菱形折叠问题及解决方法

这个折叠最值有点巧，进来看一下吧。哈喽，同学们大家好，今天我给大家分享的是一个折叠当中的最值问题。这个题的话看似很复杂，但是其实只要我们找对了方向，这道题非常简单，来咱们看题。在菱形 a、 b、 c、 d 中，角 a 等于六十度， a、 b 等于六。 折叠该菱形使 a 点落在了 bc 边上的 m 处，然后折痕分别交 a、 b、 a、 d 于 e 和 f。 然后这道题中咱们求的是 f、 d 的最大值。那这道题咱们怎么去做呢？其实大家可以这么想，因为这个菱形的边长是固定了的，也就是 a、 d 的长度始终等于六， 然后要去求 f、 d 的最大值，是不是就要去求 a、 f 的最小值，然后 a、 f 又和 f、 m 是相等的，那也就是要去求 f、 m 的最小值，对吧？然后又因为 a、 d 和 b、 c 是平行的，大家可以想一下，两条平行线 线之间两个洞点之间的距离要最小应该什么时候？那是不是应该是 fm 和这两条平行线互相垂直的时候， fm 是最小的，对吧？那也就是我们在折叠的时候就只需要满足叫 afe 是四十五度，并且 a 点刚好落在 b、 c 上就 ok 了，对吧？就像这幅图一样，那这个时候 f、 m 的长度怎么求呢？那其实 f m 的长度就是个菱形的高，对吧？咱们可以过地点往 b、 c 做垂线，假设垂柱是 h 点， 因为菱形的边长等于六， cd 也等于六，然后的话角 c 等于六十度，那三角形 dhc 就是一个含三十度、六十度的特殊直角三角形，那就能够得到 dh 的长度的话，应该是等于三倍加三的， 那所以 fm 的最小值是不是就等于三倍根号三？那所以 af 的最小值是不是也应该等于三倍根号三？ 那所以 df 的最大值的话就应该等于六减去三倍杠三。 ok， 那这就是我今天要给大家分享的折叠当中的最值问题，感谢大家的观看，再见。

初中几何添加辅助线是为了构造有效图形来创造条件。菱形翻折和线段比问题 好，我们来看题，如图，在菱形纸片 a b c d 中，角 a 是等于六十度。将菱形纸片进行翻折，使得点 a 落在 c 底的终点 p 处，折痕为 m m， 点 m 和 m 分别在编 ab 和 ad 上。让我们来求 bm 比上 am 的值为多少。我们来看，首先它是一个翻折问题，因此在图中就会出现全等的图形， 也就是三角形 a m m， 它是全等于三角形 p m m 的，而要我们求的是 b m 和 a m 两条线段长度的比值。但是在题目的条件中，只告诉了我们有关角度的具体数据，也就是角 a 是等于六十度的，因此我们就要设出一个参数，然后把几条关 的线段用含有这个参数的代数式给表达出来。我们还是来看图，因为题目是个菱形问题，而点 p 又是菱形 cd 边上的终点，因此我们可以令 cp 或 dp 是等于 a 的，这样菱形的边长即为二 a。 我们再来看，因为题目要求的是 bm 和 am 两条线段的笔直，所以我们就要想办法把 am 和 bm 用含有 a 的代数式给表达出来。 但经过观察，我们会发现，无论是 am 还是 bm， 他们都不在任何一个现成的直角三角形中。因此我们就要通过添加辅助线来构造出有效的直角三角形，使得 am 和 bm 和这一个直角三角形产生关系。 我们继续来看，因为翻折的对称性，所以 a m 呢，是等于 p m 的。而此时如果我们来连接 p b， 那我们所构造 出的这一个三角形，也就是三角形 p m b 中，就把 b m 和 a m 这两条线段的长度都集中到了一起。而题目又告诉我们，菱形 a、 b、 c、 d 的内角 a 是等于六十度的， 那此时我们连接 d、 b， 就很容易可以正得三角形 b、 c、 d， 它是一个等边三角形，而点 p 又是 c、 d 边上的终点。那根据三线合一，我们是不是就可以得知，角 b、 p、 c 是等于九十度的。 又因为角 c， 它是等于角 a 等于六十度的，因此这一个角叫 p b、 c 就应该等于九十度，减去角 c， 那也就是等于三十度的。 而这个菱形的内角角 a、 b、 c， 因为它是与角 a 互补的，所以角 a、 b、 c 应该是等于一百八十度，减去六十度，等于一百二十度的。此时我们再来看这一个角 p、 b、 m， 它是不是就应该等于角 a、 b、 c 减去角 p b、 c， 那也就是等于一百二十度，减去三十度。最后呢，我们可以得知，这一个角 p、 b m 是等于九十度的。到这一步，大家有没有看出来，我们通过添加 p b 这一条辅助线，把 a m 和 b m 的长度都转化到了同一个直角三角形中，也就是直角三角形 p m、 b。 接下来就比较简单了，因为 cp 是等于 a 的，而直角三角形 bpc， 他又是一个含有三十度角的直角三角形，因此 bp 就应该是等于根号三倍的 a m b 加 a m 呢，又是等于菱形的边长 a、 b 的，那也就是等于二 a 的。所以我们就可以设 m b 的长度是等于 x， 那 a m 呢，就应该等于二 a 减去 x， 而又因为翻折的对称性， m p 就应该是等于 a m 的，那也就是等于二 a 减去 x 的。这样我们就 可以在直角三角形 m p b 中利用勾股定理来列出关于 x 的方程。这样呢，我们就可以解得 x 是等于四分之一 a 的，因此 m b 的长度它就应该等于四分之一 a 的，而 a m 又是等于二 a 减去 x 的， 它就是等于四分之七 a 的。这样我们就可以求出 b m 比上 a m 的比值就是应该等于四分之一 a 比上四分之七 a 的比值，那也就是等于七分之一的。

