渐近线方程公式

这是什么方程？这是双曲线的渐近线方程。这是什么公式？ 这是双曲线的焦点到渐近线的距离。这是什么公式？这是顶点到渐近线的距离。这是什么公式？ 这是双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积。这是什么公式？这是双曲线的切线与渐近线交于 a、 b 两点三角形 o、 a、 b 的 面积。这是什么公式？ 这是过双曲线上任意点做两条渐近线的平行线，交两条渐近线于 a、 b 两点，它围成的这个平行四边形的面积。

哈喽，大家好，我们今天来讲一下，对于这类曲线方程的渐近线问题，我们应该怎么处理？以及说对于这种普通的 y 等于 f x 这类写函数，我们怎么去做一个快速的计算。 那首先在此之前，我们必须对这个渐近线有一个更直观的理解，就是首先我们知道 x 区域 a 的 话，如果说 y 区域无穷，那它无非就是一个牵直线，牵直线线，对吧？ 然后如果说 x 去无穷， y 可以 等加成一个 k， x 加 b， 然后加上无穷小量的形式，那它肯定是当 k 不 等于零的时候，它就是一个斜径线，对吧？ 如果说 k 等于零的话，它就是一个水平渐近线，那我们如果从这个角度来理解这个渐近线，我们就可以 比方说我们看这个二三年的这个真体，那他要求一个斜径线，那我们知道斜径线，斜径线的形式是这样的，对吧？那我们可以把这个 y 画成这种形式，然后直接得出这个斜径线，那么通过它的展开，我们要我们来处理一下这个棱， 那对于这种棱一的形式我们一般怎么处理？那除以 e， 除以 e 乘 e 嘛，就可以化成这个 x， 然后里面的话就是棱除以一乘一，呃一加上， 然后加上一，哎，这样的一个形式，那我对这一部分就可以泰勒展开了，对吧？那这样的话就成功化成了这个 x 加上 e， x 减一乘以这个 x 加一个无穷小量，那这样的话，那它 x 去无穷，不就是 x 加一分之一吗？对吧？那选这个 b， 然后那我们看这个二五年的整体，那也是一样的道理。如果说我们用泰勒展开处理的话，那么这边是不是要考虑提出一个 x， 对 吧？那他就等于这个 x 乘以一减去四分之三加上， 那这样的形式，哎，这一部分就可以它来展开了呀，对吧？那这个就等于这个 x 乘以这个一加上三分之一，然后负 x 分 之三加 x， 三，四分之一加负 x 分 之一，哎，那我再一计算，它不就是等于这个 x 减一，加上无穷小量吗？对吧？那不就是这个 y 等于 x 减一， ok， 那 这样我们就做到了一个比较快速的一个计算， 那其实对于这类普通的这种显函数的话，我们只用那种什么用极限来计算这个 y b x 极限极限来计算，那也是比较好算的，那主要是说对于这类曲线方程我们要怎么处理， 那我们也是用一样的思想，那再去。呃，在之前那个账号里我做了一定的讲解，那我现在再做一次这个系统性的讲解， 那我们也可以用一样的方法，那我们知道它渐近线一定是这种形式，对吧？那他要求，比方说我们求看这个，我们可以直接带入这个 提前带入这个 y 等于 k， x 加 b， 然后你和等式左右两侧的最高次和一个次高次来代定系数，代定系数法计算这个 k 和 b， 那 我们来试一下，那左边就是，呃，那我直接写了加上这个二分之 k， x 加二分之三 b， 那 等于这个 octangent， 这个 octangent 是 k 的 x 减去二分之一 b， ok， 那 这个东西，哎，我们知道右边这个 octangent， 它肯定是有界的量嘛，它所以说它相当于是 x 的 零次，那它最高次，左右两侧最高次分别是一次和零次，对吧？ 那我们先看这个疑似呢，右侧是零 x 吗？那零等于这个这个东西， 然后因此的话，我们就有一个 k 等于负根号三分之一， ok， 那 随机我们就可以计算一个，我们继续下一步，我们算这个 b， 然后我们把这个 k 带过来的话，那只剩下二分之根号三 b 等于这个 octangent， 把这个 k 带过来就是，呃，三分之根号三 x 减二分之一 b， 那 我们 x 是 趋于无穷的，哎，他这个他分正无穷和负无穷的情况，对不对？那正无穷，那这样的话就是二分之三 b 等于这个 正负二分之派嘛？那 b 的 话就等于正负根号三分之派，对吧？哎，这个时候我们就算出来了，那 k 也算出来了，那所以它的斜径线，斜径线就是这个 y 等于负根号三分之一 x 加减刚好三分之派，对吧？ 那么很快就算出来这个斜径线了，那是有两条的。然后我们再看这个第二问，那也是一样的道理，我们 y 等于 k， x 加 b 带入之后 x 三次，哎，那我直接写了 加上减，应该是减去三 k 方 b x， 然后加上加上其余剩下的次数，然后等于这个三 x 方，那因为我们只需要最高次和次高次嘛，那就是 x 的 三次和 x 的 平方逆和就可以了。那为什么这一部分不要呢？因为这一部分 不就相当于是我们这一部分的无穷小量吗？那比方说我可以再等式两侧除以除以一个 x 方，对吧？ 那我们这边直接你和最高次和次高次就可以了，那这边一减 k 的 三次等于零，所以 k 等于一，那这个系数跟这个系数一样，那就 b 等于负一，那因此的话，我们接近线就是这个 y 等于 x 减一，对吧？ 