泰安市二模数学第十题步骤

啊，各位同学大家好，四二零的教育联盟按摩的第十题是整张卷子，这个题是什么？可以说是最难的，很多同学十个里面有八个人可能不会做 好。来听听张老师的解析思路，答案的话比较什么复杂和繁琐。好，你听张老师的思想，来一起来看题啊，第十题，那第十题桌讲什么呢啊？ ab 与 ac 是 相等，对吧？说明这是什么？等腰三角形，等腰三角形一定会想到什么呢？会想到是三线什么合一对不对？哪三线高对吧？然后呢？ 中线对吧？中线和什么角平分线对吧？角平分线对不对？看到这些你就会想到这结论，然后 d 呢？是什么？ ac 的 中点，说明这是什么？一半一半， 然后这个呢？ b e 对 吧？是什么？是 e c 的 啊？ b， e 是 e c 的 二倍，也就是这个是 e， 这个是二倍，对吧？假设啊，然后呢？ b， f， e 对 吧？这个啊，然后等于什么？ b a， c 就 这两个角干嘛相等？ ok 啊，好，这两个角相等， 让你球是判在下面的， a b， c， d， 如何来球啊？首先看到中点的话，我能想到什么呢？各位同学，我们除外。学的最常见的叫什么叫做 啊？我不知道你们有没有忘。叫做截长，什么补短啊，截长补短来构造什么？全等三角形啊，全等三角形对吧？这是他的什么解题的思路啊？来构造看到终点吗？对不对？ ok， 那 第一个 d c f d， c， f 和什么？和 d b c， 它叫这两个角是否是相等，是不是相等？好，我们来证明一下啊，看一下啊。 ok， 那 这个角， 这两个角是不是相等，如何来证明呢？感觉没办法来转化，也没办法倒角， 缺少什么？缺少 r t 三角形，那如何呢？我们知道，如果说两个三角形，两个，对吧？三角形干嘛呢？相似，那相，相似的话啊？ 相似，那相似的话，里边是不是角比较什么？都相等了呀？对不对？相似，那我是不是就要证明这两个角相等？是不是证明这两个三角形干嘛？ 相似就行了？这两个角对不对？那如何来证明呢？看到啊，那这个三角形和这三相不相似，明显相似。什么形？子母形，对吧？共边， 对吧？还有一个共角，那这个三角形和这个三角形是不是也是相似的？是什么形？也是字母形，对不对？也是字母形，共角，共边，对不对？所以 好，根据什么相似来进行什么突破点来， ok， 那 有一个公共角了，对吧？ ok， 那 你看啊，这是这，这角和这角相等，对不对？ ok， 那 我说这是 x， 行不行，对吧？那这个呢？ 是多少？是 y， 那 说明这个角什么？扇形外角是 x 加 y， 对 不对？因为这个角和这个角相等，说明这个角也是 y， 对 不对？能，能跟上吗？能不能？所以呢，这个角是 y， 这个角呢就是 x， 呸， 嗯，这个角是 y， 那 这个角呢？也是 y， 好， 我们再走一遍啊再走一遍，好，我是注意听啊，注意听，我说这个角为 x 吧，好吧，这个角为 y， 对 不对？那这个外角呢？是多少？ x 加 y 行不行？对吧？因为这个大角和这个角什么相等，所以说这是 x， 那 这个角不是这个，是 y 了，这个一定是什么？ x， 对不对？这下是一定是 x， 所以 什么？这是 x， 这是 x， 说明什么？有一个角相等了，还有公共角，对不对？所以这个三角形和这个三角形干嘛呢？就相似了， 对不对？两个角相等就证明什么？这两个三角形干嘛相似？那相似的话，是不是公共边的部分，是不是就 a、 d 的 平方就等于什么？和 d 有 关的，是吗？是 d、 f 乘以什么？乘以 d、 b， 对 不对？和 d 有 关的啊？ ok， 对 不对？ ok， 那 再来看啊，再来看那 d， 继续走啊，继续走啊。我，我先画一下，我先写一下，三角形相似的话，就是 a、 d 的 平方，就等于，对吧？ d、 f 乘以什么？乘以 d、 b， 对 不对？ ok， 那 因为这是中点，对吧？所以说 a、 d 就 等于什么？ d、 c， 对 不对？所以说 c、 d 的 平方也等于什么？ d、 f 乘以什么？ d、 b？ ok， 这个题的好处好在这里，它能够转化，对吧？因为它两个是相等的， 大家看一下，对吧？那 a、 d 啊，不是什么？是 d、 f 乘以 d、 b 就 等于 a、 d 的 平方是不是相似三角形的？什么叫逆？叫什么？ 逆定律对不对？叫逆定律。只要 a、 d 存在什么，它乘以它，就能证明这两个三角形干嘛 是相似的，对吧？逆，一定。我们知道，如果说这两个三角形相似，那有什么？ c、 d 的 平方等于它，乘以它逆过来，对不对？ ok， 那 明显的这两个三角形干嘛呢？就相似了啊？就能推出什么，就能推出三角形，什么 c、 d、 f， 对 不对啊？相似于三角形什么 b， d， 什么 c？ 那 相似过后，你看这个三角形和这三角形相似，这是公共部分，你说这个这个角和这个角相等，相同吧？这个角就是什么？就是它，对不对？这个角呢？就是它，所以 a 呢，就做出来了呀？ ok 啊，轻轻松松能听懂吗？利用是什么两个三角形相似来进行转化啊？ ok， 好， 再复盘一下，主要是要想求出这两个角相等，只要证明这个三角形和这个三角相似，对不对？如何来证明呢？那证明这个三角形和这个三角形相似，相似过后呢？存在什么 d， 对 吧？那 a、 d 的 平方就等于什么 d f 乘以什么 d b， 那 同样的 a、 d 就 等于什么 d， f 乘以什么 b、 d， 对 不对？所以用这两个三角形去相似，相似的话，对应角是吗？相等就解决了 a 选项没问题吧？ ok， 那要想证明什么？角的平分线， ok， 就是 角的平分线。那看到啊，各位同学， 我为什么会做这两个呢？因为我们知道角的平分线到两边的垂直距离干嘛是相等的，对不对？所以呢，我就什么 延长他，因为是终点，截长补短，对不对？然后呢？延长他做垂线，延长他做垂，为什么做垂线？因为要想证明角平分线，我就想做垂线，这是什么？他的逻辑思维在里面对不对？那 目前这我要想证明什么？ f、 c 是 平分与，对吧？平分与 d f e， 我 只要证明什么两边对吧？ 垂线距离相等不就行了吗？到这两边距离相等，就就能证明它是角平线，这是它的底层逻辑，对吧？能，能听懂吧？底层逻辑再来，那如何证明这两个三，这不如何证明这边和这边相等呢？各位同学 啊，这是一个正点对吧？这是一个正点，来看一下啊，那这是什么？这是做垂线了，对不对？这是做垂线，这是做垂线，对吧？ ok， 好， 还有呢还有呢？那。嗯，如何来证明呢？ 好，好不好？整，好整，对吧？然后呢？这条边我是怎么来呢？我是什么啊？ a， b， c， d， e， f， g 吧，好吧，这个是 g， 好 吧？ ok， 那 做的什么？ c g 平行于 ab 啊？平行啊，平行过来的，所以这个三角形和这个三角形 想全懂。为什么全懂？如果全懂后就能证明这两个边相等，这两个边相等就在什么角平分线上， ok， 就 能证明了。如，对吧？如何来呢？ ok 啊，有一个直角了，对不对？有一个直角了，还有了， 对吧？明显的是什么呢？明显的是这个是多少？哦，我设置是 x， 行不行？可以吧。这是 x， 对 不对？那这个，那 x， 对 吧？ ok， 那 这个角和这个角相同，这个是什么？平行对不对？所以说这个角和这个角看嘛也相同，这个角是 y， 对 不对？是不是啊？ ok 啊， 好，这个角是 y 啊，因为平行嘛，对不对？这个平行对吧？ ok 啊，这 y 啊，这是 x， 这是 x， 对 不对？那这个呢？这是 x， 这 x， 对 吧？ ok， 好， 来，那这个两个三角形干嘛？ 相不相似？有两个角相等，对不对？嗯，他比他是他的爱倍，那他，那他比他也是他的爱倍，所以说这是 x， 说明这就是 x， 对 不对？ ok， 好， 这就是 x， 对 不对？所以呢？所以这是一个直角，这是一个直角，这是 边上 x， 这个呢？边上 x， 对 吧？还少一个条件证明两个三角形全能，还少哪一个呢？再找一个角吧。这个角吧。 哪个角啊？这个角？这个角。这是 y， 对 不对？这是 y， 对 不对？这是 x， 对 不对？那这个角和这个角是什么？对，顶角对不对？说明这是多少？ 这是 x， 嗯，加 y， 对 或 x 加 y， 对 吧？是不是？或者这样的，对吧？ ok， 这两个三角形内角等于这个外角，对不对？对吧？这是 x， 说明这多少？这一定是 y 的 外角嘛，对不对？说明这个角是吧？这个角是 y， 那这个角是 y， 又对角，说明这个角是多少？这个角是 y， 对 不对？是不是？ ok 啊，好，这个角是 y， 那 来了，对吧？这个角和这个角是 y， 这是垂直，这是垂直，对吧？这个边和这个边是多少？ 是 x， 对 不对？叫做什么？叫做这两个三角形全等啊？画一下这两个三角形就全等了啊？ ok， 这两个三个全等用的是什么？用的是 s， s， 呃，是 a， s， 对 不对？两角加一个边，对吧？全等过后，所以说什么这条边和这条边干嘛， 对吧？对应干嘛？对应就相等，那这两边相等的话，垂直的话，一定在什么他的什么角平行上就能推出来了，简单吧？ ok 啊，这第二小问， ok 啊，第二小问 好，第三小问的话，如果证明是九十度也比较简单，来，我们看一下。要想证明 b 啊 ac 为九十度，对不对？那这个角是不是就等于这个角，对不对？我们知道这个和这个是平行的，对吧？我做出来平行，那平行线的话，他们的内角干嘛？说互补对不对？也说这个大角和这个角加起来等于多少度？ 等于一百八，对吧？是一百八十度，对吧？那这个角和这个角相等，所以说这个角加这个角也是一百八，对不对？那这个角加这个角呢？平角是多少？也是一百八，所以呢？我推出来他加他等于，他加他也等于一百八，所以说什么？ 他加他等于一百八，对吧？他加他也等于一百八，所以说减去公部分，所以这个和这个什么就相等，看到了吗？ ok， 又因为有有上一位，我知道这个角和这个角是是相等的，为什么？因为这个三角形和这个三角形干嘛？ 是全等，对不对？那全等过，所以说这个角和这个角呢？是相等，那这公共部分，所以说这个角加这个角等于他，那这个角加这个角等于他，所以这个大角和这个大角相不相等，是相等的，对不对？所以这个角加这个角也等于多少？多 等于多少？多等于一百八，对不对？等于一百八，那等于一百。嗯，这个角加这个角是等于一百八的， ok 啊，那看，嗯，再来。 嗯，其实我看到这个直角，这个直直角就会想到什么共圆，对不对？是不是？各位同学，其实第二小问也比较简单，对吧？如果是四点共圆又是什么？ f 这个点，这个点，这个点四点共圆了，对不对？那这个角和这个角干嘛？ 这个边和这边相等，相等的话，那对应的圆周角也相等，对不对？你看，思路又来了，对吧？展开的思路又来了， ok， 好， 再来，好，再来啊， 那刚刚已经推到哪了？推到哪了？推到是这个角，对吧？然后这个角加这个角是多少度？是一百八十度，对不对？ ok 啊，好， 那这个角和这个角相等，对不对？那，那这个角加这个角也是一百八，对不对？所以说什么？这两个角是什么是相等的？那这个角和这个角是什么是相等的？所以说这个角加这个角是多少？ 一百八，而且是什么？是相等的，对不对？所以这两个加加起来是一百八，而且是相等的，所以说什么？这是多少？ 嗯，所以说什么？各是九十，对吧？相等加起来一百八，所以说这就多少度？九十度，那这是九十度，那这是多少度？也是九十度。因为这个角和这个也相等，所以说这个也是多少度？也是九九九十度，对吧？是不是？ ok， 其实绕了对不对？那这个角已经是九十度，那这个角也是九十度，因为什么？因为是。 呃，平行互补。直接就等于几直接就等于九十度，对吧？一题多解，轻轻松松，能跟上吗？能不能啊？这题就选什么选到四 d 啊。我讲的就是什么？思想啊？思想 逻辑思维啊。思想。好，再复盘一下，再复盘一下。对，大家再复盘一下。那这个角有题目已知条件，对不对？这个角和这个角是相等的，对不对？那平行的话，说明这个角和这个角是什么？ 加起来是多少度？是一百八，对不对？那这个角加起来这个角是也是一百八，这两个相等。你说这两个相不相等，相等对不对？那这两个角 这两个角相等。因为这个角和这个角什么是相等？加一公部分，所以呢，这个大角和这个大角呢是相等，所以说这个大角和这个角呢也是相等的，而且呢， 加起来等于一百八，为什么？因为更圆，对不对？更圆，这是九十，这个九十加起来是一百八，那这个角加起来这也是一百八，而且两个都相等，就是 x 加多少 就等于几？一百八， x 就 等于几，就等于九十。 ok， 又复盘了呀？ ok， 好， 今天呢，就讲到这里，大家辛苦了，拜拜。记得给张老师点点关注点点赞。

