焦点分弦成比例公式推导

同学们大家好，今天我们主要讲解一下椭圆的定笔风险的正面方法和对应的立体。 先看一下相关的结论说法，过臀的焦点 f 做直线，焦臀于 ab 两点。我们知道椭圆分两种情况下，一种是焦点在 s 组上，一种焦点在外轴上。我们今天主要选择的是一焦点在 s 上的一个情况， 那么对于 f 来说，它分为左和右，我们今天选择的是左脚点 f 一好，若 af 比上 bf 是拉姆的，那么此时其实就是 af 一比上 bf 是拉姆的 ab 的。请讲为什么 c， 他叫写了一位 k， 那么有两个式子，一个是多少呢？ e 考上 c 大几对之等于拉姆的简易，属于拉姆的加一就对之。那另外一个呢？就是一等于更好，像一加 k 乘以拉大减一除以拉大加一九一至。那我们今天主要证明两个数字成立。好，看图， a 点 必点 f 一。吉塔都已经出来了，大家考虑一下我们什么时候出现？考察吉塔是不是在鱼线定理里面出现过。其实我们自然要想一想如何去构造鱼线定力，我们可以取他的右脚点为 f 二， 连接 afr 好，那么在 afefr 里面就可以构造什么。我们的舆情定理，在三角形 afefr 中， 我们的考三 c 哈是不等于多呢？ a f 一的平方加上什么 f 一 f 二的平方减去 a f 二的平方除以二倍的 a f 一 f 一 f 二好， 我们的 a f 一是谁咱不知道，但 f e f 二呢，是我们的二 c， 那 a f 二是谁的也不知道，但咱们知道 a f 一和 a f 二有个关系是是谁来就是 a f 一加上什么 a f 二等于什么二 a 好，因为我们要保留 afe， 为什么保留 afe 呢？因为 afe 比方 bfe 是拉姆的，所以说你自然就要把什么 afr 给替换一下。 afr 是谁呢？是不是我们的二 a 减去 afe？ 好，我们进行替换一下， 收到了 af 一的平方加上 f 一 f 二的平方减去二 a 减去 af 一的平方好， 除以二倍的 a f 一乘以什么 f 一 f 二好，我们把屏幕打开，是不是 a f 一的平方减加上什么 f 一 f 二的平方减去 四 a 的平方减去四 a 倍的什么 a f 一加上什么 a f 一的平方好，除以什么二倍的 a f 一乘以什么呢？ f 一 f 二好，大家看一下，尽量往后计算好吧。 q 号 是不是 af 一的平方加上 f 一 f 二的平方减去四 a 的平方加上四 a 倍的 af 一减去 af 一的平方除以 二倍的 a f 一乘以什么 f 一 f 二好，大家看一下这个峰子里面是不是有一个 a f 一的平方有减去 af 一平方，所以这样就没有了吗？对不对？好在我画写 我们的 f e、 f 是谁啊？是不是我们的焦距二 c 二好的数据，二 c 的平方就是谁，四 c 的平方减去四 a 的平方加上四 a 倍的 a f 一。吹什么呢？风木，大家注意风木啊！ f e、 f 是谁二 c， 所以说二乘以二 c 是谁？四 c 好，四 c 乘以什么呢？ a f 一好，我们知道那个在腿那边讲， a 方减 b 方是 c 方， a 方减 c 方是 b 方，说这一个什么 cc 方减去 c 方是不是可以列为它是副的？ c 方减去 cc 方是不是副的 cb 方的意思啊？好，副的 cb 方 加上四 a 倍的 af 一除以这个分母。什么四 c 倍的 af 一，好，好，大家往后证明啊！这个时候怎么办呢？我们把整个分母给他乘过去，是不是得到什么？得到四 c a f 一乘以这个考三 c 弹顶多呢？负四 b 方加上四 a 倍的 af 一，好，我们把这个狮子给他移到左边去。把这个四比方移过来，是得到什么？得到四比方等于多呢？四 a 倍的 af 一减去 四 c 倍的 afe 倍的考三 a c 塔，好。大家发现问题没有？他是不是每个式子都有谁都有个四对不对？所以你可以把四字拿了，同时给他约掉。 好账号。右边是不是有一个 af 的功能啊？把提取出来， a f e t 出来，是不是 a 减去 cb 的卡萨 a c 塔， 好，正好我们把这个 a 减 c 倍的款式卡片索取。得到什么？得到 afe 等于 b 方倍的 除以什么呢？ a 减 cb 的 cosm 好，这是我们目前通过第一个三角形的余弦定理，得到了一个结论，就是 afe 等于 b 方除以 a 减 cb 的款 c 塔，好，那大家猜想一下，那么我们 af 已经穿了，我们怎么证明 bfc 呢？