费马点证明过程

什么是费马点呢？就是三角形 a、 b、 c 内有一个动点 p， 当 p a 加 p b 加 p c。 最小时，这十点 p 就称为费马点。我们看看怎么推理和寻找这个费马点。 当 p 点运动到什么地方时，三个线段之和最小呢？我们用旋转的方法来解决。蓝色三角形向外旋转六十度，标上点 c e 和点 p e， 并连接 p p e b c e。 你发现无论 p 点怎么运动，点 c e 都是不动的， 是因为点 c 由线段 a c 逆时针旋转六十度得到，与点 p 的位置无关。 p c 等于 p e c。 一右绿色三角形是等边三角形，故 p a 等于 p p e， p c 加 p a 加 p b 就等于 p e c e 加 p p e 加 p b 是大于等于 b c e 的。当四点贡献时， p a 加 p b 加 p c 达到最小值，最小值为 b c e。 这时三个夹角多为一百二十度。 那怎么快速计算这个最小值呢？比如下面这个三角形，三个角分别为五十度、六十度、七十度， 应该旋转哪条边呢？应该旋转特殊角的零边 ac 或者 ab， 比如逆时针旋转 ac， 六十度得到等边三角形 acce 连接 bce， 这时 bce 就是最小值 过 c 一座垂线 c d。 根据勾股定理就可以算出 bc 一在线段 bc 一上去点 p， 使得角 apb 等于一百二十度，点 p 就是费马点了。关注我，了解更多的数学知识。

费马点，一个学霸口中经常出现的点，这到底是一个什么点？今天我们就来一块盘一盘费马点的故事，是一个非常严肃的数学故事，放屁的故事， 三角形里面放个屁，让他到三个顶点的距离之和最小。费马自己先提出了这个问题，然后他想到了一个非常神奇的放屁方法，于是他就问他的好基友，脱离差力脱哥，你会放这个屁吗？ 我托哥他也不是一般人，一晚上就把这个屁给憋出来了。对了一下答案，两个人心有灵犀，不谋而合。当这个屁能够使顶点构成的三个夹角是一百二十度的时候，就会使得 papbpc 相加最小。 为啥呢？我们用初衷的旋转就能解决，将里面的小三角形，比如 a p c 旋转六十度旋转出来，这样根据旋转权等， p a 就是 p p a a 撇 p c 就是 p 撇 c， 再加上旋转角六十度，我们就可以得到三角 p 撇 p c 就是个等边三角。那么原来的三条共顶点线段相加，就变成了三条折线段相加，三条折线段相加最小，很显然是四点共线时候形成的长线段 a 撇 b， 这时候的屁和屁屁都在线段 a b 撇上。但是为什么这时候的屁能像费马格和托格说的是三个夹角都是一百二十度呢？ 非常简单，因为这时候的三角 p p 撇 c 就是个等边三角，这样两个内角都是六十度，那么对应的邻居角都是妥妥的一百二十度， 那右边这个角就是旋转之前的 a p c， 所以这哥俩都是正正好好的一百二十度，那剩下这个角 a p b， 他好意思不是一百二十度吗？所以当我们 放的这个屁是三个夹角，都是一百二十度的时候，才是真正的好屁，才会使得 p a p b p c 相加最小。那知道了，这个屁怎么放肯定还不行，你放完之后怎么处理才是关键。 怎么去求这个最小值才是题目里面常考的。怎么求呢？那就更简单了，刚才我们得到最小值是 a 撇 b 的长度，所以我们就是要看 a 撇 b 中的 a 撇是怎么来的。 a 撇是旋转 a c 六十度得到的，那这样这个三角形就是个等边三角，所以只要以 a c 为边做等边三角形，就能得到 a 撇点， 所以费马点求最小值，那就是坐等边三角，然后连接顶点。知道了这个，当你遇到这样的中考小压轴，你就偷着乐吧，因为别人还在苦苦阅读理解的时候，你已经把答案算出来了。直接看题， 费马点球最小，那就坐等边三角，以哪个边坐呢？用题目里面已知角度的两边 m n 或者 m j， 假如选择 m j 坐等边，那最小值就是 n q， 用一下勾股定理，答案噗呲就出来了。 再比如这样的中考动点到三定点距离之和最小，那就是费马点，求最小后，当后当这个最小。好像知道是求正方形边长，但还是费马点问题，所以思路不变，那就坐等边三角连接顶点，最小值就是 pc e c 可以和正方形边长用勾股定理建立起联系，首个 x 列个方程，这答案不就扑面而来了吗？

一分钟搞定费马点，在三角形内找一点 p， 连接三个顶点，求 pa 加 pb 加 pc 的最小值。像这样的 p 点，我们就把它叫费马点，那该怎么处理呢？此时大三角形被分成了一、二、三三个小三角形， 对于费马点问题，我们只需要做两步，第一步，从一、二、三里面随便选择一个小三角形，那我们就不妨选择一号选手。第二步，把这个三角形向外旋转六十度，旋转之后大概长这个样子，也就是把这个三角形旋转到了这里，我们令这个边是 a， 这个边是 b， 这个边是 c， 所以这个题相当于让我们求 a 加 b 加 c 的最小值。旋转前后两个三角形全等你。这个边是 a， 这个边是 b， 所以这个边等于 a， 以及这个边等于 b。 大家不要忘了，我们的旋转角是六十度， ap 的旋转对边是我们的 ap 一撇，所以这两边 夹角等于六十度，两边相等，并且夹角等于六十度，所以我们很容易想到连接 p、 p 撇构造等边三角形，所以这个边也等于 a。 我们刚不是说要使得 a 加 b 加 c 最小吗？ a 在这里， b 在这里， c 在这里，所以我们只要使得这三条线段之和最小就可以了。 ab 是一条固定的线段，我们把这个三角形旋转六十度，得到这个三角形，因此 ab 也会跟着向外旋转六十度， 因此 ab 一撇也是一条固定的线段，所以 b 一撇是个定点，而 c 点也是个定点。这就相当于从 b 一撇出发，先到达 p 一撇，再到达 p 点，最终回到 c 点， 从一个点到另外一个点，两点之间线段最短，所以我们连接端点最小值就等于 b 撇 c 的长度。我们是把这个三角形旋转六十度得到这个三角形，你这个边等于二，所以我这个边也等于二。 另外，三十度所对的直角边等于斜边的一半，所以 ac 等于四。因为这个角等于三十度，所以这个角等于六十度。每个小角都是六十度，所以整个顶角等于一百二十度。 而一百二十度是个特殊的钝角，因为他的零补角等于六十度，所以我们很容易想到过壁撇向对边做垂线，构造特殊的直角三角形。因为这个角等于六十度，所以这个角等于三十度。三十度所对直角边等于斜边的一半，所以这个线段为一。 在这个特殊的直角三角形中，不管是用勾股定理还是三边比例关系，我们都可以求出来这个边等于根号三。此时这个题就会变得特别简单了，在这个大的直角三角形中，一边是根号三，一边是一加四等于五。用勾股定理可求斜边等于二倍，根号七搞定。

每天一分钟学会压轴题，点屁是三角形内一个洞点连接这三条线段，求他们相加合的最小值。很多同学遇到这种题完全没有思路，那是因为你不知道费马点模型。 首先我们不妨先把这三条线段设成 abc， 他是长这个样子的，如果我们想办法把它变成这个样子，是不是就顺眼了很多？然后画折为直，利用两点间线段最短的原理，这道题就解决了。那我们该如何转化呢？ 我们不妨先将图中这些三角形标记成一号、二号、三号选手，我们只需将其中任意一位选手向外旋转六十度即可。这里我们选择二号选手旋转完长这个样子。那为什么要旋转六十度呢？因为我们要构造等边三角形来转化线段，这也是我 解决费马点模型的核心思路。图中你会发现旋转后这两条蓝色线段相等，夹角又是六十度。此时我们马上想到连接这两个点，构造等边三角形，蓝色线段 c 就转移到了这里。 此时你会发现这三条线段已经被我们转换成一条折线，化折为直。当这四个点共线时，相加的和有最小值，此时我们只需大胆连接 ad， 最小值就是 ad 的长度。 由于这个角是三十度，旋转后得到这个角又是六十度，所以这个大三角形是直角三角形，又因为旋转可得 cd 等于六。最后，根据勾股定理， ad 不就算出来了吗？同学们，你学会了吗？

这可是我上学时的噩梦啊，好几年都没有整明白。你要是能讲清楚了，我可得请其他人谢谢你。 这是一位粉丝跟我说的话，我一看，这不是大名鼎鼎的费马点难题吗？不过解还是能解的， 来看题，等边三角形 abc 边长为二，三角形内有一动点 p， 那么 pa 加 pb 加 pc， 最小值为多少呢？一看到这个最小值啊，我就想到我三年级学的两点之间线段最短， 那如果是这样的三条折线段，那他们加起来最小值多少呢？哎，首尾这两个点一连 两点之间线段最短吗？但是啊，现在咱的 papbpc 也不是这种折线状的呀，那咱们就得想办法给他变成折线。怎么变？首先随便找一个小三角形，哎，就 bpc 了， 然后给它绕 c 点旋转。怎么旋转呢？哎，我觉得呀，旋转六十度比较合适， 因为啊，我旋转六十度，把 p p 片连接起来，就可以有一个小的等边三角形，那 p c 跟 p p 片就相等了。而且啊， 你看这两个三角形旋转下来肯定是全等的，那 p b 跟 p 片 b 片肯定就对应相等。那你看 p a、 p c， p b 这样排起来，这不就成了这现状吗？ 要求最小值啊，那肯定是直接连接 a b 片儿， 就是 a b 片这个长度啦，它怎么求呢？哎，那咱们得看这角 a、 c b， 它肯定是等边三角形，一个内角六十度，那下边的角 b、 c、 b 片该怎么求呢？ 哎，你看，这有个角一，这有个角二，这俩三角形是旋转全等，所以 一就等于二。那如果我给他们同时加上这个角三，那一加三，二加三，等号两边同时加同一个角三，那等式还是成立的。那所以一加三，二加三都等于六十度， 上面六十度，下边六十度，加起来就是一百二十度，然后这两个三角形旋转，那这个 bc 也是旋转下来的， cb 撇肯定也是二，俩都是二， 那现在这 a、 c、 b 撇不就是一个顶角为一百二十度的等腰三角形吗？ 等腰三角形，我就给它来个三线合一 c、 d 就可以把这个三角形 分成上下两个，三十、六十、九十，上面这个角肯定是三十度，他所对的直角边是斜边的一半，那这个 cd 就等于一， 那 ad 呢？按照勾股定理，二方减一方等于三，那 ad 就是根号三，下边这个也是根号三，所以咱们要求的 ad 条就是二倍根号三。这题就做完了， 我刚开始学的时候也是搞不明白，这旋转三角形的时候是该往哪旋转呀？ 哎，其实啊，是要往远离其他三角形的方向要旋转，因为啊，这样你才能得到这样展开的折线，而不是这样的。这题讲解就到此结束了，感谢你看到这里，如果你的手机还有电，就麻烦给个小心心吧！

