菱形折叠问题及解决方法

哈喽，各位同学，我是武汉初中数学陈老师，今天给大家分享的是菱形加折叠求线段长度。这是一道中考高频易错题，下面我们来看一下这个题。菱形 a、 b、 c、 d 的 边长为六，我们可以 得到 ab 等于 bc， 等于 cd， 等于 ab 等于六。好，我们也可以得到三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 c 为等腰三角形。紧接着我们继续 来看角 b、 a、 d 等于一百二十度，所以我们的角 b 就 等于六十度，角 d 也等于六十度。有一个角为六十度的等腰三角形为等边三角形，所以我可以得到我们的三角形 abc 和三角形 a、 d、 c 为等边三角形。好， 我们继续来看已知条件，所以我们的角 c、 a、 d 也等于我六十度。紧接着我们看到一个折叠，什么是折叠？折叠就是 六十六十度，我们再来看一下，我们再来看一下又一个已知条件，垂直，垂直 a、 c 垂直 e g， a、 c 垂直于角的换算，这样形成的内角和一百八十度，我们的角 a、 g、 f 换上 a、 g、 e 等于三十度，所以我可以得出我们的 f g 垂直 a d， f g 垂直 a、 d。 那 最后让你求 f g 的 长度。很多同学说到这里，他可能就会产生疑惑，我们怎么求 f g 的 长度？ 通常我们求线段长度，第一步我们可以根据全等求，第二步是我们的中线，叫三角形，斜边上的中线。第三个我们还有一个我们的面积法来求。第四个我们就能够想到我们的勾股，勾股定律，直角三角形勾股定律。在这个题想一件肯定是用勾股定律，好， 有平行，有垂直好同学，老师，我画辅助线怎么画呢？有平行有垂直。我们能够想到我非常一个特殊的，就是我们的均形有平行有垂直，所以我们过点 c 做垂直。噔噔噔噔噔，过点 c 做垂直，所以我们 可以得出 cm 等于 s g 这个题的重点就求我们的 cmcm c m 好， 在直角三角形 c m d 中求 c 求 c m 好， 大家 这下可以自己算出来，下面我们来回归这个题。菱形折叠求线段长度的重点，也就是根据菱形的性质推出结论，根据折叠找等量，最后构造直角三角形，求线段长度。关注武汉数学陈老师，下期我们继续来练同频类型题目。

同学们好，咱们今天来看一道二零二六年包头市的中考一模原题。这道题考察的是折叠问题，那咱们首先呢来读一下题，如图，在菱形 a、 b、 c、 d 中，角 b 等于四十五度， a， b 等于四点 e 在 边 bc 上连接 a、 e， 将三角形 a、 b、 e 沿 a、 e 折叠，若点 b 落在 bc 的 延长线上的点 f 处，则 c、 f 的 长为多少？好，那咱们一起呢来分析一下这道题。首先呢，题干中给到了在菱形中，角 b 等于 四十五度，那么通过折叠呢，咱们可以得到对应边相等，对应角相等，也就是说 b、 e 是 等于 ef 的， 那么角 a、 e、 b 也等于角 a、 e、 f， 那 又因为这两个角的和是一百八，所以说这两个角都是九十度。那根据四十五度以及九十度，咱们就可以得到 三角形 a， b、 e 就是 一个等腰直角三角形，也就是 a， e 等于 b e。 那 题干中又说 a、 b 等于四，那么在等腰直角三角形中，三边比是一比一比根号二，现在斜边是四，那么咱们可以通过勾股定律的方法，从而求出 a、 e 和 b e 都是二倍根号二， 那么求出来 b， e 是 二倍根号二。以后咱们就可以得到 e， f 也是二倍根号二，那所以说 b、 f 就 等于 b、 e， 加上 e、 f， 最后结果呢，就等于四倍根号二。那又因为 a、 b、 c、 d 是 个菱形，菱形的话呢，四条边相等，咱们就可以得到 b， c 是 等于 ab 等于四的，那求出来 bc 是 四， b， f 是 四倍根号二。题干中让咱们求 c、 f 的 长，那 c、 f 呢，就等于 b、 f 减去 bc， 也就是四倍根号二减四。因此呢，这道题咱们应该选择的是 a。 好， 这道题主要考察的就是通过折叠，咱们推出折叠前后对应边相等、对应角相等，以及根据菱形四边相等这条性质进行求解。那这道题咱们就说到这里了，同学们你们做对了吗？

一分钟教你搞定中考必考的菱形折叠问题！先给大家两秒钟读一下题。 根据条件我知道这个菱形是由两个等边三角形拼起来的，而且等边三角形的边长等于四， d、 g 等于三， d g 就 等于一， b g 等于三。这道题让我求 b、 e 的 长度， b、 e 就 设为 x， 那 么自然这个 a、 e 就是 四减 x， g， e 也是四减 x。 那么标了这些条件以后，我们就要列方程了。一般我们说到四边形折叠，都用的是勾股定律来列方程，但是这道题有点不一样，观察一下角 f、 g、 e， 它是拿这个等边三角形的角折过去的，是六十度， 那么这边 f、 d、 g 还有 g、 b、 e 也都是六十度。那这不是我们非常熟悉的一个相似模型，一线三等角吗？我们来写一下相似三角形， f、 d、 g、 e。 那么根据对应边乘比例，我就可以写， d、 f 比三等于一，比 x 等于 f， g 比四减 x。 计算一下， d， f 等于 x 分 之三， f， g 等于 x 分 之四减 x。 化简一下，等于 x 分 之四再减一。那么我们把这些边长都标在图上， d、 f 等于 x 分 之三， x 分 之四减一，它是由这个 a、 f 折过去的，所以这个 a、 f 也是 x 分 之四减一。 那么你就会发现这个方程非常好列， a、 f 和 f、 d 不 就拼成了这个等边三角形的边长吗？所以 x 分 之四减一，加上 x 分 之三等于边长四，立刻就能解出来， x 等于五分之七，你学会了吗？

