诱导公式动画演示教程

这个视频我来讲讲三角函数的一组公式。先来看这几个卦里都是阿尔法加二派，括号外分别是赛普、赛潘金城， 要怎么化解他们呢？嘿嘿，咱可以借助三角函数线来看，假如这是叫阿尔法，那 mp 就是赛阿尔法， om 就是口赛阿尔法， at 就是潘俊乔尔法。现在在阿尔法的基础上，在逆时针转一圈，也就是阿尔法加上二派，你看周边没变， 所以阿尔法加二派的正弦值、余弦值还有正切值都和阿尔法的一样。也就是说，赛阿尔法加二派就等于赛阿尔法，口赛阿尔法加二派就等于口赛阿尔法 三点，像阿尔法加二派就等于他人尽头。阿尔法以后遇到阿尔法加上二派，不管是阵弦、余弦还是正切，直接把二派去掉就行，三角函说 都是一样的。进一步还可以发现，把二发加上整数个二派，或者减去整数个二派，中边都不变，这些值也都是一样的。所以对于这些，比如加四派减二派，还有加六派， 只要十二派的整数倍，都可以直接去掉，三角函数值是一样的，二派的整数倍搞定了。那要是画点这些三角函数呢？别急，我来教你两招，可以把他们通通解决。第一招，确定函数名，秘诀是机变偶不变。 所谓机变，是指看到二分之派的基数倍，函数名改变。所谓偶不变，是指看到二分之派的偶数倍，函数名不变。知道了，秘诀，咱来用一用。看第一组的括号里都是二分之派，显然是二分之派的基数倍，那函数名就得改变。所以原来是赛 变成口塞，后面再写上阿尔法，原来是口塞，就变成塞尔尔法，原来是潘金乔，就得变成孔滩金枪。阿尔法。第一组的韩书名就这样搞定了， 不过还没完，一会还得确定符号再来解决。第二组的函数名，卦里都是派，显然是二分之派的偶数倍，那函数名是不变的。所以 原来是赛就还是赛。后面同样写上阿尔法，原来是口赛就还是口赛，尔法原来是贪君，乔就还是贪君乔。尔法。同样的符号也待确定。 看最后一组括号里是负尔法。咦，没有派咋办呢？那就看成是零派呗，也是二分之派的偶数呗。所以韩书名也都是不变的符号也待确定好了，搞定韩书名，咱接着第二张符号要看象限。具体 做法是这样的，先把二发看成第一项线角，比如三十度，那二分之派加二反就是一百二十度，是第二项线角。我们知道第二项线角的下一值是正的，那这个值也是正的，这样就搞定了。接着往下看， 第二项戒角的口算值是负的，那这个值也是负的。还有第二项线角的贪君特值也是负的，那这也是负好，怎么样，会确定符号了吗？再啰嗦一遍，先把阿发砍成三十度， 再通过括号里角的象限判断出这个式子的正负，也就是这的正负了。方法知道了，咱接着解决。下面的同样把二法看成三十度，那派减二法就是一百五十度， 也是第二项现象，所以这个柿子是正的，这也是正的。这两个柿子都是富的，这也都是富的。 最后看这组，还是把二法看成三十度角，那负二法就是负。三十度是第四象限的，第四象限角的赛值是负的，所以赵尔为负。但第四象限角的口赛值是正的，所以赵尔为证， 他安全特值是负的，所以炸为负。符号确定完毕，这样就都搞定了。你瞧，这些就是诱导公式了，要推倒他们，只要用这两招就行。第一招，确定函数名，二分之派的基数倍函数名改变 二分之派的偶数倍函数名不变，简称机变偶不变。第二招，符号看向线，先把阿法看成三十度，再通过括号里角的象限判断出这个式子的正负，也就是这样的正负了。另外，只要看到括号里有二派，直接拿掉就可以了。视频我就讲到这，速速刷题去吧！

欢迎大家来到张老师微课堂，今天我们来讲一下诱导公司，那诱导公司呢，是一组啊，或者说很多的啊，这样子公司组成的啊，一系列公司叫做诱导公司，那这个公司很多 啊，同学们背起来可能比较的复杂，即使有口诀啊，说机变偶变符号，看详细是不是？那我现在啊，换一个做法啊，根据我们考题来 固定一个模式来应用这诱导公司。那大家来看一下，这样子做啊，会不会更好，因为大家不需要啊，用老师的方法就不需要去背那么多公司了。 那下面呢，我们来看一下，诱导公司在我们学考当中呢，主要是啊，计算一些啊，比较大的奖啊时候使用， 那这个时候呢，我把这个计算分解成三个步骤，第一个，如果说有副角，那我们一定要先把副角都画成正角来做，那在这个转化的过程当中 啊，三甲函数名都不变，就是可晒还是可晒，晒还晒，那前面加不加符号呢？注意，除了这个可晒不加以外，其他的晒看着啊，比如晒付啊法，看着付啊法变出来都要前面加， 附近复变证的时候，前面都加符号，所以大家只要记着负角画正角口上不加，其他加，这是一个 第二个啊，就第二步，大脚画主角，什么叫主角？就是零到三百六或者零到二派，我们这些熟悉的这个角叫主角，那超过这个范围的角，这叫大脚。 那大脚画主角的时候呢，我们用的是什么呀？同中边角的公司是加减三百六的整数柜，或加减二派的整数柜。那在这个过程当中 通通都不要加符号，通通都不需要编号，原来是什么，现在就是什么。那画完主角完以后 会有三种情况，你第一个，你首先画主角，你画出来，如果画出来就已经是锐角了啊，你就直接算， 如果这时候画出来是一个钝角啊，那你要把它改成 一百八十度减某个锐角的形式啊，或者是派减锐角。 如果是第三项线角，你把它改写成一百八加锐角啊，或者是派加锐角的形式。 然后如果是第四项线角，那你改成三百六减锐角，或者是二派减锐角的形式，然后 再把它画成对应的那个阿法瑞角去刷。那在这个画的过程当中，我们再用什么呀？符号看相写， 那下面老师通过两个具体例子来啊，给大家演示一下。比如说这里第一个三负六百度， 这里有负角了，所以第一步负角画正角，再负六百度，画成赛六百度啊，负角画正角的时候，除了可赛不需要加负号以外，其他都要加负号。 好，然后再接下来第二步，六百度是超过三百六的奖，是不是？所以是大奖，要把它 画成零到三百六的角，怎么画呢？哦，减三百六是不是？那这里六百度减掉一个三百六，变成什么样啊？变成二百四十度了，是不是？这里我把它减掉一个三百六 啊？我们要做画主角的步骤，减掉一个三百六减外号，剩下二百四，那在这个过程当中都不需要变号，都不需要加符号，原来你这里有符号的，是吧？现在抄下来还是这样子，就不需要变了。 好，那接下来到了第三步，主角画锐角，那我们知道二百四十度是什么呀？是第三项线角了，是不是？ 所以我要把它改写成怎么样啊？一百八十度加加多少？六百四啊？加六十，所以他最后是要画成三六十度来算的。 那在这个画六十度的过程当中，在画这锐角过程当中，我们要讲过这边要用符号 看向线原则，怎么看呢？来，原来二百四十度是第三向线角。 sign 在第三向线是正的还是负的呀？ 啊，我们前面学过了，三在一二正，三四负，所以第三项他是负的，所以你画成锐角的时候，你要前面加一个符号， 所以晒二百四十五等于负的晒六十度，是不是？这很厉害？因为这个是符号，看相限原则，然后你前面还有个符号，不要漏掉喽 哦，最后两个符号抵消掉，剩下晒六十度，所以是等于二分子根号三。 大家用这样子的这些步骤方法，就省去了备那么多公式的这个，这个麻烦，是不是我们在学好当中，主要的还是这些计算，是呢， 主要题目还是在计算啊。那我们再来啊，再来口上三分之二十六块，如果是弧度制的话，那我讲过了， 这个我们是以什么呀？副角画正角第一步，那如果没有，那就直接到第二步大角画主角 大脚，这是弧度之下的话，是二派的整数背，我们可以看到三分之二十六，三八，二十四是八，又三分之二， 所以他能够拿走几个二派呀？啊？拿走四个二派八是吧？是四个二是吧？所以说是剩下三分之二派。虎度，这是大讲话组， 然后三分之二拍，他是第二项线角啊，是不是啊？所以我把改写成 callside 派减三分之拍 好，化成口算派，剪完以后我就知道了。哎，他最后是要化成三分之派这个锐角来算的。那前面要不要加符号呢？从这里到这里前面要不要加符号呢？ 符号看相信啊，三分之二排第二，相信，第二相信口上是负的。哎，所以这里要加个符号， 所以他最后是负的啊。二分之一，这是特殊角，可赛三分派二分之一，所以我们从这里来看，我们只在两个地方 需要变号，一个是负角画正角需要变号，另外一个是你怎么样在主角画锐角的时候啊？这里符号看下限原则来变号。 那这里需要大家哈多多的做一些练习来体会一下。