一分钟讲清楚费马点，三角形 a、 b、 c 内角均小于一百二十度，求点 p， 使得 p a 加 p b 加 p c 最小， 取得最小值时候的 p 点就是费马点。怎么做呢？还是那句话，最值的本质是贡献。我们把三角形 abp 绕着点 b 向外旋转了六十度，得到了这个三角形。这个时候旋转前后这两个三角形是全等的， 那么 p a 就被我们转到这里来了，然后 p c 我们保持了不动，这个时候就有留了一条，我转了一条，那剩下的一条就是 p b， 我需要把它震出来， 怎么正呢？我们连接 p 撇和 p p b， 被我转到了 p 撇 b 这里来，所以呢，这两条边是相等的， 然后我们旋转角刚好是六十度，因此呢，这就是一个等边三角形，所以 p p 撇和这个 p d 是相等了。你知这个 c 点肯定是一个定点，然后呢，这个 a 撇点是我们转六十度转过去的，也是定点。那两点之间线段最短，我们把它一连 两点之间线段最短，那么也就是这三条线段的和。其实就是 p a 加 p b 加 p c， 它的最小值应该是刚好是在贡献的时候，这个时候取得。

来，最近很多粉丝在后台私信我想听一听费马点的问题，那今天咱们来看一道费马点的入门级题目， 告诉我们，三角形 a、 b、 c 是一个等腰直角三角形 a、 b 的长度是四， b， c 的长度也是四点 p。 在三角形 a、 b c 内部，让我们求的是 pa 加 p b 加 p c 的最小值。 将这种问题作为入门题目，你发现 p a， p b 和 p c 的系数都是一，所以我在线段转移的过程中，只需要把 p b 进行转移，把 p a 也进行转移，它们的长度不变是最理想的。 既然要求长度不变，所以我在旋转的过程中一定要转一个六十度，在构造 造出全等的同时，还能构造出等边三角形，在依托等边三角形进行边的转化。所以此时呢，咱们把 apb 这个三角形绕着点臂向这个方向旋转六十度， 旋转之后的形态就是这个形态，那么这个点咱们重新的标一下，这个点咱们叫做点 m 的话，这个点咱们叫做点 n， 那么此时咱们能知道的是 mbn 和 abp 一定全等。 由于转了六十度，所以 b n 和 b p 相等的同时，角 n b p 又是六十度啊，所以 n b p 这个三角形就是一个等边三角形，那么 n p 它和 p b 就是相等的，而 n m 和 p a 一定是相等的，所以我们要求的 p a 加 p b 加 p c 就变成了 m， n 加 n， p 加 p c， 那么显然两点之间线段最短，所以最小值一定是 m 点和 c 点之间的连线， 所以咱们把 m 点和 c 点咔嚓一连，然后咱们延长一下 c b， 并且过点 m 做 c b 延长线的垂线，这个点呢，咱们叫做 h 的话， 我们来看这个图形，在 m h c 中只要能解出 m c 的长度就够了。我们已经知道呢， m b 和 a b 是相等的，所以这里一定是四了。 那么这个角度应该是一百八，减掉九十，再减一六十，剩了一个三十度。所以由咱们直角三角形中三十六十九十度的直角三角形三边的比例关系，我们能知 知道 m h 一定是二，而 h b 一定是二倍，根号三。写到这里之后，你发现 m h c 中 m h 已知了， c h 也已知了，那么 m c 由勾股定理当然能求了， 计算的事大家自己来算，最终的结果算出的 m c 的长度等于二倍的根号六，再加上根号二，也就是说 p a 加 p b 加 p c 的最小值就是二倍。跟六再加根二，大家学会了吗？小柯？

来，咱们今天来看一道最近热度特别高的题目。这道题目其实非常的简单，在我的课程中都是以结论题的形式出现的，但是最近问我的人很多，我就来讲一讲， 让我们求这三个式子加和的最小值。首先这道题目用代数的方法解，基本上在初中这个程度上是没有办法的， 那么我们一定要把它转化成几何图形来解决问题。而我们之前也曾经说过，看到了平方和，马上想到距离 一个式子，我们就可以把它整理成根号下 x 减零的平方，再加上 y 减零的平方。那么这个式子表达的是什么？它表达的是在平面直角坐标系中某个不定的 的点到坐标原点的距离。那么首先大家应该知道，两点之间的距离公式肯定是根号下 x 一减 x 二的平方，加上 y 一减 y 二的平方。那么这个问题就非常好理解了。 第二个式子呢，咱们也把它整理一下，就变成了根号下 x 减二的平方，再加上 y 减零的平方。同样的逻辑，它表达的是平面直角坐标系中某个点 xy 到二零的距离。 那么第三个式子还是可以整理的，它就是 x 减零的平方，再加上 y 减二的平方，它所表达的也是某个点到零二的距离。那么整个的这个代数的式子就完全变成了一个几何问题，变成了在某个平面上 有三个点是已经定的，问的是到这三个点的距离之和，这不就是费马点吗？咱们把这三个点先找到坐标原点，定义成 o， 就是零零。咱们再找到点 a， 定义成零二，找一个点 b， 咱们定义成二零，再把 ab 一点 o、 a、 b 肯定构成了一个等腰直角三角形。我们要找到一个点，到 a、 b 和 o 三点的距离之和最近最短。那这个点一定在 a、 o、 b 这个三角形内呀。 大家可以自己尝试一下，你在外面画个点试试，一定明显的比这个点在三角形内的时候距离的和要大。咱们在三角形 aob 中呢，首先先找上一点 c， 并且连接 oc， 连接 cb， 再连接 c。 连接之后我们发现我们要求的就是 c、 a、 c、 b 和 c、 o 和的最小值。那这个时候如何转化呢？一定是借助旋转的。咱们把 bc 这个三角形绕着点 b 来进行一个旋转，旋转多少度呢？六十度。 这样才能进行边的转移，才能构造出等边三角形。那么转过来以后，大概的位置可能是在这。那么这个点呢？咱们叫做点 m 的话连接出来，然后这边点 c 对应的点咱们叫做点 n 的话也做出来。那么此时我们就会发现我们构造出了一个新的三角形，叫做 bnm。 而这个三角形中呢， bm 和 ba 肯定是等的。 由于咱们转的是六十度，所以 a、 b、 m 一定是等边。相应的 c、 b、 n、 b、 c 和 b、 n 等也 转了六十度，那么 cbn 也是等边三角形，那么两个边都等了，你再看这俩小角不都等于六十度，减掉一个 abn 这个公共角吗？所以全等也有啦。我就知道了， bca 和谁 bnm 一定全等。 全等之后大家观察 o、 c 不用管。那这个 c、 n 不就等于 c、 b 吗？由于等边呀，而这个 m、 n 和谁等，不就等于了 c、 a 吗？所以这个时候你会发现 o、 c、 c、 n 和 n、 m 这三条边恰好就分别对应了 c、 o、 c、 b 和 c 呀。所以我们真正要求的最小值就是这三段的加和。而这三段的加和什么时候最短？当然是在这三条线段贡献的时候。而我们会发现 a、 b、 o 是等腰三角形， a、 b、 m 也是等腰三角形，并且都可以看成是以 a、 b 为底的。我们要想求的最小值就是直接连接 o、 m 啊。那么 o、 m 不就是这个图形的一个对称轴吗？也就是说咱们过 o 向 a b 做垂线，过 m 向 a b 做垂线，这两条高的夹合呀。 o 到 a、 b 的距离，直接就可以算的 o、 b 长度是二，所以这条高的长度应该是二，除上根号二，那就是根号二了。而 m 到 a、 b 的距离就应该是正三角形的高。 咱们是有公式的，就是二分之根号三，再乘以什么他的边长啊。那么 ab 的长度应该是 ob 的根号二倍，那就是二倍根号二。咱们这乘上一个二倍根号二，那么最终的结果就是根号二，再加上一个根号六。这道题目就搞定了，大家听懂了吗？小哥？

这个视频教你三步搞定费马点问题。那我们先来看这个题啊，这里告诉了， abc 是一个等腰直角三角形，角壁这块是直角， ab 等于 bc 啊，并且都等于一个根号。二， 现在要求的是啊， p a 加 pb 加 pc 的最小值， p 是三角形内部一个点，把它和三角形的这个三个顶点连起来，去求三条线段合的最小值，显然是我们的沸麻点问题了。那么由于三线共点啊，我们势必想到了要进行旋转 这块对应沸马点的问题。第一步就是旋转好了，那么这里怎么旋转啊？旋转谁呢？来，和屁相连的这三个三角形，你旋转谁都可以任选一个，那我们习惯期间呢？哎，旋转这个撇臂好了， 怎么旋转它呢？来，把它往远离三角形 abc 的方向旋转六十度，那么屁屁往外转六十度呢，他就转到了这个 bq 的位置了啊，这里的 bq 和 bp 是相等的， 然后 a p 往外转六十度呢，他就转到了这个 a 撇 b 的位置。好，那么这里的 a 撇 b 和我们的 a b 啊 b c 都是相等的，都是根号。那么现在我把这个 a 片 q 一连，那么我们原来的这个三角形啊，目前就转到了 a p l b 的位置了。 好，那么请注意啊，由于这块我转的是一个六十度，所以对于三角形 pbq 来说，他目前是一个等边三角形，也就是说我们的这个 pq 和我们的这个 pb 是相等的啊，所以现在 来把它重写一下， p a 是不是赚到了 a 撇 q 了？ pb 呢？我们刚才说了，他和这里的 q p 是相等的，然后 pc 不动，那么现在其实要求的就是这三条线段的最小值好，那么他的最小值在哪里呢？ 由于屁在动啊，所以我们的 q 也是在动的，那么势必当屁动到某一个点的位置呢，可以使得 a 片、 q、 pc 这四点贡献， 那么当这四点贡献的时候，我们就可以得到这三条线段的和的最小值，其实就是图上的 a 一片 c 这个线段的长度，那么这块就对应到我们的第二步啊，就是去图上来寻找可以表示线段和最小值的这条线段啊， 把这条线段找到，那么接下来就是第三步了，去求这个线段的长。那么来看一下 a 一撇 c 这个线段的长应该怎么去求呢？来注意，由于刚才 ab 是往外旋转了六十度啊，所以 我们的 apc 他相当于是这个六十度再加一个直角，也说这个大角呢，他其实是一个一百五十度，那么对应的他， 他的外角就是三十度。好了，哎，来这里是三十度，我们再过 a 撇去做他的垂线， a 撇 b， 他的长度和 ab 是相等的，根号二，那么在 a 撇 e、 b 这个三角形里面，我们就可以得到 a 撇 e 呢，是二分之 根号二， b， e 呢，就是一个二分之根号六，那么这边 bc 是一个根号二啊，所以 a， e 一撇 c， 就可以在 a 一撇 c， e 这个直角三角形里面去求了两条直角边，一只斜边，显然根据勾股定理是可以求出来的。最后来看一下这道练习题，辅助线都已经给大家画出来了啊， 看一下在这样的一个辅助线做法下，能不能把缴 app 的度数求出来呢？

