把圆转化成梯形推导圆面积公式

六年级数学第一单元如果说必考的题，那一定是圆面积推导。数学书上在十四页、十五页、十六页、十七页，连续四页都有圆面积推导相关的知识点及其练习题。 同学们在期末考试复习时，一定要先把数学书上的这几页题弄清楚，弄明白。除此之外，同学们还要注意就是把圆转化成梯形的题。我们来看这道题， 把圆分成十六分，拼成一个记式的梯形，根据这个梯形的面积，也可以推导出圆面积公式。仔细观察，这个梯形的上底是圆周长的几分之几， 同学们看把圆平均分成十六分，我们看上底占了三份，那就说上底是圆周长的十六分之三，下底是圆周长的几分之几，我们看到下底是五分， 下底就是圆周长的十六分之五。上底加下底的和是圆周长的多少呢？十六分之三加十六分之五，就是十六分之八，也就是圆周长的二分之一。 高相当于几个半径呢？我们看到这可以看出，我们看这可以看出相当于两个半径，圆的半径用字母 r 表示，圆周率用 pi 表示。你能完成下面的推导过程吗？ 我们看梯形的面积，上底加下底乘以高除以二，上底加下底的和就是圆周长的一半。我们用字母派 r 来表示， 高是二， r 乘以派 r 乘以二， r 除以二，我们就得到了原面积等于派 r 的 平方。同学们，你们看明白了吗？同学们在期末考试前一定要练一练这种题型，期末考试才能有信心，有把握。关注陈老师，让你期末复习更清楚，更明白，少走弯路！

圆的面积，有一个圆不小心掉了一小块角，他很烦恼。于是有一天，他上路去寻找那块丢失了的角， 因为他不再是一个完整的圆了，所以行走起来没有以前那样快，让他觉得很着急。 但慢慢的，他开始观察周围的一些事情，那么多好玩有趣的东西，竟然是自己从前没有注意到的。他不是圆就可以随时站住脚和路边的花花草草聊天。 他在寻找掉了的那一个脚时，忘记了烦恼，而且从来也没有这样快乐过。 终于有一天，他找到了自己缺的那一个角，可是装上这角以后，他成了一个完整的圆，再行走起来就像一阵风，耳边除了呼呼的风声，什么也听不到了， 他感到生活一下子失去了欢乐。糖糖，你怎么了？谁欺负你了？ 没，没谁欺负我，我只是觉得动画里的缘好可怜呢，这故事你看了很多遍了，还哭啊， 真不知道你们女生是怎么想的，把一个缘找自己缺角的故事看了一遍又一遍，不就是给整个缘缺的那块面积补上吗？有什么好看的，你不懂的，真是的， 什么问题都能跟数学联系上。既然这样，那我问你个问题，怎样计算一个圆的面积啊？这校长还没讲过呢，就是没讲过我才问你的。好吧，我想想。 好，我知道了。虽然我不知道怎么求圆的面积，但我可以把圆转化成学过的图形来计算啊，可这要怎么转化呀？ 你看，我们可以画一个圆，把圆分成若干偶数等份，用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼，就会发现拼的图形接近长方形。 还真是这样的，这样看来，如果分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近于长方形。是啊，那你知道拼成的径似长方形的长和宽与圆的周长半径有什么关系吗？ 有图可知，圆的半径二就是长方形的宽，而长方形的长就是圆的周长的一半，即二分之 c。 是的，因为长方形的面积等于长乘宽，所以圆的面积等于 pi r 乘 r 等于 pi r 的 平方。 如果用 s 表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 s 等于 pi r 的 平方。哇， 我们真是太厉害了，把圆的面积计算公式给推算出来了。那是，我们可是天才儿童啊，我们赶紧找个题试试，看看能不能算出一个圆的面积。 我给你出个题吧，前一段时间我量的一圆形花坛的直径是二十米，它的面积是多少平方米呢？ 已知直径为二十米，那么半径为二十除以二等于十米， 再根据圆的面积计算公式， s 等于派二平方，可得三点一四乘十的平方等于三点一四乘一百等于三百一十四平方米， 所以花坛的面积是三百一十四平方米。哈，淘淘不错嘛，这么快就能实践了，哈哈哈。嗯，我们看别的动画片吧，老看这个多没意思啊。好啊， 刚刚那动画我是放光盘的，我这还有很多其他动画片。光盘，这就拿过来。 哇，淘淘，你家是卖光盘的吗？这么多。哈哈，因为我平常喜欢看动画片，就多买了点。那我以后想看什么动画片了，就来你这借淘淘。这个是什么动画片啊，怎么没有名字啊？这我也不知道， 它的外壳被我弄丢了，呵呵。哎，淘淘考你一问题怎么样？行，你问吧。你看，这光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是两厘米，外圆半径是六厘米，它的面积是多少啊？ 这题就是要利用外圆与内圆的面积求出圆环的面积。根据题意可知，只要用外圆的面积减去内圆的面积，就等于圆环的面积。 列式为，三点一四乘六的平方，减三点一四乘二的平方等于一百一十三点零四减十二点五六等于一百点四八平方厘米，所以圆环的面积为一百点四八平方厘米。 嘿嘿，不错过啊，他还可以这样列式的，三点一四乘六的平方减二的平方的差等于三点一四乘三十二 等于一百点四八平方厘米。你是根据什么列的这式子呀？因为外圆的面积减去内圆的面积，而圆的面积计算公式 s 等于 pi r 的 平方， 其中 pi 不 变，只会有 r 的 平方的变化，所以两元面积差就相当于两元二平方的差乘 pi， 也就是三点一四乘六平方减二的平方的差。哦，原来如此啊，呆呆，你真是太聪明了。哈哈，你也不赖啊，快赶上我了。哎呀，别浪费时间了，我们现在就看动画片吧，不过看什么好呢？ 咦，有了，哈哈，别找了，就看这个没有名字的光盘怎么样，看看里面到底是什么内容。好啊， 有一个圆不小心掉了一小块角。

