充要条件与必要条件口诀大范围

很多同学在高中三年学习中一直没有搞清楚充分条件与必要条件，今天我们用一句口诀来解决这个问题，一句口诀解决这个问题，哎，首先我们的口诀是这样子的， 箭头主语为充分，箭尾主语为必要。那什么是箭头？什么是箭尾？首先我们先画一个推出符号， 推出符号宽的一侧就是箭头，这是箭头。推出符号窄的一侧就是箭尾，这是箭尾。箭头主语为充分，箭尾主语为必要。操，现在我们来举个例子，比如说 p 能推出 q， 如果箭头主语也就是 p 是主语的话，我们这个话就是这样说的， p 是 q 的充分条件。如果我们的主语是 q， 也就是说箭尾是主语，我们的话就是 q 是 b 的必要条件。好，大家学会了吗？

这节课我们来讲中药条件啊，这个知识点呢，是比较简单的，但是高至高考了，他每年都考啊，是每年都考啊，所以同学们还是要会做这类题啊。那因为题目都比较简单啊，知识点也简单。那之一老师就直接用真题来教同学们怎么去做这类题啊。好，那我们看到这个二零二二年的真题啊， 题目呢是问我们 x 大于一，是 x 的绝对值大于一的什么条件？那我们看到了后面这个命题啊，他是一个绝对值不等式，那我们肯定呢，要先把这个绝对值不等式给他解出来啊。 那同学们如果是忘记这个绝对值不等是怎么解的话呢？同学们可以去翻回前面啊，之一老师录的视频啊，好，这个 x 的绝对值大于一啊，他解出来了，应该是 x 小于负一或 x 大于一。好，那所以 现在题目呢，其实在问我们啊， x 大于一，前面这个命题是 x 大于一啊，是 x 小于一或 x 大于一的啊，什么条件？为了后面方便研究啊啊。我们把前面这个命题的叫做命题 p， 把后面这个命题的叫做命题 q。 ok， 好， 然后再下去。我们首先要做的就是看一下命题 p 的范围，还有命题 q 的范围，他们两个范围水比较大 啊，那怎么去判断呢？我们可以通过画数轴啊这个方法来去判断了。我们先把命题 p 的范围画出来啊，命题 p 的范围呢，是 x 大于一啊，我们就画在数轴上， x 大于一啊，他没有等号，所以这个点是空心的啊，大于一就是这个范围了，这是命题 p 的范围。然后再看命题 q 的范围啊， 命题 q 的范围的，他是 x 小于一或者是 x 大于一啊。那我用红色笔来画这个命题 q 的范围啊，他是 x 大于一啊。所以这里呢，其实也是命题 q 的范围啊。还有什么呢？他还有 x 小于负一啊， x 小于负一 就这里了。那这个也是命题 q 的范围好了。这样子画下来的话呢，很明显的会看到命题 q 的范围是比命题 p 的范围的是要大的。 因为你红色的都是命题 q 的范围吧，蓝色的是命题 p 的范围，明显红色范围比较大对不对？红色所包含的数比较多嘛。所以现在呢，我们就可以判断到了命题 q 了，是个大范围命题 p 的是个小范围。好， 然后再下一步了。我们就是要看啊，前面这个命题能不能推后面这个命题啊，然后再看后面这个命题能不能推 前面这个命题好了。怎么看呢啊，记住之一老师的这个啊，一个方法就是小范围呢，是可以推大范围的啊。我举个例子， 比如我是广东人，那就说明我是中国人对吧？广东人呢，是一个小范围对吧？然后中国人呢？是一个大范围，所以我是广东人，那就能说明我是中国人了对吧？是小范围推大范围，但是反过来了， 我是中国人，能不能说明我一定是广东人呢？那肯定不行对不对啊？因为还有还有可能是别的省份了，对不对？所以你中国人是一个大的范围，但是广东人呢，是一个小的范围，所以 中国人是不能推出广东人对吧？所以大的范围呢，是不能推出小的范围的， ok？ 好。所以同学们要记住啊，小范围可以推大范围，但是大范围呢，是不可以推小范围的。好，那我们现在啊，画一下，标记一下。那在这里呢， 就是你前面这个命题 p 呢是个小范围，你后面这个命题 q 是个大范围啊，那刚才已经说过了哈，小范围是可以推大范围的。就前面是可以推后面的啊，就前面推后面。我画个箭头，然后打个勾，说明前面呢是可以推到后面的。那后面能不能推到前面啊？ 啊，我们先画个镜头啊，后面能不能推前面呢？你后面是大范围，前面是小范围，大范围能不能推出小范围啊。啊，那是不行的对吧？啊，那我们就打个叉吗？不行就打个叉 ok 啊。就表示后面呢不能推到前面 ok？ 好，那这是第二步了哈。然后最后一步了。就是同学们还要记一个前推后啊，就前面推后面呢是充分性，前面推后面是充分性。那现在他 前面是可以推到后面的啊，所以他是充分的，他是充分的。然后再记住后面推前面呢是必要性。那因为他现在后面是不能推到前面的啊，所以他是不必要的啊，他是不必要的 啊。所以在这里呢，同学们就要记住啊，前推后是充分性，后推前是必要性。那你看他充不充分，必不必要。那你就看你刚才怎么去判断的嘛，对吧。 好像你这一题你刚才前面啊已经判断了啊，前面是可以推到后面的。那前推后是充分性吗？可以推那就充分了， ok 吧。好，那你这一题啊，后面是不能推前面的后推前是必要性，但是他不能推吗？所以就不必要， ok 吧。啊，所以现在呢，我们就可以直 到了哈。前面这个命题是后面这个命题的什么条件啊？充分不必要条件啊，所以选 apple 啊。这题目选 apple。 那如果同学们觉得啊，还是有点生疏的话，没关系啊，我们再来做啊。 这个是二一年的题目啊。再来做一下。题目问我们 x 小于负一，是 x 的绝对值大于一的什么条件？同样的，我把它写在下面， x 小于一，是 x 的绝对值大于一啊。那这个呢？也是个绝对值不等式啊，他解出来应该是 x 小于负一或 x 大于一。 ok， 好，我把上面这两个命题啊都化解了，然后抄了下来。为了 方便研究了，我就把前面这个命题叫做命题 p， 把后面这个命题叫做命题 q。 好啊，同学们还记得刚才第一步要干什么吗？啊，第一步要先看一下啊，命题 p 和命题 q 他们两个范围谁大谁小对不对？好，我们是通过话数轴啊，来看他们两个范围谁比较大，谁比较小。 好，画个速走命题 p 的范围啊，是小于负一是吧？那我就画吧小于负一。 因为他是没有等号啊，这里没有等号啊。所以这个点是要画空行点啊，这是命题批的范围。 然后再画命题 q 的范围。命题 q 是小于负一或者是大于一小于负一啊，那也是这里啊。啊，这是命题 q 的范围，然后还有大于一 一这个范围，这个也是命题 q 的范围。对。好了，现在很明显呢，我们会看到红色的范围呢，是比蓝色的范围是要大的对吧？你只要把这个数轴一划出来就很明显了啊，就很明确了。这个红色的范围就是命题 q 啊，命题 q 的范围呢，是比较大的啊， 然后命题 p 的范围的是比较小的是吧？好。然后刚才志毅老师已经说过了。啊，小范围能不能推大范围啊，小范围呢，是可以推大范围的啊，这里打个勾啊。小范围是可以推大范围的，那大范围能不能推小范围啊？ 大范围就不能推小范围了。 ok， 好，这个我们画个箭头啊。然后可以推的话就打个勾吧，不可以推的话，那就打个叉好吧。好。然后最后一步，同学们记住啊，前推 后是充分性啊。前面这个命题推，后面这个命题是充分性。现在能不能推啊？充不充分？能推就充分了，不能推就不充分。这下前面能不能推到后面我都打了个勾了，肯定是充分的啦，对吧？啊，肯定是可以推的对吧，所以他肯定是充分的啊，充分的， 他是可以推的，所以是充分的啊。后推前呢，是必要性啊。现在打了个叉，那就不能推，不能推就不必要了对吧？所以是不必要 啊。那这样子下来的话呢，就是前面这个命题是后面这个命题的什么呀？充分不必要条件啊。所以选 apple 是选 apple。 ok 啊。做了两题了，同学们应该是开始会写了吧。啊，最后再来一题啊，这是二零年的 题目，问我们呢， x 大于负，二小于一是这个二的 x 释放小于二的什么条件？好，一样的道理啊。我们先把这两个命题先抄下来啊， 是我们看到后面这个命题啊，它是一个不等式来的啊，二的 x 次方小于二啊，这个不等式我们要先算一下才行啊，二的 x 次方小于二，这个不等式怎么算呢？这个是一个关于指数函数的一个不等式啊， 这里二的 x 四方小于二，那他其实就是二的 x 四方小于二的一次方，因为二了就是二的一次方。好，然后写到这里呢，我们就应该要想到要用啊，指数函数 y 等于二的 x 次方啊，要用这一个指数函数来帮助我们去解这个不等式。那怎么解？ 我们会看到了这一个指数函数啊，他在定义欲之类的是单调递增的啊，通俗的说就是啊，你 x 越大啊， y 就越大，可以理解吧。啊，他在定义欲之类是单调递增的， x 越大 y 越大， ok， 好，那你现在呢，是想要 这一个函数值比这一个函数值啊，就是二的一次方这个函数值比二的 x 次方这个函数值要大， 对吧？那我刚才呢已经说过了，你这一个函数，这个指数函数他是 x 越大哇，越大就是 x 越大，他的函数值是越大的。 你现在要右边这个函数值比左边这个函数值要大，那他的质变量啊，就右边的质变量就要比左边的质变量要大啊，所以 x 应该是小于一的，就是一 一要大于 x 啊，就右边这个自变量要大于左边这个自变量，那么右边这个函数值才会比左边这个函数值要大，很理解吧。所以算出来就是一大于 x 吗？那就是 x 小于一了。 ok？ 好， 那现在我们就知道了哈。啊，你后面这个命题啊，啊，他算出来了是 x 小于一吗？啊， x 小于一。好，那同样的，我们把前面这个命题叫做命题 p， 后面这个命题叫做命题 q。 好，我现在来看一下啊，是命题 p 的范围大了，还是命题 q 的范围大？同样的，我们还是画数走吧。 命题 p 的范围是负二到一是吧？好，他都是没有等号了。所以这两个点呢？都是空心啊，都是空心的。这是命题 p 的范围啊。 然后再画命题 q 的命题 q 是 x 小于一， x 小于一。在这里。 这是红色的，是命题 q 的范围。 ok？ 好，那画完数轴之后呢？很明显会看到啊，很明显会看到你红色的范围是比蓝色的范围要大对吧？红色是命题 q 的范围啊，所以命题 q 了是一个大范围。然后命题 p 啊，就是一个小范围。 ok？ 好， 下面我们看一下。前面能不能推后面啊，前面是小范围，能不能推后面的大范围啊？那肯定可以啊，小范围是可以推大范围的。画个箭头，然后打个勾啊，可以。 后面能不能推前面啊，大范围能不能推到小范围啊。啊，画个箭头，大范围是不能 推小范围啊，所以是打个叉可以吧。啊，然后前推后什么性啊？前推后是充分性，他现在是可以推的啊，所以他是充分的。如果不可以就不充分了。他现在是可以吗？打了个勾吗？所以充分，他是充分的。充分的 后推前什么性啊？啊，同学们一定要记住啊，后推前是必要性啊，他现在能不能推后面能不能推，前面不能推啊，不能推。所以是不必要啊，不必要。 所以啊，这个题目啊，其实就是前面这个命题是后面这个命题的充分不必要条件啊。所以答案呢？选 a 充分不必要条件。好，那这个是重要条件的一些知识点还有题目啊啊，伤心，同学们应该都能做出来了吧。啊，我们下节课再见啊，拜拜。

