如何做七下的四种三角形尺规作图

孙老师一讲，豁然开了做斜线段的垂线诀窍，其实藏在斜线段下方的直角三角形， 好尺规作图的第三种作图知识，做垂直啊，我分别给了两个要求，第一，过 b 做一个，过 d 做一个啊。已知线段 a、 b 都是隔点，那最简单，这种就是竖着的。过 b 做 a、 b 的 垂直太简单了， 横着就来了，因为我就是利用我网格中本身有的属性，那过地仍然是一样啊，过地做垂直还是这根横着的线，而且这个 d、 e 和 bc 还是平行的啊，因为他和他平行， 那它垂直，这个也是垂直，很好正啊。当然考试不会考这样的垂直，因为太简单了，但是它结实了一个本质，我们所有的作图是依据网格线自带的属性以及条件 a、 b 所自带的属性啊。 同样，你看第二个图，有人就开始犹豫了啊，还是现在 a b， a b 都在格点上哎。过 b 做 b c 垂直 a b， 这个时候这个 a、 b 就 跟它相比就歪了。这个倾斜的嘛，但是这个倾斜是属于倾斜里边最板正的。为啥？你看它下方 的直角三角形，你这是二，这是二。前面我们讲过倾斜的线段，它最重要的特征，它下方藏着直角三角形。那你这不就是四十五度吗？这是一个等腰直角三角形大横角板吗？过 b 做 a、 b 的 垂线，你是对角线，我也画对角线呢， 这是很像啊，没得问题啊。这你看这边也是二，这也是二，这个角也是四十五，四十五，这不就剩下一个九十吗？ 所以也很好做。如果是过点 d 再做 a、 b 的 垂线呢？我按照刚才属性，哎，我可以做垂，如果看不出来，我可以做平行。 我跟 c b 平行，那不也是垂直吗？ c b 平行， c 到地往左走一个， b 也往左走一个，所以我连接这个点。哎，这还是垂直的啊，平行平行，垂直同样也倒过去。 而且你发现 d 的 地方，它也是个对角线，这儿也是个二，这儿也是一个二，也就是说，我还是抓它下方藏着这个直角三角形 啊，当然这个是对角线型的，很简单。第三种就有一点点怪了啊，线段 a b 都在格点上，但是这个倾斜程度啊，比这个更陡，哎，这时候你咋过？ b 做 a b 的 垂线， 你用尺子靠，只能得个大概方向啊，不准确，一定要把理由想清楚。此时你一定要想起来，对于倾斜线段，它一定含有特殊的属性，要抓它下方 藏着的直角三角形，这是二，哎，这是一下面的做法就有一点超纲啊，因为它其实属于八年级上学期的全等三角形。我先说结论啊，在这边找一个点格点 a 一 连接 这个点就是我要的 c， 为什么？因为 bc 下方，我也是通过另外一个直角三角形找到了 c， 这是二和一， 哎，你会发现二一这边也是二一，这两个三角形是完全一样的啊，我们称它叫全等三角形，这个符号全等八年级的知识。 那既然完全一样，哎，我设它是 alpha， 那 这个角就是九十减 alpha 嘛，因为三角形内角和它是和为九十度，这个角呢，也是 alpha， 这时候你发现了 九十点， r 法， r 法，这不就九十度吗？这是一条直线，所以他就是九十度啊。所以这个证明过程有一点点超纲，那他的策略在于，你是横一竖二，我跟你反着来，我横竖互换，我横二竖一，刚好造成一种旋转的感觉， 组成了九十度，这就是他的核心策略。那你如果想过 d 做 ab 的 垂线，其实没区别，为啥 所有和 ab 相垂的线，它本质上都是下方藏这个横二竖一？你看我画一个啊，第一跟 ab 像不像垂直呢？ 像也很好正。为啥第一和 bc 是 一个平行关系，那 bc 和 ab 垂直，第一和 ab 也垂直，当然如果是过 d 画 ab 的 垂线，这个图就没画完。为啥 垂直？它是相交的一种特殊场景，所以这时候你应该把 ab 给延长了啊。现在你再看就很像了啊，因为 ab 和 bc 是 垂直，没问题，我们正过了这边平行平移下来的嘛，九十度，这也是九十度。 明白了这个方法，你可以给我任意的格点做 ab 的 垂线，你只要保证横二竖一都行。你比如说我，随便搞一个，搞到远点过 m， 哎， m n 一定也是垂直 ab 的。 为啥你看 m n 和 bc， 这不就是平移过去吗？右一上三，右一上三， m n 和 bc 平行，那 bc 垂直， m n 也垂直， ab ok， 当然由于垂直需要相交，所以你延长一下，你看也很像， ok， 最后一个用来练个手，你可以自己先画一下怎么过 b 做 ab 的 垂线还是一样， 他看起来更抖了，但是我找他下方的直角三角形，这是三一，你看啊，你是横一竖三，我就跟你反过来，我横三竖一，从这找个三上一，哎，这个点找到一连接， 这就是我要的 c， 你 看像不像垂直？