山东高考数学立体几何证明题焚决

立体几何的线面关系证明已经不能叫做高频考点了，它是纯粹的必考内容，年年高考，张张试卷，几乎无一幸免。但是大家在第一次学习的时候，可能连线面垂直是个啥意思都不一定知道， 所以今天咱们从纯零基础视角一起来拆解线面关系到底是个啥？ 首先呀，是线面垂直，说直线垂直平面啥意思？大家在生活中有没有见过相关的例子呀？哦，电线杆笔直的插入平坦地面， 咱们引入实物来进行观察，当我们把视角放平、放平再放平的时候，最终平面又被压缩成了一条地平线， 而 l 一 正好垂直于它，这个就是线面垂直的本质。好的了解了基本定义，这时候如果在平面内随便放两条直线，你认为红黄两线之间会是什么关系呢？ 就比如这个 l 一 和 l 二，既然 l 二在平面内，那么当平面也被压缩成地平线的时候， l 二就和地平线重合，红线垂直平面， 红线就垂直平面内的线，而且并非个例。像这样一个更没有特点的 l 三，它也和 l 一 垂直吗？ 还是一样的步骤，在我们的视角给平面不断压缩，直到成为一条地平线，红线垂直平面就垂直平面里边的线。 任何平面中的线压缩后都一定和这个压缩线重合，被红线 l 一 垂直贯穿。 那么简单总结就是，只要红线垂直黄色平面，红线就垂直平面内的任何一条线。当然一定要交代黄线包含于黄色平面，这是已知线面垂直可以推的玩意，记作定里一 接着，如果这个定律反过来说，红线同时垂直于两条黄线 l 二和 l 三，并且两条黄线同属于黄色平面，您认为是否一定能够推出红线垂直黄色平面呢？ 还是老规矩，咱们引入实物平面，先看这种红线只垂直于一条平面内黄线的情况。那么不妨认真思考一下红线和平面之间的角度，它定死了吗？ 显然，在 l 一 和 l 二垂直的情况下，平面完全可以以 l 二为转轴 随意转动，并且这对 l 一 和 l 二的相互垂直不造成任何影响。换个视角看也是同样的道理，平面绕轴转动不影响黄色轴线和红线的相互垂直， 所以这个平面他不是固定的，和 l 一 不必然形成九十度的垂直角度。但是呀，如果我再引入一条 l 三也在平面阿尔法内和红线垂直了，咱们仔细观察一下， l 二和 l 三卡在一块，同时包含他俩的平面，是不是有且仅有这唯一的一个呀？他这下就真的转动不了了， l 一 必然像电线杆一样，从完全竖直的方向狠狠插入这个唯一的平面 l 一 垂直平面阿尔法。 呃，但是，如果 l 二和 l 三不相交，两个是平行关系呢？上边还一定能够推出下边吗？思考一下。 首先，平移是完全不改变几何关系的，而当我们将 l 二和 l 三平移到重合位置时，同时垂直 l 二、 l 三 仅仅相当于垂直平面里边的一条直线，而红线只垂直于平面里边的一条直线，根本推不出红线垂直平面。这是咱们前边最开始就推理过的，平行不行， l 二 l 三就得互不平行。但是试卷上更规范的表达是， l 二交 l 三等于 p， 有焦点就是不平行，直接给他替换掉。那么整个推导过程简单来说就是红线同时垂直于两条黄线，两条黄线互不平行，有焦点 属于同一平面，那么红线就一定垂直于这个平面。以后凡是碰到线面垂直，都需要这样的步骤才能把分数拿全。 就比如这样一道二三年的高考真题，要证明红线垂直黄色平面。根据刚刚的经验，只需要在黄色平面里边找出两条不平行的黄线，被红线垂直，黄色平面也就被红线垂直。 但是这两条黄线分别取谁？好嘞， p a a b 还是 p b？ 咱们先标数据 提杆，右手 pa 垂直，底面 abc 线垂直于平面，就垂直于平面内的所有线。比如面内的 b、 c 就 被 pa 垂直， ac 也被垂直， ab 还被垂直。 哎，这个 pa 和 bc 是 不是刚好就是咱们所需要的红色黄色垂直？对啊，哎，已经找到了一组垂直了。 接着咱们看棱锥的蓝色背面直角三角形底边长度根号二。 再看棱锥底面等腰直角三角形直角边 bc 垂直 b a 又得到了一个红黄垂直对。 接着就是标准的书写流程了，红色 bc 同时垂直于黄色的 pa 和 b a、 pa 互不平行，交于点 a， 而 pa、 ba 又都包含于平面 pa b， 所以 红线 bc 就 垂直于平面 pa b。 再看这样一道二三年的全国二卷实体，要证明红线 bc 垂直于黄线 da， 这线线垂直不应该初中就会了吗？ 但是呀，这俩是异面直线。咱们研究一下红色 l 一， 黄色 l 二，要证明红线垂直黄线，咱们是不是可以引入一个平面阿尔法， 黄线 l 二包含其中？只要我能证明红线垂直面内的黄线呀， 简单过一遍，要证明线线垂直，就得给黄线找个面，红线垂直，这个面红线就垂直黄线。 以上是意面直线的垂直证明方法，大家可以借助这道全国二卷的证明题来应用练习。 再比如，大家碰到这种更坏事了，要证明平面和平面面面垂直，好像又是一个新的知识点，红色平面阿尔法，黄色平面贝塔。如果说这两面相互垂直， 会是啥情况呀？咱们引入实物图一探究竟。凡是涉及平面的几何关系，方法非常明确，把平面都旋转到压缩成线的视角， 压缩线之间的关系就是平面之间的关系。好的，了解了面面垂直的本质之后，咱们得想个办法证明它。比如咱们引入一条 l 一 包含于平面阿尔法， 同时垂直平面贝特，就这两条，能推理出平面阿尔法垂直平面贝特吗？思考一下， 咱们还是引入实物图来加以研究。首先，红线 l 一 垂直这个平面 l 一， 就一定垂直这个平面的压缩线， 这是线面垂直的本质。现在说 l 一 包含于平面阿尔法，比如长这个样子。 这里请大家认真思考。当我以 l e 为转轴去转动这两个平面镶嵌而成的组合体时，不管这个平面阿尔法有多大，他也总有被压缩成线的那一天。 此时的红线 l 一 正好和平面阿尔法的压缩线重合，俩平面的压缩线相互垂直，就等效为面面垂直。 好的整体简单梳理一遍，只要红线 l 一 垂直，平面贝塔 l 一 就一定垂直。平面贝塔的压缩线 l 一 又是平面阿尔法里边的线， 整体以 l 一 为转轴，就百分之一万能够转到这个两个平面都被压缩成线的时刻，而平面阿尔法最终被压缩到和转轴共线，他的压缩线也和贝塔的压缩线相互垂直， 而压缩线相互垂直正是面面垂直的本质。大家同样可以借助一道经典例题来强化理解。 再接着进入第二部分，一条红线 l 一， 一个平面阿尔法。但这一次我说红线 l 一 平行于平面阿尔法，你能想到它的本质是啥不？ 咱们引入实物图，根据前面的经验，只要有平面，就得给他压缩成线，线平行于面，线就平行于面的压缩线，这是线面平行的本质。 那么在更多的考场环境下，如果需要证明线面平行，应该怎么做呀？ 比如在黄色平面内放置一条黄色直线 l 二，通过红线平行黄线来证明红线平行黄色平面，你认为这合理吗？ 当然一定要交代 l 二包含于平面阿尔法，思考一下好，还是引入实物图，凡是有平面，又要找几何关系，第一时间给它压缩成线。 红黄两线相互平行，而黄线又在平面阿尔法内，所以平面阿尔法被压缩成线之后，必然和 l 二位置重合，和 l 一 相互平行， 而线和面的压缩线平行，就是线面平行的本质。综合来讲，定律的大概流程就是，红线平行于黄线，而黄线又在这个面内，红线就一定平行于这个面， 这是线面平行的判，好像还有点瑕疵。这个 l 一 平行于 l 二，好像从来没说过 l 一 不能在 l 二这个平面内吧， 所以他当然是错的。一个平面内的线不可能平行于这个面本身，所以为了简单粗暴的切断这种可能性，我们直接在条件中加一句红线 l e 不 可以包含于平面阿尔法， 这样就百分百隔绝了。而线面平行这样一个判定定律，大家同样可以用一道高考真题来加以巩固。

欢迎来到我们高考押题系列第三期，今天我们将介绍两个立体几何中非常重要的二级结论。好的，我们来看这样一道题。四棱锥 p a、 b， c、 d 的 底面是一个正方形， p d 垂直于底面，且 p d 等于 a， d 等于一向量 pe 等于二分之一向量 p b。 向量 p f 等于四分之三向量 p a， 且 e、 d、 f 这三个点所形成的平面与 p c 这条边的交点是 g 点好， a、 b 两个选项依旧送分。我们主要探讨的是 c、 d 这两个选项对应的二级结论。我们先来看 c 选项，他问你 d、 e、 f 三个点所形成的平面 与 p c 相交，取得一点 g， 这个 g 点在 c、 p 上处在怎样的位置？它的难点在于这个 g 点的生成方式很奇怪 对吧？以至于你没有一个很好的办法来间隙解决它。那间隙不方便解决，你还有什么办法？那就是向量法，考察你基底的意识，向量法最重要的就是基底的选择。那很显然，题目已经告诉我们 g、 d、 e、 f 四点共面，就是希望我们用 p d， p e 和 p f 来表示向量 p g 嘛？ c 选项问我们 p g 等于多少倍的向量 p c， 我 就不妨先设它是 l， m， d 的 向量 p c， 再将 p c 逐步拆到 p e、 p d 和 p f 上。这个是常规基础方法，接下来就要引入我们今天第一个二级结论，叫做等和面。 此前大家对等和线都很熟悉，有向量 p a 和向量 p b， 在 ab 上找到一点 c， 向量 p c 就 可以表示为 x 倍的向量 p a 加 y 倍的向量 p b， 且 x 加 y 等于一。那面对这样一种情况， d， e、 f， g 四点共面。 我对于三轮锥 p d， e、 f 来说，我一个向量 p g 也可以表示为 x 倍向量 p d 加 y 倍向量 p e 加 z 倍向量 p f。 同时，只要我的记点在 d， e、 f 这个平面上，我也有 x 加 y 加 z 等于一这样一个结论存在，那接下来 c 选项就迎刃而解了。向量 p g 等于这么个东西，那其系数和二朗姆达加朗姆达减三分之四，朗姆达应该是等于一的，解得朗姆达等于五分之三， 因此 c 选项 p， g 等于五分之三倍向量 p c 好， 接下来 d 选项他让你求三棱锥 p， e， f， g 的 体积，如果你直接间隙做的话，三角形 g， e、 f 的 面积好求， p 到三角形 g， e、 f 的 距离也好求，不过这样的话，间隙算下来会非常繁琐。因此我们要引入今天第二个二级结论。对所有的三棱锥来讲，注意一定要三棱锥。四棱锥是不适用的， 我在他的每一条棱上选一个点构，注出一个更小的三棱锥，这个小三棱锥的体积等于原有的大三棱锥，就是图中的 p， a， b， c 这个三棱锥，对吧？等于这个三棱锥的体积乘以每条边上的比例，五分之三乘二分之一乘四分之三， 因此最后的结果就是这个直接代入数据计算得到八十分之三， d 选项正确。其实我个人不是很喜欢二级结论出现在高考中，但是大家可以发现，去年二五年新一卷，他在最后一道多选择题的三角函数上涉及到了不少二级结论的， 因此还是希望大家能把利奇几何中的二级结论进行多一点的积累，大家点点关注，后续我们押题系列持续更新。

