吴正宪正比例公开课

老师上班之前喝的那个牛奶的量在发生变化，很好，观察的非常仔细。牛奶的量在数学中我们就会说是牛奶的体积。还有吗？ 好，你来说。潘老师每做一件事情的时候，是时间在发生变化， 同意他的说法吗？同意，很好，像这样不断变化的量，在数学中我们就都把它们称为变量。那你能描述这些变量之间的联系吗？ 好，你来试一试。比如说汤老师上班的路程，他的路程和时间，时间过得越长，他行的路程就越多。说得真好，请坐。还有吗？好，你再来说一说 汤老师喝的那杯牛奶，每汤老师喝的越多，牛奶的量就会牛奶体积就会变得越来越少。 听清楚他说的了吗？我喝的牛奶越多，我杯子里面牛奶的体积就会越来越少。少。很好， 那像这样一总量变化，另一总量也随着变化，我们就说这两种量是相关联的量。 简单来说就是如果你发生变化，那么我也跟着你一起发生变化，那么你和我就是一 组相关联的量。像刚刚同学们找到的路程变，时间也变，所以我们就说 路上的时间让你的想法也没有量。说的真好，像那位女生找的我喝的牛奶的量和杯子里面剩下的牛奶的量，他们 很好。那汤老师想请问一下，牛奶的体积和我骑车的速度是一组相关联的量吗？是为什么呢？谁来说一说？ 好，你来说一说，因为他们两个没有互相影响。说的真好，掌声送给他。 这是刚刚视频中出现的数据，请你口算每个时间段的速度，你发现了什么？ 口算的结果可以直接用分数表示。 谁来说一说？ 好，高卓，你来试一试。 时间就是等于速度，那就是三分之五百，然后第二组的话就是六分之一千把，他们约分也是三分之五百。第三组就是九分之一千五，把他们约分完之后也是三分之五百。 路程除以时间，根据除法与比的关系，我们也可以说路程怎么样？路程对时间等于速度， 那么它们之间的比值就表示速度，速度。 而且刚刚高卓也说了，每一个时间段速度都等于三百，分之五百， 都等于三分之五百。在生活中，我们就会说，汤老师骑车的时候是在匀速行驶，但是在数学中，速度都是三分之五百，速度不变，我们就称它为速度。一定。 唐老师，这里还有一个情境，请同学们观察一下上面这个表格。谁来说一说，表中有哪两种变量？ 好，你来说。 我发现表中的变量是，呃，彩带的米彩带的数量越来越多，总价就越也就越来越多。 很好，你不仅准确地找到了变量，还找到了它们的变化规律。那第二小问，这两个变量它们相关联吗？为什么？ 好，你来说，哦，它们是相关联的，因为数量增加了，它们的总价也在增加。 说的真好，也就是说数量变，总价也跟着变。第三小问，老师，想请一位同学来帮我读一读题目，并且把你觉得需要注意的地方重点读出来，先来试一试。 好，你来。四人为一组，每人取两组数据，不重复算一算总价与数量的比值分别是多少，再和小组内的同学说一说，你发现了什么？ 听清楚要求了吗？好，下面请同学们开始 啊， let's go 哈哈 啊， 完成了的小组请用你的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程 啊？高卓，那请你带上你们其他几位同学的学习单放在上面先给大家展示，并且边说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们组的发现好吗？ 哦，就是首先这旁边已经标了有那个总价和单价呃， 然后这然后这里就是用总价乘以数量就会等于单价，然后单价就会等于然后单价就是三点五，它是一定的。 然后呢，我们第二组，呃，也是用它的总价乘以它的数量也会等于它的那个单价值三点五哦，比值也还是一定的。 这是第二个同学这里他也是用，他也是用了他的那个总价除以他的数量 呃，这里也是用他的总价除以他的数量也是三点五，还是他的单价。 这个同学他还是一样的，他也是用那个总价乘以数量等于单价也乘以一定的。 哦，这是最后一张哦，这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于他的总价，然后再反过来也就是总价除以单价等于数量等于他的那个。 呃，除除以数量等于他们的单价，他们的单价也是一定的。第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价，总价除以数量也等于单价。已知还是一定的。掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习单上面还进行了电算，把数量和单价相乘，看是不是等于总价， 对不对？好，我们梳理一下刚刚这一位小组，他们算出来的总价与数量的比值都是一定的三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你刚刚听清楚了没有？好，你来说 这里的三点五表示他的单价，同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格，和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间。 好，讨论完的小组坐姿，告诉老师谁来说一说你们小组的发现。 好，这位女生，第一组的数据，他们的速度也就是他们的比值是一定的，就是三分之五百。第二组的数据，他们的单价依旧是他们的比值是一定的，也就是三点五， 同意吗？同意，很好，也就是说这两个数量关系，他们的比值都是一定的， 还有别的发现吗？ 啊，你来说，我还发现他们都是相关联的量，说的具体一点。呃，我还发现这两组数据都是相关联的，谁和谁相关联？嗯 嗯，首先他的路程，路程和谁时间，然后总价和数量， 你们发现了吗？哎，这个两个表格中，他们研究的这两个量都是相关点的一种量，在数学中我们就把这样的关系称为正比例关系， 所以在这里我们就说路程和时间是成正比例关系，路程和时间是一组成正比例的量。同样的，下面我们可以怎么说？ 重量是成正比例的量，他们两是一组成正比例的量。很好，但是我们这样说还不够严谨，下面请同学们拿出教材，看看书上面是怎么定义正比例的。 看到下面部分，像这样，我们一起去读一遍，像这样预备起像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 好，下面再请大家自己默读一遍，这一次边读边圈出你认为在这段概念中比较重要的关键词，想一想，你是怎么理解它的？ i love you love you， 谁来说一说？跟大家分享一下你圈了哪些词？你是怎么理解的？好，你来说 中的正比例关系，我理解为就是两个互相有关系的数， 什么样的关系呢？好，谁来帮他补充一下。什么样的关系他们就是正比例关系呢？好，你来。是，是他们两个同时，呃， 就是这一种变化，另一种变化，那也就是说这两个量它们必须要是相关联。还有呢？谁再来谈谈你这个关键词？好，你来说一说。 我圈了两个词，一个是成正比例的量，还有一个是正比例关系，他这里两种量叫做成正比例的量，所以这里是一个量关系，叫做正比例关系，所以一个是量，一个是关系。 很好，他还找到了他们之间的区别。还有吗？ 好，你再来分享一下。我选出来的是两棵树的比值。一定，如果这两棵树的比值不一定的话，这两种量就不能叫做成正比例的量，同样他们的关系也不能叫做正比例关系。 你补充的真好，好结合刚刚同事们说的，大家都找的非常准确。那现在老师想问大家，如果两个量他想要满足成正比例关系，需要什么条件呢？ 好，你来说，首先他们得是相关的量，其次，一种量变化，另一种量也要随着变化。之后呢？他们两个官司一定要是底局一定要是一定的，是 吧？很好，掌声送给他。 也就是说，两个量想要满足成正比例关系，首先他们必须得是正关系，其次他们还得满足理智。很好， 那既然同学们已经知道了什么是正比例关系，并且也知道了两个量想要满足正比例关系所需要的条件，下面请同学们完成学习单的第二大题，我会判断。 hahaha ah， 好，完成了的同学用坐姿告诉老师， 第一小题谁来说一说你的判断。 好，你来说， 为什么呢？因为对方是忠诚的家，他的忠诚也就是忠诚家，也就是说他们俩，嗯，有关联。对，是以血缘关系的呀。然后呢？ 没有了是吗？那他们两相对应就一定成正比例吗？好，你再摇头，你来说。并且他们还需要，呃，比值。一定，他现在的比值是四。 好，好，非常细心的男孩子，我们根据正方形的周长和边长之间的数量关系，正方形的周长等于什么？边长成四，那么周长比边长就 等于四，那这个比值始终都是一定的，一定的符合我们的要求。好，第二题谁来试一试？ 好，你来说，我认为第二题也是对的，为什么呢？因为它这里说这双数的面积和边长是这比，这个是对的，因为它的边长根据面积等于边长，边长就等于面积， 所以当呃，编程增加的时候，它的面积也是会增加的，同意吗？同意。首先他非常觉得肯定的一点就是他找到了他们之间的数量关系。但是老师刚刚看到有我们在默默的摇头，谁能来说一说你的见解 好还是你啊？我认为这也是错的。首先，呃，我是这么想，先设了一个数字啊，面积等于编程的平方， 呃，也就是边长乘边长。呃，首先，我设边长为一，那么它的呃面积也是为一，就是一乘一。呃，然而，如果它边长是二，呃，那么面积是二乘二就等于四，这里的比值它是二，而前面设一的比值设为一的，所以说它的比值不一定。 谁听懂了，谁能再来说一说。 好，你再来说一说。就是正方形的面积与边长，它们之间的比值是不一定的，因为，呃， 面积和边长和面积等于边长和边长，而又有边强似的变化，所以它们的比值也是不一样的。很好，掌声送给这两位同学。 第一位女生说出了他的数量关系时，我们可以稍微变形，把它写成面积和边长的比的形式，那么他们的比等于什么？ 面积除以边长等于什么？等于边长，也就是说他的比值是边长，但是边长是在怎么样？ 哎，他在变化，他不一定，所以他不符合我们的哪一个要求？已知一定是的，所以他们成正比例吗？不符合。好。第三题，谁来试一试？ 没人举手，那我就点喽，你来说一说你的答案 好，没关系，请坐。老师看到他的答案是对的，他判断他是对的。那谁来说一说理由？ 好，你来说。因为每天睡前阅读，他说的个数是一定的，所以 要看书的总页数除以他的天数就等于他们每天阅读的页数，而他们的笔直都是一定的。 说的真好，他找准了总页数和看书的天数之间的数量关系，并且他们的笔直是一定的，符合我们今天学的正比例的要求。 我们的生活中有这么多成正比例关系的量，在数学中，我们通常都讲究简洁美，那如果我用字母 y 和 x 来表示这两个相关点的量，用 k 来表示它们的笔直， 那正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？ 所有人一起告诉我， x 等于 a， x 分 之 y， 我 们也可以说是 y 除以 s， y 除以 x， 也可以是 y 除以 x 等于 k。 然后通过我们刚刚的研究，我们知道这个 k 它是一定的，一定的。 好，请大家齐声把这个式子读一遍。 y 比预备起 y 比 x 等于 k， k 是 一定的，一定的。 好，那康老师想做一个课堂小调查，大家对今天自己的表现满意吗？满意的同学请举左手。 那比较满意的同学请举右手。 ok， 不 错，好，我们班上的总人数一定。请问满意的人数和比较满意的人数成正比例吗？不成。那为什么呢？谁来说出理由？ 好，你来说。他说我们班总人数一定，他说我们班总人数一定。把满意的人数和比较满意的人数是不能成为任意的，因为我们班上的人数是一定的。不， 所以把人数和比较满意的他是，呃，他也就是固定的，哪怕是人数不是一定他再加一点，那么的话，嗯，也有可能只加是满意的，或者是比较满意的，不可能两个同时加， 加也不加也不会是，呃，同时加一样的，谁能说呢？再清楚一点。好，你来。简单来说就是这个总人数，呃，他不是一个变量，这是我们的人数，他是不会变的。满意和比较满意的人是不会变的。 满意的人数和比较满意的人数不会变吗？ 哦，我们刚刚做的调查就是人数是固定的，对吗？还有不同的理由吗？好，你来说。我觉得如果满意的增加了，那么比较满意的他就会减少，所以说我觉得他们不能成正比， 那也就是说他们两个比值怎么样？不一定，不一定的，对不对？他会变很好。 我们刚刚已经学习了什么是正比例关系，其实正比例的图像也很有意思，还是刚刚的这个表格表中的数据，我们也可以在图中把它表示出来。 之前我们学过用竖对来表示位置。如果我们把每一组数据看作一个数对，你能在途中找到这几组数据的位置吗？请你完成学习单的第三大题，我会画 好完成了的同学，同样的还是用坐姿告诉我。我们来看看这几位同学的作品， 他的脸都找对了吗？完成的非常漂亮，而且还标出了竖队掌声。