每到晚上，你只变得感性，我编了这条短信，说不在乎，不过是我嘴硬，总在期待你有什么反应，对你没法保持那份冷静，偷偷想着我们之间关系的远近，我的心里没有任何的侥幸。我知道我的爱对你来说就好像软禁，我们都闭口不 言期，夜空是否还是那么聪明，我说的又开始不着了边际可是没有你。我说的又开始不着了边际可是没有你，我也难过的像长针一 下次会更好，也开始更加了解你的脾气。可是下次我们还是争吵，下次可能还是不留余地 一步。人看你这么痛苦又不愿离去。 i know follow he just so wherever you go， wherever you go。 一 直都搞不定自己的情绪，在你走后 wherever you go。 你知道我的心一直都在原地为你等候。其实对天气不感兴趣，想知道你会不会太凉，没法完成那份陪伴，孤独你会不会再不知。

这是近期山东泰安二模中选择题的最后一道题。先看题目，矩形 a b c d 中长是四，宽是三，一点是宽， ab 上的动点 e f 和 b d 平行， f g 又和 e f 垂直。让我们求线段 e g 的 最小值， 分享两种方法。方法一，有已知的平行和垂直，我们知道这也是个垂直，而且 f t 比上 b e 是 四比五的关系，因为小白三角形的三边刚好是三四五的比例关系。同时你还会发现橙色三角形也是个三四五，所以 b t 比上 b g 也是四比五， 所以这两个直角三角形相似。那么 b f 垂直对角线 a c 时，最小口算是五分之十二，此时 e g 也最小， 用五分之十二乘以四分之五，刚好等于三。方法二，延长 e f 与 a d 相交，因为这两个都是等幺三角形，所以 e f 和 f k 相等，由三线合一，我们知道橙色的也是个等幺三角形， 所以 e g 和 k g 相等。虽然这两点都是动点，但是我们知道 k g 永远是大于等于矩形的宽，也就是三的。

这个第四题结合图像，我们可以知道， p q 两个点处于起点的时候，它的三角形的面积是四十八，而在这种状态下，三角形的面积刚好是矩形 abc 的 一半，也就说矩形的面积是九十六， 矩形的宽是六，所以它的长 a 到就是十六。 a 选项就对了。当 t 大 于等于六秒的时候，函数图像是一条线段，那就说明在六秒的时候， p 和 q 其中一个点到达了终点。 如果点 p 到达终点 c， 那 这个时候三角形的面积就固定了，它不会变化， 所以肯定是六秒的时候 q 到达终点。你看啊， q 在 终点 b 的 时候，我们三角形到 p， q 的 面积，它的高就已经固定了，而它的底边你是可以用 t 表示出来，就呈现出个一次函数的解析式，所以肯定是条线断了。 那么也就说点 p， q 从 a 到 b 需要六秒，而它的路程也是个六，所以点 q 的 速度就是一个单位长度每秒 b 选项也就对了。 这道题的难点在于 c 到两个选项，那你点 p 和 q， 如果不在特殊位置的时候，这个三角形的面积并不好表示，所以我们采用大减小的方式。 q 的 速度是一 a， q 的 长度是 t， b， q 是 六，减 t， 点 p 速度不知道，那我们就假设点 p 的 速度是为 b， p 的 长度就是为 t c， p 的 长度是十六，减去为 t。 接下来就可以表示三角形到 p q 的 面积 s 就 等于九十六，减二分之一乘以十六，再乘 t 减去二分之一，乘上六，减 t 乘以 v， t 再减去二分之一乘以十六，减 v， t 再乘一个六去括号化解， s 就 等于二分之一 v， t 方减去八， t 加四十八。 实际上你这个 v 也就说点 p 的 速度是固定不变的，只不过我们并不知道它等于几， 这样的话你就可以把这个 v 看成一个参数，而 s 就 可以看成一个关于 t 的 二次函数。那很明显， s 要想取得最小值， t 就 需要等于二次函数的对折轴，我们利用 f 的 b 可以 求出来，当 t 等于 未知八的时候，面积取得最小值，那刚刚好，未知八就等于已知条件的四，所以这个点 q 的 速度为就是两个单位长度每秒。 c 选项，他问的问题是面积取得最小的时候， p 处于什么位置，速度是二，时间是四， 所以 b p 的 长度就这个八，那么刚刚好 p 就 在 b， c 的 终点， c 选项也是对的。 而导选项需要我们算的是面积的最小值，那你就可以把这个 v 等于二， t 等于四，代入到 s 这个解析式里边，就可以到面积的最小值是三十二，所以这道题答案选导。

难度怎么样？首先说说今天高考完的数学，有的孩子说数学题难，其实这次二模数学可以说是出的很有水平了，非常贴近今年泰安的中考，整体难度比去年泰安中考大，但是比上次泰山区期中考试要简单， 那今年中考数学统考基本就是这个难度。这张数学卷中，高难度的题差不多站在十五分左右，分布在第十题、二十二题和二十三题的第三问， 剩下的一百三十五分基本属于基础题和中档题。以及这次的英语难度也是中等偏上的，比如这次老六中、新六中，包括难关难关。这次英语考的是上次肥城一模的原卷，不知道有没有孩子提前做过。 化学来讲，这次计算量是普遍偏大的，很多孩子也是反应没做完卷。那考完的各科试卷和各科答案已经给大家整理好了，大家可以直接进我主页公开群拿，趁热对对答案，看看孩子能考多少分，助力孩子中考。