同学们，你看废毛点，哎呀妈呀，好难啊，没听过。同学们不要大惊小怪，就是一个重点问题而已，听我讲完你们就会了。我们看这道题，在三角形 a、 b、 c 中，他的三边长度为二，也就说这三边的长度为二，那么三角形 a、 b、 c 三个角有多少度？六十度。 然后 p 是三型内部的一个动点啊，一个动点要求 p a 加 pb 加 pc 最小， 他的最小值，说白了就是求这三条线段加起来最小值，对吧？那么要求几条线上加起来最小值，我们就以为你就是两点之间线段最短， 那么我们就要把这三条线段跟他组成一条连中，连中，什么连中呢？我们画图说一下。比如说这是第一条 a， 那么这是第二条，这是第二条，这是第三 条 a 点是个确定的点，没有问题啊。那么如果说我能确定最下面的这个点 m 点，要求这三条线段加起来最小，相当于就是两点之间线段最短，就是求 am 的长。那么同学们啊，现在这三条线段他不是这种模式， 我们要想办法把它拆成这种链条模式，对吧？那么这个链条模式，你看前两条有一个焦点，后两条有一个焦点，这个三条线段都有一个焦点，肯定不行，所以说我要把这个点给它拆开，拆开也就说要主动成这个样子，那么肯定要做辅助线，要不怎么主动呢？同学们是不是好 好了，那么我要进行边的转移，把屁屁给他转一下。转一边的时候，我们很好理解，等边三角形就有这个功能，因为等边三角形到了三边是啥关系相等的， 那么根据这个原理，我就以 p b 为边层做一个啊等边三角形，哎，假如说这个点为 n 点，哎， 这样的话，我就把 p b 转化成 p n 了，哎，转化成 p n 了，这样的话 p b 就变成了 p n 了，没问题吧？然后还要出现这下面这条，也就是说要把 p c 放在这下面，对吧？那怎么分最好呢？同学们，同学们可以思考一下，你看好，如果说我将三角形 b p c 跟他向下旋转六十度，因为这个角位六十度，那么 p b 刚好和 nb 是不是重合了，这样的话 pc 就会变到这个位置了，哎， 那么就变到这位这个位置了，十一点就变成了 m 点了，没有问题吧？然后我再把这条边跟他连起来，连起来，那么很显然， p b c 这个三角形和 n b m 这两个三角形一定是全等的，一定是全等的，那么这样的话，我就 把这三条边给他转一层这种链条模式了。那么现在要求他加他加他的最小值，相当于就是求他加他他的最小值，那么最小值 a 点确定了， a 点确定了，那么两点之间 线段最短，对吧？那么我就把这个这个连起来，不就可以解决这个问题了吗？现在我们就开始算 a m 了，那么这个长度肯定有多少二， 因为 b m 是等于 b c 的，对吧？等于二，那么三角形 a b m 就是一个等于二三就行，二二好了，这个角度多少度？是不是六十度？因为他是个等面三角形吗？没有问题啊， a b c 为等面三角形，然后这个角角为六十度，看图 问等于几点后，为什么呢？因为我们的这个角为六十度，假如说这是假一，这是假二，对吧？假一和假二是相等的，因为这两个三角形全等，这个是他们两个的什么部分？公共部分，公共部分。那么也就是说这个角为六十度，那么他加角就加三，一加三等于六十度， 一就是等于二的，所以二加三也为六十度，哎，所以这个减也为六十度，那么这个大减就是多少度了？一百多度，一百二十度，然后这个减就有多少度了，三十度了，三十多了，对吧？现在相当于知道这么一个三角形了，对吧？这个角是多少度？一百二十度，也就是这个大角， 这边长为二，这边长为二，这是 a 点，这是 a 某点，相当于要求 a 某的长度。那么非常简单了，我们可以跟他做一下，到三十度数对的指甲边对斜边的一半正好为二，那么这就为一。然后 根据勾股定理，二的平方减一的平方尾跟三，所以说 am 就等于跟三，加跟三就是二倍跟三。同学们听懂了吗？这就是分码点，没有什么神奇的，老师每天跟大家分享数学知识。