离体集合大题还不能满分？过程书写总有遗漏，一个视频教会你轻松拿满分！ 为什么你的立体几何大题永远拿不到满分啊？经常看到后台有同学私信我，想让我梳理一下立体几何这一节的书写规范问题。 那么今天距离高考还有最后十四天左右的时间，我将带领着大家从零到一，将立体几何大题常见的一些考法，最后再梳理一遍，助力同学们在高考考场上遇到立体几何不再慌。 有一道例题是二五年的高考真题，那么为什么选它呢？因为啊，它不仅涉及到了平行与垂直的判定啊，没有垂直，只有平行，它还涉及到了一个角度的求法，除此之外，还有一个折叠，我们通过这道题还可以学会折叠的一些性质。 好，我们先看第一问，他让我们证明 a 撇 b 平行于这个平面， cd 撇 f， 那 么就是什么线面平行吧。同学们，你拿到一道题，让你证明线面平行，你要先想，你可以从哪些方向去证明，是不是有两个呀？ 一个是什么线线平行吗？我们可以通过线线平行来证明线面平行，还可以通过面面平行来证明线面平行。如果是线线平行的话，你要说 a 平行于 b 两条线它是平行的，并且 a 它不在这个平面内， b 它在这个平面内，所以你就可以说明 a 这条线它是平行于 ar 这个平面的。好，这是我们拿线线平行来证明线面平行。那如果你想要拿面面平行呢？ 面面平行的话，你得先强调这两个面它是平行的，并且你要证明的是线面平行，所以我们要说一条线，它是在这个面内 ar 的， 它是在 ar 这个面内的， 那我们就可以得到这个 a 啊，他就会平行另外一个平面贝塔。那为什么呢？因为同学们想一下，我既然两个面是平行的，不就会有其中一个平面的任意一条直线都会平行于另外一个平面吗？ 那么我们竟然讲了这个线面平行啊。把平行梳理完之后，我们再强调一下，垂直、垂直、 垂直。同样的，我们是不是也会有两种思路去证明这个线面垂直啊？第一种是什么？是不是线线垂直啊？如果同学们想拿线线垂直去证明线面垂直的话，我们要说的是 一条直线 l， 它会垂直于这个 m 和 n， 也就是一条直线，它会垂直于一个面内的两条相交直线。好，什么叫做面内呢？那你要强调 m， 它在这个平面阿尔法内， n， 它也在这个平面阿尔法内。什么叫做一条直线垂直于 一个平面内的两条相交直线呢？所以你要强调一下相交 m 交 n 会等一个 p， p 是 它的焦点。然后你再强调一下 l， 它会垂直于这个线 m， l， 它会垂直这个线 n， 那 么我们五步就可以把这个线面垂直给它梳理完。 好，那么我们是不是是不是也可以通过面面垂直来证明这个线面垂直啊？ 如果你想拿面面垂直来证明的话，是不是会有先强调一下面面垂直阿尔法，他会垂直于这个贝塔两个平面，两个平面是垂直的，然后阿尔法交贝塔等于 a， 你 两个平面的交线是这个 a 啊，那么我们其中一条线 l 它是属于其中一个平面的， l 它在这个平面 r 法内，那么那么你还要再强调一下， l 它会垂直于这条交线，那你就可以得到 l 它是垂直于另外一个平面的。 好同学们，我们基本上啊，这四个判定定理，如果你都能够很熟练的掌握的话，高考的第一问，我相信你不会再被扣分了。那么我们学会了判定定理，是不是得看一下具体的题目呀？接下来我们就看一下第一题怎么写 啊，让我们证明 a 撇 b 会平行于这个平面， c， d 撇 f， 哎，这是不是一个很明显的线面平行啊？ 如果你想要证明线面平行，我们刚刚是不是说了，你可以通过线线或者面面去推导啊，我们观察一下线线行不行，线线的话，你想要证明出 a 撇 b 平行于后面这一个平面的一条线，光看这个图好像不那么好找吧， 那我们线线这条路先搁置在一边，观察下面面平行，面面平行的话，好像就比较明显了呀，这一个平面，对吧？ a 撇 e， b 和 d 撇 f c 这个平面，他是不是一看他很像是平行的呀？ 很像是平行，我们得正出来才可以，怎么正呢？你要正的话，大概的思路应该就是，我要证明 e b， 它会平行于这个 f c， 然后就可以得到 e， b 会平行于后面这个平面， a 撇 e， 它要平行于 d 撇 f， 所以 a 撇 e 就 要平行于后面这个平面，所以我们面面平行就出来了。那我们看一下能不能挣出来这两条边，这两条边它们是平行的，我们观察一下这个题干 给了我们 ab 平行于 cd， 这一条和这条是平行的，又有了这个 ef 平行于 ab， 这一条和这条也是平行的。那我们不就可以得到这个四边形，它是平行四边形的吗？又有角 a、 b 啊，它是九十度啊，这个是九十度，所以我们就可以得到这是一个矩形，然后这个图形它怎么来的呢？ 这个图形啊，它是我们的四边形， e、 f、 d、 a 沿着 e、 f 翻折得到的，那不就是这个四边形沿着这个 e、 f 往上面翻吗？ 所以底下这个四边形所具有的性质，我上面同样具有。那么讲到这里，相信同学们的思路已经有了，我们来看一下具体过程要怎么规范。 第一步啊，我们先梳理一下折叠前后的基础条件，因为在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 平行于 cd， 那 是题目给的，且 ef 平行于 ad， 所以 这是一个平行四边形。 又因为角 d、 a、 b 等于九十度啊，这个九十度，所以有一个直角的平行四边形，它就会是矩形。那么写完之后，我们第二步来，你先证明一个先面平行， 因为啊，我折叠后，这个矩形，它的性质是不变的，所以我原来 a、 e 是 不是平行于 d、 f， 折叠后就会有 a 撇 e， 它平行于 d 撇 f， 然后利用一下刚刚讲过的线线平行，怎么推出线面平行？ 线在面内，线不在面内，所以线平行于面，这是第一个啊， a 撇 e 平行于后面这个平面，那思路是一样的吧。 eb 来 e、 b 平行于 f、 c， 所以 e、 b 它不在后面这个平面， f、 c 它在后面这个平面，所以可以得到 e b 平行于后面这个平面。两个线面平行是不就可以得到面面平行了呀？我们就可以得到，因为啊， a 撇 e 和 e b， 它相交于点 e 的， 然后 a 撇一和 e b 呢，它都在前面这个平面内，所以前面这个平面就会平行于后面这个平面。又因为啊， a 撇 b， 它是在前面这个平面内的，所以 a 撇 b， 它就会平行于后面这个平面。那我们第一问就很快的得到了。 如果说你按照这个步骤去书写啊，我相信查卷老师他不可能会扣你过的步骤分。好，接着我们来看下一步，我们讲完了这个平行和垂直的问题，是不是要考虑角度的求法了呀？ 角度啊，我们同影像量，因为现在距离高考还有最后的十四天的时间，我们不讲过于复杂的几何法，我们只讲投影向量。好，先强调一下意面直线所成的角，我们取的都是什么角啊？ 都是锐角啊，锐角，呃，这里不书写啊，都是锐角。好，来看， 我们如果想让你求 e 面直线所成的角，你就要想啊，把两个 e 面直线的方向向量给它表示出来，然后利用你在向量那一节学到的向量的数量积公式进行一个变形，是不是就可以得到口算 c 的 会等于这一串呀， 对吧？同学们，因为我刚刚强调了，你 e 面直线所成的角，我们取的都是锐角，所以你要加上一个绝对值， 绝对值啊，绝对值。好，那我们接着来看线，线角。讲完之后我们要讲什么？ 是不是线面角啊？线面角，它指的是直线与平面所成的角啊，那我们同样你要在这个平面内找出它的法向量。我们算线面角的话，是算线面角的正弦值会等于这个 直线直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦值。那同理啊，这个余弦值要取一个绝对值绝对值，那方法呢？方法的话，同样你是利用你在向量那一节学到的公式吗？对不对？ 好，线面角讲完之后我们要讲什么呢？那这里啊，这里有一个易错点，就是同学们要知道你线面角所 我们利用这个方向向量与法向量所求得的这个余弦值啊，是等于我们线面角他的正弦值。好吧，具体为什么呢？在我的八十五天冲刺系列课里面，这个立体几何这一节有讲到的啊，有讲到的 好，接着我们要看什么面面角了吧，那面面角通常是指二面角，也就是两个半平面所形成的假角。我们来看一下，核心是我们要在这两个半平面 找出它的法向量 m 和 n， 然后啊，然后计算这两个法向量他们所成假角的余弦值。 算出来之后呢，要注意，我们算出来的是加绝对值的啊，算出来的值是加绝对值的，那具体我这个二面角它的余弦值是多少？你要回归图形，我们观察一下你的几何，直观来判断你到底是锐角还是钝角， 如果是锐角的话，口算 c 塔肯定结果不变。如果是钝角，你要在你求得的值他的前面再添上一个符号。 好，那么我们角度的求法就讲到了这里，我们就选取这一道具体的题目进行一个讲解，来，我们看，他让我们求这个平面 b， c， d 撇和这个平面 e， f， d 撇， a 撇他们所成的二面角的正弦值。那我们按照思路是不是要求这两个平面各自的法向量呀？ 求出发向量后，我们利用法向量的乘积，再除掉他们各自魔长的乘积，是不就得到这个二面角的余弦值的绝对值啊， 再利用 sine 方加 cosine 方等于一，从而得到这个正弦值吧。好，我们来看，第一步是要间隙怎么建呢？因为我们通过第一问得到了这个角度啊，这里是垂直的吧，所以我们可以以 f 为坐标原点， f， e 它是 x 轴， f， c 它是 y 轴，然后啊，再过这个 f 点做 z 轴，它垂直于这个底面就可以了。 行，我们来看一下第一步，因为他这个题目啊，没有给我们具体的每一条边的长度，他只给了我们比值关系吧，所以我们看 ab 等于三倍的 ad， 我 们可以假设 ad 为一，用一位 cd 等于两倍的 ad， 然后 f 点它是中点，所以啊，这个 d， f 会等于 c， f 都是一，那因为我们第一问得到这是一个矩形吧，所以 a， e 是 不是也是一啊？那 e， b 就 只能是二了吧。好，我们得到这些条件，来观察一下 你要的这个平面 b， c， d 撇是不是坐标都可以写 b 点坐标很容易了，它是不是 x 走上距离应该是一啊， y 走上距离是二吧，然后 z 走上为零，然后 c 这个点的坐标呢，也是很容易的吧，应该是零一零吧。那 d 撇呢？同学们，这一道题重点就是这个 d 撇要怎么求了？ d 撇我们看一下，你不知道这个 d 撇 f 这一段长呀，它是由 d、 f 翻折上去的，所以 d、 f 是 不是为一， 对吧？同学们， d 撇 f 为一，然后这个二面角来看一下 e、 f， d 撇 a， 找一下 e、 f， d 撇 a 这个平面和下面这个平面 e、 f、 c、 b， 也就是说这个平面和这个平面，他们的二面角是六十度，我们观察这一条边是不是垂直于这个交线的， 这一条 cf 是 不是也垂垂这个交线？所以我们的 d 撇 fc 这个平面角，它是不是就是这两个平面所形成的二面角呀？对吧？所以我们 d 撇 fc， 它是等于六十度的啊。 d 撇 fc 六十度， d 撇 f 为一，所以 d 撇 它的横坐标啊，它的啊，不是横坐标，它的 y 轴上的距离是不就是 d 撇 f 乘以 o 三影六十度啊？它的 z 轴距离是不就是 d 撇 f 乘以三影六十度啊？所以我们可以把 d 撇的坐标也算出来，那所有的点坐标都有了向量，坐标是不就出来了？ 我们看一下你想要求得这个法向量，是不是假设先设这个 b、 c、 d 撇，它的法向量为 n、 x， y、 z， 然后啊，我们看到上面这一块，是不是可以写出这个 c、 b 向量乘以法向量等于零， c、 d 撇乘它也等于零。然后你把具体的坐标带进去， 再来，你带进去之后，你要先赋值，我们赋其中一个为根号三，令这个 y 等于根号三，所以这一整串为零的话，它就等于一了，然后 y 等于根号三，你的 x 是 不也得等于根号三呀？ 所以法向量 n 就 出来了，那同理，这个平面法，这个平面 e、 f、 d 撇 a 撇，它的法向量跟上面这一个的算法的格式是一样的，我就不细讲了，那过程就在这里。接着你有了两个法向量坐标，是不是就可以算他们的假角了呀？ 假假就是口算 c 两的绝对值会等于这个法向量的乘积的绝对值，再除掉它们各自抹长的乘积，然后算一下。其实我们这个分子啊，这个分子它应该是绝对值，然后负三再加 一。好分子应该是这一个啊，应该是这一个，然后算出来的话，结果还是不变的。你算出来余弦值之后，我们的正弦值是不是也可以直接利用这个三一方加口三一方，等于一来给它表示出来呀？ 那么我们这道题的第二问是不是就求出来了？因为它是求二面角啊，所以我们算到这里就可以结束，那么我们今天的课就讲到这里。

立体几何如果真的想要学好两个东西，掌握了完全没问题。第一个洁面思维，也就是本道题我们想要讲的。第二则是间隙。 在分享之前，先简单介绍一下，我是一名高中数学的独立老师，不会营销这种题分有问题，平台私信他说啊，有这样的两个三菱锥，三菱锥 d， abc 和 e， abc 都是正三菱锥，然后呢， d a 的 长度啊，也是这条边的长度呢，是三分之二十一， ab 等于 a， e 等于二， 则其内部能放入的最大的球的半径 r 是 多少？那这个题呢，其实我们只需要取它的结面来思考一下，因为他想放入最大的球，当然就是什么他的内切球嘛，你没办法再大了， 那么内切球就是跟这里面总共的六个面分别相切，那分别相切的话，结合它本身是正三能追。事实上呢，我们只需要在 b c 找一个点，我们假设是 m， 我 们连接 dm， 再连接 em， 那 么这个球它要产生的状态是什么呢？ 我们再连接一下，第一就是他的球心，假设是在这里球心，首先球心一定在第一上，这个我不用再额外去说吧，大家应该能够理解，这是他的球心哦，那这个球心呢，一定是与什么？一定是与第一和这个 me 垂直的原因是什么呢？因为内切吗？这是它的面呢，垂直的，那这个垂线呢？我们就假设是什么，假设是 e 和 f， 而且呢，这两个垂线的距离都刚好是这个内切球的半径 r， 那 因此呢，我们就可以把这个结面给单独取出来研究， 我们画一个结面图，那么画了结面图之后呢，大概就是这个样子，只需要研究这个结面里面的几何关系，其实我们就能够找到它的半径 r， 那 具体怎么来找呢？好，首先要知道这个圆相切的是啊， dm 和 em 啊，这里是 m dm 和 e m， 因为 dm 和 e m 呢，是这两个面上的，而且呢是属于这个三角形的三线合一，因为是正三角形嘛，而不能跟 a a d 和 a e 相切啊，因为 a d 和 a e 是 棱，你是内切球，怎么可能跟棱相切呢？这一点大家一定得理解好。接下来的问题就是，我们怎么去得到这个 r 的 长度， 怎么去得到这个 r 的 长度，那这里我们要怎么去建立几何关系呢？好，首先 a d 的 长度是三分之根号二十一，是不是 a e 的 长度呢？是多少？ a e 的 长度是不是就是二？好，题目给我们的。然后 am 的 长度，注意 am 是 什么？ am 是 等边三角形， abc 的 三线合一啊，中线垂线也是我们的角平分线，因为 a a ab 是 等于二的呀， ab 是 等于二的，底面也是个等三等底面，也是属于一个什么等边三角形。所以 am 的 长度我们首先可以算出来， am 的 长度应该等于什么呢？ am 的 长度是应该等于，那就是 ab 乘上二分之根号三，那就等于根号三。 a m 的 长度算出来之后呢，那这个 a m 和这个 d e 其实是有一个交点的，这个交点我们假设是什么呢？假设这个交点是 abcdefh， 那 这个 h 的 长度， hm 和 ah 的 长度，大家能算出来吗？啊，是可以的哈，因为很显然这个 abc 是 属于一个。什么是一个等边三角形啊？等边三角形的话，那这个 h 点刚好就是属于它的。什么属于它的一个三分之二嘛？啊，这几几几个要交相交啊，三个线相交啊，所以它也是属于它。什么 属于它的中心，你看你这边做一个它都是一样的 b 点，这边找一个 n 点，你会发现它都是一样的，这几个结面都是一样的，所以呢，这是属于它的中点， 既然是中点的话，那我们根据它的性质，那 a h 就 应该等于三分之二倍 a m 等于三分之二倍根号三，而我们的 h m h 呢，就应该等于三分之根号三，也就是三分之一倍 a m。 那 现在 a h 和 m h 都有了，接下来我们再思考一下，这个 dh 是 不是也有了， d h 也有了呀？这是一个垂直关系哦，大家注意，这是垂直关系，这是垂直关系，这样这是垂直关系的话，根据勾股定点，那么我们的 d h 也可以算出来， d h 应该等于根号下， 根号下 a d 的 平方，再减去一个 a h 的 平方，我们可以计算一下，计算出来呢， d h 的 长度为一，那同样的道理， e h 我 们也可以利用同样的逻辑来计算， e h 的 长度呢，就为三分之二倍根号六， 三分之二倍根号六。那现在的问题就是这个 r 怎么算呢？我们现在算了半天还是没有算到 r， 是 不是？那这个 r 应该怎么来算呢？那现在第一我是可以算出来的吗？第一的长度是可以算出来的， 第一的长度呢，就应该等于多少？第一的长度就应该等于 dh， 加上 e h 等于三分之二倍根号六，就是一加上三分之二倍根号六。注意了，这个 dh 加 e h 又等于什么呢？又等于 注意，它又等于 e o 加上 d o， 或者 d o 加上 e o 等于 d o 再加上 e o。 看到没有？ d o 加 e o。 好 了，接下来，接下来我们可以再去找一个等式来计算 d o 和 e o。 那 这个等式从哪里来呢？大家思考一下。可以从哪里来呢？大家注意一下。因为这是个内切，这是个垂直的，所以这里的角度，我们是不是可以用三角函数啊？ 这也是垂直的呀，所以这其实是一个共角啊，同样的逻辑在这边也是一样的，能理解吗？所以大家注意了，大家注意啊，我现在要建立一个新的等式，什么等式呢？也就是我们的 d o 乘上 sin 角， o d m 等于什么呢？等于 e o 乘上 sin 角， e o sin 乘上 sin 角什么呢？乘上 sin 的 角 o e f o e m o e m。 原因是什么呢？原因是因为这两个算下来，它都是属于我们的三角函数啊，不属于我们的半径，内切圆的半径，内切球的半径，因此呢，它们是相等的。你内切球的半径始终是相等的吗？所以是相等的。而这里的 d o 和 e o 是 不是又出现了一个等时啊？ 又出现了一个等时，这里已经有一个等时了吗？这里又出现了一个等时。问题就是这两个正弦怎么表示啊？同样的逻辑，这两个正弦又等于什么呢？又回到， 回到这个三角形里面来啊，这样的图画的稍微有一点，有一点，有一点复杂了，回到这个三角形里面来，这个直角三角形里面来，看到没有？在这个直角三角形里面，我们会发现三的角 o d m 是 等于什么呢？是等于 m h。 比上 dm， m h 和 dm 都是计算出来了。那么 sin 的 角 o e m， sin 的 角 o e m。 同样我们可以用到下面的这一个直角三角形里面的，是不是等于什么呢？它是等于 m h 比上什么呢？ m h 再比上一个 e m， 那 因此正弦的值就可以计算出来了。 计算出来了，就可以再建立起一个 d o 和 e o 的 等式。有了这两个等式，这是一式，这是二式啊，我们就可以解除 d o 和 e o。 解除了 d o 和 e o。 再基于这个，这是等于 r 的 吗？ 等于它半径 r 的， 再基于这个就可以计算出它的半径啊。这个版面写不下，我在草稿纸上写一下，最终可以算出来这个那些球的半径就是十五分之三加二倍，根号六。好了，本次分享到这里就结束了。

