互斥事件条件概率全概率公式

这个视频我再来讲讲怎么计算概率。不过在讲计算前，咱先弄清楚两个概念，护士时间和对立时间。 先来看看啥是互斥。比如这个人是小孩，和这个人是老人，不可能同时发生，是互斥的。治投资时，正面朝上是一和，正面朝上是六也是互斥。 再比如，从红黄蓝三个球中抽一个球，那抽到红球和抽到篮球仍是互吃的。也就是说，互吃事件是不可能同时发生的，但彼此互吃的可以很多。像这种不可能同时发生的两个事件，就叫做互质事件，也叫做互不相容事件。再来看看侠士对立。 比如这个人是男的和不是男的就是对立的。是投资时正面朝上是一和，不是一也是对立的。再比如，从红黄蓝三个球中抽一个球， 那抽到红球和抽不到红球也是对立的。也就是说，对立事件就是有我没你，有你没我，咱俩之间必须有一个。像这样不能同时发生，且必有一个发生的两个事件，就互为对立事件。 其中事件 a 的对立事件记作 a 八。了解了这两个概念，咱进一步来判断一下。比如，从装有两个子球和两个绿球的口袋中任取两个球，那下列选项中哪个是护翅而不对立的两个事件呢？先审题，有题可知，所有的试验结果是两子、一子一律 和两律。再看选项， a 中恰好有一个绿球，就是一紫一绿，这个基本事件和恰有两个绿球是护士事件，但不是对立事件，符合要求。 b 中至少有一个绿球，包括一紫一绿 和两律。而至少有一个子球，包括一子一律和两子，所以他俩不互吃不符合。提议， c 中至少有一个绿球，包括一子一律和两律， 他与都是子球，使对立时间不符合。地中至多有一个绿球，包括一子一律和两子，他与都是绿球，也是对立时间不符合要求。 所以只有 a 是正确答案。弄清楚这俩概念后，咱就可以来计算概率了。如果从红黄蓝三个球中抽一个球，那抽到红球或蓝球的概率是多少呢？这里出现红球的概率显然是三分之一， 篮球的概率也是三分之一，他俩互斥，那出现红或蓝的概率就是他俩的和，算一算得三分之二。看来，如果要算互斥事件的概率， 那你只要把他们各自的概率加起来就行，这就是互斥事件的概率加法公式。而对于对立事件，比如事件 a 和事件 b， 因为他俩对立，要么发生事件 a， 要么发生事件 b， 所以他俩的概率和一定是一。 比如你吃晚饭和不吃晚饭就是对立事件，如果吃晚饭的概率是零点七，那不吃晚饭的概率就是零点三。总结一下，关键有两点，首先，互吃事件是不可能同时发生的，但彼此互吃的可以很多，求概率时，只要把他们各自概率加起来就行。 其次，对立时间就是有你没我，有我没你，咱俩之间必须有一个，求概率时，他俩的概率和就是一。好了，就说这么多，快快刷题去吧！

好，今天给大家分析一下全概率公式定义。 那么全概率公式啊，是概率加法和乘法公式的综合运用，他的本质是将一个复杂事件的概率分解成若干个凉凉互知事件的概率的， 那么把一个复杂事件变成若干个互吃事件相并，这是我们全概率公式的思想。那么全概率公式这个定义我们怎么去理解它呢？我们这样看啊， 我们假设 g a 一 a 二 a 昂成为啊样本空间的一个完全世界， 或者叫样本空间的一个划分，就 a 一 a 二 a 三 a 一直到 n。 那么全概率公式呢？就利用病事件与极事件概率的关系去证明。全概率公式实际上就是利用病事件 与 g 事件的概率关系。从这个图形上看， b 实际上就等于 b 与 a e a r 一直到 a r b 的角，就这个式子啊， b 的角啥意思呢？实际上就是这一块并上这一块， 并上这一块，并上这一块，等等等，并上这一块。那么从概率的角度来讲，第一发生的概率，实际上就这一块发生的概率加上 这一块发生的概率，加上这一块发生的概率一直加加到这块发生的概率，那么 bai 发生的概率，他与 ai 发生的概率又有关系？那他等于谁呢？我说就是 ai 发生的概率 乘以在 ai 发生的前提下并发生的感染， 从而我说 p b， 他就等于理解吗？所以我们就震得了我们全感公声 好，从而我们发现全概率公式主要思想是把一个复杂事件分解成若干个后期事件的病，也就是样本空间的一个合理划分，你明白吗？