很明显，是不是要过到什么？过到三角形 bfc？ fram 啊，这是谁？太监 c 塔，所以说我们可以同理 啊，这些同理过程中啊，大家怎么证明这个 bf 一啊？其实大家可以按照这个思路再证明一遍好不好？好了，有说 af 一和 bf 的区别就是，他们可是一样的，所以说同理才知道我们的 bf 一就是谁。 b 方除以什么呢？ a 加上 c 倍的考三 c 他好。大家注意好，一个是减，一个是加，为什么呢？因为他们俩的角度是不一样的，你看一个是 c 他角，一个是太点 c 他角，他们两个两角合为幺八零度吧，他们的指指相反，咱们对不对好？正好 我们的 afe 和 bfe 已经证明出来了，那么这要怎么样呢？ afe 比上 bfe 是那么大好。 a f 一比方什么 b f 一是等于拉姆打的，那就等于谁呢？是不是等于这个 b 方除以谁的 a 减 c 倍的靠三 a c， 他属于什么呢？ b 方处于什么呢？ a 加上 cb 的 cosm ec， 大家看一下是不是分子分母，它都有什么？ b 方对不对？选 b 方可以预料好变成谁呢？ a 减 cb 的烤三饮， c 碳分之什么 a 加 cb 的烤三营， c 碳好。这样个式子出现，好在这往下写，这时候我们还是把这个分母给它盛过去，变成谁？ lam 的贝的 a 减 cb 的靠山音 c 弹等于 a 加 cb 的靠山音 c 弹好。开幕号拉姆的 a 减拉姆的 cb 的靠山音 c 弹等于 a 加 cb 的烤山银， c 塔好。这个时候怎么办呢？我们把这个减去拉姆的 c 杯的烤山银给移到右边去，把它 a 给移到左边去，变成谁？拉姆的 a 减 a 等于多少呢？ 拉姆的 c 考三 a c 塔加上 c 考三 a m c 塔好。我们变形一下，左边的话呢，是拉姆的 a 减 a， 曾经可以把 a 给提取出来，变成谁？拉姆的减一倍的什么 a， 而右边的话呢，是给你可以把什么 cb 的款式塔提出来， cb 的考三英， c 塔提出来，变成谁拉姆的加上一 一好，这接着，然后呢，你把 a 给他除过来，把拉姆的减一加一给除过去，变成谁变成拉姆的减一除以什么呢？拉姆的加一等于 c 倍的考三 ac， 他属于什么呢？ a， 好，咱们知道这个 a 分之 c 是 e， 对不对？所以就等于多呢？ e 考三 ac， 他好，这样的话，这个狮子就出来了， 就是一跑向 c 塔，等于拉姆拉加一分支，拉姆拉进一。那大家还会考虑问题，为什么他这个原始共识中给大家举举指，看到没有，大家注意一下，知道了吧？而我们的证明方法呢？其实没有绝对知道，为什么呢？好， 这就是下一步问题了，为什么会有举止的差距分，好，我们考虑一下，比如说还是一个图形为标准，好吧，刚才咱们说，我们把这个过程 猜一下，好吧，因为大家整理一下，我们猜猜过程，好吧， 好，我们刚证明到哪一部分，大家知道吧？这不证明到这个 e 考三 ac 探等于拉姆的仅一除以什么？拉姆的加一，好，我们下一步是什么？举例之 好，为什么呢？因为大家注意好，我们这个图形，目前给的来说， ab 的青角西塔为什么为正直，但是呢，我们的 ab 是不是可以是这种情况下，大家看一下，是不是有可能是这样的情况下， 这个手的吉他可能是什么？是个顿奖，那么这个时候呢，考察吉他可以是什么？可以是负的，说他是一个什么？可以是正的，也可以是负的。这第一方面，另一方面呢，我们的 ab 的位置不明确，我们只是 知道他交于椭圆于 ab 两点，那么 ab 在什么位置都明确，比如如图所示，我们如图，我们假定一下， 假定 af 一除以什么的，我们的 bf 一是我们的二， 那这样的话，我们会得到什么？得到一倍的考三 ac 弹等于什么？拉姆的减一除以拉姆的加一等于谁呢？二减一除以什么呢？二加一是等于什么？三分之一，因为一是个什么值？ 正直款式，他来也是正直，这个柿子呢，是有可能成立的，但是呢，如果说你把 a 给放下边来，而 b 呢，放上边去，这样下来，我们这个假的那个柿子是应该变成谁呢？变成我们的 bfe， 除以我们的什么？ af 一等于二，那正好这个按照这个题来走的话，拉那是不是等于多少呢？二分之一啊，那么这个时候算什么？一考三 ac 弹 顶多呢？拉姆的减一除以什么？