朋友们大家好，咱们今天接着讲一个大题，今天咱们看第六道题。那首先咱们来看下这个题目，他说呢，在三棱柱 a、 b、 c、 a、 b、 c 中，然后四边形 b、 c、 c、 b 是 个什么菱形？也就是说什么这个是个菱形，对不对？虽然他这个图画的可能不太明显， 对吧？然后他说三角形 a、 b、 c 呢？他是个等边三角形，也就是说这个底面他是个等边三角形这个部分，对吧？然后他说 m m 为线段， ab 的 中点，那说明 am 是 等于 bm 的， 然后角呢？ abbe 是 等于多少度？等于六十度的，那也就说明多少哪个角是不是这个角等于六十度，对不对？那首先咱们看第一个，第一个他让咱们证明的是 bc 就 这条边这个对角线菱形，对角线 怎么了？垂直于平面 a、 b、 c， 那 其实第一问是正什么线面垂直，要这么一个直线垂直一个面，咱们核心方法是什么？是不是线面线面垂直判定力，就如果一条直线垂直一个平面内两条相交的直线，那么这个直线是不就垂直这个平面？那首先 咱们看已知条件，它说四边形它是个什么？是个菱形，对不对？菱形对角线互相垂直，所以说咱们通过这个就可以得到什么，是不是就已经能知道一个这个两个对角线是不是垂直啊？对不对？那什么咱们来写一下， 是不是因为四边形 bc 它是个什么？是个菱形， 所以呢，是不是 b 一 c 垂直于 b c 一 啊？同时菱形的什么邻边是不是相等，所以说 b 一 b 是 不是等于 b、 c？ 那 接下来咱们看三角形 a、 b、 b 题目，告诉咱们什么角 a、 b、 b 是 个六十度，而在三横柱中呢？ a、 b 是 不是等于什么 b、 b 的 呀？ 对不对？就这两边是相等的，那所以说他是不是这个三角形是个等边三角形，对吧？所以说咱们写一下，因为 ab 等于 bb 一 且 角 ab 一 等于六十度，所以说三角形 abb 一 是什么？是个等边三角形， 对不对？而三等边三角形三边相等，所以说怎么的 ab 一 是不是等于 ab 啊？ 又因为什么？因为三角形 abc， 它怎么的？它也是个等边的三角形，对不对？所以说咱们得到什么？咱们得到 ab 一 是等于 ac 的， 也就是说什么 a 三角形 a、 c、 b、 e 是 一个等三角形，对不对？那咱们设 b、 c、 e 和 b、 e、 c 的 交点为 n， 可以 吧？咱们设 b、 c、 e 和谁啊？ b、 c、 e 和 b、 e、 c 的 交点为 n， 也就是这个为 n， 可以 吧？那所以说怎么呢？ 这个四边形它是菱形，对角线互相平分，所以说是不能得到 n 为 b、 e、 c 的 什么中点，对不对？然后呢，咱们写在等腰，看这个等腰三角形能得到什么条件。等腰三角形 a、 c、 b、 e 中， a、 c、 b、 e 中是不是 n？ 为什么？ b、 e、 c 的 中点对不对？根据得到它的三角形的性质，咱们可以得到什么？是不是 b、 e、 c 垂直于 a、 n 呢？那咱们已经找到了平面 a、 b、 c 以内的两条相交直线 b、 c、 e 和 a n， 对 不对？那所以说，且又因为什么？是不是 a、 n 交上 b、 c、 e 是 不是等于 n， 且怎么的？是不是 a、 n、 b、 c、 e 都在这个平面 a、 b、 c 内啊？所以说根据下面这这判例里，咱们是不能证明出来什么说 b c 垂直于平面 a， b， c 吧，对吧？那第二问，第二问咱们看啊，他说告诉咱们这两个平面 a， b， b 就是 这个侧面垂直于什么底面 a， b， c， 然后呢，让咱们求这个直线这个平面所成角的一个正弦值，那第二个的话，明显跟这个题干，他要求正弦值肯定就是怎么的要用空间向量来解决 题目里这个条件，就是咱们间隙的一个关键。首先咱们要找坐标原点，因为怎么的，这个 m 是 ab 的 中点，而三角形 ab 是 不是等于三角形？所以说 b e m 是 不是垂直 ab 就是 这个，咱们连一下 它是不是垂直 ab 的， 对吧？又因为什么？平面 abbe 一 a 一 垂直平面 abc， 它们的交线是什么？是 ab， 根据面面垂直性质里，咱们可以得到什么？是不是 b e m 这个边就怎么呢？垂直于底面 abc 啊，对不对？所以说咱们， 咱们把第一问先擦掉，咱们先来写这个间隙的过程，间隙的过程， 首先咱们写以什么前面那个部分，我先就是刚才说那些部分，我会发到评论区，然后咱们直接来写一下间隙的步骤， 首先就是谁以 m 为坐标原点，对不对？然后呢？以谁啊？咱们要建右手系，对不对？ m a 为 s 轴 mc， 咱们写分别 以 m a 向量 m a 向量 m c 和谁向量 m b 一 吧，那垂直吗？为什么为 x 轴 y 轴 z 轴正方向，怎么的？建立坐标系， 对吧？那你看啊，咱们为了方便计算，咱们设 a b 等于二，可不可以？咱们设 a b 等于二，因为它这个本身，它这个图形它没有任何的长度限制，对不对？那这样的话个人作图是很好写，对不对？咱们设 b 等于二的话， m 就是 零，圆点就是零到零到零，那咱们先把这个细画出来，好吧？ 首先 m a 为什么这个 m c 咱们连一下， 哎，这个应该是以 mma 为什么 y 轴吧，对不对？哎，对吧？它为 x 轴， mbe 为什么 z 轴，对不对？所以说咱们见右手系的话，咱们给这个换一下，是不是 mcma 啊，对不对？那首先圆点就是这个，然后 a 的 话， a 的 话是不是零斗负一斗零，对不对？ b 的 话是不是零斗一斗零，对吧？又因为这个三角形 a， b， c 是 个等边三角形 m a 中点，所以说 m c 是 不是等于刚好三？那 c 是 不是就是根号三斗零斗零，对不对？然后那 b 呢？ b， e， m 是 不是等于刚好三，对不对？那它就是零斗，零斗刚好三，对吧？那根据三棱柱的向量关系，咱们是不是零斗负二斗刚好三， 那 c 一 呢？是不是根号三到负一到根号三，对不对？那咱们接下来写，写出所需要的向量。首先就是这个直线，直线咱们肯定是需要的，是不是 b c 等于多少啊？是不是等于 根号三到零到负根号三，然后向量 m a 一 呢？是不是等于？咱们这个平面的话，肯定以 m 为一个公共点是比较好看的，对吧？所以因为 m 是 坐标原点嘛，对不对？是不是零到负二到根号三？ m c 一 呢？是不等于根号三到负一到根号三？那现在咱们求平面 a e m c 的 反向量， 那这个反向量咱们设，我就省略了，咱们直接写，那是不是就是这样， n 向量乘 m a 一 向量等于零， n 向量乘上 m c 一 向量等于零，带入之后 是不是就能得到负二？ y 加根号三之一等于零，然后负 y 加，呃，等一下是什么根？根号三 x 减去 y 加根号三之一等于零，对不对？那咱们另 y 等于根号三，那首先那是不是能得到谁啊？ z 是 不是等于二？ x 应该等于负一，对不对？所以 n 向量就等于多少啊？是不是等于负一到根号三到二，对不对？那最后咱们来求正弦值，正弦值就比较好求了，正弦值肯定等于什么 正弦值，它是直线和平面的所成角，所以说和直线方向相等于法向量，假角互余，对不对？所以说三也谁的？其实本征是等于什么？是不等于 口三也？ b， e， c 都 n 对 不对？然后咱们来算一下它的膜长啊， b， c， 哎，其实这个咱们直接一起算了吧，对吧？咱们来算一下三也谁的？他等于多少？是不是等于 b e， c 向量乘上 n 法向量再比什么 b， e， c 向量的模，再乘上向量的模，对不对？等于多少？是不是等于最后算完应该等于四分之三的？那这道题呢，咱们就做做完了， 回顾一下这道题，咱们这道题一共用了两种核心方法。第一问呢，就是说用线面判定垂直力通过啊，线面垂直判定力通过证明直线和平面内两张相交直线垂直来完成证明。第二问呢，用空间向量法，通过建立坐标系求向量，计算向量夹角来求解线面角。 然后大家要注意一个事，就是线面角和向量夹角的关系，正弦值是方向相等，假角余弦值绝对值，就咱们不要搞混了，那今天这道题咱们就讲到这。

同学们，今天我们来拆解一道二零二一年新高考一卷的立体几何真题啊，我们福清市也是考全国一卷啊，那主要是针对高一年的同学，因为这道题的核心考点是找隐藏交线加线面垂直证明。 掌握这个套路，我们平时在清末卷里面做的证明题，直接拿捏，那它也是清末的一个高频考点，因为我们这种隐藏交线，很多同学们做的不是很好，就这条线，它是存在的，但是它没换， 那他的典型特征就是两个平面相交，但交线没有直接划出来，那你直接通过线面关系找到交线，再证明这条交线的一些平行或者垂直的一些关系。那我们今天这一道题啊，先找两个平面的交线，再证明交线垂直，平面平行线。 这种题呢，两两种通用的解法啊。这两步，第一步呢，找平长交线，用线面平行，定交线方向。第二步，正线面垂直转化目标，用线线垂直正。那第一步呢，我们先证明线面平行啊，线面平行，像这种题一定是我啊，同学们可以看我之前的一个视频，就是线面平行的性质给你，这种题一定是线面平行的性质给你。 那我们怎么去处理？非常简单，因为 b、 c 平行 a、 d， 这是仅有的一个平行啊，正方形仅有的一个平行，那 b、 c 不 再平面， p a d， a d 在 平面 p a d， 所以 b c 平行平面 p a d。 好， 那这是一个性质的第一条。然后呢，我们接下来写性质的第二条， b c 呢，还属于平面， b c 还在平面啊， p a d 跟 p b c 呢， 等于 l， 所以呢， b、 c 会平行 l 那 接下来我们是要正 l 垂直这个面，那只要正 b、 c 垂直这个面就行了。那很简单， b、 c 呢，肯定会垂直 d c， b、 c 呢，肯定也会垂直 p d， 所以 b、 c 垂直平面 p d c， 所以 l 也会垂直平面 d d g 得正。那这一种题呢，他第一步就是找交线，找交线，利用线面平行的性质，把未知的交线或者叫隐藏的交线转换成已知的直线。比如这道题的 b、 c， 然后转目标，我们正线面垂直是要正 l 垂直，那你只要正 b、 c 垂直就可以了。 b、 c 垂直之后，我们是不是就已经得正 l 垂直？因为 b、 c 平行 l 这道题有一套隐藏胶卷，看起来好像很复杂，其实就是换了个马甲，核心呢？还是线面平行加线面垂直的基本定律。但是关键是什么？关键是大家看到这种隐藏胶线，一定要想到线面平行的性质。好，关注我，关注。