好看，这个十六题，呃，精华的一膜啊。呃，这十六题特别爱考，就是八项的菱形跟初三的结合吗？菱形也好，平行四边形也好，要么就正方形，矩形，对吧？很爱考很爱考的啊。 那这个题怎么做呢？题目读完了，在菱形中，菱形就是四条边相等的点， e 在 a 岛上面，然后又说做点 a， 关于 b， e 的 直线， b、 e 的 对称点。对称点不就是翻折吗？ 是吧，翻转能得到什么？是不是这个边等于这个边的？但这个题还好，这个题给了一个很关键的信息，很关键的信息是谁呢？终点， 你做题的时候就要把这种终点圈起来， a 撇是 c 等的终点啊，在平行四边形边上的中点怎么做？ 那这不就是平行加中点吗？ 终点的五大考点之一，怎么做？辅助线九十度加中点，斜中线， 平行加中点不就是八字形全等吗？等腰加中点是三线合一，多个中点是中位线，什么都没有，是被长中线吗？是吧？这题我不知道问什么，我首先想的就是 我可能要延长 e， a 撇过来，这个时候我会得到两个三角形是全等的，对不对？是这样的吧。然后那现在他问的是什么呢？问的是 b、 e， f， b， f 这个三角形呗， 跟三角形 a、 b、 e 的 面积之比，这两个三角形面积之比，我们观察一下，你看对称，这不就相当于相当于角一等于角二了吗？平行加中点，第一个思路，构造 八字全等，这第一个思路啊，第二个思路是什么？你看是不是角一等于角二？对称就相当于翻折，翻折就有角平分线，在平行四边形中又有角平分线啊，会有什么？那不就是平行加角平分线吗？ 双平等腰模型啊。双平等腰模型怎么说？角一等于角二，角一还等于这个角三， 所以这个 em 会等于这个边的，对吧？ em 是 等于一个 mb 的， 有用没用吗？不知道，反正这就是思路对不对？ 现在他给我们说的是什么？让我们求这两个三角形面积之比，我们会发现这角平面，角平面性质不就到两边的距离相等吗？做垂直一样的， 那就相当于两个三角形的高是相同的，对不对？你看这又是面积比，面积就又转换成了边比边了，跟我们讲的题很像的，很多题目很像的。所以这个 s 三角形啊， b e f 比上 s 三角形 a b e 就 等于什么？就等于 e f 比上一个 e a 吗？简单了吧。那当然还等于什么呢？ e f 等于个 e a 撇啊， 一 a 等于一 a 撇，对吗？就等于这段比这段简单吗？好，这思路已经有了，求线段比了，那我们就开始想了，这一个终点对不对？首先终点是有一比一的边长有没有？ 边长有吗？菱形的边长有吗？题上有给吗？没给就得设未知数了吧。怎么样？设谁啊？设菱形边长为多少呢？ 哎，非常好，设为二。为什么设二呢？因为有终点，这样就就真的是一跟一了，这就是二，这就是二了，对吧？然后怎么设呢？ 我们设这个小边为 x， 这个为 x， 下面这个边就二减 x 了，但一 a 撇也等于二减 x 了，能明白吗？对不对？那能得到什么呢？ 这个是不是二减 x？ 那 上面这段是不是也是二减 x？ 咱刚才已经有了双平等幺模型，这是等幺三角形，那不就得到了二倍的二减 x 就 等于 二加 s， s 加二能不能解成 s 值了？快点解一下， s 等于三分之二，很简单的对不对？ s 等于三分之二，那你看啊，现在 s 已经有了，在平行四边形中用的平行这个边就是三分之二了， 那这个边是不是也有了这个三分之二？合起来是三分之二，加它三分之六，三分之八，对不对？ 那这个边比这个边是不是相似？比就有了八点相似？相似比不就是一比三比二，三分之二比三分之八，二比四不是一比四吗？那不就相信这个边比这个边等于一比四吗？总共相当于五分，这是中点， 这边是不是二分之五啊？答案出来吧。所以这个边比这个边等于多少？是不是一比 等于一比五分之二啊？等于多少？二分之五吧。哎，不一比二分之五是吧？写反了，一比二分之五，那不就等于五分之二吗？答案就是五分之二。 有思路了吗？就是把面积比转化成线段比， 如果转化不了的话，你就设边还是设线段？就跟我们刚才的三角形面积比正方形面积，我们把面积算出来， 对吧？设线段之后，该底乘高除以二就底乘高除以二，该平方就平方嘛。有的时候用的相似，什么公弦及相等啊，什么摄影定律什么之类的，把面积转换成边，知道吧？这个思路啊，好。

这是以前的你，这是现在的你。你有没有发现一个问题啊，很多人其实到了这个阶段，都会开始焦虑，是不是该把这里变平一点点，或者是说你再瘦一点，但结果往往就是你要么看上去不自然，要么就是你四肢很瘦，但脸还是显大。但问题真的是在肉多不多吗？还是说你的 方向一开始就给我错了？我看脸这么多年啊，其实很多人的核心的问题不是在于软组织，而是在于光影折叠的关系没给我对上，你可以想象一下啊，为什么说有些人看起来小而且立体， 其实并不是因为他们真的薄，而是因为他们有层次，有明暗。但现在很多人的思路啊，都是直接给我照搬西方的审美逻辑，他们的特点其实就是骨骼更加的立，结构更加的突出，软组织更加的薄， 他们会去通过一些局部的一些强化，去形成一些明显的对比。但我们其实现在大多数的人呢，他们的骨相是更平的，轮廓是更柔的，组织是更有存在感的。那如果说你照搬那套逻辑去走的话，你结果就是往往是层次没有出来，反而更显得厚重。那更适合我们的思路是什么呢？ 我给你拆以下这三步，第一步，你的外轮廓要给我干净，不要给我一味去加，而是让你的外轮廓的话呢，更加有利落，更加有边界感，让你的脸的放回才会被收住。第二，内轮廓要有 层次，重点不是说你哪里更高，而是有没有自然的过渡关系，眉眼之间面中关系，面中位置是一整块平面的话呢，你脸一定是显宽的。第三节奏要给我递进好 看的脸从来都不是一个点的突出，而是说你前面一点点，中间一点点，后面一点点，层层递进，这样出来的效果的话呢，不是很夸张的立体，而是说那种自然的精致。我一直在讲折叠度不是越强 越好，而是越顺越高级。最后啊，我想问你一句话哈，你现在觉得是自己脸大是因为肉多呢，还是因为脸上没有层次呢？如果说你也是那种怎么调整都不精致，要么显平要么显厚。评论区给我打一个折叠度，我帮你看看你到底是哪里没排队顺序。

