2026海淀一模数学圆综过程

圆综合题目，扎实的基础和优秀的做题习惯，就能拿下满分，师傅我去看看啊。哎， 我们来看这道题，二六年海淀，一模一样。首先来读题线段， a、 b 为直径，做了半圆，那看到直径我们就可能要，就要把怎么样把 a、 d 要连上，为什么？直径所对的角为直角，圆心为 o， c 为圆外一点， 他说了 c、 a 垂直于 ab， 我 们发现了有直角，他说 d 为半圆溢于 a 上的一点，那也就是说它也在圆上喽， 那键切线连半径就会有垂直，所以说 c、 d、 o 他 也是垂直的，同时他说了 c、 d 等于 ca， 那 么两个半径相等，切线长定里，那一定就会连 c、 o。 连接 c、 o 以后，我们就可以发现这三个。三，这两个三角形是不全等啊，也就是三角形 a o， c 和 c o， d， a o， c 和三角形 a、 o、 d， 它就会全等边边边嘛得出来以后，那很显然那 c、 a、 o 它是直角的话，那么角 c、 d、 o 也是直角。那我们来看第二问， 取 b、 d 中点 h， 哎，一看到中点，一看到弦，一定会想到什么呀？垂径定里，然后说连接 o、 h， 并沿成交弧 b、 d 与点 e， 那一定就是垂经定律了，这才是他要考察的知识点。然后呢，咱们说是让交 b、 d 与点 f b， 就 咱们要连接 a、 e， 这为 f， 他 说了三 b 等于五分之三，一看到日角，三角函数一定是存在一个直角三角形里边，然后它们的比例关系全都是 三 b 五，并且 c、 a 是 五，那这个时候我们就要做到是只要有直角的地方，咱们一定要给他怎么样条件渲染，也就是老师说的疯狂标图，哎，把他的边角信息一定要写到位， 这个时候因为有九十度有勾股，对吧？也有咱们说的倒角，所以说老师要教一点，就是构造的是什么呀？点叉法作图，你比如说角 b， 它是一个点的话，有点必有叉， 也就是说角 h o b， 那 这就是个叉。那老师拿一个绿笔写吧， 这是叉，角 b 是 点，那么弧 b a， 他 所对的角，圆心角是圆周角的二二倍，所以说 d o c 呢？他也是一个 c o a 呢，它也是一个点，那有点必有叉吗？所以说这个 c d o 呢？它就是叉，那么 a c o 呢？也是一个叉，对不对？那我们继续往下看，他说了 塞 b 是 三分之五，也就三比五，那谁比跟谁相等啊？那是不是 c o a 是 不是就等于这个角 b 啊？是不是能同时用啊？所以说对边比邻边，那比下来五比三， 是不就等于对边比斜边，所以就是五比上 oc， 所以 oc 就 知道了，它是三分之二十五，咱们先给它标上。那么勾股定律 a o 是 不是出来了， 它是三分之二十，大家可以自己算一下啊，那半径相等，那 ob 也就是三分之二十。又因为角 b 三 b 呢？它是三比五，所以说咱们继续用 对角三角函数，所以说三比五就等于 o h 比上三分之二十，同理，咱们得出来 o h 呢，他就是四，而且有了半径，有了终点，一定会连什么 中位线，而且题中哥，咱说了，线段直径，直径所对角是直角，所以咱们要连接的是 a d， 那 这个时候 a d 是 不是就是等于八呀？ 好，那我们看到这以后，那 e h 是 不是也能算出来 e h 就是 半径三分之二十减四，那算出来应该是三分之八， 那目前为止，咱们已经把图内所有的边和角都给导出来了，那看一下问题，他说让我们求什么呀？ d f 的 长 d f 在 哪？同学们， d f 是 不是在这？那这个 d f 又不在边，也不在一个整三角形里面，但是它跟 d h 是 不是连接啊？ 那 h 是 终点，那咱们是不是能算出来 d h 就 可以了？而且我们还一直说呢，我们已经求了这么多边和角了，为什么还是找不到呢？那一定就会用什么呀 相似。而且题中告诉咱了，直径所对的角是直角，同时呢，垂径定律 e h f 它也是一个直角，所以就会出现了 平行，那出现平行一定会出 a 字形，八字形反 a 字形的相似，对不对？那我们就看一下，哪个三角形又连接着 df， 又连接着 f h 呢？ 那很显然，那就是八字全等对角相等，还有一个直角。所以说三角形 d a、 f 是 相似于三角形 e f h 的， 只要咱们算出来它的比值是不是就可以出来了？ 所以应该是 a d 比上 e h， 这个时候同学们千万不要算错了啊，这个三分之二十五指的是一个 c o 啊，同学们， 所以说 a d 比上 e、 h 一定是一个八，比上一个三分之八，那它们的相似比就是三比一，那同理呢？ d h 是 哎， d h 没算了是吧？那勾股定律算一下 b h o 购物店你算出来 o 呃， bh 应该是三分之十六，同理， dh 应该也是三分之十六，因为一共有四份 dh 对 不对？那 df 占三份，那一定是三分之十六，乘以个四分之三，最后得出来答案是等于四。 哎，那答案就多出来了。同学们，那我们来回顾下这道题。这道题其实就是在用咱们常说的基础，再加上正确的做题方法。 首先，第一个基础是在哪？第一，直径所对的角是直角，咱们是不是得知道？第二，看到直角以后还有一个点切点呢？一定会想到切线长定里构造全等。第三， 相等是不是也会构造全等？只要他说连接了 o h， 终点是 h， 有 了终点，有了半径，一定会有中位线，而且会出现黄金三角形， d、 o、 b 是 黄金三角形，等腰三角形，等边对等角，等角对等边， 而且还会平分一组对角有直角，连接 a、 e 以后，直径所对角为直角， 三 b 是 五分之三，那么直角范围内用点差法，所有的比例关系全都是三比五，咱们就能把图中的边角关系去疯狂传染。 最后，当你最后看到 d、 f 的 时候，想不到的时候，别着急，一定要看看咱们翻回去，因为咱们求了这么多边，还求不出来的话，一定是通过相似， 那出现这么多角咱们还没有用的情况下，你就想想又带着 d f， 又带着 f h， 是 不是要构造相似？那哪两个三角形分别带着他们两个，然后又有角的关系呢？一定是 d a 是 平行于 o e 的。 好吧，那这道题就讲到这里， 还是老师开头那句话，良好的做题习惯以及扎实的基本功，就是咱们园中做满分的标准答案。好！

好，我们来学习房山一模的几何啊。首先读题，他说 a、 b 等于 a、 c， 然后 a、 d 还垂直于 b， c， a， b 等于 a， c、 m， 这不咱们常说的吗，得二三角形三线合一， 中间有一个垂直，那么 d 就是 一个中点，然后被长的话， a、 b 被长也可以成为一个中位线， 把这个终点，老师拿绿笔给它画出来。 ok， 继续读题，他说点 e、 a 分 别在线段直线 b、 c 两侧连接， c， e， c， e 等于二倍的 a、 d， 也就是 a、 d， 它是个一，那 c、 d 就是 二啊， c， e 就是 二。那题中反复就说了， c、 e 等于二倍 a、 d， 一定，咱们一定是要考试 中规线，背长中规线对不对？要不然你 ab 呢？往这背长，然后下来下来，这两个边相等，要不然呢，你就 a、 c 往这背长下来下来，哎，这中规线这样全等， 那继续往下看，他说了过点 e 做点 a 的 对称，点 f。 哦， ok， 我 们看到了，它是中心对称，所以 a、 e 等于 af 有 了一个中点， 那是不是很容易？咱们想到什么呀？背长中线对吧？这题啊，咱们只讲第二问啊，第一问比较简单，把图补出来就基本上答案出来了。看第二个，当点 e 不 在 a、 d 延长线的时候，用等式表示 b， c， e 啊，咱们标出来一个 b， c， e 一个 c， b， f， c， b f 在 这里，那这个时候咱们可以把它标为 alpha 和 beta， 这个时候老师说的就是用餐倒脚。那 首先别着急算，而是先把已知条件用上。咱们刚刚说了，有两个中点， a 一定是个中点， d 一定是个中点，那比如说，然后呢，咱们拿蓝色的笔来画，那这个 a、 e 呢？这是不是两相等啊？ a e 不是 等于 af 吗？ 是不是可以背长中线啊？背长中线怎么也都得背长 a， 这个点，咱们说要不背长 a c， 要不背长 a b， 那 这种情况下，老师呢，先背长一个 a c， 咱们先看看感觉啊， 这样的话，咱们稍微点 g， 那 我看一下啊，咱们拿绿色的 b 直接把 b g 连起来， 因为肯定要中卫线嘛，这是咱们肯定的，那是不是就给封上了？为啥呀？因为 e f 啊， a e 等于 a f 被成中线了，然后呢？ a c 还等于 aj， 那 咱们直接封口呗， f j 一 就封口，那是不是出全等了？ 这块和这个 a、 e、 c 是 不是直接出全等？同学们，那当这两个三角形出全等以后，那是不是肯定要倒角啊？ 那这是 r 法，这是 b， 它一共九十度，那么 a b g 就是 一个九十阶 b 它，而且咱刚刚说了， a d 等于 二分之一 c e c e 跟 g f 还相等，所以 c e 就 等于 g f 就 等于 b j， 那 就倒角呗，全部用条件去贴结论， 条件不断传染啊。所以这块 g f b， 那 一定也就是九十度见贝塔呗，那中间这个角，它就是二倍的贝塔，那 r 法在这 怎么跟它产生关系呢？那因为有一个全等，所以呢，这块啊，这个 a c b， 咱们设为一个伽马， 设为一伽马射线伽马。那么内侧角 f g c 这个角啊，我拿红笔写 f g c， 那 它就是一个 阿尔法加伽玛，那是不是出来了？那 f g c 是 阿尔法加伽玛，那跟这个贝塔还掺和不到一块是吧？咱们来看一看啊，如果掺和不到一块的话， 这种情况下，因为阿尔法在北塔中间，咱也不能说这个这条线它平分啊，咱没有依据啊。所以说不能说阿尔法在伽马等于一个北塔，那咱们把这个角变出来 b g c， 那 b g c， 因为这是个直角的话，这是直角， 然后这个角 c 是 伽马，那也就是这个 b c c 就是 个九十度减，这个时候肯定就不加贝塔加伽马，对不对？ ok， 那 现在我们就知道了，是不是能列出来了，等式二，贝塔就等于阿尔法加伽马， 再加上一个九十度减干嘛？那是不是二 a， 它就等于九十度加二，那他俩的数量关系就出来了，那角 b c e 加上一个 九十度，是不是等于二倍的三角形 c b f， 所以 这道题提示咱们什么呀？就是如果遇到一个角度关系的时候，你比如说常见的，咱们说这个，呃，两边呀， 是不是能算出来相等二倍，是不是都能很好看出来？那比如说要三边的数量关系，或者说咱们角度关系，那就别瞎猜，而是根据条件梯级论 啊，去不断倒兵倒将，去正出来求他们的等量关系。因为咱们说了，这个终点八中斜三嘛，而且这两个已经是个终点，会构成中位线，所以咱们再换一种条件，再正一正试试啊。 也就是说朋友们，你在考场上的时候，当你如果向右背长呢，咱们依然是能做出来的，所以说就千万别着急啊。 ok， 咱们先梳理下条件。第一个， 嗯，这个 a e 是 不是等于 a f， 这是咱们知道的，他俩做对称了吗？而且这个 a d 他 肯定是个中位线，所以毋庸置疑，咱们就肯定延长 a b 嘛，延长 a b 到这儿的话，比如咱们设点 h， 那 ab 是 不是就等于 a h， 这样的话，咱们肯定要把 c h 连起来，老规矩， 稍等啊。 嗯， ok， 那 连起来以后呢？因为这是被长中线，所以说 h c b 它就是一个直角，咱们还是来表示呗。 b c e 用 r 法，那么这个 刚刚说那个角 b c 还有个 c b f c b f c b f 在 这，那是不是同时倒过来了？倒过来这 c b f 是 北塔， 那么 a g c 啊，因为这被长中线了，对，然后差个被长中线，所以咱们连接了一个，这样再换一个啊， 换一个紫色的，因为咱们非常中线，换了个条件，所以这个 e h 它们相连，它们相连以后，它不还是全等吗？是不是还是正了个全等？ 被上中线出的全等，那这样的话，咱们就好倒边了啊。因为 fbc 是 一个角， b， 它那么平行过来以后， h 也就是 hd h， 比如这是 m 吧，这没点 hmc 这个角呢？这就是个 b， 它这样你是不是好连接啊？ 因为咱们得知道 a d 呢？它是等于二分之一 c e 的 c e 不是 等于 c h 吗？所以你肯定得往这靠呀，这两个是等边呀，肯定有倒边的情况。又因为这个 h c b 是 九十度， 那么这个 e h c 呢？就是九十度减去 被它， ok， 那 么 h e c 呢？也就是九十度减去， 那还是求出来一个等零关系，那也就是说这个 h c e 这个大角就等于一百八十度减去 h e c 减去 e h c 这个角，所以咱们直接就列式了。那 h c e 这底下有啊，一百八十度减去这两个角以后， h c e 是 阿尔法，加上一个九十度，这咱们是可以明白的，对吧？ 一百八十度减去九十度减贝塔，再减去一个九十度减贝塔，应该就等于二倍的贝塔，然后跟咱们刚刚结论一样，所以呢，角 b c、 e 就 加上九十度就等于二倍的角 c、 b、 f。 好， 那这道题就讲完了，咱们来回顾下这道题啊， 这防山一模的几宗。首先啊，第一个角度别乱猜，一乱猜容易影响你的思路跟判断。第二，大家一定要学会读已知， 已知才是咱们解题的关键。当看到 ab 等于 ac 垂直的时候，一定是等腰三角形，等腰三角形一定有三线合一，三线合一一定会藏着中位线 对称，中线八中斜三啊。第二， c、 d 等于 c， e 等于二 a、 d， 这样的话一定是，要不然你得找出来 c、 e 的 关系，要不然得找出来 a、 d 的 关系，让它们相等，只要有相等就会出等腰。第三，有了对深点，是不是咱常说的啊，老师常讲的这种， 如果有一点哎，比如这个点 b 它是中点，这两个边相等，那是不是一定会对称呀？ 哎呀，背长中线背长过来以后，那这三角形是不是全等了呀？构成全等三角形，它一定会出来。最后，因为咱们要求这个两个角的数量关系，所以这个时候咱们一定要学什么呀？学的是射餐标角来倒角哎，一是把条件协商，条件是咱们做副主线的关键。 第二，射餐标角是咱们依据条件来把角度尽可能全染到整图，让他们构成什么样等量关系？因为一旦出现等量关系以后，那这个角度的问题其实也就由人而解了，好吧？那这道题咱们就讲到这。