好的，各位同学啊，这套题虽迟，但到啊。今天下午我发了一个视频，就是说我在做这套试卷的第二次的时候，因为我第一次是在纸板上做的嘛，我是先第一次看到这个题目，我会想，第一次我看到这个题，我会觉着，哎，这个题是不是可以用这个方法来解呀？ 然后我就可以在第一次做题的时候，在试卷上用红笔给它写一写，画一画，然后如果说这个速度是对的，那就继续往下写，如果思路不对就划掉，然后再在答草纸上再写一遍， 然后等二次的时候，我可能会把答草纸放在边上，就是说我要做题的时候就做这个，因为我这个文件吗？它是二次的，它是二次做出来的这个题， 因为第一次我刚才说嘛，第一次我做出来不会的题，我会往打扫纸上写，然后这个时候我会在做这套题的第二遍之前，我会查一查我的打扫纸上有什么东西， 哎，这个题这个方法才是正确的。然后我就做第二遍的时候，我就会用按照方法，按照这个方法来尝试尝试，如果说可以，那么好， 多写几遍给他背过，然后再弄第三遍，也就是说现在我讲的这个视频就是第三遍做这道题了，我总不能再出错了吧？我要是再出错的话，我还怎么在山东专升本这个地方混呢？太难了。 然后这是我第二次做的这个做的痕迹哈，具体的正确率呢？其实比第一次高了很多，因为第一次我有的题没有做出来，就比如这个第十五题，这个第十五题那个共和负根，因为这个 如果把它化成二有关的二次方程的话，就是二方加上二十五等于零吗？ 然后 r 等于什么？你总不能 r 方等于负二十五吧？ r 方应该是等于正负五 i 这个共讷负根，然后阿尔法等于零，贝塔等于什么？ 然后当时我就想这个问题，这个贝塔到底是正五还是负五，还是正负五？是还还还还是？哎，我当时就就蒙了，就彻底蒙了，我不知道干嘛了。 所以说我在做第二遍的时候，我就重点看了这个东西，发现是我的问题，我确实是这一方面我没有考虑功课复根的一些条件， 然后做计算题，十一、十二、十三、十四、十五，我的具体过程就在这十一题的过程，然后这个是十二题的过程，然后再往下依次就是十三、十四、十五了呗。 这个十三、十四、十五，你看十五题我就做这个题了， r 等于正负， i， 因为 i 方等于负一，然后应该是有一个数可以舍掉，好像只能留五。 嗯，这个题到我讲的时候我再做一个试试，这是十五题，然后呢？十六题， 十六题，这个题他需要把这个这整个函数看成一个整体，另一个整体是 f， 写个 x y 吧，因为如果说 f x 的 话，可能让别人以为说这个怎么只有一个 未知数啊？那这个 f x y 就 证明他是一个二元函数，等于把这一串给他放一边去，然后用这么的一种公式 去做这道题，就很简单了。然后我今天看了一下这个二重积分啊，感觉这个二重积分跟那个定积分好像有点关联，好像都跟什么面积数字有关系？那我得好好学学。 然后这个第十九题啊，我给你们标了，我在这个打了一个专题，还画了个圈，还打了三个感叹号，目的就是说我以后会出一个专题，就是讲， 讲什么讲牛顿莱布尼斯定律去做图形的面积以及旋转体的体积的这么一个题。因为这这几套题，我这个方面的题我都没有讲吗？所以说这个需要讲讲，这是我第二次做题，那么来吧，第三次， 第三次，我就是从第一题开始做呗。首先你看第一题啊，定义域，定义域肯定就是满足那几个条件嘛，根号里面大于等于零啊，分母不能为零啊。还有一些特殊条件，你看这里面有几个特殊条件。第一个特殊条件是不是这个 x 在 根号里面，所以 x 应该大于等于零的，然后这个的话有两个条件，一个条件是一减 x 不 能等于零，然后第二个条件是 loon 一 减 x 不 能等于零， 对不对？那实际上这个东西就是举个就是就可以画成这样，就是 一减 x 不 能等于一，对不对？ long 一 减 x， 那 零等于 long 几？零是不是等于 long 一 啊？是不是 long 一 和这个东西不能相等啊？就是一不等于它呀。 那 x 不 能等于几？ x 是 不是不能等于不能等于零啊？ x 不 能等于零，那这个带零的 b 区间是不是就不能取了？ 然后这个呢？一减 x 不 能等于零，那 x 是 不等一啊，那带一的也不能取，那只能选 a 喽。 好，第一题结束。第一题非常简单啊，不用多说，因为现在时间有点赶，我需要在四十分钟到五十分钟之内速通这套试卷， 这个试卷明显就比上一个三模比较简单了，没有三模那么复杂的，那个头脑风暴以及计算量， 还还做错题了，天呐，我是我上次录那个视频，我昨天录完那个视频，我晚上我都气的我睡不着觉，我做了两遍了，我再录第三遍视频的时候，我怎么还做不出来，我怎么还做错？我，我到底是我不认真了还是我我 我我那啥了？反正我就反省了一段时间，然后我就决定今天再继续跟这个二模再认真的做两遍，然后在第三遍的时候尽量讲的就是明白一些，然后 也能讲的效果好一些。然后在第二题啊，咱们时间有点紧，看第二题， x 趋向于零，等价无穷小量来，各位看到 b 这个选项你是不是有点谢谢哎？ low 一 减 x， low 一 减 x 是 不是趋向于零来着？当 x 趋向于零的时候，它可以写成 x 来着。 各位，公式背错了，是不是公式背错了呀？是不是 low 括号里边一加 x， 在 x 趋向于零的条件下，它能够和 x 是 等价无穷小啊？这个明显就错了嘛，它是个减号， 然后 a 选项阿根森二 x， 当 x 趋向于零的时候，阿根森 x 是 趋向于二 x 的， 他也不是 x 的 等加无穷小量啊。然后 d 选项一减口乘 x， 在 x 趋向于零的情况下，他是不是趋向于二分之一 x 的 平方啊？那显然依然，呸，那显然依然是不是就选 c 了呀？ c 这个式子，你可以把零带进去试一试一加二 x 的 二分之一次方，当 x 趋向于零，把 x 等于零带进去，零根号零加一减一，可不是趋向于 x 吗？那不就是 x 等加无穷小吗？ 对不对？然后在这第三题啊，第三题已知点一，零是曲线的拐点，各位，拐点是求几节导来着？是不是求 三节导？你如果说判断一个数，一个函数的最值问题，极值极值点问题，它是不是求二节导就可以了？这个不行，这个得求三节导。 我们先把原函数写上，原函数 y 等于 a， x 的 三次方减去 b， x 平方加二， x 减三。 求一阶导等于三， a x 平方减二， b x 加二，然后再来二阶导，继续六， a x 减二， b 数就没有了呀。然后我们不妨 把这两个连立一下呗，这个就是是一，这个就是是二，令他俩分别等于零，可不可以？ 那就是 a x 三次方减 b， x 的 平方加二， x 减三等于零。六 a x 减二， b 等于零，再然后他过了个点，一，零这个东西是他的拐点，那我们不妨把这个点给他都带进去。 然后上面这个式子变成什么了？ a 减 b 减一，因为二乘一等于二减三等于一，负一啊，等于负一，然后这个式子就出来了，然后底下这个就不用多说了， x 等于一，那就直接是六， a 减二， b 等于零， 然后解得答案是， a 等于负二分之一， b 等于负二分之三，满足条件吗？来，可以算一算啊，六 a 减二， b， 实际上就是三， a 减 b 等于零啊，三 a 等于 b 啊，是不就是三 a 等于 b 啊， 对不对？没有问题吧？那直接选 b 喽， b 等于负二分之三，继续啊，继续选 b。 然后第四题第四题问微分方程的解数，解数这个东西直接看就可以了，你看 这有个二，两个撇， y 的 两个撇，这个有个四，各位 y 离括号四，这个是什么意思？这个是不是 y 的 四阶导，那这个函数，这个微分方程，他是不是就直接是四阶了呀？ 很简单，第五题先空过去，第五题像这种定积分比较大小的，我后边会再录，会再录像这种第五题，因为他为什么出这种第五题？因为二四二五年山东专升本，第五题选择题高数二哈就出了这么一道题， 一模一样，但是他显然比较难一点。然后第六题 连续，他不是可导，连续的话就比较简单了，就是说当 x 等于零的时候，这两个玩意的函数值他相等，比如说给你们画一个图像，你理解一下啊，这个是上半部分，在这个地方给他断住了， 然后这一部分呢？它可以再接起来。哎，明白什么意思了没有？就是说当 x 等于零的时候，这两个函数的函数值相等，就可以把这个函数图像给它接起来，这就是连续。然后我们怎么求？ 我们求前面这个 x 大 于零，那 limit x 趋向于零正， x 方剩 x 分 之一， 那是不是就等于 limit x 趋向于零正？各位，它能不能用等价无穷小？它是不是等价于 x 分 之一啊？那是不是就是 x 方程 x 分 之一啊？那是不是又直接是答案就是零啊？ 那他是零，他是不是也是零？但是他里边有个 a， 你 这个 a 怎么算？好办？咱们继续啊，刚刚办公室有人来有事情，零负，因为他是这样的， 对不对？那就另面的 x 小 于零负，然后刚刚说他们两个的函数值相等，上面的是零，下面的肯定也是零，这个没有问题吧？但是里面有个 a， 怎么搞好？搞一等二， x 次方加 a 等于零，那么我们不妨把这个东西给他带到这上面去，那就是 e 的 零四方加 a 等于零， e 的 零四方是几啊？是一啊，那 a 等于几啊？ a 是 不等于负一啊？那这个题就结束了呗。 a 等于负一结束了，非常简单，没有什么特别麻烦的东西。来。第七题， 同样是个非常简单的题，有人把它给神化了，神化成啥了来？ y 等于 x e 的， 这这个玩意扫描之后就是不太清楚啊。 x 被的 e 的 x 方加洛恩三，各位，洛恩三是啥？ 洛恩三是个数啊，各位，洛恩三是个数。长数长数。求倒是不就没有了，是不就是零啊？他让你求什么？让你求 v 分 d y， 那 无非 v 一 倒，等于他直接没有了，这个就直接前倒后不倒， e 的 x 方加上后倒前部倒，就是 x 被的 e 的 x 方，就是它直接可以化成 d y 除以 d x 等于它俩 可以给它合并吧。 e 加 x 被的 e 的 x 方，然后 d y 就 等于 d x 乘上 e 加 x 乘上 e 的 x 方，这个就是最终的答案。 那 d y 是 不是就等于 d x 乘上一加 x 乘 e 的 x 四方就结束了嘛？这个第七题也比较简单，但是各位如果说把这个 loon 三给它化成三分之一，那这个确实有点亏了， 是不是有点亏了呀？这明明就是个数，你经常做 loon x 求倒求成了 x 分 之一啊，不对啊， loon 三就是一个数啊！第八题， 第八题搞过来！第八题，曲线， y 等于 x 方加 x 减二分，比上 x 减一乘上 e 的 x 分 之一，就求它的铅垂线。各位，铅垂线的定义是什么？ 是不是 limit x 趋向于某一个数，这个 y 它等于无穷啊？那我们不妨把这个东西给它放里边啊。对，这个给它放里边就是 limit x 趋向于 x 零， 然后 x 减一分之 x 方加 x 减二乘一的 x 分 之一，次方等于无穷。 然后怎么搞？他是不是可以给他用十字相乘方？给他算一算，就是 x 方加 x 减二，一二用十字相乘法是不是负一啊？交叉相乘，那就变成 limit x 去向于 x 零，然后 x 减一乘上 x 加二， 比上 x 减一乘上一的 x 分 之一，次方，他俩能约掉。然后就是 limit x 趋向于 x， 零，然后 只有 x 加二乘上 e 的 x 分 是一次方。各位，当 x 趋向于几的时候，这个式子可以是无穷。 看到这个 x 分 之一了没有？ x 趋向于零， x 分 之一趋向于无穷大，对不对？那一的无穷大次方，那是可不就是无穷吗？你管他这个干什么呢？ x 加二， x 趋向于零，零加二等于二，二乘无穷。二乘无穷是不是还是无穷啊？ 是不是很简单啊？那他的铅垂线是不是就是 x 等于零啊？这个第八题也很简单，真的， 我感觉我做那个三模题就是给自己找罪受的。这个二模题多简单，三模题特别恶心，来第九题，函数 f x 在 r 上连续且定积分，上线是二，下线是零， f x d x 等于二， 然后我们看到这个小 f x， 那 我们不妨令这个小 f x 它等于大 f x 求倒，因为积分嘛。 那这个式子可不是可以给它写成大 f 二减大 f 零等于二， 然后后边让你给他化简的这么一个式子，就是上线是二，下线是一，然后 f 二减 x 加上 f x d 乘 d x。 各位，你是不是可以直接化简？可以吗？看到这有个符号了没有？看到这个符号了没有？你对他进行化简还原就是求积分，你是不是把这个符号给他表示表示啊？ 那不是不是给他化简，因为告诉我们了这个东西那是就大 f 二减 x 前面是不是还要加个负号啊？你想想，这个东西求导， 这个东西求导是不是等于负的二减 x？ 求导乘上 f 二减二减 x， 那 是不就是负， 就是负一乘上负一，因为这个二没有了，只剩下负 x， 求幺的就是负一负一乘负一乘上小 f 二减 x， 那 么可不就是这个吗？所以说这个符号别忘了啊，千万不要忘了这个符号了， 然后加上右边这个大 f x， 然后给它中个号呗，就是下限是一，上限是二， 然后这个东西可以给它写着什么，就是大 f 二减去给它倒过来，大 f 二减大 f 零，这个减去 大 f 二减大 f 一 等于什么？各位，它等于什么？它等于二减它，对不对？ 它减它算一算啊，大 f 二减大 f 一， 哦哦，它得拆开它，拆开大 f 二减大 f 零减大 f 二，它俩没有了，剩什么？剩上 f 一 减 f 零。啊？啊，讲错，差点讲错了。 然后各位刚才漏了个条件，它在二上连续连续。这个很好理解。我先说结论，它等于大 f 二减大 f 一， 能明白不？ 这个能明白不？不明白。好，我给你画个非常简单的图像，但是这个例子可能不大贴切。 这是什么？这是 y 等于 sin x 在零到派之间。各位，假设说这个是一条对称轴，这个零，这个对称轴是 x 等于一。假如说，假如说这个是 x 等于二吧？假设啊，假设 f 一 减 f 零，是不是就这一块的面积啊？那 f 二减 f 一， 是不是就是这一块的面积？他俩是不是完完全全的就是相等的关系？因为他连续，对不对？连续， 他连续，他不是说到这给他断开，断到旁边，或者断到上面去，他不是，他是连续的，所以这样就很好理解这么一道题了。