非常像了，这个角是 r 法，这也是 r 法，因为它是完全一样的直角三角形，然后这个角是九十减 r 法，因为你就是一个直角三角形，内角一百八，那 r 法九十减 r 法，这就是九十度就出来了。 那你既然可以过 c 座，你可以过任意的格点，比如说咱们选一个吧，比如说 m 做 ab 的 垂线，没区别，仍然是一个横三竖一的，这刚好就到 a 了，你看这更像了，对吧？九十度非常像， 而且 am 和 bc 也是平行的嘛，右一上三，右一上三，平行，它垂直，它也垂直。当然这是我为了方便大家看，我做了很多额外的标记， 考试中这些多余的线要擦掉的，现在你看整个图就清爽多了啊，痕迹可以擦掉，但是什么不要擦呢？这些关键的格点，你在考试中为了更清楚的表达，你可以专门在这涂一下啊，以告诉老师你确实是过了这些关键格点， 改卷的时候也就是抓你是否过了这些关键的格点。好，最后我们总结一下如何做垂直 横竖，现在就不说了，不会这么考，太简单了。任意的斜线段的本质在于你要找斜线段下方的直角三角形，比如说 ab 下方横一竖二， 然后你跟他横竖反着画，你是横一竖二，我就是横二竖一。关注梳理黑板，现在下课。

中考不想失去指挥作图的三到五分，一分钟帮你搞定全部指挥作图！我们第一类是做一条线段等于已知线段。第一步，我们是做一条直线，在上面取一个点 a， 以点 a 为圆心， a 为半径，画圆交于一个点 b， 那 么 ab 就是 我们的所做的等线段。 第二类，做已知角的角平分线。我们第一步是以顶点 a 为圆心，任意长为半径，画圆交角的两边与 p、 q 两点。第二步，我们分别以 p、 q 为圆心，大于二分之一， p、 q 长为半径，做圆交于点 m。 那 么第三步，我们连起来， an 就是 射线， an 就是 我们的角 b、 a、 c 的 角平分线。第三类，我们是做已知线段的垂直平分线。 第一步，分别以 a、 b 为圆心，大于二分之一的 a、 b 长为半径，作圆交于 p、 q 两点。第二步，我们连接 p q， 那 么 p q 就是 线段 a、 b 的 垂直平分线。第四类，我们是做一个角等于已知角。 第一步，我们是做一条直线，在线上取一个点 o 撇。第二步，分别以已知角的顶点和 o 撇为圆心相同的半径，画一个圆，以已知角交于 n、 n 两点，以直线交于 n 撇点。 第三步，我们就以 n 撇点为圆心， n、 n 的 长为半径，画圆交于 n 撇，连接 o 撇， n 撇构成的角就是我们的已知角相等的角。 第五类，过直线外一点，做已知直线的垂线。我们第一步以点 c 为圆心做弧交， a、 b 于点 e、 f。 第二步，分别以 e、 f 为圆心，以 e、 f 的 长为半径，做弧交于点 g。 第三步，连接 c、 g， 那 么就是 ab 的 垂线。 第六类，已知三边做三角形。我们第一步做一条直线，在上面取一个点 a 撇，以它为圆心， a 的 长度为半径，做弧交直线于点 c 撇。 第二步分别以点 a 撇和 c 撇为圆心，剩下的 b 和 c 的 长为半径，做弧交于点 b 撇。第三步连接这三个点，那么就是我们所要求做的三角形。

的心，勇敢大声 降落了水，胜利的歌，我也赞成一杯。

如何使规作图做特殊三角形中一条边的三等分点？

好，第一个视频我一定要非常认真的给大家解释一下，啥子叫尺规作图，括号七项。 你别看我这只放六个字啊，它分为三个部分，第一，什么叫尺规？第二，做图是做什么图？在哪做图？第三， 七下要做什么？先介绍尺规，在七下这个阶段，我们就用了一个工具，叫 无刻度尺尺。这个规是啥？是圆规，等到八年级和九年级会用到啊，所以七下就是一个东西。那无刻度尺尺，这是我们第一次碰到这个说法啊，你一定要明白 无刻度是啥意思，直尺是啥意思啊？他们都有潜台词的，无刻度的潜台词是无长度， 你再也不能像小学的时候一样，你画一个长五厘米的线段了，没有了，你也不能用你的尺子去量一根线，然后告诉别人他有多长。不行，我们是借助网格的数量来去算他的长度了啊，所以尺子 画不出来长度，也量不出来长度了啊。第二个，直尺，明明我们买了一套，里面除了有直尺，还有三角板呢，为什么只让你用直尺？他的潜台词是 无角度，你不能再用三角板做出一个三十度，六十度或者是四十五度了啊，当然你更不能画九十度了啊，因为有些同学很激贼啊！