几何快带竖纹新定义，还能提智商？ hello， 大家好，我是彩虹老师，这个视频呢，来，我们讲一下海淀一模的原综合，那这个题啊，咱们点叉标图就能秒杀第一问。 第二问呢？只要你在考前，哎，相信彩虹老师说的就是最近的我们的原综合，这两年都是在计算上给你拉长战线，所以呢，你只要有耐力，哎，传染一个，再传染一个，再传染一个就能做出来。 但是如果你没有耐力，你传染出来一个三角形的边和角之后，你发现，哎呀，没做出来，然后你就害怕了，那你可能这道题就做不了满分了。 嗯，那我们呢，来说一说咱们如何拿满分啊？咱们做任何时候的，任何时候做圆综合，都是要先从条件下手。虽然我们的目标第二问，但是我们要知道，前面的这些信息都是为了第二问做准备的。 好，那我们看上来呢，给了一个直径，只要我们看到直径，我们马上想到两点，第一，圆周角是九十度，哎，你就顺手一连，这个地方就是九十度。 第二，它自带中点，哎，中点背后的工具可多了，是不是？所以关注一下好，然后它说， ca 垂直 ab， ca 垂直 ab， 你 看这有个垂直，这个垂直该点叉标图了 啊，我们可以标，比如说这个角标点，这个角就标叉点加叉九十度，然后这是九十度嘛，这个角你也可以标点，你看这个时候谁和谁相等，一目了然， 然后再看，哎，他说 c d 等于 c a， c d 等于 c a， 这就是等腰，等腰对，等角，所以这个点角呢？哎，标上对不对？ 好，然后他让我们证明切线正，切线我们就连半径正垂直，那我们一定要把握住啊，圆中处处是半径，等腰三角形，所以连上半径就有等腰，那么这个是叉，这个呢也是叉，因为等腰对等角， 那我们知道点加叉九十度呀，所以这个九十度就出来了呀，好，然后呢，那我们知道这前面的都是为第二位做铺垫的啊，所以我们继续往下标一标，这是点， 好，然后那我们来看，他说取 b d 的 中点 h， b d 是 什么？是弦，只要我们看到弦中点，我们一定要想到垂直定力 啊，你看他说取 b d 的 中点 h 连接 o h， 并延长交差于 e， 这是 h， 哈，那么这个 o h 和 b d 铁定是垂直的关系， 对不对？哎，那我们发现什么东西呀？这有个中点，这个中点俩中点就有中卫线，哎，中卫线，中卫线呢啊，他出平行，平行呢就出相思， 哎，是不是跟我们压的题差不多，哈哈，平行出相似，好，那这里面呢，首先有个中微线哈，然后他还让我们连接 e a 交这个与点 f， 那 我们发现这有一个 a 八字相似，对不对？这有一个八字相似啊， 好，然后他给了我们说森 b 等于五分之三，那我们看到森 b cosin b 勘定 b， 或者森 a cosin a 勘定 a， 只要看到这种森指，我们就知道这个角 b， 或者说这个角点，它就是工具角，我们看到工具角就干什么嘞？ 见到工具角就传染，哎，就传染，把它放到直角三角形里，就可以用 sin cosine 探听球了。传染怎么传染呢？就是看它，哎，和谁相等，标多一点哈，哎，这是点，这是叉，这是叉，这是点，哎，这点，这点， 那我们都可以只要把点放到直角三角形里就能求，然后他给的是 c a 是 五，哎，那我们就要把点不仅放到直角三角形里，还要和 c a 贴的近，怎么办？这个点，这有个 c a， 但是这边没直角，所以咱们就， 哎，我们连接 c a， c o 是 吧？啊，因为 c a 等于 c d， a o 等于 d o， 所以 c o 它是垂直平分 ad 的。 好，那么这里面我们就发现，哎，五旁边就有点叉，直角三角形，对不对？我们在这标一个 q 啊，那 q 呢？也是 a d 的 中点，哎，那这个时候我们就会发现，好，这垂直，这垂直，这也垂直，这还是一个 矩形，对不对？哎，这还有一个矩形啊， q o h d 是 矩形， 矩形传染边多快呀，所以关注一下。好，那接下来我们看，他让我们去求这个 df 啊，来求 df， 当我们发现求已知的是这个，让我们求这个，他离得有点远，所以我们要传染，传染的时候有耐心一点啊。 对，那我们怎么传染呢？首先把 ca 放到一个直角三角形，放到一个带点角的直角三角形里，因为我们知道的是 趁 b， 也就是说所有的这道题目中，所有的和 b 相等的，也就是点角，它都是公角，只要放到直角三角形里，它的三边都能求。哎，那我们发现把它放 c a q 中，哎，这个，这个都能求， 把它放 c a o 中， co 和 a o 也都能求。这个时候有同学就纠结，我要告诉你的是，不要纠结，大胆算，肯定不能超过两分钟你就能算完。 来吧，我们把 c a， 哎，放到 c a q 中，我们用这个肾点等于五分之三，对吧？肾点就等于 c q 比上 c a 等于五分之三，所以可以求出来， c q 就是 三，那勾股定律 a q 就是 四， 好，然后呢？不要害怕啊，继续传染。在直角三角形，哎，在直角三角形 a o q 中， 你看，这是叉，等于这个叉，这是直角，等于这个直角，它俩相似，当然也可以用三角函数啊，因为这是叉，这是点嘛？对，用相似或者三角函数都能够去求出来。 q d q o 和 a o 我 给大家示范的相似哈，三角形 a q o 和三角形 c q a， 它是相似的，相似立马就列比例，有比例立马就代数来。这里面的 a q 咱们刚刚已经求过了，它是四， 然后 c q 呢是三。把数带进去啊，这个是四， c q 呢是三。 哎，这个呢是 o q 不知道，但是 a q 呢是四，所以 q o 就 求出来了， 对不对？哎，同理呢，我们这个 c a 是 五，所以 a o 也能求出来。来，咱们就可以得到 c q， 不是 得到 q o 是 三分之十六， a o 是 三分之二十， 嗯，好，求出来这个长来，我们就立马标图上去传染啊，这三分之二十，这也是三分之二十，对不对？哎，然后 a o 出来了，还有 q o 是 三分之十六，这个是三分之十六，那 d h 呢？ 也是三分之十六，对吧？哎， h b 呢也是三分之十六，你看我们都能给它求出来。 好，那这些长求出来之后呢？来，我们再看半径 o e 等于半径 o a 都是三分之二十，对不对？ 然后 o h， 它等于 d q 等于 a q， 对 吧？哎， a q 是 四，所以 d q 是 四， o h 也是四，我们这个 h e， 大家看 h e 就 等于这个半径减去四，哎，所以 h e 的 长也能求了 啊，半径三分之二十减去四，三分之十二就是三分之八，好， e h 求出来了， d a 求出来了，那么我们就可以干嘛了，哎，我们就可以用相似比了，是不是这个三角形和这个三角形相似，哎，这个长知道，这个长知道，所以我们就可以得比例关系了。 来，在这两个三角形中，我们的比例关系， a d 比 e h 等于 df 比 f h 等于八，比上三分之八，也就是等于三啊，等于三，好，那就说明我们的 df 等于三倍的 f h， 哎，那就说明总共这个长可以分成四份，其中 df 占了四分之三，是不是 好，所以呢，我们就可以得到 df 呢，就等于四分之三倍的 dhdf 等于四分之三倍的 dh， 也就等于，哎，四分之三，再乘个 dh 的 长三分之十六，得到它是四， 嗯，所以大家看啊，这个它主要考察的就是你的做题耐力，对不对？所以呢，如果你对这些工具都是非常熟悉的，接下来你还有做题耐力，那这个元能和你一定能搞定。 当然，如果说你觉得，哎呀，老师我这种做题耐力，我需要去训练，哎，我们老师呢，也给大家准备了这种锻炼你做题耐力的远综合题，联系老师就可以获得同类题了。 好，同时啊，我们这些内容啊，咱们在我们的点睛班的课堂上也给大家进行了一个讲解，大家可以看到，哎，我们刚刚说的平行，只要平行就找相似， 只要看到弦中点平分弦就要想锤心定力，这是我们在课堂上都给大家讲，甚至我这个图大家可以看到，跟这个图没什么区别，是不是啊？好，同时呢，我们如果说这块你觉得不太熟，想练练的话，咱们呢在一模后开了一个几何和圆中的集训课， 我在这个圆综哎给大这个三节课的内容上，每一节课都给大家示范啊。两节课，两节课的内容上，每一节课都给大家训练快速传染的技术，每一节课都会训练快速传染边的技术。 大家呢，如果圆综合做的慢，或者说还是不太会画辅助线，或者说还是容易卡住，那就可以来跟彩虹老师在圆综和几综的专题课上进行学习。

hello， 同学们，刚刚结束二六年海淀一模的考试，那与二五年的中考集中有很大的相似之处，同样是考的旋转手拉手，咱们来一块看一看这道题。 首先我们来看角， abc 是 九十度，那么 b， a， c 是 阿尔法，咱们首先把条件先表明， 这种情况下咱们继续读题，他说 a、 d 呢？绕点 a 顺时针旋转，一百八十度减二，那这个时候我们就知道了，顶角来放大一点啊，它就是一百八十度，减去二二法，那么角 e 跟角 d 一定就是二法喽。 角阿尔法是三十度的时候，让咱们修正 c， e 等于二倍的 c、 d， 那 这个 c、 d 一定是看谁跟它相等呗。那因为阿尔法三十度，所以咱们要把条件进行传导，那么 a、 c、 b 就是 优势度， 角 d 是 三十度，那么 c、 a、 d 也就是三十度。一个外角等于不相邻的两个内角之和，那么 e， a、 b 它就是个六十度，那就出来了，所以咱们就得出来了， 这个 c、 d 是 等于 c a 的， 而 a c 呢，就等于二分之一的 c、 e， 最终得出来。所以呢， c、 e 等于二倍的 ac， 等于二倍的 cd。 好， 那我们来看第二 好，同学们，咱们来看第二题，他说了，问咱们 abcd 跟 c、 e 的 数量关系，你乍一看，其实也不像相等，也不像二倍，对不对？ 那别着急，没有思路的时候，先把已知条件先梳理一遍。那首先，哎，做过二五年中考题，大家可以知道啊， 那 abc 是 九十度的话，通常看到了等腰直角三角形一定会翻折出等腰，哎，也就是倍长， 因为背长过来以后， b 呢就可以作为一个中点，而且呢，还可能会构成中位线，因为这有个旋转，所以还会构成手拉手，因为共端点嘛，所以这是九十度，他要常考的点。第二，如果看到 b， a、 c 是 r 法， 那这是阿尔法，咱就得构成一下，谁跟阿尔法有关系，让他去倒角对不对？同学们，咱们刚刚是不是第一问是倒角，第二问咱还目目前没发现出来。继续往下看，他说 a、 d 绕点 a 顺时针旋转一百八十度减阿尔法， 那也就是 a， e 和 a d 是 相等的，同时 e， a、 d 是 一百八十度减去二倍的二，那么它一定会出手拉手。 第三，那咱们来看，他问了三边关系，求三边数量关系，要不然就是共线，也就是咱们说的常说的截长不短啊，要不然就是共行。 但是很显然啊，他们三个就到一条直线上，其实翻不出什么浪花来，所以别着急，咱们先推论一下，因为咱们已经备尝做出了 h， 我 们可以连接 h， 这个时候我们看条件足够吗？同学们， 那题目中咱们可以看到了，有那么正常来说，咱们应该已经看到手拉手模型了，但现在还没有看到，那我们就看一看这个角度，他说了 e、 a、 d 是 一百八十度减阿尔法，咱们背长过来以后呢？ h a、 b 是 阿尔法，我们发现什么呀？同志们， 其实 h a、 c 是 阿尔法，与这个 e、 a、 d 是 一百八十度减阿尔法，它其实是什么呀？同学们，是互补，所以这就是出题给咱们留下的线索，咱们应该是被乘 a h 啊，倍长 a h 倍长 a h 过来以后，比如说咱们到 d 到 q 吧， q 的 话，那么 q a c， 那 它就是什么呀？老换一根笔啊， 那这个角就是一百八十度减去阿尔法，对不对？同学们，那我们就可以发现了，其实这个角 eac 这个角和 qad 这两个角是怎么样啊？ 是不是相等的呀？因为它们是共用的一个角，剩下两个角是不是相等啊？所以说，咱们直接连接 q d， 可以 知道这个 a e 等于 等于 a d， 哎，咱们看出来了， a e 呢，是等于 a d， 此外呢，这个 ab 呢，还等于 a q， 而且咱们刚刚还证明出来了，这个角 eac 和这个角 d a q 这两角是相等的，所以咱们直接可以多出来这两个三角形，是不全等啊，所以那角 a e d 就 会全等于三角形 a c e 判定应该是 s a s， 看到这以后，那么 c e 就 转过来了， c e 是 不是就已经到 d j 这块 d q 这 数，这 c e， 那 我们再来看 c e 跟 cd， 哎，别忘了咱刚刚说了，为什么背长它呀，因为就可能会出现了 等腰三角形，对不对？三角合一，又因为咱们背长了 a h， 所以呢，咱们应该要连接 c q， 连接 c q， 因为这样的话三边才能共行啊，所以我们就知道了，这个 a b 呢，它就等于二分之一的 c q， 那 显然这就全了，所以最终呢，就等于了四倍的这个 c q。 方法多写一步， c q 方加上 cd 的 平方，是不是等于 d q 方呀？那么 c q 方呢？其实就等于四倍的 a b 方加上 c d 的 平方，等于 c e 的 平方。哎，那这道题咱们就说完了，咱们再回顾一遍。 首先看到这类问题的时候，第一别着急，第二问一定是要把已知条件进行梳理，尤其是看到一百二十一百八十度减阿尔法还有阿尔法的时候，一定是要怎么样 倒角，而且要条件反射，把咱们的角度传染到图形的方方面面。第二看到直角三角形的这个情况下，一定是要 倍长的啊，这个咱们也不陌生啊，一直在考。第三，要共端等长，什么意思啊？只要有旋转，有一个共同的端点的情况下，一定是要给他找旋转手拉手， 当我们倍长过来的时候，我们发现了构成不了旋转手拉手，一定要想一想终点还会考察什么呀？ 中位线。第二，那就是中间有个一百八十度减阿尔法，那 e a b 跟 b a c 他 俩都是阿尔法，其实是一个互补的关系，所以条件都在哪啊？ 是不是都在藏在咱们的条件反射当中，是不是都在已知图形当中啊？所以说一定要认真审题，并且要做好笔记，不会考相同的问题，但是一定会考之前咱们学过的做题的方法和思路。好吧，大家做好笔。

