的，那第一问给你铺垫了一个公式，第二问在设置一个障碍，他故意让你觉得要硬算旋转后的点坐标，那其实真正的钥匙 是逆变幻。这已经是高中几何解析几何里面的一个核心思想了。参数范围问题，往往等价于某个几何图形与另一个图形有交点。整道题它没有超纲，但完美衔接了高中现行规划直线与圆，甚至以后圆锥曲线中的存在性问题。 总之呢，这道题出的很好，就像川菜里的辣子鸡，你初看全是辣椒，你细品一下，肉香四溢。 我这个数学怪物最爱拆这种题。你如果觉得豁然开朗，甚至有点上瘾，那暑假来我的高中课堂，我带你见识更变态更精彩的数学世界！今天的讲解就到这里，下课还想听啥？刘老师再给你录一个。

hello， 同学们，大家好，今天我们来讲一下二零二六年长郡中考一模的第二十四题。第二十四题是一个新定义问题，在这里它强调了两个新概念，一个是轮转对称方程，一个是轮转对称函数。那我们现在来观察一下互为轮转对称方程的两个方程，它有什么特点？发现其实就是改变 a 和 c 的 位置。 那接着我们来观察一下轮转对称函数呢？同样它也是改变了 a 和 c 的 位置。第一题，它给我们的是三， x 方减二， x 减一等于零，其中 a 等于三， b 等于负二， c 等于负一，将 a 和 c 调换一下位置，就可以得到它的轮转对称方程。 接下来呢，我们还需要解出这个方程。首先注意一下二次向前系数为负，所以我们需要把这个式子先进行一下改写。接着我们利用英式分解的方法就可以快速解题，所以我们最终解得 x 一 为负三， x 二为正一。接下来我们来看一下第二题的第一问，求函数 y 二的图像的对称轴。首先我们知道函数 y 二，它是一个二次函数， 二次函数的对称轴是 x 等于负的二， a 分 之 b。 那 我们要想求解 y 二的解析式， 那我们知道 y 一 和 y 二互为轮转对称函数，其中 y 一 的解析式又已知，那我们其实是可以把 y 二表示出来的。 y 二呢，就应该是 n 倍的 x 方加 mx 再加一， 但是我们发现 n 和 m 我 们不知道，那我们现在就有两个方向，第一个方向就是我尝试把 n 和 m 求解出来，第二个方向呢，就是我把 n 和 m 的 关系找出来，我们回到题干，我们知道点 p 与点 q 始终在关于 x 的 函数 y 一 的图像上运动，并且通过观察我们可以看到 p 点和 q 点的纵坐标相同，说明什么？ 那么就说明 p 和 q 是 对称的关系，关于谁对称？关于对称轴对称，所以我们可以根据钟点公式来找到 y e 的 对称轴。然后我们根据函数 y e 的 解析式，也可以直接代入对称轴公式，直接求得 它就还等于负的二， a 分 之 b， 也就是负的二乘一分之 m， 也就是负的二分之 m， 即 n 等于负二 m， 我 们代入到 x 等于负的二， a 分 之 b， 就 就可以求解函数 y 二的图像对称轴 得到的是四分之一。现在我们来看一下第二小题的第二小问，函数 y 二的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点求出这两个定点的坐标，否则请说明理由。那在刚刚我们已经把函数 y 二的解析式得到了。题干强调的是是否经过某两个定点，经过某两个定点说明什么？ 说明这些定点的坐标必须要与 m 无关，也就是说这些坐标它得是常数，不随 m 的 变化而变化。 为了找到与 m 无关的定点呢？我们要使 y 二中的 m 向消失，那说白了就是我们需要把这个函数当中含 m 的 式子找出来，并且把 m 提取出来，令 m 前的系数为零就可以了。接着我们去解这个一元二次方程，当 x 等于零的时候， y 就 等于一， 所以经过零到一。当 s 等于二分之一的时候， y 也等于一，所以经过二分之一等一。接下来我们来看一下第三题，第三题他说关于 x 的 二次函数 y 一 的图像经过平面直角坐标系的三个象限，经过三个象限说明什么？说明这个方程有两个不同的实数根，所以根据这个条件，我们可以得到 delta 大 于零， 也就是 b 方减四一， c 大 于零。接着我们可以去讨论一下 x 一 和 x 二的情况，它要满足图像经过三个象限，那么 x 一 和 x 二必须同号。如果 x 一 和 x 二一正一负的话，那么不满足要经过三个象限的条件。 那现在我们知道 x 一 和 x 二同号，那么就说明它们的乘积是大于零的。根据伟大定律， x 一 乘 x 二等于 a 分 之 c， 所以 a 分 之 c 也大于零， a 分 之 c 大 于零，说明 a 和 c 同号。又因为 a 加 c 大 于零， c 大 于等于 a， 所以 我们就可以得到的 c 和 a 还有零的大小关系。然后我们来看一下剩余的条件，我们已知二 o a 分 之一减二， o b 分 之一等于 o， c 分 之 m d。 很 明显 o a 的 值和 a 点的横坐标有关， o b 的 值和 b 点的横坐标有关。 所以我们在这道题当中就缺少 ab 两点的坐标，那我们就可以先把 ab 两点的坐标给它设一下。