那现在呢，我们需要推导的是圆的面积公式，你看一下这个圆的形状，这个披萨。那你想一想，我们推导面积公式的时候，之前都说过是将其他的图形转化成什么形状，然后就可以进而推导出其他形状的面积公式。长方形。对，那你现在将这个披萨拼成一个长方形，或接近长方形，试着拼。 yes， 那 你看一下它这个形状更接近于什么形状？平行四边形。 yes， 那 平行四边形公式刚才你有录视频的，你印象深刻吗？是什么？刚说的平行四边形的面积公式就是比 高，太棒了，太棒了。对，之前你也自己推倒出来过的，是不是用长方形的那个面积公式推倒的很好？那你现在想一想，那它的高相当于是这个披萨的什么呢？你需要怎么样去做它的高线呢？你自己用笔做一下。 very good， 很好，很好，对了，就是这样，就是它的高线啊，那我们现在知道高线还有它的这个底边，就可以求出这个圆形面积了吧？但是问题是，这个底边和高线究竟是跟这个圆有什么关系呢？我们之前已经举过了圆的那个周长公式了，对不对？那你研究一下它的高线相当于圆的什么 呢？你现在做这个高线相当于是圆的什么东西？ 是什么半径？对了对了，就是圆的半径。 very good， 那 你知道了，这个平行四边形的高线就是它的半径，那我们只需要知道它的底边了吧？那底边又是圆的什么呢？ 底边是圆的周长。嗯，好，跟周长有关？是的，但是它是整个圆的周长吗？不是。那你看看它是圆的周长的什么关系呢？自己观察一下之前的那个圆的披萨的本身形状， 是圆周率的一半。 yes， 因为它只用了个三片对不对？你看它底边，是三片劈下来的那个底边。 yes， 那 就要除二，对不对？圆周长的公式是什么？圆周长的公式就是 pi 是 乘 直径对，对了，派成直径。好，那直径相当于是跟半径的关系是什么呢？就是两个半径，对了，两个半径就是直径周长公式就是直径乘以两派，那直径乘以一派就转化成两个 r。 两个半径嘛，就可以直接二派 r。 然后你看看底边刚才说的是是全周长吗？不是， 刚才说的是圆的周长的一半。那你就将之前的周长公式要怎样呢？去除二，对了，对了，也就是二 pi r 去除二得出多少？ pi r 对 了。好，然后刚才再说高线相当于圆的什么？高线相当于圆的半径。 yes， 那 你现在可以得出圆的面积公式了吗？ 圆的面积公式就是用 pi r 乘 r 对 了。

宝贝，今天我们演示用面积转化的方式计算圆的面积，先画一个半径为 r 的 圆，然后我们先把圆平均分成八个扇形， 对八个扇形，再平均分成两份，把它们展开，然后再拼在一起。新的图形面积和圆的面积相等，看起来有些像平行四边形。 我们再次把原平均分成十六等份，重复这个过程，你会发现新的图形更接近平行四边形了，继续增加平均分割的数量，不断重复这个过程，注意观察新图形的变化。 当把圆平均分成二百五十六分时，我们会发现新图形的边已经几乎是一条直线了，而且无限接近一个长方形。长方形的长就等于圆的周长的一半，也就是派乘以二。长方形的宽就等于圆的半径二， 因为圆的面积等于派乘以二，再乘以二等 大于派乘以二的平方。这种利用极限来推导圆面积的方法，等将来我们学习了微积分以后会更好的理解，现在先了解就可以了。

小学数学要学好基础公式，先记牢。今天我们来学习圆的面积，梯形的面积跟圆锥的体积。圆的面 s 等于圆周率乘半径乘半径，也就是 pi r 的 平方，梯形的面上底加下底括起来，乘高除以二， 也就是括起来 a 加 b 括起来 h 除以二。这个 s 是 不是都代表面积啊？呃，是 r 是 半径，直径是什么呀？ d 直径是 d， 在 同一个圆内，直径是半径的两倍，注意是在同一个圆内，下一个。 呃呃，讲圆环的面积。哎，你看这个圆环像不像马桶垫？我看像甜甜圈啊。行，那接着讲甜甜圈的面积， 圆环的面积 s 环等于 pi 扩起来，大 r 的 平方减去小 r 的 平方，大 r 就是 外环的半径。这个，这个是 r， 小 r 就是。 下一期讲什么呀？嗯，单位换算。

小朋友你好，我们一起来看这道题。把一个语言等分成十六分后，你能把它拼成一个梯形，并推导出语言的面积计算公式吗？我们分析下思路， 我们把其中的七份这样放置，另外九份呢，这样放置，然后再拼接到一起。 显然呢，每段弧长是十六分之 c， 那么上面是三段弧长，所以它的长度为十六分之三 c 下面是五段弧长，所以它的长度为十六分钟五 c， 而这个梯形的高呢，是二二。我们根据梯形面积计算公式， s 等于二分之一，括号 a 加 b 乘以 h， 可以计算出它的面积来。 下面我们看解答过程。一只梯形的上地位十六分之三 c， 下地位十六分之五 c 高是二 r。 根据题型面积计算公式，我们可以计算得到， s 等于二分离乘以括号十六分之三 c 加十六分之五 c， 括数乘以二 r 化减可得二分之一，乘以二分之 c 乘以二 r。 根据原的 周长公式，我们知道 c 是等于二派二，然后计算可得派二平方。通过把语言进行等分，然后拼成梯形，也可以对到语言的面积公式为 s 等于派二平方。 下面我们小结一下，把一个圆等分成几份后，拼成一个图形，我们先看拼成的图形的边，他与圆的周长半径的关系，然后再用图形的面积公式计算出拼成图形的面积来。 这道题我们就讲到这里了，小朋友再见！