这个视频咱来讲讲充分条件和必要条件。先看个命题，如果 x 等于一，那么 x 加一等于二，这个命题显然是对的。 也就是说，由 x 等于一，可以推出 x 加一等于二。这个箭头叫做推出符号。注意它的写法，两条线段，一个箭头。如果你把这句话剪击为 p， 这句话剪辑为 q， 那刚才这个命题就可以表示为 p 推出 q。 由于是由 p 推出的 q， 所以 p 又叫做 q 的充分条件，而 q 则叫做 p 的必要条件。在实际做题时，你只要认清箭头的方向， 对着箭头屁股的叫充分条件，对着箭头脑袋的叫必要条件，就能够正确判断谁是充分，谁是必要了。我再强调一遍，屁股充分脑袋必要。别反了，刚才这个命题是由 p 推出的 q， 那如果反过来，由 x 加一等于二，你能得到 x 等于一吗？答案显然是肯定的，所以你也能由 q 推出 p。 此时根据屁股充分脑袋必要 q 就是 p 的充分条件，而 p 则是 q 的必要条件。讲到这，相信你对充分条件和必要条件已经有了一定的认识， 只要你把 p 和 q 用推出符号连接起来，就立马可以判断谁是充分，谁是必要了。不过刚才这对 p q 有点特殊，因为既可以由 p 推出 q， 又可以由 q 推出 p， 所以他俩互为对方的充分必要条件，简称冲要条件。 你可以用一个双向箭头来连接他们，这个双向箭头叫等价符号。只要你看到 p 和 q 用等价符号相连，就可以说 p 等驾于 q， 或者说 p 是 q 的重要条件，也可以说 q 当 且紧当拼，比如这里你就可以说 x 加一等于二，当借紧当 x 等于一。刚才给你的拼音和 q 都很明显，你能够直接判断关系， 但有的问题，拼音和 q 就比较含蓄，你得先把他们翻译的直白点才行。比如拼音是 x 加一的绝对值小于等于四， q 是 x 方小于五， x 减六，这里的拼音和 q 就得翻译一下，翻译的方法就是解不能释。先看拼， 如果 x 加一的绝对值小于等于四，那 x 加一就大于等于负十小于等于四。算一算， x 大于等于负五小于等于三。再看 q， x 方小于五， x 减六，把它 移过来再音式分解就是 x 减三乘 x 减二小于零，那 x 就大于二小于三呗。这样拼音和 q 就赤裸裸的展现在你面前了，接下来你就很容易找到他俩之间 的关系了。显然，当 x 大于等于负五小于等于三时， x 未必大于二小于三，所以 p 无法退出 q。 但当 x 大于二小于三时， x 一定大于等于负五小于等于三，所以 q 可以退出 p。 于是对着箭头脑袋的 p 就是 q 的必要条件。又由于箭头无法反转，所以 p 不可能是 q 的充分条件。综合这两点，完整的表述就是， p 是 q 的必要不充分条件。那反过来， q 对着的箭头是屁股，所以 q 就是 p 的充分条件， 他显然也不是必要条件，所以 q 就是 p 的充分不必要条件。好了，以上就是充分条件，必要条件、冲要条件的基本概念。要判断 p 和 q 之间的关系是充分还是必要，只要用推出符号连接他俩即可，其中屁股 充分，脑袋是必要。如果 p、 q 能够相互推出，成为等价关系，那 p 和 q 就互为对方的重要条件。 ok， 哥哥就给你讲到这，赶快刷题去吧。

充分必要条件，小技巧，小充分大必要。我们上个视频讲了怎么去判断充分必要条件，但是还有一种题型，就是已知充分必要条件，让你判断两个集合的关系或者求参数，比如下面这些，还有一些有很多这样的题型，我们今天就来讲个小技巧。 充分必要条件经常会和集合的关系结合起来，我们现在看两个集合的关系有哪些。 a 是 b 的子集的话，他的定义呢，是 a 集合中的元素，人家 b 集合都有，有可能 b 中有的元素 a 集合也都有，那这样的话， a 跟 b 就是相等的， a 集合等于 b 集合，下面是他的文言图示法，或者呢， a 集合中的元素 b 集合都有， b 集合中有一些元素， a 集合是没有的，这个时候 a 集合叫做 b 集合的甄子集， a 是 b 的一部分， b 完全把 a 集合给包住了。那我们来总结一下，子集包括集合相等，还有 a 是 b 的真子集，两种状态。如果两个集合相等的话，让你去判断充分必要条件非常简单，他们两个一模一样，那肯定是互为充分必要条件的。 如果 a 是 b 的真子集的话，这个呢就稍微有点麻烦，我们来看一下，因为 a 中有的元素， b 集合都有，所以呢，我们从 a 集合里边挑一个元素出来，一定能推出来他是 b 集合中的元素，我们根据分后要钱。 什么是分货要钱呢？不知道这个是啥意思的小朋友可以自行去看前面的视频，我们就能得到这个 x 属于 a 是充分条件， x 属于 b 是 b 要条件。然后呢，再来看我从 b 级的里边挑一个元素出来， 因为 b 中有的元素，有些 a 集合是没有的，所以他推不出来这个元素是 a 集合中的，那这个箭头就是不成立的。 对于 b 集合来说就是不充分条件，对 a 集合就是不必要条件。两种情况结合起来的话，我们看 x 属于 a， 他就是充分，不必要。 x 属于 b 就是 b， 要不充分。 x 属于 a， 这个 a 集合，他是小集合，他是充分不必要条件，我们简称小充分。 x 属于 b， b 集合是这个大集合，他是必要，不充分条件，我们简称大必要。所以只需要记住小充分、大必要这六个字， 我们就能快速判断集合的关系。下面呢，我们来看一下一个例题，若 x 大于二，是 x 大于 a 的 b 要不充分条件，则 a 的取值范围，我们利用小充分，大 b 要，这里边说的是 b 要不充分，那这个 x 大于二，他肯定是个大集合， 他是一个大集合的话，我们可以在数轴上把他的范围呢给表示出来，他指的是从二这个点开始一直往右边走，这是这个大集合表示的范围。接下来呢，还有一个集合呢，是 x 大于 a， x 大于 a， 指的是从 a 这个点开始一直往右边走，那我们只能让这个 a 在二的右边，这个就是 a 从这开始一直往右边走，才能保证我们这个 x 大于二，它是一个大集合。从这上边呢，可以得到 a 的关系，就是 a 一定要大于二，这就是 a 的取值范围，就是结果 a 大于二。 我们再来看第二个题，若 x 减 m 小于零，是 x 小于一或 x 大于二的充分不必要条件，求 m 的取值范围。我们利用刚刚讲的小充分大必要，这里边说的是充分不必要，那对于前面这个 x 减 m 小于零，他就是一个小集合，那就是 x 小于 m 是一个小集合，我们可以先把后边这个 x 小于一或 x 大于二的范围给他画出来。 x 小于一指的是从一这个点开始一直往左边走，然后呢，大于二，从二这个点开始一直往右边走，我们把这个范围呢用阴影给他涂上， 涂上了之后，我们这个 x 小于 m， 它是一个小范围，也就是它是这个阴影的一部分，我们只能让这个 m 在一的左边，这个是 m， 只有这样它才能是阴影的一部分。当 m 等于一的话也行，当 m 等于一的时候，我们这个左边的这一块阴影呢，仍然是整个阴影 等的一部分，所以可以得到 m 的取值范围就是 m 呢，小于等于一，那么这个题呢，就解完了， 小充分大必要，如果你听明白的话，可以试试下面这个题，可以把答案打在评论区哦。

充分必要条件，傻傻分不清，六个字带你秒杀！当题目问你 p 是 q 的什么条件？咱就记住六个字，上充分，下必要。先把 pq 写在这上面，咱左推右能走就是充分条件。下面右推左 能走就是必要条件。来上提，上面左推右， x 大于二， y 大于二，那他俩的和必然大于四。充分条件，咱有了，下面右推左两个数的和大于四，但不一定每个都大于二，所以推不了答案。这不就出来了， 批示去的充分不必要条件。哇，圆圆好厉害，可是我还是不敢直接秒。那你就用高一基础题多练啊，咱就拿冲要条件这一章来说， 他先用一道例题带你梳理解题思路，回顾教材定义，再用教材改编题，让你一步步吃透这类题。还有一题多变式和招募检测，咱用它多练练，熟悉后再用口诀蹭蹭秒杀，你学会了吧？

三道题带你搞懂单招数学的充分必要条件。先记住这个支点，一会用的到小推大呢，是充分不必要条件大推小是必要不充分条件。 好，先来看这个基础题。第一题，这个 x 大于五，是 x 大于三的什么条件呢？重新换一条竖轴，这个是五，这个是三， x 大于五是这样画， x 大于三，这样画 你很清楚就可以发现，这个是范围小，这个是范围大。那小推大呢？就是充分不必要条件。选 a 了。好，再来看这个。第二题，辨识题，这个题的告诉你，使这个不等式成立的一个充分不必要条件是什么？那咱们就需要从 abcd 四个选项里面找能推出来这个题目的选项。 首先看 a 选项，这个是 x 大于负一小于三和原式是一样的，这个就不成立了。那二 b 是不是可以啊？你看咱们题目给的是负一到三这个区间里面的，那负一到零是不是也在这里面？他就是说这个范围是小的，这个是范围大的，那小推大 不就是满足这个题目的充分不要条件了吗？然后这道题就选二 b。 好，再来看这个第三题，第三题告诉你， x 平方等于四，是 x 等于二的什么条件？那这个可以解出来什么，是不 x 等于二，还有一个 x 等于负二啊， 那这个是不是范围更大一些？这个只有小，范围只有一个，那大推小是不是就是必要不充分条件选二 b 了？你听懂了吗？