牛哥一直在说，确定性才是解决考试问题的核心，海淀一模原宗这个题超级简单，我们就来看一下如何用确定性路径直接秒掉这个题。 ok， 这道题拿到手看图形，图形里边有什么？是不是图形里边有双切线？ 那双切线应该怎么操作？哎，各种连，连完了之后你就会发现各种全能， 然后接下来又因为题目里边有这个分， b 等于五分之三，哎，所以就代表里边有三四五， 然后 ac 等于五，是不是所以 aj 就是 四， aj 就是 八，因为什么？因为 aj 就是 三四五啊！一切皆是三四五，所以 aj 就 等于八。好简单！然后接下来不圈图形， 补全图形之后，我们就会发现，点 e 是 弧中点，点 e 是 弧中点，弧中点就代表角平分线。很确定的路径，弧中点就代表角平分线，那么所以三角形 a、 d、 f 就是 一二根五 啊，就因为三四五和一二根五是一体的，这个是一体的， 三四五的角平分线就是一二根五，所以，哎，是不是答案就直接出来了？因为因为 a、 d 等于八，所以 d、 f 就 等于四了，这就是用确定性路径来秒掉这个题 啊， so easy， 是 不是？哎，如果你对牛哥的这种确定性的考试解决方案有兴趣，我这有一个公益课，当然讲解的是几何辅助线的做法，周日晚上八点到九点，欢迎报名参加！

一起来看新鲜出炉的海淀一模原宗这道题，这道题目呢，算是小小拉开差距的一道题目，并不像呢，很多老师说的巨简单，直接秒杀。原因呢，有这么三点， 第一呢，对知识的全面性和熟练度要求比较高，考察了垂直定力，牵线性质，相似模型以及呢三角函数。 第二呢，对孩子临场题目条件的读取和信息的挖掘要求比较的高，需要呢不断的进行信息的传达和转化。 那第三呢，对于孩子的做题能力的耐力和专注力的要求比较高，因为他的思维量和计算的相对还是比较长的。 如果呢，你在这道题目上呢？哎，做错了，那不要呢，灰心丧气，一定呢，从我上面说的三点进行了一个调整， 那接下来呢，老师就从学生的角度把这个题目怎么一步一步做出来，怎么想到的跟大家呢，进行一个拆解，边读题边进行分析，把题目信息呢，尽可能多的标注在这个图形上。如图，以线段 a b 为直径作半圆， 对一个圆当中呢，哎，告诉了直径，那马上呢，我们得连接 a d， 我 们就可以得到了，直径所对的圆周角是九十度，哎， a d， b 等于九十度。 接下来看第二个条件说了，这个 c a 垂直于 a b， 好， 这里呢，有一个直角，那在这里呢，遇到直角往往是用来倒角的，我们不妨呢把这两个角呢，一个用点来表示，一个呢用叉来表示。 那接下来 d 为半圆 e 与 a 的 一点，且 c d 等于 c a， 我 们又能得到什么信息呢？ c d 等于 c a， 所以呢，三角形 a， c， d 是 一个等腰三角形， 那马上呢，我们就可以得到角 d a， c 等于角 c d a， 哎，点来表达 好，接下来让我们来求证， cd 是 半圆 o 的 切线，那证明是切线呢，我们必须连半径，所以呢，连接 o d， 那 连接 o d 之后呢？哎，我们能得到什么信息呢？因为我们这个 a o 啊，等于 o d， 对吧？等于 b o 这个半径呢，都是相等的，那于是呢，你就会发现呢，我们这个三角形 a o d 又是一个等腰三角形，那马上呢，我们就可以得到角 o， a， d 等于角 a d o， 所以 这个角呢，也是叉。 那第一问，我们现在是不是已经挣出来了，只要你把这个信息条件哎，挖掘的比较彻底，那第一问呢？哎，唾手可得，那于是呢，我们就可以用点加叉，等于九十度，把第一问就挣出来了。 那挣出完了之后呢，我们要把这个停一停，往往第一问呢是对第二问呢，温暖而善意的一个提醒， 那我们看啊，这个点叉这个角度，我们还能得到信息，哎，我们会发现呢，你会发现我们的角 a b， d 也等于了点， 原因是什么呢？原因呢，就在于点加叉是九十度吧，对吧，因为我们这个 a d， b 等于九十度，所以呢， d a b 加上 d b a 也等于九十度，所以呢，这个角 a， b， d 也等于点，等于点。 好，我们来看第二个，我们一起来把条件梳理一下，他告诉的是呢， c 的 b 三角函数就是这个点角的三角函数，那同时呢，也告诉了这个 a c 的 长度为五，让求了 d f， 那我们第一步呢，一定要把这个 c in 的 b 呢？哎，三角函数呢，进行一个传递，为什么呢？因为我们告诉的长度是 c a， 我 们尽量要与这个长度呢，哎，靠齐， 所以那 c in b 呢，刚好是点角，所以呢， c in b 等于五分之三，那马上呢，我们就可以得到什么呢？哎， c in 的 角 c， a， d 也等于五分之三，对不对？好了，那它等于五分之三， 但是呢，我们三角函数的运用啊，一定要在一个什么呢？直角三角形当中，所以呢，我们需要在这个角 c， a， d 这儿呢构造一个直角， 那你看 a， c 等于 c， d， a o 等于 o d， 那 怎么构造这个直角呢？哎，是不是巨简单，我们直接呢，连接 c o 是 不是就可以了？当你连接 c o 了，那立马这里呢，是不是就是垂直的？哎，就是垂直的。 好了，那接下来呢，我们就可以来算出很多边的这个长度，但是我们现在呢，不知道与 d f 的 关系啊，我们可以把这个长度呢慢慢的算一下。好， 那 c 的 角 a， c， d 呢？点角的三角函数呢？等于五分之三，那马上呢，我们就可以假设我们把这个点叫 q 啊，叫 q， 那 马上呢？哎，我们就可以来求出这个 c q 的 长度，直接用三角函数啊，所以它呢，就等于三。 然后呢，我们用勾股定力求出 a q 的 长度呢，它就等于四。那又因为啊，这个等腰三角形的缘故啊，又会发现呢，我们哪个角呢？也是点角了？哎，这个角它也等于点 啊，它也等于点，因为它跟我们的 d， b， a 是 相等的。好了，那反过来我们就可以求出谁的长度呢？哎，我们就可以求出了这个 o q 的 这个长度， 原因是什么呢？原因是呢，我们这个三角形，这个 a q c 相似于三角形呢，这个 o q a a q 比上了这个 q c， 那 就等于呢，这个 o q 比上了这个 a q。 好， 那于是呢， a q 呢？等于几呢？ a q 等于四， q c 呢？等于三，那就等于呢？ o q， 我 不知道，对吧？但是呢，我知， 我知道的是呢， a q 的 长度是四，那于是呢，我们就可以推出 o q 的 长度了，那就等于了三分之十六。好，那我们把这个条件呢进行一个标注， o q 的 长度等于了三分之十六。好，我用一个蓝色的啊， 三分之十六，那 o q 的 长度导出来之后呢？哎，我们就可以求出 o a 的 这个长度， 对吧？好，那 o a 的 长度等于多少呢？根据啊，这个 a o c 的 也等于点角，用三角函数啊， sin 的 角 a o b 啊， sin 的 角 a o c 也等于五分之三，那我们就可以推出呢，这个 o a 的 长度，因为呢，这个 a q 比上我们这个 a o 呢，它等于五分之三，而 a q 呢，它是几呢？ a q， 我 们算出来了啊，它是， 哎，它是四，对吧？所以呢，我们就可以求出 a o 的 长度就等于多少呢？三分之二十。好，那我们 a o 的 长度等于了三分之二十，就可以求出谁的长度呢？哎，我们就可以求出你看 o b 的 长度 吧，是不是也求出来了？还有呢，这个 o d 的 长度是不是也求出来了？还有呢，这个 o e 的 长度，就是这一块的长度也是多少呢？三分之二十，三分之二十。 好了，那接下来呢，我们怎么来处理呢？我们先来看一下问题啊，我们问题呢，求的是这个这个 d f 的 长度，哎， d f 怎么求呢？会发现呢？哎，我们又得到一个信息啊，就是我们这个四边形， 四边形什么呢？这个 d q o h 是 矩形， 那它是矩形的之后呢？哎，我们马上是不是就可以得到？哎，马上我们就可以得到啊，是矩形。 好，那因为呢，我们就可以得到 q d 是 不也等于四，对吧？那我们的 o h 呢？也等于四，那马上呢，我们就可以求出 h e 的 这个长度，那就等于了三分之二十，减去四，那就等于了 三分之二十，减去三分之十二，等于了三分之八。同时呢，我们还求出来了一个重要的知识点，就是我们这两条线呢，它是平行的，那提到平行呢， 那马上想到了什么呢？哎，马上想到了，是不是这个相似波形是不是相似？那哪两个三角形相似呢？ 子十二部分的，那就是了相似的，那于是我们就可以得到。哎，这个相似比就是了， e h 比上我们这个 a d， 那 就应该等于什么呢？哎，就应该等于 这个 d， 就 应该等于了这个 f h 比上了这个 d f， 你 看，终于呢跟我们的这个 d f 了，哎，靠上了，对吧？ 好，那这个怎么来比呢？ h 的 长度呢？已经算出来了，是三分之八，那 a d 的 长度呢？是八，那于是呢，我们这个结果呢，就等于三， 那也就是说呢，我们这个 f h 比上这个 d f 就 等于了一比三，那又因为呢？呃，我们这个 d h 的 长度啊，就是我们这个 f h 呢，加上 d f 的 长度了，我们是能够算出来的，因为我们前面已经算出来了，对不对？等于了三分之十六，因为它等于 o q 啊，等于 o q 等于了三分之十六， 那所以呢，我们这个 d f 的 长度呢？它就等于啊，等于谁呢？等于四分之三倍的这个乘 d h 啊，于是呢就等于四分之三乘三分之十六，那结果呢？就等于四，所以这个 d f 的 长度呢？是四。好，这就是呢这个题整体的解析思路， 那你会发现呢，我们这个逻辑链呢，还是比较的长的，很考验大家的耐力和专注力。

好，那我们今天来看防晒一膜的代数综合。首先来读题，点 a 一 逗号外一，它是抛物线上一点，然后点 b， a 加二，逗号外一呢？ 他是点 a， 点 b 不 重合，所以我们要知道的，点 b 他 是在抛物线外一点，而且他们俩的纵坐标是一样的，所以他的横坐标肯定都在一个横轴上呗。而且告诉我们， a 加二是不等于一的，因为他不重合吗？所以 a 等于负一。 看第一个，他说抛物线对圆轴，那不就是负的 a 分 之 b 吗？所以算出来 x 应该等于 a 啊，这很简单，这看第二个， 当线段 a b 抛物线尤其只有一个公点的时候，尤其只有一个公点，那不就像之前常考的公点问题吗？那还是那句话，首先画图啊，把图画出来，咱们才能表示出来。那有些同学说了，他说 咱们比如说咱们先画一个开口向上，那对称轴为 a 的 时候呢？ a 加二一定是在右边，对吧？但 a 的 坐标呢？ a 坐标是一啊， 那这个 a 的 坐标它在哪比较合适啊？现在这图是不是画不出来啊？那咱们就是别着急啊，要寻找确认点， 那只能是要不然这个 a 要不然在对称轴的左边，要不然 a 呢？对对称轴上，要不然 a 就 在对称轴的右边，那一个一个确定呗。那比如说，先说第一个，如果 a 呢，它在对称轴的左边，那咱们该怎么算？ 那第一种情况，也就是 a 大 于一的时候，那么 x 等于一是关于 应该是对称轴， x 等于 a 对 称过来，它的点是二， a 减一，对不对？那所以它对称过来是二， a 减一的话，因为 ab 就 一个公点，那这个 b 它再怎么动， 他是不是不能超过这抛物线？抛物超过抛物线是不是两个点了？他是不是只能再抛物线一回啊？所以那这个横坐标呢？这个 a 加二是不是一定是小于二？ a 减一的，咱们列式 这样，我们直接可以算出来 a 是 大于三的。那第二种情况，咱们就说那 a 在 右边呢？ 还是画出来的抛物线？ a 在 右面，对称轴 等于 a， 那 这个时候 a 一定是小于一的，而且等于一行不行， 是不是也可以？这两种情况是可以并一块的，那如果这样的话，你看这个 b 在 哪？ b 肯定是在对称轴的右边，所以咱们就发现了他肯定在这，对不对？他无论取哪，取到 函数图像里边还是图像外边，是不是 ab 只能和这个二次函数有一个交点？所以咱们只需要确定的是 a 加二，也就是 b 的 这个点，他应该是不等于一即可，为什么呀？因为他只要不跟 a 重合，那他这个线段一定会与二次函数相交点，所以 a 是 不等于负一，对不对？那当 a 在 这个坐标轴上的时候， 那时候 b 在 这是不是也可以？所以说他们又一并讨论 a 小 于等一的时候？所以最后咱们都出来情况了。第一种情况是不是 a 大 于一和 a 大 于三吗？同大取大，所以说是 a 大 于三或 a 小 于等于一，且 a 不 等于负一，这个时候一定要写清楚啊。那要看第二个，他说在一的条件下，在一的条件下， 过点 b 做 x 轴的垂线，交抛物线一点 c， e 的 条件下要注意。第二个就是交抛物线一点 c， 然后顺 b c 延长 a 的 扩大增大，这不就是跟咱们常考的这个增减性的问题吗？还是要画图，咱们呢先把这个方法拉下来啊， 画这个图怎么画呢？首先先把图画出来，咱们才能好表示嘛，所以圈挂一圈二，咱们把这去掉，这写成一个二角形，对吧？ 好，那圈二的话，首先第一种情况呢？是不是咱刚刚说的 a 在 左边啊？如果 a 在 左边，那么 b 在 右边，他说了是过点 b 做 x 轴，对称轴交勾形点 c， 那 么这个 b 是 不是在这上边， c 肯定在下边。 那第二种情况呢？哎，这个 b 应该在这， b 不是 横着的吗？ b 应该在这，那交抛物线是不是交在这？第二种情况呢？这 a 在 右边呗，当 a 在 右侧的时候，比如说 b 在 左侧， b 在 这里的话， c 就 在这，那还是那就知道了，那还是 bc 的 长随着 a 增大而增大。首先咱们就得把表示 b a 表示出来嘛，因为式子表一切嘛。 ok， 那 就表示呗，因为咱们不知道它是谁上谁下，所以说应该是绝对值的 bc 它等于什么呀？还是咱说的就是 y b y c 减 y b 呗，都套绝对值了， 那 y c 呢？ y c 等于什么呀？ y c 是 不是它横坐标一样？横坐标是不是 a 加二啊？ 对吧？因为它不是过点 b 做的吗？点 b 横坐标 a 加二吗？那它带出来的 y 因为 y 一 y 轴都一样，所以 a 加二，直接带进去是不就可以了？所以 y c 呢，它就是带进去的值， 就等于括号 a 加二的平方减二， a 平方减 r， a 括号 a 加 r， 这样直接带你就行，再减去一个 y b， 那 y b 其实是什么呀？ y b 在 这表示的其实就是 y b 的 横坐标也是 y e， 那 y e 的 话，那其实它不是也是 y e 吗？就减 y e 吧。 好，那咱们就是减 y 一， 那 y 一 其实就什么呀？ y 一 是不是也就是这个一啊，对不对？那也是把这个一带进去，是不是也能把 y 一 求出来， 所以直接取值带进去，所以说应该是把它展出来，是 a 方加四， a 加四，然后 y 一 应该是减去 二， a 减四， a 减一加二 a， 哎，这样的话是不是全出来了，哎， x 方， ok， 这样的话咱们合并一下，那就是负 a 方 加上二， a 减三的绝对值，这样的话还是一下就到咱们熟悉的情况，把符号提出来，就变成了十字相乘， a 加一和 a 减三，这样是不是算出来它与 x 轴交点了，是 a 等于负一， a 等于三。 ok， 知道交点以后还是要画图来表示向量数，这样画图啊，因为是 a 小 于零，所以开口向上。 其次，一个焦点是在负一，一个焦点是在三，那么横轴标线标出来， 因为它是绝对值，所以下分上。所以呢，那我们来看它其实表示哪个点是表示的这个老师画蓝色笔的点，但是人家又说了，它是在 a 圈一的条件下， 如果是在圈一的条件下，圈一的条件是什么呀？是不是 a 大 于三或 a 小 于等于一，且 a 不 等于负一样，所以咱们来条件标一下， a 大 于三。老师拿绿色的笔，是不是在这半部分还有一个 a 小 于一，比如说这画一个一吧， 这是个一的话，那也就是说从这条线开始，而且不等于负一，所以这画空心剩下的画蓝笔，也就老师画蓝笔的这个部分， 题目上他说了，说是随 a 的 增大增大，也就外随 x 的 增大增大呗，那咱们就可以判断出来了吗？那 a， 首先他就是要大于负一小于一，对不对？中间这是一，第二个 就是 a 或或 a 大 于三。 最后咱们要进行取等确认和前提确认。取等确认，首先来看一下啊，因为它是不带负一的，所以说 a 大 于负一，不用带等于号。第二个因为它是 y， x 增大增大它就等于一，是不是也是增大的呀？ 所以说他这个一是可以带等号的啊啊，老师纠正一下啊，这个因为这个 a 呢，他应该是在负一和三的中间，这样的话他应该这是一个最高点， 所以一是一个最高点，最高点的话，它是可以等于一的，因为这段距离它是不是增大而增大，当它等于一的时候，它仍然是增大而增大，增到了一个顶点了，对不对？还有一个就是 a 大 于三，因为它本来就不带三，所以咱就不用再等于，所以最终答案 就是它最终啊。 ok， 那 咱们来回顾一下第一个二次函数啊，首先就是要画图 啊，开轴点，开轴点，首先要画图，你只要把提议了解清楚了，把他特特意关注的点咱们分析清楚了，一个在抛物线上，一个呢没在抛物线上，但是呢，他俩横坐标都在一条直线上，因为外轴相同嘛。 第二，他只要问有没有什么公共点，不管他怎么问，一定是要画图，而且如果遇到不确定性的问题话，咱们刚刚说这 a 是 一，那这个 a 大 a 点 a 的 坐标横坐标也是一，怎么判断？就要寻找确定点，把它对称轴 a 的 这个点确定了以后，那他大 a 点 a 的 坐标是不是也确定了？第二圈二的情况下，只要 抛物线垂直于点 c 什么增大，增大的时候一定要怎么样？还是要画图，你只要画出来图，那这个柿子就列出来一半，因为你只要确认掉，你才能拿柿子出来表示，拿柿子出来表示以后增大，增大，那就是咱们老生常谈的 画出绝对值的图，再把星函数的图像画上，因为咱们有了 x 轴的焦点坐标，所以咱们下翻上，再根据圈一的条件来寻找取值范围，最后要进行取等确认和前提确认 即可。好吧，同学们每道题型呢，考察是千变万化，但是知识点呢？还是那么几个，大家呢？把几类的问题归零到一块，用一些共用的思维去探索一下代数综合，好吧，嗯。

