临沂一中高一立体几何卷

大家好，我是超越老师，我们接着讲这个洁面问题啊，洁面问题相对还挺难的啊，首先有一个特别重要的知识点需要你掌握，就是正方体里面它藏着一个正六边形啊，就是你去把它的所有中点都给他取到，看没，这是中点，这是中点，这个中点，然后这样顺着去取啊，取完之后你把这个一连， 把这个一连，他就是一个正六边形啊，正六边形就这样的啊。然后你想假如你这个线不动，你把这个面往上抬，他是不是可以刚好过这个点啊？是不是刚好过这个点，这个时候这个线就没有了， 那他就是个五边形，看到没有，所以这个里面的结面最多是可以出现六边形的，然后五边形，四边形也行，三角形是不是也行啊？三角形，典型的三角形，我们可以过这三个顶点，他刚好是个等边三角形， 然后四边形里面可以是矩形，看到没有？可以矩形啊，比如斜着切，就这四个点啊，也可以正方形，也可以是梯形啊，这个地方你要注意啊，但是有的题 他是截不出梯形的，他是给你限定的，比如说必须要过哪两个？比如要，必须要过过这两个点，那你去截，这个时候你截不出梯形，看到没有？只能截出平行四边形 和什么矩形。正方形都是可以啊，正方形刚好就是这个啊，但这个地方也不能算啊，正方形这个最好不要说他正方形吧，我们可以在这啊，这比如过这两个点， 看没有，但如果真正让你直接去，就没有限定的，是可以截成梯形的啊，比如说过这个点，这个点，然后过加这两条线是不就可以啊？ 然后我们看一下这个题，这一类题里面有很重要的考点，就让你去找他的外轮廓线，然后让你去求他的周长啊，求面积啊，我们一起看这个第四题啊，他说 能长为二，然后 e 是 b、 b 一 的终点，经过看没经过这个啊？这个呢是 a 一， 然后 e 看到没？你可以把这个连起来，为什么？他就是外轮廓线看到没有？然后这个 d 也是外轮廓线也可以连起来啊。这个题最难的就是这个 e、 d， 他 什么他是体的，他在里面，他不在外轮廓线上，看到没有？ 所以你在求这个洁面面积的时候，这个三角形面积可不是他的面积，因为他最后还要延长出去，这个平面是无限延伸的，最后要跟什么？要跟这个外轮廓有个交线，那个那个交线呢？才可以。 那这个怎么去求原理？其实后面啊，就是如果一个直线的两个点都在这个平面上，那么这个直线上所有点都会在这个平面上， 所以我们怎么去找这轮廓线啊？因为这个 a、 e、 e 这两个点在那个在这个界面上，所以它的延长线也在上面，你如果往上延长没有用，听没有它，它就跟这个没有交点， 但是你想往下延长，太好了，他跟这个有个交点，看到没有？他跟这个，他跟这个线有个交点，为什么我们要去找这个线的交点啊？为什么？因为这个线和这个地点刚好在同一个平面，你把一连，他又是两个连在一个平面上，看到没有？所以你把他再怎么样，再给他一连啊，再给你连这个点，然后这样， 这个我我用实心画了啊，就这个看到没有？就是他的万能勾线，看到没有？然后你就可以算他什么洁面面积啊？这个很好算的，我们来算一下，这是二倍根号二， 然后这个地方要注意到，你在算的时候，不管什么时候，不管他难还是简单，我都建议你画出辅助平面图，听见没有？一定要画出辅助平面图，这样保证你算的又快又不会错。听见没有？ 是不是这样的？然后因为这是终点，这不是八字型全等吗？看到没有？所以这个这个这，这边这个和他这也是终点，看到没有？另一个跟他一样的，我们也画一下啊，就是大概是也画，我看大概怎么画好一点，这样画吧。好吧，这样画 b、 c、 d、 a， 看到没有？这这边是不是一半看到没有，对不对？这个点是不是这样的？因为这个和这个这个这个是不是相等的？是不是中点，所以我们就可以算了，这个算成二倍根号二，然后这是根号二，然后这边是二，你看这这是二，这是一，是不是根号五呀？然后把它的 这个平面图要画出来啊，画出来，画出来啊，这个地方是根号二，根号二，二倍根号二，根号五，根号五，然后我们来算一下啊，这个地方是二分之根号二啊，因为它两边是 是相等的啊，然后这个地方算一下是五，减去二分之一，就等于二分之九开方，是不是根号二分之三？这个地方不要有理化，听见没有？我们在数的过程中都不要有理化，这样计算量更小啊，所以它是二分之上底加下底三倍，根号二乘以，这个是不是根号二分之三，然后一画就做出来了啊？ 有没有答案？有啊，就选这个，然后我们再看下一个题啊，边上是六，然后这是终点，这是终点，让你去求这个结面所在的周长，对不对？仍然一样，要观察的这个 f、 c 和 e、 c 他 都是什么体？对角线，类似于你这样理解他的内部 是不行的，所以你要怎么样把这个 e、 f 给他延长？我们如果往这边延长，他刚好会跟这个 a、 d、 a 的 延长线是不是会有交点？然后他跟 c 又是同一个平面往上延长，跟这个 d、 d、 e 是 不是也有个交点？然后我们给他画一下啊，脸上画一下， 画一下啊，在这是不是这样的？然后把这个一点，这个刚好是对称的，看到没有？这个刚好是对称的啊，然后这边也是一样的啊，也是一样的，这边跟他有一个交点，然后这边再一点，看到没有， 是不是这样的啊？这样的，然后他的外轮廓线是不是就这条？