今天呢，我们来讲一道菱形结合折叠的最直观的问题。菱形 a、 b、 c、 d 一组林边，上面各自存在一个 e 点和 f 点，要求大家把三角形 b、 e、 f 沿着 e、 f 所在直线进行折叠， 点 b 要落在 c 的边上的点 g 处。现在已知菱形的边长是 a， 这两个对角的度数都为阿尔发。想问 a、 e 这条线段长度的最大值是多少？ 今天呢，温老师送给大家一个公式，这个公式叫做 a 减去 a 乘以 si 二发。 如何理解呢？首先我们来这样想， a、 e 线段如果想最大，那证明 b、 e 线段的长度必须要拥有一个最小值。那么由 由于折叠， b、 e 线段的长度和 e、 g 线段的长度是一样的，如果 e、 b 线段长度是最小的，那证明此时 e、 g 线段的长度也是最小的。 两条平行线上各有一个点，这两个点之间的最小长度当然是两条平行线之间的距离，因此我们今天只需要把平线之间的距离求出来即可。我们可以过点 a 向 c 的所在直线去做垂线， 那么这条黄色的垂线就是两条平行线之间的最短距离。根据三角函数，它的长度为 a 乘以塞尔发。 那么这条黄色线段的长度也是 e、 g 这条线段长度的最小值，同时也是 e、 b 这条线段长度的最小值。所以 e、 b 线段 长度的最小值为 a， 乘以塞尔方，那么 ab 整条线段的长度是 a， 说明此时 ae 的最大值即为 a， 减去 a 乘塞尔方。你学会了吗？关注，点赞！

哈喽，大家好，我是一点老师曲传运这个专题吧，老板特殊思编型折叠问题，折叠技巧，三步走，一挖，二套三算。而这个挖是什么意思呢？并不是老鼠去挖洞啊，我们这里是挖宝藏的，一挖一麻袋啊，挖两个方面，一个呢就是折叠前后的对应边 啊，这个对面怎么样会相等呀？把他的对面全部给他找出来，全挖出来，那还要挖什么呢？折叠前后的对应角啊，这个折叠呢，只是改变了折叠内部分的位置，不会改变那个折叠部分的形状大小的。折叠前后的对应边相等，对应角也是相等的，把里面的这些东西呢，给他挖出来，放到那里备用。 好。二套是什么意思呀？就是把它套入到特殊四边形的性质当中去，因为呢，这里面特殊四边形可能是菱形，举行正方形，那利用他们各自的性质一结合啊，就算套进去了，套完了之后呢，我们也就找到思路了，该算的就要计算出来，可能呢，利用全等三界形的对应变成比例啊，可能用到 五定里之类的。好了，我们利用这三步操练一个。第一，如图，将平易四边形纸片 abcd 沿对角线 ac 折叠点地落到点一处好了，独体读成这里开始挖宝藏了，地点落到了一点处了，这是折叠前后的啊对应点， 那我们再看他沿着谁折叠的呢？沿着对角线 ac 折叠的就是 acd 这个三角形呗，半个平行四边形对吧，折到哪里去了？折到了 ace 这个地方来了， 那么找一下里面的对应编 ad， 他呢就是折叠后的 ae， 看出来了吧，我们小的时候都玩过折纸游戏啊，一定要充分的利用那个时候的感性经验。当然呢， ad 他跟 bc 也是相等的， 为什么他跟 bc 相呢？哎，这就把它套入到平行四边形的性能当中去了。因为平行四边形的对边呢，他就是平行且相等的。所以读题读到这里，我们要看出来，一方面呢， a e 它是由 a d 折点过来的，它等于 a d， 而 a d 呢，它本身又等于 b c 好， 这是一组对应边。再看还有谁，还有 cd 折到了哪里？ ce 的地方来了，说明呢， ce 他是等于 cd 的，同时别忘了平行的性质， cd 呢，他会平行且等于 ab 的，等于他的对边啊，这说明了这三段呢，也是相等的 好。再来看脚吧，有的时候你怎么找了两条边，还有一条边，还有一条边？ ac 啊，他沿着 ac 折叠的啊，那个就没有意思了，脚地，他呢，就等于是脚意， 角地等于角翼，折叠前的时候，角地等于谁？等于角臂好，这是角这方面啊，角翼他等于角地，角地呢，折叠前就等于角臂，折叠后呢？当然，这三个角还是想等的。还有，你像这边的这个角衣，他折叠到哪里去了？ 他折叠到这边来了，折叠到角二这个地方来了，说明角一呢，他是等于角二了。另外呢，由于平行四边形的对边的是平行且相等的，角一他还会等于这边的角三，因为这是内错角，两直线平行，内错角他就会 相等，这样的话，就等量代换出来了，角一，角二，角三就都相等了呗。哎，这个非常的重要啊，角一呢，他折到角二地方了，他跟角二相等，而角一在折叠之前呢，他就等于角三，这样的话，一等量再换，角二跟角三也就相等了。角二跟角三相等，那可了不得喽。为什么呀？ 因为呢，这个三角形 acf， 你可以看，他就成了一个什么三角形了。等要三角形了，叫做等角对等边啊。 af 他也就等于 cf 了。好，这是我们该挖的都挖出来的。再比如，这个角 是不是折到哪里去了？折到这里来了，说明他跟这个角也是相等的，那么我们多挖了不要紧，就怕呢，需要用得着某一个对应关系，却没看到他没挖出来，他那的话就要卡住了， 把我们全挖出来呢，用不着没关系，用不着就用不着呗，反正呢，咱们挖土的能力啊，对，挖宝的能力增强了呀。啊，挖出来了也不用再还回去了啊，就搁到那里啊，用的着咱就拎出来，就这么痛快。好，继续看。 说 ae 呢，恰好经过 bc 边的终点 f， 由终点的定义，那 cf 他也就等于 bf 啊，都等于 bc 的一半。 好，那你看，这个 f 点，其实也是 a e 的重点啊，为什么呀？因为呢， a f 它是等于 cf 的。看到了吧，这个时候呢，一定要套路到平行四边形的性格当中去。 cf 现在呢，我们会发现它又等于 bf， 这样的话，这三段就都相等了。那剩下的这段 ef 他也挺着急的呀，你们都是相等的了，那咱怎么办？哎呀，他也有办法，他也是跟他相等的。为什么？因为呢？ ae 他跟 bc 是相等的，我们前面已经推过了，既然他跟 bc 相等的话，这一段呢，他跟 bc 的一半相等。 所以啊，他既然是 b 四的一半，他当然也是 a 的一半。既然 af 是 ab 的一半，说明另一半就是 ef， 因此，那么从这地方一定要看出来，这四段都想。 若 ab 等于三， bc 等于六，求角 b 的度数。 bc 是六的话，说明 cf 和 bf 都是六的一半，也就都是三， 那么 ab 是三。哎，你看这边呢，又出现了个什么三角形呢？是不是一个等边三也行？因为呢，这段是三，说明 af 呢，也就是三， af 跟他相等，当然 ef 也是三，那这边这个等边三，这边这个也是个等边三角形，求角壁的度数，那不就求出来吗？