各位同学大家好，欢迎来到我们今天的第四节立体几何的专项，很多同学在咱们立体几何这里一直都拿不到高分，因为是可能普遍存在这几个问题，第一个就是咱们的公式记不牢， 特别是算表面积或体积的时候，容易公式记不牢，容易记混记错。那第二个呢，就是在证明题里面，平行和垂直的一个判定是逻辑不清楚的，证明题写不出来。第三个就是空间想象力 比较弱，比如说咱们看不懂一些图形的折叠或者切界面，或者一些二面角这些问题，他看不清楚这些角他是在哪里， 所以我们今天呢就是专门帮大家去把这些问题一一解决，我会把咱们的核心考点，必备公式，还有咱们的解析存在的套路，一错陷阱全部都讲明白。然后我们每道例题带着大家去一步一步写过程，算结果，让我们看到这些力和 立体几何啊，没有大家想象中的那么复杂，很难，让我们来看一下。其实高考立体几何就考四大板块，第一个就是我们的表面结合体结，第二个是平行关系的 判定，垂直关系的判定和球的切切问题。其中第二块和第三块就是我们常见的 大题的证明，呃，就是咱们通常位置应该是在十七题是必考一道的，并且它就是围绕着我们平行和垂直的去判定，然后去计算我们的体积。 那现在我们就来先看第一部分表面积与体积的计算，这里是我们必须要掌握的一些公式，就比如说 柱体的体积是我们的底面积乘高，那它的表面积呢？就是我们的一个侧面积加两个底面的面积，其中侧面积是我们底面圆周长乘高，然后我们圆的面积的话就是 pi r 的 平方嘛， 然后锥体的体积就是在柱体的体积上乘三分之一，一定要记到这个三分之一，然后它的同样它的表面减就是一个侧面积加一个底面积，那侧面积呢？其实是一个扇形的面积，就是扇形公式要记牢。 第三个就是我们球体的一个表面积表，球体的表面积的话就是四帕尔的平方，体积是三分之四帕尔的平方，所以这个 呃三分之派尔的立方，所以这些公式只要记牢就行。然后我们常用的解析方法，可能有时候咱们的一些利息几何去求体积或表面积的时候，他给的是不规整的，那这种情况下我们就是要把它转化成我们常见的一些几何体 以及啊等体积法，就是比如说他给了一个底面，给了一个高，那这种情况下我们要选择比较容易求的面积，去替换掉他原本 给的一些不规则的面积。然后易错点就是如果是在求表面积的话，一定要注意一些重叠的部分，以及当我们折点的话，他的一个前后的啊边长是保持不变的。第二个考点就是平行关系， 那我们以前学平行啊，只是学过一些线线平行，但在线线平行里面我们知道它平行是有一个传递性的，如果直线 a 和直线 b 平行，直线 b 和直线 c 平行，那么通过传递性我们发现 a 和三也是平行的， 但我们高中这块除了线线平行之外，我们还考线面平行和面面平行。那我们来看线面平行，他指的是平面外的一条直线与平面的一条直线平行，那么他就可以证明线面平行。就比如说我们现在这是一个平面 啊，叫做 r 法，然后现在就有一条直线，它是 a， 然后这个 a 呢？它是不属于不在这个平面上。但是只要你在我们啊平面 r 法里面找到一个 直线 b， 这个 a 和 b 是 平行的，我们就证明了 a 和 r 法它是平行的，这是我们的一个线面平行。所以说咱们线面平行的核心就是在平面上找到一条线，与平面外的一条线平行，就可以证明线面平行。 那面面平行呢？就会发现一个平面内两条相交的直线都平行于另一面。 原本啊，我们要证明面面平行，已经证明好了线面平行，但是怎么去推他线面平行呢？我给大家画个草图来看一下。然后这个是平面而法，这个是平面 北塔。首先呢，呃，要想证明而北塔和而法是平行的，首先如果平面上平面北塔上有一条直线 a， 然后他能够证明，呃，这个直线 a 是 平行 r 法的，就证明了我们的线面平行了吧？要怎么去证明面平行？如果 b 塔上还存在一个线， 他是 b， 然后这俩呢，他必须有一个交点 p， 在 有交点的情况下，确实因为两条直线呢？确定一个平面吗？ 如果当两条直线都平行于这个平面而法的话，那么这个直线所经过的平面，他就一定是平行而法的，所以这就是我们面面平行的一个 呃性质，那关于咱们面面平行的一个几何语言大家也要掌握好。然后这三种平行转换关系呢？我们有就是如果线线平行， 咱们条件再多一点，可以推出咱们线面平行，然后线面平行条件再多一点，可以推出咱们的面面平行，所以它只是一个连锁反应，那注意下这个关键信息。呃，线面平行它是能够得到一个直线与平面无公共点的， 因为如果一旦有公共点，那就说明这个线他是穿过这个平面了，他就不可能是保持平行的。然后如果是面面平行的话，可以推出一个平面内任意直线都平行于另一平面，这也是因为两个平面平行吗？那 平面上所有的直线就不存在交点，那不存在交点情况下，那就任何直线都可以和另一条面是保持平行的关系。关于一些意面直线的变细的话，也是只要没有公共点且不平行的话，它们都可以称之为我们的意面直线， 这是我们平行关系。现在来看我们第三部分垂直关系。垂直关系的话，首先如果在大体里面要你证明线线垂直，我们通常有三种办法。第一种就是我们呃高中阶段所学的一个线面垂直的证明方法，就是 直线垂直，平面内所有的直线就可以得到这个线是垂直平面的，这是我们的几何语言。第二个的话，就是当要证明两个线去垂直的话，就是用勾股定律的 逆定律，比如说我们得到了 a 方加 b 方等于 c 方，那么 a 方和 b 方就是垂直的。 第三个呢，就是根据我们的等三角形的三线合一，然后那么中间那个就是垂直的，这是我们在大体里面常见的一些线线垂直的判定。那第二个线面垂直，线面垂，就是直线垂直平面内的两条交线， 就比如说现在这是一个平面而法，然后平面而法上存在一个直线 a 存在一个直线 b， 如果有一条直线 l， 它是垂直于我们这个 a 和 b， 并且 a 和 b 在 呃那个而法呢是有交点情况下，那么这个 l 它是垂直于我们的面的，这是我们的一个线面垂直呢，就是一个平面经过另一平面的 垂线，就比如说这是我们的一个平面 r 法，然后这是我们的一条直线 l， 它是垂直 r 法的吧，然后另一个平面呢，这个是经过 l 的 一个平面，就比如说这是个 b 塔， l 就 在比特上面，那就可以证明啊，那个阿尔法和比特它是相互垂直的。那这些垂直关系呢？也是以线面垂直是为枢纽，我们得到线面垂直，它既可以推出我们的线线垂直，又可以推出我们的面面垂直。 所以说如果你要想证明线线垂直或者是面面垂直的话，首先是要证明一个线面垂直的， 然后我们面面垂直的话，它是可以推出什么？推出平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面，这是我们的一个几何语言。 大家要证明咱们这些这部分的话，咱们这个几何语言是一定不能出错的，而且这个逻辑也是不能出错的。我们在嗯考试的时候如果有一个步骤缺了，那么就是这块一定要注意这个 逻辑的通顺。然后两直线都垂直于同一平面的情况下，两条直线一定是平行的，就比如说假设这是一个平面而法，然后呢， a 呢是垂直于而法的， b 呢也是垂直于而法，就发现这两条 a 和 b 它是 平行的，这是我们的几何圆，然后排除呢？就是呃，易错点就是直面直线垂直，平面内的一条直线就 不不等于他是线面垂直的，他有可能只是这两条线垂直，但是他们不一定是，嗯，线面垂直的。还有就是两平面同时垂直于第三平面的情况下，也不能得到一个 面面垂直，然后第三个呢，就是我们来看一下这个垂直关系的判定和转化。首先我们在做大体的时候，空间直角坐标系的建立是因为什么？是因为我们有时候做不出来题的情况下，我们间隙就是万能的做题方法。 那在间隙的情况下我们怎么去间隙呢？只优先选择两两垂直的人为做标准，这样子你可以直接去减少一些计算量， 然后同时在计算的过程中可能会用到一些咱们之前所学的向量的一些运算，比如说魔长公式呀，点击公式呀，还有一些夹角公式。同时呢，关于咱们就是平行和垂直，因为间隙他一定是存在向量的吗？那么就回顾一下我们之前向量的平行，向量平行就是向量的共线，有这样的一个方法， 然后向量垂直的话，就是我们呃向量点积数，量积为零，然后之间的这个点到面的距离公式的，咱这个是可以记住的，因为我们大体的时候也经常会考一些， 比如说啊，锥形的体积呀，这种点到线的最大距离，最小距离的情况下，通常也会用到我们点到平面的距离，他们 d 就是 等于 pa 乘 a 向量的模 以上 n 向量的模，其中 n 向量是我们这个平面的法向量，那 p a 向量向量就是点到平面中任意一个直线的一个表示的向量。 那接下来呢，我们来看一下这道题，如图，在这个平行四边形，这不是在这个平面四边形 a， b， c， d 这个 a， b， c， d 中， ab 是 等于 八，我们标一下， ab 等于八，呃， cd 等于三， cd 等于三， ad 等于五倍根号三， ad 是 这个最长的，这部分是五倍 根号三，然后角 a， d， c 是 九十度， a， d， c 这里是九十度，然后 b， ad 是 三十度， b， ad 这个小角是三十度，然后满足 a， e 这个向量是等于五分之二倍的 ad， 你看 a， d， 它给的是五倍根号三的 a， e， 直接就可以求出 a， e 是 等于二倍根号三，然后 ab 等于八， af 等于二分之 ab 呢？ af 是 等于四。然后是将三角形 a， e， f 沿 ef 折叠至 pdf， 也就是说这个三角形 a， e， f 这个三角形和这个 e f， p 这个三角形它是全等的，然后使得 p c 等于四倍根号三，证明 e f 垂直 p d 其实这道题我只呃摘出来第一问啊，因为这个证明是非常典型的一个证明，那现在我们来看一下这个证明的思路。 首先啊，在三角形这个 a， e， f 中，在三角形 a， e， f 中，我们知道了角 f a e， 它是等于三十度， 然后 a e 呢，它是等于二倍，根号三，然后 f， 它是等于 a， 是 ab 的 中点，哎， 那个，呃，二分之一 ab 嘛，所以 a f 是 等于四。我们发现在这个三角形里面啊，又是三十度，又是二倍，根号三，又是四的， 我们觉得他很像我们那个三十度六十度的一个直角三角形，那我们来只用我们的余弦定律去证明一下这个究竟是不是直角三角形嘛。所以我们令 算一下这个口三角 e a f 就是 这个 e a f 这个角，它就等于 a e 的 平方加上 a f 的 平方，减去 e f 的 平方，然后再比上二倍的 a e 乘 a f， 这是我们的之前所学的余弦定律。然后我们把已知的公式带进去之后，就等于 十二加十六，减去 e f 的 平方，比上二乘二倍，根号三，再乘四，然后 e a f 等于三十度，那考三 a 三十度呢？等于 二分之根号三，所以这个是四。式子里面，我们很容易就能算出来 e f 的 长度，那这里我们不去做太多的一个计算步骤，直接就是在草稿纸上完成计算，那么算出来 e f 是 等于二，我们发现二 二倍，根号三四，哎，很明显他就是一个三六九的一个直角三角形，那么我们就得到了 e f， 它是垂直于 a d 的， 那我们得到了 e f 垂直 a d。 要想证明 e f 垂直 b d， 我 们发现啊，这个 b d 是 在平面 p e d 上，在这个后面这个平面 p e d 上，所以要想证明垂直于 p d， 就 证明 e f 要垂直这个 p e d， 那 是我们刚刚发现在这个三角形里面啊，它已经得到了 e f 要垂直于 a d。 那 其实只要在证明 e f 垂直 e p 就 行，那 e f 垂直 e p 应该怎么正？ 哎，对，因为是我们三角形 a e f 和三角形 a e f 是 三角形 p e f， 它俩是全等的，因为是折叠过后，它的棱长长度是不变的，全等情况下圆，那么角 a e f 是 不是等于角 p e f， 然后都是因为垂直就等于哎，九十度。所以呢，我们就知道 e f 它还垂直于 p e， 我 们就得到两个垂直了。那现在要想证明这个 e f 垂直于 pd， 就 要证明 e f 垂直这个平面。所以我们把完整的步骤写下来，就是写一下这个几何圆，就是因为 e f 垂直于 ad， ef 垂直于 pe， 然后且 a d p e 含于这个面 p e d 的， 所以有咱们的 ef 垂直于面 p e d， 然后知道了线面平行，线面垂直之后，我们就直接得到了，所以我们的 e f 垂直于 p d。 因为什么？因为 p d 它也在面 p e d 上，所以得到 e f 是 垂直于 p d 的。 那么这道题啊，用这个线线垂直，其实用的就是我们之前的， 你看之前的第一个判定，要想证明啊线线垂直，那就要证明先从 垂直于面就垂直于面上的所有线，所以我们第一步要证明的就是垂直于过 p d 的 那条面，那那条面的话，我们就用我们的呃之前线面垂直的判定方法，线面垂直就是直线，垂直平面内所有的直线即可。 这是我们的理题一来看我们的考点核心四就是球的切接问题，其实球的切接问题啊，咱们大题也不会经常考，一般要考也是考选择或者是填空，我们来简单看一下， 首先外尖球的核心是什么？就是长方体外接球的直径就是我们这个等于他的一个梯队角线， 记住这个直径啊，就等于根号下 a 方加 b 方加 c 方，然后正四面体的外接球半径 r 等于四分之根号六倍的 a， 这个一定要记住啊，这个记住之后我们选填是可以直接用的，就不用你专门的去啊，再计算很多了， 那在这里呢，因为计算过程比较浪费时间，而且考试的话他也不会专门去考你这个正四面体的外接球板，你是怎么算出来的？所以这里大家只需要记住，考试的时候，嗯，直接用能够提高我们的做题速度即可。 然后我们找球心的关键就是找个顶点的一个距离相等，如果考试考出来不是长方体或者正四面体，比如说给了你一个其他的一个楞锥情况下，我们只要找到就是呃，建立用咱们的勾股定律去计算这个半径就行， 然后咱们还有一个圆和直线之间的一个半径就行。然后咱们还有一个圆和直线之间的一个位置 关系，圆和直线之间呢，要么是相离的，要么是相切，要么相交的，相离的话就是没有公共焦点，那没有公共焦点，他就是一个类似于这样子的，这是咱们的圆心，然后这是咱们之间 l 相离的话，就是这个点到线的直线 d， 然后这是我们的半径 r， 它的 d 和是大于 r 的， 那相切呢？就是正好是 这样子的，那么正好他点到直线的距离 d 就 等于我们圆的半径 r， 然后第三个相交呢，相交就是这是一个 l， 然后这是一个 圆，那这里的半径半径到直线距离 d 是 小于我们的半径 r 的， 所以这是我们直线和圆的一些位置关系，也是我们选择和填空经常考的一些内容， 包括我们点到直线的距离，也有咱们的这个直线距离公式，就是比如说这个点啊，它是等于 a 和 b 的， 那么这个点 a b 到咱们直线的距离就是等于啊 a a 加 b， b 加 c， c 的 一个绝对值，比上 a 方加 比方，这个呢是我们点到直线的距离。那现在呢？我们来看一下例题二，直线 l， 它是 mx 加 y 减 m 等于零， 然后与圆这个给了一个圆 x 方加 y 减一的平方等于四交于 ab 两点，我们发现这是一个什么，应该是我们圆与直线是相交的关系，然后得到 d 是 小于 r 的 关系， 问你求 ab 的 最小值。然后这道题我们简单的去画一个草图来看啊，首先这个圆他过的是零一这个圆心，然后他的半径是等于二的，对不对？所以我们简单的来画一下这个 草图，这是 x 轴，这是 y 轴，然后圆形是零一，零一在这，然后半径是二，然后我们画一下半径大概就是这个样子位置，所以我们画一下这个 圆，画完这个圆之后呢，我们再来画这条直线，那这个直线我们能不能看出来他过一个什么定点呢？这样子不好看，那我们把它去做一个化解， m 倍的 x 减一 加 y 等于零，那这样子是不是能看出他是过一个定点一零的？所以我们先找出了一零之后我们去过一个定点， 然后我们这是直线 l， 它交于 ab 两点，那现在要求 ab 它的最小值。我们来看一下，如果一般情况下，我们 a d 应该怎么求？应该是首先 ab 他的一个长度，我们假设如果他过这个线，呃，过这个圆点，然后做一条关于 ab 的 垂线，我们假设 gvc 的 话，那就应该是等于 二倍的 ac， 那 ac 怎么求呢？ ac 是 一个在直角线，只用那个勾股定律就等于二倍的半径，我们圆的半径是等于 r 的， 也就是 r 的 平方减去我们 o c 的 平方，那 r 的 平方减 o c 的 平方就等于 r 方。我们是知道是等于 啊四的，就等于四减去 o c 的 平方，所以我们要求 ab 的 距离应该是求 o c 的 距离，而且 ab 的 距离最小的话，那 o c 的 距离就应该最小，那怎么样情况下是 o c 最小呢？哎，就应该我们是 o c， 就 应该就是 c 点，就是我们刚刚说的这个定点，这样子我们就能保证 o c 是 最小的，所以呢，我们 c 点的距离应该是一零，然后 o 点呢，是我们的零一，所以要求 o c 的 距离应该就是一的平方加一的平方应该是等于 根号二的，那所以我们 ab 最小就等于二倍的根号下四减 o c 的 平方是等于二，应该就是二倍的根号二，所以应该选择的是 c 选项。那这道题呢，其实就是考察了我们一个直线和圆的一个位置关系，如果是相交的情况下，什么情况是距离最短的？应该就是我们圆形到直线的距离是最短的情况下，那么他的一个 呃圆上的一个捷径，他也就是最小的。那这道题呢，就是我们高考常见的一种类型题，高考基本上也就是这种难度，所以这种题大家下去多练， 多去掌握这种方法就可以了。然后我们再来看一下第三题，第三题他说在这个三轮锥 p abc 中，然后 ab 是 等于 二，然后平面 p a b c， 这个 p a b c， 它的一个 呃二面角的大小是等于三分之派的六十度，然后 ac 等于二倍的 bc， ac 等于二倍的 bc， 假设这是 x 的， 这是二 x， 然后问你点 c 到平面 p a b 的 距离最大值是多少？哎，这又是一个求点到 平面的一个距离，那这道题我们来看一下啊。通常情况下，其实这道题如果你用直接的去计算的话，其实是没有思路的， 那这时候我们就想到了我们之前所说的，如果你没有任何思路，我们就间隙，那这道题的难点呢？是其实是在于间隙方面，应该怎么间？哎，那我们假设找一个 a b 的 中点 为 o 吧，然后因为题目不是给了你 p a， b c 的 一个二面角吗？所以我们就以 o 点，然后这个二面角角度为一个切入点，去做一个平面角系。首先中点是 o 的 话，那么我们以 ab 间隙， ab 是 x 轴，然后呢，去找一下咱们 ab 的 中垂线作为 y 轴，然后这样子垂直下来，我们做一个 z 轴，这是我们建立的一个平面直角坐标系。现在呢，建完平面直角坐标系之后，我们就可以对应的去写 abc 它的一些 呃坐标了。那个 a， 首先它是因为在 ab 上，它这二的话，这里是以一，所以 a 点应该是负一零，然后 b 呢？应该是 一零，然后我们设 c 呢，它是一个 x 和 y， 因为我们要求 c 到 p a b 的 距离吗？所以我们 c 的 位置其实不知道，那我们就设未知数，而且因为我们有什么，因为有 a c 等于二倍的 bc， 二倍的 bc， 所以 这应该是一个 我们用来计算的一个等式，对吧？所以现在我们来计算 a c， 它是等于，如果写成向量的话， a c 向量应该是等于哎 x 加 y， 然后 bc 向量呢，它是等于 x 减一， 所以咱们 ac 等于二倍的 bc， 实际上 ac 向量的模等于二倍 bc 向量的模，所以我们来计算 ac 向量的模，是等于根号下 x 加一的 平方加 y 的 平方，然后等于二倍的根号下 x 减一的平方加 y 的 平方，我们同时化减下，其实它会整理得到一个圆，就是这个是 x 减去三分之五的平方，加 y 的 平方等于九分之十六，大家可以自己下去化简一下，就是最终结果。化简成一个圆，是以圆心是三分之五零，半径为三分之四的一个圆，所以我们发现其实这个 c 啊，它是应该是在一个 呃圆，呃是一个轨迹，是一个圆形，首先这个什么，他的一个圆心是什么？ c 点这个轨迹的圆心是 三分之五零，那么他一定是在我们的平面 abc 上，对不对？所以啊，在平面 ab 深 c 上的话，那么我们就知道这个 c 点，他离我们的直线 ab 这个最大的距离是他的一个半径，半径 d 是 等于三分之四的，因为，呃，圆心啊，他是在咱们这个 ab 上移动的，那么 c 点到 ab 最大的最大的距离呢？就是我们的半径呀，对吧？就是垂直情况下，一个半径 就等于 d， 就是 三分之四。那又因为咱们的二面角，呃，这个 p a b c 它的一个大小是六十度的，所以咱们这个最大的最大的距离是等于咱们的三分之四乘三引 三分之派的，因为这个距离是乘一个三引六十度的一个角，所以就等于 三分之四。乘二分之根号三就等于三分之二倍的 根号三，所以选择的是 b 选项。那这道题呢，其实放到我们高考里面就比较的难一点，因为它涉及到了一个间隙的问题，而且它见的还是，嗯， 对于咱们找这个直角来说还是比较困难的，所以难就难到间隙，如果你发现咱们间完隙之后，你就发现啊，其实整体计算来说他不是很难， 所以大家平常在做题的时候，一定要积累去我们常见的一些间隙的点和常见的一些间隙的一些思路 就可以了。那只要提示到这，那这节课呢，其实我们讲的四部分，第一个呢就是我们表面积体积的计算公式，一些球呀，圆柱呀，圆锥呀，这种 公式要记牢，其实考试的频率不那么高，但是如果考出来之后一定要记牢公式。那第二个第三个呢，就是关于平行和垂直的判定，那这一块就是线面平行，线线平行，线面平行，面面平行，还有线线垂直，线面垂直，面面垂直，它的一些几何证明 需要啊几何的证明，几何的一些逻辑思考，包括你在证明几何语言的时候不能丢失的点要大家要注意。然后还有就是一些圆的嵌接问题，比如说 呃，那个半长方体的呃外接圆，还有正四面体的外接圆，这些其实我们要多记的是咱们的二级结论，因为在选择填空里面其实能够提高你的做题速度的。 那这节课就讲到这，然后课后呢，把老师给大家布置的一些题目，大家回去写完咱们的答案，在配套的资料中评论区就可以看到咱们免费的获取方式。那本节课就到这，大家再见。

同学们好，今天咱们来看一道有关线面垂直的题型。首先这个题说了， 它是一个四棱锥，底面是个正方形， p d 还垂直于底面，此时他说了 p a、 d 与平面 p b、 c 的 交线为 l， 证明 l 垂直于 p d、 c。 这个题最大的问题就是 l 是 谁？ 大家一定要明白， l 这个东西，你在途中你可以去找，如果能做出来就做出来，做不出来咱们得去找。首先要知道两个平面的夹角线是怎么来的， 你可以认为是某一条线和面平行的时候，通过这个线再给做一个面与这个平行的面相交的线，也就是啥意思呢？比如说现在这有个面，有条线和它是平行的， 我给这个线做一个面出来，做一个面出来，然后 与你相交了，这个时候会有个交线，也就是说我会和交线是干啥的？平行的，也就说我只要找到 l 的 等价线就行，平行线就行。所以咱们来看看 p a、 d 和 p b、 c 里面，大家有没有发现 bc 平行于平面 p a、 d 是不是？我给 b c 做了个面，又叫做谁？是，叫做 p b c 是 不是？然后 p a d 和 p b、 c 它的交线是谁？ l， 自然我就能得到 b c 平行 l， 这是咱们一定要把握住的， 这就是线面平行的性质。既然你要证明 l 垂直于 pdc 呢，就是证明 bc 垂直于 pdc 了，那咱们想想 bc， 咱们可以看看和 pd 肯定垂直，因为 pd 垂直于底面呀。那 bc 也和谁垂直？是不是和也和 dc 垂直，因为底下是正方形啊？是又因为 p d 了，还有 p d 和 dc 是 相交线， p d 和 dc 都在 p dc 这个面内，所以咱们自然得到 p bc 垂直于谁平面 p dc， 所以 就是直线谁 l 平行于平面 p d c 这道题我觉得最最核心的就是找交线。 交线怎么来找？其实就是找线面平行了，因为线面平行的性质里面，是不是正好说了，线平行于面的时候，通过这条线做一个面出来和那个平行面相交之后， 他会有个交线，这条线就和那个交线也平行。好，这道题咱们就先说到这。