这条，然后这一条要算啊，然后这条算，这条算，是不是最后算出来是一个五边形， 看到没有？五边形啊？那怎么去算它的周长呢？我们来看一下。首先画出辅助平面图啊，一直讲画出辅助平面图特别重要是六中点，然后这样延长，根据八字型，这是不是应该是三，这是三，看到没有？我们只算一边就行，另一边跟它相等的啊， 这个边长他就刚好等于三倍，根号二，然后这个地方等于多少？我们再看一下啊？这个点，比如叫 m， 这叫 n 啊，然后这是 m， 然后这个这个侧面图也要画出来啊，这个侧面图画一下， 这是 b， c， d， b， c， d， a， 然后这边这个长是不是三呀？对，然后这是六，然后你画一下这个地方，你看这个是这个，这个比上全场是不是一比三呀？看到没有？就因为这三，这是六，就全场是九吗？所以这个比他也是一比三，对相似，所以这是二，这是四，看到没有？ 然后的话这个地方是三，这个地方是二啊。注意了，他不是中点，跟上题不一样啊，这边算下来的话，这是根号十三， 看到没有？根号十三，那这个线也是根号十三啊，他们俩是一样的啊，根号十三，你自己算一算，这里面是一样的啊，然后这边是四，然后这边是六四四十六，加三等于五十二，这是不是二倍根号十三。看到没有？就根号五十二，然后这个也是二倍根号十三。 对，最后去加这一倍，两倍，两倍，是不是六倍，六倍根号十三，然后去加这个三倍根号二，这就是他答案啊，就做出来了啊。

大家好，我是超越老师，我们这个视频开始讲体积表面角有两个基础的公式，我们要知道 v 等于三分之一，叫 s 上，加上 s 下，再加上一个根号下， s 上乘以 s 下，然后再乘以这个 h， 这个 h 叫正高。比如说求一个圆， 它的 s 上和 s 下是不是相等的呀？所以你看这是相等，相等，这个开放也相等，所以三，它就三倍的跟这个三约掉，所以 v 就 等于什么？ 是不？ s h 就 做出来了，看到没有？如果你要求有圆锥呢？你看它的上面积是不是一个点啊？就是零，所以这两个都没有了，所以它就是 v 就 等于三分之一倍的 s h， 看懂了吗？这个时候那最关键就是能抬，我们记这个总公式就是为了记这个来台啊，台的话就是上底下底，看到没有，他有两个了，这时候咱们就不写了，就这个公式啊，这第一个公式，第二个公式叫 s， 等于也是一样的，叫 s 上加上 s 下，再加上 s 侧， 看到了吗？上和下咱都不说好求，主要这个测啊，这个测我们统一变成内三角形啊，我们来讲内三角形，内三角形或者是梯形啊，梯形啊，我们来举个例子啊，比如说， 比如说就就就以这个台为例啊，台的话，你看上面几，这个叫 r 一 啊，这个叫 r 二，那上面几就是派， r 一 的方加上下面几 是不是派啊？派啊二的平方，再加上这个侧面积，他侧面一展开是不是像一个扇子的一部分，这个他像什么形？这个像像梯形，梯形不长这样子的吗？对不对？所以这个他就是用梯形面积公式啊，叫二分之上底，这，这个，这一圈等于什么？这一圈就是这一圈的面积，叫什么？周长， 这个就是上面这一圈，叫二派 r 一， 然后再加上下面一圈，叫二派，二派 r 二，然后再乘以这个，这个叫母线长啊，叫 l， 叫母线长，看到没有？这个高就是母线长， 这就是它的公式啊。当然这能化解，但是我们不化解，我们算就直硬算哦，很多资料是给你化解后的结果，那谁记得住啊，对不对？久了就容易忘啊。然后我们再做一个，比如说是追呢， 锥也是一样的啊，锥也是一样的，看没锥也是一样的，然后他展开之后，你要想的他是一个什么形？是不是像这样的？他展开是不是像这样的？这像什么形？像三角形。对， s 就 等于二分之一， 二分之一乘以底，底就是这个弧长，弧长就这一圈啊，叫二派。比如这叫 r， 二派 r， 然后再乘以这个高，然后再乘以高，高是什么高？就是这个母线长啊，这个母线长我们常用大 r 写 就做出来了，看到没有？如果你带这个整个表面积啊，这是，这是侧啊，这是侧，你还加上 s 上， s 上等于零， s 下叫什么？叫 pi r 平方看到没有？这就是它的公式， 能追能助也是一样的方法啊。如果说，比如说一个三等锥，这个展开之后，它是不是三个三角形啊？三个三角形啊，一般他考试喜欢怎么样？喜欢这个加个正字啊， 喜欢加个正字不？不加正的话，他这三个侧面高就不相同，你要一个一个算，那就没办法听没。如果他加了正字啊，那你要，你要算侧面积 s 等于你这个展开，你也把它看这个三角形看到没有？看这个三角形看到一个就有点像内啊，就长得像三角形的意思啊， 对不对？所以他是二分之一乘以底底就是这个是不是？比如边长角 a 是 不是三 a， 然后再乘个高高就是这个面去算就行了，听没？这 a 七撇， 再加上你要算表面积的话啊，再加上底面积要四分之根号三倍的 a， a 平方就做出来了。遇到具体的题咱们再讲啊，主要这两个基础公式你要知道，我们看一下第一题，他说正四能抬，我们来看一下图啊，这个上面是 a， 然后这个没画好啊，大概就这个意思吧。 然后他说侧人所在的直线与上下两个面的中心线所成的角等于四十五度，让你求这个侧面积啊，首先我们知道它展开之后是几个梯形啊， 是不是四个啊？