老师，直尺我太擅长了呀，虽然无刻度，但是我自己买的尺子上面有刻度啊， 我拿那刻度一对齐，这边一竖，不就是画了垂直吗？不行，你画的那个是你假想的，我们不认可。 那这无刻度尺尺又量不了长度，又给不了角度，那它到底能干什么呢？ 他就干一件事，画直线。有人心里肯定笑了，画直线还用你来说？不是的，画直线也分两种，你有没有注意到这个事情？你去查你的题目里边，他会有两种线，实线和虚线。那什么时候画实线，什么时候画虚线？我们只有一个原则， 对于结果用实线表示，所有你辅助得到结果的过程，用虚线表示啊。 当然，实际做的过程中我已经发现了啊，由于大家刚开始接触尺规，做图东西又很杂，往往很多老师在过程中并没有严格要求说必须画实线，必须画虚线啊。 所以稍后我们在具体讲题的过程中在解释啊，怎么去判断画哪种线啊？好，我们知道了无刻度支持，不能干什么，能干什么。但这些话并不能劝服大家，因为实际答题过程中出现了大量的伪证， 这是在其他类型知识里边很少出现的，计算题也没法伪证。当然选择题会有人会猜了，几何证明题大家限阶段要么算不出来，要么也做不出辅助线啊。简单题也不需要你伪证了。但是在此规作图里边大量存在， 我称他为马良派神笔。马良嘛，你画什么就成什么啊。这其实都叫伪正，伪正就两个特点，第一，无作图痕迹。举个例子，这是一个边长为一的最小的正方形方格。 哎，真的会有人突然点一个点，他说，老师，这就是我找的终点，上面是零点五，下面也是零点五，请问 你都没有刻度，量不出长度来了，你凭啥说这就是终点啊，所以没有做出痕迹。第二，无几何逻辑。举一个例子，以这一条线段让你过 p 做 ab 的 垂线，哎呀，你偷偷的拿出你的那个有刻度直尺， 非常像模像样的，感觉上是个垂直，而且你还非常贴心的标了一个直角符号，告诉老师，你可一定要相信我哦，这是个垂直。 不行，你没有证明你这个垂直是怎么得到的呀，所以这些 伪证都会导致你的分全扣了。刚才第一个关键词是尺规，第二个关键词叫做图，我有把它分为两部分，第一，在哪做图？ 第二，做什么图？我给了一个典型的图啊，这种图我们称它叫网格图啊，当然你会发现我这里边没有给什么 坐标系，当然加一个坐标系很简单， x y 轴一画就变成坐标系了。网格图里边有两个重要的词汇，你得明白啊。第一， 这些虚线叫什么呢？它叫隔线，网格里边的线叫隔线，然后两条隔线的这些焦点，它的名称叫隔点啊。 而且绝大部分时候它是用单位长度为一的小正方形组合起来的，所以我能够自带它的横竖方向的长度，你只用去数格子就 ok 了。 同时由于它是正方形，你确实能得到这里边的九十度啊。这是隔线和隔点的介绍等等。差点忘了，一种天才型，马良选手，他嫌题目给的网格图不够大， 自己手动人工扩大了，真是个天才。第二个， 做什么图？这我们就主要说七下了啊，因为尺规做图会从七下开始，伴随你到八上八下，九上九下一直到中考，所以它是一个非常庞杂的一个知识体系啊， 在这我会把知识结构做个介绍啊。第一种最简单的能做平移，它也是我们在坐标系里边学了点和线段的平移的知识过来的。 而平移是有两个考察方式，第一，平移扫过的面积，不管是线段扫过还是很容易错的一个三角形扫过的面积啊，还有一个小小的坑。平移的线段之间到底是什么样的关系啊？这是第一个，第二个， 有平移就能够做平行啊，因为平移就能产生平行，而平行又分为两种难度，最简单的大家最擅长就是做格点线段的平移，比如说 我的线段 ab， 两个点都在格点上过， c 做 ab 的 平行线就非常简单。但是还有一种很怪的叫非格点线段，比如说 图中给了我 a 和 b 这条线段过这一个 p 做 ab 的 平行线，此时你会感觉到很麻烦，因为这个 p 不 在隔点上，它在隔线上。 如果说平行和平行是比较基础的东西，那么到垂直这块就有一点超纲了啊，严格来说，它属于八年级上学期的一个东西，因为它用到了全等三角形的背后逻辑啊。 但是在期下确实有些题目超纲让你去做某一条线段的垂线啊，我稍后会详细解释这背后的逻辑啊。 还有做角度，做角度其实是从平行延伸出来的，因为我们说过，你的指尺你画不出来度数，你只能靠什么？靠平行能得到那三线八角的关系啊？ 所以一看到角度，我们就要想到利用平行关系。同时麻烦的是，很多同学看到刚才的网格图之后，他把平行里边两个最重要的东西忘了啥呢？ 拐点和射参就是单独让你去正平行或做平行的推理的时候，你都会一旦放到尺规做图里边，这两个东西你就感觉失忆了一样。 最后的最后是尺规作图里边最难的一类做面积，它又分为两类，第一类叫平行等积，让你去找一个特殊的点，满足 s 一 等于我的已知三角形的面积到底有多少个这样的点，你应该见过这样的题。第二类 是让你补一个点，满足特定的值，比如 s 三角形等于四点五啊，这里边的花样非常多， 好简单做个总结。后面的视频我会用各种经典题型把这五种知识讲透，同时在讲题过程中把各种马良派的风格错误案例做一个展示， 来解释为什么会扣掉你的分啊。关注梳理黑板，现在下课！