你还在被诱导公式吗？告诉你，真的不用被知道他的来历就会用。例如信负尔法，此时阿尔法前面没有任何度数，也就是零度，我们就以 x 轴的正半轴为十遍开始旋转。负尔法，也就是顺时针旋转， 此时中边来到这里，无论中边转向哪里，都像 x 轴做垂线构建直角三角形。此时他的对边是一条竖着的线，我们就跟竖轴去比，发现他坐落在竖轴的副半部，所以他为副，我们规定斜边永远为正，所以最终他等于副的线 耳法。我们接着看 cospling 派加阿尔法，此时阿尔法前面有派，那么也就是以一百八十度为实边开始旋转，加上阿尔法就是逆时针旋转，此时中边来到这里，我们向 x 轴做垂线构 线直角三角形，他的林边是一条横着的线，也就是他跟横轴去比，发现他坐落在横轴的副板轴，所以他为副 弦边永远是正，所以最终它等于负的 cosyr 法。好，我们接着看。 cn 二分之派减去二法，此时二法前面有个二分之派，也就是以二分之派九十度为十边开始旋转，减去二法就是顺时针旋转， 此时中边来到这里，我们向 x 轴做一条垂线的同时，也需要向外轴做一条垂线，构建两个直角三角形。这里比较特殊，那么我们就知道这个就是二分之派减去二发的角度，对不对？同学们发现四二分之派减去二发的对边 比上斜边，恰巧就是 cosen， 而法的零边比上斜边，并且都 为证，所以他的答案等于 costume 尔法。同理，其余十个公式都是这么来的，以后要用哪个画哪个，又快又准，每天一分钟，轻松学数学！

同学们大家好，我是来自北京市第二十五中学的数学教师许文。今天我们上课的内容是诱导公式二。 通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函数的定义，推导出了诱导公式二、三、四。 其中诱导公式二是角派加 alpha 与 alpha 的三角函数关系， 右导公式三视角负阿尔法与角阿尔法的三角函数关系。右导公式四 视角派减阿尔法与阿尔法的三角函数关系。那么结合诱导公式一和二三四一起， 我们就能将任意范围内角的三角函数值转化为零到二分之派半臂半开区间的角的三角函数值求解。 而这三组诱导公式的应用也是今后我们解决三角函数问题的重要手段。 回顾这三组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以及角的中边关于圆点对称，关于 x 轴对称以及关于 y 轴 对称而得到的。那么在单位语文中是否还有其他特殊的对称关系呢？ 他们所对应的角的三角函数是否也存在某些特殊的关系？今天我们就来继续对诱导公式进行探究。 大家想一想，上节课我们是通过什么方法推导出诱导公式二、三、四的呢？ 对，我们是从单位原上的点关于原点坐标轴的对称性出发探究得到的。 那我们对对称前后的角都建立了哪些联系呢？ 首先，我们确定了对称前后角的数量关系，如中边关于圆点对称的 o p 一和 o p 二，它们的角可以表示为 alpha 和派加 alpha。 然后我们确定了对称前后中边与单位圆焦点的坐标关系， 如点 p e 的坐标为 x y， 它关于原点对称后，点 p r 的坐 标是负 x， 负 y。 最后，我们根据三角函数的定义以及整合之前等量关系，就得到了最终的三角函数关系， 如 sign 派加 off 等于负的 sign off， 靠 sign 派加 off 等于 food cosin off， tungent 派加 off 等于 tangent offer。 这样经过逐步推理，我们就得到了诱导公式二、三、四。那么今天呢，我们将对称轴变为直 线 y 等于 x， 再利用他的对称性，看看能否探究出新的诱导公式。 为了推出新的诱导公式，我们首先来思考问题一，问题一作 p e 关于直线 y 等于 x 的对称，点 p 五 以 o p 五为中边的角伽马与以 o p 一为中边的角 alpha 有什么关系呢？ 从这张图上我们可以看出，由于点 p 一和点 p 五关于直线 y 等于 x 对称，所以 o p 五与 y 轴的夹角和 o p 一与 x 轴的夹角相等，都等于 alpha， 所以我们就可以得到 gamma 等于二分之派减 alpha 的数量关系。 当点 p 一不在第一象限的时候， gamma 等于二分之派减 alpha 的数量关系是否依然成立呢？ 你们可以多画几个图像去试一试。 这里呈现了 p 一在不同的象限的四幅图像，分别是点 p 一在第一象限，点 p 一在第二象限、 点 p 一在第三相线和点 p 一在第四相线，以及它关于直线 y 等于 x 对称的 p 五的点位置。 事实上，不管 p 一在什么位置，由于点 p 一和点 p 五关于直线 y 等于 x 对称， 所以 o p 一到直线 y 等于 x 的角 与 o p 五到直线 y 等于 x 的角始终有相等的关系。我们可以记这个等角为 c， 它这样以 o p e 为中边的角 alph 就可以表示为 alpha 等于四分之派加 seat。 以 o p 五为中边的角 gana 就可以表示为四分之派减 sata。 接下来我们可以将这两个式子相加，消掉了 say， 它 就得到了 alpha 加 gamba 等于二分之派的数量关系。进一步整理，得到 gama 等于二分之派减 alpha。 这就能说明，不管点 p e 在什么象限或者坐标轴上， 我们都可以有角 alpha。 关于直线 y 等于 x 的对称角 gamma 始终有 gamma 等于二分之派减 alpha 的数量关系。 接下来我们来思考问题二，直角坐标系中关于直线 y 等于 x 对称的两个点的坐标之间有 什么关系吗？ 为了得到坐标的关系，我们可以过点皮，一做 x 轴的垂线段， 过点 p 五做 y 轴的垂线段。由于 p 一和 p 五关于直线 y 等于 x 对称， 所以我们很容易就能证明做垂线段后的两个三角形全等 由全等三角形对应边相等。 我们将对应编 的长度转化为坐标关系，就可以得到 x 五等于 y 一 y 五等于 x e 的数量关系。 当点 p e 落在其他象限或坐标轴上，这种坐标关系依然成立。你们可以试着在课后正一下。 接下来我们该解决问题三了，以 o p e 为中边的叫 alpha 与以其对称边 o p 五为中边的角 gama 的三角函数值有什么关系呢？ 根据三角函数的定义，我们将之前的等量关系进行整合，就可以得到 sangama 等于 sign 二分之派减 alpha， 根据定义它等于 y 又等于 x 一， 从而它等于 cousin off。 cosin 加嘛等于 cosin 二分之 pi 减二分，根据定义，它等于 x 五就等于 y e， 最后就等于散养而法。这样我们就得到了第五组诱导公式 中边关于 y 等于 x 对称的讲，我们有 sign 二分之派减 alpha 等于 cosine alpha cosine 二分之派减 alpha 等于 sand alpha 接下来我们再看这一组公式， sign 二分之派加 alpha 等于 cosine alpha cosin 二分之派加 alpha 等于负 side alpha 你能合理 利用对称关系推导出这一组公式吗？ 那我们首先就要解决角二分之派加 alpha 的中边与角 alpha 的中边 o p 一具有怎样的对称关系。 为了解决这个问题，我们可以先将点 p 一做关于直线 y 等于 x 的对称点 p 五， 再将点 p 五做关于外轴对称的点 p 六， 那么 o p 六就是角二分之派加 alf 中边 接下来我们该研究坐标关系， p 一点的坐标为 x 一 y 一。 通过之前的知识我们可以得到 p 五点的坐标是 y e x e。 在经过外轴对称得到 p 六点的坐标是负 y e x e， 所以 p 六点的横坐标 x 六就等于负 y e p 六点的纵坐标 y 六就等于 x e。 接下来结合三角函数的定义，再将之前的等量关系进行整合，我们就可以得到第六 六组诱导公式。 这样我们已经推导出了诱导公式五， sign 二分之派减 alpha 等于 cosine alpha cosine 二分之派减 off 等于 sign off 和诱导公式六， sign 二分之派加 alpha 等于 cosine alpha cosine 二分之派加 alpha 等于负 sign of 第五组诱导公式是二分之派减 alpha 与减 alpha 之间的函数关系。 第六组诱导公式是二分之派加 alpha 与 alpha 的函数 有关系。 这组公式的特点是等号左右的函数名发生了改变， 即等号右侧变为了 alpha 角的鱼名。三角函数 公式右侧的符号是把 alpha 当成锐角时所求的三角函数值的符号。 咱们已经学习了六组诱导公式，那么你会应用这六组诱导公式来解决问题吗？