淄博三模数学立体几何

山东淄博市二零二六届高三数学三模三步秒杀单选压轴题。通过观察题目， 优先使用几何法解析。第一步，利用两直线斜率相乘等于负一，得出两直线垂直。第二步，利用直线斜率等于二，得出 p f 一 等于二 a p f 二等于四 a。 第三步，利用勾股定律求出 a 与 c 的 关系，得出答案。

伽林三模的第十八题，考场上做真的太难了！如果我们间 c 的 话， p 点的坐标怎么设是一个大问题，直接设字母，或者说通过夹角去设它，最终都会有很大的计算量。今天我想用几何法来讲一下这道题，做起来又快又简单。 先来看条件，在平行四边形 a b c d 当中呢？ a c 是 e， b， c 也是 e， a c 垂直于 b c。 将三角形 a c， d 沿着 a c 翻折点 d 翻折到了 p 点的位置，形成了三人追 p 杠 a b c 现在 pp 上有两个点， m 点 n 点满足啊，这两个面面垂直非常关键。 第一问，我们就不看了，来看第二问，在翻折过程当中，当点 n 是 线段 p b 上靠近点 b 的 三等分点，求点到平面 a c p 的 距离。这道题用几何法做，关键就是画出二面角的平面角。 比如说 p a、 c 与 a c b 所成的二面角的平面角，我们该怎么画呢？可以过 a 点做 a q 平行且等于 bc 啊，也就相当于这里形成了一个矩形 a c b q， 那 也就得到了 a c 垂直于 ap， a c 垂直于 a q 角 p a q 就是 p a c 这个面和 a c b 这个面所形成的二面角的平面角。再连接 p q。 怎么画 p a c 与平面 a c n 所形成的二面角的平面角呢？我们可以把面 a c n 延展一下，过 n 点呢？做 n h 平行于 a c 连接 a h。 根据刚刚我们已经推得 ac 垂直 ap， ac 垂直 a q， ac 自然会垂直于平面 p a q， 所以 ac 垂直于 a h， 所以 角 p a h 就是 平面 p a c 与平面 a c n 所成二面角的平面角。 根据题干说的平面 a c p 和平面 a c n 是 垂直的，所以角 p a h 就是 九十度 n 点是 p b 上的三等分点，那根据 h n 和 b q 是 平行的， h 点就是 p q 上靠近点 q 的 三等分点。 再来看看我们要求的点， n 到平面 acp 的 距离。由于 n h 平行于平面 acp， 所以 说 n 点到 acp 的 距离就相当于 h 点到面 acp 的 距离， 而 h a 垂直于 a c h， a 垂直于 ap， 所以 h a 垂直于平面 p a c h a 就是 我们要求的距离。 接下来就很简单了，我们把线段长度标一下， bc 是 一，那 a q 也是一， ad 是 一， ap 也是一。把平面图画出来 如图所示啊！我们就可以设 h q 是 x， p h 是 二 x。 把角屁呢，分别放在三角形 p a h 和三角形 p a q 当中呢？利用角屁的余弦值得到等量关系 口算，以 p 等于一比上二 x 也等于一加三 x 的 平方减一比上二乘一乘三 x。 这个方程解一解，很快得出， x 等于三分之根号三， 所以 p q 呢，整个就是根号三啊。所以角 p 就是 三十度， a h 的 长度就是 三分之根号三。再来看第三问，在翻折过程当中呢，是否存在向量 m n 等于四分之一向量 p p 若存在，求出 a c p 与平面 abc 所成角的余弦值， 那也就是求角 p a q 的 余弦值呗。这里我们可以仿照 n a g 的 做法扩展平面 a c m 做 m g 平行于 a c 连接 a g。 那 么平面 abc 与平面 a c m 所成角呢，就是角 g a q， 因为 a c 垂直于 g， a， a c 垂直于 a q。 再根据题干说的面 a b c 垂直于面 a c m， 所以 角 ga q 就是 九十度条件中的向量 m n 等于四分之一向量 p b 也可以同步转换成向量 g h 等于四分之一倍的向量 p q。 我 们也画出平面图形来分析一下，如图有 h， a q 是 直角，角 p a g 是 直角。再设 h， g 是 y， p q 的 长度就是四 y， 可以通过正三角形 p a g 和三角形 q h 全等得到 a h 等于 a g 啊，同理， p h 也等于 g q， 所以 p h 的 长度呢，就是二分之三 y g q 也是二分之三 y。 如果能把 y 求出来，角 p a q 的 余弦值就可以求出来了。做 af 垂直于 h g， 根据 a h 等于 ag， 得出 h f 等于 f， g 等于二分之一外， 再得出 p f 等于二外。那 af 呢，就是根号下一减二外的平方四外方 a g 呢，就等于根号下 p g 方减 pa 方， p g 是 二分之五 y， 也就是四分之二十五 y 方减一 af 有 了 a， g 有 了 f， g 有 了各五。定义一下，就可以把 y 求出来。 计算得出 y 等于五分之根号五，所以 p q 就 等于五分之四，根号五 口算一角 p a q 呢？用余弦定理直接求出来。最后答案就是负五分之三。几何法做这道题是不是超级简单， 再总结一下，关键哦，就是把 b c 平移至 a q， 把所有平面的二面角全部转移至平面 p a q 当中。如果这个视频对你有帮助的话，记得点赞、收藏加关注哦！

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各位咱们淄博高三的家长啊，大家好，关于高三的三模，我本来不想过多讨论，但是问的很多，今天我就分析一下试实验刚考过的三模数学试卷吧，有不少家长在后台私信我，难度怎么样，考多少分正常，今天我还是和大家分析一下， 作为很多三模试卷的代表吧。这套试卷含金量还是非常高的，完全没有偏怪难的套路，是一份很标准的全国卷的风格仿真模拟题。下面王老师就教大家从难度系数，高考的相似度，还有易错点以及 拉分中等题的四个维度把这个试卷给吃透。第一呢，这个试卷总体难度系数， 那整体难度系数是零点五五到零点六零，介于高考的难度档位中间。今年的数学三摩延续了 这两年新高考重计算、重逻辑、轻套路的特点，基础题分值约八十分，中档题分值约四十五分，压轴题分值约二十五分，所以只要基础和中档题全部吃掉，基本就是一百二十加了。 未来想考一百二十分，就必须把单选的一到八全部拿下，大体的十五、十六、十七三道题全部拿下，这是先决条件，考不到一百二十分，大概率这两部分的题就有些丢分了。 二、和高考一卷的相似度分析，一是结构完全对标，一到八，单选九到十一，多选十二到十四，填空十五到十九，解答题框架一模一样。那二呢，重头戏是在 概率与数列，去年整体最后一道压轴题是创新定义的组合题，而这套卷子的第十九题，把 马尔科夫恋状态转移和数列单调性与放松结合在一起了，这种题型在各大连考中频繁出现，说明高考大趋势就是把概率统计和数列递推当压轴难题。 三呢，是计算量大，解析几何第十八题和倒数第十七题，计算量非常惊人，极容易在考场算错，和高考一样，不仅考你的会不会更考你的算不对。 第三呢，是基础题的五大易错点，考前这几天基础较好的同学千万不要因为小失误丢掉二十分。前四个选择题虽然都是基础题，但是都有坑，这里我就不再提了，你们老师都讲了， 那还有第十六题立体几何间隙，很多同学直接间隙算二面角没先去证明垂直关系， 一定要看清题目的证明要求，跳过证明很可能会直接扣掉四到六分的步骤分。第四是拉开差距的生死线，就是中等题。 第八题竖列加立体几何圆台和等差竖列的组合。 这题需要把原材的几何参数转化成代数等式，难点在于限制条件，半径必须为正整数。很多同学算出表达式就写答案，忘了检验是否满足整数和那些九的条件，导致丢了这五分。 第十题呢，是多选这些结合抛物线加圆的综合。那 c 项选项呢？涉及到 o b 和 o c 垂直的直线方程，得选项是求切线方程。做这类多选择题是要善于用几何性质 硬算。消元的话，这个题是全卷最大的， 算是分水岭吧。第一问是带点球双曲线方程，非常基础，但必须算对。 第二问，面积相等的问题，本质上可以转化为点到直线的距离相等，很多人把它直接当成弦长，用公式死算结果，算了满满一页没算出结果。 第三问呢，四点共圆条件，这是圆锥曲线的压轴难度，需要极佳的 袋鼠化简功底和对称思维。绝大多数同学做到这些就写不完了，这个题做出来，你至少能考一百三十五家。 最后给大家一些备考建议吧，这套三模出来呢，能考到一百一十分的同学，说明基本功很扎实了，千万稳住心态。如果你的目标是一百三十加，那最后这个时间段，请把 第十九题这种马尔科夫列概率数列递推题型的标准解析流程背下来，把解析结合的伟大定律加计算过程再过一遍，考场上只要算到底，你就赢了。 好了，针对高三三模，我就分析这一套试卷吧，反正各地市的三模试卷就是仿真题，难度系数和高考相当，但是不是高考，毕竟今年的 高考很多，这个原创思维需要等到真正的考试到来。现在就是你保持好心态，做好压题思维训练，全科从第一个题到最后一个题，你心里有数，这样你参加高考就是没有遗憾的， 加油吧孩子们！别的科目的高考备考，我就在这个月的很多公开课上讲了很多了，我就不再重复了。 从明天开始，王老师就更多分享非高考毕业班的视频内容了，主要围绕暑假学业规划开展，为更多年级的家长提供学业规划的战略建议， 咱们不见不散，加油！感谢信任！