拉姆的加一等于多呢？二分之一减一除以二分之一加一是等于什么？负的三分之一，那这个时候很明显就错误了，为啥呢？因为我们的理性率是什么？正直考拉，接下来也是正直，怎么会出现负三分之一？对不对？所以说我们加上几对直是更稳妥的一步。 好，这样下来我们就把第一个识字就是一考上最大的绝对值等于拉曼的锦衣，除以拉曼加一的绝对值证明出来了，大家在做题过程中一定要注意好 这个角度可能是什么顿讲，也可能是锐讲，拉姆呢呢？可能是长比短，也可能短比长，所以你一定要这个思路。记，只是说这个方法 非常不错的，是他做起非常非常快，因为马上我们会有两个力气来证明他比较快，但是呢，你不能因为快而记错这个公式，或者说没把公式记完整，这样肯定是不行的，对不对？好了，看后面那个 为什么会出现一等于根号下一加 k 方乘以拉么？大减一除以拉慢加一学一试，大家对比一下两个式子，好吧，我们还是把下面先擦一点，这样的话我们就方便一下，好吧，好好， 大家对比下两个数字，一个是谁？一亿考三 a 吉他的绝对值等于拉姆的简易，属于拉姆的加一的绝对值。另外个嘞，是不是一等于多呢？更好像什么一加 k 方 除以什么乘以拉姆，那听一除以拉姆那加一的去对峙，你发现问题没有？后面是不是一样子的？好假的，我把后面给他替换。 是不是顶多呢？根号下一加 k 方乘以什么呢？一考三 a e、 c 他的距离值，而理性率 e 是杨子的预料，是不是得到什么？得到一等于什么？根号下一加 k 方乘以什么？考三 a， e、 c 他的距离值。那么可以得到什么？得到根号下一加 k 方 等于多少呢？考三 c， 他的绝对值分之一。那么问题是，这两个式子的转换其实就来源于什么？来源于这一步就是根号下一加 k 方等于考下 c， 他的绝对值分之一。那么这部为什么成立？来我们来证明一下，好吧，好，大家看一下啊， 我们知道 k 顶多呢？摊进的吉他，那么根号下一加 k 方就顶多了根号下一加 安宁的平方 c 塔，好，这个名字对不对？好了，而我们知道谭宁的是谁啊，是不是三比考三啊，所以说这个根号下一加上什么贪宁的平方 c 塔就可以理解为什么根号下一加上三平方 c 塔属于什么考三 a 平方 c 塔 顶多呢？我通喷一下好吧，是变成谁变成考三 a 平方 c 坦除以什么考三 a 平方 c 坦加上什么 三 m 平方 c 塔除以烤三 m 平方 c 塔顶多呢，更好下什么烤三 m 平方 c 塔分支什么三 m 平方 c 塔加上烤三 m 平方 c 塔是不顶多呢，更耗一下什么 靠山人平方 c 塔分之什么一定什么靠山人 c 塔的距离值分之一，这就完事了。有这个狮子也是成立的，有说 根号下一加 k 方就是等于考南西塔绝对值分之一的，所以说这两个狮子其实是等下性命题的，它并不是两个结论，而是一个结论加上一个什么根号下一加 k 方等于考南西塔绝对值分之一，而换成另一个方式来写的。好，大家整理一下好吧， 至于那个焦点在外组成，他的证明流程是扬子的，大家一起可以去证明一下。我们在平常的训练和考试过程中，主要还是我们的一号方式就是焦点在矮组成，但是你不能说 一号考的多就把一号记住，二号不管了，那肯定不行的对不对？因为他也有可能性出现焦点在外轴上，所以你最好还是把他记得更加清楚，更准确一下，这是最合适的。好，大家看一看，如果说某一步有问题没听懂， 你可以给我留言私信，我们来一起处理一下。好，大家整理一下这个过程。好吧，整理好之后，马上我们做两个立体来感受一下。

各位读，大家好，我们再来看这个非常重要的，可以适用于椭圆双曲线抛物线的焦点衔。结论，那就是 eqcnf 的绝对值等于拉姆的简易比上拉姆的加一。这个拉姆的代表的是 a f 和 b f 中较长者，比上较短者。 来，我们看你这个题目，说有个椭圆有一个过左交点的直线交于 ab 两点， af 比上 bf 等于个二。问你离心率是多少？很简单，直接带入公式，一乘以扣三以六十度，因为是正的，不用带绝对值， 拉姆的等于个二。因为题目中说 af 和 fb 是二倍关系，于是二减一比上二加一也就等于三分之一，于是二分之一，一等于三分之一，一等于三分之二。此题拿下就是这么简单。