好，我们来看第三题啊，综合与实践，这是一个张俊一嘛，来看一下，他说是如图二。小亮，他说过 b 点关于他对称点，然后连接 ab 撇与直线 l 交于点 c， 那 么这个距离最短，为什么呢？ 他说点过点 b 做对称点，然后连 c c 撇在这个 l 上，你看这样子啊，对称过来，那么 c b 就 应该等于 c b 撇 啊， c 撇 b 呢，就等于 c c 撇 b 撇啊，就是它等于它，它等于它，然后那么 a c 加 bc 啊，就应该等于什么？ a c 加 c b 撇，也就等于 ab 撇。 那么在三角形里面，我们知道 a c 撇加 c 撇， b 撇是大于 a 撇 b， a b 撇的，也就是 ab 撇是小于两边之合的， 对吧？两边之隔大于三边，那么所以我们可以发现把它再还原回去，那么他加他就是 ab， 就是 什么？ ab 就是 他加他，也就是他加他，所以 a c 加 bc 啊，就应该是小于什么他加他，也就是他加他了啊，出来了，就， 也就是说任意在在这个上面啊，除了这个点之外，除了这个点之外，其他的点都比这个，呃，两边加起来都比这个 a c 加 b c 大， 所以它就是这个点，就是最小的一个点啊，理解这个逻辑吧。好，我们来看下面啊， 第一个，他说将军从 a d 出发啊，先从草地某边 某一处的木马啊，再从河边引马啊，那么最后到了 b 处，设计一条 路线啊，也就是什么先到草地上，然后怎么样啊？再到河边，然后最后再到 b 处，对不对？就这三段加起来最小，那怎么做呢？还是一样跟上面学啊，对称就行了啊，我们直接讲啊，直接走，直接做了啊，过 a 点做一个对称点， b 点对做一个对称点，然后把这两个一连，然后这样子就可以了啊，哎哎， 就这样就行了。好吧，这样子啊，啊，就这样， 好，下面一个如图，五 p q 两个点有一个河，且这条河的宽度处处相等，从 p 村前往 q 村要经过这条河啊，现在从这条河上照一个桥， m a， 使得这个 m a 建在何处，使得这个路线最短。也就是什么 从 q 点选到这，然后桥怎么样啊？桥和这个垂直的，然后再过来的啊，就这三条线加起来最短，我发现这个桥啊， 固定不变的，也就是这两条边加起来最短。那怎么办呢？这里的话跟这个有点区别对不对？人家直接对称勾线就行了，这边 c 点在一起了，这边怎么样啊？分开了，那怎么办？我就把它给 拼到一起去。怎么拼到一起去？你看这两个点有什么关系？平移上去了，所以我把这个 q 点整个都平移上去啊， 这样子叫 q 一 撇，然后把这个和这个一连就行了啊，那么这个点就是我们要找的点，然后 你看他加他加他就最短了啊，为什么？因为他加他就等于他加他，那肯定是什么贡献最短啊，明白吧？就先做个拼一就行了啊，叫拼一型。张俊英嘛，过了啊。

好，我们从尺规做图里边最简单的一个运动平移开始啊，要求将 a b 平移啊，这我简写了啊，右四上二表示向右走四格，向上走四格线段， a b 呢，是格点啊， a 和 b 都在这个格点上。 那很简单呢，往右走四格，一二三四，再往上走二 a 跑这来了， b 呢，也是一二三四，一二在这， 那对应的点就是 c 和 d， 然后连接 cd。 这肯定是要用实线啊，因为 ab 你 是实线，我这个结果也是实线，所以不要用虚线。 好，当然有人会纠结，老师要不要把那个右四那个过程画出来？不需要的啊，因为老师要不要把这个画出来，对吧？这是两部分嘛，先往右四，再往上二，这个不需要啊，你直接平移到最终的结果 cd 就 够了啊。第一小问，求 ab 和 cd 的 关系是什么？ 我猜你大概想写 ab 等于 cd。 确实啊，因为 ab 和 cd 是 一样的东西啊，我把它平移过去，它还是它嘛， 这样的话，你这一题就扣掉一半的分。因为我们有一个误区啊，关于关系，什么叫关系？我举一个例子，你和你的妈妈之间是什么关系呢？