好，接下来咱们来看例一， 例一证明第一小题 sam 二分之三派减 alpha 等于负 cosine alpha 第二小题 cosine 二分之三派加 alpha 等于 sand alpha 首先咱们来证明，第一小题 我们可以将 sign 二分之三派减 alpha 整理成 sign 派加二分之派减 alpha 的和， 然后将二分之派减 alpha 看成一个整体，利用诱导公式二就可以化减成 负 sign 二分之派减 alpha 的形式。由于 sign 二分之派减 alp， 利用诱导公式五可得它等于 cosine alp， 因此 food sign 二分之派减 alpha 就等于负靠散 alpha 第一题我们证明完毕。 第二小题我们可以将 cosin 二分之三派加 alpha 整理成 cosin 派加二分之派加 alpha 的和， 再将二分之派加 alpha 看成一个整体，利用诱导公式 二将它化减成负的 cosine 二分之派加 alpha。 其中 cosine 二分之派加 alpha 利用六道公式六等于负 sat alpha， 所以负的 cosine 二分之派加 off 就等于 seine off。 接下来我们来看例二化减求值 sign 复派减阿尔法乘以 sign 二分之九派加阿尔法分之 cosine 二分之派加阿尔法乘以 cosine 二分之 十一派减 alpha， 其中 alpha 等于负三分之派。面对这么复杂的算式，我们应该如何处理呢？ 如果我们直接将 alpha 等于负三分之派带入式子中的每一个部分去计算，那么你可以想象这个计算量太复杂了。 所以我们可不可以利用诱导公式将式子中的每一部分都变成角 alpha 的三角函数 整理后，我们再将 alpha 等于负三分之派代入计算，可以起到化繁为简的作用。 好，利用诱导公式，我们先将分母的第一部分 sign 副派减 alpha 化减成副 sign 派加 alpha 将分母的第二部分 san 二分之九派加 alpha 整理成 san 四派加二分之派加 alp 的和为诱导公式一做准备。 分子 cosine 二分之派加 alpha 直接利用诱导公式六化减成负 sign alpha cosin 二分之十一派减 alpha， 我们可以将它整理成 cosin 五派 加二分之派减 alpha 和接下来对式子进行进一步的处理。分子负塞派加 alpha， 利用诱导公式二可以化减成 sat alp sang 四派加二分之派加 alpha， 利用六道公式一可以得到，它就是 sang 二分之派加 alpha 负 sun alpha， 我们不用做任何的处理。 cosin 五派加二分之派减 alpha， 我们将二分之派减 alpha 看成一个整体，化解后就得到，它是复 cosin 二分之派减 alpha。 对于分母的 sign 二分之派加 alpha， 我们利用诱导公式六，它就是 cosine alpha。 分子的 cosine 二分之派减 alpha， 利用诱导公式五，它就是 san alpha。 所以最后我们可以化简称 它等于 cosin alpha 分之 san alpha 的形式最终的结果就是贪震的 alpha。 当 alpha 等于负三分之派时，语文式等于 tangent， 负三分之派 等于负的 pendant， 三分之派就等于负根三。大家可以 看出，利用诱导公式先将式子的每一部分都变成与阿尔法角的三角函数，它的优势是非常明显的。 所以今后我们先将诱导公式对式子进行化解，然后再解决三角函数问题，这是一个常用的手段。 接下来我们对本节课进行小结， 一、请你选择下面一个或几个关键词，谈一谈在研究过程中的体会 二、公式五和公式六的作用是什么？ 从知识层面上来讲，今天我们又学会了两组诱导公式。从思想方法层面上来看，诱导公式体现了由未知转化为已知的化规思想。 诱导公式所揭示的是中边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系，主要体现了化规和数形结合的数学思想。 公式五和公式六可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。 接下来我留两个题作为咱们今天的作业 课本第一百九十四页，练习二，练习三， 今天的课就上到这里，祝同学们学习愉快，再见！

直播间才五百人，就算听着啊，我会借着他这个，我会借着他啊，为什么我用他这个东西啊？因为就不用我写了啊。呃，我借着他这个给你们讲啊，我借着他这个给你们讲。同学们，看着啊，花里都是阿尔法加二派， 稍等啊， 括号外分别是 sigh， 口塞、 tangent， 要怎么化解它们呢？嘿嘿，咱可以借助三角函数线来看，假如这是角 ar 法，那 m p 就是 si 阿尔法， o m 就是口塞 ar 法， a t 就是 tangent ar 法。 同学们，看着啊，老师，现在啊，他现在是不是把正弦、余弦、正切都给你标出来？刚进来正好啊，不要走了，好好听他现在把这个。 呃，他现在告诉你这个角了。刚刚讲，刚讲，刚讲。又到公式啊。同学，你看，没事，现在听。老师说，你看他现在正弦、余弦、正切是不是都给，给到你了？是不是给到你了？比如说我这个，比如说他现在是。 呃，我告诉你们啊，在诱导公式里面， pa 等于一百八十度啊， pa 是一百八十度二， pa 就等于一百八乘以二就是一圈。好吧，如果是现在这个中边，他又旋转了一圈。我问你，同学们，回答老师的问题，我又旋转了 一圈，也就是加了个二派，那我这个正弦与弦和正确的值变没变怎么办？我现在要你们回答问题啊，我现在这个值变没变。 好的。同学们，那如果我现在减去个二派，同学们，我问你，我现在减去个二派，他的值变不变？ 你发现加一圈，加两圈，或者是加三圈，加四圈，到减五圈，减六圈是不是都没有变？同学们，你在这 记住一个什么信息，我只要转一个整数圈，我是不是就可以直接把他这个整圈我扔掉？我是不是就直接可以算出角的度数？他的诱导公式，他正线多少度？他是是不是好，同学们， 看着啊，现在他都是没有变的是吧？逆时针转一圈，也就是阿尔法加上二派，你看周边没变，所以阿尔法加二派的正弦值，余弦值还有正切值都和阿尔法一会半圈。老师教你怎么转半圈啊。赛阿尔法加二派就等于赛阿尔法。 口塞阿尔法加二派就等于口塞阿尔法。太安静下阿尔法加二派就等于太安静的阿尔法。以后遇到阿尔法加上二派，不管是正弦余弦还是正切，直接把二派去掉就行，三角函数值都是一样的。 进一步还可以发现把阿尔法加上整数。朋友们，记住了啊，以后再见到他的整数圈，直接把他就给我扔掉好不好，他对我这个题根本就没有半毛钱的。这个什么影响？好吧，如果再往后看啊， 口摊警察，我来教你两招，看这啊，可以把他们通通解决。第一招，确定函数名，秘诀是机变偶不变。朋友们，咱们见到好多这种诱导公式的题，咱们很烦很烦，你只现在啊 啊，这个啊，这个任德刚今今天没有给你们上课啊，今天这个老师开那个车给撞了啊， 这个明天给你们上课啊，明天上课啊，明天咱们好好讲啊，咱们把那十八道卷子都讲了，同学们，看着右道公式怎么去学？是指看到二分之派的基数倍函数名改变。所谓偶不变，是指看到二分之派的偶数倍函数名不变。 知道了秘诀，咱来用一用。看第一组的括号里都是二分之派，显然是二分之派的基数倍。那函数 著名就得改变，所以原来是 side， 就变成口塞，后面再写上 alpha。 原来是 同学们，听老师说啊，这个他不会考你的技术呗。他变名不要问为什么你不用学，我现在只需要告诉你怎么样去判断他的政府。好吧，口算就变成三法，原来是贪警察就得变成口贪警察。二法。 第一组的函数名就这样搞定了，不过还没完，一会还得确定符号再来解决。第二组的函数名 来看着啊，同学们，老师教给你们一种方法。我，他现在变成这样了，我怎么样确定他的符号？看着第一个，第一个，我怎么确定他的符号啊？他变了，他变名了是吧？我不用管他。我再说一遍，你不用管他，为什么？因为你单招考试考不到。好吧，他， 他考什么咱们学什么？不用变，因为这口吞的你们根本都没有学过，怎么知道是什么呢？是不是朋友们，看着啊。怎么确定他二分之派是多少度？朋友们来公屏上回答我，二分之派是多少度？ 对符号看象限。我现在就讲啊，二分之派是九十度，我，这个阿尔法，我一直朋友们，以后再见到这种诱导公式的题出现。阿尔法，你就把这个阿尔法给我看成三十度好吗？ 