这个第九题，他等于二，这个东西就剩下他了吗？其实也是二啊，是不是这个题也做完了呀？是不是也做完了？ 然后我们把这一些东西给他拿到边上去，因为接下来我还要做题啊，算了，不拿了，剩下的计算题我可以放到底下这个大空里边做。 这个第十题，二二重积分依旧不做。第十一题和十二题有极限。看，先看一眼题。各位，先看一眼题，因为我这边有试卷，我可以直接把题写到空格上，就是空白面上来。 十一题，这个这个框写多少题啊？写十一到十五。先来第十一题， limit， x 趋向于无穷 x 二次方减三 x， 然后底下是 x， 平方减二 x 加五 x 凑一。很简单，凑一。根据前面的那几个视频，你已经学会了凑一法， 就是 x 方减三减二 x， 因为底下有个三，底下有个二 x 嘛，先减个二 x， 再减个 x， 就 把这个负三 x 给它拆开了，然后还缺个加五，那就给他加上个五，再给他减去个五。哎， 下边是 x 方减二， x 加五，它，它，它是不是凑出一来了呀？那不就等于 limit x 趋向于无穷一加上负 x 减五， 比上 x 方减二， x 加五 x 方，然后接下来常规步骤。 是不是常规步骤啊？就是一加上 x 方减二， x 加五分之，负 x 减五，框起来，负 x 减五分之， x 方减二， x 加五，中括号 x 方减二， x 加五分之，负 x 减五，不注意还有个 x 四方，那就乘 x， 那 这个东西是不就是 e 啊？那不就等于 e 的 limit x 趋向于无穷 负的 x 平方减五， x 比上 x 方减二， x 加五，可不就是这个吗？来求导，因为它俩往上带可以，这个可以求导做吗？ 嗯，无穷的，无穷的，无穷的，可以直接比较吗？到最后他们没有了，那就是等于 e 的 负一次方，是不是就直接是 e 的 负一次方就可以做出来了？然后十二题咱们赶时间啊，十二题 求极限。 limit x 趋向于零，趋向于零。考虑两种题型，第一种可以用等加无穷小代换吗？第二种是不是代完之后需要用洛必达 来写 x 减去积分号？哎，是不是有些同学看到，哎，这怎么有个积分号啊？是不是感觉第一次遇到这么一种题， 先把题目给它写完哈， 写完了，然后各位给你们讲一个东西， d 比上 d x， 积分号零 x f t d t 等于什么？等于 f x， 这个能理解吗？啊，还有个加 c 啊，加 c 加 c 加 c， 其实有加 c 吗？我先给它加上 c 吧， 这个东西能理解吗？那反过来呢？就是上下线换一下，下线是 x， 上面是零 f t， d t 等于负的 f x 加 c， 这个能理解吗？先给你记着这两个啊，这个后边可能再讲讲，再遇到题再讲。 然后上下同时乘 d 除以 d x， 就是 limit x 除以零 d 除以 d x， x 减去积分号零 x e 的 负 t 的 平方次方乘 d x， 然后分母也要，因为分子有的分母也要有点怪怪的。我要我要。 哎，各位，乘之前先看 x 趋向于零，它趋向于什么？它是不是趋向于 x 呀？因为等加无穷小嘛。那把它给它换成 x 可不可以啊？那这个地方就变成了 x 的 三次方， 对不对？ x 的 三次方，然后 limit x 去向于零，上面就是一减去 e 的 负 x 的 平方次方，下面就是 x 的 三次方。 各位，哎，怎么又擦了来，上面这个一减 e 的 x 次方去向于什么？去向于什么 x 嘛，对不对？那这个是负 x 的 平方呢？是什么？ 是不是趋向于 x 的 平方啊，对不对？那么既然趋向于 x 的 平方呢？就是 limit x 趋向于零 x 的 三次方。 比上，哎，比上什么来着？哦，对，它还没求到，对，它没求到 三分之 x 平方啊，因为刚刚忘了求导了，就是刚把分子给求导分，忘了。这个别忘了啊，这个千万别忘了， x 平方约约三分之一做完了，非常之简单， 来，咱们继续十三题。 十三题求不定积分。积号 e 的 根号 x 次方加 x 加一， 先把 d s 放上，再分之根号 x， 看一下根号 x 这么复杂，你是不是有一种想法是想给它换换圆，那么就换根号 x 等于 t， t 方等于 x， d x 等于二， t 乘 d t， 这个就是把所有关于 d x 的 声巴拉巴拉全都会给它换成 d t， 你知道我啥意思不？换。然后原式等于什么？积分号，它是 e 的 根号 x 次方，那就 e 的 t 次方，它是 x， 它就是加 t 方， 一不用动，分母变成 t 乘上二， t 乘 d t。 发现端尼了没有？他俩约调把二往前提，等于两倍的积分号 e 的 t 次方加 t 的 平方加一乘 d t。 好 了，是不是可以做了呀？ 能不能做两倍的 e 的 t 次方还是 e 的 t 次方加上三分之几，三分之一 t 的 几次方？三次方加上 e 啊，加上 t 加上 t， 这个一又又又弄忘了是不是他呀，哎。然后这个屏幕好像是刚刚提醒我说要把这个把这个 t 给它换成 x， 那 换，谢谢啊。这个屏幕 e 的 根号 x 方加上三分之一， 三分之一，他们是什么？ t 的是 x 的 二分之一次方，再乘上三次方，那就是 x 的 二分之三，三次方加上根号 x。 其实你这样就行了，别忘了 c 啊，别忘了 c 对 不对？这个题，这样就可以了，其实你想展开其实也行，就是两倍的一倍的根号 x 加上三分之二， x 的 二分之三次方加上两倍的根号 x 加 c， 这个是最终答案， 那我们不妨写下答案，答案是两倍哎。两一两倍的 e x， e 的 根号 x 方加上三分之二， x 的 二分之三，四方加上二 倍的根号 x 加 c。 十四题，定积分，又回到了定积分了， 怎么搞？看到一个二倍角，这是一倍角，你是不是有点想把这个二倍角给他换成一倍角，对不对？因为因为你二倍角，你不好做题。那你就换 他等于两倍的乘 x， 口乘 x， 是 不是两倍的乘 x？ 口乘 x。 把二往前提，两倍的积分号上限是二分之派，下限是零，那就是乘 x， 口乘 x， 零乘二加乘 x， 乘上 d x。 来单独一个口乘 x， 和他俩格格不入，是不是给他凑个微分呀？ 凑一分好办。两倍的积分号，上限是二分之派，现在是零三 x， 零二加三 x d 三 x， 因为口算 x 求积分不就是三 x 吗？然后换元令 t 等于三 x， 然后换元必换线吗？来把这个两个线给它换一换。 原式等于什么？当 x 等于零的时候， c x 等于零，当 x 等于二分之 pi 的 时候， c x 等于一，那么它的上限就是一，下限就是零。然后我们把换完的式子直接写上，上线是一，下限是零， t 乘零，二加 t 乘上 d t。 好 嘛？两个函数相乘，两个函数相乘，想到什么办法了？是不是叫分布积分法呀？分布积分法，按照那几个字，先把密函数往上放， 那就是两倍的积分号，上线是一，下线是零 lo n， 二加 t 乘上 d， 二分之 t 方。把二分之一往前挪，二变成一，等于积分号上线，一，下线，零 lo n， 二加 t 乘上 d t 方， 它俩换换位置呗。它就是 t 方乘上 lone 二加 t， 然后直接可以把这个写上了，减去积分号 t 方乘上 d lone 二加 t， 它再往外拿，是不是求倒了呀？那么是不是就是 t 方 lone 二加 t， 减去二加零，二加 t， 求倒等于什么？是不是二加二加 t 分 之一，那就积分号二加 t 分 之 t 方乘上 d t 又来了，这个玩意怎么搞？怎么搞啊兄弟们来， 这个东西比较难搞啊，我们左边先不看了，先看右边积分号这个怎么搞？首先各位，二加 t 乘二减 t 怎么弄？二加 t 乘二减 t 是 不是能出来 t 方啊？来，二加 t， 哎，二加 t 乘二减去能出来 p 方，然后这个东西我想想该怎么讲啊？这个东西想要怎么讲？它能，因为它能拆啊，它能拆成 t 减二加上 t 加二分之四，怎么怎么弄啊？我先把这个换完的这个东西给你们给它展开看一看吧。就是 t 加二乘上 t 减二，然后分母 分，哎，这个不对不对不对不对， t 加二，不对不对不对。 分母只有 t 加，因为它要跟右边这个相加吗？分母只有 t 加二分，母子是 t 方减四加上 t 加二分之四，它俩约掉了，就只剩下上面这个十字了。这个凑的方法好像是可以给它能单独拎出来凑的，但是 我没想到，我做第二遍的时候，我想到了后边是硬凑的，这是硬凑的， 这个东西就好办了呗。左边这个等于什么？等于二分之一 t 方减去二， t 加上右边这个， 右边这个是什么呀？四倍的 l n t 加二。 那把左边这个也结合一下，注意哈，这个是求定积分。左边这个是 t 方减， t 方乘零，二加 t， 上线是一，下线是零，减去二分之一， t 方减二， t 加四倍的零 t 加二把。 大家各位， t 等于三 x， 把 t 等于三 x 扔里头，全都给它换回来，然后再求定积分。最后的答案很复杂，我把答案写上吧，这个太复杂了，这个他答案是二分之三减三倍的 low， 三加四倍的 low 二 就等于二分之三减去 lo， 三的三次方把它往里拿，是三的三次方就是二十七，加上 lo 把它往里拿就是 lo 十六，答案就是 lo 十六比上是七二十七分之十六负的，那不是负的正的啊。这个，这个是相当于除的加上二分之三。答案是这个 比较抽象啊。这个题思路还行，就是最后求出太太那啥了。二分之三加上 lone， 二十七分之十六，这个是最后的答案。第十五题，哎，第十五题好像这个空有点小啊，来个第十五题吧。 这道题因为只剩两个题了，我快讲，还有两个题了，快讲，现在是九点十分，我一会还有事。第十五题，求文文方程。 y 两撇加二十五， y 等于零，然后且而且它要求满足初设条件， y x 等于零等于二， y 一 撇 x 等于零等于五的特解，它要求特解。 特级的题一般都比较复杂对不对？然后这个题该怎么搞？看我操作。 哎，看到这个 y 一 撇判断是二次的，是不是给它换成二次方程就可以了，是不是 y 方不是二方加上二十五等于零，哎，二方等于负二十五， 这合理吗？这不合理，是不是它能写成一个虚根，因为它没有实数根 r 就 等于正负五， i 因为 i 的 平方等于负一嘛，然后五的平方上是五，它们两个就完美的相等了， 然后它这个共讷负根，因为它是正负共讷负根。 r 等于阿尔法加贝塔 i 在 这个式子里边它是阿尔法等于零，贝塔等于五， 然后通解，因为正常求这种的通解。 y 等于 e 倍的 alpha， x 乘上 c 一 口乘贝特 x 加上 c 二乘贝特 x， 把这个给它带进去，就是 这个没有了啊，这个就是一了啊，就是 c 一 口乘五 x 加上 c 二乘五 x 呗。 然后对它求导，把这个东西得给带进去。 y 一 导等于五倍的负，五倍的 c 一 c 五 x 加上五倍的 c 二口乘五 x， 把它带进去。求一个式子，把它带到这里面去，求一个式，它是式一，它是式二。然后就可以解得一个方程组，就是 两二等于 c 一 口乘零，加上 c 二乘零，然后 c 一 等于二，然后底下这个数字是五 五几等于五，五倍的 c 一 口不是 五倍的 c 一 乘零，加上五倍的 c 二口乘零等于五倍的 c 二，然后他等于他 c 二等于一，然后就可以把最终的答案写出来了。答案写哪呢？写这吧， 写这吧。答案，写这。 y 等于什么？ c 一 是几来着？ c 一 是二， c 二是五，就是两倍的 口剩五 x 减去还是加上？加上？加上剩五 x， 这个是什么？答案， 对，这个是它的特解。答案写上面答案是什么来着？ y 等于两倍的口剩五 x， 加上剩五 x， 这是他的最终答案。然后最后一个题，最后一个题，十六题，十六题。令它这个函数成一个整体，就是令它的 f， x， y， z 等于把它给它挪过去呗。 y， z 减去 ark， 它整数 x， z 减二，是不就没有了？然后对它求 x f x y z 关于 x 的 偏导，偏 x 的 偏导呢？前面这个就没有了，只剩右边这个了，是不就是负的 x z x 是 就是对 x 求微分吗？就不是求微分了，求偏导，那么 z 是 常数，那么分母是那么二个摊着，那么就是一加上 x， z 括起来平方分母是这个分子只剩 z 了， 这个就更没有了。 f y， x， y， z 嘛，那 这个地方 x 和 z， 它没有 y， 那 这个就是常数，这个一样是常数，就剩它了，那不只剩了 z 吗？因为它只剩了 y， z， 然后对外求偏导的话只剩一个 z， 然后 f， z 呢？ f， z 前面这个剩什么？前面这个剩 y 对 不对？ y 减去右边这个是一加 x， z 括起来的平方分子剩什么？分子剩 x， 右边这个负二更是没有。 那么这个是可以给它括起啊，就是把这个 y 给它弄进去，就是 y 加 y， x 平方 z 的 平方减 x， 然后比上一加 x， z 括起的平方，然后它要求这个 对不对？它等于什么？它等于负的 f x 比上 f z， 我 给它简单化写了啊，实际上是 x， y， z 等于负的。那把它往里带吧。 f x 什么是负的？这个是负的，这个是负的，给它变成正的，上面就剩下 z 比上一加 x 方 z 方，给它拆开了啊。然后底下这个 f， f， z 就是 一加 x 方， z 方 分之 y 加 y， x 方， z 方减 x， 它俩是不是可以它同时乘啊？是不是就变成 z 分 z 比上 y 加 y， x 平方， z 方减 x， 然后 还有这个都是负的 f， y 比上 f， z， 这个好划减一下 f， y 是 z 吗？那上面只剩个负 z， 下面是 f， z 就是 一加 x 方 z 方分之 y 加 y， x 方， z 方减 x， 把它乘上去呗。那就等于负 z 乘上一加 x 方 z 方， 然后除以 y 加四外方 z 方减 x， 它再展开负 z 减去 x 方 z 的 三次方，然后比上 y 加四外方 z 方减 x。 没错，它的答案就这么长， 第一个答案是这个，第二个答案是这个，这两个是不是很麻烦啊？非常的麻烦啊。这个东西 有的人说这个这么麻烦，他考你什么？他考你计算，对，他纯考你计算，他不考你啥别的他就纯考你恶心你就纯恶心，你真是没招了。行了，这个视频就结束吧。