咱就不画了啊，所以他看成一个梯形对不对？他的那个侧面积他应该是等于二分之上底，上底就这一圈叫四 a 对不对？加上下底是不是四 b， 再乘一个 h 一 p 啊？我们目标就是求这个 h 一 p 啊， h 一 p 就是 这个，这个侧面就是这一个啊，画出它的辅助平面图就是一个， 这是这是 a， 这是 b， 看到没有，然后这样对不对？这个长是不是二分之 b 减 a， 然后他 你要求这个看见没？这叫 h 一 p 啊，那我知道这个线不就可以知道这个吗？这个怎么求？就要看他这句话啊，他说侧能 与中心线连线成四十五度啊，所以这个地方我们要画一下啊，这个假如这个地方叫做 o 啊，这个地方叫做 o， 你 看这边他长是不是大概长这样子的？ 是不是这样的？这这这，这是 o 一， 这是 o 一， 这是 o 二，然后这个地方有个四十五度啊，因为你这个延长出去，显然在上面看到没有？显然在上面是不是大概这样的？ 是不是大概这样？这是四十五度，看到没有？四十五度，然后这个里面可以算啊，因为这这个长可以算啊，这个长是不是二分之根号二倍的 a， 看到没？因为这个总长是根号二倍，然后他一半，所以这是二分之根号二倍的 b， 对 不对？然后这个长咱们是不是可以算啊？这个长是多少啊？因为这个是四十五度，所以这也四十五度，然后等下这样这样写，然后这个边长是可以求的，是不是二分之根号二乘以 b 减 a 呀？你看 是不是这样的？然后再乘以根号二，就这个边乘以根号二，所以他就是 b 减 a， 所以 这个边长是 b 减 a， 最后你去算，那这是二分之一呢？是不就是二分之根号三倍的括号 b 减 a， 看到没有？二分之根号三倍的 b 也带到这里面去啊，这个里面你去算出来，刚好等于二 a 减二 b， 然后这个二又跟他约掉了，就是 a 啊，就不对， 加啊，这个是不是 a 加 b， 乘以一个根号三倍的 b 减 a， 是 不是对于根号三倍的 b 平方减 a， 平方平方差公式啊，对不对？第一个就这个答案啊，根号三倍的括号 b 方减 a 方，第二个他没有这个四十五度这个条件啊，他说侧面积与底面之合 等于底面之合啊。侧面积，我们这个地方我们来看一下，他要求高，这个地方高，要注意他指的是正高啊，指的是正高不是侧高啊，所以他 两个底面之合不就是 a 方加上 b 方吗？然后等于侧面积，侧面积还是一样的啊，展开之后是一个梯，四个梯形合在一起，是不是二分之上底？对啊，是不是四 a 加上四倍的 b， 然后再去乘以这个，这个这个地方叫 h 一 撇啊，这个地方我们要把这个图给他画一下啊， 是不是 h 一 撇，我们就可以把这个 h 一 撇给他算出来啊？他等于二 a 加上二 b 分 之 a 方加上 b 方，然后怎么去求正高？我们来看一下啊，他是这样的啊，这个地方你要求正高，你首先要怎么样？要把这个正高给他画出来，怎么画？ 比如说我找这个点他往下做垂线，你要知道他垂线是什么样的，他是不是一个回字形啊？你想想啊，因为他这个是正的，看到没有？正视人台，他这是一个回，看到没有？回啊？我们来看一下啊，你想你这个点的投影， 投影或者做垂线的垂足，是不是就这个点看到没有做垂下去哦？垂下去看到没有？这个就是我们要求的 h， 那 这个边往这边做一个线啊，这边做一个线啊，然后把这个一捏啊，这个一捏， 这这这，这应该是虚线，这是虚线啊，然后这个就是我们刚求的 a 七撇，看到没有？求求的 a 七撇，然后这个长是可以求的啊， 这个这个长等于多少？这个这个短的这个长，这个短的这个长，你看总长是从这到这是不是 b 啊？然后这是 a， 是 不是这个这个长，是不是二分之 b 减 a？ 这个要注意啊，我这个图没画好啊，就这个边是竖线，看到没？这个是斜的，所以是 h 一 撇的平方减去这个 是不是二分之 b 减 a 括号的平方，再开方就做出来了啊？然后我们来算一下，这个是等于根号下上面是不是 a 方加上 b 方括号的平方，下面把这个填到前面要四倍的是不是 a 加上 b 括号的平方， 然后再减去四分之，这是不是 b 减去 a 括号的平方。这个时候你要通分啊，为什么要通分？因为这个呢？通分的话刚好这里面有平方差公式量这边同乘以 a 减 b， a 加 b 啊的平方，然后 a 加上 b 括了平方，这个里面你去看一下，这刚好是不是就 b 方减 a 方的平方啊？就这两个算出来，最后分母相同了，就是四分之括 a 加上一个 b 方，看没有这个地方，你看这是 a 方加 b 方的平方，这是 a 方 b 方减 a 方的平方，中间是减号，是不是那个什么四方四方都没有了？是不是最后上面应该等于四倍的 a 方加上 b 方，因为这两倍，这又负两倍合在一起是不是在开放，然后约掉之后，这是不是刚好等于 a 加 b 分 之 a 乘 b。 第三个又是个正三轮台啊，正三轮台他说上下底边长分别是一和二，斜高是一，让你求体积啊求体积，我们来画一下图啊， 斜高指的是这个啊，把这个也画一下啊，把这个也这是一，这是二。斜高是指的这个啊，就这个线从这个地方线啊，然后让你求体积啊，我们背体积公式叫 s 等于就位啊，位等于三分之一倍的 s， 底底就是四分之根号三倍的 a 方带进去是不就是 a？ 