选择的最后一道题，也是选择中最有难度的一道题啊，压轴题，它呢结合了我们的抛物线和我们的圆，我们先读一下题啊，说如图，在平面直角坐标系中， a 点负二勾 n 是 抛物线， y 等于二分之一 x 方长的一点， 那这个时候我们把 x 等于负二带入进去，马上就可以得到 n 是 等于正二的，有时候点 a 的 坐标我们现在补齐了，它是负二勾 n， 然后说 e c 零到一为圆心， c 长为半径的圆，与抛物线在 d 相交点是点 b， 那 我们知道此时抛物线是具有对称性的，所以点 b 的 坐标我们也清楚了，它应该是正二到二 d 相线，这个点二到二，那抛物线与圆 c 在 点 a、 b 之间的部分， z 为之一。这里要注意一下， 此时关注一下谁是 g 一 呢？我们根据图看一下，抛物线有底下，这里是 g 一， 上面这个圆的部分是 g 二，然后说的说 m n 分 别是 g 一、 g 二上两个动点，我们标记一下， m 是 g 一 上的点， n 是 g 二上的点， 然后说了 m n 是 不与 ab 重合的。得出下面四个结论。问，上述结论中正确的序号是什么？那么一个个看。我们先说圈一， 说的是当 m n 垂直于 x 轴的时候， m n 长度最大值是根号五加一，那我们想一下， m n 垂直于 x 轴，那最大的时候一定就是与外轴重合的时候。那这个时候我们知道，首先第一个 它是包含着我们的一部分，上面圆的半径的，哎，以圆零度一 为圆心，上面有这样一段半径，加上下面一段长度为一的线段，就是我们此时垂直于 x 轴时 m 的 最大长度了，那现在很显然它一定是一加上我们的半径，那半径怎么计算呢？哎，此时我们说 a 的 坐标因为是负二负二，那么这边做一条垂线的话，此时 这个三角形，它的长直角边呢是二，短直角边是一，那斜边就应该是根号五，也就是我们这个圆的半径，它就是根号五，那 m n 的 最大长度就是一加根号五， 所以我们发现一选项是没有问题的，能够判断出来的。在我们考试的时候，我们遇到这种题目，马上就可以把 c 和四 d 排除掉了，比如说 c 和四 d 排除掉，那二一定是错误的。在考试的时候，但是今天我们讲这道题，我们还是把 q 二一起来看一下 q 二到底错在了哪里，然后把这些图擦一下 来，我们看一下，求二在说些说些什么啊？说的说点 q 呢，在 x 轴上，则在第一现象内存在点 m， 使得四边形 a、 b、 m、 o 和三角形 a、 b、 q 的 面积是相等的， 那我们先说啊，说点 q 竟然在 x 轴上，那我们发现我们说 a、 b、 q 这个三角形其实就是以 a b 为底，那这样子二 作为高的这个三角形，所以它的三角形的面积啊，我们很很轻易的就可以算出来，它其实是等于 ab 的 长度，四乘高，那就再乘二分之一是等于四的。同时啊，我们要注意，在考试的时候，我们可以找一种特殊情况， 我刚刚是随意点了一个点 q， 那 这个时候既然点 q 是 在 x 轴上，那我就说它此时就在点 o 的 位置， 哎，那这个时候我们说三角形 a、 o、 b 和三角形 a、 b、 q 的 面积是一模一样的， 那我们直接比较它们两个就可以了，那我们看一下 a b m o 它应该什么呢？我们说 m 是 在这一上的一点，那我任意点一点，你发现没，它都会导致它的面积要比三角形 a、 o b 的 面积多这么一个小块儿， 所以这个结论一定是错误的，我们四边形的面积它一定会大于三角形的面积，那二选项我们也是可以排除掉了。那我们看啊，如果在考试的时候，这个时候我们肯定是从三四中去选择了。我们先看一下三角三，说的是三角形 a m n， 它可能是等边三角形， 这个三它其实考到了我们的瓜豆原理，也就考到我们的主从联动以及轨迹相交的一个问题啊，我们一起来看一下， 此时说的是 amn， 它一定是一个等边三角形的话，那我们知道此时定点一定就是点 a 了，它是一个一直不动的点，那假设说啊，我现在把主动点看成是我们的 n， 假如说 n 在 这里，主动点是我们的 n， 那 从动点呢？就应该是我们的 m 了。那根据我们的题目要求，三角形 amn 是 等边三角形，那这意味着线段 an 要绕点 a 旋转六十度就能得到 am， 那我们知道刮动模型，既然说这个三角形 a m n， 它是等边三角形，那么点 m， 它就是点 n 绕点 a 旋转六十度得到的，所以我们可以去推导一下点 m 的 运动轨迹是什么。那我们说刮动模型嘛，主动点的运动轨迹，它和从动点的运动轨迹应该是一样的，那我们观察点 n 的 运动轨迹呢，它是一段圆弧， 并且是以谁为运动，谁为圆心运动的圆弧呢？是以零到一这个圆心去运动的圆弧，那么根据这个啊，因为它的圆心是零到一点 a， 这个定点的坐标呢，是负二的 二，那么此时要去找从动点的旋转中心的话，我们就可以把 a、 c 这条线段绕点 a 去顺时针旋转六十度， 有大概可能在这里啊，我写的是个 c 撇，那此时 c 撇就是 m 点它的运动轨迹的圆心了，那此时 m 点就应该绕着 c 撇以半径为根号五运动的圆的轨迹，那此时它的轨迹应该是长这个样子的， 我简单的画一下，好吧，也就此时我们发现它和我们的抛物线一定会产生一个交点，那这个时候，此时 m 点 和 n 点，他们两个就能够构成我们的等边三角形了，这是利用了我们的刮动模型啊来，所以圈三就是正确的，考试的时候判断到这里，我们直接选择 a 选项就可以了。但在这里呢，我们还是细致的把圈四去说一下它为什么是错误的， 还是把这幅图我猜一下来圈四说的是什么呢？说以零动二分之三为中心的线段啊， m n 它有两条，我们把零动二分之三点出来，它在这里。 哎，我们说一条线段，它的中点是零度二分之三的时候，我是不是可以说这条线段的它是以零度二分之三做中心对称存在的？ 那现在我们非常清楚的知道，我们刚刚提到说 n 点是在 g 二上移动的，那我可不可以说根据这个 g 二去找 m 点的运动轨迹呢？那因为 g 二它是这样一个圆弧，那 n 点的运动轨迹不就是关于这个零度二分之三去做中心对称的 这样的一个远弧的轨迹嘛？你说如果此时存在以零到二分之三为中心的 m n 线段的话， m 应该在我底下新画的这条轨迹上。那你看这条轨迹跟我们抛物线是没有任何一个焦点存在的， 所以圈四选项它是一个错误的。那因此啊，这道题我们在考试的时候肯定是快速的去判断，快速的选择，但今天每个选项，每一个呃，结论我们都进行了分析，细致的分析，那相信大家一定是可以能够去理解的。所以第八条是选 a 选项的。