等边三角度是六十度， 梳理下步骤，减油折叠呢，可以得到这个，当然，我们得到的更多，只不过呢，我们再冷静下来一看呢，有些呢，你像脚地跟脚印相等了，这个地方用不着他了，他就不带写了， 因为呢， abcd 呢，这个四边形是平行四边形，你把四边形九个字也写上去吧，我给你捡起来。那因此就可以得到。呃， bc， 他呢平行于 ad， 并且呢， bc， 他呢还等于 ad， 他等于 ad 的话，他就会跟他 啊， a e 就下了。由平行的话，可以得到角一，它是等于角三的，两直线平行内错角相等，同时它俩的等量代换，我们也可以把它带换出来，那就是 a e， 它也就等于 b c， 而 b c 呢，它是等于六的 那个一跟他相等，也就是六啊，等待再换角一等于角二，角一就等于角三，这两个条件可以得到角二，他跟角三相等，那么等角对等边 af， 他也就等于 cf 了。那又因为 f， 他为 bc 的终点， 再把终点定义给他用上，所以 bf 他的等于 cf 都等于 bc 的二分之一，也就都等于三。等于三的话呢，说明他跟 ab 就相等了，因为呢， ab 他也是三，所以 af， 这样来看的话呢， af 他跟 cf 是三了，那么 af 也就是三，那通过这个计算 就可以得到 af 等于 ab 还等于 bf， 所以这个三角形 abf 他们就为等边三角形，然后利用等边三角形的性质，等边三角形呢，三个内角都相等，都是六十度，我们要求的那个角 b 就是他的内角因层，他也就是六十度。 好体会体会。我们的三个步骤，一、挖，我们挖的很多啊，有的呢用的着，有的用不着，但是呢，全给他挖出来，防止后面呢， 万一用得着，我们却挖不出来的话，就卡住了。二、套，一定要套入这个特殊的自编型，这个呢，是平易自编型，你像对边平行且相等呀，这些都要用得着他。还有你像他里面有平行， 然后呢，还有折叠对应的这种角平分线相对 ac 呢，这个就相当于是角 dae 的平分线啊，平行加平分出等腰，这里面呢，要及时发现出来，有一个 acf 是等腰三角形，这是套后面呢，哎，再根据他，我们得到的结论，该算的算啊，那这个算呢，就比较简单了，发现等变三形一下子就出来了，就直接利用等变三形的性质就可以了。好了，这个利益搞明白同学，欢迎敲个一 利亚。如图，由于举行纸片 abcdab 等于八，那他的对边怎么样也是八举行的对边呢，肯定相等，四个角呢，都是直角 ad， 他是十七，那对边 bc， 当然也就是十七， 将此举行纸片折叠，是顶点 a 落在 bc 边的 a 撇处，就是把这个 a 点的要折到 bc 边上来。我们小的时候玩这个折纸的时候，大家想一想，利用咱们自己的经验，或者呢，咱们干脆就找一个这样的纸片啊，自己用剪刀剪一个，然后去折一折，看看折痕所在的直线呢，同时经过边 abad， 包括这里的端点 abad， 因为这个折痕是沿着这样的线，这条线呢，必须经过 adab， 还得经过 ad 啊，那设 ba 片呢，等于 x， 在 x 取之范围时呢， 我们去找一找 x 最大是多少 b 点，还能在这里。那个 a 撇呢，就在 bc 这条边上，你可以随时暂停，充分观察思考之后再继续啊，你可以拖着前进后退，快速慢速，适合你的才是最好的，最聪明的那种视频学习方法，不要一口哎，一口到底，却一直在听，随时可以暂停，这是他的一个最极端的情况， 你不信你拿着那个纸啊，去折一折，看一看啊，此时呢，就是 b a 片为最短的时候，现在呢，我们就把这个 ba 片最短的时候这个 x 给纸，给他计算一下，这边呢 ba 的长度是 x 相当的，开始一挖二套三算啊，挖的话，哎，这蹲一边，这个十七跑到哪里去了？跑到了 ap 这个地方来了，说明他就是十七， 然后再看一个 e 跑到哪里去了，跑到 apa 的地方来了，那这两个长度是一样长的，这是对应边，对应角的话，你像这个直角啊，跑到这里来，是个九十度的角，这个角等于这个角，然后这个角呢等于这个角，这样的话就全挖完了。那么接下来呢，我们看看这个时候 x 呀，用我们挖到哪个数据就能算出来了呢，哎，我们发现呢，用这个时期就可以算出来了，因为呢， ap d 他就由 ad 转过来的，他是十七的话，这边又是八，那由购物店里可以求出来这段长度了，你要是对购物数熟悉的话，八十五十七吗？ 啊，那就秒出答案，他就是十五，勾五数忘了。同学呢，可以关注我们的勾五数那个专题，当然在这里呢，其实就是用勾五定的来进行计算。 apsc 他呢？啊，当一个直角三角形吗？这个角色他有九十度，你看把它套路到举行的这个性质当中去，举行的四个角都是直角放在这里呢，正好用啊，他一个直角三也行，两条边出来了，由勾五定里， 就是根号下斜边的平方，减去椅子的这个直角边的平方，这样的话装模作样的再算一下，他的就是根号下二百十五啊，也就是开出来为十五，但是十五的话，此时这个时期吧，减去十五，是不是就得到这个时候的 x 这个最小值啊？对，他呢就是二，说明这个最小值呢是二，我们再看 什么情况下他最大呢？你就哎拎着这个点使劲的往右边走，往右边走的时候还要注意一个事项，就是这个折痕所在的直线必须让他同时经过 ab 和 ad， 那么我们发现呢，就是沿着经过点 b 这么给他折叠过来，折叠过来的时候构成的这个三银，给这个三银呢，当然是全能的，对吧？此时呢，他其实正好 abapl 啊，他呢就是个正方形， 解读一下，为什么是正方形？这种情况呢？就是 x 最大值了，这角 a 是九十度，折到这边来了，当然这个角也就是九十度，他是由前面这个直角折过来的。还有呢，本身这边这个角呢， abapr， 他就是原来举行的那角，举行的四个角都是九十度 啊，那再来看这样的话，这个四边形，他就有三个角是直角的，有三个角是直角的。四边呢，首先他是一个矩形，再看他里面的对应关系，挖饱了啊， apb， 他是由 ab 折叠过来的，所以他俩相等， 你看都是八百，有一组里面相等了，有一组里面相等的矩形，就是吗？对，就是正方形，所以呢，此时他就是一个正方形，他呢就是最大为八，不能再大了，你要是拎着这个纸呢，这个点一使劲往这边再拽的话的话，那可能就拽成这个样子了。 