开始啊，咱们来讲一下立体几何的相关大题，然后今天咱们解决这道呢，是第一道题，它包含了面面垂直的证明。二、面角计算是高考立体几何的高明考点，然后咱们来一步步拆解。 首先咱们来看一下题目，他说在四棱锥 p a， b， c， d 中， p a 呢，怎么垂直于这个平面？ p a 垂直于这个平面 a， b， c， d， 然后呢， p a 是 等于这个角等于一百二十度， 然后还告诉咱们什么 a c 垂直于 b 的， 就是这个是垂直的，对吧？然后呢，还有条件就是三角形 b， c 的是个什么三角形？是个等边三角形，就是这个三角形 b c 的。 那第一问，第一问的话，你想咱们要证明两个面垂直合一方法是不是证明一个面内的一条直线垂直另一平面，也就是找什么线面垂直，对吧？那这道题咱们来简单写下步骤，首先写个紧，然后证明 因为什么，根据已知条件咱们要找什么，找垂直吧，对吧？所以题目告诉我们 pa 垂直平面 pa 怎么的？垂直于平面 a， b， c 的， 对吧？然后 c 的 是不是也在这个平面内啊？ 在平面什么 a， b， c 的 之内，所以说怎么的 pa 是 不是就垂直于 c 的 呀？对吧？然后呢，又告诉咱们 a、 c 垂直于 b 的， 是不是写因为 a c 垂直于 b 的， 然后还因为什么呀？还因为这个三角形 bc 的 呀？它是个什么等腰三角形，咱们为什么要这么写？咱们要找什么导角度？ 那所以说是不是 a b 等于 a 的， 且什么角 b 的 c 是 不是六十度啊？那你说角 b 的 c 是 六十度，你说角 b a 的是多少度？ b a 的 还是怎么的？它又是一百二十度， 是不是？所以说怎么的？是不是角 a 的 b 是 不是等于角 a b 的 等于一百二十二十三十度？是不是因为顶角是一百二十度的一个等腰三角形？所以说咱们能推出角 a 的 c 是 不是等于九十度？也就是 说明 c 的是怎么的垂直于 a 的， 然后 pa 啊，你看啊， pa 是 不是在平面？怎么的？咱们现在已经正完了什么？ 已经马上要证出来什么？是不是证明出现面垂直，对吧？所以说咱们写 pa 属于平，在平面 pa 得上， a 得呢？也在平面 pa 得上，然后 pa 呢？交 a 得还等于 a， 所以 说 c 得这条线是不是就垂直于平面 p a 的 呀？然后咱们要正这两个面垂直，对吧？所以说因为什么呢？ c 的 在这个平面 p c 的 上，所以说这个平面啊， p a 的 是不是就垂直于平面 p c 的 呀？这第一问咱们解决了，第二问，第二问，让他们求二面角的正弦值， 对吧？二面角正弦值的话，咱们要空间向量法解决，对吧？首先咱们来找一个合适的圆点，间距要细，题目里给咱们的 a c 垂直于 b 的， 那咱们把这个点它的焦点设为什么设为 o， 那咱们以向量 o b 方向为正方向啊，为什么 x 轴正方向以 o c？ 为什么 y 轴的正方向再怎么呢？平行于怎么呢？ p a 向上键这个 y 轴 z 轴， 对吧？咱们一般是键右手系，所以说咱们键完了。然后接下来计算作表， a b 是 不是等于 a 的 等于二角 b， a 的 还等于多少？等于一百二十度，所以说什么呢？ b 的 是不是等于二倍刚好三呢？那 o b 是 不是就等于 o 的 等于刚好三呢？那等边三角形 bc 的 中，你想高， o c 等于三，又因为什么？ a o 是 等腰三角形 ab 的 底面的高？所以说怎么的 o a o 等于一，哎，等下这个 o c 啊， o 看啊， o c 是 等于什么？ o c 应该等于三倍杠三，对吧？ a o 等于一， o c 等于什么？三倍杠三对不对？所以说个人坐标咱们现在就能找出来 b 点是杠三都零都零， c 是 零都四都零， 个是负杠三斗零斗零， p 的 话，是不是零斗负一斗二啊？对吧？然后咱们接下来就要找反向量了，找反向量，首先你要找 p、 c 向量，是不是给它算出来是零斗四斗负二， p b 向量呢？是不是杠三？逗一逗负二？那这一块步骤其实可以简单点写，如果写过程的话，那我就直接跳过前面那些步骤就是，但是你们写的时候要写，所以说咱们正常接下来步骤就是设法向量，对吧？设法向量， n 向量是不是等于 x y， z 呀？然后所以说咱们能列什么？是不是 n 向量乘上 p， c 向量等于零， n 向量乘 p， b 向量等于零，然后咱们代入，代入之后呢，咱们要怎么的？ 是不是得到一个式子，是不是二 y 减二四， y 减二， z 等于零，杠二三， x 加 y 减二， z 等于零，那咱们是不得负值啊？咱们另 y 等于一，接着什么？ 是不是 z 等于二， x 等于杠二三？所以 n 限量是不是就是杠二三到一到啊？到二，对吧？那接下来还得找什么？找另一个平面 p 到 c 的 一个反向量， 那 p 到 c 的 反向量咱们也是一样的步骤我就不写了。那最后咱们能解得这个它的反向量是多少？是不是负？高三到一到二， 然后你看啊，咱们是不得先咱们要求什么？正弦值？正弦值的话在零到派内是不是都是正的？咱们不需要考虑它正负的问题。 那所以说咱们先来算一下它的余弦值，余弦值的话是不是等于它俩点的夹角对不对？是不是就等于多少？是不是二比上二倍，根号二乘二倍，根号二等于四分之一吧。 然后跟接下来求正弦值，就利用什么同角三角函数平方关系，就是塞 n， n 向量 m 向量夹角等于什么？根号下一减 cos 方，这个 对不对？是不是就等于根号下一减去四分之一的平方就等于多少？四分之根号十五吧。 然后这里要注意二面角的大小要反映在内角可能是怎么相等或互补的，但正弦值是不是都是相同的？就像我刚才说的，是不是他们在零到派上的话，你看正弦的图像，他都是正的，对吧？而且是关于什么？关于二分之派是对称的，但是余弦的话他他怎么的？零到派他是有正有负的这个分解点，二分之派， 那所以说你就要考虑这二米角的正负了，但正弦值就不需要考虑。那今天这道题咱们就讲今天这个第一问啊，咱们讲的一个是什么？是不是通过正面面垂直？咱们要想到什么？正线面垂直，线面垂直之后 再来正面面垂直，对吧？线面垂直怎么找？线面就是在这两个平面中找一条线，你看哪个线和另一个平面好，正垂直你就用哪个，然后你就基本上没有什么问题。那今天咱们讲到这。

临近高考，立体几何你掌握了吗？这是一道立体几何的题型。在三棱柱 a、 b、 c 杠 a、 e、 b e、 c、 e 中， ab 是 垂直于 a、 e、 c 的， ab 是 后面这条看不见的线， a、 e、 c 呢，是前面这条线 ab 等于 bc 等于 ac 等于 a， a 一 等于二，所以这有三条线段，二、二、二，并且 a、 a、 e 这条棱侧棱也是二过点 a、 e、 c 的 平面，而法与这个直线 a、 b 垂直过 a、 e、 c 有 一个平面，而法会与直线 a、 b 垂直。第一个小问做出而法截此三棱柱所得的截面，并写出作图过程，并说明理由。这个地方的话， a、 b 要垂直于 a、 e、 c 所在平面的 r 法。我们这儿已经得到了 ab 和 a、 e、 c 垂直，所以重点找一下 ab 还垂直哪些线段，很容易看到这个 ab 这个位置，它因为它是一个等边三角形，所以我们可以取它的中点， 那么自然这儿就会有 o c 和 ab 垂直，再把 a、 e、 o 连起来 好，这个时候我们借助 ab 垂直 o o、 c 以及 ab 垂直 a、 e、 c 就 可以证明 ab 是 垂直平面 a e、 o c 的 这个就是我们要找的平面。所以第一个角外要写出作图方法，那肯定是取 ab 的 中点 o 点好，取好过后的话，然后接下来只需要连线连接 o、 c 以及 a e o 好，则这个平面 a、 e、 o、 c 就是 我们要求的 r 法。但是还需要证明，因为 ab 是 等于 ac 等于 bc 的， 这会有三线合一，然后所以这三线合一，我们就可以得到 oc 会垂直 ab， 又因为 ab 呢又垂直于这个 a、 e、 c， 并且 a、 e、 c 交 o c 等于 c 点好，这个时候我们就可以得到 ab 垂直于这个平面 a、 e、 o、 c 好， 即念 a、 e、 o、 c 就是 r 法。 第二个小问，已知 b、 e、 c 等于根号十， b、 e、 c， 我 们看一下 b、 e、 c 是 这条对角线，它是根号十， 然后求 b、 e、 c 这条线段与平面 a、 c、 b 一 所成角的正弦值。好，这个地方的话，我们先看一下这个等于根十有什么用， 这个根十以及 b、 c 等于二和 b、 b 一 的长度也是二，刚好构成一个三角形。在这个三角形里呢，我们就可以求到三角函数，至少可以求一些线段长度等等等等，这是第一个。第二个是关于 这个题间隙的问题，这题间隙的话显然已经非常明显了，来 o 点这个位置好，只需要从 o 这个位置间隙就可以。 因此我们建好坐标系，自己写好过程好，这样间隙的过程我们就不再写了。这个地方呢是 x， 然后注意到要用到的是平面 a 一， c b 一， 那我们就向右向右去建立，会稍微简单一点点，只是少了符号而已啊。 好，往右建立 y 轴，往上建立 z 轴。建好过后，此时可以找到这些点的坐标。其中这题要用到的 a 一 点坐标， c 点坐标， b 一 点坐标都很容易求到。好，为了节省时间，我们有些过程不再写 这个地方。 a、 o 的 长是等于一，是 a 一 的一半，所以说可以算出 a、 e、 o 是 根三，然后这条 a、 c 也是根三，因此我们可以得到 a 一 点的坐标零到零到根号三，其中 c 点坐标是根三到零到零。好，还需要的是这个 b 一 点的坐标， 还有 bc 一、 c 一 点的坐标以及 b 点坐标好， b 点坐标可以出来， b 点坐标呢？是零到一到零，它在 y 轴上啊。 继续还需要的是 b c 一 b c 一 这个这两点的坐标， c 一 点的坐标， c 一 点的坐标暂时未知，但是我们可以用向量来表示。好，再来看，还有哪一个呢？是 b 一 点的坐标。需要注意的是， 这个 b 一 点的坐标以及 c 一 点的坐标，我们不是一定要把它求出来的，我们只要用向量能表示就可以，比如说这个地方我们还需要 b c 一 的向量， b c 一 向量可以写成 b c 加上一个 c c 一， 而 c c 一 呢，可以写成 a a 好， 所以我们可以通过 a a 一 这个点， a 点坐标也是知道的， a 点坐标是零的，负一的零，所以这儿可以得到 a a 一 向量，也就是 c c 一 向量，这就是平行向量。然后这个就应该等于的是 作差零逗一逗根号三好，再来 b c 向量也可以出来， b c 向量等于的是根三的负一逗零好，所以我们就可以得到 b c 一 向量， 它刚好等于 bc 向量，再加上一个 c c 一 向量。好，我们加一下，就是根三的零的根号三，这个时候表示出 bc 一 了。接下来要求平面 a 一 b 一 c 的 法向量 acb 一 啊。 acb 一 有 ac 向量了，那么还缺一条 ab 一 向量。好，所以我们把 ac 向量表示一下， ac 向量可以表示出来，这个时候就是 a 和 c 作差，也就是根三的一到零。好，接下来还缺一条 a b 一 向量， a b 一 向量呢。同样的道理，可以用向量相加， a b 向量来加啊， 你看 a、 b 向量，先写出来 a， b 向量等于的是 b 点减 a 点，也就是零到二到零。好，那么我们就可以得到 a、 b 一 向量，可以写成 ab 向量，加上 b、 b 一 向量 好，相加的话，那刚好这两个都知道 b b 一 就是 a a 一， ab 就是 零斗二斗零， a a 一 也知道零斗一斗根号三，所以加在一起是零斗三斗，根号三 好。 ab 一 向量和这个 ab 向量都表示出来了，过后和 ac 向量都知道过后就可以求法向量了。于是我们设平面 ab ec， 法向量为 m 向量就应该等于 x 的 y 的 z 好， 此时就可以建立方程组，一个是三 y 加根三 z 等于零，还有一个是 ac 向量，也就是根三 x 加 y 等于零。好，此时我们可以任取一个， 任取一个 x， y， z， 比如说 x 等于一，那么 y 就是 负根三，所以有一到负根三，一到负根三带进去的话，那 z 就 应该等于三好法向量出来了，所以最终就可以得到这个题的答案了。继续 求的是 bc 一 这个向量与法向量的所成角的正弦值，那正好我们投影的 bc 一 向量 与这个 m 向量的一个夹角直接相乘就可以 b、 c 一 向量。在这里我们已经算出来了，根三斗零斗根三法向量呢？在一斗负根三斗三好相乘，这个刚好分子是四倍，根三分母两个相乘是根六，乘以根号十三， 画到最简，等于的是十三分之二倍，根号二十六。最后再作答，这个余弦值就是我们所求的正弦值。

今天我们来最后一课系列之例题几何第一课，熟练运用综合法和坐标法，高考多拿十分。好，各位同学，今天我们来最后通关 例题几何第一节课啊。好，我们大家自己读题，他在这上面 都是正方形，然后这个垂直于下底面，然后 a b 是 二 a a a 一 a 一 比，一是一 a 一 a， 二是 a a 一 是二啊，棱呢？是 e 是 棱 c c e 的 中点。好，其实告诉我们这个呢，哎，我们以前说过，说看到台要把它补成什么， 看到台要把它补成这个锥啊。但是呢，这道题目呢，比较的特殊，因为它底面下底面，上下底面都是正方形，且有一条侧棱，是垂直下底面的。这道题目就其实非常好做的，其实就不用把台补成锥啊 啊，其实不需要。当然如果底面是比较的不规则一点，比如说不规则，但不是说那种不规则，就是比如他是平行四边形，然后他侧能取，没有垂直于下底面的啊，那我们直接开始做题， 他第一题让我们说 a c e 平行于平面 b 多一。好，我看到这个又因为这个条件啊，我就直接连接 a c 这个记作 f 吧。好，连接 ef 啊，好，我先写连接 a c 交 b 到于一点， f 连接 e f。 好， 因为面 abc 到为正方形，所以。所以什么呢？ 所以 f 为 a c 中点，又因为 e 为棱 c c e 的 中点， 所以 ef 是 什么？平行于 a c e 的 平等于不用写，因为不需要啊。好，又，因为 ef 属于面 b 多 f 呃， b 多 e a c e 不 属于面 b 多 e， 所以 a c e 就 平行于面 b 到 e 用到了线面平行的判定。定啊。好，我们来做第二题。第二题其实就非常的简单了， 因为它侧棱已经垂直于下底面了，底面又是个正方形，是不是就有两两垂直，是不是 啊？如图间隙。那大家记住，在考试的时候，坐标系一定要写在答题纸上 啊。好，我们来写点 a， 呃，呃，长度先标一下，二一二。好， a， b 向量是二零零， a， c 一 向量是等于多少呢？它是不是一一二啊，对不对？ b， 呃，然后多点是这个零二零， 所以 b 多向量是等于负二二零。好， 这个 e 呢？我们要写出 c， c 一 的坐标已经写出来，这 c 的 话就是二二零，所以这个 e 点的坐标就是什么？就是 这个二分之三，二分之三一，所以 b， e 向量就是负二分之一，二分之三。好， 我射，呃，这里可能不够写了，我就写到下面来吧。射面面 a， b， c， e 的 法向量 为 n 向量等于 x、 y、 z。 我 说过向法向量的速算啊。抄两遍， 掐头去尾，零负四二，所以 n 向量就等于零负二，一， 好，同理啊，同，里面的这个 b 到 e 的 法向量，我设为 m 向量等于 x、 y、 z。 好， 依旧抄两遍， 掐头去尾， 二二，这是负三，这是加一，就是负二，所以 m 向量就等于一一负一。没有算错啊，检验一下， 没有算错啊，好，那这个 cosine 就 等于二，根号五，根号三 等于根号十五分之二，他让我们求这个正弦值嘛，所以 sine 它就等于根号十五， 十五减九就是六，就根号六了嘛，对不对？那就约个根号三，根号三的话，下面是根号五分之，根号二等于五分之，根号十。 啊，好，下结论就可以了啊，好，我们来看 第二题。第二题呢啊，图在下面啊，我们先来看一下题目先，大家先读一下题目里面是矩形啊，矩形侧棱垂直下，里面 a 到是二，我写在这里啊，把这个数据都标过了， a 到是二， 这个是四，这个也是四啊， a b 是 四吗？因为矩形的话， c 道也是四，所以 amn 分 别是这个 pbc 道的中点啊，好，我们来直接， 他说让我们证明 m n 平行于面 p a 度。好，我们说过，看到这个中点，我们一定要想到中位线啊，有可能用中位线中位线定啊， 那我就在这里取一点，取一点 e 吧，连接这个 e m 和 e 动好，取 pa 中点即为 e。 连接 连接 e m e d 好， 因为 m 为 p b 中点，所以 e m 首先会平行等平行且等于二分之一的 ab， 这个时候一定要写这个长度了，因为我们一直看，其实它像这个平行四边形了吧，对不对？好， 又，因为面 abc 为矩形 呃，矩形，所以 ab 平行且等于 c 道，所以 e m 平行且等于二分之一的 c 道。而又因为 n 为 c 道中点， 所以 e m 就 平行且等于道 n， 所以 面 d e m n 为平行四边形。我就用图图像来表示大家，当然我为了 更方便一点啊，所以 d e 就 平行于 m n 好， 还是线面平行的判定定律？因为 d e 属于面 p a 的， m n 不 属于面 p a 动，所以，呃， m n 就 平行于面 p a 动啊， 好，第一题结束了，第二题还是间隙，因为这个太规则了啊，全国卷基本上不会出比较难的题目啊，就例题几何应该会比较好，容易间隙一点，当然他如果放到压轴题的话，可能就不太好做了啊。 好，我们来写点先，如图间隙，如图间隙 p 点是零零四， b 点是二四零， c 点是零零四， a 点是二零零，所以 m 点是什么？ 一二二嘛， n 就是 零二零嘛，对不对？那 pm 向量就等于一二负二， pm 向量就等于负一二二 a， n 向量就等于 负二二零。好，依旧射，我就不射了，我就这样简单略过。第一个是这个 n， 反向量是 n， 这个反向量是 m 向量啊，大家自己要去完成补充起来啊。 抄两遍，一二负二，一二负二啊，不对，这个后面不是吧，这是零二负四，零二负四，好，掐头去尾，这是负八，负八加四 是这个负四，这零这正四，这个就是二嘛，所以 n 向量就是 负二二一，好，依旧抄两遍，负一二二，负二二零，负二二零，好，掐头去尾， 这个是负四，这个是负四，这个是负二，这是加四就是二嘛，所以 m 向量就是负二负二一 啊，所以 cosine 它就是四减四加一， 好，这是四加四加三嘛，这刚好三啊，开出来嘛，三乘三嘛，就是九分之一嘛，对不对？大家自己下结论就可以了。好，我们来总结一下，其实拿到 这例题，几何的题目啊，九九跟十是一样的啊。第一题基本上是用什么综合法去做 啊，他让你正平行的话，那我们就用线面平行的判定定理，如果正垂直的话，比如线面垂直，就线面垂直的判定定理啊，有些时候会用到一些判定一些线面平行的性质定理啊，或者面面垂直的性质定理啊，或者线面垂直的性质定理啊。 然后第二题的话基本上都是间隙去做，因为他基本上两种方法去做的嘛，第一道综合法，第二道，奥，这个坐标法啊系比较好建的，就去把它间隙建出来去做就可以了。好，今天我们就讲到这里。