满杠三模刚刚结束，我们一起来看一下啊，本次三模有哪些题型的变化？首先第六题，分式方程，原本咱们是求分式方程的解，那这一次呢，只需要两边同乘以 x 减一看哪个选项符合。第七题，图形找规律 第八题，中位线推平行推相似推边之比，面积之比第九题，尺规作图第十题，动态函数图像十七题，新定义问题，和坐标系相关二十题，几何多结论， 这里边也有最直的问题出现，那么像我们近期大家比较关注的画图题，本次南钢二模的画图题难度比其他区低一些，画角分线画四十五度都是以前咱们练过的。二十四题，也不是几何新定义的问题啊，是以前咱们常规的二十四题小几何的题型。二十五题， 第二问有变化，这里边出现了求利润的最大值，和其他几个区出题的方式是相似的。二十六题，这道题整体来讲难度是低于中考难度的。这里边我们主要进行一个导角，可以导出 c d 等于 c， m 等于四， 然后我们可以利用 e h 垂直于 c g， a g 垂直于 c g 平行线分线段成比例来找出边值比， 再结合摄影形就可以解出 x 的 值，从而推出这里边的线段长。那么我们推出 f g 和 a f 的 长以后，就可以知道弹进的阿尔法等于三分之四，所以说弹进的阿尔法就应该等于二分之一， 从而就可以解三角形 c d n 推出 c n 等于二，用 c f 减 c n 求出 f n 的 值，所以说这里边的计算量啊不大。二十七题，抛物线的问题，这道题的第三问呢？其实计算量是低于中考的计算量的，但是这里边有几个够行的问题，看大家能否发现。第一个， 你能不能通过 b 和 c 的 坐标想到这是正方形的半角旋转，可以推出两个结论，一个是角 d b e 等于四十五度，一会呢咱们可以设参倒角用。还有一个结论就是 o e 加 dm 等于 d e， 那 我们可以设参列勾股方程，解出 x 的 值，从而推出 o e 等于二， 那么马上就能够发现弹进的角 e b o 等于三分之一。所以说老师设角 e b o 为比特，那么就可以想到弹进的比特如果等于三分之一，那么弹进的四十五度减，比特就等于二分之一， 那么这里边儿我们可以进行设参导角，那我们可以把角 f h o 拆分成阿尔法加四十五度减为它，那么这样就可以利用 f h 等于 o p 去造全等。然后我们再解三角形 h k o， 发现角 h k o 等于四十五度， 那么这儿就涉及到第二大难点了，你能否发现这个是力导全等的倒推？如果 h k 垂直于 f k， 然后角 h k o 等于四十五度，我们只需要延长 f k 交 x 轴与点 q， 那 么利用 k o 平分角 h k q 两边作垂造全等，可以推出三角形 h o f 为四十五度，也就是老师说的叫力导全等的倒推， 那么这样我们就可以推出角 h f o 为四十五度。所以可以通过导角知道 alpha 是 等于 beta 的， 那么因此弹进的 alpha 也等于三分之一。设 p q 为 t， o q 为三 t 代入解集式 写出 t 的 值，从而推出 p 点的坐标。所以这道题其实只有最后一步的计算量稍大一些，前面的计算量并不大。那么以上呢，就是咱们南岗区三模考试的试卷分析，如果大家有需要空白卷子以及答案的同学，可以后台私信领取一下。

哈喽，大家好，今天一起来看一下南头城学校的三模的几何压轴。然后这道题的话，因为内容比较多，所以的话我分成了两期，第一期的话是一二小问，然后第三问的话因为有两种情况，所以放在了第二个视频里面。 好，首先的话我们一起来读一下，这是一道新定义题目，他的定义是平行四边形一组林边的两个中点与不在这组林边上的顶点顺次连接所得的三角形。如果是直角三角形， 那么就称这个三角形为平行四边形的半于三角形。哎，我们看一下，也就是说在这个两个零边上随便的去找两个中点，然后的话连接和他们不在一边的这个顶点所形成的这个三角形，如果说他有一个角是直角的话，我们就称这个三角形为这个平行四边形的半于三角形。 好，了解了定义之后，我们来简单看一下第一问，我们说在这个矩形 a、 b、 c、 d 中 e 点和 f 点呢？分别是 a、 d 和 d、 c 的 中点。如果 b、 e、 f 是 直角三角形， 这个角 b、 e、 f 是 九十度，则这个 b、 e、 f 是 它的半圆三角形。告诉我们如果 b、 c 的 长度是八，让我们去求这个 ab 的 长， 然后这里的话底下给了一个呃，一个思路提示吧。这里的话小轩同学是根据三个垂直的条件，然后去利用这个直角进行一些倒角，然后去根据这个三角形相似把这个长度求出来。然后这个小军同学呢，看到这里有这个 e 点、 f 点都是中点，然后就想到这个背长中线， 呃，然后用倍长中线解决这个问题，这两个方法的话，其实我个人是更推荐这个，第一个用相似哈，因为相似的话我们去倒角可能更熟悉一些。倍长中线这个原理的话，我们先给大家过一下哈， 就是在一个三角形里，比方说这里是三角形 abc， 然后的话取这个 bc 边上的这个中点的，然后这个时候我们想要去求一些条件的话， 我们就是把这个 a 得延长，然后延长到和它原本的长度是一样的，然后使这个 a 得呢是等于这个得 e， 然后我们去连接这个 b e， 大家看一下，此时我们形成了这两个三角形， 因为得点是 bc 的 中点，所以 b 得是等于这个 c 得的，然后的话因为我自己做的这个延长嘛，所以这个 a 得呢是等于这个得 e 的， 然后再因为对菱角相等，所以我可以得到这两个三角形，它是全等的， 这样的话我就可以把这个 a c 转化到这个 b e 这里，然后的话我就可以得到这个中线的长度，然后把这个中线和这个这两条边能够结合在同一个三角形里，这个是我们被长中线的原理 好，然后我们来看一下第一问的话，用这两种方法分别是怎么去做，我们先来看一下如果用相似的话怎么去做好，这里的话，我们如果用相似，我们这里的话得到的 bc 的 长度是八， ab 是 我们要求的长度，这里咱们就直接设这个 ab 的 长度是 x， 我 们来看一下这个里面的角度关系哈， 说这个 abc 得呢是一个矩形，然后我们能够得到这个相等关系肯定是对边相等，并且的话这边两个角各自都是一个九十度，一点是中点的话，上边的 a e 和这个得 e 的 长度呢，分别就是四 好的 f， 因为 f 点是这个得 c 的 中点，所以的 f 的 长度我们可以用二分之一 x 表示出来。 我们说因为这个 b e f 是 这个半圆三角形，所以能够得到里边这个角的话是一个九十度，哇，特别经典的这个一线三垂直，对不对？ 哎，那这样的话我就可以得到 a e b 加上这个得 e f 呢，是等于个九十度，然后同时 a e b 加上这个 a b e 等于一个九十度。这个一线三垂直应该大家已经非常熟悉了哈，所以的话我们可以得到这个角 a b e 是 等于角得 e f 的， 这样的话我们看这两个三角形 a e f 和这个得 e f 很 明显就是一个相似的，相似之后呢，我们我们看这里的长度是不是都给我们了， 你就直接对应边应该是 a b 比上一个 a e 等于一个得 f 哦，得 e， 这里是 e 哈， 得 e 比上一个得 f， 然后这样的话我们就可以得到关于 x 的 一个小比例式，相当于方程，然后这样的话解出来 x 平方等于三十二，因为 x 的 话它是一个长度嘛，所以的话这里我们直接取 s 大 于零，直接开个根号 x 的 话就等于一个四倍根号二。 这是第一种直接利用一线三垂直去进行相似，这个我是比较推荐大家去正的哈。然后第二种方法的话，就是利用这个倍长中线 e j 的 长度呢，是等于 b j 的 长度，同时我延长 f d， 然后和这个 b e 的 这个延长线相交于这个点 j， 然后我们想办法去证明这个 a e b 和这个 的 e j 是 全等的，这个也非常的好挣哈，就根据刚才我们的这个理论，首先我的这个 b e 和 e j 是 我自己去构造的这个相等， 然后 a e 等于这个 e 的 呢，是因为 e 点本身就是 a 的 中点，然后再加上对顶角，首先的话我可以得到这个三角形 a e b， 它是全等于这个三角形的 e j 的， 这是的 e j， 哈， 好，这样的话我就能够得到这个得 g 的 话，首先是等于 a b 的， 并且的话这边一定是一个垂直关系，因为这个对应角相等嘛。然后的话，这里我们依旧是设这个 a b 是 x， 然后此时我们的这个得 g 也是 x， 这样的话，我们的这个 我们是想要把这个长度转化到这个 bfe 里面去，利用这个半圆三角形进行计算的嘛。然后这个地方我有这个 ab 是 等于 x， 然后 bc 的 长度是八，然后 ef 的 话，它作为中位线，它是会等于个二分之一 a c 的， 所以这个地方的话，我的 a c 可以 用这个根号下 ab 方加上 bc 方表示出来，就是等于一个 x 的 平方加上一个六十四，根号下 x 平方加六十四，那这样的话 ef 就 等于二分之一 的根号下 x 平方加六十四。好，那这个 e f 的 长度现在是有了，然后 b f 的 长度，我们可以，我们可以稍微转化一下哈，这个地方的话，因为这个角它是等于这个角的， 然后长度上这个 b b e 是 等于这个 e j 的 这边是一个中点，然后这里是一个垂线，所以的话我利用这个等腰三角形的这个二线合一，我是能够得到 b f 是 等于 f j， 同时这个角呢，是等于这个角，然后也就等于这个角，其实这几个角都是两两相等的， 我就可以把这个 b f 的 长度转化到求这个 f j 的 长度上去，然后这个得 f 的 话，它现在是等于这个 一半的这个 a b 嘛，它是等于一个二分之一 x， 这个的 g 的 话本身就是等于 a b 等于个 x， 所以 这里的 g f 呢，它要等于一个， 它的长度就等于一个二分之三 x 好， b f 的 长度现在也有了，然后这里的话最后还剩下一个 b e 的 长度， b e 的 长度的话，我可以放到这个里边，因为上面的 a e 等于四嘛，然后 ab 等于 x， 所以 我 b e 的 长度的话，是也可以用勾股定律把它表示出来，根号下 x 平方加上一个十六， 好，这样的话我的三条边都可以利用这个函数 x 平方加上一个十六，好，这样的话我再对它们整体进行一个一个勾股定律， 这样的话我还是能够解出来关于 x 的 一个方程，然后能解的 x 等于一个四倍根号二。但是这个方法我觉得相对来说第一个 可能没有那么大众化，然后也没有那么好求，所以的话还是推荐大家用第一种方法。相似这个地方我也考虑过，是不是我这个地方想的太复杂，但是我好像没有用备长中线想到更简单的这个方法，如果说有想到更简单的方法的话，可以在评论区讨论一下。 好， ok， 然后我们来看一下第二小问。第二小问一就是先来读一下题目， 我们说如图二，三角形 c、 e、 f 呢？是平行四边形 abc 的 半圆三角形，这个时候给了我们明确的角 c、 f、 e 是 一个九十度， 然后对角线 a c 和 e f 相交于点 j， 告诉我们如果 a j 的 长度是三，然后 f j 的 长， a c 的 长度是根号三， f j 的 长度是一个三，然后让我们想办法去求这个 c 的 长。 好，我们看一下这个题，他给的我们的长度，一个是 a j， 一个是 f j 都是在上面这个三角形里，就是说如果说我想用上这两个长度的话， 我应该大概率是要用到相似全等或者辅助线，就是去把这两个线段长度转化一下，这里边的话我们是有这个直角三角形，然后有平行四边形，因为第一问的话给的是矩形嘛，第二问的话转化成平行四边形，这里边还有这个平行的关系， 让我们去求这个 c 的 长，也是需要考虑一下到底是求这个 c 的， 还是说转化到其他的这个线段上去。 好，读完题了，我们来看一下这道题的话，我们的辅助线可以怎么去做好，这这的话我们把这个图稍微放大一点点， 我们第一问的话，他给我们的一个思路就是让我们可以去延长，然后进行这个倍长中线的转化， 这的话我们选择去对这个 e、 f 动手，因为这个 e、 f 放在这个平行四边形里面的话，我们其实是没有什么思路去给它进行转化的，这步假如说我们把这个 e f 延长一下，大家看一下，延长一下这个 e f， 然后呢再延长一下 c b， 这样交过来。 