中考最难的动点是费马点，死磕三道题搞定他，第一题教你秒杀结论，第二题教你证明方法，第三题，特殊情况巩固一下。开始 费马点的问题啊，我们透过这一道中考真题呢，把费马点在中考中的应用给大家讲透啊。其实这个费马点它的本质是什么呢？它是一个动点 加最直问题。哎，那既然是动点加最直问题就有两个考点，一个是动点如何寻找，第二个是最直该如何求？ 那不管是动点还是最直，我们得首先搞清楚什么是飞马点啊，这个飞马点是什么呢？我们先来讲， 通常来讲有三个定点， a、 b、 c 构成了一个三角形 a、 b、 c 啊，这是三个定点，而且这个三角形啊，要是锐角三角形， 那么这个锐角三角形中存在一个点 p， 这个 p 点呢，到三个顶点的距离也就是 p a 加 p b 加 p c， 要最小是什么？最小是 距离和最小这样的一个点辟为三角形 a、 b、 c 的肺麻点。好，那这样看来的话，这个肺麻点的问题啊，如果是从考试的上面来看的话，它一定要满足 三条线段和最小，这是不是一个非常重要的特征啊？三条线 断合。哎，那也就说，如果你看到了三条线断合最小，通常就用费马点的思路啊。好，我们搞清楚了什么是费马点，这里还要注意的就是这个三角形 a、 b、 c， 他一定要是一个锐角三角形。好， 接着我们就来看，既然是动点的话，那如何确定 p 的位置，这是不是一个问题啊？他既然是一个动点，那么这个位置该如何定呢？ 很简单两种方法。第一种方法，我随便画一个三角形叫 a、 b、 c， 当然它一定是一个锐角三角形。好，这 p 点的位置呢，其实只要满足一个条件，就是假如 p 点定下来了， p a、 p b、 p c， 这 p 点在中 间，然后就会构成一个角角一角二和角三，要满足角一等于角二等于角三等于一百二十度，只要满足这一个条件， p 点就定下来了。哎，这是一种方法。 好，那我们确定了 p 点的位置之后，那么这个最小距离和该怎么求呢？因为 p 点已经定下来了，就直接求 p a 加 p b 加 p c 就可以了，这叫直接法啊，你看这个 p 点位置定下来了，对吧？满足一百二十度的关系。然后呢，你直接 啊，三条线段分别给求出来，那就是最小值。好，这就是求法。 第一种方法给出来了，接着我们来看第二种方法啊，这第二种方法呢，就相对来讲要巧妙一点了。 同样的还是给出一个三角形叫 a、 b、 c。 我们的做法，这个时候不再从一百二十度这个关系去寻找了，而是怎么样呢？我用紫色画一下，分别以三角形的三条边向外啊，去做一点 f 点和 g 点。哎，也就是说做了三个 等边三角形，这三个紫色的三角形都是等边三角形，这三个等边三角形的边长呢，分别就是原来的 a、 b、 c 的三条边长，这个可以做吧？ 好，我们可以证明出来，把这个新的等边三角形的三个顶点 e、 f、 g 和原来三角形的对应的顶点，这样连起来，就会出现三条紫色 的线段，一定交于一点，这一点就是我们的 p 点，也就是费马点，这三条线段是交于一点的，而且啊，这个最小值 p a 加 p b 加 p c， 它实际上就等于 e， b 也等于 f， c 也等于 a g， 也就是说这最小值啊，就是这三条新的线段，你任意选一条都可以。好，这种方法，第二种方法用的更多，通常题目一难，就是第二种方法 好，到此为止呢，我们就介绍了两种方法，这两种方法分别是有关于如何确定 p 点的位置，以及这个最小值的求法，是不是都给出来。 第一种方法是通过一百二十度角这个关系，用直接法去求 p a， p b， p c。 第二种方法就是我们构造等边三角形，画三个等边三角形，然后去连线就可以了。 那么第二种方法呢，其实你不需要画三个等边三角形，我们只需要画两个，然后呢 就出现两条线段交于一点，这个 p 点呢，即为所求啊，那如果不需要确定 p 点的位置，只需要我们求最小值呢，也就说三条线段的最小值呢？其实我们只需要干什么？只需要画一个等边三角形，然后 去连一条线段就可以了。好，接着呢，我们来看一道中考真题啊，你看左边这一些是什么？是我们的解题方法啊，一共有两 两种方法，一个是从一百二十度这个方方向去解，另外一个呢，是构造等边三角形的方法。好， 首先这道题呢，他给出了一个费马点的概念啊，这个概念呢，就是我们刚才所讲，所以就不再追溯了，我们直接来求，这里有两问，第一问，他给出了一个等腰三角形，哎，也就是说 a b 等于 a， c 等于根号七，然后呢，底边长 b， c 等于二倍，根号三。现在 p 点为这个三角形 a、 b、 c 的飞马点 要求 p a， p b， p c 啊，等于多少？也就是说要求这个三角形内部找一个点到三个顶点之间的距离和最小值是多少，对不对啊？哎，好，我们刚才讲了，这就是一个求 费马点的问题，而且呢，他直接要我们求的是费马点到三点距离最小的值，没有让我们去找批点的位置吧。哎，其实这道题相对来说就比较简单了，那我们有两种方法吧，方法一和方法二，那我们首先用方法一试一下， 你看，我们假如这个 p 点找到了，然后呢？哎，都是一百二十度的角，那么 因为这是一个等腰三角形，对不对啊？它是一个等腰三角形。首先我们能够得到的是这个 p 点的位置一定是在底边 b、 c 的中线或者是高上面的，为什么呢？你看，如果我从两边 画等边三角形，然后这样连起来，根据等腰三角形的对称性，这两条紫色线 线段的焦点是不是一定是在等腰三角形的底边中线，也就是三线合一的位置啊？好，这是一个我们非常重要的隐含条件。 好，那得到这样的一个隐含条件之后，其实这道题就可解了，为什么呢？你看啊，每个角都是一百二十度，然后呢，这个 p 点又是在中线上，那继续延长，是不是有三线合一？三线合一之后，这个角就是六十度，这个角就是三十度。 好了，那么既然根据三线合一的关系，底边就变成了根号三和根号三吧，原来是两倍根号三。好， 那么现在 p c 是不是就等于 p b 就能求了吧？解三角形就可以了，就等于二吧，这没问题吧？因为这个焦点，我们记住 m 点的话， p m 是等于一的吧， 对吧？哎，我们直接解一个三角函数的三角形就可以了，三十度六十度的直角三角形嘛，也就是这样的一个小三角形，对吧？我们已知了 m c 等于根号三，那其他的这条是一，这条是二，是不就迎刃而解啦？那我们要求 p a， p p p c 已经求出 p b 加 p c 了吧？ p b 加 p c 是两个二相加，等于四，那这个时候 p a 等于多少呢？其实也好办呐， 这 p a 就很好求了。为什么这个大的直角三角形，斜边是根号七，那么一条直角边是根号三，那么另外一条直角边 a m 是不是等于二啊？而我们又知道了， p m 的长是等于一的，那 a p 的长啊，是不是就等于一了？好，那 a p 的长等于一，那是不是直接求出来了？等于五？好， 这是我们的第一种方法。哎，我们通过一百二十度角的关系，先找到这个 p 点的位置，然后呢，硬算啊，就把 p a， p b， p c 给求出来，这是第一种方法。好，接着来看第二问啊， 第二个呢，它同样的还是一个三角形 a b c， 但此时这三条边很明显是一个勾股定理的关系， a b 等于二倍根号三， b c 等于二， a c 等于四啊，那很明显发现呢，这就是一个三十度的角啊，这是一个直角，对吧？现在要求飞马点，这该怎么求呢？这个时候啊，如果你用第一种方法，你如果已知啊，这个飞马点在某个位置，然后呢，满足一百二十度的关系，这三个角是一百二十度就 很难求，那第一种方法行不通，我们就用第二种呗，做等边三角形就可以了。而且这道题他要我们求 p 点的位置了吗？并没有，他只需要我们干什么把这个最小值，三条线段的最小值啊给求出来就可以了。好，那我们就做等边三角形试一下， 你看啊，三十度的角在这里，那我们如果以 a c 为边做一个等边三角形的话，这是六十度吧，这是六十度吧，那这不是就是一个直角啊，对吧？如果这个点我们记住 m 点的话，好， 要求飞马点的最直。问题，三条线段之和，实际上就是求什么？就是求 b m 吧，我们把 b m 给求出来是不是就可以了？这 b m 在哪里啊？就是一条绿色的线段啊。好， b m 怎么求呢？你看啊，九十度的直角三角形， 一条直角边是二倍根号三，另外一条直角边是不是在这一个等边三角形中啊？这个等边三角形的边长是四啊，所以它就是四。哎，那这个直角三角形知道了，两条直角边斜边 bm 等于多少？ 二倍根号七啊，这就可以口算了，所以就是二倍根号七嘛。我们知道这个 bm， 这条紫色线段的长，是不是就是我们要求的费马点三条线段的距离最小值啊？ 好，这道题啊，一道中考真题，把我们和费马点有关的两种类型全部概括了，所以呢，除了特别好，特别典型，如果你不知道这个费马点的这些思路和方法，你去做这道题呢，会比较复杂。但是如果你知道了 你知道的这两种方法啊，一个是呢，是一百二十度角的方法，第二种方法是做等边三角形的方 方法，以及求 p a， p b， p c 的方法啊，一个是直接法，第二个呢，是通过三条线段，你任求一段就可以了啊，大家掌握了之后啊，这种类型的题一定会迎刃而解。 那其实这个飞马点啊，我们只要抓住它的本质，是一个动点加最直，那么如何去识别它呢？通常就是三条线段啊，三条 线段的最小值问题，如果你能抓住这个关键，通常就是飞马点问题。 好，大家好好体会一下。这道题呢，是一个典型的肺麻点问题，也就是求三角形内部一个动点 p， 满足 p a， p p 和 pb 这三条线段之和最小。关于费马点的问题呢，我在之前百题冲刺是有详细的介绍方法了，这里呢，我们就直接用就可以了。这个方法其实很简单，这个三角形 a， b， c， 我们随便选择其中一条边，比如说选择斜边 a b， 我们构造一个等边三角形，哎，大概就是这样一个等边三角形上面这个顶点呢，记住 q， 其实 q c 的长 就是我们要求的三条线段之和的最小值。那 q c 等于多少呢？你看啊，这是六十度，这是三十度，这是不是就九十度啊？ a c 的长很容易求出来，是根号三， a q 的长是二吧，因为 a b 等于二，这是一个等边三角形，所以根据勾股定理， c q 的长等于根号 七，哎，就做完了，那么接着呢，我再简单的证明一下，这个根号七是如何得来的，为什么 q 点到 c 点的距离就是三条线段合的最小值？其实我们的做法呢，我把这个擦掉了，就是一句话， 旋转构造等边三角形，然后再画区 为直，那么这个画区为直呢？我简单的介绍一下，这里有一个点，这里有一个点，两个定点，这两个定点之间距离的最小值是这一段吗？ 是这样表示吗？还是这样表示呢？都不是，距离的最小值，是线段最短。好，那 么我们接着呢，来证明一下。第一步，首先旋转构造全等三角形，先看第一步怎么旋转呢？我们假如 p 点在三角形的内部已经找到了， 我们把这个三角形 pab 这个蓝色的三角形顺时针旋转六十度。为什么是旋转六十度呢？因为我们要构造的是等边三角形， 好，旋转六十度，一条边一条边的旋转，先把 a b 给旋转一下，旋转六十度之后，大概呢 b 点就到了这个位置叫 b 次， 同时 p a 这条线是不是也可以旋转啊？旋转六十度，大概 p 点就到了，这里 p 点，这个 p 点呢？我们记住 p 次好， 我们要求的是 p a， p b， p c 之和，那么首先很容易发现的是， p a 的长， p a 的长是不是就等于 p p 次的长， p a 等于 p p 次，因为 p a 是等于 p 次， a 的这两条边是一样长，而且转了六十度，所以这个红色的三角形是等边三角形，对吧？好， pa 是在这里， pa 他是等于 pp 次的，没问题。同时 p b 是不是等于 p 次 b 次？ p b 在这里是不等于 p 次 b 次啊？因为这个红色三角形和这个 红色三角形是全等的呀。好，那么实际上我们要求的 p a 加 p b 加 p c， 是不可以把它变成 p a 是等于 p p 次加上 p b 是等于 p 次 b 次，再加上 p c， 没问题吧？所以我们最后要求的呢？实际上你看啊， p 次 p 是中间这段绿色的， 加上 p 字， b 字上面这一段绿色的，再加上 p c 下面这段绿色的，这三条绿色是一号、二号 和三号这三条绿色线段之和的最小值。那这个 b 次点是不是永远都是在这里啊？是个定值吧，因为 b 次点的位置，大家看上面 b 次点的位置，他是不是 b 点和 a 点的连线， a b 这个固定线段旋转六十度得来的，也就是说 b 次点的位置是不随着 p 点的位置的变化而变化的吧？好， b 次是个定点，而 c 点也是个定点，大家看一号、二号、三号这三条线段，是不是就是我用红色表示一下 c 点到 b 次点这两个定点他们的什么路程吧。哎，那么一号、二号、三号都是折线， 那最小值呢？当然就是直线呐，也就是 c 点和 b 次点连起来，这个线段就是最小值，所以这就叫画区 为直。你看一号、二号和三号是不是三三条折线呢？哎，是曲折的，那么要把它变成直的，当然就是最短的了，直接把 c 点和 b c 点给连起来，那就是更好。记好这道 题呢，就讲到这里啊，这是一个典型的费马点，大家可以用这种方法去进行证明，那么好好体会一下啊，这道题呢，从我们问的问题就能看出来，他很明显是一个费马点的问题，而且这道题他是一个特殊三角形的费马点， 那关于飞马点呢？他的处理方法我们在之前的课程中是有讲过的，大家直接看我往期的视频就可以了，那么我们直接给出具体的解法。首先这道题他是一个纸片重叠的问题啊，两个宽都为三厘米的纸片交叉，然后重叠成了四边形， 哎，这样的一个 a、 b、 c、 d 四边形，而且呢，已知了一个外角是等于三十度，问对角线 b、 d 上的动点 p 点在哪里的时候， p 点 到 b、 a、 c 的距离之和最小，那实际上就是这个三角形 a、 b、 c 内部有一个点 p， 哎，这个 p 点呢，到三个顶点之间距离最小。但是呢，我们通常的费马点问题呢，指的是三角形的内部任意位置， 而这个问题中，大家看啊， p 点是有要求的， p 点的轨迹是在这样的一条线上，那也就是说我们首先得证明费马点的位置在这一条红色的线上。 好，这里呢，我们还是要回到题目的已知条件上来，两个宽都相等的这样的一个纸片，那么他们重叠出来的这个四边形，肯定首先是平行四边形，这个没问题，因为 a、 b 肯定是平行于 c、 d 的吧，因为这是其中一个纸片的两个边，同时 a、 d 也是平行于 b、 c 的，首先它是一个平行四边形，这个很容易看出来，那关键是我们还得证明它是一个菱形，哎，你看啊，宽相等是不是一个重要的条件啊？也就是说，不管这个纸片怎么去重叠，那么宽都是相等的，那就把宽给做出来，这是第一条宽， 这是第二条宽，垂直，垂直，那很容易得到，这个三角形和这个三角形是全等的， 怎么证明呢？首先九十度的角对应九十度的角没有问题，然后这个 alpha 角对应这边 alpha 角也没问题吧？对，顶角相等， 那么两个角相等了，我们只需要再找其中一条边相等就可以了吧？哪一条边啊？就是这个三厘米的三厘米的宽相等，所以两个三角形全等就能得到 b c 等于 d c， 也就是说这个图中四边形它是一个菱形， 既然得到是一个菱形之后，我们很容易把 a、 c 给连起来，也就说这个 p 点是不是得在这个 等腰三角形的顶角的平分线上啊？好，那现在的问题大家看啊，三角形 a、 b、 c 是一个等腰三角形， 我们要在三角形的内部去找一个 p 点，使得距离和最小，而且呢，我们知道这个 p 点他是在角平分线上的，在等腰三角形顶角的角平分线上，那么我们首先就要去证明这个费马点的位置，他一定是在这个角平分线上的。怎么证明呢？根据 对称性你看啊，我们费马点的位置是过这个 a、 b 这条边去做一个等边三角形，那这个等边三角形其实就是和它垂直的位置，为什么呢？因为这个是三十度，要再做一个六十度的角，那不就 是垂直的关系啊。好，这是记住一个点，我们记住 c 一点，同时呢再过 b、 c 这条边做一个等边三角形，那么叫 c 二点。我们知道 p 点的位置，其实就是把 c 一和 c 连起来， a 和 c 二连起来，这个交点的位置根据对称性很容易得到肺麻点，它就是在这个角平分线上的。 好，那既然都得到了费马点，他就在这个角平分线上，那我们就只需要做其中一个关系就可以了，就找 c 一，把它和 c 点给连起来，那最小值就是 c， c 一的长， 他是多少就填多少就可以了。这种处理方法大家看我之前往期的视频有详细的介绍，这里就不再赘述了，直接看以前的方法就可以了，这里我们直接拿来用了啊。好， 那么要求这个 c、 c、 e 的长好不好求啊？很好求了呢，因为 a、 b 的长只要求出来就可以了， a、 b 的长怎么求啊？你看它是不等于 d， c 的长啊，这是三十度，而且这一段是三吧，所以它是等于六的，那么 a、 b 的长就等于六，我们知道 这是一个菱形对不对？所以 bc 的长也是等于六，而且刚才说了，这里有一个直角，而且这又是一个等边三角形，所以这段长也是六，那也就是说 直角边长为六的等腰直角三角形，求它斜边的长就是 c， c 一吧，就是六倍根号二啊，就做出来了这道题。 所以这道题呢，首先我们总结起来，它是一个飞马点问题，但是呢，我们一开始不能直接用飞马点去做，因为 p 点的轨迹我把这些先给擦掉，因为 p 点的轨迹是定下来了， 是 b、 d 这条直线，如果这不是一个等腰三角形，那很有可能费马点就不在 p 点的轨迹上，那就是另外一种做法了。那刚好这道题特殊之处在于，我们能够证明菱形，然后得到一个等腰三角形，那么在这个等腰三角形中，费马点的位置就一定在 菱角的角平分线上。所以呢，我们要求的这个 p 点，它实际上就能够变成求飞马点了。那么再根据飞马点一般情况去解，就做一个 等边三角形，然后把心的这个顶点对边的顶点给连起来，那其实求这段线的长就是距离合的最小值。这道题呢，就讲到这里啊，这是一个特殊的飞马点问题。