来，我们上课，今天我们开始讲提醒二十焦点弦比例公式。那这个公式的内容是什么啊？我们往下看，这是数理第一条。呃，已知焦点在 x 轴上的圆锥曲线 c， 那就说明椭圆双曲线抛线都可以，对不对？ 经过焦点 f 的直线，将曲线于 ab 两点，呃，大概画一个图吧， 这是 a， 这是 b， 这是有一个焦点 f。 如果满足 af 等于蓝倍的 fb， 那这是一个焦点弦，有一个比例，对不对？那么离心率满足一乘口散， satsat 是倾斜角，等于咱们的 减一比上拉姆的加一绝对值啊，那还可以等于什么呢？ e 等于个号下一加 k 方，拉姆的减一乘拉姆的加一的绝对值。也就是这两个公式实际上是一个，你把这个的 k 变成赛谁的比扣赛谁的一整理，就是右边那个公式啊。 然后你注意，如果是双曲线的话，这两个焦点得交于双曲线的意志上，如果是两只上的话，公式就变了，变成这个了， 也就是蓝的加一比蓝的简易，后面分子分母颠倒了啊。但是到现在为止还没出现过较在两只上的时候啊。那这个公式是怎么来的呢？是由椭圆，呃，是由双曲线的第二定义来得来的，也就是准现， 对不对？那高考大题出现了，能用吗？肯定是不能用的对不对？那小题你用，这个咱们也不用推倒了啊，直接背公式就行了，那大题又不让你用，那怎么办呢？伟大定理啊，就可以大题也会考啊，用伟大定理做就行了。呃，咱们后面讲大题的时候出现了，咱们再说 小题就直接用公式啊，然后我们再看第二条，第二条说是焦点在歪轴上的时候，你看焦点在歪轴上的时候，注意 在这个地方是不是鱼弦变正弦了，这个地方是 k 变 k 分之一了，其他的地方是不是没变 啊，然后也背下来。但是怎么说呢，主流的考试，这个焦点在 y 轴上没出现过啊，几乎所有的难题在原创曲线题里啊，一般来讲都是焦点在 x 轴上啊，如果 是椭圆和创曲线的话，那如果抛物线呢？抛物线有离线率吗？抛物线也有离线率啊，离线率永远为一，因为离线率的定义啊，实际上是到焦点的距离和到直线的距离的比，那离线率肯定是一了是不是？只不过抛物线 如果考抛线了的话，除了可以用这个公式之外，咱们也可以用焦点弦抛线的。焦点弦和交半径公式去去解啊，两种方法都可以啊。好了，这是知识梳理，咱们就到这 我们来看例一，这是二零一零年全国一卷的十六题，是小题的压轴题，说 f 是椭圆 c 的一个焦点， b 是短轴的一个端点线段， pf 的延长线交 c， 余的满足 b， f 等于二倍的 f 的来看我左边这个图我画出来了啊，他问你离心率，那这明显 a 有 b 的，这是焦点弦，又告诉你比例，所以咱们可以考虑用焦点弦比例公式是不是我设轻轻角为 c， 他吧，那公式是 e 乘口塞谁，他的绝对值等于蓝贝的减一，比上蓝贝的加一，蓝木的加一，对不对栏目的等于几？明显是二对吧。这道题，那他就等于三分之一呗，一乘以，哎，口塞谁？他是多少呀？ 你看在三角形 bof 中，这是 b， 这是 c， 这是 a， 口算谁？他是不就是 cba 啊？那 cba 是什么？是不是就是 e 呀？ e 的平方等于三分之一，所以 e 等于三分之个号三。你看这一个压轴题，咱们就很快就做出来了。 好了，这道题咱们到这。

学会今天这个技巧，以后做题就是秒我的天呐！在原理曲线中，如果过焦点且斜立为 k 的直线交曲线于 ab 两点，并且 af 等于棱的倍的 fb， 就会得到下面两个公式。这就是大名鼎鼎的焦点弦比例公式。 我们做两道题，熟悉一下公式的应用。先看第一题，焦点弦斜列为 k， 交 a b， 并且 a f 比 b f 等于二，所以 lum 的等于二。 又有一抛物线离心率等于一，所以一等于根号下 k 方加一乘上二减一，比上二加一的绝对值， 解出 k 方的值等于八。因为 k 大于零，所以 k 等于二倍，根号二。第二题倾斜角为四分之配，那么 k 等 等于贪店的四分之派等于一。又有于交半径交于 ab， af 等于二倍的 fb， 所以棱的等于二。 带入公式一，等于根号下一的平方加上一乘上二减一，比上二加一的绝对值，最终一等于三分之根号二。你们学会了没？