这个视频我再来讲讲怎么计算概率。不过再讲计算前，咱先弄清楚两个概念，护士之间和对立时间。 先来看看啥是护翅。比如这个人是小孩，和这个人是老人，不可能同时发生，是护翅的。指头子时，正面朝上是一和，正面朝上是六，也是护翅。再比如，从红、黄、蓝三个球中抽一个球，那抽到红球和抽到篮球仍是护翅的。 也就是说，互之事件是不可能同时发生的，但彼此互之的可以很多。像这种不可能同时发生的两个事件，就叫做互之事件，也叫做互不相容事件。 再来看看侠士对立。比如这个人是男的和不是男的就是对立的。至头子时，正面朝上是一和，不是一，也是对立的。再比如，从红花篮三个球中抽一个球， 那抽到红球和抽不到红球也是对立的。也就是说，对立事件就是有我没你，有你没我，咱俩之间必须有一个。 像这样不能同时发生，且必有一个发生的两个事件，就互为对立事件。其中事件 a 的对立事件既做 a 拔。 了解了这两个概念，咱进一步来判断一下。比如，从装有两个子球和两个绿球的口袋中任取两个球，那下列选项中哪个是护斥而不对立的两个事件呢？先审题，有题意可知，所有的试验结果是两子、 一子一律和两律。再看选项， a 中恰好有一个绿球，就是一子一律。这个基本事件和恰有两个绿球是护士事件，但不是对立事件，符合要求。 b 周至少有一个绿球，包括一子一律和 两律。而至少有一个子球，包括一子一律和两子，所以他俩不护持，不符合题意。 c 中至少有一个绿球，包括一子一律和两律，他与都是子球，使对立时间不符合。 地中至多有一个绿球，包括一子一绿和两子，他与都是绿球，也是对绿世界不符合要求，所以只有 a 是正确答案。 弄清楚这俩概念后，咱就可以来计算概率了。如果从红黄蓝三个球中抽一个球，那抽到红球或篮球的概率是多少呢？这里出现红球的概率显然是三分之一，篮球的概率也是三分之一，他俩互斥， 那出现红或蓝的概率就是他俩的核算一算得三分之二。看来，如果要算护士事件的概率， 那你只要把他们各自的概率加起来就行，这就是护持事件的概率加法公式。而对于对立事件，比如事件 a 和事件 b， 因为他俩对立，要么发生事件 a， 要么发生事件 b， 所以他俩的概率和一定是一。 比如你吃完饭和不吃晚饭就是对立事件，如果吃完饭的概率是零点七，那不吃晚饭的概率就是零点三。总结一下，关键有两点，首先，护士事件是不可能同时发生的，但彼此护士的可以很多，求概率时，只要把他们各自概率加起来就行。 其次，对立事件就是有你没我，有我没你，咱俩之间必须有一个求概率时，他俩的概率和就是一。好了，就说这么多，快快刷题去吧！

这个视频我再来讲讲怎么计算概率。不过再讲计算前，咱先弄清楚两个概念护持时间和对立时间。 先来看看啥是护斥。比如这个人是小孩和这个人是老人，不可能同时发生，是护斥的。指头子时，正面朝上是一和正面朝上是六，也是护斥。 再比如，从红黄蓝三个球中抽一个球，那抽到红球和抽到篮球仍是互斥的。也就是说，互斥事件是不可能同时发生的，但彼此互斥的可以很多。 像这种不可能同时发生的两个事件，就叫做互之事件，也叫做互不相容事件。再来看看啥是对立。比如这个人是男的和不是男的，就是对立的。指头子时，正面朝上是一和不是一，也是对立的。再比如，从红花篮三个球中抽一个球， 那抽到红球和抽不到红球也是对立的。也就是说，对立事件就是有我没你，有你没我，咱俩之间必须有一个。像这样不能同时发生，且必有一个发生的两个事件，就互为对立事件。其中事件 a 的对立事件记做 a 拔。 了解了这两个概念，咱进一步来判断一下。比如，从装有两个紫球和两个绿球的口袋中任取两个球。那下列选项中哪个是护斥而不对立的两个事件呢？ 先审题。由题可知，所有的试验结果是两子、一子一律和两律。 再看选项。 a 中恰好有一个绿球，就是一子一律。这个基本事件和恰有两个绿球是护齿事件，但不是对立事件，符合要求。 b 中至少有一个绿球，包括一子一律和 两律，而至少有一个子球，包括一子一律和两子，所以他俩不护持不符合。题。一 c 中至少有一个绿球，包括一子一律和两律，他与都是子球，使对立时间不符合。 