hello， hello， 大家好，我呢是你们最帅的王老师。今天呢，再给大家带来一期折叠问题的一个综合题，是什么？是菱形的折叠问题。这道题呢，和前面讲的思维是一样的，什么思维呢？利用什么折叠以后， 这里以后出什么？出全等？好吧，出对应边相等就可以解决了。看第一题怎么弄呢？记住，求长度，首选什么勾股定律，给大家两分钟的思考时间，看看第一题如何去破解。好吧， 读完了吧，读完以后看。求 f g 长吧，首选 f g 有没有直角三角形？ t 边？貌似告的条件，咋独角条件，四边形，它是菱形对不对？画上且你看一百二十度，说明咋又和等边三角形有关系了？将菱形什么折叠以后， e j 和谁垂直？ e j 和 a c 垂直，我了个痘啊，这垂直，以后你看看这出来什么东西垂直对吧， 这不是一百二十度吗？所以这多少度？三十度吗？对不对？看看怎么用啊？看看怎么用说。求 f g 看看 f g 有 没有直角三角形呢？有没有直角三角形呢？ 有没有呢？ f g 有 没有直角三角形？貌似没有，对不对？貌似没有，以后能不能找到第二步转换呀？ q f 还能转换到别人身上呢，能不能呢？是不是好像也可以呀？怎么做呢？ 怎么做呢？你们发现一个东西没，这个角等于多少度？是六十度，所以这呢多少度？ 翻折以后这是不是也是六十度对不对？这多少度？刚才是不是三十度？那所以这是什么角？是不是直角呀？这是不是直角？那求 f g 的 话，我能不能直接构造一个呀，连接 f d 看看行不行，这是我们的思路啊，就去这样去思考，教你们 行不行啊？能不能这样去做？如果能的话，这要是只要三角形的话，那我是不是得需要知道 g d 等于多少和 f d 等于多少，才能算出来什么 g f 等于多少吗？对不对？ 对吧，那这样你你好算吗？是不好算，那么你再还有没有别的思路？别的思路还有没有？如果连接 af 的 话，能不能算呀？ af 的 话得需要知道谁 aj 和谁和 af 的 长度吧，是不是才能知道 j f 的 长度？那 aj 等于多长好算吗？ aj 等于多少？ 这不也是直角三角形吗？对不对？那你怎么算呢？ aj 和 ae 相不相等，是不是相等的对不对？ 这是九十度对吧？ 那然后呢？是没法弄了呀？是没法弄了，没法弄了怎么办呀？你看构造也不行了，该干嘛呢？背靠背模型也没有，该干嘛呢，看看能不能转换一下啊，为什么他非要告你 e 这个 f g 和这是能证明这是垂直的呢？难道你们不觉得很巧吗？难道你们不觉得很巧吗？ 你看啊，你们初一八七上学，初初一下学期学过平行线里边的什么，如果这两条线平行以后，他们平行线之间的什么垂线相不相等？ 相等吧，你看 a d 和 bc 平行以后，或点 a 做了垂线以后，你看这个垂线和这相不相等，相等吧，这不转换过来了，我就说这个长度垂直，垂直不就完事了，这个长度正好是什么？是不是三角形 abc 上面的高呀？ d 有 什么法？等？面积法能不能做呀？ 哇哦哇哦哇哦，这不是算出来了吗？对吧？那这是什么三角形？ abc 是 个什么？等边三角形吧。四分之根号三 a 方不就是面积吗？ 等于多少？ a 等于几？等于六，多少？四分之根号三乘以几？三十六吧，等于九倍根号三，对不对？然后等面积二分之一乘以谁 bc 为底乘以六乘以谁， 这个高倍 h 吗？ h 等于几？他是三，这 h 等于三倍根号三吗？难吗？好像不难吧，你看主要是有个什么利用它的面积，我看是不是老考等边三角形一考，等边三角形包考这个的。那下一题呢？就像这种题怎么做呢？ 大家还是先给时间读一遍题啊。求长度，一般就和勾股定律有关，勾股定律一般，要不就和等面积法有关，就这几，就这几种套路，没得考你， 你看你这连线 a， b， c， d 长为几等于三吧，角 a 等于六十分，你看是不是又是等边三角形？固固就固定考法， 然后呢？连接以后就翻折吧，翻折以后你看又出来了，让你求 a f 长度，一求 a f 的 长度就算吗？看 a f 有 没有直角三角形，没有，干嘛转换， 转换到哪？那那么求 d f 长度就算 d f， 然后 d a 不 取，到了三毛不减去就完事了，对不对？那么求 d f 长度，那 d f 有 没有直角三角形？貌似也没有，那构造吧， 就以 af 为什么为斜边对不对？做垂线，做完垂线以后这垂直对不对？所以这多少？这是六十度，这是三十度。那我知道这个叫 f g f h 吧，求出来 f h 和 a h 不 就完事了， 对不对？那怎么求，那怎么求？看好这种思路行不行？能不能做啊？做完垂线以后叫 f h 对 不对？那怎么做呀？那利用，那还要利用翻折对不对？那怎么做？ 怎么做？ a f， 我 既然求它，就设它为 x， 对 不对？这为九十度，这为六十度，三十度吧。所以这多少个 x？ 是 不是一点五 x a h 等于一点五 x x， 对 不对？然后呢？你的反折能用上吗？ 你的翻折能用上吗？好像用不上，对不对？所以这种思路能行吗？不行。那背靠背行不行？也不行的。那能不能？刚才算什么？刚才如果算 df 没有的话，你能不构造一个 df 的 直角三角形，以它为斜边吗？怎么做？或点 f 做垂线， 这又点 h 行不行？行不行？那我知道 f f g 不 就完事了吗？我知道 g h 不 就完事了，是不是这个道理，对吧？ 对吧？但是我要求 d f 长度，我得知道谁这 d h 和 h f 才可以， 是不是这个道理？那知道那个别人有比别的边有关系吗？是没有关系对不对？ 那你看怎么弄啊？看刚才说了，你翻折以后有对应角相等，对吧？ 是吧？这个大家应该都能懂，是不是？然后呢？它又是菱形？菱形有没有它的性质？这两个角是什么？内错角？所以这个角等于多少度？角 h， d f 等于多少度？是不等于六十度？ 那他等于六十度？老铁，这不又能又好玩了吗？故事又变得有趣，写写来了，我要求谁？ 求 df 吧，对不对？那所以角 hdf 呢？角 hfd 呢？等于多少度？三十度。那我怎么设呢？看好我设 hd 为几。那 hd 为 x 的 话，用蓝色的笔。 h d 等于 x 对 不对？那 df 呢？是不是二 x？ df 等于二 x？ 老铁你还不明白吗？ h f 等于几？是不是一比根号三比二，是不是根号三 x？ h f？ 知道了，你看这不答案就出来了吗？这不就出来了吗？ 刚才说 df 等于几？二 x 吧，那 af 为几？不是三减二 x， 那 gf 呢？不就三减二 x， 对 不对？是不是这个道理？那 hj 呢？ h g 呢？ g 是 什么？点？中点吧，你看是不是我常说的常说的三角问题求长度，就要把什么把勾股定里边所有 x 放在哪个，放在一个小的直角三角形里边去解，你看这是不是把其他不知道里边都用 x 表示出来？ 