既然是复习面积，那我们就先从面积的起源开始讲起来。历史上最早有记载的面相是出现在我们在一起。 尼罗河是维吾尔族文明的起源，尼罗河水流经的两岸土地非常肥沃，但是尼罗河每年都会泛滥一次。河边的田地啊，经过红薯的农地，田间消失， 因此人们就需要重新种养土地，于是逐渐成了一级的概念。 看，这是重新画好的田间。你从这里面看到了哪些我们学过的平面图形？ 你说我看到了长方形，长方形，哎呀，你说星星有没有， 你说说看。右上角有一个圆形，右上角有一个圆。其实啊，在这些田径里面，我们能找到学过的所有的平面图形哦， 是不是看到了吗？那怎样计算这些平面图形的面积呢？还记得吗？记得下一个说说看。先说说 还是面积是长乘宽，长方形的面积是长乘宽，用字母表示就是 a， 还有谁来说什么其他的东西呢？你说平行四边形的面积是底面乘以高，平行四边形记得 用字母表示就是 f 等于 a h， 其他的你说说看。 三角形的面积等于底乘以高除以二。三角形的面积 是不是这个？其他的同学一起来算算你来说圆形的面积，一是 pi 的 平方，圆形的面积 pi 的 平方， 那其他的两个我们起来说好吗？正方形的面积是边长乘边长 七行呢？上底加下底的和乘以高除以二。我们班的同学记得这么清楚， 那既然知道了面积公式，我给你这些数据算一算他们的面积好不好，算一下。 都说完了吗？好，快速，对一下，问对了没有？ 都算对了吗？算对了，哎呀，真厉害，看来大家对面积的计算都掌握的挺好的。那不知不觉的呀，小学阶段我们学习了这么多平面图形的面积公式，不妨我们一起来回顾一下之前的学习历程， 可能在这个回顾中，你会有更多新的东西。那最开始啊，我们肯定是不知道这些秘制公式的，对吧？谁还记得最先我们学的是哪一种平面图形？ 你说开始我们学习的平面图形是长方形和正方形，行不行？认同吗？最先我们学的是长方形和正方形，那谁还记得长方形的面积公式？我们是一样的， 你说看，是用一平方厘米的小片片贴在那个长方形的面， 一平方米的小片片，那个是不是叫做面积单位啊？最开始我们知道的是面积单位，像这样的 边长为一厘米，边长一分米，边长 正方形，用它去添，用它去量的，对不对？像这样， 如果是这个长方形，我们使用的就是一平方分米的面积单位。 又想起来了，但既然是用面积单位去量的，为什么我们得到的面积公式会是长乘宽呢？长代表什么？宽代表什么？ 这里的长是五分米，我们就一行还有一个，那也就是说小方小正加减的个数，每排的个数是不是和长有关？那宽呢？ 楷数是什么？然后我们就等到了这宽，这个多少 正方形啊，它是特殊的长方形。那我们是不是顺理成章也这样得到了正方形的面积公式啊？对，那我们利用 面积单位这个工具，我们得到了长方形和正方形的面积公式，接着我们学习了一个公式， 都非常清楚。接着我们学习平行四边形。那平行四边形的面积公式我们是怎样推导的呢？你说。 呃，我记得好像是，就是先把右边或左边的多出来的那一个长方形切掉，然后再拼到另一边去。有同学有一个， 你说说看，把那边稍微多出来一多出来一些的三角形切下来，到左边去，变成长方形， 沿刀剪开，然后平移拼到右边，变成长方形。对，其实这种方法在数学里面我们把它叫做转化， 将我们没有学过的图形变成已经学过的图形来研究，叫做转化。那之前长方形我们是用的 练习，大会小都会是凉的对不对？平息练习可不可以？可以，路过的时候真的不可以吗？看 这个也可以，虽然说有的地方他没有一块，那我们可以按半块算嘛，对不对？ 只是这种方法啊，可能得出来的结果不是很精确，而且没有上面这种方法方便，对不对？所以我们一般会选择将它转化成长方形来得到它的面积公式。 既然平行四边形可以转化成长方形， 得到他的公式。接下来我们学的是三角形、梯形吧，他们可以转化成什么图形？你说 后来我们发现两个相等的三角形可以拼成一个平行四边形，所以就是一 两个三，两个相等三角形就等于一个平行四边形的这个面积，所以我们就推出了三角形公式，就是平行四边形的面积等于三角形的面积。请坐下，你说的清不清楚？ 两个一样的三角形可以拼成一个平行的形，梯形呢？一样的。 那这里三角形和平形啊，三角形和梯形我们都是使用的这个图形作为工具，对不对？那前面还有这些我们不可以利用起来吗？ 可以吗？ 您成功想有没有？有没有想法？ 没关系，看一下手机，大家都清楚。如果我沿着三角形两条边的中线剪开，再沿着上面三角形的刀剪开，把它平直旋转， 变成什么了？长方形，这个时候长方形的长就是三角形的底底， 长方形的宽就是三角形的高的一半，那么我们公式里面的除以二，是不是就形形？在这里看到这个过程对形形有没有想法？ 心形怎样转化成长 形，我们试试，也可以看怎么办？旋转。 谁来告诉我这个时候长方形的长和宽分别是梯形的什么？ 你说长是梯形的上底和下底的和。嗯， 然后长，长方形的宽就是那个梯形的高一半，认同吗？认同，那是这样，我们也可以得到梯形的面积，同时同样的 面积单位去量可不可以？可以，但是和平行四边形一样，他也可能会出现不足以快的情况，是不是？ 好，那为什？为什么这么多工具都可以使用？之前我们在书上学习的时候，主要给我们介绍的是转化成平行四边形， 想一想，为什么平行四边形，我们为什么要选择转化成长方形呢？因为这种方法 更简变。哎，这个同学说好，更简变，那么刚刚这个过程，你觉得这样子减 t 和前面 变成转化成平行四边形，是不是那种方法更容易理解一点，所以因为这个原因啊，书上就给大家介绍的是最简单最容易理解的方法。那现在三角形和梯形的问题是， 我们利用这些工具也推不出来，最后我们学习的是圆， 现在公司都不懂，都不懂圆，他的已经推倒，我们是不是这些工具都可以省？ 