2026江苏镇江高三数学几何题

二零二六高三数学每日一题第五十三天高考题预测专题，立体几何最值问题 啊，同学们好，今天呢，我们来做这个立体几何这个预测问题当中的最后一讲啊，每周呢，我们都会进行一个这个模块的一个预测， 那今天呢，我给大家呢分享的呢，是郑州一摸的这个最值的问题啊。首先来看一下他出现的位置呢，是在十七题，是在咱们这几天讲解当中的稍稍微体号偏靠后一些的。那我们来看一下这道题啊，这道题呢，主要是说到是最值的问题 啊，他说如图，在矩形 a， b， c， d， a 啊， c， d， e、 f 当中告诉你 c、 d 的 长度它是等于一的。之后呢， d、 e 的 长度 啊，这个是 d、 e 的 长度，它是等于二 ab 呢，分别是中点，所以这都是一，它就变成了就是两个全等的正方形了点 p、 q 分 别是 a、 c 还有 b、 d 上的动点，它不包括端点， 不包括断点，而且 c、 p 等于 b， q 就是 这个长度，它俩是相等的，它都等于 a， 都等于 a， a 呢，这里面是介于零和根号二之间的。 之后呢，将这个四边形 a、 b， c、 d 啊，沿着 a、 b、 c、 d 进行翻折，使得这个平面 a、 b， c、 d 和平面 a、 b、 f、 e 它俩是垂直的关系，就说折成了这个。第二个，这图 第一问呢，是让你证明的是 b、 d 呃， b、 d 的 这条直线， b、 d 的 这条直线，它是垂直于 a、 e、 c 这个平面的， b、 d 在 这里垂直于 a、 e、 c 这个平面的啊，那我们知道这个直线跟平面垂直，它应该是和平面内的两条相交直线垂直 啊，那我在这块写啊，第一问，两条相交直线垂直，那这个呢？其实我们，呃，这里边的 b、 d 呢，已经跟 a、 c 是 垂直的了啊，这条直线是 a、 c 垂直，为啥呢？因为你在这个原来的图形当中，你连接 b、 d 的 时候， b、 d 和 a、 c 都是对角线，对不对？所以它跟应该跟 a、 c 是 垂直的，那这块因为，嗯，四边形已知条件，四边形 a、 b、 c、 d， 它呢，是应该是为正方形 啊，所以我们就可以知道这个 b、 d 是 垂直 a、 c 的， 那第一个呢，我们就是证明出来了。第二个呢？你看啊，在折叠的过程当中，这个平面 a、 b、 c、 d 和平面 a、 b、 f、 e 是 垂直的，而这个 a、 e 是 不是还还得垂直？这 a、 b 啊，它垂直于平面 a、 b、 c、 d， 它是垂直于平面 a、 b、 f、 e 啊，垂直于平面 f、 a、 b、 f、 e， 而这个 a、 e 它还垂直 ab， 它垂直于交线，是不垂直于平面呢，所以这个 a、 e 就 垂直于平面 a、 b、 c、 d， 它垂直于这个平面，那垂直于平面内所有直线，那又因为这里边的 b、 d、 b、 d， 它在平面 a、 b、 c、 d 内， 那所以啊，这里边的 b、 d 就 垂直于这个 a、 e 了，就是 a、 e 是 垂直于这个 b、 d 的， 那现在有 b、 d 垂直 ac， b、 d 还垂直于 a、 e， 所以 说这个啊， a、 c 和 b、 d 都在这平面内，对不对？完整写的话，又因为 a、 c 和啊，和 a、 e， 它包含于平面 a、 e、 c， 它包含于平面 a、 c， 而且这个 a、 c 交上 a、 e 于 a 点 啊，它两三个强调，所以说这个 b、 d 就 垂直于平面 a、 e、 c 了， 那也就说，呃，我们在证明的过程当中呢，就是啊，线和面垂直一定要强调两个证明，三个强调。 两个证明是要证明这条直线和这个平面内两条相交直线垂直。三个强调呢，要强调两条直线在这平面内，这是两个强调了，还有强调他俩应该是相交的关系啊。这是第一问， 我们来看一下这个第二问。第二问呢，他说这个求线段 p、 q 的 长，因为在折叠的过程当中， p 和 q 它俩的位置关系就不再是原来的 p、 q 的 位置关系了。所以说让你现在让你求这个 p、 q 的 这个长度，那我们，嗯， 当然说这道题用存几何的方法也可以来证啊，但是呢，间隙呢，可能是更简单一些，那间隙很明了啊，因为这个 a、 b、 c、 d 和平面 a、 b、 f、 e 它俩是垂直的， 而且这个 b、 a 和这个 b、 f 还垂直，那这里边呢，这是 b、 c， 它就是 z 轴儿呗。嗯，所以这是 x 轴儿，这是 y 轴儿，这个是 z 轴儿。建立如图所示的空间质量坐标 c， 那这里边呢，需要强调一下，以 b、 a 为 x 轴， b、 f 为 y 轴， b、 c 为 z 轴。而且你在考试的时候，打底卡的时候一定要把它写上，哎，建立这个坐标系，那你 b 点的坐标就可以知道了，是零零零， a 点的坐标是一零零 啊， a 点坐标这个长度是一，完了之后呢？ e 点的坐标， e 点坐标在这里，它应该是幺幺零，你看它长度都是一啊啊， e 点的坐标是幺幺零，之后 f 点的坐标应该是零一零啊， f 点的坐标啊，零一零， c 点的坐标 c 点坐标是应该是零零一啊，它是从 b 点向上迁移过来的之后， d 点的坐标应该是一零一。哎，一零一。 那这里边呢？我要求的是 p q 的 长度啊， p q 的 长度。那 p q 怎么来求呢？我们得用坐标来表示啊。啊，向量 p q， 把它放变放在啊图形当中的话，向量 p q 它是不是应该是等于这个？呃， p q 看啊， p q 应该是等于放在 p c 再加上啊 cd 再加上 b q。 可以， 要不然的话，你这个 p q 的 话，对，它是从封闭图形当中就可以啊，它等于 p c， 再加上 c b， 再加上 b q 啊，这样来，这样他就是 b q 了，所以说我得把 p c c b b q 都表出来。嗯，这里边的 p c 呢？ p c 等于什么呢？呃， p c 等于。看啊，这里边的 p c 向量 p c， 它应该等于什么呢？你看啊，这个 p c 啊，和这个 p c， p c 和 a c 之间，它的位置关系没有变，它俩还是在一条直线上。嗯， 这个长度等于多少呢？啊？设这个 c p 的 长度，它是等于 a 了，它是等于 a 了。整个的 a c 的 长度是不等于根号二啊，所以说它应该是等于啊，二分之根号二 a 倍的 a c， 这是 p c， 它等于二分之根号二倍的 a， 再乘以 a c， 因为这个原来的这个 a c 的 长度是等于根号二的。 嗯，这个有同学不理解的话，其实你可以就是用个公式来表示啊，我在这边给大家写一下 这个 c p 的 长度，先看长度，再看方向。比上 c a 的 长度是不等于 a， 比上这个 c a 的 长度不等于根号二吗？嗯，所以说你能够求出这个 c p 啊， c p 是 不等于根号二 a 倍的 c a 呀啊，所以说 p c 就 等于二分之根号二倍的 a c 啊，这个 p c 二分之根号 a c。 对 完了之后呢？那咱们就把 b q 也表示一下吧。 b q 像那 b q 一 样啊。向量 b q 是 不是等于二分之根号二倍的二分之根号二 a 倍的 b e 啊？ 一样啊， b q 的 二分之根号二倍的 b e。 所以 说你这里边的 p q 就 能表出来了啊。 pc pc 就 求一下吧。 pc 再加上。呃 啊，这是 p q p c 的 话啊， p c 的 话整理一下啊，这个 p q 就 等于 p c p c 等于二分之根号二 a 倍的 a c 再加上 c b 呢？ c b 我是 能够求出来了。 c b 应该是等于用用 b 点减去 c 点就是等于零零负一，再加上这个 b q b q 等于二分之根号二 a 倍的。呃， 这个是 b q 是 b e 啊 b e 那 这里面的 a c 和 b e 是 不是也能求出来？我在这块写啊，向量 a c 应该是等于用 c 点减去 a 点呗，等于负一零一啊。向量 b e 呢，也能够求出来 啊 b e 等于一一零啊。所以往进一带能够算出 p q p q 呢，算完之后呢，它是等于坐标的话，应该是零。二分之根号二 a 之后二分之根号二 a 减一啊，这个式子。所以说 p q 的 模长就能够求出来，它不求长度吗？所以 p q 的 模长就等于啊，根号下零的平方 再加上二分之根号二 a 的 平方，再加上啊，二分之根号二 a 减一的平方啊，算出它来了。虽然这个式子呢，整理完之后是等于根号下啊 a 减去二分之根号二。 嗯，括号的平方再加上一个二分之一，哎，再加上二分之一等于它 p q， 所以 说第二问我们就求完了。之后我们再来看下第三问， 第三问，他说当 p q 长最小的时候，就落下来负比，这个 p q 啊，什么时候最小呢？它的模长什么时候最小呢？ 是不是当七减，因为它是一个，我这块再给大家再重新写一下，有点看不清，挂着写啊，它等于根号下，嗯，这块是 a 减去 二分之根号二括号的平方，再加上二分之一开口方向上的一个抛线，所以 a 等于根号二的二分之。根号取的最值对不对？取的最值的时候呢？它的最小值是不是应该是等于啊？根号二分之一， 根号二分之一等于二分之根号二啊，二分之根号二，那此时呢？也是当 啊，当这个 a 等于二分之一根号二时，取得这个最小值，这等号啊，那也说实际上你这个 a 知道了， a 知道了，那其实你的坐标就求出来了。 完，现在让你求的是这个 p q a， 这个 p q a， 这个平面和这个平面 a e c 和平面 a e c 所组成的这两个平面的夹角，那还是这个平面 a e c， 它的法向量，我们根据第一位已经求，是不是就 b d 啊？啊，等于向量 b d， b， d 呢？啊，求出来应该是一零一， 所以说我们就是紧接下来呢，我们要求的就是这个啊，平面 p q a， p q a 的 话，你就是一个是 p q 呗。啊，对啊，设这个平面 啊，设平面 p q a， 它的法向量为向量 n n 呢？我设为是 x y z 啊， 这是 p q a 的 法向量，法向量的话，那跟这个向量乘积等于零呗，先算 p q， p q 呢？已经算出来了对不对？此时 a 数的二分之根号二啊，所以说 p q 就是 零，它乘二分之根号二的话，等于四分之二，二分之一， 它是乘二分之根号二，四分之二分之一减一等于负二分之一 p q 就 求出来了。完了之后呢，你再算一个向量， p a pa q a 我 看 q a 和 pa， 嗯，算一个，我看啊，算一个 a q 吧。 q a q a q 可以 啊啊，那 a q 呢？其实我们也是能够算出来， a q 是 不等于 ap 加上 p q ap， ap 是 等于等于这个 ac 是 不是用 ac ap 就 知道了，对不对啊？完了之后呢，就能够把 a q 就 取出来，这里边 a q 给大家表示一下吧啊， a q 等于 ap 再加上 p q 啊，等于它完了之后呢？ ap 这里面的 ap 等于什么呢？ 看啊，呃， ap ap 的 话是不是应该是因为你算出 a 等于 a 等于这个二分之根号二了，所以说 ap 的 长度你也能知道了，整个长度是不得根号二啊，所以说实际上 p 点就是终点啊，所以 ap 就 能求出来 a p 求出来，说 p q 是 不也知道了，所以 a q 就 知道 a q 呢？算出这个向量是负二分之一，二分之一零啊，所以法向量跟它乘积的零就是啊，二分之一 y 减二分之一 z 等于零， 之后负二分之一 x 加上二分之一 y 等于零，从而求出 x y z 的 值 啊， x 算出设设等一的话， y 等于 y 等于 z 等于，所以说这个发向量是不是等于幺幺幺啊？发向量求出来了，发向量求出来的话，那么你现在是不是要求匀减值啊？就是口塞音，你要求这个是 b d 和向量 n 的 乘积啊，就不往年代了，算出结果等于三分之根号六啊，三分之根号六，所以说像要下结论，他的余弦值为三分之根号六啊。那这道题呢，实际上 啊，除了说最值之外，因为最值呢，他也是，呃，基于这个立体几何当中这个图形啊，其实跟平面图形的那个最值呢是一回事啊，他这道题呢，是呃利用了二次型啊，二次型这个函数求最值的问题。 嗯，在求解的过程当中呢，主要是这个我还要说一下这个动点，这个动点 p 和 q 都是动点，怎么来表示它？ 那当你直接表示不出来的话，比如说这个 a q 你 表示不出来的话，你就给它拆解成为两个比较容易的来，因为你 a 点和 q 点你不知道的话，是不是直接拆解一下？当然这道题其实这个 q 点也是终点，那这 a q 其实还比较好求的，假如不好求，你就可以像老师一样拆分来对其求解。嗯， 你要是可以求的话，其实这个 q 点是终点，它就二二分之一负二分之一，完了之后就能够求出来了，二分之一，二分之一零，对吧？嗯， 那通过这道题呢，就是说你要学会啊，线面的证明完了之后呢，未知数的表示，以及面面的面面乘角的余弦值啊。 那么，呃，截止到今天呢，我们的例题几何的呢？预测题呢，我们就暂时呢告一段落，因为还有其他的模块。下一周呢，开始呢，我们就开始讲这个，嗯，统计和概率的那部分了。 呃，所以说大家呢，就是关注老师完了之后呢？呃，多练习题，争取在高考当中能够取得自己满意的成绩，同学们，再见！