泰安高三二模数学我刚做完，说实话呢，这套卷子有点阴险，他没有那种一眼看过去就让你直接放弃那种天空题，但你呢，想拿高分，却处处是坎。 难题和基础题的界限呢，比较模糊，可能你大眼一看会做，感觉这个题会做，结果算半天算不出来。接下来呢，老师带大家主体分析一下。首先咱们来看一下单选择题，单选择题 第一题，集合基础题啊，这个你不要错了哈。第二题，复述基础题必考，高考也是必考。然后第三题，考了一个基本不等式，也是很常规的，这个用什么去解？核为定值，直接用一的代换去处理一下。 第四题，沙漏问题，有的同学还在那算。这种呢，是不完全不需要算啊，很明显的上宽下窄。一开始呢，是不完全不需要算啊，很明显的上宽下窄，直接选 d 选项。 然后第五题，例题，几何基底法太明显了，已知夹角和磨长的，那么直接用基底法就好了呀，是不是很简单？ 然后第六题是一个等比数列的题目，那这个呢，他考察的是那个等比数列前 n 项和分段等比的那个性质。 那这个题其实是有两个方法，你可以用那个性质去算，那这时候需要用到一个立方差的一个公式，如果会那个公式，这个方法也是很好算的，算是一个中档题。 然后第七题，第七题，哎呀，这个题即化横等式吗？对不对？圆和向量结合的一个即化横等式，如果你知道即化横等式，很容易算出答案，那这个题我给我高一的学生做，他都能会做，你只要跟他说这个圆是怎么回事，因为他圆高一还没有学，他就能做的出来，咱不能说到高三了，做不出来了。 然后第八题，第八题，这是一个比较老套的一个同构问题吗？是不是只对同构，同构出来就比较容易算是一个中等题？那么总的来说，这个单选呢，没有特别难的题目，只有基础和中等题，一到五题算基础题，然后六七八都把它算到中等题里边， 没有初心，所有考到的都是咱们曾经练过的内容和模型啊，三个中等题。好，接下来我们再看一下多选，多选，第一题比较基础，每一个选项都不难。这个 d 呢，就是用了一个全概率公式吗？直接算就行了哈，比较简单。然后 第十题，第十题考察的是三角函数，这个题考察的也很常规，但是呢，他又有一定的计算量，所以我把它放到了中档题里面，稍微耗一点时间。然后来到第十一题，这个多选择题考察的是例题，几何，这个题出的还是很不错的一个题，计算量也是有的， 好多同学可能会选不全，只会其中的部分选项哈，我把它放到了这个难题里面，所以说多选三个题，一个基础题六分，然后一个中档题占六分，还有一个难题占六分。接下来我们再看一下填空， 填空题，第十二题就是一个只对运算问题，是比较简单的啊，你这个你给高一的同学做，他也可以做的出来。然后第十三题呢，我把它放到中档题里面，因为这个题呢， 我担心有些同学没有做过这种排列组合的题，他可能就算不出来，所以算是一个中档题。然后第十四题是一个新题，他新并且有计算量，所以一定是难题，哎，一定是难题。 好，所以说我们填空题是一个基础题五分，一个中档题五分，还有一个难题占五分，然后再看到我们这个解答题。 第十五题，送分题啊，我们之前高考也考过几次独立性检验的问题，比较简单，送分题仔细算就好了哈，没有什么难度。接下来看第十六题，太常规的一个立体几何题了，哪怕你当时学新课，你也能做的出来啊。很简单，这个是十五分 基础题。然后来到第十七题。十七题呢，是一个竖列题，第一小问是非常简单的简单的一个构造问题，直接构造等比竖列就可以了，很容易算出 a n 和 b n 的 公式来。 然后第二题呢，把这个三角和竖列相结合了，那他心又有一定的这个技巧，所以我把它放到了难题里面。 然后第十八题。十八题的第一问是一个常规题，就是求切线方程。这个你导数新课的时候也能会做呀，是不是现在高二同学也可以做？其实整个第十八题难度都不是很大，都比较常规，现在把这个题拿给高二，高二同学刚学完导数，拿给他做，他也是可以做的。 第一问比较简单，第二问和第三问难度也不大，只是说呢，有一定的计算量，所以我把它放到了这个中档题里面， 然后到最后一题。十九题，第一问是一个常规题，求椭圆 e 的 标准方程，只是他有一个 e， 错点是什么呢？因为题干没有表明他的焦点到底在哪个轴上，所以你在设方程的时候要注意，不能直接明确的设是哪个轴上的方程，得设成 m x 方加 ny 方等于 e。 这样去做这个呢，新课的时候是不是就已经 老师就已经讲过了哈，这是第一问，然后第二问，他呢是常规题，但是呢他又有计算量，所以老师把它放到了一个中档题里面，计算量是比较大的哈，然后最后一问难题， 所以说我们这个整个解答题的话，我算了一下，解答题的这个基础分是四十一分，中档题是二十一分，然后难题占了十五分。 我们把整套试卷都算下来的话，就基础题一共是七十七分，然后中档题四十七分，难题是占了二十六分，基础加中档一共是一百二十四分。那么这一次你考多少正常，那你得看自己的这个目标， 你目标想考一个什么样的学校。如果你平时练的本来就是呃基础一些的题目，那你得考七十七分以上。那 如果你平时练的就是基础以及中等中等的一些题目，或者中等偏上的一些题目，你得考到一百二十四分。那这次呢，上一百二十四分还是很不容易的， 还是有难度的，因为中档题的计算量是比较大的。以上呢，就是本次胎压二模的一个完整的分析试卷分析，那试卷呢，整体是贴合高考趋势的，重在基础，贵在细节，建议大家对照视频把错题整理复盘，针对性的进行强化训练。距离高考不远了，沉下心，慢慢来，每一份努力都不会白费，再见。

