湖北中考几何压轴专训

初中数学不用愁，海城教育节流，大家好，我是数学小夏老师，今天跟着大家一起来学习二五年的数学真题。第二十题， 换方起源于中国阅历，常用于生活，他们有很多奥秘探索并完成填空，我们一起来看看。活动一，哎读一是某月的阅历，用方框选择了其中的九个数，我们一起来看一看。读一 图一里面这一部分的九个数，我们来观察一下他们每个数之间有没有什么特点。好，我们知道第一个数左上角的第一个数，它是最小的一个，不管你如何移动这个方框左上角的 一个数，它数就是根据前面一个数加一而得来的。 同样的，我们看第二行第二行的第一个数，他分第一行的第一个数，我们来看看他有没有什么特点， 对吧？他是在第一行里面的第一个数加上七得到第二个数，因为日历里面一个星期他是七天，同样的，第三行的第一个数，他也是在第二行第一个数加七，他得来的。好看。第一个 移动方框，若方框中的部分图如图二所示，则 a 是 多少？我们观察图二里面的，它是图一移动方框所来的，那我们可以进行观察，移动这个方框要得到四零六啊，移动是这样移动， 所以移动好之后，我们这些观察就知道， a 所对应的数应该就是五，那 b 所对应的数在四的下面为十一， 相对来说很简单啊，通过观察就能做出来。第二，一个一路方方，我方方中的部分数如图三所示，部分数如图三所示，那么求 c 和 d， 并且让我们用含 n 的 代数式来表达三个 d， 那 我们刚刚在最开始我们讲到了 换方里面的第一个数 a， 第一个数它永远是最小的，那么在第一行里面，第一个数的 后面一个他的字应该在他前面一个数加上一，所以 c 的 字应该就是 n 加一， c 是 n 加一，那么请 d， d 是 在这个方框里面的第二行，那么第二行的第一个数，他是第一行的第一个数加上七，因为一个星期还有七天数， d 是 n 加七，我们也可以通过 图一的这些规律来总结啊。活动二， 移动方框，选取月令中的九个数，并调整它们的位置，使其满足三阶换方的分母规律。那分母规律是什么呢？每列乘法，每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的 和都相等，那意思是什么意思啊？就是每 n， 每竖面以及斜对角线，他们的和相加起来都一样， 这个是他们的一个特点。题目告诉了他说落方块中旋曲的速度都是什么意思， 并且调整后部分数的位置，如图所示。让我们求一求 e 和 f， 那 这个我们需要根据换算的特点列出算式进行求解就行了。 看这里面每一横，每一竖横也是斜对角线，他们的和相等，那我们就可以根据图图哎可以找到一个突破点，那就是什么呢？这一个竖列，这一竖列，他们 因为都清楚了都是具体的数二十和十八，所以这一竖列的值就为二加十，加上十八等于 三十。这个时候我们就知道了，他们每一横行，每一竖列以及斜对角线所数值之和应该就是三十，知道这样一个规律之后，我们就可以求出 f 的 值和 e 的 值了。 那么根据他们每一横行竖列加起来都是三十这个规律，那么我们就可以得到一，就用总的三十减去其余两个数之和， 减十七减二，那就得到十一，所以一是十一，那 f 同样的道理， f 我 们可以根据斜对角线来求，那么斜对角线 f， 它就等于三十减 十七，减， 减一十等于三啊，这是 f 的 值等于三 啊。第三个位相对来说难度加大了一点点，但是呢，我们通过换方的特点列去算式来可以求解到的。 第四一个若方方弦形的数，最小的数是 n， 调整之后，部分数的位置变成了我们图六数时，则 g 是 多少，并且告诉我们用换 n 的 代数式来表示。 那这一个他的解法，你先根据 n 是 最小数，我们可以表示出其他的数，根据惯方的特点， 我们可以列出方程。那么 n 是 最小的一个数，其余的数是多少呢？哎，我们可以把它哎依次的把它写出来。 n 是 最小数， n 是 最小数，那么一是后面的数，分别就是多少啊。其余的数 有 n 加一， n 加二， 好，这是第一行的三个数，那么紧接着我们看第二行，第二行的第一个数应该就是 n 加十五，后面的紧接着是 n 加八，再后面的 n 加九， 好，这是第二行第三行所对应的数，就是 n 加十四，接着后面一个数 n 加十五，最后一个 n 加四个，这是剩一个数， 那么我们把剩余的数都表示出来了，又根据它们每一横行每一竖列加起来的值为把加起来的和是相等的，我们可以知道，把这些数加起来， 那就是 n 加上 n 加一，加 n 加 c 加 n 加九， n 加十四，加 n 加十五， 再加 n 加十六，那么所有的数加起来它是多少呢？我们可以算出来是九 n 加上七十二，那也就是这个方框里面所有的数字。九 n 加上七十二，那再根据它的同同列来观察 和六里面的数。 n 告诉你一个完整的，那就是 n 加几，还有一个 n 加十六，这三个数加起来它等于多少呢？因为每一同旁他们的数加起来都是一样的，所以它中间的 n 加 g 加 n 加十六，它应该等于这个所有数加起来的 三分之一，因为他们每一横行的数都相同，所以应该等于三分之九， n 加七十二，那么根据这一个 三分之九， n 加七十二，等于 n 加七加 n 加十六，我们可以解得 即等于 n 加八，所以答案就是 n 加八。 好，这个题它的稍微难一点的就是活动二的第四一问。第四一问主要是我们要能够掌握它换光的一个规律， 创造了一个规律，同一个数，第一行的第一个数永远是最小的，那么往后面一个数就是再加前面的一个数加一，以此推第二行的第一个数，他是第一行一个数需要加上七，同样的第三行的第一个数，他在第二行的 第一个数要加上七，因为为什么加七？我们可以一是可以通过图一这个日历来准备这样一个规律，二是 我们一个星期还有七天啊，这个题就讲解到这里。

一二三四五模型在近几年中考压轴中高频率的出现，包括去年中考也出现了，书上没有，学校老师也不教，但很多学霸都已经偷偷学会了，像这道求线断长的题目，常规方法十五分钟，一二三四五模型两分钟直接暴力秒杀。 今天老师用这一个视频一次性给你讲透一二三四五模型，学会后，考场遇到直接满分拿下来。看题 说，在正方形背景之下，给到正方形边长等于六， a e， 线段等于二，连接了 b e 之后，这里边点 f， 注意是线段 b e 的 中点啊，这是一个中点，接着有 f g 这条线段，还给到中间这个夹角，角 e f g 是 等于四十五度的，现在让我们求解的是这一小节线段 d g， 它的长度是多少？ 乍一看呢，题目非常的复杂，那从哪入手呢？说老师这里边正方形背景也没有看出什么我们经典的模型，但是这里头有个小小的突破口啊，就是这个 四十五度，对吧？我觉得那总是要和这个四十五度有一些密切的联系的，所以这里边就给大家补充一个经典的几何模型。一二三四五模型为什么起了这么一个奇怪的名字呢？和这五个数字相关，什么意思？先说结论啊， 如果我有角一角一的什么的，正切贪占特角一等于二分之一，接着我又有一个角是角二，并且我又知道啊，角二的正切贪占特角二是三分之一， 那这时候我一定有一个结论，就是角一加角二度数之和等于四十五度。 来看这里边出现的数字，你看二分之一有二三都凑齐了， 接着角一角二度数之合四十五度，你看最后那俩数，四五也凑齐了，这就是我们说的一二三四五模型。当然，模型从左往右， ok， 从右往左也是可以的。从右往左是什么意思？注意我这里边啊，给大家画三个圈，圈一，圈二，圈三， 已知一二两个条件得圈三可以，但如果我给到圈三这个条件，比如再加上一个圈二条件，哎，那我反推到圈一的结论也是 ok 的， 也就是三者之中已知其中两个条件，都能得到第三个作为结论。 那么已知这个模型之后，这道题我们是可以直接秒杀的。但是我再多说一句啊，说到一二三四五，很多同学都会诧异啊，说，老师这个模型是怎么证明的？那今天老师就用最简单的网格图中带大家稍稍来梳理验证一下这个事情。 那么在这样一个网格图中，每一个小格子它的长度是相同的，都是一个单位长度。那这时候啊，请看我黄颜色的这个角，就是我的角一 角一的正切是什么？在我黄色三角形中，对边比邻边角一的正切刚好是二分之一，对吧？一比二，那我再画一个角角二，他的正切呢，等于三分之一，我在角一的下方啊，共顶点出发，我再做出这样一个角二来， 粉色的这个角是角二角二的正切呢？粉色的这个直角三角形中，对边比上邻边，是不是一比三，角二正切等于三分之一？好，那此时能否得到角一加角二的和是等于四十五度呢？请大家跟我一起来观察一下啊， 如果这个点是 a 点，这个点是 b 点，这个点是 c 点的话，我把 bc 轻轻地给它连起来，大家来看啊，此时我能否在网格图中去求一下整个三角形 abc， 它的三边长呢？当然可以，对不对？这是一，这是二，所以 ab 边长是 根号五，这是一，这是二，所以 bc 边长是根号五，这是一，这是三，所以 a c 边长，根据勾股定律是根号十啊。所以根据勾股定律的逆定律，我知道了这个 ab 方， ab 方 加上了 bc 方，现在刚好是五加五等于十，刚好等于这个 a、 c 方，所以我就一定能够得到的是角 abc 等于九十度。勾股定律的逆定律，那也就得到了啊。此处是一个大直角 大直角，并且这两条直角边长度还相等，所以它一定是一个等腰直角三角形，因此角一角二度数之合确实等于 四十五度，证明得到了结论。这是我们网格图中来证明刚刚一二三四五模型的一个结论的思路。模型有了结论，咱也证明了。