好，假如说这边的话相交一个 m， 然后呢把这个 e f 再往上延长一下， 这样延长一下，然后呢再和这个 c 的 延长线，假如说我们相交于这个 n 点，看一下，这样有什么用哈？ 因为我们这里的平行四边形，其实我们没有办法在这个内部用上，假如说我想用这个 aj 和这个 j f 的 话，大家会发现没有一个平行相似能把它放进去，所以的话，首先我能想到的就是去构造平行， 那构造平行的话，因为这里本身就有平行四边形，所以我想到的肯定优先是用这个上面的这个 a 的 和底下这个 c b， 所以 的话我选择延长 c b， 然后利用这个 e f 把它延长过来，产生上边和下边。大家来看一下这个 因为一点是什么点？一点是中点啊，一点中点，这样我延长下来的话，上下是不会形成一个八字，这的话因为一点刚好是中点吧，所以上下的话就不是八字相似，而是一个全等，我就可以去正这两个红色三角形全等。 然后与此同时的话，如果说我们再去正一下这边 f 点，是不是同样也是中点， 这边依然是 a f 等于 f 得，然后还有这个平行在，然后还有这个对零角在，是不是也可以正这两个角，它也是一个全等的关系，这样的话我们就可以把这个里边这个不 就是我们不会怎么去处理这个 e f 转化到外边的这两个三角形里面去。好，然后我们来看一下，我们做完这个辅助线之后，我们先分别延长这个 e f 和 f e 分 别交 c b 的 延长线于 m， 交 c 的 延长线于 n， 然后我们先简单的来证一下这个全等，那全等的话其实大家已经非常的好证了， 这里的话有对零角，然后是不是有平行？ 好，然后首先我们就能够非常简单的得到三角形 a e f 全等于三角形 b e m。 然后重点来看一下我们证全等之后，我们要提取什么关键信息啊？我可以得到的长度是 a f， 它是等于一个 e m 的， 然后 b m 这个的话是等于这个 b m， 然后这个 f e 的 话，是不是等可以转换成等于这个 e m？ 好，接着往下看，那这个 b m 现在它的长度等于 a f f 点的话，同时又是这个 a 的 中点，因为我们第二问的话，给了这个谁的长度啊？给了这个 a a j 和这个 f j 还是没有办法先转化，只能先去转化这样的一个倍数关系。所以的话我们能够得到 b m 呢？等于 af， 然后又等于这个 f 得，然后它是等于一个二分之一倍的 a 得，然后同时又等于一个二分之一倍的 bc。 为什么要转化这么多呢？因为等下我们想要把这些就是所有的这个条件全部串起来。 好，所以的话看一下 a f 的 长度，它等于什么？它等于三分之一倍的 cm。 好， 假如说这个是一，这个是一，那这个长度也是一，那底下的 b c 的 话就是二，所以的话 c m 整体占的长度就是三， a f 占一份， c m 占三份，所以的话 a f 的 长度呢就是一个三分之一倍的 cm， 然后我们看同理，同理的话大家看一下这个是不是也是一样的，他占一份，他占一份，然后他也占一份，这样的话我们的这个 fe 看一下， fe 和 fn 也是相等的，然后这个 ae 的 长度呢？ 他又等于。好，这边是他占一份，然后他占一份，他占一份，然后相等这边的 c 的 是不是占两份？整体的 c n 是 不是占这个三份？那这样的话我的 a e 的 长度是不是也是占这个 c n 的 三分之一？ 好，那这样的话我们就可以得到 a f 的 话是等于个三分之一的 c m， 然后 a e 的 话是等于一个三分之一倍的 c n， 然后并且这边的长度关系，这个 ef 呀等于这个 f n， 然后还等于这个 em。 看一下，然后我们这里换个颜色来看一下。好， 现在呢我们还有这个平行四边形，所以的话我们还有两组对边是分别平行的，然后我们现在可以开始用我们的这个 aj 和这个 aj 了，来看一下 aj j c， 它等于一个 f j 比上一个 j m 好， 我们构造了上下这两个粉色的三角形的相似，并且相似笔的话来大家看一下，相似笔的话我不小心擦掉了 这个自动擦出功能，真的很烦。好，这样的话相似比的，相似比的话，我们是不是可以说 a j 比上这个 c j 等于个 f j 比上一个 j m 等于 a f 比上 c m 好， 我们相似比是有的，相似比的话就是上比下是一个一比三的关系， 然后的话我们是不是有这个 aj 的 长，有这个 fj 的 长，所以的话我们根据这个相似比直接读到 cj 的 话，是等于一个三倍的 aj， 等于一个三倍根号三， mj 的 话是等于一个三倍的 fj， 等于个九。 好，然后我们稍微擦一下这个里面的线段， 好，大概大概把它里面的样子擦出来哈， ok， 然后继续来看一下，在这里把把这个延长线再连回来， 好，然后看一下我们的 f m 的 长度。 f m 的 长度呢？我可以用这个 f j 加上这个 j m 来表示，这个 j m 的 话，我们刚才算的是等于九， f j 的 话等于三，所以的话它俩加起来等于个十二， 同样的这个 e f 的 长度，他就等于这个 f n 的 长度。 f n 看在哪里啊？ f n 在 这里 等于这个 e m 的 长度。这三段他们三个都是两两相等的，就等于一个六，因为 f m 的 话是等于 e f， 然后整体的这个 e m 吗？是他们的两倍，所以的话每个都是六。 好，然后现在再放进来看一下，这里的话是不是还有个直角三角形没有用啊？来看一下 c f 一， 这里有个直角三角形，所以的话可以用勾股定力，这里我们求出了 c 这的长度。哦，放在这个三角形里。 好，这里我们求出了 c j 的 长度，是一个三倍根号三，然后 f j 的 长度我们求出来是等于三，这样的话根据勾股定律是不是可以求出这个 c f 的 长度，哎，直接就是一个斜边的平方，减到这道边的平方，再开根号算出来是一个三倍的根号二， 知道了这个 c f 的 长度之后，我们再把它放到一个新的直角三角形 c f n 里面去， c n 的 长度的话，它作为这个斜边，它应该等于 c f 的 平方，然后加上这个 f n 的 平方，然后再开根号，这个 f n 的 长度呢？刚才我们算出来已经是等于六了， 然后这个 c f 的 长度是，我们刚刚算出来是等于三倍根号二的，这样的话我们就可以把整个 c n 的 长度给它算出来。 c n 的 长度的话，就是等于根号底下三倍根号二十八， 然后再加上一个六的平方三十六，然后这样算出来的话，我们的 c n 的 结果是一个三倍根号六，好，整个的这个 c n 长度有了，然后这个 c 的 的话，是不是三份他占两份啊？他就等于一个三分之二倍的 c n 长度为一个二倍根号六，好，这个是我们的第二小问，然后第三小问的话，我们就放到下一个视频里面一起去讲解。

我们现在来讲一下最新省实验三班的第十五题，这个第十五题出的比较绝，它确实是融合了将军引马，融合了一箭穿心，融合了垂线段最短的这样一个最小值。首先我们看一下题目，这个题目上是说 角 a、 c、 b 等于九十度，然后呢，角 b 是 三十度， ac 等于四 好，这个 m n 是 m， n 是 ab 和 bc 上的动点，而的呢，也是 bc 上的动点，以 c 的 为直径，做了这个黑色的圆，然后 连接 f 的 交圆与 f， 连接 f， m 和 mn。 那我们看一下啊，从我 f n 的 角度来说，那么动点是在 a、 b 上 这样一个基本结构呢，我们就想到了将军印码，所以我们做点 n 关于 a、 b 的 对称点 n 撇，那么我们知道这个角度呢，也是三十度， 所以我们就把 f、 m、 n 撇顺次连接了起来。那么 f m 加上 m、 n 撇什么时候最小呢？就是当 f、 m、 n 撇三点共线的时候 最短，但是此时我们这个 f， 它也是一个动点，因为咱们点的是在动， 所以我们需要找到动点 f 的 运动轨迹。那么我们来看一下连接 c f 之后，因为 c 的是直径，直径对直角，那么咱们角 c、 f 的 等于九十度，那么咱们的角 c， f、 e， 这也是九十度， 所以我们动点 f 的 运动轨迹就是在紫色这个圆上，于是我们就向 n 撇 m， f， g 四点共线，那么此时咱们只需要求这个 g n 撇的长度 减去半径 g f 就 可以了。但是呢，我们这个 g n 撇也不太好求，它没有在 直角三角形中，那么于是我们就延长 n 撇儿 g 射线与 b 的 射线交于点 p， 那 么这个时候我们来看一下条件当中给了我们 a、 c 是 四， e 是 中点，那么也就是说咱们 e、 g 的 长度以及 g、 h 的 长度都是一根据三十度，这个也是三十度，那所以我们的角 p 就是 三十度， 三十度所对的角边等于斜边的一半，那么我们 p、 g 的 长度就是二， p g 的 长度是二， p、 h 的 长度就是根号三。因为我们 a、 c， 这个 c 和 h 重合了，这个 a、 c 是 四，那么咱们 bc 就是四倍的根号三。那么此时我们 b p 的 长度就等于四倍的根号三，加上根号三就是五倍的根号三，那么 b p 的 长度是五倍的根号三。 我们就可以求出 p n 撇的长度，它就等于五倍的根号三，乘以二分之根号三， 就等于二分之十五，那所以我们最小值 f m 加上 m n 撇，实际上就是 f n 撇的值。 f n 撇就等于 p n 撇减去 pg， 再减去 g f， 那 么就等于二分之十五。减去 p g 二减去 g f 一 就等于二分之九，又是它的最小值。

