ggb做赵爽弦图验证基本不等式

我是陈子老师，今天我们来完成重要不等式的图形证明，这时候我用的是九张算术里面的赵爽贤图来完成重要不等式的证明。通过对图形的认识，我们会对重要不等式的认识更加的具体生动。 好的，现在我们令这一个直角三角形边长分别为 ab， 那么根据勾股定理就可以得到斜边长度为更好， a 方加 b 方，从而得到正方形的面积是等于 a 方加 b 方的，而四个直角三角形的边，而四个直角三角形的面积之和就等于四乘于二分之一 ab。 岛屿二 ab， 可以发现中间有一个白色区域，这个白色区域的出现意味着什么呢？意味着正方形的面积是要大于四个直角三角形的面积之和的，那么他们的面积有没有可能是相等的呢？当然是可能的， 现在老师来增大一下 a 的长度，当我们不断的增大 a 向 b 靠近，当 a 等于 b 时，你可以发现中间的白色区域消失了，就意味着正方形的面积 a 方加 b 方等于四个直角三角形面积之和二 ab， 从而得到重要不等式的成立条件。当 a 等于 b 时， a 方加 b 方等于二 ab， 这就是用赵爽贤图来证明重要不等式，你都学会了吗？给我一个小心心哦！

这张图能不能画一下？好，这张图，这张图是三个、四个全等的直角三角形， 以他们的直角边为正方形的什么边，对不对？往里边画四个全等的直角三角形，可以吧？ 对不对？哎？你们怎么画？先画什么？先画个正方形，对不对？是吧？先画个正方形，然后你们再怎么画， 你们再画这个角度，找这个角度相等的情况，对吧？就画一条线，在这在同样的角度画一条线，在这同样的角度画一条线，在这同样角度画一条线。找角 录像呢，对吧？比如你就找三十度，你用那个尺找三十度，然后他们这些线是不是会相交啊？然后把中间那个相交的正方形画出来，对不对？然后是不是就四个全等的直角三角形，因为你 xl 嘛，对不对？你 只要一条边和一个，一条直角边和一个角度相等，这个直角三角形一定是全等的，对不对？是吧？啊？你找角度相等去画，那么你就能画出这样的一个图形，这个图形有个名字叫做赵爽闲徒，对吧？赵爽闲徒啊，书上也有 啊。好，大家看一下这个图。我们的几基本不等式的几何证明来了， 我已经说了，就是这一条，这个直角三角形的一条边叫做 a， 另外一条边叫做 b， 对吧？好，你能不能直接自己找出 基本不认识，就你可以是用第一个，我们第一个证明的，也叫基本不认识，对吧？但是我们更多的是第二个，但是我们也可以第一个，我们直接也可以叫做基本不认识，一种变形吗？对吧？你能不能找到？ 能不能告诉我 用哪个不等关系？首先你要构造找到一个不等关系，是吧？这里边的一个不等关系，你想 ab 在在变化，你有没有想象力啊？ ab 在变化，他变来变去，变来变去，对吧？中间这个小正方形是吧？有可能很大，有可能很小，对吧？最小相当于 变没了吧，对不对？那最小相当于什么情况？ a 和 b 怎么样？相等他就相当于一个什么图形啊？ 是不是就是一个这样的一个图形了？这这这这，所有的正方形都是等腰，而所有的直角三角形都等腰的，对不对？是吧？好，那么你在这里边你们能找到能不能找到对应的一个不等关系？ ab 构造不等关系， 能不能勾搭不动？还行，没想的到，有没有想到？ 我提示一下，这个正方形的面积，我怎么表示呢？这个正方形的面积我怎么表示呢？ 这个正方形的面积 s 正方形，正方形的面积是什么？ 是不是斜边的平方啊？边的平方对不对？而他的一条斜边就是根号下 a 方加 b 方，那么他的这个边就是根号下 a 方，那么正方形的面积就是多少？ a 方加 b 方， 对不对？好，那么还有呢？那么二分之呃，这个 a 方加 b 方应该大于等于二 ab， 对不对？好，那么二 ab 在哪呢？ 二 ab 在哪？三角形是不是四个全等的直角三角形的面积之和，对，对不对？所以这四个三角形 s 三 三角形和，对吧？我们把它叫做三角形，面积的和就是多少， 是不是二 ab？ 因为每个三角形的面积就是二分之一 ab， 对不对？四个三角形就是二 ab， 对不对？看得懂吗？好，那么我们从这张图上马上可以发现，显然正方形的面积叫做 a 方加 b 方大于等于多少？ 四个三角形的面积对不对？