同学们大家好，我是王老师，今天讲一下椭圆交点弦公式应用。首先我们先了解一下啊，什么是椭圆的交点弦。 一条直线经过椭圆的焦点，被椭圆所结的线段称之为焦点弦，焦点弦公式可以通过椭圆定义和余弦定理去进行推导。接下来我们看一道高考题啊，椭圆的上定点是 a， 两个焦点为 f v f 二， 离心率是二分之一，过 f 一且垂直于 i 发的直线与 c 较于 d 两点 d 等于六。 求三角形 i d、 e 的周长，求一个三角形的周长啊，也就是求他三边和。因为离心率 e 等于二分之一啊，离心率是等于 a 分之 c， 所以可以得到 a 等于二 c。 观察三角形 a f 一 f 二，在三角形 a f 一 f 二中 f 一 f 二等于二 c a f 一等于 a f 二等于 a 等于 i， 也就是等于二 c， 所以三角形 ifef 二是等边三角形。又因为直线 d、 e 经过 dfe 且垂直于 ifr， 所以 da 等于 dfr e a 等于 e f 二，所以三角形 a、 d、 e 的周长和三角形 d、 f 二 e 的周长相等。因为 d、 e 加上 d， e， f 二加上 e， f 二等于四 a。 接下来我们只要求出 a 的大小啊，就 就可以求出三角形的周长，因为 d、 e 的长度等于六。嗯，且直线 d、 e 的倾斜角是三十度。我们可以利用交叠前公式，所以 d、 e 等于 ib 方，除以 i 方，减去 c 方，乘以库苍蝇阿化平方等于六。 再利用小 a、 小 b、 小 c 之间的数量关系，最终解出 a 等于四分之十三，所以三角形 a、 d 的周长是十三。

上个视频咱们推到了 a f 和 bf 的场，咱们这个视频继续推 a f 加 b f 的长，也就是 ab 的长。从图中咱可以看到，这个 ab 的长等于 a f 长加 b f 长， a f 呢？等于 x， 一加二分的 p， b f 等于 x， 二加二分的 p， 那整理出来就是 x， 一加 x， 二加 p， 这是第一个公式，那咱们还可以用第二个推他公式， p 除以一减考三 c， 他 然后再加上一个 p 除以一加考三 ct， 那这两个咱们进行通分通分，一减考三 ct， 乘以一加考三 ct。 分子 p 背的一加考三 ct， 加上 p 乘以一减考三 ct， 一减去考三防 ct 分子是二 p， 整理一下等于二 p， 三防 ct， 也就这个 ab 的总长， a b 的总长等于二 p 除以三方 c 的。而且从这里面咱可以发现，当三 c 特等于一的时候，二 p 除三方 c 的取得最小值， c 特等于九十度，三 c 特 等于一是二 p 除以三方 c 的整体取得最小值，最小值是等于二 p。 通径 a b 等于二 p。

今天我们来简单证明一下这个结论，只限过抛物线外放等于 r p x p 大于零的焦点 f 与抛物线交于 a b 两点，若 a 在第一项线， b 在第四项线，则 a f， b f 以及 a b 的长。同时又告诉了阿尔法是 a b 的倾斜角， 倾斜角呢，就是直线向上的部分与 x 轴正半轴所围成的角，就是这个角，就是 a 法。 我们继续来看，要求 a f 其实就可以转化为 a f， 就是转化为点 a 到抛物线呃，转线的距离过点 a 做转线的垂线交于点 m， a f 就等于 a m。 然后呢，我们想用把 a m 在 x 轴上表示一下，就过点 a 做 a e 垂直于 x 轴，垂足为点 e， 然后就转化为了 h e h e 呢？又可以表示成什么呢？就可以表示成把它拆分成 e， a f 等于 e f 加上一个 h f， h f 呢？继续看，等于 o h 加上 o f， 其实就是二分之 p， 加上二分之 p 就是一个 p， 就等于 e f 加上一个 p。 然后到了这里我们再看，其实求 a f 就转化为求 e f， 那么我们再把它放在一个直角三角形，在二 t 三角形 a e f 中， e f 比上一个 a f 等于 口撒引阿尔法。引边比斜边，所以 e f 就等于一个 a f 倍的考撒引阿尔法。所以我们就可以把这个式子整理成这样了， a f 等于 a f， 口撒引二法加上一个 p， a f 乘上一个一减口撒引二法就等于一个 p。 我们肯定看到这个要求 a f， 咱们现在目的就是求 a f， 肯定就是把这一部分直接除过去，但是我们要考虑一下它的取值范围，所以我们来，嗯，拿图形来看一下， cosine alpha offer 的是一个倾斜角，倾斜角的范围是零到 pad 左臂右开取件， 那么这只就是实心，这只是一，然后这只是个 pi， 那么对应的是空心，取不到负一， 那么只要让一减去口 saiyan alpha 就是不等于零就行。简单来说就是考 sanya alpha 不等于一就行。