所以 h g 等于多少？ h d 等于一点五加 x 是 不是 h f 你 都表示出来多少？根号三 x 对 不对？那 g f 呢？不是三减二 x？ 你 看看这勾股定律的魅力 能不能多少三角二 x 的 平方是斜边吧，等于根号三的平方就是三 x 平方，加谁加 s 加一点五倍的 x 的 平方就完事了，解不出来吗？解不出来吗？难道解一下来看 多少呢？九减十二 x 加四 x 方等于三 x 方，加 x 方加三 x 加二点二五，对吧？他俩和他约了对不对啊？挪过去多少？十五 x 等于 六点七五， x 等于十五分之六点七五能除尽吗？ 六点七五除以十五等于零点四五， x 等于零点四五，那说明它就是等于零点四五，那它呢？ 这零点九吗？那它呢？ a f 呢？三点零点九等于二点一吗？你看是不是常和等边三角形联系在一起考，也和勾股定律在一起考，它就和折叠问题勾股定律的一块联系的很紧密，如果不会的话请看我前面的视频就好了，那么今天就到这里了，谢谢大家。

哈喽，大家好，我是讲数学的珍妮老师，今天给大家分享一下八项数人第二次月考第十八题的解法，我们一起来看一下。数学实验课上，小聪将菱形纸片 a、 b、 c、 d 沿着 e、 f 折点， 其中点 e、 f 分 别在变 a、 b、 c、 d 上，当点 b 落在 a、 d 上的点 b、 e 处，且 b、 e、 e 是 垂直于 a、 d 时， 恰有 a、 b、 e 等于 b、 e， 则 c、 f 比上 d、 f 等于多少？那其实翻折我可以得到这个 c、 f 和 c、 e、 f 是 相等的，然后 b、 e 和 b、 e 也是相等的。 那其实求 cf 比上 df 可以 求 cf 和 df 的 关系，也可以求谁，也可以求 cf 和 df 的 关系，都可以，看我们能找到哪个都行。好，因为翻折，所以这个 b、 e 和 b、 e、 e 相等 条件里又告诉我 abe 等于 b、 e 等腰直角三角形的啊，底角是四十五度，所以角 a 是 四十五度， 那角 b 就是 一百三十五度。同理，角 d 也是一百三十五度啊。角 c 和与他翻折的 c 一 都相等，是四十五度啊。因为角 b 翻折过来，得到这个角 e、 b、 e、 c 一， 所以这个角 e、 b、 e、 c 一 也是一百三十五度。因为 e、 b、 e 垂直于 a、 d， 所以 这里是一个九十度，是个直角，那剩下的这个角 c、 e、 b、 e、 d 就是 四十五度喽。菱形的这个边长 ab 是 刚好二加一， ab 一 是一，那我可以得到这个 b、 e、 d 是 多少啊？应该是根号二，对吧？然后它有一个四十五度的角 a， 我 把 d、 f 给它反向延长，交 b、 e、 c、 e 于点 h 吧。 因为 a、 d、 c 是 菱形的一个角，是一百三十五度，所以他这个零补角应该是四十五度，那其实这个 b、 e、 h、 d 这个三角形里面有两个四十五，剩下一个假角就是九十度，他也是一个等腰直角三角形，斜边是 b、 e、 d 是 根号二，那直角边呢？直角边就应该是一。 c、 e、 h、 f 呢？有一个四十五度，有一个直角，那 c、 e、 h、 f 也是一个等腰直角三角形。好， c、 e、 f 就 应该和 c、 e、 h 有 刚好二倍的关系。那我想要表示出 c、 e、 f， 只要找到 c、 e、 h 就 行。它在哪里？它在 c、 e、 b、 e 这条菱形的边上。 b、 e、 h 已经被我刚刚表示出来，是一，所以 c、 e、 h 它就应该是根号二。那在 c、 e、 h、 f 这个等腰直角三角形里面，斜边 c、 f 是 直角边的根号二倍，就是二。好，那 c、 f 已经被我表示出来了， 等于二。接下来需要找到 df。 好 在这个 c、 e、 h、 f 这个等腰直角三角形中， h、 f 的 长应该等于 c、 e、 h 等于根号二， h、 d 呢？等于一，所以 df 也很容易就可以找到。等于 h、 f 减去 h、 d 就是根号二减一。那么想求的这个 c、 f 比上 d、 f 的 关系就出来了，等于二比上根号二减一，那么我给它化简一下 分母，有理的话，上下同时乘以根号二加一，就是二倍，根号二加二比上根号二减一，乘以根号二加一， 结果就是二倍。根号二加二。好，听懂了吗？听懂了，自己动手试一试吧。

如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形 a、 b、 c、 d。 前辈，咱已经学了关于等宽的长方形的纸条折叠在一起折叠的部分。四边形 a、 b、 c、 d 是 什么样的四边形？ 菱形，等宽的是菱形是吧？不等宽的是平行角的边角，所以很明显，这里的 a、 b、 c、 d 就是 菱形 a、 b、 c、 d 了。 好题目告诉大家说 a、 d 是 八厘米，这个 a、 d、 c 是 八角， a、 b、 c 是 六十度，这个角是六十度。 那因为 a、 b、 c、 d 是 菱形，所以 a、 b、 c、 d 的 面积等于多少？ 我来看，要求 a、 b、 c、 d 的 面积来，是不是得求出它的高来对好， a、 b 为八， a、 b 为八， b、 c 是 不是也为八？好求高过 a 点向 b、 c 做垂线好，向下做垂线，垂足为 f 来，请问 a、 m 等于多少？咱一块来求好，这个是六十度，也就意味着这个角角是吧？三十度，三十度所对的直角边等于斜边呢？所以 b、 m 等于四好， b、 m 等于是求 am， 就 用到在直角的三角形当中的公分，公分公分就得该方向。 a 地方减 b、 m 方就等于平方下， a 地方上八八的平方六十四，是吧？减 b、 m 的 平方上十六。 c 的 根号四十八，当四十八打开是多少？ 四个三四倍的根号三，你看是不是就出来了？那 s 菱形 a、 b、 c、 d 底儿就上， you see the 就是 a， m 就是 八。乘四倍的根号三，就等于三十二倍的根号三。绝对可以这样很好，三十对的对，错了，错修改。