二零二六高三数学每日一题第五十九天高考题预测专题统计概率超几何分布同学们好，今天呢，我们来给大家再继续啊，讲一下统计概率专题的预测，那这道题呢，是来自于这个 啊，这个邯郸二模的。呃，这道主为什么要讲这道题呢？就是通过这道题呢，主要讲解一下这个超级核分布那呃，这七天呢，讲的呢，都是比较基础的， 而且是同学们必会的一个模块，像马可夫列啊，这些比较难的呢，老师没有在这个预测当中出现，我觉得今年出马可夫列的概率呢也是比较小的。嗯，我觉得解答题还是在导数上。我们来看下这道题 啊，首先呢，他给了你个二乘二的连表，同学们可以暂停之后读一下这道题啊，给了你二乘二的连表 啊。第一问呢，他实际上是检验这个独立性检验的，通过二乘二的联表，根据小概率值零点零零一的独立性检验，判断人们对大大模型豆包应用的关注程度是否与年龄有关联。那首先我们要标注一下 啊，这是合计是六百，这是四百，所以这块是二百，这个是一千，这是六百，所以这是四百啊。四百三百，这是一百，所以这是五百，这个是五百 啊。对于这块呢，就是同学们可能比较，呃，有的同学基础稍微差一点呢，可能不知道哪个是因为给你公式是 a， b， c， d 还有 n 了。呃，这个 n 是 a 加 b 加 c 加 d， 所以 说只要标注 a、 b、 c、 d 就 可以，那这是 a， 这是 b 啊，这个是 c， 这个是 d 啊，一定要标数 这第一本来看一下啊，计算咖方，咖方呢？在计算咖方之前呢，一定要对它进行一下这个零假设啊，零假设 就是说所有的啊，让你判断的独立性检验的问题都要零假设，所以说啊，设零假设 h 零为 啊，设零假设 h 零为。为什么呢？就是呃，人们 对他问你什么，你就，你就设什么，那只要把有关联改成无关联就可以。人们对之后大型豆包应用关注程度，年龄无关，一定要设关键字是无关。完了之后呢，算一下咖风的值， 它方等于嗯 n 呢，对应的是一千， a 加 b 加 c 加 d 乘以，呃，这块是 ad， ad 是 二百乘以一百，再减去 bc 是 四百乘三百。 嗯，括号的平方再比上 a 加 b， a 加 b 是 六百，再乘以 c 加 d 是 四百， 呃，再乘以 a 加 c 是 五百，再乘以五百，算出这个值。啧，整理完之后是等于嗯，约等于 呃，约等于 e， 六六点六七。来看一下，这是小概率，是 alpha 是 零点零零一，零点零零一是十点八二八，所以这块写上应该大于十点八二八， 十点八二八呢，他等于阿尔法零点零零一啊，阿尔法零点零零一，那这样他比他大了，那我们就啊，有充分证据一定要写上这句话，有充分证据推翻 h 零不成立， 推翻 h 零不成立。所以，那么啊，其实这块呢，还得写上一下，还得写一下这个根据小概率值啊， 这块还得写上一下，根据小概率值，它前面给你了，是根据小概率值 r 法等于零点零一的 的独立性检验， 有充分证据推翻 h 比零不成立。所以我们就是认为 呃，认为，认为人们对大概率的与年龄有关联 啊。那这块呢，有几个关键的得分点？第一个呢，就是零，假设 h 零，这是一个关键得分点。第二个，这个数一定要算的准确一些啊。一般情况下，实际上是保留三位小数的，因为这个它远远的大于了，所以保留两位。一般都保留三位 啊，之后有个比较，哎，有个比较得值，有个比较是占一定分数的，之后这块小概率值的。这个这句话推翻 h 不 成立，要写上之后结论啊。结论，那这个呢，是我们第一个问，看一下，第二问， 第二问，他说从不超过五十岁，不超过是这个五十岁，他的调查的人呢？按比例分层抽，抽六人，那是不是二百比四百，应该是二比四啊，所以说抽六人。那我们知道这个不关注的简写了啊， 不关注的应该是两人，关注呢，应该是六人。按比例抽样 啊，他说既抽到两人中，关注豆包应用的人数为 x， 关注的是不六人呢。问你这个 x 的 分布列和数学期望，那么首先说 x 的 可能取值， x 的 可能取值为，嗯， x 的 可能取值呢？因为它一共一共就出了两个人，所以说关注的呢，最少是零人，还有是一人，还有两人。 p x 等于零的时候， 说明抽的都是不关注的。那应该是啊， c 二二比上六个人当中选两个人，嗯，所以等于十五分之一， p x 等于一，说明呢，都是一个关注，一个不关注。 c 二一乘以 c 六一比上 c 六二， 算式，结果等于十五分之八。呃， p x 等于二的时候呢，是 c 从四个啊，这是 c 四以啊，从四个人， 这关注的是四个人啊，一共是刚才比物了，这是四个人啊，那从四个关注当中选择两个，再比上 c 六二，那算出结果呢？是等于十五分之六，所以啊，所以这个 x 的 分布列为 啊，我在这边画啊，画一个表格， 这是 x 零一二对，那概率 p 十五分之一，十五分之八，十五分之六，嗯，那算出它的 e x， 呃， e x 的 零乘以十五分之一，加上一乘以十五分之八，再加上二乘以十五分之六，算出结果等于三分之四。 呃，那实际上呢，这道题呢，他是一个，呃，超级核粉布。哎，超级核粉布，他为啥要超级核粉布呢？因为他是，他是不放回的一个抽样。 呃，不放回的一个模型，就是说当你抽取这个两个人的时候呢，你抽完一个人并没把这人放进去，所以他是超级核粉布。 那超级核分布呢和二项分布呢？是随机变量这块呢，有分布列的两个比较重要的，呃，分布列，所以说大家呢，一定要呃，对它，呃，学会。 呃，那这个呢，其实我们在在求这个超级核分布的时候呢，不必要就非得说明确它是什么分布啊，你只要说能够列出这个式子就可以了，所以说不放回和有放回的二项分布和超级核分布一定要区分开 啊。那么今天呢，我们就把这个所有的概率统计的问题呢，呃，基础的问题呢，都给大家就是讲解了， 所以说大家呢可以关注七种类型题，每一道题呢，当然说他有，他可能是有那个交融的部分，呃，但是呢，通过每一个题呢，都把这个相关的方法给大家讲了 呃，有不懂的地方呢可以给老师呢呃，在评论区评论问老师，老师呢会及时的回复。大家好，同学们再见。 下一期呢，我们将要呃讲这个圆锥曲线的问题，所以说继续关注老师，我们再见！