折痕，你跑到这来了，折痕跑到这里来，大家想一想，他就不满足这个条件了，所以呢，满足这个条件的话，就是这个折痕呢。啊，往下滑动的时候，经过了点臂就结束了，就是他的一种极端值的情况。好，那这样的话，我们知道他的一个取值范围了，就要大于等于二，小于等于八。 第二，搞明白同学，欢迎回复个二。第三，如图，将菱形纸片 apc 折叠。菱形的特点就是四条边都相等，对角线互相垂直，互相平分，每条对角线呢，都会平分一组对角，菱形呢，它是轴对称图形，对吧？直接性的呢？信手念来是点为恰好落在菱形的对角线焦点欧处，你看，出现了对角线了，对角线呢，互相垂直， 互相平分，然后折痕呢，为 ef， 那你看看这个折痕，他跟 ov 是不是垂直的一个关系啊？这有折叠就可以得出来啊，你比如说这个角折叠后呢，就跑到这里来了，就这个角了，那么这两个角呢，肯定相等啊，而且这两个角又拼成了一个平角，对吧？他俩又相等，又拼成了平角，都是平角的一半呗，平角的一半，当然也就是九十度。 同时呢，这一段跟这段呢，还有相等他的折叠前后的同一段。大家想一想，这一段折叠之后是不是跑到这里来了啊？这个焦点呢，我记住这点吧， aj 呢，等于 oj， 还有你像这个角等于这个角是折叠前后同一角。再比如，这个角跟这个角呢，是折叠前后的同一个角， 那这段呢，跟这段相等，这段跟这段相等，因为折叠前后的同一条线段。如果菱形的边长呢？为二，菱形的边长是二的话，角 a 是一百二十度，哎，一百二十度呢，被 ac 一分为二，各占一半，分成了两个六十度的角吧，六十度的角，你看这种菱形呢，其实就是有两个等面散音拼起来的。 哪两个等边三角形呢啊？就三角形 abc， 你看他首先是个等腰三角形，他又有一个六十度的角，为什么要等腰三角形呢？因为这段跟这段菱形的四条边都相等，这两条边肯定相等，对吧？再加上有个六十度的角啊，有一个角的，六十度的角的等腰三形，就是等边三形。同样 acd 这个也是个等边三角形， 那这个 ac 就是他的边长了，跟边长一样啊，因为等待三也就等于二，他是二的话， oaoc 就都是一，都是一的话，那只是 ag 有折叠呢，他被屏蔽了吗？ 就是 oa 被评分了啊，分出来了， oj 跟 aj 相等，都是 oa 的一半， oa 呢，是 ac 的一半，是因此也就是二分之一。 让人求 ef 的场， ef 就是折痕，折痕的话，你看这个 ej 和 fj 是不是用同样的方法都能求出来了啊？因为呢， aj 他是二分之一，这边有六十度的角， 有六十度的角，直角在于两个锐角，呼吁说明这边就有三十度，三十度的角所对的直角边是斜边的一半，因此呢，你可以求得 a e 就是 a g 的二倍， a g 的是二分之一，他的二倍就是一， 然后再有固定的就可以把 ez 求出来了吧啊，当然你知道那个三十度，六十度九十度的三角板的三倍比例关系的话，较长的指甲边，它是较短指甲边的根，三倍的话就可以秒出答案。一只呢就是二分之根号三，同样 f g 呢，跟它一样也是二分之根号三，让我们求 ef 的长不就是它的两倍了吗，也就等于根号三。 好，下面说一下步骤，因为呢，纸片 abcd 是菱形，根据菱形的性质的话， ac 呢，它就垂直于 bd， 然后我并且呢 ac 大家可以平分角 bad， 因为角 a 呢，也就是角 bad 啊，那个呢是一百二十度，所以这样的话就分出来了角 bac 他等于六十度啊，他跟角 dac 相等，都是一百二十度，一半是六十度，但是六十度的话，所以这边这个角，包括这边这个角 abo 啊，都是三十度的角啊，我们解释一下啊，由折叠 这两个角都是九十度，就是我们刚才说的 aje 和 oja 是折叠前后的同一个角，他俩相等都是拼角的一半，或者呢，你就把折叠的这个怎么折叠的你再说一遍。因为点 a 沿着 ef 折叠与点 o 重合，所以呢，可以得到这样的九十度的角，或者得到垂直，同时呢，还有就是 aj， 他呢，等于 oj， 当然都等于二分之一 oa。 另外呢，我们就可以得出来三十度的角了，角 abj 他等于三十度，跟角 abo 啊，也是三十度，因为呢， abo 这个三也行，他是个直角三也行，原因呢，就是 ac 他跟 bd 垂直对角，线呢，互相垂直，互相平分，直角三角互与，所以呢，他都是三十度的角，三十度的角的话，说明 ao 他就等于二分之一 ab 用这个也可以用正出来， abc 是等面三也可以， ab 呢，约是二，所以呢，他的二分之一就是一， 他的一的话， aj 啊，又等于 oj， 等于 oa 的二分之一， oa 是一的话，所以 aj 就是二分之一， aj 是二分之一的话，所以这个时候 ej， 他的就等于二分之根号三。 当然你也可以写一写有固固定理啊，他这个他是得到这个 a， 一是一，他是二分之一，然后再用固固定理去算，也可以，我们熟悉的那比例关系的话，就是口算，秒出答案了张。 那么同样的那个 fj 啊，你也可以来个同理，其实呢，你正一下那个这点是终点是 e f， 终点也可以整个的推行的头都是轴对人同行，因为临行的它与轴对人同行，那么 fz 呢，我们来个同理吧，就是二分之根号三，所以这个折痕 e f 就是 二者加到一起呗，也就是二分之根号三，再加二分之根号三。好，咱们归答一下这个力三，这里的一挖，哎，我们把里面该挖的都挖出来，并不是挖完了之后全部用的上。你像我们挖的这个 a 等于 oe， 这个咱就没用的着他， af 等于 of 也没用的到。还有就是这两个角呢，都是九十度，这也是挖出来的。 另外挖完了之后还要结合菱形的性质，把它套入到菱形的性质当中去。菱形的四条变态箱的对角线互相垂直，互相平分，每条对角线的平分一组对角。你看这里互相垂直的话，我们就可以用到三十度的角度，对角边是斜边的一半， 再往后的一些计算呀，三十度的角所在的指甲边斜边的一半，勾股定理的计算啊，或者用直角三角板的那个三边比例关系啊，含三十度角那个是一比刚好三比二，较长的指甲边是较短直角边的跟三倍。这些呢，都属于算的这个步骤啊，一挖二套三算，你都掌握好了吧。好，立三搞明白同学，欢迎敲个三 好，再来挖个立。