二六年二零二六年淄博三模第二十三题，稳态大题，这道大题考的很好，这个地方就是他最后的时候，嗯，是通过嗯每种每种实验的那种结果，预期那种结果来倒推 你的实验条件有分组之后啊，你怎么来设置这个单一变量？这个题九分，九分，咱们先做题，第一小题，细胞因子是由谁产生的发挥免疫作用的物质。这个在济宁三模的第九题中也考过这个问题。 这个问题呢，就是因为咱课本上提到细胞因子时候，在那个图中和在正文中提都提到了辅助性 t 细胞分泌细胞因子。所以呢，有的老师就把这个地方呢讲的比较狭隘了。 所以呢，学生认为细胞因子就是由辅助 t 细胞产生的。其实好的细胞都可以产生细胞因子， 你比如说单核细胞、巨噬细胞，嗯， t 细胞、 b 细胞、 n k 细胞等等，这些免疫细胞都能产生细胞因子。还有一些非免疫细胞也能产生细胞因子，比如说表皮细胞、内皮细胞等。 所以呢，细胞因子就是由免疫细胞或其他细胞产生的发挥免疫作用的物质。这个具体的这个答案呢，你，你就参照参照咱们免疫调节那张第一节里边的免疫活性物质那里， 哎，它是由免疫细胞或其他细胞产生的发挥免疫作用的物质。那个 这个 e l 杠 e b t， 这个是细白细胞激素，它升高可以怎么着？降低消化能力？体重下降来，体重下降， 哎，体重下降，降，降低消化能力，那就是这个肠道微生物群混乱了，混乱怎么可能跟它联系，它是一个细胞因子，这细胞因子升高了，那肯定免疫调节， 免疫调节就受到影响了，哎，所以导致免疫调节异常，然后近而失，肠道微生物群混乱，哎，接着后边就能接上了。那这个这个空呢？也是一分。这个题基本上一个空一分，只有一个空，是个二分。 第二小题 n e 的 产生受下丘脑垂体、肾上腺皮质轴，也就是个 h p a 轴。这个题其实还考了另外一个轴，只是它没给你，情境中没给。然后呢，我觉着这个题它应该在情境中再给一下就好了。 这上来这一空，这是个二分的空。哈，这个二分的空是考的课本原话就是分级调节，怎么着有利于精细调控，从而维持集体的稳态。其实就是这个空，以及后边这这这两句都要求大家背过的。所以这个空的设置就是要求大家回扣教材， 那就是可以放大激素的调节效应，并形成多级反馈调节。接着加上后边这些， 那肠道微生物可以合成多巴胺，多巴胺通过影响迷走神经来调节肠道蠕动。他把这个情境呢，把一个复杂的情境他简单化了，给了这么一句，给了你这么一句之后，实际上这一句对后边这个空的选择啊， 提示性不强。嗯，这个这个多巴胺通过影响迷走神经来调节肠道蠕动呢，这就是一个肠脑轴， 这肠道中呢，实际上就是肠道中的微生物呢，分泌的这种多巴胺。多巴胺影响迷走神经，迷走神经是一个，嗯，妇科型的神经，它里边既有传入神经，又传出神经，传传出神经主要还都是些腹交感神经， 就是第十对脑神经，那这他他通过一个复杂的关系，在最后通过传出神，通过那个腹交感神经来使微潮蠕动加快的，所以他这个加快哈，在题目中是没有依据的， 这个事实科研事实的确是让他加快，所以他应该再给你加上这个长脑轴的一些数据或者信息，那这个这个框就很能填出来，是胃肠蠕动加快的话，那一定是腹交感神经。 剩下这两空都是每空一分。第三小题对，第三小题设置的很好，他分了四组，第一组给你打了样，但是第一组他就问你实验的目的是什么？是那个第实验，他第一组他给你打了样哈，第二组他根据目的，根据目的，就像倒推你怎么来 做的这个实验设计条件什么样的？那第一组和第二组记住单一变量原则，最多就就是有一个变量是不同的， 那第一组什什么都不进行，哎，所以他是一个正常体重精准。第二组呢，得是作为益生菌疗效的阴性对照，阴性对照那就说明不加益生菌， 你看这个第三组，加了益生菌就灌灌胃了，那第二组就不能加益生菌，那就照着还是第一组，这样还是生理盐水灌胃， 官位呢，他还要效，要疗效，所以这应该算是个患病的，患病的对照，那就是，哎，就得束缚小鼠了，把这不字去掉，剩下抄过来，这就可以了。这是一分第三组，第三组他，哎，和第二组一样， 都是束缚，也是迷走神经的假切断，你要说还说是迷走神经，这时候呢加了益生菌呢，哎，他俩二和三之间单一变量是冠为了益生菌，那这个目的就是 就是什么？就就是益生菌能够能够缓解束缚对对他体重的影响，哎， 就是验证益生菌可以缓解束缚对消除体重的影响。这又是一份第四组，第四组和第三组哈，咱看呢，这个目的中差着什么哈，可以通过迷走神经来缓解。哎，这是那单迷走神经，是呢，单一变量了， 那第三组是没切断迷走神经，那第四组就得是切断这个迷走神经，其他都要相同了，所以他这对照才能知道是迷走神经的作用。 在这个题啊，考察考察你分组分组之后如何设置单一变量，考察的非常非常好哈，这个题做不好的同学得反复琢磨琢磨你以后，哎，哪两组之间形成是是哪个单一变量对照，为了实现什么样的目的，哎，这个题是作为一个很好的实力。 那接下来最后大家看一下这个评分标准。

二零二六年二零二六年五月二十一号思慕班的考前仿真模拟第二十五题，基因工程大题。这道题一共十二分，其中有四个空是二分，剩下四个空是一分。 为监测水体重雌激素的污染程度。研究人员将荧光蛋白基因，这就是个报告，基因导入到大肠杆菌，这样极微量的雌激素污染水体，就可以使大肠杆菌发出荧光。 那这个大肠杆菌的导入的这个荧光蛋白基因前边这个启动子，这个启动子就应该是雌激素诱导型的启动子，极微量的雌激素就能诱导这个启动子，荧光蛋白基因就能发光，并且雌激素污染越严重，荧光越强。 先第一小题未构建重组质粒，研究人员先用 smart one 和 eco r five 对 质粒进行完全酶切。那这两个看看。 smart one 哎，切的是平末端， eco r five 这么切出来也是平末端，所以 这个质地上就切掉了，中间这一块的二面青霉素就掉了，没了这个结。切出来这两段呢，这两个末端呢，都是平末端。 然后呢，再选择哪个酶对荧光蛋白基因完全没切，还有产生粘性末端，在个最好产生粘性末端呢，还要补平，哎，关键词，补平，补平。这个呢是二零二五年上顿年考的，哎，考的很新奇，所以这一年各地都在那考这个补平，甚至在考什么切平。 那要叫把这个，呃，荧光蛋白基因然后接入到这个智力中，形成重组智力的时候啊，咱一定要注意方向。 这个题启动子，中指子，这决定了转录的方向，那就从启动子到中指子是这样的，那呃，这个目的基因中呢？转录的模板，这是三撇段，有了三撇端了，那转录的方向是从模板这三撇端向 五撇的延伸，所以转路的方向呢，也是从左向右，你发现这两个转路方向一模一样的，那你这个荧光蛋白基因就踏踏实实的这么原原本本挪过来就可以了。所以左左侧，哎，切目筋照样用 small one 来切了。那这边切出屏幕端，就跟这边切出屏幕端，那直接这么接 没问题。右边呢，这边注意这边是个平末端，那这两个眉切出来他都不是平末端，注意下，他是这都是粘性末端，所以才需要补平，补平之后补成平的，然后才能跟着一靠二发，我这才能接起来。 那这山山东题不就一样了吗？那现在关键的技术就是看这两个切出来粘性末端哪个能补平。补平时候哈， d n 聚合酶是从五撇向三撇延伸， 所以你这个什么三撇端突出的，他就不能延伸了，三撇端缺失的他就能延伸。那你看看这个五撇， 那对面的他，他这个多出来的这四个，这就是三撇端，他三撇端突出不行，这是不行的。这个呢，哎，五撇到三撇他缺了四个，他三撇端他是缺失的，所以就能延伸。 这个看不懂的哈，就跟你讲快了，看不懂的说明你这一年你作为山东考生，你这一年你就没练这一类题，或者练的时候你没练会， 那这样呢，我就按照你们课本上学的那个最简单的方式，给画成双链来，再给你，再再再给你拉开。 哎，这大概大概那些小贝贝们就会了哈，来，咱用塞克万来切的时候，哎，咱先把，咱先把这样两链互补出双链来，双链来，在 t 和 c 之间切，切完拉，拉开，这样你们就理解了吧。 这回理解了之后，那你看看这个三撇，缺着这四个，缺着四个，咱子链延伸时候不能从三撇向五撇延伸，同样这边也不能从三撇向五撇延伸，你根本就补平，所以这个不行， 这个大概点懂，懂了吧？同理，下一个咱也给你补齐他哈。其实我不补齐，我知道这边缺了三撇端，缺了四个，那么五撇三撇延伸一下就延伸出三个来了，那，那你看看，来， 从 t 和 j 之间切切完了之后，这边这不就缺四个字母吗？哎，这边从五撇三撇能延伸，那一延伸的时候，哎， t， t 和 j 配对，哎，这 c 和 j 配对， a 和 t 和 a 配对，哎，这又是 t， 这 c， 然后第一句和没把它们连接起来，这就能补平了。 不光能补平，补平完了就是这个样，就是就是，你的刚才那个识别穴位网红挪挪四位，这就是补平了的样子，所以这个选这个 bcl 一 用 dna 聚合酶 把它补平，这老贵了，一共二分，那用什么来连接？你补平了之后就就就是屏幕端了，哎，所以这个屏幕端和这个屏幕端接，这边屏幕端和这边屏幕端都是屏幕端，所以最好是用 t 四 d n 聚合酶。 嗯，第二小题筛选的问题，加入什么筛选？那这个已经被剪切掉了，替换掉了，那这个保留着是用卡纳霉素一分，用宪制酶对这个重组质粒进行完全酶切，并电涌出现几个条带，证明它组装正正确。 那首先你接这边，接完了，这个眉是完全保留着的，然后这边呢，你用这个眉切，切完了再补平，再补平就补到，再补平就补到这里来了， 补到这里来了。然后后边儿呢，再接 echo i five five， echo i five 在 字迹上留的就是后半截，后边再接上这三个，所以它后边再接就变成了，再接上就是 a t c 了。那你看看这个 bcr one 的 bcr one 的 这个，这个识别虚列是不是完整了，又凑完整了， 所以还能被这个没来识别，所以这个二分，这个又，又脑子想象，想象不到的同学，哈，你想不出来的。那好，我再给你再再把它重组之力再给你画一下。 哎，咱有个同学这个想象力是的，的确有问题哈，那正向连接时候来，刚才咱这个那个切的时候，左边左边是用 small one 来切的，你切那个目的音的时候，外边切掉，留下的就是 j j j。 哎，那你这个目的右侧是用，是用 b， c， l y 来切，切完了之后切，切到这里再补齐。我刚才说再往后补四个就补齐了，补平了补到这里，所以抄吭。所以红色区域，红色区域，这就是那 荧光蛋白基因啊，切完了呢？荧光蛋白基切完，并且补平了荧光蛋白基因。那蓝色区域什么呢？是质地，质地上用四码 y 来切， 切完了之后呢？它是，呃，质地切完了是留留着这样的，所以，所以你这个这边的留下是 c c c 所蓝色是在质地上留下的。那右边呢？你用一格 r five 过来切，切完了是漏，漏留下的是， 是右边，这是半截，所以蓝色的区域是在质地上留下来的，那这样再连接完了，连接完了，那你看看这个是不就这个酶的识别学的来？ t j a t c a 加上 a 了，是不又是 bc b c l y 的 这个识别距离，所以它这个智力若正向连接的话哈，哎，它这个环状的智力再给它连接起来一个环状的环状 dna 分 子，这切一刀，这切一刀， 这切完了之后，这是一个短片段，剩下的这些就是一个长片段，所以会出现两个条带， 那你接反了，那会怎么样？你又把中间我给画出来这个目的，旋转一百八十度，哎，这边这边倒过来，到这里，那这边这边旋转一下，就就到这里，那就下，就是我下边这个反向连接这个样子了。那反向连接的时候，你再看看还有没有酶的识别距离， 这边不能被任何一个眉识别识别，这边也也也不能被这两个眉中的任何眉识别，所以它就切不了，它还有个完整的之力，哎，所以这就能区分正向连接和反向连接，当它出现两个了带条带时候，说明正向连接了。 第三小题，那这个启动子是雌激素诱导型启动子分析，题干的分析过了哈，并且题干告诉你，污染越严重，荧光强度就会越强，所以最后这个第三小题反而变得很简单了。最后给大家看评分标准， 这这老贵了，剩下的都很都很简单。