立体几何千万别看老师遇到这种像洞点探索的问题，很多同学脑子直接卡壳，好不容易我咬着牙把答案看懂了，下次换道题，是不是还是不会做？是辅助线不会画吗？ 为什么？因为你在瞎找线。所以今天胡老师给大家讲的这招降维打击，就让你一眼能看出辅助线怎么画 别人可能题还没有看完，你就拿分走人了。期待不期待？期待好，我们来先看一下什么叫做动点探索的问题。读题，你看是否存在 p c 上的动点？ f 是 问你是否存在一个点，使得线和面平行，对吧？对，来这里棱上的一点是谁不知道，问他是否使得线面平行， 这叫做动点探索，使得它平行，可以探索，使得它垂直，是不是也可以探索？是的，哎，使得夹角是多少线？线角线面角面面角都可以考你。咱一个一个来说，先说平行的问题好吗？好，好。那么对于这种平行的问题，我们的方法几个字， 核心思路叫做谁不动？注意哈，谁不动，这是大方向啊，咱们就平移谁，就这， 你比如说像这道题目，你看，这是问你线面平行，大家也要注意一个点，线面平行的题目。探索问题，我们都是从后往前读题，不要从前往后读，就从后往前读，缺谁咱们就找条件吗？对吧？ 使得 pa 就 这根红线是否和这个蓝色的面平行，谁是动点？这个 f 点是动点，那意味着这个面就是移动的，对不对？那我们的核心是谁不动，平移谁？你告诉胡老师，本道题平移的是线还是平移的是面 平移线还是平移面？线谁不动？平移谁？对啊，谁不动，平移谁。 p 和 a 是 不是固定的？是的， f 运动导致这个面是不就运动的，所以谁不动嘛。就是这个线是不动的，所以我平移的是线。我为什么要平移线呢？ 因为你要证明线面平行。我们的原理是，你看这里啊，我给你画一个面，这是阿尔法面，这是 l， 如何证明线和面平行？ 线是不是只要和面中的一根线平行就可以了？对，如果能证明 l 平行于 m， 因为 m 来自于这个面，所以 l 就 和这个 alpha 面平行了，没问题吧？没有。所以线面平行的核心就是只要证明线和面中的某一根线 平行就可以了，没问题吧？没有。那么我平移线的目的就是为了找到这个面中的哪根线跟他平行，这是目的，能理解不？可以。那怎么去平移呢？ 我们平移的方法就是拿着你的尺子注意。哎哎哎呦，我的天呐，拿着你的尺子对着这个 pa， 把这根线推到面内去， 那这个线显然是比较长的，比较大的，你推到这个面内去，线会变小，会变短，对吗？对对，我们推的时候要让这个线尽可能的给他完全放到面内去， 一旦放进去，线就会变短。哎，这是第一个你要认知到的，第二个短就短呗。那怎么推进去呢？推的原则一般是保证线的某一个顶点和面的某一个顶点重合。那你告诉老胡屁点和谁重合？ 噔噔噔噔，推推推推推推。你看平行移动吗？这是你的卷子。来，拿着你的尺子移移移移移移，是 p， 推到 f 这来了，对吧？平行，你就画一根跟他平行的线，那么 a 是 不是就移到这来了？是，我们给他起个名叫做 m， 你 找到了，你只要证明这个红线跟他平行，是不是线就和面平行了？对，对吧？这根线我们就找到了， 接下来就是你刚才是强行平移找到的，但是你写题的时候，你总不能给人家说我把它往前推吧？不是这样，这是你脑海里面的思路，我们写题过程不这么写，我待会教你们过程怎么写，好不好？好好，那接下来你倒是找到这根线了， 你得给到严密的逻辑推理与证明，怎么正？告诉我怎么称正。 当你把线推进去之后，注意这根线的长度改变没有？改变了，线的长度发生改变，我们证明的方法叫做三中。什么叫三中？ 三角形？中位线，你看，比如说我让你证明这两根线平行，咋证啊？三中哪个三角形呢？边边一连，边边一连，这是 a， 这是 b， 这是 c， 就 这个 abc 的 三角形， 是不是这个三角形就找到了？对，对啊，所以啊，那你告诉我要把他俩放到一个三角形里面去。把他俩放到哪个三角形里面去？你来告诉我， 放到三角是不是也是一样的？边边一连，对不对？这个三角形辅助线你不就会做了吗？一连，然后呢？把这个边边是不给他连起来？对，看到没有？边边把这两边边一连。 对啊，然后延长，延长，延长，直到跟另外一个是不是有交点到 c 这了，所以在哪个三角形里面去正呢？在 p a c 红色三角形面去正就好了， 对吧？然后呢，平行线分线段对应成比例，看这个点是你的几等分点，那么 f 点就是 pc 的 几等分点，那么这个 f 点不就找到了吗？对，关键是先看这个 m 是 几等分点，自己看能看出来吗？ 对啊， m 点是几等分点呢？ m 点在哎呦，对角线上，对角线的什么位置？ 对啊， m 在 这看，这是对角线吗？这个是，你可以把它理解为半对角线。哦，这是中点。看题， e 为 a， d 的 中点，这个是中点，所以这个 m 是 几等分点。 拿什么去看相似？哦，聪明，点个赞。相似在立体几何里面用的非常多，是吧？这个三角形 是不是和大三角形，这个三角形是不是应该是相似的？一比二吧，所以呢？这段一比二，所以这是二 x， 这一段应该是 x， 是 不是应该是二比一，所以这一段应该是 二，比如说二 y， 这是 y， 是 不应该是二比一就完了。所以人家题目问你说在 pc 上是否存在动点 f， 你 上来给人家写啥？第一，第一句，上来给大家说什么？上来先给人家说存在， 存在吧，存在。然后立马你找到这个 f 点是不应该是二比三的关系，或者说二比一存在。你说此时 cf 比上一个 cp 等于二比三，就你找到这样的 f 了。对对，你就直接找到它的比例关系了。对，然后你带着这个比例关系去证明线面平行是这样写的， 能理解不？可以，你写的过程你不能说，哎呀，把这个线往进推，这是你心里的行为和操作，正儿八经写，就是存在，然后这个点是几等分点，直接表明，然后现在开始证明如下，就是你已经知道是几等分点了，对吧？然后再说这个是几等分点，平行分线的对应成比例吗？ 当然，在证明之前，你要把该连的线全给人家连了。这个思路能听懂吗？可以，我就不写过程了，因为黑板确实写不下。带大家分析一下思路没问题吧？没有，没问题， ok， 这就是我们的平行的探索。 那这样一做，大家觉得题目还难不难了？不难了，是不是辅助线就很好好找了？对，好，我们再来一道题目，看看你能不能找出来辅助线。然后这是我们在考试的过程中，以及你们参考资料里面出现频率极高的动点探索的小题来看题， 他是不是也是说，哎，一点是棱上的一个点，没说是哪一个点，然后说，哎，使得红线与这个蓝面平行， 没说是哪一个点，我们把它也理解为动点的探索吧，就让你探索这个点是几等分点，能理解不？可以。好，那你现在告诉胡老师，现在是谁不动平移谁，我们要平移谁？ 嗯，平移线，平移线，因为第一和 b 就是 正方体的顶点吗？固定的吗？这个一点是不确定的，把它理解为动点，动点，谁不动平移谁？拿着你的尺子把这个线往面内去推， 推的过程中，长度变了还是没变，长度变了还是没变？变了，长度变了，所以我们应该用的也还是三中，没问题吧？没问题，这是你心里的大方向。来，在推的过程中， d 一 和 e 重合吧。对，请问这个 b 点和谁重合？自己看 b 点和谁重合。你是不是认为 b 点应该到 c， 这 很多同学决定到 c， 这是吧？不是。那是不是这根线就变成这个线了？不是 是吧？如果是这根线，我问大家行不行？不行啊，他俩平行不平行我再说一遍，你肉眼看出来平行更好，但是如果你肉眼看出来不平行，不代表人家真的不平行，你得去用理性去证明能理解不？ 所以说，如果按照绝绝大多数，有的同学刚才觉得应该是这根线，如果是这根线，你看能不能把它们放到一个三角形里面去，如果能就 ok， 如果不能，说明这个点便宜到账是不成立的。忒矛盾了，能理解不？那他们能放到一个三角形里面去吗？ 思考一下，连吧，你这一连噔噔噔，这是不是有个一条线啊？对，这边一连噔噔噔噔，这有一条线，请问是不是就放到哎这个三角形里面去啊？ 是还是不是？不是。为什么？不是，因为这两条线不在面，不在一个面类。你们还挺聪明的哈。有的时候胡老师，这不就交于一个点了吗？这是你人为交的。 其实这根线是在上面的面上，这根线是在底下的这个面上，这两个面是平行的，永远不相交，你觉得面中的线能相交吗？ 不可能吧，所以你把 b 移到 c， 这是不成立的。我解释明白了吧？明白了，好，那不在 c 这在哪？ 连接 bc 不 在 c 这。你想一下，他肯定跑这个棱上来了嘛，对不对？对，比如说在棱上这个位置我也不知道在哪，随便给个位置有可能平移过来之后噔噔噔噔到这了，我随便拉了一个。那以后说，胡老师你画的这也不平行啊。 好像看着不平行，但是你得正啊，这图目标准呗，是不是来正吧，肯定是在这个线的某一个位置了。那在哪一个位置呢？不知道是哪个位置，跟刚才的做法是一模一样的，干嘛？看他能不能放到一个平面的三角形里面去，我把你的脸 是吧？来吧，我再把你俩看。从这到这一连吗？是不？刚才那个思路，这个辅助线不就会画了吗？噔噔噔噔，连完交到这来，能放到一个三角形里面去吗？ 能不能？可以？可以啊，这个点是已经有一点了，这个点是 f 点，请问 f 点是什么点？ f 点是不是得在这条红线上来？我刚才连的 f 点还得在这个蓝线上，你告诉胡老师这个 f 点是什么点？中点， f 点是侧面正方形对角线的焦点，所以它是中点。完了， 这不找到了吗？找到了，所以当你技术比较高的时候，其实你一眼就能够看出来，往这一平，一啪一拉，左上下一连，这个三角形就找到了。 所以不是说看答案，答案跟你说，把这些一连，把这些一连，你顺着答案去看，你觉得答案说的好有道理，但是你发现你自己下次连不出来。所以这个线是怎么连的？我刚刚都教会你们了，把两个线的端点，两个线的端点延伸出来一个三角形，这个三角形是 ok 的 吧？ ok， 对 吧？所以我要证明的话，我是不是就在这个 d 一、 bc 一 这个三角形中去证明吧？是，那你这个 f 点是终点，我得保证两根这个线平行，这个得跟这个平行。你告诉我这个一点是什么点？中点， 中点。对，终点一点只能是终点，这事不就结束了吗？是的，当我知道一点是终点之后，你让我求 c e 的 长度，这是 d 一， 这是 c e 背面那个面啊，这是 d， 这是 c， 你 让我求 c e， 是 不是求的是它？是的， 这是直角三角形啊，二分之一，边长为一，这是一，这是二分之一。根据勾股定律，一加四分之一，四分之五，二分之根五小小探索问题，直接拿下，有问题吗？没有，这叫做什么的探索，平行的探索， 这只是平行探索的入门啊。今天的动点问题，这个面你是没有延展的，稍微难一点的题目就是这个正方体已经不能够满足你了，需要把这个某一个面给他，把这个体给他延展出来，需要拓展，这个题 就现出题了，就是升级难度的题目，没有问题吧？没有，所以这是第一个我们的平行探索，你知道他怎么去考你，难题怎么去考你？有了平行，前面讲过了，还有什么垂直，还有什么？还有夹角，这是一系列的探索问题，你都得会。 今天我们讲的是谁不动平移，谁平移的是谁线，是不是已经觉得很爽了？是的，但是动点探索里面更坑的是平移谁面面面还可以，平移的思路一换，难度又翻倍了。所以百分之九十的学生同学们，大家会栽在这种平移面上。 所以说，不管是平移线还是平移面，还是说平行垂直夹角的整个探索问题，胡老师把这种类型的题目全部给大家放到了立体几何二十五大的必考题型专项训练里面了，里面全都是你们在画辅助线的过程中特别容易出错的那种辨识题， 你把这二十五大题型能够整明白，那么你立体几何这块的分就拿的死死的了，所以大家赶紧下载打印，跟着胡老师训练起来吧，好不好？好好下课。