再来观察这个题目，出现了特殊角四十五度夹在正方形的内部中间的一个位置， 所以我如何来进行这样一个长度的计算呢？我能否通过已知四十五，把已知角一角二度数和的那两个和为四十五度的角给他找出来， 显然可以，对不对？正方形中，我们充分利用到对边互相平行，邻边互相垂直的这样的条件，所以我过点 f， 我 做水平和竖直方向的两条线，也就是过 f 向 c、 d 做垂啊，做垂，这里是 m， 再向 a、 d 做垂，这里是 n， 做垂之后，你看出现这两个小角角，这个是角一，这个是角二。请大家来观察角一的正切途中， tangent 角一应该等于多少？ 我说角一和这个角角三，它的度数一定是相等的数值，这两条线互相平行，同位角相等，对不对？那么角三呢？在大的直角三角形 a b e 之中，它的正切就是 a e， 比上 a b 也就是二，比上六，也就是三分之一。我还有一个条件啊，角一加上角二，度数之和显然是等于 四十五度的，对吧？因为总共啊，这里是一个九十度大直角呀！已知这两个条件，我就一定能够得到一个结论，叫做 tangent 角二，角二的正切一定等于二分之一啊！所以我在黄色阴影的这个直角三角形中， tangent 角二是不是 g m 比上这个 f m， f m 多长？注意，这有中点啊，所以 e n 是 二的一半，这节是一，那么 d e 呢？就是整个正方形边长， d n 呢，就是六，减一等于五， d e 就是 四，对吧？所以我的 d n 和 f m 相等都等于五，因此 g m 呢， 一比二，五的一半，二点五， d g 竖着这条线段六的一半，这是三，三减二点五，所以 d g 问号线段长等于零点五，长度 就求出来了。所以这道小题已知一二三四五。模型之后，你只需要简单的做垂，做垂之后，直角三角形中三角函数直接求得要求的 d g 线段长即可，你学会了吗？

今天我们学习的是几何变换之对称。今天讲平移对称吗？我们再讲一讲对称的处理。对称怎么玩呢？首先你要知道，我们刚才已经讲了，对称它本质上是给了全等 a、 b、 c。 关于 a、 c 对 称到 a、 b 撇 c 对 称的本质上是给了全等，那么全等，但凡看到全等一定要同步信息。 所以但凡看到对称，我要做的第一件事就是同步信息，比如说这有三，这也有三，这个 r 发角，这个 r 发角，这个求线段 x， 它也是 x， 这是对称的第一步，任何时候看到对称，你就要去同步信息，好，这是第一步啊。好，来。第二， b 和 b 撇是关于 a、 c 对 称的， 那么我连接 b、 b 撇对称点的连线是被折痕垂直平分的啊，是被对称成垂直平分的，所以我连对应点就可以得垂直平分，所以我应该连对应点。 b 和 b 撇是对应的，可以得垂直平分。这个对应点还有什么连法呢？我还可以 对称轴上的点，我去连 p b 和 p b 撇，它也都会相等，得到更多的等线等角，所以这就是连对应点，要么直接连得垂直平分，要么对称轴上的点去连对应点，这是对称的第二个操作连对应点。所以呢，以后啊，但凡看到对称两个字， 第一无脑的去同步信息，第二连对应点。好吧，第一无脑同步信息，第二连对应点。好，来，我们来看题感觉一下吧，看题感觉一下，那么同步信息一定要做好。什么？一定要做好标啊，你相等的量，你要把它标出来，好吧，首先要标啊， 他说这是四，这是六，那标一下对边嘛，这也是四嘛，这也是四。好，再来，沿着 a、 c 去折叠，沿着 a、 c 去折叠，那你要知道这个六，你看一，但凡看到折叠两个字，先同步，但凡看到折叠，养成习惯先同步，同步的动作就是标。信息嘛， 就标嘛，这条线段是六啊，那这条线段它也是六，这条线段是四啊，那这条线段它也是四。同时你会发现，这个角得到这个角，这个角贝塔翻折，得到这个角，贝塔同时不要忘了平四，一定要去标对面啊，这个角也是贝塔，对吧？然后呢，还有什么？ 还有他又说 b、 a、 c 等于两倍的角 d、 a、 c， 那 所以这个角是二。 r 法啊，这是 r 法，那这也是 r 法，就是你看，标完了以后，就是这个已知条件已经极度丰富了，标是你开始思考的前提。那么标完了以后呢？那你会发现我首先就看到什么呀？标完以后，那么 这个三角形就和这个三角形相似来，阿尔法角等于阿尔法角，贝塔角等于贝塔角，那么这个相似就可以帮助我们求得谁啊？由三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 d、 c， 我 就可以求得谁啊？ b、 e 就 出来了，它就是 ab 比上一个 a、 d 就 等于 b、 e 比上一个 d、 c， 对 吧？ ab 比 a、 d 就 等于 b、 e 比 d、 c。 好， 那接下来 ab 是 多少？ ab 是 四，比 a、 d 是 六，就等于 b、 e x 比上一个四，所以 x 就 等于多少。六分之十六就等于三分之八，所以 b、 e 就是 我们要求的，所以答案就是三分之八。结束。所以你会发现啊，这道题只要你把这个翻折的条件无脑的给它标全，然后呢，你要求 b、 e， 你 要求的这个线段往三角形里一放，你自己就看出来了，所以翻折同步信息标是多么的重要。 好了，这是我们通过一道题给大家强调一下标的意义来，接下来我们来还是上一道综合一点的题目， 那这个题说啥呢？说这是一个六十度的菱形，六十度的菱形，这都是二，这都是二，然后他把这个三角形翻折，得到这个三角形，哎，把这个三角形翻折，得到这个三角形。 a 落在 e， 刚好是 dc 的 终点，那这两条线都是一了， 对吧？这两条相同，都是一。好了，最后让我们求这个角阿尔法的正切值，那其实也就是求这个角阿尔法的正切值，因为翻折这两个角相等。我们刚才说了，翻折有两件事要干，第一叫同步信息，这里的同步信息，比如说这个六十度，这个六十度，这个阿尔法，这个阿尔法，然后呢， af 和 ef 相等， a、 g 和 g、 e 相等，对吧？这叫同步信息一、同步。二、同步信息完了以后，你会发现有一个最大的问题，现在这个阿尔法角不在什么三角形里，他不在直角三角形里，那这个时候我怎么样才能把这个阿尔法角放进直角三角形？最简单直接的方法就是连 a e， 我 一连 a e， 这就垂直平分，这是中点，这两条线段相等，就得到了直角阿尔法，就进到了直角三角形中，所以一定要连对应点，你看，这就是翻折的基本功。 当你看到了翻折，看到了这样的角度，你想把它放进直角三角形连对应点，那接下来我就是要求嘛，对不对？那我要求，我就比如说我就在这个三角形内，我就是要求这些线段长嘛？要求线段长 有一个很重要的条件，咱得把它用起来，哪个条件就是这个终点，这个终点大家会想到怎么用？结合六十度，你要想好六十度的菱形， 六十度的菱形它本质上是由两个什么三角形拼出来的，两个等边好不好？六十度的菱形，本质上你把 d、 b 一 连，它是两个等边三角形，对不对？好，相当于其实我是给了一个等边三角形的终点，我应该去干什么？ 三线合一嘛，对吧？三线合一嘛，所以我一定是连谁，一定是连 b 一， 连 b 一 就会三线合一，你会发现这个九十度，哎，那对面注意啊，平四一定要注意，不要，对面这个是九十度，那么这个也九十度，这两个角都是九十度， 同时这个是一，这是二，那这条线段就是根号三。好，那么现在我再回顾一下，我们要求什么呢？我要求这个角的正切值，我把它放到这个三角形里看，所以其实我是要求什么呢？其实我是要求 a、 h 和 h、 f 的， 而一旦我现在有了，这是根号三了，那么哪条线段其实已经可以求了？ a e 已经可以求了， a、 e 是 不可以放到这个大三角形中看，这是九十度，这是根号三，这是二，那么 a e 是 根号期， a e 是 根号期，那么 a h 就是 二分之根号期， 所以 ah 有 了，我现在只需要求 hf， 或者我求 af 都可以，那么 hf 和 af 我 可以求谁呢？ af 可以 求，为什么说 af 可以 求？因为 af 翻折得到 afe。 那 我只要设这条线段是 x 等量嘛，你就设嘛这条线段也是 x， 那 么 x 就 可以放进哪个三角形里去求了。因为这全长是二，那么这一段就是二减 x， 那 么这个三角形当中，咱就可以放进哪个三角形里去求 x 了。 就是 rt 三角形 b f e 中，我就可以勾股定截，就是 x 的 平方，就等于二减 x 的 平方，再加根号三的平方，那么 a f 就 出来了，这是硬算的办法。但是这道题其实还有巧算的办法，巧算怎么算呢？你看， 我们求一个求阿尔法的三角函数值，我们说求三角函数值，你可以硬算，也可以怎么样，也可以想办法看一看能不能换角来求，就是换一个更好的角度，去求它更好的位置的角度。 怎么换呢？这里面你观察一下，什么角特别多，直角特别多，这是九十度，这是九十度，这是九十度。这么多的九十度，那么直角多，我就可以看。什么 直角多，我就可以看互余吗？你看，又来了，你看同样的逻辑是不可以用在无数的地方，直角多，我就可以看互余。直角多看互余。怎么看呢？你看这个角是阿尔法，这是九十度，他的余角是贝塔， 对不对？再因为这个是九十度，那么这个角是贝塔，就会导致贝塔的余角是阿尔法，他跟谁互余？放到这个三角形当中， 它和这个角是互余的，所以这个角就是 r 法，这叫换角。我通过导互余，我把这个 r 法就换过来了，我求它的正切值就好了， 而它的正切值是多少，就是二比根号三，所以贪婪它 r 法就等于对边比邻边就等于二比根号三，所以答案就是三分之二倍根号三。