四双珠都在正方形 abcd 中，正方形的特点呢，就是四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直，互相平分，每条对角线都会平分一对直角啊，现在给了 ab 呢，等于六，说明他的四条边呢都是六。 然后呢点一在边 cd 上写 cd 等于三倍的 dccd， 它是六，六呢，它是三倍的 de， 三倍的 dd 等于六，两边除以三就可以得到。第一是几对？第一就是二呗，第一是二的话，请问 ce 是不是就求成了了？由六减去二，它也就是四。 将三角形 ade 沿 a 对折至三角形 afe。 好，那 ade 在这里， afe 在这里开始挖了啊，一挖一麻袋啊。 ad 他等于谁啊？等于 af 呀，因为这是折叠前后的同一条线段，说明 af 就是六。再比如说他是二，折到哪里去了？折到 fe 的地方来了，说明 fe 呢，也是二。好，这是边这块的，再看脚，尤其 要关注你像这种直角呀，角地才九度，折到哪里去了？折到了点 f 处了，点 f 是这个角， afe 就是九十度的角，还有这个角跟这个角啊，这是折叠前后的同一个角相等，相等的话，我就给他上个餐吧，我就给他计为二法。那么这样的话，看上去一看这两个二发角就知道是同一个角了 啊，或者说他俩就相等的。但是比如说这边这个角，我机会背他，折到这边来呢，哎，我也机会背他，为什么呢？因为这两个角相等，都是同一个角，你看到两个背的角呢，就是他俩相等的 好，这是脚呀，边都挖完了，挖完了再放的呀。别着急，继续读题。延长 ef 交边必须点缀延长的话呢，这个角是九十度，那他的零部角这边呢？当然也就是九十度的角角 afg 啊，为九十度， 连接 ajcf 则有下列结论，一共给了五个，其中正确的有谁？第一，我们来看一下三角形， abj 全能三人 afgabj 那个三角形，就这个指导三角形吧，角度它是九十度， af 就能是这边这个三眼形，看看，这也差不多，他俩呢，都是直角三，有一条斜边，公共的斜边啊，是相等的，一个直角，一条斜边，还有谁呢？这个是六，那 af 呢？一看也是六啊，斜边直角边，分别相等的两个直角三眼形圈等，这不就是 ajl 了吗？看出来了吧， 说明这个结论是 ok 的啦，是正确的了啊，问正确的结论有谁？我们把一填上来，我们看第二个，说这个 bj 等于 cj， 我们来看一下 bj 啊，在这里， cj 呢，在这里啊，那说明这点是终点，我们来给验证一下。首先呢， bj 他其实是等于 fj 的，因为呢，全等三角形，他的对应边是相等的。 既然 bj 等于 fj 了，现在我们看看 bj 跟 cj 的问题，可以间接的。再看看 cj 跟 fj 呢，他在同一个三角形里边有两个思考的道路，一个呢，既然在同一个三形当中，如果能正出来他里面呢，等角对等边，比如说能正出来这边这个角跟这边这个角相等的话，也可以。 哎，那你就上看下看，左看右看，挖不出来什么东西的话，再换思路。那如果能把它的长度求出来也可以啊啊，这段长度折到这里来了，不妨的就，反正 bg 跟 f 这是铁定的相等，这两个相等呢，可以设为一个位置数，比如就设它为 x 型吧。 这样的话呢，我们就构造一个方程，关于 x 的啊，找等量关系很重要了。那这里面的等量关系我们看一下，由于 b c， 哎，它呢是六对吧？边长是六，这是 x 的话， c， g 就是六，减去 x 能用 x 代号式呢，给它攻占下来的，能占领下来的这些线段长度都给它攻下来，再看看还有谁 这段长度是 x 加二吧。为什么选这段长度呢？因为呢，我们可以看到，你要是找等量关系构造关于 x 的方程，在这样的正方形举行当中的时候，可以看看直角三角形，你看这个直角三角形啊，可以构造一个勾股方程， 两条直角边的平方高等于斜边的平方，它的斜边是 x 加二，一条直角边是四，另外一条直角边六减 x。 哎，这不就可以了吗？就按照这个思路，我们把它的方程写出来，四的平方，也就是四一的平方加上六减去 x 括起来的平方，就等于斜边 x 加二括起来的平方，剩下的就是减方程呀。 那么你可以自己去剪一剪啊，老师剪出来了，挨个等于三，你验证验证，看老师剪对了没有。但是三的话，由于这段呢是六，那这是三，剩下的这一段当然也就是三了， 那不就迎刃而解了吗？两个都相等，都是三了呗，说明了第二个也 ok， 也是正确的。我们采用的是一个勾股方程的办法， 这就是算的那个步骤，一挖二套三算，好好体会体会。我们再看第三个 aj 呢，平行 cf 看上去呢，也差不多，也很证明他俩平行的话就得挖掘脚了，能挖出来内侧脚箱的呀，同一脚箱的和同行的脚互补都可以，对吧？好，那由前边的 这些呢，都要结合到一起来看的话，第二个咱刚才说了，他也是 ok， 也正确，他既然正确的话呢，你会发现，这段呢，跟这段跟这段呢，这三段都相等了呗。 x， 我们求的是三，这段是三，这段是三，这段是三。哎，你可以看一看，这个三也行，里面呢，就有等边对等角了，这边这个角啊，跟这边这个角他就是相等的， 咱俩相等的同时呢，都跟这边这个打压三线的顶角有关系。这边这个顶角呀，哎，我给他上个餐吧，包括这边的这个角，这个角也跟这边的这个角有关系，我们找到内搓角呢，我相信你看出来就找这样一个内搓角就可以了。 好，那既然都跟这边这个角有关系的话，我就系这个角呢，为 c 他好。请问这个角是怎么来表示他是 c， 他的话呢？那么这个角就可以表示成内角和一百八十度去掉 c， 他剩下的就是两个底角的和，而这两个底角呢，又相等，对吧？ 所以呢，就将这个一百八十度减去 ct 除以二，你再看一看这边的这个角跟这边这个角角 ajf， 这个角跟这边这个角呢，他俩相等，都等于这个平角去掉这个 ct 角 啊，出一二也得出一二，因为呢，平角去掉 c 的角呢，就是这个角，正好的是这个角和这个角的两倍的那个， 那因此呢，这个也是一百八十度减去 ct 除以二好了，那这样来看的话，刚才说的这个内错角就相等了，都是一百八度减 c 的除以二，都是相同的，但是当然相当，当然你也可以看一看这个同位角也一样啊， f 造型的同位角，看到了吧，红色的这个 f 形也都是一百八度减 c 的除以二， 因此的话，他确实是平行的。