年龄在不断增长，身高呢，也在增长，也随着在增加，我们就说 身高随着年龄的变化而变化。是啊，这一组变量还是有关联的。 到果汁我们已经很熟悉了，这儿有没有变量呢？ 仔细观察表格中的数据，你有什么发现？先说给你的同桌听一听， 有什么发现？ 弄好了，好了，你来。 高度随着体积的变化而变化。嗯，这是女生的发现，是不是这样呢？我们一起来看，高度在不断变化，增加体积呢？ 眼泪多少？如果高度减少，体积也减少，高度和体积就是这样横向变化的。再仔细观察这儿的数据，你又有什么想说的？ 高度比心，你来， 没关系，高度增加了几倍，体积就增加了几 倍，也就是高度增加了几厘米，两厘米体积就随着增加立方厘米，是这样吗？是后面的快速来检验一下。 果然如此，表格除了可以这样看，还可以竖着看来瞧瞧呢，又有什么想说的？你来， 呃，它们的比值都是十五，都是十五，你能来算一算吗？ 呃，三十除以二等于十五，六十除以四等于十五， 九十除以六等于十五，一百二十除以八等于十五， 一百五十除以十等于十五。你说的真好，男生说比值都等于十五，占的十五表示什么意思呀？你来。 是啊，你们的这个发现很有价值，每组中体积与高度的比值都是十五。同学们，通过刚才的研究，我们一共有两个发现。首先，我们发现 体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样横向变化的。变化中，我们还有一个很有价值的发现了，什么是不变的 比值？是啊，体积与高度的比值，十五是不变的。今天这节课我们就一起来研究变量之间的数量关系。 现在把它们看成五个直条，照这样的规律变化，如果高度是一厘米，体积就是十五厘米，算的真快。高度零点五厘米， 零点五厘米，一点五厘米， 二十二点五立方厘米。像这样的直条还有吗？ 有，说得完吗？说不完。是啊，有很多说也说不完，看它们都长出来了，像什么呀？ 楼梯。哦，是的，一层一层楼梯，说的很形象，现在高度的间隔是零点五，就长这样，如果间隔变成零点一呢？会怎么样？ 你来。哎，那来看看，这儿的阶梯就越来越 有，其实你们的意思就是越来越窄了，对不对？那阶梯的个数就会越来越多，再小一点，零点零一， 阶梯就会自己说更窄，个数更多，再小点，零点零零一， 更窄更多。哦，是的，还要窄，还要多。想象一下，如果间隔无限细分下去会怎么样呢？有感觉了吗？ 你来。嗯，你的意思就是这儿的线 越来越平滑了，是吗？你们同意吗？同意，我们一起来想象，无限细分下去，这儿的阶梯就会越来越 窄哦，越来越窄，最后就会消失了点，就连成线了。我们一起来看稻果汁的整个动态过程， 可你们想的怎么样？妙，表扬，你们越来越会想象了。你看，体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样，同向变化的 变化中，我们还有一个很有价值的发现呢。什么是不变的？高与体积的比？是的，体积和高度的比值是不变的， 我们就说体积与高度是成正比量，正比的量，他们的关系就是成正比量关系。今天这节课就一起来认识正比， 回顾一下刚才的过程，我们是怎样研究正比关系的？首先，然后，最后你会说了吗？ 你来。首先我们先研究它们两个的比值，它们的比值是不变的，体积总是随着高度的变化而变化，之后得出了结论，体积与高度是成正比的量， 成正比关系，女生概括的很好，我们一起来看。首先我们要先找到一组 变量变量，然后通过算一算，发现它们的比值是变的，最后我们就能得到结论了，体积与高度是成正比的量，它们的关系就是成正比关系， 加油，我们也很熟悉了，这会不会成正比关系的量呢？ 一开始说的身高和年龄呢？你们能像这样也来研究一下吗？能吗？能，完成作业纸 写好的同学可以掌声和你们的学歌交流一下。 好，我们一起来看。这是一位同学的作业，他认为金额和油量是 身高和年龄呢，不成正比，你们也是这么想的吗？是的，来说说看。 你来对女生， 金额随着油量的变化而变化，因为他第一个金额是七十七点六，然后除以油量就等于他单价是七点七六，然后后面用一百五十五点二除以二十也等，也等于七点七六， 后面两百三十二点八除以三十等于七点七六，三百一十点四除以四十也等于七点七六，他们的 比值都是一样的，所以金额和油量成正比例关系。你说的真好，女生已经找到了判断的关键，要在变量中找到比值不变。第二呢，你会说了吗？你来， 身高随着年龄的变化而变化，五十比一等于五十 九十七比三约等于三十二点三，你发现比值不相等，所以它们就不成正比关系。是啊，看来不是所有的变量都成正比关系。 这是两辆汽车的行驶情况，哪一辆汽车行驶的路程和时间成正比关系呢？先看一看， 有答案了吗？大声说，哪一辆卡车？你车呢？为什么你车的路程和时间不成正比关系呢？你来， 因为以车它的比值不一样。呃，它，它时间和路程的比值不一样。快速看一看，是这样吗？是啊，刚才你们说打车的路程和时间成正比关系，也来说说看呢？ 你来，因为一百没关系？嗯， 是的，笔直找到了不变量，还要找到变量，会补充了吗？你来， 路程随着时间的变化而变化，时间越长路程越长。是的，刚才女生还说到他们的比值是相等，所以路程和时间就成正比关系。这样的时间还能继续变吗？ 可以，五小时五百千米，六小时六百千米七小时 七百。铅笔说的完吗？说不完。那想象一下表示路程和时间的图像会是怎么样的呢？用你们的手势比划一下。 哦，接收到信号了，是不是这样呢？ 可你们想的要越来越有感觉了。现在速度是一百就长这样，如果变化速度会长什么样呢？想不想来看？想好满足你们。 现在速度想变成多少？随便说，随便说。你说三百。好的，来看看 瞧。它就长这样。现在速度慢一点可以变成多少？你说三十五，好的来看， 你看它成这样了。现在我们再大胆一点，如果不是汽车速度开快一点，你住手，直接喊 啊，一千 out！ 在 看之前先想象一下会是怎么样的，用你们的手势比划一下，哇，是这样吗？看他来了 怎么样？果然和你们想的是的，只要速度一定，路程和时间就成肉体关系。 同学们，刚才我们一起研究了三个正比故事，看一看怎样的两个量会成正比关系呢？ 你来，高个男生笔直相同， 满足了吗？满足，还有没有要补充的？你来，随着第一个量的变化而变化。你的意思就是首先要找到一组 变量，是啊，满足了吗？满足，这这两个量就成正比关系。刚才你们都说要先找到两个变量 变化的量，我们以前学习过的可以用什么来表示？ x 字母，你看 y 总是随着 x 的 变化变化。现在这三个正比故事就需要用三个关系式来表达， 那你们能不能用一个关系式来表示所有的正比故事呢？此时又该如何表示呢？先想一想，完成作业纸， 一起来看两份不同的作业，你们更赞同谁的？ are 都是这么认为，说说看你们的理由，你来， 不是所有的正比关系得它的比值都是七点七六，而 n 可以 概括任何一个数哦。我在女生的发言中听到了一个词， 概括是的字母就具有概括性，所以一般我们数学上就用 k 来表示，因为它是不变量，所以会在后面加上六。 你们知道吗？这儿的 k 啊，其实是俄语中不变量这个单词的首字母。同学们，现在 y 总是随着 x 的 变化而变化，同时又满足 y 比 x 等于 k 六，我们就说 y 和 x 同正比关系。 现在这个式子就能表示所有的正比故事了。除了黑板上的这三个，你还能说出一些正比故事吗？我先来举个例子， 在购物的故事中，如果数量一定，总价和单价就成正比关系。如果单价一定呢？ 总价你们会说了吗？会，你的同桌听一听， 你想到了什么？嗯，很好，那你说说看，谁一定谁和谁？你想到了什么？那应该是谁一定 坐好了，来分享一下。 你来。 嗯，刚才我也分享了这个故事，还有其他的吗？你来，如果工作效率一定的话，工作总量比工作时间就等于工作效率， 那工作总量和工作时间就成正比关系。是的，原来工作的故事中也藏着正比关系呢，还有吗？你来，如果时间一定的话，路程和速度就成正比关系， 同意吗？同意，原来路程问题中也藏着正比关系呢。那像这样的故事还有吗？有， 同学们，原来我们用这些数量关系讲述的是数与数之间的故事，今天呢，我们可以用这个关系式讲述变量之间的正比故事。 现在你们越来越厉害了。带着这样的感觉，我们一起来判断下面每组中的两个量是否成正比关系。先看一看， 看好了吗？来，我们手势判断，第一个 接收到了，第二个，好呢？哎，都是一组变量，怎么一个不成一个成呢？说说看。 你来，你伸，对对，就是你直不同哦，既具体说一说， 吃掉的和还剩的比与它不成正比关系。第一组是一比九，二比八。是的， 吃掉的比上还剩的笔直不一定，所以他们就不成正比关系，你们已经掌握了判断的关键。第二个呢？ 你来。嗯，三根就是三比一，第二个是笔直是三比一，第二个也是三比一，对吗？嗯， 第二个也是三比一，第三个也是三比一，他们的比值都一样。是的，所以比。呃，他们成正比例关系。是的，我们都要在变量中找到比值 笔直不变的关系。这两道题都会判断了，这两道呢，完成作业纸 可以把你的理由写在空白处， 写好的同学可以相互交流一下。 差不多了，一起来看。这是一位同学的作业，他认为正方形的周长和边长是 面积会变长呢，你们也是这么想的吗？是啊，来说说看。你来， 八比二的比值是四，呃，十二比三的比值也是四，十六比四的比值还是四，它们的比值相同，所以就成正比关系。你抓住了判断的关键，真好。最后一个女生， 第二个我认为是不成正比关系的，因为第一个四比二的比值是二，九比三的比值是三，二十五比五的比值是五，他们的比值并不相等，所以这道题面积和边长不成正比关系。你的思路很清晰， 看来原来学习的正方形的周长和边长是成正比关系，这也是我们原来学习过的内容。先看一看， 现在带着正比的眼光再来看。你能找到成正比关系的量吗？第一个 找到了吗？好，男生对 时间和产品数量的。呃，产品数量和时间的比值是十八 五。十四比三等于十八，一百零八比六等于十八一百六，十二比九等于十八，二百一十六比十二等于十八，他们的比值相等，所以成正比关系。 你说的真好，牢牢抓住了比值是一定的，所以它们就成正比关系。原来说的，照这样计算，就是利用正比关系来解决问题的。这儿呢？找到了吗？ 你来。币的枚数比高度，十，十比一点九。呃，一点九比十等于零点一九。你想用硬币的高度，币的高度比硬币的枚数，嗯， 第二个是十九比一百等于零点一九。第三个是一千九比 等于零点一九。第四个是十九万比一百万等于零点一九。最后一个是一千九百万比一亿等于零点一九。 硬币的高度和硬币的枚数成正比。是的，他们的比值，每枚硬币的高度也是一定的，所以也成正比关系。原来以一枚一元硬币的高度，我们也可以利用正比关系来进行推理。 同学们，字母表示数的时候，我们就玩过这样一个游戏，这是一个神奇的信箱，仔细看， 输出的数和输入的数是不是成正比关系呢？ 子弹说说看，没关系好，你来试试， 笔直啊，所以它们就成。说得很好，现在输入的数还可以继续变吗？可以，如果输入一，输出 二点五，怎么算的？一起说吧。一乘二点五等于二点五，如果输入三，输出 七点五，哦，还是乘二点五？你看，每输入一个数，通过这个神奇的信箱，我们都可以对应输出一个数，但是它们之间的关系是 重力关系。那现在你能用一个式子来表示它们之间的关系吗？ 你来 y 比 x 乘等于二点五，可以，还有不同的形式吗？你来。对 x 分 之 y 等于二点五，就是 y 比 x 等于二点五。还可以。你来 x 乘二点五等于 y。 是 的， y 等于二点五 x。 哎，果汁问题中的数据能不能输入这个神奇的信箱？可以，想不想看？想看。它们来了。 找到这把钥匙了吗？找到了，你来。