大家好，我是姚老师，昨天有同学私信我，让我更新一下立体几何，然后今天老师给大家带来了江南十校立体几何的大体啊，这是一道非常好的空间向量的题目，大家可以跟着姚老师后面一起把这道题看一看，写一写。 在视频的开始前，各位同学如果有想听的题目和题型，可以在这条视频的评论区留言，或者直接私信我， 下一个视频我会更新相关的题型。好，我们话不多说，直接开始第一题，我们读题目，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四， b， c 等于二。将三角形 a、 b、 d 沿矩形对角线 b、 d 翻折至 s、 b、 d， 而这个时候这个 a 点就变成了 s 点， 使得 s 点在底面 b、 c、 d 内的投影点在什么呢？在 o 在 c、 d 上，那这个 s、 o 就是 垂直于这个底面的啊，一定要记住它，基础的知识必须得知道 m 为 bs 的 终点。第一个求证 s、 d 垂直 mc 啊，这个我们说送分题一定要拿到啊，不能，千万不能因为这种题目扣分！ 好，杨老师带大家写一遍啊，就相当于学习一下格式吧，证明好，因为 s、 o， 它是不是垂直这个平面 b、 c、 d 的， 所以你这个 s、 o 是 垂直什么垂直 b、 c 的 吧，因为 b、 c 是 在 b、 c、 d 内的嘛，对吧？又因为什么？又因为你这个 b、 c 是 不是垂直什么垂直 c、 d 的， 对吧？然后且这个，呃， s、 o 交这个 c、 d 啊，它是等于什么？等于 o 点，所以我们可以得到这个 b、 c， 它是垂直这个平面 啊， s、 c、 d 的 啊，一定要记住，如果一条直线垂直于两个就是相交的直线，那么这个直线就垂直于这个平面啊，一定要记住啊。好，因为什么呢？你这个 s、 d 它是不包含在这个平面， 是吧？ s， c， d 内的啊，所以我们可以得到这个 bc， 它是垂直什么？垂直 s， d 的， 对吧？然后又因为你那个 s， d 它是垂直什么呢？它是垂直 bs 的。 为什么？ ssd 垂直 b s， 那 不就相当于 ab， 呃， b s 啊，那不就相当于 ab， 呃，垂直什么？垂直 ad 吗？对吧？不是矩形吗？垂直于 b s 的 啊，且什么呢？且，这个 b s 交什么？交 bc 啊，它是不是等于 b 点， 对吧？ bs 是 交 bc， 等于 d 点，所以你这个 sd 它是垂直什么垂直平面？ sbc 吧，是不是？然后又因为你这个什么，你这个 mc， 它是包含在平面 啊， sbc 内的，对吧？所以我们可以得到这个什么 sd， 它是垂直什么啊？ mc， 对 不对？这样是不就搞定了 啊？这，第一问，送分题啊，这作为第十六题，十五分出现，第一问，将近五分啊，大家一定要拿到啊！第二问，姚老师啊，觉得这个题也也比较简单啊，大家可以在考场上，考前可以练练手。 好，然后这个题目的话，有两种方法啊，这里我，我就用大多数同学啊都能接受的方法，也就是间隙去做啊。如果你说老师我，我就用大多数同学啊都能接受的方法，也就是间隙去做啊。如果你说老师我，我想用那个几何的知识去写的话， 嗯，你也可以跟你姚老师沟通一下啊，如果可以的话，我们私信我，单独给你讲一下这个几何的方法怎么去写。但是为了这里适应绝大多数同学，我们还是用间隙的方法去写吧。啊，好，他的求二面角 d， 呃， mc 杠 s 的 余弦值啊，这个就是常规的那个题目，那怎么写呢？首先我们间隙啊，你 s o 现在是不是 这个 s o 啊？呃，它是不是垂直这个底面，这个底面，这个，呃， b c d 的， 对吧？那我们肯定以这个为 z 轴，对吧？那你这样垂直的话，那我们可以以这个为什么？好，我们可以以这个为 x 轴， 那 y 轴怎么办呢？那我们是不是以平行过 o 点做什么？平行什么？平行 b c 的 直线为 y 轴，对吧？这样是不是就就可以了，对吧？这这个东西啊，间隙是非常好建的。然后就是剩下的标点的坐标啊，那我教一下各位怎么去标标点的坐标啊，一定一定要细心一点啊。 好，接下来我们要求一下各边的长度啊，这样的话才能标点的坐标。好，我们看一下，首先 s b 是 不是等于 ab 等于四，对吧？ s d 是 不是等于 b？ c 是 不是等于二？ b d 是 不是等于？ 呃， b d 是 不是用勾股定算一下？是不是得更换一下什么啊？是不是更换一下那个 s b 的 平方加上什么 s d 的 平方？ 对，二倍根号五吧，是不是啊？好，然后啊，你看啊，我们第一问是不是证明了这个 sd 啊，垂直这个，这个 sd 是 垂直这个三角形，这个什么 sbc 的， 对吧？啊？ sd 是 垂直三角形 sbc 的， 那我们是不是可以得到 sd， 它是垂直于 s c 的， 对吧？好，然后你这个 c d 是 几啊？你 c d 是 不是四啊？对不对？所以你这个 s c 等于几啊？是不得更换一下什么？呃， c、 d 的 平方减去什么 s、 d 的 平方等于什么？是不得二倍杠二三呀， 对吧？也就是说这个 c、 s c 算下来等于二，等于二倍杠二三。 s o 是 多少？ 我们用什么求？用等面积求啊。你在这个 r t 三角形 s、 c、 d 中，你是不是有这个 s c 乘一个 s， d 是 不是等于四？ cd 乘一个 s o， 对 吧？是不是这样子的？所以你这个 s、 o 等于什么？是不是 s c 乘 s d 除以一个什么？除以个 c d， 那 就相当于二乘一个二倍根号三，再除以四，等于等于根号三。哎，这样是不是等于根号三， 对吧？那这是几，这是一，那这是几？这是不是三，对吧？那这样所有所有的点是不是都标出来了啊？一定要利用初中学的这个几何知识就可以把这个点给他标出来了。好，那我们写下点的坐标吧。啊，那这相当于大功告成的啊。 还有就是姚老师这里插一个闲话啊，就是各位高三的同学一定要注意身体啊，你们马上高考，千万不要感冒了啊。姚老师最近有点感冒了啊，你们一定要这段时间身体很重要，一定要坚持住啊。好，我们看下点的坐标怎么求？ 所以你看啊，我们需要的这个点 c 的 坐标是什么？ c 的 坐标是不是叫？呃，对，我们用蓝色笔去写啊。 c 的 坐标是什么？ c 的 坐标是不是叫三零零， 对吧？然后 s 的 坐标是什么？是不是零零？根号三，对吧？然后 d 的 坐标是什么？ 叫负一零零啊？ b 的 坐标是什么？是不是叫三多号负二啊？零啊， 横坐标是三嘛，然后重坐标的话是 b c 的 长度是二嘛？然后它是负半轴的话，是不是叫负二的方零，对吧？那 m 的 坐标 m 是 不是叫 s 和 b 的 中点呢？是不是叫 s 的 坐标和 b 的 坐标相加除以二，对吧？就是二分之三啊，负一，二分之二三， 对吧？啊？这是不是就点了坐标是不是标好了，然后是不是求返现量？其中一个返现量是不是很知道呀？对吧？因为你看啊，呃，你这里是不是两个面，第一个面叫什么？叫面？呃， s m c， 第二个面叫什么？叫面 d m c？ 我问你啊，这个面 smc 和这个面什么呢？ sbc， 它是不是同一个面？所以你说白了，面 smc 的 反向量其实就是面 sbc 的 反向量嘛？面 sbc 的 反向量是什么？它的反向量是什么， 对吧？我们第一问是不是证明了是不是就是 sd 啊？因为 sd 是 垂直什么平面 sbc 的 啊，就是 sd， sd 向量使得吗？我们拿 d 减去个 s 得出来，使得吗？呃，我们我写个写，写个这样吧，写个 ds 吧，是不是 d 就是 ds 向量 电子量是什么？所以就一零根号三 s 减 d 嘛，对吧？这样的话是不是好算一点，避免了负数，对吧？好，那我们现在是不是相当于只要求这个这个，这个面叫什么？叫 dmc 就 行了，对吧？那我们可以设 dmc 的 反向量是什么呢？是 n 向量叫什么呢？叫 x y z， 对 𠲎。 好， 那我们这里需要标什么呢？标 mc 向量。 mc 向量是什么？你减一下不就行了？二分之三啊，一负了二分之三， 再标一个什么呢？再标一个 md 向量啊，你说老师我标 dc 向量行不行？都行啊，随便你啊，负了二分之五啊，一，负了二分之三，是吧？这样是不啊？二分之三，不好意思啊，负了二分之三， 对吧？这样是不就搞定了，对吧？那你这个乘一下 n 向量，乘一个 mc 向量是不是等于零，对吧？ n 向量乘以什么？乘一个 md 向量是不是也等于零啊？ 对不对？好，那这边可以得到什么呢？得到二分之三倍的 x 加上个什么呢？加上个 y， 减去个二分之根号三倍的什么？呃， z 它是等于什么？等于零的，然后负的二分之五倍的什么？ x 加上个 y， 对 吧？然后减去个二分之二三 z 它也是等于零的，对吧？啊，然后，那这样怎么办呢？然后这样呢？是不是可以拎一下，对吧？好，我们可以。怎么怎么拎呢？呃， 我们可以拎。呃，这一层的话，呃，这个，这个要会讲， 我们可以得出来这个 n 向量是什么呢？ x 是 零啊， y 是 杠三啊，这个你自己带进去算一下啊。 z 可以 令它等于二，对吧？我们这样就可以成立了，对吧？ 好，这样是不是就就直接是最好的接法？所以 i 向量是是零二三二，对吧？好，所以它的口算值。那这个口算谁呢？等于什么？是不是等于 i 向量乘以什么乘以 d s 向量啊？ 打个绝对值符号下面什么是 n 的 模，乘以什么乘以 d s 的 模，对吧？算出来点什么呢？等于七分的根号二十一啊，这里这个指大家自己去算一下啊，然后就不带大家这个计算，计算一定要过关啊，这是我们讲的这道题。