二零二六高三数学每日一题第四十八天高考题预测专题，立体几何垂直证明问题。同学们好，今天呢，我们通过湖北市一校的二模的这道题呢，来主要讲一下立体几何当中的垂直证明的问题。 那我们知道在立体几何当中，垂直证明有线线垂直，线面平垂直和面面垂直三种啊，我在这边呢给大家写一下啊，第一个啊，线面垂直如何来证 啊？线线吧，先说啊，线线垂直，线线垂直呢，一般情况下啊，第一种方法呢，如果用向量的方法是证明这两条直线所在的向量，比如说我说的是 n 一 和 n 二， 向量 n 一 垂直于向量 n 二，那么也就是说有向量 n 一 乘以向量 n 二， 他的值应该是等于零的，这是啊，向量的方法，那除了向量呢，我们也可以根据啊，普通的方法来正，普通方法来正，线线垂直呢，一般情况下根据线面垂直来正啊，所以说呢，他呢是由呃，是由这个线面垂直来证明出来的 线垂直于面，因为根据直线跟平面垂直的性质定律，那直线跟平面垂直，直线跟平面内的所有直线垂直啊，那这是常规的方法。第二种方法是直线 跟平面垂直，怎么来正线垂直于平面啊，线垂直，平面如果是根据向量的方法来正的话，坐标的方法，那么直线跟平面垂直，直线跟平面面要求平面的法向量， 那比如说这条直线啊，设为 l， 它应该是垂直于平面的法向量 n 的 啊，那也是它俩乘积应该等于零的 啊，这是直线跟平面垂直跟法向量应该平行啊，平行这块重新写一下啊， 直线跟平面垂直，直线跟平面的法向量是平行的，那么它俩应该是成倍数的关系。比如说我用 l 用向量来表示的话，它应该是等于 l， m， d 的 向量 n 啊，这样来求 那。呃，平时我们如果不用向量的方法呢？线面垂直呢？是根据线线垂直来正的，所以说它是根据线垂直于直线，但必须得是垂直于两条相交直线 啊，根据这个方法来正。第三个呢，就是面面垂直，平面和平面垂直。 如果是用向量的话，两个平面啊，在立体几何当中，你一定要记住，凡是说到平面的时候都是平面的法向量，那两个法向量应该是垂直的。法向量垂直，也说这两个法向量 乘积应该是等于零的。嗯，那如果用正常的方法来正呢？面面垂直呢？我们还是利用线面垂直来正。线垂直于平面啊，直线是垂直于平面的啊，根据它来正 啊，为啥可以这样来正呢？因为是直线，如果跟平面垂直，这条直线过的平面就跟这个平面垂直了啊，那这是常规的方法。 那紧接着呢，我们来根据这个湖北师一校的二模的这道这个这个模拟题，当然他出现在十五题了，比较简单来证明一下线线垂直和线面成角的面面成角的问题啊。 首先第一问，他说我们先读一下题，如图，在四棱锥 p a， b， c， d 当中，告诉你 p d 是 垂直于底面 a， b， c， d 的 底面 a， b， c， d 呢，是个平行四边形啊，告诉你 p d， p d 等于二倍的 a、 d， 那 我就设 a d 为啊，为 a 的 话啊，或者是我设它的它的长度啊， p、 d 长度为 啊 ad 长度为 a 的 话，那么 a、 b 就是 二 a 啊， pd 呢，也是二 a 之后告诉你角 b 啊，角 b a、 d 这个角它是等于六十度的 啊，六十度的。嗯，那第一个呢，让你证明的是 a、 d 是 垂直于 p、 b 的， 那我们根据这个性质的话，如果证明两条直线垂直，要证明一条直线和另外一个平面所，呃，另外一条直线所在的平面垂直， 那证明 a、 d 和 p d， p d 垂直，我可以证明 a、 d 垂直于 p、 b、 d 的 平面。为啥我会找到这个呢？因为现在已经 p d 是 不是已经跟 a、 d 是 垂直的了？ 哎，那它假如在证明它跟 p、 d 垂直，它一定是垂直于 b、 d 的， 所以 b、 d 是 需要证明的。那根据什么来证呢？根据三角形 a、 b、 d 当中应用于弦定律 啊。第一问，那因为这个 a、 d 设 a、 d 啊，等于 a 之后 ab 等于二 a 之后角角 b， a、 d， 它是等于六十度的，所以在三角形 abd 当中应用于选定里，那 b、 d 的 平方应该等于 a、 d 方加上 ab 方， 再减去二倍的 ab 乘以 ad， 再乘以口塞沿夹角六十度，那绑紧待直，这就是 a 方加上四 a 方， 再减去四 a 方，口塞六十度等于二分之一啊，那算出这个结果呢，应该是等于啊，三 a 方， 所以 b、 d 的 长度就等于根号三 a， 哎，根号三 a b、 d 的 长度根号三 a， 这个是二 a， 这是 a， 所以 说这个 a、 d 方加上 b、 d 方就等于 ab 方 啊，那也就说 a、 d 是 垂直于 b、 d 的 啊， a、 d 垂直于 b、 d， 那 也就说一条线有证明出来，那又因为 p d 的 这些，又因为 p、 d 垂直于平面 a、 b、 c、 d， 而这个 a、 d 它包含于平面 a、 b、 c、 d， 所以 p d 就 垂直于 a、 d 啊，那第一个证明 a、 d 垂直于 p b， 证明出来。第二个 a、 d 垂直于 p d 就 证明出来了， 那垂直两条相交直线就垂直于这平面，那一定要强调，就说线面垂直是两个证明，三个强调，这两条相交直线跟它分别垂直是两个证明，强调呢，要强调它俩都在平面内，而且相交。 那你说又因为这个 b、 d 和 p d 它均在平面 p b、 d 内，而且，而且呢 b、 d 交上 p d 于点 d， 所以 这个 a、 d 就 垂直于平面 啊， p b、 d 啊，线面垂直，根据性质定力能证明出现线垂直，对不对？那就是这波线面垂直，证明出来了，在正线线垂直，那又因为 p、 b 包含于平面 p b、 d， 所以 a、 d 就 垂直于 p b。 哎，那这个呢，是我们的证明，那老师写的呢？是最简的步骤了，没有比这再简单了。所以说你一定要把这个逻辑写清楚之后呢，该证明的证明，该强调的强调，这是第一问， 之后我们来看一下第二问，第二问呢，它是让你求平面 p a、 b 和平面，就是 p a、 b 和平面 p b、 d 夹角的正弦值，那我可以间隙，因为这个 a、 d 和 a b 和 b d 已经垂直了，所以说我可以它为 x 轴 啊，这个呢为 y 轴，那这轴就啊就比较好想了，就是这个，这个 p d， 嗯，它为这轴 x 轴， y 轴，这轴建立如图所示的空间直角坐标 c。 那 我需要把 p a、 b 和 p b， d 这个五个点的坐标求出来。嗯，先看 p 点坐标， p 点坐标呢？应该是零零二 a， a 点的坐标在 s 轴上，所以它长度为 a， 应该是 a 零零啊。 b 点的坐标它是二 a 啊，这是二 a， b， d 呢？它的长度是根号三 a， 所以 说应该是零，根号三 a 零啊。 啊，还有就是 p a， b， p a b， p b， d 啊，就这就这三个点啊，还有 d 点坐标， d 点坐标是零零零。哎，那我先要求平面 p a、 b 的 法向量。那设平面 p a， b 的 法向量为 n， n 呢？我设为是 x， y， z 啊，如何来求法向量呢？在这边写啊。所以，那如何来求法向量呢？法向量是跟这个平面内两个相交向量是垂直的，所以说先要求一下这个 p a 向量 pa 应该等于用 a 点减去 p 点，应该是 a 零负二 a 之后，呃，再看一下 p b， p， b 呢？是零。根号三 a 负二 a， 所以这个法向量跟它俩乘积都应该等于零向量。乘积是横乘横加纵乘纵加竖乘竖，那是 a x 加上零乘以 y 的 零减去二 a， z 等于零完，零乘以 x， 加上根号三 a， y 减去二 a， z 啊，等于零，所以说能够求出。呃，它的法向量， 所以说能够求出它的反向量啊。反向量是，呃， x， y， z 那 三个未知数两方程肯定得对它进行负值啊。那比如说我这边负值呢？ 先算啊， x 吧。啊，先负谁呢？先负先负 y 吧。 y 如果要是等于二的话， y 等二的时候， z 是 不应该就等于根号三吧？嗯， z 的 根号三， 这如果等于根号三往这里边带，那 x 就 应该得二倍根号三。嗯，所以说向量 n 就 等于二倍根号三，二根号三啊，那这是向量 n， 向量 n 说完之后之后呢，我们 把这个往左挪一下，向量 n 呢？求完之后呢，我们紧接着呢，还要求一下另外一个平面 b p b， d 的 法向量。设 平面 p b， d 的 法向量为 m m 呢，我设为是 x y z， 方法是一样的，先求出 p b， 在这平面内找到两个相交向量啊， p b， 我 们已经求出来是零。根号三 a 负二 a 啊，之后呢，再算一个 p d 啊， p d 呢？是零零负二 a， 那 法向量 m 跟它俩乘积都得零，所以说跟它乘积的话，应该是根号三 a 减啊。根号三 a， y 减二 a， z 等于零，跟它相乘的话是负二 a， z 等于零， 所以说能够求出 x， y， z 的 值。嗯，啊，算出 x 等于多少， y 的 多少， z 的 多少，你会发现负二 a， z 的 零是 z 的 零， z 的 零的时候， y 呢，应该也等于 x。 没有解的，可以设它为一 a 都行啊，啊， 只要是个常数就行，所以它的反向量 m 就 等于一零零。嗯，比较典型的求两个平面所成角。先求余弦值口算以 m n， 嗯， m n 呢，等于 m 乘以 n， 向量 m 乘以向量 n， 再比上向量 m 的 膜乘以向量 n 的 膜。 整理一下，他在这呢啊，一个是一个？是啊，一个是在这里，一个是在这里。嗯，他俩乘积的话应该就等于二倍根号三，横乘横加纵乘纵加竖乘竖。 m 的 魔长等于一，他的魔长是根号下二倍根号三的平方 加上二的平方，再加上一个根号三的平方啊，那对它进行化解完之后，这个 q 三值是个挺大的值啊，等于十九分之二倍根号三，嗯，那 q 三也知道了，散音是不就知道了，所以说弹进它这个 c 它就知道了 啊。这块呢建议大家呢，其实可以画一个直角三角形，我在这块画一个直角三角形啊，辅助大家理解啊，比如这个就是我们所要求的 c， 它口塞是邻边，比斜边它是二倍根号三，斜边就设为十九，所以说能够求出这条边啊，这条边，这条边应该是等于 啊，这是根号十九，所以这块是根号十九啊，那算出这块呢，应该是等于根号七 啊，根号七，所以弹性的值应该是等于对边比邻边啊，根号七，再比上二倍根号三啊，所以算出的六分之根号二十一啊，就去完了，那正确值呢就去完了 啊，主要是通过这道题呢，给大家讲一下垂直证明的问题，因为后面呢，我们还会有乘角的问题，一定要遵循这三个定律 判定定例来对它经求解啊，当然说你也可以用性质定例来对它经证明，没问题啊。今天呢，我们是通过湖北十一校的二模来呢啊， 预测一下，我们今年的就是高考的一个啊，出什么样的题，我觉得高考当中呢啊，就是这个面面成角 以及垂直的问题，还是一个热点问题，所以大家一定要重视。那明天呢，我们会给大家通过三省三校的二摸，东北的啊，三省三校的二摸来看一下其他的类型题，希望你能够关注老师， 之后呢给老师点赞，同学们再见。

二零二六数学常识二模第十一题难度非常大，题目质量非常高。点 p 是 双曲线上的一点 o p 和 o q 的 乘积的定义。首先要求点 q 的 轨迹 omega， 我 们使用的方法叫做相关点法。设 q x y p x 零 y， 下面要用 q 的 坐标去表示 p 的 坐标。首先 o p q 共线 y b x 等于 y 零 b x 零 o p o q 乘积等于一平方过后 x 方加 y 方乘以 x 零方加 y 零方等于一。别忘了， x 零方减 y 零方是等于一的 连的一和三 y 零等于 y b x x 零代入三 x 去负 x， y 去负 y 代入后，方程不变，因此 a 正确。看 b 选项，要求它到 o 的 最大距离。采取极坐标法， 将 x 用 y 用 y 三 y 代入，可得 u 方的平方等于 u 方， p c c 方减去三 c 方，也就是 u 方等于 p c 二 c 方，所以 u max 等于一，此时的 c 等于零或 pi， 也就是左和右的两个端点，因此 b 正确。 下面看 c 选项，要求 omega 上的点 q 到两个交点的距离之差。先画出双曲线的图像来， 双曲线的点对应了交白金之差等于二 a， 那 么它的两侧 是交白金之差大于二 a， 那 么它的中间呢？是交白金之差小于二 a 由 b 可以 知道， u max 就 等于一，因此我们得到 q 的 轨迹都介于两条双曲线之间， 所以 r 一 至 r 二小于 r， 当这两个点恰好为左右顶点的时候取得好，因此 c 错误。看 d 选项， 要求 y 的 最大值。那么实际上这个 q 的 轨迹呢，是双角线，它的图像是一个横八字， 要求 y 的 最大值，那么它的斜切线的斜率边等于零，所以我们就可以写出 y 撇边等于零，这个时候它才可以得到 y max。 下面用引函数求导法， 两边同时对 x 求导， 将 y 撇等于零带入， 所以有 x 方加 y 方等于二分之，再带入到它的原始方程里面，那么就会有 x 方加 y 方等于四分之 连利可得 y 方等于八分之一，所以 y max 等于根号下八分之一等于四分之二。因此 d 正确。那么这个题目的答案就选择 a b d。

在边长为二的菱形中角 b， i、 d 等于三十度。画下视域图 角 b， i， d。 这个等于啊，三分之 pi 啊，等于六十度。那 b、 d 如果连接起来的话，那就是两个等边三角形 好，沿对角线 b， d， 啊，将三角形 a， b、 d 折起，得到这个三棱锥 a 撇 b， c， d。 啊，就 b， c， d 作为底面啊 a 撇 b， c， d。 我 们也画一下它的直角。 好，这是 a 撇 a， b， c， d 和面 b， c、 d 都是这两个等边三角形啊， 好，若 a 撇 b 这向量 a 撇 b 点成像量 c， d 点成像量 c， d。 啊，等于二分之一。 问，这个三棱锥 a 撇 b， c， d。 外接球的表面积为多少？其实就是求它的外接球的半径 r。 好， 我们分析一下这个图形啊来看，先用好这个条件啊，探索一下。 a 撇 b 点成 c， d。 那 么 a 撇 b 呢？我给它往这方向和 d， c 给它靠拢 a 撇 b 等于 d， b。 减去啊 a 撇 b 等于 d， b。 减去 d， a。 一 点成一下这个 c， d， 我给它换一下这个方向，我们因为 d 出发啊，那就写为 d， i， e 减 d， b 点成 d， c， 哎，点成 d， c。 从 d 点出发了啊， 好，它们起点都是 d 点了，那么 d， i， e 嗯 d， i， e 点成这个 d， c 减去 d， b 点成这个 d， c。 好 d， b 点成 d， c。 这个好算，这还是六十度的，它棱长呢，棱长又为二。 好，这个等于好 d， a 撇，它的模是二， d， c 的 模也是二，然后乘以它里面的 cosine 这个角 a 撇 d， c， 然后减去后面这个二，乘以二，乘以 cosine 六十度二分之一， 他这约一下就减二，他说现在他等于多少呢？再等于二分之一，所以由这个呢，我们就可以求出 cosine 角 a， p， d， c 好 二，加上二分之一，二分之五，二分之五等于，哎，再除以一个四，八分之五 好，这个角的 cosine 值我们算出来了。 cosine 值算出来了，那个 d、 a 撇又等于 d、 c 都是二，那我们能不能把 a 撇 c 给它换一下呢？算一下呢？来给它算一下啊。域线定律， 所以 i 撇 c 的 平方等于 d， i 撇的平方加上 d、 c 的 平方，减二倍的 d， i 撇乘以 d、 c， 然后括号于这个角， i 撇 d， c， 四加四减去二乘以二点四乘以八分之五，这约去了啊，等于三，所以 a 撇 c 呢，它等于根号三好， a 撇 c 等于根号三。 三角形 a 撇 b、 d 和三角形 b、 c、 d 呢，它又是等边三角形，那所以说我们来算出它们的中线里面的这个中线啊， 取下 b、 d 的 中点点 e， 那 么 a 撇 e 和 e、 c 也是根都相等，也等于根号三好。那么三角形 a 撇 e、 c 呢，它就是个等边三角形， 而且根据等腰三角形的三线合一， a 撇 e 和 e、 c 呢，都和这个 b、 d 垂直啊，那么这个图形是对称的，就是关于这个面， a 撇 e、 c， 它两边是对称的， 而且 d、 e 等于这个 b、 e 都是一，那根据它的对称性，我们知道这个圆心呢，一定和这个面 a 撇 e、 c 它共面， 并且这个圆心跟它对称性，它的圆心呢，是在三角形 a 撇 e、 c， i， c 撇 c 边，它的中线上，中线所在的直线上，我们给它画出来， 这中线 延长一点，它的圆心可能就在这个位置，比如说这个位置啊， e、 h 是 垂垂 a 撇 c 的 啊，这根据它对称性在这位置啊，那么现在我们测它的半径是大二，我们看现在怎样去看建立关于大二的这个方程啊， 那怎样建这个方程？那要根据这四个点呢？都在球面上，所以圆心球心到这个四个点的距离相等都是答案，哎，我们跟这个关系给它构造哎。等式 来看一下，这个 o h 和这个 d b 是 垂直的，那这个角 d e c 呢？它是个直角，所以连接 o d， 那么 o d 呢？它就是大 r， o d 就是 大 r 啊，连接 o i 撇， 那 o i 撇呢？也是大 r， o i 撇也是大 r 啊。注意啊，这个图再放慢一点，讲慢一点啊，看这个 o 和 i 撇 e c 是 共面的啊，在同一条平面上 啊，同一条平面上，如果你想看的更舒服一点，你可以把 o c 你 也连一下，好好 来，我们建立关于这个 d r 的， 就是这个。呃， o d 也就是这 r 的 平方啊，它又等于谁呢？它又等于 o i 撇。 好，那再写一下，列一下这个式子啊，我们拿这个耳方减去这个 i p h 是 二百零杠三， 减去二百零杠三的平方，它得到的开方以后就得到的就是这个 o h， 然后 o h 呢，再减去 e h， 剩下的就是 o e 这一段， 然后再加上 o 在 右由 o e 方加上 d e 方，等于 o d 方。哎，勾到一个方程啊，根号下 r 方减去二分之二三的平方，注意，这个二分之二三呢，它就是 i 撇 h， 我 们心里知道后面，然后再减去这个 e h 啊， e h 是 多少呢？二分之二三，再乘以零二三， 它本身二根杠三，再乘以杠三，就是 e h， 这个其实是 e h 啊，前面这个整个，嗯，整个的，这个就是 o h， 整个的根号下的整个的就是 o h。 这个二根杠三是 a p h。 好，所以说这个 o h 呢？然后减去这个 e h， 它就是 o e， 那 么 o e 的 平方 在。呃，这个 o e， 哎，这个就是 o e o e 的 平方呢，再加上 e d 的 平方，那么 e d 是 一啊， 这个就是 e d 啊，它就等于 o d， 就 等于 r 方，等于 o d。 就是 在这 r t 三角形 o e d 中，这样可以算出 r 啊。 好，这个平分，这是 r 方，减去四分之三，这是二分之三，这个就是二分之三了啊，减去它的成绩的二倍，就三倍的根号下， r 方减去四分之三， 再加上它的平分四分之三啊，四分之九了， 再加个一等于耳方，两边耳方抵消。 好，这个等于再加在一块，这个它俩加在一块，这是四分之呃，四，四分之六，二分之三，二分之三，加一呢，就是二分之五。 这个移整体移到右边来，两边再乘二，那就是六倍的根号下，尔方减去四分之三等于个五。好，两边再平方 三十六，耳方减四分之三等于二十五，所以耳方呢，四分之三加上二十五，除以三十六三六分之四九三六，三九二七 加二五，三，六分之啊，五十二。哎，我们不用开方了，我们要的就是耳方，所以 s 等于四派，耳方 好，等于这一月份的九分之五十二派。哎，这选 a 好， 再看一下， 要用一下它的对称性啊，用一下对称性就计算稍微复杂一点， 记得点赞关注哦。