而他啊，他这条直线 过焦点的，直线交抛物线两个点，与抛物线上有两个焦点，所以他肯定不是这样子的。他肯定不是啊， 与 x 轴重合的，因为它重合只有一个角，所以它一定是这样，这样子肯定没有取到零，所以它考三 alpha 一定取不到一，所以一一减考三 a alpha 肯定是以 一个不等于零的数，所以除过去就 af 就等于 p 比上一个一减口塞二法，所以 af 就这样简单的求，简单的求认出来求 bf 也是同样的道理。咱们先简单的分析一下，一会直接写一下步骤就行。 求 b f 其实又转化成了点 b 的准线的距离，就是过点 b， 做准线的垂线交于点 n， 那么 b f 就等于 b n。 然后呢，我们又想用 b n 在 x 轴上表示一下，那么过点 b。

抛线的焦点弦，但是我们现在呢，看他的倾斜角形式的一个焦点弦。 好，首先我们还是了，这边要介绍了几个结论，有五个结论啊，我们来看一下第一个， 第一个是最基本的一个，就是 a f 和 bf， 但是我们刚才呢，上一小节是用坐标表示，我们现在用请斜角表示 af 等于 p 除以它啊，这个我们怎么证明呢？ bf 是属于 p 除以，一加一个是一减啊，一加一个一减， 这个怎么证明呢？然后呢，其实就是用地来证明。好，我们简单的给大家证明一下。好，第一个式子 好如这个图啊，我们这边做条垂线啊， am， 然后这边标个字母 n， 我们会发现啊，这个通 定义可得， a f 一定是等于 am 啊，然后我们的 am 又等于多少？ om， 其实他又等于 n f 啊，加多少加上这个 f 一啊， f a 一的， 所以我们的 a f 呢，就等于 n f n f 其实就是二批二分之批，加分之批就是批，再加上 f a 一，可以，我们可以写成 a f 除以扩散而法。好吧，这边要非常关键，就是这个 a f 一 是等于 a f 乘以扩散而法的，这是在这个三角形中啊，就这个三角形中 看， f a 一是等于 a f 乘以扩散而法，这步很关键。好，这个大家要注意的。好，我们再继续。 好，其实已经证明出来了，是吧？这边呢，应该是把它移过来，把这个 a f 移过来，那就是 a f 乘以扩散 al f 等于多少等于 p。 好，所以我们的这个式子呢，就是 a f 乘以个一提出来，然后呢等于 p 了，所以我们这个答案就来了， 这是 a f， 同理，我们可以算 bf 好， bf 呢？我们为了来证明他，我们来看 bf 这边也是要引入一条直线， 我们是一个 k 啊，一个 k， 然后这边呢，我们也是做一条垂线 的，然后这个角其实也是耳法好。我们来看这个 b f 呢，应该是等于 bk 的，但是 bk 啊，他可以等于什么？等于这个得恩，但是得恩呢？可以等于这个 n f 减去得 f 好，关键地方来了，所以 b f 我们可以等于 n f， n f 其实刚才已经说了，他其实就是我们的 p 再减去 d f， d f 比较关键的 d f， 在三角形 d f 比中，他应该是等于 b f 乘以扩散而法和我们刚才的思路是一样的，然后呢，把负的 b f 乘以扩散方法移过来，那就是 bf， 然后是一加扩散而法，所以他就等于 p 了，是吧？随后我们的这个 bf 了，应该是 p 除以一加扩散而法。 这个 af 和 bf 的这个表达形式是完全类似的，只不过是一加一减。其实很好记啊，如果 我这个长一些，比如说对这个题目而言， a f 要长一些， a f 长，那么他的分母就要短，所以下面就是减， b f 要长短一些，他的分母要大一些，是吧？除以一个大的数，所以就是加，而法是起角， 所以呢，这个第一个我们就很容易的把它证明出来。但是后面呢，还有一个柿子是 a f 分之一加 b f 分之一等于 p 分之二，这个怎么证呢？很简单好，因为我们刚才的两个要点已经证明了出来了，他已经证明出来了，然后他也有，其实就是把他们怎么样翻过来，比如说 a f 分之一，把它翻过来，把它翻过来， 分母不变，分子相加减，就是 p 分之二。好，第一个已经解决，我们再来看第二个，第二个是 ab， ab 是什么？ ab 其实就是 a a f 加 bf， 所以我们就把它加起来，这个通过分就可以了。我们看第二个式子， ab 应该是等于 p 除以一加扩散 ect， 再加上啊，当然是尔法是一样啊，这是个角度 好，分母呢？