地中至多有一个绿球，包括一子一律和两子，他与都是绿球，也是对立事件，不符合要求。所以只有 a 是正确答案。 弄清楚这俩概念后，咱就可以来计算概率了。如果从红、黄蓝三个球中抽一个球，那抽到红球或篮球的概率是多少呢？这里出现红球的概率显然是三分之一，篮球的概率也是三分之一。他俩互斥， 那出现红或蓝的概率就是他俩的核算一算得三分之二。看来，如果要算护士事件的概率， 那你只要把他们各自的概率加起来就行，这就是互斥事件的概率加法公示。而对于对立事件，比如事件 a 和事件 b， 因为他俩对立，要么发生事件 a， 要么发生事件 b， 所以他俩的概率和一定是一。 比如你吃晚饭和不吃晚饭就是对立事件。如果吃晚饭的概率是零点七，那不吃晚饭的概率就是零点三。 总结一下，关键有两点。首先，互斥事件是不可能同时发生的，但彼此互斥的可以很多。求概率时，只要把他们各自概率加起来就行。 其次，对立事件就是有你没我，有我没你，咱俩之间必须有一个求概率时，他俩的概率和就是一。好了，就说这么多，快快刷题去吧。

各位同学，大家好，我是来自北京师范大学附属实验中学的王沈阳老师。 今天我们将一起进行乘法公式与全概率公式第一课时的学习。在今天的学习开始前，我们先来回顾一下上一讲我们所学习的内容。条件概率， 当事件 a 发生的概率大于零时，已知事件 a 发生的条件下，事件 b 发生的概率称作条件概率，记做 p b、 竖杠 a。 并且由古典概形的相关知识，我们可以推导出条件概率的计算公式。在事件 a 发生的条件下，事件 b 发生的概率等于事件 a 与 b 同时发生的概率。除以事件 a 发生的概率，那么今天我们就将借助条件概率来进一步研究复杂实际情境下的概率求解。 为了表述的方便，我们使用符号 pab 表示事件 a 与 b 同时发生的概率。 那么如果已知事件 a 发生的概率和事件 a 发生的条件下事件 b 发生的概率，我们能不能求出事件 a 与 b 同时发生的概率呢？ 相信同学们可以发现，这三个概率正是我们条件概率计算公式中出现的三个概率。所以自然我们可以通过对条件概率的简单变形得到下面的结论， 事件 a 与 b 同时发生的概率等于事件 a 发生的概率，乘以在事件 a 发生的条件下，事件 b 发生的概率，这称之为概率中的乘法公式。 虽然这仅仅是通过条件概率的计算公式进行简单的变形得来，但他为我们提供了一个新的视角去理解这三个概率之间的联系。 在某些复杂的实际情境中，我们直接去求得两个事件同时发生的概率会遇到困难。 我们可以通过分别求解事件 a 发生的概率与在事件 a 发生的条件下事件 b 发生的概率，从而间接的求得事件 a 与 b 同时发生的概率， 这也是乘法公式的一个主要作用。我们来看一看下面这个实际情境。 某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了，因此决定随机拨号进行尝试。 你能求出该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率吗？ 我们首先先来分析一下这个事件两尝试两次但都拨不对电话号码， 其实意味着第一次尝试失败，且第二次尝试也拨不对电话号码，那么我们自然可以用刚刚所学习的乘法公式来进行解决。 为了做一个比对，我们首先先用排列组合的方式先求解射事件 a 表示第一次没有播对，事件 b 表示第二次没有播对。 那么我们根据排列组合和古典概形的相关知识，我们可以将这个人两次尝试都没有拨对电话号码。这个事件等效的转化为，从十个数字中有序的选取两个数字， 并且没有包含特定数字的概率。那么从十个数字中有序的选取两个数字，自然有 a 十二种情况，而其中不包含特定数字，意味着我们应该要从九 九个数字中有序的选取两个数字，自然应该有 a 九二种情况。那么根据古典概形，我们可以进行计算，得到事件 ab 同时发生的概率为五分之四。 接下来，我们再尝试使用乘法公式进行求解 事件 a 与 b 同时发生的概率，依据乘法公式可以写为，事件 a 发生的概率乘以在事件 a 发生的条件下，事件 b 发生的概率。 