哈喽，亲爱的孩子们，大家晚上好！今天呢，米米老师给大家带来我们高考必考的一个知识点，叫什么充分必要条件。哎，这块知识点呢，看似简单，但是很多孩子呢，做着做着就错了，甚至呢，有的孩子给老师说哎，老师，我记得什么大推小，小推大，但是到考场上我就是忘了，死活也想不起来。 或者呢，我就是一做就错，哎。面对这种情况呢，老师今天呢给大家讲一讲一种新的方法，它能够帮助大家解决这些难题，也能够帮助大家快速解决这种题目。好吧，我们先来。在正式讲之前呢，我们先来回顾一下这个充分必要条件的吧。比如说现在有两个条件 说，如果说 p 能推出 q， 但是 q 呢？却推不出 p， 哎，那我们就说明 p 是 q 的，哎，充分不必要条件。如果反过来， p 推不出 q， 但是 q 呢？却能推出 p， 那就是必要不充分，对吧？好， ok！ 如果两边都推不出，那就是既不充分也不必要。如果两边均可以推出，那就是冲药条件对吧？ ok， 没有问题。 那面对这种题目呢，很多孩子一脸茫然。没关系啊，我们今天呢给大家讲面的。面对这样的题目呢，老师的方法呢，就是三步走。在正式讲三步走之前呢，老师先问大家一个生活常识，哎，比如说是人一定是学生吗？ 啊，不一定对吧，因为你看人里面有什么工人，老师，工程师等等行业，对吧？所以我们说是人不一定是学生。但是如果是学生呢？一定是人吗？在座的你们都是人吗？没有问题，对吧？所以说学生一定是人，但人呢，不一定是学。 所以呢，我们的数学语言就是学生，能推出来他就是人，但是是人推出来，他是学生。 ok？ 那我们三步走。哪三步走呢？第一步干嘛？ 哎，我们先判大小。碰到这种题目，第一步先判断大小好了，判断大小完之后。第二步找人和学生 好了，找到人和学生之后呢？第三步，我们去对应的，大的对应， 哎，我们的人对吧？小的呢？对应我们的 学生。好了，分为这三步走，我们就可以做这种题目。我们来一起来看一下这道题目。第一步呢，我们先判大小，哎，看一下这两个 和谁大呀？你可以在数字上画一下对吧？一个是我们的一到二，哎，你可以画一下老师，这就是我们的一到二。还有一个呢，是小于等于二，他是从这开始走，哎，走上之后无穷的走走走。哎，那你看谁大谁小，明显就是后面的 大，前面的小。好了。第一步完成判断完大小。第二步找人和学生。小的看成哎，学生对吧？我们写个小生，大的看成人好了，大人小生。找到之后。第三步呢，我们来问一下是学生一定是人吗？ 哎，没有问题对吧？所以说明充分性成立，充分性成立对吧？所以我们先把他俩 pass 掉，然后 ac 里面出一个再来看是人一定是学生吗？哎，不一定对吧。所以说明必要性不成立。 那就是充分不必要条件，当然应该选择的是 a 选项。好了，那我们之后大家遇到我们冲要条件判断的时候呢？注意第一步先 判大小。第二步找到我们的人和学生。第三步呢，大的对应人，小的对应学生，对吧？写大人和小声，那我们就可以判断。 ok， 好了，我们下节课再见，拜拜。

高一上册数学必修一第四节的内容啊，是充分条件与必要条件。那咱们来看一下什么叫做充分条件啊？你想这个词充分， 哎，就是他充分的能够推出来这个结论，哎，他作为这个条件的话，对吧？哎，那他就是一种充分条件，咱们比如说 如果你是年级第一，咱们就可以充分的推导出你是班级第一来了，对不对？哎，所以年级第一呢，就是班级第一的充分条件。 哎，就是这样的啊，就是这样，也就是说如果 p 这个条件能够推出来什么呀？ q 这个条件，那咱们就说 p 是 q 的充分条件。哎，所以你判断他是不是充分条件，你就判判断什么呀？判断他是否是能通过他推导出来，他能的话， 那么前者就是后者的充分条件。哎，这叫充分条件，那什么又叫必要条件呢？你想必要就是必须得，有，没有就不行，是这个意思对不对？哎，他和充分不一样，充分的话是说，哎，有他就能充分推导出来，而必要呢？ 是不是说有不有他的问题了？是不能没有他，没有他就不行了，他是必须要的，对不对？哎，那你看，这就是 班级第一就是年级第一的必要条件，你想是不是？嗯，如果你都不是班级第一，你还怎么是年级第一？ 哎，这不就是必要的吗？你要想成为年级第一，你必须要是班级第一，是不是？哎，所以这个班级第一啊就是年级第一的必要条件。哎，你看这是什么？咱们本来是说年级第一能够推导出班级第一来啊，然后咱们就说前者是后者的充分条， 咱们又现在又说什么呀？又说的是后者，这个班级第一是前者年纪第一的必要条件，哎，就是这样，你明白了吧？哎，所以就是在这一个推导关系里边，咱们说前者是后者的充分条件，而后者是前者的 必要条件，哎，就是这样的啊，要是判断谁是谁的充分条件，谁是谁的必要条件，非常好判断，你就是看他是由谁能推导出来谁啊，由他 p 能推导出来 q， 那么 p 就是 q 的充分条件，哎，就是前者是后者的充分条件， 那么同样后者是前者的，哎，必要条件，就是这样了，哎，对，这就是充分条件和必要条件了。那还有一种呢，叫做冲药条件，就是既充分也必要。那你想这是什么情况？哎， 就是这样的啊，你来看啊， p 能够推出来 q， 而且呢， q 也能推出来 p 啊，那这样的话，咱们就可以说 p， 他是 q 的什么呢？首先根据对第一个推导的话，咱们知道你看 p 是 q 的，就是前者是后者的什么，哎，前者是后者的充分条件，对不对？哎，但是他也满足另外的一种推导，就是这样推导 q 也能推出来 p， 那么在这个里边，咱们如果要是问咱们 p 是 q 的什么的话，就是 p 是 q 的，就成了后者是前者的什么，哎，后者是前者的什么 必要是不是？哎，所以呢，总体来说，他既然满足这样的两个关系，那他就说 p 是 q 的什么？充分也必要，就叫做充分必要条件，也就叫充药条件，哎， 就是这样的了，因为他这问的就是 p 是 q 的，所以你就看 p 是 q， 在这个里边是前者，看前者是后者的，在这个里边是后者是前者的，对吧？哎，就是这样的啊，来，咱们再做一个题，你看这 啊，这次我说的是 p 能够推出来 q， 但是呢， q 不能够推出来 p， 哦，那这样的话，你看 p 是 q 了什么？首先还是根据前面这个关系， p 是 q 了什么？哎，他能推倒，那么前者就是后者的充分，哎，对吧？能推倒过来就是充分啊，如果不能推倒过来就是不充分了。嗯， 好，那根据后面这个关系呢？还是他还是问你 p 是 q 的什么啊？后面这个呢？就是 p 是 q 的，就是后者是前者的。哎，咱们知道什么？咱们说前者是后者的时候，就是看他充不充分，能推倒就是充分，不能推倒就是不充分啊。那如果后者是前者呢，就是必 必要，能推倒就说明后者是前者的必要条件。像这个不能推倒，那咱们就说后者， p 是前者 q 的什么啊？不必要了啊？所以你看这个综合来看呢，他就叫什么呀？哎，这个综合结合这两个条件，就是说 p 是 q 的什么充分不必要条件， 哎，就是这样啊，有充分必要，也有充分不必要，同样还有什么呀？你看，如果要是说 p 啊，这次不能推出来 q 了， 哎，那咱们说 p 是 q 的什么？哎，咱们正着说这叫什么？就是看它充不充分，对吧？能推倒，咱们说 p 是 q 的充分啊，你像刚刚这不能推倒的，那就是，哎，这个咱们就说 p 是 q 的 不充分了啊，那后面这呢？哎， q 能推出来 p 啊，咱们现在还是问 p 是 q 的啊， p 是 q 的什么啊？就是后者是前者的什么？哎，能这么推导过来呢？后， 后者就是前者的必要条件，所以这个档咱们把它叫做必要不充分了。就是。哎，就是这样，那你想一想，如果我现在是什么呀？ p 也不能推出来 q， q 呢？也不能推出来 p， 那咱们这个 p 叫 q 者什么？哎，这不能推倒，所以是不充分啊。前者是后者的不充分啊。那同样你还是问的 p 是 q 的什么呗。哎，那对于这个式子来说，就是后者是前者的，还是说不能推倒，那就是不必要，那这个就叫什么？哎， 既不充分也不必要条件了。哎，真是这几种啊，大家把它可以多听几遍，把它掌握好。

很多高中宝字容易被充分条件、必要条件搞蒙，今天阿文老师教你六个字，秒掉这一类题。课本里面给的定义看上去不难，但实际操作中很多宝字来回推倒就比较烦。当题目给你描述个前提，问， p 是 q 的什么条件？你记准了？ 这时候你只要上充分，下必要， p 和 q 依次写在这里，上面左推右能走，就是充分条件。下面右推左能走，那就是必要条件。比如这题上面左推右 x 大于一， y 大于一的话，那两者的和必然大于二，能推出来，所以上充分充分条件有了。下面右推组两个数和大于二，但不一定每一个都大于一，所以推不了。下必要，那就不是必要， 所以 p 是 q 的充分不必要条件。再比如这里上充分，下必要，上面 a 大于一，必然它的倒数小于一，充分有了，下面 a 分之一小于一， 不一定有 a 大于一，也有可能 a 是负数，所以下面必要。没有充分不必要，这答案就扑面而来了。