是， 是不是刚好根号三，对不对？然后再加上上底的是不是四分之根号三，然后再乘以这两个相乘啊？再加上这两相乘就四分之根号三，乘根号三是不是就四分之三啊？四分三开方就直接写啊，是不是二分之根号三 合在一起，你看一下这多少个啊？四分之七倍根号三，然后三分之一再乘以这个 h， 这个 h 什么正高啊？ 跟这个题类似的啊，你想你往它下面做，做那个垂线是不是也是一样的？它是个等边向形，看到没有？有点像回啊？有点像回，然后你要求到这个正高，是不是往它要做一个垂线，看到没有？做一个垂线，垂足就在这，看到没有？然后因为你知道侧高了呀，知道这个侧高，知道这个 测高是等于一，是不是过这边就过这个做一个垂线，看没？这也是个垂线啊，过他做一个垂线，然后把这个一连，这个长就是一，那这个长等于多少？就这段小的知道了，不就用购物定率算了吗？这段小的怎么算？过这个中心，然后给他做一条线下来，这一段长 他是等于大三角形的三分之一高，还记得吗？重心定力啊，就这，这一个是这个，这个， 这两个是两倍关系，所以这个占全长的三分之一，这个占全长的三分之二，那这个是不是占三分之一？那是不是就三分之一倍的这个高？这个高要去算一下这个因为这个单元边长是二，所以这个高是，这是不是根号三？是不是三分之根号三减去这边呢？这是二分之一，是不是二分之根号三？是不是减 这一段啊？这一段也是占这个小三角形的三分之一，三分之一倍的，这边是二分之根号三， 然后你算刚好等于六分之根号三，对不对？六分之根号三，我们口算要一减去三十六分之三，是不是十二分之一？开根号是不是等于一个根号十二，然后根号十一，对不对？然后去给它乘到这里面去啊？乘到这里面那就是 七，然后根号三，然后下面是十二根号十一，然后这边是不开传法都可以约，是不是等于四倍根二倍根号三，根号三，约掉了，看到没有？最后是不是等于一个最后？你算啊？最后是不是刚好等于二十四分之七倍根号十一。

大家好，我是超越老师，我们接着讲这个体积表面角，他说一个半径为二的圆柱被一个平面所截，截得几何体最短的和最长的分别是这是二，这是三。 让你求这个，这个时候求这个体积啊，因为圆柱它对称的，圆柱是对称的啊，你这样截一刀之后，你看我把它补充完整，补充完整之后它补充成一倍啊，刚好是不是？它刚好可以怎么样补充成五啊？你看这是二，是不是五啊？所以他胃 胃就等于二分之一乘以这个底面积啊。底面积，这个时候你熟悉就可以直接用底面积层高啊，就是 派乘以四，这就是底面积，乘一个高，高是五啊，最后算出来等于十，派就做出来了啊。下一个题，他这个边长告诉你这个是三，然后这是四，然后高是五，让你去求这个 o， 然后这边是 a， 一， 就 a、 b、 e、 c 呢？把这个连一下，这个里面你会发现什么？发现这个，这个 a、 a、 c、 b、 e， 这个三角形面积倒是可以算，但是要用匀变定律啊，因为它几个面怎么样？ 它几个面的边长都不相等，看到没？都要用勾股零算啊，这三四下面是五，对这两个分别去算，我就不算了好不好？然后最关键什么这个 o 点到它的面的面积怎么样？你算不了 看求这里面这一类题，我们有一个很重要的方法叫换顶啊，叫换顶，换顶点啊，换顶点，我们一起看比说你要求这个位叫 o 杠什么？ 是不是叫 a、 b、 e、 c， 对 不对？首先第一个就是这几个，可以随便挑一个作为顶，听见没有？随便挑一个，这是第一个，第二个就是这个 o， 他只要是平行的，比如说你可你可以看一下啊，当然这个也有点是后面的啊，也有点后面，但是他前面也要考，就是 a 一 c 一， 他是平行这个平面的啊，为什么他平行，你学了后面你应该知道啊，我相信大家可能都提前看了一点 就平行的，那么我在上面随便找一个点到他这个平面的距离都相等，那我就可以给他换成什么？换成 v， 是 不是？换成 a 一， 然后杠，然后 a， b， e， c， 看到了吗？这个时候我再给他换一下，看到没有？换成谁啊？因为这个 a 一 到这个平面的距离你还是不好求，但是我给他把 c 作为顶点，两边是 c， 然后这几个字母可以换啊，叫 a 一 a b 一 看到没有，这个就太简单，因为 c 到它的距离刚好等于四，然后这个三角形面积很好求。 对，所以我们带公式啊，公式别记漏了啊，叫三分之一底面积叫什么？叫二分之一乘以底面是因为三角形啊，就这个三角形就二分之一乘以三，再乘以五，最后再乘，再乘以多少，最后再乘以高，等于四，对不对？这个约掉 刚好是不等于十。这个题还有个题提示很重要啊，但现在考的不多了，以前考的多，就是他非要你求这个距离的 o 点到这个面的距离怎么办？我们说有个等体积法啊，等体积法求高。 等体积法啊，我们在平面几何里面有个等面积法求高，这里面叫等体积法，我就不写了好不好。你这个位算出来等于十，他等于三分之一乘以这个 s， 叫 a、 c， b， e， 再乘以这个 h， 就是 我们要求的高，这个是可以求的啊，你下面都知道，你可以用余弦定力，先用余弦定力求出一个夹角，再反过来求出它的正确定力，然后硬给他算出来。