然后我们看这个第四问，那第四问它是一个极坐标，那没关系，我们也是一样， y 等于 k， x 加 b 加 b， 那 这样的话，我代入之后就是 r 乘以三 c， 它等于这个 k， r 三 c 加 b， 那 我这边我可以把这个 r 提到一边吗？ r 等于这个 b 除以三 c， 它减去 k 三 c 它，哎，那我还有这个式子，对吧？ 那 r 等于这个 r 也等于这个 e 除以三 c 减派，对吧？ 哎，那我直接移过来好了，三 c 减派等于这个一， ok， 我 有这么一个式子，那首先我知道当 它这个渐近线，那我是不是 x 区域无穷的时候，它渐近线的斜率是不是就等于曲线的斜率，对吧？那所以说我这个 case 它其实是无限接近于这个无限接近于这个 tangent c 塔的，对吧？ 那因此我知道这分母相当于是分母相当于是一个零，对吧？那我如果说分子它不是零的话，我不就变成了一个无穷等于一吗？那肯定是不合适的，那所以这样的话，我们是不是分子也得是零，那我所以我们可以算一下，三 c 它减派等于这个零，呃，那 c 它就等于这个三分之派，对吧？ ok， 那 因此我们就得到了这个 theta， 然后 k 的 话，因此六十度吗？ k 的 话就等于根号三，对吧？然后在这这样的情况下，我们是零比零等于一吗？那这时候我们可以考虑用一下洛比达，对不对？ 那就 limit theta 去这个三分之派。好，那我这样落一下的话，那 k 是 等于高三吗？我这边直接写高三，我落一下之后不就变成了三 b 比上这个三也 c， 塔 根号三三， c 等于这个一，那这边应该是二分之一加二分之三。 好， b 等于三分之二。 ok， 那 我两个参数都有了，那因此我们这题我们选这个 d， 然后我们再对，再看最后一个，那他要求这个水平渐近线，那我们知道水平渐近线形式是什么样的？ 它是，呃， y 等于这个 b 加无穷小量嘛，对吧？哎，所以当 x 去无穷的时候，它这个 y 一 撇就是零，对吧？那因此左右两边只剩下三， y 等于六了。哎，我成功的算出来了，这个 y 等于这个二， 因此我们通过这种灵活的思路解决了考研范围内所有的一个渐近线的一个问题。 ok， 好 生活，好爱自己，祝你们天天开心。

我们都知道啊，数学是我们学的最简单的一个科目，好来，我们看到这三题，已知一个双曲线，让我们去求这个双曲线的渐近线方程。这种题目怎么去做呢？只需要在它这里加个根号，这里加个根号，让它相等就可以啊。那就是根号 x 平方等于 根号九分之 y 的 平方，这个式子列出来会对变成什么呢？ x 等于三分之 y， 然后它是渐近线方程，它是有正负的，所以在它前面加一个正负号，那最最终它的方程变成什么呢？ y 等于正负三 x 啊，好，秒了。我们看第二题，一样的道理， 根号二分之 x 的 平方等于根号 y 的 平方，那这个式子列完变成什么？ y 等于根号二分之 x， 再加个正负号，那他的间隙点方程是什么？就是 y 等于正负二分之根号二 x 啊，好，秒了。我们看第三题， 根号十六分之 y 的 平方等于根号四十九分之 x 的 平方，列完式子变成什么？ 四分之 y 等于七分之 x， 再加个正负号，因为是渐近线方程，所以 y 它会等于什么？正负七分之四 x， 好， 秒了。

你要是记得这个公式的话，那么对于渐变线方程这种题目，十秒钟秒杀这类题型，那同学们一定要学习一下答案的这个小技巧，叫做 y 等于正负，根号下面的什么呢？ x 下面的一个分母， 分支分支什么？根号下 y 下面的一个分母，然后同学们记得再带上一个谁 x 就 行了， ok 吧？说白了一句话就是我们要找到 x 下面的一个分母，还有要找到 y 下面的一个分母就行了。好，那么我们举具体的例子来说明吧。已知双曲线间接线方程叫做四分之 x 平方， 减去十六分之 y 平方，等于一个一，对不对？好，同学们来看一下啊，我们先找到 x， x 在 这对吧？那 x 下面的分母是谁？ x 下面的分母就是这个四，对不对？我来找一下 y， y 在 这里，同学们， y 下面的分母是谁？ y 下面的分母我们会知道是十六对不对？那我们就写出来 x 是四对不对？ y 下面的分母是谁？十六， ok 吧？好，那同学们，接下去我们就直接套公式了， y 等于正负，然后呢？正负什么？分母？是根号下 x 下面的分母，说白了分母就是根号几呢？根号四，因为 x 下面的分母是四吗？ 好，分子就是谁呢？根号下 y 下面的分母，那 y 下面的分母我们刚刚找了，是十六，对吧？所以它就是根号四分之根号十六的 x， 那 么这个就是间接平方，则， ok， 好， 那么接下去同学们对这个式子 化简一下，哎就行了。那么我们知道 y 这时候 y 又等于正负，根号四，同学们，是多少？根号四是不是二啊， 对不对？因为什么呢？因为二的平方是四对不对？所以根号四，它就等于二，那么谁的平方等于十六呢？那只有四的平方是等于十六的，所以根号十六就等于几等于四。然后 x 同学带上， 那么约分一下，我们会发现这个可以约分，约分一下，对不对啊？所以它就等于正负二 x， 说白就是 y 等于什么呢？正负二 x， 所以 选 a 选项。好，接下去我们来看一下第二题。 第二题同学们，那我们去找 x 下面 x 平方下面的分母，哎，这不是四啊，对吧？