谁不是奔跑在黑暗中追寻微弱的光，也曾经历过失望，也曾被冷 漠和不会长大的孩子。有人 青春时候明明很累，却不知道为什么要坚持残酷的现实。

小天鹅中考必会题又来喽！今天的这道题选自二零二二数学隆冬版，成成题库中考模拟领航卷。这是一道菱形的折叠问题，我们先一起来读题吧！ 如图，菱形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f 分别在边 a、 b、 b、 c 上将菱形沿 e、 f 折叠，点 b 恰好落在边 a、 d 的点击处。若角 b 等于四十五度， a 一等于根号二， b 一等于两倍。根号二，折扣赛硬角 a、 g、 e 的值是多少？ 既然是折叠问题，那就一定会存在全等的情况。由题一可知，三角形 g、 e、 f 全等于三角形 b， e、 f 得到 e、 g 等于 b 等于二倍。根号二，因为要求 cosine 的值， 所以我们要构造一个直角三角形做 e、 h 垂直于 d a 交 d、 a 的延长线与点 h。 因为菱形 a、 b、 c、 d 的对边平行，即 a、 d 平行与 b、 c， 所以我们可以得到角一 a、 h 等于角 b 等于四十五度，所以在等腰直角三角形一 a、 h 中， eh 等于二分之根号二的 a 等于一。 在另一个直角三角形一 g、 h 中，由勾股定理得到 g、 h 等于根号七，所以抠三角 a、 g、 e 等于 g、 h 比上一 g 就等于四分之根号十四、综上所述，本题的答案为 b。 你还想知道类似的几何折叠问题的解法吗？在评论区留言吧，下期可能就是你喽，记得点赞关注哦！

数学压轴不用愁，老师带你找方法。欢迎来到魏老师的压轴题小课堂。那这一次呢，我们来看一下娄底二模的最后一道题啊，这道题啊，用了这个特殊的四边形啊，特殊平行四边形了哈，来看一下啊，在菱形 a、 b、 c、 d 当中 啊，角 abd 呢，它是个一百二十度哎，那这个菱形还是比较特殊的啊，六十二一百二的， 那在这个 c、 d 上取了点 e， 哎， c e 是 得 e 的 两倍啊，点 f 呢，是在 b、 c 上连接 e、 f 沿沿着这个 e、 f 呢，翻折了个三角形 c， f， e 啊，点 c 的 对应点是点 p 啊， 问第第二小，第一小问，还是舍掉了啊？第二小问啊，这个 p f 垂直于 b、 c 时，哎， p e 与 p b、 d 之间的这个大小关系啊，嗯，这个比例关系啊，这个时候非常简单啊，那垂不垂直的这个比例关系，它会变吗 啊，我们 pe 肯定等于，谁说就等于这个 c、 e 啊啊，我们来表示一下啊，假设 c e 啊，它是一个二 a， 那 根据比例关系得 e 呢，它就是 a 啊，整个 c、 d 是 三 a， 那 b、 d 的 长度是多少 啊？咱们直接做个垂直啊，直角三角形当中，哎，这是，这是三 a 乘以，谁说三 a， 整个三 a 是 乘以三 a 六十度啊啊，那乘一个二分之根号三呗啊， b、 d 的 一半是二分之三倍根号三 a， 那 整个 b、 d， 它就是一个根号三 a 啊，三倍根号三 a 啊， 好，那我们要求的是 p e 与 b d、 b、 d 之间的这个数量关系啊。哎， p e 比上 b、 d 啊，就是 p e 是 二 a 等于 c e 嘛，比上三倍号三 a。 哎，你化简得到九分之二倍的号三呀， 二九乘二倍到三，这他的比例关系啊，这个非常简单啊，那其次是还要我们求位置关系啊，那这个位置关系该怎么求啊？看这个样子哈，应该是什么关系？应该是要平行哈，应该是要平行的，那不然他也不会问啊，那我们来看一下，我们去求，嗯， 怎么去求这个关系呢啊？那这里面咱们可以去构造一下这三角形啊。构造三角形，那咱们可以用相似啊，或者说这个角相等来做啊，我们连接 cp 啊，那并且延长交 b d 于点 q 啊， 好，做完这样的一个三角形之后，我们来看一下啊，能做到什么那个关系呢啊？找找角度的角啊，这里呢？它是一个三十度角啊， 如果说这块也是一个三十度啊，这就好说了呀，就好办了哈。嗯，那来看一下这块是怎么求呢啊？或者说我们来看下面是吧。这个 p f 垂直于 bc 是 咋还没用呢 啊？这里如果垂直了的话，那这块是多少度？这是多少度角啊？刚好是一个四十五度啊，哎，那么 p c e 是 多少度了？整个一百二减四十五度，就剩下一个七十五度啊，七十五度啊， 好，它是一个七十五度啊，那么咱们因为翻折对称这块也是七十五度啊，角 c p e 也是七十五度 啊，那这个角 c q d 呢？ c q d 哎，这块是七十五度，这里三十度，那一百八减去这两个度数角，哎，是不还剩下一个七十五度啊？啊，咱们推导出来这个角 c p e 啊，是等于角 c q d 的 啊， 它来作于七十五度是吧？那推出哎，是咱们 p e 是 平行于 b d 的 啊。嗯， 用好已知条件啊，这里面关键的啊，就是咱们要求这个位置关系用到这个垂直啊，那垂直 p f 跟 c f 相等嘛，那肯定有四十五度啊，四十五度，那隔壁这个角啊，这个 p c e 就是 七十五度，因为整个 b a d 一 百二嘛，那 b c d 也是一百二啊，它七十五度，因为反折对称，是吧？那这块也是七十五度啊，那它是七十五度了，那整个在 q d c 当中，哎，一百八减七十五减三十，还剩下一个七十五度啊， 这是同为角相等，两直线平行了哈。嗯，好，这第二小问啊，那么马不停蹄来看一下第三小问啊，若折叠之后点 p 恰好位于菱形的对角线上啊，那这里没说哪条对角线，那有几种情况？有两种情况啊，对角线有两条啊。 好，请在备用图中补全图形，并求出 c f 比 b f 的 长啊。那大家想一下，最简单的是哪个呀？啊，可以记个作图啊，最简单的是落在了这个对角线 a c 上呀。好，我们 a c 连一下， 好连接线的 a c， 然后怎么去做这个图啊？大家做图的话一定要带圆规啊，老师，这里的话呢，这个圆规很难调出来啊，那么大概画一下怎么画的啊？因为翻折批落在 a c 这个 a c 上啊，咱们一定有哪哪些线段相等的关系啊？ 是一定有 p e 等于 c e 啊。哎，那这里咱们是以点 e 为圆心啊， c e 长度为半径，说画弧就可以了，跟 a c 交于点 p 啊。