同学们好，我是董老师，今天我们来讲一个充分条件与必要条件。本节课他的一个重点内容是会判断什么时候是，什么是充分条件，什么是必要条件，什么是充分不必要，什么是必要不充分，还有一些冲要条件啊， 主要是要判断这个东西啊。我们先来看他的一个充分条件与必要条件，他的一个定义里面 落屁则 q。 我们之前写的落屁则 q 是一个命题的形式啊，如果落屁则 q 这个命题为真命题，也说屁是可以推出 q 的，我们就说屁是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件。这里面一定要搞清楚啊，这两句话其实本质是一样的，只不过 p 与 q 顺序是不一样的啊。 那如果 p 落 p， 则 q 这个命题是假命题，也是说 p 是不能推出 q 的，则 p 不是 q 的充分条件，或者说 p 是 q 的不充分条件。 反之啊， q 不是 p 的必要条件啊，这两句话其实也是一样的。那这里面我们要判断 p 与 q 之间的关系。怎么判断呢？这里面只需要判断谁能判退出谁啊。 我们正面 p 如果能推出 q， 则 p 是 q 的充分条件，这是 p 能推出 q， 则 p 是 q 的充分条件。如果 p 不能推出呢？不能推出，那就是不 不充分条件啊。这边就写不充分条件啊。我们再来看，如果 p 能被 q 推出来， 也说 q 能推出 p， 那么我们就说则 p 是 q 的必要条件啊，如果不能推出来，比如 q 不能推出 p， 则他是不必要条件 啊啊！这里面我们就总结了冲分条件，如果前推后能推出来，那前面就是后面的冲分条件，如果后推前能推出来，那前面就是后面的一个必要条件啊。 只需要看前面能推出后面来，还是后面能推出前面来，就是两个东西啊，我们后面的所有的概念都是从这两句话出来的啊。 啊，我们来看这个判断证物。第一个，落 p 是 q 的必要条件。你看 b 是 q 的必要条件，那就是后面能推出前面也说 p 能被 q 推出来啊。 所以呢， q 是 p 的充分条件，这句话就改一下，因为 q 能推出 p， 所以呢， q 是 p 的充分条件，这是对的啊，这是需要改一下啊。第二， p 是 q 的充分条件，则 p 是 则落屁，则 q 是真命题，这根据定义，他也是正确的啊。三两角不相等啊，是两角不是对顶角的必要条件。 要判断他是否为必要条件，只需要判断后面能否推出前面来，如果后面能推出前面来，那很好，他就是必要条件。 我们看判断一下，两脚不是对顶脚，则两脚不相等。这个很明显能举出好多例子。这个是啊，后面推不出前面的水，就是不必要调节， 这是错的啊。再看第二个下列命题，是真命题的，是哈， a 选项， x 双大于零，是 x 大于零的充分条件。判断充分条件，能否看出前面推出后面的啊？那前面 x 双大于零，能否推出 x 大零呢？很明显是推不出来的，所以这是错的 选项啊。这问 xy 等于是 x 乘零的必要条件，那必要条件我们就看后推前啊， x 乘零能否推出 xy 等于零，这是能推出来了，后面能推出前面，所以必是 正确的啊。再看 c 选项，绝对之 a 等于绝对 b 啊。这里面是判断中分条件，那我们只需要看前面能否推出后面呢？前面推不出后面，所以这是错的。 d 选项，这是判断必要条件，我们就看后面能否推出前面来。 后面 x 方不小一，也说 x 方大于等于一，二， x 方大于等于一，能否推出绝对值大于一呢？很明显，这里面有个特殊情况，也说 x 等于一的时候是不符合题的，因此 d 选项也是不对的。 继续来看第三个，若 p 是 q 的充分条件， p 是 q， 那 p 就能推出 q 啊。那继续 q 是 r 的充分条件， q 就能推出 r， 因此我们发现 p 中间省列，这个有传递性啊， p 也能推出儿， p 是儿的充分条件 b， 不必要，我们不清楚啊。因为儿与儿能不能推出 p， 这是不清楚的，所以 b 不必要，我们就不需要写了啊。再看第四个， a， b 大于零，是 a 大于 b 大于零， 什么条件啊？我们发现 ab 大零，能否推出后面呢？前面能否推出后面呢啊？前面 ab 大零可能是 a 大零 b 大零或 a 小零 b 小零，所以前面推不出后面，这肯定是不充分条件， 那后面 a 大零 b 大零说能推出前面啊，所以因此他是一个必要条件啊，填必要条件就行了啊。 我们来看前面是几个基础巩固。我们再来看这里面常见的一些题型。正面是判断冲分条件的冲分条件，记住原理，前面能否推出后面啊？能推出，那就是冲分条件，不能推出就不冲分条件啊。来，我们看一下 加 b 大于二 c 的一个充分条件是。这里面啊，很需要注意啊，这里面他的序数方法，这个序数就是他的一个充分条件，也就是 说 abcd 哪个选项能推出 a 加 b 大于二 c， 我们看一下 a 选项， a 选项 a 大于 c 或 b 大于 c。 正面货的意思是啊，货是不成不成立的，这是错的啊。同理， b 也肯定是不对， 正面 c 选项明显是对的，这根据同同项可以相加啊，同相可以相加，这是且的意思，所以左边加左边会大于右边加右边，因此 a 加 b 大于二 c， 这是由于不等式的他的一个同项可加性就是选 c 选项啊。 第二个，下列个体中 p 是 q 的充分条件的是，哎，正面 p 是 q 的充分条件。也说前面可以推出，后面我们看一下一二三，哪个前面可以推出？后面？第一个， x 减二乘以 x 减三的 零，我们发现这里面要么是 x 减二等于零或 x 减三等于零，因此 这个屁是推不出 q 的啊。屁屁推不出 q， 第一个是不对的啊。呀，两个三角形相似，能否推出两个三角形全短呢？很明显是推不出来的，这些是错的。 三个 m 小于范，能否推出这个方程无十根，我们想看这个方程无十根，说明判别是得打算一加上四 m 啊，那 m 小于范，所以呢，这个很明显，一加四 m 肯定会小于多少呢？会小于负七 小夫妻，那不就小林吗？因此这个方弦无事根，这是正确的啊，所以三选充分条件啊。那这里面我 再来说一个东西，我们刚刚说了，前面能推出，后面就叫做充分条件，后面能推出前面就叫做必要条件。那这里面我们一般呢，其实在数学里面给的题型一般是给的范围， 所以我这里面给你们总结一个东西，小范围是可以推出大范围的啊，小范围是大范围的一个充分条件，但是不一定是必要条件啊 啊，这个同学们要记住，小范围能推出大范围，然后呢，通分条件就前推后，第二条件就后推前，后推前 好。继续来看背型二必要条件的判断。在下列个体中分析 p 与 q 的关系啊，对于第一个来说啊， x 大于 且外大于三，然后呢， q 是 x， 外大于五，我们发现 p 是能推出 q 的，所以 p 是 q 的一个充分条件， p 是 q 的充分条件，那必不必要呢？ 后面 x 加 y 大于五，就能推出 x 大于二且 y 大于三吗？我能不能推出其他？比如我能推出 x 大于零且啊， y 大于五了，对不对？所以呢，后面不一定能推出前面，因此是不必要调节啊，不必要，后面推不出，前面就是不必要。 第二个涉及到偶函数啊，同学们因为没学啊，但是对于高二高三的可以作为复习来看啊啊， p yss 方能否推出 q 是一个偶函数呢啊，我们发现 这个外方外的 s 方确实是偶函数，所以呢，他是能推出这个函数是偶函数的，也是充分条件。那必不必要呢？函数是偶函数，那他一定是外的 s 方吗？很明显不对， 偶函数有各种形式，比如函数是偶函数，那函数也可能是外等，绝对是 x 了，所以呢，是不必要啊，不必要，这是不必要条件。再看第三个， 一个四边形的，四个角向的 q， 四边形是正方形，哎，屁，明显四个角向的啊，可能是长方形呢，对不对？ 所以呢，正面并不能推出他是一个正方形，那反过来，正方形是不能推出四个角度相的啊，因此是不充分，但是呢，是必要条件啊，是这个不充分必要条件， 而且发现我们发现其实长方形他的范围更大。前面这个条件其实讲的就是一个长方形，长方形范围更大，正方形范围更小，因此我们发现长方形大范围推不出小范围，小范围可以推出大范围啊。 面，再解释一下啊，为什么小范围能推出大范围呢？我举个例子，同学们就理解了，比如说我是一个江西人，当同时我是一个中国人，那反过来，我是江西人，是否能推出我是中国人，对不对？ 说江西能推出是中国啊，那反过来，我是中国呢？能否推出我是江西人呢？中国的范围更大，能否推出我就是江西人呢？很明显，大范围推出小范围，对不对啊？同学们根据这个去理解就好了啊。好，来看这个跟踪 训练， x 大龄小有的一个必要条件。一个必要条件，你说什么意思呢？下列哪个东西能被 零到五推出来？哎，也说 x 三零小五能推出哪个范围来？我们刚刚说了，小范围能推出大范围，所以呢，正面很明显选 d 啊，选 d 选 d。 正面，同学们可能会问老师，这个大范围 a 的范围不更大吗？为什么不选 a 呢？正面小范围能推出大范围。还有一个隐含的东西啊，就是小范围一定要在大范围以内 啊，比如 x 大五确实范围更大，但是呢， x 大于零小于五，并不是 x 大于五的子级，所以是不能这样推出来的啊啊啊，充分条件与必要条件，他的应用，我们这里面从集合的角度如何判断 充分条件和必要条件呢？就是我刚刚讲的小范围能推出大范围有这么几种类型，小范围能推出大范围啊，也说小范围是大范围的一个冲分条件， 当然有的时候还会根据集合之间的关系哎，比如 a 是 b 的子级， a 是 b 的子级， a 是 b 的子级，是不是相当于 等价于啊？这个是等价法啊，等价于 a 能推出 b 啊，说 a 能推出 b 啊，为什么呢？ a 的范围更小啊啊， b 的范围更大吗？那是这么一种类型。第三种类型就是 a 并 b 是等于 b 或 a 交 b 是等于 a， 这个其实也相当于 a 能推出 b 啊， a 能推出 b， 也是 说集合 a 的范围其实是更小的啊。第三种， a 并 b 是等于 b 跟 a 交 b 是等 a， 其实这两个东西通通都可以归为 a 是 b 的子级， a 是 b 的子级，那 a 就能推出一个 b 啊，小范围推出大范围啊啊， 我们看稍微难一点的一道题啊，就是你。第三，已知 p 啊，实数 x 是满足这么多，其中 a 小零实数，然后再来看 q， 比如说 x 满足这个，那这里面我们做题的时候呢？做题如果能把条件转化，就直接先把条件转化了，我们先不看问题啊，先不报，先把问题转换。我们熟悉的东西，对于第一个来说，其实就是减一元二次不 等式啊，这里面对于清高一的同学还没学过节。一元二次不等式可以稍微跳过啊。那或者说同学们可以去看我之前发的一个一元二次不等式的解法，这里面有具体的解法啊， 正面用画图的图像用三步法 t， 这里面我们发现这面三 a 是可以改成多少了，三 a 是可以改成 a 啊，三 a 还有 a 啊，负了，所以这里面其实就是 x 减 a 乘以 x 减三， a 小一点。 然后呢，我们发现这个 x 是大于，因为 a 是小零，所以 a 反更大。三 a 在正面开口向上小零啊，大于三， a 小于 a， 同理， q 我们也可以抽出来。 q 也是一个正面先进 解方程，解的是一个负二，一个是水， x 大于等于二，小等于三，而且不等于十，我就要省略。有同学 不知道的，那就去看一下我之前的发的一个视频啊啊，再分析问题，他说 q 是 p 的必要条件， q 是 p 的必要条件，说明后面能推出前面 有体育课之屁能推出 q， 因为后面是屁了，后面能推出前面，那后面就是屁啊，屁能推出 q， 所以呢，我们发现屁的范围 说更小啊， p 的范围是更小，因此我们在数的上来表示，这个又扯上一个集合啊，集合 q 集合是这里面啊，那 p 集合，因为 p 的范 一个小，所以要包含在这里面啊，包含在这里面就是这样的，所以我们顾直接列不等式就行了。三 a 说大于负二呀，然后呢， a 是小于三，同理，还要因为 a 小零是大条件啊。 a 小零是大条件。 能不能等的，这个稍微注意一下，是可以等的，因为实心点，比如三 a， 假如正好人发实心点是会包含空心点的，所以这面是可以等的，这面可以等。因此我们解答， a 说大于等于 负三分之二小于零啊啊，因此 a 的范围就是大于等于负三分之二小于零就是这么来的啊。啊！那我们来总结一下充分条件和必要条件。他的一个判断， 前啊，前推后是充分条件，后推前是必要条件，小范围能推出大范围啊，这是我们常用的三个东西， 那我们继续来做几个巩固双击啊，巩固你们的基础。第一个， a 属于 r， 则 a 等于二，能否推出 a， 这里面是要判断中药条件，我们只需要看前面能否推出后面 明显 a 零，二是能推出后面这个等于零的，因此肯定是充分条件啊。但是后面这个是推不出前面的啊，因为正面 a 等于一 或 a 等二，这是水。明显 a 等于一或 a 等二，他的范围更大吗？小范围，那就是大范围啊。再来看第二个，他要 x 水压，则 x 大于 二的一个必要条件是多少啊？就问下列哪哪个条件是 x 大于二能推出来的？同学们一定要转换问题啊，要要搞清楚，这个并不是问 x 大于二的一个。 继续来看第二个，他说 x 大于二的一个必要条件是什么呢？说明我这里面其实就是问 x 大于二能推出 abcd 哪个东西？ 那我们知道 x 大啊，就是小范围下面哪个范围要会比 x 大二的范围更大呢？很明显， a 选项是对的， a 选项对的，那 cd 都是不对的啊， ab 选项也是不对的啊。继续来看第三个，设甲乙丙是三个命题，如果甲是乙的必要 条件啊，转化一下，甲是乙的必要条件。第二，那就后跟弦，因此乙双能推出甲啊，乙能推出甲。再来看丙射乙的冲分条件，丙射乙的冲分条件。冲分，那就是丙能推出乙啊，丙能推出乙， 这里面只有写丙能推出乙，但是不是乙的必要条件，因此乙是不能推出丙的啊，乙是不能推出丙的，那问甲丙之间很什么关系？这个很明显，甲是啊，丙肯定是可以 推出甲的啊，所以丙是甲的充分条件啊。但是呢，甲推不出丙，因此这里面可以这么写啊，丙能推出甲，但是反过来呢，是推不出来的啊，因此丙 是假的充分不必要条件，因此是选 a 啊，选 a。 继续来看第四个，他是要在充分条件，充分不必要还有必要条件里面选出一个啊， 一个 ax 方加 bs 加 c 等于零啊。其中 a 不等零，说明他是一个一元二四，有时跟有时跟，只需要判别是大于等于零就行，那就是 b 的平方减四， a c 大于等于 啊， b 方减四， ac 能否推出 ac 一定小零呢？很明显是不行的，但是反过来， ac 小零能否推出，就 ac 小零 能否推出 b 方减 cc 大于能力啊，很明显他是可以的，因此是不充分必要条件啊。面贴不充分，但是是必要条件。 正面要判断冲压条件的时候，必须两个都需要判断。第二个啊，全等是否能推出相似的，很明显就是全等的范围更小啊，他他的一个血就是 试用的范围更小，所以呢，这里面肯定是充分条件了，但是相似不一定能推出全短，因此是不必要条件啊。这里面填充分，不必要啊，这是第四点 来看，第五个啊，这里面落 x 小于 m， 是 x 大于 x 减一乘以 x 啊，大一点充分不必要。好， 我们先把这个不等式解一下啊，这个不等式解一下，这不等式解的是 x 大于二或 x 小一。好，那 x 小于 m 是他的充分，不必要。很明显，前面这个范围小范围能推出大范围，因此这个范围是他的一个小范围，或者说是他的一个子级， 因此我们直接根据竖轴来就行了啊。正面先画后面这个竖是一个一，一个二啊，前面是这个范围的一个子级， 那 m 可能在哪呢？ m 在这是可以的， m 在这是可以的，因为他想你想左转，但是呢， m 在这不行， m 在这也不行，为什么呢？因为后面这个范围不包含前面这个范围了啊，这不负离啊，直接 有题可知 m 是小一的啊。 m 小一，那能不能等？能不能等？还是这么这么一个问题，等于号， 我们单独验证，如果 m 等于一，此时 x 小一正好也会是他的一个啊。子橘 也是佛题的，所以正面直接 m 小等一就行了啊，这是第五个啊，那中要条件的判断啊，我们就讲到这，这里面其实还是比较判断的。