好，那现在 o a 和 o b 我 们就可以表示出来。那在这里的 oc 呢？其实就是函数的常数部分，也就是 a， 所以我们就可以把上面已知的这个式子给它进行一下改写。观察一下这个式子，我们发现等式的左边我们可以提取一个二分之一出来，接着我们可以把二分之一消掉，它就变成了 o a 分 之一减 o b 分 之一等于 oc 分 之 md 乘二，也就是二倍的 md。 左边现在可以看作是一个异分母分数，那我们可以给它先通分，化为同分母分数做减法。好，刚才我们又知道 o c 为 a， o a 是 x 一， o b 是 x 二， o b 减 o a。 在 这里我们要用到绝对值替换一下，就变成了分母是 x 一 乘 x 二，分子就是 x 一 减 x 二的绝对值。右边分母为 a， 那接着我们就得去找一下 m d， 我 们已知点 m 是 ab 的 中点，顶点为点 d， 那 么就说明点 m 和点 d 的 横坐标相同，点的纵坐标为零，那么就说明 m d 的 长度其实就是点 d 纵坐标的绝对值。所以我们可以设点 d 的 纵坐标为 y d， 那 它就是二倍的 y d 的 绝对值。 接下来很明显啊，我们就需要把这个等式用含 a、 b、 c 的 式子给它表示出来。那首先我们先来看一下左边分子 x 一 减 x 二的绝对值。由于绝对值具有非负性，所以在这里呢，我们可以利用根式进行表示，这里我们又可以给它进行再一次的改写，连力伟大定律进行解析。 那需要注意的是，现在我们找的是轮转对称函数，它的 a 和 c 是 交换了位置的，所以在这里 x 一 加 x 二，对应到这个轮转对称函数当中，它其实应该是负的 c 分 之 b， x 一 乘 x 二呢，对应的就是 c 分 之 a， 所以 我们就可以得到 x 一 减 x 二的绝对值，就应该等于根号下的 c 方分之 b 方减去 c 方分之四 a， 合并一下就是 c 方。分之 b 方减四 a c， 其中 c 大 于零，所以可以直接开出来，也就是 c 分 之根号下的 b 方减四 a c， 那 这个时候的 x 一 x 二呢？它其实是 c 分 之 a， 而不是 a 分 之 c 啊。大家一定要注意，现在我们缺少的就是顶点纵坐标的绝对值，要想求得顶点的纵坐标公式，那需要注意的是我们找的还是轮转对称函数，所以它的 纵坐标对应的应该是四 c。 分 之四 a c 减 b 方。好，那现在我们就可以把改写过后的代入到刚才我们得到的式子当中。先来看左边除以 c 分 之 a 相当于乘 a 分 之 c， c 就 可以消掉，所以左边现在就剩下了 a 分 之根号下 b 方减四 a c， 发现右边的分母也是 a， 左右两边分母相同，那么现在他们又是乘等式的关系，所以就说明分子也相同，所以我们可以直接进行改写。 好，接着我们来看一下，它的左边是一个二次根式，二次根式要想有意义，被开方数要大于等于零，所以我们可以得到 b 方减四 a， c 是 大于等于零的，也就是说 b 方要大于等于四 a c， 那 么就说明四 a c 减 b 方，它就得小于等于零。 也就是说这里的这个绝对值，它其实对应的就应该是四 c。 分 之 b 方减四 a c， 然后绝对值外还有一个二和分母的四可以进行约分，所以这个式子就被我们最终改写成了，根号下 b 方减四 a c 就 等于二 c 分 之 b 方减四 a c。 现在我们来观察一下这两个式子， 这两个式子其实就是一个平方的关系，所以我们就可以得到二 c 其实就是根号下的 b 方减四 a c。 根据刚才我们得到的这个式子，我们进行平方的时候就可以得到 b 方，从而把 b 方表示出来， b 方就等于四， c 方加四 a c。 好， 现在我们把已知的条件带回到问题当中， 然后我们可以先进行一下约分化减，他就是四，加上四乘 c 分 之 a， 再减去二乘 c 分 之 a 的 平方。那在这里呢，我们会发现出现了一个共同的 c 分 之 a， 带着他去解题呢？有一些不方便，我们先用其他字母进行代替，我们可以令 c 分 之 a 为 t， 他 就变成了四，加上四 t 再减二 t 方强调最大值，我们可以把刚才得到的这个式子转变为顶点式， 那到这一步呢？有的同学他可能就直接认为了 a， t 等于一的时候有最大值，最大值为六。但是需要注意的是， a 和 c 它是有一个大小关系的，所以我们是需要先去判断一下 t 的 范围的。 c 分 之 a 是 小于等于一的， t 小 于等于一，我们发现 t 可以 取一，所以当 t 等于一的时候有最大值为六。

二十四中啊，三百四十五分，全校排名三百四十多分啊，这个分数的话呢，你家孩子能够啊？ 大边上一本啊？大边上一本。你家孩子不是说本科没希望了，你家孩子一本都有希望，就是 二十四中全校排名在三百四的学生正好能够上一本啊。那也就是说呀，二十四中这次题出的更难一些啊。难一些，那么说明咱家孩子到高考。呃，与其你家孩子高考能达到四百七上下 啊，说明你家孩子呢，就是能够提高的分数是一百二。一百二。那说明二十四中出的题呢？稍难点啊，稍难点。