好，那我们这画一下啊，或点 e 啊，好，大概相等啊，大概是在这样的一个位置上，嗯， 好，这个是点 p 啊，那然后咱们去找点 f， 这个点 f 该怎么去找啊？啊，那这里啊，是咱们翻折之后哎，这个对称点所列线段一定会被对称轴，怎么样， 这个一定记住啊，反折里最常考的就是这个垂直了，这一定会被对称轴垂直平分呀。啊，那么对称轴就 e f， 那 肯定要垂直于 p c 啊，那这里我们是要做 p c 的 垂线呀，过点 e 做 p c 垂线啊，大概是这样的，嗯，好，那这个点这点 f 呀，哎，我们再连接 p f。 好，这道题的话呢，是一个作图题啊，那图这个大家思路一定要清晰啊，怎么找这几个点坐标啊，那肯定是根据对称来这个线段相等来的啊，哎，首先一个这个 pe 一定等于 c e， 那 么知道 pe 是 在 t， 点是在 a c 上， 那么我们就以点 e 为圆心， c 长度为半径画弧，哎，交 a c 与点 p 啊，然后找点 f， 是 因为这个 p 和 c 翻折嘛，翻折就对称啊， p c 关于 e f 对 称，那么对称点所连的线段必定会被对称轴垂直平分呀， 啊，或者说你直接找到 pc 中点是吧，连接延长就可以了。那现在的话呢，我们要求 cf 比 bf 啊，那这个时候非常简单呀，啊，我发现啊，这个 cpe 和 cfp 它都是什么三角形 啊，翻折完之后，咱们知道这这个菱形的对角线是会平分对角啊，哎，那这里是六十度啊，这里呢，也六十度，哎，因为翻折这个 c e 也等于 p e c f 等于 p f 啊，那这样的话， c p f 和 c p e 是 都是等边三角形啊， 哎，那咱 c f 是 等于 c e 啊啊，那如果设 c e 为二 a 的 话呢，那整个 c d 就是 三 a 啊，那 f c 也二 a 啊，哎， b f 时候就是小 a 啊， 第一种情况啊，就是当点 p， 它是在线段 a c 上时啊，好，那这时候我们要的 c f 比上 b f， 哎，二比 a 比 a 就是 二啊，这第一种情况非常简单啊。好，那我们来看一下第二种情况啊，第二种情况就是点 p， 它落在了线段 b d 上呗， 这个数会稍微难一点啊，我们先把 b d 连一下啊。好，然后呢，找到点 p 的 位置也是啊，说咱们以点 e 的 圆心 c e 的 长度为半径去做弧啊，那这里漏出来是点 p， 然后连接 p c 啊， 过点 e 做 p c 的 垂线啊，并延长交 b c 于点 f， 然后再连接 p f。 嗯，这个思路一定要清晰啊，做图思路一定要清晰。嗯，好了，那现在我们还是要求 c f b 和 p f 的 长啊，那这该怎么去求呢？ 嗯，那这里咱们也沿用前面用的啊，说 c e 我 设为二 a， 那 么 d e 就是 一个小 a 啊，哎，那么 b c 长度的话呢，整个也是一个三 a 啊，那这块的话，我们来看一下啊。 呃，那如果说 c f 和 b f 都能用这个 a 表示出来啊，那是不是这道题就解出来了呀？那看怎么去表示呢？ 那咱们就设未知数吧，还是设未知数啊？ b f 设为 x， 那 c f 有 多少三 a 减 x 呀，那翻折过来以后， p f 也是三 a 减 x 呀，啊，那怎么去找这这样的关系呢？哎，一定要注意啊，题目中给这个一百二十度角别忘了呀。 哎，一百二十度的这个菱形的一个条件，千万别忘了那 b d 这个对角线一做，这个角度是多少？三十度啊。哎，有这样的一个三角形，里面有个三十度，想到什么了，说肯定要做构造这个直角三角形啊，那么过点 f 做个垂直啊， 垂过来。好，那这里假设是点 m 啊，那 fm 的 长度是多少？ 根据这个共顶点啊，或者说这个应该是三角函数啊。哎，那就是二分之一 x 啊。哎，这是二分之一 x 了啊，那咱们就把这条边也用 x 表示出来，或者 x 加 a 表示出来。 哎，说这个三边是就组成一个共顶点了呀，那就好说了哈。好，这是二分之一 x 呢， bm 是 多少？ bm 就是 二分之根号三 x 呗。 好了，那现在啊，我们知道整个 b d 的 长度，那是多少？就等于三倍根号三 a 呀。哎，我说减去 p d， 再减去 b m， 哎，这就可以了，那 p d 长度多少啊？那别忘了，这里是不是也有个三十度角啊，那咱说还是做个垂直啊。 好，这里呢，有个 n 啊，就是点 n， 那 么 n e 的 长度就是二分之一 a， n d 的 长度呢？是二分之根号三 a 呀。哎，好，那现在这个 p n 怎么求啊？ 那是不也简单，刚才说过很多遍了，说 p e 长度一定等于 c e 啊，这块是个二 a， 再根据勾股定律啊，这是四 a 的 平方，减去四分之一的平方是四分之十五 a 的 平方啊，那开根号是二分之根号下十五 a 吧。 好啊，那这样的话呢，我们这个 p n 长度也有了。哎，那下面是咱们拿这个 b d 减去这三段就可以了啊，那我们整个 p m 的 长度啊，就等于多少三倍根号三 a 啊？减去二分之根号三 a， 减去二分之根号下十五 a， 再减去一个二分之根号三 x。 好， 这样的话我们得到了个 pm 长度。那又知道了， m f 和 p f 都用 a 和 x 表示了啊，这样的话是得到一个方程了呀。

嗯，好，同学们，亚洲题来了啊，真的是亚洲题，二六年，嗯，杭州阜阳区一模的第二十四题，这是一个菱形的几何题目， 找对称这个题很容易让人想到，就是模仿的二五年的杭州中考的第二十四题，对吧？大家去看完之后会发现很像，也是一个菱形，然后也也是现在加现在的最值，还是现在减现在的最值啊？ 但这个题非常好啊，这个题跟那个题又不太一样，这个题用到了圆的支点。 好，我们一起看一看。首先在菱形 abc 当中，角 b 一 角等于六十度，这个角等于六十度， 当我们读到这个这个条件的时候啊，菱形加六十度，我们知道怎么做吗？很容易想到的辅助线就是连接对角线，因为菱形每条边都相等的，连接对角线之后会得到两个等边四角形。记得啊，菱形经常考这个知识点，经常考这个知识点， 然后就说 ab 边上等于十啊，边上等于十， ab 下面焦点太多了，所以我在上面标一下子啊，等于十，这都等于十的 点， a 和 a 撇。