你看这个图里面蕴含着好多的结论呀，绝对是一道高思维含量的，高营养的中考真题。里面呢，真的充满了探索的乐趣，充满了一个 又一个的意外的发现，充满了挖宝藏的这种喜悦。另外呢，挖的时候还灵活，这个地方挖不到宝的时候呢，赶快换一个地方对不对？不能在一棵树上吊死了，换一棵树要灵活。 好。第三个，正确打开。第四个，三角形 ejc 的面积跟三型 afe 的面积相等，他说这个就好办了，咱们给他求出来就行了。 三角形 ejc 的面积，他反正是一个直角三也行。这个底呢？刚才说了三，这不能是四，对不对 啊？那就底乘以高除以二，三四一十二，除以二是六，那再看三角形 afe 的面积， 该算的就要算， afe 就是由 ade 折过来的，这个是六，这个呢，是二，他是个直角三，你看这边，这个九十度折到这里来了， afe 是一个九十度的角，这不就用上了吗？我们挖的这个没有白挖呀。啊，那底是六，高，是啊，底是二，高是六，二六一十二，然后呢， 底乘以高除以二，那除以二还就正好是六，你看他两边都是六，这就说明他也是正确的。好，第四个结论为正确的。再看第五个角， ajb 加角 ad 等于一百四十五度，这两个角相距的挺远的呀。哎，那他俩呢，也得有个桥梁，他的桥梁我们就发现了，还可以跟这个三角形 cej 这个直角三角形给他建立联系。三角形 cej 啊，就是一个牵线搭桥的，我们就继续用这个三角形当中的 c， 他那个参数，其中这个角 ajb， 他就是一百八十度，减去 c， 他除以二。 好，我们就把 ct 呢引到这里面来就行了。呃，最后呢，我们看看能不能把 ct 这个消餐给它消掉啊？就可以。然后加上角 aed 角， ad 呢，就是这边的 beat， 对吧？这个 beat 呢，也要跟这边的 ct 建立联系的话，这是二 beat， 对不对？因为折叠呢，有折叠，这个 beat， 角呢，折叠到 ae f 这个地方呢，他也是贝塔。那么要想跟 c 的建立联系的话， c 的那个角呢，就在这个三角形当中，他是一个锐角，直角三角形，两个锐角互于，所以呢，我们可以把这边这个角表示出来，就是九十度减去 ca， 那么这个角呢，就由这个平角去掉九十度减 c， 他也就是一百八十度 减去括号里，他去掉括号呢，就是每下的编号硬块前面是一个减号，就减去九十度，再加上 c， 他，这样的话，就得到的是二背他了。一百八十度减去，他就是二背他除以二呗， 这个呢，就是 a e d 这一个贝塔，好，这是 a e d 那个角，这是 ajb 那个角，把它俩加不加薄，看看能加出来什么奇迹。好，那于是二分之分母呢？是同分母的，把分子给它加一下，一百八十度减 c， 再加上这个，一合并就 九十度，那就是加上九十度，加上 c 他，你看这个参数啊，多伟大啊，这边减 c 的这位加 c 的不就真的抵消了吗？然后他俩加起来呢，二百七十度，二百七十度除以二呢，正好就是一百四十五度吗？ no， 不是一百四十五，而是一百三十五度，所以他说是一百四十五度，是不是就错了呀？哎，这第五个他计算错了。历史里面呢，还夹杂了一些重要的技巧啊，除了一挖二套三算之外呢，在算的时候，里面的技巧就是学会设餐。 你像我射的那个 c， 他为什么要射三呢？因为这道题啊，综合性太强了，里面涉及到的角啊，你数一数吧，有多少个？太多了对不对，线段也那么多，这么多，怎么办呢？我们太多的量，大脑那点可怜的内存，经常就不够用的了，就转不动了，就会卡壳呀，怎么办？摄餐，摄餐，他可以起到使量的个数，油多给他化为少。 你像原来好几个角的都用 c， 他的代号是一表示，不就串联到一起了吗？啊，里面的位置亮了，就一个 c 了，就变成一个亮了，这边非他一样是一样道理，我就标上来呢，再涂上，做上这种直观的标记，一眼放眼看过去，一看就知道他们是相等的，就使得里面的量的个数大大的降低了， 那也就不至于大脑袋去发热烧脑壳了呀。另外呢，我们回归到这堂课的主题上来，一挖二套三算，这里呢，套入了特殊的四边形，正方形的性质，四个角都是直角，这是因为这边四个角都是直角，你像四一，这，这是个直角，三角形才可以构造出来直角三形当中的勾股方程啊，四田边的相等才可以用上呀。 好，这个立四搞明白同学，欢迎敲个四。下面的总结一下特殊四边形折叠技巧。特殊四边形呢，你像平行四边形，例行举行正方形，也就是这些那三个步骤，一挖二套三算，挖呢挖角度，挖长度，套呢套性质，套定理，勾股定理啊， 然后算呢，要算角度，算长度，他让我们求的那些东西就要咔咔咔的，哎，给他计算出来，同时呢要记得给他运用相关的数据。哎，数学思想，你像社餐思想呀，然后当我们把餐水需要求出来的时候，还可以构造未知数的方程。思想呀， 好，那这里的射餐呢？不需要把参数求出来的时候，你会发现经常会出现参数啊，他会自我牺牲，光荣的牺牲抵消掉 你。像在这个地方，我们一直在担心这里的 cc 的最后的代入是里面还出现，怎么办啊？还出现的话，说明他也不对，对吧？他要还出现的话，就说明与 cc 大小有关系， cc 变大的时候他就变大， cc 变小的时候就变小， 那我们发现了菜这个 c 的参数呢？牺牲了，最后算是呢，是一百三十五度啊，他这个一百四十五度，那他不就错了吗？好，这些思想呢，也得把它融入到咱们自己的脑海里面，成为咱自己的思想。好了，这个专题就为大家讲解的同学们，再见。

我们在择得平行线的基础上，再探究所得到的这个四边形四菱形。为什么呢？ 根据折叠和两直线平行内错角相等，我们知道角一、角二、角三、角四这四个角相等， 因此角一等于角三。左边的折痕和上边的这段线段相等， 同样下面的线段和右边的折痕也 相等。由折叠的性质得到啊，右边的折痕和上面的线段相等， 因此这个四边形的四条边都相等。根据啊，四边相等的四边形是菱形来判定啊， 折折的这个四边形就是一个菱形啊，你明白了吗？

大家好，我是武汉沙发分析小张，最近有很多同行问我这种欧式床头折叠菱形是如何折叠的，现在我出一个详细的教程， 希望大家点赞关注收藏一下，以免以后找不到我了。接下来看一下小张师傅是如何操作的，注意他的手法，谢谢大家。