事件 a， 也就是此人第一次拨号没有拨对，这是一个异于求解的概率。十个数字中只有一个特 特定数字，所以事件 a 发生的概率等于十分之九。在第一次尝试失败后，这个人会在剩下的九个数字中随机选取一个数字进行尝试。 所以在第一次拨号失败的条件下，第二次拨号失败的概率应该是九分之八。带入数值我们计算也可以得到五分之四这个概率。 那么请同学们想一下，利用乘法公式给我们的思考带来了怎样的便捷呢？ 事实上，乘法公式帮助我们将 a 与 b 这两个事件同时发生的概率拆解为事件 a 发生的概率，以 即在事件 a 发生的条件下，事件 b 发生的概率。从而，我们将一个复杂的问题拆解成了两个相对简单的步骤，间接的求得了最终的结果，它帮助我们简化了我们的思维过程。 好请我们一起来看利益这个相对复杂一些的实际情景，请同学们主动使用乘法公式解决这个问题。 一只某品牌的手机从一米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为零点五。当第一次未碎掉的时候，第二次也未碎掉的概率为零点三。试求这样的手机从 一米高的地方掉落两次后，屏幕仍未碎掉的概率。 那么这样的手机从一米高的地方掉落两次后，屏幕仍未碎掉，显然应该拆解为第一次掉落后未碎，且第二次掉落后屏幕仍未碎掉。这正是我们乘法公式的适用范畴， 所以我们可以设 ai 表示第二次掉落手机屏幕没有碎掉，其中爱可以等于一或二。 所有已知，我们可以得到事件 a 一，也就是第一次掉落后手机屏幕未碎掉的概率是零点五。在第一次 掉落后屏幕未碎掉且第二次掉落后屏幕仍然没有碎掉的概率，根据已知条件应该是零点三。因此，由乘法公式我们可以得到 事件 a 一与 a 二同时发生的概率等于事件 a 一发生的概率乘以在事件 a 一发生的条件下，事件 a 二发生的概率 将已知数值带入并计算。我们可以得到最后的答案是零点一五。 即这样的手机屏幕从一米高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率为零点一五。那么接下来我们应用乘法公式来处理 理一下这一个更加复杂的抽奖问题。例二，在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有五十张奖券，其中共有五张写有中奖字样， 假设抽完的奖券不放回假，抽完之后以再抽，求假中奖，而且以也中奖的概率。第二问，求假没中奖，而且以中奖的概率。 同学们现在能不能自己将这两个浴球的概率进行分解，并且想明白我们的乘法公式应该怎样使用呢？ 我们设事件 a 为假中奖，事件 b 为已中奖， 则事件 a 发生的概率应该是从五十将奖券中抽取五张写有中奖字样的奖券，所以他的概率应该是五十分之五，也就是十分之一。 因为抽完奖券不放回，所以假中奖后，已抽奖时有四十九张奖券，且其中只有四张写有中奖的字样， 所以此时已中奖的概率，也就是在事件 a 发生的条件下，事件 b 发生的概率为四十九分之四 四。那么根据乘法公示可知，假中奖而且以也中奖的概率为事件 a 发生的概率乘以在事件 a 发生的条件下，事件 b 发生的概率， 我们带入数值并计算，得到最后的结果是二百四十五分之二。类似的，我们来处理第二个问题， 甲未中奖且已中奖的概率。那么要在这个问题中使用乘法公式，我们需要先求出甲未中奖的概率。因为甲中奖和甲未中奖互为对立事件， 所以事件 a 发生的概率加上事件 a 的对立事件发生的概率应该等于一，所以我们可以求得假未中奖的概率是十分之九。 还是因为抽完奖券后不放回，所以假中奖后，已抽奖时有四十九张奖券，而且其中还有五张写有中奖字样， 所以此时已中奖的概率，也就是在 a 的对立事件发生的条件下，事件 b 发生的概率应该是四十九分之五。 根据乘法公式，我们可以得到假没中奖，而已中奖的概率 应该是事件 a 的对立事件发生的概率乘以在事件 a 的对立事件发生的条件下，事件 b 发生的概率，我们带入数值并计算，可以得到最后的结果是九十八分之九。 