结束。首先我给你讲第一种硬算的方法你是一定要会的， 而第二种方法你也不要觉得那么厉害多少。第二种方法最核心的就是你理解了很多底层的逻辑，当你看到很多九十度的时候，三个九十度的时候，你能够从之前学的知识当中迁移过来 很多垂直我就看乎于得等角，你把这个底层逻辑掌握清楚了，他不但可以帮助你解决三角函数，他甚至还可以在这帮助你求三角函数，这就是底层逻辑理解以后的价值， 而不是你背一个什么矩形十字架，几 b 几。你看，通过两道题，马哥都是有一些设计在里面的啊，这道题重点跟你讲什么？就是这道题重点就跟你讲同步， 你翻折叫同步信息，你同步信息，然后你把它标好了，这道题就结束了。这是比较简单基础的翻折问题，但是比较上难度的翻折问题，就需要你主动的去 连对应。通过两道题给你感受一下什么叫同步信息，什么叫连对应，现在对，这就是翻折的基本操作，而翻折是中考最最最最最最常考的几何压轴题，都快没有之一了好吧。而这两个操作是翻折的为二的两个操作，这个不光是做多， 关键是你在意什么，如果你学每个模型的时候，你都是在意它的结论，你做的再多也没有用， 如果你在意的是底层逻辑，你才能很好的去成长。所以千万不要觉得我刷很多题我是不是就能成长？不是这样的，很多小伙伴刷再多题都没有用，因为他在意的东西不对，就是关键你在意什么？ 你在意的东西错了一定是事倍功半。马哥是不是在反复在让你去感受为什么要重底层逻辑，为什么要重推导？为什么不要去在意结论？

今周初三的同学们啊，如果大家的中考分数想稳定在一百一十分以上，那么填空题的最后一题肯定是不能丢分的啊。 填空题最后一题的热点之一呢，就是结合动点加函数图像的结合啊，这道题肯定是高分的分水岭啊。这类题就两大核心，第一个动点的运动，第二个对应的函数的图像啊，我们先看动点啊，动点分为单动点还有双动点，是吧，有两个动点 啊，然后再看运动范围，那么主要是在三角形当中运动，或者是说你是在四边形当中运动，那么如果是考三角形运动的话，他大概率是考直角三角形啊，或者等边或者等幺三角形是不是？如果是考四边形的话，那肯定就是考平行四边形啊，菱形啊，矩形啊，正方形等等等等啊，他肯定不会去考一些 不特殊的图形，对不对？比如说啊，随便考一个呃，不规则的什么锐角形形，或者随便考一个什么四边形，他没有任何特征的，他不会这样考的啊，每个图形都有他各自的特征啊，我们自己在分析这个动态的过程中的时候啊，题目他肯定会默认你知道这些特征， 他不会明着告诉你的啊，所以说在分析的过程当中，要一定要时时刻刻的提醒自己啊，这个图形有什么特征？这是第一个哈。再来看第二个，就是他的函数的图像的一个走势，函数图像走势主要是考两大类，第一个是这个一次函数的这个限性的 走势，第二个就是二次函数的这个抛线的一个走势，对吧？那比如说像这次的金周大调，那么就考了一个这个限性 加上抛线的运动，那么二零二五年的这个中考呢，他就只考了一个二次函数的，一个抛线的一个走势这类题。他没有简单的送分题啊，全部都是拔高的这个拉分的题目，针对性的刷题才是捷径啊。我整理了四十五道精选的压轴题，从易到难啊，都是分层排版的。 如果是四边形不太行的，哎，那我们就主练跟四边形有关的动点，是吧？如果是三角形不太行的，那我们就主练三角形有关的。那如果是二次函数和这个几何图形结合的，那我们就主练跟二次函数图像相关的这个几何图形的运动 啊。精准刷题肯定是比盲目刷题效率要高很多的啊。想要这份专项资料的评论区，直接打填空压轴哈，我免费发给大家。

今天我们通过两道题来讲模型辅助线里面非常容易忽略的三线合一。大家好，我是蔡老师，我们今天以一个专题的形式来讲一下等腰三角形，在题目里面识别出来之后，如何去把三线合一这个知识点就给它利用起来。 我们先来读题，在一个菱形 a、 b、 c、 d 中边长告诉了等于二，告诉了一个特殊角是六十度，所以在这个菱形里面，它其实是由两个等边三角形构成的。 现在 e 和 f 分 别是 a、 d 和 c， d 上的动点，我们现在将三角形 d， ef 沿着 ef 进行翻折，翻折之后，由于这个对称性，我们可以得到 d， e 和这个 e、 g 是 相等的。 再来这个地点呢，落在了这个 b、 c 边上的中点 g 处，这个地方是一个中点，那我们可以知道，就是在这个背景里面是一个菱形，所以对于这个菱形来说，我们连一个对角线可以得到，它是两个等边三角形组合在一起。 那现在在这个等边三角形 a、 b、 c 里面告诉了一个底边的中点 g 是 一个中点，所以在这个地方我们就可以进一步的去连接 a， g 啊，这就是隐藏了一个 等腰在里面，所以我们去连接它的三线合一。那这个角 a、 g、 c 是 一个九十度，由于菱形平行，所以我们可以得到这个角 g， a， e 也是九十度。为什么要这么去操作呢？因为我们题目要求的是个 d e， 这个 d， e 在 这个地方啊，它是我们不知道的一个信息，所以我们一般来说问什么射什么球，心的长，要么用勾股定律，要么用相似啊，它是一个比较 好的一些思路，我们这个地方都衍生出来了直角，大概率是用勾股定力去解决问题。现在我们把 d 一 设一个 x， 那 这个 g 一 也是 x， 由题目信息编成是二， eg 是 一，所以 a g 等于根号三，那这个 a e 啊，我们可以表示为二减 x， 所以 就可以得到。在 r t 三角形 a， e， g 中，我们有的是 a g 的 平方，加上 a e 的 平方，是等于 e g 的 平方。好， a g 啊，它是根号三，它的平方是三， a e， 它是二减 x 的 平方， 而 e 记啊，它是 x 方，你把这个方程给它解出来就行了，刚好它是一个假的二次方程啊，那我们得到 x 方减四， x 加四乘以三等于 x 方等于四， x 等于七， x 等于四分之七。 这样我们就可以把这道题目去求出来。用到的知识点其实比较清晰，那就是当题目告诉了这个菱形的背景，又加上六十度的时候，我们就可以拆解成两个等边三角形， 再来又告诉了中点，触发了三线合一里面的这个中线，那我们连接这个三线合一，得到垂直同了从， 从而通过这个菱形对边平行转换出一个新的直角。所以我们的这个线段啊，是通过这个翻折同步信息过来，放到直角三角形里面，用勾股定力去解决问题。 我们再来看一下这一道题，这道题呢，它的一个解题策略是在矩形 a、 b， c， d 中， e 和 f 分 别是 b、 c 上的三等分点。 题目有告诉这个 ab 和 bc 的 长，所以我们要用到它的这个数量关系。在这个地方，我们优先去处理它的一些数据，所以要用到一个标注信息的习惯，那我们给它的这个 标上信息， ab 是 八， dc 也是八好，然后 bc 是 十二，那这边是三等分点就是四四四 好，上面是十二。那我们从这个题目信息是不是可以转换出三角形 a、 b、 f 和三角形 c、 d、 e 都是两个等腰直角三角形，哎，这些角啊，它都是四十五度角， 以及这两个角也是四十五度角，所以我们题目会比较的清晰。再来这里要翻译的是一个贪停角， g、 c、 f 在 这里啊，贪停角，所以我们去构造一个 直角三角形啊，放在个直角三角形里面，把这个角 gcf 给它标示出来， 现在要求这个角的摊顶值，就需要把它放到一个直角三角形中，那我们基于这个等腰的一个属性，那 我们直接过 g 点往 b c 上做垂取一个 h 点，也就是题目的信息又转化成了 g h 比上 d h， 而 d h 可以 快速通过三线合一转换，整个长度是四，所以一半就是二，四加二，它等于六。再来看这个 g h 等腰直角三角形，所以 g h 也是二， 它顶角就等于三分之一。这两个题目都是和等腰三角形的处理结合，我们等腰三角形考的两个性质，一个是等边对等角等边，一个就是三线合一，在考试的时候经常可以把这两个性质 在考试的时候，通常来说三线合一是我们做辅助线的一个突破口，而性质一可以通过一些倒角的思路帮助我们去得到这个等腰三角形，那我们正线段的等量关系可以用到性质一 等角对等边去倒角实现。那在题目里面一些稍微复杂的信息，如果和直角结合，或者是和求其的长的勾股定力结合，我们就要用到这个三线合一的属性。这就是今天给大家分享的内容，你学会了吗？

二零二六宜昌中考今年宜昌作为湖北中考数学的主命题城市，宜昌地区的模拟卷一定要多关注。今天给大家分享的是宜昌新林区上周刚考完的二模试卷，整套试卷质量极高，没做过的同学一定要做一遍。 需要试卷的家长评论区中考加油！它的题型设计和难度配比与目前湖北新中考高度匹配。接下来我们来看看整套试卷它具体好在哪里。选择题压轴，第十题 考察全等难度，中档构造直角三角形是解析关键，没想到构造的同学用我们的间隙法也可以直接秒填空。压轴是第十五题，他考察动点图像问题，结合了将军印马，难度略高于二五年中考 解答题。十六到十九还比较常规，要注意审清题格式规范，特别是第十八题锐角三角函数实际应用，一定要注意它的精确度。需要特别重视的是，第二十题 考察的是近位置，这是今年数学中考中实践与探索的热门考点，近位置的转换及运算法则一定要搞清。二十一题，圆的考察，他是求线段长，用勾股 定律或者相似啊，都能求解。二十二题的实际应用紧密结合我们的生活实际，出题还算比较灵活。本题难度不大，但在这次考试中得分率非常低， 要特别注意审清题。二十三题几何压轴，它考察旋转相似，最后一问第二小问， 额外的九分要全部拿到手。二十四题二次函数压轴，与二五年中考的特征举行相似，但对大多数同学来说，肯定依旧具有难度分类讨论和较大的计算量使得难点所在可以好好的再念一次。整体来说，这是一套很贴近中考的一套模拟卷。关注加点赞，范老师后续会出详细的视频讲解。