中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。

今天呢，我们来讲一下啊省实验刚刚考过的这个二模题的第十五题，题目上说点 g 的 坐标是零逗二，那么以点 g 为圆心，半径为四的这样一个圆，与 x 轴交于 a 和 b 与 y 轴交于 c 和 d， 那 么这个点 e 呢？是一个动点， 我们去过点 c 做 c， f 垂直 a， e 与点 f， 那 么我们知道一般来说我们牵涉到动点的问题，我们就要研究这个动点所运动的轨迹， 它让求线段 f、 g 的 最大值和最小值。那我们看一下角 c， f、 a 不管怎么动，它都是一个直角，那么根据直径对直角，也就是说我们点 f 的 运动轨迹是一个圆，是一个什么样的圆呢？它是以 a、 c 为直径， a、 c 的 中点 为圆心的这样一个圆上运动。我们来观察一下它的运动轨迹，它始终是在以 a、 c 为直径，以它的 终点为圆心的这样一个圆上运动。我们知道了它的运动轨迹之后，咱们就可以根据一箭穿心来求 f、 g 的 最大值，最小值了。当点 f g 和我们隐形圆的圆心 p 在 同一条直线上的时候，那么咱们的 f、 e、 g 就是 最小值。那我们来看一下该如何求呢？ 我们连结 ag， 因为 og 的 长度是二，咱们 ag 的 长度是四，根据一比二，我们就知道角 ago 是 六十度，那么因为 ga 等于 gc， 所以 这个等腰三角形的底角分别是三十度， 根据我们顶角为一百二十度的等腰三角形，三边之比，一比一比刚好三，那么咱们的直径 a、 c 的 长度就是四倍的根号三，那么我们的半径 hp 就 等于二倍的根号三， 那么我们还要去求 p g 的 长度，因为咱们的最大值就是 hp， 加上 p g， 最小值就是半径减去 p g， 那么我们三十度所对的直角边 p g 等于斜边 a g 的 一半，那么 p g 的 长度就是二，因此我们的最小值 f e g 就 等于半径二倍的根号三。减去 p g 的 长度二， 咱们的最大值 h g 就 等于半径二倍的根号三，加上 p g 的 长度二。