倒计时第十三天，我们今天打卡复习的是立体几何的内容，今天这道打卡题目来自二零二六年东北三省三校二模的第十六题，我们看一下这道题的话有两个小问，第一问是证明面面垂直，第二问是求我们的线面夹角的正线值。我们在正面面垂直之前，先简单的复习一下面面垂直证明方法。 我们面面垂直的话，用到的是面面垂直的判定定里面面垂直判定定力的话，说的是当一条直线，一条直线垂直于一个平面的时候，那这条直线它如果包含在另一个平面内， 我们就能够说两个平面是互相垂直的。那在正垂直之前，我们回想一下以前我们做的题目当中能够出现垂直的模型有哪些？ 首先第一个就是提杆自带的一些，比如说线面垂直线，垂直面上所有的直线，或者是面面垂直，两个面互相垂直产生一条交线，那任意一个平面内的直线，它只要是垂直交线的都垂直，另一个面则垂直另一个面上所有的直线。第二个就是咱们的这个空间几何体里面，它自带一些正方形、矩形， 它们的菱边是互相垂直的。再者如果出现了一些等腰等边三角形的话， 我们的中线和底边也是互相垂直的。常用到的垂直模型有这一些，那有时候我们会发现，当我们在做正名垂直题的时候，往往需要两组垂直，当我们考虑完一二三四四种条件过后，好像还差一组垂直条件，那这个时候往往我们的这个勾股定律 容易被咱们忽略掉，而且这种题有什么特质呢？一般题干会给特别多底边的一些边长，或者是自带一些什么等腰、等边三角形，它的边长之间是可以互相转化的，这个是容易被我们 忽略的。那讲完这个，我们再回到这道题本身，这道题考了一个斜楞柱的问题，他要正的是平面 m， c， c， e 和底面 a， b， c， d。 我 们在做这种题的时候，老师建议同学们带一把直尺，带一支铅笔进到考场上。我们 在正式写过程分析之前，你先用铅笔把这个面稍微给它轮廓勾画一下，以免我们给看晃眼了。 面 m， c， c， e 和底面 a， b， c， d。 要证面面垂，用面面垂的判定力里需要一条直线垂直一个面，那这条直线如果包含在另一个面上，两个面互相垂直，那我们来找一下题干，他说这个四棱柱 a， b， c， d， a， e， b， e， c， e， d， e， d， e。 底面是一个菱形， a 有 菱形，这个地方我们紧抱拉起它，可能是对角线互相垂直。我们再接着往后读，他说，角 a， b， c， a， b， c 是 三分之派，也就是六十度，这个角是六十度的话，同学们想一下，我们连接我们的这个 a、 c 连接 ac， 你 底面是菱形，这个地方是六十度，那整个菱形就会分成了两个等边三角形，有等边三角形，就会自带中线垂直底边的这么一个垂直条件。然后又说了这个侧面 a， d， d， e， a， e 是 一个矩形，矩形的菱边也自带垂直关系。那 读完题过后，我们会发现有垂直的，第一个有菱形，对角线垂直。第二这个地方根据菱形六十度，有一个等边三角形会自带垂直，这地方矩形也自带垂直。那我们想一下，如果我找到这个 a、 d 的 中点，找到 a、 d 的 中点，比如说这个点是点 n， 这个点是点 n， 我 们连接一下这个 c， n 连接 c， n， 这个时候会有一个什么效果呢？ c、 n 一定是垂直 a、 d 的， 又因为题干说 a、 d， d， e， a， e， 它是一个矩形， 那矩形的话，我连接中点 m 点和 n 点 m、 n 两个中点，它一定是平行于我们的这个 d、 d， e 的， 那 d， d， e 垂直 a， d。 同理，我们的 m、 n 也垂直 a、 d。 所以 对于 a、 d 而言，对于 a、 d 而言， a、 d 垂直 n， c， a， d 垂直 n， m， n， c， n， m 相交于 n 点，那 a、 d 直接就垂直平面 n， c， c， e， m 也就是垂直我们的平面 c， c， e， m， 那 a、 d 垂直整个面的过后， a、 d 是 包含在底面 a、 b， c、 d 的， 所以两个面互相垂直。所以这个题我们可以通过题干，菱形自带对角线垂直，加上六十度，出现了等边三角形，等边三角形自带中线垂直底边，外加我们的这个矩形 邻边互相垂直。两组垂直关系得出一组线面垂直，那线垂直面线包含在另一个面上，我们就能够得出这个平面和平面之间是互相垂直的。 ok， 这个是咱们的第一问，然后第二问，我们来看一下，他说若平面，我们把这个清空一下， 若平面 a， b， d， e， a， e 和这个平面 a， b， c、 d 所成二面角的平面角为六十度，我们先不往后面读，先研究一下面和面所成的这个夹角面面所成的夹角，如果用我们的这个几何法来找角度的话，该怎么找呢？我们复盘一下这个内容， 通过一个面上的点做另一个面的垂线，产生一个垂足，通过垂足做两个面的交线的垂线，再次产生一个垂足，连接起点和第二个垂足，形成的这个夹角就是咱们二面角的平面角。那我们想一下， a d， d e a e a b c d， 这两个面的交线是 a d， 交线是 a d。 然后通过刚才第一问的分析，我们是知道这个 m m n， 它是垂直交线 a d 的， 而底面 是一个菱形，被拆成了两个等边三角形， n 是 中点，我直接连接这个 n c， 直接连接这个 n c， 它也是垂直 a d 的。 那这个时候我们会发现你的这个两个平面所成的夹角其实就是咱们的 m n c。 所以 第一句话我们能够得到的这个结论就是角 m n c， 它是我们的这个平面里面的这个角度三分之派。一定注意，当我们在用空间向量法再找一些夹角问题的时候，比如说提杆，它自带一些二面角是多少度，或者线面角是多少度，那这个地方大概率都是用我们几何法先把这个角度找出来，那我们再看它给了一个 a a 一， 也就是我们的 侧棱的长度是根号三，然后提杆已知底面，这是 a d， 底面是一个菱形，所有棱长都是二，然后给的这个 abc， 这是六十度， 他求的是 b 一 d， 这个是咱们的 b 一 点 b 一 d 这条黑色的虚线和平面 m a b 所呈假角的正弦值。我们先复盘一下，我们先复盘一下，利用空间向量法求线面角的一个步骤，第一步，建立坐标系。第二步，找到直线的方向向量，也就在直线上任意找两个点，把方向向量找出来。第三步，找平面的法向量，然后第四步是一个易错点， 线面角的正弦值 sin theta， 它对应等于平面的这个直线的方向向量。比如说举，随便举个例子啊，比如说这是 e f 向量，是方向向量，然后以及平面的法向量所乘角的弦值。 根据公式， e f 向量点成 n， 向量，比上 e f 的 魔长，点成 n 的 魔长。最后不要忘记了整体夹绝对值，因为线面角的范围是零到九十度的一个范围，所以夹角余弦值必须得是正的。 ok， 那 我们看一下这道题，这道题在间隙之前，我们看一下，这是一个斜楞柱， 这是一个斜楞柱。我们刚才通过第一问已经知道了这个 m， c， c， e 和底面是互相垂直的关系。 m c， c， e 和底面是互相垂直的关系。这地方我们可以怎么去间隙呢？这地方我们可以怎么去间隙呢？我们刚才说了底面这个菱形，它其实就是两个正三角形构成的 两个正三角形构成。通过第一问，我们刚才在这个 a d 的 中点位置找了一个 n 点，然后连接了一个 c n， c n 的 话，它本身是垂直，我们的 a d， 你 底面是菱形，这个 c n 垂直 a d 就 相当于是 c n 垂直 ab， 那 大概率我们这个坐标系的话，可能都会以这个 c n， c b 为我们的这个 x y 轴。那知道了这个 x y 过后，我们怎么去找这个 z 轴呢？ 我们想一下。第一问，我们已经正到了这个平面 m n， c c e m n c c e 和底面是互相垂直的，结合面面垂直的性质定律，两个面互相垂直产生交线，任意一个面内的直线，只要垂直交线都是垂直另一个面的， 那 m n， c， c， e 和底面的交线在于这个 c n 上，我只要垂直 c n 就 能够垂直底面，那这个地方我们直接在这个坐标原点 c 处 做 c n 的 垂线，这条线它必然是包含在我们的这个面 m， n， c c 里面的， 我们只要保证这条线是垂直 c n 的， 就能够保证这条线垂直底面，垂直底面就垂直底面所有的直线，那他就能够当我们的 z 轴。那同学们一定要注意，我们在考场上的时候，像这种不是自带垂直关系的时候，一定要通过两三句语句的描述写清楚你是怎么去解析的，这个咱们是有过程分，我们写一下啊， 在这个平面 c， e， c， m， n 内，我们过 c 点做这个 c z 垂直 c n， 因为咱们的 a d 是 垂直平面 c， e， c， m， n 的， 然后 a d 是 平行 bc 的， 所以我们可以得到这个 bc 是 垂直平面 c e， c n m， 那 所以我们的这个 bc 垂直 c z， 然后所以 c z， 它是直接就是垂直我们的整个平面 a b， c， d 的 c z， 然后我们的 c n， 还有我们的这个 c b 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。一定注意，一般来说，第一问，我们得到的一些结论，比如说垂直线面，垂面面垂，它一定是能够用到我们的第二问的间隙过程当中。 ok， 那 我们再接着看。 我们建好细了过后，刚才说了，通过这个二面角的这个分析，我们知道了这个角 mnc 这是六十度，然后给了一个测棱 a a 一 的一个长度等于根号三，那我们要找 b、 e、 d 的 法向量，以及 m a、 b 的 一个 our third 客户，我们要去找 b、 e、 d 的 一个方向向量，以及平面 m、 a、 b 的 一个法向量。在找具体的向量之前，我们先找点坐标，一个一个来。首先我们的这个 n 点， n 点，它在这个 x 轴的正半轴上，我们知道 a、 d 的 长度里面是一个等边三角形， a、 d、 c 这里长度为 题干，已知长度为二，那等边三角形的这个中线长度直接就可以出来，所以 n 点坐标这个地方就应该是根号三到零到零。同样的，这个 b 点坐标 b 点在 y 轴上， a、 d 长度为二，那 c、 b 长度也为二，那 b 点坐标直接就是零二零。 那同理，我们把我们的这个 a 点坐标、 a 点坐标找到 a 点坐标的话，这个地方分别做 x 轴、做 y 轴的垂线，做 x 轴的垂线垂足在这个位置，那它对应的横坐标的长度应该是这个 c、 n 的 长度，然后做纵坐标的垂线对应的长度的话，就是 a、 n 的 长度。所以 a 点坐标这个地方应该是根号三到一到零， 那 d 点坐标， d 点坐标，我们看一下在哪个地方跟刚才找 a 点坐标是完全一样的。过 d 点做 x 轴，做 y 轴的垂线，它在 x 轴的正半轴，但是是在 y 轴的负半轴，所以 d 点坐标这个地方应该是根号三，逗负一逗零这几个点是比较明显的。 那再结合我们刚才分析的平面 a、 d， d e a e a e 与平面 a、 b， c， d 所成夹角为三分之派， 我们其实得到的是这个角 m n c 即为二面角的角 m n c 等于 三分之派，那知道了这个长度，呃，知道了这个角度，然后题干又给了我们这个 a a 一 侧棱的长度，这是根号三，那我直接过 m 点做垂线，就能够具体找到它们的一些长度关系。这个 m n 是 等于 a a 一 等于根号三的， 所以 m 点的这个坐标，我们可以给它写成做垂线，垂下来，这个是 c n 长度的一半，横坐标是二分之，根号三。然后你在这个 x 轴上那纵坐标的话，直接就为零，它的竖坐标，竖坐标也是通过这个三角形里面六十度的这个夹角以及边长给它算出来，这个高度的话是二分之三， m 点的坐标就出来了。 那 m 点坐标出来过后，我们还有一个这个 b 一 点的坐标，不知道这个地方特别强调一个小点，比如说像找这种斜楞柱里面的 特殊点坐标的时候，当我们拿不准你这个点投影投下来到底在哪个位置，那就不要去猜，我们通过一个方法，什么方法呢？向量相等的这个方法去找对应的点坐标，比如说我拿不准这个 b 一 点，它投影下来具体投到哪个位置，那我完全就可以利用。比如说 b b 一 向量是等于咱们的这个 n m 向量的 相等向量，它的概念就是大小相同，方向相同，这个是棱柱，棱柱的所有的侧棱都是平行且相等的，那长度这些相等，大小方向都相同， 向量相等。那我们可以把 b 一 点，比如说设设成 x b 一， y b 一， z b 一， 那 b 点坐标在 y 轴上，我们已经找出来了， n 点， m 点的坐标都出来了，通过坐标表达向量，最后找出我们的这个 b 一 点的坐标。用这种方法去找特殊点坐标的话，虽然说过程可能稍微慢一点，但是一定是万无一失的。 所以这个地方我们可以把这个啊 b 一 点这些坐标给它找出来。那我们接着刚才的这个讲，这个 b b 一， 它等于的是 n m n 点坐标，这是看一下啊， n 点坐标，这是根号三，逗零逗零， 那 b b 等于 n m 的 话，我们的这个中点减起点 x b 减去 b 点坐标零， b 点的横坐标零，然后 y b 减去二，逗号 z b 减去零，它等于的是 n m n 点坐标揣了， m 点坐标揣了，我们把 n m 写揣一下， n m 的 话是二分之根三减根号三，这是负二分之根号三，零减零等于零，二分之三减零等于二分之三。那这两个要相等的话，我们可以解出这个 b 一 点的坐标对应相等，负二分之根号三， 逗号 y b 一 减二等于零，那 y b 一 的话，直接就等于二， z b 一 直接就等于二分之三，所以 b 一 点的坐标就揣了 b 一 点坐标出来， d 点坐标有了，我们直接把我们需要的方向向量表达出来， b e d 向量， b e d 向量，这个是根号三，减负的二分之根号三，那直接就是二分之三倍根号三，然后负一减二，这是负三，零减二分之三，负二分之三，我们的 b、 d 一 向量就出来了，有用的，第一个 b、 d 一 向量就出来了， 那第二个要去找平面 m、 a、 b 的 法向量，要找 m、 a、 b， 我 们找法向量的步骤，第一步找到平面上的三个点点坐标。第二步任意找出两条相交直线对应的方向向量， 那比如说我们就找这个，找一个啊，比如说找一个 ab 向量，然后找一个 am 向量，用点坐标表达我们的这个向量 ab 向量的话，这就是负根号三，负一，负零 am 向量，这就应该是负二分之根号三，负一，负二分之三，然后去 设我们的这个平面，用 ab 的 法向量为 n 向量，直接设成 x 到 y 到 z。 这个地方我们都不需要看图了，直接根据我们的这个方程组向量，点成我们的 方向向量，结果是等于零的，因为是互相垂直关系，所以负根三 x 加 y 等于零，然后负二分之，根号三 x 减 y 加二分之三， z 等于零。 这地方的话，我们邻域方程组在复值的过程当中，我们可以直接令 x 等于一，令 x 等于一，从而去把我们的这个 y、 z 给解出来，这个地方解出 y 等于根号三， z 也等于根号三，所以这个平面的反向量 n 向量的话，就可以写成一逗根三，逗根号三。 那知道了法向量，知道了咱们的方向向量，直接套用最后的公式。前面强调了线和面所成夹角，它的正弦值等于的是这条直线所对应的方向向量 与平面法向量所成夹角的余弦值。根据公式 b、 e、 d 向量点成 n， 向量比上 b、 e、 d 魔长点成 n 的 魔长，注意最后一定要加一个绝对值，我们把所有的数据这个地方给他带下来，最后的结果等于的是十四分之根号下四十二，这道题就结束了。 在讲这道题的过程当中，提醒一下同学们，今年的二模真题里面有大量的试卷都出现了这个斜楞柱的问题，一定注意斜楞柱这个是属于不规则几何体的，一个间隙 多加小型底面是否自带垂直，比如说底面是否是菱形，是否出现了什么等腰等边三角形，然后我们再找这个竖坐标，再找 z 轴的时候， 一定要注意，可以结合一下体感可能现成的一些线面垂直，或者是面面垂直关系。然后第二个需要注意的就是斜楞柱里面有些特殊点，就比如说我们的这种，像 c 一 b 这种点，当你拿不准它投影下来，到底投在具体哪个位置的时候，我们直接借助相等相等 的方法，相等相等法一定注意一定是大小方向都要相同，谁剪谁不要剪错了。然后再一个就是求线面夹角的时候，观察清楚体面法向量与平面法向量所成夹角的余弦值这个地方，我们就 把这个题结束了。然后再提醒一下同学们今年的考试重点，因为会考我们的跨模块融合题，所以立体几何的话特别容易出到一些，比如说和我们的解析几何结合，比如说和什么椭圆呀这种题目进行结合，那同学们可以 以拔高为前提去参考一下咱们二零二六年苏北七十二模的一个十八题，这道题的含金量也非常高，这地方我们就不在我们的这个打卡题里面再去讲了，同学们可以重点去再看一下这道题，跨模块的融合题，它在立体几何里面可以怎么去考？

继续我们的基础分计划，今天是立体几何三道大题，只做第一问，所有的立体几何的题型里边，证明题是最容易得分的。至于原因，我们边做题边给大家说，因为它比其他的题型多一种解析思路。第一个，正方体棱长为四，标一下 e、 f 分 别为中点。在这里 现在要证明还有一个已知条件， c、 g 是 等于三倍的 c e、 g， 因为已经知道了它的棱长是四，那这个 c、 c、 e 也是等于四的，于是这个比值就可以转化成具体的数值，这个地方等于一，这个地方等于三。第一问，求证 g、 f 垂直于平面 e、 b、 f。 写题的时候一定要把平面写出来啊，我这个为了给大家节省时间，就不写这个面了，大家写做证明过程的时候，一定要标注是平面 e、 b、 f。 刚才我给大家说了，所有的证明题里边比其他的题型要多一个思路是什么呢？现在既然让你证明这个结论，那么这个结论一定是成立的，所以我们可以反着推，就是我假设这个结论已经成立了，看能得到什么已知条件。现在我们标一下这个要证明的 f、 g， 在 这里，要证明这条线垂直这个面 e、 b、 f 在 这里。 现在通过观察你很容易发现，因为 ef 是 中点嘛，现在很容易得到 ef， 就是 垂直于这个平这个 f、 g 的， 因为什么呢？因为 ef 是 平行于 a， e， b e， 然后呢，这个 f、 g 是 属于这个平面， b e c e c b， 因为 a e， b e， 也就是正方体的这个棱是垂直于这个侧面，也就是垂直于 b e， c e c b， 于是就可以得到 ef， 就是 垂直于 f g 的， 那么我们现在只缺另外一条直线，也就是因为这个 f g， 它垂直于这个 e、 b f 了，那它就垂直于这个面里边的每一条直线，那么 f b 这条直线在这里， 它也是属于 e b f 的， 于是我们就思路可以落在这里，那么 f g 一定是垂直于 b f 的， 这样的话，我们就可以得到这两个相交的直线，垂直于 f g， 就 可以得到我们的结论了，这条直线垂直这个平面。那么接下来的问题就转化到这里，如如何证明 f g 垂直于 b f？ 现在我们给的已知条件有一个没用到，就这个数值 f 是 中点，那么也就是这个分别所在的三角形。那么看一下， 在三角形 b f g 里边， f g 它是等于根号下二的平方加一的平方，也就是等于 f c e 在 这里它是 b e c e 的 一半，也有棱长的一半是二，而这个 c e g， 我 们刚才知道它是一，于是得出它是等于根号五。那么还有另外一条边 g b， 它是等于根号下这条边的平方，也就是三的平方，再加上 b c 整个棱长的平方，四的平方，那它就等于五。还差一条边，那就是 b f， 而 p f 在 这个三角形里， 那它就等于根号下 b 一 b 的 平方，也就是四的平方，再加上二的平方 十六加四二十二倍的根号五，然后得出 g b 的 平方，就等于 f g 的 平方，加上 b f 的 平方，于是可以判断 f g 垂直于 b f 勾股定律的逆定律。所以这道题这个证明过程大家自己来写思路给大家分享，完了来我们再看第二道题，所有涉及到这种给了你 具体编的直的时候，大家可以往勾股定律上去考考虑，这样的话，勾股定律也是在证明立体几何里面证明垂直的一个非常常用的。 来我们再看第二道题，现在如图啊，这是一个五面体，这个四边形 a、 b、 c、 d， 也就这个底面和这个后面的这个 a、 d， e、 f 分 别为等腰梯形 e、 f 平行于 a、 d 平行于 b， c， a、 d 等于四。 后面整个的这个底下这个边长等于四，然后 ab 等于 bc 等于 ef 等于二。就这个地方，这个地方，这个地方都等于二， e、 d 等于根号十， f， b 等于二倍根号三。这里 m 为 a、 d 的 中点。现在第一问证明平行 a， b， m 平行于 c、 d， e。 根据观察你会发现这个 m 就是 a、 d 的 中点，所以你可以得到 m、 d 等于二分之一的 a、 d， 它等于二，而 bc 本身就等于二，所以又因为 bc 是 平行于 a、 d， 也就是 bc 平行于 md 同一条直线，于是我们可以得到四边形 b， m， c， b， m， d， c 是 为平行四边形，于是我们可以得到 b， m 也平行于 cd。 因为这个解题步骤也给大家写一下啊，不要遗漏，因为 b、 m 不 属于平面 c， d， e， c、 d 属于平面 c、 d、 e。 所以 得出结论， b、 m 平行于平面 c、 d、 e。 关于线面平行的证明，那么你只需要找到这一条线和这个平面里的一条直线平行，然后就可以了。在证明的过程当中， 不要遗漏，其中一条是不属于这个平面的，而另外一条是属于这个平面的，通过线线平行，也就是证明线面平行的时候，我们最常用的做法就是通过线 平行于线，然后推导出现和面平行。所以大家但凡以后再见到让你证明线面平行的时候，你就可以从线里面找出来这条直线和已知直线平行的。我们再看第三题，是一个垂直证明。 这三道题其实并不是最简单的，但是他的第一问呢，是比较有代表性，所以我把这三道题给大家选出来跟大家分享，就是为了，呃，让大家在以后再见到同类型的题的时候呢，可以很迅速的找到思路。呃，平面四边形不是平行四边形啊。审题也要注意，也就是 abcd， 他 在一个平面上，现在 ab 等于八， c， d 等于三， a， d 等于五倍根号三，后面的五倍根号三。然后角 a， d， c 等于九十度，这个地方垂直 b， a， d 等于三十度，这个地方等于三十度点 ef 满足向量 a， e 等于五分之二， a， d， a， f 等于二分之一的 ab。 现在将这个三角形 a， e， f， 也就是底下的这个 沿着 e， f 翻折至三角形 p， e， f， 使得 p， c 等于四倍根号。三。这里 现在第一问，证明 ef 垂直于 pd。 我 刚才给大家说了，所有的证明题，你可以先假设他这个结论已经成立了，然后你反着去推思路，现在如果 ef 垂直于 pd 的 话，那么根据观察，再加上这个地方给了一个直角，我们可以去猜这个 fe 应该也是垂直的，这样的话 ef 可能是垂直于平面 pd 的， 也就是垂直于后面这个 pd 所在的这个平面。那么通过哪里来证明呢？我们现在看这个两个已知条件， a e 和 ad 向量啊， af 和 ab 这个共线，那么根据这个向量的特征啊，我们可以直接得到 a e， 它就是等于线段啊， a e 线段就是等于五分之二倍的 ad， 也就是魔长 af 也是等于二分之一的 ab 的。 而根据已知条件，我们知道了 ad 是 等于五倍的根号三，那么 a e， 它就应该等于五分之二，乘以五倍的根号三，也就等于二倍的根号三。而 af 呢，它是等于二分之一的 ab 的 长度是八， 那就等于四。现在我们在这个三角形里头，在三角形 a e f 里知道了一个角，知道了两个另外两个边，那么我们马上就可以想到，通过余弦定里，我们就可以得到 e f 的 值， e f 的 平方应该等于 a e 的 平方， 加上 a f 的 平方，减去二倍的 a e 乘以 a f， 再乘以 cosine 三十度，于是可以解出它的值是四， 于是我们可以得到 e f 等于二。接下来就是利用勾股定律，现在 e f 的 平方加上 a e 的 平方，它就等于 af 的 平方， 所以 ef 垂直于 a e。 再根据这个翻折的性质啊，我们可以得到 ef 垂直于 p e， e f 还垂直于 e d， 又因为 e d 和 p e 交于 e 点 e d， p e d， 所以 可以得到 e f 垂直于平面 p e d。 又因为 p d 是 属于平面 p e d 的， 所以我们可以得出结论， e f 就 垂直于 p d。 第一问就搞定了。所以关于第三题的这个证明啊，其实这个第三题的证明也还可以用其他的方法来来做。呃，但是呢，我们现在在临近考试之这段时间啊，呃，主要是教大家如何得到这个分。所以 但凡大家以后再见到证明题的时候啊，务必想到，如果你从已知条件无法找出思路，比如让你证明平行，你没有办法找到这个平行线，你反着推，假设这个证明的这个结论已经成立了，然后你再去倒着跟已知条件建立连接。好了，同学们，今天就给大家分享这三道题， 后面大家在想听什么的话可以给我留言，因为毕竟这十五天的时间有限，每天只能给大家分享几道题。好了，同学们，今天就这样，拜拜。