接下来的湖北几何复习，目标是教会大家学会使用几何，分类几何。同学们好，我是蔡老师，今天老师想给大家分享的是我们在解决几何题时要有一些模型思维，我们的模型不需要记太多，只需要记老师现在给的这五个模型即可。也就是看到交叉想八字形的全等， 看到共顶角加两组等，线段相等，想手拉手形的全等或者是相似，看到一线三等角啊，也就是直线穿直角形，我们去想到往两边做垂，去构造出全等或者是相似。 再来就是前面两个视频给大家分享的绊脚模型，九十度里面加四十五度，或者是一百二十度里面加六十度，以及这个六十度里面加三十度啊，都是我们比较容易想到的这种绊脚模型。再就是三线合一，现在这道题有一个一点，在三角形 a、 b、 c 的 内部， 我们有两组角等分，一组角是明确的六十度一组角，这里有一个阿尔法这个不确定的角的度数，然后再来给了两个特殊角，分别是一百五十度和九十度。我们第一问说，当阿尔法等于六十度的时候，需要判断三角形的形状，以及去求一个线段之间的等量关系。 那我们来看一下题目的信息，做一个基础的标注。先看第一个等角，我们先把这个弧度标上去，角 abc 等于角， abc 等于六十度，角 edb 等于六十度， 两个六十度相等，加上两个等角，那第一位里面给了如果 r 法等于六十度的时候，那我们可以知道，其实上这是两个等边三角形叠在这个 b 点处，也就是我们可以很快想到 这个手拉手模型存在在里面。好，那第一问，它需要判断这个三角形 e、 b、 d 的 形状， e、 b、 d 啊，就是一个 等边三角形，这应该非常好做出来。第二问，需要求证 b、 d 等于根号三倍的 a、 e。 好， 这里呢，我们就会有一些信息的一个积累，比方说 b、 d， 它可以转换到 d、 e， 也可以转换到 b、 e， 还有就是从题架里面特殊的这个六十度，我们可以得到一组这个手拉手存在在里面，所以在这里啊，同学们可以很快想到的一个辅助线，应该就是连接 c、 d， 为什么呢？因为已经有两个 等边三角形共顶点放在一起了，所以我们就可以顺着题目的信息去得到一个牵引点，也就是辅助线怎么去给他做出来。 连完 c、 d 之后，我们可以快速得到这个 a、 e 啊，它是等于这个 c、 d 的， 由三角形 b、 a、 e 和这个三角形 b、 c、 d 全等得来的，所以这里的 a、 e 和这个 c、 d 是 相等，那我们就可以转换成题目，要证 b、 d 等于根号三倍的 c、 d， 也就是要探索这个 b、 d 和 c、 d 之间的这个根号三倍的关系。我们知道等边三角形，所以 b、 d 是 不是可以转到这个 d、 e 来，也就是去证这个 d、 e 是 等于根号三倍的 c、 d 啊？ 好，那现在这个题目就是非常的清晰了，也就是要去证这个三角形 e、 d、 c 是 一个三六九三角形， 那我们看题干里面，这里是不是可以服务它角 a、 e、 b 是 一百五十度，这里是一百五十度，有全等，我们可以得到这个角 b、 d、 c 也是等于一百五十度，所以我们可以得到这个角 e、 d、 c， 它就等于九十度啊，这里是个垂直。 好，再来题目里面的这个信息，角 b、 e、 c 是 九十度， b、 e、 c 是 九十度，那角 b、 e、 d 啊，等于六十度， 角 b、 e、 d 是 六十度，那我们得到角 d、 e、 c 就是 三十度。好，两个角也出来了，就是由这个模型的全等带来的一系列的信息同步，所以我们可以决定啊，它就是一个三、六、九三角形，那这里的等量关系也就成立了。 好，我们再看第二位，现在这个角 r 法变了，变成九十度了，我们前面的是手拉手型的全等，那现在角变了，是不是有可能就变成了手拉手型的相似，对不对？这是我们思维的一个牵引，那角本来是两个六十度的角，变成两个直角啊，叠在一起，所以 刚刚连的辅助线 c、 d 在 这个地方， c、 d 是 不是依旧去给他连起来？手拉手这个结论是不变的，所以我们可以得到 三角形 b、 a、 e 是 相似于三角形 b、 c、 d， 它们之间的相似比，也就是 b、 a 比上 b、 c 前面的六十度啊。 a、 c、 d 是 六十度依旧能用，还是在三、六、九三角形的背景里面，所以我们可以得到的是它们之间的这个比例关系啊，是 根号三比一的关系。我们再看题目里面这个前面的直角能不能用得上这个一百五十度？ 嗯，刚刚的一百五十度。在这里， a、 e、 b 的 一百五十度是不依旧没变，所以 b、 d、 c 的 一百五十度没变，那角 e、 d、 b 的 这个六十度也没变，所以这个直角啊，依旧是存在的。好，再来这里的 九十度的直角是不是没有变？然后我们题目里面信息角，这 b、 e、 d 是 不是还是个一百五十度的补角，三十度也是没变的，所以啊，这里的六十度，所以三角形 e、 d、 c 它的三六九三角形依旧是确定的。好，那这个 b、 d 啊，和这个 d、 e 之间之前是相等，现在 b、 d 和 d、 e 是 不是在三角形 b、 e、 d 中，它不是等边也是个三六九？我们把两个题目的信息当九十度发生变化，什么东西变了，是不是三个地方都变了，去给它罗列出来，我们就可以很清晰的知道这道题该如何去操作。 看这道题的目标，它要求的是 b、 d 比上 a、 e， 我 们就尽量的把这个 b、 d 啊去往 a、 e 上面去导，现在呢，这个 a、 e 和这个 cd 之间的关系，我们已经构造好了。好，再来看这个第二步啊，三角形 e、 d、 c 中 e、 d、 c 里面，我们的 cd 和 d、 e 之间的关系，我们去给它找出来，也就是 cd 比上这个 d、 e， 我 们是等于根号三比一。那在第三步里面，这里啊，要去探索 b、 d 和这个这里的 d、 e 的 关系，那这个 b、 d 比上 d、 e， 它是等于一比上二啊，这里的关系就有点变化了。现在题目要求 b、 d 比上 a、 e， 也就是要把 b、 d 和 a、 e 间的关系找出来， 我们发现这个地方 a、 e、 c、 d、 c、 d、 d、 e、 d、 e 和 b、 d 是 不是刚好可以形成一些关系的转换？所以我们先用这三个式子来变形一下啊，得到第一个式，得到 a、 e 等于根号三倍的 c， d。 第二个式子可以得到 cd 是 等于根号三倍的 d， e， d， e 是 等于两倍的 b， d。 所以 把这个式子去进行一个族积相乘啊，我们可以得到 a， e 是 等于根号三倍的 cd， 又等于 根号三倍的 d， e 又等于三倍的 d， e 就 等于六倍的 b， d， b， d 比上 a， e 就 等于六分之一，这是我们题的最终答案，那在做这个题的时候，我们发现做的思路是比较清晰的，原因是因为由这个模型快速识别出了手拉手在里面的一个转换，所以我们可以知道，如果是等角的话啊，我们这边是手拉手，现在全等， 而这个地方是手拉手型的一个相似，都是一些特殊角，所以他的一些关系我们可以快速翻译一下，一些基础的模型学会了之后，我们有一些信息会叠加在里面使用。比方说中点的四种打开方式，角平面线的三种打开方式，还有四十五度角，三十度角的一些剪三角形的处理啊， 都是我们比较常考的点，大家可以进行一个更加深度的学习，这样的话可以对几何有一个更加清晰的把控。这是今天给大家分享的几何知识点，你学会了吗？

中考必考模型，手拉手模型好朋友们，那么接下来我们看一道和手拉手模型相关的题目，说如图啊，等边三角形 abc， abc 是 一个正三角形，所以我们知道每个内角应该都是六十度，那么这个角它应该是个六十度，这个角也是一个六十度啊， 咱们上面这个角它依然是一个六十度。接下来它说在 a、 c 上有一点 d， 然后三角形 d、 b、 e 也为等边，所以呢，我们看啊，等边三角形都已经共顶点了，一定要想的就是 手拉手模型了啊，那么它也是一个等边三角形，所以这个角还有这个角它都应该是六十度， 这个角啊，它也是一个六十度。接下来它说若 b、 c 的 长度是二，然后让我去求三角形 a、 d、 e 的 周长，那么我们先去找到这个大手和小手啊，我们管长边叫大手，从一个顶点引出来四条线段，咱们来看，是不是有啊，两两相等， 那么这个和这个等，这个和这个等，所以我们管长边叫做大手，这就是大手。管短边叫小手，这就是小手。所以一个大手牵一个小手，咔嚓一连连接 a、 e， 它已经给你连好了，另外一个大手牵个小手连 c、 d 也已经连上了。所以接下来必然会出现我们手拉手模型的全等，它的本质就是一个旋转全等。所以我们知道三角形 a、 b、 e 这个三角形，它应该和谁全等呢？ a、 b、 e 这个三角形和 c、 b、 d 这个三角形 它应该是一个边角边的全等，为什么呢？这个角六十度，这个角六十度都减掉中间这个叉角，剩下的这两个点角应该是相等的， 所以是一个边角，边的全等，全等永远不是目的，目的是得边等，得角等。所以 a、 e 这条边，它应该和我们 c、 d 这条边是相等的，我可以都设它是 x， 那 么这边长是 x， 这边长是 x， 根据我们的这个 b、 c， 它的边长是二， a、 c 也是二，所以 a、 d 这个长，咱们应该知道它就是二减 x， 所以 这个长就是二减 x。 