有同学后台私信跟我说，听了老师的视频，奥斯坦数等幺三型的存在性问题，那是一做一个准，但是对于更难的奥斯坦数中菱形的存在性问题又不会了。今天老师就帮你安排好他，用我们曾经讲过的两元一线方法 来 q 他。好，首先大家想一下菱形最核心的性质是什么？是不是他的一个四角边相等？那如果我把菱形的一个对角线连接起来，那是不是就相当于把一个菱形分成了两个等幺三角形呢？ 那反过来想，如果我四个点想形成一个菱形，我可不可以让其中三个点先形成一个等腰三角形，再沿着等腰在你的底边把它翻折过去，是不是就成菱形呢？那因此我们可以 总结一下四个点形成的四边形成菱形的这样的一个做题步骤，我们可以做一个切割，首先从中挑三个点，用曾经教过的两元一线的方法把它做成等幺三角形， 然后再确定第四个点。当然确定第四个点的话，我们今天教大家一招叫平移大法。好，我们来看一下一个具体的试题， 说抛物线与 x 轴交于 a， b 两点交 y 轴与点 c， e。 阐述 y 的 x 加三的图像交坐标轴于 a， d 两点意为直线 a 地上一点。注意细节是直线 过亿做 zf 平垂直于 x 手交抛物线与点 f。 第一位，求解一事我们这里不说。第二位，在平面直角触拍器内存在点击，使得 gdc 为顶点的四边形为菱形。请直接写出点击的坐标，是不是在跟你开玩笑，怎么直接写对不对？ 好，那我们按照我们刚才的思路，你四个点成菱形，我要从中挑三个点，先让他成为等腰三角形。那问题是挑哪三个点呢？第一个注意事项，我肯定是挑 d、 c、 e， 为什么呢？因为 d 点跟 c 点是确定的，我肯定要有他 g 点跟 e 点相比呢？ g 点就是平面内的普通的一个点，但是 e 点跟特殊，因为它在直线 a、 d 上， a、 d 是有潜意识的，所以我们可以拆成两步，第一步，先让 e、 d、 c 乘什么等腰，然后再根据我们刚才讲的，等幺三角形底边翻折过去成为菱形， 然后我们再确定什么祭点的位置，然后得到什么菱形好，那么这样的话，我们的核心求解步骤不就是类似于前两天刚上的，用两元一线的方法动态伸展腰吗？所以按部就班， e 点的坐标很容易写出来，是零逗号三，那么 c 点坐标呢？是零逗号负一，那我们用两元性的方法。那么第一种情况，成等摇的话，我们讨论 dc 等于 d， 写着这 dc 等于 d， e， dc 长度是四，以 d 为圆心，四为半径，与直线 ad 的焦点机为一。举个例子，这个是一一一一的坐标。怎么求呢？大家注意了，根据 od 和 oy 的长度，我们发现三角形 aod 是一个等腰直角三角形，这里是有四十五度的，这个 不要忘记，我可以做一个垂线，那么你的第一的长度是四，那这段长度应该是多少？二倍根号二，这个长度也是二倍根号二，所以我就可以瞬间写出一一的坐标。首先我们看一下横坐标，他在 y 左的左侧，所以是副的二倍根号二重坐标呢，跟地相比的话，实际上是相当于往下平移了二倍根号二的参单位长度，那就是三减二倍根号二。好，有了一点坐标之后，我们看怎么去写记呢？ 此时我们的 dc 等于 d、 e 一，那么翻折过来，实际上我们的 g 点，比如说 g 应该在这，并且它 e 一跟 g 一是跟 dc 平移的，就是我们刚才说的平移，对吧？那么这样的话，你的 e g 一就等于 dc， 这是四，那相当于记点是一一啊，在竖直方向往下平移四个单位，那就减四，所以得到一个记一，很多不变负的二倍的根号二 减四，那就是负一，减二倍更好啊。那大家看看这个操作，是不是我们先利用它三点成等幺，然后用平易的方法得到了这样的一个祭点。好， 那我们刚才讲了，除了在左下角，右上角是不是还有一个，这是 e 二，同样这个是四十五度啊，换动颜色的笔，我们可以做一个垂线过来，这个是四，这个是二倍根号二，这个是二倍根号二，所以我的 e 二的坐标 横坐标呢是二倍根号二中坐标，相当于在 d 的基础上往上平移二倍根号二个单位，那就是 是三加二倍更好啊。接下来怎么去确定记点位置呢？我们看一下，此时是第 c 等于第一啊，所以记里应该在这也是一样，连接起来，实际上相当于一二往下平移四个两位，因为是菱形吗？长度相等， 所以很多不变二倍根号二中路标往下平移四个单位，减四，那就是负一，再加上一个二倍根号啊，那这就是第一种情况， dc 等于 d， e 好， 左右不好写，我们可以写在上面。那第二种情况，我刚才是以地点为圆心，对不对？那我现在可以以 c 点为圆心，那就是 cd 等于这样的一个 ce 啊，我们在右侧画图，这个是零三，这个是零负一。 cd 等于 ce 的话，以 c 为圆心， cd 长度为，占了一个半径画圆。那么与直线 ad 的焦点只能有一个啊，就是这个点，这个就是一点。为什么是这个呢？因为大家想想看， cd 等于 ce 这个角是四十五度， 那此时不就形成了等要至少三号形吗？那这个长度是四，这个长度也是四，所以直接得到了，我们把它叫做一三， 他的坐标应该是在 c 的基础上啊，往左平移四个单位，上路就是负四，逗号负一。 好，那么此时我们的一个对应的记点在哪？记点应该在上面，这个是记，把它平移，相当于往上什么平移四个单位， 那就是负四负一，再加四逗号三， ok， 这就是第三个记点。好，两元做完之后的话，我们将来做的一线，就是以 cd 的垂直平衡线与这样的一个直线 ad 的焦点，我们换一种颜色的笔，换一个紫色的， 那么第一点坐标是零逗号三， c 点坐标是零逗号负一，那么 cd 的终点的坐标应该是零逗号一，比如说在这， 那此时我们可以得到这是一个 e 点，然后呢，这个是相等的，那么 e 点的坐标啊，这个时候是 e、 d 等于 ec 一点的坐标很好求，因为我们可以先把他是什么坐标求出来，先把他的一个中文标求出来，中文标是一带到解疑室里面，对吧？ x 加三等于一， x 等于多少？负二， 那此时的 g 点在哪呢？大家看一下，此时是 e， d 等于 e c， 那么对称过来的话，实际上 g 点跟 e 点是关于 c 电对肾的，所以 g 四的坐标是多少？关于 y 轴对称， 横坐标后尾向往中路标不动，那么这样的话四个坐标就出来了。就大家看一下对于二次函数中啊动点成菱形的题目，实际上他就是 动点乘等二三二型，你可以做一个拆解，就是它四个点乘零行，把它拆成三个点乘等二三二行，然后再用平行的方法确定乘零行的那个点的位置就行。 那当然这个里面有一个细节要注意到位，就是你四个点挑三个点的时候一定要注意，挑点就不要比较已知的点啊，什么未知数越多的这种点不要去挑，那么这样的题目你就可以搞定了。