我们可以看到，在这个情境当中，我们都是采用乘法公式，将一个复杂问题的概率拆解成两个相对简单的步骤，从而间接求解。 那么经过这三个情境，相信同学们对于乘法公式的使用有了一定的认识，那么我们接下来尝试进一步的探究。 乘法公式还可以进一步拓展用来求多个事件同时发生的概率。 我们以三个事件同时发生来进行举例，三个事件同时发生的情况下，我们可以将其中两个事件同时发生看作一个新的事件， 这样这个事件与第三个事件同时发生可以使用乘法公式进行分解，而这两个事件的同时发生，它的概率也可以使用乘法公式来间接求解。 我们就将这条思路利用符号语言进行表述。 假设 a 表示事件，其中爱等于一二或三，且事件 a 一发生的概率大于零，事件 a 一与 a a 二同时发生的概率大于零，则事件 a 一、 a 二、 a 三同时发生的概率。我们将事件 a 一与 a 二同时发生看作一个新的事件， 那么他就可以写为世界 a 一与 a 二同时发生的概率乘以在世界 a 一与 a 二同时发生的条件下，世界 a 三发生的概率。 在进一步对于世界 a 一与 a 二同时发生的概率进行变形，我们就可以得到 三个事件同时发生情况下的乘法公式，也就是事件 a 一、 a 二、 a 三同时发生的概率等于事件 a 一发生的概率乘以在 世界 a 一发生的条件下，世界 a 二发生的概率再乘以世界 a 一与 a 二同时发生的条件下，世界 a 三发生的概率。 那么自然我们可以沿用这样的思路去处理更多的事件同时发生的概率也请有兴趣的同学在课下的学习中自行探索。 那么接下来在乘法公式的使用中，我们需要注意哪些问题呢？我们通过这样的一个课堂练习来进行整理和总结。 某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了， 因此决定随机拨号进行尝试，求这个人正好尝试两次就拨对电话号码的概率。 要想正确的使用乘法公式，我们首先应该正确的识别和分析所求概率的事件，也就是这个人正好尝试两次就拨对电话 这个事件，我们应该把它等效的转化为他第一次尝试拨错电话，且第二次尝试时拨对电话， 这样就转化成了两个事件同时发生的概率，从而便于我们使用乘法公式进行处理。我们来一起看一下。设 ai 爱表示第二次拨对号码，其中爱等于一二。我们首先先要求得此人第一次拨错电话号码的概率 pa 一，根据古典概形，非常容易可以得到等于十分之一。那么和例题相同的处理，我们可以得到此人第一次拨错电话号码的概率为十分之九。 那么接下来在第一次拨错电话号码的条件下，第二次拨对的概率应该是在九个号码当中选择那一个特定的数字，从而应该是九分之一。我们使用乘法 公式就可以得到世界 a 二与世界 a 一的对立事件同时发生的概率应该等于世界 a 一的对立事件发生的概率乘以在世界 a 一的对立事件发生的条件下，世界 a 二发生的概率 代入刚才所求得的数值并计算。我们可以得到这个结果是十分之一。 有些同学是不是能够发现，此人恰好第二次拨对电话号码的概率与他第一次拨对电话号码的概率完全相同，都是十分之一， 这是一个巧合吗？随着我们继续学习概率，我们可以通过后 免概率的相关知识来解释这一巧合。最后，我们再来小结一下本节课程我们所学习的主要内容。本节课我们重点学习的是概率中的乘法公式， 也就是世界 a 与 b 同时发生的概率等于世界 a 发生的概率乘以在世界 a 发生的条件下，世界 b 发生的概率。 根据乘法公式，我们可以将两个事件同时发生的概率分解为两个步骤， 也就是求得事件 a 发生的概率以及在事件 a 发生的条件下事件 b 发生的概率，再将其承在一起，间接求得两个事件同时发生的概率。这 这样在很多实际的情形中，可以帮助我们简化思维，起到将一个复杂的问题拆解成几个简单的问题加以解决的作用。 本节课的课后作业选字教材第五十四页的第三题和第四题、第三题分别在下列条件下求事件 a 与 b 同时发生的概率。 一、事件 a 发生的概率等于零点。二、在事件 a 发生的条件下，事件 b 发生的概率等于零点一五。