当什么时候区等哈，当中间那个小正方形面积为零的时候，那么什么时候中间那个小正方形面积为零， a 和 b 相等为，为什么？因为很简单，中间那个小正方形的面积的每条边长都是多少？ 是不是 a 和 b 的差，对不对？那么也就是说中间小 b 正方形，那么在这里边是 b 减，为了 不可能 a 减 b， 实际上 a 减 b 的绝对值，中间小正方形的面积就是为零的时候，那么他们的面积正好全部相等。那么也就是说当前剪刀什么时候举头啊？当前剪刀 仅当 a 等于 b 的时候，注意 a 等于 b 可以不用引号啊，取这个等号应该用一个引号引起来啊，这个等号取等号啊，当切紧当 a 等于 b 的时候去， 你看，这也又是我们的这个证明啊，请大家把图，你把图给给画画好啊，画画好 啊，注意，这是我们的造赏前途的这个基本不等式的证明，那么基本不等式还有很多其他的几何证明，那么我们这里边先讲两种啊，先讲两种，以后我们碰到以后再说好。

嗨，大家好，今天我们分享这样的一个内容，赵爽闲徒， 他出现在高中数学人教 a 版必修一第三十九页。 赵爽闲徒是三国时期吴国数学家赵爽设计，他在为周璧算经所注视时给出，又称之为勾股元方图，是为了证明周璧算经中的商高定理，也就是勾股定理。 照上闲图，他是以形证数，体现了行数统一的数学思想，具有科学创新的重大意义。对于我们中学阶段来说，我们可以用它来正 名完全平方公式可以用它来证明这样的一个不等式，可以用它来证明勾股定理。下面我们分别用不同的方式，用 ggb 来做一下这个赵爽闲图。 那首先我们使用的是一个工具啊，主要使用工具来做这个照爽闲涂，那过程是这样的，首先我们用正多边形工具 创建一个正多边形， 这时候我们可以把坐标系隐藏。下面我们用 描点工具在 a、 d 这个线段上描一个点 e， 然后用直线工具 连接 eb， 得到一条直线 g， 之后我们用垂线工具过 c 点做 g 的垂线， 得到一个直线 k， 然后过点 d 做 k 的垂线，得到直线 l， 再过 a 点 做 l 的垂线，得到一条直线 m， 然后用焦点工具得到这些垂线的焦点， 最后使用多变形工具得到四个直角三角形。 最后我们再做一下修饰美化就可以了。 我们隐藏这四条直线，隐藏所有的点， c 点地点也隐藏，他是在辅助对象里面，我们可以点一下这个辅助对象，找出 c 点地点，把他们也隐藏， 然后选中所有的线段， 将他们的标签隐藏， 将正方形的标签隐藏， 选中所有的直角三角形， 调整一下他们的线径和他们的颜色，可以隐藏这个多边形。 最后我们将重点 一调出来，隐藏他的标签，将他的颜色改成红色， 将它调出来是因为我们可以看到一个动态的效果，我们可以鼠标选中这个点，并且按住左键不放，拖动他，这样就可以看到一个动态的赵爽闲图。 好，这样我们赵爽闲徒就做好了。那之前我们说赵爽闲徒可以以行政术， 对于这三个证明来说，有兴趣的朋友们可以自己去证明一下， 这可以体现出这个行和数之间的一种辩证统一啊，我觉得真的是一种非常美妙的事情。好了，今天的分享就到这里，感谢聆听，下次再见！

同学们好，欢迎进入均值不等式的证明。首先呈现在屏幕上的是二零零二年在我国召开的第二十四届国际数学大会的会标。该会标根据中国古代数学家赵爽的娴图设计， 图案颜色明暗有序，看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 该汇标不光美观，且极具研究价值。大家观察可以发现， 会标整体呈现一个正方形，因此它也叫做正方形弦图。该正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成。 这个精美的图形能够帮助我们更好的研究和证明均值不等式。那么请大家回顾一下均值不等式的基本内容是什么样子的呢？ 强调一下，当写紧当 a 等于 b 时，等号成立。接下来，我们将利用正方形弦图正明该不等式。 我们将正方形弦图重新呈现在屏幕当中，如图所示，并度量出 ab 与 ac 的长度， 将其分别标记为根号 a 和根号 b。 这里的 abac 与 与如图所示的线段 abac 长度一一对应。弦图中直角三角形两直角边可由 bc 两点到 a 点的距离控制。 通过图形特征，我们也不难求出 bc 和 af 的长度。 