我们继续来分享赤峰的中考数学选择第十四题 读题。把一个边长为五的菱形 a、 b、 c、 d 沿着 d、 e 折叠啊。在菱形里边的一个折叠问题，使点 c 与 a、 b 的延长线上的 q 重合， d、 e 交 b， c 于点 f 交 a， b 延长线于点 e， d q 交 b， c 于点 p， d、 m 垂直于 a， b 于点 m。 给出了 a、 m 的长度等于四。问了一个多结论的问题。好，我们来分析一下背景图形和已知条件。第一，它给出了是 背景图形，是菱形，那么由菱形我们可以知道它的对边是什么？平行的，四边是相等的，对角线是什么？ 相互垂直且什么平分的，对吧？第二个，这个题里边是在菱形的背 背景图下，干什么要折叠？那么有了折叠，我们应知道这里边它是全等变换呀， 对吧？你比方说我们来到这个图里边，如果是折叠的话，说明这两个角是相等的，角 c 和角 f、 q、 d 它是相等的。 好，我们再看边 d、 c 边和 d q 边是相等的，那么 d、 c 边是菱形的边长。刚才给了数据，它是五，那么说 d q 也是五， f、 c 和 f q 是相等的，对吧？折叠反映的是什么？全等变化呀。 好，我们这个两个条件，把这个折叠和菱形的背景条件结合一下，我们看看还会得出什么样的结论。你比方说我们围绕角 c， 菱形的对角是什么相等的， 那么菱形的对边又是什么呀？平行的呀？那么你看这个角角 c 的地方是不可以转到这个角 c、 b、 q 呀，对吧？ 好，这是我们结合背景图形转了一部分角。好，继续。第三个，它这里边呀，把 d c 折到了 d q 那个 这个 q 点呢？又是在这个 a b 延长线上，那么和背景图形这个 d a d a 是不等于五啊， d a 又等于 d q， 说明这里边有什么等腰三角形 d a q 那么等腰三角形 d a q 你会想到什么呀？是不是三线的问题，恰好题里边给你做了什么垂直呀， 那么这里边会得到得到什么？比如说 a m 等于 q m， 那 a m 的数据是不给你了，说明 它等于四呀。还有平分这个顶角，你比方说这个 a d m 和 q d m 哎，这两个角怎么样？顶角是相等的 哎，其实说说白了就是什么角分线嘛。第四，再来观察，我们继续和折叠刚才和这个背景图形这儿啊，继续往下结合，既然 d a 等于 d q， 那么说明这个角 d q a 这里边是不是也是和角 a 相等的呀？那你再观察这里边有多条角分线，你比如说 d e 哎。第一是折痕，也是角分线，你比如说 q d， 你再比勾刚才说我们说的三线 d m 是多条什么 角分线，那么角分线的性质是不是可以应用啊？ 那么在我我们再和背景图形这个平行进行一次结合观察， d e 是平行线间的一组，是一条什么角分线？那么由它是不可以想到平行角分线 等腰三角形哎，说白了就是什么知二求一的这样的问题啊。你比方说由 d c 平行 a e， 那么角 c d e 和角 e 是不相等的，那么观察 q d e 这个三角形 是不是可以得到等腰三角形 q d e 啊，进而得到 q d 等于 q e 啊， 说明 q e 的长是不是也是也等于五呀？好嘞，那么有了这些准备以后，我们看一看它后面的这个结论要问到哪些 好。第一问说 d q 等于 e q， 那么在我们刚才的这个准备条件里边，已经推得了知二求一的问题。 第二个问你 b q 等不等于三？好，那么在这个第三个里边，我们知道 q m 的长度是等于四的，你要想求这个 b q， 核心是不是在求这个 m b 的长度呀？ 哎，所以第二问里边其实问的什么？可以把问题转移一下。问 m b 等于多少？那么 a b 的长度是菱形的边，那么这 等于四的话，说明 m b 是不等于一啊，那么等于一以后你看四减一 b q 是不是等于三呀？好，第二个也对。第三个问 b p 的长度等于多少？ 那我们再观察这个图形， p b q 这个三角形和 p d c 这个三角形是不是一个叉形的相似 哎，它是不是一个叉响，它也可以看成什么叠形相似啊，因为这里边上下是两个什么等腰三角形的相似问。 那么如果我想解 p b 啊，想解这个 p b 的长度，我是不可以利用这个相似去处理问题啊？那么观察这个相似，可不可以确定它的相似比呢？ 相似比是不是 b q 比上 d c 啊？正好等于什么三比五。那么说明什么？要求的 b p 它是不是等于 总的份数是八份，他要的是什么三份，所以八分之三倍的 b c 啊。那么 b c 是菱形的边长代数等于八分之十五哎，说明我们第三个结论也对。 第四个哎，问 b d 哎， b d 和 f q 它俩平行嘛？那么这里边儿我们用假设的方法，哎，假设它什么 平行，那么平行以后由平行是不可以得相似，那么是不可以得到这样的两个三角形相似。那好，我们写出来三角形 p d b 相似于三角形 p q f， 那么相似了以后是不是会得到一个对应边乘比例呢？ 你比方说 p d 比上 p q 是不等于 p b 等于 p f 呀？那你观察这个 p d 比比 p q， p d 比 p q。 是不是在上面我们推相似的时候，是这个三角形形的相似比啊？也就是说它的比值等于什么？ 五比三呀。那我们再来观察 p b 和 p f， p b 比上 p f， 因为这个 p f 很明显它是小于 p c 的， 所以他的这个比值要怎么样？要大于三分之五的。所以这不就跟你的假设什么呀矛盾了吗？ 是不是？那么说明第四个选项就是什么呀？错误的哎。以上就是哎赤峰的这个选择，第十四题也是他的这个亚轴题的一个分析。