你把这个阿尔法给我看像三十度，那他这个里面是不是就是九十度加上三十度？同学们，九十加三十，这个他在第几象限来回答问题？回答我，他在第几象限？ 再见，朋友们， 第二象限，我问你口算在第二象限是正的还是负的？来回答问题，口算在第二象限是正的还是负的？ 这个二弹幕太多了啊。我现在问同学们，这个他的第二项点是正的还是负的？ 负的，还有人说正负的，是吧？怎么还有人说正呢？ 负的这个符号是不是就确定了他们来，那这个呢？看这个题，正弦 正弦指派是多少度？看到没？好派是多少度？九十度九十减。阿尔法，我让你们看多少度？三十度，那他九十减三十，他是不是六十度？六十度，他是不是在第一象限？正弦在第一象限是不是正的？那他这个是不是得出来就等于正的正弦呢？同学们， 他们那口算呢？和正切呢？ 啊？同学们，还有这个哎，这个题懂了吗？同学们，来，第二个口顺是正还是负 哦？一百八，你看，我考验你们我考验你们啊！我考验你们啊，我考验你们啊！看着啊，等会别动啊，我顾 注意说错了啊，他是一百八减三十度啊，他等于一百五十度。他在第二象限，他是正的啊，他是正的，他是正的。同学们，同学们，我考验啊，我考验啊！他是正的啊。同学们， sorry 啊， 他这个口算呢？是一百八减三十度，是吧？他是在第二象限，所以说这个口算是负的。口算是不是？同学们啊，这个，这光正经上课多没意思啊，咱们学会知识的同时也要快乐啊！那他这个呢？他在第二象限是正的还是负的？ 来，同学们，他是他是正的还是负的？来回答，这个 candy 的在第二项下是正还是负？哈哈哈，真是啊， 好的同学们啊，同学们，这些知道了，来咱们看看，研究他。来，同学们研究他，好吧？赛引副尔法，这是高中的知识啊，三角函数名啊。赛引尔法，我是不是现在 让你看，让你看他这个是多少度？他是不是三十度？那现在是不是就是晒音负的三十度，负的三十度，他是在第四象限，那第四象限他是正的还是负的？朋友们， 负的，所以说它这个函数名就是负的好不好？那这个呢？ 口算在第四象限是正的还是负的？ 正的，那所以说他就是正的。那正切是正的还是负的？ 那正确是正的还是分负的，是吧？同学们，同学们诱导公式，确定符号，学会了没 来学会了给老师扣个一，如果以前不明白，现在明白了，经过老师讲明白。老师你听老师课，老师给到你帮助了，你给我扣个二好不好，让我看看多少人在经过我的努力下。

这个视频我来讲讲诱导公式的应用。先来看个算式，赛，派减阿尔法乘赛四派减阿尔法，再加上赛三派加阿尔法，乘赛阿尔法减二派，比上口赛负二分之派减阿尔法，乘口赛阿尔法减二分之三派，你能化解他吗？ 要化解他，关键需要两步。第一步，直接去掉二派的整数，本函数值一定不变。这儿没有二派，不用管他，这儿有两个二派都去掉，这儿有一个二派也去掉，这儿有个负二派直接去掉，这样分子就清爽多了。 再看分母，这和这都没有二派，不用管。好了，第一步搞定，接着第二步，去掉剩余部分，只留阿尔法。看这是派是二分之派的偶数呗，所以去掉后函数名不变，符号待确定，这也是派，去掉后函数 数名也不变。再看分布上，二分之派和二分之三派都是二分之派的基数呗。所以去掉后口算都要变算符号，再确定函数名搞定了，别忘了把这些符号填上。看这你可以把阿尔法看成第一项尖角，比如三十度，那派减 r 法就是一百五十度，是第二项线角。 在派件，阿尔法就是正的，所以这儿就是正的。再看这阿尔法是三十度，派加阿尔法就是二百一十度，第三象限为负，所以这儿是负的。 再看这负二分之派减阿尔法是负，一百二十度在第三象线为负，所以这是负的。还有这阿尔法减二分之三派是负，二百四十度第二项线角也为负，所以这是负的。最后整理一下，算是这个，也就是负塞阿尔法就等于负。塞阿尔法 平方加负赛阿尔法的平方比上赛阿尔法的平方，结果得负二，化解完毕。讲到这，我来总结一下，要化解这类算式，关键需要两步，第一步，去掉二派的忍术本，第二步，去掉剩余的部分，只留阿尔法，最后整理一下就行。 这道题中有几派是明确告诉你的，有时候几派是不确定的，比如已知 k 属于整数，贪 g， k 派减 r 法，乘口三一 k 派加 r 法比上三一 k 加一派减 r 法，你能化解这个算式吗？ 其实方法跟刚才一样，第一步还是去掉二派的整数倍，只不过不知道 k 是基兽，所以得分开讨论一下。当 k 是基数时，看这儿， k 派去掉偶数个派后，还剩下一个派，还有第二也剩下一个派。再看分母， k 加一派是偶数个派，只 直接去掉。第一步搞定，接着用刚才的方法来化解就行。具体过程我就不啰嗦了。再看 k 是偶数时，那这两个 k 派就直接可以去掉。再看这去掉 k 派后，还剩一个派，接下来同样用刚才的方法来化解就行。 像这样，派前面有参数 k 时，就得分基数和偶数。讨论一下，剩下方法跟前面一样了。 好了，以上就是诱导公式的应用，关键记住两步，第一步，去掉二派的整数倍，第二步，去掉剩余的部分，只留阿尔法，最后整理下算式就行。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

有同学跟我说，老师，三角函数的诱导公式，这也太多了，我记不住呀。然后我就说呀，三角函数的老公式不用每一个都记呀，他有口诀呀。同学说，我知道呀，他叫即便偶不便符号看相线嘛， 但是我不会用呀，我不知道什么意思呀。不要怕，孙老师，今天呢，就用两个小工具来帮助大家迅速的理解这句话。首先呀，我们要先做好我们的准备，第一个工具是我们的都是天才坐标系， 第二个工具就是你的手。那我们现在先来看第一个撒印，二分之派加二法。首先要看鸡变藕不变，那什么是鸡，什么是藕呢？他们是二 分支派的系数。那变和不变指的是什么呢？指的是我们函数的名字。 那我们看啊，对于三眼二分之派加阿发来说，二分之派是二分之派的一倍，那一是基数，所以我们函数的名字需要发生改变，变成抠散。阿发， 那符号看信号线，请说，把你的手伸出来。哎，阿尔分支派是不是在我们中间的这个位置， 他加上了一个阿法，加上了一个比九十度小的角，是不是去了第二象限？三也在第二象限，通过我们都是天才看出他是正的，哎，好，符号就为正。再来看一个，比如说 三引，二派加 f， 我们说二派，他是二分之派的四倍，对不对？那四他是一个偶数，我们说函数的名字不变，就写上三引 r 范。 那这个时候我们来看二派呢，他在这个位置，你加上一个比九十度小的脚，他去了第一象限，第一象限三引为证，所以他是正的。 学会了吗？那你用这种方法呀，快速的算一下我们的三音复阿法是不是就是我们的负的三音阿法？ 我们的三印派加阿发派加上一个阿发是不是就是我们的第三项线负三印阿发？哎，如果学会了的话呢，你就会知道他 不仅仅对于我们三也好用，他对我们口算同样好用。如果学会了，那就快去试一试吧。

我们会计算三十度、四十五度、六十度，包括零度、九十度的正弦和于弦直，人们发现了锐角还是很好使的 就行啊，现在教已经扩展到全体师叔啊了，那么他们的正弦直与弦直能不能也找到与锐交的对应关系呢？这样运算不就大大的简便了？有了这个想法，人们就开始行动了。当然是先拿 周期来说事了，凡是超过三百六十度或者超过二派的胶，通通的加了派减二排给他变化成零到二排之内的。 那现在一个胶已经在零到二排之内了，那么他一定分布在四个象线或者 x 轴外轴上，我们只需要找到他与对应的锐胶之间的关系就可以， 我们来试一试吧。比如说一个胶，他落在第二象线，我们画出单位圆哦，与单位圆的交点，蛇为屁，坐标是腰外，那么他的肾就等于胃 扣三，就等于有他在第二项线要将转到第一项线，还想要坐标发生的联系，怎么办呢？很好办呀！关于歪轴对称，过来就可以啦， 他对称的那个点皮皮的坐标是，嗯，坐标是腹油和外哦。关于外周对称呢，横坐标相反，中坐百不变。那么这两个胶他们的正线值就相当与线值相反，那这两个胶究竟是什么关系呢？ 我们来看一看。当初这个胶在第二箱线，第二箱线他如果在 这样增加一点点就到了派了，所以说旁边这个小胶他俩合起来是啊，派哦，第一箱线的那个胶的大小不正好与他这个补胶的大小是一样的吗？ 所以我们知道了原来第二项线的交哦，领导，二排返回内的第二项线的交就可以通通的表示为拍减区。这个锐交呀， 是这个锐角，为什么呢？是阿尔法还是还是设为贝塔呢？总之，第二项型的角通通就等于排减去他的步角， 有问题吗？好，我们再来看第三箱线，如果一个胶的中边落在第三箱线呀，他与单位圆的交点 也设为有外，现在想找到他与第一相线的交织间的关系。