二零二六年泰安中考二模数学试题已发，各科试题答案考完陆续发。

泰安市中考英语的二模已经陆陆续续结束了，可谓是哀嚎一片，因为无论哪个区县的英语二模试卷都比一模大大的提高了难度。 那这种情况该怎么办呢？我们以带乐区二模英语试卷为例，先做分析，找出对应错误，挖挖出它的原因，给你提分的方法，然后我去给你讲高分的考场基战术视频，干货满满，高分全在细节，抓紧时间收藏，转发给有需要的家庭。 最后冲刺阶段，我们必须得用科学的方法才能提分。好了，话不多说，我们上图表。首先咱们看挽星填空啊，你看到这篇挽星填空的文章，难度有四颗星啊，他讲的是顾方舟老先生，我们中国脊椎灰质炎疫苗之父，他在做疫苗研究过程中的一些问题。 你看这个题材离我们孩子的生活很远，如果是平时课外阅读少知识点的孩子，他根本不知道这里面都会发生什么事情，再加上里面生词又很多，尽管这些生词没在题眼上，但是咱们孩子上来也就蒙了，那我们对照题去看啊。那我们先来看逻辑混乱和不读全篇这里一类的错误，他们很相近， 前者是把握不好逻辑关系，后者呢，是死卡在一个题上不往下走。他们深层次的原因都是你缺乏大局意识，不能够结合上下文往下去理解这个文章。那他相应的题分方法呢？就是我们一旦做题卡住的时候，千万不要停在这就往下去走后，文中一定会给你一些其他的词，让你明白这到底是个什么事情 啊，或者是说你找到其他的提示词来啊，就学会跳读。哎，就是开头中间结尾我都收集一些信息，快速去领会这篇文章。 另外一个错误呢，就是词义混淆啊，关于词义的考察，有五个题是这里面最多的一个哈，那这种就是因为你还是单词掌握的不牢固嘛。呃，配套的题分方法是你在本上一定要做积累，对于易近词和形近词记下来啊，看 不定不定期的就去复习。然后我们看阅读理解，二三四四是它的难度，有两篇文章 cd 篇已经到达四颗星了。 呃，你看它的内容上哈，第一篇是聊了一个故事，从第二篇开始就是实验科学步骤啊，第三篇是科学说明文。第四篇呢，是一个 ai 应用的议论文，后面三篇 其实离我们日常生活都非常之远，而且还有科普的成分在里头，还是跟前面的完形填空一样，文章长且难，还有不少生词，所以我们很多孩子就直接破防。我好几个学生跟我说，碎片没做完的时候，一个小时就已经结束了，那会心态就已经崩了，就想赶紧糊弄着往下做。 好，我们看，虽然文章难了，但是他的细节题却给你增加了一个，比起一模来啊，达到了九个，这就是十八分了。这十八分真的是不能够错一个。为啥？因为他就是在原文中有对应的内容的，出错的原因就是你家娃做题不规范对吧？没有圈画定位和对照 推理题的数量增加到了五个，也就是说，不光文章难了，他题目也难了，因为这个在原文之中没有，是需要我们孩子理解上下文之后去推断的，那这种常见的错误呢，就是推断错了词意或者作者意图啊。对实验的步骤呢，排序的时候也出现了错误。那提分的方法呢，就是 你要去学会读懂句前句后他一些关键表示逻辑的词，尤其对实验步骤，你一边读着，在原文中就拿笔给他把序号写出来，你就会发现非常嗯， 这样你读完之后答案也就出来了，只要和题选项进行对照就可以了啊。要练习对于作者情感词的这些抓取，我们看五选五文章难度不大，出错比较多的是五十一题和五十三题，可能会选反了哈，这里我说一下，五选五重点是考逻辑的，你要提分必须 一方面咱们要学会抓取选项之中和文上下句里面有没有呼应的这个信号词啊？你比如说像五十三题里面啊，这个前面刚出了一个 go 啊，后面呢，选项 e 里面就有 purpose， 那 这两者之间是同一词选项，这不就出来了吗？那就 还有一个，就是不要按照顺序做，我们先把最简单的排出来，只做剩余那个难的，那五十一题不好选，当你把其他的都已经选出来的时候，留下那个空，自然就是五十一题，所以我们要灵活机动哈。 好了，综合填空题四个型的难度，而且在这里面词性转换考了六个题啊，我一直在反复讲，词性转换是中考考察的重点。 这个很多孩子错的呢，就是冠词分不出来是 a 还是 an， 他 以为是手，只靠单词首字母，然后呢？哎，过去分词 不会写，还什么时候该用动名词啊，名词忘了单数变换这些啊。那深层次的原因还是我们对于这种词性搭配的规律掌握的不是很熟练， 后面我也给了很详细的提分方法。还有一类考的比较多呢，就是关于动词啊，动词我说了，只要考动词，掰着手指头数就是时态、人称和语态，养成一个规范的做题习惯就可以。我们看上下文理解错误的这一部分也是占了很大的比例， 不但是你要看这个空本身，还要去看上下这些文有一个整体通盘的理解啊，之后才能够。嗯，选举 第五个阅读表达是一个两极分化的题，简单的题是真简单，因为他考细节题的时候，原文中是有这个原词原句的，你照抄过来就可以，顶多加上两个词。 然后。但是对于里面这三个填空题啊，我跟大家说他是分化尖子生和中等生的，所以如果你离人尖子生这个分数差很远，咱就不要把太多的精力放在这上面，因为他要做对的话，得需要不光是你语法熟练，还是你要有语言的这个基本的素养。你的语感很好， 咱这不是短期能提的上来的，有这个时间咱们把前面这些分提一提一提，那提分的方法就先抓住干，把修饰成分全都去掉， 明白了什么意思之后，再一点点往上加，先翻译出一个很烂的中文来啊，然后再对第一遍中文进行修改好了。试卷难度不言而喻，但是它真的不是让咱们娃出现大幅成绩波动的原因，根本的原因是在于他看到难题之后，心态崩了，放弃了 啊，咱们跟咱们中考就像开盲盒，你不知道会打开是什么样子，但无论怎样，只要你稳住心态，保持一个好的做题习惯。方法就是第一个 拧身呼吸，告诉自己，我可以，我可以，我原有的方法能够找到答案。比如阅读理解，我说的圈话、定位和对照，你只需要读定位下来这些话，你 定位中有一些生词，它可能是一些修饰成分，你把它批掉之后，照样能够读懂。而且就算你读不懂，你看到这句话里面的一些词在这个选项中出现，那也能够找到答案。 所以首先要跟自己说，我可以找到答案，稳住心。然后第二个就是要调整我们考试做题的顺序，很多孩子在做完 c 片之后，觉得时间就已经不够用了，很慌了。 我跟大家说哈，第二卷是难度大的内容，而且他需要你认真思考，你像综合填空这个不光是原词选下来，还得改变词性，这都需要时间。但相反你 但相反第一卷就算你真的时间来不及的时候，咱们蒙他是好去做的，对吧？结果咱们孩子呢，反非得要按顺序来，第一卷耽误了很长时间，到第二卷难的时候没时间做了，大量分就溜走了。 那那么所以我跟大家说，自此之后再去做套卷的时候怎么做呢？让你娃一定要调整顺序去做，大家一定要注意哈，他如果平时做套卷的时候，不敢先做第二卷，再去做第一卷，他中考的时候，他更不敢 用田忌赛马的策略去打响我们中考之战。好了，关注我，带你用科学的方法走更快的提分路。

胎儿初次二模考试正在进行中，结束了第二轮复习以后呢，很多孩子完成了我们系统性的查缺补漏，绝大多数孩子的考试心态基本上也已经调整到了一个比较好的状态，所以说，这次二模基本上是孩子考试状态最好的一次。 同时呢，二模出题的难度会比较适中，极度贴近于中考，这次的分数的话也相对比较接近于中考，所以考后啊，一定要理性分析，同时一定要知道，咱模拟考试的作用就只有一个，检验我们是否真正做到了查缺补漏， 其他的什么都代表不了中考啊！不到最后一刻，永远不要放弃，调整好心态，一步一个脚印，稳扎稳打，相信咱们孩子一定会把最好的一次成绩留给中考，考上理想的高中！评论区留言，金榜题名为二零二六年中考的孩子加油！

大家如果能够刷到我这条视频，一定要认真看完，一定要认真看完。现在二模结束之后，尤其是数学，不管你考的理想还是不理想，我不管你考了三十分，四十分还是五十分， 分数都不要去管它了，按照我说的方法去做，接下来不到一个月的时间里，你肯定能逆袭，肯定能逆袭，你必能逆袭。 大家切记的第一点就是二模之后不要在内卷刷题了，因为二模的难度基本上就等同于中考的难度了，如果你不调整方法，那你现在这个分数基本上就等同于你中考的分数了。 接下来我给大家说方法，大家一定要认真去听。首先找出你的二模试卷，考的好的你不要骄傲，考的差的你也不要嫌丢人，把试卷放在面前，找出三类题，正视自己， 切记啊！找出三类题，第一，由粗心导致的错题，那么这类问题大家就是不要不重视，很多同学认为只是粗心而已，下次百分之百能对你。不要这样去想，我们一定要标注好这些由粗心导致的错题， 至少再找出五种这样类型的题，一口气秒掉它，如果不出错啊，说明你是 ok 的。 如果你的粗心那个原因是因为你的计算错误而丢分的，那么你就专门练计算，杜绝丢分，大家记好啊，计算，杜绝丢分。 那么第二类就是由我们知识点不会导致的错题，那么这个时候一定要立马翻开课本，去找对应的考点，至少练习十种相同的题型，直到熟练为止。 第三，就是由我们思路不会导致的错题，那么这个时候最重要的一点，一定要整理同类型的题，多去了解他们的解析套路，这里哈划个重点是多去了解他们的一个解析套路，这个很重要。 那么接下来给大家说一说，二模之后的三个不要做，大家一定要牢牢的记住啊，记在心里。第一个不要做，就是说 我们试卷按百分之来计算，如果你的二模数学成绩没有上九十分，那么压轴题的最后一问你就不要碰了，直接扔掉放弃，因为这种题学霸他也不一定能够做对，你把精力放在这上面，那才是真的傻， 一定要优先保住选择填空和基础大题拿分，这是主要问题。那第二个不要做，就是你不要隔三差五的去刷中考试卷。 如果大家真的想去练习，把我说的这几个板块我们重点去练习，大家认真去听，你像一次函数，二次函数，基础几何全等相似圆的基础概率统计解直角三角形。另外还有我们就是这个材料说明题 啊，那这几个板块啊，哪个板块不熟，你就反复练熟为止，大家记好啊，是反复练熟为止。第三个不要做，就是一个题你不要去思考很长的时间，如果三分钟你还没有思路，直接跳过，把这类题标记为没有思路的题。 另外严格计时，一定要去训练速度，练习如何取舍题目，这是为了掌握啊，目的是为了让我们掌握自己的节奏。如果你做题慢的同学啊，建议你每周两套中考政治试卷，严格把控时间。那么最后 就如果说你的二模成绩呢，在八十分以上，那么我建议你可以就是抽时间多去了解一下我们这些数学题中的二级公式，二级结论考场可以直接使用。 那么最后的最后哈，我们关于如何计时训练，在这里给大家一个小方法，选择题十个题不要超过十五分钟，就十五分钟之内秒掉它。 填空题五个题不要超过十分钟秒掉它，因为我们要把大把大把的时间留给后边的大体，把握住这个节奏。加油，你一定能行，你肯定行，你必能上岸，你绝对能逆袭！好了，还有问题的同学哈，还有家长私信给我留言。