好，大家好啊，本期视频我们一起来看一下这样的一个题目。这个题目的第一问和第二问，我们就直接跳过了直接来看他的第三问，当然第三问呢，会用到前面两问的结论。所以说我们简单说一下前面两问的结果啊。首先第一问算出来 a 是 等于一的， 第二问的话呢，相当于是也就说明了，当 x 属于一到二的时候， sine x 减一 大于零洛伦 x， 当然这个是当，且仅当 x 等于一时取。等好，我们再来看第三问说的是什么？假设 m 是 整数，如果说这个不等式对任意的 x 属于一到二，横省力 求 m 的 最大值，像这种求参数的最值，特别是这个参数为整数的时候，我们肯定要想到先用必要性探路去缩小一下这个参数的取值范围 先呢，我们来整理一下横乘立的这个不等式。题目的意思呢，也就等价于 g x 等于 e 的 sine x 减一次方，减去 sine x 减一，加上 x 的 平方，减去 m 加二倍的 x， 再加上 m 会大于零，对任意的 x 属于一到二 成立。我们刚刚说了要探路先从哪个地方进行探路呢？那肯定是从二这个地方啊，因为这个 x 刚好可以取到二，并且 x 等于二带入进来也是比较好算的。首先根据 g， 二起码要大于零，也就相当于是 e 的 三引一次方加上四减去二， m 减去四加 m 大 于零，我们可以推出 m 呢，应该是小于 e 的 sine 一 次方的。但是很多人说，哎，这个东西它究竟是多少呢？我们一起来看一下它的范围啊。这个时候又要结合到第二问的结论了，我们犹而知，当这个不等式里面的 x 等于二的时候， sine 二次方， e 的 sine 二次方 其实也就是二，并且它会小于 e 的 一次方，也就是小于 e， 因为这块是小于一的，所以说它相当于就是二点几。又因为啊， m 是 整数，它小于二点几，其实也就相当于是它会小于等于二。 好，我们要求的是 m 的 最大值，所以说我们就来试一下 m 等于二十，行还是不行，如果行的话，二就是它的最大值，如果不行，我们再试一，一还不行我们再试零。好， m 等于二的时候，我们一起来看一下啊，符不符合提议，也就相当于是能不能满足这一点。 此时函数 g x 相当于就是 e 的 三 x 减一次方，减去 x 的 平方，减去四 x 加上二，该怎么去证明它此时是大于零？对，任意的 x 属于一到二横成立的呢？我们还是要用好 第二问的这个小结论啊。首先我们由二知，知道什么呢？在第三问所要求的前提之下，也就是 x 属于一到二的时候，这个 sign x 减一呢，会大于乱 x， 大家注意这里的等号没有了呦，因为 x 取不到一， 所以说啊， e 的 sine x 减一次方，也就是函数 g x 的 解析式当中的这个核心结构呢，会大于 e 的 零 x 次方。 e 的 零 x 次方其实就是 x， 也就相当于是 e 的 sine x 减一次方，减 x 会 大于零。所以说我们要证明这个整体是大于零的结构，每一个结构都大于零或者大于等于零就 足够了。好比如说第一个结构，就是我们刚刚根据第二问得出的这样的一个结构，然后第二个部分啊，依旧是我们非常常见的这样的一个切线放缩，当然这个东西呢，肯定是要先正在用的，我这里就跳过了啊，大家自己补充一下，它是当且紧张 x 等于一时去等。根据它呢，我们可以推出，论 x 减一，应该是小于 un 等于 x 减二，也就相当于是 x 减二再减去论 x 减一，是大于等于零的，这个呢是当且仅当 x 减一等于一，也就是 x 等于二十去等。那么第二个非负的结构也就出现了，就是这个 x 减二减去论 x 减一。好，剩下的是什么呀？剩下的是一个 x 的 平方， 减去四， x 再加上四，其实这里呢，就是 x 减二括号的平方。所以说第三个部分 自然而然的就形成了，也就是 x 减二括号的平方，它明显是大于点零的，不需要任何的解释，它呢也是当且仅当 x 等于二十去等。 ok， 相当于是我们把函数 g x 的 解析式呢，拆成了这样的三个部分，第一个部分是大于零的，是根据第二问得出的。第二个部分是大于等于 零的，是根据我们非常熟悉的切线放松推出的。第三个部分呢，是天然大于等于零的，所以说他们加起来呢，肯定是大于零的，我们就写 u 一 二三，可知，当 m 等于二时，函数 g x 肯定是大于零， 对任意的 x 属于一到二等乘以的，那么肯定也就符合提议了啊，我们最开始也说了，只要他符合提议，那么 m 的 最大值呢，也就是他。那我们本期视频呢，就到这里。