我们再看第六题啊，第六题他的多面体 边长是等于三的正方形，然后 e、 f 平行于 a、 b， 然后这个等于二分之三，是不是刚好它的一半，然后它与底面的距离是二，对不对？这个地方要注意， 他这个多媒体没说等腰，啥都没说，看到没有，只说了这个线到这个线的距离看到没有？而且看这个图也不是对称的。什么意思？就是这个 e、 f 还可以平着往前移也行啊，让你求他的体积对不对？第一反应，那你肯定要怎么样？要去拆啊？拆啊拆， 就是把它拆成我能学的，比如说我把这个 e、 b 给他连一下，再把这个 e、 c 给他连一下，是不是只有拆成两个锥了啊？这两个锥刚好，对不对？第一个我们来看一下啊，就叫 v， 叫 e、 a， b， c， d 加上一个 v， 是 不是 f 杠？或者我们就用 e 也行，随便你随便你随便用哪个作为顶啊？然后等会因为要换啊，不换你做不出来，然后这边是 f， 然后这边是 e、 e、 b、 c， 是 不是这样更这样好看一点哈。然后这个可以直接求啊，叫三分之一乘以底面积是不是九啊？再乘一个高，高就是二，对不对？就是就就等于六，对不对？这个这个等于六啊，加上， 然后这个面积你看，首先你这个底面也算不了高，你也算不了，一个算不了，所以点什么呀？要去换底啊，怎么换？你看如果以 f 的 话，你现在就不好平移了，对不对？所以我们这个地方要不改成 e 好 不好？改成一个 e 啊？改成个 e， 然后这边是 f， 这个时候你想你要去移移怎么移啊？我们是 e 点过 e， 要做一个平行于这个这个平面的线，他才能移，对不对？我们通过什么平行四边形啊？取它的中点，你看这个长是二分之三，这个二分之三又平行是平行四边形的，判定定力对不对？比如这叫 m， 所以 他就立马改成一个 v m 杠了多少？ 是不是？这个时候怎么样？我们再给他换一下啊？再给他换一下，换成 f， 放在 f 叫 v f 杠是不就是 m b c， 你 看就做出来了啊？对，这个是可以求的，就二就三分之一乘以底，面积是二分之一乘以底，层高，看到没有？一个一个带，听到没有？不要去背公式啊，背容易 不容易忘啊。然后这边是二分之三，再乘以一个三对，再乘一个高，是二对就乘以二，然后就算一下，这个地方二约掉，然后三约掉，是不是二分之三，所以最后加二分之三就等于二分之十五啊？答案就二分之十五啊。 然后这个题我再提供一个很好的办法啊，我们讲一下，就是你要能发现就是 我如果啊，我如果过这个 e 点和这个 f 点，就你把它想象成一块豆腐，我分别去做一个垂直的线去给他切掉，看到没有？就垂直于这个线，或者说垂直于这个体的正着去切，给他切掉啊，就这样给他 切掉一圈啊，我就画实线啊，这样方便你看看没有，就切掉一圈。这个时候他中间这个我是可以算的。看到没有？他是底面积多啊， 他是一个侧着的柱，看到没有？侧着的柱啊？稍微画一下吧，这后面应该要虚线。我没画好啊，就这个应该要虚线啊，是不是这样的侧着一个柱？对，那他是等于侧面乘以长，是不是这样的？所以这个是不是侧面乘以长，那就是侧面等于什么？是不是二分之一乘以底底是三， 然后再乘一个高，高，这个高是二，对不对？然后这个面积再乘以这个高，这个高又是二分之三啊？把这个算一下，刚好等于二分之九，再加上。你看这个，如果你把它挖掉，再把剩 下的这两部分给他，怎么样？给他凑在一起，给他拼在一起，他是不是就完整的四人追？我就不画了啊，是不是完整的四人追，对不对？那他是不是三分之一乘以底面积啊？底面积，你看这个长， 这个加这个是不是等于二分之三，再乘以这个高，高多少？哦，不对，对，这个啊，这个是不是乘以三，然后再乘以这个高，这个高是不是二啊？这个高叫做二，然后你算一下啊，这算成又是二分之六，对不对？合在一起是不是就是二分之十五啊？也能得到这个答案啊？ 我们再看这个第七个圆台，上下底面积是一比九，所以它半径是不是一比三？一比三的话，我们设这个，比如这个边长叫做 x， 对 不对？那下面这个是不是就是三 x， 然后母线长是二，看到没有？母线长是二，它告诉你侧面积的，那我们背侧面公式啊，展开它是一个梯形啊，记住展开是一个， 展开是一个梯形，是不是这样的？一直讲啊，要熟悉这个公式啊，熟悉这个公式啊，是不是二分之上底加下底啊？上底的这个长就是这个的周长，叫二派 x， 对 不对？加上下底呢？叫二派，二派三 x 乘以它的高高就是母线长啊，它等于三分之十六派， 然后我们来算一下，这边是二六，那就是八，是不是八派 x 等于一个， 等于个三分之十六派，对 x 算出来是不是等于三分之二？这个高怎么算？是不是过这做一个线下来看没有过，这，这是不是直角梯形啊？或者你，你从从这完整的切，它是有个等腰梯形啊？随便你怎么看啊？随便你怎么看，或者你直接做，就是一个直角梯形啊，直角梯形， 是不是啊？这是三分之二，然后这是不是二呀？然后这个这个长是二，对不对？然后这边是三分之四啊？勾勾，你算的就四，减去一个 九分之十六，那九分之二十对不对？开方的话就是三分之二倍，根号五啊？有，是不是选 b 就 做？