二零二六年，嗯，淄博考前仿真，嗯，测试也是，也就是淄博的三模。第二十一题，光和作用大题。本题分值九分，题目给的，嗯，信息足够多。 子叶出土后，细胞内的黄化质体合成光和色素，成为叶绿体，开始进行光和作用，同时细胞自身也快速生长，通过体积或数量的扩张 来支撑幼苗的生长。若数量的扩张的话，那就要有丝分裂了，那细胞周期要靠细胞周期变长变短的问题。研究发现，黑暗条件下，这 r d e 蛋白， r d e 蛋白哈，能够 弯曲 dna 形成闭合环，将这个 d p a d p a 什么东西呢？就转入因子。你看，大家注意到这道题，它跟 b c 二筋的表达联系在一起了， 同时他还好暗戳戳的跟那个转基因联系在一起了，就是选 b 三又联系在一起了。那你这个转录因子被锁在 dna 内部，他就不能进行转录了。所以这个这个有了这个蛋白之后，哈，那个基因就不能表达了。 那在光照情况下呢？二 d 蛋白就迅速降解，降解掉了之后，它这个锁死的功能就就失去了，就把人解放出来了。嗯，第一小题和这个题干没多大关系，现在这个题呢，是每空一分， 除了个别的两个空是两分之外，每空都是一分。第一小题，这三个空已经考烂了哈，哎，做到考试前做到这个程程度了，绝大部分同学，哎，都是会做的。叶绿素位于叶绿体的内囊体薄膜上， 能吸收光能，并且光将能量能量储存在哪？哎，两个缺一不得，分 atp 和 ndp 轻重液体体内外膜的功能影响膜的功能往往就是其上的蛋白质。蛋白质的啥呢？蛋白质的种类和数量？ 第二小题就根据实验数据了，实验数据表明，这个 rde 蛋白对叶绿素的合成来找叶绿素的相对值。 你拿数据说话，哎，在同样，咱找相同条件下，在同样都是黑暗条件下，那野生型和这个 r d e 突变体 r d e 突变体，它就没有，没有，没有正正经的这个 r d e 蛋白了， 哎，丧失了 r d e 蛋白或者 r d e 蛋白丧失功能之后，你还会导致什么？叶绿素含量？哎，零点五升到零点九，上升了，同样的光照条件下，哎，一点零变成了一点八， 丧失了 r d e 之后，叶绿素在这两个条件下均上升了，所以 r d e 的 叶绿素合成起了抑制作用。 那接着就问你光照影响叶绿素发育的机理？向上体格中找光照，我就把这一行都给留下来了。来，光照条件下会怎么样？那首先光照条件上 r d e 蛋白 被降解，这就第一句话，被降解。被降解之后呢？那二 d 蛋白有什么作用啊？它不是将这个，它就是将这个转录因子锁在 dna 吧，把它降解之后呢，这个转录因子就被释放出来，转录因子就能 催，就就能直接促促进谁的转录了，那找哪一种是跟叶力素发育有关的？来，这里还有一句话， 那就它就能让这个基因进行表达了，这个基因表达，表达出来这种蛋白， 这种蛋白表达出来之后，这种蛋白，你看这个，呃，突变体，突变体哈，这两个值都比相应的条件下都高了，高了之后呢，正好跟叶绿素含量成正比，那这个逻辑就闭环了。光着后， r d e 蛋白迅速被讲解这体干的信息，然后呢，这个转录因子得以释放，释放出来就促进了这个基因的表达，这个基因表达出来， d g e d g e 基因表达就表达出 d g e 蛋白了，这个蛋白跟这句话终于搭上了，它就促进叶绿素的发育。 这个空二分，那光照条件下，野生型子叶细胞的叶绿体发育过程中，细胞周期会怎么样？细胞周期？再看这个柱中哈，就是 p c p c n 一， 这个编码 s 七相关蛋白质，那 s 七相关蛋白质呢？它只问你在野生型子叶中哈，别的不用考虑，只考虑野生型。 野生型中，在光照情况下，它的 s 七比例占了百分之四十五，细胞就迅速进入 s 七了。那二在黑暗下呢，它只有百分之十的进入 s 七， 那说明它这个光照条件下，迅速进入 s 七，就迅速就进进入细胞周期，细胞周期就会变短，所以，所以这个呢，就会是变短的。哎，这让细胞数目迅速增加嘛，数量增加。 第三小题，这就认为这个基因就作为改良的潜在靶点，这这，这就到了基因工程了，刚才说这个突变体有什么好处？那咱可以人为的控制这个基因，表达了人，咱人为的控制这个二 d e 基因表达哈，那应用前，应用前景 应用前景上，咱这个题总共涉及了两个问题，一个是 s 七相关蛋白，一个是叶绿素发际发育的关键因子。那咱作用于这个突变体之后呢？首先这两组的叶绿素含量都升高了， 黑暗和光照下都升高了，升高了就有利于提高光和作用效率。还有谁呢？你看这两组突变体的，它的 s 七细胞比例跟这两组相比明显上升了，上升了就能缩短细胞周期，那这样呢？ 植物生长期也会变短，所以应用前景哈，就是通过抑制了这个这个的功能，这个功能必须是抑制哈，抑制了之后你要它缺失吗？缺失之后才会抑制它的功能，垂育出光和作用更强， 生长周期更短的农作物品种。这个呢也是个二分，最后大家看一下评分标准。

ac 比 ab 的 话是一个一比二的关系，现在我们说以三角形 abc 为半于三角形的平行四边形的一组邻边，分别记为 a 和 b， 让我们去求这个 a 比 b 的 值。好，那这个第三个的话，其实就是我们非常经典的要去构造一个一线三垂直了， 为什么呢？因为这个里边的话非常明显，让我们去求这个平行四边形两组边长的这个比例关系，然后我们里边又有一组垂直，然后根据我们的这个经验的话，这里肯定是要用， 因为里边已经有一个直角了，肯定要去构造另外更多的这个垂直。大概就是这样的一个思路哈，就是我们这种题其实遇到的已经非常多了，然后这个题目还非常贴心的给我们画两组图哈，就可能怕我们想不到。第一种情况的话，就是当这个 ab 比较长，然后并且的话这个 a 是 比较相当于比较偏右边的。 第二种情况话就是他把这个 a c 放在了左边，然后把这个 ab 放在右边。说明的话，我们起码要用这两两组图去探讨一下两种不一样的情况，然后我们分别来看一下， ok， 我 们先来看一下第一组，第一组情况就是我们的图，假如说像这个图三一样，然后现在想让我们去求这个小 a 比上这个小 b 的 值，我们想到的这个方法呢，就是去构造这个一线三垂，只需证明相似， 这样的话我们直接就作图就 ok 了。我从 b 点呢做一个 bh 垂直于这个得延长线，然后再从 c 点呢往下去做一个 cj 垂直于这个 a 得 好， ok， 然后我们来看一下这里边这个长度关系，这个半圆三角形的话，除了有一个九十度，是不是还有这个叫什么？叫这个中点？ 好，它是中点的话，说明这个 b 点呀，然后这个 a 点呀，实际上都是这个什么 e、 f， 还有这个 f 的 中点。我们就先把我们所有能够整理出来的条件先来简单整理一下。 好，现在我们先来看一下 b e 呢，它是等于一个 b f 的， 然后都等于这个一半的 b f， 因为它这个里面把我们这个邻边继承了小 a 和小 b 嘛，然后我们尽量的话，把我们的线段全部都转化成和小 a 小 b 有 关的这个代数式。 好，那这里 b e 和 b f 的 话，那就不用说了，就是等于这个比较短的这个小这个线段的这个一半，所以的话就是二分之一小 b。 然后这个 a、 f 和 a 的 的话呢，就是这个长一点的这个线段的一半，把它记为二分之一小 a。 然后我们来看一下，因为这个 e f 和这个 c 的是平行的，所以我们能够得到三角形呃，角 b f h， 它是等于一个角的。好，两两组同位角相等。 继续看，然后这边的话是不是还有一组垂直啊？所以的话，首先我能够得到这两个红色的，也就是三角形 b f、 h， 它是相似于三角形 c 的 j 的， 它这样相似之后，我们是不是可以得到一个相似比的关系，这样的话我能够得到 b h 比上这个 c j 的 话，就等于个 h f 比上一个 c d， 等于个 b f 比上这个 c d。 这里是不是写错了？看好 b f 比 c d， 然后这里的话应该是 g d， 稍微改一下，这应该是 g d。 好，这里的话，因为我们已经有了这个小 a 和小 b 嘛，但是我们这个是不是长度的话，感觉还欠缺一点？这里的话我们直接设这个 b h 是 x， 然后呢，这个 h f 是 这个小 y， 好， 这里是 x， 这里是 y， 然后这个 b f 的 话，就是我们的二分之一小 b， 然后因为这边的话，它是存在一个一比二的相似比嘛， b f 的 话，因为它本身是等于一半的 e f 也就等于一半这个 c d， 所以 的话相似比是一个一比二。这边是 x 和 y 的 话，那这边的长度 c x， 呃， c j 就是 二 x， 然后这个 d j 的 话就是一个二 y。 好，下面的话，我们就开始用这个非常经典，这个胰腺三垂直了哈，就是角移加这个角等于九十度，然后这个角加这个角等于九十度，那这个地方就不多说了，我们就可以直接得到这个 bha， bha 和这个 ajc 是 相似的。这个如果大家听到这个压轴题第三问的话，应该对这个相似是非常熟悉的哈，这也就不多说了。 然后的话，他们两个之间有没有一个相似比啊？边的话，其实分别是 ab 和 ac， 然后刚好的话 ab 比 ac 是 一个二比一嘛，所以我们的相似比整体就是一个二比一。所以的话，这边 aj 的 长度呢，它要等于一半的这个 bh 的 长度。 bh 是 x 嘛，所以 aj 的 长度呢，就是一个二分之一 x， 然后这个 h a 的 话，它就很明显是等于一个两倍的 a c， 哦，写错了，在这里，在这里啊，这里是直角边，画的太不像了，应该是这样，这里是直角哈，这边不是直角。好，这样的话我们的长直角边 a h 的 话呢，就等于个两倍的 c j 等于个四 x。 好， 这样的话我们可以一减，把我们的 a f 给减出来，我们的 a f 的 长度呢，就等于这个长的 h a 减掉这个短的 h f 等于个四 x 减 y。 对于这边来说，我们的 a 得呢，它就等于个 aj 加上一个 aj 的 话，刚才我们一算是不是等于个二分之一 x 呀？然后这个 j 得的话，是不是刚才我们自己设的等于个二 y， 所以 它就等于个二分之一 x 加二 y。 再来看一下， a 点的话是得 f 的 中点，所以 af 是 等于 a 得的，也就是代表着我这两个含 s 和 y 的 关系是它是相等的，我是不是就可以把 x 和 y 消一个圆？这样的话，我们的这个四 s 减 y 等于二分之一 s 加二 y。 化简完事之后能够得到 x 的 话是等于个七分之六 y， 所以的话，因为我们前面是不是这里的话有一个直角三角形给它放进来了，这里是 x， 这里，这里是 y， 我 们的这个 f 的 来看一下 f 的， 在这里 f 的 的话，是我们这个长边小 a 的 这个长度，长边小 a 的 长度呢，我们就可以直接用这个看看啊， 这里是 y， 然后这里是一个二 y， 然后 a h 的 话是等于一个四 x， 就 把这些长度全部给它带进去， 这样的话能够算出来这个 f 得的话是一个七分之三十四 y， 然后这个 b 的 话，它是等一个 c 得，这个 c 得的话，我们可以把这个 e f 用这个含 s 和 y 的 这个式子算出来嘛，算出来之后的话再给它乘以二，就是这个 e f 的 长度，所以的话我们的 b 也可以用这个含 y 的 式子表示出来。 这里的话大家削 s 和削 y 都是一样的啊，反正你算到最后肯定都是要把一样的这个字母削掉，这样的话我们就直接把两个式子一比，把 y 削掉之后算出来最后的结果是一个五分之根号八十五，这个是第一种情况，然后再来看下第二种情况，就比方说可能长这个样子， 那这种情况下呢？我们就从这个 c 点还是还是这样去做两条垂线，其实思路是完全一样的 好，然后其他其实其实和前面都是一样的，因为我们还是设这个短的是这个小 b 嘛，然后这里的话我们的长度就是 c e 和 c f 就是 二分之一的小 b， 这个 a f 和这个 a 的 呢，就是二分之一小 a。 然后根据一样的方法，我能够得到这个三角形 c g f 和这个 b h 的 他们两个是相似的，还是根据这个平行哈平行内错角，内错角相等，这里的话内错角，这个话内错角，然后的话各自都有一个垂直，非常的好正先证明这两个粉色的三角形相似， 相似比的话，那 b 的 和这个 c f、 c f 是 一半的 e f 吗？同时也就是一半的 b 的 相似，比的话依然是一个一比二的关系。