这道数学题，人类花了三百五十八年才解出来， x n 次方加 y 的 n 次方，等于 c 的 n 次方，当 n 大等于三的时候，你找不到任何一个这本书能够匹配这个等式。那你可能会说啊，哎，这么短的式子还需要花三百多年来证明吗？这不是有手就行吗？那我来给你看他的证明过程吧。 今天我们来讲费马大定理。这个定理啊，是法国业余数学家费马在一六三七年的时候提出来的，还费马这个人特别有意思啊，他是一个律师 啊，平常写的中国中国数学啊，发现不少数学家写的书啊，其实就包括丢弯图的算数。出于对比达格拉斯定理的着迷啊，他发现当每项的次数 n 大于等于三的时候，就一定找不到一个这种数据，哼，听他怎么证明的，他在书旁写了一句话，说，我已经想到了一种非常美妙的证明方法啊，可惜空白太小，写不下。求求这个关子卖了三 三百多年，如果以后有利用时间机器的话，我一定创业回去拿个 a 四纸拍在他脸上啊，不正传都不让他死。这个定理之所以能够出名，是因为历史上里面的数学家几乎都参与了证明，有无数人号称自己正传了，但都不出意外的被否定了。直到一七七零年，伟大的数学家欧拉证明了 n 等于三的时候该定理成立，也只证明 n 等于三的时候成立。 后来一八二五年，德国法两位数学家证明了 n 等于五的时候该经理成立啊，过了十四年，腊梅证出了 n 等于七的时候也成立 啊，后来直到计算级别发明出来之后，证明了 n 从一百到四百万都可以成立，但是根本不够啊，因为数学他有足够的严谨，万一他四百万零一的时候就不正确了，怎么办呢？比方说他欧拉猜想啊， x 的四次方，加外的四次方，加自己的次次方，等于 w 的四次方， 开始无整数节。可谁也没有想到的是，我们真的找出来的一个整数节，二百六十八万两千两百四十的四次方，加上一千五百三十六万五千六百三十 四次方，加上一千八百七十九万六千六百六十四次方，等于两千一百六十一万五千六百七十三的四次方。由此，欧拉太阳都被政委了。这也是人们一直执着于证明飞马大地里的原。 而直到九九四年，江大学一位研究椭圆曲线教授，用了七年的时间，通过克里瓦金弗莱切以及人的理论，用一百零八页的论文来证明了费马法定理。我后面这些啊，就是当时华尔斯使用的最基本的公式，他也获得了菲尔兹奖以及沃尔夫奖。 哎，这个破马夫等的来源非常有意思啊。当时德国有位名叫沃尔夫的数学家啊，他失恋了，决定当晚自杀。可自杀前首先去看了一眼数学奇开，发现了飞马大定理， 于是他就挣了一个晚上，觉得，哇，这个数学题也太有意思了吧，就没死。成为了纪念自己的救命恩人费马大定理，于是他就设立了这个奖项。这个故事也告诉我们，如果你身边有朋友失恋了，那就给他一道费马大定理吧。