你能不能选择其中一种工具来试着推导一下圆的面积公式？你说 可以用三角形来推导圆的公式，可以用三角形来推导圆的面积公式。说详细一点，怎样 还没有太想清楚是吧？没关系，再想一下。其他同学有想法吗？我们一起学习什么是三角 形吗？圆分成若干份，像这样吗？ 我知道大家心里面都清楚，但是表达不出来是吧？现在这样我们就是利用了平行四边形，对不对？ 平行四边形的底就相当于圆的半个周长，高就是圆的半径。 看到这个平行线，有没有想到有长过去了， 来笔画一下， 学会了吗？ 声大一点，声，声，哦，行，把左边那个小三角形底下那个小三角形切成两半，你要把其中一半给右边， 听清楚了吗？听清楚了，能理解吗？能，是不是这样？是。这个时候下面的底是不是还是折成了一半？ 高是不是方不能说高了，宽是不是还是圆的半加同样的都得到圆的面积公式。这位同学刚刚说可以用三角形，但是他没有想好究竟该怎样用三角形。 古希腊有一位数学家，他的想法就和这个同学一样哦，他就是用三角形作为工具推导出了圆的面积公式。想看看吗？想，我们来看看。稍等一下啊， 看到圆了吗？接着奇迹大响一声 啊， 圆是不是变成了近似三角形的图形？这个时候三角形的底是圆的，周长都是圆的。慢点， 老师，这里还有一种变三角形这个公式的方法哦， 眼熟吗？是不是和邓紫棋四位棋一样大？但是他的变化方法与你不同， 我叫娃娃，看清楚了，那如果我上面的部分不再没有那么尖尖的，他就会变成一个畸形，像这样 是不是？那利用梯形，如果仔细去思考一下，我们是不是也可以推导出圆的面积公式？那说明啊，之前我们学习的这些 知识，真的都可以当做工具来推导出我们后面学习的面积公式，那现在圆的面积公式 我们也这样推导出来，工具是不是越来越多？但如果以后我们再遇到新的东西，我们是不是也可以利用这些工具来解决新的问题？那当那个时候我们是这些工具全部输了， 怎样选择就要看具体情况， 当然越简单的越好。是不是啊？啊，这么多面积公式啊，你们有没有苦恼的时候？有的时候可能会混淆，老师，以前学的时候就有这种苦恼，那个时候有一个同学就告诉我， 我们只要记住了其中一个图形的面积公式，就能得到其他所有图形的面积公式， 你相信吗？相信。有没有什么想法？有没有什么推荐给我的？帮帮我， 我真的很容易混淆到，帮帮我，你认为进入哪一个面试中就可以得到其他的竞争者？ 你说说呢？我认为记住三角形，你认为记住三角形比较合适？说出你的想法，对，三角形的话，他可以用一种拼接的方法变成平行四边形，等到平行四边形，它的上面长方形和正方形都会分出来，嗯， 然后梯形的面积推导公式和它是一样的，所以然后圆形的话，它也是有一个个小三角形组成的，但是它也可以拼成一个三角形。 四面真清晰，还有不一样的想法吗？你说还可以记住长方形的面积公式，长方形的面积公式。 然后呢，可以把平行四边形就是像转化的方式转化成一个长方形，我们就知道了那个平行四边形的面积公式，知道了平行四边形的面积公式，平行四边形的面积公式在就是除以二就是三角形的面积公式。 然后呢，梯形也可以转化成平行四边形，然后我们也知道了梯形的面积公式。圆形。刚才老师在 ppt 上面做的那个解释，可以把它切成若干份，分成那个长方形，所以你能记住长吗？ 清楚吗？他是觉得这些平行的面积公式要么直接，要么间接都和长方形有关系，所以我们记住长方形的面积公式就可以了。 那个同学告诉我的想法和你们两个都不一样，他认为记住了梯形的面积公式，我们就可以得到其他图像面积公式。 都不说话了，怀疑是不是你的同学点头，没关系，怀疑，我喜欢你们怀疑的态度。老师，这里有一个梯形， 我们一起借助这个梯形来研究研究究竟是不是这样的。 老师的老师的这个提醒啊，他很熟悉，他是能够变化的，想不想看看他能够怎样变成三角形？看一下吧， 看清楚了吗？再看一遍下面看的这一，这一遍一定要注意观察变出来的三角形和梯形和原来的梯形有什么关系？ 注意了，要开始变了， 我变完了，你们看清楚吗？ 你说说他，我觉得他的底没有变，然后但是他变成了一个上上底为零的一个梯形。 说的这么好，你们听得懂吗？什么没变？还有一个什么没变？什么变了，但图形发生了这样的变化。公式对应的方式怎么变呢？ 原来基型的面积公式是 上底加下底乘高除以二，现在我们的上底变成了零，谁没变？下底还是 b 乘高，高也没变 得到多少，是不是 b？ h 除以二，那么这个 b 在 这里是不是三角形的 d， 那 么我们是不是也可以用 a 来表示？ 瞧，这不就是三角形的面积公式吗？那是不是梯形的面积公式，我们就得到了三角形的面积公式？那我们换个角度再画一遍， 请看，它会变成形形的四边形哦，也注意观察，在变化的过程中变成的图形和原来的梯形有什么关系？ 要再看一遍吗？ 发现了吗？ 下笔勾上笔。 哎，我发现这个同学真的好善于观察，你来说，我觉得他的上笔和下笔是不是现在变成一样的了，然后他的高没有变，我们结合他的发言再来看一遍。 首先他的高变化了吗？上笔和下笔是真的变成一样的了， 是不是都变了吗？上顶和下顶是变成一样的了，但如果是一样的，那么他的上顶和下顶我可不可以都用 a 来表示，那么这个公式我们就可以这样变化， 什么加什么 a 加 a 道变了吗？没有，还要除以二吧。等于 二 a h 除以二就是 a h， 这是什么样的组成？请你谢谢。那你觉得我要变成长方形或者正方形怎么变？ 现在这种状态下变成长方形了，哪里会发生改变？这位男生上你的那个位置 会移到和下底一样的位置，会移到下底一样的位置，也就是这条线要怎么办？