我们说中心对称呀，绕着原点旋转一百八十度，那不就跑到了第一相线啦。他与第一相线的交的 那个中边那个焦点的坐标什么关系呢？嗯，关于圆点对称，当然 x 相反， y 也相反了。啊，原来他们的三和扣三都是相反的呀。那所以第三项线的交就可以表示为那个锐叫阿尔法加上牌，或者是减去派了， 顺时针旋转了就减去拍，逆时针旋转了就加上拍第三象线解决第四象线， 第四箱蟹呢，就比较大，如果从零开始到二派的话呢，比较大也可以吧。其实呢，我们都看到那个小锐角了，第四箱蟹呢，叫 你可以表示为二拍减去二发呀，或者你刚才顺时针旋转吧，顺时针旋转，那就是负二发了。 好，第四相线的交都可以转化为负二发，或者二排紧缺二发吧。二排不说了，还是负二发吧。要想转到第一相线怎么办呢？对呀，关于 x 轴对称上去就可以了。 关于 x 轴对称上去，横坐标不变，纵坐标相反，那么他们的三角函数关系就是三相反扣三相等。 哦，这样一来的话，我们就把所有的胶都转化成与低相线的那个锐胶对应的三角函数关系了。 这样一来，我们就不用计算那么多了。比如说，你会计算三十度角的正弦直和雨弦直，跑到 第二项先，哦，一百八减去三十度，那就是一百五十度呀，一百五十度，哦，就得到了他对应的三角函数值了。那三十度再加上一百八是二百一十度呀，二百一十度是在第三项线，那我们就知道了二百一十度的正线值和预线值。 再说负三十度，负三十度或者是三百三十度，他的正线值和预线值。嗯，他与啊，第一项线的三十度是关于 x 轴对称的，确定了符号，就可以知道他对应的三角函数值了。 没听懂，那再举个例子吧，瑞胶就不用说了，比如说一百三十五度，再拿个胶先，第二箱线，第二箱线的胶通通可以表示为补胶呀，那就是一百八十度减去四十五度呀。于是又找到了他与四十五度这个胶的中边。关于歪着 对称呢，关于外周对称，横坐标相反，纵坐标相当，那么他们的正限制，正限制相当，与限制相反。 再来举个例子，那好吧，二百二十五度在哪个乡县呢？二百二十五度在第三乡县，第三乡县，他就可以表示成一百八十度加上四十五度呀，那么 二百二十五度就与四十五度相对应了，他们两个是远点对称，那坐标相反。所以说呢，二百二十五度的正弦直和于弦直和四十五度的正弦直于弦直符号相反。 第四项线呀，第四项线，刚才已经说了呀，这个胶太大了，你可以呀，可表示为表示为多少呢？比如说三百三十度吧，三百三十 度这么大，你可以他表示为负三十度，当然了，三百三十度也可以表示为三百六十度减去三十度。总之啦，三百六十度是一个周期，不用理他了，那就是负三十度吧， 科三组长呢？在第四相线啦。第四相线要想与三十度发生联系，怎么对称？当然了，关于 s 轴对称，关于 s 轴对称，横坐标不变，重坐标相反，所以正线相反与线相当， 你明白了吗？这样一来，我们就把所有的胶都找到他与锐胶的对应关系。 刚才我们说了，各个象限的交都可以转化成与锐交之间的关系，可是有一类转化有点特别，我们来看一下，比如说吧，一百三十五度在哪个象限呢？他的中边在第二象限。第二象限我们说的是哪？一百八 度减去他的补胶四十五度，但是有的人偏偏给他变成九十度加上四十五度，那九十度加上四十五度，他们之间相差是九十度呀。那怎么得到他与四十五度这个锐胶对应的三角函数之间的关系呢？ 那我们还是先做出四十五度这个胶，哎，找到他的正线线和鱼线线。 然后呢，再找到一百三十五度他的正线线和鱼线线。嗯，我们这样做，我们就会发现 这两个三角形怎样可以重合在一起呢？对，旋转九十度就重合过来啦，也就是说这个三十度的角，哎，逆时针旋转九十度，嗯，或者是弧度把六分之派旋转，六分之派就到了，嗯，到了这个角的位置上， 这样一来，两个三角形全等啊，那么对应的线段是相等的，我们仔细观察一下，原来的这个，呦呦，现在等于中坐标了， 原来的这个动作标位变成他的横坐标了，而且在第二项也要带上符号呀，那就变成腹围和油了。这样一来我们就发现了，这两个胶呀，相差了九十度，他们的三角函数值，正弦跟预弦正好 兑换符号，另外讨论。嗯嗯，正线与线正好交换符号，另外讨论，根据他所在的象限确定上去就可以了。那这样一来的话，我们再举个例子吧，一百二十度， 我们以前的做法是一百八十度减去六十度，挺好的呀，但是他今天偏偏要变成九十度，加上三十度，好，他遇见了九十度，那么正线要变成鱼线，鱼线要变成正线，然后符号要看相线。我们都 知道了，一百二十度在第二下线，第二下线，那第二下线呢？正线是正，余线是负，那所以三一百二十度就等于正的扣三三十度， 头三一百二十度就等于负的 c 三十度，你有问题吗？如果有问题的话，就把这个视频多看几遍吧。 这个公式呢，不要没事找事的用，除非他告诉你的没有办法了再用，否则的话我们是不用的。我们刚才讲的那个方法，用派进行换算，已经完全可以解决四个象限的交代问题了，不必要多此一举。

哈喽，各位同学啊，今天呢，我们讲一个非常重要的一个知识点啊，叫做三角函数的诱导公式， 那么大家如果在学校学完之后呢，大家记得非常印象比较深刻的一句话就是说，机变偶不变，符号看相泄，这句话对不对？那诱导公式的记忆也会哎，就是令很多同学都会头疼啊，咱们学校一般让大家记诱导公式是 这么一张表对吧，而且呢，在后期还会衍生出几十个这样的诱导公式，大家真的是要去死记硬背的。而虎哥今天要告诉你们，告诉你们，三角函数的诱导公式，一个也不用记啊， 根本都不用记那，呃，咱们诱导公式首先在讲之前呢，先跟大家嗯，就共识一个点吧，咱们的诱导公式 只能够解决和或者是差等于二分之派的整数倍 啊，二分之派的整数倍啊，无论是正弦的这个诱导公式，还是鱼弦的这个正导，呃，这个诱导公式还是正切的诱导公式啊，咱们只能解决他们的和或者是差为二分之派的整数倍， 对吧？然后呢，我们学校以往学习的一个诱导公式呢，是什么呢？是这句话，即便无不便啊，符号看象限，看你个鬼呀，你根本就记不住对不对你，而且那么多，让你 别说，哎呀，别说那么几十个了，就是让你记五个，我感觉记不记不过来，对不对？那虎哥今天要告诉你啊，咱们诱导公式，虎哥这有一个口诀要告诉大家啊，呃，这个口诀叫做，正一加恩， 负零减 n， 超减四，附加四，系数为正看作一，系数为负看作零，然后激素背改名，然后偶数背不改名 什么意思呢？大家好像看这一串的话，感觉很多对不对？很多对不对？但是呢，大家这个东西也不用记，不用记，咱们从实际问题来出发，来真正的来应用到这个东西，对不对？我们来呃，解决一下这几个问题，好吧， 我们以往看到三影 f 加上二分之派，是不是？哎呀，我得翻一翻这个这个公式，哎呀，找一找，找一找大，到底适合哪个， 对吧？但是考试中让你翻看公式吗？不让，你就得靠死记硬背，对不对？但是虎哥今天告诉你啊，这个他是可以哎，有这个记忆方法的，你比如说 c、 e、 r 加上二分之派怎么计算呢？你看 f 前面的系数是不是正的呀？根据这个公式，公式系数为正看作一，系数为正看作一。哎，我这这写一个一，然后的话 还有一个是什么呀？他后边加了一个二分之十一派，对不对？二分之十一派，然后的话，你看正一加，嗯，正一加，嗯，代表什么意呢？什么意思呢？就是说代表，代表他是正多少多少倍， 你看一下他这个二分之十一派，我是不是刚才说了，他们只能解决二分之派的 二分之派的整数倍，对不对？所以说我这里边写的二分之十一派，他是二分之派的几倍啊？是不是十一倍？十一倍，那正一加 n， 那就代表这应该加多少加上十一 一啊？十一代表的是二分之派的十一倍，他应该等于多少呢？等于十二，对不对？而现在这个十二代表的是什么？是第十二项系，而我们在直角坐标系当中，我们知道没有第十二项线，对不对？所以说 这也就后边这句话，超减四，他是不是超了呀？那个象限超了四呀？所以说这个时候我们要减四，也就说十二减四等于 八，对不对？哎，也没有第八象限，那我们再减吗？他还是超的呀，八减四等于四，哎，这个时候我们发现我们图像中啊，我们这个直角坐标系是有第四象限的，对不对？ 而在第四项界中，我们知道正弦直，正弦直他是负的，正弦直他是负的 啊，所以说，所以这里边我们的答案当中先添一个负号， 对吧？然后其次要看什么呢？我们还有一句话叫做激素背改名，偶数背不改名，这个激素背跟偶数背，我刚才说过，是不是 我这代表的是不是倍数呀？所以说这是一个激素倍还是一个偶数倍啊？这是一个激素倍吧，激素倍要改名，也就是把这个塞应变成烤塞应， 然后后边补一个阿尔法，就这么简单，对不对？是不是第一个大家算的比较麻烦呀？然后我们接着再往下算一算啊？ 