大家好，今天咱们来讲一下费马点问题和加权费马点问题，四道题你就都清楚了，什么叫费马点问题呢？其实很好说，就是在三角形 a、 b 四的内部呢，有一个动连点 p， 当 p a， p b， p c 就是这三条线段加起来之和就最短的时候呢，这个点 p 就是飞马点了，飞马点肯定是唯一的，就是说三角形 a、 b、 c 确定了他只有一个飞马点，那 怎样求这个最短距离呢？这就是费马点最短距离问题，这样来求看第一道题啊，最特殊的三角形当然是正形角形了，有一个边长尾翼的正形角形，这个说的很清楚了， 然后呢，只有一个动点是点 p 啊，在图中，然后在内部运动的时候呢？求 pa 加 pb 加 p 四的最小值。初中的话，咱们只学过三个变换吧，平面几何，平移，对称，旋转。这个题的话咱们只能考虑选， 因为平易对称都会破坏已知的图形嘛。旋转的话，那你说旋转，旋转，旋转多少度啊？那旋转六十度呗，所以第一步的话，咱们考虑旋转六十度。看了啊，第一步旋转六十度，但是旋转有三个要素嘛，旋转中心，旋转方向，旋转角度。 那怎么旋转呢？将谁其实你也能看清楚啊，将三角形 apc， 对吧？将三角形 apc 绕着哪个点啊？那肯定是看图了，绕着点 a， 然后逆时针还是顺时针呢？这道题的话就是逆时针了，我写清楚啊，逆时针， 然后转了多少度，我们转六十度呗。为什么要转六十度？首先因为他是个正形角形，其次主要是因为什么呢？主要是因为转完这个六十度以后容易出现正形角形啊。那继续来看，你既然是旋转的话，那么肯定的，旋转前后的图形三角形 a， p、 c 肯定是全等于旋转之后的三角形 a， p 片 c 片，这个是没有任何问题的啊。那么接下来既然旋转六十度的话，第二个条件我们还是要写上的。 什么呀，连接对应的 cc 片还有 pp 片，肯定会出现正四角形吧。我指的是除了原来已知的 abc 啊，还有个正四角形呢，两个一个是正四角形，谁 app 片，这个没问题。另外一个也是正四角形，谁啊？ 正形角形 a， c， c 片。这个道理都很简单，首先，旋转前后的对应边 a， c， a， c 片相等吧。 其次，你旋转角度六十度吧，等腰里头有一个六十度，当然就是正三角形了，这是正三角形的判定定理吗？好，两个正三角形，还有一个组全等。接下来我们就可以直接写最后这个问题了，他问的是 ph 加 pb 加 pc， 你不管点 b 怎么动啊，我们这个旋转肯定是这样的，旋转六十度好了。首先， pa 转到了哪？有同学说老师， pa 转到了这个 p 撇 a 的位。不是，我想说的是你根据我画的这样一个正形角形，哪个正形角形啊？ 在这样一个正形角形里头，原来 pa 转到了哪？原来 pa 在这，后来好， pa 变成了 pp 片，因为正形角形每条边都相等。注意啊， pa 变成了 pp 片，那 pb 的话我们就先不动了啊， pb 最后还有个 pc 哎， p c 的话，你说等于谁？ p c 根据全能，它永远等于 p 片 c 片。原来如此啊，现在我们把这三条线转化了之后啊，转换成谁？ p p 片标一下吧。哦，在这呢， p b 一二三，这三条线的最小值，一定要注意 这三条线段，我们发现什么呀？我们发现两个点，哪两个点呢？一定注意了，他两个端点， c 片这条折线哦，最左侧的端点 c 片是个定点 哎，最右侧这个端点 b 点也是个定点，两个端点是定点，那下一步应该怎么办？下一步画折为直呗。什么意思啊？拉直呗，两个端点是定点，拉直以后， 所以说你应该知道啊，他仨加起来最小值是谁了吧。其实最小值就是图中的 b、 c 片这两个定点的距离，这距离的话实际也非常好，求大家观察一下总体， 哎，这是一个什么三角形啊？首先他的边长是二，旋转之后当然也是啊，边长是一啊，不要错了，全长是一，而且中间夹角的话，一个正四角形，两个正四角形，中间夹角，你说一一一，中间夹。一百二十度吧，在一百二十度的等于 三角形里头，你最多做一个三角合一，肯定能推出来啊。在一百二十度，等到三角形里头，他的三边比，这是一比一，比根号三，所以原来最小值是根号三啊，原来是这样做的，这就是第一个题， 看第二个，第二个题难了，因为有两个动点，他什么意思呢？首先有个边长为二的正方形 abcd 啊，这个没问题，这个还是简单的。 然后他说呢，点翼是一个动点，哎，还好，点翼呢，是线段 b、 c 上的动点。另外他又说出现了这样一个三角形 a、 d、 e 之后呢点 p 是三角形 a、 d、 e 内部的一个动点， 求哎啊，求 pa 加上 pe， 再加上 pd。 嗯，这个确实也是费麻点。问题就是求三角形内部就三条性能之和的最小值，那怎么求他的最小值呢？两个动点肯定更难。 完了，有的人说，老师我刚才转的时候的话，其实你旋转六十度，相当于做这个正三角形嘛，对吧？向外做这样的正三角形。不过我想说的是，你做正三角形，以 ae 为边向做，做这样一个正三角形，比如说 aeq， 合适吗？其实不合适，因为 ae 在动，对吧？因为点 e 在动。 有同学说，老师我以 d e 为边，向外做一个正四角形合适吗？其实也不合适，因为此时 d e q d e 这条边它也是动的。那以设为边向外做呢？以 a、 d 为边，所以我们旋转的时候懂了吧，要构造以 a、 d 为变的正四角形。所以现在看了啊，看图，第一步看， 妈呀，那第一步老规矩呗，将三角形 a、 p、 d 绕着点 a 旋转六十度，变成了谁啊？变成了三角形 a、 p d。 那肯定旋转之后是全等于三角形 a、 p 片 d 片的，这个 没问题，而且旋转六十度是容易出什么的？容易出正四角形，所以接下来我们连接 dd 片，连接 pp 片，这我就不写了啊。好了，一个是正四角形 app 片，另外一个是正四角形。是呀，另外一个是正四角形，咱们写上啊，正四角形，正四角形 a， dd 片。 出现了这两个正题角形，以后的话，接下来我们就可以干嘛了呀？你看好了啊，我们 p a 转换成了什么东西？ p a 加 pd 加上 pe， 实际上 pa， 你看正能量行吗？我这个 pa 可以转换成谁啊？告诉我， pa 其实就是 pp 片好了。 pp 片 这个 pd 的话是谁？ pd， 你旋转之后不就是 p 片地片吗？好， p 片地片因为是全等的嘛，再继续 p 一呢， p 一我们就不动了。现在转换之后啊， 转换之后的话，看好了， pp 片在哪？我们标一下， pp 片啊，在这呢，然后 p 片地片啊，在这第一段加上第二段，再加上第三段。 pe 好，他们三者之间看清楚了。同学们啊， 我现在要确定的是什么呢？一定要注意他两个短点，左侧这个地片是动点，是定点。哎呦，不是定点，为什么？实际上相当于以 a 六 a 边向外做了一个正四角形 a 的地片，所以是定点 啊。然后，哎呦，有个比较怪的地方，这个点一是动点，这个动点的话比第一题就麻烦在这了，那怎么办？但下一步一样的画折为止吧。画折 为直，画折为直的话变成了什么？也就是说，你看啊，这两个端点，我们原来求的是这一段加上这一段，加上这一段，这条折线的总长度。我拉直肯定比折线 短，但是这就一定是最短的，不是什么时候这个地片意最短呀，所以再加上一条，再加上当 这个地片一垂直于点到直线垂向的最短吗？当地片一垂直于 bc 的时候，才能够达到总长度的最小值，这最小值我们就假设这个时候垂直了啊，分成两段呗。其中一段的话，实际上是 dhd 片 h 吧， d 片 h 的话相当于正四角形的高，正四角形边长是二，你说正四角形高是多少啊？边长为二的正四角形 ad 地片，它的高肯定是根号三，那这个一会咱们再写， 再加上下边这一段，下边这一段你说是多长啊？就是这个 h h e h e 的话，当然是等于二了，对吧？我们写上 h 一，所以最后结果是二加上根号三，这个题的结果也就是二加根号三也就可以了。来看第三 三道，第三道这个是武汉中考的原题啊，应该是一九年，非常非常经典。这个题难点在于什么呢？七十五度。哎呦，七十五度确实不太好处理，如果高中生的话好处理，但是咱们是初中生，对吧？怎么处理？看图。 他说呀， m 等于六行啊，然后等于四倍跟号二号 mg 等于四倍跟号二，中间是个七十五度，然后别的话就没说了， 他说呢点欧，其实这个题他就是问你欧点对吧？点欧内部的这个动点到谁到？三角形 m n g 三个顶点距离之和最小值。那不就是问你这个 o m 加上 o n 再加上 o j， 他这个最小值等于多少吗？这个咱们一会肯定也是要转换的啊。 那怎么转化？还是老规矩，刚才的话咱怎么转吧，你就说旋转六十度吧，那具体旋转是谁 看图就知道了，所以第一步应该知道了吧，我具体就不多说了啊，肯定是将谁啊？将这个三角形， 三角形谁呢？三角形 m o j， 嗯， m o j 旋转六十度，咱考试时候你要写清楚一点，绕着点 m 逆时针旋转六十度。旋转到了哪？旋转到了三角形 m o 片这片的位置， 当然根据旋转的话，前后这两个三角形 m o g， 他肯定全等于三角形 m o 片这片，这个都是清楚的， 那么有了这个全等之后的话，旋转六十度，第二步是不是还要出两个正四角形？所以我们连接啊，一个是哪个正四角形？你告诉我们，一个是正四角形 m o o 片，哎，好，我写上。另外还有一个正四角形吧，哪个正四角形？正四角形 m， 这这边，这都好说，这 这个前头套路都是一样的。我们发现，那做完了之后的话，现在转换吧。他原来问的不就是 omonoj， 我们转换成为什么？我就到上边直接写了啊，看上边 om 的话，咱们转换成 om， 转换成 oo 片呗。为什么？因为他是正字条形的两条边。好， om 转换成 oo 片，我写了啊， 那这个 o n o n 的话，我们不动还是 o n， 那 o j 呢？ o j， 记住啦，根据全等，你 o j 不就是 o 片这片吗？哦， o 片这片现在我们一定要观察谁观察画圈的这一部分，因为已经转换了。 欧恩欧欧片，欧片这片有意思，而且我们发现他两个端点最左边这条折线啊，看到了红色的折线了吧？最左边恩，点肯定是个定点，这不用说，那这这片是不是也是个定点？有 就有疑问了，老师，这一片怎么就是定点？哎，你，因为你向外相当于 mj 向外做了一个正式角形，你说这片是不是个肯定嘛？ mj 是确定的，那这片就是个确定的点，做的是个正式角形啊，两个定点。所以接下来第三步是不是套路都一样呀？我们怎么样画折为直， 画折为止的意思呢？就是最小距离肯定就是等于图中的这片 n 的距离。但是现在问题来了，到目前为止，七十五度我们用过了吗？发现没有什么用是吧？其实不是没有，用，到最后一步，求长度就有用了。 在初中阶段求长度一般就两种方法，一个是全脑倒出来全脑或者相似啊，这是一类，另外一个呢？勾股定理。这道题肯定要用勾股定理，现在你仔细看一下，你说这个七十五度有啥用？图中看好了啊，这个角等于七 七十五度吧，你的旋转角等于多少？等于六十度吧。那旋转角七十五度加上六十度还剩下多少？一百八十度减七十五度，再减图中这个六十度，原来剩下个四十五度。七十五度你不会用，四十五度你总会用了吧。哎，其实最后就是构造了一个等，要制叫三角形， 我们观察哪个呢？这是一个等腰直角三角形啊，在等腰直角三角形 mh， 这片中他肯定是个等腰直，我标上这个四十五度，刚才也说了，用减法就算出来他有一个四十五度啊。 那四十五度的话，他的斜边这个 mj 片是多少啊？我写上 mj 片，实际上旋转之前他们就是 mj 吧。 mj 等于多少？等于四倍更二，斜边是四倍更二。那你说两条直角边，我们直接写吧，两条直角边肯定是四和四嘛，一比一，比更二， 然后我们标上长度。啊，原来如此啊，那在图中，在我标的这样一个红色的直角三角形 nh， 这一片中两条直角边一个是十，另外一个是四。那你说最后还算不出来啊， 根号下多少根号下不多说了，最后算出来应该是根号下啊，二十九，对吧。这个就好说了，你自己算一下就行。好，二倍根号二十九。原来是这道题的答案， 三步走还是一样的吧，第一步，旋转六十度，第二步，连接之后出现正品造型，第三步，画质为直。最后一步，用勾股定理或者用别的方法再求出最小值来就可以了，就是同样的套路。但是这道题你觉得简单吗？哎，最难的地方这个肯定不简单，为什么？ 哎呀， oc， 他要问的是 oc 加 oa 加 og， 这个我就不讲你肯定会了，但是人家都给你来个 记住，来了个二分之根号二倍的 oc 加上个根号二倍的 oa， 再加上。哦，二分之根号是有三个前头都有系数，这个叫什么呢？这个就不叫费麻点问题，这个加了个权重叫加权费麻点问题肯定是比前头要难的，但是也可以解出来，你听一下， 我们先读题，首先有一个等要直角三角形，边长是八，这是个等要直角三角形，然后呢点，这也确实是一个定点，但是他是告诉你这个长度是等于七倍和二的。 那好说呀，七倍根号二的话，八比八比八，然后这个斜边肯定八倍更好。嗯呐，最后算出来这个就是根号二，也就 b 这个长度，这个就不用多说了，但是算完直接以后呢，暂时还没啥用，他就一个动点啊，途中在 a、 c， g 这个三角形的内部有一个动点点哦， 然后球这个加全是分码点最小值。这个确实有点难，但是也不是说就不能操作 第一步，我觉得啊，你前头三个系数如果都是不想等的话，不太好处理，我如果能把前头某一个系数变成一啊， 那就好处理了。什么意思啊？我们第一步把根号二提出来，目的什么呢？你最后那个最小值，我们现在实际上只用求画圈部分最小值，最后你别忘了呈上这个根号二就系数就行， 有什么好处呢？画圈也行，你看哦，我现在只有两个，一个是 oj， 一个是 oc 前头他是有系数的，但 但是 oa 前头没有系数，所以我 oa 还需要处理吗？我们一会就不要破坏 oa 就行了。哦，这个意思确实降低难度了， oa 不用都管了。嗯，那接下来的话肯定就要旋转了，我们将谁呢？将三角形 joc 旋转到了三 表情这 o 片 c 片的位置。但是，但是，但是，你还是旋转六十度嘛，旋转六十度你就做不出来了。这道题我们观察一下这三个系数，二分之一， ov 全都是一吧， 最后是个二分之根号五吧，大家可能没什么感觉，实际上他不就相当于什么？相当于一比二比根号五。原来这是一组勾股数啊， 那勾股数的话，我们肯定不考虑旋转六十度了，我们考虑旋转九十度，勾股数，勾股数，因为他们这三条边可以组成一个啊，什么直角三角形，所以是肯定是九十度。 这第二步的话知道了吧，旋转九十度吗？将三角形 g、 o、 c 绕着点 j， 顺时针旋转九十度，旋转到了三角形 j、 o 片 c 片的位置。啊，原因我也跟你说清楚了，那么再接下来的话，他有一个比较难的地方，刚才呀，你毕竟选 前后的话，你要得到什么？我们确实你这个旋转前的 oc 转换成了旋转后的那条边 o 片 c 片， 嗯，转换到了这之后的话，但是人家要的是什么？人家要的是二分之一的 oc， 所以我们要的是二分之一倍的 opierc 片。怎么出现二分之一倍的 opsc 片呢？中卫线呗， 所以接下来要干嘛好？ o 片片是个终点， c 片片也是个终点，然后根据中卫线定理，我们就可以明显得到二分之一了。原来这个二分之一是根据中卫线得出来的， 那么再往下写，我们连接一下对应的边啊，注意中间旋转了，这样一个三角形旋转多少度？旋转角是九十度啊。那不妨我们标一下这个长度吧。好，标吧，比如说啊，我这个，嗯， oj 标成二 a 的话，你后来旋转之后 o 这也是二 a， 但是因为终点嘛中危线，所以就变成 a 了， a r a， 哎，那哦，好好说。原来啊，这个，哦哦，片片和谁的笔直 和这个 og 的 b 值，它实际上就是等于根号五比上二的，所以接下来就出现这样一个结果了，应该理解了吧，知道这个二分之根号五是怎么出来就行了。那么再往下走，再往下走，我们最终还是要落实到画圈里头，也就是这个括号里头转换上啊，转换成系数唯一的这几条。 那接下来转换呗，其实就好转换了，可能看到这的话可能就不明白。好呀，看好了啊，画圈里头， 我这个画圈里头的话， oa， 我中间这个 oa 肯定不能变，咱就不要变了，二分之一转换成谁？转换成了 o 片片， c 片片吗？对吧？ o 片片， c 片片，这也是中文线转换出来 最后，哎，那这个二分之根号五呢？刚才也说过了，根据这样一个直角三角形，哦哦，片片和这这样一个红色的直角三角形，我们就得到了，谁呀？哦哦，片片，原来如此，我们现在呢，括号里头三条线段系数都变成一了吧，那就转换呀， 原来 a o 在这呢，行，咱们标上了 a o 在这呢，那这个 o 片片， o 片片在这呢，还有谁？还有谁啊？还有这个 o 片片， c 片片，那最后连起来呗。所以你看到两个端点， a 点是定点了吧？其实根据刚才我们做的辅助线的话， c 片是定，其实 c 片片它也是定点， 两个端点是定点，那接下来肯定有一部画折为值，为什么？你因为求的是这个两点之间线段最短吧，肯定是直线最短，画折为值。我们求的最小值，实际上就 就是图中的谁就是最小值了啊，就是等于根号二倍的 a c 漂漂，怎么求？最后这个难度呢？咱就已经降低了，看好了，这样来求我给你画一个直角三角形了。 在直角三角形，哪个直角三角形？直角三角形 ah c 片片中， 我想说的是他其中一条直角边算出来，也就是说 h 啊， c 片片这条线的长度就是二分之三倍的根号二，另外一条直角边呢，就是九倍根号二，最终就算出来这样一个得数了，所以最小值就是三倍，更换下三十七。 可是到这之后，肯定我们要在哪卡住了，他说，老师，你这个得数是怎么得出来？尤其是这个二分之三倍。高二看好了，这个地方呢，挺难的，看蓝色，看好蓝色呢。看了啊，这个地方 哦，一个直角没问题，两个直角。那第三个直角有吗？有些说没，怎么就没有，你旋转角是不是九十度？是啊，一条线上三个直角，那你说他们是不是相似？是相似的， 我们研究哪个三角形呢？现在你看好我们，不妨就研究一下直角三角形 c e、 g。 我想说的是三面笔直就是三比四比五。为什么呀？首先三线合一，咱们可以求出一个多少来四倍跟号二来，这个是好求的啊。 另外的话，你根据减法，四倍更好二，再减去二倍更好二，这是一个三倍更好二，所以三比四比五出来了吧，也就是什么意思？其实右边这样一个三角形，这 c 撇撇 h， 直角三角形，这 c 飘飘 h， 它的三面笔直也是三比四比五，根据这个三比四比五，你就可以得出来 这样一个得数了，懂了吧？最终的话我就不多说了，肯定你多算一算，是可以求出来三倍根号下三十七的。那么这节课你应该学会分码点，还有加权分码点问题了吧。分享课堂知识，感受数学之美或商贩。老师下期课再见！