好，我们来看下一个问题，如图四边形 a、 b、 c、 d 与 a b、 e、 f 呢，都是直角梯形，这里这两个字母我标反了，现在呢，我已经标注出来了，这个是 e 啊，这个是 f， 并且平面 a、 b、 c、 d 垂直于平面 a、 b、 e、 f。 当我们阅读一个题目的时候，读到这个位置，你就要发现这是一个非常非常关键的题目信息，你要敏锐的捕捉到这个题目呀，他在考我们面面垂直的性质，那么我们第一步一定要先找到这两个平面的交线， 现在这个交线呀，他就是 ab， 那 么哪条线垂直于 ab 就是 我们接下来要找的关键信息。 接下来他说 abcd 与 ef 是 互相平行的， cd 的 长度呢是一， ef 的 长度也是一， ab 是 二， ab 是 二， af 呢也是二。 b， a d 与 b a、 f 这两个角都是直角。好，读到这样的时候我们就发现了哦，这里边的 a、 f 以及 ad， 它们两个都垂直于交线 ab， 那 就说明 a、 f 垂直于下表面， ad 呢垂直于内表面。 第一问让我们去证明 bce 垂直于 af， 那 这就非常的简单了，因为 af 呀，它已经垂直于线表面了，它自然呢就垂直于啊 bc， 所以 第一问非常的容易。我们再来看第二问， 让我们去求平面 acf 与 bce 夹角的正弦值， 那么这是一个求二面角的问题，我们要先建立空间直角坐标系，那这个题解析就非常非常的简单， 直接，以 a 点为坐标原点，这个为 x 轴，这个为 y 轴，这个为 z 轴。那么我们把坐标写一写， a 点呢，自然就是零零零， c 点呢？ 二一零 f 点零零二， b 点零二零 e 点零一 二，这样的话呢，你只需要写 a， c， f 以及 b， c， e， 把法向量都给它写出来，然后呢，去求正弦值就可以了。注意啊，是要求正弦值这个题目呀，我们着重要讲的呢，是它的这个第三问， 这个第三问呢，勉强呀，也算是一个新的问法吧，就是说它把向量的这个考法更加具体化了。 第三问，他说如果空间当中存在着一个点 q， 并且呢，他满足 d q 向量等于喇么的倍的 d f 向量，再加上一个六倍的 b b 向量， 喇么的与六呢，都是属于 r 的， 并且呀， a q 它是垂直于平面 b c， e 的， 让我们去求这个 a q 的 长度。 由于第二问之中啊，我们已经建立了空间直角坐标系，那我要想求 a q 的 长度，有一个最简单的方案，就是我要是知道 q 点的坐标， 由于 a 点它是坐标原点，那么 a q 的 长度自然等于 x 方加 y 方加 c 方，再开根号就可以了。所以说，我们关键呀，是要把这个 q 点的坐标呢，它满足的合金， 它满足的核心条件就是 d q 向量等于喇么的 d f 加上 m 倍的 d b。 那 刚才我们写了 d 点的坐标呢，它是二零零，所以说这个 d q 向量 就等于 x 减二 y z， 而这个 d f 向量 等于负二零二，而 d b 向量呢，负二二零。那我们知道 d q 等于喇么的 d f 加上缪倍的 d b， 也就是 x 减二 y z， 它等于喇么的乘以一个 d f， 也就是负二喇么的，然后呢，再加上一个缪倍的 d b， 也就是负二缪 二缪零。于是乎呀，我们可以得到这样一个方程，就是 x 减二，它就等于负二栏的减二缪， y 呢，它就等于二缪，而 z 呢，就等于二栏的。 从现在我们得到的这个方程来看，我们是没有办法把这里边的阿拉伯和缪呢给它求出来的，因为啊，这里还有一个条件，就是 a q 向量垂直于平面 b， c、 e， 这就说明呢， a q 向量是平行于 b， c， e 的 反向量的，这个 a q 向量呢，它就是 x y， z， 而这个 b、 c， e 的 反向量，我们在第二问当中呢，是可以把它算出来的，它就是 一二一。于是乎呀，我们还可以得到这样一个方程，那就是 x 等于 y 比上一个二，然后呢，再等于 z， 那么我们去解这几个方程就会得到呢，喇么的是等于四分之一，而缪呢，是等于二分之一的。然后我们再把这里的喇么的和缪啊给它 带回去，我们就可以得到每一个点的坐标，这里的这个 z 呢，它就等于二分之一，而 y 呢，它就等于一，那 x 呢，它就等于 二分之一。有了这三个坐标，我们再求 a q， 那 就非常非常的容易了。那这个题目呀，其实呢，它的本质还是比较简单的。 再来看下一个问题，把一副三角板按照如图所示的方式呢进行拼接， 告诉我们， ab 的 长度呀，是二倍根号六 ac 的 长度呢，也是二倍根号六角 bc， 这个呢是九十度角， bcd 呢也是九十度， 这个角呢是三十度。然后呢，把这个三角形 abc 沿着这个 abc 的 这个位置，并且呢让这个二面角呀为直二面角， 也就是说这两个平面呢，现在处于互相垂直的状态，我们又一次得到了这个互相垂直这样一个信息，那既然还是互相垂直的，那么我们还是要搞定交线呀，就是 bc， 谁垂直于 bc， 这是非常非常重要的一个信息。 左边这个图当中呀，我们可以分析到就是这个三角形 bc， 它是一个等腰直角三角形， 既然他是等腰直角三角形，那么我们很容易想到，我可以找到他的这个中点，假设这个中点为 o， 那 反映到右边这个图上，他就是这样的这个点呢，就是 o， 很 明显这个 p o 呢，他就垂直于 bc， 那 p o 垂直于 bc， 他 自然就垂直于平面 b、 c、 d， 它垂直于平面 b、 c、 d 自然垂直于 b、 c、 d 之内的所有线。第一小问，让我们证明 p b 垂直于 p c、 d， 现在我们知道的是 c、 d 是 垂直于 b c 的， 而这个 c、 d 呢，还垂直于刚才我们找到的这个 p o。 把这两个信息放在一起， c、 d 呀，它就垂直于这个平面 pbc， 那 它垂直于平面 pbc， 它就一定垂直于 pb。 而由于这个三角形 pbc 啊，它是一个等腰直角三角形，所以这个 pb 呢，还垂直于 pc， 那 我们把这两个信息放在一起， pb 既垂直于 cd， 又垂直于 pc， 它自然呢就垂直于平面 pcd， 这是一个非常容易证明的问题。 第二问，让我们去求这个点 c 到平面 p b d 的 距离， 这个题目呢，我们还是可以用两种方法加以解决。第一种方法当然就是建立空间直角坐标系，这种计算方式还是比较简单的，我们以 o 点为坐标原点，然后呢， o、 b 作为 x 轴，然后啊 做 c、 d 的 这个平行线，这个东西作为 y 轴，那这个东西啊，作为 z 轴，然后把 c、 p、 b、 d， 它的坐标都给它写出来。那这个 c 点，它的坐标呢，我们可以到左边的这个图当中进行计算， 这里这个 bc 的 长度呢，它是四倍的根号三。所以说这个 c 点的坐标呢，就是负二倍根号三， 零零 d 点的坐标 c、 d 的 长度呢，它是等于四的，所以说呀，它就是负二倍根号三，四零 b 点的坐标二倍根号三，零零 p 点的坐标呢，那自然就是零零 二倍根号三。那接下来啊，就是找什么法，向量之类的，用点面距距离公式进行计算就可以了。 方法二，还是使用等体积转化法。我们先来算这个 p、 b、 c、 d 的 体积，那它的这个体积啊，可以用三分之一 s， 三角形 b、 c、 d， 然后再乘以一个 p o 进行计算。 同时呢，它的这个体积啊，也可以用三分之一 s， 三角形 p、 b、 d 乘以我们要求的那个距离 h， 这个 p、 b、 d， 它的面积还是非常容易求解的，因为这个 p b 的 长度呢，是 二倍根号六，这个 b、 d 的 长度呢八。而 p d 的 长度呢，也非常容易算。在这个三角形 p、 c、 d 当中，使用勾股定律就可以算出， p d 的 长度呢，是二倍，根号十。 那么我们写出来之后就发现，哎，这三个长度呀，它正好是符合勾股定律的，所以它这个长度呢，就可以写成二分之一 p b 乘以一个 p d， 于是乎呢，用等面积法，它等于它就可以把这个 h 给它求出来，这是第二种方法，也是比较简单的。接下来呢，我们来看它的这个第三问问， 在这个线段 p d 上是否存在着一个点 e， 使得呀，这两个二面角所成的这个余弦值为二十八分之，根号十四。如果存在的话，让我们去求这个 p e 比上 p d 的 值， 那这又是一个探索型的问题。其实这种问题它非常非常的简单，它唯一的难点就在于这个计算量稍微有那么一点点大上，我们直接设这个 pe 向量是等于喇么的倍的 pd 向量的，然后呢点 p 的 坐标，刚才我们已经写过了，是零零二倍根号三，这个点 d 的 坐标 负二 b 根号三四零。我们先假设这个 e 点呢，它是 x y 以及 z， 于是乎这个 p e 向量自然就是 x y， z 减去 二倍根号三，它等于喇么的倍的 p d 向量，也就是负二倍根号三四，负二倍根号三，那么 x 呢，就等于负二倍根号三，喇么的 y 呢就等于四喇么的，而这个 z 呢，就等于负二倍根号三，喇么的再加上一个二倍根号三。这样的话呢，我们就找到了这个一点的坐标， 接下来你只需要用这个一点的坐标去写它这个法向量，然后呢就可以完成。对于这个问题的运算还是很简单的，只要耐心细致的去算，很容易知道答案的。那本题的最后答案是栏目的等于七分之一，同学们可以自行计算一下。 接下来呢，我们来看一个以圆台为考察背景的一个问题，如图，圆台的上下底面圆，心分别为 o 一 和 o 四边形 abcd 为下底面圆，它的内接正方形，并且呢， ab 等于 o 一， o 二是等于二的， e 和 m 呢，是上底面 o 一 和 o 二上的两个点，这里有一个 m 点，这里有一个 e 点， f 呢是 bc 的 中点，并且满足条件， abe 垂直于平面 abcd。 那 这又是一个面面垂直的问题，我们一定要找到交线，那交线显然就是 ab 了。 从我们目前知道的条件，我们知道底面它是一个正方形，那就是说 ad 垂直于交线， bc 也垂直于交线，所以 ad 和 bc 它们分别垂直于平面 abg。 而这个题他又告诉我， e a 跟 e b 是 相等的， e a 和 e b 相等，就说明三角形 e a b 它是一个等腰三角形，那等腰三角形又出现了三线合一的问题，我肯定是先想法找到这个 a b 的 中点， 我找到这个 a b 的 中点，向下一连，假设这个中点为 h 吧，那这个 e h 自然呢，也垂直于 a b， 它就垂直于下表面。 第一问，让我们证明 a f 是 垂直于 d e 的 这一问呀，它的核心考法其实呢，就是三垂线定义 一条斜线，他想要垂直于平面内的一条线，就需要平面内的这条线垂直于他的投影线。 刚才啊，我们过 e 点向下表面做的这个 e h 就 已经找到了 e 点在下表面的投影。那接下来呢，我们把这个 d h 呀给他连接起来，现在呢，我们把这个底面图形呀给他画出来。 这种证明垂直的方式呢，我们称之为交叉垂直，他用的原理呢，也是非常非常的简单的，并且呀，非常非常多的次数出现于各种形式的考试题目之中， 那么我们把这个底面图形呀先给他画出来，这个点呢是 h 点，这个点呢是 f 点， 我们怎么去证明 a f 和 d h 是 互相垂直的呢？这个方案非常非常的简单，我们只需要去证明这个角的正切值与这个角的正切值是互为倒数的即可。 我们已经知道下表面是一个边长为二的正方形，那就说明这个边等于二， a h 这个长度呢是等于一的，所以说这个弹性的角 a d h， 它就等于对边比邻边，也就是一比二，而这个弹性的角 d a f， 我们这样给他连接一条辅助线，当然呢，你也可以去求这个角，因为他俩是相等的，那么他的正切值等于对边比上邻边，自然呢是等于二比一的，一个是一比二，一个是二比一， 他们两个互为倒数，所以说这个角与这个角是互余的，那么这个角就一定是九十度， 于是乎呀，这个垂直就非常非常的容易了。我们已经知道 e h 是 垂直于下表面 abcd 的， 那么 e h 就 一定垂直于 af， 而我们又知道 d h 也垂直于 a f， 那 就说明 a f 呢，它是垂直于平面 e h d 的， 那么它就一定垂直于 d e， 这样的话呢，我们就完成了对第一问的证明，第二问，第二问，让我们去求圆台的体积，那这个还是非常的简单的，因为呢，我们是有圆台的体公式的， 我们只需要把下表面的半径以及上表面的半径呢都给它求出来就可以了。那下表面的半径很简单 o a 啊，它就是等于根号二的，那上表面的这个半径呢？它其实呀，就等于这个 h o 这个长度，那 h o 这个长度是等于一的，所以说上表面的这个半径 r 一 等于一，那 r 二呢，是等于根号二的，我们直接带到体积公式里头， v 就 等于三分之一派 乘以一个 r 一 的平方，加上 r 二的平方，再加上 r 一， 乘以一个 r 二，然后呢乘以它的这个高 h， 也就是这个 e h， 而这个 e h 呢，它正好是等于 o o 一 的，也就是等于二往里边代入，就可以得到它的这个体积。 接下来我们来看这个第三问，如果直线 f m 与平面 a d e 所成的这个角的正弦值为十分之三倍的根号十，让我们求点面距。 嗯，这一问呢，其实它的融合程度还是非常非常的高的，它属于呢，就是把平面解析几何和立体几何呀，给它融合到一起进行的一个综合考察。 呃，很多同学在解决这个问题的时候呢，因为我前面证明的这个过程啊，引入了一个 e h 这样一条直线，很多同学就会思索，哎，我能不能在 h 这个点去建立空间直角坐标系呢？ 因为这里上表面的这个点 m 呀，他并没有一个固定的这个位置，如果我们用 h e 去当坐标轴 z 的 话，就不太容易引入这个 m 点的这个参数值。所以啊，我们在解决这个问题的时候呢，还是要按照我们一般性质的处理原态问题的基本思路，那就是拿着这个 o o e 去当这个 z 轴，而 x 轴和 y 轴的选择呢，方法呢有两种，一种方法呀，是这样，我把 a c 和 b d 这两条线给他连上，因为呀他们两个都是正方形的对角线自动呢，就是垂直的，我就可以以这个当 x 轴，以这个当 y 轴，这是一种间隙方案，还有一种间隙方案也是比较容易想到的，那就是我这样去选择 x 轴，这样呢去选择 y 轴，这两种方案都是可以的，但是呢，还是以这个 o o 一 当 z 轴啊，这种方法是比较容易的， 因为刚才我说了这个题目他最大的难点就是把平面解析几何和这个空间向量进行了一个融合性的考察，我们关键呢要搞定这个 m 点的这个坐标，那 m 点的这个坐标我怎么搞定他呢？现在呢，我们就观察这个上表面， 它是一个半径为一的单位圆，这个 m 点呀，它就是单位圆上的一个动点。那么由平面解析几何的知识知道单位圆吗？我们在引入它参数的时候，只需要让它的横坐标为 cosine， 纵坐标为 cosine 即可，由于它的高度呢是二，所以它的竖坐标呢就是等于二的。这里我们之所以没用 x y 二这样的这个坐标形式进行运算，是因为你用了这个形式之后呀，最后还是需要用 x 方加 y 方等于一这个圆的方程，然后呢去解方程，那都是解方程，三角方程，他肯定要比 普通的那种方程要容易解一些，所以呢，我们把这个 m 点的坐标呀这样进行设是相对而言比较容易的。那现在呢，我们有了这个 m 点的坐标，我们再把其他点的坐标给他写出来，此时这个 a 点的坐标呢就是一 负一零，这个 d 点的坐标呢是一一零，而这个 e 点的坐标呢是零负一二， f 点的坐标呢是负一零零。把这些点的坐标都给他写完了之后呀，然后我们去搞定这个 a、 b、 e 这个平面的法向量，我呢就不去进行具体的运算了，它的法向量算完了之后呢，是二零一。好，那现在呀，就是 f m 向量，我们也给它写出来， 等于 cosine 加一 cosine 二 f m 向量与这个法向量的这个夹角呢，正弦值算阿了法， 那当然就等于向量与向量之间夹角的这个余弦值了。横乘横，纵乘纵，竖乘竖。上面啊就是二 cosine 加上一个四，下面呢是模，一个是根号五， 另一个呢就是 cosine 加一它的平方，加上 cosine 的 平方，然后再加上一个四，这个位置整理完了之后呢，就是六，加上一个二 cosine 右边呢是十分之三倍的 记号十。我们去解这个三角方程，解完了之后呀，他就是四 cosine 它的平方加上一个七， cosine 减十一等于零。再去解这个方程呢， cosine 它不是等于一的，它就是等于负的四分之十一的，那这个数肯定是不合理，我们直接给他舍掉， 那 cos 它，它是等于一的，那 cos 它自然是等于零的，那这样的话，这个 m 点啊，它就变成了一个固定点一零二，那我再去算 m 点到 a、 b、 e 的 这个距离，直接使用点面距距离公式就能给它算出来，最后这个距离呢是五分之二倍的 点五。这个题啊，只要在间隙的时候选择 o 一 o 二当 z 轴都是比较容易进行计算的下一个问题，这个题目呢是一道高考原题， 之所以把这个题目选出来，是因为呀，这个题目他在第一问的证明过程之中 非常非常的曲折，需要我们抽丝剥茧，层层递进的去分析每一个条件，只有你把每一个条件都分析到位了之后呢，他的这个证明才是一个水到渠成的过程。这和我们前面做的有些题目啊， 就大伤径庭，因为有些个题目我们用眼睛一看，大体上就能够明白他的思路，但这个题不然，他需要我们认真的去分析，把每一个条件都要分析到位。 首先呢一点，他是圆锥的顶点，这个条件看似简单，但是呢他的作用非常非常的大，因为顶点他在里面的投影正好是里面圆的这个中心， 同时它也意味着 b o 这条直线呢，它是垂直于整个这个圆面的， o 是 底面圆心， a e 呢是直径，并且呀 a e 跟 ab 的 长度是相等的， 底面直径与母线的长度相等。这就说明如果我们从侧面去观察这个圆锥的话，我们会发现这个圆锥的这个结面呢，它本质啊是一个等边三角形， 这三个位置的长度呢，都是相等的，并且呢这个角呀是等于六十度的三角形， abc 呢是底面圆的内接正三角形，那么我们把这个底面图形给他画出来，这里呢有一个内接的正三角形 abc， p 呢是 d o 上一个点，并且呢有这样一个非常古怪的信息， p o 等于六分之根号六倍的 d o， 这个条件它很关键， 而且呢，我们一眼看过去，并不知道这个条件它到底是怎么用的。第一问，让我们去证明 p a 是 垂直于平面 p b c 的， 我要证明线面垂直，我一定要能够证明 p a 呢，是垂直于平面 p b c 之中的两条相交直线的。 然而我们从目前分析的这些条件来看啊，没有得到任何一条跟垂直有关的信息。所以啊，我们要对这些条件呢进行一个重新的梳理。 a e 啊，它是底面的这个直径， 那就意味着 a e 这条线与 bc 这条线呢，他一定是互相垂直的，这是由垂径定律的性质知道的，这个位置是一个直角。现在我们来分析 bc 啊，它垂直于 a e， 而 bc 呢，还垂直于 d o， 既垂直于 a e， 又垂直于 d o。 把这两个条件给它放到一起，我们就可以得到。 bc 呢，它是垂直于平面 ape 的， 那么 bc 自然就垂直于 ape 之内的所有线，它垂直于 ap。 这样的话呢，我们就得到了一个非常重要的垂直关系， ap 呢，他至少已经垂直于 pbc 中的一条线了，那么我们需要他再垂直另外一条线，那我另外这条垂线上哪去找呢？ 通常来讲，如果我们在做题的时候，这种几何性质的垂直呢，我们用完了，那接下来的垂直啊，通常来讲都是跟长度有关的。 这种垂直呢，我一般称之为勾股垂直，因为我要用长度去正垂直，那无外乎就是找直角三角形，那这个条件呢，它就会显得尤为的重要，这个 p o 等于六分之根号六 d o， 也就是说这个 d o 呢，它是等于根号六倍的 p o。 现在我们观察这个结面式图，这个 b o， 它的长度呢，是 p o 这个长度的根号六倍。现在呀，我们不妨假设 a o， 也就是底面的这个半径是等于一的，那反映到这个结面式图里边，就是这个 o a 这个长度呢，是等于一的，那 d a 这个长度呢，自然就等于二。 所以说这个 d o 这个长度呢，它就等于根号三。反映到这边来，那么 p o 这个长度呀，它就等于二分之根号二。 也就是说这个位置呢，它是二分之根号二。那么在三角形 p o a 之中， 使用勾股定律， p a 的 长度呢，就等于二分之六， 而 p c， p b， p a 这三条线啊，它的长度是相等的，为啥呢？因为这个点 p 啊，它是来自于这个轴上的这么一个点，那么你过点 p， 向着底面的这个圆去做三条线，那这三条线的长度肯定是相等的，所以说这个 pc 的 长度呢，它也等于 二分之根号六。我们再观察底面圆的这个矢图，这个位置是 o， 如果这个位置是一的话，那么我们去做这个垂线去，很显然这个位置是二分之根号三呀，那么就说明 a c 的 长度呢，它是根号三。 现在我们观察三角形 p a c 这里边 p c 的 长度二分之根号六。 p a 的 长度二分之根号六，而 a c 的 长度呢，是根号三的 这个的平方，加上这个的平方，正好等于这个的平方，也就是说 ap， 它是垂直于 p c 的 三角形。 p a c 呢，它是一个等腰直角三角形，所以说 p c 也是垂直于 pa 的， 那结合刚才我们得到的 bc 也垂直于 pa， 所以 说 pa 这条线它就垂直于平面 pbc， 那 有了这个第一问作为支撑，我们再来看它的第二问啊，就要容易的多，让我们去求这个二面角 bpc 一 的余弦值，那就是搞定这几个点的坐标就可以了。 所以说呢，我们只要选择合理的方式去建立这个空间直角坐标系就 ok 了。那么这个位置呀，那肯定是当仁不让的这个 z 轴了，那我 x 轴和 y 轴怎么去搞定它呢？哎，我们可以用这里的 o e 当这个 x 轴，然后呢过 o 点去做这个 b c 的 平行线，用这个线去当这个 y 轴就可以了。剩下的呢，我们就是写这个坐标，这个坐标还是比较容易写的，我们写一下这个点 b， 自然就是负二分之一， 二分之根号三零点 p 零零，二分之根号二 点 c 呢，他跟点 b 啊，是对称关系，负二分之一，负的二分之根号三零，这个点 e 呢是负一零零。把这四个点的坐标写出来，剩下所有的认为啊，都变得非常的简单了。 最后呢，我们再来看一个以三棱台为命题背景的立体几何问题，如图，在这个三棱台之中， ab 呢，是垂直于 bc 的 这个图呀，他看起来非常非常的别扭，因为呢，他这个直角呀，放在这个位置， 这个位置啊，从我们的这个视觉直觉之中呢，总是感觉他不是很垂直，所以说对于这种非常别扭的这种题啊，我们要注意提防这种阴险的角度， ab 等于二 a 撇， b 撇等于四，下面的棱长呢是四，这个棱长呢是二， bc 呢是四倍的根号二 m 和 n 分 别是 a、 c 和 bc 的 中点，并且呢， an 垂直于 b 撇 n。 第一问，让我们去证明 a 撇 m 平行于 ab 撇 n。 对于这种线面平行的证明呢，我们第一选择肯定是在平面之内寻找一条线，然后让这条线去跟 a 撇 m 平行。那么我们观察这个仕图最容易想到的线呢，其实就是这条线。 我们假设这个为 p， 这个为 q， 现在呢，我们只要能够证明 a 撇 m 是 平行于 p q 的 即可。 我们先观察这个点 p， 因为这个几何体啊，它是一个三棱台， 三棱台呢，就意味着 ab 一定是平行于 a 撇 b 撇的。并且乞丐之中明确告诉我们， ab 比上 a 撇 b 撇呢，是等于 二比一的，那这就说明这个 p 点它一定是一个三等分点，也就是说 ap 比上 p b 片一定是等于二比一的。 同时呀，由于 m 和 n 分 别是 a、 c 和 b c 的 中点，那就意味着 m n 平行且等于 ab 的 一半。 m n 它是一个中位线，那就意味着 ab 比上 m n 等于二比一。那么我们就能够知道 q 点呀，它也是一个三等分点，所以说这个 a q 比上这个 q n 也是等于 二比一的。于是乎，我们就可以知道这里的这个 p q 呀，它一定是平行于 b 撇 n 的。 又由于 m n 平行且等于 ab 的 一半，那就说明 m n 平行且等于 a 撇 b 撇。 那么这个四边形 m n b 撇 a 撇呢，它是一个平行四边形 p q 平行于 b 撇 n， 那 么 p q， 它就一定平行于 a 撇 m， 所以 说 a 撇 m 呢，就平行于平面内的一条线，那么这个平行呢，就正完了。 当然了，这个题目呢，我们还有第二种证明方案，就是我们可以通过构造面面平行来证明线面平行。怎么构造呢？我们找到这个 n c 的 终点，假设这个终点呢，是点 p， 再找到这个 b 片 c 片它的中点 q， 然后我们顺次连接，把这个 p q 给它连上，然后呢，再连接这个 a q。 现在呢，我们观察这两个平面 m p 啊，它是 a n 的 中位线，所以呢，它是平行于 a n 的， 而这个 p q 呢，它又平行于 b 片 n。 同时呀，由于这个 p q 与 mp 呢是相交状态， a n 与 b 撇 n 也是相交状态，那就说明一个平面之内的两条相交直线，平行于另一个平面之内的两条相交直线，那么这两个平面自然就是平行的，那两个平面都平行了，那 a 撇 m 作为一个平面指定的一条线，它自然呢就平行于另外一个平面，这是第二种正法。接下来呢，我们来看它的第二问，让我们证明 ab 撇 n 是 垂直于 a 撇 b m 的， 那既然是证明面面垂直，我就需要在一个平面之内呀，找一条线，让他去垂直于另外一个平面。显然呢，这里呀，有这个垂直信息 和这样的这个长度信息，他是可以辅助我们完成对于这种问题的证明的。但是呢，这个垂直信息我们看着呀， 他还是很直接的。如果在第一问的证明过程之中，我们连接了这个 p q 这条辅助线的话，那么我们就知道这里的 a n 是 垂直于 p q 的， 这是一个非常重要的垂直关系，但是只依靠这一个垂直关系，我们没有办法完成后续的证明。 对于这种问题，通过前面几个问题啊，我们已经形成了一个比较良好的解决他的这个思路，就是当我对某一个问题看的十分不清楚的时候，我们一定要把他的这个底面给他画成一个平面图形，仔细研究这个平面图形的特点。 他这个平面图形刚才我说了，他非常非常的别扭，他故意把这个直角放在这个位置，我们从直观视觉上是没有办法直接看出特定的垂直关系的。没关系，我们给他画成一个平面图形 abc， 这里的 m n 啊，它是中点，那么我们把这个 a n 这条线给它连上，这个呢是四 b n， 这条线呢，它是二倍的根号二， 然后呢，我们再把这个 b m 给它连上。现在我们研究一下这个角它的正切值，我们不妨记这个角为角一盘前的角一， 由于 m n， 它是中位线，所以这个位置是直角，它自然就等于 m n 比上 b n， 也就是二比上二 b 的 根号二，这个东西呢，等于一比根号二，我们就不去化简了。接下来呢，我们再来研究这个角， 也就是这个角 b n a 弹它角 b n a 这个正确值呀，它正好等于 ab 比上 b n， 也就是四比上二 b 的 根号二。算完了之后呢，我们发现它正好等于根号二， 那这就说明这两个角的正切值是互为倒数的，它们相乘等于一，那这两个角一定就是互余的。也就是说这里的 b m 和 a n 呀，在这个位置它是垂直的，那么 a n 同时还要垂直这个 bm， 我 们把这两个垂直信息给它放到一起，就很容易得到。 a n 是 垂直于平面 b p q 的， 而这个平面 b p q 呢，它恰好就是平面 b m a 撇，而 a n 这条线，它又恰好在平面 a b 撇 n 之中，所以说这两个平面呀，就是互相垂直的。 这一问其实还是非常非常的难想的。他要求呀，我们有良好的解析习惯，一旦我们研究某一个问题啊，觉得他走到了一个死胡同的时候呢，一定要把他这个底面画成平面图形，仔细去对他进行研究。接下来我们来看他的第三问， b 撇 b 等于 c 撇 c 等于根号六，让我们去求 a b 撇 n 与 abc 所夹角的正弦值。 那这个题目做到这的时候呀，你可以发现就是这个三龙台，它其实是一个非常非常奇怪的三龙台，那这个奇怪的三龙台，我们想要通过建立空间直角坐标系的方式去确定一些点的坐标值呀，这本身其实是非常非常的困难的。 这个题目呀，我们就不能从空间直角坐标系的这个角度再继续向下思考了。 在第二问之中，我们证明了一个非常非常关键的信息，就是这两个面互相垂直，而且呢这条辅助线是非常非常之重要的一个辅助线。那么 第三问，让我们去求这两个平面所夹角的余弦值，而这两个平面他们的交线恰好就是 a n 这条线。 从二面角的平面角的定义出发，如果我们能够在两个平面的交线上 找到一个点，过这个点，向着这个平面去做一条线，过这个点向这个平面去做一条线，这两条线都跟这条已知的线是垂直的，这个位置是直角，这个位置是直角，那么我们就找到了这个二面角的平面角。 而在第二问的证明过程之中，我们已经证明了这样一个事实，那就是 p、 q， 它是垂直于 a、 n 的， b、 q 呢，它也是垂直于 a、 n 的， p、 q， 它恰好在平面 a、 n、 b 撇之中， b q 恰好在下表面 abc 之中。所以说，我们要找的二面角的平面角，要么就是这个角 p、 q、 b， 要么呢就是它的补角。当然了，我们要先集中完成对于这个角的运算上来。 题干告诉我们，这个 c、 c 撇的长度呢，是根号六，那就说明啊，这个 b 撇 n 的 长度呢，也是根号六。这个前面我们已经分析过了，它是一个平行四边形， 而 a、 n 的 长度呢，是等于二倍的根号六的。于是乎，由勾股定律我们就可以得到，这个 a、 b 撇的长度呢，是等于根号三十的。 现在呢，我们分析左面的这个平面，也就是这个 a、 b、 b 撇 a 撇，我们把它单画出来， a、 b 的 长度是等于四的， b、 b 片的长度是等于根号六的， a 片 b 片的长， a 片 b 片，它的长度呀是等于二的。 而现在我们又知道了，这个 a、 b 片的长度是根号三十。那么我们就可以啊，用余弦定比，把这个角的余弦值给它算出来， 这个余弦值 cosine 角 a、 b、 b 撇就等于十六加六减三十，比上二乘以四，再乘以一个根号六，也就是负的六分之根号六。 于是乎我们就可以知道，当我们把这个位置给他连接起来的时候，这个角的余弦值呀，他一定是等于六分之根号六的。 我们假设 a 撇 b， 这个长度是 x， 那 么六分之根号六，就应该等于四加六减 x 的 平方比上一个二乘二，再乘以根号六。 通过这个方程，我们可以得到 a 撇 b， 他的长度就等于编号六。而在第一问之中，我们已经确定了，这个位置与这个位置的长度之比呢，他是二比一，于是乎我们可以得到 b p， 它的长度就等于三分之二倍的根号六。现在我们观察这个三角形 b p q， 在 这个三角形之中，我们已经搞定了这个 b p 的 长度， 这个 p q 的 长度也很容易知道，它是等于三分之二的一撇 n 的， 也就是三分之二倍的根号六， b p 呢？还是三分之二倍的根号六，那么我们只缺这个 b q 的 长度，而 b q 这条线呀，它是来自于底面的。我们再回到我们最开始画的这个底面图形之中， abc m n， 把这个位置给它连接起来，这个点呢，它就是 q 这里边呀， b q 的 长度除以这个 q m 的 长度呢，还是等于二比一的。而这个 b m 的 长度 很容易计算，因为 b n 的 长度呢，它是二 b 的 根号二，而这个位置呢，它是二。所以说这个 b m 的 长度呢，它是二 b 的 根号三， 于是乎这个 b q 的 长度就等于三分之四倍的根号三。那么我们要求的这个二面角的平面角，它的余弦值 cos 角 b q p， 它自然就等于 b q 的 平方，加上 p q 的 平方，减去 b p 的 平方比上二乘以 b q， 再乘以这个 p q， 把我们计算得到的所有的长度呀，都给它带入其中，这个值呢最后就等于二分之根号二， 那么我们要求他这个正弦值，因为余弦值啊，我们还需要去确定他到底是锐角或者是钝角，但正弦值就不需要了，他一定呢就等于二分之根号。