第二小题，事件 a 发生的概率等于零点六， 在事件 a 发生的条件下，事件 b 发生的概率等于零点三。希望同学们 能够通过这道小题来熟练乘法公式的使用。第四题已知某学校中经常参加体育锻炼的学生占百分之四十， 而且在经常参加体育锻炼的学生中，喜欢篮球的占百分之二十五。从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到了学生经常参加体育锻炼而且喜欢篮球的概率是多少？ 同学们能不能正确的分解所要求概率的事件呢？能不能正确的按照我们的符号语言去表述你的思路呢？ 请同学们在课后自己独立完成好，我们今天的课程到此结束，谢谢各位同学！

每日一道数学高考真题，今天我们来学习全概率公式解题的四个步骤，这是山东吊考题，轰炸机轰炸猛目标，他能飞到距目标四百米，两百米以及一百米的概率 分别是零点五、零点三以及零点二。命中目标的概率呢，分别是零点零一、零点零二以及零点一。问目标被命，这个概率又为多少？我们来选一下题。题目说的是轰炸机飞到距离目标有个四百米，也有个两百米，还有一个一百米。 我们假设飞到距离目标四百米呢，是为世界 a 一，这个呢为世界 a 二，这个呢为世界 a 三。 因为四百米，两百米、一百米呢？他们是两两互刺的，既然互刺，他们的交集呢，必定是等于空急，这是我们要注意的第一点，第二点概率分别是零点五、零点三以及零点二。说明 a 一发生了 概率呢是等于零点五， a 二发生的概率呢是等于零点三， a 三发生的概率呢是等于零点二。我们把他们加起来，会发现值呢刚好是等于一。我们知道只有必然视线发生的一个概率呢，是等于一。所以得出第二点信息， a 一、 a 二、 a 三，他们的一个并事件呢，是等于必然事件。再来看命中目标的概率，分别是零点零一、零点零二以及零点一。 怎么理解命中目标的概率啊？说明，当轰炸机飞到目标四百米的时候呢，他命中目标的概率是等于零点一。在这个前提条件下，发生命中目标的，那么就是条件概率了。 我们假设目标被命中，用事件 b 来表示，在 a 一发生的前提条件下，事件 b 发生的一个概率呢，是等于零点零一，而在 轰炸机飞到距离目标两百米 a 二发生的前提条件下，那么事件 b 发生的一个概率呢，是等于零点零二，同样，当 a 三发生的前提条件下，事件 b 发生的一个概率呢，是等于零点一，这是我们要注意的第三点， a 一 a 二， a 三发生的前提条件下，事件 b 发生的一个概率，问的是 b 的一个概率，那么我们可以利用全概率公式进行解题。首先呢，回忆一下全概率公式，它定义是 a e l 一指的 a 呢，是一组两两护翅的事件，两两护翅说明他们两两的交集呢，是为一个空气的一个情况。 另外呢， ael 一直到 l 呢，他们的，并且呢是一个全景，是一个必然事件，那么 ai 发生的概率大于零的情况下，对于任意的事件 d， 如果是这个必然事件的一个子级，必定会有 b 发生的一个概率呢，是等于 ai 发生的概率，呈上在 ai 发生的潜力条件下， b 发生的一个概率。然后呢，要进行求和，这样的一个情形怎么理解？我们画个图来看一下，这个图首先要满足 a e a r a n 呢，是一组两两互刺的事件，同时呢，他们的一个病急是一个全集，现在呢，我们用这个圆来表示全集，而 a 一 a r a 三一直到 a n 呢，他们的交集是空急，而他们的病急呢，是全集更好满足，而且 ai 发生的概率呢，是大于零，所以呢，他们都是占据一定的面积。现在呢，对于任意的一个事件 b， 他是这个必然事件的一个子急，我们在里边呢再画一个圆， 这是这个必然事件的一个子级，我们用事件 b 来表示，问的是这个事件 b 发生的一个概率，当然呢，求 an 和 b 的交集， a 一和 b 的交集， a 和 b， b 的交集，那么我们把它标出来，求的是这几块的一个值。那么根据图形呢，我们会发现， b 发生的一个概率是等于 a 一和 b 共同发生的概率，加上 a 二和 b 共同发生的概率，加上 a 三和 b 共同发生的概率，一直加到 a n 和 b 共同发生的概率。