所以 x 下面的分母是四。 那么继续看 y 下面的分母，同学们， y 下面的分母是谁？哎，是八对不对？所以 y 下面的分母是八嘛？所以呢？ y 下面的分母是八嘛？所以呢， y 等于正负根号四 分之根号几呢？ y 下面的分母，那就是根号几八，对吧？ x， 照抄。那么接下去我们对这个式子化简一下就好了，所以它等于谁呢？正负正负 二分之二倍，根号二的 x 对 不对？然后化简一下，所以 y 等于正负， 哎，根号二的 s， ok 吧。所以呢，这道题答案应该选择的是第一选项。好，来，继续，我们来看一下第三题。第三题， x 的 平方下面的分母是九， 对不对？所以我们就找到 s 的 平方下面的分母是九，然后再去找 y 平方下面的分母是谁，哎，是四， 对吧？哎，所以 y 下面的分母是四吗？啊，那么这时候间接函数就出来了， y 等于啥？正负根号九分之， 根号四，然后 s， 啊， ok 吧，一样的嘛，就直接套这个公式，叫做 y 等于正负根号下 x 下面的分母， 然后再带多一个 x， 哎就行了。好，那么计算一下，同学们化解一下就等于谁正负三分之二的 s 对 不对？所以呢，这道题答案应该选择。

同学们好，今天我们来研究一下利用泰勒公式去求斜渐近线，大概说一下求法，这个应该可以对你求渐近线的效率会大大提高。第一步，提取个 x， 然后提取完以后，剩下部分整理成 x 减 a 分 之一的表达式，然后把 x 减 a 分 之一。啊，这个应该是去零的，对吧？啊？进行它的展开， 它展开完以后整理好，整理好以后，找到 a， x 加 b， 或者说极限为 x 加 b 就 可以了，这样的话， y 等于 x 加 b， 就是 斜渐近线，对吧？啊，所以这种题的做法啊，主要是整理，咱们来看两道题， 比如说这道题，一般求斜线线，套公式也还行，对吧？当我们来看一下泰的公式怎么写。第一步，提取 x， 提取完以后，剩下部分就是这样的， 这样的话，整理。整理成什么？整理成这个 x 减 a 分 之一的表达式，这个后面整理一下啊，这个该处理处理一下，是吧？然后就整理成 x 分 之一的表达式， x 分 之一嘛，这个按照，哎，感觉上 x 分 之小于零，好吧。啊，直接套着他的公式，这个他的公式你就背过了，对吧？啊，也背就行。嗯，这看成这个 t 嘛，是吧？嗯，一加上二三 t， x 加 o， x 分 之一，然后一整理， 是吧？哎，这个部分啊，一次式就是一次式啊，一次线和常数合在一起就是斜渐线， 你看就做完了，是不是效果还挺好的啊？咱们可以，你可以比一比，看一下套公式快还是这个快，咱们再看一个。呃，这个是二零二三年数学一二的一个考研真题， 求一下这条曲线的斜线线。第一步，提取 x， 看好啊，提取 x 第二步整理成 x 检验的表达式，咱们来整理啊。 提取 x 以后啊，剩下部分怎么？哎，看看 x 已经在外面了，是吧？怎么写呢？啊？把这个是。 呃，因为其实我先把烙印他的展开，烙印他的展开他用这个是吧？这个他他，这样的话一个 e 要写成 e， 怎么写呢？你不能写假一假一是吧？应该提取个 e 烙印 e 和这个这个式子是吧？写成烙印加上烙印这个 这样的话把这个部分看作曲零，然后把它背一背它的公式好不好？嗯，你看一下，这就是烙印是一这个它的公式。烙印烙印加 x 它的公式你会写吧？ 必须会，对不对？把它看成 x 嘛，然后这个一这个是一次，这是二次，是不是轻松的把括号打开整理一下，整理一下以后你发现。来来来，找到一次式。 哎，这是一次式，这个区域几这个区域一分之一，因为 x 是 往无穷走的对吧？这个区域一分之一啊，一分之一，所以 极限就是 x 加一分之就是和 x 加一分之线，毕竟啊，这个就不用考虑了，对吧？啊，不用考虑了，你就找一次式嘛，对吧？一次式和常数，或者一次线和常数，对吧？呃，这个出现出现什么？出现 x 分 之一的情况了，对吧？呃，它应该算 o 一 对不对？ 呃，所以 x 加一分之一就是斜渐线。看一下这个用泰勒公式做啊， 是不是还挺好的啊？挺好的，大家可以课后尝试一下。反正你太累，公式也要背，对吧，不如拿来用一下啊，想必也是极好的。

欢迎来到五天讲完圆锥曲线所有压轴题型，这是倒数系列之后，高考另一座最高的山，圆锥曲线高考数学的两座大山，一座是倒数，一座就是圆锥曲线。全国卷压轴大题里，圆锥曲线占据稳定的位置。 五天我们把圆锥曲线的所有压轴套路一次讲透。今天 day 一、 圆锥曲线基本性质四个题型，椭圆双曲线、抛物线、交点三角形与交点弦 基础，但绝对不能跳。后面四天的所有压轴都从这里展开，重头戏是焦点三角形和焦点弦的统一性质，三种曲线在焦点处共享同一组规律，这是出题人的最爱。今天的内容篇概念，但每个性质都被公式推导，加力题不是死记 节奏，不敢一步一步打地基。开始第一个题型，椭圆椭圆的定义，平面上到两个定点 f 一 f 二的距离之合等于常数二 a 的 点的轨迹， 其中二 a 大 于 f 一 f 二的距离二 c 叫焦距长竖二 a 叫长轴长。 标准方程，交点在 x 轴上， x 平方比 a 平方加 y 平方比 b 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零。