大家好，我是超越老师，我们再讲几个空间里面的最短距离，这个在初中的学歌舞定的是那一张诗讲过的啊，讲过的这个地方只是结合着这个什么追啊、住啊那些，他说正三能追，读题一定要去把这个字，关键字一定要圈好，正的说明顶面等边三角形， 然后侧面都是二倍根号二，对不对？然后这几个都是三十度啊？我们来算一下啊， 他说重置从 a 点，从 a 点出发，然后绕过三个侧面，是不是大概这样这样，然后这样再回到 a 点，看到没有？我们要做这个最短距离，我们都是怎么样把它展开展成平面图？因为我们的原理是两点间线段最短， 对不对？所以给他展开之后，他是不是大概长这样子的？看到没有？大概长这样子啊？是不是大概长这样子的， 对不对？这个是 a， 然后这都没画好啊，就这个意思，然后 a 一 撇啊，然后他说这三个都是什么？是不是三十度啊？三十度，三十度，那这就九十度，让你去求这个距离，是不是直接就求出来了？这是 二倍根号二，然后这是九十度啊，是不是？然后这是四，就做出来了，对不对？这第一个啊？第二个，他说圆锥的高是根号三，然后底面是一，对不对？然后算出这个母线是不是等于等于二呀？ 他说这个 a、 o、 b 是 等于三分之二派，然后让你去求，我们首先仍然还要给他展开啊，给他展开展开，是不是大概长这样子的 就变大了？看到没有？我们在高中的时候一般不去算这个圆形角啊，除非特殊情况。这个题就是特殊情况，后面我们要求体积表面积，我们也不去算这个斜他，我们有专门的其他公式去求 这个面积，不用那个什么扇形面积公式啊？不用扇形面积公式呢？这个现在就用不上，听见没有？是占这个要用啊，为什么？因为你要找他的位置，你要找他位置，所以我们根据计算。这个叫什么叫？还记得吗？叫分蛋糕模型啊，叫三百六十分之 n 乘以一个，下面是不是大圆？大圆叫二派，乘以二， 对不对？然后再等于一个二派小二乘一，对不对？然后你去算这个 n 刚好等于一百八，所以这个展开是一个。什么？是一个半圆啊？我们看一下是个半圆， 这是二，这是二，然后这个地方你要注意它 aob 在 aob 它是三分之二派，我们说一圈是二派，那它占三分之一，所以把它分成什么呀？ 是不是一百一百八十度给他分成三份，每一份是六十度啊？最后他让你去求从 m 到谁到这个 b 点，对不对？那 m 点不就在这个的终点吗？对不对？ m 就是， 比如说这是 p， 对， 这是 p， 然后这是 a， 然后这是 b， 然后这样一圈，对不对？那这边你去年刚好是一个等边三角形，然后让你求这个高，对不对？刚好就是根号三就做出来了啊？ 其他的我就不讲了，像住里面有一个题，他是他，比如说我们来画一下啊，我没有选啊，你们肯定做过的，我就没细选。比如这个点到这个点，他有三种展开方式，听到没有？你要去算哪种方式？最近其实初中也讲过的啊，初中也讲过的。

大家好，我是超越老师，我们这个视频讲这个直观图啊，直观图它的 x x 轴和外轴的夹角啊，它是可以是四十五度或者一百三十五度，但是我们经常做的都是四十五度啊，这个里面你要记住一点，你在画图的一定要记住，一定要是找平行 x 轴， 或者叫平行外轴，或者就在 x 轴上，就在外轴上的那些线，其你才画的出来，我们是平行 x 的 长度不变，平行外轴的减半， 是不是这样的？然后因为这个原理，所以它的面积啊，就它在直角坐标系上的面积，肯定是比这个面积是不是要大一点，这个里面它的面积中间是差了一个四分之根号二倍的啊，这个要你记下来啊，最好能记下来，记不下来 你最好有点印象也行，听到没有？有点印象也行啊。然后讲了这个四分之根二，我们要讲一个等边三角形的面积啊，他是等于四分之根二三倍的 a 方啊，这两个你可以对着记，也别记混啊，因为这里面后期我们算体积表面积，经常会遇到等边三角形啊，所以 这个地方别记错了啊。然后我们看一下，他让你求这个面积啊，求这个面积，我们可以怎么样 直接求啊，求出这个圆，他能求圆面积啊，那你把这个算一下，你上底加下底就是二分之七乘以高高，不是这个四啊，你要去算一下，这，因为这四十五度做一个高线下来，我就不做了啊，我们免得做花了，这是不是就四，这是二倍二，所以答案是七倍二，所以答案是七倍 根号二，是不是这样子？这个等于七倍根号二，要求圆面积，我们说圆的面积乘以四分之根号二，等于七倍根号二，那你现在反过来算，是不是除啊？是不是这样？ 当然这个题你要学会画这个原来的图啊，我们算，你怎么算都行，你要学会画，我们来教下怎么画，你要画一下这个对不对？然后这是 y， 这是 x， 它这个这个 a a 一 撇， b 一 撇，它是平行 a 个轴的，看到了吗？平行 a 轴从图上能看出来啊？是不是看出来，然后的话， 但是他这个点是不知道位置啊？不知道位置，这个你可以随便找一个点啊，他因为他这个球面积没有告诉你，没让你球值是不是 a， 然后这个五不变，看到没有？这五变，然后这个是不是，是不是平行于外啊？这是平行于一个轴，这平行于外走的话，这是不是往上走要走多少？要走八，要注意走八 对不对？走八完了之后，上面是不是二分之七乘以一个八，对不对？然后就做出来了啊？ 同理这边也是一样的啊，又是让你求这个直观图的面积啊，那你先把它的面积算出来，他说边长是不是四分之根号三倍的 a 方啊？