和下底垂直吧，请坐下，谢谢。是不是这样？ 是不是？那么这个时候这边上其实和平线成是不是很像？那谁来给我说一说他的变化的时间？ 相比 下底哦，注意，我们一起来看。 上底和下底怎么样？一样？那就谁 a 下底 a， 那 么这个时候的高实际上就是长方形的，换谁 b 除以二等于 是这样吗？如果要变成正方形，我的底盘 把它缩短是不是缩得一样长？那么实际上根据这上面我们是不是就可以得到 s 等于 还是 a 和 a， 对 不对？ a 一 起说 a 乘 a。 说的真好，这个时候高和上顶和下顶都是一样长的了，都可以用 a 来表示。 除以二等于 a 的 平方，那这些都是直的图形，那圆怎么办？想不想看看怎样从梯形变成圆啊？ 特别神奇哦，睁大你的眼睛仔细盯着，等一下蜻蜓的上顶和下顶究竟它会变成圆的什么？ 要再看一遍吗？要， 现在是 t 型哦， 这里看清楚了。七十的上底和下底变成了圆的什么周长？ 上底是周长，下底也是周长哦，合起来也就说梯形的上底和下底的和变成了圆的周长，所以这个公式就变化成了 s， 等于 这边的 a 加 b， 是 吧？ 这激情的高呢？觉得淡定， 看我们是不是利用梯形的面积公式真的得到了其他图形的面积公式，这说明这个同学告诉我的还是真的哦，那 他们之间的关系是不是特别的亲密啊？正是因为他们之间这样亲密的关系，我们在之前就能把他们都当做工具 来互相推导他们的面积公式。老师，这里有一个新的图形， 正六边形，你能利用这些神奇又亲密的工具来计算它的面积吗？ 同学已经有想法了，不急躁，大家要认真思考这下面的两个问题。 老师给大家提供了一些学具，在同桌的左边的位置，抽屉里面， 同桌之间可以互相讨论讨论，交流一下自己的想法。里面有一个小的正六边形，你可以画一画，剪一剪，然后将你的想法 展示在这张作业单上好吗？开始啊， 你可以换，也可以剪， 咳咳 hmm 咳咳 i。

今天呀，我们来学习六年级圆的专题，这是我们圆调的必考专题 呀，圆相关的图形呢，属于几何板块的一个重点内容，是我们几何板块当中分值最高的单一知识点，也是小学阶段唯一的曲线图形，是平面几何的压轴知识点。 元调会重点去考察我们元的周长面积的推导，以及一应用在元调一百分的卷子里，它会占到十到十五分，分值还是非常高的， 一般会出现填空选择，像这类基础题会考察元的半径周长一些基本关系，还有扇形面积的计算会有四到六分， 将计算类的中档题也会有三到四分，解答题也会有三到五分，说明我们这个圆这个专题还是非常重要的。那么现在我们一起来看圆专题的第一题， 把圆平均分成十六分，就是这个圆被平均分成了十六分， 还可以把它拼成一个近似的梯形，就相当于把我们圆平均分成十十六份，切割之后把它拼成了这样的一个近似的梯形。如果说圆的半径用 r 表示，圆的半径是 r， 圆周率用 pi 表示， 第一大题的第一小题，那么要求梯形的上底和下底的和可以如何来表示呢？我们来一起看一下梯形的上底和下底是什么？梯形的上底我们来用绿色的荧光笔来画一下， 这是不是就是我们梯形的上底就差不多是近四、三角形，三个三角形的底，近四的三个三角形，那么我们在我们的圆当中把它放在圆当中是怎样的？近四的三个三角形，一二、三 是不是就是这样，那么他的下底呢？下底用黄色的荧光笔，我们来一个、两个、三个、四个、五个，我们发现是五个间隔的三角形，那么在我们的圆当中也一样的画下来一二三四五，我们发现了什么？ t 形的上底加上下底是不是就是这一段弧啊？那么这一段弧的周长，那么这一段弧的长度是多少呢？ 这一段弧的长度是不是就是我们圆周长的一半呀？正好是一半，因为我们发现 是不是正好是八个呀？下面也是八个，上面也是八个，说明正好是我们圆周长的一半，圆周长的一半怎么求？我们发现只知道 r， 所以 圆的周长公式用 r 表示是什么？ c 等于二派 r， 那 就是二派 r 圆周长的一半，二派 r 再除以二对不对？那么就等于多少等于 pi r 非常好，那么我们上底和下底的和就可以表示成 pi r， 第一个空就完成了，现在来看第二个空高可以表示成什么？ 我要知道梯形的高可以表示成什么？我先来看一下这个梯形的高到底是怎样的？来一起看一下我们梯形的高， 如果这个也是垂直的话，这个就不是不是我们梯形的高呀，那么我这样子梯形的高， 因为我们只知道圆的一个信息，所以我们需要把这个梯形的高放在我们圆当中，看一下它是怎样的，我们来放进去看一下，我们发现其实这个就是两个对折的近似的三角形 这样的一条线，那么我们也来在圆当中找一找， 那是不是这个就是我们梯形的高呀？那如果是这样子的话，这个长度是什么？ 是不是正好就是我们圆的直径？圆的直径怎么表示啊？ 圆的直径就是二 r， 所以 高可以表示成二 r。 那 么我们的第一小题就结束了，来看第二小题，他说让你根据上面的方法，在下面写出圆的半径派 r 的 平方的推导过程 是什么？就是说我现在不知道圆的面积公式，我要推导出它和我们圆的面积有关的，是不是 要根据上面我圆这里不知道，但是我知道梯形的面积公式啊，而且我是将圆平均分成六分之后拼成的近四的梯形，所以这里我这个圆的近四的面积 是不是就等于这个梯形近似的梯形的面积啊？那么我不知道圆的面积公式，梯形的面积公式我是不是知道梯形的面积公式是什么呀？哎，就是上底 加下底，括起来乘高 除以二，上底加下底。他说根据上面的方法，我们发现其实上面已经高已经让我们写出来了，上底加下底，上底加下底就是 pi r 乘高，同样的高在上一题也表示出来了，就是二 r 再除以二 就等于二。 pi r 的 平方除以二等于 pi r 的 平方，我圆形的面积是不是就推导出来了呀？ 发现其实相当于上面给了我们一个梯子，让我们一步一步地搭建这个梯子。到了第二小问，我们就会更加容易地解出这道题。