所以的话我用同样的方法依然是去设这个 c j 是 x， 设这个 f j 是 y 的 话，我们就可以得到那这边的长度的话分别就是一个二 x， 这的话就是一个二 y， 然后现在还是和前面一样的，根据这个一线三垂直，我们可以得到的是三角形 b a h， 看一下三角形 b a h， 这个绿色的三角形，以及这边这个三角形 aj c 好， 原理依旧是垂直垂直，然后角一加角二等于九十度，角二加角三等于九十度， 所以的话能够得到一组角相等，然后一组角相等，能够得到这两个绿色的三角形是相似的。相似之后来看一下相似比，依然是找相似比的话，一个是 a c， 一个是 ab， 所以 相似比的话分别是一个一比二好的，然后这样的话我们的这个 c j 呢，它就会等于这个 一半的 h a， 这个 a j 的 话就等于一半的这个 h b， 同样的还是用函数的式子把它表示出来，这样一个 c j 等于个 ab 比上 ac， 他 们的这个相似比都是二，所以的话主要是用前面两个，我能够得到的是 aj， 他 本身是等于一个一半的这个 bh， bh 的 长度呢，刚才我们已经设过了，他是二 x， 所以 aj 的 话等于一半的二 x， 也就等于 x， 然后这个 h a 呢，他又等于个两倍的 c j， c j 的 长是 x， 所以 的话我们依然可以用含 x 和 y 的 这关系上，这个是 x， 然后这边的这个看 a j 是 x， 然后 h a 的 话是一个二 x， 可以 把这个 a 的 它这里是不是可以表示成一个二 x 减二 y， 这里的 af 呢？就可以表示成一个 x 加 y， 这样的话我们依然可以根据它俩相等，是不是得到关于 x 和 y 的 关系式，这个比较好算哈，这个一一眼算出来就是 x 的 话是等于个三 y。 好，那这里的话，我们就把所有的这个 x 依然是换成这个三 y 的 形式，然后这个小 a 的 话，看一下小 a 的 话是不是有这个 x 加 y， 然后再加上一个，到这边应该是 x 加 y， 加上一个 x 加 y， 总共是一个八 y 啊，这应该是得 f， 得 f 的 话等于个八 y， 还有哪个？还有这个 b 的 长度， b 的 长度的话，咱们用勾股定律一算就可以了哈，这个是二 x， 这个是二 y， 直接勾股定律的话，勾出来应该是一个二倍的根号十 y， 这个 b 的 的话等于个二倍的根号十 y， 然后的话我们看哪个是小 a 啊？这个这个长一点的是小 a， 是 吧？哦，这个这个是小 a， 这个是小 a， 然后这个是小 b， 然后我们想要求这个 b 分 之 a 的 值的话，就把它们两个一比就 ok 了，这样一比的话就能够把这个还是把 y 给消掉，然后得到这次的这个结果的话，是一个五分之二倍的根号十。综上的话，这两种情况都是有可能的哈，综上就把这两种情况全部都写出来就可以了。好，这个是第三小问。

二零二六淄博考前仿真，嗯，也就是淄博的三模。第二十四题，生态大题，这大题的是那个是跟现实生活哈联系的比较紧密。 那个潜水湖泊有两种类型，一种是藻型浊水态，一种是草型清水态，这么两种吻态 持续污水输入就会导致湖泊爆发水滑。咱们教材上提到过哈爆发水滑，这个淡水水湖泊爆发的叫水滑，爆发水滑的时候往往就是水体中的氮磷的含量高，就容易爆发水滑，这样就从草型清水肽转化为藻型浊水肽。 那第一小题，藻型浊水肽转化为草型清水肽，这两个之间转化，这应该属于次生岩体，这个孔没什么奇异。蓝细菌，这是一个物种哎，沉水植物，更多的物种和它们之间的中间关系，它们都要吸收阳光，都要，都需要 氮磷等矿质营养，所以它们中间关系就是竞争。这个时候他问你已经提的说出中间关系了，所以不打中间两个字是可以的哈，就直接打竞争就可以。 然后与甲组相比，甲组是一空白对照，甲组相比，乙组的 t p t n 赶紧来这助力找 t p， t p 就是 磷含量， t n 就是 氮含量， t p t n 就是 氮，磷的含量都降低了， 然后浊度显著下降。浊度来，这个注中也提到了，浊度是水体浑浊程度，反映水体中的底泥在悬浮颗粒的含量，就是这个是要降低的。那看看它这个一组哈哎浊度， 甲甲组是九十，它是，它是十五，哎，降低了， t p 零点三一降到零点零六， t n 一 点八五降到零点八五，就教你解释这三种下降的原因， 那那 t p 和 t n 就是 蛋和磷的关系，它下降的原因是一样的，那就是你这个沉水植物能够吸收水体中的蛋和磷， 它吸收蛋和磷之之后呢？哎，你刚才答过这一问，它蓝细菌和沉水植物之间是个中间竞争关系，那沉水植物吸收了蛋和磷之后，这些氮细胞的藻类 就不容易大量繁殖，所以就不容易出现水滑了，所以就会，哎，这个透明度就会变高。 然后第二个呢，要要考虑着度，着度是干嘛的呢？那沉水植物是是是把根附着在淤泥中，那它根附着在底泥中，就会让底泥中的这个载悬浮颗粒呢？哎，能固定固定它们， 固定它们呢，就避免了它再浮上来，哎，就是浊度，浊度变低了，所以这个作用呢，两个要打上来啊，氮和磷的作用，嗯，第二个呢，根系固定的底泥，减少底泥的再悬浮，这个呢，空是个二分，哎，这么长，一句二分。 然后第三小题，白鲢体型较大，活动能力强，它是个滤石性鱼类， 绿石性鱼类，它就是吸喝进来，然后再过从它的腮它，它通过它过滤，过滤一下把那个实际上也说明它是吃藻类的，而不是吃，是是那个沉水沉水植物的，所以它以浮游藻类主要是蓝细菌为食。 那些研究人员将湖泊生态修复中啊，它移植住了沉水植物，哎，有了，有了沉水植物，同时还放了一定的白莲。 按说有沉水植物之后，刚才提到沉水植物和蓝细菌竞争，哎，然后沉水植物多的时候蓝细菌就会少，然后就会使水体的浊度都会变小，但是呢，一加上白莲之后效果并不理想， 那就是白鲢干了啥坏事啊？咱看看他的特点，体型较大，活动能力强，他体型较大，活动能力强，活动能力强，就能把水搅浑了呀， 哎，所以就是根据他体型，白鲢体型较大，活动能力强，他的活动就是让体泥，哎，搅起来了，搅起来之后这个浊度，浊度就变大了， 它就不，它就不透明了，不透明了之后，那你这个沉水植物为什么会影响沉水植物的？沉水植物沉在水底，那个水的透光度越低，它获得的光就会越少，然后呢，就会抑制它的光和作用， 所以白莲体型较大，活能力强，它活动会搅动底泥，使水体着陆时高，抑制沉水植物的光和作用。这个空是二分。 那综上所述，哪哪所述呢？那再再看看哈，咱想想，要治理的话一定要加沉水植物，加了沉水植物呢，你看加白莲是不行，它它好，它它好，把水搅浑，所以沉水植物加白莲，这这这一组不理想。 那沉水植物加三三角翻蹦这一组呢？哎呀，你看这这这啄度多好哎，磷和氮含量降低多低，所以这组是好的，咱们要选上这种组合， 那物种组合行不行呢？那物种它它因为物丁和物之间差距还是白莲，有了一个白莲，它又搅浑了。所以你两种措施，你要么就是沉水植物加三角帆蚌，要么呢，你就去掉白莲，不加白莲，这也可以得分。嗯， 所以呢，咱们这个就是紧放这这个沉水植物和一定的三角帆蚌，或者减少这个搅动体泥的鱼类的投放， 这个是二分那，嗯，除了形态修复之外哈下，嗯，下边这几种可行的来清除水底淤泥也可以的，减少污水注入也可以的，科技控藻更好。 哎，最后这条是不行的哈，咱基本上咱学的那生态都要什么？退耕还湖，你为什么要再减小湖区的面积呢？所以这个呢选一二三，然后最后给大家看这个评分标准。

hello， 宝宝，睡不着吗？来听课吧。今天我们要讲的是芜湖市第十一中学三模的几何压轴。 我们先来读一下题，它说如图，在正方形 a、 b、 c、 d 当中，点 e 是 对角线， a、 c 上一点连接 b， e 过一点去做 e、 f 垂直于 b， e。 好， 角 b， e、 f 是 一个直角，我们在图当中把它表示出来啊，交于点 f， 连接 b f， 交 a、 c 于点 g， 将三角形 e、 g、 f 沿着 e、 f 翻折至三角形 e、 h， f 点 h 与点 g 关于 e、 f 对 称，好，那根据这个题干，很像我们昨天讲的那道去年的 压轴真题，它也是一个正方形的一个情境，加上我们一个折叠的 问题啊，二折一个结合，嗯，第一次我们是让我们去求证，角 b、 e、 c 等于角 abg。 啊，它让我们去，嗯，求证角 b、 e、 c 等于角 abg。 好，可能我们拿到第一手觉得这两个角相等，那可不可能找到两个三角形，好像是全等的，然后，好像啊，好像，但我们分析一下，好像不，又不是这样的。我们再结合这个题目当中，角 b、 f 是 这个直角的话，那么一下子就想到 一个四五，就是倒角，因为角 b、 f 是 直角，而 abc 也是直角，所以如果我可以导出来角 c、 d、 f 等于角 c、 e、 f 的 话，那我是不是就得正了 啊？所以我是根据题目当中给的已知条件， e、 f 垂直 b e 这个等于九十度。然后我想到倒角去转化啊，转化去证明另外两个角相等，那去证明另外两个角相等的话， 我想要去正这两角相等， ok， 那 么我们很自然而然的就可以看出来，很自然而然的可以看出来这两角应该是相等的，因为双直角模型 b、 e、 f、 c 四点，它们是共圆的，那共圆的话，相同的弦所对的圆周角是一样的， ok 啊，于是我们得到角 c、 b、 f 等于角 c、 e、 f， 那 么等角的与角是相等的，可以得到角 b、 c 等于角 a、 b、 g。 这我们应用的条件是定力是等角的与角相等， 这个定力啊，它的一个知识的考点是我们的四点共圆，是一个双垂直的 啊，模型，双垂直的模型啊，这是我们整体的一个思路。 ok， 那 具体的这个过程啊，由大家自己去完成，我们主要是把这个题目当中的一些基本的思路怎么样去构思的，去帮大家给梳理清楚。好，第二小问，若 a、 e 等于二十， c、 g 等于二十一，求 c、 f 的 长， ok， 好， 那么我们还是第一小问，我们证明，这样证明说明了这个四点共圆，那看肯定是有用的啊，肯定是有用的，那如果四点共圆的话，这个是直角， 我想要去求 c、 f 的 长，这时候我会发现，发现什么呢？我的角 a、 c、 d 啊，它其实是 什么呢？四十五度，那我自然得到这个也是四十五度，所以我发现 b、 e、 f， 它是一个等腰直角三角形，而我们非常关键的一个信息就是我们得到角 e、 b、 f 是 等于四十五度， 那在结合他是一个正方形当中啊，我们立马就想到了他应该属于我们的哪一种考点，叫绊脚模型的考点。那对于只要是涉及到绊脚模型这个考点的话， 我们无脑去做一件事情，旋转，手拉手旋转啊，叫做手拉手旋转 全的无脑去做这样一件事情啊，刚们分析出来就四十五度，我们将三角形 a、 b、 e 以点 b 为旋转中心去旋转九十度，得到三角形 b 一 撇 c， 好， 得到三角形 b 一 撇 c。 以后我们这比较 重要的一个目的是在于得到得到转化啊，一个转化得到一个直角三角形啊，转化，因为题目给的是 a、 e 和 c、 g， 我 要把这两用上， 通过这个手拉手旋转全能，我把 a、 e 转化成 c、 e 一 撇，那这个 a、 e 就是 二十， c， g 是 二十一了，那我这个角是四十五度，这个角也是五度，所以九十，那我把 g 一 撇一连接， 哎，我就得到了一个直角三角形。