关键关系， a 平方等于 b 平方加 c 平方，这是椭圆的灵魂等式 离心率， e 等于 c 比 a 取之范围零小于 e 小 于一， e 越接近零，越圆，越接近一越扁。 三句口诀，第一句，椭圆三定义距离之和定长数，两个焦点中心位长轴长，二 a 焦距二 c 长轴必须大于焦距，否则不是椭圆。 第二句关键等式， a 平方等于 b 平方加 c 平方被念默，这个公式是椭圆所有计算的根， 任何长度问题都是 a、 b、 c 三者之间的关系。第三句，离心率 e 等于 c， b， a 在 零到 e 之间， e 小 越圆， e 大 越扁，椭圆的离心率严格小于一，这是椭圆区别于其他曲线的关键。 两道椭圆例题难度中上不是套公式那种基础题。第一题椭圆经过点二，根号二，离心率 e 等于根号二比二。求标准方程 设方程。 x 平方比 a 平方加 y 平方比 b 平方等于一， a 大 于 b 大 于零，由 e 等于 c 比 a 等于根号二比二平方得 c 平方等于 a 平方比二， 所以 b 平方等于 a 平方减 c 平方等于 a 平方比二代入点二，根号二四比 a 平方加二比括号， a 平方比二等于四比 a 平方加四比 a 平方等于八比 a 平方等于一。 解的 a 平方等于八， b 平方等于四。答案， x 平方比八加 y 平方比四等于一。 这道题考察离心率公式加 abc 关系加待定系数法的综合。第二题椭圆上一点 p 与两焦点 f 一 f 二满足 f 一， p f 二等于九十度 证明 e 大 于等于根号二比二。设 p f 一 等于 m， p f 二等于 n 由椭圆定义， m 加 n 等于二， a 由直角三角形勾股定里， m 平方加 n 平方等于 f 一 f 二平方等于四， c 平方。利用恒等式， m 加 n 平方等于 m 平方加 n 平方加两米 n， 四 a 平方等于四， c 平方加两米 n 解得 m， n 等于二， a 平方减 c 平方等于二， b 平方 由 a m g m 不 等式， m n 小 于等于左圆括号，左圆括号 m 加 n， 右圆括号，比二平方等于 a 平方，所以二 b 平方小于等于 a 平方，即二 a 平方减 c 平方小于等于 a 平方。 化简， a 平方小于等于二， c 平方一平方等于 c 平方比 a 平方大于等于一比二，所以 e 大 于等于根号，二比二，正 b 两题对比，第一题考方程，求解综合，第二题考焦点，三角形加不等式综合都是真考压轴的难度。 椭圆三件套必备定义到两定点距离之合等于常数二 a 方程 x 平方比 a 平方加 y 平方比 b 平方等于一 关系， a 平方等于 b 平方加 c 平方。离心率 e 等于 c 比 a 易错 ab 大 小关系，焦点位置，离心率范围。 第二个题型，双曲线双曲线的定义，平面上到两个定点， f 一、 f 二的距离之差的绝对值等于常数二 a 的 点的轨迹， 注意是绝对值之差，不是简单之差。其中二 a 小 于 f 一 f 二的距离。二 c 标准方程交点在 x 轴上， x 平方比 a 平方减， y 平方比 b 平方等于一， 注意是减号，这是双曲线和椭圆的关键差别。关键关系， c 平方等于 a 平方加 b 平方，注意，这里是加号，和椭圆相反。离心率 e 等于 c 比 a， 但范围不同， e 大 于一， 还有一个椭圆没有的特性，渐近线 y 等于加减 b 比 a 乘 x。 三句口诀。第一句，双曲线三定义距离之差，定常数，取绝对值是关键。二， a 小 于焦距二 c 没有绝对值，你只得到双曲线的一只，不是完整的双曲线。 第二句，椭圆双曲线对照椭圆， a 平方等于 b 平方加 c 平方双曲线 c 平方等于 a 平方加 b 平方， 椭圆里 a 最大，双曲线里 c 最大。第三句，渐近线公式，双曲线 x 平方比 a 平方减 y 平方比 b 平方等于一的渐近线是 y 等于加减 b 比 b 乘 x 渐近线是双曲线的瞄准镜标准，方乘一百立刻知道渐近线。两道双曲线例题都是压轴改编。 第一题，双曲线 x 平方比 a 平方减 y 平方比 b 平方等于一。焦点在 x 轴渐近线 y 等于四比三乘 x， 通径长度三十二比三。求标准方程渐近线 b 比 a 等于四比三，即 b 等于四， a 比三， 通径长度等于二 b 平方比 a 及二乘十六 a 平方比九比 a 等于三十二， a 比九令三十二， a 比九等于三十二比三。解的 a 等于三， b 等于四。答案， x 平方比九减 y 平方比十六等于一。 这道题用渐近线加通径双约束求方程比例题难一档。第二题 p 在 双曲线右之上， p f 一 等于两倍， p f 二 f 一 p f 二等于九十度求离心率 p 在 右支由双曲线定义， p f 一 减 p f 二等于二 a 由提设 p f 一 等于二， p f 二代入得 p f 二等于二 a p f 一 等于四， a 由直角三角形勾股 p f 一 平方加 p f 二平方等于 f 一 f 二平方等于四， c 平方 代入十六 a 平方加四 a 平方等于四 c 平方即二十 a 平方等于四， c 平方解得 c 平方比 a 平方等于五。 