哈喽，大家好，我是苏老师，今天我们来讲解二零二六年海淀一模的数学试卷，大家呢，听一听苏老师的讲解，跟其他老师讲解到底有哪些不一样？好，废话不多说，我们把海淀一模一些压轴题给大家去讲解一下。 我们先来看一下第八题，选择压轴题，如图，在平面直角坐标系 x o y 当中， a 点负二， n 是 抛物线， y 等于二分之一 x 方上的一点，以点 c 零一为圆心， c a 长为半径的圆， 与抛物线在第一项线相交于点 b， 抛物线与圆在点 a、 b 之间的部分分别记为 j 一 和 j 二， m n 分 别是 j 一、 j 二上的两个动点 m n 均不与 ab 重合。 给出下面四个结论，让我们去判断这四个结论到底哪个是正确，哪个是错误的。好，那我们先来看一下第一个结论，当 m n 垂直于 x o 的 时候， m n 长，最大值是根号五加一。 当 m n 垂直于 x o 的 时候，从 a 点出发，不断的向右平移，大概是这个样子， 这是 m 点，这是 n 点，那 n 点是不是在不断不断的升高呀？ m 点呢？是不是在不断不断的降低啊？也就是恰好在 m n 与 y 轴重合的时候，这个 m n 是 不是能够取最大呀？那我们通过一张动图，大家去感受一下， m n 不 断的平移过程中，是不是到了与 y 轴重合的时候， m n 最长呀？ 所以 m n 的 最大值是不是就等于 m c 加上 c n 又等于一，加上根号五。 c n 是 不是等于 ca 啊？是不是等于根号五啊？我相信第一个结论，大家是不是都能做出来，没问题，都能判断出来。好，那我们来看一下第二个结论， 若点 q 在 x 轴上，则在第一象限内存在一点 m， 使得四边形 a、 b、 m、 o， 它的面积等于三角形 a、 b、 q 的 面积。那我们是不是得把这个四边形跟三角形都画出来啊？ 好，画出来大概是这么一个样子，这时候呢，大家能够看出来，三角形 a、 q、 b 是 不是等于三角形 a、 o、 b 啊？ 这两个三角形是不是完全相等呀？因为底相等，高也相等，所以不管点 q 如何变化，这两个三角形是不是永远的相等啊？但是呢，四边形是不是又多出来一个三角形啊？就是是个三角形 b、 o、 m。 那 我们再通过一张动作，大家感受一下，不管点 q 如何运动，这两个三角形的面积是不是永远一样啊？所以呢，四边形正好又多出来， 那我们来看下面这个图，是不是我们就这样的结论啊，四边形的面积是不是等于三角形 a、 b、 o 加上三角形 m、 b、 o 啊？也就是这个绿色三角形，再加上这个白色三角形它的面， 而三角形 ab、 q 呢？它是不是等于三角形 abo 啊？所以说它的面积能相等吗？是不是不能相等呀？所以结论二是错误的，我相信结论一，结论二，大家呢都能够轻松的判断， 那最关键的就是这个结论三跟结论四，那我们先来看一下这个结论三，说三角形 a、 m、 n 可能是等边三角形，那这时候大家就可以要分析了，那个 n 点在上面是一个运动的， m 点呢？也是一个运动的，是不是都不固定啊？那三角形 a n m 可能是一个等边三角形吗？ 是不太确定呀，肉眼可能感觉也许某个地方是不是一个等边三角形啊？但是你没办法真正的判断。那这道题该怎么求解呢？这就是苏老师的核心技巧，点就在这个位置。那我们来判断一下，首先 n 是 不是一个变化的，他在圆上运动， m 点呢？也是一个变化的，他在抛物线上运动，两个要素同时发生变化的时候，我们应该怎么办？ 这里的核心技巧点，我就可以先固定一个点，或者是我们先考虑一个点的变化，这时候呢，我就先不管点 m 在 哪，我先看看 n 点在哪，大家看 n 点是不是在 圆上运动呀？好，那第二个结论就是，一个是圆的轨迹，一个是抛物线的轨迹，那我问问大家，哪个轨迹更好确定呀？ 肯定是圆的轨迹，为什么？比如说圆我们可以拿圆规去画，但是我们抛物线你能画出非常精准的吗？ 是不是画出来我们只能通过描点法，然后大致的去描一下这个抛物线的形状，那圆的轨迹是一个非常确定的，那这时候我们应该怎么做啊？我就可以先不考虑点 m， 我 就只考虑点 n， 那 我就随便找一个 n 点， 他只要在这个圆弧上运动是不就可以了？这时候我以 a n 再做一个等边三角形， 假如说这个是 f， 大家看那三角形 a n f 是 不是一个等边三角形啊？那 n 点在不断的运动过程中，这个点 f 怎么运动啊？点 f 是 不是也在不断运动？而且 n f 满足什么刮豆原理，听过苏老师讲解的时候都知道刮豆原理讲究什么，是不是三 d 啊？ 定点 a 点，定角六十度，定边 a n 比上 af 等于一比一，所以它就满足刮到圆，那 n 点的运动轨迹是一个圆，那 f 点的运动轨迹呢？是不是肯定也是一个圆啊？所以呢，就下面这张图，那大家看一张动图，点 n 在 圆上运动的那点 f 呢？ 是不是也是一个圆啊？而且它们的圆大小是一模一样的，满足刮到圆里。 好，那我们再把这个图给大家画一下，那就是下面这种结果，刮到我眼里，如果轨迹是圆，应该怎么做？先找圆心，再求半径。那圆心怎么找啊？我先连接 a c， 然后再做一个等边三角形，这时候这个一点就是我们要找的新的圆的圆心，因为它满足刮到我眼里， 找到圆心，半径又相等，所以我们就以 e 点为圆心， e a 为半径，我们再画一个圆，这个红色的圆再跟抛物线有交点，那就是这个 f 点，其实就是咱们求的这个 m 点，那此时 a n m 是 不是就是一个等边四角形啊？ 所以说呢，结论三是正确的存在，等边三角形 a m n。 那 这道题的核心精髓点在哪呢？第一个就是 m 点， n 点都是变化的，我一定要先固定一个要素，先考虑 n 点，不考虑 m 点。第二个呢， 我是以抛物线的轨迹去寻找呢？还是以圆的轨迹去寻找呢？当然是以圆的轨迹行，因为圆的轨迹我很好判断，所以我就寻找了是 n 点，而不是 m 点。我找到了 n 点以后，我去寻找这个 f 点，我发现 f 点也是一个圆， 然后呢，我寻找这个圆跟抛物线到底有没有交点，那有交点，那这个点就是 m 点，就是我们要求的这个点，所以它自然而然就是一个等边三角形，所以呢，第三个结论是正确的， 那我们再来看一下。第四个结论说以零二分之三为中心的线段 m n 恰有两条，哎，那我们来看一下这个 m 点在这 n 点呢？我也不确定可能在这，哎，它们可能是在零二分之三吗？ 如果肉眼我们是不是也观察不到？没办法判断，因为太多太多的条件了，也许某一刻真的就有 m n， 它的终点是不是零二分之三呀？那么这个时候我们应该怎么去判断？还是跟第三个小问是一模一样的？ m 点， n 点都是运动变化的，我先固定一个点， 那这时候大家是不是知道了固定哪个点，固定 n 点， n 点，我找到了他们的中点呢？零二分之三，哎，我记成 h， 那 是不是连接 n h 啊？然后再延长一倍，好，那这个是不是就是 n 一 撇啊？这时候呢， n 点跟 n 一 撇的运用轨迹是不是也是个圆弧啊？是不是也是这么一个情况？ n 点的原型是零一，那 n 一 边原型就是零二。大家再通过一个动图，大家去观察一下， 当 n 点在原上运动的时候，那 n 一 撇，它是它的运动轨迹，是不是也是一个圆弧啊？同样满足刮斗原理，那这时候大家看这个圆弧跟抛物线有交点吗？是不是没有交点？所以说它存在 m n 呢？是不存在？ 刚才我们说的结论三是不是有焦点，所以它存在，那结论四呢？是不是就不存在呀？所以说结论三，结论四用到的都是刮豆原理， 而且你要寻找的是固定 n 点，寻找另一个点的运动轨迹与抛物线是否有焦点，有焦点就是我们要找的没焦点就没有，所以说第四问 是不是就不存在这样的线段？ m n 啊的终点是零二分之三，那这道题是不是显而易见的就选 a 啊，只有一和三是正确的？听到这里，我相信大家对这道题是不是就非常非常的清晰了？ 那很多同学是不是听出来不一样的讲解了？有的老师可能就没有讲这样的方法，只是大概的或者粗略的去判断了一下，并没有像我这样进行分析。 当然了，如果考试的时候你想不出来，你可以哎，凭借自己的判断去分析啊，去拿捏。但是在平时做题的时候，一定要把真正的原理学深悟透。那有的老师呢，可能是按照我这个方法去讲解的，但是呢，他没有梳理到 我所讲的核心技巧，那我们再把核心技巧再给大家去巩固一下。那这道题呢，其实就考察了两个核心技巧。第一个核心技巧是什么？就是我们在找轨迹的时候，一定是圆的轨迹，要比抛物线的轨迹更容易寻找。 所以说呢，我们选 n 点，而不选 m 点，它的关键精髓点就在这，那这是第一个。第二个呢，就是当两个要素同时发生变化的时候，一定要先固定一个要素去解题。 这里面我们就是抛弃掉 m， 我 们只寻找 n， 我 们找到了 n 点，然后通过刮斗原理，我们去找另外一点，第三小 n， 我 们找到的这个 f 点，它的运动轨迹也是一个圆， 他跟二次函数有交点，所以存在。那第四问呢？我们找的是 n 一 撇，我们发现 n 一 撇的运动轨迹也是一个圆， 但他跟二次函数没有交点，所以他不存在。那这道题是不是就答案就出来了？一和三同学们，我讲到这里的目的不是为了让大家或者会做这道题而已，而是真正的你能够把 这两个核心技巧掌握了。当然呢，这些核心技巧掌握背后，你是不是还要有一定的几何功底啊？比如说刮豆原理，那你一定要会，你一定要知道刮豆原理三定定点、定角、定直， 你一定要会去找圆心怎么找，半径怎么找。好了，这就是苏老师的全部讲解，欢迎大家呢，多多跟着苏老师一起来学习，今天的讲解就到这里。

哈喽，大家好，我是苏老师，我们今天来讲解海淀一模原宗这道题，来听听苏老师的讲解跟别人有什么不同？ 那我们一起来看一下这道题。如图，以线段 ab 为直径作半圆，圆心为点 o， c 为半圆外一点 c， a 垂直于 abd 为半圆上溢于 a 的 一点，且 cd 等于 c a。 第一问，让我们求证 c、 d 是 半圆的切线。好，那大家看到两个关键词就是这个切线，如果遇到了切线，我们第一步要干嘛？是不是就要把这个切点 d 跟圆心连接起来，也就是连接 o、 d？ 大家看下面这张图，我是不是顺理成章就把 o 跟 d 连接起来？题目告诉我们， c、 d 等于 c， a 等于 o d， 那我自然而然就让想到把 c 跟 o 连接起来，那这两个三角形是不是就是一个全等关系啊？那既然全等关系，那这个角 d 是 不是也等于 九十度？那 c、 d 自然而然是圆的切线？好，那第一问，是不是相对来说比较简单呀？我们来看下这个第二问，很多同学卡在了第二问上， 耽误了特别特别多的时间，结果把起宗带宗跟姓李全部压缩的没有时间去做了。那我们来看一下这道题究竟难不难，那它的解析技巧在哪？第二问，取 b、 d 的 终点 h 连接 o h 并延长交弧， b、 d 与点 e 连接 a， e 交 b， d 于点 f。 若三根 b 等于五分之三， c， a 等于五，求 d f 的 长度为多少？那我们先把这个图给大家画出来，它大概是不是长这个样子？ 那我们来看这道题是不是有非常多的条件，又是 b、 d 的 中点 h， 又是连接 o， h 相交于点 e， 然后又连接 b， d 交于点 f， 告诉了你一个三角角 b 等于五分之三， 又告诉你 c， a 等于五，让你求 d， f 的 长为多少。那看到这道题这么多的条件，首先大家第一反应是不是有点蒙啊？不知道该如何下手？那这种题我们究竟应该如何去分析呢？那我们一起来看一下。 我们前面给出了这么多的条件，那大家知道这些条件的精髓点在哪吗？首先最精髓的点就是在这个 sin 角 b 等于五分之三，我为什么这样说呢？那大家来分析一下，给了我们一个非常关键的要素，就是这个 sin 角 b 等于五分之三，它究竟意味着什么？ 那我们来看三角 b 在 哪？大家看三角 b 是 不是在这角， b 是 不是在这？好，那 ab 是 直径，那我是不是应该想到直径对应的角是一个直角啊？那我就把 ab 连接起来， 那三角形 abd 是 不是就是一个直角三角形啊？又因为三角 b 是 五分之三，那么是不是就意味着三角形 abd 它的边的比例是不是就相等了？是不是三比四比五呀？所以呢，我们通过三以 b 我 们得出什么结论？就意味着在直角三角形 a、 b、 d 当中， a、 d， d， b 还有 ab， 它们的三边比例是不是固定啊？也就是三比四 比五，也就是说，如果我固定 a、 b 不 动，那点 d 在 圆上，它这个位置是不是也就不能再移动了？好，那如果题目没有告诉我们三引角 b 等于五分之三，那点 d 是 不是可以在这啊？大家看点 d 是 不是可以在这啊？我记成 d 一 是不是也可能在这啊？ 第二是不是都有可能啊？这时候恰恰因为题目告诉我们了，三引角 b 等于五分之三， 所以呢，三角形就固定不动了，只有可能是图上这种情况。好，那我们接着来看，那既然这个图形固定了，那还有哪些图形固定？如果点 d 固定不动了，那线段 b、 d 是 不是也固定不动了？那后面紧跟着 h 点 e， 点 f 点是不是都固定不动了？ 那也就是说整个图形全部保持固定，这是一个非常重要的核心技巧，大家一定要注意， 给了我们一定的条件，其实这张图无论 ab 变大还是缩小，整个图形都保持固定不变了，那也就是说明图形当中的线段比例也是固定不变的， 只是说它大小可能有缩放，但是呢，这个图形就长这样了，他们图形当中的所有线段的比例也就是固定了。好，那这个时候 图形固定，那我们再来看题目，其实也就变了，它变成了什么呀？让我们求 ca 与线段 d、 f 的 比例关系，那题目告诉我们 ca 等于五，让我们求 d f， 如果这个时候题目告诉我们 ca 等于十， 那我们是不是一样能求出 df 啊？或者呢，告诉我们 df 等于五，哎，让我们求 ca 的 长是不是也可以啊？或者是题目给出 ca 等于五，不是求 df 了，让我们求 e f 的 长，哎，道理都是一模一样的， 大家看这种题，你以后慢慢的就会越来越熟悉这道题呢。其实让我们求整个图形线段的比例关系，任意给出一条线段的长度，那我就能求出另一条线段的长度，所以北京中考呢，在原宗方面，他基本上都是考这类题型。 告诉你一个图形给了你非常多的条件，其实也就是让你找他们线段之间的关系，所以知道了这一步，你再去求解就会变得非常非常容易。那我们具体来看一下， 好，那就是给了我们这么一个固定的图形，剩下的我们就要求解就可以。这时候呢，设置未知数的时候呢，大家也一定要非常巧妙的去设置。很多同学设置有个 ab 等于 x， 或者说 ab 等于 a 去求解，那这里呢，我为啥要设成十 x 呢？ 那是因为十 x 对 应的就是六 x 和八 x， 那 八 x 和六 x 是 不是还能分啊？比如说大家看 o c 是 不是垂直于 cd， 那 这是不是三 x， 这是不是三 x？ 那 同理的 h 又是 db 的 中点，那这是不是就是四 x 啊？我是不是还可以细分啊？ 不然你就带分式了。所以说呢，大家射的时候一定要巧妙，我就射 ab 等于十 x， 那 ad 等于六 x， b 等于八 x， 那 同样在三角形 o b、 h 当中，这个小的三角形当中，那 o b 是 不是等于五 x 呀？ h b 等于四 x， 那 o h 呢？是不是就等于三 x 呀？这就是我们设 a b 是 十 x 的 好处，是不是每一个都是整数呀？好，那我们接着来看， o h 是 三 x， o e 呢？又是半径是五 x， 那 e h 是 不是就是二 x 啊？ 这时候呢，我们再找到了一组八字模型的三角形相似，也就是三角形 a、 d、 f 跟三角形 e、 h、 f 这两个三角形是一个八字相似，也就是图当中的 红色的三角形跟绿色三角形，那既然相似了，那对应边是不是得成比例啊？所以 a、 d 比上 e、 h 是 不是就等于 df 比上 f h， a d 等于 六 x e h 呢？等于二 x， 那 是不是就等于三比一啊？那也就说 df 比上 f h 等于三比一。又因为总长 d h 等于四 x， 所以 我就知道了 df 是 不是等于三 x， 那 大家看 df 等于三 x， ab 又等于十 x， 那 我是不是就知道了 df 跟 ab 的 一个关系啊？好，那我就剩下的我就看一下 ca 究竟等于多少？ 又因为 c o 是 不是垂直于 a d 啊？ d， b 呢？也垂直于 a d， 所以 就有了 c o 平行于 d b， 那 这个角 a、 o、 c， 它是不是跟角 b 是 一个相等的？所以 sin 角 b 是 不是等于 sin 角 a、 o、 c 它也等于五分之三？我们前面又设了半径 o， a 是 不等于 五 x 呀？那我是不是利用三角函数就能求出 c a 等于五 x， 再乘以四分之三，也就是四分之十五 x， 题目告诉我它等于五，那我是不是解得 x 等于三分之四啊？那 d、 f 是 不是就等于三倍的 x 是 不是等于四啊？ 所以说，这道题呢，精髓点在哪？还是让我们求比例的关系，通过我们设置未知数，我们知道了 a、 b 是 不是等于十 x 呀？那我就知道了 d、 f 是 不等于三 x 呀？ c a 呢？是不等于四分之十五 x 呀？ 所以说呢，他们的比例关系我是不是就全部找到了？这道题你不管，让我告诉我们四 a 等于几，我们是不是都能够求出来 d， f 等于几啊？或者求出 e、 f 等于几？你只要把他们之间的所有线段比例关系找到了， 四、 a 等于多少，其实只是让我们求具体的值而已。好，那这道题我们是不是就讲解完毕了？ 那么我们做题呢，一定要掌握核心技巧， 对于你后面的解析帮助是非常大的。整个北京中考圆中呢，都不是特别难，那我们总结出来这么几个核心技巧。 第一个北京圆中解析呢，基本上就是圆的知识，再加上三角函数那圆的知识，比如刚才说的这个切线，哎，你要一定要把切点跟圆心连接起来，再比如说，知道了 ab 是 直径，那对应的是不是 角，是不是九十度啊？所以这就是圆的知识，加三角函数去求解。好，那第二个呢，遇到切线一定要连接切点跟圆心，一定要把这个 o 跟 d 连接起来， 再去求解。那第三个核心技巧点呢？通过已知条件，我们确定图形是不是固定，若固定，那它的线段比例也固定了，角度也固定了，这就是我们要找的已知条件。给了我们这么多，其实他的目的干嘛？就是要把这个图形固定住， 固定住以后，我们再根据比例巧妙设置未知数，方便求解。就比如这道题，我一定设 a b 等于十 x， 而不是 a， b 等于 x， 这样方便我们去求解，减少分数出现的可能性。然后最后一步呢，就是利用相似三角形或者全等三角形的关系，我们去求解线段比例，然后最终求得线段的长度为多少。 那这里面不管是相似三角形还是全等三角形？所有都讲解了十大模型，比如全等三角模型、对角互补模型、截长补短模型、 备长中线模型、相同三角形，比如说 a 字模型、八字模型、蝴蝶模型、十字架模型等等，这些基本的模型大家一定要熟记于心。好了，那海淀一模的原宗就讲到这里，这些核心技巧一定要熟练的把它掌握了。