所以题目为什么要给 a、 e 等于二十， c， g 等于二十一，我需要把它们俩建立起一个联系，而建立起联系的基础就是通过十二求全，等得到这么一个 c、 g、 e 一 撇是一个直角三角形 啊，而这个前提，现在你分析出角 e、 b、 f 是 四十五度，它属于半角模型的，这个啊，题型 对吧？ ok， 好， 所以我这也是可以求出我们这个记一一撇的这个长度的。 ok， 好， 那么得到这个记一撇的长度有什么用？记一撇，我们先把它算出来，根号下二十一的平方，加上二十平方就等于根号下， 嗯，二十一乘以二十一，一二得二，一二得二得四啊，四四一加四百 等于根号下八四一，那八四一的话，这个一我们开应该是二十九，二十九乘以二十九，八一二九十八，二十六，二九一十八，二二六四五一八四一，所以是二十九 啊，那我们可以得到是，嗯，记一撇，记一撇的这个长度是二十九，好， 那么得到它的长度有什么用呢？哎，因为它里面还有个全等，就是我们的这个啊，三角形啊， g b e 撇和我们的三角形 e b g 这两个三角形应该是怎么样的？全等的对不对啊？四十五度啊，边 边这样上去完全是全等，边角边是全等啊，所以可以得到这个 e c 啊，啊，它也是等于我们的 g e 一 撇的，等于这个二十九，好， 这是我们根据分析出来这半角模型，我们这是我们之前分析半角模型当中常用的一个手把手旋转全等，还有一个这个全等把，这样全等一用，它有什么用呢？是我们得到了这个 a c 的 长，应该是 a e 是 二十，加上二十九，加上二十一，它七十 啊，我们得到 a c 的 长有什么用呢？ a c 的 长有用，当然有用，因为我们可以这样子正好得到 ab 的 长，就正方形的边长七十除以根号二，就是三十五倍的根号二。 好，为什么想要得到这个三十五倍的根号二呢？这个正方形的边长， 因为我们说过这个正方形经常结合我们全等和这个相似去考察，这也很明显，求 cf 的 长，你有一个八字模型在这里面吗？就我三角形 a b g 和我们的这个 g f c a b g 相似于三角形，借 c g f 的 啊， c f g 啊， c g 这样三角形是相似的呀， 八字形相似嘛，那这样相似的话，不就可以得到 c f 比上这个 a b 三十五倍的根号二，等于我们的这个 c g 啊，是二十一，比上我们的 a c， 比上我们的 a g， 哦，应该是二十，加上二十九就四十九，所以可以得到 c f 应该等于我们的三十五倍的根号二乘以二十一，除以四十九，那四十九可以拆成七乘以七，这约掉一个七， 就剩五至预要期是三十五倍的根号二啊，所以我们就可以得到这个 c f 的 场是等于十五倍的 根号二的。 ok 啊，得到它是个十五倍的根号二。很好啊，这面就是一个手拉手拳的，所以我们第二小问它就属于一个半角模型啊，半角模型，正方形当中的这个半角模型，正方形当中的 中的半角模型 啊。然后考察是我们的手拉手旋转全等，加上我们的这个八字形相似， 好，考察是这两个东西结合在一起，就是这题，所以需要我们对这个半角模型，正方形，半角模型当中有非常灵敏的感知能力， 因为我们之前讲过正方形一般如果你去考察的话，一个是我们这属于半角模型，一个就是我们的这个等边去转换嘛？ 等边转换，那我们待会这第三小问就会涉及到这个等边转换的思想。 ok， 好， 我们来看第三小问，这个第三小问的话， 它说当 f 是 这个 cd 的 终点的时候，好，当 f 是 cd 终点， f 是 c g 终点时，连接我们 d h， 连接我们的 d h。 求证 c g 是 两倍的 d h， ok 啊，很完美啊， c g 是 两倍的 d h 的 话，那我们看到 c g 是 在这个属于三角形 b c g 中， 而 d h 是 在三角形 d h f 中，又因为 f 是 c d 中点，而我 c d 是 等于我们的 bc， 那 我立马就考虑，我，正啊，我思路分析得 要正，三角形 d f h 相似于三角形 b c g 啊，我们去正，这样三角形相似。好，那这样三角形相似，如何去正啊？如何去正？ ok， 好， 那我们来看，首先我们应当是可以得到一个角啊，一个角相等的，因为我们在前面的 两小问当中也证明出来，这个角 e f b 是 四十五度，那因为折叠，所以角 h f e 也是四十五度，那么这个角 b f h 是 九度，所以 d f h 加上 角 d f h 加上角 b f c 等于九十度。又因为这个角 c b g 加角 b f c 等于九十度，于是 我可以推出来角 d f h 是 等于角 c b g 的。 好，好，这一个角相等，那我想要去证明出来，这个 d f h 和 b c f， 呃，不， b c g 这两三角形相似，我们要么再导出一个角，要么 啊，或者再导出一条边。因为我已经知道了，这个 b c 啊，比 d f 已经是等于二，所以我只需要再证明出来一个，它要导 c g 等于二倍的 d h， 所以 我只要去再导出来这个什么再证 啊？ b g 等于两倍的 f h 即可 啊，我只要再去证明出来，我这个 b g 是 等于我们两倍的 g f 的 话，就可以了啊，好， b g 等于两倍的 g f。 啊，两倍的 f h。 哦，我要证明 b g 点用两倍的 f h 即可。那很简单啊，我是不是要用等边转换？因为折叠 f g 和 f h 是 相等，所以我只需要正，只需，只需正 b g 等于两倍的 g f 即可啊，我又转化成 b g 等于两倍的 g f。 好， 那你看啊，当我要乘 b g 等于两倍的 g f， 我 立马转化为 八字形相似，或者说 x 形相似，是吧？我三角形 a b g 是 不是相似于三角形 c f g 这两三角形是相似的，因为 ab 啊，哎，因为 ab 比 cf 是 二，所以我的 bg 比 cf 是 不等于二 啊， bg 比 cf 是 二，那么也就意味着 g b g 比 f h 等于二，就 b g 等于两倍的 b g 比 f h 等于二，所以边角边三角形 d f h 和三角形 b c g 这样三角形是相似的，那么相似，我是不是得到这个 c g 等于两倍的 d h， 我 就可以得证了， ok 啊，这就是我们去证明的这个一个思路和过程啊。思路和过程，那其实我们就是一个啊，我们这个思路的分析是一个反向推导的过程，那我们正常的在做的时候啊，你就完全 可以，嗯，先啊，由 ab 和 c f 是 平行的，对吧？你去 ab 平行于 c f， 你 推出三角形 abg 是 相似于三角形，这个啊， cfg 的，是 吧？这这一组相似，然后你可以得到这个啊，啊， bg 啊，比上一个 gf 啊，等于我们的二 啊，等于我们 b g 比上一个 h f 啊，再结合我们的 b c 比上啊， d f 等于二的，然后再去再去证明我们这个角 d f h 等于角 c b g 等于四啊，这两个角是相等的，于是我可以得到三角形 a d f h 将是三角形 b c g， 是吧？然后我就可以推出这 c g 是 等于两倍的 d h 了啊，就是这样的一个过程 啊，我们正常的，这是我们简单的一个思路过程啊，具体的详细的过程我们大家自己去完善就行了。好，我重要的是把这个思路去分析清楚怎么去证明的。所以呢，我们这里第三项呢，它也是考察的 这一点，是连环相似的问题啊，连环的相似问题啊，连环相似，这要占两次相似啊。这两次相似过程当中，我们依旧要使用到正方形的这个等边 转换的思想啊，我们正方形当中的等边转换思想是非常重要的。 ok， 好， 那我们今天的视频到这里就结束了，大家晚安，拜拜。

今天呢，我们来看一道和平高三三模数学当中的选择压轴题， 这道题呢，延续了和平一模和二模一如既往的平面图形立体化的一个立体几何的小题 啊。作为选择压轴题来说呢，这个题呢，对于一部分学生来说啊，不算特别难，但是对于有的啊，一百二三十分的学生来说，如果空间想象能力没有那么强的话，这道题可能就会难倒一少部分人。 我们来看一下这道题啊，经典的矩形 a、 b、 c、 d 长是二倍，根号二，宽是二。沿矩形对角线折叠的问题，将 abc 三角形折起来成为一个四面体， a 变成 a， 一 问四面体 a、 e、 b、 c、 d 的 外接球体积，我们知道要求外接球或者是内切球的体积的话，直接就是求球的半径 r， 那 么球的半径 r。 在 这个题里边，我想介绍的是一种双垂法，因为利用双垂法的话，你的视觉效果会非常直观的看到本来是一个平面图形的矩形， 经过 a 和 c 做 b、 d 的 垂线，因为它是折痕，我们利用做双垂线，也就是和以前学这个二面角的时候用的方法是一致的。 通过添加二面角啊下边左边这个图，你就会把这个平面图形本来是长得一模一样的，但是通过添加这个二面角之后，你会看到 a、 c 啊，立马变得立体化了，如果这时候还觉得没有那么立体的话，那可以看一看下边这个。 通常你想把一个平面图形变得立体化，我的画法是，首先你右下角这个折痕的一部分保持不动，也就是说它的 b、 c、 d 的 部分可以 保持不动，然后呢，另外一部分本来是 d、 a、 b 这个三角形，那我们只需要 a 点本来靠的是 左下侧，我们把 a 点靠刀右上侧，这样的话，你会让它的图形立马变得立体化，这时候再把 a、 c 连接，就能够利用想象能力想象出这个图形了。所以左边这个图形就是这样子画出来的啊，应该双垂法用虚线来画比较合理。 当画出来之后，这个题其实就已经迎刃而解了，为什么呢？因为所有的答案都在这两个图中，我们一定要利用思维想象一下 圆心啊，也就是球心到这个 a、 b、 c、 d 的 距离是相等的。这四条线平面图形上来看，矩形的对角线互相平分，那很明显半径其实就是 o、 b 啊，四条线段都相同，以 o、 b 举例，那矩形的对角线的一半很容易求二二倍，根号二考的是一根号二和根号三的关系，所以它的半径就是根号三。那放到立体图形中来看 啊，右上角这个图呢，我们也能看到，从 o 点出发，因为你外接球到四个点的距离都是相等的，所以这些半径啊，应该和啊这个根号三都是一致的。 我们怎么去想象呢？因为你这个球心到每个点的距离都相同，那我只需要看 在每一条线段的中垂线上啊，不论你从中垂线出发，也就是说下边这个直角三角形，这不是斜边中点吗？那你中垂线的焦点就在斜边的正中点，这是我们很经典的结论。那另外一边 a 和这个 o 自然而然也在斜边中点 连接 a、 o 这个中线都可以，那么我们这个半径就是 o c o b o a o d 任意一个啊，这样来看的话，如果知道半径是对角线的一半，那这个题的啊，外接球的体积就变得非常简单，利用外接球体积公式啊，就可以迎刃而解了。