充分条件，必要条件，充分必要条件，充分不必要条件，傻傻分不清楚，今天三十秒呢，让你搞懂这类题，只要记住一句口诀，上充分，下必要就可以了。也就是说，从左到右，屁能推到 q， 那就是充分条件。从右到左， q 能推到屁，那就是必要条件。 咱举个例子啊，若 p， 实数 x， y 满足 x 大于一， y 大于一。若 q 呢？实数 x， y 满足 x 加 y 大于二，则 p 是 q 的什么条件？ x 大于一， y 大于一，那两者的和必然大于二，所以 p 能推出， q 上充分条件就有了。下面呢，右推左两个数的和大于二，但不一定每一个都大于一，所以推不了。那这个下必要，那就不是必要。 所以 p 是 q 的充分不必要条件。再来 e t 练练手啊，各位朋友们，在评论区留下你的答案吧！

容易混淆的七大概念之一，你以为光知道定义就可以了？ 太年轻！抱着这种想法的你的师兄师姐们好多呢，都被这部分内容折磨的可惨喽。 来，这个视频就带你继续深入理解充分条件和必要条件。学懂这个视频，这两个概念在你的面前就真的变成小菜鸟了。 先回顾一下这俩概念哈， p 是 cure 的充分条件， p 是 cure 的必要条件。这俩说法都是啥意思来着？你自己想想呗，想好了就可以继续了。 当 t 能推出 q 时 时，就说 p 是 q 的充分条件。当 q 能推出 p 时，就说 p 是 q 的必要条件。你想对了吗？ 简单地讲呢，在一个推出关系中，前者是后者的充分条件，后者则是前者的必要条件。 来，再来一个具体的例子，你判断一下 p 是 q 的什么条件？等会呢，我会就着这个例子，讲解充分条件和必要条件的深入理解。 先看 p 能不能退出 q， x 大于二十啊，都比二大了，肯定也大于一吧。所以呢， p 是 q 的创 充分条件，那 p 是 q 的必要条件吗？那就得看 q 能不能推出 p 喽。注意，必要条件呢，是后者推前者。你想啊，大于一一定也大于二吗？ 不一定吧，一点五大于一，但显然它不大于二，所以， p 不是 q 的必要条件。此时就说 p 是 q 的充分不必要条件。反之， q 则是 p 的必要不充分条件。 好，接下来咱们要就着这个例子，从齐合的角度来理解一下充分条件和必要条件又是什么意思。嗯，有点 费解，是不是这玩意还能和集合扯上关系来？真相是这样的，先把两个条件写成集合， p 就是 xx 大于二， q 就是 xx 大于一。 很明显， p 级和是 q 级和的子级，对吧？ 这其实就是集合与充分必要条件的关系了。如果 p 能退出 q， 则 p 集合就是 q 集合的子集， 此时呢， p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件。呃，可以这么建议，两个集合有此期关系时，小集合是大集合的充分条件， 大集合是小集合的必要条件。那一定是这样的吗？来，还是看这两个集合怎么从集合的角度来理解 p 退出 q 成立呢？ p 退出 q 成立的意思呢？就是说 p 成立时， q 也一定成立，对吧？ 换句话说，就是满足条件 p 的 x 一定也满足条件 q。 好了，那满足条件 p 的 x 是啥呢？就是 p 集合的元素吗？它有一定满足条件 q。 哦，那是不是就是说 p 集合中的所有元素都在 q 集合中？来，你对着这两个集合想一想，是这么回事吧。 好了， p 集合中的所有元素都属于 q 集合。哎呦，那 p 当然就是 q 的此集喽。 好了，再说一遍。结论，如果两个齐合有子齐关系，那么小齐合推出大齐合，小齐合是大齐合的充分条件，大齐合是小齐合的必要条件，挺好记的吧。 那如果两个集合相等呢？那就互为充分必要条件呗。好，你来用一下这个结论判断一下 p 是 q 的什么条件。 答案，选 b。 这两个语句对应的齐合， p 呢是负一正一， q 呢，只有正一两个齐合有仔细关系吧，大齐合是小齐合的必要条件，所以，选 b。 好了，这个视频呢，就说到这主要内容呢就是两个集合有子际关系时，小集合是大集合的充分条件，大集合是小集合的必要条件。

单招数学充分比较条件秒提大法一招掌握。先给第一道题有三有二，咱们用数轴表示一下，看看谁的范围更大。二在这，三在这， x 大于三，是不是往这滑？ x 大于二，往这滑，对吧？那是不是 x 大于二的范围更大一些呢？就是范围小推范围大。记住了， 小推大就是充分，不必要条件选二， b 在二，选项 x i 三 x i 五，三在这，五在这， x i 三呢，是往这滑的， x i 五往这滑，是不是范围大推范围小啊？范围大推范围小就是必要，不充分条件选 c。 再看进阶的试题， 这个呢，其实能求出来 x 等于一和 x 等于负三的那两个谁范围更大呢？是不是 x 等于一范围更小一些，因为他缺少这个条件，那小推大依旧还是充分，不要条件。 ok， 你听懂了吗？