你不然的话，我告诉你，就是你如果按照正常学校那个，呃，就是咱们之前这个表来查的话啊，就后边加了这么多二分之十一倍的话，你至少至少要用到两到三个这样 诱导公式，这还是比较简单的，如果遇到这样的二倍角的公式的话，你更复杂了，更算不来了，对不对？然后我们接下来再看啊，你看， 然后前面的系数是一对吧？一，然后的话，这是二分之九的啊，这是二分之派的几倍啊，这是负九倍啊，所以说减九，对吧？记住啊，这个是一个倍数啊，他等于多少？是不是等于负八对不对？那负八超了几了呀？ 负八负加四，是不是？我没有负八相写对吧？没有负八相写，我加了多少才能出现我一到四的这个区间呀？是不是加加一个八呀？对不对？所以说负八加八，负八加八等于多少？ 负八加八是不是等于零了？而这个时候我们知道在执教周边系统他也没有零象限，所以说这个零的话应该 再加一个四等于第四项线，而我们知道在第四项线中我们的塞印值 啊，也就说证弦值他也是一个负的，所以说我们的正确答案，这应该再添一个负号，对不对？而这个时候我们后边字到底应该写三英 f 呢？还是写考生 f？ 主要是看着谁啊？看着他的倍数对不对？他是一个基数的。 机变偶不变对不对？机变偶不变啊，机变偶不变，机的话他应该变对不对？变成烤声音 r 法是不是很简单啊？接下来我要加快速度了啊，加快速度了，然后的话，你看 第一个他前面的系数是负的，负的话我们看作是零，对不对？负的话我们看作是零，所以说零减去十一派，对不对？呃，不是十一派啊，减去十一，减去十一，然后他等于多少？是不是 等于负十一呀？那负十一加一个多少才能变到一到四这个象限呀？是不是负十一加上十二呀？对不对？等于一，哎，那在第一象限，我们知道他的正弦值是正的，对不对？正弦值是正的，所以说这儿不会变啊， 不用填，呃，不用填正符号了。而这个时候的话，那到底是写三应 r f 呢？还是写考 c e r f 呀？主要是看什么呢？主要是看这，主要看他，他这是一个基数还是偶数呀？基变，哦，不变，所以说基数的话应该变一下，变成考塞应二啊， 对不对？是不是很简单呀？哎？啊，然后我们接下来加快速度啊，你看前面是一个正的，呃，系数是正的，我们直接写一啊，系数为正，看作一，然后的话后边是一个二分之派的 几倍啊？是不是负五倍？负五倍啊？一减负五是不是等于负四呀？那负四加上多少才能变到一到四项线呀？是不是负四应该加上八呀？ 是不是等于第四项线呀？那第四项线它的考塞应值它是一个正的，对不对？考塞应值它是一个正的，所以说这个时候我们就不用改变这儿的正符号了，对吧？ 而这个时候我到底是应该写考三印的二 f 呢？还是写三印的二 f 呢？主要看什么呀？主要看这这个系数，对不对？系数是一个基的基变，我不变，所以说变成一个 啊，塞应 r f， 对不对？很快吧。然后接下来再看这个前面的系数是负的，负的看作是零，然后的话减去一个，这是二分之派的几倍啊？是不是负十倍啊？对不对？所以说减去十等于负十。那负十加上一个多少才能变到一到四项线呀？是不是 负十加上一个十二呀？是不是等于二呀？那第二项线的一个正弦值是多少呀？他是一个正的，对不对？所以说我们不用改变他的符号，对不对？那这个时候的话，那，呃，他前面这个不用添，正符号之后的话，我们要看他要不要改变我们的正弦和余弦呀？ 看一看，这是一个鸡的还是一个藕的？这是一个藕的，对吧？鸡变，藕变，所以说不用变，直接写赛赢 rf 是不是感觉很通畅呀？对吧？而根本不像你学校以前记得那个机变五遍。变你个鬼呀，变你记这么多的公式，这还是一些 k。 等于啊，加了一个二排，如果人家加一个二分之三派呢？ 加一个二分之三派，你能在这能找到二分之三派吗？找不到呀，你是不是还得通过各种的一个组合组合成一个二分之三派？如果考一个二分之一百派呢？ 那考一个二分之一百块你也得找吗？对不对？所以说这个很麻烦的对不对？诱导公式啊，虎哥告诉你，在高中从来都不用记， 对不对？你只需要记住虎哥今天给你讲的这，哎，几分钟了？八分钟的一个内容，我告诉你是三角公式的诱导公式，我真的一通百通，对不对？加油。

大家好，今天我们来讲一下三角函数中的诱导公式，因为我有点感冒了啊，所以今天大家将就听一下，也许呢，诱导公式你不清楚是什么，但是你一定记得高中数学的这样一个口诀，基变偶不变，符号开枪线。 那么究竟是什么含义呢？咱们来看一下，我先把结论告诉你，然后再一一去解释一下。咱们举一个例题，你实际上就清楚了，比如说三啊， 三二派加上 r 粉，他等于多少呢？你一定要清楚的一点是什么？你清楚的一点是，无论是 r 粉还是他这个 r 加上 r 派，他的中边是保持一致的，因为他完整的转了整整的一圈嘛，对吧？中边一样， 中边一样的话，中边位置一样。根据上级和我们讲完的这个三角函数定义，他就是三 f， 那么再举另外一个例子吧，哪个例子呢？比如说来一个三二分之派加， 那么这个三二分之拍加上 f 的话，他等于什么？现在标了啊？比如说在图中我现在画的这个角的中边是 f， 那么现在这个二分之拍加上 f， 二分之拍的中边就是外轴的正慢轴啊， 那加上 rf 的话，他们俩之间差了九十度，对不对？这个就是二分之派加上 rf， 那等号右边就不再是三 f， 而是扣三 f 了。为什么会产生这样的结果呢？比如说我们 p 一这个点呢？是在 r 和这个中边上，他这个坐标，比如是二多号一，那 p 二的话，因为他在同一个圆上啊， 在同一个圆上的话，这个 p 二点的坐标应该是多少？应该是负一，都好。二，你看对于这个 rf 来说，扣三可是正的吧，那么对于这个三二分之派加上 f 的话，他也是正的吧，两个都是正的，因为他的众多标是正的，两个都是正的话，这 来个正好就行。那我们发现第一个没有变名三还是三，第二个变名了，就是说正弦函数右边变成了这个余弦了，啥意思啊？你看这是一个二分之派吧，这个二派。有同学说，老师，哦，不是应该这样说啊，四个二分之派 哦，偶数个二分之派，我们名字啊，就不变啊，这个三对应的还是三，然后左边右边是口三，那就都是口三。那如果说是基数个，这就是一个呀，一个不就是基数个二分之派吗？ 如果遇到了基数二分之派，那等号右边的话就要变名了。原来左边是什么？原来左边我是三，后来呢？这个右边就要变成口算了，这就是基变五变。这基变五变具体来解释的话，咱们就可以看成这个，如果说你这个 k， 我们改成这样一些法 k 倍的二分之派， 如果你这个 k 是基数等号右边，他一定是改造成口算了。理解这意思吧，就是当 k 是基数的时候呢，要变名三，要变成口算，口算要变成三。 什么叫偶不变偶不变？就是说当这个 k 是偶数的时候，我三角还是那名字是不变的，左边是三啊，右边还是三啊，原来就这样一个含义啊，那对于口三当然也保持一致啦，这个也是，这个位置应该写这个二分之派啊， k 背的二分之派也一样啊，如果这个位置的 k 他是基数的话，左边是扣三，右边可就要变成三了啊，这叫几变？五变， 然后如果开始偶数的话就不用变名。你左边是扣三，右边还是扣三，至于你这个中边究竟是这个位置填正好还是负好的话，这个取决于 r 和还有括号里头这样一个中边两个中 分别位于什么位置。第几象限，懂了吧？这就是符号看象限的意思。那具体操作一下的话，咱们来做一个简单的例题啊，注意，这改一下是派。那看好了， 这个题他怎么办呢？我们可以这样来解决吗？你说这个负的六分之十九派，我们可以看成什么？可以看成负三派，再减去六分之派。 哎，这个负三派的话，有同学说，老师这个是基数，哎呀，你不要看这个，我们是基数个二分之派。是问你基数个还是偶偶数个二分之派，所以我们改造成什么呢？改造成负六个二分之派，再减去多少？再减去六分之派， 你看哦，数个二分之拍吧。所以说你原来求的实际上就是负六个二分之拍，再减去六分之 拍。我等会右边变没变名啊？不变名，因为负六啊，他跟的是什么负六？人家是一个偶数，不用便名，肯定还是三按三按负六分之排，但是你说左边他这个位置填的是正好还是负好，这个的话就不一定了。为什么你得画图了？什么意思呢？ 划一下啊，这个负六分之派呢？应该是在这个位置负三十度嘛。负六分之派啊，然后这个负三派，哎，这个负三派，我晕，哪位于 x 的负半轴上对吧？负 负三派再减减的方向是什么方向啊？是顺时针，是负方向啊，所以说这个是负三派，再减六分之派，就这样一个含义，他两个角的话问的是三，你看，因为你这个负六分之派，他这个中边位于第四项线，所以三是负的，然后钱都是挣的， 就他俩符号，他俩这个正弦呢？