有母子关系，母女关系，还有啊，哺乳动物的关系啊，大家都是人 哎，我们还有中国人之间的关系都没问题，所以关系有很多种，在这，你是两条线段，他们的关系就两类， 一个叫数量关系，也就是 ab 等于 cd， 还有一种叫位置关系，你比如说我们旗下，那不就学了一个 ab 和 cd 平行这样的一个位置关系吗？ 所以这儿你只写这一种，就漏掉了别人问的关系，也没说是数量还是位置啊？你要把它所有可能的关系全部解释出来，所以它们俩具备相等，而且是平行嘛，你确实是平移过去的。那这两个关系怎么写在一起呢？你可以写汉字 a、 b 等于 cd 或者 ab 平行 cd， 但太麻烦了，写一个综合的 ab 平行且等于 cd 啊，这个符号你看你见过没有啊？可以合起来写的。所以总结，关系不止一种啊，数量，也就是大小，关系位置到底是平行还是垂直？我们在思考的时候， 两种都有，两种你都得写上啊。第二问， ab 扫过的面积是多少？那 ab 你 把它想成是一个刷子， 它在从 a、 b 移到 c、 d 的 过程中，它发出什么形状？从结果上来说，它就是一个平行四边形呐。哎，所以我可以去求这个 a、 b、 c、 d 的 面积。 那怎么求它的面积呢？方法非常多哎，你可以直接补一个大的长方形，减去这四周四个三角形 没问题。如果你胆子够大，你还可以发现这是一个格点，这也是一个格点。哎，我可以切割一下，也就是我们算面积的两种方向，我可以切，也可以补，你看两个三角形加中间，这也是一个平行四边形，所以可以去算， 但是错了。为啥呢？我们又陷到一个思维的误区， a、 b 是 移到了 c、 d， 但是 a、 b 是 直接这样斜着扫过去的吗？不是的呀， 它是右四上二这样扫过去的。所以如果你这样只看了起点和终点，你相当于忽略了它的平移过程， 按照平移过程才是他真实扫过的面积，所以我们把他的平移过程还原一下，他先是向右移了四格，这一节是四，然后再向上移了二 啊。所以这个毛刷子整个刷过的是第一个平行四边形，再加第二个平行四边形， 所以它的面积应该是这两个面积相加，那这个面积很好算啊，四高是一平四边形，四乘一，再加第二个， 这个底是二，高是三，二乘三刚好是十，所以这个空应该是十。当然这是我为了方便大家看，我画了很多线，包括涂了这个阴影。 实际在考试中答题卡，你不能这么画啊。如果你真的想表示他平移两个方向，中间做个过渡，你可以在右次这个地方画什么线呢？ 虚线。这就回到我第一个视频说的中间过程用虚线，结果用实线啊。 所以再做一次总结，尤其要注意啊。 a、 b 平移到 c、 d。 问，你扫过的面积，并不是它直接这么斜着过去的，而是按照真实的过程，它是右四，商二是分了两节去走，所以你应该算的是它真实扫过的面积，而不是从起点一口气直接平移到 中点啊。好，刚才我们学了线段的平移，再来看三角形的平移，将三角形 a、 b、 c 向下移四格。那图很简单呢，因为平移的形状，我还是去找它的三个点啊，我把三个点移明白了，一连起来不就是三角形吗？ b 往下移四格到这来， c 到这来， a 在 这一连接，就能出现平移之后的三角形了。然后他问我们，在平移过程中，三角形 abc 扫过的面积是多少？从图上一看，你这个 bc 往下一刮，这刮出来什么形状？ 哎，这是个四，这边也是个四，这不刚好是一个大大的正方形吗？所以它的面积就是四乘四，那不就十六吗？对不对呢？错的， 为么事嘞？和上一题不一样地方，你此时是一个三角形，整体平移。如果你只考虑了这个正方形，那只有这个 b、 c 在 刷，而 a b 和 a c 没刷呀。 你可以把 a、 b、 a、 c 想象成沾了这个老干妈那个辣椒油，它一旦往下一刮，你这一段全刮上了呀。你把 a、 c 往下一刮，这部分也刮上的， 所以整个扫过的面积应该分为两部分，正方形没问题，还有它自己内部的区域啊，这个 a、 b、 c 的 面积也很好算底是四，这边高是二， 所以它的面积应该是四乘四，再加三角形二分之四乘二，等于二十了啊。所以总结， 不同于一条线段去平移一个整体的形状，它在平移过程中，不仅是最外侧这个会直接刷出来，它内部的空间也会被刷上啊。一定小心！这作为一个基础知识，有的时候会出现在填空题或者选择题里边，给你挖个坑。 比如我随手画了个图啊，将三角形 abc 平移到 a 撇 b 撇、 c 撇， 还告诉你三角形 abc 扫过的面积 s 是 等于三十，让你去进行相关计算。此时你非常容易误认为扫过的面积只有右边这个平行四边形。其实不是， 这个平行四边形只是线段 a、 c 扫过的，而 ab 和 bc， 尤其是 ab， 他 在往右平移的过程中，他把这边也刷到了啊。 所以整个扫过的面积不是只有一个平行四边形，而包括原来这个字体的三角形。所以这个一定要小心。关注梳理黑板，现在下课！