哈喽，亲爱的同学们大家好，今天这堂课呢，要给同学们讲的是一点四充分条件与必要条件。第二课时充要条件。那么在讲新课之前，我们先来回顾一下我们在第一课时所学的充分条件、必要条件。我们当时是如何去定义充分条件、必要条件的呢？ 我们是这样来说的对于弱 p 则 q 这种形式的命题而言，如果他是一个真命题， 那么就意味着由条件 p 可以推出结论 q。 这个时候我们就说 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件。假如通过判断它是一个假命题，那么也就是说由条件 p 不能推出结论 q。 这个时候呢，我们就说 p 不是 q 的充分条件， q 不是 p 的必要条件。这个呢，是我们之前学的这个充分条件、必要条件的定义。那当时呢，还给同学们讲到了这样的一个口诀 p q 互推定符号。讲 脚趾冲锋头指必要是与不是看符号。特别是后边的三句话。脚趾冲锋头指必要是与不是看符号。我们在第一课时呢，用的特别特别的多。一定要注意脚趾向的是冲锋 头指向的是必要是与不是，只需要看推出符号还是不能推出符号就可以了。那么这个口诀的第一句话，我们在第一课时呢，几乎是没有用到的，但是在第二课时，他的作用呢，就体现出来了。 回顾了第一课时所学的内容之后，那我们来看看第二课时咱们要学的冲药条件。首先我们来看到知识梳理知识一、冲药条件。 那什么是充药条件呢？顾名思义，充就是充分，要就是必要。也就是说，既要是充分条件，又要是必要条件。那我们一起来看一下充药条件的具体定义。若 p 能够推出 q， 而且呢， q 也能够推出 p。 那这个时候我们记怎么记呢？我 我们就这样来记，用一个双向的箭头，它代表着 p 能够推出 qq， 也能够推出 p。 我们就相当于把这两个东西合到一块来写了。而这个符号呢，它是等价符号，意味着左边能够推右边，右边也能够推左边。 或者说呢， p q 是等价的。 p 成立， q 也成立， q 成立， p 也成立。这个时候呢，我们就说 p 是 q 的充分必要条件，又是充分条件，又是必要条件。实际上，这个东西啊，我们也可以从我们之前的口诀来理解。你看这个地方， p 能够推出 q， 我们讲过脚趾充分，对吧？ 那这个时候， p 是 q 的充分条件。而且呢， q 也能够推出 p。 哎，之前又讲投资必要，那说明 p 也是 q 的必要条件。这样一来， p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件。 所以，这个时候， p 就是 q 的充分必要条件。充分必要条件，简称充要条件。 那咱们要判断 p 到底是不是 q 的冲药条件。实际上，我们是要完成两个步骤的。第一个步骤，我们要去看一下由 p 到底能不能推出 q。 第二个步骤，我们要去看一看由 q 能不能推出 p。 只有两个条件都满足了，那么 我们才能够说 p 是 q 的充药条件。显然，假如 p 是 q 的充药条件，那么 q 也是 p 的充药条件。 我们来看，这个地方头指必要，那这个地方就是必要，对吧？这个时候我们就说 q 是 p 的必要条件，脚趾充分，那这个位置呢？就是充分。这样一来的话， q 也是 p 的充分条件。所以 q 即是 p 的充分条件， 也是批的必要条件。因此 q 也是批的冲药条件。总的来说，只要批和 q 是等价的，那么就意味着 pq 互为冲药条件。 那咱们这个地方提的的充药条件呢？只是我们四种类型里边的第一种。如果 p 等价于 q， 也就是说由 p 能够推出 q， 并且呢， q 也能够推出 p。 这个时候我们就说 p 是 q 的充分必要条件，简称充药条件。 到这个地方呢，咱们的这个记忆口诀第一句话就派上用场了。 pq 互推定符号。所以我们一定要去看一看， p 能不能推出 qq 能不能推出 p。 然后定符号，指的是推出符号，还有不能推出的符号。 在这个地方，我们的括号一通过我们这个互推啊， pq 互推，我们可以看到 p 能够推出， qq 能够推出 p， 也就是 pq 是等价的。这个时候我们就说 p 是 q 的充料 条件。来看第二种类型，若 p 能够推出 q， 但是 q 不能推出 p， 那这个时候我们就称 p 是 q 的什么条件呢？ 咱们口诀里边的第一句话 p q 互推定符号。那在咱们的这个地方呢，不需要去定符号了，因为呢，他已经假设出来了。我们在做具体题目的时候呢，肯定是要自己去互推的。他讲 p 能够推出 q， q 能够推出 p。 问咱们呀， p 是 q 的什么条件？那这个时候呢，我们就要去找 p 的位置了，好来看这个地方脚趾充分，对吧？ 所以这个位置是冲分。然后呢，头指必要，这个地方呢是必要，脚趾冲分。头指必要。是与不是？看符号，我们就来看符号，一个是推出符号，一个是不能推出的符号。 从这个地方我们就可以看到 p 是 q 的充分条件。从这个地方我们可以看到 p 不是 q 的必要条件。那连起来咱们该怎么说呢？我们这样来说， p 是 q 的 充分不必要条件。注意这个说法啊，咱们说的是充分不必要条件。这个呢，是第二种类型。咱们来看第三种类型。若 q 能够推出 p， 但是呢， p 不能推出 q。 问咱们 p 是 q 的什么条件？ 那我们呢？就去找 p 的位置，这个地方是必要对吧？投止必要。然后呢，这个地方呢是充分，脚趾充分。其实我们就会发现啊，从这个地方我们可以看到 p， 它是 q 的必要条件。而从这个地方我们可以看到 p 不是 q 的充分条件。 二者结合起来，我们就这样来说， p 它是 q 的必要不充分条件。 好，注意这个说法。必要不充分条件。来看第四种类型。紧接着来看第四种类型。同样的找 p 的位置，这个地方脚趾充分。 这个地方投资必要。那么这个时候呢，是与不是看符号，看符号看的是推出符号，或者是不能推出符号。通过这两个地方，我们可以看到 p 不是 q 的充分条件， p 也不是 q 的必要条件。因此我们就这样来说， p 是 q 的，既不充分，也不必要条件， 既不冲锋也不必要。好，注意这个说法，那么这四种类型呢？同学们一定要会判断，不要去死记硬背，一定要能够通过老师讲的这个口诀呢，能够判断四种类型的条件。紧接着我们来看预习自测第一题，他问咱们呀， x 等于二，是 x 平方减四等于零的什么条件？ 这个时候我们来看口诀的第一句话 pq 后推定符号。那在这个地方，有的同学呢，一直在纠结在这个题目里边哪一个是 p， 哪一个是 q。 在这个地方呀，同学们不要做 过多的纠结，你只要知道，不管哪一个是 p， 哪一个是 q， 肯定是要互推的，他们俩肯定是要互推定符号的。那为什么我在这呢？要求同学们不要过多的纠结哪一个是 p， 哪一个是 q 呢？因为我们讲四种类型的时候，我们仅仅都是在问 p 是 q 的什么条件对吧？实际上，我们在做很多题的时候，他也会问你 q 是 p 的什么条件。所以在这个地方，同学们不要纠结于 p q 啊，到底哪一个是 p， 哪一个是 q， 你只要能够判断哪一个是哪一个的什么条件就可以了。 来看第一题，他们两个肯定是要互推的。我们先来看一看由 x 等于二，能不能推出 x 平方减四等于零呢？这个是显然可以推的出来的。 x 等于二， x 平方肯定等于四，四减四肯定是等于零的 好。再来看由 x 平方减四等于零，能不能推出 x 等于二呢？这个呢，是不能推出的。为什么呢？因为 x 平方减四等于零，就意味着 x 平方等于四， x 平方等于四， x 呢，他就等于正负二对吧？ 这样一来的话，由 x 平方减四等于零，你是不能推出 x 一定等于二的，他可能呢是等于负二的。然后我们再来看这个题，他问掌门， x 等于二，是 x 平方减四等于零的什么条件？这个时候我们就去找 x 等于二， 找他的这个位置啊。好，这个地方脚趾冲分，所以这个位置是冲分，头指必要。这个位置呢，是必要是与不是。看符号，看这个符号啊，通过这个符号我们可以看出来 xx 等于二，是 x 平方减四等于零的充分条件。通过这个符号我们可以看得出来 xx 等于二，不是 x 平方减四等于零的必要条件。 二者一结合的话，哎，我们就得到 x 等于二，是 x 平方减四等于零的充分不必要条件。那我们来看看充分不必要 条件，就是 a 选项呢，对不对？好，因此咱们这个题选的是 a 选项。这个地方呢，我说一个问题啊，就是说我们在上边呢提到的是充分不必要，必要不充分，对吧？那在这个题目里边，他这个 a 选项以及这个 b 选项呢，多了一个字儿，但是这个不影响的，因为它不影响它本质的含义啊。 所以这个地方呢，同学们不用做过多的纠结啊。紧接着我们来看第二题，给出了 px 大于等于负，一小于等于二。给出了 qx 大于等于负，一小于等于一。他问咱们 p 是 q 的什么条件对吧？这个时候呢，根据口诀， pq 互推定符号。我们来看一看，由 p 能不能推出 q 呢？ 也就是说，由 x 大于等于负，一小于等于二，能不能推出 x 大于等于负，一小于等于一呢？这个是不能推出的。举个例子啊，比如说我这个 x 取了一个一点七，那 x 取一点七的 时候，一点七的确是大于等于负，一小于等于二的。但是一点七并不满足大于等于负，一小于等于一，所以由 p 不能推出 q。 再来看由 q 能不能推出 p 呢？ 由 x 大于等于负，一小于等于一，能不能推出 x 大于等于负，一小于等于二呢？这个肯定是可以推得出来的。这个地方都是 x 大于等于负一对吧。而这个 q 这个位置是 x 小于等于一，既然 x 小于等于一，那么 x 一定会小于等于二，所以由 q 是能够推出 p 的。 这样一来呢，我们就完成了口诀里边的第一句话 pq 互推定符号。我们已经呢把这个符号定下来了。好，紧接着哈，这个题呢，他是问我们 p 是 q 的什么条件？那咱们就要去找 p 所在的位置了。脚趾充分，口指必要，那这个位置就是 冲分。这个位置呢，就是必要是与不是看符号。哎。通过这两个符号我们就可以看出来了， p 是 q 的必要条件。但是呢， p 并不是 q 的充分条件。所以二者结合起来，也就是说 p 是 q 的必要不充分条件。因此我们这个题选的是 c 选项。 好，来看第三题，特别的简单。首先呢，我们要看看由这个 m 大于等于负一，能不能推出 m 大于等于负二呢？显然是可以推得出来的。 m 既然已经大于等于负一了，他一定是大于等于 二的。再来看由 m 大于等于负二，能不能推出 m 大于等于负一呢？这个是推不出来的。我们举个反例，比如说，我取这个 m 等于负的一点七，那 m 等于负的一点七，负一点七是大于负二的，但是负一点七并不满足大于负一。所以由 m 大于等于负二，不能推出 m 大于 等于负一。那题目问我们 m 大于等于负一，是 m 大于等于负二的什么条件？我们就要找到 m 大于等于负一的位置了，这个位置呢，是冲分，这个位置呢，是必要。然后呢，通过这两个符号，我们可以看到 m 大于等于负一，是 m 大于等于负二的冲分，而不必要条件。冲分不必要条件，那只能够选择 a 选项了。 紧接着来看第四题，这个呢，是 p， 这个呢，是 q。 哎，他问咱们呀， p 是 q 的什么条件？那依然我们要 p q 互推对吧？我们首先来看一下，由 p 能不能推出 q 呢？ 一元二次方程 ax 平方加 bx 加 c 等于零方程有十数根。这个一元二次方程有十数根，意味着根的判别是德尔塔，它是大于等于零的。而这个德尔塔我们在初中是有公式的，对不对？它等于 b 平方减四 ac， 其中 b 四一次项系数，在这个地方，一次项系数就是小 ba。 四、二 二次项系数，二次项系数在这个地方就是小 ac， 是长处下，在这个方程里头就是小 c。 再一来，根的判别是德尔塔，它就等于 b 平方减四 a c。 既然这个方程有时速跟，就意味着 b 平方减四 a， c 大于等于零 a， 而这个 q 刚好就是 b 平方减四 a， c 大于等于零。所以 u p 是可以推出 q 的。 好，再来看由 q 能不能推出 p 呢？显然的吗？这个地方 b 平方减四 ac， 他刚好就是德尔塔，对不对？德尔塔大于等于零，那么这个方程一定是有十数根的。因此由 q 是能够推出 p 的，所以 p 是 q 的充料条件。 好了，这个就是咱们今天的主要内容。最后给同学们留下一个小小的任务。对于弱 p 则 q 这种形式的命题而言，请同学们去看一看书，或者在网上查一查他的第一名题是什么。我们下一堂课呢？一起来探讨一下这个小问题。好了，那咱们今天呢就讲到这个地方，我们下次再见，拜拜。