看，老师这里有一个百宝箱，你们想知道老师百宝箱里放了什么吗？想，那大家请看这 好老师在百宝箱里放了什么？谁能来读一下 来，呃，有时间、数量、速度、单价、工作时间、总价、工作效率、路程和总工作总量。好，那你们能用这些词语来表示我们以前学过的数量关系吗？ 张建，数量乘单价等于总价总价除以单价等于数量总价除以数量等于单价。非常好。谁再说会有其他的？ 王一招，工作等工作总量除以工作效率等于工作时间工作时间乘工作效率等于工作总量工作总量乘工作时间等于工作效率路程除以速度等于时间路程除以时间等于速度速度乘时间等于路程。 非常好。那么老师把同学们刚才说的给他总结在了屏幕上，谁能简单读一下 来，工作总量除以工作时间等于工作效率总价除以数量等于单价路程除以时间等于速度。那么我们今天呢，就来研究这些数量关系中的一些特征。好，同学们，请看屏幕， 我们来做一个小的调查，同学们今天来上学，哪些同学是走路来的？哪些同学是坐车来的？请走路来的同学，咱们举手表示， 好，有一些同学那么放手，那没有举手的就应该是坐车来的，对吗？那么对于走路来的同学，我相信有下面一个问题，请你帮助老师来回答， 如果你在上学过程中，你走的越快，那么到校所需时间就怎么样？同学，怎么样， 你们认为怎么样？说吧，越少时间就越少，那说明速度的变化，那我们所需的时间也会随着发生变化。 那两位同学如果距离学校的远近不同，他们每分钟走的米数是相同的，你认为谁先到达学校 的意思？那个离学校近的同学先到达学校，那看来我们路程的变化也会影响着我们时间的变化。路程变化，时间也随着发召变化。 如果老师去买一点六元的一支红圆珠笔，买的支数越多，所花的钱数就怎么样？ 越多，那谁能上来买一 支花多少钱？一点六元，如果再买一支呢？ 好，请会又花了我再买一只。买的支出越多， 所以支出的变化，那总价也随着变化，那像刚才我们所接触到的，一个量在变化，另一个量也 随着发生变化，那么这样的两种量，我们就把它叫做两种相关联的量。那好，同学们，什么叫做两种相关联的量？ 那可以。呃，一个量变化，另一个量也随之变化，这是两种相关联的量。好，同学们互相说一说，什么叫做两种相关联的量？ 那么在生活中两种相关的热量应该是很多的，对吧？那你能给大家举个例子吗？ 生活中哪些你会发现是两种相关联的量和手型？骑车走的速度越快，所需的时间也就越少，所以谁和谁，所以速度和时间是两种相关联的量。非常，你把话从头到尾再说完整一遍行不行？ 汽车走，汽车走的速度越快，索道，索道目的地的时间越少，所以速度和时间是两种相关联的量。非常好，同学们，同意吗？那么我们来判断一下下面的量，你认为是不是两种相关联的量。 第一个，马小奇买机管包数量和总价是吗？是，那谁能说出为什么 也那样？嗯，因为数量买的越多，嗯，总价就随着变化越多，所以，嗯，所以数量与总价是两种相关联的，非常好。那第二个，石继坤同学的体重和身高， 你认为体重和身高是两种相关联的量吗？不是。那为什么 啊？孙伟涛啊，因为如果要是身着，比如说他四十多岁的话，身着不变化，他的体重依然会变化，他们并没有就一个变化，量也随之变化，所以体重和身高不是两个相关的，非常好。大家同意吗？同意， 同一台织布机工作时间和工作总量。 是不是是说个原因来。马思恩，因为织布机的工作时间越长，它的工作总量就越多，同意吧。最后一个，圆的直径和周长 是肯定。回答，是不是是提紧条原因，因为如果直径，如果直径越长，那它那圆的周长就越长， 所以，所以圆的直径和周长是两种相关联的量。同学们说的很好，现在老师给大家带来一个小礼物，你们知道老师带的是什么吗？不知道。那好，我给大家一个提示， 我拿放大镜只露出它的一部分来，能猜出来吗？白纸，我不可能给你带白纸的 巧克力哦。看见了褐色就是巧克力吗？再猜啊。 笔笔，好好，再看，这是什么本？这是一个本和笔。那现在 我们猜一下这个本你估计是多少钱？马小姐，嗯，我认为是两块钱啊，你问一下还有吗？不一样啊，我认为是二十元钱，然后有很多了，还有吗？ 王文博宇，我认为十五元钱。哦，原来十五元钱还有，你们都没猜到，但接近了，越来越越接近了。崔先生，我认为是十二元钱哦，更接近了。王洋，我认为是九块九哦，九块九，就差一点一角， 兄弟们猜猜多少钱？十元？十元，那现在一个本十元，你们猜对了，两个本多少钱？二十元，我花四十元能买几个本？四个，八十元、八个。 那请看这表格中，十元、二十、四十、八十都是总价。一元一本、两本、四本、八本，都是数量。那在这个表格中有几个量？两个量，那这两个量是不是两种相关联的量？是，原因是什么？ 总价，因为总价变多，数量也变多，总价变少，数量也变小。嗯，总数量变多，总价变多，数量变小，总价变小。所以， 嗯，所以总价的数量是两种相关联的量。好，那现在请小虎君咱们再说一说，总价和数量到底有什么变化？开始， 两两 两两两两两两两两两两两。 刚才参与了同学们之间的交流讨论，同学们说的都很好，谁能再来说一说，总价和数量到底有什么变化？ 啥东西？总价变多，数量变多，总价变少，数量变少，数量变多，总价变多，数量变少，总价变少。非常好， 以总价为标准，总价在变多，数量也随着在变多，那么总价在 变少，那数量也随着在变少，总价的变化，数量也随着在变化。倒过来，我们以数量为标，数量在变多， 总价也在随着变多，那数量在变少，总价也随着在变少。还是一个量在变，另一个量随着也在变化， 一个量变，另一个量也随着在变化。请问这个表格中，你除了看到了总价和数量，你还能想到什么？全班数，还能想到什么单价？ 单价是多少？怎么算？单价怎么来计算？ 张老师，用总价除以他相应的数量。好，用总价除以相应的数量，他有个词挺好，相应。那现在我问同学，十是总价二，是不是数量？是，我怎么就不能用十除以？因为总价除以数量。 十数量不也挺好吗？而且计算量这些项都理全。嗯，因为得用总价除以它相对应的数量对，对应数量。那现在谁能说一说每一个单价都是多少 付款？每一个单价都是十？好， 那谁说的时候，这四个十分别是怎么计算来？等于，第一个是第一个十是用十除以一得来的。好，十除以一，那十除以一，我把除号能写成分数线， 第二个来，第二个是用二十除以二得来的。 over。 同学，第三个，第三个是用四十除以四得来的。 在 over， 同学，第三个是用八十除以，第四个是用八十除以八得来的。 请问这四个单价最后都怎么样？相等都是相同的，都作时相等。 好，同学们发现我们是用它们对应的总价除以它们对应的数量挪到它们所对应的单价， 总价除以对应数量等于它们的单价。单价是不变的，我们在数学语言中称作一定。 结合我们六年级所学，总价除以数量等单价可以看成就是总价和数量的比值是单价，那么 总价和数量所对应的数据，它们的比值是单价。单价一定， 同学们能发现这个规律吗？好，那我们现在再看这个表格，在这表格中现在有几个量？ 三个，那这三个量中哪些量是变化的，哪些量是没有变化的？同学们知道哪些量是变化？ 董子琪，总价和数量变化了，谁不变？单价不变。那么在总价和数量这种变化的两个量中，它们又具备什么样的特点？那么现在请小组之间讨论一下。开始 啊啊， 好的，完了我就做好。那现在谁能告诉老师总价和数量这两种变化的亮度，它们具备什么特质 好？请知道。同学举手！ 学姐啊，总价和数量是两个相关联的量，总价变化，数量也随着变化，然后总价和数量的比值是一定的。好，非常好。谁能再说一遍？ 喝口型，总价和数量是两种相关联的量，总价变化数量也随着变化。如果总价和数量相对应的两个数的就是比值一定。 那在这里面同学都提到他们是两种相关的量，他们一个量变，另一个量也随着变，他们对应数据的比值一定。请问在一个量变，另一个量也随着变，他们到底是怎么变的？是应该具体说一说 来试这块。呃，总价越多，数量就越多。呃，总价越少，数量就呃越少。呃，数量越多，总价就越多，数量越少，总价就越少。非常好。那么我们如果 发现有两种量，它们是两种相关联的量，并且一个量变化，另一个量随着变化，一个量变大，另一个量也随着变大，一个量变小，另一个量也随着变小，并且这两种量中所相对应的两个数的比值一定。我们就把这两种量 叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。那么请问同学们，在这表格中，总价和数量是成什么比例的量？正比例关系是， 那我今天就是所学的成正比例的量。好找同学读一下，什么样的量是成正比例的量。 例子啊，两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例。关系好，小组之间互相再说一下， 啊啊啊啊啊， 在我们数学中啊，我们一般用 y 来表示其中一个量，用 x 表示另外一个量，用字母 k 表示那个不变的量。那么谁能说一说它的字母表示是什么？ 所以吧，嗯， x 分 之 y 等于 k， 好， 还有吗？ x 分 之外等于 k， 可以 还有吗？真加 y 除以 x 等于 k 也是一样的啊。在这里啊，写下 y 比 x 等于 k， k 是 变，不变不变，所以要添上一个定定。 当然，同学们，如果我交换个可以，所以还可以说成什么公式， 还是 y 分 之 x 等于 k 一定好，也是一样，都很好。好了，同学们请再次看屏幕， 根据咱们刚才所学，记事本单价一定，记事本总价和数量。 现在小组之内，结合这个提纲，互相说一说， 记事本的单价一定记事本的总总价和数量。总价和数量是两个相关连的量，总价除以数量等于单价，单价一定，所以总价和数量是成正比例的两个量。非常好。后空， 总价和数量是两个相关联的量，总价除以数量等于单价，单价一定，所以总价和数量是成正比例的两个量。好，同位之间互相再说一遍， 那好，我们通盘所说总价和数量是，它们是成正比例的量，那么要想成正比例的量，你觉得它们应该具备哪几个特征？ 这能说要想成正比例的量，它们应该具备哪几个特征？ 没事试着说说理子啊，说明它是两种相关联的量，并且其中另一个量变化，另一个量也随着其变化。