一通分呢，就是一方减扩散斜塔方，然后上面是 p 减去 p 乘以扩散啊，这个斜塔和二法我们就写在一起了啊， 然后再加上 p， 但延吉度我们还是二法，再加上这个 p 乘以扩散 c 塔，是吧？所以呢，我们就可以得到赛 c 塔的平方分之二 p 了。 好，后面很明显后面还有一句话啊，焦点弦取得最小值的时候是二批。为什么？当儿法，当我们的分母最大分， 分布什么时候最大？当时等于一的时候最大了。所以呢，分布得一的时候 ab 就是最短的，最短的时候呢，他就是他的一条通径。这个我们在前面讲双曲线和椭圆的通径的时候呢，其实也是这样个结论。好，这是我们的前两个， 这前两个是最基本的，这两个柿子也就我们刚才这个柿子和这个柿子是最基本的，如果后面忘了，都可以推倒 下面呢？我们再来看第三个，过焦点，做两条互相垂直的选 ab。 好，比如我们现在已经有一条 ab 在这里，我们现在来做 cd， 比如说我们做的 cd 呢，和他垂直，也就是这个地方呢，是九十度，然后我们这个地方是 c， 这是的啊，垂直，很明显，这个式子呢，我们有 ab， 已经求出来了，那么我们就知道啊，这个 ab b 分之一。好，我们先说一下啊，这个 a b 我们刚才已经算过了，等于多少？等于就是第二个结论啊，第二个结论，那就是赛尔法的平方分之二 p， 现在问题是 c 得， c 得和 ab 之间有什么关系呢？他其实也是过焦点，只不过他的倾斜角多了九十度，所以呢，这边呢，我们其实就是二批除以三，我们就没有退再推了，因为推的过程是一模一样的，只是那个夹角不一样，起角不一样，是耳法再加九十度， 所以呢，我们用右倒公式，他就是扩散而法的平方。那么呢，我们这个式子我就直接看的啊，他是把它翻上来看分，把它倒过来，这也倒过来，分母不变，分子向下减就是一，什么意思呢？就是说这个儿法这个起角在变 话，只要他们两条弦是垂直的，那么他们的倒数的和就是个定制哈，这是我们的第三个结论，我们再来看第四个结论， 第四个结论是指的是三角形 aob 的面积。好，我们刚才把刚才图撤了，然后这边一个面积把它表出来， 面积按照我们在前面的这个做法呢，其实就是想通过连例把 ab 的悬长公式表示出来，然后把 o 点到 ab 的距离算出来，这样的话就比较麻烦。但是呢，我们刚才呢，已经把 ab 这道悬长写出来了，也就是 s 啊，第四个 证明，第四个 s 应该等于多少？等于二分之一倍的 ab 乘以这个 h， 那么呢，由于我们刚才的刚才的这个 ab 啊，已经震出来了，就是多少就是二批除以散养儿法，如果大家忘了，大家自己多 推两遍就行了， h 是多少？ h 就是 o 点到他的距离啊，比如说， oh， 你看这个距离，这个距离呢？由于这个角 又是阿法，看到没有，这个就是阿法，所以说在这个三角形 oh f 中，这个 h 刚好是等于 o f 乘以多少乘以这个三元法，刚好是乘以三元法， 所以我们就可以直接用他们代换就行了。比较巧的是什么呢？比较巧的是我们的 r o f 也等于二分之 p， 然后乘以散养二法， 所以呢，我们把它约掉，约掉，然后呢这个地方塞尔法和塞尔法也可以约掉，所以就剩下了一个两倍的塞尔法分支批方。当然如果这些柿子大家觉得 啊，比较模糊的话，但是呢，我们只要多推两遍就比较熟练了。好，再看第五个，好，第五个，第五个呢是 a f 比上 bf 等于难不打，那么扩散，而法就等于他， 这个怎么来呢？其实就是根据我们最开始的那个第一个式子把它证明出来，这个应该稍微比较简单，我们快速的给大家写一下，第四，第五个，第五个，因为 a f， a f 多少？ a f 不就是，但当当然，这里面啊，我们要注意 你的结论是狼的减一，所以这个狼的要大于一，也就是 af 要长一些，是吧？所以我们的 a f 啊，应该就是 p 除以一减扩散而法，然后上面是批除以一减加上扩散而法应该是等于拿目的，然后把它整理一下，那就是一加扩散， 偶尔法下面就是一减，扩散也。偶尔法应该是等于那么大，然后把它相关的一整理，应该就是我们要的那个答案。扩散而法等于那么大杯的减那么大扩散而法把它一整理，那就是一加那么大，然后是扩散而法等于那么大减一。哎，把它个除过来。 当然这些呢，其实我觉得没有必要记啊，大家可以知道有这个关系是就行了。