你别问我正方形的爸爸怎么会姓王呢？功夫熊猫的爹还是只鹅呢？剧情需要，这有什么好奇怪的， 高中数学只要你看，你也能学会。先点赞，后欣赏。 很多老铁在高中三年中一直都没有搞清楚充分条件和必要条件。俺也一样，俺也一样。最近呢，有一个刚上高一的兄弟说，啊，哲哥啊，什么是充分条件，什么是必要条件呢？我总是被这一块搞晕了，我嘞个去，没谁了。 还有什么是充分而不必要？什么是必要而不充分？还有重要条件，既不充分也不必要。这一天天的，烦死了，哼，是不是有人教你左推 推右是充分条件，右推左是必要条件。左能推右，右不能推左就是充分不必要条件。右能推左，左不能推右就是必要不充分条件。我的天，这种方法只能中午用， 因为早晚会出事。这样讲是简单，但是容易混淆，你能记住几天？下个月我再问你，右能推左，左不能推右，是充分还是必要，你还记得吗？ 记得快，但是记不久的方法就不是好方法。把耳朵睁开，我要开始说人话了。 讲个故事，王者荣耀和正方形是父子关系，你别问我正方形的爸爸怎么会姓王呢？功夫熊猫的爹还是这鹅呢？剧情需要，这有什么好奇怪的， 王者荣耀和正方形是父子关系？既然是父子关系，那么必然是爹和儿子都有的，一个是爹，另一个就是儿子。问身份就得先指明对象，你问的是谁？如果你问的是王者荣耀，那就是爹。谁的爹呢？正方形的爹？ 如果你问的是正方形，那就是儿子，谁的儿子？王者荣耀的儿子。同理，一个推倒过程，也就是一个箭头当中是充分条件和必要条件都有的， 一个是充分条件，另一个就是必要条件。那么哪个是充分条件，哪个是必要条件呢？很简单，你就记住，箭头指向的是必要条件，那么另一头自然就是充分条件。骑白马 大的不一定是王子，还有可能是唐僧，带翅膀的不一定是天使，还有可能是鸟人。我就用这两句话来教你理解充分条件和必要条件。我们先看 在这个箭头当中，根据刚才讲的，箭头指向的是必要条件，所以骑白马的是必要条件，王子是充分条件。在这个箭头当中呢，王子是必要条件，骑白马是充分条件。再看这两个箭头是否成立。 童话里，王子一定是骑白马的，所以这个推倒成立。骑白马就是必要条件。谁的必要条件？王子的必要条件，王子就是充分条件。谁的充分条件？骑白马的充分条件。但是 骑白马的不一定是王子，也有可能是唐僧，所以这个推倒不成立。骑白马就是不充分条件，王子就是不必要条件，所以王子就是骑白马的充分不必要条件。骑白马就是王子的必要不充分条件。 带天使的这组关系中，先看这个箭头，箭头指向带翅膀，所以带翅膀是必要条件，那么天使就是充分条件。在另外这个箭头当中呢，天使是必要条件，带翅膀就是充分条件。 再看这两个箭头是否成立。天使一定带翅膀，这个箭头是成立的，所以呢，天使是带翅膀的充分条件，带翅膀就是天使的必要条件，但是带翅膀 的不一定是天使，也有可能是鸟人，所以这个箭头不成立，那么天使就不是带翅膀的必要条件，带翅膀也就不是天使的充分条件。总结，天使就是带翅膀的充分不必要条件， 带翅膀就是天使的必要不充分条件。有趣的生活需要有趣的灵魂来发现，高大上的数学需要接地气的方式来解读。 下个视频我再教你如何判断取值范围的充分必要性。人话数学说人话讲数学，连爹妈都能学会。

各位高一的同学大家好，我是数学老师王老师，今天我们练习充分条件、必要条件和冲药条件竞选题，第一道题 x 属于 l 二， x 大一小于二是 x 的绝对值小一的什么条件？ 如果前面能推出后边，前面就是后边的充分条件。如果后边能推出前面这个结论，后面的就是前的，前面就是后边的必要条件。前后都能推，那就是重要条件了，如果都推不出来，就是既不充分也不必要。 这个绝对值的一代表啥呢？就代表到二的距离等于小一的点在数轴上， 到二的距离小一的点，一个是在一二之间，一个在二三之二三之间，所以 x 大于一小于二是在一二之间的数，必定会使这个不等式成立，所以前往后推是能推得过去的，那么必 已经满足了充分条件，然后 x 减二就绝对值小一。我们能得出两个范围，一个就是在一二之间的数，还有一个就是二三之间的数。所以你从后往前推的时候，后面的剪辑不只是这一个，从后往前推推的是不完整的，所以前面这个条件对后边来说不是这个 必要条件，那么这应该是一个充分不必要条件。答案选 a。 对于这个绝对值不等式，如果同学不太会解的话，你就需要平方处理， 不会用他的几何一减平方处理的话，那就是 x 减二的平方小于一的平方吧，减于二次不等式。如果你能理解这个绝对值的几合一，我只需要 x 减二 去绝对值小于一大于负一直接解出来的，这个是 x 小于三大于一，所以啊，就是说 一到二。呃， x 减二的绝对是小一，他的解集应该是大于一小于三，而不是大于一小于二大于一，小二这个范围缩小了，所以这个不满足这个必要条件，只满足充分条件，虽然是充分，不必要。第二个题， 二减 x 大于等于零，是后边这什么条件？二减 x， 我们解这个不等式，就是 x 小于等于二， 那么对于后边这个绝对值不等式呢？我们直接求解，就是 x 减一小等于一，大等于负一，其实他表达在数轴上的意义就是表达 到一的距离小于等于一的点子集合，那么这个如果是一的话，小于等于一的点不应该在零和四这个二之间吗？我们解的话，这不就 x 小于等于二一项变号或者不等式两边同时加上一 大于等于零，解出来的就是零二之间的数。那你 x 小二的时候会使这个绝对值成立吗？ 这是不一定的，对吧？因为 x 小二的时候，要想使绝对绝对值不等式成立，必须是 s 在零二之间。那么同理，对于后边这个式子，绝对值成立的时候，那么 x 小二成立吗？ 这个一定成立，因为我们解除的是零到二之间的数，但他都一定小于二。小于二或等于二，所以这个属于一个前推后是推不出来的，但是后边推前面是可以推出来的，所以这是一个必要不充分的条件。那答案应该是选二 b 的 第三题，呃， a 是属于啊，十数二 a 大于一是 a 方大于一的什么条件？如果 a 大于一，他的平方一定也大于一，所以前面是可以推出后面这个结论的。但是 a 方大于一的时候，我们通过求解， a 要不是大于一，或者是 a 小于负一，他是不能推出前面的， 所以这是满足充分不必要。三题是选 a 的第四题， x 属于二， x 立方大于八，是 x 对值大于二的什么条件？我们看 x 立方如果大于八，我们能推出 x 一定是大于二的， x 大于二呢？他的绝对值一定大于二，所以前面是可以推出后边的，这满足充分性。那么 x 的绝对值大于二的时候，表示到零的距离大于二的点， 那么我们讲这是零，这是二，这面是负二。所以这样大于二的紧急范围应该有两个，一个是大于 x 大于二，再有一就是或 x 小于负二， 这时候你往前推是不推，不推不过来啊。因为前面这个条件少了一个，所以这属于充分不必要条件。选 a 下一个。第五题， x 方减五， x 小于零是后边的什么条件？我们需要把这个不等式先解一下，解一二次不等式， x 应该是小于五大于零的，也就是 s 大于零小于五是后边的什么条件？ 后面我们解决对折不等式，应该是 s 减一小一大于负一，或者你画个竖轴，表达的是到一这个距离小一的点， 那么应该是左右整数值是零二应该是在零二之间的数，直接去绝对值，就是 s 减一大于负一小于一，也就是 x 小于二大于零， 这是不等式。两边同时加上一个一，那我看如果 s 大零小于五，他一定大于零小于二吗？这不一定，对吧？所以前边往后推是推不过去的，后边往回推呢？如果是 s， 取零二之间的数，他是不是一定在零五之间？ 最后边往前推是能推的过来的，也就是说小范围能推大范围，大范围不能推小范围，那这是一个必要不充分条件，我们这个应该选二 b。 下面是天空题，我们看第一个题，说 x 大， a 是这个 x 方减五， x 加六大零成立的充分不必要条件，则求这个 a 的取值范围。后面这个不等式如果成立，我们可以用解一二次不等式的办法去解一下，二三得六，解出这个 x， 要不就是小于等于二或 x 大于等于三。我们知道小范围是可以推大范围的。既然 x 大于 a， 是后边成立的充分不必要条件，也就是前面能推出后边，但后边不能推出前面。小范围能推大范围， 那么 s 大于 a， 就应该是 s 小于等于二或 s 大于三的一个子级。在数轴上我们把范围给画出来，这是三， 这是二大 a， 如果是他的子级的话，那么这个 a 是不是就要在三的右边，或者刚好跟三重合，这样才能满足子级的概念？所以 a 的范围就是大于等于三，用区间的表达方法就是三到正无穷。第第七题， p 命题是 x 大于负， a 小于一加一， q 命题是 x 大于二小于三，他俩满足必要不充分条件。必要不充分是指 q 能推出 p， q 能推出 p， 但是 p 是不能推出 q 的。按照集合的观念，那就应该是 q 对应的集合，是 p 对应的集合的子集。因为是小范围能推大范围，也就是负二到三，他应该是这个负 a 到 a 加一的一个子集，那么我们画在竖手上有子集的关系，他不仅是子集，应该是真子集，如果子集两个集合相等，那么互相能推，就会满足重要条件， 这是个真子集的概念，那负二和三我们随意画在这，既然是真子集，负 a 和 a 加一就应该在他的两侧， 那能不能重合呢？端点之一后我们再去验就行了。在数轴应该满足负 a 大约大于 负。呃，负二大于负 a 大于等于负 a， 然后三呢？小于等于 a 加一，这是我们解除，这个 a 是大于等于二的，这个解除是 a 大于等于二的，也就是 a 大于等于二就可以了。当 a 等于二的时候，左右 端点直看重重不重合，当 a 等于二的时候，左边重合，右边也重合，就变成了真子级的情况，所以这个不能取，等， a 只能大于二，这个不能取，等取等变成子子级了，那么我们的 a 的取值范围呢？可以用区间表达，就是二到正无穷。 呃，下面是第八题， m 方减 m， x 减二小零对任意 x 属于二横成立，但冲药条件是什么？如果他对任意 x 属于二横成立，我们首先看这个可能是个一二次不等式，对吧？ 当 m 等于零的时候，他就不是一万次不等式，那么此时负二小于零，对于 x 航程力，所以 m 等于零是可以的。第二种情况就是 m 如果不等于零的时候，你只要小于零航程力，这个二次函数开口就应该向下。我们把 mx 方减， mx 减二看成二参数，并且他与 x 轴不能有焦点，如果有焦点就会有 x 的直使含数值等于零，对吧？或者大于零，所以我们列的不等式应该是这样的， 这个 m 是小于零的，并且嘚的呢，是等于 b 方减 cc， 他是小于零的。这两个同时去求解，解除这个 m 呢是小于零，大约负八的， 然后结合已知条件，我们开始算的 m 等于零页符合题，所以综合到一起，居然是这个负八到零左开右臂区间。 第九题，对于命题， p 是 x 小一点四， q 命题，那我们需要解一下十四相乘法四一，那解出 x 小一点四大于等于一，也就是说 实际上 q 命题表达的也是个不等式，现在我们看出他俩谁能推出谁呢？小范围推，大范围 q 的命题小一些， p 的命题大，所以 q 能推出 p， p 不能推出 q， 那么 p 是 q 的必要不充分条件。 在这里画个勾，必要不充分调节实体 x 小于 m 减一或 x 大于 m 减一是 x 方减二， x 减三成立的必要不充分条件。我们首先把这个不等式解一下，十四相乘法负三和一分解一下， 这样我们解除 x 应该是大于三或 x 小于负一的必要不充分条件。是指后边能推出前面的条件，前面不能推出后边，也就是说小范围能推大，大范围，那么也就说 s 放假二， s 减三大的零，他的阶级是我们前面那个条件的子级，有这个子级的关系，我们就可以画数轴去找这个不等关系啊，也就画个数轴， 呃，这个是三，这个是负一小于负一大于三，如果是满足自己的关系，那这个小 m 减一， 军哥在负一的右边，然后这个 m 加一呢？军哥在三的左边。 计算完成之后，我们再去检验端点值可不可以重合了，因为这个是要满足真子级的关系，而不能满足子级的关系，所以 m 减一，他是大，我们先算他大于负一哈，大于负一，然后 m 加一呢，应该是小于三，这样解除， m 是小， 小于，这个是小于二，这个是 m 大于零，也就是 m 小于二大于零，那我们看端点值能不能取等，当 m 等于零的时候，左边取等，右边不取等，当 m 等于二的时候，右边取等，左边不取。等，也就是无论怎样取等，你都不会变成子急，都是真子急的一个关系。 所以这个答案应该是零到二 b 区间，零到二 b 区间。第十一题， p 命题是 x 方小 x， 这样的你是不能直接观察出他是什么意思，所以需要进行解不等式。那我们解出来就是 x 这个 p 命题啊， 相当于是这个不等式 x 方减 x 小于零，从而解除。 x 是小一大于零的，这是 p 命题。 q 命题条件是 x 分之一大于 a， p 是 q 的充分不必要条件，所以 p 对应的集合，假如是对 用的是这个集合 a 的话， p 对应的是集合 a， 然后 q 对应的是集合 b， 那么应该就是 a 是 b 的贞子集，因为小范围可以推大范围， 这里边我们要求解这个实数 a 的取置范围， a 是 b 的甄子集，那我们看这里边你需要因为这个 a 大于零，我们把它解一下哈。那么对于 q 命题来说， 取倒数，我们说不等号要改变方向，那么 x 就小于等于 a 分之一，这俩竟然有一个包含关系，我们画在数轴上， p 命题是零到一，这个开曲键， q 命题是小于等于一，那这个 a 分之一是不是就在一的右边，会有刚好与一重合，也就是 a 分之一要大于等于一，那么 a 就小于等于一，同时要大于零， a 的取出范围是零到 左开右臂区间。第十二题， x 大于三是 s 大于的充分，不必要，条件，小范围能推大范围，也就是说大于三这个集合是大于 a 这个集合的一个真字集， 那画在竖轴上，这是三大于三往右画，这是 a， 因为是真自己的关系，所以 a 必须在三的左边，不能跟三重合，这样解除 a 就是小于三的小于三呢，也就服务穷到三 开区剪。第十三题， x 大于三是 x 大于 m 的必要不充分条件是指后边能推出前面，前面不能推出后边，小范围推大范围，我们可以得到 m 到正目穷这个集合是三到周 中无穷这个集合的真子集，从而带入数轴，这是三到中无穷，三到中无穷的真子集，那 m 只能出现在三的右边，对吧？所以这个 m 大于三， m 的范围就是三到中无穷开取件。 第十四题，第十四题一直不等式，这个解题是 a， 这个是我们讲的分，是不等式的减法，对吧？你可以考虑去分母，也可以先一向做叉，然后利用这个 高次不等式的减法去解他。那我们来解一下这个集合， a 也就二减 x 除以二， s 减一减一大于零通分就会得到这个二， x 减一分之二减 x 减去二， x 加一 大于零，解除负三， x 加三除以二， x 减一大于零，然后除变成 把这个三可以约掉吗？两边同时出个三，也就是负 x 加一乘以二， x 减一大于零。这时你把它看成一个开口向下的二次函数，一个焦点是一，一个焦点是这个二分之一， 开口是向下的大于零的部分，那就是在两根之间，也就是 x 大于二分之一小于一。 a 集合就表达了这样一个范围，然后 b 集合呢？表达的是这个不等式的一个解，这个不等式中有个 m 是不可解的。现在展示 x 属于 a， 是 x 属 b 的充分不必要条件，所以 a 是 b 的甄子集。那么现在我们要求这个 m 的取示范围，这时候我们把这个 m 单独去解出来，也就是说你这个 m 在 b 不等式中。