我跟你们说啊，快到中考了，我发现同学们都容易手抖，不光同学们容易手抖， 就是抖的人可多了。你就像有的有的，我在看这个题目，我就说有的人的那个解题过程真的是无力吐槽，真的无力吐槽。你说这个角是阿尔法，这个角是背扯，求这两个角的和，那你就把它搬到一起好了。怎么办啊？这个搬法不是很简单吗？ 直接这个地方做一个三角形，把它倒下来，两个三角形一样大的，你设它为一， 这个地方就是一，这个地方就是根号三，这个地方就是直角二，二除根号三，对不对？两除根号三。这个答案就选 b， 就 这么简单，毋庸置疑，不要走弯路啊。好了，今天就到这里了，给大哥点点关注， thank you。

就在昨天，南开、河东和平三区数学二模呢，都出分了，很多同学呢，就卡在了幺零幺幺零三上不去了，问题不是不会做，是丢了本该拿的那个分。其实中考考什么，怎么答，全藏在了这张二模的卷子上了。哎，二模考试后你会不会复盘， 直接决定你中考的冲刺效率。这条视频红波校长只讲最核心的内容，看完了你就知道二模考后应该抓什么练什么了。第一类选择题，一到八题是基础知识点，必须零失误， 就考你公式性质定义简单运算必须十秒内出答案。那九到十二题呢，是中档的基础熟练度要给他拉满了，不丢冤枉分。第二，填空题， 天津中考数学填空考法不定，题型清晰，六道题都有明确的抓分点，前四道都是送分题， 无非就是概率一次函数幂的运算，同学们注意，这个符号可别写错了。那十七题几何综合考基础的模型， 先、熟练度，十八题第一问那三分必须要拿到，第二问那两分同学们适度取舍。第三，解答题中等生都反馈，就解答题，这里最容易丢分，最慌了年的解答题，题型呢，就会有小的变动。先说核心掌握不能丢分的啊！一、 验算不等式组一定要注意不等号的方向。二、概率统计三圆综合只要你掌握五大辅助线连接点，半径、直径、垂镜内接四边形、 四、三角形函数应用，你就看背靠背模型、母子型模型。五、一次函数应用，考生行程方案最直。最后呢就是大概率出压轴题的。一、几何变换、折叠和平移。 二、二次函数压轴压轴题第一第二问必拿，第三问适度空间核心提分原则，基础题一分不能够丢难题，量力而行。 最后，红波校长呢，想告诉各位同学，无论二模考成什么样子，中考一切未定，你我皆是黑马！跟着红波校长精准复习，抓基础，破难点，牢牢抓住该拿的分！预祝各位同学们呢，都能够考出好成绩，中考从容上岸！

泰安的家长朋友们注意了，今天泰安中考二模正式开始了，本次考试呢，语文、数学依旧使用省统考卷，其他科目呢，为自主命题。目前我已经拿到了语文试卷以及待业区的英语道法试卷，包括心态的物理试卷。放在我主页的公开群了，后续科目呢，我都会持续更新，大家可以进群免费领取。

好，来的同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说这个二零二六年河东区九年级二模数学第十八题的相关紧密思。 之所以这个隔一段时间才录这个题啊，因为最近终于找到一个比较合适的一个解这个格列做错题的方法。之前无论是不合适的那个答案，还是用了非初中知识的那些个什么什么定律，我觉得都不如今天找的这个方法好啊。来，我们来看这题啊， 说是在格点这个边长为一的这个网格当中， ap 是 格点，然后第一个线段 ap 的 上，这咱就不说了，这个干号，对吧？来看第二个，他说是在这个顶点，哎，三角 a b c 的 顶点是 a 跟 b， 然后与 bc 交于点 d， 这是个切线，点 m 在 列弧上满足这个，呃， 对， b m 就 这个方向上一个角，等于 a c b a c b， 这是一个确定的角，对吧？然后让我找出来点 m 的 位置。好，我们接下来介绍一下这个方法。这个方法，这个我觉得就是没用到什么高中知识，而且做起来也不是特别麻烦的一个。那咱把图放的稍微大一点，咱再说说这个，这个题啊， 来，这个问题我们怎么想的？来，我们先看这个 m 的 位置，如果，如果我们先假设 m 点在某一个位置，那么我连接 a m， 你 说为什么要连接 a m a， 因为我直接做等腰啊。我觉得这个题特麻烦，比如 m 在 这个位置，那好，那 p c 是 切线，这个咱管它叫 a n 吧。好吧， a n， 这是一个，这是一个弦， a m 是 一个弦，对吧？ 好，弦根切线夹的这个角呢？这是个弦切角。好，弦切角就等于夹虎所对的圆周角，你说老师这个我也没学过，那好，我简单证明一下啊，那么我们这个是个切线切线，我们如如果能找到，哎，我先把圆心找 找一下吧。咱先找圆心，好，找圆心比较方便。因为 a 呢是个格点，所以 a 和 隔线这两个交点，这就是一个直径，然后 pc 是 切线，那 pa 是 横二竖一，你找横一竖二，这肯定是一个直径，那肯定是一个直径的话，那么它一定是过圆心的。哎，这个焦点就是我那个圆心 o 好了，那我们看啊，这个角叫弦切角，因为他是切线，所以这两个角的和一定是九十度，没问题吧？好，我把这个延长成直径。哎，如果这是个直径的话，那我在这个地方连一个 九十度，连一个九十度啊，其实是不是这个点都都无所谓，那么因为这是个直径，所以这个角是九十度，对吧？所以，呃，这个角加上这个角就也也是九十度，对吧？所以 他加他九十，他加他九十，所以这个衔接点等于这个弧所对的一个圆中角，因为红弧所对圆中角都相等，所以能和一个角和其他的就都等，对吧？哎，这是简简单的一个衔接角的一个小小的证明啊。好，那这些线我们没没有用心把它去掉啊。好，知道这个以后， 好，知道这个以后，这个圆心 o 还在啊。我们能知道这个角应该是等于连完的 这个角对，就是这两个角相等，而题目让我做的呢，是这个角和这个角相等， 对吧？那于是我们看啊，这个角加上这个角，它就变成了这个位置的角，对吧？那么这两个小角相加，变成这个位置的角。哎，于是我只要能做到 a、 b、 n， 这是个等腰三角形， 这个活是不是就齐了？对，他只要是等腰就可以，等腰的话自然就会有我要的这个。呃， cbm 等于 a、 c、 b， 那 我接下来只要能做到 a、 b、 n 是 个等腰，这道题就做完了，对吧？好，那么接下来我们奔这个方向去考虑好，把这些个没有用的线都擦擦一下啊。 好了，来，这个我们怎么做？我们是这样考虑。来，我接下来说做法啊，我过点 b， 先做一个 bc 的 垂线，就是连接 o d， 连接 o d， 然后构造一个直径啊，这个你悬空不悬空和圆有一个交点就可以啊。好，那这样的话连接 b、 d 并延长，那么这条线一定是和 bc 是 垂直，对吧？这一定是九十度， 好，那就是九十度，他和隔有这样一个焦点和上面一个焦点有两个焦点，对吧？好，这个正好，正好是把 a 可以 当做一个中点来出八字模型的，从这个点连接 a， 然后延长过去。 好，那么这个点连接 a 延长过去，那么它们分别和下面这，哎呦，你这样 分别和上下这两个有两个交点，那我连接这两个点延长下来，那么这个一定是和 b、 c 是 平行的中点，那么这两三角形一定是全等， 对吧？他们两个全等，那么这这条线和我新做这条线就是一个平行的关系，那么它一定是我下面是垂直。好，那这个点就是我刚才图给画的点 n， 你 把 a n 连上，它就是一个等腰来，老师，为什么这一定是个等腰？ 我们来看啊，为什么一定要？因为这两个是这两三角形是全等的关系，我真的过 a 向下做个垂直，我只要是垂直，它必定是终点，为啥你随便看它，它这一定是你把这个看成一个梯形也可以 啊，看到这个梯形，这个 a 是 这个梯形这个边的终点，那么这个终点往下做垂直，那他们仨一定平行，这是一个梯形的一个中轴线啊，梯形的一个中轴线，那他一定是和两边都平行的，并且这个是终点，那于是这就是一个 b n 的 一个垂直平分线，那这样的话，我连接这条线，他就是我刚才图给画的那，哎呀，然后我把这条线去了，这条线没有用，然后我要的这个点，这个焦点，这个位置就是他要求的点啊。 哎，这个方法是目前呃，我看到我这个整理到的最合适的方法，再说介介绍给大家 啊，这个题我现在觉得我觉得咱没有研究他的这个太大的必要，知道这个八字模型能帮我们解决这个问题就可以啊。最后还是嘱咐一下各位啊，如果孩子的数学没有稳定在一百一十七级以上，无论什么时候都不太建议去琢磨这个的十八题啊。 好了，那这是我们对于十八题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。好了，那这个视频先和大伙说到这。