斜修立体几何到底有多强？他能让立体几何的大题瞬间变成小学计算口算题啊？ 那很多同学听完胡老师讲立体几何的垂直，都说以前所有的垂直问题都白学了，那么今天胡老师给大家讲透垂直问题，听完之后我们再也不丢分好不好？好，期不期待，期待好。所有的垂直问题一共分为几大方向？我们来先来看一下，第一个叫什么？ 让你证明的什么垂直？第一个叫做让你证明线线垂直，还有呢，线面垂直很好，让你证明线面垂直，当然这些经常融合在一块，考你啊。还有一个面面叫做面面垂直，咱一个一个来说，我们先来说线线垂直， 只要你把这个模型学好了，那么另外两个学起来就很轻松，跟他一样套模型就可以了。好吧，好，那么线线垂直里面总结过吗？一共有多少种模型？常见的第一个叫做三垂线， 也就是三垂线定律，非常重要，很重要，而且很实用，所以今天我们要把它先讲透的啊。第二个还有什么？ 还有正形模型，第三个，这全是给大家总结出来的啊，勾股模型，还有第四个长方形，对，叫巨型模型。还有第五个就是用面面垂直去证明线线垂直的模型，五大种， 所以咱们先来看第一个叫做三垂线，三垂线就是三垂线定力，大家注意对于这个定力熟悉吗？熟悉，这个叫做三垂线定力，这个定力主要是用来干嘛的？ 告诉我，在老教材里面是直接有的，新教材稍微弱化了一下它。嗯，这个定力主要是用大，让你来证明意面意面垂直的。 对啊，哎，什么 i o 垂直于 m， 但是你俩在不同的面上叫异面垂直，明白没有？来，我说一下三垂线定律是什么？画个图。首先比如说这是阿尔法面， 然后呢？阿尔法面，这，这是一根线，这不是面内的线啊，这叫 l。 然后呢，阿尔法面内有一根线叫做 m， 让你证明 l 垂直， m 是 不？或者 m 垂直于 l， 这叫做意面垂直，没问题吧？没有， 所以三垂线定。你说的是啥呢？两句核心的话，第一句话叫做记下来，垂射臂垂斜， 第二句话叫做垂斜臂垂射。啥意思？ 这根线叫做翘起来的线，与平面有一个交点，这个点我们把它叫斜足，行不行？可以我们过线上的一个点给面打垂线 垂直的吗？这个线是垂直于面的哦，比如说这个点叫做 m 点，这个叫什么？足垂足，这个叫斜足连接，垂足和斜足连完之后，这个黄线就是他在面上的投影。对，摄影 ok 吗？ ok， ok。 所以 什么叫做垂射必垂斜？就是如果我发现啊，这个 m 是 垂直于他的摄影的，把它叫做 l 一 撇吧，行不行？可以垂直于 l 一 撇，我立马能够推出来 m 垂直于 l l， 或者说我如果能够知道 m 垂直于斜线， l 是 不叫垂斜，他一定垂直于他的摄影，这就叫做三垂线定律。需要我证我就来证。需要证吗？需要。那我们来简单证明一下。来证明。 我先给你证明。第一个，为什么要证他？因为证明他的过程就是你大体里面的过程，你大体要写这个过程呢？你不能由这直接到这，为什么？这个过程要写的当模板化操作了，明白没有？明白好，我写的是思路啊，我现在不写过程，我先带你们写一下思路来。 m 垂直于 l 一 撇，垂直于它。为什么能够证明垂直于 l 呢？线和线垂直，核心是证明线和这个面垂直，对吧？我只要和这个面是不是垂直就可以了，因为我 m 还垂直于，比如说这个叫 p 吧，叫做 pm， m 和一个面中的两根相交线垂直，我就能够得到 m 垂直于平面。 p n m， 因为你是平面内的线，所以 m 垂直于 l， l l 是 你中的线吗？我写的是思路， 对，没有问题吧？没有这个为什么垂直？理由是什么？因为 pm 垂直面对了，因为 pm 是 垂直于底面的，这个底面是什么？你写一下 是吧？是理由，就是因为 pm 垂直于他，因为 m 小， m 是 你中的线，所以他垂直，对不对？对，因为因为他，所以他又因为你俩退出，他 能理解不理解，然后你需要把这个过程给他润色一下，加一些关键性的语言。又因为 l 是 这个面中的线，所以你垂直是这个意思，必须先学会写这个思路，然后再去润色。思路成过程没问题吧？没有。好，第一个会了，那第二个是不是也是一样的？ 垂斜臂垂设？比如说 m 垂直于 l， 是 不是又因为 m 还垂直于 pm 了？ m 和一个面中的两根相交线垂直，所以说 m 垂直于平面。 p n m 思路是一样的吗？对，嗯，又因为线在面内，哎， l 一 撇是你面内的线吗？所以 m 垂直于 l 一 撇， 这两个理由是一样的。会了吗？会了，这叫做三垂线定律。接下来我们看一看三垂线定律在我们考试中，包括高考中是怎么考大家题目的来看这道二零二一年新高考卷的真题，考察的就是我们的意面垂直问题。来读题 说下列正方体当中 o 全都是正方形的中点，这 p 都是什么点？ 他的楼上的终点没问题吧？没有说 m n 为正方体的顶点，你看到 m n 都为顶点，然后说，哎呀，满足 m n 垂直于 o p， 这是两个蓝线垂直的事，问哪一个满足？是不是叫意面垂直啊？好， 回顾一下，意面垂直最经典的第一个考法是三垂线。对，三垂线法，你看 m 点是不在面内呢？ 这个，哎呦，是不是翘起来的线啊？对不对？我们垂蛇垂射必垂斜，垂斜必垂射，说的是给翘起来的这根线，说找他对应的 投影摄影，摄影，谁翘起来找谁的摄影，是不是？是。所以对于这种意面垂直问题，以第一个为例，你告诉我找谁的摄影， m n 是 不是就在面上？对，相当于在正方体的那个外面的表面上，我肯定不管 m n 嘛， o p 相当于就是翘起来的线嘛，是不是找他对应的摄影是不就可以了？那 o p 对 应的摄影你会找吗？嗯，会找，给给谁找摄影？找看。 你是不是要证明的是这两个意面垂直吗？是不是这个翘起来的线往这个 m 所在的面是不是去打摄影呀？是的，所以说 o p 是 不是就是这里的？哎呦，该没问题吧？没有打摄影，往哪个面打摄影？想一想，往上面，往 m n 所在的面，对不对？上面下面都可以， 因为 m n 也可以移到下面来，对，是不是往下面打比较容易啊？垂射臂垂斜。看过他给他打垂直，是不是就这玩意？对， 就这玩意，打完就是他吗？对吧？你说 m n 跟他的摄影能垂直吗？不，垂直不可能，所以说第一个排除掉，甚至你都可以不用打垂直。你把 m n 移下来吧。 你把 m n 往这一移，来，我们把 m n 往这一移，我都不用找投影的。你看他俩之间是不是有夹角呀？是啊，这显然不是垂直关系吗？所以我也能把 a 排除掉，是不是？是啊，都可以。来下一个，告诉我 哪个是斜线。我们这个叫 i o 叫斜线。看 m 是 面内的线，哪个叫？这像充当了这根红线来。哪一根线？ 是 m n 还是 o p？ 两个都翘起来了， m n 明明在面内啊。哦， m a 是 不是在面内啊？是啊，对啊，这个 o p 是 不是穿这个？是不是跟侧面？是不是相当于是翘起来了？这是不是相当于是侧面了？懂了，能理解了，不？可以懂了吧。哎，是不是过 o 点给侧面找 什么？摄影打垂线对不对？对，来过 o 点给他打投影，打到了，怎么打过 o 点，是不是？哎呀，给侧面打 是不是垂到这来了？对，这个叫斜足，这个叫垂足。一连是不？这个叫摄影？是的，红线叫摄影，是不是？我只要证明 m n 和红线是否垂直就完了。来，他和红线是否垂直？垂直，这是终点吧？对，对吧，这是终点吗？ m n 跟谁是垂直的？ m n 跟他是垂直的， 你不是中位线吗？对，你俩是不平行关系吗？是的，所以跟他垂直不垂直。 m n 垂射必垂斜，这就是斜线 图像相对翻了一下能看来吗？可以，所以说 b 选项正确。下一个告诉我谁相当于我这里的斜线？一个是意面吗？一个是 l， 一个是 m， 哪个相当于我这里翘起来的 l 来哪一个？ o p？ o p。 为什么？因为 m n 在 右侧面上吗？是的。在面上吗？你是不在体内穿来穿去的吗？面上的线好研究吗？是不是过 o p 是 不给这个面打垂线呀？对，给这个面打也可以，我是不是打到这个面也可以？对，距离哪个近？往那边打都可以吧。可以，因为 m n 是 不是相当于这个吗？ 是不跟这个是平行的吗？是的，可以移到这边来。所以说过 o p 给这个面打可不可以？可以，咋打过 o 做垂线细点是不是就是你与面的 焦点相当于是这里的点，这是不是相当于是屁点了？没有，没问题吧？没有，来吧，给面打垂线是不跟刚才一样的。噔噔噔噔，这个叫做垂足，这个叫做斜足，打完之后垂足和斜足一连，你的摄影是不是就出来了？他的摄影不就这个吗？ 是还是不是？是垂直吗？嗯，这个也垂直。为什么垂直？他刚好也是个终点，哎，很好。这个点是不是应该是终点啊？对，对吧，也是终点。 m n 不 就这个吗？这个跟谁本来是垂直的。 来，告诉老胡，他本来跟对角线是不跟这个对角线垂直的？是的，你是不是对角线相当于一半吗？看到没有，对中位线吗？所以他是垂直关系 没问题吧？没有，没有问题，来下一个。哪个相当于斜线？哎呦，告诉我 p o o 还是 o p？ 为什么？因为艾蒙在背面的面上来？对，也可以认为在前面的面上是不都可以？是的，艾蒙也可以是这条线一样的。对， 哎，对，你相当于翘起来的线。那么你跟我面的焦点是 p， 是 不是就这个点 p， 对， 对吧？过哪个点给给谁打垂线呢？来告诉我。能看来吗？把这个关系要捋清楚啊。 过这个点往面上打垂线，过藕点往前面这个面上是不是打垂线？是的，对了，过藕点给前面的面上打垂线，是不是打到这来了？这叫斜足，这叫垂足。把你俩一连 是不是叫摄影呀？是的，这个就是 p o 在 前面这个面上的摄影，你不断的把这个模型要往这个上面去套嘞，相当于这个 p 点相当于这里哪个点？ o 点相当于这里哪个点跟它要对起来嘞，能理解这个事吧？可以能理解啊，然后人家问 m n 是 否和它垂直， m n 是 这， 这是重点吗？对吧？你说 m n 跟它垂直吗？不垂直咋可能垂直呢？所以说排除掉 叫意面垂直。三垂线定力好用不？好用，真好用。所以说你的脑子里面只要有模型，你没有发现辅助线你就知道怎么打了，是不是就瞬间出来就可以直接秒杀了？是的，很爽吧？爽，但是大家要注意哈，意面的垂直 不仅仅有三垂线模型啊，你只会他，你其他的遇到你不就不会了吗？对不对？你要把线线垂直玩转的很六六六。那么剩余的其他的模型对你的题型你要练习的非常透彻，所以说只有这五大模型全都凑齐，你都整会，你做题才能够做到游刃有余。 那么今天因为时间原因，我们没有办法一个一个带着大家去做，但是胡老师把这五大题型对应的所有的高拿考的真题以及辨识训练全都给大家梳理出来了，所以大家抓紧时间打印，跟着我们的课程训练起来，我相信垂直对于你而言不在话下，行不行？行，好，下课。

今天继续分享小题大招里面第九个啊，这种立体几何的证明的。这种小题咱讲一个定律，遇强则强啊，很简单，然后咱们知道立体几何的证明定律一共有六条，根据线和面的关系，是不是分别分为线线平行、线面平行、面面平行， 然后还有线线垂直，线面垂直和面面垂直，对吧？一共是这六种，这六种里面有三种比试比较强的定律，如果是平行的话，你看我用红的写，线线平行，面面平行， 还有线面垂直，这三个是比较强的定律。用红色的来写啊，然后另外三个是比较弱的定律啊，用 这个这个蓝色的来写，线面平行，线线垂直，然后和面面垂直是比较弱的定律啊，你记住这个原则，这三个打叉是比较弱的定律。然后咱们的口诀就是 题目上这个遇强则强，如果一个强加一个弱的话啊，他可能是弱， 就是一个强加一个强，他肯定还是强，不可能等于弱。然后如果前面是两个弱，弱的加个弱的，然后啥也不等，就是不等于号啊，就是右边这个红色部分，然后咱们来两个题来看一下啊，先把它区分开，然后一个二二年奖券，一个二四年天津卷啊，然后看一下 奖券的这个 a 选项，他说你看属于属于在里面，不管啊， m 平行 n 是 不是得到一个强的 啊？现在这里面这一个是强的，然后最后结果他是弱的，所以强得的弱不行，强加强只能得到强啊。然后第二个就是这包含包含不看啊，然后这个地方是一个弱的，然后得到一个弱的，弱的啥也得不到啊。所以不管第三个是一个弱的，然后得到一个强的肯定就更不行了。 这这哪线面平行，这不是弱的吗？然后得到的是个强的，不可能啊。然后最后一个一个强，一个强，一个强，遇强则强，没有任何问题。所以应该选四 d 啊，这是第一个。 然后第二个啊，二四年天津卷的，一个一个一个看啊。第一个线和面平行，然后我查一下这个表，是弱线和线平行，我一查是强弱强强不对啊。 然后第二个线和面垂直是强，线和线垂直弱。哎，强弱得到强不对，强弱只能得到弱，或者是。嗯，什么都没有啊，因为这个地方咱写的是约等于的符号啊，约等于。然后第三个线和面平行是弱， 线和面垂直是强弱强弱。哎，有可能啊，这个存疑啊，有可能对，也有可能不对。然后 d 选项 强和 m 垂直于阿法。线和面垂直是强啊，线和面垂直是强，然后得到一个弱肯定不对，所以选 c 啊，就做完了。你可以自己再找几道这个题试一下啊。

就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。