然后这两种量中对应的两个数的比值一定要是一定的，然后这两种量叫做正比例的量，它的关系就叫做比例关系。非常好 放在这里面，我们把它简单压缩一下，两种相关联的量，就是这两种量要有关系，一个量变化，另一个量也要变化，是不是这两种量都要在变化，最后他们所对应数据的 一直一直一定。所以咱们可以总结成三点，第一个两种量要有关系，两个量都要， 并且它所对应数据的一定具备这三个特点，它们就是成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。 那么在成正比例的量中，我们可以把它描在我们的格中。刚才我们知道一个本十元，所以第一个点点在了 这里，对吗？两个本，四个本，四十八个本， 应该点在这，对吗？现在我们把我们所描的点用笔连上， 大家可以看这就是我们正比例的图像，但是要求我们得从哪个点练？零，从零点这练，然后最后要出头。为什么要出头？ 崔天志，因为数量如果更多的话，总价也会随之更多，有一个出头，为什么要从零零点， 我们可以可以不买，不买呢？就是零与零，零还是零。那么正比图像是一条经过原点的直线，大家能明白这个图像吗？ 请看一下。通过咱们刚才所学，我们已经学会了什么是成正比的量。下面有几句话，请同学们一起来判断一下。 第一句话，每包书中侧数相同，包数和总侧数，你觉得它们是不是成正比例的量？先小组之内互相说一说， 越来越漂亮，越来越漂亮，越来越漂亮。 好，同学们先给一个明确答复，这两样是不是成圣？是为什么？ 哪去？因为，因为总总测数和包数是两个相关联的量。嗯，总总测数除除以包数等于每包数，每包数一定，所以总测数。总总测数和包数是两个乘正比例的量，非常好。谁能再说一遍 看看？这一点好像没有提到，对吗？谁能把这点补充上？再说一遍？ 谁能数来省略。呃，包数和总测数是两个相关联的量，包总测数除以包数等于每包数。 呃呃，包数，每包数一定，所以总包总测数和包数是两个，是成正比例的两个量，非常好。我们来看第二句话， 来，小虎，你互相说一声，好，我们读书说了，有明确答案吗？不是 不是。什么？说完整话，为什么简单明了直接说出来， 参加，每组人数和组数是两个相关联的量，每组人数乘组数等于全班人数一定，所以每组人数和组数不成正比例。好，他俩做的是什么法？不是我们求的比值对吗？不是。 这到底是不是？不是？为什么？这也是 同学们直接找到了关键点。 最后一个，不是不是。哎，我的年龄身高怎么就不是呢？到不成实力不相关联，来说说为什么？因为梁老师的年龄和他的体重不是两个相关联的量。 可能我到现在这个年龄，可能我体重会变胖，但身高不会再变了。同学们判断的非常好。好， 下面还有四句话，现在直接在小组内交流。这四句话，到底哪个是成正比例，哪个不是成正比例？ 对， 有想法了吗？有了，有了，那么谁能说？分别说说这四个？先说出他的结论来啊。王博宇，第一个是乘胜比例的 啊，其他三个第二个也成正比，第三个不是成正比翼的， 第四个也不是成正比例的。好很多，大家评理他的说法容易，那谁能分别解决一下？对四个，为什么前两个是成正比例，后两个不成正比例， 谁能说？找四位同学一人追一句话， 第一句张张贴啊，用量和数，总，总价和数量是两个相关联的量，总价除以数量等于单价，单价一定，所以总价和数量是两个成正比例的，是成正比例的两个量。嗯，非常好， 它这里用的是分数，数量也没有问题。第二，圆的半径和周长。 徐总弟，嗯，半径和周长是两个相关连的量。呃，周长除以半径等于。呃，二派，二派一定，所以周长和半径是乘正比例的两个量。那么二派派是一个固定的，是派边 不变，二派也不变，也不变。那现在这道题如果会多一种思考方式。他，咱们来说，周长除以派，周长除以半径得二派，二派一定，对吗？这道题我倒过来，如果用半径除以周长， 它的比值是什么？如果用半径除以周长，它的比值是什么？二派派分之一，那二派分之一变吗？ 不变，那么它也是说明半径和它的周长是成正比。看来用周长除以半径可以，用半径除以周长 也可体现了一个量变，另一个量也随着变化，它们的比值谁除以谁都可以，对吧？剩下两个人的身高和体重不解释，咱们刚才说完了，对吧？最后一个他怎么不成正？比例 不一样？嗯，他这个用掉的钱和剩下的钱是两个相关联的。 两用，用掉的钱除以剩下的钱，不得不，不得那个压岁钱，所以，所以那个用掉的钱和剩下的钱不是，不不，不，是成正比。好，那用掉钱和剩下的钱与压岁钱有什么关系？压岁钱不是 好，请看这有一位跳高选手，他跳的高度和他的身高，你认为是成正比例的量？ 就是小口的自己说说， 有人跑路完毕，谁能来说？先说说你的结论，成正比的不成不成，有不同的建议吗？哦，都说不成，原因是什么？ 马晓婷，因为我们都知道跳高的时候杆是越来越高的，杆越来越高，可是他的身高却没有变化，所以他跳的高度和他的身高是没有相，是不是成相关联的两个量，所以也不是成正比例的两个量。非常，他说的，大家同意吗？ 可以想到我们在真正的体育比赛中，可能跳高兴都从一个高度开始跳起，跳过再升高一点，再跳下一个高度，对吗？ 跳的高度在逐步的变化，但人的身高是不能变的，不可能，第一分钟他是一米七，第二分钟变成一米八了，这不可能，所以他们是不成正比例的量。同学们分析的很好， 这又有一个，一辆自行车在公路上行驶，行驶的时间和路程如这个表格，行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？ 好，请同学仔细观察。 好，那么同学们先听听我的想法。你看有人在这骑自行车，刚才解释到路程和时间有关系，那么路程除以时间得速度，速度是 没有变化的，所以它们是成正比例的加。你觉得我说的正确吗？正不正确？哪不正确？我觉得不挺好 呢，找找到 啊，因为后面二三四这些拿他们的路程除以时间得的不是那个跟第一个的那个路程不一样。 跟第一个的什么不一样？就是每小时的路程不一样。那就是这个人的什么不一样？速度不一样。那你能具体说说他们每一个时间段速度分别是多少？呃，第一个小时他的速度是每小时二十千米。 呃，第二个小时他是每小时十二千米。稍等啊。十二， 第三个小时他的每小时速度是十千米，第四个小时他们的每小时的速度是十一千米，第五个小时还是十千米，第六个小时也是十千米。 那所以你给出的结论是什么？和他们的速度不一样？速度。所以，所以这个这个数不是说正比例 大家同意吗？嗯，那看来不是说给个时间，给个路程，他们就是成正比例的量，我们得逐步的去找到每一个对应的比值是否一定， 所以我们要观察仔细。同学，明白哦。 老师，这里有一个小的思考题，正方形的边长和周长是不是成正比的呢？正方形的边长就叫红边，周长，红边加黄边， 这是第一个思考。第二个，正方形的边长和它的面积，边长和它的面是不是成正比例的量？请同学们以这两个思考题 在小虎之内进行交流讨论开始。 哎 呀 啊 啊啊， 好了，同学们， 新郎先说说第一个，边长和周长 来。张全，因为正方形的边长和周长是两个相关联的量边，因为周长除以边长等于四四一定，所以边长跟周长成正比例。那我用字母来表示，我们的周长用 c 来表示，边长用 a 来表示。周长除以边长 等于四四四是一个固定的数，一定， 所以让他急了。所以正方形的边长跟周长是成正比例的，大家同意吗？同意。第二个， 我觉得这个应该差不多也成正比例吧。不是不是，怎么不成？ 那么多人反对我来往里照，面积和边长是两个相关零的量，面积除以边长等于边长，边长不一定，所以面积和边长是两，是不成正比例的两个量。那好，咱们用一个具体数字来表示，假如边长是一， 面积是几？一边长要是二四，边长是三九， 那么中面积除以边长。第一组比值是一，第二组二，第三组三，我们发现比值怎么样？一定要，所以， 那看来我们得根据具体情况来具体分析。 那同学们，你们这节课有哪些收获？谁能说说这节课我们都学了什么 实际课？嗯，我们学的就是正比例的意义。哦，那就有什么意义？ 正比例的意义就是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。哦，很好。那现在我问朋友，通过我们这个课学习，你对自己的表现 满意吗？如果你满意，请举你的左手。如果你觉得比较满意，请举你的右手。开始 满意的就举一个，不满。呃，比较满意的举一个例子。看来大多数同学都是挺满意的。那现在老师提个问题，满意的人数和比较满意的人数成正比例吗？不成，原因是什么？ 全班说吧。全班的人数和家长们的家长们的家长们，你们俩是什么法？

这节课我们一起来学习正比例的意义，那昨天我们拿到了学习单，首先我们一起来回顾一下学习单， 有我们熟悉的学习目标，接下来就是我的研究，我的研究有五项任务，早自习时我看了同学们的学习单，任务一二都完成的比较好， 但是任务三和四可有的同学做错了哟，所以希望在接下来的讨论时间里面，我们根据学习目标展开学习， 充分发表自己的意见，帮助小伙伴解决困难，纠正错误。 好，那我们准备倒计时，讨论开始多长的时间。十二分钟，好准备在组长的带领下认真讨论。 这节课我们学习的是正比例的意义。首先我们的学习目标是，第一能记住生活中的什么，明白什么是喂，能正确判断。我们先来讨论一下正比例的意义。学习单里面的学我的目标， 第一能借助生活中的实际问题，明白什么是相关联的量，能正确判断成正比例的量。 第二是能准确说出成正比例的量的特征，并会用字母概括正比例的意义。 我们来看一下关键词。首先是能能借助生活中的实际来明白什么 是相关联的量，这是第一个。第二个任务是能正确判断成正比例的量。正确判断，下面我看任务。第二，能准确说出成正比量的特征， 这是第三个任务。最后一个任务是并会用字母式概括成正比例的意义，用字母式概括。那么我们现在来看到我的研究第一题，当一个量变化，另一个量也会跟着变化， 这两个列就是相关联的量。下表中购买同一种彩带的总价和数量， 两个相关联的量吗？想一想，把你的结论和理由写下来，谁来发言？这个总价和数量是相关联的量？理由是他的其中一个量变化了，另一个量也随之变化，所以 这个公式是相同的意义，所以他是相关联的量。被同学用充分的理由表达了自己的观点，那么谁有不一样的意见吗？ 没有。我们现在来看到第二题，两个相关联的量， a 和 b， 如果他们的比的比值总是一定时， 我们就说 a 和 b 成正比例关系， a 和 b 是 成正比例的量。观察上表，你觉得这里的总价数量成正比例关系吗？它们俩 是成正比例的量吗？想一想，把你的结论和理由写下来，这里有一个概念，就是前面的两个相关联的量，一个量变化，另一个量也会跟着变化， 变化规律相同，而且他们的比值总是一定，这是他成正比例量的条件，因为这样我们才说他们成正比例关系，他们是成正比例的量。谁来谁？谁认为上面的总价？ 谁来说一说，你觉得上面的总价数量成正比例关系吗？他们是成正比例关系的量吗？ 他们两个是成正比例关系，因为他数量和总价数量增大，总价也随之增大。比如说数量是数量 是一，总价是三点五块钱，但是如果他的数数量乘以二变成二， 他的总价也会随之翻倍。要听每个人都说了吗？念一遍，真正的讨论的，所以他们的比值是一定的，他们是成正比例的量。这位同学紧扣概念中的理由 为什么和，而且还举了量变化的例子，说明了他是成正比例的量，有没有人想要补充一下？