看第四题啊，如图，在等腰三角直角三角形 a、 b、 c 中角 c 是 九十度， a、 c 等于 b c 啊。三角形 a、 b、 c 的 边， a、 c 在 水平直线 m 上，将三角形 a、 b、 c 沿着水平方向平移六个单位，在沿竖直方向，呃，在沿竖直方向平移三个单位， 得到 a 撇 b 撇 c， 那 么 b 撇 b 点恰好落在这个 m 上啊， a、 b 撇 a、 b 撇的长度是多少啊？你看啊，它本来是沿着这个是 a 撇，对吧？ a、 e 平移到它是六个单位啊，然后呢，向上平移三个，那么这个距离就，就是这个距离，就是什么？就是三，或者看 b 吧，就是 这个距离是六，对吧？这个距离就是三，那所以这个距离是六，那这个距离和这个距离是相等，因为它是个等幺二角，所以这个是三，这个是六，整个距离就是九啊。第一本是比较简单的， 我们来看第二本啊，他说 a 撇 b 撇 c 撇，是可以由 abc 经过两次旋转得到，那我们可以将正角形 abc 绕点 c 旋转一百八十度，把这个擦掉啊， 然后呢，再将旋转后的图形绕着某点旋转一百八十度，得到 a 撇 b 撇 c， 那 么画出呃，第一次旋转后的三角形和第二次旋转中心，也就是两次旋转，它可以得到 一个平移，对吧？那怎么弄啊？那第一个好，画过点 c 就 旋转一百八十度，就是把这个 c 延长一倍，然后把 a 延长一倍 这样子，然后这个就是 b 撇，这个就是 a 撇啊，然后把这个和这个一连 啊，然后把这个和这个一连，那么这个就是 o 连啊， 好吧，就这样做啊。第三个，三角形 a 撇 b 撇 c 撇，可以由三角形 a、 b、 c 经过两次对称得到，那么画出第一次对称后的图形和两次两条对称轴，只要画出一轴就可以了。 也就是说什么呢？两种对称怎么得到一个平移啊？我教大家一下这怎么做，记下来就行了。两次对称它等价于一个平移，或者两次对称等价于一次旋转。那对称两次对称怎么等价于平移呢？我们只需要找到一组对应点啊，比如说 b b 撇， 把它一连，然后呢两次对称的话，两次对称要得到两次对称，要得到一个平移 啊，要得到一个平移，这个两次的对称轴一定是平行的，一定要平行啊，不平行的话是得不到平移的， 只要他上交，他一定是旋转啊，所以他一定要平行，所以你下面就行了啊，平行的话就好画，一定要平行，与他垂直啊，与他垂直，不然的话你你对称轴。如果两条对称轴平行的话，你想先对称过来，再最终过来，他不可能得到 b 一 撇的，你要闭点两次之后得到 b 一 撇，所以你平行的话，一定是什么，一定是 一定是什么啊，一定是与 b b 点垂直的啊，所以这边可以找一个过 c 点，这边做一个对称，做个垂直就行了 啊，这是第一个垂直啊，第一个垂直好啊，这是第一根第一根对称轴，然后把它对称过来， 对称自己画啊，对称自己， 你看对称过来了，然后第二次就好画了，你对称过来，你就可以看得出来了。 a a 撇， b b 撇撇，下面一次会推出来，直接连接，直接做那个 b b 撇的一个垂直平分线就可以了，做它的垂直平分线， 这个是 l 二啊，其实就是，其实这条边它应该等于 b b 撇的一半啊，好吧，这就是 l 一 l 二， ok， 过了啊。

老师一讲，豁然开了，做特殊的角度关系，你可别失忆哦。靠什么呢？好尺规对照的第四个知识，做角度相等啊。我们以这个题为例， 先将 a 向右平移四个在上，一得到 a 的 对应点 d， 啊，我直接就画出来了， 没了。然后第二个，在第四象限里面找一个点 e 连接 b， e 还有 ad。 好， 我先把 ad 连出来，因为 e 还不知道在哪嘛， 哎，使得 e， b， c。 好， 我先大概画个草图，比如说这是 e e， b， c， 这个角等于 d， a， c， 这非常奇怪，因为隔这么远， ok， 所以 这时候我们回来想一件事情啊，我不可能用量角器把角度给量出来，因为你只有一根尺子。那这个做角度靠什么东西？ 我们整个七下就是靠平行倒角度，所以我一定要去分析在图中有什么是平行的。