例题一，已知集合 a 和集合 b， 若 x 属于 a， 是 x 属于 b 的必要不充分条件，求 m 的举止范围。首先我们来做这道题的时候，第一步可以把集和 a 章中 x 的取至范围给解出来，利用十字相乘的方法，要注意他这里用的是小于等于，所以说我们解出来肯定是一个避区间，负四到四的负三到四的避区间，然后呃，方便查看，我们也可以把集合币当中的范围给写出来， 然后他说 x 属于 a， 是 x 属于 b 的必要不充分条件。然后有的同学可能在这个地方会出问题，就是不能把它翻译出来，或者说把它翻译对，然后这个时候呢？ 啊，我通常在做这种题的时候有我的呃四字真言，就是 左臂右冲，什么意思呢？我们知道这个包含和真包含不是包含，和包含鱼，他的符号的开口是有区别的， 也就是说当题目当中说到他是必要条件的时候，那么这个开口就是要向左的，也就是这个包含。然后如果说他是冲要充分条件的话，那么他就是开口向右的，就是包含鱼的这个符号，那么这个地方首先我们确定了呃 a 是 b 的这个 必要条件，他一定是个必要条件，那么所以说他的开口首先是向左的，然后我们再来判断他是不是真包含呢？然后 因为他后面这里说了一个不充分，我们怎么去记忆他呢？就说如果说他是必要条件的话， 这他就只只有一个向左的这个符号，也就是只有一个包含的符号。但是如果说他后面跟了一个不充分，也就是说他后面跟了一个累赘，那么这个符号的下面也要跟一个累赘，这么写上去，也就是说 a 真包含 b， 然后既然 a 真包含 b 的话，也就是说 aa 要比 b 的范围更大，然后我们可以来借助图像来帮我们理解一下， 然后这个绿色的范围呢，就是 a 的范围， 然后我们再来看，如果说要使 a 真包含 b 的话，则分了两个情况，第一个情况是 b 是真， b 是空击， 然后如果说 b 是空气的话，则我们就可以推出一减 m 要大于三个 m 减二。然后有的同学可能在这里会疑惑，我一减 m 要可不可以是大于等于三， m 减二呢？ 或者说能不能取等呢？这个时候我们可以不妨假使一减 m 等于三， m 减二 等于一呢？也就是说这个时候啊，集合币他当中 x 的范围是一到一的 b 区间，也就是一，那么这个时候集合币他就不是一个空姐了，也就是说 他不能去等，嗯，所以我们的第一个情况就可以列出这样一个不等式，然后解释出来， m 的小于四分之三， 然后第二个情况， b 不是空击， b 不是空姐的话，这个时候我们可以列出来。第一个就是生成上面的思路的话，第一个首先一减 m 就肯定要小于等于三减二，否则他就会存在空气的情况， 然后我们再来记住这个图像来看，他说，呃，既然 a 的范围要比 b 更大的话，那么 b 是不是要在这个 a 的里面，肯定是在这个范围里面的，然后 建在这个里面的话，他可以是这样，也可以是这样 都可以，但是他一定满足一减 m 要大于负三和三， m 减二要小于四。然后这个时候我们又遇到了能不能去等的情况的这个问题。首先我们知道这个 a 是要真包含 b 的， 是不是有一个真字在里面，他是真包含，我们可以联想到什么真真空吗？ 那么刚好这个真包含的符号下面又有一个一撇，对吧？又有一个不等号，那么就怎么进呢？那他就不是真空的呗，不是真空的呗，那么不是真空什么意思呢？如果说 你左边，比如说你左边这个范围就已经跟这个负三紧贴着了，已经跟壁的极限紧贴着了，那右边你就不能真空，既然你不能真空，你就要给他一点空间， 对吧？然后同样的，如果说你右边跟四紧贴着，那你左边就要留出一点空间出来，因为他不能真空吗？ 所以说在这个地方我们可以分为两个情况，如果说一减 m 大于等于负三，那么这个时候三 m 减二就叫小于四。同样的 还可以列出第二个情况，一减 m 大于负三的时候，三 m 减二就要小于等于四，但是前面的这个范围依旧不能写掉了，这个时候我们来把它解出来，那么前面解出来就是 m 小于， m 大于等于四分之三， m 小于等于四和 m 小于二。然后同样的 m 大于等于四分之三， m 小于四和 m 小于等于二，然后我们再用再把它整合一下的话，就变成了四分之三到二的左臂右开区间和四分之三到二的臂区间， 然后我们再把这两种情况的三个答案给他整合一下就能得出我们的最终的答案了。 然后我们来看一下这个 标准答案，然后最后答案整合下来的话，就是服务穷到二的左臂右开区间，哦，左臂左开，右臂区间。