那么好， 我们现在来看就一下第三题，下表中的一辆汽车行驶的时间和路程成比正比例关系吗？结合第一第二的学习，把结论和理由写下来，当时间是一小时时，路程是八十千米， 当时间是两小时时，路程是一百六十千米。我的结论，这里的路程 和时间成还是不成正比例关系呢？谁来发言？这里的路程和时间成正比例关系？路程和时间是两种相关的量，路程和时间的比的比值总是一定，所以路程和时间成正比例关系。路 长和时间是成正比例关系的量。我们现在来看到第四题，他说你的如果用 x 和 y 表示两种相关连的量，用 k 表示它们的比值，正比例关系可以用下面的式子表示， x 分 之 y 等于 k， k 是 一个不变的数，他是一定的。也就是说他永远不管 x 和 y 怎么变，这个 k 永远就是他们的比值，永远都是不变的。生活中还有哪些成正比例的量，你能按照呢？ 我们来看前面的都是用表格前面的过程来说一说吗？表格一定要根据他的下边理由， 首先要说他们是正，把这个问题研究一下，首先要说他们是相关联的量，他们的一个数变化，另一个数也在变化，他们的比值总是一定要根据这几个理由来确定他是不是成正比例的量，他们是不是成正比例关系？ 谁来发言？我觉得服装和服装所用的材料成正比例关系，我的理由是，服装和材料是两种相关，人的量 是服装和材料的比的比值总是一定，所以服装和材料成正比例关系，服装和材料 是是成正比例的量。所以还有谁想说一下？我觉得时间和完成的量有成正比例关系，因为时间和完成的量，他们的比值是一定的，时间越长，他们完成的就越 多，因为如果因为他关联的量，比如说一个量增加。我们现在来看到第五个问题， 对于今天的学习内容，你还能提出什么问题？问题是什么呀？我们现在来记录一下问题了，有可能是不一样的。 你们教什么问题？请问谁有问题吗？关于今天的学习内容，我的问题是，第一个问题是， 所有相关联的量都成正比例关系吗？写成正比例关系的量，还有谁有其他的问题？我觉得既然有正比例，那有没有反比例？还有谁有问题吗？ 我的问题是，正比例是，其中一个量变化了，另一个量也随之变化，那反比例是不是相反其中两个？我在探索中，我们借助生活中的实际问题，明白了什么是相关联的量， 正确判断了什么是成正比例的量。写问题了呀，而且我们准备准确说出了成正比例量的特征，也就是 这三个要素，首先，一个量变化，另一个量也会跟着变化，变化规律是相同的，在这里的变化都是扩大和缩小，这都是来交上来， 这都是乘以或者除以一个相同的不为零的数，而不是加或减。 第二，这两个量是相关联的量。第三，他们的比值总是一定符合这三个条件的，就就是成正比例的量，他们成正比例关系， 而且我们用字母是 x 分 之 y 等于 k， 概括了成正比例量的量，他们的含义。 第一题我已经举过例子分析完了，那么看下第二题，人的年龄和身高是成正比的量吗？还有什么为什么呢？为什么人的年龄和身高不是成正比？还有组可以交问题，对，所以我们总结一下人的年龄和身高，他们的对应值。交了七个组的问题了，还有什么？ 有可能你一年涨的少，或是有可能你一年涨的多？你们的问题决定教哪个问题教了好，因为一个组队可以完成组队过关，我们现在来完成组队过关。第一题，下面的个体中两个量是否成正比例？说明理由。第一，做同一件服装，用 套数和用布的米数，记住，一定要紧扣这关于正比例的量，他们的特征一定要紧扣这几个条件，因为他们好，怎么样？还有几个所以关系的量，他们成正比例关系。 请这位同学来说一说。第一题，他们这两个是成正比例的量，因为他这里服装一套用的步数就是二点二米，这服装两套后面的这个，那他用的步数就是二点二米的两倍。 所以说他们两个成正比例关系，他们是相关联的量，他们的比值一定他们的比值是十二点二，二点二，所以他们成正比例关系好了，所以我们认为第一天成正比例关系，你觉得对吗？是的， 刚才的讨论有收获吗？那哪些同学通过刚才的讨论改正的之前自己的错，有没有哪些同学改正的错误？举手给我看看。有几个同学悄悄的举下了自己的小手，是吧？不敢说，也不敢给老师，没关系的 同学们，我们共通过刚才的讨论，不但有的同学能够改正自己的错误，我们还提出了一堆的问题，来，我们来一起看看这些问题。其实你们教问题的时候，莫老师就把这些问题进行了简单的分类， 我们来看一下前面的几个问题，都是涉及到关于正比例关系，正比例的意义的一些概念的理解和质疑，对不对？好，我们来 第二类问，有的同学大胆的想出来，有没有反比例对不对？反比例和正比例有什么联系？我们按照这个思路，先弄清楚正比例的意义，我们再来探讨关于还反比例的事情好不好？好，我们来看穿这个主题出的问题， 所有相关的能量都成正比例吗？有几个主提到了这个问题， 好，我们来看看。要解决这个问题，同学们，我们首先要明白一个概念，什么是相关联的量？谁来解的？胆子这么小吗？你们不是预习了吗？什么是相关联的量？ 大胆的说，你来。在我的预习中，我知道了，当一个量变化，另一个量也会随之变化，所以这两个量就是相关联的量， 他说对了吗？我们一起读一遍相关联的量，预备起相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。其实老师看着这个解释，我想到了两个成语， 风吹水涨，在生活中其实有很多相关联的量，老师来举两个例子， 小康同学存了两百元钱，那么用了的钱和剩下的钱 就是两种相关联的量，因为用了的钱一变化，剩下的钱也会。我们再看一个例子，小明同学按一定的速度去打字，那么打字的时间和打字的数量是两种相关联的量， 打字的时间不同，打字的数量也非常好。那谁来像老师这样举举生活中相关联的量？好，这位同学举得又快又好，你大胆的说一说， 我知道了。工作总量和工作时间是两种相关联的量。你来我们做做做作业的总量和我们做作业的速度，他也是两个相关联的量。真好，举例，举的真好，其实生活中相关联的量特别的多， 来，我们来一起看。我们正确的理解了两种先关联的量，它其实就是怎么样一种量变，怎么样会引起 另一种量也随着变化。那老师要问你们，刚才在我们的研究过程中，你们发现了没有？这两种相关的量，他们是怎么变化的？来，我们来拿刚才学习的好吗？那位同学说，好吗？ 上台来说，话筒关一下下，播一下。对来话筒来说，再指着前面的这个数据读第一个例题，我经过了刚刚的讨论，如第一个例题，他 时间的增加，他路程也会增加，所以我觉得这种量，他一个量的变化，另外一个量也跟着他变化。而且假如是这个量增加，另外一个量也随之增加，另外一个量减少，另外一个量也是得减少的。 掌声送给他，他发现这两种量，一个量增加，另一个量也增加，谁还有别的见解？好，你上来，他们这里是用乘法来增加的，这里一变成二就是乘了二，那么这个八 十变成一百六十，他也是乘了二。所以他们这么来说，根据比的基本性质，他们就是同时，干嘛同时乘或除以一个相同的数，他们比值一定。 掌声送给他，你们听明白了吗？听明白他的意思了没有？这两种相关联的量，他们是同时成，同时除，我们也可以说他是同阔，同说，他其实还讲了为什么会同阔同说，还讲了一个原因， 为什么会有这样的变化规律，你的原因是什么？因为他们是他们有这个关联。笔直一定。再说一遍是什么？一定啊，笔直一定啊，真是这个同学太了不起了。 这两种相关联的量，不单是同阔同说他为什么出现这样变化规律，是因为这两种相关联的量，他们的笔直总是一定。来，我们来看看，谢谢这位同学，真棒，这是哪个组的话筒拿下去，笔直一定 是谁与谁的笔直一定。这两种相关联量的，看到没有？竖的 相对应的两个数的比值是一定的。亲爱的同学们， 当这样的两种量有具备了这两种条件的时候，我们就说这两种量成逆的量，它们的关系是 非常的好。原来具备这两种条件，我们就说这样的两个量是正比例关系，他们是成正比例的量。那我们来看看这道例题中谁和谁是相关联的量，他们 两的谁？来说说第一个例题，具体来说。好，你下来第一个例题中时间和路程是成相，他们是相关联的量，当时间扩大到原来的两倍的时候， 路程也扩大到了原来的两倍。同样，如果是路程，他从三百二十变成一百六十， 缩小到了原来的两倍，那么从四到二也是缩小到了原来的两倍。出现了。同阔同说是因为他们这两个量的什么笔直已定，所以请问 路程和时间的比值叫什么？速度，所以我们可以说他们是相关联的量，而且比值一定，所以他们两个是成正比例的量，他们成正比例关系。谢谢这位同学，掌声送给他。谁来说？第二个例题简单明亮。 第二个问题，第一个例题，照着说，举手哪些同学好？那位同学，这表中出现啦， 这，这两个都出出现了。这两个数量和总价是两种，是两种关系，他，他们俩是一种关系，他们两个的比值是一定的。根据刚刚 张云舒说的，随着他的数量的增加，比如说从一扩大到二，那么总价也会从三点五扩大到七，从四个变成两个，总价也会缩减到原来的两倍， 这是两种相关联的量。总价和数量，因为他们的是一直一直单价是一定的，所以我们说总价和数量是成正比例关系，他们的关系是成正比例关系。好，谢谢这位同学， 让我们一起再次回顾一下两种相关联的量。我们一起读一遍，开始两种相关联的量，一种量变化 地总量也随着变化。如果这两种量同相对应的两个数的并值力，这两种量就叫做正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 要构成正比例的量的两种量具备的最显著的特征是什么？比之一定， 当具备了这两个特征的时候，我们就可以说这两种量是正比例的量关系。就是我们用一个字母式来代表 y 和 x， 表示两种相关联的量。非常好。 这两种相关联的量怎么样？一总量变化，另一总量 变化规律是，他们的变化规律是。同阔同说，为什么会有这样的变化规律？是因为我们比之一定才导致了他们是同阔同说这样的变化规律。亲爱的同学们，那 现在可以大胆的回答第一个问题了吗？谁来说所有相关的力量都成正比例的量吗？ 这个同学真棒，他马上就举起来手，好，请你说，不是所有相关能量。大声说，好的，谁再来说一遍？来，刚才你第一个举手，不是所有正比例，不是所有 两种相关联的量都能成正比例。对，因为我们还要掌声送给他。关键点，满足了相关联的量，我们必须还要满足笔直一定，我们才能说他是两个成正比例的量， 他们的关系才是正比例关系。那我们看看这些问题还有哪个问题你们想破解的也需要解决。两个量中其中一个量能为零吗？ 大家一起说，能不能？不能？为什么？因为我们不是说了吗，总量变化你老为零怎么样？你就没有变化？这个问题一下就解决了。还有一个问题我刚才看到了，来，你们还想零，看来这个问题了没有？ 这个同学提出来的是小时和分钟成正比例关系吗？小组讨论一下。好，有结论了吗？这个同学高高的举着了手，好，我想听听你们的解释。 你说我认为这，呃小时和分钟是成正比例关系的，因为一小时等于六十分钟，他他我把他的写上，一小时是对应的六十分钟，两小时对应一百二十分钟， 你们觉得他变，他也变，且比值还一定是吧？有反对意见吗？来，那位同学刚刚说的都是整小时，但是我们要说一下，比如说五分钟，那么就是十二分之一小时，六分钟就是十分之一小时，我觉得这个。