那他们都没有公共边，没有三线八角，没有平行线， 所以我先不管他，我先把他给搞出来，因为这是我已经有的呀，对吧？从已知条件出发嘛。而且我给他标个阿尔法，方便我看这个阿尔法有没有平行呢？ 刚好 a、 c 当公共边。你去看一下 bc， bc 和 ad 是 不是平行的？ b 到 a 又一上三， c 到 d 也是又一上三的，所以我得到 bc 平行于 ad， 这是通过这个平移得到的。那这个角不也是 r 法吗？ 哎，我就换了个角，换了个角之后，你再看 e， b， c， 哎，我再画个草图， e， b， c 如果等于这个角，那它也等于它呢？它也是阿尔法，它们俩相等，就变成了要求啥？ b 一 和 a、 c 不 也是平行了吗？所以推导出第二个平行， b 一 平行 a c， 那 b 一 平行 a、 c 就 相当于过 b 做 a、 c 的 平行线。那不就回到我们前面讲了，做平行，做平行靠啥？靠平移吗？那不就简单， a 到 b 下三 左一， c 到一下三左一，刚好就在这个点标了一哎，一连接 b 一 b 一 和 a、 c 也平行，那这个角也是 r 法，所以它等于它，它也等于它两次平行， 得到了特殊的角。当然最后结果上你可以把这个 r 擦掉，因为这是我们自己辅助标注的啊， 所以总结在尺规作图里边做角度，或者去推导角度关系，你没有别的路可以走，你就是去依靠平行的，而这些平行藏在哪， 就藏在平移里边了。 ok 啊，我们前面的知识点一二三全都做个铺垫，所以它是层层递进的。好，再看一道角度的题啊，这个题角度一多，会让不少人蒙圈的啊。 先将 a、 b 向左五个单位，再向下四个单位，我直接画了，得到线段 e、 f， 再将 a、 b 平移到 c、 d 啊，其中 c 和 b 是 对应点，此时你一定要注意啊，这句话你别看漏了啊，真有人怎么画啊， 他想当然嘛， ab 到 c、 d， 他 把 a 移到了 c， 而题目要求是 b 和 c 是 对应点，所以这儿不要漏了。好，平移也很简单啊。所以 e、 f 和 c、 d 我 就直接划 在一二的条件下连接 o a o， 在 这个地方 o a 连让我们找 f e o， 此时我把 e、 o 也连一下啊，这个小小角和 o a c， 这又来个角， a、 c， d， 这又来一个角，还有一个超大角， a o e 啊， 你看，养成好习惯，让我找这角的关系，我先把弧线标一下，而且他让我直接写，也就意味着过程会相对复杂啊。好，再来看这四个角，不少同学到这来头皮都麻了，他这么多角，我又不知道度数， 他仿佛完全失忆了一样。我们要回到一个核心，此规作图里边画角度，你到底靠的是什么 平行啊？因为你这个学期重要的几何就是平行，那平行又靠什么得到呢？在尺规作图里边就是靠平移啊。你再回来看这个题，他先让我们干了啥？ ab 平移到 e f 平移就有平行啊， ab 又平移到 c、 d， 所以 abcdef 这三条线是互相平行， 那都互相平行的，让你倒角不就是平行倒角？而且这个题你再细看，有没有想到一个，我们天天练，天天提，嘴皮子都磨烂了。什么知识？你盯着这个 o， 告诉我两个字，拐点啊。因为 o 不 在这三条平行线上，所以此题需要过 o 做 平行线和已知的平行线平行了啊。当然，由于这个题是啊我们直接写，所以我可以画个大概，你比如说就是平行，但这个图也能做很精准的平行线。你看 e 和 f 是 过这个点的哎， e 它到 o 是 往上移的一格，所以 e 也往上走一格，是能做出精准的平行的啊。当你意思一下也可以啊，不影响结果 好，平行线一做，剩下要干嘛？这么多不知道的角。第二个词，你要想起来射餐呢？去把这些未知的角标出来，射小不射大。我先标，他是 r 法，那平行，这也是 r 法， 然后注意接着标小角这边背他这个角也不知道，我就标嘎嘛呢， 然后平行倒这个伽玛，这儿也是伽玛， f e o 出来是阿尔法， o， a c 是 我的贝塔， a c， d 是 伽玛，就差 a o e 了， a o e 就 差这个大角，一看平行倒过来内错角，它就是贝塔加伽玛， 所以 a o e 就是 阿尔法加贝塔加伽马。那你说这四个角出来没？出来了呀？就是角， a o e 等于他们三个相加，结论直接写了。当然最后由于他是直接写，你最好把你这个辅助的东西给擦掉，要不然看图的时候很困难。好，现在你看 我擦干净了啊，只留下两个平移啊。当然本质上你再回头看这个 o， 它是个非常明显的拐点射参啊。 所以再次总结尺规，做图里边的做角度并不是横空出世，他是从我们已经学过之过来的，而平行就是我们推角度的利器。而在网格图里边，平行又是靠平移得到了。 所以题目的每一步都在告诉你，有平移得平行哦，有平行可以倒角度哦，这么多平行，还有个 o 拐点 o 射餐哦！关注梳理黑板，现在下课！