答案， e 等于根号五、两题对比，第一题渐径线加通径综合，第二题交半径关系加直角三角形综合都需要识别多个条件协同 双曲线三件套必备定义距离之差的绝对值等于常数二 a 方程 x 平方比 a 平方减 y 平方等于一 关系 c 平方等于 a 平方加 b 平方离心率 e 大 于一独特渐近线 y 等于加减 b 比 a 乘 x 易错忘绝对值。把椭圆等式套到双曲线渐近线方向搞反。 第三个题型，抛物线抛物线的定义，平面上到一个定点 f 的 距离等于到一条定直线的距离得点的轨迹定点叫焦点，定直线叫准线。 和椭圆双曲线最大的不同，抛物线只有一个焦点，一条准线，没有 abc 三件套，只有一个屁叫交准距表示焦点到准线的距离。 标准方程四种形式，最常见的 y 平方等于二 p x， 其中 p 大 于零，焦点在 p 比二零准线 x 等于负 p 比二通径过焦点垂直于轴的弦长度为二 p， 这是抛物线最重要的弦长。 三句口诀第一句，定义本质，到焦点距离等于到准线距离，这是抛物线的本质。任何抛物线体这个等量关系都是核心钥匙。 第二句标准方程四式， y 平方等于加减二 p， x 开口向左右， x 平方等于加减二 p， y 开口上下 四种方程，看一眼就要识别开口方向。第三句，关键三长度交点到顶点距离屁比二交点到准线距离屁通径长度二屁通径二屁是抛物线的特征长度，答题时一上来就要算二屁。 两道抛物线，例题中等偏上难度第一题，抛物线 y 平方等于四 x 过交点 f 的 弦 ab 满足 af 等于三倍 bf 求 ab 关键工具，抛物线交点弦的倒数和公式，一比 a f 加一比 b， f 等于二比 p 对 y 平方等于四 x， 二 p 等于四， p 等于二，所以一比 a， f 加一比 b， f 等于一。 设 b， f 等于 n， a f 等于三， n 代入一比三， n 加一比 n 等于一。通分一加三比三， n 等于四比三等于四比三。 所以 a， b 等于 a， f 加 b， f 等于三， n 加 n 等于四， n 等于十六比三。答案， a， b 等于十六比三。这道题用了焦点弦倒数和公式，是抛物线高频考点。 第二题，抛物线 y 平方等于八 x， 过交点 f 倾斜角为六十度的直线，交抛物线于 ab， 求 ab 关键工具，抛物线交点弦长公式， ab 等于二 p 比 sine 平方非它，其中非它是弦的倾斜角。 对外平方等于八， x 等于八， p 等于四， sine 六十度等于根号三比二， sine 平方六十度等于三比四， 所以 ab 等于八比三比四等于三十二比三。答案， ab 等于三十二比三。这道题用了抛物线焦点弦长统一公式，不用连力方程，一步到位。 两题对比都涉及焦点弦，但角度不同，用的是不同公式，灵活选择 抛物线三件套必备定义，到焦点距离等于到准线距离方程， y 平方等于二 p x 或类似四种形式，关键长度通径二 p 易错方程系数和 p 的 关系，搞反焦点准线位置写错。 第四个题型，焦点三角形与焦点弦也是今天的重头戏。椭圆双曲线都有两个焦点，抛物线只有一个，但三种曲线都有过焦点的弦，我们叫焦点弦。椭圆双曲线，还有曲线上一点和两焦点构成的焦点三角形。 这个题型考察曲线性质，加三角形面积公式加交半径关系加角度计算出题人最爱的统一规律，椭圆 p f 一 加 p f 二等于二 a 双曲线 p f e 减 p f 二绝对值等于二 a 抛物线 p f 等于 p 到准线。 这三条都叫交半径关系，是一切交点三角形和焦点弦的灵魂。三句口诀 第一句，交半径椭圆 p f 一 加 p f 二等于二 a 双曲线 p f e 减 p f 二绝对值等于二 a 抛物线 p f 等于 x 加 p b 二、椭圆求和双曲线求差抛物线直接对应 x 坐标加长数。 背熟这三条交半径题就减了一半。第二句，交点三角形面积椭圆 s 等于 b 平方乘 tangent 半角，这里半角是 f e p f 二的一半，双曲线 s 等于 b 平方乘 cotangent 半角。公式精确，但要看清角的位置。 第三句，交点弦定理通过交点的弦弦长有统一公式，椭圆双曲线弦长等于二， a 乘一平方 sin 平方非忒减一比一平方 cos 平方非忒减一，不用记复杂的实际题目中，靠定义加维达定理直接算 两道交点三角形顶级题。第一题，椭圆 x 平方比四加 y 平方比三等于一点 p 在 椭圆上 f e p f 二等于六十度求 p 到 x 轴的距离 椭圆 a 等于二， b 等于根号三， c 等于一交点三角形面积公式， s 等于 b 平方乘 tangent 半角，这里半角是三十度， s 等于三乘 tangent 三十度等于三乘根号三比三等于根号三。另外 s 等于二分之一乘 f 一， f 二乘 h， 其中 h 是 p 到 x 轴的距离， f 一 f 二等于二， c 等于二，所以 s 等于二分之一乘二乘 h 等于 h， 两个 s 相等得 h 等于根号三。答案， p 到 x 轴距离等于根号三。这道题用焦点三角形面积公式双向求高是经典套路。 第二题双曲线 x 平方比九减 y 平方比十六等于一， p 在 右侧 f e p f 二等于六十度，求 f e p f 二的面积。双曲线 a 等于三， b 等于四， c 等于五。 焦点三角形面积公式，双曲线 s 等于 b 平方乘 cotangent 半角半角三十度 cotangent 三十度等于根号三， s 等于十六，乘根号三等于十六根号三。