接下来，我们将通过平移或旋转的方法，将正方形弦图中的四个全等三角形重新组合， 如图所示，我们尝试将其平移到平面中任意一点。哎，构成新的举行。请大家注意观察动画，并判断出前途与新举行的面 及大小关系。 我们发现弦图的面积等于小正方形的面积加上举行的面积。如果我们将弦图的面积记为 s， 内部小正方形面积计为 s 一、矩形的面积计为 s 二、那么用代数式表示弦图 s 与矩形 s。 二、弦图 s 边长 为 bc， 面积为 a 加 b， 举行长度为 ab， 宽为 ac 的两倍。 由于前途的面积大于举行的面积，因此有 a 加 b 大于二倍 ab 乘积的算数平方根通过变形能够得到这样一个不等式。 接下来请大家结合图形思考以下问题，当内部的小正方形面积变小至零，此时直角三角形两直角 小边有何关系？正方形弦图又有何变化？其面积大小与矩形面积大小成什么样的等量关系？带着这样一些疑问，我们将正方形的面积缩小， 继续缩小至零。 大家会发现，控制两边长的 bc 两点重合了。此时 ab 等于 ac， a、 f 长度等于零，三角形变成等腰直角三角形，此时前途的面积 s 就等于四个三角形的面积之和，也就等于矩形的面积 s。 二、总结该过程，我们发现，当弦图内小正方形面积变为零，即 a 等于 b 时， 弦图的面积刚好等于举行的面积不等，适中等号成立。至此，我们便完成了利用正方形弦图证明均值不等式的学习目标。 今天的知识你都掌握了吗？赶紧打开课后习题试试吧！

嗨，大家好，今天我们分享一个与赵爽闲徒有关的 gtb 案例，赵爽闲徒变风车。 我们知道赵爽闲图是二零零二年在北京召开的第二十四届数学家大会的一个会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的闲图设计的， 他代表了中国人民的热情好客，因为他像一个风车。那在这里我就想我们能不能把赵爽闲徒转变成一个相对比较合理的一个风车呢？ 那后来我就制作了这样的一个案例，效果如图所示，我们可以通过拖动这个化动条改变赵爽，先 可以点击动画按钮，从而产生一个风车，并使它旋转起来。 最后我们可以暂停，也可以复原，恢复到初始状态。好，下面我们就开始制作这个案例。我们先把之前做的内容先删掉， 包括这三个按钮。 首先我们使用正多片音工具 创建一个正方形，然后再用半圆工具创建一个半圆，用描点工具在半圆上描 一个点，用中点工具得到正方形的中心， 我们可以隐藏这个半圆，隐藏正多边形。下面我们就得到我们想要的四个直角三角形。我们用序列指定，在指定框当中输入序列，表达式是旋转， 旋转的对象是多边形。多边形 a、 b、 e， 弧度数十二亿乘以九十度，旋转的中心是 f 点，变量是二亿，从零到三确定， 这样就得到了赵爽弦图。然后再用一个序列指令，得到里面小正方形的四个顶点，表达式仍然是旋转 对象是一度数是二亿乘以九十度， 旋转中心是 f， 电量是 r， 从零到三确定，这样就得到了小正方形的四个顶点，得到这个四个顶点的目的是将四个直角三角形 将他们平移到 f 点的这个位置，使得这四个直角三角形的直角顶点是位于点 f 的。那这时候我们再次 使用序列指令表达式是平移 几何，对象是 l 一当中的元素 项链，这里的项链是 l 是 f， 减去 l 二当中的元素 变量是二，从一到四 好确定，可以隐藏 l 一列表，从而得到了一个平移之后的风车。 那我们希望这个平移的过程是一个渐进的过程，那我们就可以创建一个滑动条，滑动条是零一条 增量是零点零零一 好确定， 然后双击二三这个列表，把这里面的项链改成 a 倍的 f 减 l 二确认，这样的话就可以创建 风车形成的动画，现在我希望他能够旋转起来。然后我们再次创建一个滑动桥， 是一个角度滑动条，增量是零点一递增确定， 然后把二三双击打开，他的定音在里面用一个旋转， 旋转的度数就是二发角度，旋转中心是 f， 然后应用， 这时我们可以看到风车是可以通过阿尔法它的变化而旋转起来， 在这里我们可以隐藏这里面的一系列的点一点啊，还有 abcd， 我们可以打住打开 复出对象，把 abcd 也给隐藏 f 点呢，我们可以去除他的标签，将他的颜色 变成红色。 下面我们就开始制作几个按钮，打开按钮工具，其中一个按钮我们成为动画， 这个动画我们就是启动动画，启动动画谁呢？