同学们，大家呀，最近表现的很不错，吴老师想给大家买一些礼物， 我骑着车来到了一个文具店，你来看看，你看到了什么？问，西藏， 按一下，我看到了笔记本，一本笔记本，然后它的单价是三点五元。嗯，很好，请坐。那么请你接着往下看， 在下面的这个动画过程中，看看你又能看到什么？ 审这个， 呃，我就是发现了笔记本的数量在变哦，看到了数量在增加，是吗？好，请坐。还有补充的吗？请你说。 但是我发现笔记本的数量虽然增加了，但是它的单价并没有增加哦，单价一直都在这，是吗？好，请坐。还有什么变化？好，最后一个男生 哦，你有这么多的发现，真好。看。来呀，随着笔记本的数量变化，它的总价， 笔记本的高度表面积和体积都在变化， 那么像这样，一总量变化，另一总量随着变化，在数学中，我们就把它们叫做两种相关联的量。 这节课我们就来研究这两种变量之间的关系。 这里呀，是吴老师记录的笔记本数量和总价的变化情况啊，下面我们一起来研究一下这三个问题，请一个同学大声的读一读。活动要求， 好于思维，先独立思考，再小组讨论。说一说表中哪些量在变化，它们是怎样变化的，哪些量没有变化，你是怎么发现的？ 你，你能用一个关系式表示单，表示单，总价出量，单价之间的变化吗？ 有一点紧张啊。好，请坐，不要紧张，大家听明白了吗？听明白了。好，下面请大家先独立思考，拿出你的学习单。

前两天我们已经学习了正比例和反比例，今天我们继续来认识正比例和反比例。 那么通过学习，你对正比例和反比例有了哪些认识？ 这样子， x 比 y 等于 k， k 比例，正比例，嗯，就是正比例。 说下去， y 乘以 x 等于 k， k 一定反比例。 是的，你用简洁的这个关系式来表达了正比例和反比例。还有吗？ 你说，呃，正比例是，呃两种相关联的量，一个量按变化，另外一个呃量也随之变化。呃，如果这两按的呃比值一定就是正比例，嗯， 反比例是两两种相关联的量，嗯，一种变化，另外一种也随之变化。如果这两个量的乘积一定，那么就成反比例。你用文字非常具体的描述了正比例和反比例。还有吗？ 正比例和反比例两个相关联的量变化规律是怎么样的？ 你说，嗯，这比例，因为一个，嗯，这比例会因为一个量的扩大而随之扩，另一个是有随之扩大而比例，一个量扩大会引起另一个量的缩小，嗯，一个量扩大，另一个量而 缩小。好的，来带着我们这些认识，我们一起来看看生活中的两种量。请看， 请看，表格当中两种相关联的量，它们成什么比例？为什么 两个人有相同的三个人有四个，五个？好，把你的想法跟你的同桌交流一下。看 来谁来说表格一？你说表格一是正比例是速度一定所行的路程，那么笔号流量 所行的路程比耗油量是等于，速度是等于在这里等于每升油所行的路程，它是， 它是一定的，所以它成正比，是吗？我把这个关系式也写下来， 你也是借助于关系式来理解的，是吗？所以有不同想法吗？ 这样说，嗯，所行路程除以耗油量，他们的比值都是，呃，七点五，呃，每个路程和耗油量的呃比的比值都是一定一定就是这一个关系，是吗？好的，那表格呢？ 你说。嗯，表达是反主义。嗯，因为它的速度乘以时间等于路程，路程一定你发现没有，但是我也把它记录下来。 接着来，我们继续来看我们生活当中相关联的两种量。 请你判断每道题目中两种相关联的量它成什么比例。关系， 可以可以用关系式，或者也可以用列表的方式来说明你判断的理由。第一个，请你把判断的理由写在自己的本子上， 好把笔放下来。谁来说明这把？这脸怎么样？ 你说。 所以，所以成功讲完就，所以谁和谁成证成证明。嗯，所以使用天数每天 平均要用点营养成证明。好的，你是用关系来表达，是吗？所以有不同方法。 嗯，小泽，来，我有，我有一个月把的方法来展示，你来给大家看一下。 嗯，假设它的总量为十的话，它每天使用，嗯，使用天数为一的话，那每天平均的用煤量就是十。使用天数为二的话，平均用煤量就是五，使用天数三的话就是三分之十。 如果使用天数是四的话，就是平均用每量就是二点五，使用天数为五的话，平均用每量，平均用每量就是二。你们从他列表的数据当中能够看到正比例吗？ 能吗？能的，因为从这个表格当中能够直观的体会到什么 没的总量，这两个量的乘积是呃的，乘积是一定的，是不是？好的，你用了非常直观的方法是吧？ 所以判断两种相关联的量，一个可以借助于简洁的方式是，另外一个也可以通过列表很直观的就能发现两种量之间存在怎么样的规律是吗？好，我们继续来看。 亮姐来，你帮忙读一下请小学生作文的单价，一定订阅的费用与订订阅的数量。嗯，你来回答， 订阅的费用除以订订阅的费用比订阅的数量等于单单单价一定，所以成正比例关系，所以订阅的费用和订阅的数量成正比例。正比例讲的讲的再完整一些更加好。 继续，我们看你来读书的总页数比。已读的页数与未读的页数不成比例。不成比例， 你能说明白吗？怎么已读的页数加上未读的页数等于书的总页数？嗯，你也发现了他这里的一个关系式，他这里的关系式其实就是用已读的加上未读的等于 种叶树。是啊，像这样的情况，它其实是属于啊，不成比例。 是的，在我们两个相关联的量当中，这两个量可能是 可能成，也可能成，也可能不成比例。是的，有三这样的三种情况。 看完我们生活当中具体的量，其实再来看看现在有两个量，一个是 x， 一个是 y。 现在能确定这两个量成什么比例吗？不能，还不能。是吗？ 现在不冷，现在还是不冷是吗？那你觉得还在天上一个几你就能确定吗？ 没关系啊，其他人的发言手大了就是没事，你说在天上一个十五，十五，天上一个十五，大家马上想一想， 加上一个十五，什么比例？三比零？什么比例？三比零？为什么？因为十乘以三十等于三百，二十乘以十五也等于三百，嗯， 所以，所以乘以十五，所以他们两个量的关系，乘反比例，乘积一定，所以乘三比零，对吗？对，一千三， 你说他可以变成六十乘上六十，所以马上就反应过来了，天上六十，他是乘什么比例？ 六十。为什么啊？你说为什么？我是十到二十乘到二，然后三十乘。哦，你是通过变两个量的变化规律是吗？可以确定的， 你呢？你觉得呢？我觉得也是正反比例，因为三十除以十等于三，六十除以二十等于三。那这个是什么比例呢？ 正比例，哎，是正比例啊，是吧？好的， 现在来把。呃，现在我们一起去的，像这样的话， x 和 y 是 成正比，是吧？来，在练习题的第一题，还有两个题，你把它填完整 好，大家都已经填完了，所以我们来对照一下，当这两个量乘正比例的时候， x 等于零点六的时候， y 等于一点八，一点八， 当 y 等于一千二百的时候，四百， x 等于四百，是吧？好，这是我们来看现在这个题目跟刚才这个有什么不一样？ 有什么不一样？你说来这个量，这两个加号，两个量是直接告诉你，你这是成什么比例，你是什么比例？ 成反比例，成反比例。刚才一开始我们能不能确定它成什么比例？不能确定，是吧？这倒已经清楚了，告诉我们了，成什么比例？反比例。好，请你利用反比例的两个量的关系，把它练习二的第二题， 把它写在表格当中。 好的，宋老师已经开工，基本上都对的，来，我们来较对一下，当这个量是二十的， x 等于二十的时候， y 是 等于五， x 等于零点六， y 等于 y 等于一千二百的时候，你是， 你是根据哪一个规律来填？嗯，第一个，十乘三十等于他们的乘积是三百，嗯，然后一千二百，嗯，然后，嗯，十比三十的比值是三分之 百分之十，十乘三十，他们成绩是三百，所以要一千二百，还要乘，呃， x 再等于三百，然后他们一千二百，再三百，再除以一千二百等于零点五 计算整个过程。其实最主要的一点，围绕什么？围绕什么？乘积，乘积一定都应该等于，是吧？好的，对于这两个相关联的量， 我们一开始不能确定，是吧？当如果在这里 y 等于六十的时候， y 等于六十的时候乘乘以，因为 必须一定，必须一定。如果 y 这里是十五的时候，等于，因为小于零。如果我这里停二十，不，这里 他只是可以可以不成品，如果我这里贴四十不成品，是吗？好，这也就是说，告诉我们生活当中两组相关联的量 可能成正比例，可能成反比例，也可能成正比例。带着我们这些正比例和反比例的知识，我们去看看生活当中的正比例和反比例。请您仔细的看一下这题， 描出这个竖高和隐藏对应的点的表格，宋老师已经给你准备好了，来，请你描，按照他的要求做好，然后想好后面的两个问题。 图像已经画好的，思考后面两个问题 啊， 这样的图像有没有问题？有没有问题？没有好，看着这个图像你能发现树桩和隐藏是成什么比例关系？你是依据什么来做出判断？ 可以同时加入 交流好了是吗？来，先来。来哪个小组来交流一下。 同一时间的数值高比隐藏都 n， n 值都是零点八，零点八一定，零点八一定。你能具体的结合数字来讲，你找到哪些数据？ 比如说树高凹两米的时候，他的隐藏是零点六，嗯，比值是零点八，嗯，你是用隐藏比上树高是吧？零点八，还有当树高凹六米的时候，他 是四点八，嗯，笔直也是零点八，嗯，四点八比六等于零点八。零点八。好的，你从图像当中其实也你也能找到 笔直，一定是吗？所以也能确定竖高和隐藏是成正比。好的，带着这种经验我们继续来看。 我们学校操场上有根旗杆是吗？你知道它的高度吗？你有什么办法去量吗？ 拿块尺去量吗？不是，你能不能借助于刚才我们看到的竖高和隐藏成正比例这种关系，想办法设计一个方案 来测量出我们学校里面这个旗杆的高度？ 在练习纸的第四题上面有这样一个要求，我们现在以四个人小组一起讨论。来来设计这个方案来开始 啊， 哈哈， 来哪个小组先给大家来分享一下你们的想法。好的，你们来做什么？ 先给大家介绍。嗯嗯，现在同一时间里，当一个同学站在阳光下，然后量出他的隐藏 我身高，然后就就能得到这个比例，然后再量出膝盖的延长，再这样算一下就能得到膝盖的长度。 你们谁听谁也听懂啊，你们小组有没有和我合唱。 你算嗯算出实际长度的试一试嗯那个同学的嗯其杆的 那个同学的长度嗯比他的隐藏等于 x 比其杆的隐藏嗯你已经想到那一个成正比例关系的那个关系式是吗好的有什么建议吗 他方案有什么建议 其实刚才这个女女生已经给他们一个建议其实就是把这里的比例再写的更加具体一些就说是用隐藏笔上 高度把它写清楚就等于他们的笔直是不是啊好的哪位小组也再来介绍一下你们小组里面的 来蹲下。 所以看别人的方案的时候第一个他看看他的设计的合理不合理你再看看你觉得哪里还有什么可以建议的地方让我们的方案更加完整明白吗。来开始 首先第一步呃找一个参照物量出它的高度和隐藏呃就比如说上面那个呃竖竖的这个隐藏和高度呃第二步就是判断它成什么比例以算出比值呃 最后就是呃量出这个旗杆 n n 的 隐藏用正比例的方法求出旗杆的高度 他用到了正比例的关系式所以才也用到了你看正比例的接下去用把它可以把它算出来是吧 你们听了之后有什么想法你说。我觉得他第二步有问题嗯他上面已经说了竖高和隐藏成正比例嗯所以下面的第二步不用算成 成什么比例而且后面呃如果他呃他前面说判断成什么比例如果他判断出来是反比例的话那后面应该写出剩余乘积那能不能确定这里是 高度和隐藏是成正比正比例的，其实一开始的时候我也有这个疑问，但是他讲到第三步的时候，我已经知道他们小组已经清楚，已经明白了，已经明白了是吧？好的，还有什么问题？ 那宋老师问以后第一个你找一个参照物，你刚才他找的是一个什么参照物？我们刚才研究树高和隐藏的时候有了哪个条件？ 同一时间，同一地点，这里有个参照参照物的时候，其实他找一棵树， 这棵树也要在哪里，就要最好是在就根齐根生发， 但是往往旗杆边上基本上是怎么样，所以再优化一点，我找这个参照，我可以找什么？刚才第一个小组里你们找的是人是吧？自己把自己站一下，身高也有了，隐藏也有了，是吗？除了人还可以找什么？ 因为我这个人我还得去测量，还得去干嘛的是吧？