哈喽，家人们，大家下午好，就在今天下午啊，苏州、无锡、常州、镇江四市二零二六届啊，最后一次联考，苏西长征二模正式落下帷幕， 距离高考呢，就剩一个月，所有考生啊，家长的心是不是都提到嗓子眼了，这张试卷到底怎么样？能不能代表今年的高考水平？我们老师呢，刚做完一整套，今天呢，就来给大家一次性说透。首先啊，给大家一个明确的结论，这张卷的命题质量真的是拉满了 全卷，难度呢和去年高考整体啊基本持平，但是敢预测的是，今年高考只会比去年更难一点，最难的就是他的创新力度啊，刚刚好，没有刻意的去堆砌情景题，偏题、外题， 让所有考生呢，不管基础好坏，都能在卷子里面有所收获，堪称新高考地区模拟卷的天花板，脱得了第一名。但是重点来了，再优秀的模拟卷啊，也不代表今年高考的题型啊，和方向就跟它完全一致。大家一定要记住，高考从来都是特立独行的，模拟卷是帮我们找漏洞，练手感，不是帮我们压题的，千万别掉以轻心。 接下来呢，重点拆解几道关键题，都是大家容易卡壳，也是高考的重点，一定要认真听。第一题呢，就是第八题，逻辑转化题。这道题呢，其实提醒大家，考前逻辑问题啊，一定要在系统梳理一遍， 不仅是大家的难点，更是高考难题的必备题型。还记得二零二五年高考第十九题吗？就是一道典型的逻辑转化题，到现在呢，还有好多同学他看不懂答案。然后呢，是第十八题解析几何，这道题真的一点也没有为难大家，全都是确定的量，如果到现在这样的解析几何，你还没有思路，算不到底，那一定要抓紧时间。 还有第十一题，这道题呢，特别有意思，知道方法的同学呢，会觉得一点都不难，不知道方法的根本无从下手。其实啊，他就是二零二五年高考卷第十八题的翻版，这种题型，这几年高考啊，迟早还会再考一次，大家一定要掌握方法。 整体来看呢，这张卷的把关题，第十一题、第十四题和第十九题，全都是创新题，既有思维量，又有计算量。而高考的时候，在这些位置啊，也一定会有新颖的题目来把关，大家一定要提前适应这种难度和题型。 还有一个月呢，高考大家一定要重视数学，把时间跟精力啊，多往数学上倾斜，最重要的是，最后阶段一定要有人带着你梳理知识点，纠正固有思维，才能促成思维的质变，实现提分突破。记得点赞关注哦！