好，现在我们来具体的看例题。 好，立提一，立提一是抛物线，然后是交点弦，过交点啊，如果有 a f 等于五， bf 零多少？那么这个题我们就可以用结论就比较简单了， 答题的呢，我们知道这个 a f 分之一加上 b f 分之一是等于多少的，如果忘了的同学呢，可以推一下，应该等于批分照，是吧？ 所以呢，我们就可以把它写出来了，因为这个是五分之一，这个地方是 b f 分之 好， b f 分之一就等于因为 p 是二，所以就是一，所以我们的 b f 啊，应该是五分之四，那就是四分之五，四分之五，所以答案应该是选 b， 如果忘了啊，大家可以把 a f 和 b f， 把他的公式把他推出来就行了。 好，我们再来看一下这个立体二，立体二他是也是一样啊，有一个抛物线，但这条直线比较特别啊，刚好过哪里过焦点， 只有过焦点才有这些性质，不过焦点都没有这些性质。然后呢，说，若 a f 等于 m 倍 fb， 那么他说明他们之间有个倍数的关系，然后要求这个 m， 因为 a f， 我们知道他是一个根号三，那就是一个 六十度啊，所以呢，我们直接写了就是 p 除以一减扩散 eccte 一减，那就是减二分之一，然后等于 m 倍的 p 一加上二分之一，那么很明显呢，这个分母就是二分之一，那就是两倍的批等于 m p 再乘以三分之二， 我们迅速的把 p 给消掉，所以呢，我们的 m 应该是等于三，所以答案选的 ok。 好，我们再来看第三，第三也是一个抛物线，过焦点，然后过焦点 f 的直线交于 ab 两点， 然后欧为他的坐标原点， ab 等于六三角形 aob 的面积。当然这种题目呢，我们可以设直线连立尾答定，你用寻常公式把这条斜律算， 把这条直线算出来，如果这么做的话，我们总觉得要麻烦一些啊，我们这个题呢，可以给大家一起推一下，用上我们的公式。 我们知道，如果这是儿法，那么我的 a f 是吧，应该是等于 p 除以一减扩散，而法 b f 应该是等于 p 除以一加扩散演儿法。所以我们的 ab 啊，应该就等于二批，是吧，除以散演儿法的平方。然后呢，对于这个题目而言，他就等于几啊？就等于六，所以通过他我们可以得到，批是等于二批等于四， 所以散养儿法应该刚好是等于三分之二，也就是根号下三分之二。好，然后我们再来看这个面积，面积我们还还是一起来推倒一下啊，这个面积我可以把 ov 和 ob 连接起来，所以他就等于多少呢？等于 二分之一倍的 ab， ab 就是二批除以散养儿法的平方。然后这个高我们再一次回忆一下啊，这个高 ohos 等于什么？这个 of 乘以散儿法，所以就是二分之批乘以散音儿法， 当然如果记得同学就直接可以写了，这边二和二销掉啊，约一个就是两倍的赛尔法，然后是批发。 那我在这个式子，这个式子呢，我们其实可以直接写答案，因为批方等于四两倍的，然后是根号下三分之二，所以呢，他得多少等于二乘以根号下二分之三，所以呢，应该是等于根号六，所以答案应该选 a。 答好，所以是比较简单的。好，我们继续来看一下立即四 好二例题。四呢，是一个二零一七年的新课漂卷卷的一个题目啊，他是以之 f 为抛物线的焦点，过 f 有两条互相垂直的直线 l 一二我们这边已经写出来，交于 a b 和得 e。 其实我们刚才就说过啊，这边其实有一个结论，有一个结论是 a 只要他们垂直，这两条悬长倒过来之后啊，是吧，是等于多少呢？是等于二七分之一，是一个常数的， 这个一定要记得啊，这个记得，如果不记得呢，我们是不是也可以推一遍，如果不记得，我们也可以推好，我们来看，如果我们怎么推倒了，我们知道这个 ab 啊，应该是等于 p 除以一加扩散 cto， 然后再加上 p 除以一减括上一斜塔，所以呢，他是等于二批，然后是上一斜塔的平方， 然后他其实是二 p 等于几啊？二 p 在我们这里应该是等于四，是吧，然后就是三 a c 他的平方，然后 b 得 f 了，得一呢，应该其实就是把这个三 e c 大换成 c c 加九十度啊，所以我们这边的就知道他就是四除以括上一 c 他的方 好，这个元画的很简单，所以啊，所以这个 a 比分之一加上的一分之一应该就等于四分之散以 c， 他的平方，再加上四分之 c 散以 c 他的平方，所以就等于 四分之一。四分之一其实就是我们刚才说的二批分之一嘛，也就是我们把刚才那个式子啊推到那边，是不是。