接下来我们可以把另外一个等边三角形的三边给它设出来，咱们可以设它是 y， 那 么这个边长是 y， 这个边长是 y， 所以呢，我们要求的是这个三角形 a、 d、 e 周长的最小值。三角形 a、 d、 e 的 周长，咱们怎么去表示呢？是不应该是 x 加上一个二减 x， 然后再加上一个 y， 所以 是不应该就是二加 y， 那 么我们现在要想求的是这个周长的一个最小值，是不是就转化成求这个 y 的 一个最小值就可以了？那我们这个 d 点啊，它是一个动点， 那么是不是应该是垂线段最短，所以应该是垂直的时候最小，那么我们现在就可以假设他是垂直的，如果这个角是垂直的话，这是六十，这是九十，所以这个就是三十度。所以你的三边比是不应该是一比上， 根号三比二，大家不要看错边啊，是三十度对的是一份，然后呢我们六十度对的是根号三份，这个九十度对应的是两份， 所以是一比根三比二。因为 bc 就是 二，所以这就是根号三，这就是一。那么接下来我们看啊，咱们的 y 就是 根号三，所以最后呢，我们来代进去就可以了啊，它就应该等于的是二加上根号三， 所以这道题最后的答案它的最小值就是二加根号三。好朋友们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之全等相似处理、等量和比例。前两讲呢，我们讲的是非常基础，也是非常核心的内容。比如说今天我们会讲全等相似对于等量和比例的处理。全等相似它最核心、最核心的价值 就是给我们提供了当你在几何问题当中遇到了等量关系，遇到了线段的比，应该怎么去处理，对吧？我给大家举个例子啊，大家现在拿出来一个本子或者一张纸，你跟我一起画图来感觉一下，比如说， 哎，这有一个三角形，这有一条线段 a， 这有一条线段 b， 这个加角是 r 法，然后这条线段是 c。 好 了，那现在呢？我给了你一组等量，我这又有一个线段也是 a， 好，这有一个 a， 这有一个 a。 那 么题目当中呢，相当于你就看到了一组等量关系，一组等线，那么这组等线怎么样才能用起来呢？他如果在同一个三角形当中，那等线对等角，你就把它用起来了，对吧？但是他们俩离得这么远，你唯一能够想的是去干什么？兄弟们来想一想，现在 两条等线不挨着，离得这么远，他们不可能放到同一个三角形去处理，那只能放到不同三角形去处理了啊。那么不同三角形哎，离得这么远，你会有什么想法？你只能把它放进全等三角形了。怎么放进全等三角形呢？那我们观察一下，因为这给了一个角度而法， 所以呢，我给这也来一个角而法，并且在这条射线上，我截取一条线段等于多少？ 我再截一个线段等于 b。 好 了，那这个时候你观察一下，这是 a， 这是 a， 这是阿尔法，这是阿尔法，这是 b， 这是 b， 那 么这两个三角形就怎么样了？是不是就全等了？ 全等以后呢？我可以拿来干什么？我就可以同步信息了。你比如说这条线段是 c， 我 就可以得到这条线段也是 c， 同时这个角是 beta 呢，这个角也是 beta， 这个角 c， 它这个角也 c， 它。你会发现，我就由原本的一组等量， 通过构造全等三角形，就得到了一堆的等量关系，我还把这个已知量 c 挪了位置，这就是通过全等去用起来等线，这叫全等对等量的处理， 这是最底层，最底层的我如何用好全等？当你看到了等线怎么办？想办法把它放进三角形，放进全等三角形构造全等。好，这是第一个逻辑，这是处理等量啊，那假设我这有一个 a a， 那 么这有一个线段二 a， 哎，你看，我这有一个 a， 这有一个二 a， 我 给了你一个一比二的比例。线段看给了你比例，那这个比例我又应该怎么样才能把它用起来呢？我刚才说了，有等量我就可以造全等，那如果有比例呢？我就造相似，并且我还知道我造出来的一定是相似比为多少的相似 相似比为一比二的相似，那同样呢，这有一个角 r 发，我给这也来一个角 r 发，那么并且呢，这次我在这条射线上应该截取一个线段等于多少二 b 嘛？对不对？我截一个二 b 出来好了，这下观察， 我把这一条这两个端点一连，你会发现这是 a， 这是二 a， 这是 r 发，这是 b， 这是 b， 两边成比例加角相等，那么这两个三角形它就是什么？它就是相似的关系， 对不对？那么同时呢，我可以得到这个是 c， 这个就是二 c， 哎，我通过造一个相似，我就把这个 c 挪到这，并且还给它乘了二，同时呢，依然可以得到贝塔等于贝塔， c 塔等于 c 塔，得到了等角，得到了乘比例的线段，这就是 通过构造相似去处理什么比例关系，处理线段的比，这就是我全等相似对等量对比例的最基础的使用逻辑，非常非常的底层了。就你其实造所有的相似，比如说未来我们会用模型来造相似，它的逻辑其实是一样的。比如说，哎，我这看到了一个， 这是 a， 这是二 a， 这是 r 发角，这是 r 发角，那这时候怎么办呢？这个 a 和二 a， 我 也得想办法 把它放进一比二的相似里，怎么放？只不过这次这已经有等角了，我只需要再把它捅出来，这是，这是 c， 它，这也是 c， 它，那么这两个三角形就相似，我就可以得到这是 b， 这是二 b， 这是 c， 这是二 c， 这就是八字相似的构造。 哎，虽然他是用模型思想，我去就直接解决了，没有那么多分析了，但是他的底层逻辑还是，当你看到了比例线段，我得想办法把他扔进相似三角形当中，这个逻辑可以解决解释一切的相似构造。什么是底层？就一个逻辑，越底层，他能够帮助你解释的问题就越多， 对吧？像这个你就不能仅仅记一个，我把他捅出去，你更重要的是什么？去理解他为什么能这么干？因为你一旦把他捅出去，等角和比例关系就进到三角形就会有相似，这是我们处理了，这叫什么？等线？ 从他到他叫处理等线，从他到他叫处理比例线段。那么还有一种啊，就是纯粹看到了等量，除了等线还还会有什么？还会有等角吗？比如说，哎，我这有一个 r 发角，并且我知道这是一，这是二，这是根号五。哎，我在这看到了这样的一个三角形，同时呢， 我在这这也有一个 r 发角，那这次呢？怎么利用这组角相等？大家想一想， 处理等角离得这么远的两个等角，我怎么样才能把它用起来？我就做垂线吗？你想，已经有一组等角了，这有一个直角，那我给这也凑一个直角，我给这也凑一个直角，那么这个阿尔法和这个阿尔法，这个九十度和这个九十度，是不是就造成了这两个三角形相似？ 那么这个三角形的比例关系是不是就完全可以复制出来？我就知道这是 x， 这是二 x， 这就是根号五 x， 你会发现这就是对等角的处理。我看到了两个角度相等了，离得这么远，我只能想办法把它干什么？放进带有等另外一组等角的三角形就造成了相似，所以这叫等角造相似。好，你看我们讲了哪些东西？ 等线造全等比例线段造相似，如果只有等角，离得又很远，等角离得很远能干嘛吗？ 放进三角形内造相似吗？哎，怎么放进三角形内？再给他凑一组等角，这就是全等相似。对等量和比例关系等线等角比例线段的处理，最底层，最底层的全等相似的使用逻辑，就是我们平常所说的什么逆等线问题啊，这那那这那些看起来花里胡哨的东西，它的底层逻辑全部都在这里。 你理解了这个底层逻辑，你就不需要去背一个什么题型，背一个什么模型，而是你知道他原理是什么，怎么想到的去那么干。那如果把这些听懂了，哎，那核心就是一个什么 核心，其实标设放列的里面的哪个字在这里特别特别的重要，放我们平常所说的四字习惯里面的放就非常非常的关键了， 你看，你就是要把给你的等线，给你的等角往三角形里放，放进合适的三角形，造全等相造相似。你看你把这个阿尔法放进这个三角形，把这个阿尔法放进一个带有直角的三角形，放 是核心，就是当你看到了一堆等线等角怎么办？怎么组合，把它们往三角形里去放。好，自己一定要动手画啊，自己一定要动手画，自己画好啊，觉得没问题了啊，我们接下来通过四道题目， 咱们来感受一下啊，如何真正的在题目里面如何去构造的，好了，来，我们来看题好了，来吧，我们来看看这道题，感受一下啊。首先它告诉我们 a、 d 是 等于 c、 d 的 这两条绿线相等， 然后呢，角 b 和这个角相等，那我就都设为 r 法，这两个 r 法角相等。最后呢，让我们证明 c、 e 等于 ab， 要正这两个圈线段相等，要正这两个圈线段相等，已经有 r 发角， r 发角相等，绿线和绿线相等， 大家想一想，我最终证明这两个圈线又离得这么远，他不像。如果是在同一个三角形内，我要正两个圈线段相等，我是不是正等角就行了，但是这两个线段又离得这么远，我想要证明这两个线段相等，我就只能去想什么思路，他一定是正全等， 对吧？方向就是这样，它离得这么远，你不正全等，你怎么证明这两条线段相等对不对？而且全等也有了很多等量关系，我已经有 r 法角等于 r 法角，绿线等于绿线好了，正全等。 但是你会发现呢？如果我想直接正全等这两个，哎，你会发现，目前这个圈线段只能放进这个三角形，这个圈线段你只能放进上面或者下面这两个三角形。考虑到 r 法角，你其实只能往这个圈三角形里放， 而这两个三角形显然怎么样？不全等。为什么说显然不全等？一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，这两个三角形肯定不会全等的，所以我们得造全等，而造全等的过程就一定得想着我得利用好什么？