答案，面积等于十六根号三。两题对比，椭圆用 tangent 双曲线用 cotangent 公式对偶，但要分清哪个是哪个 交点三角形和交点弦三、招交半径关系，椭圆求和双曲线求差抛物线 x 加长竖面积公式，椭圆 s 等于 b 平方 tangent 半角双曲线 cos tangent 半角 交点弦抛物线 ab 等于 x， a 加 x， b 加 p， 易错角度搞混。椭圆双曲线公式互换，交点位置不对， a 一 收尾，今天四个题型，椭圆双曲线抛物线交点三角形与交点弦 基础，但绝不简单，这是后面四天压轴的全部积实，特别是交半径三个公式，椭圆求和双曲线求差抛物线 x 加 p， b 二倍熟，它们一辈子受用。明天 a 二直线与圆锥曲线 将解决联力方程、判别式、维达定律、闲长公式等核心计算工具。压轴一开始就靠这一套硬功夫，明天见！

同学们晚上好，等一下讲完这个有变式题， 不会很难，来，我们讲这个题，你看哦，已知曲线离心率其中一条渐线与圆交于 a b 两点，求 a b 的 长度。这种老题了， 你不要说想着去求 ab 两点的坐标，然后再求距离，这样太麻烦了，我们先看看它们长什么样嘛， 近近线，近近线的话呢，我们是不是得知道那个 ab 啊，是吧？好，那么 c 除以 a 就 等于那个什么根号五， 是吧？然后我截平方呗， c 方除以 a 方等于五，你说我要找，我要找 b 吗？我要找 b， 那 我肯定 不能把 b 方弄出来吧，那可得把 c 方找出来，把 c 方找出来，那是不是就可以把 b 方弄出来了，对吧？ a 方加 b 方等于五， a 方四 a 方。 好的，那么此时呢，进进线是它那个斜率是 b 除以 a 还是 h？ a b 除以 a 啦， 正负哦，好，我们去看一下哦。 我们先看这个圆长什么样？二三大概这样子。 好，你如果跟它有交点，你如果这根线跟它有交点，是这条还是这条？可能是这条吧，对吧， 对吧？所以是这根线应该是 y 等于 o， x 没，没毛病吧？没毛，没毛病，没有毛病。然后呢， 你要求这一段距离，对吧？这一段距离，那是不是心？ 好，你看一下，这个正方形是圆形，你要求这个距离，是吧，对吧？那是不是可以这样子， 先求圆形到这条直线的距离，然后利用勾股定律把这个算出来，这是一半嘛，就成二形了，对吧？所以说我们就先算点到直线的距离嘛。点是谁？点是？呃， 点是二三，圆形嘛，是吧？圆形是二三， 零线是二三，那么这条直线是到 y 等于二 x 吗？怎么算？还记得距离公式吗？这个就变成了二 x 减 y 等于零， 然后呢？带进去 d 就 等于。 为什么这个摄像头会一直动呢？第一就等于看一下啊。呃，把它带进去的话，幺加九的值，二二的四减三九的值，然后下面是根号二的平方，加负一的平方就是五嘛， 对吧？等于五分之根号五，这个是五分之根号五。然后我们再看一下那个半径，半径是一，是吧？半径是一，那这个是一吗？ 那就是一，对吧。那这个能结束多少？我就不跟你们嘻嘻哈哈了。一减五分之一，呃，五分之四是吧？那就是开根出来就是五分之二，又跟上二。 呸，五分之四开出来是五分之二，又跟上五，有再乘二吗？ 结束了， 五分之四又减五。一半嘛，一半是五分之二又减五，有这个长度之五分之四又减五，是 a b 等于五分之四又减五， ok 吧，这题讲快一点，因为这种套路题，嗯，高三同学应该认得挺多的。好，我们看一下变式题， 我这题答案好像是根号十四吧。这题答案，这题的答案是根号十四哦。 ok， ok， 结束，同学们。嗯，好好休息，好好复习，好好吃饭，好好睡觉。 觉得老师讲的对你有点帮助的，点点赞，点点关注，感谢感谢，拜拜。

双曲线 x 平方比 a 平方减， y 平方比 b 平方等于零。一、以 a 大 于零， b 大 于零的离心率为根号三，其渐，则其渐近线方程为， y 的 正负二 x 杠 x b， y 的 正负二 x c， y 的 正负二分之二 x d， y 的 正负二分之二 x， 然后这个用盈心率的话，用一等于 a 分 之 c 来算，然后 c 的 话，因为这是双极线，是 a 平方加 b 平方等于 c 平方，所以开根号 a 平方加平方， c 等于根 a 平方加平方等于 c 平方 c 的 话，就根号 a 平方加 b 平方加上 a， 然后 a 的 话就是根号 a 平方。 平方和 a 除以平方一加一方分之 b 方等于刚好三离心率，离心率等于刚好三，然后两边同时平方 a， 然后三减一对二 c， a 方分之 b 方对二平方，然后然后正负零， 然后正负正负 a 分 之 b 的 话，就是 a 分 之 b 就 等于正负根号二，所以正负根号就正负根号二，正负根号二的话，所以老题要选 a 选项。

考试前刷到凯哥你就偷着乐吧。求圆的切线方程， x 方加 y 方等于十。三，去掉 x 和 y 的 平方，再将一点坐标三和二分别写在 x 和 y 的 前面。 求椭圆的切线方程，去掉 x 和 y 的 平方，再将一点坐标三和一分别写在 x 和 y 的 前面。化解切线方程为 x 加 y 等于四。此方法适用于已知曲线上的切点坐标。求切线。