是一正一副，一正一副的话呢？所以说符号相反，只得填一个符号，懂了吧？那填完这个符号以后的话，我们再继续来。 实际上我想跟大家说的是哪一点呢？你说这个三按服务六分之派和三按正六分之派是什么关系啊？ 三按正六分之拍，你画一下这个中边吗？他来的中边，这个是六分之拍，然后这个是负六分之拍，他来的中边是什么关系？是关于 x 组对称的，也就是说 p 一点，这个 p 一点和 p 二点纵左边相反，也就是三暗之相反的意思。那我懂了， 你三六十度还不知道是多少，这个初三就知道了吧。所以是负的二分之一。然后我们求的是什么？我们求的是画圈部分，人家看的是多少啊？原来你这个整体呢？他是等于负的二分之一，我再来一个负号，那就是负负得正二分之一。所以第一题的话 选 c， 千万不要搞错了，就地区口诀嘛，基变，我不变符号看向线。那继续来看，我们举几个例题啊，势力来看。第一个， 什么叫二 k 派？他当然默认这个 k 呢？肯定是整数 k 背的二派，其实也就是二 k 派，这就是完整的整数圈嘛，也就是说你无论说是 r 分 还是 r， 加上二 k 派，因为我完整的转了整数圈 k 圈吗？不管是正方向还是反方向转了 k 圈，那中边一样的话，根据三角 s 的定义，他们当然可以话筒也好了，对吧？原因在于他们中边一样 第二个，第二个也是这这么回事啊，如果你这个 rf 标到这个位置的话，那 rf 加上派或者派加上 r 粉，那是不是就是在一条直线上？因为是个平角嘛，这个派对吧，派就是平角。所以说我们看三 m 三的话，你点屁的坐标，我们标成了什么？标成了 xy， 现在我放大的写啊，那对于这个屁片来说的话，不就变成了负 x 负啊，因为这两个点是关于圆脸对称的。是不是 纵坐标相反，半径相等，根据三角函数定义，他俩不就是相反数的意思吗？所以这有个负号理解了吧。然后还符合基变不变符号，看一下这个道理吗？当然是符合的呀，为什么两个二分之拍，偶数个二分之拍，所以不变名？下面这个你自己讨论一下就行， 我们继续看第三个图。第三个图的话，咱们就研究一下这个口赞吧。如果 rf 在这点 p 在这个圆上的坐标是 xy 啊，那这个派减去 rf， 这个应该清楚啊，为什么呢？这个脚叉是 rf 吧，你派减去 rf 不就是反方向顺 是往下转了这个 r 和的角度嘛。这就清楚了，我们明显发现这两个角他的中边是关于外轴对称的，那关于外轴对称的话，意味着点屁也是关于外轴对称， 那屁撇的坐标那就变成了负 x 中外了。那就好说了，横坐标互为相反数，根据鱼线函数的定义，横坐标比上半径吧，所以说怎么样？他其实画圈这个位置他是错的，所以你不要认为所有讲印象都是正确的啊，这个位置应该填个负号才对， 对吧？原因就在于一个是副 x， 一个是正 x， 所以这呢得有一个副号。那到这以后的话，咱继续再看啊，这个视力的话，我建议你都画下来自己讨论讨论。我的话就只讲最后一个了啊，前两个你们自己琢磨琢磨肯定清楚的嘛，一个是 f， 一个是 fuf， 对不对？第三个图的话，这样来 标，这个 f 在这。嗯，这个 f 加上二分之派，不就是加上九十度吗？就标到这了，我们明显发现呢，这个如果点屁的坐标是多少？我放大一点吧，是 x y， 如果点屁坐标是 x y 的话， 这个屁撇的坐标，那就变成什么呢？就变成了户外多少 x。 其实刚才我举过一个例题，刚才我举的是二十多号一，这是点屁吧，现在改成了这个字母，以后你也要跟上啊，我们先看第一组啊， 这个三和口三都是正数吗？所以说直接跟上就行了。为什么这个三和口三变名了呢？因为只有一个二分之派，即便我不变基数和二分之派，这也是基数和二分之派，所以变名了。但是第二行的话，有个富豪很爱眼，究竟为什么？怎么来的？这个富豪好说，三是不是正点？好说话，肯定 是正点，因为 f 是第一相应角，那这个二分之派加上 f 是第二相应角，横坐标是个复数啊，同学们， 所以懂了吧。符号看相线，就这个意思，即便我不变符号看相线，接下来我们就正式做题啦，希望你能跟上啊。下边是这个总结，即便我不变符号看相线。说了很多遍了，来，先看第一题，二百一十度不顺眼吧。你二百一十度不顺眼的话，索性我就直接写上什么，写成 一百八十度加三十度，也就是两个九十度，再加上三十度。 首先偶数个九十度不用变名吧，后边肯定还是跟的散，但是前头决定是正好复好的话，这个必须画这个图了。一开始不熟练的时候，那我们看一下这个图啊，三十度呢，这个中边肯定在第一象限，然后三十度再加上一百 八十度的话，也就是二百一十度啊，你看，肯定一个正一个负了吧，对于三来说，所以是负负多少？负的二分之一啊，这你还能不知道是多少吗？来看第二题，第二题的话，咱们也是改造一下形式， 你这个六分之二十九派呢？我们最好改造成什么样子呀？给他改造成六分之二十四，也就是四派， 再加上六分之五派，那多简单呢？所以说我们求的这个原式，它实际上就是扣三多少，扣三六分之五派。为什么？因为四派是完整的，整整的，多转了两圈，中边 是一样的啊，就你这个四派加上六分之五派，跟六分之五派本身中边一样，我这个口散当然就一样了，是不是相当于让你求这个口？三六分之五派，那接下来又怎么求呢？六分之五派我不知道啊，但是，但是你肯定知道六分之派吧， 也就是说派减六分之派。懂了，你这个位置是个什么东西啊？我这个位置是几个？是两个二分之派，所以是偶不变吧。所以说名字呢，不要变，还是扣三六分之派。但是接下来这正负号的话，你就要注意了，就这个位置究竟是正还是负？标一下呗， 看六分之派的中边，在第一象限嘛，也就是三十度，然后派减六分之派呢？派减六分之派的话在第二象限，你看对于点 p 一和 p 二来说，他俩的横左边一个正，一个负，所以这两个呢？一个正一个负，所以要填负号呗。 那最终算完之后你肯定会啊，负二分之根号三嘛，是不是负二分之根号三咱们就填完了。然后下一个题的话，这个就看一下，我稍微提示一下吧。有同学说，老师这个算的太多了吧，也不多。 为什么？你摊着的四派是多少？你四派的话，四派这个中边是位于 x 的什么非副办轴上，也就是说点屁的坐标肯定是 x 多少零。 那摊子呢？本来是等于这个纵坐标比上什么呀？本来是等于重坐标比上横坐标的，那不就零比上 x。 所以说摊子的四派其实是零，零的话，你说中间这一项还需要算吗？不用算任何数乘零，他其实就是一个零。 其实我们看到这以后的话，只需要算谁啊？只需要算就是前后这两项就行了啊。然后我就直接说答案了，好吧，前后你算出来以后呢？ 其中一个是多少？其中一个呢？他是二分之一，另外一个是减二分之一。那最后算完的话，最后多少？因为他有个负号码就是零就可以了啊。最终算完是零，最后一个 这个的话确实有难度，这个立二立二的话东西太多了嘛，咱一步一步来啊，一共就五部分嘛，第一部分，第二部分，第三部分，第四部分，第五部分，这五部分分别算出来代入就行了。 那我们索性先算这个三案可不可以啊？可以吧，也就是说，哎，画圈这部分怎么算？你这个十四分之十三啊？我看的不顺眼， 我希望把它看成多少呢？我希望呢，能把它看成四分之十二加四分之一，也就是多少啊，也就是三派再加上四分之派。这个的话六个二分之派不用变名吧。所以实际上画圈部分呢，他就是三 四分之派，但是最终需不需要跟这个负号，这你就得搞清楚了，需要跟一个负号最终算完。画圈部分是一个负到二分之杠二。注意啊，画圈这个整体是负到二分之杠二。第一部分 算完了，然后这个第二部分你算一下是多少？第二部分的话我就直接说吧，第二部分是二分之一，然后这个分母的话出现一个贪着呢，这个贪着呢就很难吗？也并不是，我们这个三分之二十三，现在算的是第一部分的分母啊， 三分之二十三的话，我希望把它看成三分之二十一，也就是七派，再加上多少呢？再加上三分之二派。你这三分之二派不就是一百二十度吗？咱这样标啊，三分之二派，七派再加上三分之二派，这不就还是吗？三分之二派。他俩呢？这个中边是关于圆脸对称的， 所以说他俩这个贪真的什么关系啊？肯定是相等关系，所以就直接写成贪真的多少贪真的三分之二派，写成这个样子，那写成这个样子以后呢？不满意他呢？其实就是富的贪真的三分之派，也就是富的根号三。所以 第一部分这个分母呢，算出来是负的根号三就行了。然后剩下的部分我就不相信说了啊，我告诉你们算出来是多少， 直接带入原式负的二分之根号二。还记得刚才算出来是多少吧？乘二分之一，这个分母是负的根号三。然后第二部分的话我就直接带了啊，这个的话是一个是二分之根号二，另外一个是负的二分之根号三。 