利用好 r 发角和 r 发角， 我得把圈 r 发角还有这个绿色线段是不是往一起凑？来，我再说一遍啊，你看这个逻辑，圈 r 发角和绿色线段，我得把这些等量关系往三角形内放，等量放进三角形 对不对？而你会问，这个圈，这个阿尔法，这个绿色线段已经在底下这个三角形了，那这个绿色线段，这个圈，这个阿尔法感觉也在一个三角形，但是这两个不全能，那怎么办呢？我得调整一下位置。怎么调整？哎，我现在阿尔法角肯定得用上，这个圈和阿尔法圈和阿尔法我肯定得用上， 对吧？但是这个绿线呢？好像不太美，目前人家题目直接给的三角形不全能，那怎么办？连接 b， 你 看如果你连接 b e， 如果你连接 b e， 你 是不是把这个等角就拆掉了？ 你肯定不能干这事嘛？你肯定不能把 r 法拆掉嘛，对不对？你 r 法要完整的保留，那怎么办，对吧？连接 b e 肯定不行，我能不能在这上面截取一个啊？比如说 b g 这个叉等于这个叉，然后呢，我再把这条线段连接起来，正这两个三角形全等。 哎，我截取一个叉等于叉，我只要能够证明这两个三角形全等就 ok。 哎，这个思路有点意思，而且我们造出来的三角形是不是看起来它就一定是全等的？ 这个思路有点意思，但是你会发现这个思路有个问题。这个思路有啥问题？它最大的问题是 a d 等于 c d， a d 等于 c d 这个条件 用得上不？兄弟们，你这个条件用不上，有没有发现？这个条件用不上，你会发现，那这两个三角形你要想正全等正不了，为什么你只有个叉等于叉， r 等于 r， 你 缺条件。为啥缺条件？这个条件没用上，这个条件没用上，你就弄不出来。 那怎么办？旋转等线，其实旋转不旋转都无所谓，你既然他和他没有办法构成一个全等三角形，而这他和他又相等，那怎么办呢？我在这直接做一个 a f 等于 ad， 这可以做吧？我肯定可以在这找到一个 a f 等于 ad， 做 a f 等于 ad， 哎，这样的话，绿线和绿线相等了， r 法角和 r 法角相等了，哎，这次等量关系我就用上了，对吧？原本的这个等于这个，现在我造他等于他，所以这三条线呢，都相等，等量关系用上了，现在呢？最终我要证明这个圈等于圈，就是证明这两个三角形要全等。 我现在要证明这两个三角形全等，已经有绿线等于绿线了，阿尔法等于阿尔法了，还缺一组条件，能不能看到补角相等，因为我给这儿造了一个等幺，那你会发现这个 beta 等于这个 beta， 那 就会导致这个 c 塔等于这个 c 塔。好了， c 塔等于 c 塔，阿尔法等于阿尔法， 绿线等于绿线，这两个三角形全等，最终我就可以得到 a， b 等于 c e。 结束好，整个的思路是什么？整个的思路就是当题目给等量，要我们正等量，我就得把这些等量关系放三角形 造全灯，得到这个灯亮，这就是它的底层逻辑。我们刚才的试错，我们刚才的分析，我直接做它等于它的这些，这些尝试都是非常非常有价值的。 最终我们通过探索，我发现我就是要尽可能的利用好题目，给我们的等量关系，把它们扔进同一个三角形，让它们去得到全能。你看原本这条线和这条线没办法扔，怎么办？我把它转过来这条线、这个角，这条线、这个角，最后再结合等腰出一组等角， 等量关系放进三角形造全等，这就是全等对等量的使用。以后什么时候会这么想问题呢？给等量，正等量，那我肯定要把想办法把等量往三角形里放去，造全等，这才是核心啊，这才是核心。 怎么想到的？就是这么想到的。好，来下一个。在讲这个题之前呢，因为这里出现了一个二倍角的处理。二倍角的处理，首先我们要明确啊， 二倍角是没有用的，二倍角和二倍的比例线段还不一样，二倍的比例线段我还可以造相似，二倍角没有用，二倍角在任何地方都没有用。我拿到二倍角唯一的想法就是通过二倍角导出什么东西。等角只有等角才有用。兄弟们，无论是等角在同一个三角形就会出现等腰，还是在不同三角形的等角就可以造相似， 只有等角才有用，二倍角没有用。那如果我在一个角是阿尔法，这个角是二阿尔法， 我怎么样把二倍角转化成等角呢？你可以非常简单粗暴的来，我直接做这个二倍角的。什么？我直接做二倍角的角分线， 一旦做了二倍角的角分线，那么你会发现这两个角都是 r 法，这是不就出现等角了？底下这组等角构成等腰三角形，上面这组等角我还可以去找相似，你看， 等角才有用。二倍角是没有用的，所以第一种方法就是直接造角分线，做二倍角的角分线。哎，这个是最简单粗暴的，这是一种方法，那我还可以怎么做呢？那我还可以直接给这个 r 法给他怎么样？给他对称下来， 那么这个角是不是就是阿尔法了？这个角阿尔法和原本的这个角阿尔法是不是就构成等角了？那么这两个等角我是不是也可以想办法去阿尔法等于我造一个阿尔法等于阿尔法是不是也可以搞事情了？所以第二种情况，我直接 阿尔法去做对称，哎，这都是非常粗暴的方法，哎，我直接阿尔法做个对称，这是两个，要么我凑阿尔法和阿尔法相等，要么凑阿尔法和阿尔法相等。 好了，那么还有一种第三种就是等腰处理二倍角，这是一个相对来说比较巧妙的办法。为什么等腰可以处理二倍角？来，我们来看一下啊。 等腰三角形两个底角是 r 法，那么二倍角会出现在哪里？外角就是二倍角，你随便沿一个顶角的外角出来，这个角是这两个角和，这就是二 r 法。 所以等腰三角形内天然包含着一个二倍角关系，我们就可以利用这个二倍角关系去处理这种二倍角问题。那怎么具体怎么处理呢？你看，我还是给你画一幅这个图，假设他给了你一个 r 法角，给了你一个二 r 法角，那我就造等腰就行了。 看好了，这个等腰怎么造？这个等腰怎么造？这是 a， 这是 b 啊，这是 c， 我 怎么造？ 造个等腰处理二倍角怎么造？第一种想法，我延长 bc， 延长 bc， 我 以 ab 为腰，造一个等腰三角形， 看，这是圈，这是圈，我来一个 b m 等于 b a 这上，这样是不是就造出来一个等腰三角形？一旦造出来等腰三角形之后，那你会发现这两个角都是什么？都是几个 r 法，哎，我就做 b m 等于 b a， 这两个角是不都是一个阿尔法？好了，那你会发现原本阿尔法和阿尔法没有用，但是现在这个阿尔法和这个阿尔法，这俩这俩你就可以看出反应相似了，这个阿尔法和这个阿尔法就构成。哎，这两条线段也等腰了， 神奇不神奇？我拿了一堆等角，你看，原本是一个阿尔法二倍关系，但是由于造等腰，我还是这幅图，咱们来画一下，我还是这幅图， 这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 r 法，这是二 r 法。我刚不是把这个 ab 往外往外挪，挪到外面去，我可以造个等腰，我还可以在里面来一个等腰。看好了，我来一个 ab 片等于 ab， ab 片等于 ab， 这两条线段相等，就是做 ab 片等于 ab。 好，这样的话呢，那你会问，这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法？首先这有一个等腰三角形，同时这个角是阿尔法，看这个三角形，这是阿尔法，那这个角是什么？这个是不是就是阿尔法减阿尔法，那它也是阿尔法， 好嘛，你会发现，我通过做一个 ab 片等于 ab， 这出现一个等腰三角形，出现了一个二 r 法，等于二 r， 同时呢，因为它是这个三角形的外角，二 r 法减 r 法得到它是 r 法，又得到了这两个圈相等，你看，我就得到了两组等角，最终还是把一个二倍角关系转化成了两组等角关系。 哎，也就是说，这个等腰三角形，我可以以 ab 为腰，往内做，都是 ok 的， 都可以利用等腰三角形出现二倍角关系。 那么到这呢，我们就盘点清楚了，其实初中阶段你想要处理二倍角，基本上也就是这三个方法了，要么做角分线，要么做对称，要么通过等腰的二倍角去处理。好吧， 来吧，兄弟们，咱们来看题了，来看看这个题，这下你再看看这个应该怎么去处理。当你看到这个题以后呢？你第一个要处理的条件肯定是什么？二倍角换等角。来，我们来看一下 b， d 比 c， d 是 一比三， b， d 比 c， d 一 比三，那我设这条线段是 a， 这条线段是三 a， 这是基础习惯啊，基础习惯有比例，你就设 d、 f、 b、 ac 一 比六，那我就设 d， f 是 x， ac 就是 六个 x， 这一小节是 x， 这一小节就是六个 x。 好 吧，然后呢？又有一个二倍角，阿尔法等于阿尔法啊，好，又有一个垂直。最后问我们什么的 a、 d 和 d、 f 的 比，也就是说我最终就是要表示线段 a、 d， 用 x 表示一下线段 a、 d 就 结束了。 那你会发现，我们刚才已经说了，比例线段你还有可能直接用，但是背角关系你是没有办法直接用的。由于背角关系没办法直接用，所以我上来第一步一定是先处理这个背角，那么这个背角关系我的处理，我刚才说了，我要么给他做对称， 要么我给他做角分线，要么我利用等腰来处理。大家想一想，我是做对称做角分线，还是利用等腰来处理？好，我们来分析一下啊，这个分析几度重要啊？我们来想第一件事，我做角分线，你看美不美？ 为啥不美？能不能说出来？为啥不美？因为你把这个比例关系三 a 干掉了嘛？干完了以后你还得不到这两边，左右两边到底是几比几，能理解吧？已知条件是不是割了两段肯定不美嘛，对不对？好，来，角分线废掉了，那我做对称，我给这再来一个 r 角，你看美不美？