为什么这里都有成为这样的一个式子的呢？我们之前有讲过条件概率公式， 在 a 发生的前提条件下， b 发生的一个概率呢，是等于 ab 同时发生的概率，比上 a 事件发生的概率，这是条件概率公式。 如果我们把这个公式呢进行变形，那么 ab 同时发生的概率是等于 a 事件发生的概率，乘上在 a 发生的前提条件下， b 发生的一个概率。因此呢，得 出这样的公式，这是概率的乘法公式。接下来我们把这个数字利用概率的乘法公式把它展开一下，是等于 a 一的概率乘上在 a 一发生的前提条件下， b 发生的一个概率，加上 a 二的一个概率乘上在 a 二发生的一个前提条件下， b 发生的一个概率， 一直加到 a n 的一个概率。陈尚在 a n 的前提条件下， b 发生的一个概率。那么因此呢，我们就得到了这个全概率公式。 全概率公式它的定义以及减的证明呢，我们已经讲完了，接下来我们再来看一下全概率公式怎么样来解题，有四个步骤。第一个求助，样本空间的一个划分， a 一、 a 二一直到 n。 我们假设 四百米呢是 a 一，距离目标两百米呢是 a 二，距离目标一百米呢是 a 三。另外呢，世界 b 表示的是目标被击中，现在 我们同样用图形把它表示出来，分为 a 一、 a 二、 a 三， a 一、 a 二、 a 三呢，他们两两互斥，同时呢，他们的一个病疾是等于全集，而世间 b 呢，是这个必然事件的一个子集，现在 由这里边他的一个概率，我们利用全概率公式进行解题就可以了，但是我们要进行第二步。第二步呢，我们要求出 a i 的一个概率，题目中已经给出了 a 一的概率是等于零点五， a 的概率呢是等于零点三， a 三的概率呢是等于零点二。另外呢，我们进行第三步 求助，在 a i 发生的前提条件下，时间 b 发生的一个概率。题目也给出来了，在 a 一发生的前提条件下，时间 b 发生的概率呢，是等于零点零一。在 a 二发生的前提条件下，时间 b 发生的一个概率呢，是等于零点零二。而在 a 三发生的前提条件下，时间 b 发生的一个概率呢，是等于零点一这样的一个值。我们利用全概率 公式，那么 b 发生的概率呢，是等于 a 一发生的概率，乘上在 a 一发生的情况下，是件 b 发生的概率一子。最后呢，我们把这些数值都带进来求出， b 发生的概率呢，是等于零点零三一这样的一个值。 所以呢，目标被命中的概率呢，是等于零点零三一，总结一下这个题呢，我们考察了全概率公式解题的四个步骤，第一个呢，我们求出样本空间的一个划分，第二个呢，我们要求出 a i 的一个概率。第三个呢，我们在 a i 发生的前提来下，时间 b 发生的概率也要求出来。 第四个呢，我们根据全概率公式求出目标事件他的一个概率就可以了。在这里我们在了解全概率公式的时候呢，可以根据图形，然后呢利用条件概率公式以及概率的乘法公式进行证明就可以。

对于互吃和对立事件的概率计算，大家要掌握公式。我们来看这样一个题， 事件 ab 为两个互吃实践，那么 a 的概率大于零， b 的概率大于零。下面四个结论，正确的结论有哪些？我们先画个图，我们这样看， 我把这个叫 a， 把这个叫 b， 我们看他叫 ab， 同时发生的概率 是零，对不对？我说正确， a b 同时发生的概率，不可能，他俩是相互独立的，不可能同时发生，对吧？好，那么 第二，他俩 a 的补 b 同时发生，那 a 的补是外面，对不对？跟 b 同时发生，我说他就是谁呢？他就是 b 发生的概率，所以这是错的。 第三，它将 a 的补与 b 的补同时发生，那 a 的补跟 b 的补同时发生，那实际上就整个这个东西发生，它是必然的，所以它是一正确， 这叫 a 与 b 同时发声，那 a 呢？是这一块对吧？这个表示 a 与 b 的核实键， a 发声或者 b 发声， b 发声呢？是这一块。那 a 发声 或者 b 发生的概率就是 a 发生的概率加上 b 发生的概率，因为这个 a 与 b 是相互互持的，所以这也是正确的。 go， 正确选项一三四，应该选择 a， 明白吗？