我这个人站在那里，谁帮我量了呢？是吧？可以再优化一些。可以找什么？你说我们可以把可以找一把尺子， 找一把尺子更简单，长度也不用量就知道了。他多少高是吗？还有呢？ 其实生活当中到处都有，我随便找一根竹竿这种都可以，是不是啊？是不是很简单的？我把只要把它绑在这个旗杆上面，或者插在旗杆边上，是不是就可以了？我就可以做我自己该做的事情，这样是不是就更合理？ 好的，这是找到了这几个，而且利用正比例的关系，比值一定，我可以把旗利用旗杆的隐藏，把旗杆的高度也怎么样 也怎么样算算出来。好的，我们同学很厉害的，利用我们这些经验，可以迁移过来，解决我们很难的一种生活当中的一种问题。 继续来看我们古代的时候有一个阿基米德，他说，哎，如果给我一个支点，我就可以翘起这个地球， 你相信吗？相信。你说你相信吗？相信。相信。那地球被他翘起来了吗？ 还没有啊。那我想你，我们生活当中肯定会看到或者做过这样的事情的。举举手。 不多，这里面用到的是一个杠杆原理， 这个杠杆原理它背后隐藏着也是跟我们今天的数学知识有关的东西，想不想去研究？ 那么我们今天就来借助于简单的一种实验来研究杠杆原理背后的数学知识。你看我们用到的是这种杠杆尺， 左右两边都有均匀的刻度，左右保持平衡是吧？好，如果第一问题，如果我在左边刻度把这里挂上了六颗棋子， 那么你想一想，右边如果也要挂六颗的话，应该挂在哪里？ 也只能挂在克杜邦那里，能不能挂在其他地方？如果挂进来了，这六颗挂里面来了怎么样？ 放里面来了怎么样？哪边重？左边重左边重了？是这样啊，如果挂到八外面去了，就只能挂八那里啊。 但是如果我现在是在左边刻度六这里挂了四个，右边呢？ 右边要求怎么样？周腾哲，你把问题读一遍，右边的棋子可以怎么放呢？右边的棋子可以怎么放呢？ 秦小成，已经想到了，你也想到了，你先说说让你放你会怎么放？在八那里放三颗， 你说在十二那里放两颗，在十二那里放两颗，你说我们克罗一那里放二十四颗，克罗二那里放十二颗，克罗三那里放八颗，克罗四那里放六颗，可以放的情况可以放很多，是吗？ 是的，孙老师也给你准备了一个表格，你倒想想看，右边的棋子可以怎么放呢？把你想到的一些，把它列在表格当中， 把你可能的情况列出来之后，你再想一想看，你能根据这些不同的摆法，你能发现什么？ let's see what happens？ 好，我们来看一下，其实我们都罗列出来了很多很多的白发，是吗？但是我们通过白发之后，我们发现了， 你说你发现了什么？它们是不同的，嗯，为什么呢？因为格子，格子束乘以每所所放的棋子数等于乘积 成绩，一定成绩一定。是吗？好的，再看看你发现的，你介绍一下，你发现，嗯，我发现了，六科读成左方奇才书，等于九科读成左方奇才书， 他们的成绩都成定了，所以，所以他们是成反比的。好，其实把这两个概括起来，其实就是刻度乘上棋子的颗数的等于的成绩。是，所以， 所以谁和谁承担你的关系？杠杆原理背后最大的一个数学问题，其实就是 是杠杆平衡背后就隐藏着反比例，明白了吗？好的，今天这节数学课，通过我们再一次的认识正比例和反比例，你对正比例、反比例又有了哪些新的认识？ 你说在生活中也存在着正比例和反比例， 比如说，比如说，呃，这个杠杆原理，杠杆原理背后其实就是单臂，单臂。还有呢？你说展开时间内说和隐藏的比例是成正比例，正比 例，而且利用竖高和隐藏的这个正比例关系还可以去解决其他的。呃，实际高度和隐藏的 利用这个证没关系，还可以测量，没有办法直接测量的一些高度，比如旗杆的高度，比如 erm 天堂的高度，比如埃及金字塔的高度，是吧？ 好的，那我们今天这堂课就上到这里，加油。

喜欢，那下面就请同学们看图来猜几个成语。第一个，谁来猜？云龙玉，我认为这个成语是水涨船高，正确。第二个， 刘雨涵，我认为这个词语是水啊，不对，风吹草动，你说。我认为这个成语是风吹草动，嗯，非常棒。第三个，龙海文，我觉得这个成语是风吹草动，嗯，非常棒。第三个，龙海文，我觉得这个成语是风吹草动，嗯，非常棒。第三个，龙海文，说的真好， 像这样一种事物变化，另一种事物也随着变化，我们就说这是两种相关联的事物，在数学里我们把它叫做两种相关联的六好。 生活中啊，有许多两种相关联的量，谁能举例说一说？我先举个例子，表中星期和天气状况是不是两种相关联的量？ 哎，梦琪，我觉得星期和天气状况他们不是两，他们不是两种相关联的量，因为天气状况不会受星期几的变化而影响，所以他们不是两种相关联的量，同意吗？同意同意，真好，那么你们各组 这一项相对应两个数的笔都是写的这几组吗？还有不同的吗？明明这您组写的什么？您组写的是七比二等于十四比四等于十七点五比五等于三点五，可以吗？可以。还有不同的写法吗？ 留意，我们组写的是十四比四等于十七点五比五等于二十一比六等于三点五，可以吗？可以可以。那我想问我写二十八比六可以吗？ 不可以，不可以。怎么不可以？因为他俩这俩不，不对应，对吧？对不对应的话，他们的比值就不可能是三点，三点比值就变了，是不是？是真好好打对吧？对，刚才我们是用路程比 时间，现在是用时间，你看你这样比得八十分之一。可以可以，那八十分之一，刘伟峰，你告诉我们八十分之一表示什么？ 单位时间内的单位路程内的时间，对吗？对，对，这里写的，得到这样一个位置可不可以？可以，确实是非常的灵活，不过为了方便，我们是尽量用什么路程。路程时间等于速度。真好， 好，这个是刚才同学们的讨论。先，我给你看这两张表的结论，现在说了哪几点你还记得吗？三点，嗯，第一点。第一点是什么？你说两种相关联，嗯，都有两种相关联的样。好， 我们给他简化一下两种变量，同意吗？同意。好，那第二个特点找他再补充一下。左上联，他们的变化方向相同。怎么个相同法？同时扩大，同时缩小。好，我们能不能减记四个字，同座，同座。嗯，真好，好， 第三个一起说，笔直溜溜，哎，他们的笔直溜。 好，这三个就是我们正比例的特特征，能记得住吗？能， 了解了正比例的意义。那下面这个关系式我可以这样说，彩带的单价一定总价和数量 是成正比的关系，总价与数量成正比的关系。好，仿照这个说法，谁能看着这个关系式来说一下。说一段话， 柴子曰，据说行驶的速度一定路程和时间成正是成正比例的量，路程和时间成正比例关系，所以成正比例的量肯定是几种量，两种，两种是两种相关的量。嗯，真棒，好， 下面考考你们，我们来练一练，看谁熟悉。好，第一个，看这个表，看出是哪两种量来了吗？ 好，表中总产量和时间是不是两种？是吗？是。好，咱填上第二个。他们的笔的笔直表示什么？ 表示什么？张秋，他们的笔直表示总产总产量时间所得到的那个笔直表示什么？谁补充，你说是每天运的吨数，每天生产的吨数非常棒。 这个笔直，也就是，也就是，也就是，好，所以谁和谁成什么关系，同意吗？同意，嗯， 同意吗？嗯，同意。好，在这看由这个表格，你看我这其实就得出来一个关系式，然后就能看出来他们的这两种量是不是成正比。正比。嗯，真好，那下面就请你直接看这个表，看他们的关系来写一个关系式。相当行 李九七，因为圆的周长，它的值，它的直径等于圆周率，圆周率一样真好，所以，所以圆的周长和它的直径成正比关系，同意吗？同意，非常棒。好，通过这两个练习，你们看 不仅总产量和时间这两种事物之间它成正比的关系，而且我们的什么数群 中，柳元的直径和他的周长也是成正比关系。其实在我们生活中还有数学中有怎么样许多的正比例关系的例子，你们能来举一举吗？ 谁来试试？谁来试试？刘子瑜，一个菲林自然数和他的倒数成正比可以吗？可以。好，别人王海涵，每米竖高的影长一定影长和竖高成正比关系，但是影长和竖高有一个什么前提？得 对，同持同币。对呵，太慢了。还有吗？还有吗？你说牛奶的袋数一定每袋牛奶的质量与总质量成正比关系，非常棒。还有想说的这样嘞，每行的行数，每行的人数一定总人数与行数成正比例关系， 对不对？对，还有老铁们，除数一定非除数和商成正比例关系，同意吗？同意，同意。好，还想说吗？没有，同学们说的很多了，没关系，今天作业咱还有要求了啊。好，通过刚才同学们的举例，你们发现了吗？其实判断两种量是不是成正比例关系，关键我们就 表示他们的一直代表他们的一直一直，千万要记住，这个 k 是 一定一定的，能理解吗？能，好， 同学们，你们知道吗？正比的关系我们还可以用图像来表示。 好，这是我们认识的方格图，你们看，这是我们刚才研究的那个其中之一，那个表，对吧？嗯，好，那现在我们用横轴表示什么呀？负数的彩带数量，纵轴表示彩带的总价，总价。好，那么现在 我们把表中这两种相关联的量啊，每组相对应两个数看作 一个竖对。仿照我们原来学过什么折线统计图的那个描点方法，然后在这个算点，对吗？能理解吗？嗯，好，行， 下面我们另一下，根据图像判断，不许计算。如果买九米，彩带总价是多少？九米在这呢， 谁能快速判断出来？李子环下面是三十一点五，同意吗？同意。 那下面四十九元能买到迷彩带，你看四十九，对，对，这个数量应该是多少，看出来了吗？不延迟十四，同意吗？同意，非常棒。好， 出示税。好，找个人说一下理由。为什么选税留意你说。先求出单价。嗯，用五除以一等于五元，因为用了九吨水就用五乘九等于四十五元， 同意吗？同意，如果我不计算行不行？可以可以，八的时候是多少？四十？四十，因为七的时候是三十五，对吧？对，往上再推五到九，再推五，对吧？对，真棒，好， 恭喜你们过两关了啊。最后一关，细心研读拓展填空来第一个看题，他们本身 ys 就 成正比关系了，然后连了一组， 好，谁能说说怎么做？怎么做？刘伟峰，你说可以先指出 y 和 x 的 比值，嗯，七点五比三，它们的比值是二点五，那么 y 等于是二点五时，用 y 除以二点五就等于 x， x 是， 呃，五，同意吗？同意，非常棒，因为求 x 相当于求分母，所以做乘法对吗？对，嗯，很棒， 那你看到了吗？他对应的这个什么？对应的多少？二百？二百，非常棒，这点二百，同意吗？同意，好，那么行驶七百二千米， 看到了吗？在哪看到了吗？有了，在出一个。哎，对对对对，好极了，所以我们应该需要多少小时？九小时。嗯，好极了，恭喜同学们都给我挂了，学的怎么样？感觉？那么下面刘老最后在。

我在我的多年的教学中一直是分层教学的，今天讲一个新的知识，讲完了大家在同一个起点上做基本练习题。但是这时候在我的心中有三部分学生，优等的学困生，还有一班的一班同学就可以做这题。 优等生干嘛呀？你们把我卡片上题做了，作业都可以不做了，给你们几张卡片研究去吧。学习有困难的，没听懂的跟我一起来当场处理。另外适当的小锅饭必须有，有一段时间他不行了。那你就那一段时间补补课，跟家长商量好。