尺规做图是中考的必考题型，特别是我们徐州中考每年都要考，而且的分值还不低，那很多孩子拿到这个做图很容易蒙，不知道从哪下手。首先他们要知道，所有的尺规做图在中学阶段其实就是五种基本的类型。 第一种就是做一条线段等于已知线段。第二个做一个角等于已知角。第三个做已知线段的垂直平行线。第四个做一个角的角平行线。第五个过一点做已知直线的垂线。这个点呢，可能在这条这个直线上，也可能在直线外， 就这五种基本类型没有了。所有的中考尺规做图题，不管多复杂，都是由这五个基本操作组合过来的， 他就像一个什么很复杂的机器，但你拆开之后，你会发现他其实就这几个螺丝和几个螺母。所以第一步你们一定要把这五种作图法练到肌肉记忆，不用想就能画出来。题目当然不会考这么简单，题目是怎么考？是把这五种基本的做题法给他组合在一起。 所以说孩子们你不是不会画，而是不知道从哪开里开始画，画哪一条，画哪个线段，还是画哪个角。先把这个图假设给他画出来， 你不知道这个图的精确，怎么画，但是我可以画一个大概的模糊的样子，把这个图形大概的样子给他画出来之后，然后再去反过来，再逆向去推。哎，我想把这个图画出来，我需要画哪个线段，我需要画哪个角，平线我是画哪个角， 这就逆向推力。给大家举个例子，比如说我们在一个等边三角形里面画一个正方形，这个正方形的四个顶点都要在这个 三角形的边上，那么先大概画出来，它大概应该这个样子，我们不难够发现这个四边形的四个点，其中这两个点一定是和这个中间的这个对称轴是对称的， 对吧？然后呢会自己观察，哎，这个角等于六十度，然后呢这个边和这个边相等， 所以说我们发现这最后啊来总结，发现这个是六十度，这是九十度，这是一百五十度，所以这个角和这个角，这个边和这个边也相等，因为它是个等边三角形，所以这个边等于这个边，这个边也等于这个边，所以这个三角形它是一个等腰三角形，等腰三角形之后，那这个就是十五度， 哎，我发现这个角是六十度，六十度到画一个十五度就可以了，所以我只要把这个角做出一个十五度的角连在一起，那这个点 就出来了，这个顶点就找出来了。所以说我现在就开始把这个题变成什么，就变成哎，先去把这个角给他平分，画一条角平分线，得出一个三十度的角，然后再把这个三十度角再给他进行一次平分，得出一个十五度角，这个 正方形就画出来了。所以尺规作图这个逆向思维很，就是说我们不要先去想那个过程，你先把那个结果画出来，把那个目标图形先画在你的脑子里，或者用铅笔画个草图，然后问自己这个目标图形和已知条件之间差了什么， 对吧？然后根据我们的目标去找他的已知条件，找出来之后你会发现这些关系无非就是平行、垂直、等距，而平行、垂直、等距这些就是你前面练的那五种基本的作图法能够解决的。 所以说整个思路就是说假设画出来，然后去找关系，再用基本的作图法实现这些关系，这个就是逆向拆解。好，加油吧。

我们来看第二题啊，已知点 o 是 正六边形的对称中心，仅用无刻度的直角啊，完成下列左图第一个啊，过 p 点关于 o 点的对称点，第一个好做，直接连接， 连接这个就可以了啊，那么这个点就是 q 点啊，如图二， m 是 正六边形内部的一个点啊，画出点 m 关于点 o 的 对称点 a 啊，大概在这个位置，那这个怎么画呢？我们要画它关于它的一个对称点，首先我们知道这个 点它一定是在这条线上，对吧？然后呢，怎么办呢？我们再找到一组任意一组对称点，比如说这个和这个，这个和这个啊，都可以随便你找一个啊，当然这两个也行，我们就找这两个，这两个，这两个是不是关于 o 点对称呢？是不是然后怎么办呢啊？ 反着来啊，就是它和这个 m 点一连啊，对称过去这个点，然后把这个点关于它对称过来，你看这样子画，然后呢，再把这个点和这个点一连就行了啊，明白了吧？那么这个点就是 m 的 一个对称点， n 点 啊，当然你除了找这个点之外，你可以找这两个点啊，这两个点都可以，你自己试一下。好吧，按照这个思路来一下，就是如何把一个点对称过来，那首先你得找到一组对称点，那才行，你才能对称过来，好吧，就这样做啊，好过了。