是 s 等于 a 加 b 的 和，乘 h 除以二 b 为零，继续推算，就可以得到三角形面积的计算方法。 当上底不断延长或者下底缩短使上下底一样长时，也就是 b 等于 a 时，梯形就变成了平行四边形。 借助梯形公式， a 加 b 的 和就相当于二 a， 由此可以得到平行四边形面积的计算方法。 当上底延长或下底缩短使上下底一样长，并且两腰与底垂直时，就变成一个长方形。 借助梯形的公式，上下底的和就相当于是二 a 高 h 就 相当于长方形的宽，就能得到长方形的一级计算方法。 好，通过这一个小小的视频，请一位同学来说一说，你知道了什么？ 曹浩勋，我知道了，当梯形的上底逐渐缩短，缩短为零时，它就变成了一个三角形。 那如果要我们在这一副思维导出的基础上面接着往回画，你会从谁开始从梯形开始画？向谁来画向谁？梯形好，坐下来，还有吗？ 你呢？当梯形的上底延长或下底逐渐缩短时，就有可能变成平行四边形。 还有吗？如果他们的钢和啊，上底和下底一样长时，他们他就有可能，他就会变成正方形， 他就有可能转换成一个正方形，还有可能转换成一个长方形，是吧？啊，坐下来，那现在请同学们再来看这幅思维导图，他们之间的联系是不是更紧密了？ 天上，同学们在做题目的时候，一定要一心思考，一心观察，这样你就会有新的收获。好，我们从新认识了梯形公式之后，接下来请同学们看这样一道题目，你会怎么做呢？先自己动笔做一做。 那有些同学来说一说你是怎么思考的？别闹， 我们先假设它的高为一，那三角形的面积就是底乘以高除以二，也就是一乘以八，除以二算出来就等于四平方厘米，它们的面积相等，那平行四边形 就是我们先用它的面积除以高一，然后再除以二，算出来等于二厘米，它的底就是二厘米。 how'd you try 好，然后梯形是它的面积是四，我们先它除，它的面积要除以二，我们就乘以二，然后再除以高一，然后再 减去它的上底三，就得出它的下底是五厘米。哎，下底是五厘米，坐下来有不同意见的吗？好好学， 平行四边形的底应该是四厘米，哎，这个平行四边形的底应该是几厘米？四厘米，我们刚开始假设的是它的高是 一厘米，面积是四平方厘米，所以应该是怎么样呢？四乘以一才会等于四平方厘米。不错，还有其他的剪辑思路吗？ 豆瓣看了刚刚那个视频我们知道了，我们可以根据长梯形的面积，同样适用于长平行四边形和三和梯和三角形。 当他们的面积相面积和高都相等的时候，三长平行四边形的底就会是四厘米， 梯形的下底就会是八减三等于五厘米，很好理解了吗？当他们的面积和高都相等的时候，我们只需要保证他们的上底与下底的和怎么样呢？ 相等就可以了。所以我们就得到了平行四边形的底是等于四厘米，梯形的底是等于五厘米。哎，非常的棒啊，看看同学们都这么的优秀，这时候有一位新人物来到了我们的课堂， 这是谁呀？阿凡提，阿凡提，他是一个封建，封建的人物，但是阿凡提他也有烦恼，他的烦恼是来自于八一老爷请一位同学来把这一段文字向大家读一遍，神圣！ 八一老爷要阿凡提为他养羊，羊圈是由栅栏围成的，一个长二十米，宽十一点四米的长方形， 羊圈里的羊一天天长大，羊圈变小了。八一老爷不给阿凡提提供材料，让阿凡提把羊圈扩大，你们说阿凡提该怎么办呢？阿凡提，该怎么办呢？请一位同学来说一说。通过这一段文字，你知道了哪些信息呢？ 好，弦子涵，呃呃，羊圈是由栅栏围成的，一个长二十米，宽十一点四米的长方形。哎，不错，还有吗？王子俊， 要要求周长不变，要面积扩大，你是从哪里知道的？呃，阿凡提，不给啊，不啊，不，八一老爷不给阿凡提提供材料， 让阿凡提怎么样？拿把羊圈破到这句话的意思就交代了什么。周成建典礼说的，那阿凡提他可能想到的是把它改成一个什么图形呢？正方形，还有可能呢？圆形。 哎，很好，那现在我们就有请一二三小组的同学来算这一个正方形的面积，四五六小组的同学来算这一个圆的面积。 好，现在先有请这一个正方形的代表来为大家讲解一下。张一鸣， 我们可以通过长方形的周长来 哦，我们可以通过长方形的周长来得出正方形的周长，然后再用周长除以四算出正方形的边长，最后再用边长乘以边长等于二百四十六点四九，就可以算出正方形的面积了，算对了吗？算对了， 好，圆形的，谁来讲解一下？这是我们根据长方形的周长可以算出正方形的周长，然后再由正方形的周长，然后再由圆的周长算出圆的半径等于 等于十厘米。等于十米，然后再根据半径求出圆的面积等于三点一四，乘以十的平方等于三百一十四平方米。哎，非常不错，只是刚开始在讲的时候 养成了。养成了什么？他养成的是正方形是吧？哎，实际上我们是根据长方形的周长算出来的，也就是圆的周长。好，正方形的面积也出来了，圆的面积也出来了，那么原来长方形的面积是多少呢？二百二十八 二十乘以十一点四等于二百二十八，那再通过这三者的比较，你发现了什么？ 确定面积是最大的？确定面积是最大的。那通过这一个题目，你知道了什么呢？好，曹浩轩，你来说一下。 我知道了，在周长相等的情况下，长方形的面积小于正方形的面积，小于圆的面积。哎，总结的很好啊，在周长三者图形周长相等的情况下，圆的面积会是最大的 啊。一节课即将结束了，相信通过这一节课的学习，大家都有一定的收获，接下来请同学们来谈一谈你本节课的收获。 记卷，梯形的面积公式也适用于长方形，正方形也适用于长方形。很好，周文，我，我知道了，在面积相等哦，在周长相等时，圆的面积是最大的。 这句话能够这么说吗？好，谁来帮他一下？张雨晨，当周长一定时，圆的面积是最大， 应该是在哪些图形比较的情况下？长方形、正方形和圆这三者图形周长相等的时候才能够得到圆的面积是最大的。是的啊，坐下来还有吗？ 好，邢子涵，我学会了转换的数学思想哎，非常不错，看到同学们收获满满，老师真为你们感到高兴。其实啊，通过本节课的复习，老师最大的心愿是让同学们明白许多知识之间是有联系的， 梳理出他们之间的关系，找到复习的方法，这才是最重要的。好，接下来请同学们翻开你们的数学书， 翻到数学书的九十一面，老师为大家准备了一个思考题。九十一面的第十六题。