那我们再来看下这个二十四题说如图， a、 b 是 圆的直径点 c 在 圆上 p 点为 b a 延长线的一点 角 a、 c、 p 等于角 abc。 第一问，让你求证 p、 c 是 圆的切线，既然让求圆的切线，那我肯定得把 c、 o 连接起来。这时候题目告诉我们什么角 a、 c、 p 等于角 abc， 那 我记着这个角一，角一是不是等于角二啊？ 那角二是不是又等于角三呀？因为 o、 c 等于 o b， 那 我记着这个角是角四，角二加角四是不等于九十度啊？ 那角一又等于角二，那角四是不是又等于角五呀？所以角二是不等于角一，角四等于角五，那角一加角五是不是也等于九十多？那所以角 p、 c、 o 是 不是等于九十多呀？所以 p、 c 是 圆的切线？ 好，那第一问，我们是不是证明完毕了？我们来看一下第二小问过，点 c 做 c、 h 垂直于 ab 于点 h， 那 我先把它画出来， 延长 c、 h 交远于点 d， 这个点是点 d。 若弧 c d 等于弧 bc， p c 等于三。求三角形 bc 的 面积，那我们来看一下弧 c、 d 等于弧 bc， 那 也就是告诉我们 c、 d 是 不是等于 bc 啊？那 c、 h 呢？ c、 h 是 不等于二分之一 c、 d 又等于二分之一 bc 啊？ 所以三角形 c、 h、 b 它这个直角三角形，那这个角二是不是就是三十度啊？那我就知道这个角是三十度，那角三是不是也是三十度？那这个角是不是也是三十度啊？ 角一等于角二，角一是不是也是三十度啊？又因为 ab 是 直径 ab 所对的角 a、 c、 b 是 九十度，那这个是不是也是 三十度啊？所以说三角形 o a、 c 它是不是就是一个 等边三角形啊？那角四是不是也是六十度啊？这都是六十度，那角 b 呢？三十度，那三角形 pcb 是 不是就是一个含有三十度角的等腰三角形啊？也就是三角形 p c、 b 是 不是三十度？三十度，那顶角是多少？是不是一百二十度啊？ p c 等于三，那 b c 是 不是也等于三？一百二十度啊？等到三角形边长之比是不是一比一比根号三啊？所以底就是 三倍的根号三。那我再做一个高，那 c h 是 不是等于 bc 的 一半啊？二分之三，所以三角形 p bc 的 面积是不是等于二分之一？底是三倍的根号三？高是不是二分之三啊？ 所以就等于四分之九倍的根号三。那这道题是不是就求解完毕了？

函数探求最后一问没有思路，考场上该怎么办？我们来看看二六年最新出炉的海淀一模函数探求问题，很多同学都难在了第三问，那结合魏宁老师的函数探求方法来看，这道题是如何拿满分的？这些都是小 case， 带你去看看大买卖，我们来一起看一下这道题。竹鞭呢，是我国历史悠久的经典传统手工艺术， 他说了要采用的是平边和脚边的传统系法，提升生产效率，引进机器人作业。他呢是把两种系法编写成了计算机的程序。我们来发现，他说了，他是 只采用一种编织系法，而且完成一件产品后是从头开始执行的。你看跟之前咱们电动车充电一样， 电动车充电是不是零到八十充的快，八十到一百充的慢，这倒也是一样的，是从头开始执行编织程序。 然后他说了是编织时间为 t 一 分钟，平边的编织面积和脚边的编织面积构成了一个函数的数据，那 t 一定就是时间， s 一 呢一定是平边，咱们来标记 s 二呢，一定是狡辩。据往下看，他说了，根据通过分析的数据呢，可以发现函数刻画的 s 一 t 和 s 二 t 之间，其中他说了 s 一 t 是 可以是近四用，正比例的函数图像刻画近四用。所以这就是维尼老师说的，首先我们要搞清楚背景，也就是说他在以什么背景下说出这个事情。第二我们要读懂题目以及他运行逻辑。 哎，他分为了平边和角边，而且分成了不同的函数数据，完成一件产品以后再重头编织。 除此以外，咱们还知道它 s、 e 和 t 的 关系构成了正比例函数的刻画，这是我们从题中获取到的有效的清晰点。那我们来看第一问表中 m 的 值，那我们可以看到 m 的 值应该是在这块， 这个值也很规律，那零点五到一呢，可以看出来它都是一点二，对不对？ 一到一点五呢，一定也是一点二，一点五到二的是不是也是一点二？所以 m 呢，应该是三点六，正好符合一点二的区间。 那第二问呢？他说给出平面直角坐标系中 s 一 与 t， s 二与 t 的 关系，那我们只需要做的是一一对应即可，一定要把图像画的精细一些。 那我们把图画上以后，其实同学们第二问只需要把图画的标准即可，因为这个图像要影响咱们后面的判断。 看第三问，根据以上数据和图像解决一下问题，哎，我们又要知道了，是根据数据和函数图像 什么意思呢？就是我们又得根据表格，又得根据咱们刚刚画的一个图像来判断，对吧？那我们来读题，他说两个机器人分别用平边和角边共编织九厘米， 好，他们说同时开始编织，相差多少分钟，那我们就是一一对应。那外头的话，因为是在九分钟嘛，咱们直接划横，老师拿一个绿色笔画， 哎，那么很显然，这个 s 二角边呢，一定就是二点五分钟，对不对？ 那我们看一下，那 s 一 呢？平边它下来我们是可以看到的，它又像三点七，哎，又像三点八， 是不是也判断不出来啊？但是他说了，要结合数据与函数图像，咱们已经知道了 s 一 和 t 的 关系是近似于正比例的函数，所以呢咱们需要去把它的解析式给计算出来，咱们可以列式，那么 s 一 呢？ 比如说等于 k， t 带入进去啊，咱们把一点二带进去，当它为一点二的时候，那么这个 t 呢，是用了零点五分钟求 k， 那 么可以求出来 k 就 等于五分之十二， 那么这个时候咱们就知道 s 一 的解析式其实就是 s 一 就等于五分之十二 t， 那咱们把九带进去就等于五分之十二 t， t 呢就等于三点七五分钟，那么这个时候我们就知道了，用三点七五减去二点五，是不是等于一点二五分钟啊？ 所以这道题就出来了，他其实相差的时间是一点二五分钟。来看圈，该工厂接到一批补购订单，他说了需要平边产品是二百件，脚边一百件，面积都是为十二。 他说那机器人从 a 编织到平编，机器人 b 呢？也编织脚编工作一段时间后， b 发生了故障，无法工作， a 完成所有平板产品后，调整为脚编程序，接着机器人 b 的 进度进行了脚编产品 完成所有产品以后呢，总面积 a 总面积是三零五二， 时间忽略不计，那我们看一下 b 出现故障大概用了多长时间，那么这个就跟哎一元二次方程方程应用问题是不一样的，这个时候别着急，咱们首先把条件先罗列起来， 咱们可以先哎，那红笔写，那 a 平面呢？首先 a 的 平面， b 是 角面，对吧？咱们把条件先罗列， a， 首先它平面完成以后，那么 b 呢？ 他是机器损坏停下了，那么 a 呢？继续他本来角面的变成了 ab 的 剩下的角面，所以呢，他最终一共做了是三零五二， 哎， dm 平方，那我们继续看剩下该怎么计算， 那就是把 a 总共先做了多少平方分米先做出来，那一定就是二百乘以十二件，他是应该是二两千四百 平方分米，那么 b 剩下的呢？那就是用总共的三零五二减去两千四，对不对？同学们，所以是六百五十二 平方厘米，那么六百五十二除以十二吧，应该是，哎，除以十二，那也就是他剩下的其实还剩了五十四点三个件作品，所以应该是五十四又三分之一件。 那我们来看一下他 b 角去，那应该就是他把剩下的减去以后，是不是他已经做的商品啊？所以就一百减去五十四又三分之一，就等于四十五分，四十五又三分之二减， 那么这个时候我们来看一下，当他做一个十二平方厘米的时候，我们可以看到他用的是一个多少分钟？三分钟，所以这个时候我们先拿四十五乘三， 也就等于一百三十五分分分钟，对吧？那同学们就问了，他说为什么老师为什么不把这三分之二直接都乘进去啊？ 为什么？同学们，这就是我们老师一直要说的，搞清背景和运行逻辑，也就说他说完成每一件产品以后，从头开始执行编织程序，所以我们就得看一下那三分之二的话乘以十二 平方厘米，也就是说可以知道他一共编织的是八平方厘米，对不对？所以说他八平方厘米的话，咱们来看一下这个表和图结合， 那八在这里是不是那二到二点五是一个零点五的区间，那么六点二乘以到九是一个二点八的区间，这个咱们通过除法去计算分配过来呢，应该是二点四， 所以说他做八平方厘米的时间呢，是二点四厘米，应该就是一百三十五，加上二点四就等于一百三十七点四分钟，这 也就是他大概工作了多长时间，是一百三十七点四分钟，但是老师告诉你的是，答案是不唯一的，你比如说那能不能把它当成二点三呀？也可以，但是啊，你的差值不能差太大。 好，那这道题老师就已经讲完了，咱们来回顾下这道题。第一，很重要的是一定要搞清背景，读懂运行逻辑， 也就是说你看到这道题的时候，你首先得分析出来这道题是以什么样的环境下告诉咱们些什么东西，咱们应该去如何运算。第二，要做到去一一对应。 首先就是图像与数据结合的时候，图像不清晰，一定要根据一个条件，哎，有一个正比例函数的刻画，以及根据数据之间他们的差值分布去计算。 第三，一定要相互检验，也就是说他两两方核验没有问题才可以算成功。好，那这道题就讲完了，大家觉得有收获吗？如果你听懂了，可以给大家，给老师点一个爱心。嗯，那咱们下道题记得点赞关注哦。

这是二零二六年海淀区初三一模。第二十八题是考察新的压轴题。在平面直角坐标系中，对于图形 g、 图形 r 和直线 l 给出如下定义， 若图形 g 上存在点 t， 记在直线 l、 y， 使得图形 r 上至少有 k， k 大 于零个点到直线 l 距离以点 t 到直线 l 的 距离相等，则称图形 r 为图形 g。 关于直线 l 的 k 等距图形。 当看到拗口的新定义时，可以画草图复制分析。图中图形 r 中有四个点到直线 l 的 距离等于点 t 到直线 l 的 距离 k 等于四，所以图形 r 就是 图形 g 的 四等于图形。 第一问，已知点 a t 二 t b 一 一五 b 二负二分之一零 b 三三三。 第一想问，当 t 等于二时，在线段 o b 一、 b 一、 b 二、 b 三中，哪条线段为点 a。 关于外轴的 k 等距图形，其中 k 的 值为多少？当 t 等于二时，点 a 坐标为二、四，所以点 a 到外轴的距离为二。 然后在图中画出线段 o b 一、 b 二、 b 三，看看哪条线段上有到外轴距离等于二的点，有就是 k 等距图形。 先看 o b 一 线段 o b 一 上的点到外轴的距离最短的点是 b 一， 距离是一，小于二，所以 o b 一 不是点 a。 关于外轴的 k 等于图形。线段 b 一、 b 二到外轴的距离最大的点也是 b 一， 也小于二。线段 b 一、 b 二上不存在到外轴的距离为二的点，不是点 a。 关于外轴的 k 等于图形。 再看 b 二、 b 三，从图上可以看出现段 b 二、 b 三上存在一个到外轴距离为二的点，这个点不用算出来，所以线段 b 二、 b 三为点 a 关于外轴的 k 等于图形，其中 k 的 值为一。做完第一小问，我们对 k 等于图形就要了解了。 第二小问，若线段 b 一、 b 二为线段 a、 b 三关于外轴的二等距图形，则 t 的 取值范围是什么？ 因为线段 b 一、 b 二为线段 a、 b 三关于外轴的二等距图形， k 等于二。根据 k 等于图形的定义说明，线段 b 一、 b 二上至少存在两个点到外轴距离相等。从读中可以看出来，这个距离不能太大，如果是一的话，只有一个点到外轴距离等于一。 线段 b 一、 b 二与外轴相交，只有两侧都有相同距离的点才能满足要求。线段的端点 b 二离外轴近一些，到外轴距离等于二分之一。外轴右侧也会有一个点，到外轴的距离等于二分之一。 当到外轴距离大于二分之一时，只有一个点。所以当到外轴的距离小于等于二分之一时， b 一、 b 二上会存在两个点到外轴距离相等，这个距离大于零，小于等于二分之一。 所以线段 a、 b 三上要存在到外轴距离小于等于二分之一的点才可以。所以 a 点的横坐标 t 要小于等于二分之一。 当 t 再小时，点 a 继续向左移动，线段 a、 b 三上也会存在到外周距离小于等于二分之一的点，所以 t 小 于等于二分之一。 第一问并不难理解，通过画图理解就能找到答案，同时也对 k 等于图形的定义比较熟悉。 这道题的难点在第二问已知，直线 l y 等于 x， 坐标为 s， a 半径为一。 若存在实数 s 以及圆 c 的 弦 m n， 使得任意以点 s e 为中心且边长为根号三的等边三角形 p、 q、 r 均为弦 m n。 关于直线 l 的 三等距图形，直接写出 a 的 值范围。题干中提到的元素比较多， 画图辅助分析。直线 l 是 y 等于 x， 是 一三象限的角平分线与 s 轴外的夹角是四十五度。设等边三角形 p q r 的 中心为点 o 一， 坐标为 s 一， 所以等边三角形 p q r 在 平行 x 轴的方向上平移，圆 c 半径为一，圆心 c 的 横坐标与 o e 相同，随着 o e 一 起平移，但是圆心 c 的 可以单独上下平移， a 是 圆心 c 的 纵坐标，求 a 的 范围就是求圆心 c 上下平移的范围。题干要求等边三角形 p q r。 关于直线 l 的 三等距图形， 如果三角形 p q r 在 直线 l 一 侧，无论三角形 p q r 如何放置，如何围绕中心 o e 旋转，都不会出现三个到直线 l 的 等距点。所以等边三角形 p q r 与 y 等于 x b 相交。 如何确保等边三角形 p q r 与 y 等于 x 相交呢？当一个角在直线 l 另一侧时，三角形与直线相交，但是当三角形旋转时，就可能不再相交了。 如何保证等边三角形 p q r 一定相交呢？当三角形一边与直线 l 重合时，无论三角形再怎么旋转，三角形 p q r 肯定会与直线相交。 这时候三角形 p q r 的 内切圆圆 o 一 与 y 等于 x 相切。也就是当三角形 p q r 的 内切圆圆 o 一 与 y 等于 x 相切时，三角形 p q r 与 y 等于 x b 相交。 因为等边三角形 p q r 边长为根号三，所以内切圆半径 r 等于 e， o、 e 等于二分之一，这个比较好计算。下一步，我们再找各点到直线 l 等距离的范围， 设各点到 l 距离为 d。 从上一问可以知道，距离 d 大 于零，没有最小值，但是有最大值。这个最大值是多少呢？ 设与直线 l， 距离为 d 的 直线为 l 一 和 l 二，分别在直线 l 两侧，这两条直线上的点到直线 l 距离都相等。移 动圆 o 一， 当圆 o 一 上与 l 一、 l 二至少有三个交点时，就满足三等距图形的要求了。 当然也可能出现四个焦点，什么时候这个距离 d 能取得最大值呢？当一条直线与圆相切，另一条直线与圆相交，就会出现最大值了。 当 l 一 过圆心 o 一， l 二与圆 o 一 相切时，这是满族至少有三个焦点的最大距离，这时最大距离 d 等于二分之一， r 等于四分之一，所以 d 小 于等于四分之一。 极干中圆 c 的 弦 m、 n 是 一个干扰信息，无论弦 m、 n 在 什么位置，只要存在一条弦，满足要求即可。在圆 c 在 外等于 x 上方时， 当圆 c 与 l 二相切，切点既满足到直线 l 距离 d 等于四分之一，这时就是圆 c 的 最高位置。 过 c 做 c f 垂直 l 一 与点 f 连接 c o 一， 所以 c f 等于圆。 c 半径一加圆 o 一， 半径 r 等于二分之三 角 f， c、 o e 等于四十五度，所以 c、 o e 等于 c f 除以 cos 四十五度，等于二分之三倍根号二，所以 a 的 最大值等于 o e 的 动作标一加上 c， o、 e 等于一加二分之三倍根号二。 在圆 c 在 外等于 x 下方时，当 l 二过圆心 o 一， l 一 与圆 o 一 相切时，圆 c 与 l 一 相切， 满足三等距图形的要求。 a 的 最小值等于一减 c， o 一 等于一减二分之三倍根号二，所以 a 大 于等于一减二分之三倍根号二。 这道题结合新定义，考察了远与直线的位置关系。数形结合分析最值问题，计算不难，但是对数学综合能力要求很高，希望冲刺满分的同学能够多多练习。