小升初分班考热门题型，这道题难度大，分值高，一定得会。咱们来看， x 的 x 次方等于二的二零四八次方。那么要解这道题啊，咱们首先要了解一下密运算的公式。先来看一下，如果说 a 的 m 次方，它代表什么呢？是不是就是 m 跟 a 相乘，也就是 a 乘 a 乘 a， 点点点一直有 m 个 a 相乘，那么现在我再给他 n 次方呢？ a 的 m 次方的 n 次方，它等于什么？它代表的就是 n 个 a 的 m 次方相乘，也就是 a 的 m 次方乘 a 的 m 次方。那么点点点一直有 n 个 a 的 m 次方相乘，那我会得到什么呢？会发现这儿是 m 个 a， 这儿是 m 个 a， 这儿也是 m 个 a。 那 么一共有多少个 m 个 a 相乘呢？一共是 m 乘 n 个呀， a 相乘，所以就是 a 的 m 乘 n 次方，这就是我们密运算公式之一呀。很多同学做题经常会有卡点，最根本的原因就是把知识点学成了碎片，没有办法系统地运用所学的知识。为此，我把小升初考试所用的知识点，系统地给大家梳理成了 知识复习宝典，有兴趣的家长可以六六六。比如说举个例子，像二的三次方的平方，它就等于是二的 三乘二次方，直接把这个指数相乘就可以了。那么回到题目中来， x 的 x 次方等于二的二零四八次方。怎么去解这个方程？那我们来观察一下，等号左边的底数和指数是一样的，都是 x， 而等号右边呢，是 底数是二，指数是二零四八。所以要解这道题的关键呢，就在于我们把等号右边如果能把底数和指数变一样，就能求解这个 x 了，而这里边的底数小，指数大，所以咱们的底数要往大了变，指数要往小了变， 尽可能去靠近，让它们相等，所以我们来变一下左边呢？先不动，那我们这个指数二不动，咱们先把这个指数拆出来个二，往小了变，就是二乘一零二 四，那么继续这就是 x 的 x 次方，就等于接着就利用到咱们刚才说的这个公式，那么从右到左的话，是不是就相当于我可以把其中一个指数给它放到括号里边去，那么同样这里也是可以把这个指数二放到括号里边去，就是二的平方的一零二 四次方，那么因此就是 x 的 x 次方，它就等于是四的一零二四次方。那咱们还要继续变 x 的 x 次方的 于四的，我们把这个指数再往我们想了遍，拆出一个四来，也就是四乘二五六，那咱们再次用这个公式的逆用，我们把这个四放到括号里边去，也就是 x 的 x 方， 它就等于是四的四次方扩起来的二百五十六次方。那么因此我们来算一下，这就是 x 的 x 方，等于四的四次方，等于二百五十六，然后它的二百五十六次方，所以答案就出来了，那么 x 就 等于是二百五十 六。那么这道题是我们利用了密运算公式相关的巧解方程，你学会了吗？还有什么想听的，关注我评论区留言吧！

你要知道，初中数学它再难也就是八十二个公式， 你要是把它们都吃透了，数学想丢分都难。不管孩子要不要，直接给他买一套，就算一个月不吃，遇到不会的，翻开就能用，就像查字典一样简单方便。你看三角形不会查一下，几何图形不会查一下，二次，根式不会查一下，二次，函数不会查一下。 每个知识点的公式定律都用表格和思维导图的方式整理。在这本巴掌大小的书里，非常的简易懂，不管孩子是平时考试复习还是中考冲刺，都很合适，不会的还可以扫码看名师讲解，在家就能学，考试考什么就背什么，家里有初中生的，给备一套吧。 看过这本书的孩子，他就知道，初中的数理化，他再难也无非就是这一百三十四个公式，不管孩子要不要，直接给他买一套，就算一个月不吃饭，也要给他看看这本书理化一本全不会的，翻开就能用，就像查字典一样简单方便。 你看三角形不会查一下，几何图形不会查一下，二次，根式不会查一下，二次，函数不会查一下。每个知识点的公式定律都用表格和思维导图的方式整理。在这本巴掌大小的书里，非常的极简易懂。不管孩子是期末考试复习还是中考复习，都很合适， 初中想要跑到前面，真的不需要报补习班。 把这一百三十四个公式吃透，期末提分也就够用了。数学七十五个，物理四十六个，化学十三个，全都是常考常错的重难点。像查字典一样简单。你看三角形不会查一下，几何图形不会查一下二次根式不会查一下二次函数不会 柴下巴掌大小，方便不少。常考易错点，用表格和思维导读的方式都给整理好了，翻开就能用。不管是期末考试复习还是中考复习都很合适，遇到不会的，还能看名师讲解，在家就能学，考试考什么就背什么，家里有初中生的，给背一套吧。 初中的数理化，他再难也无非就是这一百三十四个公式，不管孩子要不要，直接给他买一套，就算一个月不吃饭，也要给他看看。这本书理化一本全，遇到不会的，翻开就能用，就像查字典一样简单方便。 你看三角形不会，查一下，几何图形不会查一下二次根式不会查一下。每个知识点的公式定律都用表格和思维导图的方式整理。在这本巴掌大小的书里， 非常的极简易懂。不管孩子是期末考试复习还是中考复习，都很合适。过这本书的孩子，他就知道初中的数理化他再难也无非就是这一百三十四个公式，不管孩子要不要，直接给他买一套。要知道，初中想要跑到前面，真的不需要报补习班， 把这一百三十四个公式吃透，期末提分也就够用了。数学七十五个，物理四十六个，化学十三个， 全都是常考常错的重难点，像查字典一样简单。你看三角形不会，查一下，几何图形不会查一下 二次根式不会查一下巴掌大小，方便不少。常考易错点，用表格和思维导图的方式都给整理好了，翻开就能用，不管是期末考试复习还是中考复习都很合适，遇到不会的还能看名师讲解，在家就能学，考试考什么就背什么，家里有初中生的，给背一套吧！