本视频超详细讲述平行四边形、三角形、梯形所有的公式推导过程，视频十三分钟，建议点赞收藏！至此，我们这所有的公式一共十个，全部都搞定了，那哪十个呢？平行四边形三个，三角形三个，梯形一二三四四个，一共十个。 呃，今天我们来讲一下平行四边形、三角形、梯形的一个面积计算它的公式怎么去记忆啊？首先我们学数学啊，我们抛开死记硬背的这种模式啊，一切都在理解的过程中，那么今天我们会讲到一个方法，叫做转化思想， 什么叫转化思想？就是将我们复杂的东西变简单，将我们未知的东西转化成已知的东西啊，所以我们今天取的这三个图形的面积，我们从平行四边形开始，那么一切的源头都会从长方形转化而来啊。首先我们看平行四边形， 我们看到这里有个平行四边形，那么我们底用小 a 来表示，高用 h 来表示，那么长方形我们以前学过的，它的面积公式是 s 等于 ab， 对 不对？ a 是 长， b 是 宽啊，所以这个是我们比较熟悉的，那么平行四边形的面积怎么计算呢？我们将平行四边形进行分割，把这一块往右边平移到这里， ok， 那 么这个图形就变成了什么图形，是不是长方形的样子呢？所以我们来比较一下，变成长方形的样子之后，那我们来看一下这条是不是长方形的长，这条是不是长方形的宽， 对不对？那么我们来看一下长方形的长和长方形的宽跟我们平行四边形有什么关系？长就是这条，这条同时也是 平行四边形的底，那么它的宽呢？就是平行四边形的高，对不对？所以我们这里算平行四边形的面积的时候，它就等于 a h， 其中 a 是 长方形的， 这个长 h 是 长方形的宽啊，是不是就对应成了？所以我们将平行四边形的面积转化为长方形来计算好， ok， 这就是将 未知东西换成已知东西啊，比较简单。那么这个是我们常规的一个面积计算公式，那么反过来，如果已知告诉你， 平行四边形的面积反过来求底，怎么求啊？那我们就用平行四边形的面积去除以高。那这里要强调一下，为什么我们在学新的一个东西的时候，有时候 一些新的名词解释的时候，这名词不是乱命名的，比如说我们在学这一单元叫做面积，那为什么他不叫面差呢？为什么不叫面和呢？为什么不叫面商呢？他偏叫面积呢？你会发现这个长方形，它的面积是不是 长乘宽？哎，长乘宽，它的结果是不是以 g 的 形式出现呢？然后这个平行四边形的面积是不是 a h 啊？底层高，对不对？是，也是以 g 的 形式出现的，所以才叫面积，不叫面和，面差、面商，对不对？ ok 啊，那么既然是以 g 的 形式出现，那我们来看一下，如果说我要求一条底， 那么我是不是就是用面积去除一高？一个因素等于 g， 去除另一个因素，是不是很好记，对不对？那所以这里 h 就 等于平行四边形的面积去除以 d， ok， 那 平行四边形我们有三个公式，是不是相对来说比较好记一点。好，接下来我们来看三角形， 我们如图有一个三角形啊，要计算这个三角形的面积，我们将三角形的面积通过平行四边形的面积来推导啊，那么怎么得到三角形的面积计算公式呢？首先我们在实践过程中，我们会发现啊，任意一个三角形， 我只要画出它一模一样的三角形，并进行重新组合，就能形成一个平行四边形。那比如说这个三角形，我们将这个三角形啊，找到它一个双胞胎， 然后将它重新组合，它是不是就变成了一个啊？平行四边形对不对？那一号跟二号长得一模一样，我把二号脑袋倒过来放在这里，是不是就组合成一个新的图形？ 那这个图形就是平行四边形，那我们来看一下三角形的底，我们用 a 来表示啊，三角形的高我们用 h 来表示，那么我们会发现这个三角形的底就是这个平行四边形底，这个三角形的高就是这个平行四边形的高，对不对？那么现在这个平行四边形的面积是多少？平行四边形的面积就是 h， 但是我们要求的是三角形的面积，怎么办？三角形面积是不是就是这个平行四边形的一半？所以我除以二。好，这就出来了第一个公式，三角形的面积等于底乘高除以二，那么这个相对来说比较简单。那往往有同学会问题出在哪里呢？就是这个 给你一个三角形，然后也告诉你他的面积，告诉你啊，告诉你一条底，现在呢，要求这条高是多少？那同学这个公式 就有点迷迷糊糊了， h 等于什么？其实很简单，我们还是将这个转化到平行四边形里面去求。我们刚刚求这个 h 的 时候，是不是我们用平行四边的面积去除以 d 啊，对不对？那现在还是一样，我们要用平行四边形的面积去除以 d， 但是呢，我们这个平行四边形在这里啊，我们只告诉我们是三角形面积，对不对？所以你要利用三角形面积怎么去求出这个高呢？我是不是 三角形的面积先乘以二呢？是不是？所以这个平行四边形我们转化为两倍的三角形的面积啊，再除以底就行了，那你看两倍三角形面积是不是长这样子， 哎，这个乘以二是不是就变成了一个平行四边形啊？所以啊，我们求高，先将三角形的面积乘以二，转化成平行四边形， 然后利用平行四边形的面积去除以底，就出现高了。