二十六卷的数列如何去考呢？二五年一卷和导数结合，考了错位相减。二十五年两卷压轴题和概率结合，考了地推主播大胆预测一个数列的考法，指出行列向，感兴趣的小伙伴可以试一试。

彭伯伯讲数学，我们接着讲，仍然讲第四讲解析几何大题。解析几何大题，我们看到全国考题 二零二二年的这个题，它一直椭圆， e 的 中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、 y 轴，且 a 点是零负二， b 点是二分之三负一，两点两点 求一的方程。第二个问，过点 e， p， p 是 一负二的直线交 e 于 m， n 两点过 m， 则平行于 x 轴的直线与线段 a、 b 交易点 t 点 h 满足 mt 向量等于 t h 向量，它的证明直线 h、 n 各定点。那么这个题第一个问非常简单，你把它 列乘方程注意了，它没说焦点在哪个轴上，那么你就 c。 通用的方程，我们不用讨论啊，我们 c 椭圆的方程， 否则你就要焦点在 x 轴上，焦点在 y 轴上，要分别去讨论。 c、 椭圆、 e 的方程为 mx 平方，加上 ny 平方 等于一，因为它过 a 点是零负二， b 点是二分之三负一，那么代入 就可以得到一个方程组了。四， n 等于一，四分之九， m 加 n 等于一截制得 m 等于三分之一， n 就 等于四分之一。所以椭圆的方程就出来了， 为 y 平方除以四，这是 三分之 x 平方等于一，说明焦点在 y 轴上啊，焦点在 y 轴上，那么第二个问， 那么我们把大概图画出来，来画个图，减一图， 这是 x 轴，这是 y 轴，长轴为二， 长轴二是坐标原点，那么短轴为根号三 二根号三一点七，一二一点七。椭圆 我发个简易图，它 p 点是一 s 一 负二， s p 点 一负二的直线交于 m n 两点 交于 m n 两点。我们把 m n 随便画一个， m， n 两点 过 m， 这是直线 m n 做平行 x 轴的直线 角 a b， a 是 负二零负二，这是 a， b 是 二分之三负一， 二分之三 半负一，这是 b 点 在椭圆上 a b 两点， 那 a b 两点 过 m， 平行于 x 轴的直线， 平行于 x 轴的直线，平行于 x 轴的直线角 也是平行于 m， a， b 交于 t， 也是 a， b 交于 t， 这是点 h 满角 m t m t 等于 t h， 那么也就说，那么 h 应该与它啥子共线？然后 h 点这儿我们不晓， 晓得啊， h 点我们不晓得。那么大概 如果挑个头发啊，挑个头发 a m 啊 m m 这是一种发法。还有一个就就将就这个嘛，就将就这个 n h， 然后 t h t h 向量应该是与它平行 t h t a m t 然后 t h 我 们不忙着写发这个 h 出来，我们先把求一下再说啊，求一下再说。 那么第一个问我们求出来了，下面我们下一节课求第二问。

黄伯伯讲数学，我们接着讲，仍然讲。第四讲解析几何大题。我们前面讲了今天考题一，今天考题二，我们下面接着讲今天考题三， 今天考题三，是二零二五年全国第二卷第一个考题，你看到我们这个题，它一直拖延。 c 是 a 平方乘以 b 等于零的离心率是 二分之，根号二，长，组长为四，喊你求 c 的 方程。那么各点零负二的直线 a 与这个 c 交于 a、 b 两点，零为轴， o 为坐标原点。若三角形 o， a、 b 的 面积为根号，喊你求 a， b 的 长，求 a， b 的 a， b， d 长，那么这一个题难度也不大。第一问应该是会有多大难度那么减。 第一，那么由于存储有已知 a 应该等于四，除以应该等于二，那么 a 等于二啊。 由于离心率 a 分 之 c 的 一个方程来解析，我们这里就不接了，直接可以写结果。那么由已知可以得 a 平方 等于 b 平方加 c 平方， e 等于 a 分 之， c 等于二，分之根号二。截至得 a 等于根号二， c 等于根号二。所以椭圆的方程 y 四分之 x 平方，加上二分之 y 平方等于一。这是第一问。第二问 相对来说和刚才类似，但是我把减一除 y 住，这个为二二， 讨厌啊讨厌，他告诉你了，他过定点零和负二 s 负二 s 顶点，我们把它设为 p 点嘛，这个顶点，那么这个 p 点，它说与这个 交汇量点 a 和 b， a 和 b o， a， o， b 这个三角形，它告诉的面积是根号儿，根号儿。那么像这样的一个题，那么首先都弄清楚，它是斜率是存在的。有 t， e， 那 么直线 l 的 斜率是存在的， 斜率是存在，所以我们就可以设 直线 l y 等于 k， x 减二， a 点 为 x 一， y 一 b 点 x 二，这是 c 二不求，那 p 点就是零负二啊。 p 点我们把它标出来，减零 四分之 x 平方加上二分之 y 平方等于一， y 等于 k， x 减二，那么消去 y， 可得乘以就得二 k 的 平方加一， x 平方减去八 k， x 加四等于 等于零，那么判别式这儿哈，就该等于三十二 k 平方减一十六，这个要交一两点，要大于零的啊，特别是这个要大于零，交一两点嘛，因要用，因为交一两点嘛。 啊，那么有点儿它大于的，那么可得 k 大 于二分之根号儿，或者 k 小 于负的二分之根号儿啊，小于二分之根号儿，那么用伟大定律 可得， x 一 加 x 二，就该等于 二 k 平方加一分之八 k 负的 a 分 之 b， x 一 乘 x 二，就该等于 十二 k 的 平方加一分之四，这个是大于零的，那说明两根同号， 两根同号，也就是说，那么还有一种情况，可能是这种情况， 这边我这里只画了一边，那只画了一边两根，那么由 s 三角形 oab 就 等于 s 三角形 o p b o p b 减去 s 三角形 o p a， 它就该等于二分之一 x 二 o p a， 这是 x 二累积乘以二乘以二，乘以 x 二， o p b 减去二分之一乘以二乘以 x 一。 由于它两个同号，所以马上就可以得到了，是 x 二减 x 一， x 二减 x 一， 那么就可以等于二 k 的 平方加一分之根号，这儿哈，这个等于，这个没得问题， 你自己去画了，你可以写成根号下这个的平方啊，里头的平方，然后把它展开配方，就会得到这个数就要等于根号二。 一致的这个面积为根号二，那么这个点儿它是等于 b 平方减四， a、 c 马上就可以解得。 截止得 k 平方等于二分之三。为什么只求 k 平方？因为我们距离公式，故 a b 的 距离就该等于 k 平方。加一乘以 x 二减 x 一， 那就该等于。 因为 k 平方带进来，就该等于根号下 二分之五乘以 x 一 减 x 二等于根号，所以这个就等于根号。所以我们就把这个题解完了啊，这个题解完了，这个题相对于不是特别复杂啊，相对于也不是特别复杂。