刚说了正好就考到了啊，然后你还要怎么样？乘以一个四分之根号二， 看到没有？最后就等于是不选 d 啊？然后我们直观图怎么去画啊？首先你要画出这个坐标系啊，坐标系是不是这样的？然后因为这个 o a， o a 是 不是在一个轴上，这是 o， 这是 a， 然后这个里面你看一下他没有平行外轴的线，看到没有？所以你怎么样？你只做辅助线，你画的时候那怎么做？是不是他做一个高线下来就可以了？ 这个长是你要背下来就二分之根号三倍的 a， 对 不对？然后在这个中点这个地方你要去往上怎么样？去延长？而且这个长要平匀他啊？延长的时候怎么样？是不是是四分之根号三倍的 a， 看到没有？是把他一连他就长这样子的，看到没有？长这样子的， 求周长的话，你就必须要画出原来的图像，要不然你做不了啊，我们看一下啊，看一下，首先这个长没有变啊，那这个，这个还是 b， 这是 a， 看没有，这个长是仍然是一啊，这个坐标是负一，写坐标吧。然后这个长是多少？ 是不一呀？所以你往上走是不是二呀？这是二。然后去画周长呢？这是不是根号五？根号五，所以答案是不是选 c？

大家好，我是超宇老师，从这个视频我们开始讲立体几何啊，立体几何 是一个全新的赛道，你前面学的不好，完全可以学好这一张他的辅助线啊，他的证明也没初中那个平面几何难，我觉得做初三那些学生的那些几何体有的相似啊，做辅助线做半天好难，还没有这个简单， 但他们觉得那个简单，这个难。我不知道为什么，最开始的你自己一定要多去刷点概念题，听到没有？然后因为概念容易错啊，我把我觉得重要的四个点我们来讲一下啊。第一个点是你看着像轮胎的，他可能不是轮胎，听到没有？我这个地方画个图啊，我来暂停画 好，看一下这个图，就这个地方，你看着他是不是很像轮胎，但是除非是我告诉你，但是你是没办法说明他是轮胎的，就算告诉你上下两个面是平行的，然后他侧面都是全等的，什么梯形的那种 是不一样的，都不一定行，听见没有？都不一定行啊，一定要他怎么样，他的延长线一定要交于一个点，交于一个点，他是一个锥，然后这样去切了一刀 得到的，听懂了吗？这第一个点很重要啊，看着像轮胎的不是轮胎啊。第二个就侧面是平行四边形的，上下两个面是平行的，侧面都是平行四边形的。我们说这个像谁的性质啊？ 是不是轮毂的性质？轮毂就是上下两个面是平行的，而且相而且全等的，然后下面， 然后各个侧面都是平行四边形，但反过来说行不行？不可以啊，为什么？因为有的图他是弯的啊，你想到这个图，铁们，你看这个上下两个面就是全等的，平行的，他每个面他他有几个侧面，他有六个，看没？他六个侧面都是什么？平行四边形，但是他不是， 不是能出，看到没，这是第二个点啊，然后第三个点比较重要了，就是我们有一个图是什么？是正四面体啊？正四面、正四面体，正四面体，他的能长都是相等的啊，都是相等的在这啊，然后他会出一个题啊，好像就是这个啊，就是这个， 就这个啊，他说侧能长与底面多边形的边长相等，可能是正四呢，正六能追，这个是不可能的，听没有？为什么不可能？因为我们正六边形， 正六边形他刚好就是六个等边三角形，看到没有？是六个等边三角形。如果你要把它画成立体图或者叫正六能追， 你就要把这个点往上或者往下压一点点，你稍微提一点点起来，这个边就跟他不可能相等了，这个也是一个容易在多选里面出现的啊，所以这个地方是不可能的。听见没有？就是正的六能追，他侧面最多， 不是最多啊，他侧面是等腰三角形，但是不可能等边，这是第二个啊，第三个啊，然后第四个就是追啊，追的这个也也是有一个点容易做的啊，我们来看一下，就是 我们过这个顶点去给他做一个结面，对于认为你这个结面的最面积最大值啊，他要分两种情况听，没有 为什么就你随便去拿一个结面去结，他都是一个等腰三角形，看到没有？我们举个例子啊，这就是等腰三角形啊，那等腰三角形让你求这个面积最大值，我们面积最大值。有有有，公式叫 s 等于什么？等于二分之一，是不？就是 这个叫 ab， 对 不对？那在这个里面这两个都相同，都是母线，我就写大 r， 大 r 的 平方乘以这个三 e c t， 看到没有？我们根据函数的性质，我们随着这个 c t 越来越大，你看它是先增大后减小的，看到没有？ 为什么？因为这个 c 塔，这个 c 塔取值范围可以是零到一百八，看到没有？你要一百八十度，零到一百八，你，你去画这个，他是这个三 e、 c 的 值，因为这两个值是没有变的。三 e、 c 的 值是先增大后减小，所以让你求最大值的，一定要去看啊。你看当这个 c 塔小于等于， 哦不对，这不不对啊，就是当过这个轴线的时候，我们知道过这个轴线的时候，他是取到一个最大的，这个这个夹角看到没有？当这个最大夹角，比如叫 f， 但 f 小 于等于九十度的时候，那他是过这个轴线的时候，这个面积最大。哦，当这个 f 大 于九十度，那他就不是过轴线了，他是 切出一个九十度的时候，他是最大的。这个地方也容易考到 a， 也很重要，容易忘啊， 就这四个点啊，基本概念题我们就选了一个啊，你自己要去多做，然后把我刚刚讲的四个要记住啊。 我们看一下，他说下列说法正确的是第一个，他说有一个面是多面体，其余各面都是三角形，这个地方这个注意不对啊，你可以想到，对不对？那个钻石，然后再看第二个， 其余两个面都是等腰梯形啊，这个轮胎不行。刚讲过了啊，为什么？因为你不能保证他那个腰延长出去，他会交一点，他保证不了啊。再看下一个，他说底面等边方向，你侧面都是等腰，这个地方要注意啊，等腰的话你要看他谁跟谁相同。比如说我画一个， 画一个这种，画一个这种啊？画一个这种，你看这样，这样看到没有？你看底面是正三角形，但是这个边和这个边相等，可以吧？这个边和这个边相等，看到没有？你可以看他三个边， 有两个面是等腰，另一个边是等边，对不对？最后他不是，所以这个也不对啊，所以这个里面没有一个对的啊？选 a。