我们化解一下吧。化解之后的话，第一部分是多少？第一部分是十二分之根号六啊，然后第二部分呢，是负的多少？负的三分之根号六。 那经过整理之后，最终结果是负的四分之根号六，所以横向上填负的四分之根号六就可以了。这个题一步都不能错，你只要一小部分错了，剩下答案应该都算错了。最后一道题的话，有一个比较碍眼的地方是什么呢？就是说他是两 里头有派，这个目标，里头呢也有个二分之三派，这怎么办呢？其实我们可以用整体法，很多时候呢，其中期末都要考这种题，我们整体法的话，可以把 a 就直接写成这个派加 r 粉。 然后角 b 呢，直接写成二分之三派加 r 粉。我们探讨一下这个角 a 和角 b 之间有什么关系？ 角 a， 角 b 之间哦，角 b 比角 a 大了多少？大了九十度啊，也就是说这个 b 是等于角 a 再加上九十度二分之派的， 所以他本身求的是三 b， 这没问题吧？其实我们完全可以把它改成这个三二分之派加上 a， 基数个二分之派要变名吧，那就变成口三 a 了。接下来究竟是正还是负？哎呀，你假装假不假，让你标一下，比如说这个 地方是 a 吧，然后这个 a 加上 a， 再加上二分之排三是正的吧？ 扣三 a 也是正的吧？他俩符号相同嘛，所以实际上最终算出来就是扣三。扣三 a 告诉你了，是一时条件五分之四，所以用整体把来算的话，马上就算出来，答案就是选 c 了。分享课堂知识，感受数学之美。我是安帆老师，下期课再见！

大家好，欢迎来到伯利数理化之间，我是为你们在数理化学习中排栏解惑的王老师，这节课我们接着上节课来看一下剩下的几个诱导公式的推导方法。那么诱导公式上节课我们讲了偶不变 与符号看相线，这个我们都知道，那么现在我们来看一下机变是什么意思，就是这四组啊，诱导公式的推倒，那么符号看相线。我们昨天给大家推倒的时候给大家说过，我们现在扔一角放在直角坐标系当中来研究 x、 y， 而且我们还知道还知道啥，还知道他的撒应，我们继续写这撒应阿尔法是等于 yebl 是 yebr 是由他的中边上的纵坐标中正边上某一间的纵坐标掘进，他的符号 r 是这个圆的半径，那么考撒引阿尔法等于 xbr， 那么贪准他阿尔法等于 y b、 x。 我们都知道正弦有纵坐标， y 求径，于弦由横坐标 x 求径，那么正切由纵坐标与横坐标共同求径。 那么现在我们也知道第一相线他的横纵坐标就是正的。第二相线横纵坐标是负和正，第三相线是负负，第四相线是正负。 那么既然我们知道这情况，我们现在就可以来推倒了。那么昨天我们说了，当阿尔法前面的这个，这个不在一部分，比如昨天所讲所讲过的里面二开拍 加减阿尔法的二开拍，我们知道是二分之阿尔法，二开拍是二分二，派是二分之阿尔法就是三百六十度，是九十度的四倍，是偶数倍。那么昨天讲过的派加减阿尔法派是一百八十度，二法 派加减一百八十多，派是九十度的二倍，那么四倍，二倍都是他的偶数倍。那么今天我们要看了，你看二分之派加减而发的二分之派是九十度的一倍， 二分之三派就是二百七十度，是二分之派的三倍，那么这些都是基数倍的，那么基数倍啥意思？就是基变到底怎样来变？函数名要发生变化，就是前后经过诱导公式诱导以后，他的函数的名要发生变化。怎样来变正变语语变正就是正弦变语弦，语 弦变正弦正正切变于切，于切变正切，但现在我们没说于切，我们主要说一下正切就行。好，那么现在我们来简单的看一下他的这个诱导公式的几个推倒，由此我们就知道基变说明今天的函数明全部要变的，那么撒引二分之二分之派减二法，说明他最后肯定是考撒引二， 那么是正还是负？我们就要符号看相线，二分之派减阿尔法的第几相线在第一相线，因为二分之派是九十度，九十度减去一个锐角肯定他在，你看这就是九十度的位置， 九十度的位置，那么再剪去一个锐角加进，这就是二法。锐角他剪完以后，他的这个角到这他刚好在第一象限里。既然的第一象限说明他三应还是大于零的，因为第一象限横动坐标均大于五万也大于零，所以他就等于考三眼二法一定记清楚 符号看相线看的是原函数的符号，是看的是左边原函数的符号的。这个这个相线啊，这个相线，而不是现在你推倒出来，有些学生这一写说函数明变了，变成考三眼二法了，然后给我对着这看考三眼二法，那么你又注意那是错误的。那么现在我们来看第二个考三眼二分之派减 二法，考三考三应，二分之配减二法，他的地理相限。首先我们要确定考三应的符号，考三应的考三应，他现在要变的是 要变了，你看，即便要变的是函数明，那考三也要变成三应，所以是三应二法。那么二分之派减二法基笔相线还是在第一相线。 第一乡下的烤山印是大雨林的，因为他的 x 大雨林，所以这也是三银二发，三银二发前面也是大，也是正，正好也是正的啊，这个要理解， 那么摊正，他二分之派减二法，同理，二分之派减二法，第一相线，第一相线的 y 大于零， x 也大于零，那么 y 除 x 还是大于零的，所以摊子的还是大于零，那么他正切要变于切，就是靠摊子他而发，这是他的特点。好，我们再来看下面的三个三应，二分之配加阿尔法， 那么三引二分之配加尔法是多少？三以九十度，加尔法九十度。我们来看一下，这是九十度，我们刚说的阿尔法加进，这是阿尔法，这是阿尔法九十度加这个阿尔法加一个锐角，刚好跑到第二象限。 那么第二项线的挖译指是大于零的外大于二指大于零，所以函数明显发生变化，三应变成考三应，所以这是考三要二法。由于 y 大于零，所以原来的三应这是大于零的，所以考三要二法大于零。符号看原函数的符号啊， 那么考三二分之派加二二发了，考三二分之派加二二发，相当于这个角，我们刚才说的就是这个中边，这个中边二角，他的第二象限，第二象限的考三应。我们要清楚，由于 x 是小于零的，所以考三应也小于零，所以他的现在变成三应阿尔法，他是负的。三应二法啥原因？因为现在符号看 线看到原函数这个的符号是小于零的，所以函数明变了以后，符号要填过去，就是负的函数值。好，再来看摊子的，那么摊子的二分之配 加尔法，摊子的二分之派加尔法，他在第二相线，第二相线是横纵，横坐标，负纵坐标正，两个互为一号，既然互为一号，所以他的函数名肯定变成靠摊子他了。互为一号肯定是负的，所以是负的，靠摊子的而法。嗯， 好，那么这这我们再来看二分之三派加阿尔法的撒影，二分之三派加阿尔法，二分之三派是二百七十度，在这在这。你看这就是撒影，阿尔法是二百七十度的位置二百七十度， 那么这就是二分之三派的位置二百七十度。那么现在加阿尔法，阿尔法是一个锐角加进，这就是阿尔法，那么我们加了一个阿尔法，说明这个角就相当于从这 已经到这了，跑到地底翔线了。中边的第四翔线。说明说，说明，二分之三派加阿尔法是第四象限的角，因为昨天我说过，诱导公式中的阿尔法全部当做锐角来看， 那么二分之三配加二法是第四相加第四相加的三应。我们清楚，他的蛙也是小运的，所以三以小于零，所以函数明变了，变成考三应，二法，他是小于零的辅导。那么考三应，二法第四相限的考三应。 考三应的符号有 x 角径，第四象限横坐标刚好是正的，所以考三应是大于零的，所以函数明三考三应变三应是三应，二法是正的。看与因为原来他是大于零，现在还是大于零， 那么贪住他二分之三派加二法，二分三派加法也在第四强限，说明他肯定要变成，因为是基变，变成靠摊主的二法。由于第四强限挖一行也开始互为相反数，所以在 这是负号，一号得负，你看是不是很简单？那我们再来看三应，二分之三派减二法。刚才我说了，你看从这到这是二分之三派减去二法加进，这就是这是二法，那么减去二法，说明他的这个中边刚好到这， 这就你可以认为是二分三派减二法减完的第三小线。既然是第三小线，还说明全部要变的三应变成考三应而发，那么第三强线的三应，我们知道三应是小于零的，所以这是符号。 那么第三项的考三应变成三应阿尔法，他的考三也是小于零的，所以也是符号。那么可贪政的阿尔法又变成考贪政的阿尔法，由于贪政的阿尔法第三条也大于零，所以考贪的阿尔法第三项也大于零。好，那么这就是我们常见的诱导公式，我们今天就推导完了，大家发现其实诱导公式这样的理解 他是非常简单的，不要说死记硬背诱导公式你这样推倒一遍以后，那么诱导公式全部就记下了，不要说呀，公式太多了，我要背这个是背不下，因为他非太相似了，你看符号以及函数名有点相似，所以很容易混淆，不要死记硬背。 那么后边我们还要看，还要看这个正弦余弦正切，他的三九函数图像的特点，我们讲的时候大家希望能够注意，请讲啊。好，这节课内容我们就分享到这。