哈喽宝宝们，今天讲一道双曲线的题，看第一问，求双曲线，十六分之 x 方减九分之 y 方等于得十周长虚周长离心力和渐近线方程。像这种它就是有公式的，这个它是交点在 x 轴上的双曲线形式吧，就是 a 方分之 x 方 减上 b 方分之 y 方等于一。然后我们把 a 和 b 写下， a 方等于十六， b 方等于九。先看第一个十周长虚周长，然后把 a 解一下， a 等于四， b 等于三。哦，他的十周长是等于二， a 啊二， a 等于二乘四等于八，再看虚轴等于二， b 就 等于二乘三就等于六，然后再看他的离心率， 离心率， e 是 等于 a 分 之 c 的， c 是 交点到原点距离啊，然后这个 c 方是满足 a 方加上 b 方的，这都是公式。我们有 a 方有 b 方，那 c 方是不能算出来是根号二十五就等于 根号十六加九等于根号二十五，那 c 是 不是就等于五， e 等于 a 分 之 c 啊，那是不是就等于四分之五了？ 渐近线方程也是公式， y 等于正负， a 分 之 b， x， 然后带入进去， y 是 不是就等于正负四分之三 x， 然后再看第二问，哦，第二问，它是四分之外方减 m 分 之 x 方等于一，是焦点在外轴上的双曲线哦， 然后他的形式是这样， a 方分之外方减去 b 方分之 x 方等于一。他的行，他的做法和题目差不多。我们把 a 写一下， a 方等于四， b 方等于 m， a 是 不是等于二？他告诉你，离心率是不是能代表求出 a 和 c， e 是 不是等于二分之根号六。我们有 a 的 值，是不是能推算出 c 的 值，那 c 是 不等于 a 乘上个 e， 二乘上二分之根号六， c 就 等于 根号二，乘上二分之根号六， c 等于根号六。然后呢，我们再反过来求一下 b 方，那 c 方是不是 c 方等于 a 方加 b 方 就是根号六的平方？是不是就等于四加 m？ 那 这边 m 是 不是就等于二了？然后老样子带入近一线，方程就是 y 等于正负， y 等于正负分之， b 方分之 a x， 然后 a 是 等于二的， b 的 话， b 的 话的位置就是根号 m。 根号 m 是 不是就等于根号二？那它的方程就是 y 等于正负根号二分之二 x， 然后就等于正负根号二 x。 好 了，拜拜啦，有什么问题可以留言哈。

今天我们来做一道关于圆的练习题，题目给到了我们这个圆的方程，并且告诉我们这个圆心呢，到这一条直线的距离是一，并且呢这个这条直线的这个 a 值呢是大于零的，那我们求这个 a 具体是等于多少？那根据这个圆的标准方程的话，我们可以知道它的圆心是什么，二和零，对吧？ 然后呢他告诉我们这个圆心到这条直线的距离是等于一，那我们知道点到直线的距离公式是 d 等于 a x 零加上 b， y 零加上 c， 然后这里是根号 a 的 平方，加 b 的 平方，再代入 这个 a 呢，其实就是这个 x 前面的 c 数嘛，就是一，然后 x 零呢，就是这个圆心 x 的 坐标，它就是二乘以二， 然后加上 b 呢？ b 就是 这个 y 前面的这个 c 数 a 吗？那就是 a 乘以零，然后减去四，好，然后这里是一的平方，加上 a 的 平方，可以看出来这里是零了吗？然后这里是一乘以二十二减四的话，那就是负二， 那这里就是等于负二的绝对值。下面是一加 a 的 平方，然后这里是等于二，然后这里依旧是根号一加 a 的 平方，那我们肯定要把这个给它化解吗？因为下面分母有根号的话，一般都要给它通分掉，那其实就是把这一个式子给它进行通分吧，因为这一个是等于 d 嘛， 然后 d 又是等于一，这个距离是等于一的，所以我们就把这个式子带入进去之后，最后在这里给它一通分，那我们要怎么给它化解呢？就直接 这个等式两边同时平方就可以了，那这样子的话呢，这里就是一加 a 的 平方，二的平方就等于四，一的平方还是等于一， 把一加 a 的 平方移过去，就是变成一加 a 的 平方等于四，然后 a 的 平方呢？就是等于三，那 a 就是 等于根号三，所以答案就选到到。

好，今天我们来看双曲线，求近丁线的题型，那我们做这一类题型呢，你记住，我只需要把这里所有的二都给它去掉，保留 x， y， 五和九啊，这里符号不要动它啊， 这里一呢，我也给它不要了，写成零啊，我们剩下呢就是五 x 减去九 y， 哎，等于零。好，我们一项过来，变成了九分之 y 等于什么？五分之 x， 把九怎么样除过去，所以 y 就 等于五分之九啊，再乘以 x。 好，写到这一步，我只需要再加一个正负号啊，那我们这条双曲线的渐进方程我就给他写出来了，那我把这种方程叫做丢盔卸甲，是不是所有东西都不要了啊？我只保留一个最主要的五分之 x 和什么九分之 y。 好， 照到这个方法，我们看第二期，他说 求这个双曲线的计算方式，那一样呢？所有的二怎么样？哎，我都不要了，这个一呢，我把它变成零，那也变成七分之外，减去十一分之 x 等于什么零，那么一项七分之外就等于十一分之八 x， 那 我把七乘过去， 我们就可以得到 y 等于十一分之七 x。 好， 写到这一步，前面加一个正负号，至此，我们这个双曲线的渐近点方程呢？哎，就求出来了，这个方法是不是非常的简单？