临沂一中北校区啊，太牛了！临沂市高一的期中联考结束了，各校区的第一名成绩也出来了，一中北啊，还是无人能撼动的霸主地位， 这次啊，不是一般强啊，是超级厉害。这个恒大高中的六百九十二分排第九，那说明啊，前一到八名都是一中北的。你再看看整体啊，这各个学校差距太大了啊，呈现出一超多强，层级分明的特点。 这个恒大高级中学凭借独特的衡水模式，抑菌突起，据说啊，里边的孩子啊，比一中北的孩子啊辛苦多了。 但是高中啊，说白了，最终拼的还是生源，一中北的排上千名的孩子都能排到其他有些学校的第一名，就充分说明问题了，如果想让孩子上九八五， c 九联盟双一流，首选肯定是一中北。

咱临沂高一的这次期中考试是分科后的第一次大考，因为这一次是临沂市所有高中统一联考，统一时间开口使用同一套试卷。那么考试之后呢？会根据成绩进行统一的复分和排名，最终排出全临沂市的位次。 今天啊，高一的期中考试已经全部考完了，难度呢在中等偏上。各位家长可以把济南的期中试题拿到手，给孩子做一做，带着答案，带着解析，没有的家长进我主页粉丝群。

山东临沂顶级高中特报 number ten 曲南第一中学，一九五二年建校，山东省规范学校，临沂市重点中学，曲南县龙头高中，历史底蕴深厚，在校人数约五千八百人。二零二五年高考，本科上线率 约百分之七十八，一本上线率约百分之四十八，最高分六百九十二分，跻身全省顶尖梯队。 number nine 河东第一中学，一九九七年建校，河东区直属公办重点高中，市级规范学校，近年教学质量稳不提升，在校人数约四千五百人。二零二五年高考，本科上线率约百分之七十五，一本上线率约百分之四十五。 number eight 罗庄区第一中学，一九五六年建校，罗庄区老牌重点高中，山东省规范学校，办学严谨，学风浓厚，在校人数约五千两百人。二零二五年高考，本科上线率约百分之八十，一本上线率约百分之五十。 number seven 临沂第三中学，一九三五年建校，兰山区重点高中，一校三区办学，市级教学示范校，在校人数八千两百六十人。二零二五年高考，本科上线率约百分之八十二，一本上线率约百分之五十二，艺术类考生统考成绩突出。 number six 临沭第一中学，一九五二年建校，山东省规范学校，高中教学示范学校，临沭县教育龙头，全国教育系统先进集体， 在校人数五千七百余人。二零二五年高考，本科上线率约百分之八十五，一本上线率约百分之五十五。清泉受助学子，本科上线率百分之一百。 number five 临沂第四中学，一九七三年建校，市值，重点高中，以信息学奥赛见长，拔尖创新，人才培养突出，设校本部与西校区，在校人数约六千五百人。 二零二五年高考，清北保送两人，本科上线率约百分之九十一，一本上线率百分之六十八六，百分以上约一百人。 number four 沂南第二中学，一九七九年建校，沂南县顶尖高中，省级规范化学校，管理严格，高考生学率稳居线域前列。在校人数约六千人。 二零二五年高考，清北上线一人，本科上线率约百分之八十八，一本上线率百分之六十二，最高分六百八十一分。 number three 潭城第一中学，一九五零年建校，潭城县唯一省级重点中学，临沂市老牌强校，历史悠久，声源优质。在校人数约六千八百人。二零二五年高考，清北上线一人，本科上线率约百分之八十九，一本上线率百分之六十五。 number two 宜水第一中学，一九六零年建校，国家级绿色学校，省级规范学校，现役高中标杆，以高升学历、严管理著称。在校人数六千余人。二零二五年高考，清北上线二人，本科上线率约百分之九十二，一本上线率百分之七十。 number one 临沂第一中学，一九零三年建校，山东省首批十九所重点中学之一，百年人。二零二五年高考，清北上线十四人， 本科上线率百分之九十八以上，一本上线率百分之八十九点五，最高分七百零二分，斩获临沂状元，位列山东省前十名。北校区特招，上线率百分之七十七，本科上线率百分之九十九，强基班均分六百五十三分。

临沂中高一月考成绩出炉了，有的孩子分数下滑，有的孩子分数上升，大家必须要清楚自己的排名。同时不少家长问选科的问题，孩子分数怎么选科？需要成绩分析、 排名分析的家长可以进主页公开群点蓝色卡片。同时呀，我也把分数多少能够选物化、生物化、正物化地各种选科组合给大家，给各位家长分析一下月考的排名与选科。