比如说我把这个弄出来， 我给这再来一个阿尔法角，造成这两个阿尔法相等，你看美不美？好像也不美。为啥不美？这边是把条件干废了，你，你往这边做，与人家所有的条件都没有建立起联系，有没有发现你唯一就搞了个阿尔法，我做一条辅助线， 我说要尽可能跟这些已知的已知的关系建立联系，没有用。哎，为什么没有用呢？就是他把我已知条件没有调动起来。好了。来，既然前两个都不美，那我就造等腰，我以谁为要造个等腰就把这个阿尔法处理掉了， 我是不是以这个六 x 为等腰？我给上面我把这条线延长出去，延长出去后，我给这再来一个六 x， 那 么这一下，这是不是就出现了一个等腰三角形，这下美不美？ 这种做法至少相对于前两种做法，我是不是一边处理了？这个角是 r 法，这个角是 r 法，我是不是一边造出了一个 r 法角？同时呢，这个六 x 我 已有的条件也被我盘活了， 他是不是调动了更多的已知条件？所以在这三个方法里面，肯定这个方法相对来说是最美的，这个美了。接下来呢，你看嘛，我，那我造出来等角，我就得有用啊，我这个 r 法角和这个 r 法角相等， 咋个用法？咋用呢？刚才咋说的？等角是不是就只能造全等或者相思嘛？对不对？那你看 这个 r 法角造全等相似的核心是你要把这些 r 法角是不是放进三角形？你看这个 r 法角可以放进哪个三角形最美？放进这，人家这不是还有个直角呢吗？对吧？你让这个 r 法角和这个直角组合一下，它是不是就进入到了一个直角三角形内，对吧？看这是不是就有了一个直角三角形？ 好了？来，这有一个阿尔法，这有一个直角，这有一个阿尔法。我如果想让这两个阿尔法进入到相似三角形，那很简单了，我只需要 b 往这再做一个垂线，我是不是就造成了这个红色三角形和这个大蓝色三角形的相似？ 哎，那这组阿尔法是不是就造成了相似？我通过这个阿尔法等于阿尔法。哎，我造 直角三角形相似好，那么相似以后最好要有什么才能有用？我现在红的、蓝的相似，以后最好要有什么这个相似才能有用相似比。但是目前这两个这个红的和这个蓝的有没有相似比，他是不是既没有自己比，也没有相似比， 对吧？哎，所以我在观察啊，目前没有比的关系，我在观察，你会发现这一个直角，这有一个直角，这底下是不是又出现了一个八字相似， 而这个八字相似，它是不是有相似比的，它相似比是不是一比三？所以同时你不但造了一个直角三角形相似，你还有一个八字相似， 这个相似比是一比三相似比是一比三。来，由于这个相似比一比三，那么 d h 这一段是不是首先可以表示了？ d h 这一段就是三分之 x 相似比一比三吗？看这一比三，这是一比三，这是三分之 x， 同时我通过这组相似还可以得到谁和谁的比， b h 和 c f 的 比， b h 和 c f 的 比是不是也是一比三？这个时候我就可以设它是 b， 那 么它就是三 b， 一 旦它是 b， 它是三 b 什么就出来了。原本的这两个直角三角形的相似比，是不是就是 b 比三 b 这个直角三角形的相似比就是一比三。 那我们利用这个一比三可以拿来干什么呢？你会发现，我最终要 a d 和 d f 的 比，现在是不是就差一个 a h， 而 a h 是 不是既可以放到这个红色三角形，又可以跟这个蓝色三角形建立联系？所以我用这个相似比就已经可以列比例关系了，列哪两条线段的比来一比三，就等于哪两条线段比 a h e f。 看 a h， a h 是 不是就是我们要最终要求的那条线段了？ ef 是 不是这一段里面既包含 a h， 剩下都用 x 表示了？那我就来就等于 a h 比 ef， 而 a h 又等于多少呢？ a h 就是 a h， 对 吧？ ef 是 什么呢？ a h 比 ef， ef 是 六 x， 再加 a h， 再加三分之四 x， 一比三就等于 a h 比上一个，这是六 x， 再加上这三分之二十二 x， 再加 a h， 这 a h 不 就解出来了吗？就是三倍的 a h 就 等于三分之二十二 x， 再加 a h， 那 么两个 a h 就 等于三分之二十二 x， a h 就 等于三分之十一 x， 对吧？好了，这一段是三分之十一 x， 那 到这问题已经结束了，那我最后要的是 df 比 ad， 那 么 df 不 就是 x 吗？它就等于 x 比上一个 a d， a d 是 三分之十一 x， 再加三分之 x。 好 了，那么三分之十一 x， 再加三分之 x 就是 四， x 就是 x 比四 x 就是 一比四。结束 到这整个问题结束，来吧，兄弟们，其实没有那么复杂，每一步都是非常强的逻辑啊，难度不小，但是每一步都是讲道理的，没有任何一步天马行空的，这里面没有神来之笔啊，没有任何一点点的神来之笔。我们重新再盘一遍，这里面最精髓的是什么呢？来重新盘一遍啊！ 最精髓的是来一开始先盘条件，盘条件，他说这个是 a， 这个是三 a， 这个是 x， 这个是六 x， 这是 r 法，这是二 r 法。 让我们求 ad 比 df， 那 就是用 ad， 用 x 表示 ad。 好 吧，那么一开始呢，我们去想了想，就是条件有哪些条件？有两类 条件，第一类条件是比例线段，第二类条件是二倍角。那我们要知道比例线段是可以直接用的，为啥说比例线段是可以直接用的？比例线段可以直接用，因为比例线段放到相似就行了，但是二倍角是必须先处理， 而二倍角在处理的过程当中，我们有什么想法呢？我们选择了一下二倍角的处理，刚才已经讲了，要么做角分线，要么做对称，要么做等腰。我们会发现角分线或者对称没有办法盘活其他的移植条件，所以我就用等腰处理了二倍角。为什么说等腰处理二倍角呢？因为等腰处理二倍角， 处理了二倍角的同时，这个六 x 也被我们换了位置，这是第一步，前面的分析极度重要，就是你看马哥在给你讲什么，马哥在给你讲你拿到这些条件，你的底层思维是什么，对吧？我并不是说给你这讲，这道题有什么大招，有什么秒杀没有的， 讲的是最底层的逻辑，这就是这两年中考最常见的趋势，绝对没有任何飘逸的操作，它都是很常规的操作，但是呢， 你要知道拿到条件应该怎么去想。好了，这是第一等腰处理二倍角，第二等腰处理二倍角，就是为了得到等角，当我得到了，我现在有阿尔法，等于阿尔法，怎么去用造相似？ 造相似的核心是要放进合适的三角形，这个时候我观察一下这个阿尔法和这个九十度，已经可以放进这个大的直角三角形了， 那么这个阿尔法我只需要再做一个垂线，就可以造成这个红色三角形和这个大蓝色三角形的相似，对吧？阿尔法造相似，造了一个直角三角形的相似，这就是等角。怎么用等角造相似？你看这个东西就是我们之前讲的什么东西， 是不是就是我在这给你画的这个图来感受一下，是不是就是这个？看，这有一个阿尔法，这有一个九十度，当这也有一个阿尔法，我再做一个九十度，造成这两个三角形相似，是不是就是这个图给你扔进了那个梯里？我造完这个相似以后，我发现没有相似笔，这相似我就要找相似笔，但是没有相似笔，没有相似笔怎么办？这个时候去观察 你在这做垂线的同时，这底下又有一个新的八字。第三，用八字，这个八字帮我们得到什么呢？首先这个是 x， 那 么这一段就变成了三分之 x， 因为它的相似比已知。 再来这个是 b， 这个是三 b， 这样我就得到了这个三角形，这个三角形直角三角形的相似比，就是红色和蓝色直角三角形相似比，一比三。 而通过这个一比三，我就可以干什么？就可以列比例了吗？我相造出来相似就是为了列比例，这个时候我观察一下，我最终要的就是 a h， 那 么 a h 和谁，和这个 e f 的 比 就等于一比三。好， a h 是 多少？ a h 是 我们要求的，而 e f 就是 a h， 再加六 x， 再加三分之四 x， 就等于一比三。通过这里我就求得了 a h 就 等于三分之十一 x， 你 把这个 a h 求完带进去就可以得到答案，一比四。所以核心点就是三个。第一个一定要想到二倍角，必须先处理二倍角，不先处理你角度没有用。 接下来呢？等角我想办法造相似，没有比例关系，再观察，这还有八字，得到比例关系。最后列比例式，这里面大家想一想，有没有任何一步是神来之笔，天马行空，没有的，非常讲逻辑的， 对吧？这些逻辑都是可以拆解，可以附用到其他题目里面的客复用逻辑，没有任何套路。这道题是特别符合这两年中考的命题方向的，他没有什么模型，没有什么套路，没有说是你背个什么东西，没背个什么大招能解决，考的都是非常底层的操作，看的就是你的几何基本功， 这基本上放一道中考填空压轴没有一点问题啊，或者放一个大题压轴的第二问也没有一点问题啊。好了，来，我们来看看宜宾二零二四年的这道题，这是宜宾二零二四年的填空的压轴，填空压轴。好，来，我们来分析下这个题啊， 这道题啊，他说什么呢？他说这有两条线段， f、 d 和 c e 始终相等，然后呢，这是一个平行四边形，这条边是二，那么这条边也是二，然后呢，这两条边是四，这两个点都在动，动的过程当中保持这两条线段始终相等，相等，我就都设为 a。 好， 那么最后呢，当 a e 加 c f， 就是 这个黄线加这个蓝线最小的时候，求 c e， 求这个线段长，求 a 的 长。我们来想一想啊，这道题目前最大的问题，什么？我要求两条线段合最小，一般都得让这两条线段这个蓝的和这个黄的首尾顺次相接，共线最小， 这没问题吧？我要找 a b 两条线段合最小，那我就得让它首尾顺次相接，让它共线最小。