太难了！太难了！可儿，我在网上看到一道题，听都听不懂。你来帮我解一下好不好？好，我试一下，我已经把它抄下来了。等边三角形 a、 b、 c， 边长为二 三角形，内有移动点 p。 那么 p a 加 p b 加 p c 的最小值是多少呢？ 首先，我们可以看到， a、 b、 c 三角形被分成了三个小三角形。我们任意选一个小三角形，就 a、 p、 c 了。把它沿 c、 c 点旋转六十度。 我们把这里设为 a、 p、 e， 这里设为 a、 e。 首先，我们连接 p、 p、 e。 我们 知道这个角，因为是旋转六十度，它的度数为六十度。这是一个等腰三角形。 pc 旋转六十度，得到 pec， 长度相等。一个角为六十度的等腰三角形，是等边三角形，三边相等。我们现在可以知道， p a 加 p b 加 p c 等于 p e a 一加 p b 加 p p e。 为什么呢？ a 因为 p e a、 e 由 p a 旋转过来，长度相等。 p、 d 从始至终没有改变。 p、 p、 e 就是一个等边三角形，三边 相等。 p、 p、 e 等于 p、 c。 哦。我们现在可以看到，这三条线段组成了一个折线，两点之间，线段最短。我们直接连接 b 点和 a 一点。嗯， 相交点为 o 点。我们就得到了一个 b、 c、 a、 e 的三角形。我们先来看这个角。这里设为角一，这里设为角二。这里为角三。角一加角二等于六十度， 角一等等于角三。那么减角一加角二等于角三加角二也就等于六十度，那么这个角为六十度。 再看这个角，他是等边三角形的一个内角，等于六十度。这里六十度，这里六十度。加起来一共有一百二十度。我们再来看 a、 e、 b、 c 三角形，这里为二，这里也为二。是一个等腰三角形。 这个等腰三角形的顶角呢，为一百二十度。求这两个角就用一百八十度减一百二十度，再除以二为三十度。我们再来看这边这个三角形， 这里三十度，这里六十度。剩下这个角是直角，为九十度，这个角为九十度。那 bo 就是等边三角形 ac 上的高等边三角形的高平分底边。所以 ao 等于一， oc 等于一。我们来算 bo 的长度。根据 勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。那么 bc 的平方等于 bo 的平方加 oc 的平方。 bc 的平方，也就是二的平方，等于 bo 的平方 加 oc 的平方，也就是一的平方。那 bo 的平方等于二的平方，减一的平方， bo 的平方等于三。我们开根号 b o 等于根号三，那么 b o 等于根号三。这个角为九十度。 c、 o 是等腰三角形底边上的高平分底边，那么这边也是根号三，根号三加根号三。也就是 b a 加 p， b 加 p c 的最少值。 a、 e、 b 等于根号三，加根号三等于二倍根号三。这道题就解出来了，你听懂了吗？ 我怎么感觉还是没听懂呢？头头好昏呐！这就是大名鼎鼎的废铁模型，废 什么马点费马点！费马什么费马点费什么点费马点！你上一边凉快消化去吧！好嘞，哈哈哈！

这题干什么？疯了，还在矩形里边，让我求一个什么三条线的长度之和的最小值是吧？这不非马点吗？对吧？那首先说啊， ab 的一个长度呢，是个两倍的根号三，然后 bc 的长度呢，是个六，哎，那到这有没有同学能看出来， 如果我哭叉一下，把这个对角线 a c 这么一连，你能不能求出来 a c 的长度好，求的正好是个一比跟好三比二，对吧？所以 a c 的长度呢，咱们很容易就能算出来是个四比三。所以 a、 c 的长度呢，咱们很容易就能算出来应该是个四比的，跟好三，然后 还有个意外收获，你发现没有，你能不能告诉我这个角 a c b 是多少度？三十度吗？对吧？因为正好直角边是写不了一半。然后后边又说了啊，连接 p a p b p c 之后，让我求着三条线的长度之和的最小值，那很明显，他就应该是在这个直角三角形里边的一个费马点问题。那在 别说了，肺麻点问题，没有别的方法，就是向外旋转六十度，所以咱们直接转吧。来，我将三角形 bpc 绕着点 c 逆时针旋转了一个六十度之后，得到三角形 e、 f c。 那转完了以后咱们也就知道了， c p 的长度和 c f 的长度一样长，而且因为它是个六十度，所以其实这边这个 p、 f 和它们俩也一样长。那另外呢， b c 和 e c 一样长，那应该是个六，还有 e f 的长度应该就和 b p 的长度也是一样长的。所以原来这个题让咱求的是 p a 加 p b 加 p c 的最小值，其实也就转化成了 p a 加 p， f 加 e， f 的最小值，那 a 点和 e 点都是定点怎么样？ 最短四点贡献的时候最短，对吧？所以其实他的最小值也就是线段 a e 的长度。那 a e 怎么求啊？别着急，在这里边是不是有一个直角三角形？哪呢？首先啊，既然我这两个三角形是旋转过来的，那么这两个叉角 应该就相等，那又因为我旋转的是一个六十度，所以叉角加上它应该是六十，那下边这个叉角加上它是不是也是六十？因此我们能够知道下边这个角 b c， e 就是六十度。而上边刚刚咱们已经求过了，这个角 a、 c b 是三十啊，六十加三十是多少？九十啊， 这就是个直角啊。那刚刚咱们要求的那个 ae 不就是这个直角三角形的一个斜边吗？一条直角边是个六，另一条直角边 ac， 咱之前求了，那就是个四倍的根号三，那你说斜边长度是多少？来评论区告诉我。