关于倒一对称， e 是 什么呢？ e 是 在 ab 上的，点这个图就不太好了，它不应该标在这个位置， e 应该是在这个位置上面啊， e 是 在 ab 上面，它好像标的是下面这个 ab 连线跟这条线的交点一样的，对吧？那么第一问 如图二所示。第一个是比较简单，当 a 跟 b 重合的时候，也就是点 e 运动到终点的时候， 求这个倒 f a 撇的大小，这个角多少度？这个角大部分同学都会做的，对吧？左边等腰吗？因为终点三线合一，这六十度，这九十度了，是吧？这三十度 本身菱形，对面是平行的吧，对不对？所以这个角是不是也是三十度啊，等于这个角，内测角相等吗？是吧，但你也可以说这六十。这六十啊，这也是六十度的，对吧？都行的，无所谓的，这个角等于这个角就行，直接内测角就行了。好吧，低温三十度送分， 每个同学都要会，那么你七十分你都要会的。然后第二问，点一等运动过程中点倒 f 一 撇倒 f a 撇会不会变化？要不会变的话说明理由是吧。肯定不变的呀，这样题目大部分都是不变的是吧？ 不变，先写上不变得一分。理由是什么呢？理由是什么呢？同学们，我们做第二问，第三问就不能再用第一问的，再用图二了，我们就要用图一，知道吗？因为第二个图是特殊情况的时候，对不对？那我们该怎么做呢？讲两种方法好吧。 第二讲两种方法啊。啊，算了，我简单说一说好了，就是首先第一个方法就是射角，知道吗？射角 方法一，算了，还是得写啊。方法一，倒角。射角倒角啥意思呢？比方说我把这个图先复制一下子啊，一会要讲方法二的还， 然后那再复制一个嘛，因为一会还要封。还有第三问呢， 好，倒角怎么倒呢？你看我设这个角为 alpha 可以 吧。然后用 alpha 表示出别的角啊，比方这个角等于多少呢？这个角能不能表示出来？ 这是六十度减 alpha 对 吧？这是十五度吧？应该是，哎，不对，不是十五度。 呃，这哦，写错了啊，慢点讲，慢点讲。就是上面这个我标标错了，刚才不严谨了，你看是上面这个角是六十度， 那么我们给它标出来啊，这个角是不是也是六十度加阿尔法，给你对称行吗？对不对？然后呢？上面这个小角是不是能求出来的？这个地方垂直的 九十度减去这个六十度加阿尔法吗？也就等于一个三十度减去阿尔法，对吗？跟你对称形，那这个也也是三十度减阿尔法，对吧？ 本身上面是什么？上面这是个一百二十度的，一百二十度减去这个角，减去这个角等于多少？是不？六十度加二阿尔法， 然后再给你什么？同学们，你看对称翻折这个边是不是等于这个边的？那倒 a 也等于倒 c 的 等腰三角形吧， 那这个角是不是也能求出来？这个角也就等于一百八减上面这个顶角，再除以二，又等于六十度减去阿尔法，对吧？所以这两角相加等于一百二，知道吗？同学们？所以这就等于六十度了，这就等于三十度了。这方法一倒角啊，我觉得有一点点麻烦，但是可以做， 我们重点讲一下方法二，方法二可能也有点不太好想啊，方法二是什么呢？就是引圆， 用轨迹圆来做啊，隐藏的圆。轨迹圆什么意思呢？刚才我们跟你说这个边啊，放个蓝色的 倒 a 是 等于倒 a 撇的，对不对？也等于倒 c 的 吧，而且我们菱形有六十度，我们就连一个倒 b， 那 这四条线段都相等，对不对？所以啊，同学们，这四点是共圆的，你们知道吗？ 都是怎么推的呢？都是圆心加半径来推的，知道吧？ 对吧？四点公园没问题吧？哎，然后看好了啊，上面这个角是等于一百二十度的，对不对？ 菱形啊，这六十度求成一百二十度，求成一百二十度之后，你看啊，倒 a a 撇 c， 虽然不是四点公园，但是我们是很容易求出这个角等于一百二十度的。为什么？一百二对，一百二，如果说你对模型熟悉的话，你如果不熟悉的话，你就这样， 这个角六十度吧，对不对？因为同弧所做的圆心角是圆周角的两倍啊，这不六十吗？这整个又是一个圆内接四边形了吧？对角互补，这一百二十度是吧？或者说这一百二，这二百四，这弧对的圆周角就等于一百二了， 那这一百二之后，剩下是不是有了？这不是垂直的吗？一百二减九十度，这不就等于三十了吗，对吧？用动点轨迹圆啊， 可以做到。好，我们接下来就是讲第三问了啊，第三问，第三问是最经典的疑问，最难的疑问，很多同学无从下手的疑问，这个题还是什么呢？这个题还是圆动点轨迹圆，精确一点，叫法叫定角对定弦。 定角对定弦是什么意思呢？就是说在一个圆中，如果圆周角确定了，这条弦的长度是一样的，对吧？或者说一个三角形，如果说这个底边是个定长，这个角是个定角，角度不变，那这个顶点的轨迹是一个圆弧， 对不对？是一个以这个底变为弦的圆弧。啥意思呢？我们直接看题啊，刚才我们已经说了，第二问已经得到这三十度了，而且倒 c 这个边是十，对不对？红色的就是定角对定长，明白吗？ 那这个圆心是谁呢啊？我们想圆这个点的轨迹是一个圆 圆，这是一个那条弦圆心首先得是到导点，跟 c 点的距离是一样长的，而且圆心角等于多少度呢？圆心角是圆周角的两倍，这是三十度，圆心角肯定等于六十度，那不刚好导 bc 就 等于六十度吗？是不是 所以点 f 的 轨迹就是一个以 b 为圆心的圆？能不能明白？同学们， 它的图像就是这样的，点 f 轨迹是以 b 为圆心， 半径为十的圆圆弧，能理解吧？那现在我看他让我们求的是谁啊？同学们，他让我求的 f b 再加一个 f c 的 最值，那 f b 不 就是半径不就等于十吗？ 所以 f b 加 fc 等于什么？不就十加 fc 吗？是吧？求最大值不就求 fc 的 最大值吗？ fc 最大值多少？不就是直径吗？直径多少？你看，当这条弦是直径的时候，不就是二十吗？ 对吧？所以 f b 加 fc 的 最大值是多少？ 就等于十加二十等于三十呀！同学们，好玩吧？这道题讲完了， 定角对定弦动点轨迹圆六十度的菱形，得到两个等边，对吧？这道题特别特别好啊，我特别喜欢，一定要给他弄懂。