这道题是海淀一模刚刚结束的圆综合真题，百分之九十五的孩子啊，拿不到满分。好同学们，我们来看题啊，他说如图啊，以这个 a、 b 为直径做这样的一个半圆，然后圆心是这个 o， 他 告诉我 c、 a 和 a、 b 是 互相垂直的，所以这个角它应该是一个直角。 然后告诉我 c、 d 这个线段和 c、 a 这个线段它应该是一个相等的关系啊，这两条线段相等。然后第一问让我们去证 c、 d 是 半圆 o 的 切线，那么第一问的话，我们其实可以通过点叉标图持续传染，把它秒杀。因为 ab 是 这个半圆的直径，所以我们选择把 ab 给它连上， 咱们连接 a、 d。 好， 那么这时候我们能够知道这个角 a、 d、 b 它是一个九十度，因为直径所对的圆中角它是九十度嘛。那么下面让我们正 c、 d 是 半圆 o 的 切线，那么如果它是切线的话， d 就 应该是切点，所以见切点，我们可以把这个线给它连上，连半径正垂直就可以了。 所以接下来只要我能够证出角 c、 d、 o， 它是一个九十度，也就说这个角它是一个九十度。哎，咱们第一问就做完了，那么接下来我们就说这个角是一个点角，那这个角就是叉角点加叉是一个九十度， 因为 ca 和 cd 相等，所以这个角它就是一个叉角。好，同学们，这不是因为这个点加叉是九十度，所以这个点加叉就是九十度。我们第一问啊，咱们就做完了，接下来我们来看第二问啊。第二问说取这个 b、 d 的 中点 h， 注意他是中点，然后又过这个这个圆心 o 啊，所以呢，他就可以用这个垂径定力，然后并延长交这个圆弧于点一弧 b d 于点一，那么这应该是一个直角。朋友们，那这个角度他应该也是一个直角，接下来是连接 a e， 下面他告诉我说三 b 等于这个三比五，也就说这个角是直角，这个角是叉角，所以这个角呢，他就是点角。 那么这个题的突破点就在这，同学们，你就记住啊，所有跟这个就这个点角相等的角，它的三角函数值应该都是一个三比五的关系。然后他告诉我 c a 这个长等于五，让我去求这个这相交于点 f， 求这个 df 的 长度， 那我们如果想要去求这个 d f 的 长度，咱们看看咱们能得出啥啊？朋友们，我如果想用 c a 这个线段的长度，我得把它放在这个跟这个点角相关的，所以呢，我得放在一个直角三角形当中，那我们现在没有这样的一个直角三角形，所以我们选择去连接 o c， 好，那么当 oc 连完之后呢，我们应该能够发现一个事情，就是 c a 等于 cd， o d 等于 o a， 那 么这两点确定一条直线，所以这一定是互相垂直的垂直平分。咱们这个点，比如说设一点 q 啊， 所以我能知道 a q 这个线段和 q d 这个线段相等 oc， 它应该是这个 ad 的 垂直平分线。 ok， 那 我们继续啊，朋友们，所以接下来呢，我们看一下怎么去用，我是不是就可以找到所有这个点角，所以这个角是点角，那这个角呢？他应该是一个直角，所以这个角朋友们，他应该是一个点角， 那么根据这个角是直角，这个角是叉角，所以这个角就应该是一个叉角，朋友们，这个角是直角，这个角叉角，所以这个角就是一个点角， 所以同学们我们就发现一个事情啊，你来看啊，在这个图形当中，就是这个角点加叉，它应该也是个九十度。 ok， 那 下面呢？我们来把这个表示一下啊， 应该是在这个 r t 三角形 a q c 当中，我们来看一下这个点，也就是说 sin 角 c a q， 它应该等于的是塞阴地，然后应该等于的是三比五，那我们来看一下这个塞阴点角应该是对边比斜边，所以它应该等于的是对边，就是 c q 比上斜边， c a 是 五，然后应该等于一个三比五，所以立马可以去求出咱们的 c q 长五个 c q 等于十五嘛，所以 c q 应该等于三， c q 的 长度是一个三，那么由于 c a 是 五，所以我们知道 a q 的 长和 q d 的 长，它就应该是四， 所以接下来咱们这个 a q 等于 q d 应该等于四啊。 好，那我们又发现一个事，同学们直角直角，四个角都是直角，所以四边形 d h o q， 它应该是一个矩形，所以我现在能够知道 o h 的 长度也是四， o h 的 长度也是四，那么我们现在要想求的是什么呢？咱们来看一下啊，在这个图形当中，这个边长是四，然后这是五，这是三四五啊，那么我们能不能去求一下这个 o a 的 长， o 的 长，我们可以利用这个点角，同学们还还是用它的这个三角函数值，所以下面我们来表示一下三角 c o a， 它应该等于的是对边， 我们可以用在这个三角形 q a o 当中啊，这个对边是四，然后比上它的这个 a o， 然后应该等于的是一个三比五，所以 a o 的 话，它就应该等于的是三分之二十。那下面呢，咱们能够求出来这个 a o 的 长度是三分之二十，这个边就是三分之二十，那 ob 也是半径，所以 ob 呢，它也是三分之二十 o， e 呢也是一个三分之二十。你看一下，同学们，就是在这个图形当中，这是四，这是三分之二十，所以我能够根据勾股定律去求我们的这个，也就说这个 o q 的 长度。我们来算一下这个 o q 的 长度，它应该等于的是三分之十六。 o q 的 长度是一个三分之十六，所以 d h 的 长它应该等于我们的这个 o q 的 长度，所以应该等于的是 三分之十六。同学们，所以这个长呢？ h b 的 长也是三分之十六，这个长度它也是一个三分之十六。 好，我们现在要想去求这个 d f 的 这个长度。同学们，我们发现这个里边是你要想求这个线段长，那我们就可以去用相似或者勾股或者三幺函数，所以求线段长呢，在圆综合当中，要么相似，要么用勾股定律，要么用三幺函数。 所以我们发现一个事情，朋友们，这个角它应该是一个对顶角，然后还有我们的直角，所以这个有相似三角形，所以接下来呢，我们能够去得出那个相似 a、 d f 这个三角形 相似于三角形 e h f 这两个三角形相似，那么相似有什么用呢？相似三角形对应边去乘比例，所以我能够知道的是 a d 比上一个 e h 等于 af， 比上一个 ef 等于 df 比上一个 h f， 那么正好有我们要求的这个 df， 但是我现在想知道这个是三分之十六，然后这个 e h 这个长咱们能不能求出来呢？可以的，同学们，因为这个 o e 等于三分之二十， 所以我们算一下 e h 它应该等于的是三分之二十。注意啊同学们，是 o e 这个线段，它是三分之二十，减去 o h， 也就说减去一个四，所以 e h 这个线段它就应该是一个三分之八， 那么这两个三角形相似的话，它的相似比其实就出来了，我们现在应该能够知道 a d 的 长度是一个八，所以八比上一个 e h 就是 三分之八，它的相似比的话就出来了，然后应该等于，你要求的是谁呀？要求的是这个 df， 那有人说，老师，这个 h f 怎么办呢？我们可以设 h f 是 x， 也就说啊，咱们这里边啊，可以去设这个 h f 等于 x， 所以 接下来呢，我们设这个边长，它是 x， 就是 h f 是 一个 x， d f 这个长表示出来就应该是三分之十六，减去这个 x， 所以接下来我们看一下啊，咱们想表示一下这个 h f 的 长，咱们可以设这个 h f 等于一个 x， 然后那么 df 的 长，它就应该等于的是，这不是 d h 吗？ d h 长是三分之十六，减去一个 x。 好， 那下面我们要求什么呢？同学们，我们发现我们在这个比例关系当中就表示出来了， df 有 了 h f 是 x， 所以 ad 的 长它应该是一个三分之八， 然后应该等于的是你的 d f 就是 三分之十六，减去 x 比上一个咱们这个 h f， 咱们设的是 x， ok， 所以 咱们这里解出 x 就是 等于三分之四的 x 等于三分之四，那我们看一下 它的这个相似比，正好是一个就是就是八，比上一个就是三分之八嘛，也就说应该是八，乘上一个八分之三等于三比一，那么也就是说咱们这个 d f 啊，它应该就是占三份，所以这个 d f 它应该等于的就是三， x 应该等于的是三，乘上一个三分之四，所以应该等于四。好，同学们，那么这道题呢，咱们就解完了，所以大家看有没有学会呢？记得点赞关注哦！

hello， 朋友们，我们来看这道题，二六年罕见异模的一次二数综合，那它图像经过了二道号零和零道号负一，那两两一连立呢？ k 就是 等于二分之一， b 等于负一，这个很好算出来啊，咱们直接把它的式子列出来，也就是 k x 加 b 来。在第二问 他的底是 y 等于二分之一， x 减一，他说了小于二，这个 y 等于 m， x 减五，既小于 y 等于二， x 减一，又小于负三，这个咱们直接画图写， 还是要按照老师之前的方法来做就行。那因为他是小于二，所以咱们先把邻界值给标上，小于二的情况下，咱们就直接画一个邻界值出来， 画上操作的箭头，因为它若 m x 小 于五，别着急，先把后面两个图画上。那怎么画这 y 等于二分之一， x 减一呢？那应该就是当 x 等于零的时候， y 一定是等于负一， 那 x 等于一的时候呢？ y 应该等于负的二分之一，所以这样一连即可。 好，这样的话一定要标注上 y 等于二， x 分 之二分之一， x 减一，这样的话咱们方便去后边看啊。随后他说小于负三，所以咱们把负三也给他画出来， 也就是这根线绝对不能低于负三这条线上。那这个时候因为他说 mx 减五，咱们默认 m 是 四十五度，那减五一定是在下面喽，四默认四十五度， 那么如果是这样的话， y 等于 mx 减五，那这条线大家该怎么动啊？同志们， 他们说了，说这个 k m 三 k 对 不对？ k 一 共就考一个平行，还有考一个就是相交， 那我们就看一下吧，逐步移动来推断它最大值，最小值，那首先它说既小于二分之一， x 减一，那么这个点它旋转的过程当中 最大，哎，最大旋转是不是就跟它平行的时候，也就是 k 相等的时候，它以 m 也等于二分之一的时候， 它呢是横小于 y 等于二分之一， x 减一，知道几式的，但是你看它能不能再往下呀？同学们， 是不是可以的？哎，是可以往上，但不能往下，因为往下的话，它就有可能会变 比他大，对不对？那如果往上的情况下，我们再找找他的临界值呢？因为他是朝下的吗？所以说那往下的话，他这个 k 那 最大最大，他的 k 是 与负三有一个交点，那交点的话一定就是二逗号负三，因为咱们有横坐标了吗？啊， 与纵坐标连成的坐标轴，也就是二逗号负三，咱们直接带入进去， 也就是他临界值也就负三等于二， x 减五， x 就 等于一，这个时候咱们确认一下能不能取等啊？刚刚第一个二分之一，因为是平行的情况下，他是可以取等的。第二个相交的情况下， 因为大部分同学来说啊，他如果是小于二的话，范围如果不带等号，但结果就会带等号， 为什么呀？因为他是小于二，咱是以二为零界值做的，那这个一呢，也是以零界值做出来的取值，那结果呢？实际应用中，他是 x 小 于二，所以取值一定会小于二，所以他的值一定会比一小。这个一是满足题一的 最终答案呢，就是 one， 哎，这个 m 大 于等于二分之一，小于等于一。好，那咱们这道题讲完了，再梳理一下这个过程啊，也就是说这道题到底该如何去做？首先第一个， 建立平面直角坐标系，也就是说咱们所有的题，意思来说，很多同学你找不到，找不到，或者说你的取之范围取少了，或者说找不出来，那应该就是同一长度 建立之后做游戏。第二，标出来，你就像老师那样先把那二标出来，那你是不是知道一切的点平行或者香蕉是不是都在这个点进行呢？ 第三，要用铅笔画图像，为什么呀？因为很多函数啊，它的相差是比较小的，如果你拿黑色碳素笔的话，那很容易图像就标错了，那图像如果标错了，那就会导致你分析就会发生错误。第四， 咱们一定是要从右上方开始分析，什么叫右上方，也就是说咱们是肯定是先从上方这个位置往右下方开始分析，这样的话才是有序的分析，全面细致，不重不漏。第五，那转化不等式的后， 要核对三点，第一个，如果你确定，哎，我就是二分之一的情况下满足题是计小于 式子，又小于负三呢？第二，咱们通过上下平移函数，那你就看一下，那如果咱们说不能往上平移了，那是不是这就是最大值啊？那如果不能往下呢？那是不是最小值才能确定临界值最值的范围？第三， 一定要知道是否去等啊，一般取值条件不带等号，咱们结果就会带等号，以题中你一定要理解这个题。 第六， k 啊，因为这 m x 在 哪？在这个 k 的 范围上，那 k 是 怎么样不等于零的？那如果咱们说题中他算的，比如说啊，这 m 如果是大于等于负一呢？小于等于二呢？那这个时候咱们一定要注明 m 是 不等于零的，明白了吧？朋友们？ 最后一个，也就是说第一问一定要算准，如果第一问算不准，那直接导致后边就不会算对了，对不对？因为咱们都是以第一问的前提下去做题的。好，那这道题就讲到这。