但是呢，你会发现，目前啊， 目前这两条线段是交叉着，这个位置肯定没有用，所以呢，我必须得转化啊，我必须得让蓝的或者黄的其中一条线段换位置，其实你让哪个换位置都行，比如说我们就让这个短的吧，我要让 转化 cf， 我 就让 cf 换个位置，换位置的目的是为了和什么？是为了让这个 cf 和 ae 首尾顺次相接，这是我的目的。那怎么样才能让它换位置呢？ 我现在就是让这个蓝线换位置，那你就得把这个蓝线放进三角形内看嘛，但这个蓝线只能放进哪个三角形，就是放进这个三角形， 那么蓝线放进这个三角形之后，我是不是再造一个三角形跟这个紫色三角形全等，那么这个 c、 f 就 可以换位置 看，这是我的目标线段，我就是要造一个三角形和这个紫色三角形全等，那么这个目标线段就可以换位置。好，那怎么造呢？我造全等，得利用等量吧。人家是不是已经给了 a 等于 a， 那 我就利用 a 等于 a， 这组等量 造全等，对不对？我就利用这个 a 等于 a， 这组等量的造全等。那你会发现，我们来观察一下这个三角形，有一条边是 a， 有 一条边是二，有一个角是 r 法， 那我现在这已经有一个是 a 了，那我只需要怎么样？我只需要把这个 bc 延长出来，这个角是不是就是 r 法了？ 那我只需要在这条射线上再截取一条线段等于几，我在这条线段上再截取一条线段等于二，这个时候我把它俩一连来观察， 这个 a 等于这个 a， 这个阿尔法等于这个阿尔法，这个二等于这个二，那么这两个三角形是不是就边角边得到全等了？这是不是就是我们刚开始给大家画的 这幅图，看，这是 a， 这是 b， 这两个三角形就全等，这个 c 是 不是转化到这个 c， 是吧？是不是就是把这幅图给你扔进了刚才的那道题里？什么叫可负用逻辑？这就是可负用逻辑。 好吧，好，来再感感受一下。因为这个 a 等于这个 a， 所以 要把它延长出来，延长出来这个二等于这个二，同时这个角阿尔法等于这个角阿尔法，所以这个时候连 eg， 这个 eg 就 等于 c f。 好 了，现在我是不是就让这个 a e 和 c f 首尾顺次相接，是不是达成目的了？ 到这是不是就达成目的了？现在你会发现，因为 e 是 一个动点，那么这个 a e 加 c f 什么时候最小？是不是就让它直接 a e c 三点共线？那么最小的时候这个一撇，这个点 一撇，是不是 c 一 撇就是我们要求的值？那最后我要求这个 c 一 撇怎么求呢？你是不是可以用 a 字相似，也可以用八字相似，因为有平行，有平行想相似吗？求 c 一 撇，有平行想相似吗？平行想相似吗？想相似吗？这有什么相似？你比如说 这是不是就是一个来，我就看这组 a 字吧。啊？这条线和这一条线是平行的，那这里是不是就构成了一个 a 字？这个 a 字的相似比是多少？是二比 六，是不是就是一比三？那么这条线段是二，这条线段就是几三分之二，所以 c 一 撇三分之二。打完收工好了，那么这道题最核心的是怎么想？你看马哥最最给你强调的不是这道题怎么做？不是， 这就是大家平常所说的什么逆等线模型。毛线，有什么模型好去记的？它就是一个最底层的，当我要转化线段，又有等量关系的时候，我就利用等量造一个全等，它和我们前面讲的逻辑其实都是一致的。这些题目看起来长得非常不一样，但是它的底层逻辑都是 给你等线，要转化线段，那我就利用等线去造个全等转化线段。马哥已经给你讲的非常非常仔细了，每一步怎么想的，反复去揣摩。如果说这道题一听懂，你就觉得你以后能够想到，那这道题对你毫无意义。 我们要做的是怎么想到，怎么想到。马哥刚才已经讲的非常清楚了，首先要转化，得换位置，怎么样换位置给你等线，你得想办法造全等，包括这个图都给你画了， 这是 a， 这是 r， 这是 r 法，这又给你一个 a。 好， 我要现在转化 c、 f， 怎么转化？来，我给这来一个 r 法，给这截一个 r， 那 么这就是 c f， 我 就是把这幅图给你扔进了这个题里。 是不是每一步细节怎么想到的都给你讲的很详细了？所以千万不要再去强调你想不到了。你强调想不到就是强调我不行吗？强调我不行有什么意义？你要想一想怎么才能行？这就是最底层，最底层的逻辑。好了，来吧，兄弟们， 这是我们用等线去构造全等，这是二零二四年的一遍的题。来，我们再看一道。哎，如果是比例线短的来， 人家要两倍的 cd， 那 这次得造什么了？要两倍的 cd， 咱这次是不得造相似了。来，这道题的底层逻辑跟刚才那道题还是一模一样。好了，我们来感受一下。首先它要 b e 加两倍的 cd， 加两倍的 cd， 那 我是不是得让 b e 和两倍的 cd 首尾顺次相接，所以我得造 相似去得一个二 c、 d 与 b e 首尾相接没问题吧？这道题肯定就是个目的，我的核心目的就是造一个相似，得一个二倍的 c、 d 与 b、 e 首尾相接。最关键最关键的是，为什么这道题我可以非常确认它一定是造相似呢？因为人家还给了一个，这是 a， 这是二 a， 那么怎么去造这个相似？利用一比二的这个比例关系，人家给了你比例线段，是不是就利用这个比例线段去造相似？那我要造一个三角形，和哪个三角形相似呢？造相似。第一个问题，和谁相似？造三角形与谁相似？ 造哪个三角形的相似？三角形，我一定是造 a、 c、 d 的 三角，因为我要造二倍的 c、 d 吗？那就是 cd 放三角形里吗？ 看 cd 放三角形， cd 肯定是结合这个 a， 哎，那我肯定是放进这个三角形，那我就是要造一个三角形，与这个紫色三角形相似，这就是目标。好，那这个造相似其实也很简单了，我给你往出画一下，你会发现这个 cd， 这个 cd 在 一个什么样的三角形内，这是直角， 然后呢，这是 c、 d 啊？这是 a， 这是四。好，现在我又有一个二 a， 我 又有一个二 a， 又有一个二 a， 二 a， 那 我这边肯定得是几得是八吧，对吧？然后呢，这，这，这就是二 c、 d 就 出来了。来，这就是造相似的基础图，只不过我要把这个基础图塞回去啊，这是二 a 啊，不是二啊。二 a， 好，那咱就造就行了吗？来，那我是不是首先得过这个点？ c， 来一个直角吧，来一个直角吧。然后呢，我让这条边等于几，我让这条边等于八，是不是就出来了， 对不对？看二 a 直角八，二 a， 直角八就出来了，所以我给这来一个八，给这来一个垂直。好了，这个时候我连接 ef， 那 你会发现这两个三角形就相似。相似比就是 a 比二 a 就是 一比二，那么这个是 c、 d， 这就是二 c、 d e、 f 就是 二 c、 d， 这就是这道题最关键一步，这个这一步完成了，就结束了，这是二 c、 d， 这是 b e， 对 不对？好了，那接下来我要找 b e 加二 c、 d 的 最小值连谁结束？我是不是连个 b、 f 就 结束了吗？我让这两条线段共线，是不是连 b、 f 就 结束了，对吧？所以这个 b、 e 加二 c、 d 的 最小值就是 b、 f， 那 么这道题让我们求这个最小值，求就是求 b、 f， 你可以自己画一下试试。你最终要让蓝线和黄线首尾顺次相接，如果你过这做垂直，你这个黄线跑这了，就跟他没有首尾顺次相接了，明白了吗？你给自己一画你就知道了。好了， 那最后一步，那我如果想求这个 b、 f 怎么办呢？我怎么样才能求这个 b、 f 呢？勾股定律怎么勾股定律？那我是不得想到用到这个二，用到这个八，还得用到这个四，怎么办？我过谁做个谁的垂线就行了，我延长 f c， 我 延长 f c 过 b 做一个垂线是不就欧了， 对吧？过臂做一个垂线，那你会发现这个线段是二，那因为这都是九十度，这是一个矩形，这是四，这是四，这是二，这是二。好了，你在这个大三角形 b、 h、 f 当中，这是四，这条边是十，你就可以求出来二五根号下二十九，这就是二倍根号下二十九。结束，所以最后答案就等于二倍根号下二十九。 好，那么这道题最关键的想法，我们来复盘一下，还是一样的，我要这个 b e 加二 c、 d， 那 我最终就要 b e 加二 c d， b e 和二 c、 d 首尾数字相接，所以我得照相似得到二 c、 d 与 b e 首尾相接。 怎么造相似？利用人家给的这个一比二关系，利用这个一比二关系，我把这个 c、 d 放进这个三角形，一条边是 a， 一 条边是四直角，那么这是二 a， 这条边是八直角，这就是二 c d。 二 c、 d 一 旦出来，后面就没有难度了。你看，马哥讲了四道完全不一样的题，但是用的底层逻辑，你现在品一品 用的底层逻辑有没有超出一开始给你画的这一啊？你现在再回过头来再看，是不是都没有？ 所以呢，其实我们就是最用最基本的给你等线，你就想办法造全等啊。给你比例关系，你需要比例关系，你就造相似。如果单纯给你等角呢？单纯给你等角，你再找等角，把它们结合在一起，放进三角形内，这就是最基础的相似和全等的底层应用思想。 就是你不需要你。比如说像我们刚才讲到倒数第二道题，有的地方叫逆等线，倒数第一道题叫做什么？加权逆等线。我嘞个娘呀，你要是那么去学，你不疯掉了？来一个结论，你就得背一个题型，那你得背多少题型？你学数学是靠背题型出来的吗？不是这样的，我们要理解怎么得到的那些做法，而不是去记，去背那些做法， 这就是我们学习数学的追求。好吧，行了，那我们今天就讲到这了啊，今天我们讲了什么呢？我们讲了如何利用全等相似去处理等量和比例，这是最核心、最核心、最底层、最底层的逻辑，后面所有的全等相似的东西都是由这个东西来的，好吧？