立体几何共面问题今年会成为考点吗？洁面去解体形成的焦点问题。反一，利用肌底向量共面可以解，反而采用间隙把三维转化为二维解方程组。

黄伯伯讲数学，我们接着讲，仍然讲第四讲解析几何大题。我们讲今年考题二，这是二零二三年全国的一个考题，全国的一个考题，我们前面讲了第一问，下面我们接着讲第二问啊，接着讲第二， 那么由题可知，我们发个简单的图，这是 x 组， 这是 y 图，发个矢图， 负二，这个是三。 椭圆椭圆方程，它说过点负二， 我们把负二和三，这是负二，这是三， 这是这一点啊，过这一点，他说过这一点的。直线交于 我，把它划成直线嘛，慢点 p q， 我 们把这是 b 点嘛，把它叫 b 点嘛。负二和三，那么交于 p q 两点 啊。交于 p q 两点，那么直线 a 点， a 点是负二和零，这是 a 点， 这是 a 点，那么 a p， 这是 a p， 这是 a q， 它与 y 处交于两点， 你看这里还不够，还要画发出去点，这是 y y 出， 这是 m， 这是 n， 他 说 m 和 n 的 中点是一个定点啊，是个定点，因为这样的直线有很多，你看嘛，各定的定直线， 那么由 t e， 我 们首先就得像这种。我们把要把直线方程设出来，一定要设，通常第一步就是选参数，选参数的话，一般是设或者是设动 设点。我们设的直线由 t e 至 p q 直线 p q 的 斜率是存在的， 否则的话你还要讨论。那么是 c p q 的 直线方程为 y 等于 k 点，斜式加二加三，因为它过二和三，过 b 点啊。二和三， c p 点的坐标， p 点为 x 一， 这是十二，不求口点为 x 二 y， 那 么列列方程，这个是最基本的，一定要列列方程。 y 等于 k x， 要注意运算啦。 九分之 y 平方加上四分之 x 平方等于一，那么把 y 带到这里面来整理， 那么消去 y 可得 整理，我就再不整理了啊，这里带进去直接平方，然后把这个再平方，再把它平方出来，这个是就要计算了，得四 k 的 平方加九 x 平方加八 k， 二 k 加三 x 加上十六 k 平方加三 k 等于零，那么这个需要立整零。同时我们要看， 因为这条直线交于 p q 两点，那么我们首先要把 k 的 范围大概要找到，因为这个点儿它 应该是要大于零的。 b 平方减四 a c， 这个就把这个带进带进来，那这个六十四八百六十四 k 平方， 二 k 加三平方减六十四 乘以四 k 平方加九乘以 k 平方加三 k， 这个把它整理出来， 整理出来就得负的一千七百二十八 k， 这个要大于零，那么可得 k 就 该小于零，也就说这个斜率 k 要小于零啊，要小于零才有 pk 两点啊，才有 pk 两点。那么由伟大定律， 那么马上就得到 x 一 加 x 二等于 八 k 负的 a 分 之 b， 八 k 乘以二 k 加三，再有四 k 的 平方加九 x 一 乘 x 二， 这个等于四 k 的 平方加九分之一十六 k 平方加三 k 啊加三 k。 那 么现在我们就要写 a p a q 的 直线方程，因为 a 点是负二和零， 那么 z 直线 a p 马上就可以写出，这个等于 y y 一 x 一 加二， x 加二零， x 等于零，就得交点了 𠮿 a c 零马上就截止得 y 等于二 y x 一 加二，那么 g m 点 m 点零， x 一 加二分之二 y， 那 么同样的道理， a q 同理我就不去， 你把 a q 的 方程写出来，然后求得 n 点的坐标是零， x 二加二分之二 y 二。 好，这个解出来过后，它终点的坐标，那你就把终点算进行计算，这个上述就得就得行了。那么 m n 的 终点坐标， m n 两点的终点坐标 为，终点的重坐标为， 中坐标为。先把中坐标求出来，横坐标是零嘛，那么中坐标就是二分之 x 一 加二分之二 y 加上 x 二加二分之二 y 二， 这个把它整理，这就是运算了，那就是 x 一 加二分之上面把 y 换了 完成，因为它满足这个方程，满足这高头这个方程啊，满足高头这个方程。反正 k x 一 加二加三，二除掉了 𠮿， 这是第一个。加上 x 二加二分之 k x 一 二加二加三， 那就是。那么我们就构造把它通分整理嘛， 就该是 x 一 加二， x 二加二，上面就是 k x 一 加二 k 把它乘进去 𠮿 二 k 加三乘以乘以 x 二加二加上 k， x 二加上二 k 加三， 乘以 x 一 加二，这个神奇出来。我们要用伟大定律把 k 神奇出来，那就是 x 一 x 二加上二倍 x 一 加 x 二， 把它全部化成 k， 上面就得二倍 k x 一 x 二加上四 k 加三，乘以 x 一 加 x 二。为了用维达定的了噻，四倍二 k 加三 啊，二 k 加三，然后把再利用维达定的把它带进来， 下面 x 一 x 二就是四 k， 这个加九分之一十六，这个一定要带进去啊，不凑分儿。三 k 加减去 四 k 的 平方加九分之一十六 k 乘以二 k 加三加四分子，这个是 k， 把它 四 k 的 平方加九分之三十二 k 乘以 k 平方加三 k 减去 四 k 的 平方加九分之八， k 乘以四， k 加三，乘以二 k 加三，再加上四乘以二 k 加三，这个把它 一通分药调颠倒药调，实际上把它化解就是三十六分之一百零八，那么就等于三。所以线段 m n 的 终点坐标 为定点零和三我们就求出来了 啊，求出来了，我们注重它的思想，一定要注重点。这里运算有点复杂，实际上就主要靠运算，要用伟大定律来解解决。

黄佩佩讲数学，我们接着讲，然后讲第四讲解析几何大题，我们讲今天考第四，我们前面讲了第一问啊，第一问把这个椭圆的方程求出来，我们这必为了避免讨论长除和重除，因为我们 不知道哪个是焦点在哪里头，必须要通过求了过后才知道焦点在哪个上，我们求求出来了。然后第一问讲完了，我们第二问，三节课 我讲到画了个图，由于这里画不下，我就没画了啊，没画了，我们接着这个图。如果是过了个 p 点，这条直线交于 m n， 我 这里是 m， 这里是 n， 那 么作过 m 的平行于 x 轴的直线交于 a， b 于 t 啊，于 t， 他 说 mt 这个向量等于 t h 这一个 这个相， t h 这两个相等，然后他说 h n， 他 说固定点啊，固定点。我们先讨论特殊情况啊，特殊情况 为了变为好看，我把这个图案为了变为理解，我把它挑了个方向，这里是 m， 这里是 n 啊，这里是 m， m 是 n， 因为 a 点 是零负二， b 点是二分之三负一，所以 ab 的 直线方程 两点式就可以求出来，那就是 y 加二等于三分之二 x 啊，三分之二 x。 那 么第一个你要分别讨论直线了，就是说 过 p 点的直线，若过 p 点是一负二的直线，斜率就是这条线啊，这条线，这条线过 p 点的斜率 不存在，那么就要垂直于 x 组，那所以过这个点的直线，那么就是直线方程就为 x 等于一，那么代入 y 平方，三分之 x 平方等于一，马上就可以就可得 把这个带进来， x 乘一带进来，就得到 m 的 坐标是一负的三，我写的这一个哈， 这个你也可以恁个标啊，我是画在上面的，你只说 m c 反反斗。行了，为了便于看我斗，直接写成这种形式啊，这种形式。这个图为了便于和这个图吻吻合啊，这个图吻合， 那么就是根号六， n 就是 一，三分之二百根号，如果是你挑了，那就这个是 m， 这个是 n， 然后代入 a b 的 方程 y 等于三分之二， x 减二，马上就可得 t 啊，因为 m n 就可以得到 t， 用 ab 的 方程 m 的 坐标为它，那么这一个平行于 x 处，那就是 y 等于负，三分 y 等于负，负的三分之二百根号路就是这条线，那么带进去就得到了 t， 我得 t 解出来， t 的 坐标就是负的 根号六加三和负，这个不变啊，这个不变。第二问， 有 mt 这个项链等于 t h 这个项链， 那么马上就可得，因为这两个项链 t 减 m 啊，然后 t h 啊 h， 我 们是个未知数，你可以把它设成未知数，就可以马上就可以得 h， 这个坐标就得负的 二倍，根号六加五和负的三分之二倍。 根号六，它平行于它赛 h， 那 么求可求得 h， n 的 方程为 y 等于二加三分之二倍，根号六， x 减二， 那么这条直线肯定过 a 点过定点，它过点零和负二啊，过点零和负二， 那么第二。第二个就是，如果点 p 是 一负二的直线斜率存在， 那么就会设 y 等于 k 乘 x 减二。国内点 𠮿 点起是 k， x 减二减一， 应该是加一 减加，这里减一减一应该是加二点写四啊，即这嘛写多写一步嘛， 就是 y 减二， c 为 y 减加二等于 k， x 减一啊，减一几， 这个是那年龄，同时还 c a 点 c m 点的坐标 c 适而不求 c m 点坐标 x 一 y 一。 千万不要去解这个，这个解起来就很烦恼哈。年龄 k x， 把它整理一下， k x 减 y 减去 k 加二等于零，这里是四分之 y 平方加三分之 x 平方等于一。 那么整理消除 y 嘛？消除 y， 消除 y， 就 可得三 k 的 平方 加四， x 平方减六 k 二加 k， x 加三 k， k 加四等于零等于零。用伟大定律 一一定离不开它啊！伟大定律，那就得 x 一 加 x 二等于三 k 的 平方加四分之六 k 二加 k， x 一 x 二乘积就是三 k 的 平方，加四分之三 k 乘以四加 k 啊，四加 k， 那 么同时你可以把它 换成 y y 一 加 y 二，因为 m n m n 是 在这个直线上的啊，在这个直线上，因为 m x 一 x 二 y 一， 那么它 x 一 y 一， 那么带到哪个里面去呢？ 带到这个里面来， x 一 y 一， 这里换成 y 一 y 二， y 一 等于 k， 就是 我带到这个里面，把 y 一 y 加起弄来，那么就马上可得 y 一 加 y 二， y 一 乘 y 二，它就该等于 三 k 的 平方，加四分之负的八二加 k， y 乘 y 二，就可等于三 k 的 平方，加四分之四乘四加四 k 加减二减二 k 的 平方，减二 k 的 平方。 且我们要用到的 x 一 乘 x 二， y 二加上 x 二乘 y 一， 那么就可以等于三 k 的 平方加四分之负的二十四 k。 这是一个式子，这几个式子 又连你，再连你，连你什么呢？ y 等于 y 一， y 等于三分之二 x 减二。目的，我们要求 h 和 t， 那 么就马上就可以得到 t， 截取出来就是二分之三百 y 一 加三 y 一， h 是 三， y 一 减加六减 x 一。 y 一 截出来了，那么 马上就可求得 h n 可得 h n 方程。 y 减 y 二等于 y 一 减 y 二三倍 y 一 加六减 x 一 减 x 二乘以 x 减 x 一 乘以 x 减 x 一。 然后将 这个十字 二十 将零负二代入二整理 可得二倍 x 一 加 x 二减六倍 y 一 加 y 二加上 x 一 y 二加上 x 二 y 一 减三倍 x 三倍 y 一 y 二减一十二等于零， 等不等？带入这这个里面，它等于零。那么把一和有一 和伟大定力定力合一，代入上世，代入上世，他 整理它就为零了啊，整理它自己就直接为零了。整理二十四 k 加一十二 k 的 平方加九十六加四十八 k 减四十八减四十八 k 加二十四 k 的 平方减三十六 k 的 平方减。这个是指 再减四十八，它是显然等于零的，是成立的啊，它是直接算，它是显 显然成立。所以中上 综上可得直线 h n 各定点 零负二。我们是验证的办法啊，验证的办法来证明这个事情。

好，大家好，距离高考越来越近，今天的话我们大胆来预测一下二零二六年新高考二卷解答题的出题顺序，为大家接下来的冲刺做一定的参考。好，我们先说结论，那解答题的话，第一道大题会考察概率统计，而且测中会以非限性回温来出题， 第二道大题的话会考察我们的数列，第三道考察我们的例几何，然后最后两道的话就是回归我们传统的主流压轴格局，就是解析几何加导数。 为什么这样去预测呢？主要原因有两点，第一点的话就是基于我们新高考二卷的密题滚动规律，以及压轴题跨模块融合的两大原则。说人话就是二十四年的话，我们已经考察的是以解析几何作为压轴题，然后综合了一点数列。 二五年的话是以概率统计作为亚洲题，然后也综合了一点数列。所以二六年的话就该我们导数回归，然后作为传统的亚洲题，然后他会叠加一点三角的知识。 因为前两年已经分别以解析几何和概率统计作为亚洲题，所以今年的话该把导数作为亚洲题，然后前面的话 三角和竖列二选一出大题的话已经连续两年以三角函数出大题，然后今年的话该以竖列出大题，这样的话三角正好作为与导数融合将处最为恰当。 第二个原因的话，就是大家会发现前一年新高考一卷的出题顺序对下一年新高考二卷的出题顺序会一定的导向作用。 比如具体我们看二四年新考一卷他的大体出题顺序和二五年新考二卷的出题顺序一模一样，所以我们也大胆去预测二六年新考二卷的出题顺序和二五年新考一卷的出题顺序会一样， 这样的话，两点原因分析下来大家会发现它的结果是一模一样的，所以这就是我们得出今年的初级顺序的一个依据。好答案，具体今年二六年的真题怎么去出，那我们一起拭目以待。好关注薛老师学习数学不迷路，让我们一起把课本变薄，等你变厚！