那么同样的，如果现在三角形让你去求这个底，先告诉你这个高和面积求底怎么求？很简单，你把这个三角形先转化为平行四边形，那就是两倍的三角形的面积去除以高 就搞定了，所以这简单吗？你看我们这一块很多同学，这个在到就是，这是我们的一个 公式的逆推啊，那么这公式我们怎么来？刚刚是不是说了，将三角形转化为平行四边形的计算对不对？所以都是通过这一个来实现的， 对吧？用面积平行四边的面积去除一条底，就出现一条高，用平行四边形的面积去除一高就出来底了啊。所以我们要将三角形和平行四边形的这个两倍的关系利用起来啊，那么我们接下来来探讨梯形的面积。 首先梯形啊，这条叫做上底，这条叫下底，上底用 a 来表示，下底用 b 来表示。那么这里我先说一下，上底和下底不是指的是位置关系，上底指的是梯形，那条比较短的叫做上底，那么比较长的呢，叫做下底，上底和下底是互相平行的，那这两条叫做腰。 那我们在实践探索的过程中，我们会发现三角形和梯形一样啊，那么只要你画出两个一模一样的梯形，就可以组合成一个平行四边形，那怎么组合的呢？它这样子的， 这个就组合好了，那你看这个上底就跑到下面来了，我们是把它倒立组合在一起啊，对不对？ ok， 这个就是一 啊。那么现在变成平行四边形了之后，我们依旧通过平行四边的面积将梯形的面积推倒出来。那怎么推倒呢？很简单，我们刚刚说了，这个平行四边形的面积是不是等于底层高啊？对不对？所以这个面积将就底层高，我们把高画一下， 这是 h， 那 底现在是多少？平行四边形的底就是现在是 a 加 b， 这条是不是平行四边形的底啊？对不对？那底层高高是几高？是 h 是 不高就是这条 h 啊，我们会发现平行四边形的高跟梯形的高是一样的。 那我现在要算梯形是平行四边形的面积除以二，它就是梯形了，所以底层高除以二就是梯形的面积 是不很简单。好，那么接下来这个最最难的一个点就出来了，现在平行四边形的面积能够推导出梯形的面积，那请问如果题目中告诉我梯形的面积和上底下底怎么去求高， 那也就是说这个 h 怎么去求？那刚刚三角形听明白的同学肯定现在这个 h 迎刃而解， 很简单啊，我们通过平行四边形的面积去除以底，这高不就出来了吗？那你看这个，我要求这个高怎么去除以底啊？我是不是把这个梯形 是不是先乘以二？也就是说把它一模一样的男神兄弟给他先拿出来对不对？所以告诉你这个的面积之后，那么面积乘以二是不是就恢复成平行四边形面积了？平行四边形的面积告诉你了，怎么去求高，你去除以底哦，底是不是 a 加 b 对 不对？ 所以这里还是一样的跟三角形，先把它的这个梯形的面积扩大两倍啊，扩大为原来的两倍，那么它现在就变成平行四边形的面积，对不对？这时候去除以底，底是 a 加 b 了， 好，这个是我们这一单元的比较难的一个公式了啊。那么接下来还有两个相对来说也是比较难的一个公式，也是在梯形里面的，如果现在告诉你梯形的面积，告诉你梯形的高，那么也告诉你上底怎么去求，下底呢？也就说这个 b 怎么求呢？ 一样的，你先把它恢复成什么东西？平行四边形，那么我要求这条 b 是 多少？我只要用平行四边形的面积去除以高， 就算出这一条底了，对不对？然后用整条底去减去其中的一部分 a， 是 不是算出 b 了，对不对？所以这里还是一样用两倍的梯形面积 来，我用图简单画一下啊，比如说这是一个题型，现在呢？告诉你高 h 了，那现在这个 a 也告诉你了，现在求这条 b 怎么去求？先将这个题型 乘以二，变成平行四边形的面积，对不对？然后我们利用平行四边的面积去除异这个 h， 算出这一整条 底，那这整条底出来之后呢？我减去这条上底 a， 是 不是这条下底 b 就 出来了？这样子讲能听懂吧？所以它 b 就 等于两倍的面积 去除以高，算出上底加下底的和，也就是说平行四边形的这条底，然后我们减去其中的这一部分，也就是说减去上底 就出来了。所以这里记的方法很简单，我们求下底，我们用两倍的梯形的面积 去除以高，算出所谓的平行四边形的底，也就是说梯形的上底减下底的和，那你要求下底就减上底，那你如果求上底呢？那就是两倍的梯形面积去除以高， 算出所谓的平行四边形的底，然后你求上底，我就减下底。这时这里十个公式都出来了，分别是平行四边形有一二三，三角形有一二三， 题型是一二三四，而题型往往这个这一块啊，很多同学记忆的时候非常痛苦，那真的很难吗？不难，你要 一定要学数学啊，一定要带着理解去学的，你不能去死记硬背的啊，死记硬背背完了之后，你可能还是不会运用的，所以很多同学学数学实际上是很轻松的， 课堂听懂理解了，课后都不用去背，那么题目再落实一下，我们这一块内容就搞定了。 至此，我们这所有的公式一共十个，全部都搞定了。那哪十个呢？平均四边形三个，三角形三个，梯形一二三四四个，一共十个，对不对？特别是三角形的啊，反过来求底和高，或者梯形反过来去求 底和高，都是一大难点，特别是梯形啊，有上底和下底，对吧？公式相当复，相对来说复杂。那么有同学在那里 背的时候，只会什么 h 等于二 s 去除以 a 加 b 的 和他，甚至连 a b， h、 s 是 什么都不知道， 这种读书是很可悲的，而且很痛苦，你背完了有什么用呢？有同学 a、 b、 h、 s 连表示的意思都不知道，那你背这个东西的意义何在？你会运用吗？ 所以学数学一定要用理科的思维去学，不要死记硬背啊，死记硬背，学数学很痛苦的，特别是这里这么多公式的情况下，根本就死记硬背，背不了，过两天就忘啊，一定要理解他们是怎么来的。