这个视频依然是一道沸麻点的问题，那么我主要想通过这个题呢，来给同学说明白在解决沸麻点问题的时候的三个关键步骤啊。那我们先来读题。 首先如图， p 是正方形 abcd 内的一个动点，边长 ab 等于一个二，现在求的是 p a 加 pb 加 pc 的最小值。那 我们这里能发现啊， abc 这三个定点围成的这个三角形呢，任何一个内角的度数呢，都是小于一百二十度的。那根据沸马点啊，我们就知道，此时的这个点屁呢，就应该在三角形 abc 内部。 这就是我们非常熟悉的沸麻点的问题了。那么解决这个问题的常规步骤呢？就是在一、二、三这三个三角形呢，我先选其中的一个三角形，然后让他绕着某一个点啊， 旋转六十度对吧？那么此时我选 bpc 这个三角形，让他绕着点臂啊，往外旋转六十度。好，旋转过来了之后呢，我们知道旋转前后的对应线段是相等的，也就 说 pc 和 ppc 片是相等的。另外这一块是一个六十度，所以 pp 片连起来 bp pp， 这就是一个等边三角形，那么此时的 bp 就等于 pp 片。那 你看一下，我们现在就把 pb 换成了 pp 片， pc 换成了 ppc 片。接下来，哎，只需要让两点之间直线段最短， ac 一撇一连， 此时的 ace 片表示的就是你的 pa 加平底加 pc 的最小值。那么接下来啊，我要就刚才这个过程中的三个关键步骤 来给同学们做一个说明啊。接下来的内容才是这个视频的精华。首先第一个问题就是，哎，我到底要选 abc 这三个定点中哪一个定点处的三角形进行旋转呢？ 那么这个问题就涉及到我们最后来求表示这个线段和的最小值的这个线段的一个求解了。也就说这里的 ac 一瓶 下来看一下 ac 片他是怎么形成的。他相当于啊，我们先选定一个定点之后，让他的一个边 b a 不动，然后让他的另外一个边 bc 绕着点臂旋转六十度之后呢，再 把 ac 一撇一叠啊，这样子形成的。所以此时呢你的 ac 撇啊，他就在哎两个边分别是二，然后顶角是多少，是一个原来的九十度，再加一个六十度啊，是一个一百五十度的这样的 一个三角形里面。那么此时我只要保证你点臂这块的这个角度度数是一个相对来说比较特殊的一个角度就 ok 了。这样子你的 ace 片是比较好求的。如果我把你的这个选的定点放在 a 或者 c 这块，那么应该就是一个四十五度 加上一个旋转的六十度，一百零五度，那么一百零五度相对于一百五十度来说呢，他就非常一般。然后要求这个线段长的话呢，也是非常难求的。所以此时呢我们选的是点臂的这个定点。 那么第一个问题的答案就是我要选择的那个定点啊，就是他这块原来的角度再加上一个六十度之后呢，依然是一个特殊的角度就 ok 了。接下来是第二个问题啊，定点选定了之后，我应该把你的这个三角形啊， 这个三角形往什么方向去旋转呢？那我这里直接告诉你们，往远离原来那个三角形的方向去旋转，为什么这样子？你只有往远离这个方向旋转之后，最后得到的这个三折线图案，他才是这样子顺向的，而 不会是这样弯折回去的。第三个问题表示线段和的最小值的这个线段 ac 一撇，他的长度到底如何去求解呢？其实这是我们第一个问题的一个延伸了。我们现在把 abc 撇这个三角形呢，给他哎拎出来。那 此时这个三角形呢？是顶角为一百五十度，两个腰都是二的。这样的一个等腰三角形要求底边好，我们会发现一百五十度，对的，补角三十度。所以呢，我们在下面做一个 三十度六十度的直角三角形。可以求出来 c 一撇， e 是一个一， b e 是一个根号三。那么 ace 撇的长度呢？就是一个二加根号三，括号的平方 再加上一个一的平方啊，给他开个方就行了。最终求出来是一个根号加根号六。那么对应的 p a 加 pd 加 pc 的最小值呢？就是根号加根号六。

好，我们说一下这个题吧。很多同学还在问，他说角 b ac 六十度， m 是 bc 终点，然后角 apb 等于角 bpc 等于角 apc 是吧？这三个角相等等于一百二十度。那么这个结论不就是费麻点他的结论吗？ 是吧？三角形内部有一点到三个顶点距离之和的最小值啊，就是 p 点， p 点就是费麻点。他让我们求证 ap 加 bp 加 cp 等于二倍的 am。 好，那么这个题我们先不管费麻点是吧，怎么把它证明出来？ 我们通常这不相关的线段相加，那就要把这些线转移在同一条线段上。一般都是旋转六十度构造等边三角形。将三角形 abc 沿着 a 点逆 旋转六十度，那批点是不是旋转了大致这个位置呀？批撇点是吧？旋转角，这角六十度， 然后 c 点打至这种位置是吧？这个旋转我们要绘画啊。那么这是 c 撇点， 那我们就将三角形 apc 旋转到这个三角形来了啊。旋转角都是六十度，然后我们连接 pp 撇，那此时这个三角形 a p p 撇，他就是等边三角形吗？把一个角六十度， a p 等于 a p 撇，那等边三角形之后， a p 他就等于 p p 撇，然后这个 c p 就等于 c 撇 p 撇是吧？旋转过来。 那然后我们看一百二十度是吧？这角六十度，那这个角 一百二十度是一个平角，同理，这边六十，这边旋转过来也是一百二十，也是平角。那就说明这个 b 点 p 点， p 撇点， c 撇点 四点公线是吧？那所以说这个 ap 加上 bp 加上 cp 就等于 bc 撇了啊。那接下来我们任务就是证明 bc 撇等于二倍的 am， 那这个 m 点是中点，就是 am 是中线，那这里有个两倍的 am， 那刚好是吧。本备延长中线吧。备长中线，准备延长 am， 这 n 的话是吧？连接 bn， 那延长过来之后，我们这里就有三角形全等是吧？三角形 acm 就全等于三角形 nbm 把一个八字全等，那此时这个识别形 acnd， 他就是皮筋式变形。那所以 bn 就等于 ac， 那 ac 又等于 acp， 然后公共编 ab 等于 ab 是吧？然后这个角一百二十度，因为给他角 b ac 六十度啊。角 ab， 嗯，就等于一百二十度，那么叫 b ac 撇是吧？也是一百二十度。因为旋转角 这个角六十度，这角六十度，所以说他有点约。角 b ac 撇都等于一百二是吧？边角边就能得到三角形 abn 就全等于三角形 b ac 撇，那么全等之后，这个 a， n 他就等于 bc 撇是吧？ bc 撇是这三个，那么 a， n 他也等于二倍的 对 m 啊，准备延长过来了。那所以说这个题他就考上两个知识点，一个旋转，一个备长中线是吧？

今天看一道费马问题，读题如图，已知等边三角形， abc 的边长是一个六 p 呢，是这个三角形内的一个动点，现在问的是 papb， pc 和的一个最小值来看， pa 在这里， pb 在这里， pc 在这里，你会 发现现在这三个线段啊，它的形状其实就像一个爪子一样，三爪形。那么这个爪子呢，三个外侧的点啊，分别都是什么定点？三个定点只有里面这个点呢，它是一个动点，那么 随着屁的运动，你这三条线段都在动，所以如果从这个三爪型去入手的话，他的最小值显然是非常难求的。这个题应该怎么去做呢？来想一下，我们最熟悉的求线段和的这样的一个形状，是不是应该是这种折 线形的，对吧？我们只需要把这两个点找到，然后利用两点之间直线段最短，把它拉直，就可以去求你的最小值了。所以此题呢，我们就要把这样的一个三爪形变成一个三折线形，那 怎么变呢？来看一下啊，我这里选取 abp 这个三角形，把这个三角形呢，以点 b 为旋转中心，给他旋转为， 为什么要旋转？因为旋转出等腰旋转六十度就会出现，等边有等边了，就有边相等，我们就行， 就可以进行边之间的一个转移。好来看，把它以点臂为旋转中心，往外旋转六十度，那么此时也就意味着这块啊， bp 到 bp 片呢，这是一个六十度，同时 ab 到这 个 a 撇 b 啊，也是一个六十度啊，这也是一个六十度。那么另外这块叫 a、 b、 c 也是一个六十度啊，这块有这么多的六十度，大家注意了，好，你看这样旋转完了之后呢，我们把 p p 撇一连，这里 的 bp， pp 呢？他就是一个等边三角形，所以此时我们就可以把 bp 给他转到 ppp 的这个位置去啊，这两个是相等的， pc 不动， pc 不动，那么 旋转前后呢？这个 a p 和 a p p p 应该也是一致的啊，所以我们这里把 a p 就给他转到了 a p p p 的位置。那么接下来看一下 p 加 p 加 p c， 他是不是就是 a a p p 再加一个 p p 再加一个 pc， 好来看 这个三折线，他的两个短点， a 一撇 c 是两个定点，所以此时我们只需要把这两个点给他，哎，连起来，那么你的最小值就是谁呢？哎，你的最小值就是 a pc 的长度，那么 apc 好不好求呀？非常好求， bc 等边三角形的边长六，那么 apb 呢？就等于 ab 也应该是一个六，而且这一块是一个多少度？ 六十度，再加一个六十度，所以这块这个大角是一个一百二十度，那么 a p b c 就是顶角为一百二十度的等幺三造型，一比一比跟号三，那么对应的地边就是六倍的跟号三，所以你的最小值呢？也是六倍的跟号三，所以啊， 废马问题，它的关键就是把三爪形变成三折线图，那么这样的一个图形改变的关键又是旋转旋转出等腰，旋转六十度出等边，关键点，你记住了吗？