哎，同学们好，冯老师好好，请坐下 看这一体机。今天我们学习的内容是正品图像。首先我问大家，图像什么意思？ 生活中各种各样图像，比如说拍张照片，图片对不对？数学中的图像我们知道哪些？ 有几张？呃，折现统计图，折现统计图，哎，一个图不错，还行， 你说方形统计图？对呀，善行统计图，都是统计图。除了统计图还有呢，我们来看好不好？这是一条直线，上面有很多一点点一点可以表示， 比如说这是零，往这边来，知道说一二三等等，这些自然数对不对？往左边数， 负一、负二、负三，每天有很多，你看非常公平，把所有的整数，甚至于小数和分数都能在这个直线上 表示出来，你看这就是个线，你除了像这种一条直线，还有两条直线，我们数学上把这条直线通常叫做这条横线， 横横肘，那这条就叫做动肘。看，这两条直线构成了一个方格图，如果我在这个方格图上 秒一个点一，他表示一个数，两个数，一个一个数，一个数表示一个什么数数？对对对，第一个一就是 横，走上这个一表示第一列，第二个一表示重，走上这个叫第一好，是不是？可以？我们学过确定位置也是一个图形，对不对？来，我请一个同学，分别在图上描出这五个点， 会吗？来，宝贝，你上来，用你的手秒出来。嗯，好，我把他刚才秒的点秒出来。 是不是这样的五个点是想一想连成一条线，什么线？线段？线段是不是直直的？哎呀，真神奇，数学，你看 他的形是这样的漂亮。那今天我们要讨论的是照比例图像， 他又是一个什么样的图像？我们来研究这样一个题目， 这里有两种数据给了大家，你可以看不清上面的数据，因为比较小，可以看你这个。但是这里有三个要求，我们先抬头看啊。第一个要求是判断这两个表 中的两个量是否成正比，为什么要判断呢？然后还说说你那个图上方格纸横轴和 正动作所表示的含义。第三个就是在你的方格图上面描出相对的点，并且连接起来， 明白吗？好，这样，嗯，我们时间关系呢，请大家小就不叫小组，叫同桌，两个同学商量一下子，一人换一个好不好？你选择谁？我选择你同桌的两个同学。好，现在开始。 嗯， 秒点压，你要想清楚啊，秒出三个点压要连起来呢， 对不对？看要求，要求在大马路上， 朱墨轩很认真，很细心。

一年一度的思路，万国商贸大集即将开市，这是我们商队跨越千里、扬名立万的绝佳时机。 作为商队新任的掌柜，这次跨越茫茫大漠的所有物资筹备和路线调度全由我一人负责。大漠千变万化，我必须有一双能看破规律的慧眼。 哪怕这大漠里的情况再复杂，我也一定能理清头绪，把咱们商队安排的妥妥当当，准时抵达大吉。出发前的第一件大事就是采购整齐划一的商队木箱。这可是个精细活，我该怎么才能快速算清楚所有的账目呢？ 专门定制的这批正方形木箱，随着购买的数量不断增多，需要支付的通宝钱币也越来越多，购买的数量在变，总价也在变， 这数据也太庞大了，大家快帮帮我，这里面是不是藏着什么不变的规律，能让我一次性把总价算明白呀？ 货物装好了，接下来得准备掩盖货物的正方形防风帆布。帆布的边缘越长，整块布的面料就越大。 不对劲啊，帆布边长只多了一点，怎么整块布的大小却变大了这么多？这和刚才买木箱使的规律完全不一样，这是怎么回事？ 最后一步，核对行程，我们的骆驼队伍每天行进的步伐极其稳定，这羊皮网格图上记录着我们前三天的脚印轨迹， 奇怪，前几天的行走轨迹在网格上连成了一条笔直斜线。顺着这条线，你们说，我们能猜出十天后商队会到哪里吗？ 见证奇迹的时刻到了。当两个量成正比例时，他们在网格地图上描出的点，只要用尺子一连，竟然都在一条笔直的斜线上， 太完美了！货物毫发无损，形成分毫不差。历经千辛万苦，我们终于顺利抵达了万国大吉。面对变幻莫测的大漠与繁杂物资，能看破表象，直击本质，方可成为商队领袖。 这眉间骆驼徽章，我们当之无愧。我彻底明白了，纵世间万物变幻，只要找到其中不变的纽带，就能掌握一切规律。这次的大漠巡归之旅，真是一场酣畅淋漓的大丰收。 历经千辛万苦，看破变幻莫测的表象，我们终于找到了大漠中那条笔直一定的不变真理。这节课，你最大的收获是什么？

今天实的在认识这节课，他的兄弟姐妹在哪里？我们在背这节课的时候如何去完成结构的建立？ 那大家看一下，我上的是人教版教材第四单元，第一侧的第四单元， 前面已经学了识的认识，加减法写，这都有了。第四单元是什么？题目是什么呀？老师们有一年级老师吗？ 人教版第四单元的单元题目是什么？真好，大点事告诉大家，十一到二十的认识， 十一到二十的认识，但是打开第四单元，十一到二十的认识，他不讲十一，不讲十二，不讲十三，不讲二十，扑面而来的是重重的笔墨。第一节课讲的是十的再认识， 这是今天我们一个重要的调整，我们现在只发了第一册教材，对吧？第一册教材有三个 特别重点的地方的调整，增加的一个就是识的再认识，原来没有， 就一股脑学完识就完了。还有一个就是传递性，呃，北师版那个就叫挖红薯，呃，人教版那个就是那个，再添上几就相等了 啊，就这两个重点，还有一个就是游戏课怎么上，就是衔接课，就这三条，大家把它压住了就好。

好了，孩子们，一会我们就要上课了，我呢姓吴，你们怎么称呼我吴老师，你们我还不认识呢，怎么办啊？ 嗯，我的名字叫何思晨。我知道你就赐我干嘛？我的你们就要赐我。 我介绍一圈是吗？该下课了，不介绍了，我们一会上课的时候，你争取积极主动的表达自己的意见可以吗？ 可以，不用其他，点点头就行。呃，你一表达意见，咱们一交流，彼此不就熟悉了吗，对吗？嗯，我今天上课写错了，说错了，有事没事， 没事，真的没事，课堂就是我们出错的地方，那么我们错了，大家一讨论就清楚了，对不对？ 那好，我们就准备上课了，可以了吗？可以呃，上课的时候同学们尽可能的大一点声音来表达自己的意见好吗？好，准备上课， 上课起立，老师好，同学们好，向客人老师问声好。 好，谢谢老师们，谢谢。请坐，同学们，这节我们上什么 课？数学课，数学课，数学课，我们经常会解决一些问题，对吧？今天呢，我们继续解决问题。我想问大家， 你们平时的课外小组，比如说体育方面都有什么样的课外组？ 学校课外小组就是三点半以后的活动，你们会男孩子会踢足球，这不就是体育活动吗？踢足球，打乒乓球，乒乓球 跳绳，这两天沙头比赛你看了吗？啥？啥都不知道啊，哈哈哈。啊，知道 这两名啊，莎莎打乒乓球就是啊，你都不知道。好了，同学们，我们就说说体育赛事的事，好吧，比如说你们是五年级， 一般我们班的男孩子要去和我二班的男孩子做一场比赛。比什么呢？足球比赛当中有一项非常让人激动人心的一个技术的比赛， 叫做要罚罚点球，对不对？假如我们班要选出一位同学 去参加和二班同学的发点球的比赛，那么选谁呢？我先说说，我不知道你们的名字，我就假设一下可以吧。可以可以，贾同学，他呢是足球队长 李同学，别提多刻苦了，在足球场上刻苦练习比同学很灵活。 这三位同学我们只推荐一位代表我们班去参加学校的罚点球的技术比赛。这三位你打算推荐哪一位？喊出来。 笔啊，你推荐谁？笔？为什么啊？因为笔很灵活，灵活。还有呢，你推荐谁？大声声啊，笔，因为他很刻苦，你呢？ 大声音，我想推荐贾同学，有此时此刻不表态的人吗？我现在不好说。有这样的人吗？你们都选出来了， 你，你选了吗？你选人了吗？你也选了，你坐下吧。我没有，没选呢，我现在你们要想选。哎，这个女孩皱着眉头一直在举手，我看见你了，就是你，你选了吗？没有， 人家都选。哎，这呢，同学们，前面也没人，你们找谁啊？哈哈哈 哈哈哈哈。嘿哈哈哈哈，在这说话呢，前面没有人，哈哈哈，咱们都正常说话，不是叫你来，哈哈哈，那那个女孩你找谁呢？哈哈哈， 谁说话看着谁行吗？哈哈哈哈，谁说话看着谁，我们在这说，哈哈哈，好，人家都选了，你选了没有？没有，他没选， 咱们要选那个罚点球比赛的，一定是得那个同学罚的。什么叫好 成绩？什么成绩最好就罚点球，怎么就成绩最好了？让你罚十次，你得罚九次，哈哈哈。什么？中中十次？ 中几次？十次？哦，就是中的得多对不对？你们都选完了，他没选， 咱们听听他的意见好吗？你为什么没选？因为大家都有自己的优点， 因为贾一品都有优点，不知道怎么办？是这么不选，你回去吧，还有没有说你也没选，拿个话筒回头看。你为什么也不选？ 因为我们要用中球最多的选手， 可是现在我们不知道他们各可以种多少个球，你们知道这个数据吗？知道，就因为他队长就选他，因为他刻苦就选他，你们要选的人得是什么样的人？ 种球怎么样？那那那在哪呢？那个 啊，你说什么？让他们三个人比赛，这不就是睡醒了吗？为什么叫他比赛啊？他一比赛你们就有了成绩，成绩不就是那个中 中球最多的那个数吗？那个数据不就有了吗？对不对？你们就一拍脑袋就做决定能行吗？不能来你帮我记一下。 来，我呢，让他们三个人，甲乙丙 每周来呀，女孩每周都让他们练习，早上起来练习之后每个人都给十次机会，可以不可以？可以，从星期一 到星期二，星期三，星期四到星期五，每天训练完了以后给十次机会。那么现在我们就记一下假，星期一给十次机会，中了两次写个二。 哎，星期二中了六次，以此类推，一四 七乙，这五天是四五四五五，丙是二三四五五， 每个人都是十次机会，现在他们中的机会大家看到了吗？这是讲心机起劲的。 一，这是饼，星期几斤呐？二，都会看这个信息吧，会好，数据来了， 有办法了吧。还算呀，选谁呀？不能拍脑袋做决定。我知道你们口算呢是吧， 你也算回去算去呗。回去算去。好，算完了吗？算完了 你都算出来了，假，这一桌进了多少个大点事？二十个，二十个，你给他写到前面去，你把你算的写到这哈，他进了二十个，写到这好不好？写大点啊。以呢，你算完了 多少个？二十三，接着接着二十三个。一饼呢？饼借了多少个？大点声饼， 二十个，饼也二十个。哦，饼不是饼，是多少个？快算口算多少个？十九个，十九个 都算完了是吧？哦，你求的是什么数？大点声？平均数，你别着急了，大家看看刚才你们迅速的 得到了二十二十三和什么十九，谁进球进的最多？ 大点声，你，你们是这么判断的对吗？选谁？你每天都让你有十次机会，人家累加起来是二十三次的进球 他最高，但是这个同学不是比的总数，你比的什么平均数？哎，他比的平均数，那我们来看看甲平均每天进了几个酒几个四个乙呢？ 四个肯定比四个要多。那我就这样好吗？十九肯定比四要少。哎，这个男孩用平均数谁的平均数最高？ 喊过来，你，你选你。我听懂了，同学们有了数据， 这个数据会张开嘴巴说话，他会告诉你，这一周五天累加起来我第一，你老二，你老三。比总数可以吗？ 可以可以，比总数可以不可以可以，那比平均数可以不可以？可以。好了， 有事吗？那咱这课就可以下了，咱今天的任务就是选出一个人就够了，什么事都没有。 这样吧，或许一会你干着干着就有事了，课堂要不断的有事。好吧，我的数据是出来了，我们能不能把这个数据记录在学习当中的？ 你们每两个人一个小组发了一张学习单对吗？如果你不够你就跟我来要，我这里还有一摞学习单，你说我们组不够你就到前面来取来好不好？ 能不能把这些数据记录在学习单中，当你记录完以后看看有没有新的调整，听懂了吗？两个人商量商量你准备怎么记录。甲乙丙 不够了你就跟我来要，我这还有学习单要几个？ 这几张三张来呀。哦，要三张。那个你要三张 你要可以，没关系，假一张以一张你也要？那拿去吧。 你们都要是吧。要，再要两张哦。再要两张你也再要两张。哎，你们要要要，你也要两张， 你们俩要吗？不要，你去问问人家为什么不要去。哈哈哈，我可以给你，你不采访采访他们俩不要，你要吗？要给你。你你不问问人 他们俩不要你们也不要是吧？你们也要再要两张？不要的举起手来我就一张纸搞定， 问问人家怎么不要。当然我可以给你们，但是假如我不给你，你就没有办法把这三个人的数据记录在一张学习单中了。你们有这经验 有这经验你实在没有办法你就来吧。你有办法再想想办法好不好？好，不要了。好，哈哈哈， 看谁呀，数据都在这呢啊。 自己想办法非要要的你就来啊，我这有的是纸啊。哈哈哈， 来这一次。所以我想听我们老师的课，就是每次去听我们老师的课就会觉得这个课堂真的是不是很放松。对，然后学生又能跟着进来， 而且我看到我们老师，我就想到陈老师在，那个老师一口饭皮，老师要批评你的一口饭皮就完了。 你看那个前面的指甲，几颗手机指甲，看到没有？