是 a， 这个滑动条确定，然后还有个暂停， 暂停的话，那我们就使得 二发， 这里是使得二发暂停，我们输入启动动画二发，然后 boss 就是 不启动的意思，然后确定最后一个按钮，我们把它称为复原， 这时我们使用复制语句，将 a 复制为零，然后将二法， 将二法复制为也复制为零。好确定。 那其中在这里面我们要做一个脚本，也就是在二法的基础上， 我们要做这样的一个脚板，右击二发，打开他的属性， 在他的脚本更新时，里面写入这样的脚本，就是如果 a 啊，这里是 a 啊，不是二画 a， 他是等于一，那我们就 启动动画，启动动画二法，否则呢？我们就不启动动画二法。 好确定。 还有修改一下二发的属性，就是他动画里面的重复，我们写递增一次 好，然后隐藏这里面的两个滑动条， 一个角度滑动墙，隐藏这里的坐标系，我们来看一下效果，点击动画，这时我们可以看到 赵爽闲途逐渐的变成了风车，但是这里的速度太慢了，我们可以调节一下这里的速度，我们调节成五啊， 其中风车的转速也很慢，那我们可以打开角度二发的属性，调整它的速度为五。 好， ok， 就是这样，点击暂停，他就停下来，点击复原，他就恢复到初始的状态。我们可以选中这三个按钮，把背景颜色和字体颜 色改一下，粗细改一下，调整一下他们的位置，我们可以先解除他们的锁定，然后调整他们的位置。 好，这样我们所需要的照爽闲图变风车这样的案例就做好了， 其中风车的形状，它的调节，我们可以打开里面的易这个点，我们可以把这个点的标签去除， 把它的颜色调节成红色吧，就意味着我们可以拖动这样的一个点。 好了，我们所需要的案例就做好了，到最后在运行过程当中呢。嗯，这里面的这个点意啊，你会发现他可能在风车运行的时候，他依然是存在这里的， 那这里的如果是出现这种情况呢，我们可以去调节一下它，我们可以打开易的属性， 在他的高级显示条件里面写上 a 等于零的时候才显示，那就是 a 等于零，确定这样就 ok 了。 好了，今天的这个案例我们就分享到这里，感谢聆听，再见！

嗨，大家好，今天我们分享一个用 ggb 制作的教材案例，从函数观点看一元二次不等式，我们知道在高中教材里面解一元二次不等式是用函数思想来进行解决的， 我们要想解决不等式， ax 房加 bs 加 c 大于零的减，事实上就等同于据研究 他对应的二次函数，函数指大于零时候的 x 的取值。那在这里我制作的这样的一个 ggb 演示的话，呃，能实现这样的效果， 一个我们有三个滑动条来控制这个二次函数，三个系数滑动条的直发生变化，整个图像也会发 变化。 然后在这里我又创建了三个输入框，我们可以在三个输入框里面去输入 三个系数，从而更精确的去控制这个函数。比如我们输入 a 等于一， b 等于二，然后 c 等于一，那这个函数的图像就是这样的。 最后在这里个地方，我们可以显示出这个函数图像本身的特征，比如说这时候这个函数就是开口向上，所以 a 大于零， 然后与 x 轴只有一个交点，所以让他等于零。当他的图像变成这个样子的时候，那我们 可以看出开口是向上， a 大于零，那与 x 有两个焦点，就是第二塔大于零，所以根据图像本身的特征不同，他会显示出这个 函数他的二次项系数，也就是开口方向以及与 x 轴焦点的情况。这里面就用到了啊， a 这个系数与零的关系，以及第二塔与零的关系。 然后我们点击这个结论，这个文本，我们就会实现这样的一个效果，就会显示出对应的这样的一个不等式他的解， 如果说这个函数的图像，比如，如果是这样的，那这里面仍然是有对应的不等式的解， 它是根据图像本身的特征来进行文本的显示。世上这个案例制作起来是比较麻烦的啊，想法不麻烦，但是制作起来比较麻烦，主要是有很多文本的编辑， 以及他的显示条件的加入。比如说对于这个文本来说，我们打开他的属性， 在他的高级里面显示条件，我们就有这样的一个显示条件的啊，写入其中 d 是一个真假值 啊，然后 a 大于零，就是前面的一个啊，这样的一个二次项系数。第二，他我们在这里面数值里面已经算了，第二，他在这里面就是 b 方减四 a c 满足这三个条件才能够显示 出这个文本，这编辑起来呢，就是稍微就有点麻烦一些。好了，今天的分享就到这里，感谢聆听，再见！