同学们好，今天我们共同探讨菱形中的折叠问题。这类折叠问题呢，往往在矩形，平行四边形以及菱形中经常遇到，今天呢，我们就探讨这个特殊的平行四边形，菱形中的折叠问题， 请看例题。如图，菱形 a、 b、 c 的 对角线，它的长呢，分别为六八点， o 为对角线的交点，过点 o 折叠菱形点 b、 c 对 应的点分别为 b 一 撇 c 一 撇 m， n 呢，它是折痕。若 b 一 撇 m 垂直于 b m， 则 m 的 长为多少？我们一定要明确折叠的性质。当题干中提到 b m 垂直于 这个 b 一 撇 m 时，我们延长这个折痕， 延长折痕 m、 n， 因为这里的 b、 m 呢，与这个 b 撇 m 的 垂直。根据折叠的性质，折叠之后，前后呢，折叠角是相等的，所以呢，我们这里的 延长之后，这个 m、 n 的 延长线就平分这个直角了。所以呢， 我们的两个呢，四十五度的角，我们标注出来，在图中已经标注出来了，所以这个折痕起作用呢，就将这个九十度平分 好。那因为呢，这个 a、 b、 c、 d 是 菱形，它是菱形呢，所以就会有对应的边呢？ 平行，因为它是特殊平行四边形，所以呢，就有 a、 b 平行于 c、 d， 所以 这个四十五度角呢，就产生了。我们根据同轴角相等，所以呢，这个角 o、 n、 c 等于四十五度。那么呢，我们过 往往处理四十五度的特殊角呢，我们做垂线，勾成了等腰角三角形，所以呢，看到四十五度角呢，我们就过点 o 做 p q 呢，垂直于 c d， 交 c d 于点 q， 然后呢，交 ab 呢 于点 p， 因为有四十五角，我们产生了构造等腰角上的这个想法，所以呢，经过构造呢，我们得到了两个等腰角上的，那就是 m p o 和这个 q o， n 啊，是个两个呢等腰的角三角形，那么呢，我们 要求 m n 只需要将这里的 p q 这个值呢求出来即可。 好，我们在这个 平行四边形呢，我们取这个 p k 的 长度，我们或者说我们取它高啊，它的一半，这个等腰角的边长为 x 啊，顺便我们设它的长度， 这个 o p 呢等于 o q 等于的 x， 那 么长度等于 x， 那 么这个 h， 那 么 p q 呢，是让它就等于二倍的 x 的。 我们同样的 使用的面积相等的法则，这经常在三角形啊，还有其他的一些啊，要求对应的高度的时候呢，我们就可以使用面积法，我们同样使用这个面积法，常常用到的这个这几个方法，我们还是把它写出来， 就是我们仍然是将菱形表述为不同的面积进行表述出来，那因为我们的对角线告诉我们了啊，这里的 v c 等于六，然后呢这里的 b， d 呢等于八的，所以呢，我们把这个底边呢 c， d 求出来，它就根号下它们 一半的对角形，一半的平方，因为它非常垂直，平分嘛，就等于呢三的平方加上四的平方也应该是等于五，那么表示从不同的两个面积法来进行表示， s， a， b， c， d， 它呢就等于二分之一 a c 乘上 b， d 也等于我们的这里的 b， c 乘以我们的 p q， 好， 即代入数值 二分之一乘以六，乘以八，等于呢五乘以我们这里写上二倍的 x 了，这个时候用我们设的未知数把它放在呢两个呢， 等幺直角三角形去了，好，这里 x， 它呢就等于我们呢二十四，比上十，我们就得五分之十二， 那么呢，我们根据等腰直角三角形那个斜边呢，与直角边的成刚好互为的关系了，所以呢，我们就得到呢， o m 呢，就等于呢 五分之十二乘以根号二，那么呢，这个 m n 呢，实际上是等于二倍的 o m， 所以呢， m n 呢就等于呢五分之二十四倍的根号二，这样呢，我们把 m n 的 值呢我们就求出来了， 所以经常用到的方法呢，还是使用面积法，以及我们提到的这一些 动点问题啊，也是在菱形当中呢，经常所要使用的就是面积法，因为菱形呢，它是特殊的形状， 可以有两种不同的面积表示方法，我们用底层高和对角线的一半的层级两种方法来进行表示它，所以呢它在折叠和动点问中呢比较灵活，但是我们要常常掌握这种使用面积法和它相等， 就求出我们相关的线段的长度。好，这道题目呢，我们就分享到这里，谢谢大家。

下面我们看一下二零二六历下三摸的第十五题，就是填空的压轴题，已知条件是菱形，然后呢，钝角一百五十度， o 呢，是对角线 a、 c 的 中点， 然后将这个纸片过点 o 的 一条直线折叠，沿这条直线折叠，点 a 落的点 e 处， 点 b 落在点 f 处，然后 c p 的 长度是二，那么求 a c， 因为 l 是 对称轴， o 点又是 ac 的 中点， o 点又落在这条对称轴上，所以下面呢，我们可以连接一下 o e， 嗯，根据对称啊翻折，这个三角形和这个三角形都是全等的啊，就是这条线的这边的部分和这边的部分完全重合， 所以这样我们就得到这个 o e 的 长度应该是和 o a 的 长度相等， o e 等于 o a， 然后 ef 的 长度就是菱形的边长，嗯， ef 就 等于 ab， 所以 ef 呢，也等于这个 c、 d 啊，这个角的度数呢，都分别是十五度啊，因为这个角是一百五，这个角就三十度。菱形的对角线平分一组对角，所以这个角十五度，这个角也十五度。 这样呢，我们发现这条边和这条边相等， o a 又等于 o e， o a 还等于 o c， 所以 这样我们就可以证明这两个三角形是全等的了。这两个三角形全等， 嗯嗯，一条边一个角，再加一条边 s， a， s 就 可以正数全等。正数全等来之后呢， 这个三角形是和这个三角形全等，嗯，连接 o d 这个地方是对角线互相垂直，嗯，所以这个地方就是九十度，从而说明 o d， e 正好是共线的， o d， e 正好共线。这样的话，我们再连接一下 ec， 这样我们就得到了这个三角形 o e c 是 一个等腰直角三角形，等腰直角三角形，这个角的度数四十五度，这个角十五度，那这个角就三十度， 三十度，这个角也是三十度，那这个角一百二十度，那这个边是二，这个边是二，那它的长度就是二跟三啊。因为一百二十度的等腰三角形，腰长之比和底之比是一比跟三的关系，这样就是二跟三。 然后下面我们可以求 o c 啊， o c 在 这个等腰直角三形当中一比一比二的关系，所以二跟三除以跟二 就等于根六，这样我们就得到 o c 的 长度是根六，所以 a c 的 总长就是二根六。好了，这样这个题目我们就分享完了。 嗯，这个题目主要还是利用对称来解决，嗯，对称加上菱形的性质，当然也有别的方法，可以把你的方法打在评论区，看一下你的方法是否是非常简单的。