大家好，今天呢给大家讲一下二六年海淀一模的一个原宗， 咱们的一些老粉丝可能知道啊，我之前呢已经讲过这个原宗的一些解析思路，最主要的是要从这三个方面去去着手去思考。第一个呢就是嵌套直角三角形，再一个就是平行，还有一个是三角函数， 那我们现在呢，光说不练假把式，我们现在呢，就通过这个二六年的这个模拟题来看一下怎么应用这些知识点。首先呢，我们先来看一下这个题目， 同学们呢要养成一边读题目一边做标记啊这种习惯，比如说啊，如图呢，以线段 a b 呢为直径，圆心是 o， 所以 我 a o 应该是等于 b， o， c 是 半圆外一点， c， a 垂直于 ab， c a 垂直于 ab， 这是一个 啊，直角，那请问 c a 是 应该是它的这个圆，半圆的是一个什么呀？什么线呢啊？是它的切线对不对？ d 呢是半圆上 e 与 a 的 一点切，且呢 c d 还有一个条件， c， d 是 等于 c a 的， 对不对？ 第一问看需要求证什么呢？求证呢？ c d 是 半圆 o 的 一个切线啊，求切线大家很熟悉啊，是考圆这方面最常考的一个送分的一个选项，求切线这一个，那这一题是怎么证呢 啊？要求切线，首先我们要连切点和圆心啊，也就是连我们的 o d， 这个时候啊， o a 应该是等于 o d， 那 c a 又等于 c d， 我 们假如说把这个 o c 给它连上， 所以说我们这两个三角形 a o c 和三角形 d o c 这两个三角形应该是什么关系呢？就是一个全等关系对不对？它是通过 s s s 来证的啊，这样的话呢，第一问呢，就证出来了，对应角呢相等，所以也是一个九十度的角， 这是我们第一问，那我们来看一下第二问啊，这个找到那 b、 d 的 中点 v h 啊，是我们先给它找到 连接 o h 并延长啊，交弧 b d 呢？与 e， 也就是什么意思呢？我们应该怎么做呢啊？连接上 o h， 然后延长，这个时候交点是 e， 那 基本上呢，线就是这样一个线， 那这个线呢？我们如果读这道题目呢？分析这道题目，我们可以知道 o h 和 b d 是 一个什么样的关系呢？它应该是一个 o h 垂直平分 b d， 对 不对？我们的依据是什么呢？就是我们的垂径定律啊， 我们再接啊，接下来看一下这个题目啊，连接 a e 啊，把这条线连接上，还有一个焦点呢，交是 b、 d 与 f 啊，哪个是 f 呢？就是我这个点啊，这个点呢，是 f 啊，这个又给了一些已知条件啊，三 b 这个小角啊，三 b， 找到这个角，它呢等于五分之三啊，常见的三角函数三四五的关系，又给了一个这个线段长度啊， c a 等于五 啊， c e 等于五，那我 c d 肯定也是等于五啊，我看一下怎么用，我需要求的是什么呢？求的是一个 d f 的 长 d f。 是 啊，这一段是我们的所求啊，基本上分析到这里，那大家看一下啊，这道题目，我还差一条什么线呢？ 我还差一条 a d 线没有连，对不对啊？我可以再连一下我这个 a d 线，连完之后，我就又出现了一个直角，那角 a d b 啊，这个角呢，也是一个直角， 并且呢 o h 这个也是一个直角，所以呢 a d 啊，和 o e 就是 一个平行关系，那我求 df 怎么求啊？一个呢？比如说放在直角三角形当中 啊，我看看呢，好求不好求啊，不好求对不对？那我这一个呢啊，有平行线啊，我们就需要用到平行线的这个一个关系，那就是我们的对应边乘比例啊， df 和 f h 啊，它的比呢，应该等于 a d 和 h e 它们那个比值，那 a d 和 h e 比值有没有办法算呢？我们看一下啊，三 b 应该等于 a d 比上 ab， 那 a d 可以 用半径来表，用直径来表示啊， a d 呢，应该等于 ab 乘以五分之三，也就是等于五分之六 r， 我 h e 呢， h e 不 可以直接求，但我 o h 是 可以求的， o h 应该等于五分之三二，所以 h e 应该就是一个五分之二， 那这样的话，那我 a d 比上 h e 知道了，就是三比一，对不对？然后所以我 df 呢，比上 f h 就是 也是一个三比一的关系，这样的话我就可以推出呢，我 df 等于啊，四分之三的 d h， 对 不对？这是一个我们的比例关系，那我们 d h 能不能求？ 我 d h 这个要求的话，我其实只需要求出来半径就可以了啊，它应该是等于五分之四的一个半径啊，三四五的一个关系，那半径怎么求呢？我所有的条件当中，只知道一个 c a 等于五，那我肯定要在这边给它求，对不对？那我看一下这个三角形 a o c 当中啊， 这个有没有办法求啊？这个角呢，和角 b 是 什么一个关系呢？它们是一个相等的关系，对不对？相等是怎么正的啊？是怎么正的，大家看一下啊，我 o c 和 a d 是 一个什么关系呢？ 也是一个垂直的关系，是不是啊， o c 垂直平分 a d 啊，所以呢，我 b d 啊，和 o c 其实也是一个平行的关系，这样的话呢，我同位角相等，所以我这个三 b 呢，等于啊， a c 比上 o c 等于五分之三，那我的 tangent b 啊，这求半径的是用 tangent b 啊，应该是等于 a c 比上 ao， 也就是一个半径啊，等于 三比四，这样的话，我就直接 a c 是 等于五的，所以我 r 可以 求出来，等于三分之二十啊，这样的话，那我 d h 可以 求出来啊，等于三分之十六， 那我这个 df 呢，就等于啊，再乘以三分之十六啊，也就是等于个四。这个过程呢，是我们分析题目的一个过程啊，是我们分析题目的一个过程。那有的同学说啊，分析我可以写，但是呢步骤我不太会写，可能写的不完整， 那这次呢，我也带大家来写一下这个步骤啊，我们看一下第一小问的证明， 首先把辅助线给它写上，连接 o d， o c 啊，有提一知啊，这几个是为什么知道呢？就是提一个是已知，一个是半径，一个是公共线啊，都很容易知道，所以三角形啊，两三角形全等，是我用的 s s s， 这样的话对应角相等啊，切线。 第一问呢，比较简单，第二问呢，也是啊，先写辅助线以提议呢，补全图形如图所示啊，连接了一个 a d， 把辅助线也给它说上。大家可能发现啊，我这个辅助线啊，这些线呢，会有一些区别，有的是实线，有的是虚线，怎么来区分？ 就是说，如果题目中让我们去做的这个线，或者是他给的已经画好的线，这些线呢，是确定的线，就是实线。 这些虚线呢，是我们为了解题方便所画的线啊，是为了辅助的啊，这些线呢，是用的一个虚线，是我们自己画的线，不是题目给的线，所以我们用了虚线，这是我们初中几何画线的一个方法。 然后呢，我们就开始步骤写了啊， h 为 b d 的 中点，然后所以它 o h 垂直于 b d， a b 为圆 o 呢，所以是 a d 垂直于 b， d 是 直径所的圆周角，所以呢， a d 呢，垂直于 o c， a d 垂直于 o c 是 我们的切线长定律。 所以呢， o h 啊，先给出来第一个平行，又给出第二个平行，是 o c 平行于 b d。 我 们在这个解例思路上呢，先起落这个半径的 r 啊， 转移了这个角角 b 啊，求弹性的 b， 求出来半径的 r 值，同时呢求出来 d h 的 值。这个步骤呢，是因为我们在分析的过程中，是是知道我们需要求 d h， 我 们直接求出半径之后求出来 d h， 那这样的话呢，我们啊，后面的呢，是证明的我这个 a d 的 啊， a d， 还有这个 o h， 包括 h e 是 怎么来用 r 来表示的？是有这样一个步骤，我求这个步骤是为了证明我这个 d f 啊，比 f h 啊，这个是四比一的关系，是为了证我的个关系啊，然后呢，证完关系之后，我直接得到这个答案，是因为我已经分析好了，我这个内在逻辑是这样的，我需要证这些东西，所以我才一步啊，一步给他这样写的， 这是我呢我的一个解题方法啊，通过我们可以看到啊，应用了这个切线这些啊，天然隐含的这些直角三角形，包括我们的平行线，它的一个对应啊，对应边成比例这样的一个关系。 还有我们啊正弦我们三角函数啊，通过它转一角，或者是给他表示为这个不同的三角形当中啊线段的一个比例， 这是一个小综合题目啊，其实还是有一定难度的，大家有好的方法呢，也欢迎去分享，这次讲解就到这里，谢谢大家。

刚刚考完的海淀一模试卷啊，我们来看一下这个原宗，我觉得因为我们之前从小到相册上已经得到了海淀的原宗，一定会加难度，但是我们今天其实做下来啊， 嗯，并没有加难度啊，反而还是中规中矩的，你看，当然也可能是咱们知道方法可能比较巧妙一点啊，但是难度确实不大， 我们来看一下条件，条件不多，已知第一个条件，它说它是个直径，我们看说我们看到直径就应该去做这个直角，对不对？好，直接有了好，那么下来就说 c a 垂直于 ab， c a 垂直 ab， 哎呦，目前我们已经有两个直角喽， 九十度，九十度，我们该想到什么了啊？我们该想到射源去传染了，对吧？啊，我们射这个是 r 方，这个是九十度减 r 方，这个是 r 方，这个是九十度。好，我们条件到这，我已经传染完了，已经把该得到的东西得到了， 我们 d 是 与半圆上异于点 a 的 一个点，显而易见啊，又告诉我们呢，这个 c a 等于 c d a， 我 们想到了这是一个切线，这个还相等，对不对？我们考虑到了什么？是不是切线长定力啊？ 当然这个角就是而法，然后他让我们第一问，证明 c d 是 切线一直一连啊，非常简单啊，这就是多少 等？腰三角形吗？底角相等，这两个角就相等，对不对？所以就出来了，这个角就是我们的 r 法。目前呢，我们把所有该传染的角都传染完了，我们看一下第二个啊，第一个比较简单嘛，他说取 b d 的 终点是 e h， 连接 o h 并延长出去交于点 e o h， 那 既然这个是终点，这个也是终点的呀，因为直径本来就会存在终点的嘛，那两个终点想到了什么？当然是中位线了，对不对？ 好，所以继续。那我们现在已经有中位线了，他现在又告诉我们连接 a e 啊，连接 a e， 这个点交于点 f， 那么条件又给了两个，一个是散币，同志们，散币是多少？散币是不尔法，那散币是五分之三，是不是代表着塞尔法也是五分之三呀？没错吧？好，那么目光所及，所有含有的尔法的角，全部他们的正弦值都是 五分之三。好，那我们可以到这里啊，基本上就大概了解了他要干嘛了，对吧？ z 等于五，来看一下条件啊，这个是五， 那我们根据刚才条件，这个什么也是我，对吧？好，那你要想一想啊，把这两个条件结合在一起。同志们，那我们是不是根据目前的最基本的方法，先去有比例关系，就设圆设角啊？设圆设边，设角都可以啊， 好，比如说我们来设边好了，比如说这个所对的边，我们叫三 x， 那 当然下面这个对的边，也就是它斜边是五 x 啊，这是不就是四 x 啊？ 奥利这边是不是也是四 x？ 根据半径是五 x， 我 们继续传染半径，这儿是不就得到了二 x？ 好， 也就说这是我们的第一步啊， 通过设边和我们的三角函数呢，我们得到了这个 h e 等于二 x。 好， ok， 那 我们来看一下第二步。那么根据刚才你自己做了一个垂直，他题目中又给了一个垂直，所以就平行线，对不对？ 垂直加垂直就有平行，那有平行会有什么呢？就有相似，所以我们这个图里面谁跟谁是相似的，是不是这个三角形和这个三角形就是一个八字形的相似？ 那有相似，我们当然要知道了。什么相似比呗，那这个边，这个三角形的一条边已经知道是二 x 了，它的对应边是谁？它的对应边就是它嘛。哎，我们知道它就可以了。当然了，那这个是中位线嘛，所以它就是六 x， 所以 我们这两个三角形的相似比就是一比三， 那么谁就等于一比三呢？它们的另外两个对应边，比如说 d f 比上 f h， 也就是一比三。巧了，它刚好加起来是四 x 还是一比三，所以它们俩各自一个是三 x， 一个是 x 啊，到这了，也就是说我们得到了我们要求的这个 df， 其实就是多少三 x。 好， 那我们现在已经知道三 x， 我 们是不是只要把 x 给算出来就可以了，是不是我们的第三步？ 那既然是我们的第三步，那怎么考虑呢？想一想，现在我们好像还没有用过这个条件五，对不对？我们当然是要把条件结合起来啦。 好，那这个五怎么结合我们的 r 法去用呢？哎，我们就想到了，既然有切线长呢，我们就想到了一个非常重要的考点，就是连接它。这个， 呃，切点，还有这个圆心啊，看这两个圆外一点的连线，那当然，这里是不就是垂直啊？比如说我们叫 m， 好 吧，是不是各自就是三 x 啊？这个，因为这是六 x 嘛，是吧，左右两边对称嘛。好，那么考虑一下，那这个角是不是还是 r？ 同理，这儿是直角，这儿是直角，是不平行，这儿是不也是 r？ 哦，那我们的相似就有喽 来帮。所以呢，我们是不是可以先放在这个纸紫色的三角形里面？在 rt 三角形 cma 中，我们的 r 法，所有的三 r 法都是五分之三。哦，有没有三 r 法？有吧，所以就是哪个边比哪个边，是不就是这个 c m 比上斜边 c 刚好就是五，是不是就等于三比五？所以我们口算就知道 c m 是 三嘛。 那 c m 这是三了，那这肯定就是四喽，所以三 x 就 等于四喽。直角三角形吗？对吧？好，那我们用不用算三 x？ 不 用啊，因为我们求的就是三 x 嘛，所以答案就是 df 等于四，非常轻松， 非常简单。所以这个题就是用到了我们大概三个步骤。第一个步骤就是用设边和三角函数去传染得到 我们这个二 x， 然后再根据我们的相似三角形的相似比得到它的这个要求的这个边是三 x。 哦，那我现在只要把 x 算出来就好了呀。所以最后再往条件上靠拢。 往哪个条件上靠拢？当然是往已知条件上靠拢啦，所以这里就是我答案，再用一次三角函数就 ok 了，非常简单啊，非常基础。